автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Хеджирование финансовых обязательств на неполных рынках

На правах рукописи

Чалов Денис Михайлович

Хеджирование финансовых обязательств на неполных рынках

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка данных

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —

2005

Работа выполнена в Московском Государственном Институте Электроники и Математики.

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор Хаметов Владимир Минирович

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., в. н. с. Пресман Эрнст Львович, д ф.-м. н., в. н. с. Дарховский Борис Семенович.

Ведущая организация:

Государственный университет - Высшая школа экономики

Защита состоится 28 марта 2006 года в 12:00 на заседании диссертационного совета Д 212.133.01 при Московском Государственном Институте Электроники и Математики по адресу: 109028 Москва, Б.Трехсвятительский пер., д. 1-3/12, стр. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Госу-" ^ " 'ематики.

2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

доовА L\05G

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема хеджирования финансовых обязательств на неполных безарбитражных рынках - одна из важнейших задач системного анализа, теории управления и стохастической финансовой математики. К настоящему моменту времени известно несколько методов построения хеджирующих стратегий на неполных безарбитражных рынках: суперхеджирование (хеджирование с вероятностью единица), рисковое хеджирование, квантильное хеджирование (хеджирование с положительной вероятностью), хеджирование (оптимальное) в среднеквадратическом смысле. Наиболее полно они изложены в работах А. Н. Ширяева, А. В. Мельникова, Д. О. Крамкова, М. Ю. Кабанова, N. El Karoui, М-С. Quencz, Н. Föllmer, М. Schweizer, А. Cerny, М. Kirch, W. Schachermayer и других авторов.

Известно, что проблема хеджирования финансовых обязательств заключается в выборе мартингальной меры, нахождении стоимости финансового обязательства (справедливой цены) и хеджирующей стратегии. Исследованию этих проблем были посвящены работы А. Н. Ширяева, А. В. Мельникова, Д. О. Крамкова, М. Ю. Кабанова, Н. Föllmer, М. Schweizer, Y. Miyahara, М. Fritelli, F. Bcllini, Т. Göll, L. Ruschendorf, I. Karatzas, M. H. A. Davis, N. El Karoui, R. Rouge, J. Kallsen, R Leukert, F. Delbaen, W. Schachermayer и других авторов, в которых устанавливаются условия существования мартингальных мер, хеджирующих стратегий и справедливой цены (в различных смыслах) для полных и неполных рынков. Однако, на настоящий момент времени не известны конструктивные процедуры расчета Европейского опциона на полных и неполных рынках (за исключением моделей биномиального рынка и рынка Блэка-Шоулса).

Результаты, содержащиеся в настоящей работе, существенным образом опираются на теорию оптимального управления стохастическими последовательностями. Основные результаты этой теории содержатся в работах А. Вальда, С. Карлина, Р. Беллмана, Р. Ховарда, Д. Блекуэлла и Р. Штрауха, Н. В. Крылова, А. Н. Ширяева, Ш. Стрибел, Е. Б. Дынкина, А. А. Юшкевича, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода, Р. Я. Читашвили, Д. Бертсекаса и С. Шрива, М. Де Гроота, Э. JI. Пресмана и И. Сонина, X. Майн и С. Осаки и других авторов. Мартин-гальные методы в теории оптимального управления стохастическими последовательностями получили широкое распространение благодаря

работам Р. Эллиота, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода, М. Дсвиса и П. Варайа, В. Лебедева, Р. Читашвили, в которых получены необходимые и достаточные условия существования оптимальных и е-онтимальных стратегий. К настоящему моменту времени оказались слабо изученными управляемые нсмарковские последовательности с целевыми функционалами, зависящими от всего прошлого.

Решению этих проблем посвящены главы 2-4 диссертации. Цель работы. Разработка теории управляемых нсмарковских последовательностей с целевыми функционалами, зависящими от всего прошлого, и ее применение к расчету опционов Европейского типа и построению хеджирующих стратегий на неполных рынках. Метод исследования. В диссертационной работе применяются методы функционального анализа, общей теории случайных процессов, теории оптимального стохастического управления, теории игр. Научная новизна. Основными научными результатами являются: 1) условия существования оптимальных и е-оптимальных стратегий для задачи управления случайными немарковскими последовательностями с конечным горизонтом и мультипликативным критерием; 2) достаточные условия существования (5, <2)-опционального разложения для ^-^-измеримых ограниченных случайных величин; 3) новые необходимые и достаточные условия существования ¿^-представления для измеримых ограниченных случайных величин; 4) критерии существования вероятностных мер, нейтральных к риску; 5) условия отсутствия арбитража; 6) метод расчета Европейского опциона. Теоретическая и практическая ценность. В работе дано обоснование применимости метода динамического программирования для управляемых немарковских последовательностей с терминальным функционалом, зависящим от всего прошлого. Построены новые критерии существования и единственности мартингальной меры. Установлены условия существования разложения сунермартингалов, обобщающие теорему Дуба-Мейера.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что предложен метод, позволяющий явно находить мартингальные меры, хеджирующие стратегии и справедливую стоимость опционов Европейского типа как на полных, так и неполных рынках. Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно - технических конференциях студентов, аспирантов и молодых сне-

циалистов МИЭМ в 2001, 2003 годах [1,3], научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, посвященной 40-летию МИЭМ в 2002 г. [2], на Восьмой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 2001 г.) [4], на Восьмой Международной Вильнюсской Конференции по Теории Вероятностей и Математической Статистике (Вильнюс, 2002 г.) [6], на Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002 г.) [7], на международной конференции "Колмогоров и современная математика"(Москва, 2003 г.) [8], на Шестой Международной конференции по вероятностным методам в дискретной математике (Петрозаводск, 2004 г.) [9], на XI Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004 г.) [10], на семинарах кафедры Исследование операций МИЭМ, на семинарах кафедры Кибернетики МИЭМ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 печатных работах, список которых содержится в конце автореферата. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 73 наименований и содержит 220 страниц. Результаты диссертации содержатся в главах 2, 3, 4.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор основных результатов по рассматриваемой теме и дается обоснование ее актуальности, определяются цели исследования и содержится общая характеристика диссертационной работы.

Первая глава носит вспомогательный характер, в ней содержатся сведения из функционального анализа, теории вероятностей и общей теории случайных процессов, необходимые для изложения результатов работы.

Обозначим: ЛГ0 4 {0,1,2,..., Щ, N1 = {1,2,ЛГ}, N < оо, запись Ь £ Л'о (£ £ N1) будет обозначать, что £ является элементом

т-

Пусть Ш1 - ¿-мерное евклидово пространство, В (К^) - сг-алгебра в нем, й < оо, а (•, •) - скалярное произведение в К**.

Пусть (12,Г,№)(£Лг0,Р) - стохастический базис, (5(,^()(бЛ.о -¿-мерная случайная последовательность, заданная на нем, со значени-

3

ями в (Rd,B(Rd)). Обозначим 5. = {S0,...,SN}, S*0 = {S0,...,St}, где Vi e Nq, ff = a {St,t <t}~ поток <т-алгсбр, порожденный случайной последовательностью [St->Ft)teNa> ~ ^ — гДе ^ £ М- Будем считать Ti — J-f, J-fr — F, ^¡f = Я5 j. Вероятностную меру P, определенную на F, мы будем называть базовой.

Определение. Стохастическая последовательность (Xt, •77t)tez+ называется мартингалом, если для всех t £ Z+ М \Xt\ < оо и М (Xf \J-t -1) = Хг_1 P-ii.H.

Определение. Стохастическая последовательность X = {Xt,3~t)te%+ на~ зывается локальным мартингалом, если найдется локализующая последовательность {т^к>1 марковских моментов, т.е. r/t < т>+1 Р-п н., при к —у оо Tfc Т оо Р-п.н., такая, что "остановленная" последовательность ХТк = (ХТ1хМ1{тк>а},3~t) является мартингалом, где t Ar = min (t, т).

Пусть Vfj (S,, P) ={множество вероятностных мер Q на (fl,F, {3~t)teN ), эквивалентных P}.

Пусть Mjv (S„ P) = {Q € Vn (S.P) : относительно меры Q d-мерная последовательность (St, З7?)^^ является локальным мартингалом}. Вероятностные меры Q G MN (St, Р) называют мартингаль-ными или нейтральными к риску.

Через М^ [•] будем обозначать интеграл Лебега относительно меры Q, а через М® [Н-^?] - условное математическое ожидание относительно (т-алгебры J-f, Vi € Nq.

Пусть С - некоторое параметрическое множество, Ф —{{у7}7еС - семейство неотрицательных случайных величин : V7 G С Mip1 (со) <

оо}. Через Р — esssupp7 I Р — essinfip1 ) будем обозначать Р - суще-

7GC \ jeC )

ственную верхнюю (нижнюю) грань семейства Ф.

Определим измеримую функцию Gq : N1 х M'ijVl х Ed —> R1, обозначаемую через Gq (t, S'0~l, —7) и определяемую равенством

Gq (t, Str1, -7) = In MQ [exp {- (7, ДSt)} \jf_i] ,

называемую кумулянтой последовательности (St, J~t)teN относительно меры Q € VN (S„ P).

Вторая глава посвящена построению разложений для Tfj -измеримых случайных величин. В ней строятся два типа разложений (представлений) для ^-измеримых случайных величин: (S,Q)-

разложение и ¿'-представление. Эти разложения строятся на основе описанной ниже оптимизационной задачи.

В §1 формулируется задача стохастической оптимизации. Пусть на траекториях последовательности ^, задана /дг : К1^4"1' —+

К1 - измеримая функция, обозначаемая через /дг (.т.), где х. £ Пусть 7. = {7«}(едг1 - ¿-мерная ^-предсказуемая последовательность, которую мы будем называть стратегией, значение которой в каждый момент времени tG.Ni обозначим через 7( и назовем управлением в момент времени Через £/. обозначим множество стратегий 7.. Множество управлений в любой момент времени Ь £ N1 будем обозначать

Щ. Положим (74,Д$) = Ет^ДЗ*0.

1=1

Функционал

(5.,7.) = ехр (5.) - £ (7г, Л5.)|

назовем целевым. Стратегию 7. 6 и. назовем Р-допустимой (относительно меры Р), если (5., 7.) < оо. Множество допустимых стратегий 7. относительно меры Р обозначим через О, (Р). Задача стохастической оптимизации: требуется найти: такую стратегию 7° € О. (Р), которая бы минимизировала среднее значение целевого функционала, т.е.

гп/ М Мл, 7.) = М К* (5., 7?), (1)

■у.еО.(Р)

и значение целевого функционала на стратегии 7? € О, (Р).

Через а^ обозначим сужение Р-допустимых стратегий а. на множество {¿1,..., ¿2} С ЛГ1; через (Р) обозначим множество таких сужений. Через (Р) обозначим сужение Р-допустимых стратегий 7. на

Определение. Для любых £ £ N0 и 7. 6 Г*. (Р) процесс (Л , определенный по формуле

Г N

/г(5.,7Г+1) = М

Я

(2)

назовем процессом, оценивающим стратегию 7., а ^ - измеримую случайную величину (5.,7г+1) - оценкой стратегии 7. в момент времени í € Лу.

