автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления

На правах рукописи

СЛИТА Ольга Валерьевна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ СИНТЕЗА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Ушаков Анатолий Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Шароватов В.Т. кандидат технических наук, доцент Башарин И. А.

Ведущая организация: ЗАО «Энергокомплект»

Защита состоится 30 мая 2006 г. в 16 часов 50 минут на заседании диссертационного совета Д.212.227.03 в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, СПбГУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 29 апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Лямин А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом исследования диссертационной работы является разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления. Концепция параметрической инвариантности как сепаратной ветви общей теории инвариантности в задачах управления в предпринятых диссертантом исследованиях разработана на основе возможностей векторно-матричного формализма метода пространства состояний. Следует заметить, что основные результаты в общей теории инвариантности получены с использованием сигнального подхода в скалярной форме. Такой подход приводит к управлению, использующему принцип двухханальности Б.Н. Петрова, позволяющий скомпенсировать нежелательное воздействие на регулируемую переменную (выход или ошибку) специально формируемым сигналом компенсации. Ситуация качественно меняется, если сигнальная среда становится векторной. В этом случае в своей полноте раскрываются возможности метода пространства состояний современной теории управления. Геометрическая прозрачность метода позволила существенно расширить банк базовых алгоритмов управления. Так, в дополнение к алгоритмам, построенным на концепции сигнальной компенсации, добавился класс алгоритмов геометрического парирования возмущений путем погружения регулируемой переменной (выхода или ошибки) в нуль-пространство оператора, отображающего пространство, которому принадлежит возмущение в пространство, которому принадлежит регулируемая переметшая. Такой подход, предложенный в работах Уонема, получает хорошую алгоритмическую поддержку в среде методов модального управления, если его сформулировать в обобщенной форме Обнаружилось, что задача модального управления допускает расширение, позволяющее достш-ать как желаемой структуры мод, так и желаемой структуры собственных векторов Если учесть, что матрица преобразования подобия, приводящая произвольную матрицу к диагональному виду, строится на собственных векторах преобразуемой матрицы, то обобщенная версия модального управления также может быть алгоритмически обеспечена решением уравнения Сильвестра. В этом случае достаточно матрицу состояния модальной модели задать в диагональном базисе, тогда решение уравнения Сильвестра в форме матрицы преобразования подобия будет состоять из собственных векторов матрицы состояния проектируемой системы. Нетрудно видеть, что если задать желаемую структуру собственных векторов, т.е., по существу, сформировать матрицу подобия, то уравнение Сильвестра должно решаться относительно структуры мод проектируемой системы. Не всегда полученная структура удовлетворяет разработчика по се динамическим свойствам. В этой связи появляется необходимость поиска паритетного решения, когда структурой доминирующих мод обеспечиваются требуемые показатели качества в переходном и установившемся режиме, а структурой доминирующих собственных векторов достигаются дополнительные геометрические свойства системы, к которым следует отнести и обеспечение параметрической инвариантности регулируемой

РОС. НАЦИОН \ЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

переменной к неопределенности матричных компонентов молельного представления исходного объекта. Использование возможностей обобщенного модального управления обеспечивать желаемые структуры собственных значений и собственных векторов положено в основу построения инструментария разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления. Причем задача решается как в постановке достижения абсолютной параметрической инвариантности выхода относительно параметрической неопределешюсти матричных компонентов модельного представления объекта, так и в постановке е -инвариантности, дополненной контролем достигаемой е. Таким образом, автор сосредоточил свое внимание на геометрических возможностях метода обобщенного модального управления для решения задачи обеспечения стабильности процессов по выходу с использованием неадаптивных методов управления.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных систем для многомерных объектов управления в классе неадаптивных методов управления.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались метод пространства состояний, методы линейной алгебры, обобщенное модальное управление, интервальный анализ, метод В.Л. Харитонова анализа робастной устойчивости, интервальная линеаризация нелинейных компонентов модельного представления объектов и систем, принцип внутренней модели. При проведении экспериментальных исследований использовались возможности программного обеспечения -пакетов \latlab и 8шш1шк.

Научная новизна работы:

1) Сформулированы алгебраические условия абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) регулируемой переменной относительно параметрических неопределенностей матрицы состояния объекта управления;

2) Разработаны алгоритмы синтеза параметрически инвариантных систем управления для случая выполнения алгебраических условий АПИ на основе возможностей обобщенного модального управления;

3) Предложен метод оценки величины с достигаемой «--инвариантности;

4) Разработаны алгоритмы априорного ранжирования параметрических неопределенностей модельных представлений по степени их влияния на выход системы в групповой и покомпонентной постановке;

5) Разработаны алгоритмы обобщенного изодромного управления, обеспечивающие параметрическую инвариантность ошибки слежения выхода объекта за конечномерным задающим экзогенным воздействием;

6) Разработаны алгоритмы управления, обеспечивающие параметрическую инвариантность регулируемых переменных для объектов управления с

интервальным модельным представлением и для нелинейных объектов, допускающих использование интервальной линеаризации.

Практическая значимость и реализация результатов. В результате проведенных диссертационных исследований разработана алгоритмическая база синтеза систем, характеризующихся параметрической инвариантностью выхода и ошибки к неопределенностям задания матричных компонентов модельного представления исходного объекта в классе неадаптивных методов управления, опирающихся на возможности обобщенного модального управления для случая произвольного задающего воздействия и обобщенного изодромного управления для случая конечномерных задающих воздействий. Полученные алгоритмические возможности распространены на класс нелинейных объектов, допускающих интервальную линеаризацию. Теоретические положения диссертации включены в курс лекций по дисциплине Адаптивное и робастное управление, читаемой для студентов инженерной подготовки специальности 210100 «Управление и информатика в технических системах» и студентов магистерской подготовки по направлению 550200 «Автоматизация и управление» (специализации 550201 «Управление в технических системах»).

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики и поддержана фантом правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга (Шифр фанта М05-3.11К-21). Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на XXXIII, ХХХШ1 и XXXV научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПб ГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004, 2005 и 2006 гг.), 10-й и 11-й Международных студенческих олимпиадах по автоматическому управлению ВОАС2004 и ВОАС2006 (Санкт-Петербург, 2004, 2006 г.г.), II и Ш конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2005, 2006 г.г.).

Публикация. По материалам диссертации опубликовано 12 работ.

На защиту выносится комплексное решение задачи разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления, состоящее в

- формулировке алгебраических условий абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) регулируемой переменной (выхода, ошибки системы) относительно параметрических неопределенностей матрицы состояния объекта управления;

- разработке алгоритмов синтеза параметрически инвариантных систем управления для случая выполнения алгебраических условий АПИ на основе возможностей ОМУ;

- анализе каузальных факторов, вызывающих нарушение алгебраических условий достижения АГТИ и оценке величины е достигаемой е-инвариантности;

- разработке алгоритмов синтеза е -инвариантных систем управления на основе ОМУ;

- разработке алгоритмов априорного ранжирования в групповой и покомпонентной постановке параметрических неопределенностей модельных представлений по степени их влияния на выход системы;

- разработке алгоритмов обобщенного изодромного управления, обеспечивающих параметрическую инвариантность ошибки слежения выхода объекта за конечномерным задающим экзогенным воздействием;

- разработке алгоритмов управления, обеспечивающих параметрическую инвариантность регулируемых переменных для объектов управления с интервальным модельным представлением и для нелинейных объектов, допускающих использование интервальной линеаризации;

- разработке параметрически инвариантных реализаций систем обобщенного модального управления для случая произвольного внешнего воздействия и обобщенного изодромного управления для случая конечномерного внешнего воздействия для задачи Т. Миты, демонстрирующих сильные и слабые стороны разработанного подхода.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 196 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы (Г/ наименований).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе найдены условия достижения абсолютной параметрической инвариантности выхода системы относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления объекта управления. Для этой цели рассмотрен многомерный непрерывный объект управления (ОУ), содержащий неопределенность в матрице состояния:

¿(Г) = (А + АА)х(1)+Ви(1)- х(0); у(1) = Сх(1), (1)

где х,у,и соответственно векторы состояния, выхода и управления; хеЯ", иеЯг, .у е Я™, А, В, С - соответственно номинальная компонента матрицы состояния ОУ, его матрицы управления и выхода, А € В е Я"**, С е Ктхп, АА - неопределенность задания матрицы состояния. Задача рассматривается для случая матричной неопределенности АА, когда пара {А + АА,В) сохраняет полную управляемость.

