автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы автоматического построения пространственной гранично-элементной сетки на примере решения контактных задач

На правах рукописи

БАХТИН АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ СЕТКИ НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук

Воронеж 2006

Работа выполнена на кафедре программирования и информационных технологий в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Тюкачев Николай Аркадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Артемов Михаил Анатольевич кандидат физико-математических наук, доцент Шаруда Владимир Алексеевич

Ведущая организация: Воронежский государственный архитектурно-

строительный университет, г. Воронеж

Защита диссертации состоится 09 марта 2006 г. в 153® час. на заседании Диссертационного совета Д 212.035.02 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Ревлюции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Автореферат разослан 07 февраля 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета^

<.т.н., доц. И.А. Хаустов

IM&A

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие метода граничных элементов и применение его для приближенных решений различных задач в области теории потенциала, теплопроводности, теории упругости, механики жидкости, вязкопластичности и т. п.

Решение физических задач методом граничных элементов в общем случае сводится к трем основным этапам: подготовка данных к расчетам (,препроцессор), численное решение физических задач (процессор) и вывод результатов расчета в виде иллюстраций и таблиц (постпроцессор). Разбиение численной реализации решения на три этапа обусловлено тем, что каждый из указанных этапов может рассматриваться и решаться отдельно, заостряя внимание лишь на характере начальных и полученных результатов. Иными словами, средства реализации гранично-элементных сеток могут быть получены без конкретного представления о численной реализации решения контактной задачи, или наоборот - разрабатывать гранично-элементные методики решений, не заостряя внимание на алгоритмах и методах получения гранично-элементной сетки.

К сожалению, существует довольно мало программных средств, позволяющих проводить вычислительный эксперимент методом граничных элементов, так как данный метод только развивается. Все существующие программы (COSMOS, ЛИРА, FEM_MODELS, SCAD, ANSYS, Z_SOIL, PLAXIS и др) основаны на конечно-элементном методе. До сих пор остается актуальной задача построения пространственной гранично-элементной сетки сложной формы. Иногда для геометрического моделирования и дискретизации пространственных поверхностей используют существующие программные средства (AutoCAD, CREDO, SCAD и др.). Но это не решает проблемы, так как задача построения гранично-элементной сетки с желаемыми качествами по-прежнему требует соответствующих навыков и тщательного труда (например, необходимо отслеживать соблюдение единого правила обхода узлов, а также отсутствие пересечений и перекрытий элементов). Кроме того, для реализации методов поиска наилучших (оптимальных) решений возникает существенная необходимость в алгоритмах генерации гранично-элементной сетки с меньшими затратами счетного времени. Все это обуславливает актуальность темы исследования.

Диссертация выполнена на кафедре программирования и информационных технологий Воронежского государственного университета в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ по теме: «Разработка и совершенствование алгоритмов, моделей и средств решения контактных задач теории упругости и строительной механики методом граничных элементов».

Цель и задачи исследования. Разработка эффективных методов и алгоритмов автоматической гранично-элементной дискретизации пространст-

I

3 i библиотека j

венных поверхностей сложной формы, обеспечивающих качественную подготовку данны> к расчету.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

1) Рассмотреть существующиг методы пространственной гранично-элементной дискретизации, применяемые в решении физических задач.

2) Разработать методы и алгоритмы построения пространственной гра--шчно-элементной сетки для поверхностей сложной формы.

?) Разработать и реализовать эффективные программные средства для лростраиственной гранично-элементной дискретизации (препроцессор). i) Произвести апробацию полученных результатов на примере решения 1ространственных контактных задач для абсолютно жестких штампов заглубленных в упругое однородное полупространство.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: дискретная математика и теория множеств, теория графов, численные методы интегрирования, алгебра матриц, аналитическая геометрия, современные методы и технологии программирования (Delphi, ООП, СОМ, OpenGL).

Научная новизна работы: В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

I) Разработан метод композиций для геометрических объектов, характер--юй новизной которого является сведение композиции к логическим операциям над двоичными кодами. Это позволяет быстро найти любое решете с любым количеством геометрических объектов. I) Разработан алгоритм построения пространственной гранично-элементной сетки методом композиций геометрических объектов, гра--шчно-элементное разбиение которых тривиально или уже известно. В отличие от метода фрагментальной дискретизации в новом методе не требу-•угся аналитического представления поверхности.

5) Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространствен-чых гранично-элементных сеток. Хеширование узлов и граничных элементов является дополнительным улучшением реализации существующих •ши разрабатываемых методов гранично-элементной дискретизации. 4) Разработано программное средство (SBEM-Contact) предназначенное ,1ля автоматической подготовки данных к проведению вычислительного эксперимента (гранично-элементная дискретизация). Реализация SBEM-Contact основывалась на технологии СОМ, что предоставляет возмож-чость расширения и модификации программного продукта путем разра-|)отки и реализации новых методов гранично-элементной дискретизации без перекомпиляции и изменений всей программы, что не применяется в большинстве программ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы для повышения эффективности работы существующих и разработке новых систем моделирования процесса вычислительного эксперимента основанного на методе граничных элементов. Полученные простые и эффективные алгоритмы построения пространственной гранично-элементной сетки обладают свойством минимальных затрат счетного времени, что позволяет использовать их в решении задач поиска наилучшей (оптимальной) геометрической формы рассчитываемой поверхности. Разработанное программное средство построения пространственной гранично-элементной сетки и решения контактных задач (SBEM-Contact) можно рекомендовать проектным или научно-исследовательским организациям в качестве препроцессора для вычислительных экспериментов.

Аппробаиия работы. Основные результаты работы доложены на

- всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (г. Москва, ВЦ РАН), 2004 г.;

- международной научной конференции «Образование, наука, производство и управление в XXI веке» (С. Оскол, СОТИ), 2004 г.;

- конференции международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж), 2005 г.;

- международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж), 2005 г.

- научных конференциях профессорско-преподавательского состава и научных работников ВГУ, 2001 - 2005 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 работ, в том числе 15 статей и патент Государственного фонда алгоритмов и программ РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 151 страницах, включает 5 таблиц, 39 рисунков, 4 определения и 5 утверждений с доказательствами. Состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 129 наименований и 6 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определена практическая значимость.

В первой главе приводятся основные положения теории упругости, необходимые для построения различных моделей контактного взаимодействия жесткого штампа с упругим основанием. На основании обзора литературы проводится научный анализ решения пространственных контактных задач механики с целью определить основные и необходимые свойства гранично-элементной сетки.

Конечномерный аналог контактных задач в общем случае сводится к системе линейных алгебраических уравнений размерностью (3т + 6) х (Зти +- 6), где т - общее число граничных элементов, посредством которых аппроксимирована контактная поверхность штампа и упругого основания. Коэффициенты основного блока разрешающей матрицы являются поверхностными интегралами от фундаментального решения Миндлина. Трудность вычисления данных интегралов заключается в том, что при сведении двойных интегралов к повторным первообразные найти не удается. Поскольку контактная поверхность Г чаще всего аппроксимируется плоскими треугольными и четырехугольными элементами достаточно малых размеров, то для численного интегрирования используются квадратурные схемы Гаусса, которые в настоящее время являются лучшими с точки зрения точности при заданном числе точек. Для вычисления интегралов при К е АГ? используется аналитический способ интегрирования.

Метод граничных элементов дает возможность проводить расчеты жест <их штампов различных конструктивных форм по деформациям оснований с общей методологической позиции. От расчетчика не требуется делать предварительных предположений о характере распределения контактных напряжений, о наличии и локализации зон отрыва штампа от основания и привлекать другие дополнительные соображения, учитывающие особенности напряженно-деформированного состояния на контактной поверхности.