Определение. - измеримую функцию V (£, 5',), определяемую равенством V 5(')) — Р — езят/ /((.51., назовем функцией

Беллмана.

Относительно функции Беллмана V справедливо следу-

ющее утверждение.

Теорема 1. Для Ш € ЛГ0 функция Беллмана V (1, Б^) удовлетворяет уравнению:

Г V = Р - ейзгп/ М^^Лу ^ + ^ ^

{ 7€0( + 1(Р) (3)

(3) будем называть уравнением типа Беллмана. В §3 устанавливаются достаточные условия разрешимости уравнения (3). Для формулирования условий разрешимости (3) введем ряд новых обозначений.

г) (Р) (Р)) обозначим банахово пространство -

измеримых (положительных) функций, Р-существенная верхняя грань модуля которых конечна;

гг) Ьхд1 (Р) обозначим весовое банахово пространство Т? - измеримых функций определенных на (О,со значениями в!1 с конечной нормой Щ\\ь\(р) — Мд(\9{(и>)\ < оо, где О < # -некоторая фиксированная функция из Ц°'+ (Р);

иг) Ь^ (Р) обозначим весовое банахово пространство - измеримых функций ^(ш), определенных на (П,со значениями в К1 с конечной нормой: Н^Н^ос^ = Цд^г < оо, где 0 < ^ -

некоторая фиксированная функция из (Р). Определение. Обобщенным сильным решением уравнения (3) называется семейство {V (1,5,'), ^-измеримых функций та-

ких, что: г) при каждом í V (¿, € (Р), гг) подстановка элементов {V (£, ¿о), •^>5}(еЛ-0 в (3) обращает это уравнение в тождество (с точностью до множеств нулевой меры Р).

Определение. Будем говорить, что уравнение (3) имеет единственное обобщенное сильное решение, если из того, что существует два решения и причем = Р-

п.н., следует, что Ц = Ц Р-п.н.

Условие П. Фильтрация - универсально полна.

° 6

Условие Е. Существует семейство функций такое, что ири

каждом £ 0 <<7(6 (Р), и удовлетворяющее условиям: 1) ||е/~^)||0<оо,

И) для любого £ е N1 \\gt-\M Ньг ,(Р) <

111) существуют положительные константы а, Ь такие, что 1) т] еМх-*> > Ь > 0; 2) для V« 6 М Р-евзт/ > а > 0

Теорема 2. Пусть выполнены условия (П), Е,), . Тогда для любого £ € N0 уравнение (3) имеет единственное обобщенное сильное решение V (£, 5д) 6 (Р). Если, кроме того, выполнено условие то для любого £ 6 Л?о Р-п.н. справедлива оценка К (£, 5,,) > Ъак~1.

В §4 определяются оптимальная и е-оптимальная стратегии и устанавливаются условия их существования и допустимости. Определение. Стратегию ^ Е D. (Р) назовем е-оптимальной, е > 0, если /0 (51., < V (0,5.) ехр {е}; 0-оптимальную стратегию будем называть оптимальной.

Теорема 3. Пусть выполнено условие (П). Пусть уравнение (3) имеет единственное положительное обобщенное сильное решение Тогда для Уе € (0, £о] существует е-оптимальная стратегия (рг, € О, (Р). Теорема 4. Пусть уравнение (3) имеет единственное обобщенное сильное решение. Допустимая стратегия 7^ оптимальна тогда и только тогда, когда для любых £ 6 N1 и 7. е -О. (Р) Р-п.н. справедливо

Vi-i = М

Теорема 5. Пусть существует единственное строго положительное ограниченное обобщенное сильное решение уравнения (3) относительно меры Р. Оптимальная стратегия 7® £ D. (Р) существует тогда и только тогда, когда для любого £ £ N1 Gp [t, S^'1, —7) —> 00 Р-п.н. при 111 00.

В §5 содержится описание множества вероятностных мер, относительно которых уравнение (3) разрешимо, т.е. существует единственное решение, и существуют оптимальные стратегии.

Пусть Q eVN (S„ Р). Обозначим V£ <Е Nx\ Tit (Q) = {7 е Md : \Gq (t,St\ -7)| < 00 Р-п.н.}, П. (Q) 4 {7. € M.dN :Vt £ N1 IGq (t,S*"1, -7) | < 00 Р-п.н.}. Обозначим: VN,n.{S„P) 4 {QzVN{S.,P)-.n.(Q)ies},VN,v.(S„P) =

{Q e VN,TI. (S.,P) : M^exp

I »=1

ASt) \ < oo,V7. e

((?)}• Обозначим через (5., Р) множество вероятностных мер

<5 € 'Рлгд), (51., Р), относительно которых уравнение

V^ =Q- essinf МО Г l^Dt(Q) L

(4)

имеет единственное обобщенное сильное неотрицательное решение

•I V®, \ , где /лг (5.) - .Т^-измеримая случайная величина. I. ) 46 лг0

Для удобства изложения введем обозначения: г) Т3^ ЕВ (5., Р) = {д 6 Г„лв Р) : Ш £ N0 V? > 0 д-п.н.}, «) Г+% (5., Р) е "Р^ ев ('5., Р): существует стратегия е £). (<5) такая, что <3-п.н, для любого tE.Ni выполнено равенство

1 = Q - essinf MQ ieDt(Q)

VQ

K?i

^ ¿-i

(5)

= MQ

-r-s t-1

TO) ^n'ebj, (s*>p) = {Q e Vp°EB(S.,P) : существует единственное Q-и.н. ограниченное обобщенное сильное решение уравнения (4) и оптимальная стратегия G jD. (£?)},

«О (5., р) = MN (S„ P)f)K,EB Р),

V) MV+NfíEB Il (S„ P) MN (S., P) П V+N%Btb (5., P).

В §6 определяется (S, <2)-опциональное разложение и устанавливаются условия его существования.

Определение. Будем говорить, что .Fjy-измсримая случайная величина /лг (S,) допускает (S, <5)-опциональнос разложение относительно некоторой вероятностной меры Q, если существуют- г) ^f-измеримая случайная величина Xq, гг) семейство cf-мерных ^-предсказуемых случайных векторов {7?}^, ш) i^'?> ft^j с Со = 0 - возрастающий

N

процесс такие, что Q-п.н. /дг (5.) — Хо + £ (7°, Д5г) —

1=1

Теорема 6. Пусть V+N"EB b{S„ Р) ф 0 и VQ е Vp°EB ь (S„ Р). Тогда лю-

8

бая измеримая ограниченная случайная величина /дг (5".) допускает (5, <3)-опциональное разложение, причем: г) Хо — 1п V® - <3-п.н., где

(M),

t t j ^ - решение уравнения (4); гг) 7^ £ Dt (Q) - оптимальная

стратегия, определяемая (5); iii) АС? = - Д In VtQ + (7°, ASt) > 0 Q-п.н. для любого t E Ni.

Замечания. 1) (5, (З)-опциональное разложение, устанавливаемое теоремой 6, не предполагает, что: г) {St^^teNo ' локальный мартингал, ii) }n (S,) является неотрицательной случайной величиной. Отмстим, что утверждение теоремы 6 дает также способ нахождения Хо и 7°.

2) (S, <Э)-опциональное разложение единственно, если 7® £ D, (Q) -единственная оптимальная стратегия.

3) Из утверждения теоремы 6 следует, что последовательность

(in V®, Tf ) относительно меры Q £ Vp°ED (S., Р) является семи-\ / teNo '

мартингалом, а последовательность

{j2№ASt)+lnV(?-lnvÀ

I '=1 ) teNa

относительно потока и меры Q является локальным субмар-

тингалом.

4) Из утверждения теоремы 6 следует, что: если Vp(EB (S., Р) ф 0, то любая ограниченная ^-измеримая случайная величина /дг (5.) допускает относительно меры Q £ (SР) (S, <Э)-опциональное разложение.

В §7 определяется ¿-представление и устанавливаются: а) новые условия существования ¿-представления, б) критерий единственности мартингальной меры, заданной на траекториях ¿-мерной случайной последовательности (¿t, f?)teNll-

Определение. Будем говорить, что .F^-измеримая случайная величина În {S,) допускает ¿'-представление относительно ¿-мерной последовательности {St,J~t)t£N0 и меРы Q е Рл' (¿., Р), если существуют: г) .^-измеримая случайная величина Хо, гг) ¿-мерная .^-предсказуемая последовательность {7?}iejv0 такиС1 чт0 Q-п.н. справедливо равенство N

»=i

Замечание. Теорема о ¿-представление содержится, например, в работах А. Н. Ширяева и Ж. Жакода, А. Н. Ширяева: ¿-представление

9

существует тогда и только тогда, когда вероятностная мера С} является единственной мартингальной. В общем случае это условие труднопро-веряемо. Кроме того, это утверждение не конструктивно в том смысле, что из него не следует способ построения 7^. Ниже мы приводим новый критерий 5-представимости.

Пусть 'Рр^у (Б., Р) 0. Пусть дт - любая неотрицательная ограниченная ^-измеримая функция, где \/т £ Аго• Пусть к £ (0,1], УС} £ случайную величину е'"'- (М° [е^Т^])'1 на-

зовем вероятностным возмущением случайной величины /дг (5.) в момент времени т £ N1.

Обозначим:

1 Д / Х> й ^ т

М5) = \0, 5 = Г '

(5.,О 4 /м (<?.) + 1Т («) [кдт - Ы М« (е**!^)] ,

n

/¿'(в.,0-^(7.,Д«.)

Для любых к £ (0,1] и г € Лго определена функция = — еввт/(в; 7.), которую назовем возмущенной функцией

Беллмана.

Определение. Пусть имеется семейство ; к) е2+х (0,1]} ^ -измеримых случайных величин. Будем говорить, что для любого £ £ М0 $ (<5)-дифференцируемо по к в точке нуль, и эту производную обозначим через £)(§, если для любого Ь £ N0 выполняются: 1) существует ^-измеримая случайная величина такая, что: г)

мд (1^1 + $1) < 00 для любого к е (о. «) мЯ $ - 2)

I мя

о.

Замечания. 1) Очевидно, что вероятностное возмущение для ограниченной случайной величины /дг (5.) {С}) - дифференцируемо по к в точке нуль. 2) Р1 - производную функции в точке к = 0, если она существует, будем обозначать .

Теорема 7. Пусть ь Р) ф 0- Тогда относительно любых к £ (ОД], Г е ЛГ„

и £ Рдг'дд (5,,Р) у возмущенной функции Беллмана 10

существует версия такая, что - {С}) - диффсрсн-

V ' / «елг0

цируема по Л в точке к — 0 для 6 Лгь при т = í обозначаемая через

¿»V«, и <5-п.н.

