автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование (B,S,F)-рынков

КОЛЯСНИКОВА Елена Рифовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (В,8,Р)-РЫНКОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2010

1 6 пЕк 2010

004617472

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и кибернетики

ГОУ впо

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель д-р физ.-мат. наук, проф.

БРОНШТЕЙН Ефим Михайлович

Официальные оппоненты д-р физ.-мат. наук, проф.

МЕЛЬНИКОВ Александр Викторович, факультет математических и статистических наук Университета Альберты (Канада)

д-р физ.-мат. наук, проф. МУХАМЕТЗЯНОВ Ирик Зирягович,

каф. математики ГОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Ведущая организация ГОУ ВПО «Российский университет

дружбы народов»

Защита диссертации состоится 28 декабря 2010 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д-212.288.06 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12, корп.1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан 2. У ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д-р физ.-мат. наук, проф.

БУЛГАКОВА Г. Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы

Математическое описание поведения цен рисковых и безрисковых активов привлекло внимание многих исследователей, начиная с 1900 г. (Bachelier L., Samuelson Р.А., Сох J.C., Ross S.A., Rubinstein M., Merton R.C., Madan D.B., Hull J., White A., Vasicek О. и др.).

Во второй половине 20 века возникла теория (В,8)-рынков, в которой рассматриваются портфели, состоящие из рискового (акции, валюта) и безрискового (БА) (банковский счет) активов (Harrison J.M., Kreps D.M., Pliska S.R., Dalang R-, Morton A., Willinger W., Ширяев A.H., Мельников A.B. и др.).

Теория (В,5)-рынков получила широкое развитие в работах многих исследователей, в частности, Follmer H., Leukert P., Sondermann D., Schweizer M., Schal M., Duffie D., Richardson H.R., Ширяева A.H., Мельникова A.B., Кабанова Ю.М., Крамкова Д.О., Нагаева А.В., Павлова И.В., Белявского Г.И., Демина Н.С. и других. Модели (В,8)-рынков широко применяются на практике как инструментарий для определения «справедливой» цены опциона.

Общепринятым является анализ моделей (В,8)-рынков с привлечением вероятностного аппарата, при котором используется не физическая, а риск-нейтральная (мартингальная) вероятность, т.е. в основе анализа лежит теория мартингалов. Некоторые авторы элементы теории (В,8)-рынков строили на основе алгебраических и геометрических соображений, не используя методы стохастического анализа.

Ширяев А.Н. считает целесообразным рассмотрение более общих моделей рынков, в частности, с учетом дивидендов, потребления и инвестирования, операционных издержек.

В диссертационной работе исследуется модель рынка, состоящего из акции, безрискового актива и потока платежей ((B,S,F)-pbiHOK), где предусмотрены платежи за займы акции и безрискового актива. Инструменты (B,S,F)-pbiHKa характеризуются следующим образом:

- БА - ликвидный актив, цена которого в любой момент известна заранее (безрисковый);

- акция - ликвидный инструмент, цена которого в любой момент заранее неизвестна (рисковый);

- поток платежей - неликвидный инструмент, платежи (поступления) по которому определены заранее (безрисковый).

В отличие от операционных издержек за покупку-продажу акций, рассмотренных в работах Ширяева А.Н, Мельникова А.В., Кабанова Ю.М. и др., в диссертационной работе рассматривается плата за займы активов (операции типа «короткие продажи - Short Sales»). Подобные операции часто встречаются на практике.

Таким образом, в работе исследуется модель рынка, учитывающая ряд явлепий, характерных для рынка ценных бумаг и деятельности инвестора. Тем самым, тематика работы является актуальной.

Цель работы. Целью работы является построение и исследование математических моделей финансовых рынков, состоящих из трех финансовых инструментов - безрискового актива, акции, потока платежей ((B,S,F)-pbiHOK).

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Построение математической модели (B,S,F)-pbiHKa при структуре цены акции в виде бинарного дерева с оплатой коротких продаж, определение и исследование полноты и безарбитражности для этого класса рынков.

2. Разработка методов и алгоритмов решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, и построение на этой основе эффективных алгоритмов вычисления минимальной стоимости исходного портфеля, при которой платежная функция не меньше заданной (верхняя цена хеджирования).

3. Вычисление верхней цены хеджирования и соответствующего ей хеджа, обеспечивающего платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятностью и минимизирующего стоимость начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции (квантильное хеджирование).

4. Разработка комплекса программ, реализующего разработанные алгоритмы, экспериментальная проверка эффективности работы предложенных алгоритмов.

Объектом исследования является (B,S,F)-pbinoK с оплатой коротких продаж. Предметом исследования выступают свойства (B,S,F)-pbiroca и построение хеджирующих стратегий в рассматриваемой модели.

Методы исследования. Исследование полноты и безарбитражности проводилось на основе методов алгебры и геометрии, построение хеджирующей стратегии опирается на методы линейной оптимизации. Расчеты проводились на основе разработанного автором программного комплекса Нес^ВБР в среде МаЛаЬ.

Информационная база исследования включает сгенерированные случайным образом по равномерному закону безарбитражные (В,8,Р)-рынки.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель бинарного (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж, условия полноты и безарбитражности подобных рынков (п. 2 Паспорта специальности 05.13.18).

2. Эффективные методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции, заданной на бинарном дереве, и построения хеджирующей стратегии (В,8,Р)-рынка с минимальной стоимостью начального портфеля (п. 4 Паспорта специальности 05.13.18).

3. Комплекс программ для проведения численного эксперимента по оценке эффективности работы предложенных алгоритмов (п. 5 Паспорта специальности 05.13.18).

- Научная новизна

1. Рассмотрена новая математическая модель бинарного (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж, в которой динамика цены акции, в отличие от модели Кокса-Росса-Рубинштейна, описана произвольным бинарным деревом без заданного вероятностного распределения. Для предложенной модели получены условия полноты и безарбитражности на основе методов алгебры и геометрии без привлечения вероятностного аппарата, в частности мартингальной техники.

2. Разработаны новые методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, основанные на построении бинарного дерева задач линейного программирования. На основе предложенных методов и алгоритмов построены верхние хеджирующие стратегии (В,8,Р)-рынка с учетом платежей за короткие продажи.

3. Разработан комплекс программ, реализующий новые алгоритмы, которые позволяют существенно сократить объем вычислений для определения хеджирующих стратегий по сравнению с переборным алгоритмом.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в построении и анализе бинарной модели (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж и формировании эффективных алгоритмов построения хеджирующих стратегий. Метод решения может применяться для решения родственных задач минимизации кусочно-линейных функций специального вида, заданных на бинарном дереве. Практическая значимость заключается в определении величины минимального начального капитала, необходимого для построения хеджирующей стратегии (определение цены платежного обязательства).

Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена строгостью математических доказательств и широкомасштабным вычислительным экспериментом.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. В частности были сделаны доклады:

1. на третьей всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 20-23 февраля 2008 г.).

2. на 31-й Международной научной школе-семинаре "Системное моделирование социально-экономических процессов" (г. Воронеж, 1-5 октября 2008 г.).

3. на Всероссийской молодежной научной конференции Мавлютовские чтения (г. Уфа, 28-29 октября 2008 г.).

4. на четвертой всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 19-21 февраля 2009 г.).

5. на VIII Международной ФАМ'2009 конференции (г. Красноярск, 24-26 апреля 2009 г.).

6. на V Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий" (г. Сочи, 10-15 мая 2009 г.).

7. на 16 Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и 10 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.).

8. на 21 Международной конференции по системным исследованиям, информатике и кибернетике, ИнтерСимп-2009 (г. Баден-Баден, 3-7 авг. 2009 г.).

9. на 32-й Международной научной школе-семинаре "Системное моделирование социально-экономических процессов" (г. Вологда, 5-10 октября 2009 г.).

