автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрическое моделирование форм и многообразий объектов на основе теории размерности

На правах рукописи

Бабич Владимир Николаевич

и

V,

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМ И МНОГООБРАЗИЙ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ

Специальность 05 01 01-Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

с 1 163

Екатеринбург - 2007

003071163

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА В УРАЛЬСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АРХИТЕКТУРНО-ХУДОЖЕСТВЕННОЙ АКАДЕМИИ

Научный консультант доктор технических наук, профессор Ротков Сергей Игоревич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Попов Евгений Владимирович

доктор технических наук, профессор Иевлева Ольга Тихоновна

доктор физико-математических наук, профессор Кремлей Александр Гурьевич

Ведущая организация

Уральский государственный политехнический университет (УГТУ-УГЩ)

Защита состоится 15 июня 2007 г в 12 часов на заседании диссертационного совета

Д212 162 04 при Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете по адресу 603950, г Нижний Новгород, ул Ильинская, 65, корп 5, ауд202

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного архитектурно-строитетьного университета

Автореферат разослан 4 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, *

профессор /* В И Дергунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время в стране широко применяются методы инженерной геометрии и компьютерной графики Наблюдается интенсивная разработка новых направлений, подходов, идей В значительной степени это связано с современным развитием ее теоретической базы - начертательной геометрии, которая, выйдя за рамки классических методов, обогатилась новыми объектами, понятиями Особое место здесь занимают методы геометрического моделирования, эта область знаний имеет большое общенаучное и общеобразовательное значение Методы геометрического моделирования позволяют развивать, дополнять и уточнять известные методы, а также строить новые геометрические теории, причем имеет место взаимное обогащение геометрии оригинала и геометрии модели в результате перевода известных фактов одной геометрии на язык другой

В настоящее время методы начертательной геометрии развиваются под непосредственным воздействием запросов практики и находят непосредственное применение в самых различных областях науки и техники Каждый новый этап развития начертательной геометрии (в том числе и в области приложений) сопровождается ее сближением с другими разделами математики, проникновением в нее все более современных идей и методов

Период подъема начертатечьной геометрии связанный с именем Н Ф Четверухина, характеризуется новыми значительными результатами, идеями и методами именно в теоретической области, установлением новых глубоких связей со смежными разделами математики В этот период были разработаны многие новые методы геометрического моделирования (К И Вальков, И С Джапаридзе, и др ), получила дальнейшее развитие многомерная начертательная геометрия (Н В Наумович, В Н Первикова, П В Филиппов и др ), оформилось новое направление начертательной геометрии - нелинейные методы отображений (3 А Скопец, И И Котий, Г С Иванов и др )

Полученные теоретические методы послужили основой для достижения практических результатов в начертательной геометрии

- в прикладной геометрии поверхностей (И И Котов, В Е Михайленко, В А Осипов, А Л Подгорный, В С Полозов, Е В Попов и др ),

- в компьютерной графике и автоматизации процессов проектирования (Ю Л Кетков, М ¡0 Куприков, С А Фролов, С И Ротков, В И Якунин, В В Найханов, Ю И Денискин и др )

В последнее время заметно укрепились связи начертательной геометрии с алгебраической геометрией - с теорией алгебраических линейчатых многообразий (А Л Подгорный), с теорией кремоновых преобразований (Г С Иванов, В А Пеклич), с исчислительной геометрией (В Я Волков, В Ю Юрков)

Проникновение в начертательную геометрию идей и методов теорий групп алгебраической геометрии позволяет значительно расширить спектр используемых теоретических средств В этой связи также актуальной является задача перестройки начертательной геометрии на теоретико-множественной основе Эффективность теоретико-множественного подхода в математике общеизвестна, и к настоящему времени практически все ее разделы подверглись переработке на основе теории множеств

Обратимые отображения, изучаемые в начертательной геометрии, устанавливают связи между геометрическими объектами различной природы и слолсности, позволяют сводить изучение сложных объектов к изучению простых и поэтому широко используются при решении различных геометрических задач Данные и искомые геометрические образы и состояния между ними также трансформируются в другие образы с другими соотношениями, и задача упрощается

Каждое отображение позволяет, однако, решать лишь определенный, сравнительно узкий круг задач Поэтому продолжает оставаться актуальной разработка новых методов геометрического моделирования, исследование новых конструктивных линейных и нелинейных моделей многомерных пространств и нелинейных алгебраических многообразий, в частности, поиск

конструктивных начертательно-геометрических аналогов для многих классических моделей высшей и алгебраической геометрии

В линейных методах многомерной начертательной геометрии наибольший практический интерес представляет сегодня проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных при решении прикладных задач Совершенно не изучены многообразия, порождаемые аппаратом отображения

В настоящее время все большее внимание специалистов по начертательной геометрии привлекают кремоновы (операционные) преобразования Это связано с потребностями, как самой начертательной геометрии (косые и стереографические проецирования алгебраических многообразий 3 А Скопец и др ), так и ее приложений (конструирование поверхностей технических форм Г С Иванов и др ), а также с незавершенностью теории кремоновых преобразований в пространствах высшей размерности, для которой начертательная геометрия поставляет конкретный фактический материал

Весьма перспективным может стать новое направление в начертательной I еометрии на стыке с теорией симметрии и пропорциональности Симметрия в последнее время находит все более широкое применение Для ее потребителей, тяготеющих к общему способу мышления, перевод алгебраических понятий симметрии на наглядный геометрический язык может оказаться очень полезным, особенно в развитии практических методов инженерной геометрии, использования компьютерной графики

Эти направления исследований являются на сегодняшний день наиболее важными для начертательной геометрии в плане ее развития как самостоятеАной теоретической дисциплины и укрепления теоретической базы ее прикладных разделов Решению ряда перечисленных задач и посвящается диссертация

Цель работы. Развитие и совершенствование теоретических средств начертательной геометрии на основе идей и методов современных разделов математики, разработка новых направлений и методов геометрического моделирования, обеспечивающих возможность другого подхода к решению теоретических и практических задач

Поставленная цель требует решения следующих основных задач

- систематизация теоретических основ современной начертательной геометрии, исследование взаимосвязей ее методов с результатами и методами смежных разделов математики, составляющих ее теоретический фундамент,

- изложение теории начертательной геометрии в рамках теоретико-множественного подхода и обоснование преимуществ такого метода при решении задач инженерной геометрии,

- исследование новых конструктивных моделей линейчатых алгебраически* многообразий, выявление свойств, особенностей полученных моделей,

- изучение задач многомерной начертательной геометрии, связанных с кремоновыми многообразиями трехмерного и 4-х мерного пространства, и их практическое использование,

- исследование симметрии и пропорциональности, систематизация результатов при теоретико-множественном подходе в начертательной геометрии

Методика выполнения работы. В целом диссертация выполнена традиционным для инженерной геометрии и компьютерной графики - синтетическим методом Однако там, где это было удобно, использовались методы аналитической геометрии Теоретической базой исследования являлись основополагающие работы

- по проективной геометрии X Штауда, Я Штейнера, НВ Ефимова, НА Глаголева, Н Ф Четверухина и др ученых,

- по исследованиям в аналитической и алгебраической геометрии К А Андреева, Г Дарбу, Г С М Кокстера, П К Рашевского и других отечественных и зарубежных ученых,

- по вопросам геометрического моделирования в начертательной геометрии Н С Джапаридзе, К И Валькова, В А Пеклича и др ученых

Научная новизна В диссертации разработаны основы научных направлений начертательной геометрии на основе методов геометрического моделирования пространств и многообразий различной структуры и различной размерности Научную новизну работы составляют

-основы нового направления начертательной геометрии на стыке с алеброй, т е геометрического моделирования алгебраических систем,

-методы конструирования архитектурных объектов с учетом существующих зданий и сооружений на основе теории симметрии и пропорциональности,

-характеристики рядов на основе обобщенных чисел Фибоначчи и золотых сечений, -идея пересмотра начертательной геометрии на основе теоретико-множественного подхода,

-метод не чиненного преобразования прямых трехмерного пространства, порождаемого парами плоскостей,

-метод нелинейного преобразования пар плоскостей в пространствах высшей размерности,

-алгоритм вычисления характеристик бирациональных соответствий плоскости, основанный на их получении композицией квадратичных соответствий,

-характеристики нелинейных преобразований плоскости с заданными свойствами Практическая ценность Разработана методика застройки центра города с учетом существующих зданий и сооружений, имеющих историческое, культурное, экономическое и социальное значение, которая основана на теории симметрии, пропорциональности, золотого сечения, использования модулей и полученных автором обобщенных рядов Фибоначчи

Предложен единый принцип нахождения геодезических и локальных координат земной поверхности, основанный на операции перехода от геоцентрической системы координат, опре-детяемой с помощью GPS к геодезическим координатам и далее к плоским координатам в системе, принятой для данной территории (СК-2, местная, условная)