Задача обеспечения инвариантности выхода проектируемой динамической системы к матричной неопределенности АА, в состав которой входит объект (1) ставится в форме

y(t,g(í),M *0) = y(t,g(t)M = 0), где g(t) - внешнее задающее воздействие.

В качестве неадаптивного закона управления (ЗУ) объектом (1) используется закон, построенный в виде прямой связи по вектору задающего воздействия g(t) с (гх/и)-мерной матрицей Kg и отрицательной обратной

связи по вектору состояния объекта x(t) с (гхи)-мерной матрицей К, в предположении полной их измеримости

u(t) = Kgg(t)-Kx(t). (2)

Объединение ОУ (1) и ЗУ (2) образует систему

x(t) = Fx{t) + Gg(t) + AFx{t% jc(0) ; (3)

y(t) = Cr(/); e(t) = g(t)-y(t). (4)

где матрицы состояния системы F и входа G имеют представление

F = А-ВК, G — BKg, (5)

AF - матричная вариация матрицы состояния системы, которая характеризуется равенством

AF = M, (6)

e(t) - ошибка воспроизведения системой задающего воздействия g(t).

Предполагается, что семейству матриц F + AF законом управления (2) доставляется гурвицевость.

Теперь проблему параметрической инвариантности выхода системы y(t), к неопределенности АА можно записать в форме

y(t, g(t), F, AF = AA Ф 0) = y(t, g(t), F, AF = A4 = 0). (7)

Для перехода от задачи параметрической инвариантности к задаче сигнальной инвариантности декомпозируем (п х п) матрицу AF - ЛЛ на минимальное число матричных компонентов размерности (их и), характеризующихся единичным рангом так, что проведенная декомпозиция удовлетворяет соотношению

р = argmin|дЛ = £АЛ, & rankÁAj = lj. (8)

С использованием выражения (8) член AFx(t) в (3) можно представить в форме:

AFx(0=XD,C,(0 = £><ГС). (9)

J"1

где матрица D размерности (пхр) имеет вид

D = row{Dj,j = Т^р}, (10)

Dj = col\Pj, - бJt, i = l, и], в которой Sj¡ - символ Кронекера; £{t) — р-мерный вектор параметрического воздействия

= 0,y = íp}, (11)

компоненты (f) которого задаются соотношениями

= &Ау2 ... ААул]

х,(0 Х2(0

хЛО

= {ААУ = (12)

здесь (АА)1 - у -я строка матрицы.

Используя (9), представим векторно-матричное описание (ВМО) системы (3) в форме:

т = ад + Gg(t) + от, т=сад, оз)

не содержащей матричных неопределенностей, но характеризующейся дополнительным внешним «параметрическим» воздействием С (г), которое может осуществлять нежелательное управление выходом у(1), а, следовательно, и ошибкой е(/).

Сформулируем задачу обеспечения параметрической инвариантности сформулировать как задачу обеспечения сигнальной инвариантности

ЖЛяСШО * 0) = ж^яСШО - 0). (14)

Запишем (14) в терминах преобразований Лапласа и передаточных функций

Г(Я,&),С(з) *0) = Ф„ (,)*(,) + Фк (,)£(*) = Фя(»ш, (15) где g(s), С(х) - Лапласовы образы задающего g(t ) и «параметрического» £*(/) воздействий гоотпетс-гпеччо, Фу>; (г), й> -(5) ~ передаточные функции

(матрицы) отношений «задающее воздействие — выход системы», «параметрическое» воздействие - выход системы» соответственно. Очевидно, что равенство (15) при * 0 выполняется, когда

Фк(*) = 0. (16)

Утверждение 1 Для того, чтобы система (3) обладала параметрической инвариантностью выхода к неопределенности задания матрицы исходного объекта или чтобы система (13) обладала сигнальной инвариантностью выхода относительно внешнего «параметрического» воздействия £(1), а именно выполнялось равенство (16), записываемое в форме

Ф^ («) = С(4/ - Т7)-1!^ = С(л-/ - /Т1 Я,; у = 1, р}= 0,

достаточно, чтобы

1) столбцы DJ матрицы О были бы собственными векторами матрицы Р, т.е. чтобы выполнялось соотношение

ГО, =№ О7)

2)столбцы 0/ принадлежали ядру матрицы С, т.е. чтобы выполнялось соотношение

0. □ (18)

Утверждение 2. Для того, чтобы столбец D} матрицы D был бы

собственным вектором матрицы F состояния системы (13) необходимо выполнение алгебраического условия принадлежности вектора (Лу/- A)Dj

образу матрицы В

{?i)l-A)DJe\mB. (19)

Система соотношений (17)-(19) представляет собой алгебраические условия достижения абсолютной параметрической инвариантности.

Для того, чтобы обеспечить выполнение условий (17)-(19) средствами алгоритма неадаптивного управления (2), предложено использование обобщенного модального управления (ОМУ), доставляющего замкнутой системе не только желаемую структуру собственных значений, но и желаемый спектр собственных векторов. В силу соотношения (19) успех решения задачи существенным образом зависит от ранга матрицы В.

Утверждение 3. Для решения полной задачи ОМУ, в которой допустим произвол назначения собственных чисел и собственных векторов

(у = 1, и), достаточно, чтобы матрица управления В обладала рангом

гапкВ = п, (20)

где п = dim х. При этом полная задача ОМУ решается с помощью обратной связи по состоянию ОУ с матрицей К вида

К = В~1(АМ - МА)М~1, (21)

- гдематрица Af = гет>{л/у = = 1,я}; желаемые собственные векторы.

При ранге rank В матрицы управления В, меньшем размерности вектора состояния {rankВ = г < и), может быть решена только неполная задача ОМУ.

Утверждение 4 Пусть ^, у* = 1,/; 1<г, где / - число желаемых собственных векторов, соответствующих определенности ради первым / желаемым модам из общей структуры {л,,-1,«}. Тогда решение неполной задачи ОМУ достигается с помощью матрицы

Я = [Я Й][м м]1 =\-{ВТВухВТ(Ш-АМ) н\м Af]"1, (22) где М = row\Mj = \ у' = 1,/|, Л = diagfapj -1,/}, при этом матрицы М, Л удовлетворяют матричному уравнению Сильвестра МЛ- AM = -ВН, а матрицы Ми// удовлетворяют матричному уравнению Сильвестра МЛ — AM - -ВН, в котором Л = diagfa; i = I +1, и}.