10. на пятой всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 17-20 февраля 2010 г.).

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертации включает 14 научных трудов, в том числе 4 статьи в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, свидетельство об официальной регистрации программного продукта, 4 публикации в трудах международных конференций. Семь публикаций выполнено без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, основных результатов работы, библиографического списка литературы, включающего 163 источника, 1 приложения, содержит 15 таблиц, 32 рисунка. Общий объем работы составляет 189 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение. Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы ее цели и задачи. Кроме этого, дан краткий обзор по тематике вопроса, сформулированы основные результаты, полученные в работе, излагается описание диссертации по главам.

Глава 1. Теория (В,8)-рыиков. В данной главе сделан обзор проблем, рассматриваемых в теории (В,8)-рынков. В §1.1 введены основные понятия теории (В,8)-рынков: капитал, портфель, самофинансирование, полнота, безарбитражность, хеджирование, приведены возможные ограничения моделей (В,8)-рынков, сформулированы теоремы Харрисона и Крепса, Харрисона и Плиски, Далланга, Мортона и Виллинджера, устанавливающие полноту и безарбитражность дискретных (В,8)-рынков на основе мартингальных критериев. В §1.2 описаны ценовые модели акции и опционов. Ценообразование

опционов является основой методологии хеджирования на (В,8)-рынке. В §1.3 сформулирована задача хеджирования платежных обязательств европейского типа, согласно которой цель инвестора - получить в заранее определенный момент времени N капитал не меньше ветчины платежного обязательства. Связь данного типа задач с расчетами цены опциона европейского типа была обнаружена Ф. Блэком и М. Шоулзом. В §1.3.1 описаны безарбитражные и полные модели: непрерывная модель Блэка-Шоулза-Мертона и дискретная модель Кокса-Росса-Рубинштейна, а также представлены результаты совершенного хеджирования (хеджирования на полных рынках). В §1.3.2 приводятся методы хеджирования на неполных рынках.

Глава 2. (В,8,Р)-рынок и его свойства. В §2.1 строится математическая модель бинарного (ВДР)-рынка, состоящего из акции, БА, потока платежей ((В,8,Р)-рынок) с оплатой за займы активов. Все ценовые значения являются дисконтированными (нормированными). В качестве дисконтирующего актива выбран БА. Таким образом, цена БА в любой момент равна 1. В зависимости от предыстории цена акции принимает одно из двух возможных значений (структура бинарного дерева). Непосредственными наследниками 1-й вершины являются вершины с номерами 2/+1 и 2г+2. Дяя каждого момента, кроме нулевого, задан элемент потока платежей (он может принимать значение произвольного знака). Момент времени, соответствующий вершине бинарного дерева ¡, равен ?(/) = ¡п1(1о§2 (/ + [)), цена акции равна С,-, количество акций и БА равно у,- и X,- соответственно, элемент потока платежей в этот момент равен Ред. Пусть на множестве терминальных вершин дерева задана платежная функция Ь] > 0 (/ = 2" -1,...,2"+| - 2) - априорно известная сумма в случае попадания цены акции в соответствующую вершину дерева, которую инвестор должен обеспечить. Полагаем, что за займы активов предусмотрена плата. При займе х единиц БА следует через единицу времени вернуть Яг единиц БА, при займе у акций следует вернуть ру акций (/И„и>1).

Введем полезные для дальнейшего вспомогательные переменные :

при ( = 0,...,2" -2.

Считаем, что инвестор действует в условиях самофинансирования.

и, = у, при у, > 0, и, = яу, при у, < О, V, = х, при х1 > 0, у(. = Ях, при х, < О

(1) (2)

Множество портфелей, определенных в каждой вершине дерева цен акции, называется самофинансируемым, если инвестор может покупать, продавать, занимать акции и БА, при этом обеспечивать выплаты (поступления) по потоку платежей таким образом, что стоимость портфеля в каждый момент времени не меняется, т.е. выполняются соотношения

(3)

+2 (4)

при 1 = 0,1,2,-..,2""' -2.

В терминальных вершинах дерева должны выполняться равенства: ",+Сгми1+Рк ,Ы=Р2М, (5)

(6)

при г =2""' -1,...,2" -2.

Хедж (хеджирующая стратегия) заданной платежной функции - это совокупность портфелей, определенных во всех вершинах дерева цен акции, обеспечивающая заданную платежную функцию в условиях самофинансирования.

Общее число уравнений в системе нелинейных уравнений (1)-(6) равно 2"+2 - 4 и совпадает с общим числом неизвестных {хпупипУп где 1=0,1,...,2" -2). Построеннуюмодельназовем (В,8,Р)-рыиком.

В §2.2 исследуется полнота описанной модели (В,8,Р)-рынка. (ВДР)-рынок называется полным, если существует хедж, обеспечивающий любую заданную платежную функцию. Иначе говоря, полнота (В,Б,Р)-рьшка означает существование стратегии хеджирования для любой платежной функции. При заданной платежной функции существование хеджирующей стратегии означает существование решения системы уравнений (1)-(6). Справедлива

ТЕОРЕМА 1. Рынок является полным тогда и только тогда, когда СгмфСгм при всех /, где 1 = 0,1,...,2"-2, при этом хеджирующая стратегия определяется однозначно.

В §2.3 исследуются условия безарбитражности описанной модели (ВДР)-рынка. (В,8,Б)-рынок называется безарбитражным, если при любом потоке платежей невозможно получение гарантированной прибыли. Аналитически это означает, что стоимость портфеля в начальный момент времени с учетом потока

платежей положительная 50 = х0 + С0у0+^Р, > 0 при наличии положительных

/=1

компонент в неотрицательной платежной функции, т.е. при > 0. Тем

самым, полнота и безарбитражность являются характеристиками дерева цен акции.

Рынок называется локально безарбитражным в ¡-й вершине, если таков финансовый рынок на единичном временном промежутке с корневой /-Й вершиной. Условием локальной безарбитражности в ;'-й вершине является неравенство Ц =х> +С1у1 + Рт+1 >0 при Р2*\>0, ^2,+2>0, Рц+\+Ргм>0, /=0,1,...,2"-2.

В §2.3.1 получены условия локальной безарбитражности (ВДР)-рынка при произвольном потоке платежей.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы (В,8,Е)-рынок был локально безарбитражным е 1-й вершине при любом значении Р,(()+1 необходимо и достаточно выполнение условия С2)Ч2 < С, < С2(>1 ■ /л.

Замечание. Если при каком-нибудь < 0 рынок является локально

безарбитражным, то он будет локально безарбитражным при любом другом р

В §2.3.2 получены необходимые условия безарбитражности двухшаговой модели (В,8,Р)-рынка с пулевым потоком платежей.

ТЕОРЕМА 3. Для двухшаговой модели (В,Б,Р)-рынка при Р1=Р2=0 из безарбитражности следуют условия:

1. С^А > , СдЛ > С2 или С,Л<С4, С0 < С2р.

2. С3//>С,, С0Л>С2 или С3р < С,, С0< Сгр.

3. СД>С6, С,м>С0 или С2Л<С6, С,<С0Я.

4. с^>сг, СхМ>Са или С5ц<Сг, С(<С0Д.

В §2.3.3 получены необходимые и достаточные условия безарбитражности

полного (ВДР)-рынка без платы за короткие продажи.

ТЕОРЕМА 4. Полный (В,8,Р)-рынок без платы за короткие продажи является безарбитражным тогда и только тогда, когда С2(+1 > С, > С2(+2.

Аналогичные условия для (В,8)-рынка, получены Бронштейном Е.М.

Глава 3. Оптимальное хеджирование. В главе 3 рассматривается задача хеджирования платежных обязательств на (В,8,Р)-рынке. Примеры показывают, что в случае безарбитражного рынка При А>1, /¿>1 стоимость начального портфеля зависит от платежной функции немонотонно. В случае арбитражного рынка немонотонность возможна и при А=1, ц=\. Далее рассматриваются только безарбитражные рынки.