Материалы диссертации используются в учебном процессе подготовки, магистров и аспирантов Уральской государственной архитектурно-художественной академии На защиту выносятся

-систематизация теоретических основ современной начертательной геометрии, исследование взаимосвязей ее методов с результатами и методами смежных разделов математики, составляющих ее теоретический фундамент,

-разработка вопросов перестройки начертательной геометрии, как теоретической базы инженерной геометрии и компьютерной графики на теоретико-множественной основе и обоснование преимуществ теоретико-множественного подхода к задачам начертательной геометрии,

-методика конструирования архитектурных объектов на основе теории симметрии и пропорциональности для реконструкции существующих центров городов,

-исследование задач многомерной начертательной геометрии, связанных с кремоновыми преобразованиями трехмерного и четырехмерного пространства,

-исследование конструктивных моделей многомерных неевклидовых пространств и нелинейных алгебраических многообразий для их практического использования,

-разработка новых конструктивных моделей для получения характеристик плоских кривых высших порядков,

-получение характеристик не-шнейных преобразований плоскости с наперед заданными свойствами,

-получение характеристик дополнительных рядов на основе обобщенных чисел Фибоначчи и золотых сечений

Реализация работы Результаты теоретических исследований, полученных в диссертационной работе, используются в Ордена «Знак Почета» Уральском научно-исследовательском и проектно-конструкторском институте Российской академии архитектуры и строительных наук (УРАЛНИИПРОЕКТ РААСН), в федеральном агентстве геодезии и картографии «УРАЛГЕОИНФОРМ» в виде методик, алгоритмов и рекомендаций построения геометриче-

ских моделей, оптимизирующих проектные работы, о чем имеются соответствующие акты внедрения Материалы диссертации используются в учебном процессе Уральской государственной архитектуро-художественной академии. Уральского государственного горного университета на кафедрах «Теория искусств архитектуры и дизайна» и «Инженерная графика))

Материалы представленной докторской диссертации внедрены в учебный процесс Урал-ГАХА при чтении следующих курсов

-методика научного анализа в архитектуре, -теория предпочтительных пропорций, -графоаналитические основы архитектуры, -методика проектного исследования, -актуальные теоретические проблемы архитектуры

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались -на межзональном научно-методическом совещании-семинаре заведующих кафедрами и ведущих лекторов по начертательной геометрии и инженерной графике ВУЗов Волго-Вятской, Центрально-Черноземной и Поволжской зон, (г Йошкар-Ола, 1982),

-на научно-технических конференциях Свердловского горного института (г Свердловск, 1982, 1983гг ),

-на Всесоюзной научно-методической конференции «Научно-методические основы использования ТСО, ЭВМ, и САПР в учебном процессе» (г Москва, 1984г ),

-на совещании-семинаре по алгебраической геометрии, организованной математическим институтом им Стеклова, МГУ, ЯГТШ (г Ярославль, 1984г),

-на Всесоюзной школе-семинаре по алгебраической геометрии (г Яроставль, 1983), -на Московском семинаре по начертательной геометрии (1984), -на Всесоюзном семинаре кибернетики и графики (г Москва, 1984 г ), -на совещании семинаре «Пути совершенствования преподавания инженерно-графических курсов для студентов горных специальностей» (г Орджоникидзе, 1988),

на Всероссийской научно-методической конференции «Актуальные вопросы современной инженерной графики» (Рыбинск, 1995),

-на научно-технической конференции (г Тюмень, 1999)

-на Всероссийской научно-методической конференции «Композиционная подготовка в современном художественном образовании» (Екатеринбург, 2003),

-на конференции «Наука и практика Диалоги нового века» (г Набережные Челны,

2003),

-на Всероссийской научно-методической конференции (г Екатеринбург, 2005), -на V Всероссийской научно-методической конференции «Актуальные вопросы обучения молодежи графическим дисциплинам» (г Рыбинск, 2003),

-на Международной украинско-российской научно-практической конференции, «Современные проблемы геометрического моделирования» (г Харьков, 2005)

Публикации По теме диссертации опубликовано 27 печатных работ общим объемом более 60 п л, среди которых монография, одни справочник, учебное пособие с грифом УМО, 6 статей в изданиях, рекомендуемых ВАКом В них достаточно полно освещены как теоретические, так и прикладные вопросы исследования

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка используемых источников Объем диссертации составляет 254 страницы, включено 69 рисунков, 4 таблиц, приложения, акты внедрения Список литературы составляет 205 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность проблемы, сформулирована цель работы, поставлены задачи исследования и указана последовательность изложения

К разделе 1 «Геометрическое моделирование пространств и многообразий с позиций теории размерности» рассматриваются возможности обобщения и развития классических методов начертательной геометрии и общие методы современной начертательной геометрии - геометрического моделирования

Классическая начертательная геометрия опирается на сравнительно простые математические методы и результаты Теоретический фундамент современной начертательной геометрии составляют многомерная проективная и неевклидова геометрия, линейчатая геометрия, теория групп преобразований, алгебраическая геометрия, в частности, теория бирациональных (кремоновых) преобразований и общие и специальные вопросы геометрии алгебраических многообразий

Начертательная геометрия занимается изучением взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений Основным инвариантом таких отображений является размерность Различным приемам подсчета параметров на примерах неточечных многообразий посвящен второй подраздел Здесь обсуждаются формула объединения множеств, формула размерности декартова произведения, формула пересечения и другие приемы, приведены примеры их применения в решении задач на построение

Рассматривается теоретико-множественный анализ классических методов начертательной геометрии и рассматриваются вытекающие из него различные возможности обобщения и развития классических методов, заключающиеся в замене классического объекта моделирования - трехмерного евклидова пространства - многообразиями любой структуры и размерности (в том числе и негеометрической природы) и замене традиционного метода проецирования обобщенными методами отображения Подчеркивается специфика способа конструирования обратимых отображений в начертательной геометрии - композиция нескольких вспомогательных отображений и получение всевозможных декартовых произведений и их подмножеств Подчеркивается взаимность обогащения геометрии оригинала и модели в результате построения того или иного обратимого отображения, вытекающая из формального равноправия оригинала и модели Рассматриваются аксиоматический, аналитический и конструктивный способы построения моделей и отмечается целесообразность изучения отображений, в которых одинаковые результаты получаются различными конструктивными средствами, и поиска конструкций для отображений, полученных аксиоматически и аналитически

В подразд I I даются общие сведения о математической модели Выделены четыре основных направления обобщений геометрического моделирования

12 3 4

ОБЪЕКТ МОДЕЛЬ НОСИТЕЛЬ МОДЕЛИ АППАРАТ ОТОБРАЖЕНИЯ

1 Моделировать можно не только пространство Яз, но и любые многообразия - поверхности (стереографическая проекция), коники (интерпретация Андреева) и т п

2 Элементами области прибытия (модели) также могут быть совершенно произвольные объекты - пары, тройки и т д точек, прямых, окружности, коники, преобразования и пр

Особенностью начертательной геометрии, выделяющей ее из других разделов математики, является способ конструирования основного обратимого отображения из нескольких вспо-могатезьных - необратимых отображений В связи с этим модель обычно представляет собой декартово произведение или некоторое подмножество декартова произведения, в котором сомножителями являются некоторое множество, размерность которого меньше размерности моделируемого многообразия, и множества различных его подмножеств Отметим, что поскольку с взаимно однозначным отображением связано совершенно равноправное с ним обратное отображение, то и принципе безразлично, что называть оригиналом, а что моделью

3 Моделировать можно не только на плоскости (экране компьютера), но и на поверхности в любом пространстве, т е для конструирования области прибытия отображения может быть выделено многообразие любой структуры, любой размерности и с любыми элементами Примером таких изображений является купольная перспектива, циклография Фидтера и т д

4 Основным способом конструирования вспомогательных необратимых отображений (сумма которых дает затем обратимое отображение), в классических методах начертательной

геометрии является умножение (композиция) проецирований и сечений, а именно, прообраз М1 проецируется на плоскость Мз прямыми связки Мг

Вместо связок прямых в качестве множества Мг можно использовать конгруэнции прямых (косое проецирование плоскостей друг на друга), семейство кривых (криволинейное, винтовое проецирование) Набор многообразий Мг, используемых во всех вспомогательных отображениях, называют проецирующим аппаратом, или аппаратом отображения (иногда под аппаратом отображения понимают правило, по которому сопоставляются образы и прообразы) Например, в циклографии Фидлера проецирующий аппарат М2 представляет собой трехпара-метрическое множество конусов специального квадратичного комплекса с вершинами в проецируемых точках

Дальнейшее обобщение понятия «проецирование» может состоять в отказе от инцидентности проецируемой точки с проецирующей линией Пусть, например, под проецирующим аппаратом Мг будем понимать трехпараметрическое множество окружностей с центрами в точках трехмерного пространства Все проецирующие окружности будут лежать в плоскостях инцидентных прямой и проходить через точку Р, принадлежащую прямой я Точку пространства можно «проецировать» окружностью с центром в этой точке

В подразд 1 2-1 7 представлены взаимно-однозначные и взаимно-обратимые отображения Основным инвариантом таких отображений является размерность Поэтому понятие размерности служит важным рабочим инструментом для начертательной геометрии Здесь рассмотрены различные приемы подсчета размерности многообразий (как числа независимых параметров, от которых зависит элемент многообразия) на примерах неточечных многообразий обычного пространства Рассмагривается формула размерности декартова произведения, аЛсо" = Приведены формучы подсчета размерностей для плоских кривых п-го порядка

п(п + 3) „ 1 ------, а также для поверхностей m-го порядка N = —

П(т+1)

-1, где т - порядок поверх-

2 ' л1.

