Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике

Федоров, Фома Михайлович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике

доктора физико-математических наук: Федоров, Фома Михайлович
город: Новосибирск
год: 2002
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике»

Автореферат диссертации по теме "Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике"

ФЁДОРОВ Фома Михайлович

ГРАНИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ГЕОМЕХАНИКЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2002

ФЕДОРОВ Фома Михайлович

ГРАНИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ГЕОМЕХАНИКЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2002

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики при Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Андреев В.К., доктор физико-математических наук, профессор Воеводин А.Ф., доктор физико-математических наук, профессор Кожанов А.И.

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН, г. Екатеринбург

Защита состоится "_"_2002 года в_часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, пр. акад. Лаврентьева, 6, ИВМиМГ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ.

Автореферат разослан "_"_2002 года

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

. VI» НАЦИОНАЛЬНАЯ

, библиотека

! ¿гярйр

С. Б. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Следует отметить, что для каждой задачи математической физики (и даже в пределах одной задачи) имеется свой наиболее рациональный метод решения с точки зрения экономии времени, труда и достижения наибольшей точности. Преимущества (такие, как обозримость, быстрота достижения конечного численного результата и т.д.) и недостатки, причем очень существенные (например, ограниченный круг применения), аналитических методов перед численными методами в достаточной мере описаны в различной литературе. Тем не менее, остановимся на некоторых моментах преимущества аналитических методов решения уравнений в частных производных перед численными, отмеченными А.Ф.Сидоровым, Н.Н. Яненко и их учениками. Решение дифференциальных уравнений численными методами позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов аналитических решений возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации, кроме того, каждое точное решение дифференциальных уравнений имеет большую ценность, во-первых, как точное описание реального процесса в рамках данной модели, во-вторых, как тест для апробации и сравнения различных численных методик, в-третьих, как теоретический факт, осмысление которого помогает совершенствовать используемые модели. Представление аналитического решения одной и той же задачи в различных эквивалентных функциональных формах (тождественных в смысле числа) имеет большую практическую ценность, так как позволяет варьировать решением в зависимости от постановки задачи. Например, представление решения тепловой задачи в форме ряда Фурье удобно для больших времен, а в виде формулы Пуассона более подходит для малых времен.

Таким образом, разработка новых экономичных, простых и универсальных аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, доступных не только инженерам, конструкторам, но и открытых для успешного применения методов математического моделирования, является весьма актуальной проблемой.

Основу данной работы составляют следующие научные от-

четы по госбюджетным темам, выполненные в ОПМВТ ЯНЦ СО РАН и в НИИПМиИ ЯГУ, ответственным исполнителем и научным руководителем которых являлся автор: 1) Разработка методов решения ОДУ и уравнений в частных производных. N гос. per. 78069293 , Фонды ОПМВТ ЯНЦ СО РАН, Якутск, 1983, 212 с; 2) Разработка граничного метода для решения прикладных задач математической физики. N гос. per. 01.87.0082046 , Фонды ОПМВТ СО РАН, Якутск, 1990, 195 с; 3) Разработка и применение математических методов в экологических системах. Фонды НИИПМиИ ЯГУ, Якутск, 1995, 48 с; 4) Исследование и разработка задач для неклассических уравнений математической физики и прикладной экологии. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 2000, 107 с.

Цель работы заключается в разработке нового аналитического метода моделирования физических явлений, описыве-мых дифференциальными уравнениями в частных производных и в построении математических моделей некоторых процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий, и их численной реализации. Основные задачи исследований.

— разработка математической основы нового аналитического метода решения краевых задач математической физики;

— отработка техники применения нового метода на примерах решения широкого класса задач математической физики;

— получение новых точных аналитических решений неклассических краевых задач на примере решения параболического уравнения с меняющимся направлением времени;

— построение и исследование предложенным методом математических моделей реальных физических процессов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

— конструктивный метод точного и приближенного решения широкого класса прикладных задач математической физики;

— математический аппарат граничного метода решения дифференциальных уравнений с краевыми условиями;

— математические модели, алгоритмы их реализации на ЭВМ физических процессов, обусловленных разработкой месторождений полезных ископаемых в северных регионах;

— результаты численного исследования граничным методом

процесса размыва многолетнемерзлых горных пород и стационарного течения слоя ферромагнитных частиц вдоль поверхности магнитного шлюза.

Научная новизна. Основные результаты работы по обоснованию предлагаемого метода являются новыми, поскольку граничный метод разрабатывается впервые. Математические модели, алгоритмы и численные исследования некоторых процессов тепло- и массопереноса, обусловленных освоением северных территорий, также являются новыми.

Обоснованность и достоверность. Выводы и положения по обоснованию граничного метода базируются на строгих математических доказательствах и во всех частных случаях, рассмотренных в диссертации, из них следуют известные точные аналитические решения. При выборе математических моделей, предложенных в работе, использованы разумные физические предпосылки, и эти математические модели представляют собой дальнейшее развитие апробированных известных моделей. Результаты численных расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными и натурными наблюдениями. Следует особо подчеркнуть, что при проведении работы особое внимание уделялось сравнению полученных результатов всюду, где это представлялось возможным, с результатами теоретических, экспериментальных и натурных испытаний других авторов.

Практическая ценность. Граничный метод решения краевых задач может найти широкое применение при точном и приближенном решении многих прикладных задач математической физики в силу его простоты, наглядности и достаточной точности. На основе исследования предложенных математических моделей размыва мерзлых горных пород, течения слоя ферромагнитных частиц вдоль магнитного шлюза можно обосновать новые рациональные технологии разработки месторождений минерального сырья.

Реализация исследований. Методики расчетов протаива-ния многолетнемерзлой горной породы при дождевании и пограничного слоя течения вдоль магнитного шлюза применены при научных исследованиях ИГДС ЯНЦ СО РАН и ЯГУ. Материалы диссертации использованы в исследовательских ра-

ботах ИФТПС и ОПМВТ ЯНЦ СО РАН.

Апробация работы. Основное содержание диссертационной работы и ее отдельные положения докладывались и обсуждались, в том числе на постоянной основе, на следующих научных семинарах и конференциях: семинар по "Дифференциальным уравнениям в частных производных" (рук. проф. И.Е. Егоров ) НИИМ при ЯГУ; семинар Отдела прикладной математики и вычислительной техники ЯНЦ СО РАН; объединенные семинары в ИФТПС и в ИГДС ЯНЦ СО РАН; Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995); международный семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саратов, 1996); Второй, Третий, Четвертый Сибирские Конгрессы по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ - 96, 98, 2000 (г. Новосибирск, 1996, 1998, 2000); ^ПДП международные конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 1994, 1997, 2001); II международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 1996); международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, 1999), семинар "Неклассические уравнения математической физики (рук. проф. А.И. Кожанов)" ИМ СО РАН, объединенный семинар ИВМиМГ СО РАН.

Публикации. Основное содержание работы отражено в 38 работах, в том числе в одной монографии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы из 242 наименований и изложена на 290 страницах, включает 14 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражено обоснование актуальности выбранной темы, сформулированы цели исследования, дано сжатое изложение содержания диссертации.

Первая глава диссертации посвящена краткому обзору работ, в которых используются различные ряды для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Глава состоит из трех параграфов. В §1.1 рассмотрены работы, в которых развивается метод специальных конструкций

рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова и его учеников С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, О.В. Коковихиной и др.). В этих исследованиях в основном рассматриваются квазилинейные гиперболические уравнения, а их решения представляются в виде различных рядов. Основная идея этих работ заключается в том, что неизвестные коэффициенты рядов вычисляются рекуррентно. Рекуррентность вычисления обеспечивается выбором специальных базисных функций. Для исследования сходимости построенных рядов используется формализм современных аналогов теоремы Коши-Ковалевской, при этом за основу принята теорема Л.В. Овсянникова. К этим исследованиям тесно примыкают работы С.П. Баутина, М.Ю. Козманова, В.М. Тешукова. Данный подход используется для получения точных или приближенных решений задач динамики плазмы, лучистой теплопроводности и др.

В § 12 дан обзор работ по операторному методу решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Операторный метод построения частных решений был предложен С. Ли, который ввел операторные ряды, позже названные рядами Ли. Эти ряды оказались весьма полезными при решении задачи Коши для систем ОДУ. Затем различными авторами были развиты теория рядов Ли и их приложения, в частности, для решения дифференциальных уравнений в частных производных. В литературе наиболее освещены в основном три подхода. Первый связан с работами Б.А.Бондаренко. Он ввел операторные представления решений линейных и полилинейных уравнений не в виде рядов, а в форме конечных сумм, определив их на так называемых полилинейных функциях. К этим исследованиям и подходу школы А.Ф. Сидорова тесно примыкают работы В.Н.Фролова и Ю.Л. Спивакова. В этих работах предлагается решение исходного дифференциального уравнения представить в виде операторных рядов специальной конструкции, позволяющей определять коэффициенты ряда из рекуррентных соотношений. Третьим способом является метод начальных функций в сочетании с символическим методом. Метод начальных функций разработан В.З.Власовым и А.И.Лурье для решения простран-

ственной задачи теории упругости. Чтобы избежать громоздкости начального метода, используется символический метод. Для указанного способа характерно то, что операторные ряды символически записываются в виде элементарных функций, аргументами которых являются операторы. К этим методам можно отнести также метод, предложенный Э.М. Карташовым для решения задач теплопроводности в области с движущейся границей и названный им методом дифференциальных рядов.

Третий параграф посвящен так называемым проекционным (метод Галеркина, метод Галеркина - Бубнова), вариационным (метод Ритца, метод Канторовича), методам разложения по фундаментальным решениям (методы Купрадзе, Алексидзе), интегральным (метод интегральных соотношений Лейбензона, метод интеграла теплового баланса) методам решения уравнений в частных производных. По сути дела они основаны на использовании урезанных функциональных рядов. Указанные методы оказались очень эффективными при решении нелинейных дифференциальных уравнений. Три первых метода математически строго обоснованы, нашли широкое применение в приложениях и в настоящее время являются классическими методами.

Первая глава завершается кратким рассмотрением метода степенных рядов. Метод степенных рядов применяется со времен Эйлера, является классическим методом решения ОДУ и основан на теории аналитических функций. Вместе с тем он не получил дальнейшего развития для решения уравнений в частных производных с краевыми условиями. В связи с этим следует упомянуть работы С.Н. Бернштейна. С помощью введенных им нормальных рядов он обобщил результаты Пикара об аналитичности всех решений эллиптических уравнений более общего вида.

Во второй главе изложены основы граничного метода решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Глава состоит из 8 параграфов. Первый параграф посвящен основной идее предлагаемого метода, и в нем приведена общая схема его применения: в пункте 2.1.1 для линейных задач, а в пункте 2.1.2 для нелинейных.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка в

частных производных с двумя переменными в области G:

При этом заданы соответствующие граничные и начальные условия и оператор L не содержит смешанных производных. Пусть искомое решение уравнения (1) представляет собой аналитическую по х, гладкую в G функцию. Тогда решение

оо

можно искать в виде ряда

i=0

Предположим, что на границе х — О при t > О выполняется уравнение (1), и на этой же границе i-e производные по х от оператора равны нулю, т.е. при верны равенства

(2)

Показано, что при выполнении условий (2) уравнение (1) выполняется всюду в заданной области; также показана справедливость обратного утверждения: если функция и аналитична по х, включая границы, и удовлетворяет уравнению (1) внутри области, то справедливы соотношения (2).

