автореферат диссертации по , 05.00.00, диссертация на тему:Информационно-математическое моделирование на основе инвариантов геометрических многообразий

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Уральская государственная архитектурно-художественная академия» (ФГБОУ ВПО «УралГАХА»)

Уральский межакадемический союз

УДК 514.18:512.7:004.925.8

На праваутэ^крй^си

' гл

и

БАБИЧ Владимир Николаевич

V \

ИНФОРМАЦИОННО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ИНВАРИАНТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность: 05.25.07 - Исследования в области проектов и программ

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант: д-р физ.-мат. наук, проф.

Кремлев Александр Гурьевич

Екатеринбург - 2015

Работа выполнена в Уральской государственной архитектурно-художественной академии на кафедре «Теория архитектуры и профессиональных коммуникаций»

Официальные оппоненты:

д-р техн. наук, проф. Смирнов Геннадий Борисович д-р физ.-мат. наук, проф. Красовский Андрей Николаевич д-р архитектуры, проф. Пустоветов Геннадий Иванович

Защита состоится «У<?» Pi 2015 г. на заседании Диссертационного Совета Д 08.07 PCO ММС 096 по адресу: 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 21, ФТИ, ауд. Ф-304.

Диссертация в виде научного доклада разослана .02. 2015 г. С диссертацией в виде научного доклада можно ознакомиться в библиотеке УрФУ.

Ученый секретарь

диссертационного совета проф., к.ф.-м.н.

Рогович В.И.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ИММ - информационно-математическое моделирование

ИМ-модель - информационно-математическая модель

ГМ - геометрическое моделирование

ММ - математическая модель

ИМ - информационная модель

ГГП - геометро-графическое представление

ИС - информационная система

ГГ - геометро-графический

ОМ - объект моделирования

СМ - субъект моделирования

Кг(1, 1) - конгруэнция первого порядка, первого класса р _ фундаментальные точки гомалоидальной сети р - принципиальные прямые гомалоидальной сети {- гомалоидальная сеть

ТЛ{Г"\ (2п -2)1} - характеристика кривой и-го порядка: одна (п -1)-кратная фундаментальная точка, (2п -2)1 однократных фундаментальных точек ТЛ{Г2, (" -2)2, З1} - характеристика кривой и-го порядка: одна (и -2)-кратная фундаментальная точка, (я —2) двукратных фундаментальных точек, три однократных фундаментальных точки

Т„{ 1(""2), х2, У} - характеристика кривой «-го порядка: одна (и -2)-кратная фундаментальная точка, х двукратных фундаментальных точек, у однократных фундаментальных точек

Т„{Г"3, х\ у, г1} - характеристика кривой и-го порядка: одна (п - 3)-кратная фундаментальная точка, х трехкратных фундаментальных точек, у двукратных фундаментальных точек, г однократных фундаментальных точек ТДГ3. [(2л -5 - т)/3]т, т2, (5 - т)1} - характеристика кривой п-го порядка: одна (и - 3)-кратная фундаментальная точка, [(2л -5 - т)/3] фундаментальных точек кратности т, т двукратных фундаментальных точек, (5 - т) однократных фундаментальных точек

Т„{1^2; (2п -2)2; З1} - четная характеристика кривой и-го порядка: одна (2п -2)-кратная фундаментальная точка, (2п -2) двукратных фундаментальных точек, три однократных фундаментальных точек САПР - система автоматизированного проектирования ГГИС - горно-геологическая информационная система

УралГАХА - Уральская государственная архитектурно-художественная академия

УГГУ - Уральский государственный горный университет УРАЛНИИПРОЕКТ РААСН - Уральский научно-исследовательский и проект-но-конструкторский институт Российской академии архитектуры и строительных наук

РОССИЙСКАЯ I Г ОСУДАРС[ВЕННАЯ | БИБЛИОТЕКА ; 2015

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Современная практика решения задач реальной направленности определяется высоким уровнем применения методов математического моделирования на основе системного анализа физических, экономических, технологических, социальных и иных процессов и объектов в сочетании с объемной и качественной информационной поддержкой.

Такой совместный процесс информационно-математического моделирования (ИММ) особенно эффективен при решении задач геометризации, определяет системный подход к анализу и исследованию формы, структуры, взаимосвязей (количественных отношений и функциональных зависимостей) реальных объектов (объектов-оригиналов) в целях создания или проектирования геометрической модели (ее визуализации, включая компьютерную), обеспечивает выявление основных (важных и определяющих с точки зрения поставленной проблемы) характеристик и их базовых свойств, что позволяет (при достаточном уровне компетентности субъекта-исследователя и возможностях имеющихся средств исследования):

1) интерпретировать в геометрическом смысле поставленную проблему через выявленные характеристики;

2) сформулировать в геометрической постановке проблему, при этом, возможно потребуется сформулировать несколько связанных между собой геометрических задач;

3) оценить перспективные пути решения этих задач;

4) определить, какие дополнительные исследования необходимо провести для получения содержательной информации (уточняющего и/или конкретизирующего характера).