ности, п - размерность объемлющего пространства Автором получены формулы для определения параметрического числа плоской алгебраической кривой в пространствах различного числа _ „ т(т+ 3) „, „.

измерении Р=—1--+3(п-2), а также число параметров двумерной поверхности ш-мерного

порядка общего вида в п-мерном пространстве, которое равно N =

П{т +i)

-1 +4(п-3)

Вводится понятие определителя элемента т множества М - таких объектов, однозначно определяющих элемент ш, и дается формула dim М = dim О - dim Е, где О - множество определителей всех элементов из М, Е- множество определителей одного элемента из М

Рассмотрены некоторые приемы подсчета размерности многообразий На практике для упрощения и ускорения подсчета размерности пользуются некоторыми специальными приемами, представляющими собой достаточно очевидные разновидности основного способа, состоящего в отображении рассматриваемого множества на эталон

Даны приемы подсчета параметров

- расслоение (факторизация) множества,

- использование уравнений,

- факторизация множества определителей,

- связывание параметров,

- размерность пересечения

Приведены примеры применения этих приемов для формулировки и решения задач Следует отметить, что необходимость сравнивать размерности множеств прообразов и образов возникает при построении любых моделей отображения пространств- различного числа измерений и различной структуры

Подчеркивается специфика способа конструирования обратимых отображений в начертательной геометрии - суммирование нескольких вспомогательных - необратимых отображений, из которых следует существование в начертательной геометрии специфического исследо-

вания всевозможных декартовых произведений и их подмножеств Акцентируется взаимосвязь обогащения геометрии оригинала и модели в результате построения того или иного обратимого отображения, вытекающего из формального равноправия оригинала а модели обобщенных методов начертательной геометрии

Материалы раздела опубликованы в работах [2, 5, 7, 10, 16]

В разделе 2 «Нелинейное моделирование плоских алгебраических кривых» рассматриваются возможности использования конструктивных моделей современной начертательной геометрии применительно к получению характеристик плоских кривых высших порядков

Данный раздел посвящен кремоновым (бирациональным) преобразованиям, которые возникают в трехмерной и многомерной начертательной геометрии в результате косых проецирований плоскости на плоскость, стереографических и косых проецирований алгебраических поверхностей и т п Здесь даются основы теории кречоновых преобразований, даются понятия таких терминов, как порядок преобразования, гомалоид, фундаментальные элементы (Р-элементы) и их кратности, характеристики преобразования, исключительные элементы (р-элементы) и т п Рассматриваются свойства системы гомалоидов (размерность, линейность, свободные пересечения), систем К и Р-элементов

На основе косого проецирования плоскостей друг на друга были получены характеристики плоских кривых высших порядков до 30-го порядка включительно Они характеризуются наличием конечного числа точек, для которых нарушается однозначность Такие точки называются фундаментальными, или /"-точками При этом каждая /"-точка переходит в однопара-метрическое множество точек, образующих алгебраическую кривую, называемую принципиальной (исключительной) кривой, или /»-кривой Для преобразований порядка меньше шести в каждой плоскости (первая плоскость отправления, вторая плоскость - плоскость прибытия) имеется одно и то же число /"-точек, и им соответствуют принципиальные кривые тех же порядков, т е прямое и обратное преобразование устроены в этом смысле совершенно одинаково, а характеристики таких соответствий называются сопряженными Известно, что характеристикой кремонова соответствия называется набор чисел и, 8', где л - порядок преобразования, 8' -число фундаментальных точек кратности у, где (п-1^=1) Однако для преобразований более высокого порядка фундаментальные и принципиальные системы /"-точек и линий прямого и обратного преобразований могут быть различными Каждая у - кратная фундаментальная точка является у - кратной точкой всех гомалоидов, где у определяет порядок соответствующей ей Р-кривой Так как принципиальной кривой q, первой плоскости соответствует во второй плоскости фундаментальная точка /•■/', то образ прямой а плоскости Я есть гомалоид а'-/(а) плоскости П', который пройдет через /У столько раз, сколько раз прообраз а пересекает принципиальную кривую <//

Принципиальная кривая пересекает гомалоид только в фундаментальных точках Принципиальная прямая проходит через две фундаментальные точки, сумма кратностей которых равна порядку преобразования Принципиальная кривая второго порядка проходит через пять фундаментальных точек, сумма кратностей которых равна двум порядкам преобразования

к(к + 3)

Принципиальная кривая к-го порядка проходит через —^- фундаментальных точек различных кратностейу„, являющихся для нее соответственно qn - кратными (/ - кратная точка эквивалентна J(]+l)/2 простым точкам, т к преобразование проходит через данную точкуу раз связывает у плоской кривой_/(/+у/2 степеней свободы) Однако среди кратных фундаментальных точек следует различать обычные и точки касания Обычная у - кратная фундаментальная точка характеризуегся тем, что гомалоиды проходят через нее у-раз В фундаментальной точке касания гомалоиды имеют касание определенного порядка с некоторой кривой Это свойство положено в основу конструирования обводов

Рассмотрим косое проецирование плоскости на плоскость в 3-мерном пространстве Такое проецирование осуществляется с помощью прямых конгруэнции первого порядка класса га В качестве аппарата отображения выбрано двупараметрическое множество линий, образующих

гиперболическую конгруэнцию кг(1, 1) При этом получаем квадратичное бирашональное отображение точек плоскости Я на плоскость ГГ Действительно, произвольная точка А плоскости Я высекает из конгруэнции прямых единственную произвольную прямую, определяемую этой точкой и двумя директрисами тип конгруэнции кг(1, 1) (Рис 1) Если точка А перемещается по прямой я, инцидентной плоскости Я, то проецирующие лучи, пересекающие три скрещивающиеся прямые а, т, л, образуют полуквадрику, которая на плоскости Я' высекает конику (а)2, соответственную прямой а Соответствие между плоскостями Я и ГГ в целом взаимно однозначное Однако существуют элементы, для которых однозначность нарушается Такими элементами будут

1~1=тПП, Рг=иПЯ, Я

Р,'=тГЛ\ Г/=лПЯ, Р^Р^ПП'

Действительно, точку Р/ в отличие от точки А общего положения косо проецируется не одна прямая к,(1, 1), а однопараметрическое множество, образующее пучок с вершиной в точке /У Поэтому точке Р/ соответствует прямая Рг'Рз' пересечения плоскости пучка прямых (Р,) с плоскостью ГГ Точка также будет высекать из прямых конгруэнции к,(1, 1) пучок прямых, определяемых точкой Р2 (вершиной пучка) и прямой т Следовательно, точке Рг плоскости Я в данном отражении будет соответствовать принципиальная прямая, проходящая через точки Р/', Рз\ которые являются фундаментальными точками плоскости Я Третьей фундаментальной точкой Рз такого соответствия является точка пересечения прямой Р/Р/ с плоскостью Я Действительно, эта точка будет проецироваться единственной прямой конгруэнции к,(1, 1), но она вся лежит в плоскости Я, и точка ее пересечения с плоскостью Я будет фундаментальной точкой Р3 плоскость Я Таким образом, фундаментальные точки Р1, Рплоскости Я будут проецироваться в принципиальные прямые <//, г//, образующие фундаментальный треугольник с вершинами /V, /"У, РУ, которые являются фундаментальными точками плоскости Я' для данного отображения Таким образом, появление фундаментальных точек Р1, Рг, Рз порождается неоднозначностью проецирования, а точка Р3 - неоднозначностью сечения Гомалоид а'=/(а) с ГГ - косая проекция прямой (прообраза) а проходит через все три фундаментальные точки Р{, Рг, Рз' плоскости Я' Рассмотрим композиции косых проецирований прямыми к,(1, 1) птоско-сти на плоскость для случаев

- директрисы конгруэнций последующего отображения выбираются произвольно, т е не инцидентны в промежуточной плоскости фундаментальными точками предыдущего отображения,