Утверждение 5. Матрица отрицательной обратной связи К в форме (22) решает задачу абсолютной инвариантности вектора выхода системы относительно неопределенности задания матрицы состояния объекта, если матрица М задается в форме М ~ row\Pj, у = 1, р}, где р<г, при этом

обязательным является выполнение условия (19).

В заключении главы показывается, что если исходный ОУ содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления, то

введением на входе этого объекта стационарной буферной системы (БС) минимальной размерности задача обеспечения АПИ выхода проектируемой системы в этом случае может быть сведена к рассмотренному выше.

Во второй главе рассмотрена параметрическая ^-инвариантность выхода относительно неопределенности матриц представления объекта, возникающая при невыполнении алгебраических условий, представленных в первой главе.

Каузальными факторами, приводящими к проблеме параметрической е— инвариантности, являются:

1. Невыполнение первого условия утверждения 1, что, в свою очередь, является следствием нарушения условия (19), порождаемое ситуациями:

1.1. Когда ранг гапкВ = г матрицы управления В исходного объекта меньше ранга гапк. В-р матрицы й, при этом отсутствуют структурные возможности модификации объекта, которые позволили бы увеличить ранг В. Тем самым законом управления (2) компенсируются не более г групп неопределенностей, входящих в г строк матрицы состояния исходного объекта;

1.2. В случае, когда отсутствует возможность модификации матрицы управления В исходного объекта без изменения ее ранга.

1.3. Когда модификация характеристической матрицы (Л / - /') матрицы

состояния проектируемой системы путем изменения собственного значения вступает в противоречие с требованиями к

алгебраическому спектру собственных значений матрицы Р, сформированными на основе желаемых показателей качества процессов в переходном и установившемся режимах.

2. Невыполнение второго условия утверждения 1, порождаемое ситуациями:

2.1. Неудачного выбора базиса представления матричных компонентов исходного объекта, характеризующегося распределением неопределенностей матрицы состояния по всем ее строкам. В этой связи следует рекомендовать использование записи тройки матриц (В, А,С) исходного объекта, порождающее модельное представление ОУ в каноническом управляемом базисе. В этом случае матрица выхода С имеет вид С = [1 01х„_,], столбцы DJ матрицы О

записываются в форме = «>/{£>,•,,/ = 1,...и}, Оч = 8Ч = ^ , что

[О,/ Ф _/

влечет за собой СО] * 0 только при / = 1, что обычно не

выполняется, т.к. первая строка матрицы состояния системы в каноническом управляемом базисе отражает переход от скорости изменения регулируемой величины к самой регулируемой величине, который не характеризуется какими-либо физическими параметрами, содержащими неопределенность.

2.2. Превышение ранга гапк И = р матрицы О над числом т строк

матрицы С, что влечет за собой выполнение соотношения СкВ1 =0,

где к - номер компонента ук (?) вектора выхода системы из выходов сис1емы не для всех сочетаний к и j, где к = \,т.

Для оценки величины s достигаемой е— инвариантности предложено использование грамианов «параметрическое воздействие - выход системы» Wy¿- и «задающее воздействие - выход системы» Wyf¡, на которых формируется обобщенное характеристическое уравнение в форме

det(Wyí-S2£opWyg) = 0, (23)

максимальный по модулю корень которого определяет Swp оценку величины е параметрической е -инвариантности в относительной постановке, формируемой на сферах ||g| = const, ||£| = const.

Для случая введения наблюдающего устройства в систему с параметрическими неопределенностями формулируется дополнительное алгебраическое условие обеспечения АПИ

elmS. (24)

Невыполнение условия (24) становится дополнительным источником е-инвариантности.

В третьей главе рассмотрены методы ранжирования параметрических неопределенностей модельных представлений по степени влияния на выход и ошибку системы. Одним из вариантов ранжирования является ранжирование с использованием аппарата траекторной чувствительности. В этом случае^ матрица состояния F + AF записывается в параметризованном вектором q = col\c¡rj = ],р\ квазистационарных параметров виде

F + AF = F(q0+/b¡)=F(q), где Aq - вариация q, так что q - q(l + Aq, q eRp, <jc номинальные значения параметров.

Тогда выражения (3), (4) можно переписать как

x(t,q)=F{q)x(t,q) + Gg{t), (25)

y(t,q) = Cx(t,q), (26)

л а

где x(t)=x{t,q0); Я')=Л',<7о)-

Для конструирования модели траекторной чувствительности (МТЧ) продифференцируем представление (25), (26) по j -му компоненту вектора q в точке q = q0 и получим

ст, (0 = FOj (t) + Fq¡ x(t) ;7y(0 = CcTj (i), (27)

cfdx(t,q\ i\sdy(t,q) i . —- ,

где (Tj{t)= ^ \q=qo>Vj\th ^ \q^0>J = l'P ~ функции траекторной

dF(q)

чувствительности по состоянию и выходу, Fq =----р3—.

Для генерирования функций траекторией чувствительности МТЧ (27) следует дополнить версией системы (3), (4) с номинальными значениями параметров

Для конструирования грамианов управляемости динамического сепаратного канала «g(t) - ?7у (?)>>, с помощью которых будет производиться

ранжирование неопределенностей, введем в рассмотрение расширенную систему

2^) = Р]х] + (?,£(/); п^) = С,*,, (28)

где = |хг ее вектор состояния, ^ = со1 ^ 0] [/^ - матрица

состояния системы, GJ = [(7 0]^ - матрица входа по задающему воздействию, С, - [о С] - матрица выхода функции траекторией чувствительности по выходу.

Так как проектируемая система является устойчивой, то грамианы управляемости сформированного динамического сепаратного канала «g(t) -

Ша8 по состоянию и по выходу модели траекторной

чувствительности определяются в соответствии со следующими выражениями

Ь^^Р^-Ср], (29)

К^^а^Ч- (30)

Оценка влияния у'-й составляющей неопределенности матрицы состояния исходного объекта (1), или, что то же самое, параметра qJ, может

быть произведена с помощью спектральной нормы грамиана (30), совпадающей с его максимальным сингулярным числом.

Таким образом, для того, чтобы осуществить ранжирование параметрических неопределенностей, осуществим сингулярное разложение грамианов управляемости (30) / -х сепаратных каналов и составим матрицу весов, элементами которой являются их максимальные сингулярные числа

Р5 = гЦсо/Ци^ |/ = \jn\j = 1,4 (31)

Сравнивая значения элементов матрицы Р3, соответствующие одному и тому же выходу I, можно определить, какой из компонентов вектора ц оказывает наиболее значительное влияние на этот выход: чем больше значение элемента матрицы Р5, тем сильнее влияет неопределенность в этом канале на выход

Я* ~ аг£тах{гои>Р5/,/ = 1, т}, (32)

где <7* - компонент вектора параметров д, оказывающий наиболее сильное влияние на выход системы, I -й столбец матрицы Р$.

В четвертой главе рассмотрены вопросы обеспечения параметрической инвариантности для особых случаев модельных представлений задачи управления. Под особыми модельными представлениями понимаются задача управления объектом, в котором неопределенность содержится как в матрице состояния, так и в матрице управления; задача обеспечения параметрической инвариантности для интервального объекта управления и сведение задачи синтеза системы со стабильными показателями качества процессов но выходу для нелинейных объектов, допускающих интервальную линеаризацию, к проблеме параметрической инвариантности.