Дальнейшее исследование целевой проблемы (в геометрической постановке) выполняется методами геометрического моделирования (ГМ). Для качественного моделирования сложных пространственных форм, без сглаживания поверхностей, с учетом особенностей топологии тонкой структуры реальных объектов требуется разработка новых методов ГМ, направленных на поиск приемлемых (практически реализуемых) решений требуемых геометрических задач, практических способов геометрического представления (отображения) и конструирования объемных тел и форм, поверхностей и кривых, расчета их характеристик. Использование методов геометризации особенно существенно в процессах конструкторско-технологической практики. Требуется не только получение геометро-графического описания (в целях формирования визуально-образного представления модели исследуемого или проектируемого объекта), но и обеспечение корректности такого описания в контексте последующего прототипирования (реального воспроизведения), которое должно допускать однозначное понимание конструирования объекта и обеспечивать его технологическое воплощение. Такое описание включает последовательное детализированное представление объекта: состав и структуру, размерности, способы соединения частей и элементов, сопряжения поверхностей, точную координацию одних элементов и узлов относительно других, пространственные отображения отдельных частей и в целом, все необходимые проекции и сечения. При этом особо следует отметить возможности применения современных информацион-

ных технологий, использование специализированных автоматизированных средств для обработки пространственной информации и построения объемных цифровых моделей.

Выполнение ГМ в рамках общего процесса ИММ реальных объектов определяется взаимосвязанностью основных составляющих этого процесса (аналитической, информационной, геометрической), причем каждая из выделенных составляющих ИММ характеризует определенный подход к описанию и изучению исследуемого объекта (являясь при этом источником геометрических процедур, применяемых к модели в процессе моделирования), отражая, таким образом, возможность получения его представления в определенной форме и определенным способом, что обеспечивает реализацию различных аспектов системного анализа, полноту исследования совместным дополнением разных системных представлений.

Геометризация объектов использует методы ГМ, предметом которой являются как теоретические исследования по вопросам формообразования, топологии и морфологии объектов, так и решения практических задач проектирования и конструирования. Основу ГМ составляют теоретические результаты начертательной и проективной геометрий, алгебраической геометрии, практические методы инженерной графики. В теоретическую область ГМ большой вклад внесли Н. Ф. Четверухин, К. И. Вальков, И. С. Джапаридзе, Г. Б. Гуревич, Г. С. Иванов, В. А. Пеклич, 3. А. Скопец и другие. Значительные результаты в области практических приложений разработанных теоретических методов получили В. А. Калинин, В. Н. Первикова, А. Л. Подгорный, Е. В. Попов, А. Д. Тузов, В. Е. Турлапов, А. Г. Кремлев, В. И. Якунин и др.

Общие вопросы многомерной геометрии рассмотрены как в работах зарубежных ученых - R. Sturm, D. М. Y. Summerville, Н. F. Baker, Th. Reye, W. Bu-rau и др., так и в работах отечественных - Б. А. Розенфельда, П. В. Филиппова, П. С. Александрова, В. П. Радищева, Д. 3. Гордевского, А. С. Лейбина, Н. Ф. Ефимова, Э. В. Розендорна и др. В последнее время заметно укрепились связи ГМ с теорией алгебраических линейчатых многообразий (А. Л. Подгорный), теорией кремоновых преобразований (Г. С. Иванов, В. А. Пеклич), исчисли-тельной геометрией (В. Я. Волков, В. Ю. Юрков). Проникновение в ГМ идей (методов) теории групп, алгебраической геометрии позволяет значительно расширить спектр используемых теоретических средств.

Обратимые отображения, изучаемые в ГМ, устанавливают связи между объектами различной природы и сложности, позволяют сводить исследование сложных объектов к изучению простых. Данные и искомые геометрические образы и состояния между ними трансформируются в другие образы с другими соотношениями, что позволяет упростить исходную задачу. Однако следует заметить, что каждая модель позволяет решать лишь определенный, сравнительно узкий круг задач. Поэтому продолжает оставаться актуальной разработка новых методов ГМ, исследование новых конструктивных линейных и нелинейных моделей многомерных пространств и нелинейных алгебраических многообразий, в частности, поиск перспективных ассоциированных аналогов для многих классических моделей высшей и алгебраической геометрий.

Актуальными в этом направления являются исследования по обобщению классических методов при переходе от объектов в трехмерном пространстве

(носителе) к многообразиям произвольной структуры и размерности (с использованием параметризации, количественных отношений элементов), замены традиционного метода проецирования обобщенными методами отображения, обобщение аппарата косого проецирования для конструирования нелинейных соответствий в пространствах различной размерности, конструирование нелинейных преобразований плоскости с заданными характеристиками. Основным инвариантом таких отображений является размерность. С точки зрения параметризации геометрических объектов требуется разработать методы (практические приемы) подсчета параметров неточечных многообразий в пространствах различной размерности, а также алгоритмы для автоматизации счета характеристик бирациональных соответствий плоскости.

Известны различные модели отображения многомерных пространств, предложенные в работах указанных авторов. В настоящее время все большее внимание привлекают кремоновы преобразования. Это связано как с теоретическими исследованиями ГМ (косые и стереографические проецирования алгебраических многообразий, кремоновы преобразования в пространствах высшей размерности), так и разработкой ее приложений (конструирование поверхностей технических форм). Исследуются возможности использования конструктивных моделей теории ГМ применительно к получению характеристик плоских кривых высших порядков. В данной работе рассматриваются кремоновы (бирациональные) преобразования, которые возникают в трехмерной и многомерной начертательной геометрии в результате композиции косых проецирований плоскости на плоскость.

