автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Графические параметрические методы анализа и синтеза линейных систем управления

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

УДК 517.977.1 На правах рукописи

ТРЕМБА Андрей Александрович

ГРАФИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2008

Работа выполнена в Институте проблем управления им В.А. Трапезникова Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор технических наук Борис Теодорович Поляк Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук Лев Борисович Рапопорт; доктор физико-математических наук Александр Иванович Матасов.

Ведущая организация.

Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится тма^Т^ 2008 г в часов на заседании диссертационного Совета Д 002.226.02 при Институте проблем управления им В А. Трапезникова РАН по адресу: 117997 Москва, ул Профсоюзная 65, ИПУ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления им. В А Трапезникова РАН.

Автореферат разослан 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 002 226 02 кандидат технических наук

В.Н Лебедев

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена развитию графических методов анализа устойчивости линейных систем с аффинной неопределенностью и методов синтеза параметрических регуляторов, удовлетворяющих критерию Нж, т.е. ограничивающих значение ffoo-нормы передаточной функции

Актуальность темы. Устойчивость системы является базовым, фундаментальным свойством для ее успешного и стабильного функционирования. Д ля линейной стационарной системы устойчивость определяется корнями ее характеристического полинома

Поэтому изучение и синтез стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, можно проводить в терминах устойчивости полинома (характеристического).

Если все параметры системы, а значит, и коэффициенты характеристического полинома, известны точно, то, найдя корни полинома и проверив их расположение на комплексной плоскости, можно судить об устойчивости Полином будем называть устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости для систем непрерывного времени и внутри единичного круга для дискретной системы Можно проверить устойчивость, не прибегая к вычислению корней полинома, с помощью табличных (А Гурвиц, Э Раус, И. Шур, А. Кон) или графических (Ш Эрмит, Ш Билер, A.B. Михайлов и Г. Найквист) критериев.

Дальнейшее исследование устойчивости велось в двух направлениях в первом ставилась задача описания всех регуляторов, стабилизирующих систему, причем эти регуляторы могли быть как произвольные (например, при параметризации Юлы-Кучеры или Л Н. Волгина), так и ограниченные параметрическим семейством

Для параметрического случая оказалась удачной идея разбиения всего пространства параметров на области, внутри которых число устойчивых корней полинома фиксировано Подобный подход встречался в работах И А. Вышнеградского, Р. Фрэйзера и В Дункана, A.A. Соколова, А А. Андронова и А.Г. Майера, а в 1948-49 гг Ю.И. Неймарком этот метод был сформулирован в законченном виде и под названием «D-разбиение» вошел в учебники по автоматическому управлению

Основное применение этот метод нашел для синтеза регуляторов, зависящих от двух параметров, в этом случае D-разбиение обладает наглядным геометрическим представлением, некоторыми кривыми плоскость параметров разделяется на области Одна из этих областей соответствует всем стабилизирующим регуляторам.

В западной литературе этот метод применялся в работах Д Митро-вича, Д. Шильяка, 3 Лехника, Ш. Бхаттачарии, Ю. Аккермана, Я. Фуд-жисаки, входя в группу под общим названием parameter space methods.

Недавно многие исследователи вновь обратились к тематике -D-разбие-ния, так, были получены новые результаты о его структуре, выделены семейства полиномов (и регуляторов), для которых D-разбиение удается осуществить для большего числа параметров а также изучалось £>-разбиение в пространстве матриц (Р. Темпо, Я. Оиши, Б.Т. Поляк, Ю П. Николаев, П.С. Щербаков, Е Н Грязина).

Вторым направлением было изучение параметрической робастности системы, т.е. анализ, останется ли система (или полином) устойчивой, если некоторые ее параметры неизвестны и принадлежат некоторому множеству. Эти неопределенные параметры не изменяются во времени, и их часто называют просто «неопределенностями». Робастные постановки задач систематизированы Я.З. Цыпкиным, Ю.И. Неймарком, Б.Т. Поляком, П.С. Щербаковым1, Ш. Бхаттачария, Ю. Аккерманом. Следует отметить отличие такой постановки от задач оценивания и управления в условиях неопределенности в работах Н.Н. Красовского, А.Б. Куржан-ского, А.И. Овсеевича, Ф JL Черноусько.

Бурный всплеск работ по робастности вызвала теорема В JI. Харитонова, в которой показано, что для проверки на устойчивость всего семейства полиномов, коэффициенты которых лежат в некоторых интервалах, достаточно проверить устойчивость всего четырех специальных (впоследствии названных «харитоновскими») полиномов.

Однако в более сложных случаях, таких как задача об устойчивости аффинного семейства полиномов, аналитическое решение усложняется и важную практическую роль стали играть графические методы, такие как построение и анализ специальных кривых (например, годографа Цьшкина-Поляка) или множества значений (value sets). Последней проблемой занимались Ш. Бхаттачария, Б. Бармиш, Б.Т. Поляк, А.Н. Вишняков, Р. Темпо, К. Холлот, Д. Хинриксен, Э. Чапеллат и др.

В 1991 г. эти два направления были объединены Б Т. Поляком и Н.П Петровым2, и была сформулирована, а в частных случаях решена задача о синтезе двупараметрических робастных регуляторов

С точки зрения характеристического полинома с неопределенностями, эта задача об отыскании области на плоскости двух параметров,

1В Т. Поляк, П С. Щербаков Робастная устойчивость и управление М • Наука, 2002.

2Н П Петров, Б Т. Поляк Робастное D-разбиение, АиТ, № 11,1991, С 41-53

такой, что для любых допустимых неопределенностях этот полином был устойчивым. От классического £>-разбиения задача отличается наличием ограниченных в некотором множестве дополнительных параметров, и сам метод получил название робастного £>-разбиения.

В настоящее время параметрический подход к синтезу регуляторов в условиях неопределенности — активно развивающаяся область в управлении. Повышенный интерес к ней обуславливается большим количеством прикладных задач, требующих простых регуляторов, удовлетворяющих заданным спецификациям и сохраняющих эффективность при неточно известных параметрах, что подчеркивает актуальность темы диссертации.

Другая задача синтеза регуляторов низкого порядка заключается в нахождении не просто стабилизирующего регулятора, а такого, что замкнутая система удовлетворяет некоторым дополнительным критериям качества. Одним из важным критериев качества является Я,»-критерий, возникающий, помимо прочего, в задаче синтеза робастно стабилизирующих регуляторов для систем с частотной (непараметрической) неопределенностью.

Причина интереса к регуляторам низкого порядка в том, что, несмотря на глубокое развитие аналитических теорий синтеза регуляторов, таких как Яоо-теория, ^-подход, QFT-noдxoд, ¿¿-синтез и др. (Дж. Зеймс, М. Далех, Дж. Пирсон, М. Сафонов, Ш. Бхаттачария, К. Зу, Дж. Дойл, К. Гловер, И. Горовиц), в промышленных приложениях зачастую по-прежнему используются простейшие регуляторы, пропорционально-интегрирующие, пропорционально-интегрирующие-дифференцирующие (ПИД), регуляторы первого порядка и пр. Эти регуляторы просты по своей структуре, их работа основана на понятных физических принципах, что, возможно, и обусловило их популярность и широкую применимость в задачах управления (К. Острем, А Датта, М. Хо, И Б Ядыкин, В.Я. Ротач).

Цель работы. Основная цель данной работы заключается в построении и обосновании эффективных графических алгоритмов синтеза стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем с неопределенными параметрами (как непрерывных, так и дискретных), на основе анализа характеристического полинома системы. Дяя достижения этой цели требуется распространить метод робастного О-разбие-ния на класс аффинных по параметрам полиномов.

Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит описание регуляторов низкого порядка, таких, что замкнутая система удовлетворяет

критерию #оо (т.е Яоо-норма передаточной функции не превосходит заданного уровня) Графическое представление таких регуляторов в пространстве параметров позволяет эффективно осуществлять их синтез

Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры, математического анализа, дифференциальной геометрии, теории управления и вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов, касающихся анализа линейных динамических систем с неопределенностью. В частности, рассмотрен класс моделей линейных динамических систем с параметрами, входящими аффинным образом в характеристический полином системы. Использованный для решения задачи метод робастного Р-разбиения расширен со случая неопределенных коэффициентов на случай аффинной параметрической неопределенности с вектором параметров, ограниченным в ¿р-норме. Продемонстрировано применение предложенного метода в синтезе регуляторов низкого порядка для систем с неопределенностью.