Гранично-элементная сетка представляет собой набор плоских треугольных и выпуклых четырехугольных граничных элементов, полностью покрывающих поверхность контакта жесткого штампа с деформируемым основанием без пересечений и перекрытий. Также необходимо соблюдать единое правило обхода узлов (вершин) граничных элементов. Узлы коллока-ции, являющиеся центрами масс граничных элементов, должны равномерно распределяться по всей контактной поверхности. Некоторые области контактной поверхности могут быть разбиты на граничные элементы меньшего рашера (предполагается, что в данной области большие изменения функции контактных напряжений), в таком случае гранично-элементная дискретизация называется неравномерной.

Обычно для дискретизации поверхностей всех типов применяется фрагментальная дискретизация, что соответствует предварительному разбиению контактной поверхности на граничные макроэлементы. В качестве граничных макроэлементов принимаются поверхностные фрагменты, имеющие простейшую топологию: плоские треугольники и четырехугольники, части цилиндри ческих, конических и сферических поверхностей.

Граничные макроэлементы разбиваются на отдельные граничные элементы с автоматической генерацией координат и узлов. Разбиение производится регулярно и не обязательно равномерно. Степень неравномерности разбиения в отдельном граничном макроэлементе по различным направлени-

ям задается параметрически и, по возможности, учитывает предполагаемый характер изменения контактных напряжений. Важным аспектом фрагмен-тальной дискретизации является согласование по числу граничных элементов на линиях сопряжения сложных граничных макроэлементов. Это необходимо для улучшения численного решения и удобства при обработке и интерпретации полученных результатов.

Обычно в фрагментальной дискретизации рассматриваются осесиы-метричные и плоские макроэлементы.

Осесиммегричная поверхность получается в результате крашения некоторой кривой вокруг оси симметрии. Обычно осью симметрии является ось OZ. Тогда уравнение поверхности в цилиндрической системе координат

имеет вид г = F(z), F"(z) 0, г = *Jx2 + у1, С, <z<C2.

Плоские граничные элементы формируются путем вычисления координат вершин по следующим формулам:

X\J\k) = F(zt) cos(0,), Y^1)(k) = F(zk)s\n{9J), Zlu,(k) = Zk;

X['\k) = F{zM) cos(0,), Y^(k) = F(zk^)sm(ej), Z^(k) = ZM;

X^(k) = F(z^) cos(0,w), Yl»(k) = F(zM)s m(0J+i), Z(3J\k) = Zw;

X\J\k) = F{zk) cos(0J+l), Yy\k) = F(zk)Sm(0J+i), ZY>(k) = Zk-где zk = Cl+(C2-Ci)-q(tk), k = 1, 2, ..., m +1, tk =(k-\)/m, q{t) -функция, отображающая отрезок [0, 1] в себя и подбираемая в зависимости от

2?г ■ / -

вида F(z) для соответствующего сгущения, в =-— (j = 0, п -1).

п

Плоские поверхностные фрагменты определяются заданием глобальны < координат узловых точек (Jf,YnZt), / = 1, 2. ..., 1.

Разбиение выпуклых четырехугольных граничных макроэлементов hi отдельные элементы производится на основе техники изопараметрически < элементов. Описание геометрии в плоскости четырехугольного граничного макроэлемента получается с использованием интерполяционных формул: X = + Хг(рг + Х3<р} +Х4<р4, Г = }>, + }>2 +Y}(Pb +Y4<pA, (2)

Z = +Z2tp2 +Z}(0з +Z4<p4, где q>t, /=1,4- простейшие линейные функции, имеющие вид:

к = ±(1-<Г,)(1-£), д>г

4 (3)

Безразмерные переменные отождествляются с локальными ко-

ординатами в плоскости стандартного квадрата | < 1, ¡£21 < 1.

Интерполяционные формулы дискретизации треугольных граничных макроэлементов следуют из формул (2) и (3), с учетом, что две смежные вершины сливаются в одну. При разбиении треугольных макроэлементов в качестве вершины сгущения не рекомендуется брать острые углы, так как при дискретизации может появиться большое количество граничных элементов с общей вершиной, площадь которых близка к нулю.

Сложность дискретизации плоских граничных макроэлементов произвольной формы заключается в том, что аналитически трудно определить наиболее эффективный алгоритм решения поставленной задачи. Как правило, все существующие алгоритмы дискретизации плоских фрагментов произвольной формы сводятся к задаче триангуляции, но ввиду неэффективности применения треугольных элементов в гранично-элементных сетках, разработан другой алгоритм, состоящий из двух этапов:

1) Рекурсивное расщепление плоского элемента по хордам на выпуклые

четырехугольные и треугольные элементы.

2) Дискретизация полученных макроэлементов по изопараметрическим

формулам (2), (3).

Так как и-угольник может быть разбит на п - 2 треугольника проведением и-3 хорд (теорема о триангуляции полигона), то выполнение первого этапа гарантировано для плоских элементов любой формы. Данный алгоритм можно свести к поиску эффективной дискретизации (треугольные макроэлементы близки к равносторонним, а четырехугольные - к прямоугольным), если найти все решения задачи первого этапа и выделить среди них лучшее.

Контактную поверхность, подвергаемую аппроксимации граничными элементами, можно представить в виде макроэлементов, которые, в свою очередь могут быть разбиты на граничные элементы по предложенным алгоритмам. Данный подход применим к большинству поверхностей, топология которых может быть задана аналитически. Но зависимость дискретизации от геометрической формы поверхности не всегда является удачным решением, так как не возможно охватить максимальный диапазон поверхностей со сложной геометрией.

Во второй главе рассматриваются разработанные методы гранично-элементной дискретизации поверхностей сложной формы.

Поверхность, состоящую из набора плоских элементов можно свести к искомой за конечное число следующих геометрических преобразований:

1) пространственное перемещение вершин;

2) добавление новых вершин и граней;

3) удаление вершин и граней.

При реализации алгоритмов необходимо соблюдать правило локальной нумерации вершин в гранях: против часовой стрелки при наблюдении с

внешней стороны поверхности (ориентация граней), а также отсутствие пересечений и перекрытий.

Если вершина принадлежит только треугольным граням, то изменение ее координат не составит труда: три точки всегда будут лежать на плоскости. Иначе перемещаемая вершина может оказаться вне плоскости, образованной другими вершинами. Для решения данной проблемы применяется разбиение грани, что по теореме о триангуляции полигонов возможно всегда.

Добавление нового узла заключается в построении новых ребер и граней, соединяющих заданную пространственную точку с вершинами граничной поверхности. При реализации данной операции необходимо ипределпь ориентацию добавляемых граней, которая зависит от обхода узлов в смежных гранях. Таким образом, для добавления узла необходимо:

1) зафиксировать вершины граничной поверхности;

2) определить обход фиксированных вершин (называется контуром)-,

3) построить грани, связанные с узлами контура и новой вершиной;

4) определить и удалить фрагменты, ограниченные контуром и новыми

гранями;

Для однозначности решения поставленной задачи фиксируется только три вершины лежащие на одной грани. Данное упрощение не ограничив 1ет возможности геометрического построения, так как любое решение может быть достигнуто за конечное число геометрических преобразований.

рис. 1. Добавление новой (а) и существующей (б) вершины Я к граничной поверхности (штриховкой отмечены удаляемые фрагменты)

На рис. 1, а изображен пример добавления новой вершины Я, которая соединяется с вершинами 0, 2 и 3. В соответствии с обходом вершин выделяется контур [3, 2, 0] и строятся новые грани: [0, 2, Я], [2, 3, К] и [3, 0, ¡1]. Грань [0, 1, 2, 3, 4] разбивается на части с целью выделения и удаления фрагмента, образованного вершинами 0, 2, 3. Данный алгоритм позволяет доб!в-лять не только новые вершины, но и новые грани, если свободной точкой будет вершина граничной поверхности (рис. 1,6).

Удаление вершины основано на отогчении части многогранника, еьг-деленного четырьмя смежными вершинами (фиксированными), что позволяет не только сохранить единственность решекия и удалить намеченную вершину за конечное число шагов, но и предусмотреть удаление граней и ребер.