В первом случае рассматривается линейный непрерывный объект управления с неопределенностью задания матричных компонентов модельного представления

xO) = (A + M)x(t) + (B + AB)u(t); х(0); y[t) = Cx(t). (33) где х,и,у- соответственно векторы состояния, управления и выхода; х е Л",

и е Rr, yeRm, А, В, С - соответственно номинальный компонент матрицы состояния ОУ, номинальный компонент матрицы управления и матрица выхода:Л е /?"*", В е /?яхг, Се Я"""", АА - матричная вариация матрицы состояния, АВ - матричная вариация матрицы управления; сНтЛЛ = dim/1, dimAe = dim/?. Автором рекомендуется объединение проблемы введения буферной системы с принципом внутренней модели М. Уонэма, позволяющим обеспечить слежение за внешним конечномерным воздействием с ошибкой e(t), максимально близкой к нулевой и одновременным достижением ее параметрической инвариантности. Принцип внутрешгей модели предполагает, что задающее воздействие g(t) представимо выходом конечномерной автономной системы, задаваемой в виде

z(/) = rz(0, ¿(0), g(t) = Pz(t), (34)

где z б R1, g g Rm, Г e RM, P в Rm, (Г, P) - наблюдаемая пара.

Ставится задача при известной паре (Г. Р) обеспечить ошибку по выходу

системы

e(t) = g(t)-y(t), (35)

обладающую асимптотическим свойством.

Сформулированная задача решается в классе обобщенных изодромных управлений. В этой связи задача слежения сводится к задаче регулирования, для чего в рассмотрение вводится вектор ошибки по состоянию

4(t) = Tz(t)~x(t), (36)

где матрица особого в общем случае линейного преобразования

ГеЛ""'.

Векторно-матричные уравнения относительно ошибок £(<) и e(t)

4(0 = Am + (7Т- AT)z(t)-Bu(t), (37)

e(i) = Cf(f) + (/>-CT)z(/). (38)

Утверждение 6 Если матрица особого преобразования Г удовлетворяет матричным соотношениям

ТГ- АТ = 0, Р-СТ = 0, (39)

то законом управления

иЦ) = кт (40)

обеспечивается асимптотическая сходимость ошибки слежения по состоянию £(/) и выходу е(г) к нулю с темпом, который определяется структурой мод матрицы Р = А - В К так что

= £(0) = Щ0)-х(0), = п(41)

Управление (41) при выполнении матричных соотношений (39) для случая произвольной пары (Г,Р) называется обобщенным изодромным управлением.

Утверждение 7. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения матричного уравнения Сильвестра (39) относительно матрицы особого преобразования Т является условие включения алгебраического спектра собственных значений матрицы Г в алгебраический спектр собственных значений матрицы А так, что

(42)

или, что то же самое

(43)

т.е. характеристический многочлен матрицы А является аннулирующим многочпеном матрицы Г. п

Для того, чтобы обеспечить гарантированное выполнение условия утверждения 7, объект (33) дополняется включенной на его входе буферной системой с матрицей состояния такой, что <т{г} с: сг{/|}и <т{Гь} В МО расширенного за счет включения БС объекта управления принимает вид

хЦ) = (А + М)х(1) + Ви(?У, у{1) = Сх{1), (44)

А + АА ВРЬ+АВРЬ

где А + АА =

0 ГЛ

А ВРЬ + АА АВРЬ~

0 0 0

который

характеризуется неопределенностями, содержащимися только в матрице состояния.

Уравнения ошибок слежения по состоянию и выходу для системы (44)

£(0=А£(0 + АЛт-Ви(0, £(0); е(0 = С£(о, (45) можно преобразовать к виду

|(/) = Л£(*) + ОД)-Яи(/), £(0); е(г) = С£((). ^46) где вектор параметрического воздействия = 7,/?},

матрица £> = го\»{0] = с1/,/ = 1,р}.

После введения закона управления вида (40) уравнение (46) принимает вид

т = /?£(/)+ 1(0); ё(') = с£(1), (47)

где /•■ = Л - ВК.

Задача обеспечения параметрической инвариантности принимает вид, аналогичный (14)

С(П* 0) = е{1,= 0). (48)

Нетрудно заметить, что утверждение 1, содержащее условия абсолютной параметрической инвариантности выхода у(1), верно и для представлений (48) относительно ошибки слежения е(1).

Обеспечение выполнения условий утверждения 1 производится с помощью обобщенного модального управления, описанного в первой главе.

Во втором случае рассматривается обеспечение параметрической инвариантности при интервальном модельном представлении объекта управления, когда интервальной является только матрица состояния

х«) = [Л]х(1) + Вш(1 );дг(0); у(1) = Сх(1), (49)

где х, и, у — соответственно векторы состояния, управления и выхода такие, что хеЯ",иеЯг,уе Ят;[л\В, С - интервальная матрица состояния, матрицы управления и выхода с фиксированными параметрами соответственно.

Задача сводится к рассмотренной в главе 1 с точностью до конкретизации представления неопределенности матрицы состояния и использования процедуры разбиения интервальной матрицы состояния на два компонента -медианного и собственно интервального. Дополнительным преимуществом такого представления неопределенности матрицы состояния объекта является возможность использования метода В.Л. Харитонова для исследования-»-» устойчивости спроектированной параметрически инвариантной системы.

Показывается, что задача синтеза системы со стабильными показателями качества процессов по выходу для нелинейных объектов, к которым применена процедура интервальной линеаризации, сводится к проблеме параметрической инвариантности системы, в состав которой входит объект с интервальной матрицей состояния.

Пятая глава носит иллюстративный характер, в ней продемонстрированы разработанные алгоритмы синтеза параметрически инвариантных систем в классе неадаптивных методов управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставленные задачи сформулированных диссертационных исследований в своей основе диссертантом решены, при этом:

1. Сформулированы алгебраические условия достижимости абсолютной параметрической инвариантности выхода проектируемой системы относительно параметрической неопределенности матрицы состояния исходного объекта путем сведения проблемы параметрической инвариантности к проблеме сигнальной инвариантности, для чего

сигнальная среда задачи дополнена внешним параметрическим воздействием.

2. Показано, что алгоритмическое обеспечение процедуры синтеза систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью выхода, может быть сконструировано в алгоритмической среде обобщенного модального управления.

3. Для случая матрицы управления ранга, равного порядку системы, обнаружена множественность (неединственность) возможных решений задачи достижения ортогональной системы собственных векторов. Для разрешения проблемы неединственности введен дополнительный критерий в виде оценки функционала затрат на управление и степени их распределения по множеству начальных состояний.

4. Сформулированы дополнительные алгебраические условия решения уравнения Сильвестра, используемого при синтезе систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью.

5. В целях использования процедуры синтеза систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью выхода для систем с параметрическими неопределенностями как в матрице состояния, так и в матрице управления предложено включение на входе исходного объекта буферной системы, за счет чего параметрическая неопределенность оказывается локализованной только в матрице состояния расширенной системы.

6. Установлено, что для случая дискретного описания исходного непрерывного объекта с неопределенностями матричных компонентов модельного управления это дискретное описание всегда содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления, что влечет за собой отмеченные выше алгоритмические проблемы решения задачи параметрической инвариантности выхода дискретной системы.

7. Показана важность выбора базиса модельного представления объекта управления на примере сопровождающей фробениусовой формы его матрицы состояния в задаче достижения параметрической инвариантности системы.