Отмеченная немонотонность зависимости стоимости начального портфеля от платежной функции порождает следующую задачу: найти стратегию, для которой значения платежной функции (В,5,Р)-рынка не меньше заданных во всех терминальных вершинах, с минимальной стоимостью начального портфеля, т.е. в формулировке Ширяева А.Н. требуется найти верхнюю цену хеджирования и соответствующий ей верхний хедж с минимальными начальными расходами.

В этой задаче условия самофинансирования (3)-(4) сохраняются, равенства (5)-(6) заменяются на неравенства:

^+С2Ми, + Р1^]>К:гм (7)

^+С2,ч2м,. + Р,(0+1 >Р1М (8)

при / = 2"4 -1,...,2" - 2. Целевая функция оптимизационной задачи имеет вид: S0=xв+C0ya+tPl-*mш (9)

ы

Нелинейная задача (1)-(4),(7)-(9) фактически является совокупностью задач линейного программирования (ЛП). Действительно, добавим к этой задаче в каждой вершине дерева цен акции (/=0,..., 2"-2) один из четырех наборов дополнительных ограничений:

1. и, < 0, и, = /¿у,, у,<0,у,=Лх„ (10)

2. ^<0,^=/^,, у,>0,У(=Х,., (11)

3. и, >0,и1~уп V, <0, V, = Ах,, (12)

4. и(>0,Ы,.=у„ у, >0,у,. = хг (13)

В результате получим 42""1 задач ЛП. Если какие-нибудь из этих задач имеют решения, то выбрав ту из них, для которой значение целевой функции наименьшее, получим решение задачи (1)-(4),(7)-(9). При таком переборном подходе при п=2 необходимо рассмотреть 64 задачи, при п=3 - 16384 задач и т.д.

Оказывается, наличие решения задачи (1)-(4),(7)-(9) связано с безарбитражностью (В,8,Р)-рынка.

ТЕОРЕМА 5. Минимальная стоимость начального портфеля является конечной при любой платежной функции и нулевом потоке платежей тогда и только тогда, когда рынок безарбитражен.

ТЕОРЕМА 6. Значение целевой функции задачи (1)-(4),(7)-(9) не

превосходит тах{^.} + где а* = (а + |д|)/2, / = 2" -1,..,2"+1 -2.

В §3.1 предлагается точный алгоритм решения задачи (1)-(4),(7)-(9).

Заметим, что из соотношения между величинами х, и V,-, у-, и щ следует справедливость равенств:

м,. =тш{у„щ}, V, = тт{л(,Я*(}, где /и > 1, Л > 1.

Используя эти соотношения, рассмотрим следующее семейство ограничений, которые должны выполняться для задачи (1)-(4),(7)-(9): и1<упи1<ру1, V, < х,., V, < (/ = 0,1,...,2" - 2). (14)

Алгоритм 1.

1. Решается задача ЛП (3)-(4),(7)-(9),(14). Она дает оценку минимальной стоимости портфеля снизу. Если в полученном решении для всех I выполняются условия (1)-(2), то получено решение исходной задачи (1)-(4),(7)-(9)-

2. Если в какой-нибудь вершине дерева цен акции нарушается какое-нибудь из условий (1)-(2), тогда задача разветвляется на две подзадачи ЛП. Для определенности в /'-й вершине нарушено условие (1), тогда к исходным ограничениям задачи добавляются ограничения > 0, и1 = у1 (для первой подзадачи) и и1 < 0, и, = /¿у, (для второй подзадачи) (соответствующее условие из совокупности ограничений (14) для каждой из задач можно исключить). Если для г-й вершины нарушается (2), то задача разветвляется на две анапогачпым образом: V, > 0, V, = х1 (для первой подзадачи) и V. < 0, у, = Йх, (для второй подзадачи). Если нарушения происходят одновременно по V,- и щ, то устраняем нарушения по какой-либо из переменных V/ или и-,. В результате получается бинарное дерево задач ЛП.

3. Процесс продолжается пока (1)-(2) не будут выполнены для всех вершин дерева задач или не будет обнаружено, что решения не существует.

4. Выбираем хеджирующую стратегию, обеспечивающую минимальную стоимость портфеля среди всех терминальных вершин дерева задач.

ТЕОРЕМА 7. Алгоритм 1 приводит к точному решению задачи (1)-(4),(7)-

(9).

Установлено, что значения целевой функции при движении по любому пути дерева задач от начальной вершины не убывают. Вследствие этого алгоритм 1 можно модифицировать следующим образом: если вершины дерева задач просматривать послойно и есть вершина К, в которой для соответствующей задачи выполняются равенства (1)-(2), то вершины, в которых значение целевой функции задач ЛП не меньше, чем для К, далее можно не рассматривать (алгоритм 2).

Описанный алгоритм точного решения задачи построения оптимальной хеджирующей стратегии эффективен только при малых значениях глубины дерева цен акции (не свыше трех). Однако на основе этого алгоритма можно сформировать эффективный алгоритм построения приближенной оптимальной стратегии с заданной оценкой погрешности решения.

В §3.2 предлагается приближенный алгоритм решения задачи (1)-(4),(7)-

(9)-

Пусть построено некоторое дерево задач. Вершины дерева задач, для которых решение существует, назовем допустимыми. Все допустимые вершины дерева задач делятся на два типа: в вершинах первого типа нарушается хотя бы одно из условий (1)-(2), в вершинах второго типа условия (1)-(2) выполняются. Значение целевой функции (9) для вершины дерева задач второго типа является оценкой минимальной стоимости начального портфеля сверху, а минимальная из стоимостей начального портфеля для вершин первого типа - оценкой снизу. Это следует из отмеченного факта: значения целевой функции для задач из дерева не убывают при переходе к следующим вершинам дерева задач.

Алгоритм 3.

1. См. п.1 алгоритма 1.

2. См. п.2 алгоритма 1 при условии, что разветвление происходит в такой вершине дерева (первого типа), для которой минимальна стоимость начального портфеля.

3. Процесс продолжается до получения вершины второго типа.

4. Вычисляется оценка погрешности приближенного решения:

е = 1 - Бц / , где - оценка минимальной стоимости начального портфеля снизу, - оценка минимальной стоимости начального портфеля сверху.

5. Если оценка погрешности найденного приближенного решения задачи (1 )-(4),(7)-(9) велика, то продолжается работа алгоритма (п.2-5).

В §3.4 решается задача хеджирования с заданной вероятностью (квантильное хеджирование): найти самофинансируемую стратегию управления (В,8,Р)-рынком, обеспечивающую платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятностью и минимизирующую стоимость начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции.

Пусть в задаче (1)-(4),(7)-(9) дополнительно заданы вероятности

[г' = 2" -1,...,2"+' - =1] переходов из начальной вершины в

терминальные (сценариев возможных стратегий). Допустим задана доверительная вероятность р*. К условиям (1)-(4),(9) добавляется следующее: совокупность условий (7)-(8) должна выполняться с вероятностью, не меньшей Р-

Сформулированную задачу можно свести к совокупности задач вида (1)-(4),(7)-(9) следующим образом.

Алгоритм 4.

1. Генерируются максимальные множества М 2" -1,...,2"+1 -2}, для которых £1емр, <\-р'.

2. Для каждого множества М рассматривается задача (1)-(4),(7)-(9), в которой платежная функция имеет вид = 0 при / е М, = Ь] при ¿еМ, где платежная функция исходной задачи.

3. Среди всех множеств М определяется то, для которого целевая функция решения соответствующей задачи минимальна.

Первая часть этого алгоритма весьма трудоемкая, при большом числе уровней дерева цены акции можно использовать метод ветвей и границ.