Весьма перспективным может стать новое направление ГМ на стыке с теорией симметрии и пропорциональности, особенно в развитии практических методов инженерной геометрии, использования компьютерной графики. Различное выделение структурных подуровней у одного и того же объекта приводит к различному определению его групп симметрии. Перевод алгебраических понятий симметрии на наглядный геометрический язык может оказаться очень полезным.

Исследования, выполненные в данной работе, относятся к обобщениям методов отображения геометрических многообразий произвольной структуры и размерности (обобщение аппарата косого проецирования), разработке конструктивных моделей квадратичных точечных отображений в пространствах различной размерности, а также направлены на основе предложенных обобщений получение различных симметричных конфигураций элементов цветной симметрии на плоскости. Особое внимание обращается на единый подход к процессу геометризации объектов в совокупном исследовании в рамках ИММ.

Научные исследования по представленной тематике проводились в рамках Постановления Правительства РФ «О государственной поддержке развития науки и научно-технических разработок» 1995 г. НИР: строительство и архитектура задание №2014/234 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности; информационно-коммуникационный аспект в практической деятельности архитектора 672013/17 - 12 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.

Объектом диссертационного исследования являются теоретические основы ИММ объектов с позиции инвариантов геометрических многообразий.

Предмет исследования - развитие теоретических основ ИММ геометрических форм и многообразий для решения задач инженерной практики.

Цель и задачи исследования:

глобальная цель - развитие теоретических основ ИММ в контексте практического решения задач геометризации объектов инженерной практики;

достижение поставленной цели потребовало решения ряда взаимосвязанных задач, главными из которых являются:

• обзор проблематики ИММ, его содержания и структуры с выходом на пакет прототипов;

• систематизация теоретических основ геометрического моделирования в соответствии с результатами и методами смежных разделов математики (алгебраическая геометрия, абстрактная алгебра, нелинейный анализ);

• формализованное системотехническое описание основных объектов исследования ИММ;

• комплексные научные исследования в целях развития подсистем и блоков ИММ и обоснование преимуществ такого подхода при решении задач геометризации объектов инженерной практики;

• исследование методологии системного анализа в информационно-математическом моделировании объектов инженерной практики;

• параметризация геометрических многообразий в многомерных пространствах, геометризация параметров объемных задач горного производства на основе параметризации конструктивных моделей;

• исследование полученных конструктивных моделей линейчатых алгебраических многообразий, выявление их свойств, особенностей и практическое применение в задачах определения характеристик плоских алгебраических кривых высших порядков;

• проведение научно-практической реализации предложенных решений.

Методы исследования:

• общенаучные (логический, индуктивный, аналогий, системного подхода и системной интеграции);

• конкретно-научные методы (сравнительный анализ научных источников информации, математическое моделирование, инженерная геометрия, алгебраическая геометрия, инженерная графика);

• эмпирические (компьютерные эксперименты, компьютерная графика).

Научная новизна:

• выделена усовершенствованная методика геометризации объемных задач инженерной практики, отличающаяся получением теоретических результатов на основе ГМ;

• сформирован базовый пакет прототипов моделирования объектов и процессов, отличающийся четырехранговой структурой;

• разработаны (уточнены) и выделены для введения в научный оборот термины «информационно-математическое моделирование», «геометрическая мо-

7

дель», «геометризация» для отражения системного подхода и интеграционной основы процесса моделирования объекта познания в целях создания и исследования визуально-образного представления модели;

• предложены системно-структурные модели подсистем и блоков системы ИММ, отличающиеся модернизацией прототипов;

• предложен пакет алгоритмических моделей процессов ИММ, отличающихся структурой и последовательностью;

• разработана методика геометризации задач инженерной практики, отличающаяся использованием графоаналитических методов конструирования каркасных поверхностей на основе нелинейного моделирования алгебраических кривых, выявленных их свойств и особенностей;

• предложена системно-структурная организация ИММ, отличающаяся усовершенствованием ее подсистем, а также дополнительной системно-интеграционной адаптацией моделей подсистем и блоков системы ИММ к решению поставленных задач;

• получены качественные характеристики и их количественная оценка алгебраических кривых высших порядков на основе кремоновых (бирациональ-ных) преобразований;

• получена алгоритмическая модель вычисления характеристик бирацио-нальных соответствий плоскости, основанная на разработанном методе композиции квадратичных соответствий;

• развит метод нелинейных преобразований плоскости с заданными свойствами;

• разработана методика вычисления параметрического числа алгебраических кривых и поверхностей в пространствах различной размерности;

• разработана методика геометрического моделирования форм на основе алгоритмического подхода и предложенной матрицы операций симметрии, инвариантов Б-чисел Фибоначчи.

Положения, выносимые на защиту:

• четырехранговый пакет научных прототипов по теме диссертационного исследования, как база для моделирования предлагаемых решений на основе детальной проработки недостающих элементов организации моделей;

• пакет концептуальных, системно-структурных, алгоритмических моделей системы ИММ, ее подсистем и блоков;

• систематизация теоретических основ ГМ, исследование взаимосвязей методов геометризации с результатами и методами смежных разделов математики, численными и графо-аналитическими методами, компьютерными методами обработки пространственной информации и построения объемных цифровых моделей;

• методика геометризации объектов инженерной практики на основе обобщенных методов ГМ по следующим направлениям обобщений: объект, модель, носитель модели, аппарат отображения;

• конструктивное моделирование каркасных поверхностей различных объектов (месторождений);

• методика ИММ геометрических многообразий и форм на основе размерности, матрицы операций симметрии, инвариантов 5-чисел Фибоначчи.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования.