Также рассмотрен класс моделей линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, с аддитивной или мультипликативной неопределенностью, ограниченной в //оо-норме Предложены численно эффективные алгоритмы построения множеств робастно стабилизирующих регуляторов в двумерном пространстве параметров

Сформулированы и доказаны теоремы о границах (в пространстве регулируемых параметров) полинома, являющегося робастно устойчивым, и о границах множества параметров регулятора стабилизирующих систему с гарантированным показателем качества. Доказано, что в обоих случаях эти границы параметризуются в явном виде как решение системы алгебраических уравнений (в некоторых случаях это решение найдено в явном виде)

Личный вклад. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно Личным вкладом соискателя в совместно опубликованных работах является доказательства утверждений, разработка алгоритмов и проведение численных экспериментов

Практическая значимость. Предложенные методы позволяют решать две важные задачи первая задача — синтез ПИ-, ПИД-регуляторов, регуляторов первого порядка и других регуляторов низкого порядка, робастно стабилизирующих линейную динамическую систему Вторая за^-дача состоит в описании всего множества регуляторов заданного вида (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию Нх

Такие методы важны, поскольку даже если удается найти аналити-

ческое описание множества регуляторов, решающих ту или иную задачу (например, используя параметризацию Юлы-Кучеры всех оптимальных регуляторов в -Нос-теории), то ее практическое применение сопряжено с трудностями из-за сложности описания и, зачастую, высокой чувствительности к нюансам постановки задачи. Так, было показано, что полученные в рамках Я,^-теории оптимальные регуляторы часто крайне чувствительны к изменениям параметров системы.

Использование же графических методов в пространстве параметров не только позволяет формально описывают все множество требуемых регуляторов, но и дает наглядное представление о них, позволяя, например, легко осуществлять синтез регуляторов, отвечающих сразу нескольким критериям

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Х1УШ научной конференции Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2005), 37ой региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», (Екатеринбург, 2006), 11°® международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2006), IX международном семинаре им. Е.С. Пятницкого (Москва, 2006), XIV международном семинаре по динамике и управлению (Звенигород, 2007), П научной школе-семинаре по проблемам управления большими системами (Воронеж, 2007), а также на научных семинарах под руководством Б.Т. Поляка (ИГГУ РАН), А.П. Курдюкова (ИПУ РАН), Р. Темпо (ШПТ, Турин).

Работа над дассертацией входила в состав гранта РФФИ 05-01-00114 и Программ президиума РАН № 19 и № 22.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи [1,2] в ведущем научном журнале «Автоматика и телемеханика» и пять работ в сборниках трудов конференций [3-7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (состоящем из 72 источников), а также содержит 15 рисунков. Общий объем диссертации составляет 70 страниц.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, приведено краткое описание глав.

Первая глава посвящена обзору результатов, относящихся к теме работы, и принципу использования графических методов для нахождения областей устойчивости неопределенного полинома.

Рассматривается полином G степени п, зависящий от параметров двух типов: регулируемых и неопределенных. Пусть вектор неопределенных параметров а принадлежит некоторому множеству А. В качестве регулируемых выступают два вещественных параметра (т, и) (или один комплексный). Требуется найти множество в пространстве регулируемых параметров (г, и), для которого полином G(s, т, i>, а), будет устойчивым для всех допустимых значениях а е А. Это множество называется областью робастной устойчивости.

Для нахождения области робастной устойчивости используется метод робастного £>-разбиения, определенный для дискретного и непрерывного случаев следующим образом.

Определение 1. Робастным D-разбиением для полинома G(z, т, и, а) степени п в дискретном случае по параметрам (г, и) называются множества

Определение 2. Робастным D-разбиением для полинома G(s, т, и, а) степени п в непрерывном случае по параметрам (г, и) называются множества

Таким образом, Оп — искомая область устойчивости. Заметим, что множества открытые, и, вообще говоря, несвязные Далее в основном будут рассматриваться результаты для непрерывного случая, дня дискретного они аналогичны ^

G(s, г, и, а) умеет h корней внутри единичного круга, и п — к корней вне единичного круга, Va € Л

к = О, ,п

G{s, т, v, а) имеет к корней с отрицательной вещественной частью ип — k корней с положительной, Va е А

к = 0, , п

Следуя методике классического £>-разбиения, рассматривается необходимое условие перехода из области в (к ф т) При этом изменяется либо степень полинома, либо число устойчивых корней. Первый случай описывается уравнением

За € А, дп(т, V, а) = 0, (1)

где дп — коэффициент при в", и определяет множество

Ка = {(т, и) ЭаеЛ дп(т,1>,а) = 0} (2)

Во втором случае один из корней полинома достигает границы множества устойчивых корней, в непрерывном случае — мнимой оси в = уш:

За е Л, За; е Ж т, и, а) = 0, (3)

(в дискретном случае граница устойчивых корней — окружность г = 6 [0,2тг)). Это условие обобщает принцип исключения нуля, в котором утверждается, что пара параметров (г, и) задает семейство (по а € Л) устойчивых полиномов тогда и только тогда, когда это семейство содержит хотя бы один устойчивый полином, и условие (3) не выполняется Предполагается, что множество Л замкнутое и односвязное Вводится вспомогательное множество

К- = {(г, и) ■ Зи) е К, За 6 Л, т, v, а) = 0} (4)

В дискретном случае К- = {(т,у) • Зи> 6 [0,27г),3а е Л,С(е]Ш,т, и, а) -0}. Определим множество К = К^ и К3, оно связано с робастньш В-разбиением теоремой 1.

Теорема 1. Объединение границ множеств Ок совпадает с границей множества К.

Поскольку множества К, И к, к = 1, , п попарно не пересекаются между собой, то что множество К осуществляет робастное 1)-разбиение. Для нахождения границ областей робастного £>-разбиения, в том числе, области устойчивости, достаточно описать границу множества К. Однако его граница зачастую многосвязна, имеет сложную структуру, и поэтому ее нельзя описать в явном виде. Как и в классическом .О-разбиении, предлагаются необходимые условия, которым должны удовлетворять точки границы дК. В частности, для этого важно уметь строить границы множеств К3 и К- по-отдельности, что сделано в следующей главе для частного случая аффинного семейства полиномов.

Во второй главе рассмотрена задача построения робастного D-разбиения для полиномов степени ть, аффинных как по регулируемым параметрам (т, v), так и по неопределенным параметрам а

t

G(s, т, v, а) = Rq{s) + tP(s) + uQ(s) + ]Г a,ñ,(s), (5)

»=1

где (г, v) € R2, a G Re (или а € С*), P(s), Q(s), Д,(в), г = О, ,£ — полиномы степени не выше п, причем хотя бы один из них имеет степень п. Такая постановка задачи возникает при синтезе робастных регуляторов, у которых числитель и знаменатель дробно-рациональной передаточной функции линейно зависят от параметров т, v.

Неопределенные параметры ограничены в шаре, заданном векторной Zp-нормой3, таким образом

А={а ||а||р<7}

Требуется найти область робастной устойчивости в плоскости парат метров (г, и), внутри которой полином остается устойчивым при всех неопределенностях, ограниченных в /р-норме ||а||р < 7

Из теоремы 1 следует, что для этого надо знать границы двух множеств. К-, заданного уравнением (4) и Ks, заданного уравнением (2). Первое из них принимает вид

К- = {(т, v) Зш 6 [0, оо), За, ||а||р < 7, G{ju,t,v,a) = 0} (6)

Без потери общности взят полуинтервал = [0, оо), поскольку коэффициенты полиномов P(s),Q(s),Rl(s) вещественные (в дискретном случае достаточно интервала и> е [0, тт]). Для нахождения областей устойчивости аффинного полинома с комплексными коэффициентами необходимо рассматривать интервал ш б (—оо, +оо)

Множество К- является отображением множества Л х М+ э (а, ш) на плоскость. Зафиксируем и и рассмотрим элемент семейства

= {(г, v) ■ За, G(ju>, т, и, а) = 0, ||а||р < 7} (7)

Уравнение G = Ос комплекснозначной левой частью эквивалентно двум вещественнозначным, поэтому определение (7) множества Кш можно записать как

Кш = {х Т(ш)теПл(и)},

3 Nlp = (Eíklp)1/p. ре[1,оо)

где использованы матричные переменные

«*(;)• - (Ж) **)=*=

КлИ-|( ¡^"Ц ) ДЬ) = -Яо!:к') Н„<7}

Из этой формулировки следует, что при невырожденной матрице Т множество Кш является образом линейного отображения множества 72-.Д на плоскость, а форма Т1а определена следующей леммой 1 (комплексная плоскость отождествляется с К2).