8. Систематизированы алгебраические каузальные факторы, приводящие к появлению проблемы параметрической е - инвариантности как физически реализуемой альтернативы абсолютной параметрической инвариантности. Показано, что введение наблюдающего устройства в систему с параметрическими неопределенностями может стать дополнительным источником параметрической с-инвариантности.

9. Решена проблема ранжирования неопределенностей с использованием системных грамианов ОУ, системы и агрегированной системы с моделью траекторией чувствительностью в ее составе.

10. Показано, что средствами обобщенного изодромного управления, которое приводит к необходимости введения в структуру объекта управления буферной системы с фиксированными параметрами, возможно достигнуть два системных результата, одним из которых является обеспечение условий параметрической инвариантности выхода и ошибки системы, а вторым - в

случае конечномерной реализации внешнего воздействия - обеспечение средствами обобщенного изодромного управления установившейся ошибки слежения, максимально приближенной к нулевой.

11. Показано, что алгебраические условия абсолютной параметрической инвариантности сохраняются для случая объекта управления, неопределенность матричных компонентов модельного представления которого задана в интервальной форме. Сформулирован алгоритм управления интервальным ОУ, доставляющий объекту параметрическую инвариантность. При этом показано, что контроль устойчивости системы с матрицей состояния, содержащей неопределенности в случае, если они формализованы в интервальном виде, может быть произведен с помощью теоремы В.Л. Харитонова, сводящей задачу контроля устойчивости к устойчивости четырех угловых характеристических полиномов

12. Показано, что стабильные показатели качества процессов по выходу и ошибке системы, в состав которой входит нелинейный объект, могут быть достигнуты средствами аппарата параметрической инвариантности, если исходный объект методами интервальной линеаризации приведен к линейному объекту, векторно-матричные компоненты которого характеризуются интервальной неопределенностью.

13. На примере задачи Т. Миты, для которой возможно достижение выполнения условий абсолютной параметрической инвариантности сконструирован закон обобщенного модального управления, доставляющий замкнутой системе АПИ выхода относительно параметрической неопределенностям матричных компонентов, порождаемых вариациями параметра ц, что подтверждено экспериментально для случаев полиномиального, гармонического и стохастического задающих воздействий для значений параметра д из интервала -1 < ^ < 1.

14. Для усиления аргументации достигнутых результатов сконструирована модель траекторной чувствительности, для которой аналитически доказано равенство нулю передаточной функции отношения «функция траекторной чувствительности по выходу — задающее воздействие» и подтверждено экспериментально равенство нулю функции траекторной чувствительности по выходу для всех перечисленных в пункте 13 видов задающих воздействий.

15. Для демонстрации достижимости абсолютной инвариантности методами обобщенного изодромного управления при конечномерном входном воздействии для задачи Миты синтезирован закон обобщенного изодромного управления, обеспечивающий слежение выхода системы с параметрическими неопределенностями матричных компонентов с нулевой установившейся ошибкой за конечномерным задающим воздействием, представленным аддитивной композицией полиномиального и гармонического компонентов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Слита О.В. Фактор ранга матрицы управления динамического объекта в задаче достижения параметрической инвариантности // Современные технологии: Сборник научных статей / Под ред. проф С А. Козлова. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2003. С. 253-259.

2) Слита О.В., Ушаков A.B. Алгебраические проблемы параметрической инвариантности: контроль принадлежности подпространств характеристической матрицы объекта образу его матрицы управления // Научно-технический вееттгик СПбГУ ИТМО. Выпуск 14. Информационные технологии, вычислительные и управляющие системы / Главный редактор В.Н. Васильев. СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. С. 41-45.

3) Слита О.В. Особенность решения задачи параметрической инвариантности отношения «вход-выход» в случае нормальности матриц состояния и входа // Современные технологии: Сборник научных статей / Под ред. проф. С .А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО (ТУ), 2004, с.219-225.

4) Слита О.В., Ушаков A.B. Покомпонентное ранжирование параметров в задаче параметрической инвариантности // Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. - СПб.: СЗТУ, 2005, вып. 34, С.96-105.

5) Акунов Т.А., Слита О.В.. Ушаков A.B. Использование системных грамианов в задачах параметрической инвариантности непрерывных систем // Том 19. Программирование, управление и информационные технологии /1 лавный редактор В.Н. Васильев СПб: СГ16ГУ ИТМО, 2005. С. 39-43.

6) Слита О.В. Групповое ранжирование неопределенных параметров матриц модельного представления объектов управления // Вестник П межвузовской конференции молодых ученых / под ред. В.Л. Ткапич. Том 2. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005, С.67-71.

7) Слита О.В., Ушаков A.B. Проблема параметрической инвариантности выхода непрерывной системы: алгебраический подход // Мехатроника, автоматизация, управление, 2006. № 2, С. 2-7.

8) Слита О.В., Ушаков A.B. Модельное представление объекта управления в задаче параметрической инвариантности И Известия вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 1, С. 14-20.

'9) Слита О.В., Сударчиков С.А., Ушаков A.B. Управление нелинейным объектов в классе параметрически инвариантных реализаций /А Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. - СПб.: СЗТУ, 2006, вып. 35, С. 76-85.

10) Слита О. В. Синтез параметрически инвариантных многомерных систем управления // Аннотации работ по грантам конкурса 2005 года для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга. СПб., 2005, С. 48-49.

11) Слита О.В., Ушаков А.В. Обобщенное изодромное управление объектом с параметрическими неопределенностями // Мехатроника, автоматизация, управление, 2006. № 4, С.7-12.

12) Olga V. Slita. Some algebraic problems of parametric invariance It PREPRINTS of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2004, P. 37-41.

3-006{\ 95

* - 95 б б

Тиражирование и брошюровка выполнены в центре «Университетские телекоммуникации». Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14. Тел. (812)233-46-69 Тираж 100 экз.

Список сокращений и обозначений.

Введение.

Глава 1. Абсолютная параметрическая инвариантность выхода системы относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления объекта управления.

1.1. Условия обеспечения абсолютной параметрической инвариантности выхода непрерывной системы относительно неопределенности матрицы состояния исходного объекта.

1.2. Синтез системы, обладающей абсолютной параметрической инвариантностью (АПИ), методами обобщенного модального управления.

1.2.1. Синтез системы, обладающей АПИ, для случая матрицы управления В ранга, равного размерности вектора состояния

1.2.2. Синтез системы, обладающей АПИ, для случая матрицы управления В ранга, меньшего размерности вектора состояния.

1.2.3. Оценка выполнимости условия (AI - A)Dj е IтВ.

1.3. Решение проблемы абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) выхода системы относительно неопределенности задания матричных компонентов модельного представления общего вида.

1.4. Проблема абсолютной параметрической инвариантности выхода дискретной системы относительно неопределенности задания матриц модельного представления объекта.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Параметрическая ^-инвариантность выхода относительно неопределенности матриц представления объекта.

2.1. Проблема базиса представления объекта.

2.2. Фактор передаточных нулей отношения «вход-выход» в задаче достижения условия rank[(A,jI - A)Dj :В] = гапкВ.

2.3. Анализ каузальных факторов появления параметрической е -инвариантности.

2.4. Оценка величины s в задаче синтеза параметрически инвариантных до s систем.

2.5. £-инвариантность, обусловленная процессом наблюдения за состоянием объекта с параметрической неопределенностью матричных компонентов модельного представления.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Ранжирование параметрических неопределенностей модельных представлений по степени влияния на выход (ошибку) системы.

3.1. Экспресс-ранжирование параметрических неопределенностей по факту строчной локализации.