Глава 4. Численный эксперимент. В §4.1 описан программный комплекс Пес^ВБР, разработанный автором в среде Ма&аЬ 7 для решения поставленных задач хеджирования. В §4.2 описана методика генерации случайных исходных данных для проведения численного эксперимента и результаты работы алгоритмов.

Численный эксперимент проводился для точных (алгоритмы 1-2) и приближенного (алгоритм 3) алгоритмов. При точных алгоритмах расчеты проводились на временном горизонте и=2,3, при приближенном алгоритме -и=4,...,7.

Для значений временного горизонта и=2,...,6 генерировалось случайно по 1000 (В,5,Р)-рьшков, для и=7 - 100 (ВДР)-рьшков, для которых решение исходной задачи существует (безарбитражных). Для каждого примера все величины (начальная цена акции в диапазоне [0; 1], коэффициент изменения цены акции в каждой вершине в диапазоне [0,76; 2], элементы потока платежей в диапазоне [-1; 1], элементы платёжной функции в диапазоне [0; 1]) генерировались датчиком псевдослучайных чисел по равномерному закону. Оптимизация осуществлялась с погрешностью установленной Ма&аЬ по умолчанию 10"8, сравнения v¡ и х,, щ и у, выполнялось с погрешностью 10"4. Для каждого из сгенерированных примеров решалась задача (1 )-(4),(7)-(9) при изменении параметров Я и // от 1,01 до 1,1 с шагом 0,01.

Результаты работы точных алгоритмов. Среднее количество задач ЛП, которое потребовалось решить при разных парах значений Ли//, при п=2 составило от 1,2 до 2,5 алгоритмами 1 и 2 (при использовании переборного подхода количество задач составляет 64), при п=3 - от 3,7 до 38, 6 задач алгоритмом 1 и от 3,5 до 35, 1 задач алгоритмом 2 (16384 задачи при переборном подходе). С ростом параметров Л и ¡л среднее число решавшихся задач возрастает. В среднем алгоритм 1 по эффективности уступает алгоритму 2, в то же время, в худших случаях эффективность алгоритмов совпадает.

Результаты работы приближенного алгоритма. Оценка средней погрешности приближенного решения, для всех пар Я и ¡1 при и=4,...,7 не превысила 0,0038 (0,38%), 0,0027 (0,27%), 0,0018 (0,18%), 0,0012 (0,12%) соответственно. Среднее количество задач ЛП, которое потребовалось решить при разных парах значений Я и р., при п=4 составило от 2,8 до 14,3 (при использовании переборного подхода количество задач составляет 1,07-109), при

л=5 от 5,5 до 36,7 (4,61-Ю18 при переборном подходе), при я=6 от 14,2 до 84,2 (соответственно 8,51-Ю37), при и=7 от 43,1 до 280,7 (соответственно 2,89-1076).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена математическая модель рынка (ВДР)-моделъ, отличающаяся тем, что с целью учета практически важных процессов на финансовом рынке, в ней учтены наличие потока платежей и оплата коротких продаж. Установлены некоторые условия полноты и безарбитражности рассматриваемых рынков.

2. Разработаны методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, и на их основе построены алгоритмы формирования хеджирующей стратегии (В,Б,Р)-рынка с минимальной стоимостью начального портфеля.

3. Разработан алгоритм вычисления верхней цены хеджирования и соответствующего ей хеджа, обеспечивающего платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятйостью и минимальной стоимостью начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции.

4. Разработан программный продукт в среде Ма&аЬ, реализующий разработанные алгоритмы, которые позволяют существенно сократить объем вычислений для определения хеджирующих стратегий по сравнению с переборным алгоритмом. Проведен вычислительный эксперимент, подтвердивший эффективность предложенных алгоритмов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 07-06-00021, 10-06-00001).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. (ВДР)-рынок и его свойства / Е.М. Бронштейн, Е.Р. Колясникова // Управление риском. 2009. №1. С. 50-64.

2. Хеджирующая стратегия в модели (В,8,Р)-рьшка / Е.Р. Колясникова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009 г. Т. 16. В. 3. С. 467-468.

3. Модель (B,S,F)-pbiHica и хеджирующие стратегии / Е.М. Бронштейн, Е.Р. Колясникова // Управление риском. 2010. №2. С. 55-64.

4. Приближенные хеджирующие стратегии в модели (B,S,F)-pbiHKa / Е.М. Бронштейн, Е.Р. Колясникова // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. №11. С. 29-38.

В других изданиях

5. Биномиальная стандартная модель (В,8)-рынка с учетом потока платежей / Е.Р. Колясникова // Актуальные проблемы в науке и технике: сборник статей третьей всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 20-23 февраля 2008. - Уфа: Изд-во "Диалог", 2008. Т. 3. С. 6876.

6. (B,S,F)-pbiHKH / Е.Р. Колясникова // Системное моделирование социально-экономических процессов: труды 31-й Международной научной школы-семинара, Воронеж, 1-5 октября 2008 г.: в 3 ч. / под редакцией В.Г. Гребенникова, И.Н. Щепиной, В.Н. Эйтингона; Воронежский государственный университет- Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2008 г. С. 138-144.

7. Модель (B,S,F)-puHKa / Е.Р. Колясникова // Машпотовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция: сб. тр. в 5 т. Уфа: УГАТУ, 2008 г. Т. 3. С. 154-156.

8. Алгоритм поиска хеджирующей стратегии для некоторой постановки задачи (B,S,F)-pbiHKa / Е.Р. Колясникова // Актуальные проблемы в науке и технике: сборник трудов четвертой всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 19-21 февраля 2009 г. - Уфа: Изд-во «Диалог», 2009. Т. 1. С. 281-285.

9. Формирование хеджирующей стратегии в модели (B,S,F)-pbtHKa / Е.М. Бронштейн, Е.Р. Колясникова ¡I VIII международная ФАМ'2009 конференция: тезисы докладов, 24-26 апреля 2009 г. / под ред. к.ф.-м.н. Д.В. Семеновой; Красноярск: СФУ, КГТЭИ, МВМ СО РАН, СИБУП, Издательство "Гротеск", 2009. С. 64-65.

10. Хеджирование в модели (B,S,F)-pbiHKa / Е.Р. Колясникова // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий: Материалы V Всероссийской научно-практической конференции,

Сочи, 10-15 мая 2009 г. / Соч. гос. ун-т туризма и курорт, дела; Науч. ред.: И.Л. Макарова, А.Р. Симонян. - Сочи, 2009. С. 42-43.

11. Определение хеджирующей стратегии в модели (В,8,Р)-рынка / Б.М. Бронштейн, Е.Р. Колясникова // Труды 21-ой Международной конференция по системным исследованиям, информатике и кибернетике, ИнтерСимп-2009. -Баден-Баден. 2009. С.69-73 (статья на английском языке).

12. Оптимальное хеджирование на (ВДР)-рынке / Е.М. Бронштейн, Е.Р. Колясникова // Системное моделирование социально-экономических процессов: труды 32-й Международной научной школы-семинара, Вологда, 5-10 октября 2009 г.: в 3 ч. / под редакцией В.Г. Гребенникова, И.Н. Щепиной, В.Н. Эйтингона; Воронежский государственный университет. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2009. С.340-343.

13. Построение самофинансируемой стратегии на (В,8,Р)-рынке / Е.Р. Колясникова // Актуальные проблемы науки и техники: сборник трудов пятой всероссийской зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых, 19-21 февраля 2010 г. -Уфа: Изд-во «Диалог», 2010. Т. 1. С. 133-136.

14. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010612004. Хеджирование на (В,8,Р)-рынке / Е.Р. Колясникова. М.: Роспатент, 2010.

КОЛЯСНИКОВА Елена Рифовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (В,Б,^-РЫНКОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписало к печати 23.11.2010. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр. - отт. 1,0. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 476.

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Основные положения теории (В,8)-рынков

1.1 Основные понятия теории (В,8)-рынков.