Лемма 1. Множество 71а Щ>и фиксированном значении аргумента и является (зависимость от и> для краткости опущена)"

1) кругом, если аг е С,р € [1,оо),

КА = {г |!Г-Г0||2<7№, г еж2}, (8)

гдед = р/(р—1), вектор Я — (Я-\,Н2,. га = —(Re.Ro,1тД0)т>

2) эллипсом, если аг 6 = 2*

({г (г- го)тМ~1(г - г0) < 7, г е К2} , АеЬМф О, Пл " |{г. г = го + ХЩ 1x1 < 7>/А, X € ж} , ¿еЬМ = 0,

гс*е ад — нормированный собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению А задающей матрицы

м_( Е^г(НеЛг)2 Е?=ц ^йг 1шНг \ ( ■ V Кел, Ьпл, Е^СЬпД.)2 ^

3) многоугольником, если а, €®,р= 1 или р = оо.

Отметим, что если полиномы Р и <2 не связаны специальным образом (например, не пропорциональны и тп ), то матрица Т(ш) вырождается только в конечном числе значений ш, поэтому лемма 1 описывает регулярный случай.

Предметами изучения в диссертации являлись случаи 1 и 2 леммы 1, при которых множество Кш = Т~х{ш]Т1а{ш) — эллипс. Эффективное построение множества К- в третьем случае, где элемент семейства Кш многоугольник — актуальная сложная задача, требующая отдельного рассмотрения вне данной работы.

Итак, элемент семейства К- обычно является эллипсом, и описывается уравнением

Кш = {х (Т(ш)х - г0(и>))тМ(шГЧП^ ~ r0(oj)) < рМ2}, (11)

где матрица М единичная или задана формулой (10), а функция р равна 7ЦДИН, или 7; соответственно для случаев 1 и 2 леммы. Поскольку К- = Ua>6[o,cc) то очевидно, что точки границы множества К- либо принадлежат огибающей семейства фигур Кш е [0, оо), либо определяются особыми случаями, когда теряется непрерывная зависимость от ш. Огибающая определена только для тех значений у, когда эллипс трансформируется непрерывно при изменении а/, т.е когда матрицы M(w) и Т(ш) невырождены, а производная функции р(ш) определена В зависимости от комбинаций вырождения матриц М, Т, особые множества Кш могут быть прямой линией, полосой, всей плоскостью (в последнем случае все области робастного D-разбиения £>& пусты).

Следующая теорема характеризует точки огибающей, а описание границ особых множеств аналогично описанию границ множества Ks далее. Теорема 2. Если о 6 1" « р = 2, или а € С", то точки огибающей семейства эллипсов Кш удовлетворяют системе уравнений

( (Тх - rQ)TMad] {Тх - г0) = р2 det Mad],

\хт(ТтМафТ)'шх - Маф,Т)'шх + {rjMad]rQ)l Hf? det

относительно вектора х = (г, и)Т, ш е [0,оо), где Маф — присоединенная к М матрица.

При каждом значении ш это система двух квадратичных уравнений, которая имеет не более четырех решений (или, в вырожденных случаях, задает эллипс целиком).

Множество Ка, заданное в (2), отвечающее условию понижения степени, для полиномов с вещественными коэффициентами является полосой

\Ron + ТРП + uQnI < рп,

где Ron,Pn,Qn — коэффициенты при sn соответствующих полиномов, q=p/(p-1), Рп = \\{Rin,R2n, ,Rtn)\\q — ¿p-норма от вектора коэффициентов при sn полиномов Дг. Его граница dKs состоит за двух прямых {(г, и) Ron±Pn + ТРП + vQn = 0}.

Решения системы (12), вместе с границами особых полос и границей множества К3 образуют систему из конечного числа простых кривых на

плоскости. Из них с помощью дополнительных соображений выделяется граница множества К.

Пример 1. Синтез робастного ПИ-регулятора.

Требуется найти множество всех ПИ-регуляторов т + ^, стабилизирующих систему с передаточной функцией: (з+^ь^+'ь^-н) > и Двумя вещественными неопределенными параметрами 61,62: (61 — I)2 + 0,25(62 — I)2 < 0,01. Переобозначая а\ = 10(61 — 1), «2 = 5(&2 — 1), получаем характеристический полином:

С(в,т, и,а) = 5(5 + 1)(«2 + 5 + 1) + тф - 1)(в - 2) + 1/(в - 1)(я - 2) + + 0,1а1«3(в + 1) + 0,2а2з2(з + 1), ||а||2 < 1.

Робастное £>-разбиение показано на рис. 1, область устойчивости £>4 описывает все робастно стабилизирующие ПИ-регуляторы. На рис. 2 пунктиром отмечены кривая .О-разбиения системы без неопределенностей (61 = 62 = 1) и множество стабилизирующих ПИ-регуляторов соответственно. В этом случае £>-разбиение осуществляется только множеством (выделено темным), множество К3 пусто. Прямая т = 0 соответствует множеству Кш при и> = 0.

Рис. 1. Робастное D-разбиение Рис. 2. Множество робастно ста-(пример 1). билизирующих ПИ-регуляторов

(пример 1).

Случай робастного iJ-разбиения по одному комплексному параметру, полинома с комплексными неопределенностями:

е

G(s, т, а) = Ro{s) + tD(s) + ^ a*Ri(s), т £ С, а€Се, (13)

г=1

можно свести к случаю двух вещественных параметров заменой P(s) = D(s), Q(s) = jD(s), однако уравнение огибающей можно получить в более явном виде

Теорема 3. Граница множества К_ для робастного D-разбиения по комплексному параметру т, полинома (13) с неопределенностью IMIp < удовлетворяет включению.

дК- с KrJ9 U КТ°

где

^ - {*<«> -±jVT^T) '^S^'oít6R0' } >

= /г \т- roMl = рИ, есЛи То(ш)' = = 0< 1,

[ " v или эти производные не определены J

_ (, л _ доо") „л л _ ||д(дм)||, р . / ч _ tq(w)' , / ч _ р(и»)'

Множество üT!Le9 является параметрической по ш кривой, а к^ес отвечает особым случаям, когда огибающая семейства Кы не определена.

При формулировке аналогичной теоремы в дискретном случае используется аргумент е-"", ш & [0,2тг) вместо juj, ueR

Граница множества Ks для комплексного параметра определена явно уравнением

dKs = {т |г-0п + rdn\ = ||r„||g>,

где гп = (гы, , геп), dn, го„ и ггп — коэффициенты при sn полиномов D(s), Rq(s) и Щв).

Пример 2. На рис. 3 приведено робастное £>-разбиение по параметру т для дискретного полинома с двумя неопределенными параметрами

G(z, т, а) = (1,5 + 0,05а! + 0 Да2).г6 +tz + 1+ 0,05ai, \аг\ <1, аг 6 С, г = 1,2

Классическое .D-разбиение для этого примера приведено в статье Гря-зиной4, оно показано пунктиром; область робастной устойчивости — Dq.

Третья глава посвящена задаче синтеза стабилизирующих регуляторов, таких, что полученная система удовлетворяет дополнительным требованиями. Изучаются линейные динамические системы с одним входом и одним выходом (SISO), заданные своей передаточной функцией

аЕ.Н Грязина К теории -»-разбиения, АвТ, № 12, 2004, С.15-28.

-2 И О 1 2

Кох

Рис. 3. Робастное 1)-разбиение для комплексного параметра (пример 2).

