автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Грамианный подход в задаче оценки затрат на управление непрерывными и дискретными техническими объектами

На правах рукописи

Бирюков Дмитрий Сергеевич

ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД В ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ И ДИСКРЕТНЫМИ ТЕХНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г г май гон

Санкт-Петербург - 2014

005548512

005548512

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ушаков Анатолий Владимирович

Официальные оппоненты:

Мироновский Леонид Алексеевич, доктор технических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического

приборостроения (СПбГУАП), профессор кафедры вычислительных систем и сетей

Ведущая организация:

Новожилов Игорь Михайлович, кандидат технических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный

университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, доцент кафедры информационных управляющих систем

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ)

Защита состоится 19 июня 2014г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.227.03 при Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, СПбНИУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики http://fppo.ifmo.ru.

Автореферат разослан « $(?^ 2014г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Дударенко Наталия Александровна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Тема диссертационных исследований под названием «Грамианный подход в задаче оценки затрат на управление непрерывными и дискретными техническими объектами» была сформирована исходя из потребности заполнить пробел в современной отечественной теории управления, которая, на взгляд автора, уделяет недостаточно внимания такому мощному инструменту анализа и синтеза систем как грамианные матричные структуры. Одним из первых в отечественной теории управления понятие грамиана использовал JLA. Мироновский в работе [Мироновский, 1985]. За прошедший с 1985 г. период грамианные технологии использовались недостаточно широко: поиск в базе РИНЦ дает всего семь статей. По такой подборке материалов составить суждение о круге решаемых задач неспециалисту практически невозможно. Напротив, в зарубежной литературе проблеме уделено значительное внимание, в базе IEEE Xplore содержится около ста печатных работ. Круг решаемых задач сводится к проблемам оптимального размещения управляющих органов и датчиков [Abou-Kandil, 2000, Schneiders, 2004], оценки межканальных связей [Conley, 2000, Halvarsson, 2008], редуцирования моделей динамических объектов [Freitas, 2009, Jinbao, 2010, Jinbao, 2008, Sorensen, 2002], синтеза управляющих воздействий [Montagnier, 2004]. Стремление глубоко рассмотреть данные проблемы, развить имеющиеся методы и обозначить шаги к дальнейшему совершенствованию грамианных технологий мотивировало автора на написание диссертационной работы. Основной актуальной проблемой была выбрана проблема использования грамианного аппарата для оценки затрат на управление при использовании метода модального управления для синтеза систем. Решение задачи оценки энергетических затрат и их минимизации является крайне важным для современной техники, широко использующей автономные аппараты и системы (мобильные роботы, беспилотные летательные аппараты и т.д.).

Целью диссертационной работы является комплексное решение задач ацализа структурных свойств объекта, оптимального размещения измерительных

3

и управляющих устройств, оценки затрат на обеспечение желаемой структуры мод и воспроизведение экзогенных воздействий, имеющих конечномерную либо стохастическую природу, на основе грамианных матричных структур.

Проведенные диссертационные исследования представляют собой попытку систематизации методов анализа и синтеза динамических систем с использованием грамианных матричных структур, а также формирования универсальных принципов вычисления грамианов современными программными средствами.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались метод пространства состояний, метод модального управления, дополненный процедурой грамианного контроля затрат на управление, интервальные модельные представления, формализм матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова, метод сингулярного разложения, аппарат теории чувствительности к вариациям параметров физического объекта и агрегированного интервала дискретности. Теоретические результаты подвергались проверке на численных примерах с использованием программной и модельной оболочки МаЙаЬ последних версий.

Научная новизна. В диссертационной работе новым является следующее:

1) алгоритмы оценки затрат на управление при обеспечении желаемой структуры мод и воспроизведении конечномерных и стохастических воздействий с помощью грамиана затрат на управление. Также показано, что при решении данной задачи в классе стохастических воздействий грамианом затрат на управление является матрица дисперсий.

2) алгоритмическое обеспечение процедуры редуцирования размерности модельного представления на основе системного кросс-грамиана, включающее процедуру диагонализации кросс-грамиана с помощью матрицы неособого преобразования подобия

3) процедура согласования исходного объекта управления и модели источника задающего воздействия, в общем случае имеющих разные размерности, при решении задачи слежения за конечномерным задающим воздействием с нулевой

ошибкой в установившемся режиме. Задача решена как для случая, когда спектр собственных значений матрицы состояния исходного объекта управления содержит спектр собственных значений матрицы состояния источника задающего воздействия, так и для случая, когда спектры не пересекаются либо пересекаются частично.

4) алгоритмическое обеспечение процедур оптимального размещения управляющих органов и измерительных устройств на формируемом объекте управления с помощью грамианов управляемости и наблюдаемости.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в результате диссертационных исследований результаты могут быть использованы

- в ходе конструирования объектов управления для оптимального размещения датчиков и исполнительных устройств, при синтезе систем управления для увеличения энергетической эффективности за счет снижения затрат на управление;

- при решении задач синтеза модального управления многомерными объектами при энергетически аргументированном выборе модальной модели, являющейся носителем желаемой структуры мод;

- при решении задач дистанционного управления технологическими ресурсами с учетом факторов канальной среды, для которых проблема энергосбережения может стоять достаточно остро;

- в учебном процессе в рамках курса «Современная теория систем управления», включенном в образовательные стандарты подготовки магистров по направлению 220400 «Управление в технических системах» и 220100 «Системный анализ и управление».