Основные теоретические положения и выводы, содержащиеся в диссертации, представляют собой новое направление в развитии теории ГМ и могут быть использованы для совершенствования методологии ИММ.

Предложенные решения прошли практическую апробацию и нашли применение в решении задач инженерной практики и теоретической подготовки специалистов и магистров УралГАХА, УГГУ и УрФУ.

Использование результатов диссертационного исследования подтверждено документами внедрения.

Теоретические и практические положения диссертационного исследования рекомендованы для использования в учебном процессе.

Апробация и публикация работ

Материалы диссертации докладывались на многих (более 20) Всероссийских (Всесоюзных), Международных и региональных конференциях и семинарах (1988 - 2014 гг.).

По теме диссертации опубликовано более 50 печатных работ, среди которых шесть монографий, три учебных пособия с грифом УМО, 18 статей в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура диссертационного исследования приведена на рис. 1. Подпроекты: 1.1.1 - идентифицирующие признаки ГМ; 1.1.2 - сущность и специфика ГМ, 1.1.3 - методы ГМ; 1.1.4 - проблематика теории ГМ; 1.2.1 - аналоги по направлениям; 1.2.2 -формирование пакета прототипов; 2.1.1 - общая концептуальная модель ИММ; 2.1.2 — баэо-во-уровневая концептуальная модель ИММ; 2.2.1 - теэаурусная (иерархическая) модель к термину «Информационно-математическое моделирование»; 2.2.2 - тезаурусная (иерархическая) модель к термину «Модель»; 2.2.3 - отношения «субъект - объект - модель»; 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3 - структурно-функциональные модели прототипов нулевого, первого и второго рангов; 2.4.1, 2.4.2 - алгоритмические модели процессов ИММ; 3.1.1 - методология геометрического моделирования; 3.1.2 - параметрическое число алгебраической кривой и поверхности в пространствах различной размерности; 3.1.3 - ИММ горно-геометрических объектов; 3.2.1 - косое проецирование плоскости на плоскость в пространстве Я3; 3.2.2 - композиция косых отображений с произвольно выбранными директрисами конгруэнций; 3.2.3 - композиция косых отображений с заданной директрисой одной из конгруэнций; 3.2.4 - обобщение аппарата косого проецирования плоскости на плоскость; 3.2.5 - алгоритм вычисления характеристик бирациональных соответствий плоскости; 3.3.1 - жонкьеровское преобразование л-го порядка; 3.3.2 - бирациональное преобразование л-го порядка типа /•'„{Г'3, л3, у1, 21}; 4.1.1 - операции симметрии на плоскости; 4.1.2 - характеристики композиций симметрии; 4.1.3 - ИММ цветной симметрии на плоскости; 4.2.1 - ГМ на основе инвариантов чисел Фибоначчи; 4.2.2 - геометризация эволюционной структуры города на основе метода ритмокаскада; 5.2.1 - методология системного анализа в архитектуре; 5.2.2 - методология ИММ в архитектуре; 5.3.1 - внедрение в учебный процесс УралГАХА; 5.3.2 - внедрение в учебный процесс УГГУ.

Социальный заказ

Состояние проблемы

Программа 1. Анализ проблематики информационно-математического моделирования

Проект 1.1. Литературно-аналитический обзор Проект 1.2. Прототипирование Проект 1.3. Гипотезы о предполагаемых решениях

1.1.1 112 1.1.3 1.1.4 1.2.1 1.2.2

Программа 2. Информационно-математическое моделирование (ИММ)

Проект 2.1. Концептуальные модели Проект 2.2. Онтологические модели Проект 2.3. Системно-структурные модели Проект 2.4. Алгоритмические модели

2.1.1 2.1.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4.1 2.4.2

Программа 3. ИММ геометрических многообразий

Проект 3.1. ИММ на основе размерности геометрических многообразий Проект 3.2. Конструирование бирациональных соответствий плоскости Проект 3.3. Бирацио-нальные преобразования с заданными характеристиками

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.3.1 3.3.2

Программа 4. ИММ геометрических форм на основе принципов симметрии и подобия

Проект 4.1. Геометрическая модель матрицы операций симметрии плоскости

4.1.1 4.1.2 4.1.3

Проект 4.2. Геомстриэация форм на основе подобия и пропорциональности

4.2.1

4.2.2

Проект 43. Геометрическое моделирование на основе фрактальной геометрии

Программа 5. Рекомендации по использованию ИММ и их практическому применению

Проект 5.1. ИММ горногеометрических объектов на основе данных спутниковых измерений

Проект 5.2. ИММ в архитектуре и градостроительстве Проект 5.3. Внедрение в учебный процесс

5.2.1 5.2.2 5.3.1 5.3.2

Выполненный заказ

Новые решения Новые знания

Рис. 1. Структура диссертационного исследования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ПРОГРАММА 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМАТИКИ ИНФОРМАЦИОННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Программа включает 3 проекта с 6 подпроектами.

Проект 1.1. Литературно-аналитический обзор

Было проанализировано более 250 работ различных авторов по вопросам ГМ, выделению его идентифицирующих признаков (цель, объект, средства и методы, теоретическая значимость и практическое применение), систематизации теоретических основ ГМ, исследованию взаимосвязей методов геометризации с результатами и методами смежных разделов математики, численными и графоаналитическими методами, компьютерными методами обработки пространственной информации и построения объемных цифровых моделей, методике геометризации объектов инженерной практики, организации ГМ в составе общего процесса ИММ.