ТУ (я). Структура регулятора с передаточной функцией С (в, к) зафиксирована, имеются два или три регулируемых параметра к = (/с,), входящие в числитель и знаменатель регулятора линейно. Здесь и далее символ || • ||со обозначает функциональную Яоо-норму. Напомним, что Я0с-норма определяется для функций, аналитических в правой комплексной полуплоскости, т.е. когда .Щв, А^) обладает устойчивым знаменателем, и равна

ЦЯ(в)||оо = зпр |Я0'ш)|. (14)

—оо<и><4-оо

В качестве требования к системе используется Я00 критерий качества

||Я(в,к)||во<7, (15)

где 7 — заданный уровень качества, а конкретный вид дробно-рациональной функции Я (я, к), зависящей от параметров регулятора к, определяется постановкой задачи.

Стабилизирующие регуляторы, при которых выполняется критерий (15), назовем IIх-регуляторами, при этом требуется описать множество параметров 1С, соответствующих всем Н^-регуляторам. К Яоо-критерию сводятся следующие задачи:

• нахождение регулятора С (в), гарантирующего Я^-качество замкнутой системы,

И^оотооИов^, (16)

где (в) — весовая функция, Т{в) = — передаточная

функция замкнутой системы.

• нахождение регулятора, робастно стабилизирующего семейство объектов с аддитивной неопределенностью W(s) = Wq(s) + ДИ^(в), где Wo(s) — передаточная функция номинального объекта, частотная (непараметрическая) неопределенность Д W(s) ограничена по взвешенной норме ||W2(«)AW(s)||<» < 1. Как показал Кимура5, эта заг дача сводится к выполнению критерия

IIWT'OOtfWIloo < 1, (17)

где U(s) = • Мультипликативной неопределенности

W0(s)(l + AW^(s)) соответствует критерий ||W2_1(s)T(s)||00<l

• в количественной теории обратной связи (QFT — Quantitative Feedback Theory), требуется найти такой регулятор, что замкнутая система удовлетворяет следующим ограничениям:

mi(w) < \W{ju)T{ju)\ < т2(и>), ь> 6 [0,Wi],

|S(jo»)| < iiM, W6N. (18)

|T(jw)| < h(w), w€[w2,oo)

Здесь S (s) — 1+c(l)G(í)> mi' m2i h, h — ограничивающие функции.

Итак, рассматриваются двупараметрические регуляторы С (s, к i,ka), k = (ki, кг) в К2, в которых параметры к\ и к<2 входят в числитель и знаменатель передаточной функции C(s, ki, линейно Таким образом, охватывается широкий класс регуляторов, включающий в себя ГШ-, ПИД-регуляторы, регулятор первого порядка и пр. Если присутствует третий параметр, по нему берется подходящая сетка.

Коэффициенты числителя и знаменателя функции H в случае рассматриваемых линейных систем вещественные, и для ш можно брать лишь интервал [0, оо). Знаменатель функции H(s, ki, fo) во всех рассмотренных постановках (16, 17, 18) совпадает с характеристическим полиномом, поэтому в пространстве параметров область определения Яоо-нормы совпадает с областью устойчивости характеристического полинома.

Определим на плоскости параметров множество H^ -регуляторов

/С°° = {(fci,*a) ||Я(«,*1, to)||oo < 7} (19)

ъКгтига, H Robust stabikzabihty for a class of transfer functions. IEEE Urans Aut. Cont, V 9, N.9, 1984, c. 788-793

и рассмотрим вспомогательное множество

1С = {(fci,fc2) • \Hn(juj,ki,k2)\ < ^\Hd(ju),k1,k2)\, ш е [0,оо)}

Это многосвязное в общем случае множество связано с множеством Н^-регуляторов (19) следующим образом.

Теорема 4. Если множество 1С00 непусто, то оно совпадает с одной из компонент множества 1С.

Теорема 5. Множество К.°° является пересечением множества К и области устойчивости характеристического полинома Можно показать, что из этих теорем вытекает

Следствие 1. Граница Hoo-регуляторов совпадает с той частью границы множества 1С, которая лежит внутри области устойчивости.

Таким образом, построение множества #оо-регуляторов К°° сводится к нахождению множества 1С (область устойчивости можно построить с помощью классического D-разбиения, ее граница удовлетворяет уравнению Hd{jw,ki,k2) = 0, we [0,оо)).

В диссертации приведены два способа описания множества К.. В первом случае в рассмотрение вводится семейство допустимых множеств

ВД = {(ki, k2) [Н^зш^гМ)] <-y\Hd(ju,ki,k2)\}, wG [0,оо) (20)

Элементы этого семейства характеризуются следующими двумя теоремами

Теорема 6. Множество !С(ш) ограничено на плоскости параметров {k\,k2) кривой второго порядка

К.(и) = {(ki,k2) a{w)k\ + b{w)kik2 + c(w)kl + d(w)ki + е(ш)к2 + /(w) < 0} ,

где а(ш), b(u>), c(w), d(w),e(cv), f(u>) — полиномы

В случае ПИД-регулятора с фиксированным коэффициентом пропорциональности допустимые множества имеет более простую форму. Теорема 7. Для ПИД-регулятора C(s,kt,kp,kd) = кг+к"^+кав в плоскости (кг, kd) допустимое множество К,{ш) является внутренней или внешней частью полосы.

Более того, теорема 7 верна не только для идеального ПИД-регулятора, но и физически реализуемого с передаточной функцией С\ (s, кг, кр, kd) =

fct-t-hpS+hdS2

s(Ts+l) "

Множество /С определяется пересечением всех допустимых множеств 1С (lo) и множества параметров стабилизирующих регуляторов >CS:

£ = f)K(w)p|/C,.

OJ

Пример 3. 6 Синтез Д»-регулятора для объекта с передаточной функцией G{s) = аа+о 8а-о 2- Требуется найти все регуляторы, удовлетворяющие Дх,-критерию качества (16), с весовой функцией Wi (s) = "^j1 и 7 = 1. Рассматриваются ПИД-регуляторы с фиксированным коэффициентом усиления кр = —0,35: C(s,ki,k¿) = fci~°'35s3+fc'is и регуляторы первого порядка С(а, ki, /сг) =

Допустимые множества /C(w) суть внешняя часть полос для ПИД-регулятора (допустимое множество при lj —» оо задает полуплоскость k¿ > —0,5) и внешняя часть эллипсов для регулятора первого порядка.

На рис. 4, 5 области устойчивости выделены жирными линиями, для ПИД-регулятора это треугольник . Результаты пересечения допустимых областей и области устойчивости показаны на рис. 4 для ПИД-регулято-ров и рис. 5 для регуляторов первого порядка. Множества соответствующих Лоо-регуляторов помечены символом « х ».

Рис. 4. Множество Я^-ПИД-рс-гуляторов (пример 3).

Рис. 5. Множество Яоо-регу-ляторов первого порядка (пример 3).

Особенностью метода нахождения Яоо-регуляторов с помощью допустимых множеств является возможность точного решения задач с огра-

GA. Datta, М.Т. Но, S.P. Bhattacharyya Structure and synthesis of PID controllers, 2002. Y. Fujisaki, Y. Oishi, R. Tempo A mixed probabilitstic/determinitstic approach to fixed order ffao controller design / Proc. 45th CDC, 2006, C.3554-3559.

ничениями на конечном интервале частот, т.е. при использовании критерия вида (18) (в традиционном подходе вводятся гладкие весовые функции, что ведет к приближенным решениям).

Пример 4. 7 Нахождение множества ПИД-регуляторов, удовлетворяющих критерию max \S{ju>, ki, кр, kd)| < 0,1, для объекта с передаточной

а/<0,01

функцией G{s) — • На рис. 6 выделено множество Яоо-ПИД-

регуляторов в плоскости с фиксированным коэффициентом усиления, внешний треугольник задает множество стабилизирующих регуляторов. Pia рис. 7 изображены все Яоо-ПИД-регуляторы.

Рис. 6. Срез множества Ясо-ре- Рис. 7. Множество ff ос -ПИД-регуляторов при кр = —0,35 (при- гуляторов (пример 4). мер 4).