•з

Например, для удаления вершины 0 связанной с вершинами 1, 2, 3, 4 необходимо вырезать фрагменты [0, 3,4] и [0, 2,3] (рис. 2, а), а затем удалить полностью (рис. 2, б).

На рис. 3 а-и приведен пример построения поверхности щелевой крестообразной конструкции с наклонными боковыми гранями с помощью добавления вершин. После построений полученная поверхность разбивается на граничные элементы (рис. 3, к).

рис. 3. Построение поверхности с помощью добавления вершин в интерактивном режиме

Предложенные алгоритмы предоставляют возможность построения гранично-элементных сеток любой сложности путем геометрической модификации с исключением возможности перекрытий и нарушение правила обхода узлов, если корректируемая поверхность изначально имела правильную структуру, но на каждом шаге построения требуется проверять отсутствие пересечений граней.

Другой метод построения гранично-элементной сетки на контактных поверхностях сложной формы основан на методе представления сложных геометрических объектов в виде объединения, пересечения и/или вычитания геометрических объектов, у которых дискретизация поверхностей тривиальна или уже известна.

Пусть заданы замкнутые поверхности двух геометрических объектов и Рг, охватывающие пространственные множества Р1 с Е и Р2 с Е, Без

ограничения общности предполагается, чтэ Р,^-)Р2 * 0 ■ Тогда все множество Е можно разбить на четыре непересекающихся подмножества (рис. 4), нумерация которых задается согласно табл 1.

____з ..........

/ р> / " \ '» \

[ф ¿Ц о ф] ¿И

рис. 4. Нумерация границ подмножеств

В общем случае можно рассматривать шестнадцать множеств, которые могут быть получены в результате операций (сложение, вычитание, пер« сечение, инверсия) над двумя множествами Р1 и Рг. Множествам Рх и Рг сопоставляется четырехразрядный двоичный код, где единица в г-м бите означает, что элементы г'-го подмножества (табл. 1) принадлежат данному множеству. Очевидно, что любые логические операции над множествами Р1 и Р2 соответствуют логическим операциям над двоичными кодами данных множеств ^ = 0101 и Р2 = ООН .

Следует заметить, что пары различных битов кода множества соопет-ствуют границе множества. Иными словами, если

1) каждой паре различных битов в двоичном представлении множества

сопоставить индексы аЬ, где а - номер единичного бита, Ь - номер нулевого бита;

2) каждому граничному элементу геометрических объектов сопоставить индекс, состоящий из номеров подмножеств, которые они разделяют: аЪ, где а - номер подмножества, которое охватывает поверхность геометрического объекта, Ь - номер внешнего множества (рис. 4);

то полученные индексы граничных элементов будут совпадать с парой номеров различных битов в двоичном представлении кода операции. В случае,

когда аЬ = Ъ.а требуется изменить направление обхода вершин данного граничного элемента (инверсия).

Например, в операции вычитания дзух множеств Р1 / Рг (рис. 4) различны пары битов 2.0, 2.1 и 2.3, что соответствует граничным элементам с индексами 0.2, 2.1, 2.3, а элементы с индексом 0.2 инвертируются. Данный алгоритм позволяет без труда вычислять любые операции композк-ций над любым числом геометрических объектов, выделять граничные эле-

табл. 1. Нумерация подмножеств

0 (хеР,)л(хе Рг)

1 (хе Р,)л(хеР2)

2 {хеР1)л(хйР2)

3 (хе Р1)л(х&Р2)

менты, соответствующие искомому решению и учитывать локальную нумерацию вершин (обход против часовой стрелки, если смотреть с внешней стороны), что весьма важно при использовании метода граничных элементов.

Утверждение. Пусть замкнутые поверхности п геометрических объектов ограничивают соответствующие множества. Тогда каждому множеству можно задать такой 2"-разрядный двоичный код, что любые операции над данными множествами будут соответствовать логическим операциям над соответствующими двоичными кодами.

Доказательство. Используя метод математической индукции легко доказать, что п множеств, в общем случае, разбивает множество Е на 2" непересекающихся подмножеств. Так как к множеств разбивает множество Е на 2* непересекающихся подмножеств, то при добавлении (Л + 1)-го множества, полученные подмножества будут разбиты на два: с элементами, которые принадлежат (Л +1) -му множеству и с элементами, которые ему не принадлежат. Следовательно, количество подмножеств удваивается: 2* • 2 = 2*+|, что и требовалось доказать.

Остается найти двоичные коды множеств и доказать, что они удовле- »

творяют данному утверждению. Пусть заданы множества Р^,Рг,...Рп, которые разбивают множество Е на 2" непересекающихся подмножеств М1, Мг,... Мг . Тогда множества Ц, Рг,... Ря можно представить в следую-

Так как операции над множествами коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то любое выражение можно представить в следующем виде:

2"

Если принять замену М, ~ 1 и 0 - 0, то вычисление выражения Р(А,,, Д2,,... Лй,) сводится к вычислению логических выражений над бинарными числами (0 и 1). Таким образом, вычисление выражения (5) будет соответствовать вычислению логического выражения над двоичными кодами множеств (_/ = !, и), где единица в г'-м бите означает, что элементы под-

щем виде:

(4)

(5)

Р1,Рг,...Ра будут построены соответствуощие двоичные коды. Следовательно - теорема доказана.

Критерием нумерации граничных элементов является определение пространственного положения каждого граничного элемента. Естественно, при нумерации необходимо исключить пересечения граничных элементов геометрических объектов разбиением их на части.

Для определения пространственного положения граничных элементов достаточно зафиксировать любую точку М(хм, уи, гм) данного граничного элемента: если число пересечений гранично-элементной сетки с луч эм 1 = \х — хи\ у = ум\ 2>гм] четно, то граничный элемент находится вне области, ограниченной поверхностью О.

Разработанный алгоритм построения пространственных гранично-элементных сеток методом композиций состоит из следующих этапов:

1) проверка гранично-элементной сетки на замкнутость и в случае необходимости добавление граничных элементов;

2) в соответствии с установленной нумерацией граничные элементы разделяются на 2" не пересекающихся множества (п - число геометрических объектов);

3) вычисляется двоичный код, соответствующий решению метода композиций;

4) в зависимости от пар несовпадающих битов в полученном двоичном коде выделяются необходимые узлы и граничные элементы.

На практике гранично-элементная сетка имеет большое число узлов и граничных элементов, что существенно сказывается на времени выполнения алгоритма нумерации граничных элементов и поиске соответствующих узлов. С помощью разработанных хеш-таблиц удалось существенно увеличить скорость выполнения разработанного метода композиций для граничь о-элементных сеток.

Хеш-таблица строится на основании того, что гранично-элементная сетка заключена в параллелепипед, заданный минимальными и максимальными значениями координат узлов. Полученный параллелепипед делится на равные части (рис. 5):

*тш+--Хйхтт+--(1 + 1);

Ау

у + —

•'ПИП

ПУ

Аг

"у

■к<г<гтт+—-(к +1);

рис. 5. Разбиение прямоугольного параллелепипеда, охватывающего гранично-элементную сетку, на пх, пу, я. равных частей

Каждому множеству узлов, заданных неравенствами (б) можно задать

индекс:

N(i, j, к) - i + j rij + к пи, где

i =

X-X„

J =

ГО.

У-У»

* =

, [ • ] - округление до цело-

Соотвегсгвенно индексы множеств точек, для которых существует вероятность пересечения луча с граничным элементом сетки будут:

(«г-1)

*mm .

А

Уmm •Уmin

Уmax Уггвл .

А -1

^ггап mm

<1<

— У —

(И.-1)

K-l) (*, -1)

шах ^ m

Уmax Уmin _ Z — Z ■

"nm mi

z_— z_

где xm

^max > mm '

imn _

- минимальные и максимальные значе-

- минимальные

max

ния координат узлов сетки, а хтл, х^, ут , у^ , zrom, z^ и максимальные значения координат узлов граничного элемента. Полученные индексы используются для заполнения хеш-таблицы, ячейки которой являются открытыми массивами, в которых хранятся граничные элементы.