- одна из директрис конгруэнции последующего отображения проходит в промежуточной плоскости через фундаментальную точку различной кратности последующего отображения

Рассмотрим отображение/^, устанавливающее соответствие между плоскостями Я и ГГ, которое осуществим косым проецированием с помощью кг(1, 1) (рис 2)

При таком отображении плоскости ГГ на П" гомалоиды (коники) отображения /}, являющиеся для отображения /2 прообразами, проецирующиеся в кривые четвертого порядка плоскости П", проходящие дважды через фундаментальные точки отображенияи по одному разу через косые проекции фундаментальных точек отображения //' во втором отображении /г Для определения кратности фундаментальной точки на гомалоиде надо определить, сколько раз в предыдущем поле принципиальная прямая, соответственная этой точке, пересекает прообраз, соответственно сколько раз его образ будет проходить через фундаментальную точку Таким образом, в результате композиции двух рассмотренных отображений устанавливается между плоскостями П, П" соответствие четвертого порядка со следующей характеристикой 4, З2, 31 При последующем отображении/з плоскости П" на П'" гомалоиды (кривые четвертого порядка) отображения/2, являющиеся для отображения /з прообразами, переходят в кривые восьмого порядка плоскости ГГ", проходящие четырежды через фундаментальные точки обратного отображения //' (кратность этих фундаментальных точек на гомалоиде а'" определяется числом свободных пересечений принципиальных прямых отображения/¡, с прообразом - кривой четвертого порядка а" плоскости П"), дважды через проекции ^-точек отображения/{' и по одному разу через косые проекции фундаментальных точек отображения /{' Следовательно, результирующее соответствие как композиции отображений/3/2/1 имеет характеристику 8, З4, З2, З1

Индукцией можно легко показать, что композиция п отображений/„ У?//, если в промежуточных плоскостях /-"-системы имеют общее положение, имеет следующую характеристику Г, 32("-'\ , З2, З1

Рассмотрим композицию косых отображений (рис 3), когда одна из директрис конгруэнции последующего отображения/„ проходит через одну фундаментальную точку предыдущего отображения, т е директриса конгруэнции первого отображения пересекает директрису п2

отображения проходит через Р-точку предыдущего отображения

Такая композиция отображений fifi устанавливает, в отличие от рассмотренного выше, соответствие меньшего порядка между плоскостями П и 77" Гомалоид а", принадлежащий плоскости 77", есть косая проекция коники а' плоскости IT и проходит через все фундаментальные точки композиции отображений fi Он распадается на принципиальную прямую, соответствующую фундаментальной точке отображения//', инцидентной точке а' Остаток гомалоида а" - кривая третьего порядка, соответственная в отображении /г оставшимся точкам кривая третьего порядка плоскости Я" в композиции отображений/г//

Фундаментальная система плоскости 77" будет состоять из одной двукратной фундаментальной и четырех простых фундаментальных точек Две простые фундаментальные точки последовательно проецируются из плоскости 77 в плоскость П" Кратность оставшихся фундаментальных точек вычисляется числом свободных пересечений соответствующих принципиальных прямых с гомалоидом (коникой) плоскость IT Полученное отображение f¡f¡ имеет порядок три и характеристику 3, I2, 41

Рассмотрим характеристику следующей композиции f¡fifi В этом случае одну из фундаментальных точек отображения/j совместим с простой фундаментальной точкой предыдущего отображения f¡ в плоскости 77" и получим соответствие пятого порядка Это следует из того, что квадратичные отображения f¡ переводят кривую третьего порядка (гомалоид плоскости 77") в кривую шестого порядка - гомалоид плоскости 77"', распавшуюся на прямую, соответственную фундаментальной точке плоскости 77", инцидентной кривой третьего порядка, и остаток -кривую пятого порядка, которая и определяет порядок этого отображения Композиции таких отображений f¡fifi имеет следующую характеристику 5, I3, З2, З1

По индукции можно показать, что с помощью композиции таких отображений /т, , f2f¡ получается результирующее отображение с характеристикой 2m+l, {12т~\ (2m-lf, З1}

В случае необходимости получения отображений четного порядка с той же характеристикой необходимо строить композицию отображений к,(1,1) по ранее рассмотренной схеме

Индукцией можно показать, что с помощью композиции и таких отображений/,, ,/:/; получается отображение с характеристикой 2п, {12"~2, (2п-2)\ З1}

В подразд 2 2 рассмотрены нелинейные методы отображения в л-мерном пространстве Для установления однозначного отображения плоскостей друг на друга в я-мерном проективном пространстве рассмотрим предварительно их косые отображения друг на друга в 4-х мерном проективном пространстве Это можно осуществить с помощью конструкции, аналогичной установлению соответствия между двумя плоскостями 3-х черного пространства с помощью конгруэнции kr(l, 1) При таком отображении плоскостей друг на друга надо задать такой аппарат проецирования, который произвольной точке плоскости П однозначно ставит в соответствие определенную точку плоскости IT Известно, что две плоскости, лежащие в четырехмерном пространстве, в общем случае пересекаются в точке Следовательно, проецирующими образами в этом случае должны быть двумерные плоскости Проецирующую двумерную плоскость зададим соответственными прямыми Я/, аг двух плоскостей a¡ и a¡ общего положения, имеющих общую точку Q (рис 4)

друг на друга в четырехмерном пространстве

Эти соответственные прямые at и определяются однозначно пересечением двух трехмерных плоскостей, которые определяются натягиванием пространств на плоскости at, а2 и произвольную точку А, инцидентную плоскости П Две гиперплоскости в пересечении дают искомую проецирующую плоскость я/; которая пересекается с at] по прямой а; з Q Следовательно, в плоскостях а; и а; имеем две соответственные прямые at, «г, которые однозначно определяют проецирующую плоскость

Подразд 2 3 посвящен разработке алгоритма для автоматизации счета характеристик плоских кривых высших порядков Определение характеристик связано с громоздкими вычислениями, трудоемкость которых резко возрастает с увеличением порядка соответствия (таблица 1)

Таблица 1

Порядок Число характеристик Порядок Число характеристик

2 1

3 1 17 102

4 2 18 152

5 3 19 171

6 4 20 242

7 5 21 286

8 9 22 380

9 10 23 438

10 17 24 617

11 19 25 675

12 29 26 912

13 34 27 1080

14 51 28 1395

15 63 29 1553

16 88 30 2105

Характеристики бирациональных преобразований были впервые получены следующими

авторами

Огетопа до 10-го порядка 1865 г

Мотезапо 11-й порядок 1903 г

.Гопцшеге 12-13 порядки 1988 г

Ьапэе 14-15 порядки (нечетные) 1908 г

Мошезапо 14-15 порядки (дополненные) 1911 г

ТитшагеПо 14-15 порядки (дополненные) 1914 г

Млодзиевский до 21-го порядка 1922 г

Бабич до 27-го порядка 1985 г

Бабич до 30-го порядка 2004 г

Как известно, на основании теоремы Нетер-Кастельнуово любое бирациональное преобразование плоскости можно представить как композицию квадратичных преобразований Другими словами, множество квадратичных преобразований плоскости является системой образующих группы бирациональных автоморфизмов плоскости Такой алгоритм вычисления бирациональных соответствий плоскости с помощью ПК основан на их представлении в виде композиции квадратичных отображений, рассмотренных ранее Он характеризуется наглядностью и основан на методе нелинейной начертательной геометрии в отличие от алгоритма, основанного на решении системы уравнений существования Заметим, что вышеназванные авторы использовали именно этот алгоритм, основанный на решении систем уравнений существования Пусть (У=Т{) - отображение порядка я является произведением отображения Т порядка т и квадратичного отображения (2 Отображение Сбудем называть результирующим, отображение Т - исходным, а отображение 2 - генерирующим Это означает, что исходное отображение Т переводит прямые в кривые порядка т, проходящие /-раз через каждую из сг„ фундаментальных точек кратности Ы в отображения Т При этом условимся считать, что характеристика исходного отображения Т была получена тем же способом, а именно, композицией квадратичных отображений

Отображение ¡2 в общем случае переводит эти кривые - гомалоиды Г-отображения {Т -гомалоиды) в кривые порядка 2/п-гомалоиды Г-отображения ^(^-гомалоиды) Таким образом, порядок п результирующего отображения IV в общем случае равен 2т Однако в случае совпадения фундаментальных точек генерирующего отображения £2 с фундаментальными точками отображения Т1, тес кратными /•'-точками Г-гомалоидов, порядок результирующего отображения будет понижаться

В самом деле, генерирующее отображение переводит эти К-точки в считаемые 1-раз принципиальные прямые, которые явтяются составными компонентами ^Г-гомалоида и, как следствие, понижают его порядок Следовательно, если три фундаментальные точки генерирующего отображения совместить с фундаментальными точками Г-гомалоидои кратностей ¡¡, '2, О, то порядок результирующего отображения УУ будет равен Для удобства фор-