Второй способ построения множества Ноо-регуляторов основан на нахождении их границы в пространстве параметров в явном виде. Аналогично подходу D-разбиения рассмотрим переход точки из /С в К,. Могут произойти два существенно различных случая: либо функция | Н (ju>, ki, к2) | достигнет значения ■у, либо ее знаменатель (совпадающий с характеристическим полиномом) станет неустойчивым. Так, запишем условие (20) в эквивалентном виде

hn{u},ki,k2) < 72hd(u,ki, fc2),

где hn(cj, ¿i, fa) = \Hn(juj,ki,k2)\2,hd(uj,ki,k2) = \Hd(ju, hi, k2}\'2 —гладкие функции (более того, полиномы не выше второй степени по параметрам ki, кг согласно теореме 6).

7Б.A. Francis A Course in Н00 Control Theory PID controllers, v.88, 1987.

С точки зрения семейства параметрических по {ki, к2) функций граничными будут являться те, у которых, неравенство станет равенством, т.е. при какой-то ш будет выполняться ~ 721 причем из-за

непрерывности и гладкости производная в этой точке будет равна нулю (т.н. условие касания, tangent condition8). Второй случай соответствует переходу через ту часть границы множества К, которая одновременно является границей области устойчивости полинома Hd(s, hi, к2).

Таким образом, верна Теорема 8. Все точки границы множества К. удовлетворяют хотя бы одному из уравнений

H^(h,k 2) = 0, (21)

hhm(ku k2) = 72, (22)

или одной из систем.

{¡&'Й:5>: о0'"610-'- (23>

Г hn(u!, kuk2) = 72hd(u>, ki, k2), w e ГО oo)

(24)

гдеHdea(ki, k2) обозначает старший коэффициент полиномаHd(s, ki: k2), (•)'ш — частную производную по си, а уравнение (BS) имеет место только если функция hhm{k\,k2) = lim h'dlZ'tl'kl) определена.

Уравнение (21) описывает условие понижения степени характеристического полинома, и вместе с системой (23) определяет границу его области устойчивости Система (24) задает параметрическую по w кривую, а уравнение (22) соответствует предельному случаю

Поясним систему (24): для двух переменных (ki,k2) ее решением будет набор точек. Первое уравнение при каждом и задает либо одномерную кривую, либо пустое множество. Второе уравнение системы (24) позволяет выделить на кривой те точки, на которых функция \Н|2 = hn/hd достигает своего экстремума (при данном значении и)

Иногда система (24) допускает явное решение, например, в случае, когда параметры fei, /г2 встречаются в функциях hn, hd только в виде выражения £(w, ku kd) ~ fciPi(s2) + k2p2(s2).

8 Odenthal, D. and Blue, P. Mapping of H-infmity Design Specifications into Parameter Space, Proceedings of the 3rd IPAC Symposium on Robust Control Design, Prague, 2000

Так, рассмотрен синтез Ято-ПИД-регулятора с фиксированным коэффициентом усиления кр, с наложенным на замкнутую систему критерием (16). В этом случае решением системы (24) будут две параметрические по ш кривые:

,1,2, ч _ <;|а(ь>)Р>)+2«1.г(ь>)0Ч")+Я'(а>) /ое-\ К Кш) = ¿1,г(«) + а>—1-4(<1,гйрй+0й)-> (26)

где

РИ = (|^0а;)|2-72)|^0а;)|2, д(ы) = — 0/"721т ,

ВД = и*(тзи)\2\крЩзш)\2 - 12\РЬш) + крМ(3и)|2),

<1,2 И = --

Отметим, что система (24) эквивалентна уравнению огибающей семейства кривых, заданных уравнением \Н(уи, кг, /с2)|2 — 72 = 0, т.е. границ допустимых множеств, на плоскости (кх, к^). Равенство производной нулю (второе уравнение системы) не позволяет различить, достигается ли в этой точке максимум или минимум, и среди решений уравнения (24) могут появится точки, не принадлежащие искомой границе множества К Предложен следующий эффективный алгоритм отсеивания лишних точек

Алгоритм. Пусть известны решения системы (24) (А;^*), &2(ш*)) Для всех значений и>* £ [0, оо), при которых эти решения существуют, проверяются два условия.

• Проверка устойчивости.

Полином Н^з, кг(ш*), к$(ш*)) не имеет корней в правой полуплоскости (может иметь корни с нулевой вещественной частью).

• Выполнение Н^ критерия.

1) Находятся все корни полинома

К(ш, кх(ш*), к2(ы*))'шНЛ(ш, кх(ш*), л>7\

Один из этих корней совпадает с ш*.

2) Проверяется выполнение неравенств

тах ¡1п{и1,к1(и*),к2(ш*)) «,А>* Ьа(шг,к1(ш*),к2(ш*)) 1 ' 11т Ь,п(ш,к1(ш*),к2(ш*)) < 2

Если хотя бы одно из условий не выполнено, точка (или точки, если решений системы (24) несколько) (Ь (и>*), к2(ш*)) отбрасываются.

Типичный результат работы алгоритма дан примера, схожего с примером 4 с использованием весовой функции вместо ограниченного интервала частот, изображен на следующем рис 8 (справа). Проведен синтез Яоо-ПИД-регулятора с фиксированным коэффициентом усиления, пунктирным треугольником обозначена область устойчивости, рис 8 (слева) кривыми представлено решение системы (24) Из рисунка видно, что действительно получена граница Я^-ПИД-регуляторов без дополнительных ветвей

Рис. 8. Результат работы алгоритма нахождения границы Яоо-регуляторов.

Выводы и заключение.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту

1. Проведен анализ робастной устойчивости систем, обладающих характеристическим полиномом с аффинной параметрической ¿р-огранн-ченной неопределенностью, в пространстве двух вещественных параметров или одного комплексного. Анализ основан на обобщении метода ро-бастного Ф-разбиения на данный класс неопределенностей. Доказано.

что это множество параметров, при которых полином робастно устойчив, ограничено кривыми, удовлетворяющих параметрической системе двух уравнений не выше второго порядка.

2. На основе анализа характеристического полинома предложен метод описания множества двухпараметрических стабилизирующих регуляторов для линейных непрерывных и дискретных динамических систем с параметрической ¿р-ограниченной неопределенностью в описании модели.

3. Предложен графический метод нахождения всех Ям-регуляторов заданной структуры на основе пересечения специальных «допустимых» множеств. Доказано, что для двух регулируемых параметров допустимые множества ограничены кривой второго порядка

4. Разработан прямой метод нахождения всех Я^-регуляторов. Он базируется на графическом методе построения множества параметров таких регуляторов, аналогичных методам робастного В-разбиения для характеристического полинома. Использован оригинальный подход к определению особенностей границ такого построения. Детально изучены способы построения множеств Яоо-ПИД-регуляторов.

5. Все предложенные методы и алгоритмы программно реализованы на персональном компьютере и поэтому представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точек зрения.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

[1] Тремба А. А. Робастное £>-разбиение при ¿р-ограниченных параметрических неопределенностях // АиТ. — 2006. — № 12. — С. 21-36.

[2] Грязина Е. Н., Поляк Б. Т., Тремба А. А. Синтез регуляторов низкого порядаа по критерию Н^: параметрический подход // АиТ. — 2007.— № 3. — С. 94-105.

[3] Грязина Е. Н., Тремба А. А. Параметрический метод синтеза регуляторов по критерию #оо // Сборник докладов П школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами» / ВГАСУ. — Т. 1. — Воронеж: Научная книга, 2007. — С. 79-83.

[4] Тремба А. А. Построение робастного Р-разбиения при вещественных возмущениях параметров, ограниченных в евклидовой норме // Труды ХЬУШ научной конференции Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаменталь-

ных и прикладных наук» / Московский физико-технический институт — Москва-Долгопрудный: 2005.— С 180-182

[5] Тремба А. А. Двумерные области устойчивости эллипсоидального семейства параметрических полиномов // Труды 37 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» / УрО РАН. — Проблемы теоретической и прикладной математики. — Екатеринбург: 2006.-— С. 267-271.

[6] Тремба А А. Робастное £)-разбиение при эллиптической неопределенности // Тезисы докладов IX международного семинара им. Е.С. Пятницкого / ИПУ РАН. — Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. — М.: 2006.— С. 264-266.

[7] Gryazina Е N., Tremba A. A Synthesis of ffoo low-order controllersparameter space approach / / Preprints of 11th International Student Olympiad on Automatic Control — Saint-Petersburg: 2006 — C. 4650.