1.1.1 Капитал, портфель, самофинансирование.

1.1.2 Полнота, безарбитражность, хеджирование

1.2 Модели ценовых процессов на (В,8)-рынке.

1.3 Хеджирование на полных и неполных рынках.

1.3.1 Хеджирование на полных рынках.

1.3.2 Хеджирование на неполных рынках.

1.4 Выводы по главе 1.

2. Исследование бинарной модели (В,8,Р)-рынка.'.

2.1 Построение модели (В,8,Р)-рынка.

2.2 Полнота (В,8,Р)-рынка.

2.3 Безарбитражность (В,8,Р)-рынка.

2.3.1 Одношаговая модель. Условия локальной безарбитражности при произвольном потоке платежей.

2.3.2 Двухшаговая модель (В,8,Р)-рынка с нулевым потоком платежей

2.3.3 Безарбитражность полного (В,8,Р)-рынка без платы за короткие продажи.

2.4 Выводы по главе 2.

3. Оптимальное хеджирование на бинарном (ВДР)-рынке.

3.1 Минимальная стоимость начального портфеля. Точные алгоритмы.

3.2 Верхняя и нижняя оценки минимальной стоимости начального портфеля.

3.3 Хеджирование с заданной вероятностью

3.4 Выводы по главе 3.

4. Численный эксперимент.

4.1 Пакет прикладных программ HedgBSF. Руководство пользователя.

4.2 Результаты численного эксперимента.

4.3 Выводы по главе 4.

Основные результаты работы.

Актуальность темы

Математическое описание поведения цен рисковых и безрисковых активов привлекло внимание многих исследователей, начиная с 1900 г. (Bachelier L., Samuelson Р.А., Сох J.C., Ross S.A., Rubinstein M., Merton R.C., Madan D.B., Hull J., White A., Vasicek О. и др.).

Во второй половине 20 века возникла теория (В,8)-рынков, в которой рассматриваются портфели, состоящие из рискового (акции, валюта) и безрискового (БА) (банковский счет) активов (Harrison J.M., Kreps D.M., Pliska S.R., Dalang R., Morton A., Willinger W., Ширяев A.H., Мельников A.B. и др.).

Теория (В,8)-рынков получила широкое развитие в работах многих исследователей, в частности, Fôllmer H., Leukert P., Sondermann D., Schweizer M., Schal M., Duffie D., Richardson H.R., Ширяева A.H., Мельникова A.B., Кабанова Ю.М., Крамкова Д.О., Нагаева А.В., Павлова И.В., Белявского Г.И., Демина Н.С. и других. Модели (В,8)-рынков широко применяются на практике как инструментарий для определения «справедливой» цены опциона.

Общепринятым является анализ моделей (В,8)-рынков с привлечением вероятностного аппарата, при котором используется не физическая, а риск-нейтральная (мартингальная) вероятность, т.е. в основе анализа лежит теория мартингалов. Некоторые авторы элементы теории (В,8)-рынков строили на основе алгебраических и геометрических соображений, не используя методы стохастического анализа.

Ширяев А.Н. считает целесообразным рассмотрение более общих моделей рынков, в частности, с учетом дивидендов, потребления и инвестирования, операционных издержек.

В диссертационной работе исследуется модель рынка, состоящего из акции, безрискового актива и потока платежей ((B,S,F)-pbiHOK), где предусмотрены платежи за займы акции и безрискового актива. Инструменты (B,S,F)-pbiHKa характеризуются следующим образом:

- БА — ликвидный актив, цена которого в любой момент известна заранее (безрисковый);

- акция — ликвидный инструмент, цена которого в любой момент заранее неизвестна (рисковый);

- поток платежей - неликвидный инструмент, платежи (поступления) по которому определены заранее (безрисковый).

В отличие от операционных издержек за покупку-продажу акций, рассмотренных в работах Ширяева А.Н, Мельникова A.B., Кабанова Ю.М. и др., в диссертационной работе рассматривается плата за займы активов (операции типа «короткие продажи - Short Sales»). Подобные операции часто встречаются на практике.

Таким образом, в работе исследуется модель рынка, учитывающая ряд явлений, характерных для рынка ценных бумаг и деятельности инвестора. Тем самым, тематика работы является актуальной.

Цель работы

Целью работы является построение и исследование математических моделей финансовых рынков, состоящих из трех финансовых инструментов - безрискового актива, акции, потока платежей ((B,S,F)-pbiHOK). Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Построение математической модели (B,S,F)-pbiHKa при структуре цены акции в виде бинарного дерева с оплатой коротких продаж, определение и исследование полноты и безарбитражности для этого класса рынков.

2. Разработка методов и алгоритмов решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, и построение на этой основе эффективных алгоритмов вычисления минимальной стоимости исходного портфеля, при которой платежная функция не меньше заданной (верхняя цена хеджирования).

3. Вычисление верхней цены хеджирования и соответствующего ей хеджа, обеспечивающего платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятностью и минимизирующего стоимость начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции (квантильное хеджирование).

4. Разработка комплекса программ, реализующего разработанные алгоритмы, экспериментальная проверка эффективности работы предложенных алгоритмов.

Объектом исследования является (В,8,Р)-рынок с оплатой коротких продаж. Предметом исследования выступают свойства (В,8,Р)-рынка и построение хеджирующих стратегий в рассматриваемой модели.

Методы исследования

Исследование полноты и безарбитражности проводилось на основе методов алгебры и геометрии, построение хеджирующей стратегии опирается на методы линейной оптимизации. Расчеты проводились на основе разработанного автором программного комплекса Нес^ВЭР в среде Ма1:ЬаЬ.

Информационная база исследования включает сгенерированные случайным образом по равномерному закону безарбитражные (В,8,Р)-рынки.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель бинарного (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж, условия полноты и безарбитражности подобных рынков (п. 2 Паспорта специальности 05.13.18).

2. Эффективные методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции, заданной на бинарном дереве, и построения хеджирующей стратегии (В,8,Р)-рынка с минимальной стоимостью начального портфеля (п. 4 Паспорта специальности 05.13.18).

3. Комплекс программ для проведения численного эксперимента по оценке эффективности работы предложенных алгоритмов (п. 5 Паспорта специальности 05.13.18)

Научная новизна

1. Рассмотрена новая математическая модель бинарного (В^Д7)-рынка с оплатой коротких продаж, в которой динамика цены акции, в отличие от модели Кокса-Росса-Рубинштейна, описана произвольным бинарным деревом без заданного вероятностного распределения. Для предложенной модели получены условия полноты и безарбитражности на основе методов алгебры и геометрии без привлечения вероятностного аппарата, в частности мартингальной техники.

2. Разработаны новые методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, основанные на построении бинарного дерева задач линейного программирования. На основе предложенных методов и алгоритмов построены верхние хеджирующие стратегии (В,8,Р)-рынка с учетом платежей за короткие продажи.

3. Разработан комплекс программ, реализующий новые алгоритмы, которые позволяют существенно сократить объем вычислений для определения хеджирующих стратегий по сравнению с переборным алгоритмом.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в построении и анализе бинарной модели (В,8,Р)-рынка с оплатой коротких продаж и формировании эффективных алгоритмов построения хеджирующих стратегий. Метод решения может применяться для решения родственных задач минимизации кусочно-линейных функций специального вида, заданных на бинарном дереве. Практическая значимость заключается в определении величины минимального начального капитала, необходимого для построения хеджирующей стратегии (определение цены платежного обязательства).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации. В частности были сделаны доклады:

1. на третьей всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 20-23 февраля 2008 г.).

2. на 31-й Международной научной школе-семинаре "Системное моделирование социально-экономических процессов" (г. Воронеж, 1-5 октября 2008 г.).

3. на Всероссийской молодежной научной конференции Мавлютовские чтения (г. Уфа, 28-29 октября 2008 г.).