3.1.1. Ранжирование параметрических неопределенностей на основе матрицы управляемости «параметрический вход-выход» произвольных объектов.

3.1.2. Ранжирование параметрических неопределенностей на основе грамианов управляемости пары матриц (A,Dj) устойчивых объектов.^ *

3.2. Ранжирование параметрических неопределенностей с использованием аппарата чувствительности сингулярных чисел.

3.2.1. Чувствительность сингулярных чисел матрицы управляемости по выходу.

3.2.2. Чувствительность сингулярных чисел грамианов управляемости по выходу.

3.3. Ранжирование параметрических неопределенностей с использованием аппарата траекторией чувствительности.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Параметрическая инвариантность для особых случаев модельных представлений задачи управления.

4.1. Параметрическая инвариантность при конечномерном экзогенном воздействии.

4.2. Параметрическая инвариантность при интервальном модельном представлении объекта управления.

4.3. Сведение задачи синтеза системы со стабильными показателями качества процессов по выходу для нелинейных объектов к проблеме параметрической инвариантности.

Выводы по главе 4.

Глава 5. Прикладные задачи синтеза параметрически инвариантных систем управления.

5.1. Достижение параметрической инвариантности выхода при произвольном задающем воздействии методами обобщенного динамического модального управления в задаче Т. Миты.

5.2. Достижение параметрической инвариантности ошибки слежения при конечномерном задающем воздействии методами обобщенного изодромного управления в задаче Т. Миты.

Выводы по главе 5.

Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления» возникла в результате работы диссертанта в составе научной группы кафедры Систем Управления и Информатики Санкт-Петербургского Государственного Университета Информационных Технологий, Механики и Оптики, созданной профессорами кафедры, докторами технических наук В.О. Никифоровым и А.В. Ушаковым. Проблемы, над которыми работает указанная научная группа, связаны с задачами управления в условиях неопределенности сигнальной, параметрической и структурной природы. Частично результаты работы этой группы представлены в монографии [30] названых выше ученых. В рамках проблемной области группы на диссертанта были возложены задачи анализа возможностей неадаптивных методов управления, опирающихся на концепцию параметрической инвариантности, доставляющих системе, встроенной в техническую среду обслуживаемого технологического процесса, гарантированную стабильность показателей качества в условиях параметрической неопределенности. Данное направление научных исследований поддержано грантом правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга (Шифр гранта М05-3.11К-21).

Концепция параметрической инвариантности как сепаратной ветви общей теории инвариантности [22, 17, 18, 31, 51] в задачах управления в предпринятых диссертантом исследованиях разработана на основе возможностей векторно-матричного формализма метода пространства состояний (МПС). Следует заметить, что основные результаты в общей теории инвариантности получены с использованием сигнального подхода в скалярной форме. Такой подход приводит к управлению, использующему принцип двухканальности Б.Н. Петрова, позволяющий скомпенсировать нежелательное воздействие на регулируемую переменную (выход или ошибку) специально формируемым сигналом компенсации. Ситуация качественно меняется, если сигнальная среда становится векторной. В этом случае в своей полноте раскрываются возможности метода пространства состояния современной теории управления [5, 16, 20, 21, 33, 36, 47, 50, 52]. Геометрическая прозрачность метода позволила существенно расширить банк базовых алгоритмов управления. Так, в дополнение к алгоритмам, построенным на концепции сигнальной компенсации, добавился класс алгоритмов геометрического парирования возмущений путем погружения регулируемой переменной (выхода или ошибки) в нуль-пространство оператора, отображающего пространство, которому принадлежит возмущение в пространство, которому принадлежит регулируемая переменная. Такой подход, предложенный в работах Уонема, получает хорошую алгоритмическую поддержку в среде методов модального управления, если его сформулировать в обобщенной форме. Метод модального управления (МУ) исторически [76] в теории управления возник как метод, гарантирующий проектируемой системе желаемую структуру собственных значений (мод) матрицы состояния проектируемой системы. Алгоритмическое обеспечение модального управления в такой постановке в основном строилось путем представления матрицы состояния объекта в канонической управляемой форме. Со временем метод был переформулирован как метод, гарантирующий векторно-матричное подобие процессов в проектируемой системе процессам в некоторой эталонной модели той же размерности, именуемой чаше модальной моделью. Алгоритмическое обеспечение модального управления в такой постановке строится на использовании матричного уравнения Сильвестра (УС), которое решается относительно матрицы преобразования подобия, связывающей матрицу состояния модальной модели и проектируемой системы. Обнаружилось, что указанная постановка задачи модального управления допускает ее расширение, позволяющее достигать как желаемой структуры мод, так и желаемой структуры собственных векторов. Если учесть, что матрица преобразования подобия, приводящая произвольную матрицу к диагональному виду, строится на собственных векторах преобразуемой матрицы, то обобщенная версия модального управления также может быть алгоритмически обеспечена решением уравнения Сильвестра. В этом случае достаточно матрицу состояния модальной модели задать в диагональном базисе, тогда решение уравнения Сильвестра в форме матрицы преобразования подобия будет состоять из собственных векторов матрицы состояния проектируемой системы. Нетрудно видеть, что если задать желаемую структуру собственных векторов, т.е., по существу, сформировать матрицу подобия, то уравнение Сильвестра должно решаться относительно структуры мод проектируемой системы. Не всегда полученная структура удовлетворяет разработчика по ее динамическим свойствам. В этой связи появляется необходимость поиска паритетного решения, когда структурой доминирующих мод обеспечиваются требуемые показатели качества в переходном и установившемся режиме, а структурой доминирующих собственных векторов достигаются дополнительные геометрические свойства системы, к которым следует отнести и обеспечение параметрической инвариантности регулируемой переменной к неопределенности матричных компонентов модельного представления исходного объекта. Использование возможностей обобщенного модального управления обеспечивать желаемые структуры собственных значений и собственных векторов положено в основу построения инструментария разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления. Причем задача решается как в постановке достижения абсолютной параметрической инвариантности выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления объекта, так и в постановке ^-инвариантности, дополненной контролем достигаемой е. Таким образом, в отличие от существующих методов обеспечения робастно-сти поведения систем в условиях параметрической неопределенности, рассматриваемых в работах [14, 27, 29, 58-61, 65, 66, 68, 69, 74], автор сосредоточил свое внимание на геометрических возможностях метода обобщенного модального управления для решения задачи обеспечения стабильности процессов по выходу с использованием неадаптивных методов управления.

Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составляют метод пространства состояний, линейная алгебра в части, касающейся конструирования структуры пространства линейных операторов, обобщенное модальное управление, интервальные модельные представления неопределенностей матричных компонентов, метод B.JI. Харитонова анализа робастной устойчивости, интервальная линеаризация нелинейных компонентов модельного представления объектов и систем, принцип внутренней модели применительно к объектам с интервальными матричными компонентами при решении задачи синтеза параметрически инвариантных систем с нулевой ошибкой слежения за конечномерным экзогенным воздействием.

Математический аппарат, использованный при проведении диссертационных исследований, поддерживается программной модельной оболочкой Matlab. При построении текста диссертации соискатель структурировал его с помощью рубрик: определение, утверждение, доказательство, примечание, вывод, пример.

Структурно диссертация состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Выводы по главе 5

1. На примере задачи Т. Миты, для которой возможно достижение выполнения условий абсолютной параметрической инвариантности в виде системы соотношений в виде (5.1) - (5.3) сконструирован закон обобщенного модального управления, доставляющий замкнутой системе АПИ выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов, порождаемых вариациями параметра q, что подтверждено экспериментально для случаев полиномиального, гармонического и стохастического задающих воздействий для значений параметра q из интервала -1 < q < 1.