Очевидно, что информация, хранимая в построенной хеш-таблице избыточна, но это компенсируется возможностью для любой пространственной точки весьма быстро отбросить существенное количество не нужных граничных элементов и выделить только те, которые могут пересекаться с лучом. Практический опыт показал, что разработанная хеш-таблица для граничных элементов существенно сокращает время выполнения метода композиций.

В третьей главе рассмотрена программа гранично-элементной дискретизации, в которой реализованы разработанные алгоритмы. Также здесь предложен алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений больших размеров методом параллельных вычислений.

Визуальная среда автоматизации построения пространственных гранично-элементных сеток и решения контактных задач (БВЕМ-Согйай) разработана с учетом следующих требований:

1) должна иметься возможность модификации программы при расширении диапазона задач;

2) учтена возможность сопряжения разработанной программы с другими общеизвестными пакетами графических или расчетных программ;

3) работа с программой должна быть как можно более простой и унифицированной;

4) затраты времени на подготовку данных и системные требования к ЭВМ должны быть минимизированы.

Удовлетворение первого требования реализовано применением технологии компонентно-объектного моделирования (СОМ). Структурно разрабатываемое приложение состоит из нескольких взаимосвязанных блоков:

1) основное приложение (Uran.exe);

2) встроенные СОМ-серверы построения гранично-элементной сетки (утилиты проектирования);

3) встроенные СОМ-серверы работы с файлами (файловые утилиты);

4) встроенные СОМ-серверы решения контактных задач (утилиты решения задач);

5) библиотека типов (С^от.ЙЬ), которая служит связующим звеном между приложением и утилитами (рис. 6)

рис. 6. Схема структуры связей в SBEM-Contact

Утилиты можно подключать к программе на стадии инсталляции или при последующих обновлениях, что обеспечивает гибкие возможности модификации при расширении диапазона задач проектирования. Настройки визуальной среды SBEM-Contact хранятся в системном реестре Windows и загружаются при запуске программы.

В управляющем приложении осуществляется доступ к утилитам и отображение результатов геометрических построений в трех проекциях (XY, ZY, ZX), и перспективе (XYZ). Окна проекций используются как для визуального отображения моделируемой конструкции, так и для возможности проектирования мышью, например, можно менять координаты вершины геометриче-

с кого объекта с максимальной точностью, поворачивать фигуру относительно осей ьоординат или выполнять другие операции, заданные в утилитах проектирования.

Утилиты геометрического построения гранично-элементных сеток мсжно разбить на два типа:

1) ути питы генерации гранично-элементной сетки - предназначены для быстрого и эффективного построения сетки на поверхностях конструкций заданной топологией. Сложность реализации данных утилит заключается в разработке алгоритмов геометрического анализа и численно-аналитических расчетов координат узлов сетки, особенно, для поверхностей с нетривиальной топологией;

2) утилиты проектирования поверхностей твердых тел — направлены на построение гранично-элементной сетки в интерактивном режиме или корректировки исходной. Данные утилиты позволяют получать аппроксимированную граничными элементами поверхность сложной топологией. Применение утилит проектирования дает возможность проводить экспериментальные работы с целью нахождения конструкций новой геометрической формы наиболее эффективных на практике.

В SBEM-Contact реализованы численно-аналитические решения кон-тастных задач для жестких штамтов, заглубленных в упругое полупростран-стзо. Рез>льтатом решений данных задач являются приближенные значения #

контактных напряжений в узлах коллокаций (центры масс граничных элементов).

В приложении представлены алгоритмы и части листинга модулей программ на языке программирования Delphi и С++, а также табличные и графические данные результатов апробации полученных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Разработаны методы интерактивного построения поверхностей состоящих и з набора плоских многоугольников путем добавления, удаления или пространственного перемещения вершин и дискретизации полученной поверхности на граничные элементы.

2) Разработан алгоритм автоматического построения гранично-элементных сеток на конструкциях сложной формы путем объединения, вычитания и/или пересечения геометрических объектов, поверхность которых аппроксимирована ансамблем граничных элементов.

3) Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространственных гранично-элементных сеток.

4) Разработано программное средство построения пространственной гранично-элементной сетки и решения контактных задач (SBEM-Contact) на основе компонентно-объектной модели, что предоставляет возможность расширения программного средства при расширении диапазона решаемых

задач путем реализации и подключения новых утилит без перекомпиляции и изменений всей программы.

5) Проведена апробация полученных результатов на примере решения контактной задачи для заглубленного в упругое полупространство абсолютно жесткого штампа испытывающего действие пространственной системы нагрузок.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ 1 Алейников С М, Бахтин А А Генерация гранично-элементных сеток для расчета оснований и фундаментов мостовых опор в пространственной постановке. // Научный вестник воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: дорожно-транспортное строительство. Воронеж: ВГАСУ, -2004. - Вып. 2. - С. 3 - 11.

2. Алейников С М, Бахтин А А Гранично-элементная дискретизация плоских областей в пространстве. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2004. - Вып. 4. -С. 6 - 9.

3. Алейников С М, Бахтин А. А , Тюкачев Н А. Алгоритмы построения пространственных гранично-элементных сеток. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2004.-Вып. 4.-С. 9-11.

4. Алейников С М, Бахтин А А , Тюкачев Н. А. Пространственные гранично-элементные сетки в контактных задачах теории упругости. // Тр. всероссийской конф. Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления. - М.: ВЦ РАН, 2004. - Т. 2 - С. 61 -72.

5. Алейников С. М, Бахтин А. А , Тюкачев Н. А Система автоматизации построения пространственных сеток для решений контактных задач методом граничных элементов на основе технологии СОМ. // Вестник ф-та прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: ВГУ, - 2005. -№5 -С. 10-18.

6. Бахтин А А. Автоматизация построения гранично-элементных сеток для решения статических задач теории упругости. // Мат. междун. науч. конф. образование, наука, производство и управление в XXI веке. - С. Ос-кол: СОТИ, 2004. - Т. I. - С. 274 - 278.

7. Бахтин А А. Алгоритмы автоматического моделирования многогранников. II Межвузовский сб. науч. тр. Математическое обеспечение ЭВМ. — Воронеж: ВГУ, 2002. - Вып. 4. - С. 27 - 31.

8. Бахтин А А. Генерация гранично-элементной сетки на поверхностях осесимметричных конструкций. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2004. - Вып. 4. - С. 48 - 52.

9. Бахтин А А. Генерация пространственных гранично-элементных сеток для фундаментных конструкций блочного типа. // Тр. междун. конф. молодых ученых и студентов Актуальные проблемы современной науки. Ч. 17: Естественные науки. Информатика, вычислительная техника и управление. - Самара: Поволжская молодежная академия наук, 2003. - Вып. 4 - С. 11 -13.

10 Бахтин А А. Генерация пространственных сеток для решений контактных задач методом граничных элементов. // Мат. науч.-практ. семинара Новые информационные технологии. - М.: Российская академия естественных наук, 2004. - Вып. 7. - СЛ10 - 118.

11 Бахтин А А Метод композиций для гранично-элементной дискретизации. // Науч.-техн. Журнал Системы управления и информационные технологии. - Воронеж: ВГТУ, -2005. - № 4 (21) - С. 66 - 71.

12 Бахтин А А Метод композиций для построения пространственных гранично-цементных сеток. // Маг. междун. науч. конф. Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. - Воронеж: ВГТА, 2005.-С. 54.

13 Бахтин А А Методы построения гранично-элементных сеток для численного решения пространственных контактных задач теории упругости. // Сб. тр. междун. школы-семинара «Современные проблемы механики и пр-неладной математики». - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 87 - 90.