Источники информации, раскрывающие указанные аспекты исследования, можно классифицировать по следующим направлениям. Во-первых, это теоретические основы геометрического представления объектов (топологические, морфологические, алгебраические и иные свойства), методы проективной геометрии, параметризации геометрических взаимосвязей и соотношений элементов исследуемого объекта, вопросы аналитического описания геометрических преобразований, алгебраические методы исследования геометрических форм.

К группе данного направления также следует отнести научные статьи, содержащие освещение проблем теории ГМ, предлагаемые способы их решения, перспективные направления исследований, в том числе по разработке новых методов ГМ, направленных на поиск приемлемых (практически реализуемых) решений требуемых разнообразных геометрических задач.

Во-вторых, это источники, в которых представлены различные методы (проективные, алгебраические, вычислительные и др.), позволяющие получить геометрический образ объекта. Эта группа объединяет работы (монографии, методические и практические пособия, электронные источники), содержащие конструктивные способы решения задач геометризации, их обоснование и рекомендации по использованию, практическому применению в инженерной практике.

В-третьих, это источники, включающие работы по информационному обеспечению процесса ГМ, использованию компьютерных технологий, алгоритмизации процедур геометрических операций и преобразований. Подпроект 1.1.1 - Идентифицирующие признаки ГМ

ГМ - это вид моделирования и, следовательно, характеризуется определенными признаками, качественно отличающими его от других видов моделирования (например, от макетного моделирования, результатом которого является материальный образец моделируемого объекта, или от формирования символьной модели, представляющей собой описание исследуемого объекта, определенных его свойств на формальном языке). Таким образом, чтобы определить

11

понятия «геометрическое моделирование», «геометрическая модель», необходимо, прежде всего, указать цель данного вида моделирования, специфические свойства этих моделей - результаты ГМ, природу модели, способы образного представления объекта (теоретическую основу этих способов), используемые методы формирования модели, функциональные действия (операции) с моделью.

Далее требуется определить тип информационных данных, характеризующих объект моделирования, указать форму организации этих данных, оценить качество базовой информации, информационную достаточность исходных данных для выполнения процесса ГМ (в соответствии с принятым критерием качества процесса). При этом следует учесть согласованность такого критерия с постановкой (формулированием) геометрической задачи.

Объектом ГМ являются любые объекты и процессы, имеющие визуальное представление в форме изображения на каком-либо носителе или с помощью каких-либо технических средств. ГМ выполняется в целях получения геометрического описания (отображения) реального или проектируемого объекта (оригинала), причем это описание может быть представлено в виде бинарного файла (содержащего массивы информационных данных) с помощью средств компьютерной графики, видеоотображений (на экране дисплея), голографиче-ских изображений, объемно-пространственных световых композиций и другими способами, при этом итоговый результат процесса ГМ предполагает визуализацию модели. Это позволяет выполнить анализ модели (с позиции исследования моделируемого объекта): осознать объемно-пространственные характеристики объекта, выявить геометрические особенности его формы, оценить количественные отношения элементов модели, установить функциональные зависимости между параметрами модели и их аналитические обобщения, определить конструктивную схему объекта, характеризующую его структуру.

Часто решение геометрических задач происходит в процессе совокупного исследования геометрической и аналитической моделей, а также сопровождается выполнением вычислительных процедур (т. е. выполняется в совместном процессе ИММ). При этом геометрическая модель (первоначально представленная в виде эскиза, простого чертежа, графического описания исходных данных и указанием требуемых определения элементов) может детализироваться, усложняться, включая дополнительные содержательные характеристики (размерные и топологические), полученные в результате такого совокупного исследования. Геометрические элементы объекта «носители определенных характеристик и отношений (размерность, параллельность, ортогональность, подобие, конгруэнтность и т. п.)» рассматриваются во взаимном расположении, взаимосвязи (образуя внутреннюю структуру объекта). Формируя те или иные условия (в геометрических понятиях или в аналитическом смысле, например, в форме оптимизационной задачи), исследователь приступает к поиску решения поставленной (скорректированной) задачи, используя весь доступный ему арсенал средств (аналитических, геометрических, вычислительных), не ограничиваясь лишь методами синтетической геометрии. Эффективность поиска решения существенно зависит от способности использовать преимущества способа описа-

ния (представления) исследуемой модели, от умения переходить из одной содержательной оболочки в другую, от качественной интерпретации взаимоотоб-ражаемых понятий. Такой синтез способов модельного описания — суть процесса практической реализации ГМ. Подпроект 1.1.2 - Сущность и специфика ГМ

Теоретическую сущность ГМ можно определить как теорию методов моделирования пространств и многообразий различного числа измерений и различной структуры. Ее методы позволяют развивать, дополнять и уточнять уже разработанные и строить новые геометрические теории, причем имеет место взаимное обогащение геометрии оригинала и геометрии модели в результате перевода известных фактов одной геометрии на язык другой.

Геометрическая модель - это представление (изображение) рассматриваемого объекта исследования с помощью геометрических понятий. Геометрическое описание объектов инженерной практики выполняется на основе начертательной геометрии, проективной геометрии, аналитической геометрии, а также с использованием графоаналитических методов конструирования поверхностей технических форм.