Подписано в печать 12 02 2008 г Печать трафаретная

Заказ № 66 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56, (499) 788-78-56 www autoreferat.ru

Обозначения

Введение

1 Робастное .О-разбиение для полиномов

1.1. Введение.

1.2. Классическое Д-разбиение

1.3. Непрерывная и дискретная устойчивость.

1.4. Робастное .О-разбиение

1.4.1. Принцип исключения нуля.

1.4.2. Разделяющее множество.

2.2. Аффинное семейство неопределенных полиномов . 26

2.2.1. /^-ограниченные неопределенности.29

2.2.2. Особые случаи.32

2.3. Робастное .О-разбиение для комплексного параметра . . 36

2.4. Примеры .40

2.5. Заключение.42

3 Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н^ 45

3.1. Введение.45

3.2. Постановка задачи.47

3.3. Синтез Яоо-регуляторов низкого порядка.50

3.3.1. Допустимые множества.51

3.3.2. Аналог .О-разбиения.54

3.4. Примеры .58

3.5. Заключение.65

Выводы Литература

Обозначения

М, С — множества вещественных и комплексных чисел. j — мнимая единица j2 = —1. модуль числа х. sign ж — знак числа х Е М.

Мп — пространство n-мерных векторов с вещественными компонентами. Сп — пространство n-мерных векторов с комплексными компонентами, sign ж — вектор с компонентами signa^, где х = ., хп)т Е Мп. X — число, комплексно сопряженное к X Е С, либо дополнение множества X, в зависимости от контекста. х,у) — скалярное произведение векторов из Rn или С", (х,у) = хту. ||ж||р — /p-норма вектора: \\х\\р = (]Г™= 1 \х{\р)р.

-1 !с\ с|| — евклидова норма вектора х Е К?г: ||ж|| = \хг\2) a;||i — 1-норма вектора: ||:r||i = Yli=i \хг\

Ц^Цоо — интервальная норма вектора х Е Кп: ||ж|| = maxi<i<n

Штхп — пространство т х п матриц с вещественными элементами. I — единичная матрица. Т — транспонирование.

Аг(А) — г-е собственное значение матрицы А Е Кпхтг. det А — определитель матрицы А.

8F — граница множества F. clF — замыкание множества F.

F\G — разность множеств F и G. -- «по определению», используется для вводимых обозначений.

Введение

Диссертация посвящена развитию графических методов анализа устойчивости линейных систем с аффинной неопределенностью и методов синтеза параметрических регуляторов, удовлетворяющих критерию Н^ т.е. ограничивающих значение #00-нормы передаточной функции.

Устойчивость системы является базовым, фундаментальным свойством для ее успешного и стабильного функционирования. Для линейной стационарной системы устойчивость определяется корнями ее характеристического полинома.

Поэтому изучение и синтез стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, можно проводить в терминах устойчивости полинома (характеристического).

Если все параметры системы, а значит, и коэффициенты характеристического полинома, известны точно, то, найдя корни полинома и проверив их расположение на комплексной плоскости, можно судить об устойчивости. Полином будем называть устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости для систем непрерывного времени и внутри единичного круга для дискретной системы. Можно проверить устойчивость, не прибегая к вычислению корней полинома, с помощью табличных (А. Гурвиц, Э. Раус, И. Шур, А. Кон) или графических (Ш. Эрмит, Ш. Билер, A.B. Михайлов и Г. Найквист) критериев.

Дальнейшее исследование устойчивости велось в двух направлениях: в первом ставилась задача описания всех регуляторов, стабилизирующих систему, причем эти регуляторы могут быть как произвольные (параметризация Юлы-Кучеры, работы JI.H. Волгина), так и ограниченные параметрическим семейством.

Для параметрического случая оказалась удачной идея разбиения всего пространства параметров на области, внутри которых число устойчивых корней полинома фиксировано. Подобный подход встречался в работах И.А. Вышнеградского, Р. Фрэйзера и В. Дункана, A.A. Соколова, A.A. Андронова и А.Г. Майера, а в 1948-49 гг. Ю.И. Неймарком этот метод был сформулирован в законченном виде и под названием «D-разбиение» вошел в учебники по автоматическому управлению.

Основное применение этот метод нашел для синтеза регуляторов, зависящих от двух параметров, в этом случае .D-разбиение обладает наглядным геометрическим представлением: некоторыми кривыми плоскость параметров разделяется на области. Одна из этих областей соответствует всем стабилизирующим регуляторам.

В западной литературе этот метод применялся в работах Д. Мит-ровича, Д. Шильяка, 3. Лехника, Ш. Бхаттачарии, Ю. Аккермана, Я. Фуджисаки, входя в группу под общим названием parameter space methods.

Недавно многие исследователи вновь обратились к тематике D-разбие-ния, так, были получены новые результаты о его структуре, выделены семейства полиномов (и регуляторов), для которых D-разбиение удается осуществить для большего числа параметров а также изучалось D-разбиение в пространстве матриц (Р. Темпо, Я. Оиши, Б.Т. Поляк, Ю.П. Николаев, П.С. Щербаков, E.H. Грязина).

Вторым направлением было изучение параметрической робастности системы, т.е. анализ, останется ли система (или полином) устойчивой, если некоторые ее параметры неизвестны и принадлежат некоторому множеству. Эти параметры не изменяются во времени и на них часто ссылаются как на «неопределенности». Бурный всплеск работ по робастности вызвала теорема В.Л. Харитонова, в которой показано, что для проверки на устойчивость всего семейства полиномов, коэффициенты которых лежат в некоторых интервалах, достаточно проверить устойчивость всего четырех специальных (впоследствии названных «ха-ритоновскими») полиномов.

Робастные постановки задач систематизированы Я.З. Цыпкиным, Б. Бармишем, Ю.И. Неймарком, Б.Т. Поляком, П.С. Щербаковым, Ш. Бхаттачария, Ю. Аккерманом. Следует отметить отличие такой постановки от задач оценивания и управления в условиях неопределенности (работы H.H. Красовского, А.Б. Куржанского, А.И. Овсеевича, Ф.Л. Черноусько).

Однако в более сложных случаях, таких, как задача об устойчивости аффинного семейства полиномов, аналитическое решение усложняется и важную практическую роль стали играть графические методы, такие, как построение и анализ специальных кривых (напр. годографа Цыпкина-Поляка) или множества значений (value sets). Последней проблемой занимались Ш. Бхаттачария, Б. Бармиш, Б.Т. Поляк, А.Н. Вишняков, Р. Тсмпо, К. Холлот, Д. Хинриксен, Э. Чапеллат и др.

В 1991 г. эти два направления были объединены Б.Т. Поляком и Н.П. Петровым, и была сформулирована и в частных случаях решена задача о синтезе двупараметрических робастных регуляторов.

С точки зрения характеристического полинома с неопределенностями, эта задача об отыскании области на плоскости двух параметров, такой, что для любых допустимых неопределенностях этот полином является устойчивым. От классического .D-разбиения задача отличается наличием ограниченных в некотором множестве дополнительных параметров, и сам метод получил название робастного jD-разбиеиия.

В настоящее время параметрический подход к синтезу регуляторов в условиях неопределенности — активно развивающаяся область в управлении. Повышенный интерес к ней обуславливается большим количеством прикладных задач, требующих простых регуляторов, удовлетворяющих заданным спецификациям и сохраняющих эффективность при неточно известных параметрах, что объясняет актуальность темы диссертации.

Другая задача синтеза регуляторов низкого порядка заключается в нахождении не просто стабилизирующего регулятора, а такого, что замкнутая система удовлетворяет некоторым дополнительным критериям качества. Одним из важным критериев качества является Hqq-критерий, возникающий, помимо прочего, в задаче синтеза робастно стабилизирующих регуляторов для систем с частотной (непараметрической) неопределенностью.

Причина интереса к регуляторам низкого порядка в том, что несмотря на глубокое развитие аналитических теорий синтеза регуляторов, таких как Яоо-теория, ¿i-подход, QFT-yioj\xoд, ¿¿-синтез и др. (Дж. Зеймс, М. Далех, Дж. Пирсон, М. Сафонов, Ш. Бхаттачария, К. Зу, Дж. Дойл, К. Гловер, И. Горовиц) в промышленных приложениях зачастую по-прежнему используются простейшие регуляторы, пропорционально-интегрирующие, пропорционально-интегрирующие-дифференцирующие (ПИД), регуляторы первого порядка и пр. Эти регуляторы просты по своей структуре, их работа основана на понятных физических принципах, что, возможно, и обусловило их популярность и широкую применимость в задачах управления (К. Острем, А. Датта, М. Хо, И.Б. Ядыкин,

В.Я. Ротач).