14 Бахтин А А Препроцессор гранично-элементного программного комплекса для решения задач геотехники. // Науч.-техн. журнал Системы упэавленря и информационные технологии. - Воронеж: ВГТУ - 2003. — № 1-2 (12)-С. 68-72

15 Бахтин А А Программный пакет автоматизированного твердотельного проектирования. // Мат. рег. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. - Воронеж: ВГУ, 2003. - Вып. 3 - С. 29 - 32.

16 Бахтин А А , Тюкачев Н А Патент Государственного фонда алгоритмов и программ № 50200501397 от04.10.05.

Подписано в печать 6. О. .2006 г.

Формат 60x84 V16. Бумага офсстная. Гаршпура Тайме.

П.л. 1,0. Тираж 100 *экз. Заказ №

Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА). Участок оперативной полиграфии ВГТА. Адрес академии и участка оперативной полиграфии: 394017. Воронеж, пр Революции, 19.

МО 6 А

so^JL

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Метод граничных элементов в пространственных контактных задачах механики твердых тел.

1.1. Основные положения теории упругости, необходимые для построения различных моделей механики твердых тел.

1.1.1. Условные обозначения.

1.1.2. Сосредоточенные силы в упругом теле.

1.1.3. Тензор перемещения Грина.

1.1.4. Тензор влияния Кельвина.

1.1.5. Решение Миндлина.

1.2. Контактная задача для заглубленного в упругое полупространство абсолютно жесткого штампа произвольной формы.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Граничные интегральные уравнения.

1.2.3. Численное решение.

1.2.4. Упругое полупространство с условиями понижения порового давления.

1.3. Программные средства для решения контактных задач теории упругости методом граничных элементов.

1.3.1. Преимущество метода граничных элементов для решения контактных задач на ЭВМ.

1.3.2. Основные этапы решения контактных задач.

1.3.3. Проблема расширяемости и модификации существующих программ

1.4. Эффективная дискретизация поверхностей при численном решении пространственных контактных задач.

1.4.1. Основные требования к гранично-элементной дискретизации контактных поверхностей.

1.4.2. Гранично-элементное представление контактных поверхностей сложной формы.

1.4.3. Дискретизация осесимметричных поверхностей.

1.4.4. Дискретизация плоских граничных макроэлементов.

1.5. Выводы.

Глава 2. Методы автоматической гранично-элементной дискретизации.

2.1. Гранично-элементные сетки на поверхности конструкций осесимметричного и блочного типа.

2.1.1. Гранично-элементные сетки на осесимметричных конструкциях.

2.1.2. Гранично-элементные сетки на конструкциях блочного типа.

2.2. Методы интерактивного построения гранично-элементной сетки.

2.2.1. Пространственное перемещение вершин.

2.2.2. Добавление новых вершин и граней.

2.2.3. Удаление вершин и граней.

2.2.4. Проверка граничной поверхности на правильность.

2.2.5. Объединение граней.

2.2.6. Дискретизация граней.

2.2.7. Пример интерактивного построения поверхности сложной формы.

2.3. Построение гранично-элементной сетки методом композиций.

2.3.1. Проверка гранично-элементных сеток на замкнутость.

2.3.2. Приведение гранично-элементной сетки к замкнутому виду.

2.3.3. Метод композиций.

2.3.4. Нумерация граничных элементов.

2.3.5. Алгоритм метода композиций.

2.4. Хеш-таблицы для быстрого поиска в алгоритмах построения гранично-элементной сетки.

2.4.1. Хеш-таблица для узлов.

2.4.2. Хеш-таблица для граничных элементов.

2.5. Выводы.

Глава 3. Визуальная среда построения пространственных гранично-элементных сеток и решения контактных задач.

3.1. Программная модель визуальной среды SBEM-Contact.

3.1.1. Структура программы.

3.1.2. Библиотека типов.

3.1.3. Утилиты.

3.2. Утилиты геометрического построения гранично-элементной сетки.

3.2.1. Утилиты генерации гранично-элементной сетки на осесимметричных и блочных конструкциях.

3.2.2. Утилита построения пространственных гранично-элементных сеток методом композиций.

3.2.3. Утилиты корректировки гранично-элементной сетки.

3.3. Утилита решения пространственных контактных задач для абсолютно жесткого штампа заглубленного в упругое полупространство

3.3.1. Форма ввода.

3.3.2. Отображение контактных напряжений на поверхности цветом.

3.4. Проблемы решения системы линейных алгебраических уравнений больших размеров.

3.4.1. Параллельные вычислительные системы.

3.4.2. Алгоритм решения линейно-алгебраических систем больших размеров на кластерах.

3.5. Выводы.

Актуальность темы. Инженеры, ученые и специалисты в области физических наук в настоящее время широко используют численный эксперимент, основанный на приближенном решении уравнений, описывающих физическую задачу. Такой подход к решению физических задач получил широкое развитие с появлением мощных вычислительных машин, которые могли решать инженерные задачи, требующие хранения большого количества данных и проведения значительного объема вычислений.

Одним из первых приближенных методов был метод конечных разностей, в котором разрешающие уравнения задачи аппроксимировались с помощью локальных разложений неизвестных функций в ряды, как правило, в усеченные ряды Тейлора [25, 109]. Метод конечных элементов привлек к себе внимание исследователей тем свойством, что сплошная среда разбивается на ряд элементов, которые можно рассматривать как конкретные ее части. При этом этот метод может основываться как на вариационных принципах, так и на более общих выражениях метода взвешенных невязок. Диапазон задач, решаемых данным методом весьма широк, и включает в себя вопросы расчета конструкций, течения жидкости и другие виды задач [28, 60]. Другим важным направлением методов приближенного анализа было развитие смешанных принципов (вариационные методы), когда физические задачи можно выражать и решать самыми различными способами в соответствии с видом используемых аппроксимаций уравнений. Эти аппроксимации имеют основополагающее значение при машинной реализации различных численных методов [31, 84]. Методы интегральных уравнений по началу рассматривались как некий тип аналитического метода, несвязанный непосредственно с приближенными методами. Благодаря работам Н. И. Мусхелишвили, С. Г. Михлина, В. Д. Купрадзе [73, 84, 86] и др. эти методы стали использоваться главным образом в механике жидкости и задачах общей теории потенциала.

В начале 1970-х гг. последние достижения в формулировке конечных элементов начали обнаруживать их связь с формулировкой граничных интегральных уравнений и привели к появлению обобщенных криволинейных элементов. В 1970 году К. Бреббия исследовал связь различных приближенных методов с граничными интегральными уравнениями и впервые применил термин «Метод граничных элементов» [28]. Развитие сравнительно нового направления, основанного на гранично-интегральных уравнениях [5, 16, 66], позволяет решать современные проблемы физико-математического моделирования. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие метода граничных элементов и применение его для приближенных решений различных задач в области теории потенциала, теплопроводности, теории упругости, механики жидкости, вязкопла-стичности и т. п. [1-11, 16, 28, 33-42, 122-129].

Решение физических задач методом граничных элементов в общем случае сводится к трем основным этапам: подготовка данных к расчетам (препроцессор), численное решение физических задач (процессор) и вывод результатов расчета в виде иллюстраций и таблиц {постпроцессор). Разбиение численной реализации решения на три этапа обусловлено тем, что каждый из указанных этапов может рассматриваться и решаться отдельно, заостряя внимание лишь на характере начальных и полученных результатов. Иными словами, средства реализации гранично-элементных сеток могут быть получены без конкретного представления о численной реализации решения контактной задачи, или наоборот - разрабатывать гранично-элементные методики решений, не заостряя внимание на алгоритмах и методах получения гранично-элементной сетки.