При этом геометрическая модель инженерного объекта должна однозначно представлять геометрию (форму) и количественную характеристику объекта. Геометрическая модель включает и математическое описание (размеры, функции контуров, параметры гладкости поверхности объекта, локальные характеристики поверхности и контуров: векторы нормалей, значения кривизны и т. д.), а также интегральные характеристики модели (объем, площадь поверхности, моменты инерции и т. д.). Эти характеристики могут явно не задаваться, но должны вычисляться по математическому описанию. Формирование математического описания и использование (обработка в «геометрическом плане») аналитической информации выполняется на основе дифференциальной геометрии (изучающей линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, а также их отображения; при этом применяются средства дифференциального исчисления), алгебраической геометрии (изучающей свойства алгебраических кривых и поверхностей, как плоских, так и пространственных).

Применение ЭВМ позволило сочетать ГМ и вычислительную геометрию с использованием векторного (аналитического) описания геометрической информации.

Литературно-аналитический обзор по теме исследования показал, что:

- ГМ как метод получения геометрического представления объекта является важнейшей частью как теоретических исследований по вопросам формообразования, топологии и морфологии объектов, так и решения практических задач проектирования;

- процесс геометризации является составной частью интеграционного процесса ИММ, включающего математическую формализацию описания исследуемого или проектируемого объекта на основе скоординированной, внутренне согласованной и системно достаточной информации об объекте;

- геометризация объекта направлена, прежде всего, на получение визуального

образа (визуализации) исследуемого или проектируемого объекта, при этом важнейшим способом представления является компьютерный способ - видеоотображение (на экране дисплея), сохранение в виде бинарного файла, связанного с информационной базой данных, описывающих геометрическую модель объекта;

- информационные технологии и программные средства компьютерной графики позволяют сделать процесс визуализации исследуемого или проектируемого объекта более оперативным, содержательным и убедительным:

- компьютерная визуализация обеспечивает наглядность представления исследуемого объекта, является средством поиска, анализа и принятия продуманного решения функциональных, конструктивных, эксплуатационных и других задач инженерной практики.

Специфичность средств и методов ГМ дополняется особенностями постановки задач ГМ, которые можно охарактеризовать с позиций:

- теоретического исследования (получение новых знаний об объекте, отражающих как геометрические отношения, так и функционально-процессуальные свойства);

- конструктивно-технологического проектирования (геометрический смысл оптимизационных критериев и оценочных параметров, геометризация целевых установок прототипирования);

- передачи знаний (образное представление геометрических объектов, геометрический язык описания признаков, свойств и отношений).

Поднроект 1.13 - Методы ГМ

Классифицировать методы ГМ можно по отношению:

- к способам описания (задания) геометрических моделей (объектов);

- к способам формирования геометрических моделей;

- к средствам моделирования;

- к целям моделирования (с позиции конечного результата);

- к моделируемой характеристике (ее сущности, отражаемой в модели);

- к виду модели.

Можно определить следующие способы описания геометрических моделей: аналитический способ - через задание функциональных зависимостей, алгебраических выражений, теоретико-множественных отношений, результатов итерационных и рекурсивных процедур, иных символьных формализации (аналитического типа);

- численный способ — через задание числовых массивов (например, координатных значений базовых точек объекта);

- графический способ - через задание ГГ изображения объекта (например, проекционное отображение объекта, используемое в начертательной геометрии);

- информационный способ - через задание бинарного представления, допускающего машинную обработку (например, растровое или вокселыюе представление, в виде структуры данных).

Аналитическое (а также и численное) описание геометрической модели формируется на основании геометрического значения функциональных и алгебраических выражений (уравнений, неравенств, отношений). Геометрическое

значение аналитического описания - суть геометрическая интерпретация аналитических (формальных, символьных) понятий.

Геометрическое представление объекта выполняется с помощью идеализированных форм (геометрических абстракций), которые сами являются моделями. Поэтому графический способ предполагает конструктивное представление (отображение) объекта с помощью некоторого проецирующего аппарата (определяющего процедуру формирования модели), причем операции выполняются с геометрическими многообразиями в некоторых абстрактных пространствах.

Структуры данных, используемые для информационного описания объемных тел, представляются в виде:

- дерева, описывающего историю (последовательность) применения булевских операций (и других трансформаций и операций, например, перенос, поворот, масштабирование) к конкретным графическим примитивам, т. е. здесь дерево состоит из операций и базовых примитивов (корень - результат моделирования, листья - базовые примитивы);

- таблицы, содержащей сведения о границах объема - вершинах, ребрах, гранях и их соединении друг с другом (граничным представлением).

Древообразное представление определяет конструктивную геометризацию на основе ручного моделирования в среде соответствующего программного приложения в соответствии с указанной структурой данных, т. е. последовательным выполнением операций по комбинированию базовых графических примитивов (из описанного набора). При этом способе представления хорошо описывается объем и поверхность, непрерывность, связность, качественность визуализации.

Граничное представление определяет аппроксимацию поверхности объекта, при этом возможны различные способы аппроксимации, основанные на различных структурах данных:

- заданы координаты вершин и указаны грани, каждая грань — это полигон, состоящий из последовательности координат вершин, модель определяется набором граней;

- заданы вершины (через координаты) и ребра (через вершины), грани определяются через ребра.