Вышеизложенное подсказывает следующий алгоритм получения решения уравнения (1) с соответствующими граничными условиями. Искомое решение сначала предполагается аналитическим по одной переменной, т.е. ищется в виде степенного ряда, коэффициенты которого определяются из соотношений, полученных приравниванием коэффициентов, заданных граничных условий, дополнительных условий типа (2) для каждой границы. Так как условий типа (2) бесконечно много, то приходится решать бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ai(*) (i — 0,оо). Следовательно, чтобы решить эту систему, ее нужно урезать, т.е. в ряде необходимо ограничиться конечным числом п членов, в результате чего вместо точных значений a,(í) получим их приближенные значения a,„(t). Затем за значения a,(t) берется предел lim ñin(í), если он существует, т.е.

_ п—х

a,(t) = lim«,„(i), [i = 0,оо). Далее исследуется сходимость ря-

fí—*r>Ci

да, и в случае его сходимости получим частные решения, удо-

Lu = 0,

влетворяющие граничным условиям. Для задач с начальными условими учет их осуществляется для каждого конкретного случая отдельно в зависимости от рассматривамой задачи. Основной момент здесь - предположение об удовлетворении искомого решения основному дифференциальному уравнению в граничных точках (в предельном смысле), чем и объясняется название метода.

В пункте 2.1.2 предложен алгоритм граничного метода решения нелинейных задач на примере решения уравнения теплопроводности совершенно аналогично пункту 2.1.1. Уравнение теплопроводности выбрано потому, что имеется обширная литература как по его точному аналитическому решению (Самарский А.А., Курдюмов СП., Галактионов В.П., Карслоу Г., Егер Д., Лыков А.В., Карташов Э. М., Зайцев В.П., Полянин А.Д. и др.), так и по численному и приближенно аналитическому решению (Самарский А.А, Яненко Н.Н., Марчук Г.И., Канторович Л.В., Гудмен Т., Коздоба Л.А. и др.).

Граничный метод сводит решение линейных уравнений в частных производных к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специальных видов. В двух параграфах исследованы СЛАУ, и приведены их решения.

В §2.2 сформулированы и доказаны 7 утверждений типа:

П П

Теорема 1. Пусть задана СЛАУ > х,- = Ь\, -—Чтг^« =

£Г и (г - *)'

__п-з-1

Ьк+1, к = 1,п— 1, тогда ее решение имеет вид ху = ^^ (—1)' х

¿=о

^ + (-1 )"+'<&„, з = Т^т хп = + (_1 ГЩи

где С{ = п\Ц\(п — - биномиальные коэффициенты.

Далее сформулированы и доказаны теоремы типа:

Теорема 2. Пусть задана следующая СЛАУ

^ а= 0, а# -ф 0, 3 = 1, гг — 1. (3)

'=3

Тогда

неизвестные Х{ выраэ&йются черезхи следующим образом' х; =

(-1)»"хяП5Р » = МГ^Г, где = +

Р=1 •" *

У (~1)Р+]а7\"-у+р , 5! = г = 2Тп—Т,

В §2.3. изучается СЛАУ общего вида (3).

Систему (3) можно преобразовать следующим образом

п-з

аИ+Рх1+Р = °> 3 ~ 1>п ~ х> аЛ Ф

р=0

Пусть коэффициенты р имеют вид

р-1

аз ¿+р = ар°;; П ' Р 1 • *=0

(4)

(5)

Теорема 3. Если коэффициенты системы (4) представимы в виде (5), то решение системы (4) сводится к решению системы

п-:

арУ)+р = 0, j = 1,п— 1, при этом неизвестные у, выражаются

Р=о

п—I

через уп по формуле у{ = (—1)™_,у„ Д г = 1, п — 1, где

к= 1

-А Г-!)?-1«,, --

31 = «1, в„ = О! + -п = 2,оо,

р=2 1н=15п-*

(6)

Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть задана последовательность вещественных чисел иО = l,ai,O2,...,ap,..., причем а \ ф 0. С помощью этой последовательности можно построить (6), а также последовательность определителей

Естественно, возникает вопрос: какие условия нужно наложить на члены последовательности чтобы существовал предел последовательности (б) при п —» оо?

Условие Пусть последовательность {ар} такая, что

1) Ап 0 для любого натурального п;

2) пусть степенной ряд YipLo(—l)p£ip£p = f(x) абсолютно сходится в |г| < г > 0, где г радиус сходимости ряда и пусть существует ближайшая от нуля точка xq на вещественной оси, такая что, |х0| < г и f(xо) = 0, т.е. 1)р°р;со = ^ причем, полагаем, что в области х < |xq| функция f (x) не имеет других (комплексных) нулей;

Теорема 4. Пусть коэффициенты а, удовлетворяют условиям 1-3 и |хо| является единственным, причем вещественным, нулем функции f(x) в области х < |д:о|. Тогда существует предел последовательности (6), верно равенство Ы = -.—г, где lim sn = s, и возможен, предельный переход под знаком суммы в выражении (6), т.е.

При решении граничным методом линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями возникает задача изучения некоторых специальных рекуррентных соотношений, необходимость использования дифференциальных операторов высших порядков, а также - необходимость неоднократного дифференцирования сложных функций. В §§ 2.4, 2.5, 2.6 подробно изучены эти вопросы.

Поскольку граничный метод априори предусматривает использование степенных рядов, то, естественно, нужно изучать методы улучшения сходимости различных рядов, параграф 2.7 посвящен методам улучшения сходимости рядов.

Параграф 2.8 имеет вспомогательный характер, в нем кратко изложен метод дробного дифференцирования и его применение для расчета тепловых и диффузионных потоков без полного решения задачи для температурного (диффузионного) поля. В случае задания полубесконечной области, т.е. когда отсутствует вторая граница, для определения а$ или а\ минуя вычисление основного температурного поля, можно использовать

3) выполняется условие

■п

= 0 ,Vm = 1,2,...

имеет место равенство s = aj

метод дробного дифференцирования.

В главе 3 основное внимание уделено технике применения граничного метода для получения точного аналитического решения линейных задач теплопроводности. С другой стороны, именно построение точных решений различных граничных задач с помощью граничного метода наглядно показывает его качество как конструктивного метода. Изложение основано на примерах решений простых задач. При этом примеры выбраны таким образом, чтобы каждая задача подчеркивала некоторую особенность применения граничного метода, всего приведено 13 примеров.

Поскольку предлагаемый метод наиболее удобен для решения дифференциальных уравнений с краевыми условиями в ограниченных областях по пространственной координате, то изложение в §3.1 начинается именно для такого случая. Рассмотрено б примеров в зависимости от типа граничных условий, а также от типа основного уравнения. В частности, пример б показывает применение граничного метода к волновому уравнению. Во всех рассмотренных примерах получены известные точные решения.

В §3.2 дана некоторая интерпретация собственных чисел краевых задач и показано, что можно построить собственные функции и собственные числа некоторых краевых задач без решения соответствующих ОДУ.

Применение граничного метода требует существенного использования граничных условий на обоих концах. В случае полуограниченной области граничное условие на бесконечности определяется фактически самим дифференциальным уравнением, поэтому на этой границе в основном задается условие ограниченности или какое-нибудь дополнительное условие, исходя из физических соображений. Вместе с тем, для приближенного решения задач в полубесконечной области такими методами, как интегральный или вариационный, используется понятие радиуса теплового влияния (глубина проникновения и т.д.) R(t), вне которого температуру можно считать невозмущенной. Вводя радиус теплового влияния, можно обобщить граничный метод для решения задач в полубесконечных областях. В §3.3 исследованы задачи в декартовой си-

стеме координат для полуограниченных областей. Вводя радиус теплового влияния R(t), эти задачи можно решить граничным методом, как и в §3.2, но в этом случае появится дополнительный неизвестный параметр H(t). Например, при решении простейшего уравнения теплопроводности для условий:

граничным методом

оыло получено

г Ап = (2п + 1)!!/(2п)!!, С'п шомиальные коэффициенты. В (8) входит неизвестный параметр Rn{t), для его определения в работе указывается по крайней мере 3 способа вычи-с л е н R(t): з интеграла теплового баланса, из самого исходного уравнения и из рекуррентных соотрюшений для коэффициентов a,(i) ряда. Во всех трех случаях имеет вид Rn = 2yj{n + c)t, где Vc = const. Показано, что для таких Rn приближенное решение (8) стремится к точному при п —» оо для любого значения с = const. Таким образом, каждый из трех способов дает точное решение задачи, отличие различных методов состоит в разной скорости сходимости полинома (8) при п —* оо, поскольку константа с имеет разные значения для всех 3-х способов определения R„(t). В зависимости от граничных условий было рассмотрено 3 примера.

Параграф 3.4 посвящен вопросам уточнения граничных условий на R„(t). Традиционное задание начального условия на радиусе не всегда приводит к точному решению при

оо. Показано, что граничное условие на границе Rn(t) должно быть уточнено в зависимости от вида основного уравнения. В качестве примера рассмотрена задача:

(8)

^ + <7, 0 < X < ОО,

(9)

• T(0,i) = 0,

Т(х, 0) = Т„ = const, о = ст0/ А

(10)

Условие (10) небходимо скорректировать в виде:

T(B„[t),t) = TH+i7t.t

(И)

Используя условие (11), а не условие (10) на радиусе Л„(/), получим следующее приближенное решение

где радиус определяется одним из 3-х способов. Нетрудно убедиться, что приближенное решение (12) сходится к точному решению уравнения (9) при увеличении п.

Для того, чтобы улучшить скорость сходимости решения (12), следуя §2.7, выражение (12) преобразуем к виду:

2.4-1

т-(т + аХ\к<тЛ (2п + 1)!!А(-1)'С- ( х V

~ \ ка1 "жъ (5+1) и;

Ш. ( X2 \ ст.

где 11,, = 2\/пк1Ь.

(13)

Выражение (13) даже при п — 0 дает хорошую точность решения. В данном случае при <т = ст0/А = 0,5; Г„ = 2; к = 0,004; I = 250; х = 1 получим значение 1,345, а при п = 2 - 1,378, в то же время точное решение дает 1,401. При п = 2 решение (12) дает значение 1,604, что значительно хуже.

В параграфе 3.5 даны приближенные формулы решения линейных задач теплопроводности и численные сравнения точности предлагаемого метода. Показано, что даже при п = 1 практически для всей области достижима точность, пригодная для инженерных расчетов. Например:

1. Пусть на поверхности полубесконечной среды с постоянной начальной температурой Т(х, 0) = Гк задана постоянная температура Т(0, *) = Тпов. Тогда приближенная формула, полученная граничным методом, для безразмерной температуры имеет вид

й т"-г" 1 , уЧ-1 уси х \2,и

. (2114-1)!! ГДР Лп = (2п)!Г ' Сп =

и(цП11)!; 11.(0 = 2ч/к(п+1)1.

Таблица 1. Безразмерная температура при грапичном условии 1-го рола

i 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

форм. (И) » = 1 0,89 0,79 0,69 0,59 0,49 0,40 0,32 0,24 0,17 0,12

форм. (14) п = 2 0,89 0,78 0,68 0.58 0,49 0,40 0,32 0,25 0,19 0,13

форм. (14) 71 = 3 0,89 0,78 0,68 0,58 0,48 0,40 0,32 0,25 0,19 0,14

точное 0,89 0,78 0,67 0,58 0,48 0,10 0,32 0,26 0,20 0,16

Примечание. Здесь f = х/2у/к1.

В табл.1 дано численное сравнение точного решения с решением (14) при п — 1, п = 2 и п = 3. Из табл.1 видно, что при увеличении п улучшается точность. Однако даже при п — \ практически на всей области получена точность, пригодная для инженерных расчетов. Аналогично рассмотрены задачи с граничными условиями 2-го и 3-го родов.

Также изучены задачи для ограниченных областей.

2. На поверхностях неограниченной пластины толщиной 21 заданы граничные условия 1-го рода: T(—l,t) = Т„ов = const; T(l, t) = Тсн = const.