4. на четвертой всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 19-21 февраля 2009 г.).

5. на VIII Международной ФАМ'2009 конференции (г. Красноярск, 24-26 апреля 2009 г.).

6. на V Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий" (г. Сочи, 10-15 мая 2009 г.).

7. на 16 Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и 10 Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.).

8. на 21 международной конференции по системным исследованиям, информатике и кибернетике, ИнтерСимп-2009 (г. Баден-Баден, 3-7 авг. 2009 г.).

9. на 32-й Международной научной школе-семинаре "Системное моделирование социально-экономических процессов" (г. Вологда, 5-10 октября 2009 г.).

10. на пятой всероссийской зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 17-20 февраля 2010 г.).

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертации включает 14 научных трудов, в том числе 4 статьи в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, свидетельство об официальной регистрации программного продукта, 4 публикации в трудах международных конференций, 5 публикаций в других изданиях. Восемь публикаций выполнено без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, основных результатов работы, библиографического списка литературы, включающего 163 источника, 1 приложения, содержит 15 таблиц, 32 рисунка. Общий объем работы составляет 189 страниц.

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель рынка (В,8,Р)-модель, отличающаяся тем, что с целью учета практически важных процессов на финансовом рынке, в ней учтены наличие потока платежей и оплата коротких продаж. Установлены некоторые условия полноты и безарбитражности рассматриваемых рынков.

2. Разработаны методы и алгоритмы решения задачи оптимизации кусочно-линейной функции специального вида, заданной на бинарном дереве, и на их основе построены алгоритмы формирования хеджирующей стратегии (В,8,Р)-рынка с минимальной стоимостью начального портфеля.

3. Разработан алгоритм вычисления верхней цены хеджирования и соответствующего ей хеджа, обеспечивающего платежную функцию в терминальных вершинах дерева состояний цены акции не менее заданной с известной вероятностью и минимальной стоимостью начального портфеля при известных вероятностях переходов из начальной вершины в терминальные на дереве состояний цены акции.

4. Разработан программный продукт в среде Ма1:ЬаЬ, реализующий разработанные алгоритмы, которые позволяют существенно сократить объем вычислений для определения хеджирующих стратегий по сравнению с переборным алгоритмом. Проведен вычислительный эксперимент, подтвердивший эффективность предложенных алгоритмов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 07-06-00021, 10-06-00001).

1. Аникина A.B., Демин Н.С. Исследование европейского опциона продажи с последействием в случае выплаты дивидендов // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 290. - С. 216-220.

2. Аникина A.B., Демин Н.С. Применение вероятностных методов в исследовании Европейского опциона // Известия Томского политехнического университета. 2006. - Т. 309. - № 1. - С. 11-15.

3. Аникина A.B., Демин Н.С., Рожкова C.B. Применение вероятностных методов к исследованию одного типа экзотических опционов в диффузионной модели (В,8)-финансового рынка // Известия Томского политехнического университета. 2007. - Т. 310. - № 2. - С. 45-49.

4. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова E.H. MATLAB 7. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.

5. Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Концепция арбитража в математической теории эффективного рынка // Вестник финансовой академии. 2005. - № 2. - С.75-80.

6. Белявский Г.И., Богачева М.Н. Хеджирование в среднеквадратичном для модели (В,8)-рынка, подверженного скупке со стороны двух агрессивных скупщиков // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2005. Т.12. - №4.- С. 909-910.

7. Белявский Г.И., Гробер Т.А. Квантильное хеджирование для одной модели неполного рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2005.-Т.12.- №4.- С. 910-912.

8. Белявский Г.И., Гробер Т.А., Мисюра В.В. Хеджирование сверху для одной модели неполного рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - №1. - С. 96-98.

9. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Аппроксимация одного неполного (B,S)-pbiHKa КРР (B,S)-pbiHKOM с динамически изменяющимися параметрами

10. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т.14. -№6.-С. 1091-1092.

11. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Вычисление хеджа в случае одного неполного рынка*// Обозрение прикладной и промышленной математики. -2008. -Т.15. — №4. С. 693-694.

12. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Прогнозирование поведения рисковых активов с помощью модели стохастической волатильности // Обозрение прикладной-и промышленной математики. 2005. - Т. 12. - №3. -С. 702.

13. Богачева М.Н. Реализация интерполяционных теорем для одной модели финансового рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т.9. - №1. - С. 108.

14. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных. // 'Успехи математических наук. 2002. - Т. 57. - В.З. - С. 143-144.

15. Боди 3., Мертон Р. Финансы: Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильяме", 2003. - 592 с.

16. Бронштейн Е.М. Рынок акций и облигаций: алгебраический подход. // Труды третьей всероссийской ФАМ'2004 конференции, ч.2. — Красноярск, ИВМ СО РАН, 2004. С. 45-53.

17. Бронштейн Е.М., Колясникова Е.Р. (B,S,F)-pbiHOK и его свойства // Управление риском. 2009. - №1. - С.50-64.

18. Бронштейн Е.М., Колясникова Е.Р. Модель (B,S,F)-pbiHKa и хеджирующие стратегии // Управление риском. 2010. - №2. - С.55-64.

19. Бронштейн Е.М., Колясникова Е.Р. Приближенные хеджирующие стратегии в модели (B,S,F)-pbiHKa // Математическое моделирование. 2010. - Т. 22. - №11. - С. 29-38.

20. Бронштейн Е.М., Рачев С. Задача формирования оптимального портфеля акций' и облигаций с учетом трансакционных расходов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. - Т.П. - №4. - с.25-33.

21. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов: Учебное пособие М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. - 352 с.

22. Войфел, Ч. Энциклопедия банковского дела и финансов. М.: Корпорация "Федоров", 2003. 1 584 с.

23. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1997. -Т.4. С.18-65.

24. Волосатова Т.А. Условия существования субмартингальной меры в случае восстановления полноты (В, S)-pbiHKa // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. — № 1. — С. 107-108.

25. Волосатова Т.А., Горгорова В.В. О хааровских интерполяциях финансовых рынков, приводящих к полным рынкам // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - №3. — С. 505-506.

26. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные // Обозрение прикладной- и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - №3. - С. 458-467.

27. Выхристов В.А., Можаев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В,8)-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т. 14. -№5. -С. 769-787.

28. Галанов В. А. Производные инструменты срочного рынка: фьючерсы, опционы, свопы. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2002. 464 с.

29. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и ее применения. 1960. - Т. 54. — №3. - Р. 314-330.

30. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (B,S)-pbiHka с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2005. -Т.12. -№1. С. 143-144.

31. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т.П. -№3. - С. 506-508.

32. Дёмин Н.С., Ерлыкова A.B., Паныпина Е.А. Исследование одного вида экзотических опционов при наличии оттока и притока капиталав биномиальной модели (В, 8)-рынка ценных бумаг // Дискретный анализ и исследование операций. — 2009. — Т. 16. № 6. - С. 23-42.

33. Демин Н.С., Маркелова А.В. Исследование экзотического опциона продажи в биномиальной модели в случае притока и оттока капитала // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 293.-С. 12-17.

34. Демин Н.С., Толстобоков В.В. Опционы на диффузионном (В, Р)-рынке облигаций в случае ШМ-модели // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. - № 4. - С. 41-50.

35. Демин Н.С., Трунов А.И. Исследование опциона купли в случае хеджирования с заданной вероятностью // Известия Томского политехнического университета. 2007. - Т. 310. - № 2. - С. 49-55.

36. Демин Н.С., Трунов А.И. Исследование опциона продажи в случае квантильного хеджирования // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 293. - С. 25-30.

37. Дёмин Н.С., Шиширин М.Ю. Европейский опцион с произвольным числом типов рисковых ценных бумаг в случае дискретного времени // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2002. - Т. 9. -№ 1.-С. 3-20.