[ - 1 ) Ц*

V?

Теорема 8. Пусть 'РрйЕВЬ{8„Р) ф 0. Любая ^Гд,-измеримая ограниченная случайная величина /дг (5.) допускает относительно меры С} е РрЕВ1>(3*,Р) ¿»-представление тогда и только тогда, когда ВУ® — О

<5-п.н. для любого т £ {0,..., N — 1}, причем Х0 = 1п У^, (V/3, Г?)

\ / <€ЛГо

- решение уравнения (4) относительно меры <3, а 6 -О. (<5) - оптимальная стратегия, определяемая из соотношения (5). Замечание. Из теоремы 8 следует, что множество вероятностных мер М.Тр(1ЕВ ь (5'., Р) состоит из одной точки тогда и только тогда, когда ШпУ® = 0 (2-п.н. для любого т 6 {0,..., ЛГ - 1}.

В §8 содержатся примеры построения ¿»'-представления и (5, <3)-

оиционального разложения для случая, когда последовательность

г

(Я-Т^Оед имеет вид 5, = 50П (1 + Р,), t 6 ЛГЬ причем {рЛг€ЛГ,

г=1

- независимые в совокупности одинаково распределенные случайные величины. В первом примере строится ¿'-представление для случая, когда является последовательностью бернуллиевских случайных величин, причем —1<а<0<6. Во втором примере строится (5, <5)-онциональное разложение для случая, когда р, принимает три значения- а € (—1,0), 0, Ь € (0, оо).

Третья глава содержит новые условия существования мар-тингальных мер, отсутствия арбитража и существования ¿> - представления, которые формулируются в терминах функции Беллмана и оптимальных стратегий.

В §1 вводятся известные определения из стохастической финансовой математики, некоторые из которых нам понадобятся в дальнейшем.

В §2 устанавливаются новые необходимые и достаточные условия существования мартингальных мер, основанные на результатах, полученных во второй главе, а также новые критерии мартингаль-ности вероятностных мер в терминах кумулянты последовательности

11

Теорема 9. Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть (5., Р) Ф 0. Тогда для любой меры

<2 £ Р^ед (&> -Р) существует <3 ~ <3, причем <5 £ Мк(3„ Р).

2) Пусть 7ИР+ (5., Р) 0. Тогда Т+%в (5., Р) + 0. Замечания. 1) Из первого утверждения теоремы 9 следует, что если уравнение (3) имеет единственное обобщенное сильное положительное решение, и существует оптимальная допустимая стратегия относительно меры С} € Т>рЕВ (5., Р), то существует мартингальная мера <3 ~ <32) Второе утверждение теоремы 9, по существу, является обратным к ее первому утверждению' если уравнение (3) имеет единственное положительное решение относительно некоторой мартингальной меры <3, то существует оптимальная стратегия 7^ € Р. (С?).

Кроме того, в этом параграфе построены два "легко проверяе-мых"критерия мартингальности вероятностных мер. В §3, основываясь на применении теоремы 9, содержится уточнение теоремы 4 (о существовании оптимальных стратегий).

Теорема 10. Пусть Т^ ЕВ (5., Р) ■/= 0. Относительно любой меры <3 6 Рд, ЕВ (5., Р) стратегия 7^ € (<Э) оптимальна тогда и только тогда, когда для любого t £ N1 Q-n.ii. выполняется равенство

М?

^-е-Ь^) д ^

- 0, (6)

где (у®, - решение уравнения (4) относительно меры

В §4 устанавливаются условия отсутствия арбитража в терминах функции Беллмана и оптимальных стратегий, опирающиеся на теорему 9.

Определение. Пусть на стохастическом базисе (П, Г, (^^N0' заДа~ на ¿-мерная последовательность , компоненты которой неотри-

цательны, описывающая эволюцию изменения во времени стоимости (1 различных активов. Такую совокупность активов назовем (5'1',..., 5^)-рынком.

Определение. Любую .Т^-измеримую случайную величину /лг (5.) назовем платежным обязательством с моментом его исполнения N. Определение. Стратегию 7. £ (Р) на ..., 5^)-рынке назовем самофинансирующей, если для любого £ £ N1 Р-п.н. (Д7(, 1) =

0. Множество таких стратегий обозначим через 5РЛ. (Р).

12

Определение. Будем говорить, что 7. € £>Р£). (Р) реализует арбитраж в момент времени Ы, если из того, что Хд' = 0 Р-п.н., следует, что *лг* ^ 0 Р {ХЪ' > 0) > 0. Множество стратегий 7. € (Р),

которые реализуют арбитраж, обозначим через 5Р/?^гЬ(Р). Определение. Будем говорить, что арбитраж отсутствует, если

ЗРВатЬ (р) = 0

Теорема 11. Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть Рдг'вв ь (й1., Р) ф 0. Тогда для любой меры

2) Пусть ~РхЕВЬ {Б., Р) ф 0 и существует хотя бы одна 7. €

(<?), где € (5.,Р). Тогда 7?+'°в(,(5.,Р) - 0.

В §5, основываясь на утверждениях теорем 7, 8, формулируется новый критерий полноты ..., й1^)-рынка. В §6 рассматривается пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке и показывается, что его справедливая цена совпадает с е.в.взир .

ОбРлг

Четвертая глава работы посвящена решению задачи расчета Европейского опциона на неполных рынках. В этой главе устанавливается связь между задачей расчета Европейского опциона и бесконечной антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. В этой игре в качестве первого игрока выступает природа, а в качестве второго игрока выступает владелец опциона (эмитент). Стратегиями первого игрока являются вероятностные меры С}, эквивалентные базовой мере Р. Стратегиями второго игрока выступают стратегии 7.. Функцией выигрыша первого игрока является оценка стратегии 7. относительно меры <5, обозначаемая через I® (5., 7.), и определяемая равенством'

Предполагаем, что игроки максимизируют свой выигрыш.

§1 содержит математическое описание вышеуказанной игры. Определение. Стратегию 7. € КЙЛГ назовем Р-доиустимой, если: г)

евззир I® (5., 7.) < оо, гг) еййгп/ /®(5„7.)>0. де рдг(5.,р) <2е

Множество Р-допустимых стратегий обозначим через О, (Р). Через (Р) обозначим множество сужений Р-допустимых стратегий 7. на множество {¿ъ..., ¿2} С N0 Через А (Р) обозначим сужение Р-допустимых стратегий 7. на {£}.

n

ехр{Ы5.)-]Г(7г,Лй)

г—1

Определение. Пару (Q, j.) £ Vn (S., P) x U. назовем бистратегией. Определение, ^-измеримую величину

N

i=t+1

назовем оценкой бистратегии (Q, 7.) или функцией выигрыша первого игрока в момент времени t £ Щ.

Определение. Вероятностную меру Q £ Vn (S.,P) назовем Р - допустимой, если для любого t £ N0 Р-и.н. i) Р— esssup if (S., 7^) <

00, и) P - essinf If > 0.

7,N+i eßf+l(P)

Множество P-допустимых мер Q обозначим через V (5., P). Гипотеза (H). |D. (P)| > 1 ,V(S.,P) ф 0.

Замечания: 1) V (S., P) - множество допустимых стратегий первого игрока, D. (Р) - множество допустимых стратегий второго игрока; 2) игра антагонистична, т.е. при фиксированных (Q, 7.) £ Т> (5., Р) х D# (Р) Iq (5., 7.) - выигрыш первого игрока, — I® (5., 7.) - выигрыш второго игрока; 3) в каждый момент времени игроки максимизируют свой выигрыш.

Определение. Для Vi £ N0 триплет Г« = (v (5., Р), (Р), I? (5., 7.)) назовем игрой.

Замечания. 1) Необходимо отметить, что идея рассмотрения задачи расчета Европейского опциона как игры высказывалась А. Н. Ширяевым в его известной монографии но стохастической финансовой математике. 2) В диссертации М. Kirch также рассматривалась задача расчета Европейского опциона как бесконечная антагонистическая стохастическая игра с выпуклой функцией выигрыша. Им были установлены: 1) условия существования решения этой игры, 2) связь между решением этой игры и задачей расчета Европейского опциона для случаев биномиального рынка и рынка Блэка-Шоулса. Определение. Бистратегию (Q, 7.) назовем Р - допустимой, если (Q,t.)eV(S.,P)xD.(P).

Определение. Верхним гарантированным значением бистратегии

(<5)7.) € V(S„P) х D. (Р) в момент времени t £ Nq, обозначаемым

через Vtp, назовем ^-измеримую случайную величину, определяемую

равенством VtF = Р — essinf esssup if (5., 7^) -7Q€V(S.,F)

14

Определение. Нижним гарантированным значением бистратегии (Ф, 7.) ^ 1>(5.,Р) х £>. (Р) в момент времени £ € Л/о, обозначаемым через , назовем ^-измеримую случайную величину, определяемую равенством = взвзир Р - е.ззт/ I® (5., •

Из этих определений справедливо следует утверждение. Теорема 12. Для любого £ 6 ЛГ0 V/' < < Р-п.н. Замечание. Теорема 12 устанавливает справедливость известного в теории игр неравенства на случай указанной игры Г^, причем верхнее и нижнее гарантированные значения являются ^/-измеримыми случайными величинами.

Определение. Бистратегию (<3*,7*) £ Т> (5., Р) х 5. (Р) назовем минимаксной, если для любого Ь £ И0 Р-п.н. = (5., 7^), при этом 7* назовем минимаксной стратегией (второго игрока), а <5* -наихудшим распределением вероятностей. Определение. Бистратегию ^<3,7.^ £ Т> (5., Р) х О. (Р) назовем мак-

симинной, если для любого £ £ N0 Р-п.н. = I® при

этом 7. назовем максиминной стратегией (второго игрока), а <3 -максимальной мерой.

Определение. Решением игры Г( назовем триплет (¿2°, 7?+п такой, что: (д°,т2) € Т>(8.,Р) х £.(Р), причем V, 4 V? = V? = (5., , которое назовем значением или ценой игры Г( в момент времени £.

Дальнейшее исследование посвящено нахождению условий существования минимаксных допустимых бистратегий, максиминных допустимых бистратегий и решения игры Гг.

В §2 выведено рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет верхнее гарантированное значение (V/', а также установлены условия его разрешимости. Кроме того, здесь находятся условия существования: а) минимаксной стратегии 7* £ £). (Р), б) 5 - опционального разложения для любой .Р^-измеримой ограниченной случайной величины, в) наихудшего распределения <3* € Х>(5.,Р). Теорема 13. Пусть выполнена гипотеза Н. Пусть выполнено условие (П), а /лг (5.) - любая измеримая ограниченная случайная величина. Тогда для любого Ь £ N1 (У/*, •Р/'')(едг Р-и.н. удовлетворяет урав-

нению:

КД = Р - еввт/ езааир М® [У^е'^^]^}

1ЧЩР) <зео(3.,Р) (7)

Для того, чтобы решение уравнения (7) совпало с верхним гарантированным значением, необходимо установить условия его разрешимости.