Задача решается в два этапа. На первом этапе рассматривается промежуток времени 0 < t < t0, где fo - момент времени, когда радиус Rn(t) достигает середины пластины.

В общем случае время to, за которое радиус R„(t) доходит до середины пластины, определяется соотношением Rn = 2л/2к(п + l)f = I, из которого следует, что <0 = /2/4к(п + 1).

На втором этапе решения задачи рассматривается промежуток времени В данном случае ограничиваемся полиномом, например, четвертой степени. При этом константу интегрирования находим исходя из того, что в середине полосы должно выполняться исходное начальное условие. Тогда получим

Т-Т» • =lf Tm-Тпоа _

2Тн 2 I Тсн ^пов 2ТМ VI}

eXp(°'3-2'4^)[5-6(92+(f)4]}. (15)

В табл.2 дано сравнение приближенного решения с точным при следующих исходных данных: Т,10в = Тсн = 2°С, к = 0,005л13/чпс, I = 1 м. В данном случае Ц = 25час (п=1). Здесь рассматривается формула (15), т.е. берется время t > 25час.

Таблица 2. Сравнение приближенного и точного решения на пластине

I, г = юоч. ( = 200ч. г = 300ч.

м (форм. 15) точное форм. (15) точное форм. (15) точное

0,9 1,871 1,884 1,961 1,966 1,996 1,997

0,7 1,626 1.663 1,887 1,902 1,990 1,992

0,5 1,421 1,476 1,825 1,847 1,984 1,987

0,3 1,273 1,339 1,781 1,808 1,980 1,984

0,1 1,197 1,268 1,758 1,787 1,978 1,982

При задании других граничных условий на пластине поступаем, как и выше, т.е. задачу разбиваем на два этапа.

В § 3.6 рассмотрена специфика применения граничного метода для областей в цилиндрической системе координат. Приведено 2 примера в зависимости от размеров области: 0 < х < г и 0 < Г1 < х < г2 < оо, и получены соответствующие аналитические решения. Аналогично решается случай сферической системы координат.

В главе 4 даны приближенные аналитические решения нелинейных задач теории теплопроводности в зависимости от типа нелинейности. Известно, что математическая модель теплопроводности может стать нелинейной из-за зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности А(Т), удельной объемной теплоемкости С(Т) = С(Т)р(Т) (нелинейность I-го рода), коэффициентов теплообмена а(Тп) и плотностей тепловых потоков (нелинейные граничные условия, внешняя нелинейность, нелинейность П-го рода), а также мощностей внутренних источников теплоты (нелинейность 111-го рода). При этом задачи типа Стефана отнесены к задачам с нелинейностью Ш-го рода. В §4.1 приведены приближенные решения задач с нелинейностью 1-го рода, т.е. задач, нелинейных из-за зависимости от температуры коэффициентов или теплопроводности Л(Т), или удельной объемной теплоемкости С(Т). В общем случае, когда оба коэффициента нелинейны, исходное уравнение соответствующим преобразованием можно привести к ниже рассмотренному. Было при-

ведено 4 примера; даны численные сравнения приближенных решений с точным решением для некоторых частных случаев зависимости А(Т) от Т. Например, пусть задано уравнение

— = —- [А (Т)—— I , 0 < х < оо, * > 0, со следующими усло-дЬ Ох \ ох /

виями: Т(0,*) = Т„, Т(оо,*) = Т(*,0) = 0, причем А(Т) - произвольная заданная функция, такая, что А(Т) > 0, в частности, [А(Г)]1=0#0.

Приближенное решение данной задачи, полученное граничным методом для полинома третьей степени, имеет вид:

+ 1

Д = 21

2А0(/

4 + 6Ао — 1

1 + 2А0

(16)

где А0 = Ао/Ао, А0 = [А*(Т)]Г=0 = А(Г„), А[, = (дЛ/дТ)х=0 = А'(Г„),

При А = ; _; А = у--^ = (1+аГ)ко известны точные ре-

1 — а! (1 — а! у

шения данной задачи. Но эти решения настолько сложны, что для получения результата (доведенного до численных значений) необходимо применение численных методов, реализация которых требует определенного иекз'сства.

Сравнение формул (16) и точных решений для соответствующих А приведено в табл. 3-5. Оно показывает достаточную точность (здесь принято

Решение легко обобщается на случай пластины. Параграф 4.2 посвящен задачам с нелинейностью П-го рода, т.е. нелинейных из-за нелинейной зависимости плотностей тепловых потоков д(Т) от температуры, в частности, рассмотрено

дТ

следующее граничное уело — = г = 0. ература

поверхности х = 1 при 5* = 10 имеетследующие значения: 0,86; 0,70; 0,58 соответственно временам ^0=0)29; 0,50; 0,85. Эти величины совпадают со значениями, приведенными в литературных источниках.

Глава 5 посвящена вопросам аналитического решения граничным методом задач с подвижными границами и состоит из 4-х параграфов. Задачи с подвижными границами имеют очень широкое практическое приложение в различных областях науки и техники. Вместе с тем,конструктивных аналитических методов получения точного решения таких задач практически нет. В большинстве методов успех дела решает случай. Дело в том, что точное решение задач с подвижными границами, например, задач стефановского типа, удается получить с помощью искусственных приемов или удачной догадки.

В §5.1 даны точные решения однофазных задач, при этом в решении подвижная граница входит в решение как параметр, для определения которой предлагается 3 способа.

Первый способ имеет частный характер. Пусть неизвестная граница £ разлагается в ряд, как функция времени: £ =

У^Ш £

Из дополнительных условий граничного мето да можно рекуррентно вычислить все з н а ч е

(£),=<,' еСЛ

только задано начальное значение например,

Второй способ имеет более общий характер. Построено аналитическое решение задач с подвижными границами в наибо-

лее общей постановке, т.е. не только в постановке стефановско-го типа, причем это решение представлено еще в двух других эквивалентных формах. В частности, используя формулы высшей производной сложной функции и общий алгоритм граничного метода конструктивно построено известное точное решение классической однофазной задачи Стефана (которое было получено благодаря удачной догадке) без каких-либо искусственных допущений.

Третий способ определения более пригоден для приближенного решения указанной задачи и изложен в § 5.2. В параграфе 5.1 было использовано только одно условие, условие типа вместе с тем из граничного метода следует, что из данного условия вытекает

(17)

Теперь в найденном ряде, где входит как неизвестный параметр, ограничимся полиномом степени п. Затем этот полином подставляем в исходное граничное условие и в дополнительные условия (17), при этом г пробегает от 1 до т. В ре-

зультате получим систему из

21+ЮДУ

порядка

+ 1 отно-

сительно Решая данную систему как алгебраическую систему относительно старших производных, приходим к одному дифференциальному уравнению первого порядка с начальным условием £(0) = 0. При п = 3 имеем

Зк

1 + Зк<Зф у

а температура определяется выражением

Qф

т = —

1 2к 3!

!к \ к J

(18)

(19)

Для оценки точности формулы (18) поступаем следующим образом. Рассмотрим точное решение, имеющее вид £ = 2

а й АГпехр(-/32) где р определяется уравнением р = ^ -Отсюда, А =

можно представить в виде

К =/Зехр(/32)етЩ. (20)

Далее формулу (18) приведем к виду £ = 2(3\/к1, при этом

(21)

Теперь, задаваясь некоторым значением /?, по формуле (20) вычисляем К, затем для найденного значения К вычисляем по формуле (21) значение /3. Сравнение вели'/Зи/^ля соответствующего К приведено в табл.6.

Отсюда видно, что при К = АТп/^/хкфф <0,8 формула (18) дает хорошую точность. Приближенные формулы выведены для разного типа граничных условий. Приведены численные сравнения с точными решениями для частных случаев, которые показывают достаточную точность этих формул.

Например, при задании граничного условия второго рода для начальных условий имеем

2?* + 12д2 1

к<5ф

+ 1.

(22)

Для значений параметров А = 1,27; с = 0,316; р = 1400; XV — 0,15; Ь = 80; фф = Ьыр\ к = Х/ср д = 50 получено численное решение,

при этом за пространственный шаг взято значение 0,05. В табл. 8 дано сравнение температурных полей. Из табл. 7 и 8 видна достаточно хорошая сходимость метода.

Таблица 8. Динамика температуры

X (= 100 1 = 200 { = 400

числ. (19),(22) числ. (19),(22) числ. (19),(22)

0,025 8,6 8,6 15,8 15,9 27,2 27,7

0,075 6,8 6,7 13,9 14,0 25,3 25,7

0,125 5,0 4,8 12,0 12,2 23,4 23,9

0,175 3,3 3,1 10,2 10,0 21,6 21,8

0,225 1,6 1,4 8,4 8,6 19,8 20,2

0,275 - - 6,7 6,9 18,0 18,4

0,325 - - 5,0 5,2 16,3 16,7

0,375 - 3,3 3,7 14,7 15,0

0,425 • - - 1,6 2,1 13,1 13,4

0,475 - - 0,5 0,6 11,5 11,8

0,525 - - - - 9,9 10,2

0,575 - - - - 8,4 8,7

0,625 - - - - 7,0 7,2

В §5.3 показано, что предлагаемый метод особенно удобен для решения так называемых обратных краевых задач с подвижными границами, например, задач стефановского типа. По известным функциям в граничных условиях на движущейся по известному закону границе отыскивается значение температуры или градиент температуры на неподвижной границе по единому алгоритму. Для частных случаев получены известные точные решения, которые в литературе найдены самостоятельными методами.

В §5.4 подход, предложенный для решения однофазных задач, обобщен на двухфазные задачи. При этом предлагается два способа решения двухфазных задач: 1-ый связан с вводом радиуса теплового влияния во второй зоне, а 2-ой - с применением метода дробного дифференцирования.

В главе 6 отражены особенности применения граничного метода для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями.

Глубокий научный интерес к разработке методов решения систем нелинейных уравнений тепло- и массопереноса обусловлен адекватностью математической модели указанных систем к задачам, возникающим в областях знаний, не только в теплофизике, но и таких, как экономика, кибернетика и т.д. Глава состоит из двух параграфов. В §6.1 на примере решения линейной задачи тепло- и массопереноса дается обобще-

ние граничного метода, и пол.учены известные точные решения. Рассматриваются декартова и цилиндрическая системы координат. Во §6.2 дается приближенное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В главе 7 излагается схема применения граничного метода для решения неклассических задач математической физики, в частности, для решения параболического уравнения с переменным направлением времени. Найдены новые точные аналитические решения, точнее, в §7.1 предложено решение задачи с коэффициентома{дп(х) при производной по времени, а в § 7.2 — с коэффициентом х2п+1. При решении выше указанных задач, а также аналогичных им, основная трудность заключается в приведении полученных СЛАУ к общему виду (3). Здесь показано два способа преодоления этих трудностей. В §7.1 предлагается ввести весовой множитель, имеющий значение 0 или 1, в индексе суммирования, например, следующим образом:

«ед, ВД = 41 (1±А - [Ц^] ) + 2(2,- + 1) - Щ ) , г = 0,1,...,

где [г] - целая часть г; х,-, ащ) - соответственно, новые и старые неизвестные, а в § 7.2 вводятся весовые множители в самой системе.

Глава, 8 посвящена математическому моделированию физических процессов, связанных с технологией разработки месторождений минерального сырья. В §8.1 изучена модель размыва мерзлых пород с целью достижения эффективности диспергирования глинистых пород, содержащих полезное ископаемое, и максимальной скорости их оттаивания.