На защиту выносится комплексное решение задачи разработки грамианных технологий оценю! затрат на управление непрерывными и дискретными объектами, состоящей в:

- анализе сингулярного разложения грамианов и формировании мажорантных и минорантных грамианных оценок затрат на управление, энергии входных и выходных сигналов;

- формировании требований к управляющему сигналу в смысле оптимальности затрат на управление при модальном управлении, а также к объекту управления в смысле оптимального размещения регулирующих органов и измерительных устройств, увеличения ранга матрицы управления;

- формировании алгоритмов редуцирования модельного представления объекта управления с использованием системного кросс-грамиана;

- решении задачи оценки затрат на управление в рамках концепции модального управления на основе грамиана затрат на управление, модификации полученных алгоритмов оценки затрат с учетом природы входного сигнала, воспроизводимого источником конечномерного экзогенного воздействия (полиномиального, гармонического);

- модификации вышеупомянутого алгоритма для источника стохастического воздействия, стационарного в широком смысле, типа «белый» и «окрашенный» шум с введением понятия обобщенного стохастического грамиана в виде матрицы дисперсий;

- решении задачи обобщенного изодромного (пропорционально-интегрального) управления на базе концепции внутренней модели источника экзогенного воздействия с использованием кросс-грамиана для согласования внутренней модели и объекта управления и контролем управляемости собственных значений объекта управления;

- проведении исследования влияния фактора интервальное™ параметров объекта управления на полученные законы и алгоритмы с их модификацией в рамках метода медианного модального управления;

- решении задачи обеспечения параметрической инвариантности выходного сигнала методами обобщенного модального управления;

- решении задачи синтеза цифрового дистанционного управления с учетом фактора канальной среды.

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Основные

положения диссертации докладывались и обсуждались на XL, XLI, XLII и XLIII научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПб НИУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2011, 2012, 2013 и 2014 г.г.), VII и VIII Всероссийских межвузовских конференциях молодых ученых (Санкт-Петербург, 2010, 2011 и 1012 г.г.), I Всероссийском конгрессе молодых ученых (Санкт-Петербург, 2012 г.), III Мультиконференции по проблемам управления в рамках конференции «Управление в технических системах» (УТС-2010, Санкт-Петербург, 2010 г.), IV Мультиконференции по проблемам управления в рамках конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012, Санкт-Петербург, 2012 г.), Международной конференции «International Conference on Control, Electrical and Computer Engineering» (INECCE-2011, Куантан, Малайзия, 2011 г.).

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации отражены в 8 опубликованных статьях в журналах и изданиях, входящих в перечень ВАК РФ, 1 статье в англоязычном сборнике трудов конференции, 2 статьях в русскоязычных сборниках трудов конференций. Все публикации подготовлены при непосредственном участии автора.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 139 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и списка литературы (65 наименований), содержит 20 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, проведен анализ существующих в современной науке об управлении методов в обозначенной предметной области, сформулированы цели и задачи исследований, кратко изложены теоретические и практические результаты работы, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации осуществляется введение в проблематику построения грамианов непрерывных и дискретных объектов управления и

динамических систем. Рассматривается классическая матрица Грама, играющая роль матрицы скалярных произведений элементов геометрических и функциональных базисов.

Формируется общий принцип построения матриц такого типа (грамианов) в интегральном виде. Здесь и далее в качестве основной модели непрерывного объекта управления (ОУ) рассматривается дифференциальная модель «вход-состояние-выход» следующего вида:

где х(/) е Я" - вектор состояния, и(/)е Яг - вектор входного воздействия, >'(г)е Ят — вектор выхода, Л-(ихи) — матрица состояния, В-(пхг) - матрица входа, С — (пг х п) — матрица выхода.

Для удобства практического программного вычисления грамианов предлагается использовать уравнение Ляпунова. Общий метод построения грамианов можно изложить следующим образом. Рассматривается квадрат нормы сигнала (элемента функционального пространства), для которого необходимо построить оценку в форме миноранты и мажоранты. Для примера рассмотрим норму выходного сигнала у(?) на траекториях свободного движения объекта (1) (и(/)=0; х(0)*0).

где 1¥и (/) - грамиан наблюдаемости:

»и (1)=]елТтСТСеА^т. (3)

О

Для нахождения грамиана наблюдаемости IVн = Пт 1УИ([) при

/->00

интегрировании умножим выражение (3) справа на А :

1Гн(()А + АГ1Гн(()=-СГС + еАГ'СТСеЛ'. (4)

Для устойчивого объекта в пределе последнее слагаемое стремится к нулю,

что позволяет решить поставленную задачу, получив уравнение типа Ляпунова:

ИлиА + АгИ'и=-СгС. (5)

Отметим, что гипотеза об устойчивости объекта не ограничивает общности полученного результата, т.к. практические результаты показывают справедливость получаемых впоследствии оценок и для неустойчивых объектов.

Процедура конструирования показана для грамианов управляемости, наблюдаемости, затрат на управление, а также для системного кросс-грамиана. Уравнения Ляпунова получены и для дискретных версий грамианов при замене интегрирования рекурсивным алгоритмом вычисления. Так, для вычисления дискретной версии грамиана управляемости <2у используется следующая

рекурсивная процедура:

<2у(к+1)=Аду{к)Ат+ввт, (6)

а соответствующее уравнение Ляпунова выглядит следующим образом:

Оу-АдуАт=ВВт. (7)

Наиболее удобным инструментом грамианной оценки свойств объектов является анализ их сингулярного разложения (вУс1-разложения). Использование сингулярного разложения позволяет строить оценки различных величин (затрат на управление, энергии входного и выходного сигнала) в виде миноранты и мажоранты.

Во второй главе диссертационной работы рассматриваются проблемы конструирования объекта управления с использованием грамианных технологий. В сложившейся практике зачастую управляющие органы и измерительные устройства размещаются с точки зрения удобства эксплуатации без учета влияния структуры таких органов на управляемость и наблюдаемость объекта. Предлагается включить в процесс конструирования процедуры выбора оптимальной структуры.