Определение. Обобщенным сильным решением уравнения (7) называется семейство > ^г)такое, что при каждом í £ N1 Угр £ (Р), подстановка которого в (7) обращает его в тождество (с точностью до множеств нулевой меры Р).

Определение. Будем говорить, что обобщенное сильное решение уравнения (7) единственно, если из того, что имеется два сильных решения (7) (^,^)<6ЛГо, причем * = Р-п.н., следует, что Р-п.н. У^ = У£.

Условие {Е'): Для У<5 £ V (£., Р) существует 0 < а - константа такая, что 6 N1 Р - еввт/е0^''^1~7) > а Р-п.н.

1€ЩР)

Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13. Тогда уравнение (7) имеет единственное обобщенное сильное решение Ур £ (Р) для любого f £ N0. Если, кроме того, выполнено условие Е', то для любого г € ЛЬ V/ > 0 Р-п.н.

Сформулируем условия существования минимаксной стратегии 7 :е5.(Р).

Условие (7). ¡) Существует мера £ Т> (5., Р) и константа с > 0 такие,

что для любого Ь 6 N1 Р-п.н. Р - еббгп/ес«(4'5° > с > 0; ¿1)

7 еО,(Р)

существует мера <2 £ Т> (Б,, Р) такая, что для любого Ь £ N1 Р-п.н. ктп е^О'5»"'~7) = оо.

ЬНос

Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14 и одно из условий 7,) или 7иу Тогда справедливы следующие утверждения: 1) существует 7* £ В. (Р) такая, что для любого £ £ N1 Р-и.н.

= Р — еввгп/ евввыр [^е-^5'»!^:!] = (8)

= еаззир М^ Г

сгегч«.,/») 1 -I

16 7'~7'

2) для любых £ € ЛГх и € V (¿., Р) Р-п.н. выполняется неравенство

Для построения решения игры Гг нам понадобится определение ¿-опционального разложения, имеющее самостоятельный интерес в теории случайных процессов.

Определение. Будем говорить, что ^-измеримая случайная величина /л' (¿.) допускает ¿"-опциональное разложение относительно любой меры £ Т> (¿., Р), если существуют:

г) ^-измеримая случайная величина Хо, гг) 7: € и.,

иг) (СЛ - возрастающий процесс, С[\(Ы) = О,

такие, что Р-п.н.

Замечание. Наше определение ¿-опционального разложения отличается от определений, приведенных в работах А. Н. Ширяева, Ю. М. Кабанова, Д. О. Крамкова, А. В. Мельникова, Н. ЕбНшег тем, что

Теорема 16. (¿-опциональное разложение). Пусть выполнены условия теоремы 15. Тогда для УС} е V (¿., Р) существует ¿-опциональное разложение, причем Х0 = 1пЦвр, Д= (7*, — , 7* определяется из (8), С[\1=0 = 0 и (С[, является субмартингалом относительно Уф € (¿., Р).

Замечание. Утверждение теоремы 17 обобщает соответствующие утверждения работ А. Н. Ширяева, Ю. М. Кабанова, Д. О. Крамкова, А. В. Мельникова, Н. РбНтег, поскольку V (¿., Р) Э Му (¿., Р), и дает конструктивный способ построения процесса (С/\^?)гелг0> стратегии 7* и Хо относительно любой меры ЕТ> (¿., Р).

Приведем условия существования наихудшего распределения. Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 16. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Если V (5., Р) слабо компактно, то существует <5* € Р (¿,, Р) такая, что для \/t 6 N1 Р-п.н. справедливо рекуррентное соотношение:

n

2) Следующие утверждения эквивалентны: а) С}* - наихудшее распределение вероятностей, б) для УЬ € Л^ Р-п.н. справедливо (9), в)

случайный процесс ( У"(рехр/-^ (7*, Дб1,)! ) является мар-

V I 1=1 ) ) «едг0

тингалом относительно меры <3*.

Теоремы 15 и 17 дают условия существования минимаксной би-стратегии (д*,7:) € V (Я., Р) х Ь. (Р), т.е. Ш £ М0 У[ = I?" (5., 7*+?) Р-п.н.

В §3 для нижнего гарантированного значения выводится рекуррентное соотношение и устанавливаются условия его разрешимости. Кроме того, здесь находятся: а) условия существования максиминной бистратегии ^<3,7.^, б) существование <3^-опционального разложения, аналогичного описанному в §6 второй главы (см. теорему 6). Теорема 18. Пусть выполнены условия теоремы 13. Тогда для любого Ь £ Р-п.н. удовлетворяет уравнению:

= еввзир Р - еввт/М®

«€0(5.,Р) 7 6А(Р) (10)

Для того, чтобы решение уравнения (10) совпало с нижним гарантированным значением, установим условия его разрешения.

Определения существования и единственности обобщенного сильного решения уравнения (10) аналогичны определениям, приведенным для уравнения (7), поэтому мы их не приводим.

Теорема 19. Пусть выполнены условия теоремы 14. Тогда уравнение (10) имеет единственное обобщенное сильное решение У^ £ (Р) для любого £ € N0. Если, кроме того, выполнено условие Е', то для любого ( £ N0 У[ > 0 Р-п.н.

Следующее утверждение устанавливает условия существования максиминной стратегии 7. £ В, (Р).

Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 19 и одно из следующих

условий: г) УС} £ Т> (5., Р) и УЬ £ N1 существует константа С4 > 0 такая,

что Р - езегп/е0^'"^'~7) > с4 Р-и.н.; и) \/<3 € ^(¿'„Р) и V* € N1

7 еЩР)

ггт -7) = ^ р_п.н. Тогда для любой меры <3 € Р(5.,Р)

Ы-ЮО

существует стратегия 7® £ О, (Р) такая, что для У1 £ N1 Р-и.н. справедливо равенство У[_1 = еввзир М® УУ^е"^11 ].

ОбГ>(5.,р^8 1 -1

Для построения максиминной бистратегии необходимо найти максимальную меру. Следующая теорема дает необходимые условия существования максимальной меры.

Теорема 21. Пусть выполнены условия теоремы 20. Следующие утверждения эквивалентны: г) ф 6 V (5., Р) - максимальная; и) <3 € 2? (5., Р) такова, что для любого £ £ N1 Р-п.н. справедливо равенство

ГДС 7. " максиминная стратегия; т) случайный процесс

V V 1=1 ) ) гелг0

является мартингалом относительно меры <5 € Р(5.,Р).

Из теорем б, 20, 21 следует существование -опционального

разложения, причем в силу теоремы 21 <3 - максимальная мера.

В §4 устанавливаются условия, которые обеспечивают совпадение верхнего и нижнего гарантированных значений. Определение. Будем говорить, что для £ € Л^ бистратегия (<3°, 7?+7) £ V (5., Р) х П^+1(Р) является седловой точкой для I® (5., 71+0 в игре Г(, если (<3,7^%) е Р(5.,Р) х (Р) и Р-н.н. выполняются неравенства

# < I?" (5.,т?Л) < («О •

Замечание. Приведенное выше определение седловой точки отличается от общепринятого в теории игр тем, что I® - функция выиг-

рыша первого игрока - является ^-измеримой случайной величиной. Поэтому приходится пере доказывать известный критерий существования седловой точки.

Теорема 22. Пусть выполнены гипотеза Н и условие (П). Для £ 6 Л/о би-

стратегия (<5°, 7ш) е Р(5.,Р) х (Р) является седловой точкой для I® (>5.,7т) в игРе Г/ тогда и только тогда, когда Р-п.н. выполняются равенства I® (¿>., 7?+^) = = (— VI - цена игры).

Приведем достаточные условия существования седловой точки в игре IV

(И)

Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 17. Тогда существует бистратегия (<3°,7ж) е 1>(3.,Р) х такова, что для V* £

Ло Р-п.н. выполнены равенства I® (5., Т^+Т) = — и (<Э°, 7(<!) является седловой точкой для I® 7^4) в игре Г(.

Из теоремы 23 следуют новые достаточные условия существования мартингальной меры.

Теорема 24. Пусть бистратегия (</, 7^) £ V (5., Р) х (Р) - сед-ловая точка для I® (5.. 7^), где \/£ € Лц. Тогда существует вероятностная мера <5° ~ 0°, являющаяся мартингальной.

В §5 мы определяем решение задачи расчета Европейского опциона и, основываясь на результатах §§ 2-4, устанавливаем связь между решением игры Го и решением задачи расчета Европейского опциона.

Нам понадобится еще ряд определений из стохастической финансовой математики.

Под рисковым активом будем понимать актив, стоимость которого описывается согласованной неотрицательной случайной последовательностью. Под безрисковым активом будем понимать актив, стоимость которого описывается предсказуемой неотрицательной случайной последовательностью. Без ограничения общности можно считать, что стоимость бсзрискового актива тождественно равна единице. Определение. (1,..., -рынком назовем набор из одного безрискового актива, стоимость которого тождественно равна единице, и (I рисковых активов, стоимости которых описываются последовательностями ,..., (. Т? ) соответственно. V 1 1 /46ЛГ0 V 1 ЛеЛГо

Определение, ^-предсказуемую последовательность 7Г = (/3,7), где

' = <«« ■ 7 - К''Л " {т?1}.,, Н-г

измеримые со значениями, соответственно, в К1 и Ш?, будем называть портфелем или стратегией 2-го игрока (эмитента). Определение. Потреблением мы назовем согласованную неубывающую последовательность С = (С(, •?г<5)(едг() такую, что Со = 0. Определение. Стратегией с потреблением, обозначаемую через (7т, С), назовем последовательность (тг,С), где тг = (^¿,7г)^лг0> С - потребление.

Определение. Капиталом стратегии с потреблением (тг, С) в мо-

мент времени £ £ N0 назовем величину, обозначаемую через , определяемую равенством Х^"'6*' = /?( + 7^ — С,.

Определение. Стретегию с потреблением (к, С) назовем С-самофинансирующей, если для любого t £ Ni выполнено равенство Р-п.н. A0t + (St i, A~ft) = 0. Множество самофинансирующих стратегий с потреблением обозначим через SFC (Р). Определение. Стратегию с потреблением (7Г, С) £ SFC(P) назовем хеджирующей, если Р-п.н. /д- (5.) <

Определение. Платежное обязательство /дг (5.) назовем воспроизводимым или реплицируемым, если существует стратегия с потреблением {к, С) £ SFC (Р) такая, что fN (S.) = Х{^С) Р-п.н. Определение. Решением задачи расчета Европейского опциона на -рынке с ^-измеримым платежным обязательством In (S.) назовем квинтуплет (c°N, (7г°,С°) ,Q"), где c°N - ^-измеримая случайная величина, называемая ценой стратегии с потреблением (тг°,С°) <Е SFC (Р) относительно некоторой меры Q° £ T>(S.,P), такой, что Р-п.н.: г) fN (S.) = с^+Е (7?, Д5г)-С^, причем

1=1

(л° С0)

- возрастающая последовательность; и) для любого t £ N1 0]t — Х^. 1 -

(т^-О+С?.! Р-п.н, причем (х(ЛС°\т>

С-самофинансирующей (7т0,С0).