Исследование искусственного оттаивания как одного из важнейших этапов технологического цикла при разработке россыпных месторождений, расположенных в области распространения многолетнемерзлых пород, изучались многими авторами (Бакакин В.П., Балобаев В.Т., Гольдтман В.Г., Павлов А.В., Оловин Б.А., Перлыптейн Г.З. и др.). В ИГДС СО РАН (Скуба В.Н., Саввин Е.Д.) был предложен гидравлический способ разработки труднопромывистых глинистых песков в режиме абляции. Эффективность разработки гидравлическим способом зависит от скорости оттаивания, которая характеризуется качеством удаления талых пород с мерзлой поверхности.

Скорость оттаивания будет наибольшей тогда, когда теплоноситель непосредственно соприкасается с мерзлой поверхностью, т.е. когда между ними отсутствует талый слой пород. Таким образом, исследуемое явление сводится к решению задачи об абляции - плавлении твердого вещества с полным удалением оттаявшей породы:

(23)

где индекс м - для мерзлой зоны; £ - глубина протаивавия, м; К - радиус теплового влияния, м; д - тепловой поток, Вт/м2.

Поток q в мерзлые горные породы определяем из соотношения теплового баланса на поверхности обнажения

д = Я- ЬЕ - Р,

(24)

где Я = <ЭС( 1 — А) — Ро - радиационный баланс; ЬЕ- затраты тепла на испарение; Р - турбулентный теплообмен с приземным воздухом; суммарная коротковолновая радиация солнца; А - коэффициент отражательной способности поверхности (альбедо); ¿-о - эффективное излучение.

Выражение (24) расписывается с учетом работ Павлова А.В., Оловина Б.А., при этом добавляется член, учитывающий процесс дождевания. Анализ составляющих баланса показал, что при непрерывном удалении талой породы получим максимальную аккумуляцию тепла на протаивание мерзлой породы.

Приближенное аналитическое решение задачи (23),(24), полученное граничным методом, имеет вид

2Ам<м1ш

£ =

3 д(с <м + Ьш)

<]Т

р(сыгм + Ью)'

(25)

Для определения глубины протаивания при послойном снятии талой породы предложено несколько формул, например,

следующее выражение (Павлов А.В., Оловин Б.А.):

£ = + +0,76 «м+«'м. (20)

°эф V \аеф/ °=<ф

Результаты расчетов (табл. 9) показывают, что при накоплении талого слоя (по формуле (26)) скорость оттаивания мерзлых пород резко замедляется, а при непрерывном удалении его - остается постоянной (по формуле (25)).

Таблица 9. Расчет глубины оттаивания

Т1 Ч Глубина оттаивания, м

по формуле (25) по формуле (26)

I 0,01 0,01

2 0,03 0,02

4 0,06 0,04

10 0,15 0,07

20 0,30 0,12

60 0,91 0,22

120 1,83 0,32

240 3,67 0,47

С целью проверки результатов аналитического решения задачи скорости протаивания по формуле (25) были проведены лабораторные исследования. Данные эксперимента подтверждают характер изменения скорости размыва, полученный при аналитическом решении задачи.

В §8.2 проведено математическое моделирование процесса течения ламинарного пограничного слоя вдоль поверхности магнитного шлюза. Хорошо известно, что в промприборах, например, типа ПГБ - 75, эксплуатируемых на россыпных месторождениях золота, извлечение редко превышает 80%, при этом основные потери падают на долю тонких классов ценных компонентов. В ИГДС ЯНЦ СО РАН (Саввин Е.Д., Изак-сон В.Ю., Ковлеков И.И.) был предложен способ обогащения тонких классов полезных ископаемых на магнитных шлюзах, т.е. на магнитных осадительных поверхностях. Теория и практика обогащения ферромагнитных частиц магнитными сепера-торами изучены в достаточной мере (Кармазин В.И., Тихонов О.Н.). В ходе проведения промышленных испытаний магнитных шлюзов для обогащения золотосодержащих песков было

обнаружено, что необходимо разделить два принципиально различных режима полезной работы этих шлюзов. К первому режиму работы шлюза можно отнести работу магнитного шлюза до насыщения поверхности шлюза ферромагнитными частицами, а ко второму - работу шлюза после насыщения. Во время первого режима работы формируется длинноцепоч-ная структура из сфлокулированных ферромагнитных частиц с определенной толщиной слоя, и через этот слой фильтруется пульпа, оставляя в нем концентрат тяжелых немагнитных металлов (золота, платины, олова и т.д.) (Кармазин В.И., За-киева Н.И.). После насыщения сгенерированного слоя ферромагнитными частицами, над этим слоем в силу уменьшения напряженности магнитного поля медленно начинает течь вместе с пульпой пограничный слой сфлокулированных частиц, унося с собой концентрат тяжелых минералов (в том числе немагнитных). В диссертации рассматривается второй режим работы магнитного шлюза, практически не изученный до настоящего времени . В этом случае возникает возможность описать этот процесс стационарными уравнениями Прандтля для плоского пограничного слоя с учетом влияния магнитной вязкости (Шлихтинг Г., Лойцянский Л.Г., Кармазин В.И.):

(27)

(28)

где - коэффициенты соответственно молекулярной и маг-

нитной вязкости суспензии. При этом задаются стандартные граничные условия:

¿(я, у) = у) - 0 при у = О, и{х,у) — и{х) при у = оо.

(29)

(30)

В соответствии с методом Польгаузена - Кармана условия на бесконечности (31) заменяются условиями на ¿(х) - толщине пограничного слоя (его аналог - радиус теплового влияния для тепловых задач - рассмотрен выше) :

Решения ищутся в виде степенных рядов по координате у:

Для определения неизвестных коэффициентов а,(х), 6,(я) необходимо задать дополнительные граничные условия.

Опыт применения граничного метода для решения тепловых задач показал, что нужно задавать одинаковое количество дополнительных условий на обоих концах, т.е. при у = О и у = 6. Поэтому выводятся дополнительные условия и при у = 0. В частности, если ограничиться в рядах (32) полиномом седьмой степени, то следует задать следующие дополнительные условия, которые получены традиционным алгоритмом граничного метода:

Подставляя урезанные ряды (32) в условия (29),(31),(33), определяем неизвестные коэффициенты о,-,

Из уравнения энергии находим ¿(х). Зная 5(аг), можно вычислить толщину вытеснения <5i(x), толщину потери импульса ¿¡(х), толщину потери энергии <5з(х). В частном случае, когда U(x) = const, профиль скорости и будет иметь вид:

В этом случае, вводя замену переменных rj = y\fUJvx, рассматриваемую задачу можно свести к решению одного нелинейного ОДУ 3-го порядка с граничными условиями / = 0; /' = О для 1] = 0 и /' = 1 для т} = оо, при этом и = VvxUf(rj):

V"'(>l) + fW"(>)) = 0 (35)

Таблица 10. Относительная продольная составляющая скорости и/и для пограничного слоя на плоской пластине

Í 0,2 0,6 1,0 1,8 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8

фор.(34) u/U 0,06 0,19 0,31 0,54 0,65 0,75 0,83 0,90 0,95

Хоуарт u/U 0,07 0,20 0,33 0,57 0,68 0,77 0,85 0,90 0,94

Примечание. Здесь — y<jujvx

Л.Хоуарт численно решил уравнение (35), выполнив все вычисления с большой точностью. В табл.10 дано численное сравнение результатов, полученных Хоуартом и по формуле (34), которое показывает достаточно хорошую точность формулы (34). Из выражений для <5,(ж) можно получить: ¿i(x) =

0.313<5(х), ¿2OO = 0,116£(х), ¿з(х) = 0,179<5(х). Для оценки производительности второго режима работы магнитного шлюза необходимо выбрать одну из величин 6¡, исходя из экспериментальных данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан новый аналитический метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Он назван граничным методом. При этом:

— изложены основная идея и алгоритм метода решения дифференциального уравнения с частными производными второго порядка с краевыми условиями;

— исследованы специальные СЛАУ, даны их замкнутые решения; по сути дела, к решению этих систем сводится решение линейных дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями; получены условия сходимости соответствующих рядов;

— на многочисленных примерах решения одномерных линейных и нелинейных задач теплопроводности с различными краевыми условиями в декартовой и цилиндрической системах координат, в ограниченной и неограниченной областях, а также систем линейных и нелинейных уравнений тепломассообмена, отработана техника применения граничного ме-

тода; получены известные точные решения;

— предложены простые приближенные формулы расчета типичных линейных и нелинейных тепловых задач, в зависимости от типа нелинейности; указаны границы применения решений на основе проведения численных оценок точности;

— приведены новые аналитические решения однофазных задач с подвижными границами, при этом неизвестная граница входит в решение как параметр; для определения этой границы указаны три способа; предложенные формулы особенно эффективны при решении так называемых обратных задач, что и показано на конкретных примерах; данный подход обобщен и на двухфазные задачи;

— получены новые точные аналитические решения краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени; рассмотрены задачи в области — 1 < х < 1 с коэффициентами при производной по времени. II. Построены и численно исследованы математические модели процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий. При этом:

— в рамках теории пограничного слоя предложена математическая модель процесса течения слоя ферромагнитных частиц вдоль поверхности магнитного шлюза с целью повышения извлечения тонких классов тяжелых компонентов (немагнитных металлов: золота, олова, платины и т.д.) полезных ископаемых; на основе граничного метода получены основные расчетные параметры процесса;

— предложена математическая модель гидравлического способа оттаивания высокоглинистых пород в режиме абляции с целью достижения эффективности диспергирования глинистых фракций; на основе граничного метода произведен расчет важнейших параметров разработки мерзлых глинистых пород непрерывным снятием талой зоны дождеванием.

Основные работы автора по теме диссертации:

[1] Федоров Ф.М. Сходимость интегрального метода для задач теплопроводности // Методы прикладной математики и автоматизация научного эксперимента. - Якутск: ЯФ СО

АН СССР, 1980. - С. 67-75.

[2] Федоров Ф.М. Граничный метод решения задач теплопроводности// БНТИ. Методы и алгоритмы прикл. математики. -Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1980. -С. 24-27.

[3] Федоров Ф.М. О сходимости граничного метода для задач теплопроводности // Там же. - С. 27-29.

[4] Федоров Ф.М., Саввин Е.Д. Скорость оттаивания мерзлых глинистых пород при размыве // Проблемы горного дела Севера. - Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1981. - С. 7-11.

[5] Федоров Ф.М. Приближенные аналитические решения линейного уравнения теплопроводности, полученные граничным методом // Методы и алгоритмы прикладной математики в задачах теплофизики и обработки эксперимента. - Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983. - С. 50-58.

[6] Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах линейной теплопроводности//Препр. - Якутск: ЯФСОАН, 1986. - 28 с.

[7] Федоров Ф.М. Простые формулы решения однофазных задач Стефана // Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных объектов. - Якутск: - ЯГУ, 1986. - С. 36-41.

[8] Федоров Ф.М. О решении некоторых линейных систем алгебраических уравнений // Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями. - Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1986. - С. 77-84.

[9] Федоров Ф.М., Захарова А.П. Применение граничного метода к решению нелинейной задачи теплопроводности // Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных объектов. - Якутск: ЯГУ, 1986. - С 30-36.

[10] Федоров Ф.М. Уточнение граничных условий на границе теплового влияния // Методы прикладной математики и мат. физики. - Якутск: ЯФСОАН СССР, 1987. С. 31-37.

[11] Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах нелинейной теплопроводности//Препр. - Якутск: ЯФСОАН, 1988.-28с.

[12] Федоров Ф.М. Применение граничного метода для решения задач теплопроводности с осевой симметрией // Дифференциальные уравнения и их приложения. - Якутск: ЯНН СО АН СССР, 1989. С. 47-54.

[13] Федоров Ф.М., Саввинова Т.А. Аналитическое решение задач стефановского типа граничным методом // Дифференциальные уравнения и их приложения. - Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1989. - С. 55-63.