мально дополним фундаментальную систему обратного отображения Г "'тремя фундаментальными точками кратности ноль

По предложенному алгоритму поучаются все отображения плоскости, которые также включают в себя повторные случаи получения резупьтирующих отображений IV искомых характеристик В предложенной программе предусмотрено исключение повторяющихся характеристик (многократные вычисления одчих и тех же характеристик выполняются вследствие формального подхода к их счету)

Полученные характеристики бирациональных соответствий плоскости совпадают с характеристиками до 16 порядка, проведенными в известной монографии X Хадсон, что дает основание считать предложенный алгоритм корректным

В подразд 2 4 рассматривается конструирование нелинейных преобразований плоскости с наперед заданными характеристиками

В бирациональном преобразовании образом сети прямых плоскости П на плоскость ГГ является первая гомалоидальная сеть преобразования Тф-с^+с^+^^з Прямым плоскости П соответствует вторая гомалоидальная сеть (Г) на ГГ Кривые/и/ называются гомалоидами По определению, каждая кривая однозначно соответствует прямой другой плоскости и поэтому является рациональной кривой Как известно, все гомалоиды должны быть рациональными кривыми Гомалоидная сеть приобретает эти свойства благодаря наличию фундаментальной системы В связи с этим каждая фундаментальная точка имеет три основные характеристики постулирование Р, эквивалентность Е, понижение жанра К

1 Преобразование с характеристикой типа п, {Г1, (2п-2)'} называется жонкьеровским [1, 2] и обозначается 7} Оно существует для всех значений я, имеет одну фундаментальную точку максимальной кратности (п-1), (2п-2) простых фундаментальных точек и преобразует сеть прямых одной плоскости в сеть кривых с (п-1) - кратной точкой (моноидами), а кратная точка - ее вершиной Кратной фундаментальной точке соответствует Р-моноид, а простым фундаментальным точкам - принципиальные прямые, инцидентные вершине моноида

Исследуем фундаментальную систему характеристик бирациональных преобразований плоскости, имеющих фундаментальную точку кратности (п-2) Преобразование Т„ порядка, имеющие одну (п-2) - кратную фундаментальную точку, может содержать у - простых и х -двукратных точек Трехкратных точек и фундаментальных точек высших кратностей быть не может по геометрическому определению кривой, т к произвольная прямая в общем случае пересекает кривую и-го порядка в «-точках Для получения характеристики п,{1^2>, х2, у'} используем свойства фундаментальной системы этой гомалоидальной сети Множество гомалои-дов образует сеть (двупараметрическое множество прямых переходит в двупараметрическое множество гомалоидов, при этом следует помнить, что требование проходить через данную точку (-раз связывает у плоской кривой 1(1+1)/2 степеней свободы) Сеть называется линейной, есчи произвольная точка выделяет из нее пучок первого порядка, т е через две точки М'Ы' общего положения проходят один гомалоид, а именно, образ прямой МЫ, где М=/'(М'), Ы^'(Ы')

Два гомалоида пересекаются только в одной свободной точке, а именно, образе точки пересечения прямых - прообразов Поскольку две кривые /1-го порядка пересекаются в п2 точках, а в их общей кратной точке они имеют/ пересечений, то

£/2огп!-1 (1)

где п - порядок преобразования сг, - число фундаментальных точек кратности < Числа л, I, сг, удовлетворяют также еще одному уравнению

Яо=Зп-3 (2)

Все гомалоиды есть кривые нулевого жанра, и каждая фундаментальная точка имеет три характеристики

- постулирование есть число Р

Р=ф+1)/2 (3)

определяющее количество параметров гомалоида, заряженных в этой 1-кратной фундаментальной точке Суммарное конструирование всех фундаментальных точек гомалоида равно п(п+3)/2-2, т е для построения гомалоида надо построить всего две точки,

- эквивалентность есть число Е=12 независимых условий, относящих ее к сети, или, другими словами, из (п2-1) точек пересечения двух любых гомалоидов, приходящихся на все фундаментальные точки на »-кратную точку приходится i2 пересечений,

- понижение жанра есть число К

2

которое делает гомалоид рациональной кривой Гомалоид может иметь кратные точки только в фундаментальных точках, которые эквивалентны >(1-1)/2 двойным точкам В сумме они составляют (п-1)(п-2)/2 двойных точек Из указанного свойства постулирования всех фундаментальных точек параметрическому числу гомолоида можно записать

п(п+3)/2-2=(п-1)(п-2)/2+Зх+у

где п(п+3)/2-2 - количество параметров, определяющих Сточки гомалоидной сети, п(п+3)/2 - количество параметров, определяющих плоскую кривую л-го порядка, (п-1)(п-2)/2 -количество параметров, определяющих (п-2) - кратную Сточку гомалоидной сети/, ф-1)/2 -количество параметров, определяющих двойную /■'-точку гомалоидной сети / На основании полученных данных имеем

6х+2у-6п+6=0 (5)

Используя свойство эквивалентности /"-точек Е=12, которое заключается в том, что число независимых условий, приходящихся на фундаментальную систему, равно (п2-1) - числу точек пересечения двух гомалоидов

п-1=(п2-2)2+Гх+у

или

4хЛу-4п+5=0 (б)

Решая систему уравнений (5), (6), получаем к-п-2, у=3

Таким образом, бирациональное преобразование плоскости и-го порядка с (п-2) - кратной Сточкой будет содержать (п-2) - двукратных и три простых /Сточек, т е имеет характеристику п, {Г2, (п-2)2, З1}

К полученной характеристике можно прийти также в результате понижения жанра /?, которое делает гомалоид рациональной кривой Известно, что гомалоид может иметь кратные точки только в ^-точках, которые эквивалентны I(¡-2)/2 двойным точкам Тогда должно быть справедливо стедующее равенство

(п-1)(п-2)/2=(п-2)(п-3)/2+(п-2)

Рассмотрим некоторые характеристики бирациональных преобразований плоскости л-го порядка, имеющих одну (п-3) - кратную /''-точку, т е преобразование с характеристикой типа

Т„(Г\ х\у2.

Известно, что сеть гомалоидов рассматриваемого преобразования должна удовлетворять трем основным свойствам

- она линейна и имеет размерность два, при этом требование прохождения гомалоида через данную /г-точку 1-раз связывает у кривой I(1+1) степеней свободы, следовательно,

£Р=Щ,+1)а/2 (7)

- два произвольных гомалоида данной сети (/) пересекаются только в одной свободной точке Таким образом, имеем

£Е=Я2огп2

(8)

- все гомалоиды должны быть кривыми нулевого жанра

сг/2-(п-1)9п-2)/2 (9)

Из условия равенства понижений жанров всех F-точек следует, что нал;5 иуг приходится

(п-1)(п-2)/2-(п-3\(п-4)/2=2п-5 (10)

двойных точек,

(п-3)(п-4)/2 - число двойных точек, эквивалентных (п-3) - кратной F-точке

(2п-5) - число параметров данной сети, находящихся в трех- и двукратных /"-точках, понижающих жанр сети до нуля

Предположим, что исследуемое преобразование не имеет двойных F-точек Тогда число (2п-5) равно суммарному понижению жанров только трехкратных /"-точек С учетом того, что трехкратная /"-точка эквивалентна в смысле понижения жанра трем двукратным /"-точкам, получаем число трехкратных F-точек, равное (2п-5)/3

На основании равенства суммы эквивалентностей всех /"-точек числу (п2-1) можно записать следующее уравнение

п2-1=(п-3)г+[(2п-5)/313!Н (11)

где г - число простых F-точек данного преобразования, эквивалентное количеству параметров простых F-точек данного преобразования

¡(2n-5)/3]32 - число независимых условий гомалоидной кривой, эквивалентных трехкратным /"-точкам данного преобразования

Как известно, суммарное постулирование всех F-точек гомолоида равно п(п+3)/2-2, а постулирование одной /-кратной F-точки равно i(i+l)/2 имеет уравнение

п(п+3)/2-2=(п-3) (п-2)/2+(2п-5) 6/3+z. (12)

где (п-3)(п-2)'2 - число параметров гомалоида, заданных в (п-3) кратной F-точке, 2(2п-5) - число параметров гомалоида, заданных в трехкратных F-точках В результате преобразования имеем

п(п+3)-4=(п-3)(п-2)+4(2п-5)+2г или z=5 (13)

Следовательно, имеет место следующая характеристика

п, {Г l(2n-5)3f , 51) (14)

Материалы раздела опубликованы в работах [7, 8, 9, 10, 17, 21, 22, 25, 26]