Следующее утверждение устанавливает связь между игрой Г, рассмотренной в §§ 1-4, и задачей расчета Европейского опциона. Теорема 25. Пусть выполняются условия: 1) гипотеза Н, 2) /дг (5.) - любая Р^-измеримая ограниченная случайная величина, 3) {vt, teNo -единственное положительное ограниченное обобщенное сильное решение уравнения

' vt-1 = esssup Р - essinfMQ [■yie_(7'ASl)|^1] = QeV(S.,P) 7eÂ(P)

= P — essinf esssup MQ [vte'^'^^f^ 7<=D,{P) QeV{S.,P)

vt\t=N = eMs-\

4) существует бистратегия (Q°, 7^) £ V (S., P) x D, (P) такая, что для любого t £ Ni Р-п.н. выполняется равенство

- капитал

teN0

vt-

Тогда существует решение задачи расчета Европейского опциона на (1,.., 5^')-рынке, причем: г) для любого Ь £ N0

Vt

= M<?

Р-п.н.; it) Сдг = In vo

exp\fN(S.)- £ (T?,AS,)}|Jf l «=t+1 ) P-п.н.; m) - процесс потребления является неубываю-

щим, и для любого t € Ni AC°t = (7?, Д5,) - Д/n и, > 0 Р-п.н., где

Л ч ^ / п «П\ Л Л ✓

ujjiiivi, 1-1 jifjisi »ii\j\j\ji v i/ ч_ i ч ¿— t — V ¡t1 —*_it"«' i/f j —11.11. j

C^|í=o == 0; iv) капитал стратегии с потреблением (я-0, С0) £ SFC(P)

( (Vo,С°) \ fir0 с0)

I X) ' , jFf I для любого t £ No допускает представление X¿ ' ' =

V / teN0

t

СДГ + Е (тг0, Д5,) -С? Р-п.н.; и) для любого t £ Л^ существует (/3?)t6JV

г=1

определяемая соотношением xj_i ^ = (7®, 5t_i) — Р-п.н.; vi) существует вероятностная мера Q° ~ <5° такая, что Q0 € М.ц (S., Р).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

1) Необходимые и достаточные условия существования оптимальных и е-оптимальных стратегий для управляемых немарковских случайных последовательностей (теоремы 3, 4).

2) Достаточные условия существования (5, <5)-опционального разложения для любой .Т-дг-измеримой ограниченной случайной величины (теорема 6).

3) Необходимые и достаточные условия существования 5 - представления для любой ^-измеримой ограниченной случайной величины (теорема 8).

4) Критерий существования мер, нейтральных к риску (теорема

9).

5) Условия отсутствия арбитража (теорема 11).

6) Условия существования минимаксной бистратсгии (теоремы

15, 17).

7) Условия существования 5-опционального разложения для любой ■Т7^-измеримой случайной величины (теорема 16).

8) Условия существования максиминной бистратсгии (теоремы

20, 21).

9) Метод построения хеджирующих стратегий и расчета Европейского опциона на неполных рынках (теорема 25).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Д. М. Чалов. Расчет опционов Европейского типа для неполных рынков. Сб. «Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ». Тезисы докладов, М., МИ-ЭМ, 2001 г., с.43-45.

2. Д. М. Чалов. О существовании мартингальных мер. Сб. «Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященная 40-летию МИЭМ». М., МИЭМ,

2002 г., с.26-27.

3. Д. М. Чалов. Квантильное хеджирование опционов Европейского типа. Сб. «Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ». Тезисы докладов, М., МИЭМ,

2003 г.

4. Д. М. Чалов. Применение метода динамического программирования к расчету опционов « Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2001, т.8, вып. 2, с.717-719.

5. В. М. Хаметов, Д. М. Чалов. Новые критерии существования мер нейтральных к риску. «Математические модели экономики», Сборник научных трудов, М., МИЭМ, 2002 г., с.234-241.

6. V. M. Khametov, D. M. Chalov. New existence theorems for martingale measures. Abstracts of Communications Vilnius, TEV, 8th International Vilnius Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics, June 23-29, 2002.

7. В. M. Хаметов, Д. M. Чалов. Опциональное разложение локальных полумартингалов. «Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2002, т.9, вып.З.

8 В. М. Хаметов, Д. М. Чалов. S-опциональное разложение (дискретное время). Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов, М., 2003, с.660-661.

9. В. М. Хаметов, Д. М. Чалов. Европейский опцион - это антагонистическая игра. «Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2004, т.11, вып.2, с. 264-265.

10. В. М. Хаметов, Д. М. Чалов. Критерий мартингальности мер. «Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2004, т.11, вып. 4, с.953-955.

Для заметок

Заказ № 102/02/06 Подписано в печать 13.02 2006 Тираж 100 экз. Усл. п л. 0,%

ООО"Цифровичок", тел. (095) 797-75-76; (095) 778-22-20 ч ^ www.cfr.ru; е-таИ: info@cfr.ru

£006 ft Í- 40 56AO55

i

Введение

1 Глава 1. Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и случайных процессов

§ 1. Сведения из функционального анализа.

§ 2. Сведения из теории вероятностей.

§ 3. Элементы дискретного стохастического анализа.

2 Глава 2. Разложения ^-измеримых случайных величин

Введение

§1. Основные определения. Постановка стохастической оптимизационной задачи. Вспомогательные результаты.

§2. Функция Беллмана. Уравнение типа Беллмана.

§3. Разрешимость уравнения (2.9).

§4. Существование £ -оптимальных и оптимальных стратегий

§5. Описания множеств вероятностных мер, связанных с уравнением (2.9).

§6. (8,(^)-Опционалыюе разложение ^"^-измеримых случайных величин

§7. 8-представление ^^-измеримых случайных величин.

§8. Примеры.

3 Глава 3. Мартингальные меры и их применение

Введение

§1. Определения, обозначения

§2. Условия существования мартингальных мер

§3. Применения мартингальных мер к построению оптимальных стратегий и исследованию свойств некоторых разложений

§4. Условия отсутствия арбитража.

§5. Полные и неполные безарбитражные рынки (описание)

§6. Пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке

Глава 4. Расчет Европейского опциона на неполных рынках

Введение

§1. Бистратегии. Верхние и нижние гарантированные значения

§2. Представление верхнего гарантированного значения.

§3. Представления нижнего гарантированного значения. Характеризация максиминной бистратегии.

§4. Условия существования седловой точки оценки бистратегии

§5. Расчет Европейского опциона на -рынке

§6. Примеры расчета Европейского опциона

1. Актуальность темы. Проблема хеджирования финансовых обязательств на неполных безарбитражных рынках - одна из важнейших задач системного анализа, теории управления и стохастической финансовой математики. К настоящему моменту времени известно несколько методов построения хеджирующих стратегий на неполных безарбитражных рынках: суперхеджирование (хеджирование с вероятностью единица), рисковое хеджирование, квантильное хеджирование (хеджирование с положительной вероятностью), хеджирование (оптимальное) в среднеквадратическом смысле. Наиболее полно они изложены в работах А. Н. Ширяева, А. В. Мельникова, Д. О. Крамкова, М. Ю. Кабанова, N. El Karoui, М-С. Quenez, Н. Föllmer, V

М. Schweizer, А. Cerny, М. Kirch, W. Schachermayer и других авторов.

Известно, что проблема хеджирования финансовых обязательств заключается в выборе мартингальной меры, нахождении стоимости финансового обязательства (справедливой цены) и хеджирующей стратегии. Исследованию этих проблем были посвящены работы А. Н. Ширяева, А. В. Мельникова, Д. О. Крамкова, М. Ю. Кабанова, Н. Föllmer, М. Schweizer, Y. Miyahara, М. Fritelli, F. Bellini, Т. Göll, L. Ruschendorf, I. Karatzas, M. H. A Davis, N. El Karoui, R. Rouge, J. Kallsen, P. Leukert, F. Delbaen, W. Schachermayer и других авторов, в которых устанавливаются условия существования мартингальных мер, хеджирующих стратегий и справедливой цены (в различных смыслах) для полных и неполных рынков. Однако, на настоящий момент времени не известны конструктивные процедуры расчета Европейского опциона на полных и неполных рынках (за исключением моделей биномиального рынка и рынка Блэка-Шоулса).

Результаты, содержащиеся в настоящей работе, существенным образом опираются на теорию оптимального управления стохастическими последовательностями. Основные результаты этой теории содержатся в работах А. Вальда, С. Карлина, Р. Беллмана, Р. Ховарда, Д. Блекуэлла и Р. Штрауха, Н. В. Крылова, А. Н. Ширяева, Ш. Стрибел, Е. Б. Дынкина, А. А. Юшкевича, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода, Р. Я. Читашвили, Д. Бертсекаса и С. Шрива, М. Де Гроота, Э. Л. Пресмана и И. Сонина, X. Майн и С. Осаки и других авторов. Мартингальные методы в теории оптимального управления стохастическими последовательностями получили широкое распространение благодаря работам Р. Эллиота, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода, М. Девиса и П. Варайа, В. Лебедева, Р. Читашвили, в которых получены необходимые и достаточные условия существования оптимальных и ¿-оптимальных стратегий. К настоящему моменту времени оказались слабо изучеными управляемые немарковские последовательности с целевыми функционалами, зависящими от всего прошлого. Решению этих проблем посвящены главы 2-4 диссертации.

2. Цель работы. Разработка теории управляемых немарковских последовательностей с целевыми функционалами, зависящими от всего прошлого, и ее применение к расчету опционов Европейского типа и построению хеджирующих стратегий на неполных рынках.

3. Метод исследования. В диссертационной работе применяются методы функционального анализа, общей теории случайных процессов, теории оптимального стохастического управления, теории игр.

4. Научная новизна. Основными научными результатами являются: 1) условия существования оптимальных и ^-оптимальных стратегий для задачи управления случайными немарковскими последовательностями с конечным горизонтом и мультипликативным критерием; 2) достаточные условия существования (<5>, (З)-опционального разложения для .Т^-измеримых ограниченных случайных величин; 3) новые необходимые и достаточные условия существования б'-представления для .^-измеримых ограниченных случайных величин; 4) критерии существования вероятностных мер, нейтральных к риску; 5) условия отсутствия арбитража; 6) метод расчета Европейского опциона.

5. Теоретическая и практическая ценность. В работе дано обоснование применимости метода динамического программирования для управляемых немарковских последовательностей с терминальным функционалом, зависящим от всего прошлого. Построены новые критерии существования и единственнсти мартингальной меры. Установлены условия существования разложения супермартингалов, обобщающие теорему Дуба-Мейера.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что предложен метод, позволяющий явно находить мартингальные меры, хеджирующие стратегии и справедливую стоимость опционов Европейского типа как на полных, так и неполных рынках.