[14] Федоров Ф.М. О некоторых специальных рекуррентных соотношениях // Учен, записки ЯГУ. Сер. Математика. Физика. - Якутск: ЯГУ, 1994. - С. 74-78.

[15] Федоров Ф.М., Саввинова Т.А. Граничный метод в задачах тепло-и массопереноса // Мат. заметки ЯГУ. - Новосибирск, 1994. - Т. 1, №2. - С. 84-91.

[16] Федоров Ф.М., Саввинова Т.А. Высшие производные сложной функции одной переменной // Мат. заметки ЯГУ. -Новосибирск, 1995. - Т. 2, №1. - С. 72-80.

[17] Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. - Новосибирск, 1995. - Т. 2, №. - С. 52-60.

[18] Федоров Ф.М., Саввинова Т.А. Высшие производные сложной функции двух переменных // Мат. заметки ЯГУ. -Новосибирск, 1996. - Т. 3, №1. - С. 57-62.

[19] Федоров Ф.М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ. - Новосибирск, 1996. - Т. 3, №2. - С. 62-71.

[20] Федоров Ф.М. Обратная задача с подвижной границей в области 0 < х < £(i) // Мат. заметки ЯГУ. - Новосибирск, 1997.

- Т.4, №2. - С. 60-67.

[21] Fedorov F.M., Savin E.D. On Calculation of the Boundary Layer of a Flow Along the Surface of a Magnetic Gate // Мат. заметки ЯГУ.

- Новосибирск, 1998. - Т. 5, №1, - С.144-149.

[22] Федоров Ф.М. Приближенное решение систем нелинейных уравнений тепломассообмена граничным методом // Региональные проблемы Сибири и Дальнего Востока. Матер. VI-ого Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посв, памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980). 26 июня - 1 июля 2000 г., Новосибирск. - Новосибирск: ИМ СО РАН 2000. - С. 71-78.

[23] Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 2000. -220 с.

Изд. лиц. № 000053 oт 20.09.97. Подписано в печать 17.09.2002. Формат 60x84/16. Бумага тип. №2. Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ 154.

Издательство ЯГУ. 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58

I 16994

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Федоров, Фома Михайлович

Введение

1. Методы решения дифференциальных уравнений в виде рядов. Краткий обзор

1.1. Метод специальных конструкций рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными (подход А.Ф.Сидорова).

1.2. Операторный метод.

1.3. Проекционные, вариационные и интегральные методы

2. Основы граничного метода

2.1. Основная идея метода.

2.1.1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

2.1.2. Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

2.2. Специальные системы алгебраических уравнений

2.3. Исследование СЛАУ.

2.4. О некоторых рекуррентных соотношениях

2.5. О высших порядках дифференциальных операторов

2.6. Высшие производные сложной функции.

2.6.1. Сложная функция от одной переменной

2.6.2. Сложная функция от двух переменных

2.7. О методах улучшения скорости сходимости рядов

2.8. Дробное дифференцирование и граничный метод

Одномерные линейные задачи теории теплопроводности

3.1. Ограниченная область. Декартова система координат

3.2. О собственных функциях и собственных числах краевых задач.

3.3. Полуограниченная область. Декартова система координат.

3.4. Уточнение граничных условий на радиусе теплового влияния

3.5. Приближенные решения.

3.6. Цилиндрическая система координат.

Одномерные нелинейные задачи теории теплопроводности

4.1. Задачи с нелинейностью 1-го рода.

4.2. Задачи с нелинейностью П-го рода.

Задачи с подвижными границами

5.1. Однофазные задачи. Точные решения.

5.2. Приближенные решения.

5.3. Обратные задачи.

5.4. Двухфазные задачи.

Системы дифференциальных уравнений в частных производных 208 6.1. Линейные уравнения тепломассообмена.

6.2. Нелинейные уравнения тепломассообмена

7. Задачи с переменным направлением времени

7.1. Задача с коэффициентом sign(x) при производной по времени.

7.2. Задача с коэффициентом x2n+l при производной по времени.

8. Математическое моделирование процессов тепло-мас-сообмена, обусловленных освоением северных территорий 253 8.1. Математическая модель размыва мерзлых горных пород

8.4. Расчет ламинарного пограничного слоя течения вдоль поверхности магнитного шлюза.

Введение 2002 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Федоров, Фома Михайлович

Актуальность проблемы. Метод математического моделирования, как инструмент научного познания, сформулированный и развиваемый усилиями отечественных научных школ академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Янен-ко, Г.И. Марчука, Н.Н. Моисеева и А.Ф. Сидорова, представляет собой содержание триады "модель - алгоритм - программа", т. е. предполагает выполнение трех последовательных этапов исследования - построение математической модели, разработка вычислительных алгоритмов и программы их реализации на компьютере. Несмотря на многообразие всех физических и технических проблем, возникающих при решении научных и прикладных задач, их строгое математическое описание, если это возможно, сводится, как правило, к ограниченному числу классов дифференциальных уравнений, т.е. различные физические процессы допускают сходные математические описания. Так, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности, фильтрации и т.д. описываются одним и тем же уравнением параболического типа (уравнением теплопроводности), стационарные процессы диффузии, теплопроводности, течения несжимаемой жидкости, электростатики и т.д. описываются уравнением эллиптического типа (уравнением Лапласа или Пуассона), малые колебания стержней, акустические и электромагнитные колебания и т.д. описываются уравнением гиперболического типа (волновым уравнением). Эти уравнения и их сочетания чаще всего и являются основой математической модели рассматриваемых физических явлений. В свою очередь, разработка вычислительных алгоритмов тесно связана с разработкой общих методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Таковыми в основном являются аналитические методы (точные и приближенные) (JI.B. Канторович [64, 65], Б.Г. Галеркин [40], Г.А. Гринберг [47], А.А. Дородницын [55], JI.B. Овсянников [114, 115], А.А. Самарский, С.П. Курдюмов, В.А. Галактионов [38, 39, 132, 133], В.Н. Монахов [109-111], М.А. Алексидзе [1], В.Д. Купрадзе [86, 87], А.Ф. Сидоров, Н.Н. Яненко, В.П. Шапеев [125, 146], А.Д. Полянин [120], В.П. Маслов [96], Э.М. Карташов [70, 71], Н.Х. Ибрагимов [230], С.С. Титов [156, 157], Ю.М. Григорьев [46], М.Ю. Филимонов [207], М. Танака [232], X. Фуджита [225], Ж. Филип [239] и др.), численные методы (А.Н.Тихонов, А.А.Самарский [122, 130-132], Г.И. Марчук [98, 99], Н.Н. Яненко [218-220], С.К. Годунов [41], Н.Н. Моисеев [107, 108], Ю.И. Шокин [216], А.Н. Коновалов [80, 219, 233], Ф.П. Васильев [29, 30], И.В. Фрязинов [212, 213], П.Н. Вабищевич [21-23], А.Ф. Воеводин [34, 35], В.И. Дро-бышевич [56-58], В.И. Васильев [24-28] и др.) и метод прямых (И.С. Березин [13], С.Г. Михлин [105, 106], О.А. Лисковец [91] и др.). Яркий пример удачного сочетания аналитических и численных методов моделирования нелинейной модели - нелинейная теплопроводность плюс нелинейное объемное энерговыделение - отражен в работах А.А. Самарского и его соратников С.П. Курдюмова, В.А. Галактионова, А.П. Михайлова [38, 39, 133]. Следует отметить, что для каждой задачи математической физики (и даже в пределах одной задачи) имеется свой наиболее рациональный метод решения с точки зрения экономии времени, труда и достижения наибольшей точности. Преимущества (такие, как обозримость, бы строта достижения конечного численного результата и т.д.) и недостатки, причем очень существенные, (например, ограниченный круг применения) аналитических методов перед численными методами в достаточной мере описаны в различной литературе [70, 120, 146 и др.]. Тем не менее, остановимся на некоторых моментах преимущества аналитических методов решения дифференциальных уравнений в частных производных перед численными, отмеченными академиками А.Ф.Сидоровым, Н.Н. Яненко и их учениками [146, 156, 157]. Прежде всего они указали, что трудности проблемы аналитического представления решений привели к двум направлениям развития теории уравнений с частными производными. В первое вошли теоремы существования решений краевых задач или задач Коши. Однако даже при доказанных теоремах существования локальная структура решения большой частью остается неясной. Это затрудняет анализ необходимых для практики решений и их более глубокое осмысление. Ко второму относятся методы приближенного интегрирования, заключающиеся в построении цепочки моделей, для которых возможны эффективные аналитические или численные решения.

Вместе с тем, как правило [120, 146 и др.], численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов аналитических решений возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации. Далее, точные решения дифференциальных уравнений служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования и дают представление о структуре общего решения. Как показывает практика решения задач на ЭВМ приближенными методами, наличие теста полезно не только при выборе приближенного метода, но и на других этапах технологической цепочки при решении задачи на ЭВМ. Оно помогает быстрее отладить программу, оценить погрешность результата и гарантирует его достоверность. Значение точных решений дифференциальных уравнений этим не исчерпывается. Их знание позволяет изучить свойства решений и глубже проникнуть в физику явлений, описываемых дифференциальными уравнениями [146]. Даже те частные точные решения дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве "тестовых" задач при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных методов, которые, в свою, очередь, позволяют исследовать уже более сложные задачи, например, тепло- и массопереноса, не имеющие точного аналитического решения [120]. Таким образом, каждое точное решение дифференциальных уравнений имеет большую ценность, во-первых, как точное описание реального процесса в рамках данной модели, во-вторых, как тест для апробации и сравнения различных численных методик, в-третьих, как теоретический факт, осмысление которого помогает совершенствовать используемые модели [156, 157].

Необходимо отметить еще одно не менее важное достоинство аналитических методов. Представление аналитического решения одной и той же задачи в различных эквивалентных функциональных формах (тождественных в смысле числа) имеет большую практическую ценность, так как позволяет варьировать решением в зависимости от постановки задачи. Например, представление решения тепловой задачи в форме ряда Фурье удобно для больших времен, а в виде формулы суммирования Пуассона более подходит для малых времен [70, 93].

Основу данной диссертации составляют следующие научные отчеты по госбюджетным темам, выполненным в ОПМВТ ЯНЦ СО РАН и в НИИПМиИ при ЯГУ, ответственным исполнителем и научным руководителем которых был автор:

1. Разработка методов решения ОДУ и уравнений в частных производных. N гос. per. 78069293 , Фонды ОПМВТ ЯНЦ СО РАН, Якутск, 1983, 212 с.

2. Разработка граничного метода для решения прикладных задач математической физики. N гос. per. 01.87.0082046 , Фонды ОПМВТ СО РАН, Якутск, 1990, 195 с.

3. Разработка и применение математических методов в экологических системах. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 1995, 48 с.

4. Исследование и разработка задач для неклассических уравнений математической физики и прикладной экологии. Фонды НИИПМиИ при ЯГУ, Якутск, 2000, 107 с.

Цель работы заключается в разработке нового аналитического метода моделирования физических явлений, описы-вемых дифференциальными уравнениями в частных производных, и в построении математических моделей некоторых процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий, и их численной реализации.

В диссертации разрабатывается новый аналитический метод решения (в основном на примере решения задач теплопроводности) дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, названный автором разработки граничным методом. Известно, что для получения точных аналитических решений линейного уравнения теплопроводности и вообще линейных дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используются четыре основных классических метода: метод разделения переменных (метод Фурье), метод конечных интегральных преобразований (метод Гринберга), операционный метод (метод Лапласа) и, наконец, метод источников (метод функций Грина).

Метод Фурье (метод разделения переменных) - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений

Lu)(x, у) = Ми - Nu = 0, х € Rn, у £ Rm, (1) где M(N) - линейное дифференциальное выражение, содержащее производные только по переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х{у). Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в которых оно допускает разделение переменных, т.е. приводится к виду (1). Задача отыскания систем координат, допускающих разделение переменных, тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классических уравнений (Лапласа, Гельмголь-ца, Шредингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж.Д' Аламбером (J.D'Alember, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в начале 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М.В. Остроградским в 1828 [17, 103].