Раздеп 3 «Принципы инвариантности» В настоящее время классическое учение о пропорциональности и симметрии обогатилось новыми раздетами, такими, как антисимметрия, цветная симметрия, симметрия многомерных пространств итд Расширилось и углубилось использование методов теории симметрии и пропорциональности в архитектуре и других многочисленных ответвлениях Метод симметрии приобрел философское значение и стал одним из наиболее общих и эффективных методов теоретического исследования в современном позна-

нии вообще Столь общее значение пропорциональности и симметрии определяется их способностью выявлять инварианты преобразований, описывать внутреннюю структуру материальных и идеальных систем - объектов научного и художественного исследования

В этом разделе дается современное понятие симметрии Отмечено, что пощггие симметрии содержит два противоречивых момента преобразования (изменения) и сохранения (инварианта) Теория симметрии предусматривает, что все преобразования совершаются на уровне элементов, эквивалентных в том или ином отношении Сохраняется же целое, совокупность элементов и их структурных связей, образующих целостную систему

Различное выделение структурных подуровней у одного и того же объекта приводит к различному определению его групп симметрии

Обобщенный подход к теории симметрии пропорциональности позволил, например, включить в рассмотрение объекты содержательного искусства Изложена схема теории расширений, позволяющая получать новые группы симметрии на базе уже известных групп Даны предельные группы цветной симметрии Получены расширенные ряды чисел Фибоначчи

В подразд 3 1 «Обобщенное золотое сечение» рассматривается золотое сечение и гармоническая пропорция Это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей Свойства зочотого сечения описываются уравнением

х2-х-1=0 (15)

\+S

Решение этого уравнения г,, = —-—

Одним из достижений в геометрии является открытие чисел Фибоначчи Ряд Фибоначчи (О, 1, 1,2, 3, 5, 8, ) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16, на первый взгляд совершенно разные Однако алгоритмы их построение весьма похожи друг на друга в первом случае каждое число есть сумма двух предыдущих чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, во втором - это сумма предыдущего числа с самим собой - 2=1 + 1, 4=2+2, 8=4+4, Следовательно, можно отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи, и новые числовые множества, обладающие подобными свойствами Рассмотрим числовой ряд, S+1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстающего от предыдущего на S шагов Если я-й член этого ряда обозначим через fS(nто получим общую формулу

fS(n)=fS(n-l)+fS(n-S-l) (16)

Таблица 2 характеристик таких рядов f,(n)~f(n-l)+f(n-S-l), составленная автором, приводится ниже

Табл 2 Расширенные ряды чисел Фибоначчи

S 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 4 8 16 32 64

1 1 1 2 3 5 8 13

2 1 2 2 3 5 7 10

3 1 3 4 4 5 8 12

4 1 4 6 7 7 8 12

5 1 5 8 10 11 11 12

6 1 6 10 13 15 16 16

7 1 7 12 16 19 21 22

8 1 8 14 19 23 26 28

9 1 9 16 22 27 31 34

10 1 10 18 25 31 36 40

11 1 11 20 28 35 41 46

12 1 12 22 31 39 46 52

13 1 13 24 34 43 51 58

Очевидно, что при S-0 из этой формулы получим «двоичный» ряд, при S=1 - ряд Фибоначчи, при 5=2, 3, 4, новые ряды чисел, которые также можно назвать числами Фибоначчи

В общем виде золотая ^-пропорция есть положительный корень уравнения золотого сечения 5-сечения

xS+I-xS-I=0

В подразд 3 2 дается общая теория симметрии на плоскости

Предположим, что рассматриваются отражения от двух зеркал Чтобы отличить их, введем индексы обозначим одну плоскость симметрии т: а другую т2 Записав равенство r=m2 nti, где знак умножения означает «выполняемое вслед за», т е когда две плоскости симметрии пересекаются, возникает поворотная симметрия Операция т2 mi называется произведением отражений mi и т2 Следует обратить внимание на то, что сомножители в произведении следует читать справа налево

Две операции симметрии считаются совпадающими, если, действуя на любой образ, они приводят к одному и тому же результату

Пусть прямые /п/ и т2 обозначают плоскости симметрии (рис 5) Помещаем образ около одной из них и обозначим его буквой а Отразив этот образ от плоскости т(, попучаем второй образ (мотив) Ь Затем, последоватечьно отразив от т2 получим мотив с Таким образом, получили с и а при помощи операции двух отражений т2 mi Однако из а в с можно было бы перейти, совершив поворот вокруг оси, совпадающей с линией пересечения плоскостей симметрии Ж/ и т2 Именно в этом смысле и надлежит понимать равенство т2 mi- г

т/ ' ^Шз

Рис 5 Операции симметрии, порождаемые плоскостями гаг и п\1

Операции симметрии подчиняются законам таблицы умножения, т е действия над операциями можно производить почти так же, как если бы они были числами

Во-первых, произведение (результатом последовательного выполнения) любых двух операций симметрии для произвольно выбранной фигуры всегда совпадает с некоторой третьей операцией симметрии этой фигуры

Во-вторых, произведение операций симметрии ассоциативно, т е для любых трех операций симметрии т, п пр должно выполняться равенство (т п) р-т (п р) Этим же свойством обладает и умножение вещественных чисел, для которого (ху) (у г)

В-третьих, существует операция симметрии, играющая роль числа 1 Это тождественная операция, обозначаемая оставляющая на месте все точки фигуры Следовательно, для любой операции симметрии п справедлива цепочка равенств I п—п I=п

Наконец, если п - произвольная операция симметрии, то ее можно либо выполнить, либо уничтожить ее действие Операция обратная операции п обозначается п' Таким образом, для прямой и обратной операции выполняется равенство п'-п=1 и п п'-г Аналогичные алгебраическому тождеству х(-1/х)=1, где 1/х=х~'(х 0)

Произведение операций не всегда коммутативны, т к существен порядок, в котором выполняются операции, те Ш2 /к,, и /я/ т2 (рис 6) Это повороты на один и тот же угол, но один поворот выполняется по часовой стрелке, а другой против нее Это возникает из-за последовательности выполнения операций (рис 1, 2) Угол между плоскостями симметрии составляет 60", и последовательное отражение от плоскостей порождает поворот на 120° и на -120° (поворот на угол -120° - это то же самое, что и поворот на угол +240°) Достроим любой из предыдущих рисунков (рис 7) Теперь имеем шесть операций симметрии и шесть образов Каждый образ показывает, во что соответствующая операция переводит исходный образ а Можно установить несколько новых алгебраических соотношений между операциями симметрии Например, если начать с образа а, то операция г г переведет его в образ е, а операция г* совпадает с тождественной операцией < Операция г Ш1 переводит образ а в образ г/ Однако операция т; г переводит образ а в образ / Таким образом, система симметрии состоит из шести операций симметрии, каждому образу соответствует одна операция

Рис б Операции симметрии, порождаемые плоскостями Ш[ и Ш2

Известно, что покрыть плоскость без пробелов и кратных покрытий можно правильными шестиугольниками, квадратами, треугольниками, прямоугольниками и параллелограммами и что основой каждого плоского узора служит один из названных многоугольников Связь между теорией групп и задачей о покрытии плоскости можно понять, если рассмотреть решение, где к=6, т=2 уравнения 1/к+1/Х+1/т=1, и соответствующий плоский узор, который получа-

ется при покрытии плоскости правильными шестиугольниками

Оси симметрии 6-го порядка пронзают центры шестиугольников Оси симметрии 3-го порядка проходят через вершины шестиугольников, причем каждая ось связывает три шестиугольника, сходящихся в каждой точке Оси симметрии 2-го порядка проходят через середины общих сторон всех пар смежных шестиугольников

Таким образом, повороты вокруг осей 2-го порядка являются произведениями поворотов вокруг осей 6-го и 3-го порядка Если уложить правильные шестиугольники так, чтобы каждая вершина принадлежала одновременно трем шестиугольникам, то у шестиугольника появятся общие стороны, и тем самым «порождаются» оси симметрии 2-го порядка

Следовательно, решение 4, 4, 2, соответствует покрытию плоскими квадратами Однако это соотношение описывает лишь поворотную симметрию плоских узоров Кроме этого, плоскости, покрытые многогранниками, обладают и всеми симметриями относительно отражений тек многоугольных «плиток», которыми они выложены Чтобы перейти от узора с поворотной

симметрией (б, 3, 2) к симметрии пола, выложенного шестиугольными плитками, необходимо пополнить группу поворотов зеркальньсми отражениями и скользящими отражениями

Скользящим отражением называют операцию 1/2 < т, где (- трансляция, а т - отражение от плоскости, параллельной направлению трансляции Ясно, что (1/24-т)2=г

Теория групп позволяет описывать не только плоские узоры Правильные многогранники аналогичны плоскостям, покрытым многоугольниками Например, все грани правильного многогранника представляют собой тождественные по форме правильные многоугольники (т е равны), например, квадраты или равносторонние треугольники Все грани должны быть конгруэнтными правильными многоугольниками, т е ребра должны иметь одинаковую длину, а все другие углы должны быть равными Кроме того, в каждой вершине правильного многоугольника должно сходится одно и то же чисто граней