Вместе с тем в настоящее время актуальными остаются вопросы реализации алгоритмов метода граничных элементов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов. Отсутствуют соответствующие гранично-элементные алгоритмы и программные средства. Все существующие программы (COSMOS, ЛИРА, FEMMODELS, SCAD, ANSYS, ZSOIL, PLAXIS и др.) основаны на конечноэлементном методе [20]. До сих пор остается актуальной задача построения пространственной гранично-элементной сетки сложной формы. Иногда для геометрического моделирования и дискретизации пространственных поверхностей используют существующие программные средства (AutoCAD, CREDO, SCAD и др.) [17, 18, 58, 61, 66]. Но это не решает проблемы, так как задача построения гранично-элементной сетки с желаемыми качествами по-прежнему требует соответствующих навыков и тщательного труда (например, необходимо отслеживать соблюдение единого правила обхода узлов, а также отсутствие пересечений и перекрытий элементов) [61, 93, 94]. Кроме того, для реализации методов поиска наилучших (оптимальных) решений возникает существенная необходимость в алгоритмах генерации гранично-элементной сетки с меньшими затратами счетного времени [5]. Все это обуславливает актуальность темы исследования.

Диссертация выполнена на кафедре программирования и информационных технологий Воронежского государственного университета в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ по теме: «Разработка и совершенствование алгоритмов, моделей и средств решения контактных задач теории упругости и строительной механики методом граничных элементов».

Цель и задачи исследования. Разработка эффективных методов и алгоритмов автоматической гранично-элементной дискретизации пространственных поверхностей сложной формы, обеспечивающих качественную подготовку данных к расчету.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

• Рассмотреть существующие методы пространственной гранично-элементной дискретизации, применяемые в решении физических задач.

• Разработать методы и алгоритмы построения пространственной гранично-элементной сетки для поверхностей сложной формы.

• Разработать и реализовать эффективные программные средства для пространственной гранично-элементной дискретизации (препроцессор).

• Произвести апробацию полученных результатов на примере решения пространственных контактных задач для абсолютно жестких штампов заглубленных в упругое однородное полупространство.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: дискретная математика и теория множеств, теория графов, численные методы интегрирования, алгебра матриц, аналитическая геометрия, современные методы и технологии программирования (Delphi, ООП, COM, OpenGL).

Научная новизна работы: В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Разработан метод композиций для геометрических объектов, характерной новизной которого является сведение композиции к логическим операциям над двоичными кодами. Это позволяет быстро найти любое решение с любым количеством геометрических объектов.

• Разработан алгоритм построения пространственной гранично-элементной сетки методом композиций геометрических объектов, гранично-элементное разбиение которых тривиально или уже известно. В отличие от метода фрагментальной дискретизации в новом методе не требуется аналитического представления поверхности.

• Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространственных гранично-элементных сеток. Хеширование узлов и граничных элементов является дополнительным улучшением реализации существующих или разрабатываемых методов гранично-элементной дискретизации.

• Разработано программное средство (SBEM-Contact) предназначенное для автоматической подготовки данных к проведению вычислительного эксперимента (гранично-элементная дискретизация). Реализация SBEM-Contact основывалась на технологии СОМ, что предоставляет возможность расширения и модификации программного продукта путем разработки и реализации новых методов гранично-элементной дискретизации без перекомпиляции и изменений всей программы, что не применяется в большинстве программ.

На защиту выносятся.

• Метод композиций для построения гранично-элементных сеток на конструкциях сложной формы путем объединения, вычитания и/или пересечения геометрических объектов, поверхность которых аппроксимирована ансамблем граничных элементов.

• Методы интерактивного построения поверхностей состоящих из набора плоских многоугольников путем добавления, удаления или пространственного перемещения вершин и дискретизации полученной поверхности на граничные элементы.

• Методы хеширования узлов и граничных элементов для сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространственных гранично-элементных сеток.

• Программное средство построения пространственной гранично-элементной сетки и решения контактных задач (SBEM-Contact) на основе компонентно-объектной модели, что предоставляет возможность расширения программного средства при расширении диапазона решаемых задач путем реализации и подключения новых утилит без перекомпиляции и изменений всей программы.

Научная новизна работы: В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Разработан метод композиций для геометрических объектов, характерной новизной которого является сведение композиции к логическим операциям над двоичными кодами. Это позволяет быстро найти любое решение с любым количеством геометрических объектов.

• Разработан алгоритм построения пространственной гранично-элементной сетки методом композиций геометрических объектов, гранично-элементное разбиение которых тривиально или уже известно. В отличие от метода фрагментальной дискретизации в новом методе не требуется аналитического представления поверхности.

• Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространственных гранично-элементных сеток. Хеширование узлов и граничных элементов является дополнительным улучшением реализации существующих или разрабатываемых методов гранично-элементной дискретизации.

• Разработано программное средство (SBEM-Contact) предназначенное для автоматической подготовки данных к проведению вычислительного эксперимента (гранично-элементная дискретизация). Реализация SBEM-Contact основывалась на технологии СОМ, что предоставляет возможность расширения и модификации программного продукта путем разработки и реализации новых методов гранично-элементной дискретизации без перекомпиляции и изменений всей программы, что не применяется в большинстве программ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы для повышения эффективности работы существующих и разработке новых систем моделирования процесса вычислительного эксперимента основанного на методе граничных элементов. Полученные простые и эффективные алгоритмы построения пространственной гранично-элементной сетки обладают свойством минимальных затрат счетного времени, что позволяет использовать их в решении задач поиска наилучшей (оптимальной) геометрической формы рассчитываемой поверхности. Разработанное программное средство построения пространственной гранично-элементной сетки и решения контактных задач (SBEM-Contact) можно рекомендовать проектным или научноисследовательским организациям в качестве препроцессора для вычислительных экспериментов.

Аппробация работы. Основные результаты работы доложены на всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (г. Москва, ВЦ РАН, 2004 г.), международной научной конференции «Образование, наука, производство и управление в XXI веке» (С. Оскол, СОТИ, 2004 г.), конференции международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 2005 г.), международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.), научных конференциях профессорско-преподавательского состава и научных работников ВГУ, 2001 - 2005 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 работ, в том числе 15 статей и патент Государственного фонда алгоритмов и программ РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 151 страницах, включает 5 таблиц, 39 рисунков, 4 определения и 5 утверждений с доказательствами. Состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 129 наименований и 8 приложений.

3.5. Выводы

В третьей главе получены следующие результаты:

• Разработано и реализовано программное средство (SBEM-Contact) предназначенное для автоматической подготовки данных к проведению вычислительного эксперимента (гранично-элементная дискретизация).

• Реализация SBEM-Contact основывалась на технологии СОМ, что предоставляет возможность расширения и модификации программного продукта путем разработки и реализации новых методов гранично-элементной дискретизации без перекомпиляции и изменений всей программы, что не применяется в большинстве программ.

• Реализованы методы и алгоритмы пространственной гранично-элементной дискретизции рассмотренные в второй главе.

• Для аппробации полученных результатов реализованы численные методы решения пространственной контактной задачи для абсолютно жесткого штампа заглубленного в упругое полупространство под действием внешних статических нагрузок.

Разработаны методы градиентной закраски расчитываемой поверхности в соответствии с полученными контактными напряжениями. Рассмотрены методы решения системы линейных уравнений больших размеров и на базе метода Гаусса разработан соответствующий алгоритм для многопроцессорных суперкомпьютеров и кластеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы были получены следующие основные результаты: Разработаны методы интерактивного построения поверхностей состоящих из набора плоских многоугольников путем добавления, удаления или пространственного перемещения вершин и дискретизации полученной поверхности на граничные элементы.

Разработан алгоритм автоматического построения гранично-элементных сеток на конструкциях сложной формы путем объединения, вычитания и/или пересечения геометрических объектов, поверхность которых аппроксимирована ансамблем граничных элементов.

Разработаны методы хеширования узлов и граничных элементов для сокращения времени выполнения алгоритмов построения пространственных гранично-элементных сеток.

Разработано программное средство построения пространственной гранично-элементной сетки и решения контактных задач (SBEM-Contact) на основе компонентно-объектной модели, что предоставляет возможность расширения программного средства при расширении диапазона решаемых задач путем реализации и подключения новых утилит без перекомпиляции и изменений всей программы.