2. Для усиления аргументации достигнутых результатов сконструирована модель траекторной чувствительности, для которой аналитически доказано равенство нулю передаточной функции отношения «функция траекторной чувствительности по выходу — задающее воздействие» и подтверждено экспериментально равенство нулю функции траекторной чувствительности по выходу для всех перечисленных в пункте (1) видов задающих воздействий.

3. Дополнительно произведено сравнение системы, обладающей абсолютной параметрической инвариантностью выхода и системы, синтезированной на алгебраический спектр собственных значений, в котором есть незначительное несовпадение только в одном элементе. Результаты сравнения представлены вычислением установившихся значений функций чувствительности по выходу и результатами моделирования.

4. Экспериментально подтверждено, что в случае введения наблюдателя состояния объекта с неопределенными параметрами матричных компонентов модельного представления, задача достижения абсолютной параметрической инвариантности требует выполнения дополнительных алгебраических условий, которые не всегда выполняются, а потому задача параметрической инвариантности в основном получает решение в классе е— инвариантных систем. Для демонстрации достижимости абсолютной инвариантности методами обобщенного изодромного управления при конечномерном входном воздействии для задачи Миты синтезирован закон обобщенного изодромного управления, обеспечивающий слежение выхода системы с параметрическими неопределенностями матричных компонентов с нулевой установившейся ошибкой за конечномерным задающим воздействием, представленным аддитивной композицией полиномиального и гармонического компонентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставленные задачи сформулированных диссертационных исследований в своей основе диссертантом решены, при этом:

1. Сформулированы алгебраические условия достижимости абсолютной параметрической инвариантности выхода проектируемой системы относительно параметрической неопределенности матрицы состояния исходного объекта путем сведения проблемы параметрической инвариантности к проблеме сигнальной инвариантности, для чего сигнальная среда задачи дополнена внешним параметрическим воздействием.

2. Показано, что алгоритмическое обеспечение процедуры синтеза систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью выхода, может быть сконструировано в алгоритмической среде обобщенного модального управления.

3. Для случая матрицы управления ранга, равного порядку системы, обнаружена множественность (неединственность) возможных решений задачи достижения ортогональной системы собственных векторов. Для разрешения проблемы неединственности введен дополнительный критерий в виде оценки функционала затрат на управление и степени их распределения по множеству начальных состояний.

4. Сформулированы дополнительные алгебраические условия решения уравнения Сильвестра (1.27), используемого при синтезе систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью.

5. В целях использования алгоритма А1.1 для систем с параметрическими неопределенностями как в матрице состояния, так и в матрице управления предложено включение на входе исходного объекта буферной системы, за счет чего параметрическая неопределенность оказывается локализованной только в матрице состояния расширенной системы.

6. Установлено, что для случая дискретного описания исходного непрерывного объекта с неопределенностями матричных компонентов модельного управления это дискретное описание всегда содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления, что влечет за собой отмеченные выше алгоритмические проблемы решения задачи параметрической инвариантности выхода дискретной системы.

7. Показана важность выбора базиса модельного представления объекта управления на примере сопровождающей фробениусовой формы его матрицы состояния в задаче достижения параметрической инвариантности системы.

8. Систематизированы алгебраические каузальные факторы, приводящие к появлению проблемы параметрической е— инвариантности как физически реализуемой альтернативы абсолютной параметрической инвариантности. Показано, что введение наблюдающего устройства в систему с параметрическими неопределенностями может стать дополнительным источником параметрической е-инвариантности.

9. Решена проблема ранжирования неопределенностей с использованием системных грамианов ОУ, системы и агрегированной системы с моделью траекторной чувствительностью в ее составе.

Ю.Показано, что средствами обобщенного изодромного управления, которое приводит к необходимости введения в структуру объекта управления буферной системы с фиксированными параметрами возможно достигнуть два системных результата, одним из которых является обеспечение условий параметрической инвариантности выхода и ошибки системы, а вторым - в случае конечномерной реализации внешнего воздействия — обеспечение средствами обобщенного изодромного управления установившейся ошибки слежения, максимально приближенной к нулевой.

11. Показано, что алгебраические условия абсолютной параметрической инвариантности сохраняются для случая объекта управления, неопределенность матричных компонентов модельного представления которого задана в интервальной форме. Сформулирован алгоритм управления интервальным ОУ, доставляющий объекту параметрическую инвариантность. При этом показано, что контроль устойчивости системы с матрицей состояния, содержащей неопределенности в случае, если они формализованы в интервальном виде, может быть произведен с помощью теоремы B.JI. Харитонова, сводящей задачу контроля устойчивости к устойчивости четырех угловых характеристических полиномов.

12. Показано, что стабильные показатели качества процессов по выходу и ошибке системы, в состав которой входит нелинейный объект, могут быть достигнуты средствами аппарата параметрической инвариантности, если исходный объект методами интервальной линеаризации приведен к линейному объекту, векторно-матричные компоненты которого характеризуются интервальной неопределенностью.

13. На примере задачи Т. Миты, для которой возможно достижение выполнения условий абсолютной параметрической инвариантности в виде системы соотношений в виде (5.1) — (5.3) сконструирован закон обобщенного модального управления, доставляющий замкнутой системе АПИ выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов, порождаемых вариациями параметра q, что подтверждено экспериментально для случаев полиномиального, гармонического и стохастического задающих воздействий для значений параметра q из интервала -1 < q < 1.

14.Для усиления аргументации достигнутых результатов сконструирована модель траекторной чувствительности, для которой аналитически доказано равенство нулю передаточной функции отношения «функция траекторной чувствительности по выходу — задающее воздействие» и подтверждено экспериментально равенство нулю функции траекторной чувствительности по выходу для всех перечисленных в пункте (14) видов задающих воздействий. 15. Для демонстрации достижимости абсолютной инвариантности методами обобщенного изодромного управления при конечномерном входном воздействии для задачи Миты синтезирован закон обобщенного изодромного управления, обеспечивающий слежение выхода системы с параметрическими неопределенностями матричных компонентов с нулевой установившейся ошибкой за конечномерным задающим воздействием, представленным аддитивной композицией полиномиального и гармонического компонентов.

Завершая подведение итогов проведенных диссертантом исследований, хотелось бы дать рекомендацию разработчикам систем со стабильными показателями качества, которые решают эту задачу в классе параметрически инвариантных реализаций, при формировании объекта управления максимизировать ранг его матрицы управления.

Для упрощения доступа возможных пользователей к разработанным в диссертации теоретическим положениям конструктивная их часть изложена в виде системы алгоритмов.

1.Акунов Т. А., Джаманбаев А. А., Ушаков А.В. Сбалансированное представление многомерных объектов управления. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т.41. № 7. с. 23-30.

2. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Анализ чувствительности эллипсоидных оценок многомерных процессов управления. // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1991.Т.34. № 8. С.21-27.

3. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Оценка функций траекторной чувствительности систем управления при внешнем конечномерном воздействии. // Изв. вузов СССР. Электромеханика. 1992, № 1. С. 87-92.

4. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Синтез систем гарантированной модальной стабильности// Известия РАН. Теория и системы управления. 2003, № 4. С. 9-17.

5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.

7. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и Scilab. СПб: Наука, 2001.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Пер.с англ. М.: Наука, 1969.