Всего имеется пять правильных многогранников, которые называют телами Платона тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр

Материалы раздела опубликованы в [1, 4, 12, 18, 27]

Разде7 4 «Геометрия и архитектура» посвящен методике конструирования архитектурных форм с учетом пропорций и симметрии В настоящее время проблема реконструкции центров городов во всем мире выходит на передний план в связи с требованиями сегодняшнего дня и стремлением сохранить культурные и архитектурные памятники человечества Таким образом, задача совмещения «современности» и «старины» становится весьма актуальной Бурное развитие строительных технологий и строительных материалов позволяет практически получать любые геометрические формы зданий и сооружений, которые должны находиться в гармонии с окружающей средой, тес существующими памятниками архитектуры и культуры города Сте-довательно, необходимо учитывать величины модулей существующих «опорных» зданий и сооружений с учетом их пропорциональностей и различных видов симметрии Причем при проектировании нового здания нельзя рассматривать его отдельно от комплекса окружающих зданий, т к необходимо учитывать подчинение (иерархию) всех сооружений, входящих в рассматриваемый комплекс, какой-либо идее

В подразд 4 I рассматриваются методы координатных пространственных определений объектов, основанные на использовании искусственных спутников Земли, системы которых позволяют выполнять глобальное позиционирование Внедрение спутниковых систем, обладающих высокой точностью определений, автономностью, всепогодностью, высокой производительностью, практически произвело революцию в области геодезических методов определения координат Они успешно конкурируют с известными традиционными методами, постепенно вытесняя их Спутниковые Системы Глобального Позиционирования НАУБТА!*-СРЭ и ГЛОНАСС впервые позволили решать задачу координатных определений в любой точке Земли с заданной точностью и в любое время За двадцать лет существования спутниковых систем точность определения координат повысилась от десятков метров до первых миллиметров, вес аппаратуры снизился от десятков килограммов до величин менее 1 кг

Определение координат пунктов производится в прямоугольной геоцентрической системе с началом в центре масс Земли, связь между известными координатами спутника в момент измерений Хс, У„ Хс и координатами определяемого пункта Хр, Ур, Хг реализуется стедующим образом

э2 = (хс - хР) + (Ус - уР) + <гс- г„) + с 5,

где О - расстояние между спутником и определяемым пунктом,

с- скорость света, б-поправка часов

Если измерить расстояния до четырех спутников и решить систему уравнений можно получить искомые координаты пункта

Работа спутниковых систем обеспечивается использованием оборудования, созданного по самым высоким технологиям, тогда как фундаментальные принципы построения системы, с точки зрения позиционирования объектов, в целом довольно просты Они основаны на следующих положениях

-координаты пункта на земной поверхности вычисляются по измеренному расстоянию пункт - спутник,

-для однозначного определения координат пункта необходимо измерить расстояние до четырех спутников,

-расстояние до спутника определяется путем измерения времени прохождения радиосигнала спутник - приемник, ^

-время прохождения сигнала спутника определяется по задержке принятого кода относительно кода, сформированного приемником,

-аппаратура спутников и приемников генерирует одинаковые коды в одни и те же моменты времени, ч

-спутники выполняют точный отсчет времени (атомные часы), приемники в точных часах не нуждаются

Система координат Для представления результатов спутниковых определений используется геоцентрическая система координат WGS-84 с началом в центре масс Земли

Спутниковые определения выполняют в этой геоцентрической системе, от которой переходят к геодезическим координатам широте В, долготе L, и высоте (альтитуде) Н пункта над эллипсоидом, - и далее к плоским прямоугольным координатам в системе, принятой для данной территории (СК-2, местная, условная) Связь между геоцентрической и геодезической системами координат осуществляется по следующему алгоритму

X = (N + Н) Cos В CosL, Y = (N + II) Cos В Sin L, Z = (b2/a2 N + H)SinB,

где N = aV -f a2 Cos2 В + l>2 Sin2 B,

a, b - большая и малая полуоси земного эллипсоида

Операции перехода от одной системы координат к другой запрограммированы и обычно прилагаются к действующей аппаратуре

В подразд 4 2 «Геометрический анализ архитектурных стилей на примере римских ордеров и готики» анализируется появление различных форм в архитектуре Каждая форма в архитектуре появляется не случайно, но имеет свое объяснение в одном случае она вызвана условиями материала, климата и конструкции, в другом - представляется традиционным пережитком формы, существовавшей раньше и изменившейся под влиянием каких-либо определенных причин, в третьем - является результатом заимствования, преемственности или имеет какой-либо символический смысл

Подразд 4 3 «Теория пропорций в архитектуре» посвящен методике конструирования архитектурных форм с учетом пропорций и симметрии С понятием относительного равенства сопряжено представление о геометрической закономерности, если его можно разделить без остатка на равные части относительно некоторого геометрического признака, например, способа построения Запись геометрической закономерности может быть осуществлена в виде числа или формулы Представление о геометрической или числовой закономерности входят в понятие симметрии Опираясь на понятие геометрической закономерности можно построить свою концепцию «динамической» симметрии -За основу статической симметрии выбираются правильные геометрические фигуры Известно, что отношение их сторон представлено рациональными числами, а иррациональные отношения их элементов строятся на диагонали квадрата и его стороне, равной единице Так строится прямоугольник с площадью 72 Такое построение может быть продолжено до бесконечности Площадь прямоугольника V? служит основой наилучшего варианта динамической симметрии Таким образом, представ пение о геометрической закономерности подводит нас к понятию архитектурной симметрии которая базируется на частном понятии математических преобразований, Этот момент особенно важен, он помогает развить

смысловую общность между представлением о симметричной закономерности и привычным пониманием категорий архитектурной композиции равенства, подобия, пропорций и т д

Другая теория архитектурного проектирования строится на основе двойного квадрата Два квадрата, сложенные вместе, образуют двойной квадрат Это аддитивное свойство квадрата широко использовалось в архитектуре эпохи Возрождения Использование восьмиугольных звезд в архитектурных конструкциях не вызывает никаких сомнений Разбиение окружности на 8 равных «астей порождает угол в 45°, а равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами имеет острые углы в 45° и гипотенузу, равную -/2 , поэтому восьмиконечная звезда заведомо приводит к появлению иррациональных чисел Рассмотрим геометрическую прогрессию 1, ц, р2, р3, р4, и5, поскольку Ц2=1 + р

ц3 = + р = (1 + р) + р = 2ц + 1 р^р' + р2 =2р+ 1 + 1 = Зц + 2

и т д, то из соотношения р" = р.""' + р"'2 можно установить, что коэффициенты при р образуют последовательность целых чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, известных под названием чисел Фибоначчи Рассматривается геометрический анализ архитектурных стилей на примере римских ордеров

В подразд 4 4 «Реконструкция городов на основе теории пропорций и симметрии» рассматривается идея реконструкции городов с учетом существующих архитектурных, исторических и других ценностей города Следовательно, перед зодчими ставится задача совмещения существующих зданий и сооружений, определяющих лицо города, с вновь проектируемыми зданиями, отвечающими требованиям сегодняшнего дня Несомненно, параметры застройки проектируемых сооружений (другими словами, модули вновь проектируемых зданий и сооружений) должны находиться в определенной зависимости от модулей существующих объектов Очевидно, эта связь должна осуществляться через модули, связанные между собой числами Фибоначчи, расширенные ряды которых приведены в разделе 3

Таким образом, одной их первых задач архитектора является задача определения модулей, которые придают существующим комплексам и сооружениям и их частям соизмеримость, что облегчает унификацию и стандартизацию строительства Модуль существующего здания зависит от многих факторов стиля, времени застройки, соразмерности здания, т е кратных соотношений его размеров, частей, и т п , - и в каждом случае эта задача решается вновь и зависит от степени квалифицированности архитектора Для ее решения прежде всего требуется хорошее знание всех архитектурных стичен

Материалы раздела опубликованы в работах [3, 4, 7, 10, 11, 12, 13,14, 15, 18, 19, 20]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты

1 Предложен новый подход построения теории современной начертательной геометрии базирующийся на основе четырех основных направлений обобщения геометрического моделирования

2 Рассмотрены, проанализированы, отобраны и обработаны, применительно к нуждам начертательной геометрии, материалы смежных разделов математики, составляющие теоретическую основу теории геометрического моделирования и ее обобщенных методов

3 Разработан алгоритм вычисления характеристик бирациональных соответствий высших порядков, основанный на композиции квадратичных соответствий, осуществляемых косым проецированием прямыми Кг(1,1), позволяющих получать характеристики плоских кривых высших порядков с помощью персонального компьютера

4 Получены, на основе найденной зависимости, обобщенные ряды чисел Фибоначчи, дополняющие теоретическую базу практикующих архитекторов

5 Получены аналитические зависимости в виде обобщенных формул для подсчета числа параметров плоских алгебраических кривых, находящихся в пространствах большего числа измерений и подсчета параметров двумерных алгебраических поверхностей in-го порядка, погруженных в пространство n-измерений, где п > ш.