В ходе конструирования может понадобиться уменьшить размерность модели высокого порядка (выполнить редуцирование модели). Первым этапом этого процесса является балансировка модели.

Модель исследуемого ОУ вида (1) с тройкой матриц (А,В,С) является внутренне сбалансированной, если выполняются матричные соотношения:

Шу = ¡еА'ВВтеА 'А = 1; IV„ = \еА ,СтСтел,Л = Е,

(8)

где T, = diag{ai:i = l,...,n}, а, - сингулярные числа сбалансированных грамианов управляемости 1Уу и наблюдаемости \Уи.

Алгоритм конструирования внутренне сбалансированной модели ОУ сводится к отысканию матрицы неособого преобразования подобия между исходными и сбалансированными грамианами. При этом условие подобия записывается в виде

IVс = М\УСМ~], (9)

где М — модальная матрица, построенная на собственных векторах системного кросс-грамиана удовлетворяющего уравнению

Л(Гс+1ГсЛ = -ВС. (10)

Диагональный вид кросс-грамиана IVс дает возможность корректного редуцирования исходного модельного представления вида (1). Поскольку модули диагональных элементов кросс-грамиана Шс обладают аддитивным свойством, оценка погрешности редуцирования может быть получена в виде соотношения:

}=\ / ¡=1

(11)

где

относительная погрешность аппроксимации полной модели

редуцированной версией, ] =\,1 - индексы отбрасываемых переменных вектора

состояния, 1 = 1 ,п - индексы всех переменных вектора состояния.

Для получения редуцированной модели уравнение (10) после балансировки следует записать в виде:

'¿и ьр 0 " + |>с ^р 0 " '¿и А,2 В\

Аг 1 А22_ 0 о _ 0 о „ Аг\ А2 2_ Л.

[с, С2].

(12)

где 1¥с — кросс-грамиан редуцированного внутренне сбалансированного объекта, IVс - кросс-грамиан отбрасываемой части этого объекта.

Оптимальное размещение измерительных устройств происходит следующим образом. Для объекта (1) с грамианом наблюдаемости \УИ справедливо утверждение: число датчиков, осуществляющих первичные измерения, и их размещение будут оптимальными, если матрица С выхода объекта (1) удовлетворяет условию

С = аг8тахат1п{Гя}, (13)

где атЬ{1¥н} - минимальное сингулярное число грамиана наблюдаемости УУи. Максимизация соответствует наибольшему удалению от пограничной

ситуации схтт {\Уп } = 0, что означает, что объект полностью ненаблюдаемый.

При размещении датчиков следует максимизировать энергию выходного сигнала, т.е. норму элементов функционального пространства. Воспользовавшись положением обобщенной проблемы собственных значений, можем получить следующие оценочные неравенства:

«тш^ К М * М * «тах^ М • (14)

Процесс первичных измерений будет характеризоваться наибольшей информационной независимостью и вычислительной устойчивостью, если выполняется условие

С' =ат%ттС'{НГн}, (15)

где С - число обусловленности.

Критерии оптимальности можно объединить, введя агрегированный функционал оптимальности в форме:

С'Ю ' (16)

Для объекта (1) с грамианом управляемости справедливо утверждение: число управляющих органов, осуществляющих регулирование, и их размещение будут оптимальными, если матрица В входа объекта (1) удовлетворяет условию

И

В = ащ тах а„т {¡Уу}, (17)

В

где ат[п{1Уу} - минимальное сингулярное число грамиана управляемости Жу. Здесь, как и в предыдущем случае, ситуация «т;п{^у}=0 соответствует полной неуправляемости объекта.

Третья глава диссертации посвящена формированию алгоритма оценки затрат на размещение желаемых мод (собственных чисел), на основе которых строятся алгоритмы оценки затрат на управление при воспроизведении конечномерных и стохастических воздействий в рамках концепции модального управления. В качестве критерия выбора той или иной необходимой структуры мод используется оценка затрат на управление на сфере локализации желаемых мод.

В изначальной постановке задачи для ОУ вида (1) требуется синтезировать закон управления, обеспечивающий в замкнутой системе требуемое распределение мод, что в свою очередь обеспечивается управлением

«(/) =ия (0 = -£*(/) = -КЛ(0). (18)

Сформируем грамиан затрат на управление по схеме, описанной в главе 1

\¥и{()=)ерТтКТКеНтс1т. (19)

о

Грамиан Жц затрат на управление удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова

ГтЖи + ЖиР = -КтК. (20)

Если сравнение вариантов реализации структур собственных векторов осуществлять на единичной сфере начальных состояний ||х(0| = 1, то оценка максимальных затрат на управление определится выражением

К 1*(01 < |1/м| = ИоК*(0)Г * К1Ф1 • (21)

Для решения полной задачи обеспечения требуемой структуры мод и воспроизведения входного воздействия потребуем синтезировать закон

управления, обеспечивающий в замкнутой системе требуемое распределение мод и соответствия выхода системы в установившемся режиме задающему воздействию:

u{t) = ил (/)+ ug (/) = Kgg{t)- Kx{t). (22)

Источник конечномерного экзогенного воздействия g(t) зададим в форме

z(t)=Ez(t), z(tjt=0= z(o), g{t)=Pz(t), (23)

где z(t)— вектор состояния источника, z е R1 \Е,Р-матрицы состояния и выхода, согласованные по размерности с размерностями векторов z(t)Hg(t).