6. Апробация работы. Результаты работы (смотри список публикаций диссертанта) докладывались на научно - технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ в 2001, 2003 годах [5], [7], научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, посвященной 40-летию МИЭМ в 2002 г. [6], на Восьмой Всероссийской школ е-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 2001 г.) [8], на Восьмой Международной Вильнюсской Конференции по Теории Вероятностей и Математической Статистике (Вильнюс, 2002 г.) [9], на Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002 г.) [2], на Шестой Международной конференции по вероятностным методам в дискретной математике (Петрозаводск, 2004 г.) [3], на XI Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004 г.) [4], на семинарах кафедры Исследование операций МИЭМ, на семинарах кафедры Кибернетики МИЭМ, на международной конференции "Колмогоров и современная математика"(Москва, 2003 г.) [10]. 7. Современное состояние теории хеджирования финансовых обязательств на неполных рынках.

7.1. Проблема хеджирования финансовых обязательств на неполных безарбитражных рынках - одна из важнейших задач теории стохастической финансовой математики [24], [28], [24], [61], [71], [65], [48], [41], [46], [69], [34], [37], [42], [49], [62], [47], [26]. В настоящее время известно несколько методов построения хеджирующих стратегий на неполных безарбитражных рынках: суперхеджирование (хеджирование с вероятностью единица) [60], рисковое хеджирование (хеджирование с положительной вероятностью), [68], [32], [31], [40], [73], [58], квантильное хеджирование [39], хеджирование (оптимальное) в среднеквадратическом смысле [35], [67], [66], [69], [27], [30].

Суть проблемы хеджирования финансовых обязательств состоит в построении и выборе мартингальной меры, с помощью которой находятся стоимость финансового обязательства (справедливая цена) и хеджирующая стратегия. Исследованию этих проблем были посвящены работы [24], [41], [46], [69], [34], [37], [42], [49], [62], [47], [26], [53], [57], [33], [43], [44], [64], [56], [45], [54].

7.2. Данная диссертационная работа посвящена решению задачи расчета опционов Европейского типа на полных и неполных рынках для случая дискретного времени. Работа состоит из четырех глав. Первая глава содержит необходимые для изложения сведения из теории вероятностей, функционального анализа и теории случайных процессов. Вторая глава, по существу, содержит обоснование к выбору экспоненциальной функции полезности природы (рынка). Третья глава устанавливает связь между мартин-гальными мерами и оптимальными стратегиями для экспоненциальной полезности рынка. В четвертой главе, опираясь на факт, что полезность рынка экспоненциальная, строится бесконечная антагонистическая игра между рынком и эмитентом, и устанавливается связь между ее решением и задачей расчета Европейского опциона на полном и неполном рынках.

Здесь следует отметить, что: 1) идея рассмотрения задачи расчета Европейского опциона как игры высказывалась А. Н. Ширяевым в его известной монографии по стохастической финансовой математике [24], 2) в работе [58] было предложено рассматривать задачу расчета Европейского опциона как бесконечную антагонистическую стохастическую игру с выпуклой функцией выигрыша, и были установлены условия существования решения этой игры. Однако, в [58] связь между решением этой игры и задачей расчета Европейского опциона не установлена за исключением случаев биномиального (В, 5)-рынка и рынка Блэка и Шоулса.

7.3. В данном пункте мы кратко рассмотрим историю развития теории хеджирования финансовых обязательств.

Впервые решение задачи расчета Европейского опциона было найдено в работах Блэка и Шоулса [29] для случая полного рынка. Впоследствие эта задача была рассмотрена в [50] для случая дискретного времени, а в [51], [52] с помощью мартингальных методов были обобщены результаты [29].

7.3.1. В данном пункте мы приводим основные результаты, связанные с хеджированием финансовых обязательств на полных безарбитражных рынках.

7.3.1.1. Совершенное хеджирование. Во-первых, случай полного безарбитражного рынка характерен тем, что существует единственная мар-тингальная мера ф, и, как показано в [24], справедливая цена опциона Со определяется:

С0 = В0М«А (0.1)

Д}0<клг - последовательность, описывающая стоимость безрискового актива, /дг - ^/-измеримая функция, имеющая смысл платежного обязательства в терминальный момент времени, - математическое ожидание по мере <2. Метод расчета справедливой цены опциона для заданной мартингал ьной меры ф в соответствии с (0.1) назывют мартингальным методом. Во-вторых, из [24] следует, что на полном рынке для мартингала вида {Мг}0<1<м, М1 = М® -Р-п.н. имеет место единственное представление: где 7. = {тЛкклг " единственная совершенная хеджирующая стратегия.

Отсюда следует, что платежное обязательство /дг допускает представление (0.2). Отметим, что конструктивный способ построения последовательности 7. и случайной величины Хо, участвующих в -^-представлении, найден в [24] только для модели Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR). 7.3.1.2. Игры на полном рынке. В [32] решается задача расчета Европейского опциона для многомерного рынка Блэка-Шоулса, эволюция рискового актива на котором описывается стохастическими уравнениями Ито. В работе рассматривается бесконечная антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой, где в качестве функции потери агента, стратегиями которого являются самофинансирующие торговые стратегии, выступает среднее значение положительной части разности между платежным обязательством и конечным капиталом в момент предъявления опциона. В качестве второго игрока выступает рынок, стратегиями которого являются эквивалентные меры. В работе получены условия существования решения этой игры, т.е. существования седловой точки. Отличие от нашей работы заключается в том, что в [32] не предлагается конструктивного способа нахождения стратегии агента и платежного обязательства. 7.3.2. В данном пункте мы приводим основные результаты, связанные с хеджированием финансовых обязательств на неполных рынках. 7.3.2.1. Спрэд на неполном рынке. Здесь мы приведем некоторые результаты, касающиеся существования спрэда [24] в случае неполных рынков, т.е. существования верхней и нижней цен хеджирования.

Неполные рынки характерны тем, что существует, вообще говоря, бесконечный набор мартингальных мер Q. Это приводит к проблеме выбора одной из них. Отсюда следует существование верхней и нижней цен хеджирования (спрэда), которые для удобства изложения мы будем обозначать С$ир, С™^, соответственно. В [24] показано, что в случае, когда платежное обязательство /дг - неотрицательная ограниченная ^дг-измеримая функция, CqUP имеет вид:

СГ= 8ирД>М<ф,

QGM £>N где М - множество всех мартингальных мер, эквивалентных базовой. В [65] для многошаговой модели неполного рынка с дискретным временем показано, что верхняя цена хеджирования совпадает с совершенной ценой хеджирования для некоторой специально построенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. В [48] рассмотрена семимартингальная модель (В, S)-рынка, для которого получены формулы для Cqup и Сг0п^. В [28] в случае, когда "короткие продажи "запрещены (т.е. взятие взаймы невозможно) и платежное обязательство не убывает, показано, что: i) верхняя и нижняя цены хеджирования имеют вид С™^ = inf qo{Q*),C^p= sup qo{P*),

Q*eM P*eMnV* где qo (Q) = M^-^, ii) процесс стоимости дисконтированного рискового актива является супермартингалом. Попутно отметим, что во всех вышеуказанных работах не предлагается способ построения хеджирующих стратегий.

7.3.2.2. Сведение задачи расчета Европейского опциона на неполном рынке к задаче расчета на полном рынке. В [37] для модели мультиномиального рынка в дискретном времени авторы предлагают расширить портфель, изначально состоящий из одного рискового актива (основного), от которого зависит платежное обязательство, добавив определенное количество других рисковых активов, производных от первого или сильнокоррелированных с ним. Выбирать эти активы предлагается таким образом, чтобы относительно некоторой вероятностной меры ф, эквивалентной базовой, последовательности цен всех рисковых активов были локальными мартингалами. В этом случае исходный неполный мультиномиальный рынок с одним рисковым активом с М состояниями может быть сведен к полному рынку с К рисковыми сильнокоррелированными активами. При этом справедливая цена опциона Со находится с помощью мартин-гального метода (0.1). В работе установлены необходимые условия существования единственной мартингалыюй меры. В условиях полноты рынка для построения хеджирующей стратегии авторы предлагают использовать некоторую систему рекуррентных соотношений.

7.3.2.3. Минимальные мартингальные меры. В данном пункте мы приводим результаты, связанные с построением минимальной мартингальной меры в смысле Кульбака-Лейблера [2] на неполных рынках. Так, в [41], [70], [46], [62], [42], [34], [69], [47] строится минимальная мартингальная мера <2тш в смысле Кульбака-Лейблера. Недостаток этого подхода состоит в том, что растояние Кульбака-Лейблера не является расстоянием в классическом смысле. В [26] показывается, что такая мера существует и является минимальной в смысле описанного в работе критерия, причем в [46] такая мера строится с помощью преобразования Эшера.

7.3.2.4. Квантильное хеджирование. В [39] рассматриваются задача хеджирования финансового обязательства /дг для случая, когда задана фиксированная граница для вероятности неисполнения платежного обязательства Р (Хдг < }ы) < £ > 0. При этом справедливая цена находится путем решения минимаксной задачи

Со = ^ 8ир , где - множество мартингальных мер, эквивалентных базовой, 71 - множество допустимых случайных величин (р. В работе доказывается существование оптимальной стратегии но конструктивного метода ее нахождения не приводится.

7.3.2.5. Рисковое хеджирование. В [73] хеджирование методом минимизации риска рассматривается для модели мультиномиального рынка с одним рисковым активом с тремя состояниями для случая дискретного времени. В работе предлагается критерий нахождения оптимальных стратегий, который обеспечивает неотрицательность значения капитала в любой момент времени. Точнее, расматривается задача минимизации функции риска, не зависящей от вероятностной меры Р:

Я (7.) = вир

5.

N-1

Со - /ЛГ +

3=0

Здесь максимизация функционала ведется по всем возможным значениям т/. (0.3)

Со а. последовательности цены 5. рискового актива и всегда приводит к неотрицательным значениям капитала. В работе доказывается существование оптимальной стратегии 7^ и справедливой цены опциона Со- На примере мультиномиального рынка с тремя состояниями показано, что цена опциона Сиаг, полученная путем минимизации функции риска Й (7.), не превосходит цену опциона Сзир, полученную методом суперхеджирования [60].

В [39] рассматриваются задача хеджирования финансового обязательства /дг для случая, когда инвестор обладает начальным капиталом Со <

Cqup и стремится максимизировать вероятность исполнения платежного обязательства: Р (Xдг > /лг) -> шах. В работе показывается, что эта задача сводится к суперхеджированию модифицированного платежного обязательства Ф/n, где ф - решение оптимизационной задачи

Мф = шах Мш. реК, sup MQ[<pfN]<Cs0up QeM

Л4 - множество мартингальных мер, эквивалентных базовой, 7Z - множество допустимых случайных величин (р.