Метод интегральных преобразований представляет собой совокупность методов (классифицируемых по типу интегрального преобразования с конечными и бесконечными пределами) решения линейных дифференциальных уравнений при заданных краевых или начальных условиях, состоящих в переходе от данного уравнения к уравнению для интегрального преобразования искомой функции. Последнее уравнение может оказаться более простым. В случае конечных пределов интегрирования данный метод называется методом конечных интегральных преобразований или методом Гринберга. Работами Н.С. Кошлякова [82], Г.А. Гринберга [47], И. Снеддона [148], Г. Дейча [52] интегральные преобразования Фурье и Ханкеля распространены на конечную область исключаемых переменных. Г.А. Гринберг [47] разработал идею, предложенную Н.С. Кошляковым [82] и обобщил этот метод для решения задач теплопроводности (диффузии) с подвижными границами [48-50], т.е. для решения линейных дифференциальных уравнений с нелинейными граничными условиями. Именно это обстоятельство обусловило выделение метода Гринберга как самостоятельного метода. Для решения полностью линейных задач наибольшее распространение получил операционный метод (метод Лапласа).

Метод Лапласа, преобразование Лапласа или операционный метод - метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений в частных производных с помощью интеграла (преобразования) Лапласа:

JfOO f(z)exp(-pz)dz. (2) о

Многие интегралы вида (2) были рассмотрены П.Лапласом в 1812 г. [235].

Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (2), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регулирующего алгоритма. Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности, по многочленам Чебышева, в

Лежандра, Якоби и Лагерра [32, 52-54, 83, 222].

Метод функций Грина, метод источников - метод отыскания решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью функции Грина. Функция Грина названа по имени Дж. Грина [229], впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала.

Функция Грина краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников [16, 112, 149]. Метод функции Грина и в настоящее время не потерял своей актуальности [45].

Более подробный обзор работ по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями применительно к решению задач тепло-массообмена можно найти в работах [74, 75, 84].

Автор надеется, что предлагаемый здесь метод займет достойное место среди вышеупомянутых методов, более того, если эти методы принципиально не пригодны для точного решения нелинейных задач, то граничный метод применим не только для приближенного, но иногда и для точного решения нелинейных задач.

По исторически сложившейся традиции предлагаемый метод можно было бы назвать методом степенных рядов, однако автор склонен назвать его граничным методом. И вот почему: во-первых, в настоящее время степенные ряды применяются при решении дифференциальных уравнений в частных производных в сочетании с другими методами, например, вариационными, и то при получении приближенных решений; во-вторых, основная идея предлагаемого метода основывается на предположении, что искомое решение удовлетворяет (естественно, в предельном смысле) исходному дифференциальному уравнению в граничных точках, что может быть определяющим при названии метода.

Метод степенных рядов применяется со времен Эйлера и является классическим методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). С его помощью был открыт ряд трансцендентных функций (специальных функций математической физики), чрезвычайно обогативших арсенал анализа. Но до настоящего времени попытка применения его к решению дифференциальных уравнений в частных производных (в смысле единого самостоятельного метода) не увенчалась успехом. Ключ к применению степенных рядов для решения уравнений в частных производных с краевыми условиями дает, по-нашему мнению, граничный метод. В рамках настоящей диссертации в основном рассматриваются вопросы формального характера, т.е. методологические аспекты применения граничного метода к решению различных уравнений математической физики, включая и системы уравнений. Теоретические вопросы общего характера типа: сходимость рядов, оценка скорости сходимости и ряд других, составляют отдельную тему. Таким образом, круг вопросов, связанных с граничным методом, образует новое перспективное направление в решении уравнений математической физики, ориентированных для изучения прикладных задач.

Работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Формулы имеют тройную нумерацию: первое число означает главу, второе — пункт, и третье — номер формулы внутри пункта. Теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания, примеры, а также таблицы имеют сквозную нумерацию.

Первая глава содержит краткий обзор работ, в которых используются различные функциональные ряды для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Во второй главе излагаются основы нового аналитического метода решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Приводятся основная идея предлагаемого метода и его общая схема применения. Изучаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специальных видов, которые необходимы при применении граничного метода, а также некоторые специальные рекуррентные соотношения. При решении задач с подвижными границами данным методом появляется необходимость неоднократного дифференцирования сложных функций. Приводятся формулы дифференцирования высших порядков сложных функций от одного и двух переменных.

Третья глава посвящается технике применения граничного метода для получения точного аналитического решения одномерных линейных задач теплопроводности. Изложение основано на примерах решений простых задач, всего приводятся более 10 примеров в зависимости от характера задач.

В четвертой главе даны приближенные аналитические решения нелинейных задач теории теплопроводности в зависимости от типа нелинейности - задач с нелинейностью

1-го рода, т.е. нелинейных из-за зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности А(Т), удельной объемной теплоемкости С(Т), а также задач с нелинейностью П-го рода, т.е. нелинейных из-за нелинейной зависимости плотностей тепловых потоков q(T) от температуры.

Пятая глава посвящена вопросам аналитического решения граничным методом задач с подвижными границами. Задачи с подвижными границами имеют очень широкое практическое приложение в различных областях науки и техники. Выводятся точные решения однофазных задач, при этом подвижная граница £(t) входит в решении как параметр. Для определения £(<) предлагается 3 способа. Показано, что предлагаемый метод особенно удобен для решения так называемых обратных краевых задач с подвижными границами, например, задач стефановского типа. Подход, предложенный для решения однофазных задач, обобщается на двухфазные задачи. Предлагается два способа решения двухфазных задач: первый связан с вводом радиуса теплового влияния R(t) во второй зоне, а второй — с применением метода дробного дифференцирования.

В шестой главе отражаются особенности применения граничного метода для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями на примере решения линейных и нелинейных задач тепло-и массопереноса.

В седьмой главе излагается схема применения граничного метода для решения неклассических задач математической физики, в частности, для решения параболического уравнения с переменным направлением времени. Найдены точные аналитические решения для задач с коэффициентами sign(x) и x2n+l при производной по времени.

Восьмая глава посвящена математическому моделированию конкретных физических процессов, связанных с технологией разработки месторождений минерального сырья. Изучена математическая модель размыва мерзлых горных пород с целью достижения эффективности диспергирования глинистых пород, содержащих полезное ископаемое, и максимальной скорости их оттаивания. Проведено математическое моделирование процесса течения ламинарного пограничного слоя вдоль поверхности магнитного шлюза.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность члену-корреспонденту РАН В.Н. Монахову, профессорам д.ф.-м.н. И.Е. Егорову, д.ф.-м.н. А.Г. Подгаеву, д.ф.-м.н. С.В. Попову, а также к.ф.-м.н. В.З. Борисову, к.ф.-м.н. В.Е. Федорову за полезные обсуждения и советы.

Основные результаты диссертации по разрабоке граничного метода изложены в монографии автора [202], а материалы главы 8 по применению граничного метода при математическом моделировании реальных процессов опубликованы в работах [129, 195-197, 223]. В совместных публикациях автору в основном принадлежат: математическая постановка задач, идеи решений, общее руководство, а соавторам - конкретные выкладки, расчеты и проведение экспериментальных работ.

Заключение диссертация на тему "Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике"

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

I. Разработан новый аналитический метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Он назван граничным методом. При этом: изложены основная идея и алгоритм метода решения дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с краевыми условиями; исследованы специальные СЛАУ, даны их замкнутые решения; по сути дела, к решению этих систем сводится решение линейных дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями; получены условия сходимости соответствующих рядов; на многочисленных примерах решения одномерных линейных и нелинейных задач теплопроводности с различными краевыми условиями в декартовой и цилиндрической системе координат, в ограниченной и неограниченной областях, а также систем линейных и нелинейных уравнений тепло-массообмена, отработана техника применения граничного метода; получены известные точные аналитические решения; предложены простые приближенные формулы расчета типичных линейных и нелинейных тепловых задач, в зависимости от типа нелинейности; указаны границы применения этих решений на основе проведения численных оценок точности; приведены новые аналитические решения однофазных задач с подвижными границами, при этом неизвестная граница входит в решение как параметр; для определения этой границы указаны три способа; предложенные формулы особенно эффективны при решении так называемых обратных задач, что и показано на конкретных примерах; данный подход обобщен и на двухфазные задачи; получены новые точные аналитические решения краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени; рассмотрены задачи в области — 1 < х < 1 с коэффициентами sign(x) и x2n+l при производной по времени. II. Построены и численно исследованы математические модели процессов тепло-массообмена, обусловленных освоением северных территорий. При этом: в рамках теории пограничного слоя предложена математическая модель процесса течения слоя ферромагнитных частиц вдоль поверхности магнитного шлюза с целью повышения извлечения тонких классов тяжелых компонентов (немагнитных металлов: золота, олова, платины и т.д.) полезных ископаемых; на основе граничного метода получены основные расчетные параметры процесса; предложена математическая модель гидравлического способа оттаивания высокоглинистых мерзлых пород в режиме абляции с целью достижения эффективности диспергирования глинистых фракций; на основе граничного метода произведен расчет важнейших параметров разработки мерзлых глинистых пород непрерывным снятием талой зоны дождеванием.

Библиография Федоров, Фома Михайлович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. - М.: Наука, 1978.

2. Андреев В.К. Вопросы прикладного функционального анализа // Учебное пособие. Красноярск: КГУ, 1998.

3. Арэ Ф.М., Балобаев В.Т. Защита грунта от зимнего промерзания при помощи воздушно-ледового покрова. М.: Наука, 1965.

4. Бабенко Ю.И. Тепло-массо-обмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Ленинград: Химия, 1986.

5. Бакакин В.П. Опыт управления теплообменом деятельного слоя мерзлых горных пород в целях повышения их разработки. М.: АН СССР, 1955.

6. Балобаев В.Т. Процессы теплообмена на поверхности мерзлых мелкодисперсных пород при послойном оттаивании // Тепло- и массо-обмен в мерзлых почвах и горных породах. М.: АН СССР, 1961.

7. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. -Д.: Гидрометеоиздат, 1982.

8. Баутин С.П. Использование специальных рядов для приближенного расчета движения слабых ударных волн по покоящейся неоднородной среде // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1975. Т.б, N1. С. 5-12.

9. Баутин С.П. Исследование области сходимости специальных рядов, решающих некоторые задачи газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978. - Т.9, N4. -С. 5-17.

10. Баутин С.П., Дерябин C.J1. О существовании аналитических решений задачи о разлете газа в вакуум при наличии угловой точки // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 3-14.

11. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970.

12. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. Часть 1. М.: Высшая школа, 1982.

13. Бсрсзин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.II М.: Физ-матгиз, I960.

14. Бернштейи С.Н. Собрание сочинений. Т.1 М.: АН СССР, 1952. -С.251-252.

15. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.З М.: АН СССР, 1960.

16. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ. М.: Мир, 1966.

17. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

18. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: "Фан", 1987.

19. Бондаренко Б.А., Филатов А.Н. Квазиполиномиальные функции и их приложения к задачам теории упругости. Ташкент: "Фан", 1978.

20. Бондаренко Б.А., Ходжаниязов Д. Полиномиальные и присоединенные решения уравнения теплопроводности и его итераций // Известия АН Уз. ССР, 1974. N5. - С. 18-24.

21. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: МГУ, 1993.

22. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: МГУ, 1987.

23. Вабищевич П.Н. Численное решение краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени. // Журнал вычислит, математики и мат. физики. 1992. Т.2, N3. - С. 434-442.

24. Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1985.

25. Васильев В.И. Численное моделирование процессов тепло- и мас-сопереноса в криолитозоне: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1995.

26. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепло-массоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1997.

27. Васильев В.И., Попов В.В., Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск: Наука, 2000.

28. Васильев В.И., Тихонова О.А. Численное решение задач теплопроводности с меняющимся направлением времени. // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1995. - Т. 2, N2. - С. 84-91.

29. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

30. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазных задач Стефана. ЖВМ и МФ, 1963. т.З, №5. - С. 874-886.

31. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. высших учебных заведений. Математика, 1983. N7(254). - С. 13-27.

32. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука, 1976.

33. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975.

34. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эфолю-ционных систем. Новосибирск: Наука, 1993.

35. Воеводин А.Ф., Никифоровская B.C. Математическое моделирование процессов массопереноса в системах открытых водотоков // Мат. заметки ЯГУ. 1996, т.З, №2. - С. 114-120

36. Врагов В.Н. Аналитичность решений задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения// Дифференц. уравнения.- 1976. Е.12, №1 - С.36-40.

37. Гаврилова М.К. Климат Центральной Якутии. Якутск: ЯВДГОК, 1973.

38. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Локализация тепла в нелинейных средах // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. №10. С. 1836-1841.

39. Галеркин Б.Г. Вестник инженеров и техников, 1915. Т.1, №19. -С. 897-908.

40. Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

41. Гольдман В.Г., Знаменский В.В., Чистопольский С.Д. Гидравлическое оттаивание мерзлых горных пород. Магадан: ВНИИ-1, 1970.

42. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

43. Грауэрт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.

44. Греков М.А. Функции Грина для периодических задач упругой полуплоскости // Известия РАН, Механика твердого тела. 1998. -№4 С. 173-178.

45. Григорьев Ю.М. Методы решения задач моделирования деформаций тел и электромагнитной совместимости: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

46. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. M.-JI.: Изд-во АН СССР, 1948.

47. Гринберг Г.А. Об одном возможном методе подхода к рассмотрению задач теории теплопроводности, диффузии, волновых и им подобных явлений при наличии движущихся границ и о некоторых иных его приложениях // ПММ. 1967. Т. 31, вып. 2. - С. 393-403.

48. Гринберг Г.А. О решении обобщенной задачи о промерзании жидкости, а также родственных задач теории теплопроводности, диффузии и других // ЖТФ. 1967. - №37. - С. 1598.

49. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат, 1967. - С. 41-96.

50. Дейч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Физматгиз, 1958.

51. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Наука, 1966.

52. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2 изд. М.: Наука, 1974.

53. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики // Труды 3-го Всес. матем. съезда, Т. III, июнь-июль, 1956. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 447-453.

54. Дробышевич В.И. Алгоритм решения двухфазной задачи Стефана на основе формул потоковой прогонки // Числ. методы и пакеты программ для решения уравнения мат. физики. Новосибирск, 1985. - С. 82-93.

55. Дробышевич В.И. О сходимости методов с различными временными шагами в подобластях // Докл. РАН, 1996. 346, №3. - С. 315-318.

56. Дробышевич В.И., Яушева JI.B. Анализ моделей и алгоритмов процессов тепломассопереноса в каталитических реакторах // Авто-матиз. построения алгоритмов для задач матем. физики. Новосибирск, 1983. - С. 72-77.

57. Егоров И.Е. Аналитичность решений сингулярных эллиптических уравнений // Матем. сб. 1987. - Т. 133 (175), №2. - С. 147-153.

58. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

59. Зубов Е.Н., Сидоров А.Ф. О решении одной краевой задачи для неустановившегося пространственного течения газа и распространении слабых сферических ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1972. - Т.З, N3. - С. 32-50.

60. Казанцев С.Г. Об интегральной реализации операторов в методе начальных функций // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985. - N72. - С. 32-35.

61. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

62. Канторович JI.B. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР, 1934. Т.2, N2. - С. 532-534.

63. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ГИТТЛ, 1952.

64. Кармазин В.В. Повышение эффективности использования магнитных полей в процессах магнитного обогащения // Новые способы сепарации руд в магнитных полях. Апатиты: Кольский филиал АН СССР, 1981. - С. 35-45.

65. Кармазин В.И., Закиева Н.И., Технологические возможности магнитно-флокуляци-онной сепарации тонких классов руд россыпных месторождений // Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: МГГУ. - С. 60-62.

66. Кармазин В.И., Кармазин В.В. Магнитные методы обогащения. -М.: Недра, 1984.

67. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 1964.

68. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985.

69. Карташов Э.М. Новые интегральные соотношения для аналитических решений уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. РАН, 2000. 374, №2. - С. 168-172.

70. Клейн Ф. История математики в XIX столетии. М.: Наука, 1989.

71. Ковалевская С.В. Научные труды. К теории дифференциальных уравнений в частных производных. М.: АН СССР, 1948.

72. Коздоба JI.A. Методы решения задач затвердевания (обзор) // Физика и химия обработки материалов. 1973. - №2. - С. 41-59.

73. Коздоба А.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М: Наука, 1975.

74. Козманов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для систем квазилинейных уравнений первого порядка // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т. 7, №2. -С. 44-53.

75. Козманов М.Ю. К задаче распада произвольного разрыва // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977. -Т. 8, №2. - С. 45-52.

76. Коковихина О.В. Об одном приближенном методе расчета распространения волн типа цунами по наклонному берегу // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т.7, N7. - С. 45-53.

77. Коковихина О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984.- Т.15, N3. С.72-84.

78. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: НГУ, 1983.

79. Корзунин Л.Г., Филимонов М.Ю. О представлении решений уравнения Кортевега-де Фриза в виде степенных рядов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1985.- Т.16, N5.- С.57-67.

80. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1936.

81. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974.

82. Кудряшев Л.И., Меньших Н.Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979.

83. Кузьмин В.Я., Лебедев В.Д., Чуев Ю.В. Пути совершенствования аналитических моделей развития // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1971. - вып.26. - С. 5-14.

84. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // УМН. 1967. - 22, №2. - С. 59-107.

85. Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А. Об одном приближенном методе решения граничных задач // Сообщ. АН ГССР, 1963. 30, №5. - С. 529-536.

86. Лавров Н.П., Самышин В.К., Чуркин А.Е., Перльштейн Г.З. Особенности разработки мерзлых пород гидросмывом // Совершенствование технологии разработки россыпных месторождений. Магадан: ВНИИ-1, 1982. - С. 3-14.

87. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

88. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: ГИФМЛ, 1961.

89. Лисковец О.А. Метод прямых (обзорная статья) // Дифференциальные уравнения, 1965. Т.1, №12. - С. 1662.

90. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

91. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

92. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло-и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963.

93. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Автомодельное решение задачи о про-таивании мерзлого грунта // Изв. АН СССР: МЖГ. 1988. №6. -С. 72-78.

94. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987.

95. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1975.

96. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

97. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

98. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.: Просвещение, 1988.

99. Математическая энциклопедия. Т.5. М.: Советская энциклопедия, 1984.

100. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

101. Миллер У. Симметрия и разделения переменных, пер. с англ. М.: Мир, 1981.

102. Михайлов Ю.А., Глазунов Ю.Т. Вариационные методы в теории нелинейного тепло-и массопереноса. Рига: "Зинатне", 1985.

103. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М.: ГТ-ТИ, 1951.

104. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

105. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.

106. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М: Наука, 1979.

107. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

108. Монахов В.Н. Разрешимость стационарных задач тепловой двухфазной фильтрации // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1999. -Т.б. №1. - С. 46-53.

109. Монахов В.Н., Тлюстен С.Р. Тестовые решения начально-краевых задач для системы уравнений двухфазной фильтрации // Краевые задачи теории фильтрации. (Динамика сплошной среды; Т. 108) -Новосибирск, 1994. С. 121-125.

110. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, 2 изд. -М.: Наука, 1969.

111. Общее мерзлотоведение. Новосибирск: Наука, 1974. - 292 с.

112. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978.

113. Овсянников Л.В. Нелинейные задачи Коши в шкале банаховых пространств. // ДАН СССР. 1971. - Т. 200, №4 - С. 789-792.

114. Олейник О.А., Радкевич Б.В. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными // Итоги науки. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. - С. 7-252.

115. Павлов А.В. Теплообмен почвы с атмосферой в северных и умеренных широтах территории СССР. Якутск: ИМ СО АН СССР, 1975.- 302 с.

116. Павлов А.В., Оловин Б.А. Искусственное оттаивание мерзлых пород теплом солнечной радиации при разработке россыпей. Новосибирск: Наука, 1977.

117. Перлыитейн Г.З. Водно-тепловая мелиорация мерзлых пород на Севере-Востоке СССР. Новосибирск: Наука, 1979.

118. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998.

119. Попов С.В. Классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

120. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988. - С. 16-78.

121. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

122. Пятков С.Г. Индефинитные спектральные задачи и их приложения к теории краевых задач для уравнений математической физики: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994.

123. Распопов В.Е., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Применение метода дифференциальных связей к одномерным условиям газовой динамики // Изв. вузов. Математика. 1974. №11. (150). - С. 69-74.

124. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

125. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1973. -336 с.

126. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: "Звайгзне", 1967.

127. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

128. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Нелинейные монотонные схемы для уравнения переноса // Док. РАН. 1998. Т.361, №1. - С. 21-23.

129. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997.

130. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

131. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

132. Сергеев Ю.Н., Савчук О.П., Кулеш В.П., Комарова Т.С. Математическое моделирование морских экологических систем. Л.: Наука, 1977.

133. Сидоров А.Ф. О некоторых классах решений уравнения нестационарной фильтрации // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984 - Т.15, N2. - С. 121-133.

134. Сидоров А.Ф. Приближенный метод решения некоторых задач о пространственном истечении газа в вакуум // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т.7, N5. - С. 137— 148.

135. Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975. - Т.6, N4. - С. 106-115.

136. Сидоров А.Ф. Метод решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых ударных волн // ПММ, 1972. Т.36, вып.З. - С. 426-434.

137. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // ДАН СССР. 1990. - Т.313, №2. - С. 283-287.

138. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баротропного газа // ПММ. -1991. Т.55, №5. - С. 769-779.

139. Сидоров А.Ф. Исследование особенностей нестационарных конических течений газа // ДАН(Россия). 1994. - Т.335, №6. - С. 732-735.

140. Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа. // ПММ. 1994. - Т. 58, №4. - С. 81-92.

141. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

142. Скуба В.Н., Первенцев И.П., Саввин Е.Д., Миронов В.П., Болотов Р.П. Гидравлическая добыча и переработка многолетнемерзлых песков с высоким содержанием глины // БНТИ. Проблемы Севера.- Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983. С. 17-20.

143. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955.

144. Соболев C.JI. Уравнения математической физики, 4 изд. М.: Наука, 1966.

145. Спиваков Ю.Л. Специальные классы решений линейных дифференциальных уравнений и их приложения к анизотропной и неоднородной теории. Ташкент: "Фан", 1986.

146. Справочник по специальным функциям,- М.: Наука, 1979.

147. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск.: Наука, 1983.

148. Терсенов С.А. Об аналитичности решений одного класса диффрен-циальных уравнений, вырождающихся на границе // Докл. АН СССР. 1976. - Т.228, №6. - С. 1294-1297.

149. Тешуков М.В. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1977. вып.32. - С.82-94.

150. Тешуков М.В. Построение фронта ударной волны в пространственной задаче о поршне // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978. - вып.33. - С.114-132.

151. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Препр. - Екатеринбург, 1999.

152. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических банаховых шкалах: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2000.

153. Титов С.С. Решение периодических задач Кощи с помощью специальных тригонометрических рядов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978. - Т.9, N2. С. 112-124.