После объединения объекта управления и закона управления в замкнутую систему, конструирования агрегированной системы с вектором состояния

x(t) = [хг(г) zr(/)}' и матрицами состояния F и G, заданных соотношениями F = А-ВК, G = BKg, вектор управления u{t) представим в форме

u{t)={KgP-KT)eE'z(0). (24)

Грамиан затрат на управление в данном случае имеет вид:

Wv {t)= feETz (KgP- КТ)Т (Kg P - КтУ'Чт (25)

о

и удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова

ETWu+WuE = -(KgP-KT)T(KgP-KT). (26)

Алгоритм оценки затрат на управление включает в себя построение моделей объекта управления и источника конечномерного воздействия, формирование требований к структуре мод с назначением их носителем матрицы Г состояния модальной модели, задаваемой наблюдаемой парой матриц (г,Я:dim// =dimBr), нахождение матриц прямых Kg и обратных К связей, построение оценки затрат на управление в форме

К ||z(0)| < 1 t/[M|| = (zT(0)^z(0)f < a{} {WV }]|z(0|, (27)

где am{Wu}, a м {1¥и} - соответственно минимальное и максимальное

сингулярные числа грамиана \Уи. С учетом ограничений на структуру мод в секторе локализации желаемых мод производится направленный перебор до минимизации мажоранты ||^[о,оо)||м-

Построены модификации данного алгоритма, облегчающие процесс вычисления, применительно к полиномиальным и гармоническим входным воздействиям. Алгоритмы сопровождаются практическими вычислениями в пакете МАТЬАВ.

Для случая стохастических стационарных в широком смысле входных воздействия аналогичная задача решается с помощью матрицы дисперсий сигнала управления.

В решаемой задаче входной сигнал объекта вида (1) <!;(() производится формирующим фильтром из белого шума:

¿(0 = Г^(/)+(28) = (29)

Объединив уравнения замкнутой системы и формирующего фильтра входного воздействия, получим:

" Рх(1) СРф2((У

0-х(/) Гф2{!)

~ о "

,5 =

(30)

Для оценки затрат на управление сформируем выражение для дисперсии

Ви =Е\,{1У(!))=

=к8рфо2рфтк/-КОХ2РфтК/ -кврфоакт+клхкт

(31)

Здесь оператор Е представляет собой математическое ожидание. Частные дисперсии можно получить, воспользовавшись уравнением для дисперсии

агрегированной переменной Ох = £■{?(/

ГОх + БХРТ = -<ЗЫёТ, (32)

где N - интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра.

FDX + СРфВ^ + DXFT + Dx:P/GT = 0; FDx:+GPrl>Dz+Dxzrfl>T =0-r^+D.r/ =-СфМСфТ.

фи2

(34)

(35)

На основе полученных соотношений сформирован алгоритм оценки затрат на управление при воспроизведении стохастических воздействий, проведено практическое моделировании задачи минимизации дисперсии ошибки Dc, а также задачи минимизации дисперсии выходного сигнала Dy.

В четвертой главе рассматривается задача обеспечения слежения за конечномерным задающим воздействием с помощью специального регулятора со встроенной моделью задающего воздействия. Управляющее воздействие, обеспечиваемое таким регулятором, называется обобщенным изодромным управлением.

Для обеспечения в установившемся режиме подобия процессов по состоянию в объекте управления и в модели экзогенного задающего воздействия, требуется согласовать модели объекта управления и источника экзогенного воздействия, т.к. они в общем случае имеют различные размерности. В случае, когда матрица А состояния исходного ОУ вида (1) не включает в свой спектр собственных значений собственные значения матрицы Е состояния модели источника экзогенного воздействия вида (19), в структуру исходного ОУ полностью или частично встраивается динамическая модель источника экзогенного воздействия.

Для обеспечения асимптотической сходимости ошибки слежения по состоянию £(г) и выходу £•(/) к нулю требуется ввести матрицу особого преобразования Т, удовлетворяющую матричным соотношениям

Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения матричного уравнения Сильвестра (36) относительно матрицы особого преобразования Т является условие включения алгебраического спектра собственных значений матрицы Е в алгебраический спектр собственных

ТЕ-АТ = 0, Р-СТ = 0.

(36)

значений матрицы А так, что

а{Е}^а{А) (37)

Для этого ОУ (1) расширяется с помощью буферной системы, в качестве которой используется источник (21) с матрицей состояния Е:

Щ = Ах{()+Ви{1)

где А =

А ВРЬ~ ' 0 "

,в =

0 Рь.

С = [С 0], (39)

ГЪ=Е - матрица состояния буферной системы, х = [х хь ]г - вектор состояния расширенной системы, хь — вектор состояния буферной системы, а матрицы входа Сь и выхода Рь буферной системы должны удовлетворять условию полной управляемости пары (А,В):

{Сь,Рь) = ^оп1Г{А,В\ (40)

Для контроля назначения матриц Сь и Рь, а также оценки управляемости всех компонентов вектора состояния используется кросс-грамиан 1¥с.

Когда с помощью матриц Сь и Рь сформирована пара матриц расширенной

системы А и В, следует решить уравнение Ляпунова вида относительно кросс-грамиана IVс

АЖс+ЖсА=-ВС. (41)

Поскольку существования решения уравнения (41) достаточно для управляемости пары (л,.в), проверка невырожденности грамиана управляемости для этой пары не требуется. Тем не менее, для обеспечения максимально точного решения задачи слежения за задающим воздействием следует также обеспечить ненулевые сингулярные числа кросс-грамиана, геометрический смысл которых таков: сингулярные числа кросс-грамиана задают коэффициенты искажения осей эллипсоида входов при отображении в эллипсоид выходов через матрицу состояния расширенной системы.

Окончательно выбор пары (Сь, Рь) можно записать так:

¡Ж(Гь,вь)&оЬзеп>(Гь,Рь)&] 0,1 = \,п) \

Пятая глава посвящена решению проблем, связанных с параметрической неопределенностью при непрерывном управлении и вариативностью интервала дискретности при цифровом дистанционном управлении с учетом фактора канальной среды.