В работе [40] рассматривается задача хеджирования платежного обязательства для случая, когда начальный капитал инвестора ограничен: Со < CgUp. В ней доказывается, что существует единственное решение следующей оптимизационной задачи:

V- Ъ Ж , 1^UPMP I' ^ " ^ Ml ' pell, sup MQ[<pfN]<CoJp Q€M где I : R —> К - строго выпуклая функция, 7Z - множество допустимых случайных величин (р, при этом оптимальная стратегия находится из опционального разложения ([59], [38]) супермартингала Ut = esssupM® [typ/jv^].

QeM

Следует отметить, что конструктивного способа построения оптимальной стратегии в [40] не приводится.

В работе [58] рассматривается задача хеджирования платежного обязательства с положительной вероятностью, когда эволюция рискового актива описывается d-мерным положительным непрерывным справа семи-мартингалом Автор расматривает предсказуемые самофинаисирующие допустимые стратегии (£t}t>0) причем допустимость понимается в том смысле, что капитал Vt > 0 Р-п.н., Vi > 0 для каждого начального капитала а > 0, причем капитал стратегии {^}i>0 определяется следующим образом: ъ

Уь = а + при этом интеграл понимается в смысле теории стохастического интеграла [8]. Обозначим через Аа множество всех допустимых стратегий. Для строго выпуклой функции потерь I (у), где У у £ рассматриватеся задача минимизации следующего риска: р( 7.) = зирМ1 р&ы т /

I а + где Ы - семейство допустимых вероятностных мер, эквивалентных базовой мере Я, {Х5}8>0 - процесс, описывающий эволюцию рискового актива, {7з}а>0 - стратегия инвестора, I (•) - строго выпуклая функция потерь, / - ограниченное платежное обязательство, причем минимизация риска проводится по множеству всех допустимых стратегий, т.е. в работе рассматривается следующая задача:

5* = тт р (7.) = тт йирМ1

7. е А -у.еА

I и т

- а - [7,<1Х,

0.4)

В работе также рассматривается следующая задача: в* — тах inf Мр Л I -а- ч3йХ8 \ о которая является двойственной к задаче (0.4). В работе устанавливаются условия, при которых выполняется равенство /3* = Из этого факта следует существование седловой точки (£*,Р*), т.е. = /Г = М1

Указанная стратегия в работе названа робастной. К недостаткам работы следует отнести: 1) труднопроверяемые условия допустимости стратегий 2) затруднена проверка оптимальности стратегий Р* и £*, 3) отсутствие конструктивных способов построения Р* и £*.

7.3.2.6. Хеджирование в среднеквадратическом. В [30] решается задача хеджирования в среднеквадратическом, при этом функция риска представляет собой среднеквадратическое отклонение конечного капитала от платежного обязательства в терминальный момент времени ([35], [67], [66], [69], [27]): / N-1 \ \ 2 ~ (0-5) ттМр Со,7.

Вм ( Со + ][>*) - /лг 1—0 где {В^1>0 - последовательность, описывающая изменение стоимости безкрискового актива, = + в » " последовательность, описы »=0 * вающая дивиденды по рисковым активам. В отличие от [69] и [27], в [30] количество рассматриваемых рисковых активов больше одного, и процесс доходности безрискового актива не обязательно детерминирован.

Автор использует метод динамического программирования для нахождения справедливой цены опциона и оптимальной хеджирующей стратегии. Опираясь на принцип оптимальности Беллмана, автор доказывает существование решения задачи оптимального управления (0.5) при условиях конечности множества О и отсутствия арбитража. Кроме того, в работе с помощью метода динамического программирования показано, что существует минимальная вероятностной меры С}'1)аг в смысле расстояния Кульбака-Лейблера относительно базовой, причем относительно Осаг последовательность < > является мартингалом, а справедливая цена опциона может I ) г>о быть рассчитана мартингальным методом: Со = 8. Метод решения. В диссертации задача расчета Европейского опциона решается методом сведения к бесконечной антагонистической игре двух лиц с нулевой суммой. В качестве первого игрока выступает "природа" (рынок), стратегиями которой являются вероятностные меры, а в качестве второго игрока выступает владелец опциона (эмитент), стратегиями которого являются ¿-мерные предсказуемые последовательности, определяющие количество рискового актива в каждый момент времени вплоть до терминального момента N. Предполагается, что игроки действуют разумно (т.е. стремятся максимизировать свой выигрыш) и выбирают свои стратегии независимо друг от друга. В работе строится экспоненциальная функция полезности "природы"и устанавливаются необходимые и достаточные условия существования решения этой игры, которое, как доказывается в диссертации, тесно связано с существованием решения задачи расчета Европейского опциона. Результаты, полученные в настоящей работе, существенным образом опираются на теорию оптимального управления стохастическими последовательностями. В работе получено обобщение известных результатов для немарковских последовательностей: построено уравнение беллмановского типа, установлены условия его разрешимости и существования оптимальных стратегий. Кроме того, в отличие от известных работ, в настоящей работе используется оптимальное управление с мультипликативным критерием.

Отметим, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задачи расчета Европейского опциона на неполном рынке, не был использован другими авторами.

Ь.

Вы •

9. Краткое изложение работы. Первая глава носит вспомогательный характер, в ней содержатся сведения из функционального анализа, теории вероятностей и общей теории случайных процессов. В ней также вводятся необходимые для дальнейшего изложения определения и обозначения, в частности, здесь определяется такой важный объект как кумулянта.

Вторая глава посвящена построению разложений для - измеримых случайных величин. В ней, основываясь на методе динамического программирования, строятся два типа разложений для - измеримых случайных величин: (5, (^)-разложение и ¿'-представление. С точки зрения конечных результатов диссертационной работы эта глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе формулируется одна задача стохастической оптимизации, на решение которой опираются доказательства существования (¿, (З)-разложения и ¿-представления. Во втором параграфе дается обоснование возможности применения стохастического варианта динамического программирования для решения задачи, сформулированной в первом параграфе, и выводится соответствующее уравнение типа Беллма-на. В третьем параграфе устанавливаются достаточные условия разрешимости уравнения типа Беллмана. В четвертом параграфе определяются оптимальная и ^-оптимальная стратегии и устанавливаются условия их существования, а также проверяется их допустимость. В пятом параграфе содержится описание множества вероятностных мер, относительно которых уравнение типа Беллмана разрешимо и существуют оптимальные стратегии. В шестом параграфе определяется (¿, ф)-опционалыюе разложение и устанавливаются условия его существования. В седьмом параграфе устанавливаются: а) новые условия существования ¿-представления, б) критерий единственности мартингалыюй меры, заданной на траекториях (I-мерной случайной последовательности В восьмом параграфе рассматриваются два примера решения уравнения типа Беллмана и построения оптимальной стратегии.

Третья глава содержит новые условия существования мер, нейтральных к риску. В этой главе также получены новые условия отсутствия арбитража и новые критерии полноты рынка в терминах функции Беллмана, уравнения типа Беллмана. В первом параграфе вводятся необходимые для изложения определения и обозначения. Во втором параграфе устанав-ливются новые необходимые и достаточные условия существования мар-тингальных мер, основанные на результатах, полученных во второй главе. Кроме того, в этом параграфе построены новые критерии мартингальности вероятностных мер, основанные на свойствах кумулянты. В третьем параграфе устанавливается новый критерий оптимальности стратегий. В четвертом параграфе получены новые условия отсутствия арбитража в терминах функции Беллмана, уравнения типа Беллмана. В пятом параграфе, основываясь на результатах, полученных в седьмом параграфе второй главы, приводится новый критерий полноты рынка. В шестом параграфе рассматривается пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке. В примере также исследуется зависимость между начальным капиталом Хо (р, х) и вероятностной мерой, соответствующей случайной последовательности

Четвертая глава работы посвящена решению задачи расчета Европейского опциона на неполных рынках. В этой главе обосновывается возможность сведения задачи расчета Европейского опциона к бесконечной антагонистической игре двух лиц с нулевой суммой. Сначала рассматривается бесконечная антагонистическая игра. При этом в качестве первого игрока выступает природа, стратегиями которой являются вероятностные меры ф, эквивалентные базовой. Вторым игроком является владелец опциона (эмитент), в распоряжении которого имеется стратегия 7. В качестве функции выигрыша первого игрока выступает оценка стратегии 7. относительно меры С}: I® (5., 7.), явный вид которой приведен в шестом параграфе второй главы. Мы предполагаем, что игроки разумны, т.е. стремятся максимизировать свой выигрыш, и действуют независимо друг от друга. В первом параграфе описывается множество допустимых стратегий природы и второго игрока, а также вводятся необходимые для изложения результатов понятия. Во втором параграфе выводится рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет верхнее гарантированное значение {уьр^ , и устанавливаются условия его разрешимости. Кроме того, здесь устанавливаются: а) условия существования минимаксной стратегии 7*, б) ^'-опциональное разложение для любой ^Г^-измеримой ограниченной случайной величины, в) условия существования наихудшего распределения Сг) условия существования минимаксной бистратегии (ф*, 7*). В третьем параграфе для нижнего гарантированного значения выводится рекуррентное соотношение и устанавливаются условия его разрешимости. Кроме того, здесь устанавливаются: а) условия существования максиминной бистратегии б) существование -опционального разложения, описанного в шестом параграфе второй главы. В четвертом параграфе устанавливаются условия, которые обеспечивают: а) совпадение верхнего гарантированного значения и нижнего гарантированного значения, б) существование бистратегии 72), являющейся седловой точкой для оценки стратегии if (£., 7.) для любого t € Nq. В пятом параграфе устанавливается методика расчета Европейского опциона на произвольном (Б, ., S^) -рынке. В шестом параграфе рассматриваются два примера расчета Европейского опциона.

Важно отметить, что результаты, полученные в работах других авторов, рассмотренных нами в пункте 7, вытекают из результатов, полученных нами в данной диссертационной работе.

Сделаем несколько важных замечаний относительно обозначений ссылок и нумерации формул. Под обозначением вида 1.4.2.2 мы будем понимать ссылку на пункт 1.4.2.2. Под обозначением вида 1.4.2.2г) мы будем понимать ссылку на условие г), содержащееся в пункте 1.4.2.2. Нумерация формул в работе дается в следующем формате: (Nchapter, Nformuia), где Nchapter - помер главы, Nformuia - номер формулы в указанной главе.

Заключение

В данной главе нами были получены следующие результаты: 1) описана игра природы и эмитента опциона, которая соответствует задаче расчета Европейского опциона, 2) установлены достаточные условия разрешимости рекуррентного уравнения беллмановского типа для верхнего гарантирующего значения, 3) установлены условия существования минимаксной стратегии 7* и найдено наихудшее распределение 4) дано конструктивное описание ¿^-опционального разложения для любой ^-измеримой ограниченной случайной величины, которое опирается на решение уравнения беллмановского типа для верхнего гарантирующего значения и минимаксную стратегию, 5) установлены достаточные условия разрешимости рекуррентного уравнения беллмановского типа для нижнего гарантирующего значения, 6) установлены условия существования максиминной стратегии 7. и найдена максимальная мера фо, 7) получено условие существования седловой точки в игре природы с эмитентом, т.е. получены условия равенства верхнего гарантирующего значения и нижнего гарантирующего значения, 8) разработана новая методика расчета Европейского опциона на полном и неполном -рынках, которая основывается на решении бесконечной антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой.