Цель работы. Главная цель дайной работы заключается в построении и обосновании эффективных графических алгоритмов синтеза стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем с неопределенными параметрами (как непрерывного времени, так и дискретных), на основе анализа характеристического полинома системы. С этой целью требуется распространить метод робастного £>-разбиения на класс аффинных по параметрам полиномов.

Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит описание регуляторов низкого порядка, таких, что замкнутая система удовлетворяет критерию вида Н^ (#оо-норма передаточной функции не превосходит заданного уровня). Графическое представление таких регуляторов в пространстве параметров позволяет эффективно осуществлять их синтез.

Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры, математического анализа, дифференциальной геометрии, теории управления и вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов, касающихся анализа линейных динамических систем с неопределенностью. В частности, рассмотрен класс моделей линейных динамических систем с параметрами, входящими аффинным образом в характеристический полином системы. Использованный для решения задачи метод робастного /^-разбиения расширен со случая неопределенных коэффициентов на случай аффинной параметрической неопределенности с вектором параметров, ограниченным в /р-ыорме. Продемонстрировано применение предложенного метода в синтезе регуляторов низкого порядка для систем с неопределенностью.

Также рассмотрен класс моделей линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, с аддитивной, либо мультипликативной неопределенностью, ограниченной в 7/оо-норме. Предложены численно эффективные алгоритмы построения множеств робастно стабилизирующих регуляторов в двумерном пространстве параметров.

Сформулированы и доказаны теоремы о границах (в пространстве регулируемых параметров) полинома, являющегося робастно устойчивым, и о границах множества параметров регулятора стабилизирующих систему с гарантированным показателем качества. Доказано, что в обоих случаях эти границы параметризуются в явном виде как решение системы алгебраических уравнений (в некоторых случаях это решение найдено в явном виде).

Личный вклад. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Личным вкладом соискателя в совместно опубликованных работах явл5ются доказательства утверждений, разработка алгоритмов и проведение численных экспериментов.

Практическая значимость. Предложенные методы позволяют решать две важные задачи: первая задача — синтез ПИ-, ПИД-регулято-ров, регуляторов первого порядка и других регуляторов низкого порядка, робастно стабилизирующих линейную динамическую систему. Вторая задача — описание всего множества регуляторов заданного вида (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию Н^.

Такие методы важны, поскольку даже если удается пайти аналитическое описание множества регуляторов, решающих ту или иную задачу (например, параметризация Юлы-Кучеры всех оптимальных регуляторов в Яоо-теории), то ее практическое применение сопряжено с трудностями из-за сложности описания и побочных эффектов. Так, было показано, что полученные в рамках Лоо-теории оптимальные регуляторы часто крайне чувствительны к изменениям параметров системы.

Использование же графических методов в пространстве параметров не только позволяет формально описывают все множество требуемых регуляторов, но и дает наглядное представление о них, позволяя, например, легко осуществлять синтез регуляторов, отвечающих сразу нескольким критериям.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XLVIII научная конференция Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2005), 37 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», (Екатеринбург, 2006), 11 международная студенческая олимпиада по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2006), IX международный семинар им. Е.С. Пятницкого (Москва, 2006), XIV международный семинар по динамике и управлению (Звенигород, 2007), II научной школе-семинаре по проблемам управления большими системами (Воронеж, 2007), а также на научных семинарах под руководством проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН), А.П. Курдюкова (ИПУ РАН), Р. Темпо (IEIIT, Турин).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (128 источника), а также содержит 11 рисунков. Общий объем диссертации составляет 67 страниц.

Выводы

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту.

1. Проведен анализ робастной устойчивости систем, обладающих характеристическим полиномом с аффинной параметрической ^-ограниченной неопределенностью, в пространстве двух вещественных параметров или одного комплексного. Анализ основан на обобщении метода робастного /^-разбиения на данный класс неопределенностей. Доказано, что это множество параметров, при которых полипом робастно устойчив, ограничено кривыми, удовлетворяющих параметрической системе двух уравнений не выше второго порядка.

2. На основе анализа характеристического полинома предложен метод описания множества двухпараметрических стабилизирующих регуляторов для линейных непрерывных и дискретных динамических систем с параметрической ^-ограниченной неопределенностью в описании модели.

3. Предложен метод нахождения всех регуляторов заданной структуры, удовлетворяющих Яоо-критерию качества (Яоо-регуляторов), на основе пересечения специальных «допустимых» множеств. Доказано, что для двух регулируемых параметров допустимые множества ограничены кривой второго порядка.

4. Разработан прямой метод нахождения всех Дод-регуляторов заданной структуры, зависящих от двух параметров. Он базируется на графическом методе построения множества параметров таких регуляторов, аналогичных методам робастного 1)-разбиения для характеристического полинома. Использован оригинальный подход к определению особенностей такого построения. Изучены особенности построения множеств Яоо-ПИД-регуляторов.

5. Все предложенные методы и алгоритмы реализованы программно на языке Ма1;1аЬ и представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

3.5. Заключение

В третьей главе предложены два подхода для нахождения множества регуляторов заданной структуры, которые удовлетворяют Я,^-критерию В первом подходе это множество представлено в пространстве параметров как пересечение допустимых множеств, в то время как во втором подходе с помощью идей ^-разбиения можно найти его границу. Оба подхода позволяют получить удобное графическое представление и не требуют трудоемких вычислений. Основное ограничение состоит в том, что рассматриваются только системы с одним входом и од

Рис. 3.9. Допустимы? множества для 7 = 0,66. мим выходом. Тем не менее эти методы работают как в задачах с Н^0-критериями, включающих функции чувствительности, дополнительной чувствительности или чувствительности по входу, так и в задачах стабилизации объекта с частотной неопределенностью. Существенной особенностью предложенных графических методов является возможность одновременного учета нескольких критериев, накладываемых на регулятор, построением пересечения множеств, соответствующих каждому критерию в отдельности.

Вследствие доминирования па практике регуляторов низкого порядка полученные результаты представляют собой важный шаг к использованию регуляторов, удовлетворяющих критерию Н^, в промышленности.

1. Андронов A.A., Майер А.Г. Простые линейные системы с запаздыванием // АиТ. 1946. № 7. С. 95-106.

2. Бендриков Г.А., Теодорчик К.Ф. Траектории корней линейных автоматических систем. М.: Наука, 1964.

3. Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. радио, 1970.

4. Грязина E.H. К теории ^-разбиения // АиТ. 2004. № 12. С. 15-28.

5. Грязина E.H., Тремба A.A. Параметрический метод синтеза регуляторов но критерию Ноо // Сборник докладов II школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами» / ВГАСУ. Т. 1. Воронеж: Научная книга, 2007. С. 79-83.

6. Грязина E.H., Поляк Б. Т., Тремба A.A. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н00: параметрический подход // АиТ. 2007. № 3, С. 93-105.

7. Грязина E.H., Поляк Б. Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // АиТ. 2007, № 12, С. 38-52.

8. Джури Э.И. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.

9. Джури Э.И. Робастность дискретных систем // АиТ. 1990. № 5. С. 3-28.

10. Киселев О.Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Ноо и по критерию максимальной робастности // АиТ. 1999. № 3. С. 119-130.

11. Лузин H.H. Дифференциальное исчисление. М.: Высш. шк., 1960.

12. Неймарк Ю.И. Об определении параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // АиТ. 1948. Т. 9, № 3. С. 190-203.

13. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Ленинград: ЛКВВИА, 1949.

14. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

15. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D-разбиение // АиТ. 1992. № 7. С. 10-18.

16. Несенчук A.A. Анализ и синтез робастных динамических систем на основе корневого подхода. Минск: ОИПИ HAH Беларуси, 2005.

17. Николаев Ю.И. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // АиТ. 2001. № 11. С. 109-120.

18. Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // АиТ. 2002. № 7. С. 44-54.

19. Николаев Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // АиТ. 2004. № 12. С. 49-61.