В условиях параметрической неопределенности видится необходимость дополнения ранее построенных алгоритмов процедурой оценки чувствительности сингулярных чисел грамианов как параметров, непосредственно влияющих на формируемые оценки.

Модифицируя сингулярное разложение обобщенного грамиана XV, получено следующее выражение

Ъ = (43)

Введем в рассмотрение вариацию параметров обобщенного грамиана XV :

1(д) = [/гЩд)У. (44)

Поскольку матрица £ представляет собой диагональную матрицу сингулярных чисел Ъ = diag{ai,i = \y...,n}, для вариации / -го сингулярного числа по / -му параметру ос: можем записать:

<У

% ФЧ/),- (45)

Затем, сформировав матрицу чувствительности сингулярных чисел грамиана, можно выполнить ранжирование сингулярных чисел по нормам строк и доминирующих параметров по нормам столбцов.

Цифровое дистанционное управление вносит в рассмотренную процедуру оценки потенциальной робастности с помощью функций чувствительности грамианов ряд особенностей. Использование цифрового управления непрерывным объектом требует учитывать интервал дискретности в качестве

варьируемого параметра. Интервал дискретности также может изменяться в зависимости от условий канальной среды с помехами.

В этой связи комплексный алгоритм формирования цифрового дистанционного управления непрерывным объектом вида (1) дополняется двумя процедурами. Первая из них представляет собой априорную оценку затрат на управление на этапе выбора непрерывной модальной модели проектируемой системы, сформированной в виде пары матриц (ТАр,НАр), где ГАр=ГАр(со0)

является носителем желаемого спектра собственных чисел, параметризованных характеристической частотой ю0, удовлетворяющей условию Шеннона-

Котельникова ш0 = аг^я/Д/> Дсо0 05(со0)}, сг{Г^(со0)} = {>., (со0);=1,и}, определяющих требуемые динамические показатели непрерывной версии системы, ГАр е Я"+2х"+2;<ИтНАр = д\тВЛрТ\ (ГАр,НЛр)~ образуют

наблюдаемую пару матриц.

Второй процедурой является апостериорная оценка затрат на синтезированное цифровое дистанционное управление на матрицах синтезированного дискретного объекта. При этом грамиан }¥и затрат на управление имеет чувствительность к вариации интервала дискретности ЫАр, что требует проведения процедуры оценки чувствительности его сингулярных чисел к вариации интервала дискретности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей основе задачи, поставленные перед диссертантом при формировании темы диссертационных исследований, решены, при этом показаны возможность и целесообразность использования грамианных технологий для решения тонких задач теории и практики управления, одной из которых является оценка затрат на управление с целью обеспечения желаемой структуры мод и достижения необходимых показателей качества проектируемых систем. Диссертантом получены следующие результаты.

1) Для всех типов грамианов непрерывных и дискретных систем показана возможность получить путем однотипных преобразований удобную для практического вычисления с помощью математических программных пакетов форму - уравнение Ляпунова.

2) Сформирована основная ниша для применения грамианных технологий: область экспресс-оценки различных параметров с помощью вычислительно простых алгоритмов сингулярного разложения, дающих область расположения рассматриваемого параметра в виде мажорантных и минорантных границ.

3) Показано, что грамианы управляемости и наблюдаемости объектов управления можно использовать для формирования оптимальной структуры размещения управляющих и измерительных устройств, а системный кросс-грамиан является важнейшим инструментом балансировки и редуцирования математических моделей объектов высокой размерности. Решение задачи балансировки сводится к диагонализации кросс-грамиана с помощью матрицы М неособого преобразования подобия.

4) Показано, что увеличение числа регулирующих органов и измерительных устройств (датчиков) дает возможность увеличивать ранги матриц управления и выхода формируемого объекта управления, обеспечивая инвариантность выхода системы относительно внешних сигнальных возмущений и параметрических возмущений.

5) Сформирован объединенный алгоритм обеспечения модальной робастности желаемой структуры мод минимальными по затратам управлениями. Критерием оптимальности в данном случае служит обобщенный функционал, включающий в себя минимальное сингулярное число грамиана затрат на управление и число обусловленности матрицы М приведения матрицы Р системы к диагональному виду.

6) На основе грамиана затрат на управление сформирован алгоритм оценки затрат на управление установившимся движением системы, порождаемым конечномерными экзогенными воздействиями (полиномиальным и гармоническим). Решение задачи построено на использовании экстремальных

элементов алгебраического спектра сингулярных чисел грамиана затрат на управление.

7) Показано, что матрица дисперсий объектов и систем, на входе которых действует стохастическое воздействие, также может быть рассмотрена как системный (стохастический) грамиан, что находит свое применение в технологии оценки затрат на управление.

8) При решении задачи слежения за конечномерным задающим воздействием с нулевой ошибкой в установившемся режиме успешно решена проблема согласования исходного объекта управления и модели источника задающего воздействия, в общем случае имеющих разные размерности. Задача решается с помощью матрицы особого в общем случае преобразования подобия, являющейся решением уравнения типа Сильвестра.

9) Сформирован алгоритм синтеза обобщенного изодромного управления. Алгоритм допускает встраивание дополнительной процедуры грамианного контроля затрат на управление типа алгоритма 3.1.

10) В процедуру анализа свойств синтезируемой системы введено обязательное вычисление функций чувствительности сингулярных чисел грамианов. Оценка чувствительности дает ответ на вопрос, насколько сингулярные числа зависят от вариации переменных параметров.

11) Процедура синтеза цифрового дистанционного управления непрерывным объектом дополнена подпроцедурой оценки чувствительности сингулярных чисел грамиана затрат на управление.

Автор ставит своей задачей в дальнейших исследованиях затронутых в диссертации проблем анализ структуры элементов геометрического спектра левого сингулярного базиса грамиана затрат на управления для более полного решения задачи контроля затрат.