38. Джозефи Н., Кимболл Л., Стебловская В. Р., Нагаев А. В., Пасниевский М. Алгоритмический подход к несамофинансируемому хеджированию на неполном рынке в дискретном времени // Дискретная математика. 2007. - т. 19. - № 3. - С. 140-159.

39. Дубовик A.A. Оценка и хеджирование опционов при наличии трансакционных издержек: подход суперхеджирования // Экономический журнал ВШЭ. 2004. - Том. 8. - № 4. - С. 491-519.

40. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски // Теория вероятностей и ее применения. 1994. — Т. 39. — С. 635-640.

41. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.

42. Колясникова Е.Р. Модель (B,S,F)-pbiHKa // Мавлютовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция: сб. тр. в 5 т. Том 3 /

43. Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа: УГАТУ. 2008. - С.154-156.

44. Колясникова Е.Р. Построение самофинансируемой стратегии на (B,S,F)-рынке // Актуальные проблемы науки и техники: сб. трудов 5 всеросс. зимн. школы-семинара аспирантов и молодых ученых. Уфа: Изд-во «Диалог», 2010. Т. 1.С. 133-136.

45. Колясникова Е.Р. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010612004. Хеджирование на (B,S,F)-pbiHKe. М.: Роспатент, 2010.

46. Колясникова Е.Р. Хеджирующая стратегия в модели (B,S,F)-рынка // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.16. - №3. -2009. - 576. - С. 467-468.

47. Кондратьева Т.Н., Белявский Г.И. Хеджирование в среднем для финансового рынка, подверженного мягкой скупке акций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12. - №4. - С. 993-994.

48. Крамков Д.О. О замыкании семейства мартингальных мер и опциональном разложении семимартингалов // Теория вероятностей и ее применения. 1996. - т. 41. - С. 892-896.

49. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 2000. - с. 235-236.

50. Мартынов H.H. Matlab 7. Элементарное введение. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2005.-416 с.

51. Мельников A.B. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997. 126 с.

52. Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев M.JI. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ-ВШЭ, 2001. - 260 с.

53. Мельников A.B., Нечаев M.JI. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратичном // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43. - С. 672-691.

54. Мельников A.B., Попова Н.В., Скорнякова B.C. Математические методы финансового анализа. М.: "Анкил", 2006. - 440 с.

55. Новиков А. А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43. - № 1. - С. 152-161.

56. Потемкин В.Г. Вычисления в среде MATLAB. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2004. - 720 с.

57. Фельдман А. Б. Производные финансовые и товарные инструменты: учебник. М: Финансы и статистика, 2003. 304 с.

58. Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время / Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2008. - 496 е.: ил.

59. Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 6-е издание: Пер. с англ. М.: ООО "И.Д. Вильяме", 2008. - 1056 е.: ил.

60. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1-2, М.: Фазис, 1998. 1056 с. (512 е., 544 с.)

61. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. - Том 1. -В. 5.-С. 780-820.

62. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. - Т. 39. -В.1. - С. 21-79.

63. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994. - Т. 39. -В.1.-С. 80-129.

64. Andersen Т. Stochastic autoregression volatility: a framework for volatility modeling // Mathematical Finance. 1994. - V. 4. - P. 75-102.

65. Bachelier L. Theory of speculation // in Cootner (ed.). The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge, MA: MIT Press, 1964. - P. 17-78.

66. Black F., Derman E., and Toy W. A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options // Financial Analysis Journal. 1990. - January-February. - P. 24-32.

67. Black F., Karasinski P. Bond and Option pricing when Short rates are Lognormal // Financial Analysis Journal. 1991. - July-August. - P. 52-59.

68. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. 1973. - V. 81. - №3. - P. 637-654.

69. Boness A.J. Elements of a theory of stock-option value // Journal of Political Economy. 1964.-V. 72.-P. 163-175.

70. Bouchard B., Kabanov Yu. M., Touzi N. Option pricing by large risk aversion utility under transaction costs // Decisions in Economics and Finance, Springer-Verlag. 2001. - DEF 24. - P. 127-136.

71. Chen L. Stochastic Mean and Stochastic Volatility A Three-Factor Model of the Term Structure of Interest Rates and Its Application to the Pricing of Interest Rate Derivatives // Financial Markets, Institutions, and Instruments. -1996.-V. 5.-P. 1-88.

72. Cowles A. Can stock market forecasters forecast? // Econometrica. -1933.-V. 1.-P. 309-324.

73. Cowles A. Stock market forecasting // Econometrica. 1944. - V. 12. -№3/4.-P. 206-214.

74. Cowles A., Jones H. Some a posteriori probabilities in stock market action // Econometrica. 1937. - V. 5. - P. 280-294.

75. Cox J.C., Ingersoll J.E. and Ross S.A. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica. 1985. - V. 53. - №2. - P. 385-407.

76. Cox J.C., Ross S.A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics. 1976. - V. 3. - P. 145166.

77. Cox J.C., Ross S.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. - V.7. - №3. - P. 229-263.

78. Dalang R., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stochastics and Stochastics Reports. 1990. - V. 29. - P. 185-201.

79. De Valliere D., Denis E., Kabanov Y. Hedging of American options under transaction costs // Finance and Stochastics. 2009. - V. 13. - №1. - P. 105119.

80. De Valliere D., Kabanov Yu.M., Strieker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with transaction costs and incomplete information // Finance and Stochastics. 2007. - V. 11. - №2. - P. 237-251.

81. Delbaen F., Schachermayer W. A Compactness Principle for Bounded Sequences of Martingales with Applications // Progress in Probability. 1999. -V.45.-P. 137-173.

82. Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Mathematische Annalen. 1994. - V. 300. - P. 463520.

83. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Mathematische Annalen. 1988. -V. 312.-P. 215-250.

84. Dothan L. U. On the term structure of interest rates // Journal of Financial Economics. 1978. - V. 6. - №1. - P. 59-69.

85. Duan J.-C. The GARCH Option Pricing Model // Mathematical Finance. 1995. - V.5. - P. 13-32.

86. Duffie D., Richardson H.R. Mean-variance hedging in continuous time // Annals of Applied Probability. 1991. - V. 1. - P. 1-15.

87. El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in incomplete markets // SIAM Journal on Control and Optimization. 1995. -V. 33. -№1. - P. 29-66

88. Elliott R.J., Swishchuk A.V. Pricing Options and Variance Swaps in Markov-Modulated Brownian Markets. // Hidden Markov Models in Finance, New York, USA: Vieweg, Springer Science+Business Media, 2007. P. 45-68.

89. Esscher F. On the Probability Function in the Collective Theory of Risk // Skandinavisk Aktuarietidskrift. 1932. - V. 15. - P. 75-95.

90. Follmer H., Kabanov Yu.M. Optional decomposition and Lagrange multipliers // Finance and Stochastics. 1998. - V. 2. - P. 69-81. ■

91. Follmer H., Kramkov D.O. Optional decompositions under constraints // Probability Theory and Related Fields. 1997. - V.109. - №1. - P. 1-25.

92. Follmer H., Leukert P. Efficient hedging: cost versus shortfall risk // Finance and Stochastics. 2000. - V. 4. - P. 117-146.

93. Follmer H., Leukert P. Quantile hedging // Finance and Stochastics. -1999. -V. 3. — P. 251-273.

94. Follmer H., Schweizer M. Hedging of contingent claims under incomplete information // Applied Stochastic Analysis (Stochastic Monographs. V. 5) / Davis M.H.A. and Elliott R.J., eds. Gordon and Breach, London, 1991. P. 389-414.

95. Follmer H., Sondermann D. Hedging of non-redundant contingent claims // Contributions to mathematical economics. North-Holland, Amsterdam. -1986.-P. 206-223.

96. Gerber H.U., Shiu E.S.W. Option pricing by Esscher transforms // Transactions of the Society of Actuaries. 1994. - V. 46. - P. 99-191.