20. Пет,ров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное D-разбиение // АиТ. 1991. № И. С. 41-53.

21. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // АиТ. 1990. № 9. С. 45-54.

22. Поляк Б. Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных дискретных систем // Доклады АН СССР. 1991. Т. 316. № 4. С. 842-846.

23. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная апериодичность // Доклады РАН. 1994. Т. 335. № 3. С. 304-307.

24. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

25. Поляк Б.Т., Щербаков П. С. Техника D-разбиения при решении линейных матричных неравенств // АиТ. 2006. № 11. С. 159-174.

26. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. М.: МЭИ, 2004.

27. Соколов А.А. Критерий устойчивости линейных систем регулирования с распределенными параметрами и его приложения // Инженерный сборник, под ред. Н.А. Талицких. Москва-Ленинград: Изд-во Академии наук СССР, 1946. Т. II. вып. 2. С. 3-26.

28. Тремба А.А. Робастное D-разбиение при /^-ограниченных параметрических неопределенностях // АиТ. 2006. N2 12. С. 21-36.

29. Тремба А.А. Робастное D-разбиение при эллиптической неопределенности // Тезисы докладов IX международного семинара им. Е.С. Пятницкого / ИПУ РАН. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М.: 2006. С. 264-266.

30. Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.

31. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

32. Ackerrnann J. Robust Control: the Parameter Space Approach. London: Springer, 2002.

33. Ackerrnann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space // Automática. 2003. V. 39. C. 937-943.o

34. Bhattacharyya, S.P., Chapellat, H., Keel, L. Robust Control: the Parametric Approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

35. Bhattacharyya S.P., Tantaris R.N., Keel L.H. Stabilization of discrete-time systems by first-order controllers // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48, No. 5. P. 858-861.

36. Blanchini F., Lepschy A., Miani S., Viaro U. Characterization of PID and lead/lag compensators satisfying given Hoo specifications// IEEE Trans. Automat. Control. 2004. V. 49, No. 5, P. 736-740.

37. Chen J., Fan M.K.H., Nett C.N. Structural singular value and stability of uncertain polynomials, II: a missing link // Syst. Contr. Lett. 1994. V. 23, No. 2. P. 97-109.

38. Datta A., Ho M. T. Bhattacharyya S. P. Structure and Synthesis of PID Controllers. New-York: Springer-Verlag, 2002.

39. Delansky, J.F., Bose, N.K. Real and complex polynomial stability and stability domain construction via network realizability theory // International Journal of Control. 1988. V. 48, No. 3. P. 1343-1349.

40. Delansky, J.F., Bose, N.K. Scliur stability and stability domain construction // International Journal of Control. 1989. V. 49, No. 4. P. 1175-1183.

41. Evans W.R. Control System Dynamics. McGraw-Hill, 1954.

42. Francis B. A Course in H°° Control Theory. Berlin: Springer, 1987.

43. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability for small motions /1 Proc. Royal Society Ser. A. 1929. V. 124. P. 642-654.

44. Fujisaki Y., Oishi Y., Tempo R. A mixed probabilistic/deterministic approach to fixed order Hqq controller design // Proc. of the 45th CDC, 2006. P. 3554-3559.

45. Gryazina E.N., Polyak D.T. Stability regions in the parameter space: ^-decomposition revisited // Automatica. 2006. V. 42, No. 1. P. 13-26.

46. Guvenc L., Ackermann J. Links between the parameter space and frequency domain methods of robust control. // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2001. No. 11. P. 1435-1453.

47. Hinrichsen D., Pritchard A. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation // Syst. Control Lett. 1986. V. 8. P. 105-113.

48. Ho M. T., Synthesis of H^ PID controllers: a parametric approach // Automatica. 2003. V. 39, P. 1069-1075.

49. Ho M. T., Lin C. Y. PID controller design for robust performance // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. Vol. 48, No. 8, P. 14041409.

50. Ho M.-T., Datta A., Dhattacharyya S.P. A new approach to feedback stabilization // Proc. of the 35th CDC, 1996. P. 4643-4648.

51. Ho M.T., Datta A., Bhattacharyya S.P. An elementary derivation of the Routh-Hurwitz criterion // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. V. 43, No. 3. P. 405-409.

52. Horowitz I. Survey on quantitative feedback theory (QFT) // Int. J. Control. 1991. No. 53, P. 255-291.

53. Keel L., Bhattacharyya S. P. Robust, fragile or optimal? // IEEE Transactions on Automatic Control. 1997. V. 42. No. 6. P. 1098-1105.

54. Keel L.H., Rego J.I., Bhattacharyya S. P. A new approach to digital PID design 11 IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48. No. 4. P. 687-692.

55. Keel L. H., Bhattacharyya S. P., Hoo design with first order controllers 11 Proc. 42nd CDC. 2003. P. 2282-2287.

56. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. PID controller synthesis free of analytical models // Proceedings of the 16th IFAC World Congress. Prague, Czech Republic. 2005.

57. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer, 1995.

58. Lehnigk S. H. Stability Theorems for Linear Motions with an Introduction to Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

59. Lin, H., Hollot, C. V. Results on positive pairs of polynomials and their application to the construction of the stability domains // International Journal of Control. 1987. V. 45, No. 3. P. 153.

60. Mitrovic D. Graphical analysis and synthesis of feedback control systems. I Theory and analysis, II - Synthesis, III - Sampleddata feedback control systems / / AIEE Transactions (Application and Industry). 1959. V. 77. P. 476-496.

61. Othental D., Blue P. Mapping of H^ design specifications into parameter space. // Proceedings of the 11th IFAC Symposium on Robust Control Design, Prague. 2000.

62. Panagopoulos H., Astróm K. J., Hágglund T. Design of PID controllers based on constrained optimization // Proc. Amer. Control Conf. 1999. P. 3858-3862.

63. Panagopoulos H., Ástróm K. J. PID control design and H0Q loop shaping //Int. J. Robust and Nonlinear Control. 2000. Vol. 10, No. 15, P. 1249-1261.

64. Polyak B.T. Robust linear algebra and robust aperiodicity / A.Rantzer, C.I.Byrnes (eds.) // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization. Springer, 2003. P. 249-260.

65. Polyak B.T., Scherbakov P.S., Shmulyian S.B. Construction of value set for robustness analysis via circular arithmetic // Int. J. Robust Nonlinear Control. 1994. V. 4. P. 371-385.

66. Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J. C. A formula for computation of the real stability radius // Automatica. 1995. V. 31, No. 6. P. 879-890.

67. Saadaoui K., Ozguler A.B. A new method for the computation of all stabilizing controllers of a given order // International Journal of Control. 2005. V. 78, No. 1. P. 14-28.

68. M. Saeki and K. Aimoto, PID controller optimization for H-infinity control by linear programming, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2000, V. 10, P. 83-99.

69. Saeki M. Fixed structure PID controller design for standard Hœ control problem // Proceedings of the 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic. 2005.

70. Saeki M. Fixed structure PID controller design for standard H-infinity control problem // Automatica, 2006, V. 42, P. 93-100.

71. Schweppe F. Uncertain dynamic systems Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973.

72. Siljak D. Analysis and synthesis of feedback control systems in the parameter plane. I Linear continuous systems, II - Sampled-data systems // AIEE Transactions (Application and Industry). 1964. V. 83. P. 449-466.

73. Siljak D. Generalization of the parameter plane method // IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. AC-11. No. 1. P. 63-70.

74. Siljak D. Nonlinear systems: the parameter analysis and design. New York: Wiley, 1969.

75. Spelta C., Gryazina E. Describing the H-m{-sct in the controller parameters space // Proc. of the European Control Conference, Kos, Greece, July 2-5, 2007, P. 816-823.

76. Soylemez M.T., Munro N., Baki H. Fast calculation of stabilizing PID controllers // Automatica. 2003. V. 39. P. 121-126.

77. Gryazina E. N., Trernba A. A. Synthesis of Hqq low-order controllers: parameter space approach // Preprints of 11th International Student Olympiad on Automatic Control. Saint-Petersburg: 2006. P. 46-50.

78. Vishnegradsky I. Sur la theorie generale des régulateurs // Compt. Rend. Acad. Sci. 1876. V. 83. P. 318-321.

79. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and Optimal Control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.