Публикации по теме диссертации

Список публикаций в рецензируемых журналах перечня ВАК РФ

1. Бирюков, Д.С. Оценка затрат на управление в задаче обеспечения желаемой структуры мод и их робастности [Текст] / Д.С. Бирюков, О.В. Слита, A.B. Ушаков // Известия вузов. Приборостроение. - 2009. - Том 52. - №11. - С. 38-43.

2. Бирюков, Д.С. Контроль затрат на управление при воспроизведении гармонических экзогенных воздействий: грамианный подход [Текст] / Д.С. Бирюков, A.B. Ушаков // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. -2011.-№2(72)-С. 117-123.

3. Бирюков, Д.С. Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление в непрерывных системах при стационарных стохастических воздействиях. [Текст] / Д.С. Бирюков, A.B. Ушаков // Известия вузов. Приборостроение. -2011,- Том 54. - №6 - С. 36-44.

4. Формирование спектра сингулярных чисел квадратной матрицы простой структуры [Текст] / Т.А. Акунов, Д.С. Бирюков, H.A. Дударенко [и др.] // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. -2011.- №6 (76) - С. 53-59.

5. Бирюков, Д.С. Контроль энергетических затрат на управление при воспроизведении полиномиальных экзогенных воздействий: грамианный подход [Текст] / Д.С. Бирюков, A.B. Ушаков // Известия вузов. Приборостроение. - 2012. - Том 55. - №9 - С. 5-10.

6. Бирюков, Д.С. Контроль вырождения динамических объектов и систем: грамианный подход [Текст] / Д.С. Бирюков, H.A. Дударенко, A.B. Ушаков // Известия вузов. Приборостроение. - 2013. - Том 56. - №4 - С. 34-37.

7. Конструирование объекта управления. Часть I. Проблема редуцирования модели, размещения управляющих органов, измерительных устройств и оценки потенциальной робастности [Текст] / Д.С. Бирюков, H.A. Дударенко, О.В. Слита, A.B. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. -№6-С. 2-6.

8. Конструирование объекта управления. Часть II. Ранг матрицы управления как системный ресурс [Текст] / Д.С. Бирюков, H.A. Дударенко, О.В. Слита, A.B. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. - №8 - С. 711.

Список публикаций в сборниках научных трудов всероссийских и международных конференций

9. Biryukov D.S. Gramian Approach for Control Costs Estimation [Текст] / Dmitry S. Biryukov, Anatoly V. Ushakov // International Conference on Electrical, Control and Computer Engineering (INECCE). - 2011. - P. 94-96.

10. Бирюков, Д.С. Контроль затрат на управление при воспроизведении полиномиальных экзогенных воздействий: грамианный подход [Текст] / Д.С. Бирюков, A.B. Ушаков // Материалы конференции «Управление в технических системах» (УТС-2010). / ОАО «Концерн «ЦНИИИ «Электроприбор». - СПб., 2010. - С. 56-59.

11. Проблема редуцирования модели, размещения регулирующих органов и измерительных устройств, а также оценки потенциальной робастности в задаче конструирования объекта управления [Текст] / Т.А. Акунов, Д.С. Бирюков, H.A. Дударенко [и др.] // Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012). / ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИИ «Электроприбор». - СПб., 2012. - С. 29-32.

Подписано в печать 15.04.14 Формат 60х84'/16 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 07/04 печать

Типография «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

санкт-петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД В ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ И ДИСКРЕТНЫМИ ТЕХНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

04201456636

На правах рукописи

Бирюков Дмитрий Сергеевич

Научный руководитель д.т.н., профессор Ушаков А.В.

Санкт-Петербург 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Принятые сокращения и обозначения......................................... 4

Введение. Постановка задачи................................................... 5

Глава 1. Системные грамианы непрерывных и дискретных объектов управления и динамических систем........................................ 11

1.1. Матрица Грама. Проблема ее использования в геометрическом пространстве................................. 11

1.2. Матрица Грама. Проблема ее использования в функциональном пространстве..............................................................13

1.3. Модели рассматриваемых объектов управления....................16

1.4. Основные грамианы непрерывных объектов управления 19

1.5. Основные грамианы дискретных объектов управления ... 20

1.6. Системные грамианы......................................................................................23

1.7. Сингулярное разложение матриц и его использование для анализа структурных свойств........................................................27

1.8. Грамианная технология исследования структурных свойств объекта управления........................................................................29

1.9. Матрицы дисперсий динамических систем как системные грамианы......................................................................................33

Выводы по главе 1 ............................................................ 35

Глава 2. Системные грамианы в проблеме конструирования объектов управления...................................................................... 36

2.1 Проблема сбалансированного представления и задача корректного редуцирования модели.............................. 37

2.2 Проблема размещения измерительных устройств: использование грамиана наблюдаемости........................ 40

2.3 Проблема размещения регулирующих органов: использование грамиана управляемости............................... 45

2.4. Фактор ранга матрицы управления объекта в задаче

синтеза системы на заданные показатели качества........... 47

Выводы по главе 2................................................................. 56

Глава 3. Системные грамианы в задачах модального управления динамическими объектами................................................... 57

3.1. Оценка затрат на управление динамическим объектом при полиномиальном экзогенном воздействии..................... 58

3.2. Оценка затрат на управление динамическим объектом при гармоническом экзогенном воздействии...................... 68

3.3. Оценка затрат на управление динамическим объектом при стационарном в широком смысле стохастическом экзогенном воздействии........................................... 71

Выводы по главе 3................................................................. 78

Глава 4. Системные грамианы в задаче обобщенного изодромного управления...................................................................... 79

4.1. Базовая концепция обобщенного изодромного управления 79

4.2. Решение проблемы согласования внутренней модели и объекта управления с использованием возможностей кросс-грамиана....................................................... 84