154. Титов С.С. О решениях нелинейных уравнений в частных производных в виде многочленов по одной из переменных // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977. - Т.8, N1,- С.144-149.

155. Титов С.С. Решение двумерного уравнения Лейбензона в виде многочлена по пространственным переменным // Динамика многофазных сред. Новосибирск: Наука, 1982. - С. 291-294.

156. Титов С.С. Разложение решения нелинейного уравнения в двойные ряды // Дифференциальные уравнения. Минск, 1978. - Т.XIV, N10. - С. 1844-1850.

157. Титов С.С., Устинов В.А. Исследование многочленных решений двумерного уравнения фильтрации Лейбензона с целым показателем адиабаты. Там же. С. 64-70.

158. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Курс высшей математики и математической физики. -М.: Наука, 1980. вып.7.

159. Тихонов О.Н., Физические основы элетромагнитного обогащения руд. Ленинград: ЛГИ, 1980.

160. Тихонов О.Н. Закономерности эффективного разделения минералов в процессах обогащения полезных ископаемых. М.: Недра, 1984.

161. Федоров Ф.М. О сходимости интегрального метода для задач теплопроводности // Тез. докл. конф. "Технические проблемы Севера". Якутск, 1978. - С. 56-58.

162. Федоров Ф.М. К вопросу сходимости интегрального метода для задач типа Стефана // Тез. докл. конф. "Технические проблемы Севера". Якутск, 1978. - С. 60-62.

163. Федоров Ф.М. Приближенный метод решения задач теории теплопроводности, основанный на анализе граничных условий // Тез. докл. научно-практ. конф. "Вопросы прикладной математики и механики". Якутск, 1980. - С. 35-36.

164. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах линейной теплопроводности // Препринт. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1986.

165. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах нелинейной теплопроводности // Препринт. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1988.

166. Федоров Ф.М. Простые формулы решения однофазных задач Стефана. // Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных обьектов. Якутск: ЯГУ, 1986. - С. 36-41.

167. Федоров Ф.М. О решении некоторых линейных систем алгебраических уравнений // Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1986. - С. 77-84.

168. Федоров Ф.М. Уточнение граничных условий на границе теплового влияния // Методы прикладной математики и математической физики. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1987. - С. 31-37.

169. Федоров Ф.М. Применение граничного метода для решения задач теплопроводности с осевой симметрией // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1989. - С. 47-54.

170. Федоров Ф.М. О некоторых специальных рекуррентных соотношениях // Ученые записки ЯГУ, серия: Математика, Физика. -Якутск: ЯГУ, 1994. С. 74-78.

171. Федоров Ф.М. Граничный метод решения краевых задач с переменным направлением времени // Тезисы докладов. Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики. -Новосибирск, 1995. С. 93.

172. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени. // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1995. - Т.2, N2. - С. 52-60.

173. Федоров Ф.М. Сходимость интегрального метода для задач теплопроводности // Методы прикладной математики и автоматизация научного эксперимента. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1980. - С. 67-75.

174. Федоров Ф.М. Граничный метод решения задач теплопроводности. // БНТИ. Методы и алгоритмы прикладной математики. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1980. - С. 24-27.

175. Федоров Ф.М. О сходимости граничного метода для задач теплопроводности. Там же. С. 27-29.

176. Федоров Ф.М. Приближенные аналитические решения линейного уравнения теплопроводности, полученные граничным методом // Методы и алгоритмы прикладной математики в задачах теплофизики и обработки эксперимента. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983. - С. 50-58.

177. Федоров Ф.М. Аналитическое решение одной краевой задачи с переменным направлением времени граничным методом // Тез. докл. 2 Междунар. конф. "Дифферен. уравнения и их прил.", Саранск, сент., 1996. Саранск, 1996. - С. 120.

178. Федоров Ф.М. Аналитическое решение параболического уравнения с переменным направлением времени // Тез. докл. II Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96), ч. I. Новосибирск, 1996. - С. 94.

179. Федоров Ф.М. Граничный метод как инженерный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных // Там же, часть III. С. 280.

180. Федоров Ф.М. Аналитическое решение одной краевой задачи с переменным направлением времени // Тез. докл. III Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-98), 4.IV. Новосибирск, 1998. - С. 43.

181. Федоров Ф.М. Аналитическое решение одной неклассической задачи математической физики // Тез. докл. Междунар. семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения.", Самара, 25-29 июня 1996. Самара, 1996. - С. 37.

182. Федоров Ф.М. Аналитическое решение обратных задач типа Стефана // Там же. С. 38.

183. Федоров Ф.М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Матем. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1996. - Т.З №2. - С. 62-71.

184. Федор ов Ф.М, Обратная задача с подвижной границей в области 0 < х < £(t) // Матем. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1997. - Т.4, №2. - С. 60-67.

185. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Тез. докл. II Междунар. конф. по матем. моделированию, Якутск, 28 июня-2июля 1997, Якутск, 1997. - С. 60.

186. Федоров Ф.М. Аналитическое решение двухфазной задачи типа Стефана комбинированным методом // Тез. докл. Междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 18-24 августа 1999 г. Красноярск: КГУ, 1999. - С. 198-199.

187. Федоров Ф.М., Захарова А.П. Применение граничного метода к решению нелинейной задачи теплопроводности // Приложение термодинамики сплошных сред к тепловой защите инженерных сооружений и природных объектов. Якутск: ЯГУ, 1986. С. 30-36.

188. Федоров Ф.М., Саввин Е.Д. Скорость оттаивания мерзлых глинистых пород при размыве // БНТИ. Проблемы горного дела Севера.- Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1981. С. 7-11.

189. Федоров Ф.М. Саввин Е.Д. Математическая модель размыва мерзлых горных пород. Тезисы докладов. Международная конференция по математическому моделированию. Якутск. 1994. - С. 155-156.

190. Федоров Ф.М., Саввин Е.Д. К расчету пограничного слоя течения вдоль поверхности магнитного шлюза // Тез. докл. II Междунар. конф. по матем. моделированию, Якутск, 28 июня-2июля 1997. -Якутск, 1997. С. 189.

191. Федоров Ф.М., Саввинова Т.А. Аналитическое решение задач сте-фановского типа граничным методом. // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1989. - С. 55-63.

192. Федоров Ф.М. Саввинова Т.А. Граничный метод в задачах тепло-и массопереноса // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1994. - Т.1, N2. - С. 84-91.

193. Федоров Ф.М.Саввинова Т.А. Высшие производные сложной функции одной переменной // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1995.- Т.2, N1.-C. 72-80.

194. Федоров Ф.М.Саввинова Т.А. Высшие производные сложной функции двух переменных // Мат. заметки ЯГУ. Новосибирск, 1996. -Т.З, N1.-C. 57-62.

195. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

196. Филимонов М.Ю. Представление рядами решений нелинейного уравнения транзвуковых течений // Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1986.- Т.17, N6. С. 132-136.

197. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к исследованию нестационарных околозвуковых течений газа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1987. - Т.1(18), N1. - С. 117-125.

198. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к решению смешанных задач Коши для нелинейных уравнений с частными производными // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1989. - Т.3(20), N6. - С. 146-150.

199. Филимонов М.Ю. Об одном подходе к решению смешанной задачи Коши для нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 80-87.

200. Филимонов М.Ю. О представлении специальными рядами решений нелинейных уравнений типа Коши-Ковалевской с неаналитическими начальными данными // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. Т. IV, №1(7). - С. 198-203.

201. Филимонов М.Ю. Специальные ряды и их приложения // Современные проблемы мат. моделирования: Тр. / VIII Всерос. школа-семинар. Ростов н/Д, 1999. - С. 231-239.

202. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2 М.: Наука, 1964.

203. Фридман А. Уравнения параболического типа. М.: Мир, 1968.

204. Фролов В.Н. Специальные классы функций в анизотропной теории упругости. Ташкент: "Фан", 1981.

205. Фрязинов И.В. О решении третьей краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной области локально-одномерным методом // ЖВМ и МФ. 1966. - Т.6, №23. - С. 487-502.

206. Фрязинов И.В., Бакирова М.И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических координатах // ЖВМ и МФ. 1972. - Т.12, №2. -С. 352-363.

207. Хе Кан Чер Об аналитичности решения одного класса вырождающихся уравнений // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск, 1979. - С. 142-145.

208. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

209. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979.

210. Чекмарева О.М. Решение задачи Стефана, когда движение поверхности фазового перехода происходит по закону у(т) = VA т2 + Вт + h // Журнал технической физики, 1974. Т.64, N10.- С. 2043-2050.

211. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

212. Яненко Н.Н., Карначук В. И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии // Числ. методы механики сплош. среды. 1975.- Т.6, №4. С. 128-138.

213. Яненко Н.Н., Коновалов А.Н., Бугров А.Н., Шустов Г.В. Об организации параллельных вычислений и "распараллеливании" прогонки // Численные методы механики сплошной среды. 1978. - Т.9, №7.- С. 139-146.

214. Янушаускас А. Аналитическая теория эллиптических уравнений. -Новосибирск: Наука, 1979.

215. Doetsch G. Handbuch der Laplase-Transformation, Bd 1-3. В asel, 1950.

216. Fedorov F.M., Savin E.D. On Calculation of the Bouhdary Layer of a Flow Along the Surface of a Magnetic Gate // Матем. заметки ЯГУ.- Новосибирск, 1998. Т.5 №1, - С.144-149.

217. Filimonov M.Yu., Korzunin L.G., Sidorov A.F. Approximate methods for solving nonlinear initial boundary-value problems based on special costruction of series // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. -1993. V. 2, №9. - P. 101-125.

218. Fujita H. The exact pattern of a concentraion-dependent diffusion in a semi-infinite medium. Part II. // Textile Res. 1952. - V. 22. - P. 823.

219. Goodman T.R. The heat balance integral and its application to problems involving a change of phase // Transe. ASME. 1958. - V. 80, №2. - P. 335.

220. Goodman T.R. The heating of slabs with arbitrary heat inputs // J. of the Aero/Space Sci. 1959. - V. 26, №3. - P. 187.

221. Goodman T.R., Shea J.J. The melting of finits slabs // J. Appl. Mech.- 1960. V. 27. - P. 16.

222. Green G. An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Nottingham, 1828.1.ragimov N.H. (editor). CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, V.l. Boca Raton: CRC Press, 1994. - 429 p.

223. Kaper H.G., Kwong M.K., Lekkerker C.G., Zettl A. Full-and partial-range eigen-function expansions for Sturm Liouville problems with indefinite weights // Proc.Roy.Soc. Edinburgh Sect.A. - 1984. - V. 98.- P. 69-88.

224. Kawahara Т., Tanaka M. Interactions of traveling fronts: an exact solution of a nonlinear diffusion equations // Phys. Lett. 1983. -V.97. - P. 311.

225. Nirenberg L. An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem // J. Diff. Geom. 1972. - №6. - P. 561-576.

226. Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg // J. Diff. Geom. 1977.- №12. P. 629-633.

227. Petrowsky I.G. Sur I'analyticite des solutions des systemes d'equations differentielles // Матем. сб. 1939. - T.5(47). - С. 3-70.

228. Philip J. General method of exact solution of the concentraion-dependent diffusion equation // Australian Journal of Physics. 1960.- V.13, №1. P. 13-20.

229. Tikhonov O.N., Dembovsky V.V. Automatic process control in ore treatment metallurgy. Part 3. Measuring instruments and controllers. -Cairc: GEBO, 1973.

230. Treves F. On the theory of linear partial differential operators with analytic coefficients // Tran. Amer. Math. Soc. 1969. - 137. - P. 1-20.

231. Treves F. An abstract nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem // Tran. Amer. Math. Soc. 1970. - 150. - P. 77-92.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00