97. Grossinho M. R. Mathematical models in finance // A Portrait of State-of-the-Art Research at the Technical University of Lisbon, Springer, 2007. -P. 89-101.

98. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets // Journal of Economic Theory. 1979. - V. 20. - P. 381-408.

99. Harrison J.M., Pliska S.R. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets // Stochastic Processes and their Applications. 1983. -V. 15.-P. 313-316.

100. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic Processes and their Applications. 1981. -Vol. 11.-P. 215-260.

101. Heston S.L. A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options // Review of Financial Studies. 1993. - V. 6. - № 2. - P. 327-343.

102. Ho T.S.Y., Lee S.B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims // Journal of Finance. 1986. - V. 41. - №5. - P. 10111029.

103. Hoffman N., Platen E., Schweizer M. Option pricing under uncompleteness and stochastic volatility // Mathematical Finance. — 1992. — V. 2. -P. 189-196.

104. Hull J. and White A. Pricing interest-rate derivative securities // The Review of Financial Studies. 1990. - V. 3. - №4. - P.(573-592.

105. Hull J.C. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research. -1988.-V.3.-P. 27-61.

106. Hull J.C. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance. 1987. - V.42. - P. 281-300.

107. Josephy N., Kimball L., Steblovskaya V. A Time-Series Approach to Non-Self-Financing Hedging in a Discrete-Time Incomplete Market // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2008. - P. 1-20.

108. Josephy N., Kimball L., Steblovskaya V. Optimal hedging of path-dependent options in discrete time incomplete market // Communications on Stochastic Analysis. 2008. - V. 2. - №3. - P. 385-404.

109. Jouini, E., Cvitanic, J., Musiela, M. (eds.) Handbooks in mathematical finance: Option pricing, interest rates and risk management. Cambridge: Cambridge University Press. 2001.

110. Kabanov Yu. M., Safarían M. M. On Leland's strategy of option pricing with transactions costs // Finance and Stochastics. 1997 - V. 1. - P. 239250.

111. Kabanov Yu., Klüppelberg C. A geometric approach to portfolio optimization in models with transaction costs // Finance and Stochastics. 2004. -V.8. - №2. - P. 207-227.

112. Kabanov Yu., Mishura Yu. Sakhno L. Multiparameter generalizations of the Dalang-Morton-Willinger theorem. Kabanov, Yuri (ed.) et al. // From Stochastic calculus to mathematical finance. The Shiryaev Festschrift. Berlin: Springer. - 2006. - P. 333-341.

113. Kabanov Yu., Rásonyi M., Strieker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance and Stochastics. 2002. - V. 6. -№3. — P. 371-382.

114. Kabanov Yu., Safarian M., Markets with Transaction Costs: Mathematical Theory (Springer Finance), Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009. -294p.-P. 71-104.

115. Kabanov, Y.M.: Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance and Stochastics. 1999. - V. 3. - №2. - P. 237-248.

116. Kabanov, Yu.M., Strieker, Ch.: A teachers' note on no-arbitrage criteria // Séminaire de Probabilités XXXV. Lecture Notes in Mathematics. 2001. -V. 1755.-P. 149-152.

117. Kabanov, Yu.M., Strieker, Ch.: The Dalang-Morton-Willinger theorem under delayed and restricted information // Séminaire de Probabilités XXXIX. Lecture Notes in Mathematics. 2006. - V. 1874. - P. 209-213.

118. Kabanov,Yu.M., Strieker, Ch.: Remarks on the true no-arbitrage property // Séminaire de Probabilités XXXVIII. Lecture Notes in Mathematics. -2003.-V. 1857.-P. 186-194.

119. Kascheev D. E. Compound Cox Processes And Option Pricing // Journal of Mathematical Sciences. 2001. - V. 106. -№1.-P. 2682-2690.

120. Kascheev D. E. On The Option Pricing For A Generalization Of The Binomial Model // Journal of Mathematical Sciences. 2000. - V. 99. - №3. - P. 1267-1272.

121. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. - V. 96. - P. 11-25.

122. Korn R. Contingent claim valuation in a market with different interest rates // Zeitschrift fur Operation Research. 1995. - Vol.42. - P. 274-292.

123. Kramkov D.O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets // Probability Theory and Related Fields. 1996. - V. 105. - №4. - P. 459-479.

124. Madan D.B., Carr P.P. and Chang E.C. The Variance-Gamma Process and Option Pricing // European Finance Review. 1998. - V. 2. - P. 7-105.

125. Merton R.C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous // Journal of Financial Economics. 1976. - V. 3. - P. 125-144.

126. Merton R.C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. - V. 4. - P. 141-183.

127. Nagaev A.V., Nagaev S.A. Asymptotics of riskless profit under selling of discrete time call options // Applicationes Mathematicae. 2003. - V. 30.-№2.-P. 173-191.

128. Osborne M.F.M. Brownian motion in the stock market // Operations Research. 1959. - V. 7. - P. 145-173. (in Cootner (ed.). The Random Character of Stock Market Prices. - Cambridge, MA: MIT Press, 1964. - P. 100-128.)

129. Pham H., Rheinlander T., Schweizer M. Mean-variance hedging for continuous processes: New proofs and examples // Finance and Stochastics. -1998. V. 2.-№2.-P. 173-198.

130. Rendleman R., Bartter B. The Pricing of Options on Debt Securities // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1980. - V. 15. - №1. - P. 11-24.

131. Roberts H.V. Stock-market "patterns" and financial analysis: Methodological Suggestions // Journal of Finance. 1959. - V. 14. - P. 1-10.

132. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. - V. 6. - P. 13-31.

133. Sandmann K., Sondermann D. A term structure model and the pricing of interest rate derivatives // Review of Futures Markets. 1993. - V. 12. - №2. -P. 391-423.

134. Schal M. On quadratic cost criteria for option hedging // Mathematics of Operations Research.- 1994.-V. 19.-P. 121-131.

135. Schmidt, W. M. On a general class of one-factor models for the term structure of interest rates // Finance and Stochastics. 1997. - V. 1. - №1. - P. 324.

136. Schweizer M. A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches // Option Pricing, Interest Rates and Risk Management / Jouini E., Cvitanic J. and Musiela M., eds. Cambridge University Press. Cambridge, 2001. - P. 538-574.

137. Schweizer M. Variance-optimal hedging in discrete time // Mathematics of Operations Research. 1995. - V. 20. - P. 1-32.

138. Sprenkle C.M. Warrant prices as indicators of expectations and preferences // in Cootner (ed.). The Random Character of Stock Market Prices. -Cambridge, MA: MIT Press, 1964. P. 412-474.

139. Strieker C. Arbitrage et lois de martingale // Annales de l'Institut Henri Poincaré. 1990. - V.26. - №2. - P. 451-460.

140. Svishchuk A.V., Lukin O.E. Filtration Of Components Of Processes Of Random Evolution // Ukrainian Mathematical Journal. 1998. - V. 50. - № 12. - P. 1939-1944

141. Svishchuk A.V., Zhuravitskii D.G., Kalemanova A.V. Analog Of The Black-Scholes Formula For Option Pricing Under Conditions Of (B, S, X)-Incomplete Market Of Securities With Jumps // Ukrainian Mathematical Journal. -2000. V. 52. - №3. - P. 489-497.

142. Vasicek O. An Equilibrium Characterisation of the Term Structure // Journal of Financial Economics. 1977. - V. 5. - №2. - P. 177-188.

143. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. Math. Inst. Tech. 1923. - V. 2. - P. 131-174.

144. Working H. A random1difference series for use in the analysis of time series // Journal of American Statistical Association. 1934. - V. 29. - P. 11-24.

145. Продажа без покрытия // Материал из Википедии — свободной энциклопедии: http:// ru.wikipedia.org/wiki/Kopoткaяcтaвкa