4.3. Алгоритм синтеза «грамианно оптимального» обобщенного изодромного управления.............................................................. 86

Выводы по главе 4................................................................. 92

Глава 5. Робастность системных грамианов и прикладные задачи..............................................................93

5.1 Обеспечение модальной робастности необходимой структуры мод минимальными управлениями.................. 94

5.2 Оценка потенциальной робастности с помощью функций чувствительности сингулярных чисел грамианов управляемости, наблюдаемости и кросс-грамиана............ 99

5.3 Грамианные технологии в задаче синтеза системы цифрового дистанционного управления с учетом фактора канальной среды...................................................... 101

Выводы по главе 5................................................................. 118

Заключение.......................................................................... 119

Литература........................................................................... 123

Приложения......................................................................... 130

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

/ - единичная матрица;

K-diag\lhi = \,n\ - диагональная матрица с элементами X¡ на главной диагонали;

у = arg {/?(/)} - значения, удовлетворяющие условию /?(/); col {д, / = 1, п} - столбец с компонентами Д;

contr{(A, В)} - условие полной управляемости пары матриц (Л, В); dim(o) - размерность элемента (о);

observ{(A, С)} - условие полной наблюдаемости пары матриц (А, С); row{j3i, i = 1,п\ - строка с компонентами Д;

Lj - линейное функциональное пространство элементов f{t) е L^, заданных на Т= {i: tQ < t < tk] и имеющих ограниченную норму \x(tj\ с индексом

р = 1,2,оо;

||(о| - норма элемента (о); а

= - равно по определению;

Jm{x) - образ матрицы X;

ВСМ - внутренне сбалансированная модель;

ОКС - обратный канал связи;

ОМУ — обобщенное модальное управление;

ОУ - объект управления;

ПС - прямой канал связи;

ТО - технический объект;

ФП - функциональное пространство;

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Тема диссертации «Грамианный подход в задаче оценки затрат на управление непрерывными и дискретными техническими объектами» была сформирована исходя из потребности заполнить пробел в современной отечественной теории автоматического управления, которая, на взгляд автора, уделяет недостаточно внимания такому мощному инструменту анализа и синтеза систем как грамианные матричные структуры. Следует отметить, что в российской литературе нет должного количества материалов по данной проблематике: поиск в базе РИНЦ дает всего семь статей [1517,24,30,31,35]. В отечественной теории управления одно из первых упоминаний грамианов встречается в работе JI.A. Мироновского [28]. По такой подборке материалов составить суждение о круге решаемых задач неспециалисту практически невозможно. Напротив, в зарубежной литературе проблеме уделено значительное внимание, в базе IEEE Xplore содержится около ста печатных работ. Круг решаемых задач сводится к проблемам оптимального размещения управляющих органов и датчиков [50,63], оценки межканальных связей [54,55,58], редуцирования моделей динамических объектов [57,59.60,64], синтеза управляющих воздействий [32,61]. Стремление глубоко рассмотреть данные проблемы, развить имеющиеся методы и обозначить шаги к дальнейшему совершенствованию грамианных технологий стало основным мотивом написания диссертационной работы. Выдвинутая в работе [64] идея использования кросс-грамиана для редуцирования моделей стала основой для процедуры балансировки кросс-грамиана с помощью преобразования подобия. Рассмотренные в работе [63] принципы оптимального размещения управляющих органов и датчиков были развиты с формированием агрегированных функционалов оптимальности и использованием фактора ранга матрицы управления, а идея о минимизации энергетических затрат на размещение мод была реализована с помощью

нового объекта - грамиана затрат на управление, дающего прозрачную оценку затрат на сфере начальных условий.

Диссертационные исследования велись под научным руководством профессора Ушакова A.B. в научной группе кафедры Систем Управления и Информатики СПбНИУИТМО.

При написании диссертации автор структурировал её с помощью концепций, определений, утверждений, доказательств и примечаний. Диссертация структурно состоит из перечня основных обозначений и сокращений, введения, пяти глав, заключения, списка литературы и пяти приложений.

В первой главе осуществляется введение в проблематику построения грамианов непрерывных и дискретных объектов управления и динамических систем. Рассматривается классическая матрица Грама, играющая роль матрицы коэффициентов преобразования геометрических и функциональных базисов. Формируется общий принцип построения матриц такого типа (грамианов) в интегральном виде. Также для удобства практического программного вычисления грамианов предлагается использовать уравнение Ляпунова. • В качестве наиболее распространенных рассматриваются грамианы управляемости, наблюдаемости и системный кросс-грамиан, анализируются возможные области их применения. Поскольку в сложившейся практике термином грамиан принято называть как объект, являющийся функцией от времени, так и его предел при f -»оо, будем использовать его для обоих случаев в зависимости от контекста рассматриваемой задачи.

Наиболее удобным инструментом грамианной оценки свойств объектов является анализ их сингулярного разложения (svd-разложения), которому посвящен раздел 1.3. Использование сингулярного разложения позволяет строить оценки различных величин (затрат на управление, энергии входного и выходного сигнала) в виде миноранты и мажоранты.

Во второй главе рассматривается проблема формирования объекта управления. В настоящее время наблюдается рассинхронизация процессов формирования объекта и синтеза системы автоматического управления данным объектом, особенно в ходе модернизации существующих промышленных объектов: состав и расположение управляющих органов и первичных измерительных устройств определяется технологами на производстве (либо задан заранее в случае модернизации старого объекта), а систему автоматического управления строит на готовом объекте профильный специалист. Предлагается организовать синхронизацию работы указанных специалистов с тем, чтобы структура объекта по возможности оптимально соответствовала как производственным задачам, так и критериям оптимальности для управления. Ставится задача формирования таких критериев оптимальности с использованием грамианов управляемости и наблюдаемости.