Грани могут представлять собой куски криволинейной поверхности, которые следует аппроксимировать (например, плоскостями или квадриками). Тогда ребра - это кривые, по которым пересекаются грани. Дополнительно могут указываться локальные характеристики в точках сопряжения. Подпроект 1.1.4 - Проблематика теории ГМ

На основе терминологического анализа показано, что использование термина «геометрическое моделирование» и связанных с ним понятий («геометрический объект», «геометрическая модель», «проекционное моделирование», «геометризация», «геометрический образ», «геометро-графическое представление») трактуются в разных интерпретациях и конкретизируются по мере надобности, в соответствии с целями и условиями поставленной задачи.

Под геометрическим моделированием понимают, «во-первых, переход от реального объекта к его геометрическому описанию (представлению), во-вторых, последующее проекционное моделирование, имеющее целью обеспечить передачу информации, облегчить наблюдение, анализ, расчет, познание изучаемого объекта»1.

Геометрическое моделирование определяется как «совокупность операций и процедур, включающих формирование геометрической модели объекта и ее преобразования с целью получения желаемого изображения объекта и определения его геометрических свойств»2.

Г еометрическое моделирование «изучает методы построения кривых линий, поверхностей и твердых тел, методы выполнения над ними различных операций и методы управления численными моделями»3.

Геометрическое моделирование - как процесс создания электронной модели проектируемого объекта и ее визуализации (графического отображения объекта на экране компьютера).

Геометрическое моделирование относят к виду математического моделирования, хотя символьный язык математических описаний (аналитическое или численное представление) принципиально отличается от геометрического языка (визуально-образное представление на основе геометрических абстракций). В связи с этим предлагается под геометрическим моделированием «понимать системообразующий раздел геометрии, изучающий пространственные формы, их взаимодействие, соотношение и технологию создания геометрических моделей, позволяющих осуществлять исследование и изготовление объекта моделирования. Предметным языком геометрического моделирования является визуально-образный (геометрический) язык»4.

Проблемы гсометризации реальных или проектируемых объектов определяются особенностями геометрического моделирования, используемыми подходами к формированию геометрических моделей, применяемыми способами геометрического описания объектов, возможностью алгоритмизации процедур геометрических операций и способностью создания специализированных компьютерных технологий, позволяющих эффективно обрабатывать геометрическую информацию.

Особенно важен вопрос дальнейшей разработки средств компьютерной визуализации, позволяющих оперативно и качественно представить на экране формируемую геометрическую модель объекта с возможностью вывода соответствующей (требуемой) аналитической информации. При этом необходимо выработать критерии для формулировки геометрической задачи виртуального моделирования (описания геометрии модели объекта), даже целую систему критериев, согласованных по целевым установкам.

' Вальков К. И., Дралин Б. И., Клементьев В. Ю и др. Начертательная геометрия Инженерная н машинная графика. М : Высш. шк., 1997.

1 Системы автоматизированного проектирования В 9 кн. Кн. 9 Иллюстрированный словарь: Учеб пособие для

втузов / Д М, Жук, П. К. Кузьмих, В. Б. Маничев и др. Под ред. И. П Норснкова. М.: Высш. шк., 1986.

3 Голованов H H. Геометрическое моделирование. М.: Изд-во Физмат лит, 2002

4 Рукавишников В.А. Геометрическое моделирование как методологическая основа подготовки инженера Казань: Изл-во Казан, гос ун-та, 2003

Особенности компьютерной визуализации объектов ГМ выявляются как на этапе подготовки, так и в процессе визуализации и определяются совокупностью факторов, влияющих на выбор способа визуализации (типа представления геометрической модели), конкретизацию характеристик (параметров), отражающих качество визуализации, форму (тип описания) и содержание представляемой информации, которая может быть (или должна быть) получена из визуализированной модели. Все эти факторы связаны между собой, взаимозависимы.

Для перехода на новый уровень геометрического моделирования требуется как совершенствование методологии геометризации (теоретических основ и практических методов), так и формирование пространственно-конструктивного мышления проектанта (инженера, архитектора и других лиц, профессионально занимающихся проектированием), включающего в себя владение визуально-образным геометрическим языком и компьютерными технологиями геометрического моделирования объектов.

Разработка новых эффективных методов исследования и конструирования многообразий различного числа измерений и различной структуры возможна только при наличии тесной взаимосвязи современных методов косого/криволинейного проецирования с классическими методами алгебраической геометрии.

Проест 1.2. Прототипирование

В результате литературно-аналитического обзора сформированы направления ИММ - аналитическое моделирование, информационное (компьютерное) моделирование, геометрическое моделирование, взаимосвязанные объектными отношениями, системно-интеграционными средствами (методологическими и инструментарными).

В подпроекте 1.2.1 по сформированным направлениям выявлены аналоги решений, а в подпроекте 1.2.2 предложен четырехранговый пакет прототипов (табл. 1).

Для оценки аналогов были выбраны критерии релевантности основным уровням ИММ (как иерархической системы) и основным компонентам (по составу и организации) с позиции процессного подхода (формализации проблемы, поиска, принятия и реализации решения). При оценке показателей рассматриваемых аналогов учитывались наличие, полнота и глубина освещения вопроса, относящегося к концепции ИММ.