1. Бертсекас Д., Шрив С. Оптимальное стохастическое управление. М.: Наука, 1985, 280с.

2. Боровков A.A. Математическая статистика. Учебник. М.:Наука, 1984, 472с.

3. Вояринцева Н.С., Хаметов В.М. Новая теорема о представлении мартингалов (дискретное время). Математические заметки, 2004, т. 75, вып. 1, стр. 40-54.

4. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука,1984, 495с.

5. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука,1985, 281с.

6. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962, 895с.

7. Дынкин Е.Б., Юшкевич A.A. Управляемые марковские процессы и их приложения. М.: Наука, 1975, 338с.

8. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. т.1, М.: Физматлит, 1994, 544с.

9. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974, 479с.

10. Каштанов В.А., Хаметов В.М. Исследование операций. М.: МИЭМ,1990, 125с.

11. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их применения. М.: Мир, 1983. 256с.

12. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985, 376с.

13. Левин B.JI. Выпуклый анализ. М.: Наука, 1985, 352с.

14. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, 371с.

15. Мазья В.Г. Пространства Соболева. Л.: ЛГУ, 1985, 416с.

16. Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев М.М. Математика финансовых обязательств. М.: ГУВШЭ, 2001, 260с.

17. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977, 504с.

18. Пиуновский A.B., Хаметов В.М. Новые точно решаемые примеры для управляемых цепей Маркова с дискретным временем. Кибернетика,1991, N3, с.82-90.

19. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973, 469с.

20. Селиванов A.B. О мартингальных мерах в экспоненциальных моделях Леви. Теория вероятностей и ее применения. 2004. т.49, вып. 2, стр. 317-334.

21. Халмош П. Теория меры. М.:ИЛ, 1953, 427 с.

22. Хаметов В.М., Пиуиовский А.Б. Оптимальное управление скачкообразными случайными процессами. М.: Наука, 1985, 280с.

23. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980, 576с.

24. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики (теория). М.: Фазис, 1998, 1017с.

25. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. М.: Мир, 1986, 351с.

26. Bellini, F., Fritelli, М. On the existence of minimax martingale measures. Mathematical Finance, Vol. 12, No. 1, 1-21, 2002.

27. Bertsimas, D., Kogan, L., Lo, A. W. Hedging derivative securities and incomplete market: An ^-arbitrage approach. Operations Research, 49(3), 372-397, 2001.

28. Bizid, A., Jouni, E. Incomplete markets and short-sales constraints: an equilibrium approach. Int. J. of Theoretical and Applied Finance 4(2), 211243, 2001.

29. Black, F., Scholes, M. The pricing of options and corporate liabilities, J. Political Economy 81, 637-659, 1973.

30. Cerny, A. Dynamic programming and mean-variance hedging in discrete time. Applied Mathematical Finance. Vol. 11(1), 1-25, 2004.

31. Cvitanic, J. Minimizing expected loss of hedging in incomplete and constraint markets. SIAM J. Control Optim., 38(4), 1050-1066, 2000.

32. Cvitanic, J., Karatzas, I. On dynamic measures of risk. Finance and Stochastics, 4, 451-482, 1999.

33. Davis, M.H.A. Option pricing in incomplete markets. Mathematics of Derivative Securities, Cambridge University Press, editted by M.A.H. Dempster and S.R. Pliska, 216-226, 1997.

34. Delbaen, F., Schachermayer, W. The variance optimal martingale measure for continuous processes, Bernoulli 9, 81-105, 1996.

35. Duffie, D., Richardson, H. Mean-variance hadging in continous time. The Annals of Applied Probability, 1, 1-15, 1991.

36. Eberlein, E., Jacod, J. On the range of options prices. Finance and Stochastics, 1, 131-140, 1997.

37. Florio, S., Runggaldier, W.J. On hedging in finite security markets. Applied Mathematical Finance. Vol. 6(3), 159-176, 1999.

38. Follmer, H., Kabanov, Yu.M. Optional decomposition and lagrange multipliers. Finance and Stochastics, 2, 69-81, 1998.

39. Follmer, H., Leukert, P. Quantile hedging. Finance and Stochastics, 3, 251273, 1999.

40. Follmer, H., Leukert, P. Efficient hedging: Balancing cost versus shortfall risk. Finance and Stochastics, 4, 117-146, 2000.

41. Follmer, H., Schweizer, M. Hedging of contingent claims under incomplete information. Applied Stochastic Analysis (M.H.A. Davis and R.J. Elliott, eds.), Gordon and Breach, New York, 389-414, 1991.

42. Frittelli M. The Minimal Entropy Martingale Measure and the Valuation Problem in Incomplete Markets. Mathematical Finance, Vol. 10, No. 1, 39-52, 2000.

43. Frittelli M. Introduction to a theory of value coherent with the no-arbitrage principle. Finance and Stochastics, Vol. 4, No. 3, 275-297, 2000.

44. Foldes, L. Valuation and martingale properties of shadow prices: An exposition. Journal of Economic Dynamics and Control, 24, 1641-1701, 2000.

45. Gamba, A., Pellizzari, P. Utility based pricing of contingent claims in incomplete markets. Applied Mathematical Finanance. Vol. 9(4), 241-260, 2002.

46. Gerber, H.U., Shiu, E.S.W. Option pricing by Esscher transforms (with discussion). Trans. Soc. Actuaries, 46, 99-191, 1994.

47. Goll, T., Ruschendorf, L. Minimax and minimal distance martingale measures and their relationship to portfolio optimization. Finance and Stochastics, Vol. 5, No. 4, 557-581, 2001.

48. Guschin, A.A., Mordecki, A. Bounds on option prices for semimartingale market models. Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. Vol. 237, pp. 80-122, 2002.

49. Gzyl, H. Maxentropic construction of risk neutral measures: discrete market models. Applied Mathematical Finance, 7(4), 229-239, 2000.

50. Harrison, J.M., Kreps, D. Martingales and arbitrage in multiperiod security markets. J. Economic Theory, 2, 381-408, 1979.

51. Harrison, J.M., Pliska, S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Process. Appl., 11, 215-260, 1981.

52. Harrison, J.M., Pliska, S.R. A stochastic calculus model of continuous trading: Complete markets. Stochastic Process. Appl., 15, 313-316, 1983.

53. Hodges, S.D., Neuberger, A. Optimal replication of contingent claims under transaction costs. The Review of Futures Markets, 8, 222-239, 1989.

54. Hugonnier, J., Kramkov, D., Schachermayer, W. On the utility based pricing of contingent claims in incomplete markets. Working paper, 2003.

55. Jacod, J. Calculus stochastique et problems de martingales. Lecture Notes in Mathematics, v. 714, 1979.

56. Kallsen, J. Derivative pricing based on local utlity mazimization. Finance and Stochastics, Vol. 6, 115-140, 2002.

57. Karatzas, I., Kou, S.G. On the pricing of contingent claims under constraints. The Annals of Applied Probability, Vol. 6, No. 2, 321-369, 1996.

58. Kirch, M. Efficient hedging in incomplete markets under model uncertainty. Preprint. 2002.

59. Kramkov, D.O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. Probab. Theory Relat. Fields, 105, 459-479, 1996.

60. Kreps, D. Arbitrage and equilibrium in economies with in nitely many commodities, J. of Math. Economics, 8, 15-35, 1981.

61. Mel'nikov, A.V. Financial markets. Stochastic analysis and the pricing of derivative securities. Translations of Mathematical Monographs. 184. Providence, RI: AMS, 1999.

62. Miyahara, Y. Geometric Levy Process & MEMM Pricing Model and Related Estimation Problems. Asia-Pacific Financial Markets, Vol. 8, No. 1, 45-60, 2001.

63. Owen, M.P. On utility-based super replication prices. Preprint, 2003.

64. Rouge, R., El Karoui, N. Pricing via utility maximisation and entropy. Mathematical Finance, 10, 259-276, 2000.

65. Ruschendorf, L. On upper and lower prices in discrete time models. Proc. Steklov Math. Inst., 237, 134-139, 2002.

66. Schal, M. On quadratic cost criteria for option hedging. Mathematics of Operations Research. 19 (1), 121-131, 1994.

67. Schweizer, M. Mean-variance hedging for general claims. The Annals of Applied Probability, 2(1), 171-179, 1992.

68. Schweizer, M. Approximating random variables by stochastic integrals and applications in Financial mathematics. The Annals of Probability, 22(3), 1536-1575, 1994.

69. Schweizer, M. Variance-optimal hedging in discrete-time, Math. Operation Res. 20, 1-32, 1995.

70. Schweizer, M. On the Minimal Martingale Measure and the Follmer

71. Schweizer Decomposition, Stochastic Analysis and Applications 13, 573599, 1995.

72. Shataev, O.V. On a fair price of an option of European type. Russ. Math. Surv. 53, No. 6, 1367-1369, 1998.

73. Striebel, C. Optimal control of discrete time stochastic systems. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 110, Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg-New-York, 1975.

74. Wolczynska, G. Option pricing in incomplete discrete markets. Applied Mathematical Finance. Vol. 5(3-4), 165-179, 1998.

75. Список публикаций диссертанта по теме диссертации

76. Хаметов В. М., Чалов Д. М. Новые критерии существования мер нейтральных к риску. «Математические модели экономики», Сборник научных трудов, М., МИЭМ, 2002 г., с.234-241.

77. Хаметов В. М., Чалов Д. М. Опциональное разложение локальных полумартингалов. «Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2002, т.9, вып.З.

78. Хаметов В. М., Чалов Д. М. Европейский опцион это антагонистическая игра. «Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2004, т.11, вып.2, с. 264-265.

79. Хаметов В. М., Чалов Д. М. Критерий мартингальности мер. «Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2004, т.11, вып. 4, с.953-955.

80. Чалов Д. М. Расчет опционов Европейского типа для неполных рынков. Сб. « Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ». Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2001 г., с.43-45.

81. Чалов Д. М. О существовании мартингальных мер. Сб. «Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященная 40-летию МИЭМ». М., МИЭМ, 2002 г., с.26-27.

82. Чалов Д. М. Квантильное хеджирование опционов Европейского типа. Сб. «Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ». Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2003 г.

83. Чалов Д. М. Применение метода динамического программирования к расчету опционов. « Обозрение прикладной и промышленной математики», М., 2001, т.8, вып. 2, с.717-719.

84. Khametov, V. М., Chalov, D. М. New existence theorems for martingale measures. Abstracts of Communications Vilnius, TEV, 8th International Vilnius Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics, June 23-29, 2002.

85. В. M. Хаметов, Д. M. Чалов. S-опциональное разложение (дискретное время). Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов, М., 2003, с.660-661.