6 Разработан алгоритмический подход получения всевозможных симметричных конфигураций элементов цветной симметрии на плоскости

7 Разработаны конструктивные модели квадратичных точечных отображений для пространств различной размерности позволяющих использовать предложенный конструктивный аппарат отображения для решения аналогичного класса решения задач многомерного пространства ч

8 Разработана методика застройки центра города с учетом существующих зданий и сооружений, имеющих историческое, культурное, экономическое и социальное значение на основе теории симметрии, пропорциональности, золотого сечения и использовании модулей Методика используется при реконструкции центра города Екатеринбурга (акт внедрения №15/106 19 05 05) УРАЛНШШРОЕКТ РААСН (Ордена «Знак Почета» Уральский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт Российской академии архитектуры и строительных наук)

10 Предложен единый алгоритм нахождения геодезических и локальных координат земной поверхности, основанный на операции перехода от геоцентрической системы координат, определяемой с помощью GPS, к геодезическим координатам и далее к плоским прямоугольным координатам в системе, принятой для данной территории (СК-2, местная, условная)

11 Показаны возможности современной начертательной геометрии в виде использования схем, являющихся структурированной основой для координации коллективных действий (как алгоритм действия) по решению проблемы

12 Материалы диссертации используются в учебном процессе при чтении курсов в Уральской государственной архитектурно-художественной академии на кафедре Теории архитектуры и профессиональных коммуникаций (акт № 01-442 от 7 июня 2005г )

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1 Бабич В Н Основы цветной симметрии на плоскости [Текст]/В Н Бабич // Изв Высших учеб заведений - Горный журнал -2005 ВыпЗ-С68-75

2 Бабич В Н Основы моделирования многообразий [Текст]/В Н Бабич// Изв Высших учеб заведений - Горный журнал -2006 Вып 1-С 81-84

3 Бабич В Н Алгоритм влияния факторов на мучаемую проблему[Текст] /В Н Ба-бич//Изв Высших учеб заведений - Архитектон -2006 Вып 14-С 27-33

http //arcnvuz/ ru /maqazine / Numbers/ 2006 - 02/ template article Ar-TA/ta 99

4 Бабич В Н Теория пропорций в архитектуре [Текст] /В Н Бабич//

Изв Высших учеб заведений - Архитектон -2006 Вып 15 - С 57-64 http //arcnvuz/ ru /maqazine / Numbers/ 2006 - 02/ template article Ar-TA/ta 99

5 Подсчет параметров различных многообразий [Текст] /В Н Бабич, Е И Шангина// Изв Высших учеб заведений - Горный журнал -2007 Вып 1 - С 72-76

6 Бабич В Н Подсчет параметров различных многообразий в пространствах различной размерности [Текст] /В Н Бабич ВИНИТИ Per Номер В/565-64 Деп 2006 -12с

7 Бабич В Н Геометрическое моделирование многомерных пространств Теория и приложения [Текст] /В Н Бабич - Монография - Екатеринбург Изд-во Уральский государственный университет им Горького, 2004 -224с

8 Бабич В Н и др Вычисление характеристик кремоновых преобразований плоскости с помощью ЭВМ [Текст] /В Н Бабич, Г С Иванов, В А Пеклич, Г Н Суняйкин ВИНИТИ Per Номер В/565-64 Деп 1984-106с

9 Бабич В Н Характеристики плоских кривых высших порядков [Текст] /В Н Бабич -Монография-справочник - Екатеринбург Архитектон 2004 -500 с

10 Бабич В H Графоаналитические основы и принципы инвариантности в архитектуре и дизайне [Текст] /В H Бабич - Екатеринбург Архитекгон 2003 -204с

11 Бабич В H Геометрия архитектурных стилей [Текст] /В H Бабич// Современные проблемы геометрического моделирования Материалы Междунар укр -рос науч-практ конф/ХГУПТ - Харьков 2005 -С 206-215

12 Бабич В H Архитектура и математическая теория симметрии на плоскости [Текст] / В H Бабич// Материалы Всероссийской научно-методической конференции /УралГАХА -Екатеринбург 2003-С 139-146

13 Бабич В H Теория пропорций в архитектуре В H Бабич [Текст] //Десятые Уральские академические чтения - Екатеринбург 2005 - С 22-28

14 Бабич В H Платоновы тела [Текст] /В H Бабич// Материалы конференции по начертательной геометрии Набережные Челны Камский государственный политехнический институт 2003 -4 2 С 248-251

15 Бабич В H Начертательная геометрия в проекциях с числовыми отметками учеб пособие [Текст]/В H Бабич, ЕИ Шангина - Екатеринбург Полиграфист 1999-150с

16 Бабич В H Подсчет параметров различных геометрических многообразий [Текст] /Бабич В H , Шангина Е И // Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту тез Докл юбил науч-техн конф /УрГАПС -Екатеринбург 1996 - С 47

17 Бабич В H Получение рациональных алгебраических кривых высших порядков с помощью композиции квадратичных преобразований плоскости и исследование их основных точек [Текст] // Начертательная геометрия и инженерная графика в практике решения инженерных задач -Омск 1986 - С 66-70

18 Бабич В H Практическое использование методов начертательной геометрии в инженерной практике [Текст] /В H Бабич// Пути совершенствования преподавания инженерно-графических курсов для студентов горных специальностей -Орджоникидзе 1988

- С 79-80

19 Бабич В H Характеристики различных архитектурных стилей на примере готики [Текст] /В H Бабич// Материалы Всероссийской научно-методической конференции / УралГАХА - Екатеринбург 2005 -С 126-137

20 Бабич В H Взаимосвязь алгебраической кривой и ее эквидистанты [Текст] /В H Бабич// Тезисы доклада международного научно-методического совещания-семинара зав кафедрами и ведущих лекторов по начертательной геометрии и инженерной графике вузов Волго-Вятской Центрально-Черноземной и Поволжской зон/ МПИ - Йошкар-Ола 1982 - С 93-98

21 Бабич В H Косое проектирование плоскостей друг на друга в четырехмерном пространстве [Текст] /В H Бабич, А П Маркова// Тезисы докладов Всесоюзной научно-методической конференции «Научно-методические основы использования ТСО, ЭВМ и САПР в учебном процессе общеинженерных дисциплин» -М МАИ, 1983 -с 56-59

22 Бабич В H Вычисление характеристик кремоновых преобразований с фундаментальными точками высших кратностей [Текст] /В H Бабич// Ученые заметки Ярославского пединститута Вып 126 -Ярославль, 1983 -С 21 -26

23 Бабич В H Взаимосвязь характеристик алгебраической кривой и ее эквидистанты [Текст] /В H Бабич// Межвузовский сборник «Актуальные вопросы инженерной графики» Йошкар-Ола МарГУ, 1984 -с 161-164

24 Бабич В H Геометрическое моделирование объемных утечек сжатого воздуха в прямоточных клапанах [Текст] /В H Бабич, А П Фролов// Тезисы докладов конференции Свердловского территориального прав пения научно-технического горного общества СГИ «Совершенствование геолого-разведочных работ, технологии и техники добычи и переработки полезных ископаемых на Урале» -Свердловск СГИ, 1984 С 56-57

25 Бабич В H Конструктивные вопросы нелинейных преобразований пространства Тезисы докладов конференции [Текст] /В H Бабич // «Ускорение научно-технического

процесса в горной промышленности и развитие геологических и геофизических работ на Урале в 11-ой пятилетке»-Свердловск СГИ, 1981 С 63

26 Бабич В Н К исстедованию характеристик кремоновых преобразований с фундаментальными точками высших кратностей [Текст] /В Н Бабич// Сб трудов Казахского политехнического института -Алма-Ата, 1985 - С 75-78

27 Бабич В Н , Шангина Е И Анализ кчассических методов начертательной геометрии / В Н Бабич// Тезисы доклада научно - технической конференции [Текст] «Фундаментальные и прикладные исспедования по транспорту - 2000» Екатеринбург, 2000 -С 36

Владимир Николаевич БАБИЧ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМ И МНОГООБРАЗИЙ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ

Л втореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Подписано в печать 19 03 2007 г Бумага писчая Формат 60 х 84 1/16 Печать на ризографе Печ л 1,75 Тираж 150 Заказ 1/5

Издатетьство УГГУ 620144, г Екатеринбург, ул Куйбышева, 30 Уральский государственный горный университет Лаборатория множительной техники УГГУ