10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления.-М.: Наука, 1972.

11. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

13. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления./ Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

14. Горовец A.M. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. Радио, 1970.

15. Дьяконов В. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения Полное руководство пользователя. Солон-Пресс. 2002.

16. Заде Л. А., Дезоер Ч. А. Теория линейных систем (метод пространства состояний). Пер.с англ. М.: Наука, 1970.

17. Ивахненко А.Г. Кибернетические системы с комбинированным управлением. Киев, «Техника», 1966.

18. Ивахненко А.Г. Техническая кибернетика. Системы автоматического управления с приспособлением характеристик. 2-е изд. Киев, Гостехиздат УССР, 1962.

19. Изерман Р., Цифровые системы управления: пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

20. Калман Р.Е., Фалб П.Л., Арбиб М. А. Очерки по математической теории систем: Пер.с англ. М.: Мир, 1971.

21. Квакернаак X., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ, М.: Мир, 1977.

22. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев, Гостехиздат УССР, 1963.

23. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1982.

24. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами \ Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов P.O., Ушаков А.В. Бишкек: Илим, 1991.

25. Матричные уравнения в исследовании дискретных процессов над бесконечными и конечными полями \ Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов P.O., Ушаков А.В. Бишкек: Илим, 1993.

26. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М СПб: Издательство МГУ-ГРИФ, 1998.

27. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

28. Невский А.Е., Сиек Ю.Л. Синтез робастных законов управления многомерными линейными динамическими объектами с интервальными параметрами.// Изв. Вузов. Приборостроение. 1998. Т.41, № 6. С.26-30.

29. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. — СПб.: Наука, 2003.

30. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПБ ГИТМО (ТУ), 2002.

31. Петров Б.Н. О применении условий инвариантности// Труды 2-го Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. М.: Изд-во АН СССР, 1955. Т. 2. С. 241-246.

32. Подчукаев В.А., Светлов И.М. Аналитический метод построения гурвицевых интервальных полиномов// Автоматика и Телемеханика. 1996. №2. С.89-100.

33. Портер У. А. Современные основания общей теории систем: Пер. с англ. -М.: Наука, 1971.

34. Потемкин В.Г. Система Matlab 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.

35. Розенвассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981.

36. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ\ В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков.—Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.

37. Слепокуров Ю.С. MATHLAB 5. Анализ технических систем. Воронеж: ВГТУ, 2001. 167 с.

38. Слита О.В. Групповое ранжирование неопределенных параметров матриц модельного представления объектов управления// Вестник II межвузовской конференции молодых ученых/ под ред. В.Л. Ткалич. Том 2. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. С.67-71.

39. Слита О.В. Фактор ранга матрицы управления динамического объекта в задаче достижения параметрической инвариантности. // Современные технологии: Сборник статей / под ред. Козлова С. А. СПб.: СПбГУИТМО, 2003. С.253-259.

40. Слита О.В., Ушаков А.В. Модельное представление объекта управления в задаче параметрической инвариантности.// Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 1.С. 14-20.

41. Слита О.В., Ушаков А.В. Обобщенное изодромное управление объектом с параметрическими неопределенностями. Мехатроника, автоматизация, управление, № 4,2006, С. 7-12.

42. Слита О.В., Ушаков А.В. Покомпонентное ранжирование параметров в задаче параметрической инвариантности. Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. Сб. Вып. 34. — СПб.: СЗТУ, 2005. С.96-105.

43. Слита О.В., Ушаков А.В. Проблема параметрической е-инвариантности выхода непрерывной системы: алгебраический подход. Мехатроника, автоматизация, управление, № 2, 2006, С. 2-7.168

44. Современная теория систем управления. Под ред. К. Т. Леондеса, Пер. с англ., М.: Наука, 1970.

45. Сударчиков С.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Управление нелинейным объектом в классе параметрически инвариантных реализаций. Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. Сб. Вып. 35. СПб.: СЗТУ, 2006. С.76-85.

46. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности систем управления. Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1972.

47. Ту Ю. Т. Современная теория управления: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1971.

48. Уланов Г.М. Инвариантность до s в комбинированных системах автоматического регулирования. — Сборник «Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах». Труды совещания, состоявшегося в Киеве 16-го октября 1958 г. М., 1959.

49. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход. Пер. с англ.-М.: Наука, 1980.

50. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление.// Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 43. № 3. С. 8-15.

51. Ушаков А.В. Условия нулевой параметрической чувствительности в задаче слежения. // Автоматика и телемеханика. 1981. № 9. С. 30-37.

52. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Диф. уравн. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.

53. Харитонов В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов. // Автоматика и телемеханика. 1995. №5.

54. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

55. Шароватов В.Т. Обеспечение стабильности показателей качества автоматических систем. Л.: Энергоатомиздат, 1987.

56. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems// IEEE Trans. Automatic Control. 1980. Vol.AC-25, N 6. P.1058-1072.

57. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. London, Springer-Verlag, 1993.

58. Ackermann J., Utkin V. Sliding mode control design based on Ackermann's formula// IEEE Trans. Automatic Control. 1998. Vol.43, N 2. P.234-237.

59. Barmish B. A generalization of Kharitonov's four-polynomial concept for robust stability problems with linearly dependent coefficient perturbations. IEEE Trans. On Automatic Control, 1989. Vol. 34, P. 157-165.

60. Barmish B, Kang H. A survey of extreme point results of robust control systems. Automatica, vol.29, P. 13-35, 1993.

61. Barmish В., Shi Z. Robust stability of a class of polynomials with coefficients depending multilinearly on perturbations// IEEE Trans. Automatic Control. 1990. Vol. 35, N 9, P.1040 -1043.

62. Cheng В., Zhang J. Robust controllability for a class of uncertain Linear Time-invariant MIMO systems// IEEE Trans. Automatic Control. 2004. Vol.49 N 11. P.2022-2027.

63. Chilali M., Gabinet P, Apkarian P. Robust pole placement in LMI regions// IEEE Trans. Automatic Control. 1999. Vol.44 N 12. P.2257-2270.

64. Cruz I.B. Feedback systems. New York: McGraw-Hill Book Company, 1972.

65. Davison E.J. The robust decentralized control of a general servomechanism problem// IEEE Trans. Automatic Control. 1976. Vol. AC-21, N 1. P.14-24.

66. Davison E.J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems// IEEE Trans. Automatic Control. 1976. Vol. AC-21, Nl.P.25-34.

67. Eslami M. Theory of Sensitivity in Dynamic Systems. An Introduction. Berlin: Springer-Verlag, 1994.

68. Francis D.A., Wonham W. M. The internal model principle for linear multivariable regulators// Appl. Math. Opt. 1975. Vol.2. P. 170-194.

69. Francis D.A., Wonham W. M. The internal model principle of control theory// Automatica, V. 12, P.457-465, 1976.

70. Kwakernaak H. A condition for robust stability. Systems and Control Letters, vol. 37, P. 251-284, 1983.

71. MacFarlane A., Grubel G., Ackermann J. Future design environments for control engineering. Automatica, vol. 25, No. 2, P. 165-176,1989.

72. Mita T. Design of zero-sensitivity system. Int. J. Control, 1976, v. 24, N 1, P.75-81.

73. Porter В., Crossley T.P. Modal Control. London: Taylor and Frances, 1972.

74. Slita O.V. Some algebraic problems of parametric invariance// Preprints of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). SPbSUITMO, 2004, P. 37-41.