Проведена апробация полученных результатов на примере решения контактной задачи для заглубленного в упругое полупространство абсолютно жесткого штампа испытывающего действие пространственной системы нагрузок.

1. Абросимов Н. А., Баженов В. Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций: Монография. Нижегород. гос. ун-т им. Н.И.Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. - 399 с.

2. Адлуцкий В. Я. Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений в угловых точках плоского тела прямым методом граничных элементов. // сб. науч. тр. Компьютерные методы в задачах прикладной математики и механики. Киев: НАН Украины, 1998. - С. 4 - 10.

3. Айзикович С. М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред: автореферат дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 / Ростов, гос. ун-т; науч. консультанты: В.М. Александров, А.В. Белоконь. Ростов н/Д: Б.и., 2003. - 32 с.

4. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: АСВ, 2000 - 754 с.

5. Алейников С. М, Бахтин А. А. Генерация пространственных гранично-элементных сеток для осесимметричных фундаментных конструкций. // Тез. докл. науч.-тех. конф. Новосибирск: НГАСУ, 2004. - Вып. 61. - С. 91 - 92.

6. Алейников С. М, Бахтин А. А. Гранично-элементная дискретизация плоских областей в пространстве. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ, 2004. - Вып. 4. - С. 6 - 9.

7. Алейников С. М., Бахтин А. А., Тюкачев Н. А. Алгоритмы построения пространственных гранично-элементных сеток. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ, 2004. -Вып. 4.-С.9- 11.

8. Александров В. М, Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. - 301 с.

9. Александров В. М, Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998.-288 с.

10. Алехин В. В., Аннин Б. Д., Коробейников С. Н. Численное решение нелинейных осесимметричных задач с учетом контактных взаимодействий. // Межвуз. сб. науч. тр. Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж: ВГУ, 199.-С. 21-28.

11. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов: пер. с англ. М.: Мир, 1979. - 536 с.

12. Баженов В. А., Оробей В. Ф.,Дащенко А. Ф., Коломиец Л. В. Строительная механника. Специальный курс. Применение метода граничных элементов. -Одесса: Астропринт, 2001. 207 с.

13. Баранов Л. В. Актуальные вопросы технологии современных САПР. // Тр. всероссийской конф. Прикладная геометрия, построение расчетных сеток ивысокопроизводительные вычисления. М.: ВЦ РАН, 2004. - Т. 2 -С. 131-142.

14. Басов К. A. ANSYS в примерах и задачах. / Под общ. ред. Д. Г. Красковского. М.: Компьютер-Пресс, 2002. - 224 с.

15. Безволев С. Г. Программные средства для проектирования фундаментных плит и перекрестных лент. // Промышленное и гражданское строительство. -2003. -№ 1.-С. 39-40.

16. Березанцев В. Г., Ксенофонтов А. И., Платонов Е. В., Сидоров Н. Н., Яро-шенко В. А. Механика грунтов, основания и фундаменты. Под ред. д. т. н. проф. Березанцева В. Г. М.: ТРАНСЖЕЛДОРИЗДАТ, 1961. - 340 с.

17. Берж К. Теория графов и ее применения: пер. с французского. М.: изд-во иностранной литературы, 1962. - 320 с.

18. Бобылев А. А. Применение вариационного метода к решению задачи о контактном взаимодействии упругой полуплоскости с жестким штампом. // сб. науч. тр. Компьютерные методы в задачах прикладной математики и механики. Киев: НАН Украины, 1998. - С. 19 - 24.

19. Богданов П., Попов М. Еда и кластеры на скорую руку. // Компьютерра. -2002. № 5 (430). С. 31 - 33.

20. Боголюбов А.Н., Красилъникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведущих систем. // Математическое моделирование. М.: РАН, 2000. - Т. 12, № 1 - С. 13-24.

21. Боровиков С. П. Использование апприорной геометрической информации для уменьшения вычислений с применением арифметики повышенной точности при построении трехмерных триангуляций. // Математическое моделирование. М.: РАН, 2000. - Т. 12, № 2 - С. 40 - 48.

22. Боровиков С. Н. Проблемы построения трехмерной триангуляции Делоне для тел с криволинейной границей. // Математическое моделирование. М.: РАН, 2000. - Т. 12, № 2 - С. 49 - 60.

23. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов: пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 524 с.

24. Бреховских JT. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред: В приложении к теории волн / АН СССР, отд-е океанолог., физ. атмосф. и геогр. -М.: Наука, 1982.-335 с.

25. Букатов А. А.,Дацюк В. Н., Жегуло А. И. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-дону.: ЦВВР, 2003. - 208 с.

26. Васидзу К. Вариационные принципы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

27. Васик Е. В., Ковура А. Б. К решению контактной задачи для упругой полуплоскости с учетом пригрузки. // сб. науч. тр. Компьютерные методы в задачах прикладной математики и механики. Киев: НАН Украины, 1998. - С. 24 -27.

28. Бахтин А. А. Автоматизация построения гранично-элементных сеток для решения статических задач теории упругости. // Мат. междун. науч. конф. образование, наука, производство и управление в XXI веке. С. Оскол: СОТИ, 2004.-Т. I.-C. 274-278.

29. Бахтин А. А. Алгоритмы автоматического моделирования многогранников. // Межвузовский сб. науч. тр. Математическое обеспечение ЭВМ. Воронеж: ВГУ, 2002. - Вып. 4. - С. 27 - 31.

30. Бахтин А. А. Генерация гранично-элементной сетки на поверхностях осесимметричных конструкций. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ, 2004. - Вып. 4. -С. 48-52.

31. Бахтин А. А. Генерация пространственных сеток для решений контактных задач методом граничных элементов. // Мат. науч.-практ. семинара Новые информационные технологии. М.: Российская академия естественных наук, 2004.-Вып. 7.-С. 110-118.

32. Бахтин А. А. Метод композиций для гранично-элементной дискретизации. // Науч.-техн. Журнал Системы управления и информационные технологии. -Воронеж: Научная книга, 2005. № 4 (21) - С. 66 - 71.

33. Бахтин А. А. Метод композиций для построения пространственных гранично-элементных сеток. // Мат. междун. науч. конф. Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Воронеж: ВГТА, 2005.-С. 54.

34. Бахтин А. А. Препроцессор гранично-элементного программного комплекса для решения задач геотехники. // Науч.-техн. журнал Системы управления и информационные технологии. Воронеж: Научная книга, 2003. — 1-2(12) -С. 68-72.

35. Бахтин А. А. Программный пакет автоматизированного твердотельного проектирования. // Мат. per. науч.-мет. конф. Информатика: проблемы, методология, технологии. Воронеж: ВГУ, 2003. - Вып. 3 - С. 29 - 32.

36. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 1999. - 128 с.

37. Вервейко Н. Д., Смотрова О. А. Предельное напряженно-деформированное состояние связной сыпучей среды. // Межвуз. сб. науч. тр. Прикладные задачи механики сплошных сред. ВоронежЖ ВГУ, 1999. - С. 71 - 76.

38. Воеводин В. В. Численные методы алгебры (теория и алгоритмы). М.: Наука, 1966.-248 с.

39. Воеводин В. В., Воеводин В. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ, 2002. - 600 с.

40. Ворович И. И., Александров В. М, Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 455 с.

41. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. - 328 с.

42. Галлагер Р. Метод конечных элементов: Основы / пер. с англ. Картвели-швили В. М. под ред. Баничука Н. В. М.: Мир, 1984. - 428 с.

43. Гантер Д., Барнет С., Гантер Л. Интеграция Windows NT и Unix в подлиннике. СПб.: BHV, 1998. -464 с

44. Гардан К, Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования: пер. с франц. М.: Мир, 1987. - 272 с.

45. Гибилман Е. Е., Назратенко Б. П. Мосты и сооружения на дорогах. М.: Транспорт, 1972. - Ч. I - 408 с.

46. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. -304 с.

47. Голуб Д., Ванлоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. - 548 с.

48. Горностаев А. В. Строительство зданий и сооружений в районах распространения вечномерзлых грунтов. // Монтаж и спец. работы в строительстве. -2002.-№ 12.-С. 14-19.

49. Донченко М, Рябенький М. Особенности использования программных средств для модификации AutoCAD. // CAD master. 2004. - № 5. - С. 10-15.

50. Дорошенко А. Е. Математические модели и методы организации высокопроизводительных параллельных вычислений. Киев: Наукова думка, 2002. -180 с.

51. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.-545 с.

52. Зуев С., Полещук Н. САПР на базе AutoCAD как это делается. - Спб.: БХВ, 2004.- 1168 с.

53. Ивлев Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности: избранные работы. Воронеж: ВГУ, 2005. - 357 с.

54. Ильина О. Н. Стратегии устойчивого развития систем автоматизированного проектирования в строительстве. // Промышленное и гражданское строительство. 2003. -№ 7. - С. 51.

55. Ильина В. А., Силаев 77. К. Численные методы для физиков-теоретиков. -М.-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2003. Ч. I. - 132 с.

56. Каплун А. Б., Морозов Е. М, Олферьева М. A. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. М.: УРСС, 2003. - 269 с.

57. Ковнеристов Г. Б. Интегральные уравнения контактной задачи теории упругости для заглубленных штампов // Сб. научн. тр. Киев: Киевский инж.-строит. ин-т, 1962. - Вып. 20. - С. 200-213.

58. Корнишин М. С., Паймушин В. Н., Снигирев В. Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

59. Коробкин В. Д. Статически определимые поля напряжений осесимметрич-ной задачи теории пластичности. // Межвуз. сб. науч. тр. Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж: ВГУ, 1999. - С. 143 - 148.

60. Кузнецов О. П., Андельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергия, 1980. - 344 с.

61. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1950. - 280 с.

62. Ландау JI.Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Гос. изд-во техн.-теорет. литературы, 1954. 795 с.

63. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++: пер. с англ. М.: БИНОМ, 1997. - 304 с.

64. Лацис А. О. Как построить и использовать суперкомпьютер. М.: Бестел-лер, 2003.-238 с.

65. Лисов В. М. Мосты и трубы: учеб. пособие. Воронеж: ВГУ, 1995. 328 с.

66. Ломазов В. А. Задача диагностики упругих полуограниченных тел. // Прикладная математика и механика. 1989. - Т. 53. - Вып. 5. - С. 766 - 772.

67. Максимова Л. А. К задаче о вдавливании штампа в идеальнопластическую среду. // Межвуз. сб. науч. тр. Прикладные задачи механики сплошных сред. -Воронеж: ВГУ, 1999. С. 164 - 168.

68. Малинин Н. Н. Кто есть кто в сопротивлении материалов / Под ред. Данилова В. Л. М.: Изд-во МГТУ, 2000. - 244 с.

69. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Пер. с англ. Свешниковой Е. И.; Под ред. Эглит М.Э. М.: Мир, 1974. - 318с.

70. Михайленко К. Параллельный стиль. // Компьютерра. 2002. № 5 (430). -С. 28-30.

71. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

72. Морозов Е. М. Контактные задачи механики разрушения. М.: Машиностроение, 1999. - 543 с.

73. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Мир, 1966. - 707 с.

74. Немнюгин С. А., Стесик О. Л. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. -400 с.

75. Ниман Т. Сортировка и поиск: Рецептурный справочник: Пер. с англ. М.: Мир, 1998.-50 с.

76. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

77. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 367 с.

78. Пальянов П. Повышение эффективности проектных работ на основе информационных технологий. // CAD master. 2004. - № 5. - С. 58 - 60.

79. Погорелое А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек / Нац. АН Украины, Физико-техн. ин-т низких температур .— 2-е изд., доп. — Киев: Наукова Думка, 1998 .— 199 с.

80. Погорелое В. AutoCAD: трехмерное моделирование и дизайн. Спб.: БХВ, 2003. - 288 с.

81. Потемкин А. Трехмерное твердотельное моделирование. М.: КомпьютерПресс, 2002. - 296 с.

82. Препапа Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение: пер. с англ.- М.: Мир, 1989. 478 с.

83. Пресняков Н. И. Экономическая эффективность и систематотехника проектирования виртуальных объектов строительства. // Промышленное и гражданское строительство. 2003. - № 7. - С. 49 - 50.

84. Райан Д. Инженерная графика в САПР: пер. с англ. М.: Мир, 1989. -391 с.

85. Розин JI. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: СПбГТУ, 1998. 532 с.

86. Рофейл Э., Шохауд Я. СОМ и СОМ+. Полное руководство: пер. с англ. -Киев: ВЕК+, 2000. 560 с.

87. Саргсян А. Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности: Основы теории с примерами расчетов: Учебник для студ. вузов, обуч. по техн. специальностям. 3-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2002. - 285 с.

88. Таненбаум Э. Архитектура компьютера. 4-е изд. СПб.: Питер, 2002. -704 с.

89. Таненбаум Э. Современные операционные системы. 2-е изд. СПб.: Питер, 2002.- 1040 с.

90. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. М.И. Рейт-мана, под ред. Г.С. Шапиро. 2-е изд. - М.: Наука: Физматлит, 1979. - 560 с.

91. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Проблема совмещения конечно-разностных и конечно-элементных схем в задачах газовой динамики с теплопроводностью. // Математическое моделирование. М.: РАН, 2000. - Т. 12, № 1 - С. 4 - 11.

92. Тюкачев Н. А., Свиридов Ю. Т. Delphi 5. Создание мультимедийных приложений. М.: Нолидж, 2000. - 384 с.

93. Уилкинсон Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра: пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. - 389 с.

94. Фаддеев, Д. К, Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 3-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2002. - 733 с.

95. Хармон Э. Разработка СОМ-приложений в среде Delphi: пер. с англ. М.: Вильяме, 2000. - 464 с.

96. ХЛ.Хаусдорф Ф. Теория множеств: пер. с нем. М.: УРСС, 2004. - 304 с.

97. Чигарев А. В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред / Под ред. Е.И.Шемякина. Минск: Технопринт, 2000. - 425 с.

98. Шемякин Е. И. Введение в теорию упругости: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1993.-95 с.

99. Шишов О. В. Контактная задача для осесимметричных заглубленных штампов. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буди-вельник, 1971.-Вып. 13-С. 60-66.

100. Cisilino А. P., Alibadi М. Н. A boundary element method for three-dimensional elastoplastic problems. // Engineering Computations. 1998. - № 8 - P. 1011 — 1030.

101. Dell'Erba D. N., Aliabadi M. H., Rooke D. P. Dual boundary element method for three-dimensional thermoelastic crack problems. I I International Journal of Fracture. 1998. - № 1 - P. 89 - 101.

102. Frangi A. Fracture propagation in 3D by the symmetric Galerkin boundary element method. // International Journal of Fracture. 2002. -№4-P. 313- 330.

103. Leontiev A., Huacasi W., Herskovits J. An optimization technique for solution of the signorini problem using the boundary element method. // Structural and Multid-isciplinary Optimization. 2002. - № 1 - P. 72 - 77.

104. Minch M. Y., Dmochowski G. Boundary element method analysis of RC panels. // тезисы докладов XVI Междун. конф. Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов. Т. 1 -СПб.: СПбГАСУ, 1998. С. 21 - 22.

105. Podil'chuk Yu. N., Rubtsov Yu. К. Development of the boundary-element method for three-dimensional problems of static and nonstationary elasticity. // International Applied Mechanics 2004. - № 2. - P. 160 - 168.

106. Shi Jun Ping, Liu Xie Hui, Chen Yi Heng A complex variable boundary element method for solving interface crack problems. // International Journal of Fracture. -1999.-№ 2-P. 167- 178.