Поскольку полная математическая модель объекта управления может иметь большую размерность, что вносит существенные вычислительные сложности в процессы его анализа и синтеза управляющих воздействий, ставится задача редуцирования размерности модельного представления, решаемая с помощью системного кросс-грамиана.

В разделе 2.4 рассматриваются возможности средств управления в случае максимального значения ранга матрицы управления объекта. В связи с чем, ставится задача увеличения ранга матрицы управления объекта путем увеличения числа размещаемых на нем органов управления при формировании объекта. Увеличивая число регулирующих органов и измерительных устройств (датчиков), оказывается возможным увеличивать ранги матриц управления и выхода формируемого объекта управления. Конечно, размещение дополнительных регулирующих органов на объекте управления и датчиков это дополнительные затраты и повышение себестоимости продукции, формируемой с помощью автоматизируемого технологического процесса. В этой связи встает задача оценки

целесообразности их введения на предмет возможности улучшения качества и производительности производства продукции за счет их введения. Сформулированная задача решается применительно к определению числа регулирующих органов, а, следовательно, ранга матрицы управления формируемого объекта управления.

В третьей главе рассматриваются возможности применения системных грамианов в задачах модального управления. Ставится задача оценки энергетических затрат на управления непрерывными и дискретными объектами при различных экзогенных воздействиях (полиномиальных, гармонических, стохастических). Задача решается с помощью грамиана затрат на управление, сингулярное разложение которого позволяет построить мажорантные и минорантные оценки затрат на управление в виде евклидовой нормы вектора управления. Для случая стохастического воздействия, стационарного. в широком смысле, вводится понятие обобщенного стохастического грамиана затрат, тождественного в данном случае дисперсии сигнала управления. На основе оценки затрат на управление формируется алгоритм оптимального размещения мод синтезируемых систем управления.

В четвертой главе рассматривается концепция обобщенного изодромного управления (пропорционально-интегрального управления), предполагающего использование внутренней модели источника экзогенного воздействия для решения задачи слежения за данным экзогенным воздействием. Ряд проблем, возникающих при использовании данной концепции, решается с привлечением грамианных технологий. Так, проблема согласования внутренней модели и объекта управления решается с использованием возможностей кросс-грамиана, а назначение структуры мод происходит при контроле управляемости собственных значений. Рассматриваются особенности назначения и реализации структуры мод в обеспечении нулевой установившейся ошибки при полиномиальном и гармоническом экзогенных воздействиях.

В пятой главе рассматривается влияние фактора интервальности матричных компонентов модельного представления объекта при решении различных задач анализа и синтеза динамических систем, рассмотренных ранее в главах 1-4. Поскольку на практике зачастую не выполняется одна из важнейших предпосылок о полном знании параметров объектов и их неизменяемости в процессе функционирования, на которой строятся основные законы управления, требуется учитывать фактор параметрической неопределенности. Рассматривается совместное использование алгоритмов, построенных на грамианных структурах, и метода медианного модального управления, а также задача обеспечения параметрической инвариантности выходного сигнала методами обобщенного модального управления.

В заключении приведены основные научные результаты проведённых диссертационных исследований, при этом отмечено, что выполнены все выносимые на защиту положения, а также отмечены перспективные направления дальнейших научных изысканий.

В приложениях приведены тексты программных функций для использования в программной среде Ма1:ЬаЬ, необходимые для модельной проверки (верификации) полученных грамианных алгоритмов управления.

На защиту выносится комплексное решение задачи разработки грамианных алгоритмов оценки затрат на управление непрерывными и дискретными объектами, состоящей в:

- анализе сингулярного разложения грамианов и формировании мажорантных и минорантных грамианных оценок затрат на управление, энергии входных и выходных сигналов;

- формировании требований к управляющему сигналу в смысле оптимальности затрат на управление при модальном управлении, а также к объекту управления в смысле оптимального размещения регулирующих органов и измерительных устройств, увеличения ранга матрицы управления;

- формировании алгоритмов редуцирования модельного представления объекта управления с использованием системного кросс-грамиана;

- решении задачи оценки затрат на управление в рамках концепции модального управления на основе грамиана затрат на управление, модификации полученных алгоритмов оценки затрат с учетом природы входного сигнала, воспроизводимого источником конечномерного экзогенного воздействия (полиномиального, гармонического);

модификации вышеупомянутого алгоритма для источника стохастического воздействия, стационарного в широком смысле, типа «белый» и «окрашенный» шум с введением понятия обобщенного стохастического грамиана в виде матрицы дисперсий;

- решении задачи обобщенного изодромного (пропорционально-интегрального) управления на базе концепции внутренней модели источника экзогенного воздействия с использованием кросс-грамиана для согласования внутренней модели и объекта управления и контролем управляемости собственных значений объекта управления;

проведении исследования влияния фактора интервальное™ параметров объекта управления на полученные законы и алгоритмы с их модификацией в рамках метода медианного модального управления;

- решении задачи обеспечения параметрической инвариантности выходного сигнала методами обобщенного модального управления.

ГЛАВА 1. СИСТЕМНЫЕ ГРАМИАНЫ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Рассмотрение проблемы формирования грамианных технологий применительно к задачам теории и практики управления начнем с общих основ построения системных грамианов объектов управления.

Для погружения в проблему рассмотрим задачу конечномерного представления элементов геометрического и функционального пространства [47] в заданном базисе. Данную задачу можно разделить на две подзадачи, в соответствии с двумя типами пространства, геометрическим и функциональным. Как будет показано, решение задачи сводится к формированию квадратной матрицы скалярных произведений базисных векторов, названную в честь датского математика Йоргена Педерсена Грама матрицей Грама или грамианом [9,10].

1.1. Матрица Грама. Проблема ее использования в геометрическом

пространст