Таблица ). Пакет прототипов и их критика

Ранг Название Источники Критика

1 2 3 4

0 Система ИММ 5.6,7.8,9 Неполнота системной интеграции процесса ИММ; разновариантность понимания ГМ; функционально-структурная неполнота

Подсистемы:

1 - аналитическая 10.11 Неполнота системно-интеграционного взаимодействия в рамках ИММ

1 2 — информационная 12,13,14 Неполнота целевой адаптации модельного представления

3 - геометрическая 3,4 Неполнота методологического и инструмен-тарного обеспечения на уровне интеграционного процесса исследования

Блоки (по подсистемам):

1.1- математическая формализация 15,16 Неполнота системной координации способов формализованного представления объекта

2 1.2 - аналитическое решение 17.18,19 Неполнота аналитического описания модели

1.3 - алгоритмизация решения 20,21,22 Функционально-структурная неполнота

1.4 - параметризация математической модели 23.24 Неполнота методологии системного обоснования выбора параметров

5 Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

6 Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука: Физматлит, 2002.

7 Акчурин И. А., Веденов М. Ф , Сачков Ю. В. Познавательная роль математического моделирования. М.. 1968.

' Петров А. А , Поспелов И. Г , Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики М : Энергоиздат, 1996.

' Юдин Э. Г. Системный подход и принцип деятельности. М.: Наука, 1978.

10 Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем М : Финансы и статистика, 2006.

" Замков О. О., Толстопятенко А. В , Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. М.: Изд-во Дело и Сервис, 2001

12 Вабищевич П. II. Численное моделирование. М : Изд-во МГУ, 1993.

11 Дородницын А. А. Информатика: предмет и задачи // Кибернетика. Становление информатики. М.: Наука,

1996.

м Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1979.

№ 5. С. 38-49.

15 Тихонов А. Н , Костомаров Д. П. Вволныелекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

" Могилевский В. Д. Формализация динамических систем. М. Вузовская книга, 2005

17 Канторович Л. В., Горстко А. Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука. 2002

" Вентцель Е С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М . Наука, 1980.

19 Карманов В Г. Математическое программирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011.

20 Петров А А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1996.

21 Советов Б. Я , Яковлев С. А Моделирование систем М : Высшая школа, 1985.

22 Урубков А Р., Федотов И. В. Методы и модели оптимизации управленческих решений М.: Дело АНХ, 2011.

21 Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. М.: Логос, 2004

24 Волхов В. Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и ее приложения. Автореферат локт. лисс МАИ, 1983.

1 1 2 3 4

2.1 - формирование массивов данных 25,26 Неполнота адаптации под ИММ

2.2 - обработка и организация данных 27.2! 29.30.31 Неполнота целевой адаптации

2.3 - анализ данных Функционально-структурная неполнота

2.4 - визуализация данных 32 33 Неполнота интегральной оценки качества

2.5 - визуализация аналитической/численной модели Я.35 Неполнота адекватности ГГ представления

2.6 - интерактивная работа с цифровой моделью 36,37 Неполнота целевой привязки цифровой модели

2.7 - вычислительные операции 38.39 Неполнота учета исходных данных

3.1 - ГГ интерпретация массивов данных 40 Неполнота ГГ описания данных

3.2 - оцифровка (векторизация) ГТ материалов 41 Не учтены исследовательские возможности модели

3.3 - ГГ интерпретация аналитического описания (модели) 42 Неполнота ГГ описания данных

3.4 - ГГ интерпретация аналитического/численного решения 42.43 Неполнота ГГ описания данных

25 Вирт Н. Алгоритмы + структуры данных = программы. М.: Мир, 1985

26 Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М : МЦНМО, 2000.

17 Компьютерные технологии обработки информации. // Под ред Назарова С. И. М.: Финансы и статистика, 1996.

28 Шафрин Ю. А. Информационные технологии. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000

Шмойлова Р. А. Теория статистики: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2009.

10 Тюрин Ю Н , Макаров А А. Анализ данных на компьютере М : Инфра-М, 2003.

" Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. /под ред С. А Айвазяна М.: Финансы и статистика, 1983

32 Ква траки Т. Rational Rose 2000 и UML. Визуальное моделирование. М.. ДМК Пресс, 2001.

33 Плотинский Ю. М. Визуализация информации. М.: Изд-во МГУ, 1994.

34 Исакова О. П., Тарасевич Ю. Ю , Юэюк Ю. И. Обработка и визуализация ла1шых физических экспериментов с помощью пакета Origin. М.: Либроком, 2009.

35 Валькман Ю. Р., Книга Ю Н. Графическое представление информации в проблемах принятия решений. URL:

http://www.dialog-21.ni/Archive/2001/volume2/2_10.htni.

" Тахтепгерц Э. А. Компьютерная поддержка принятия решений. М.: СИНТЕГ, 1998. " Голицына О. Л., Партыка Т. Л., Попов И. И. Программное обеспечение М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006

3' Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994

39 Васильков Ю. В., Васнлькова Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М: Финансы и статистика, 1999.

40 Якунин В. И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М : МАИ, 1993.

41 Миронов Д. Ф. Компьютерная графика в дизайне СПб.: БХВ-Петербург, 2008.

" Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++ М : БИНОМ, 1997.

43 Юрков В. Ю Основы исчислительно-конструктивной теории алгебраических соответствий многомерных

пространств и ассоциированных с ними проекционных систем. Автореферат докт. дисс. МАИ, 2000.

19

1 ) 2 ¡ 3 4

3.5- геометрические операции и преобразования с визуализированной моделью +4,45 46.47 48 Неполнота целевой привязки модели, учета средств исследования

3 .6 - геометрическое проектирования (проецирование) Неполнота системной координации в рамках ИММ

3.7 - геометризация кинематических моделей объектов и форм Нет адаптации под ИММ

3.8 - геометризация когнитивных и семантических моделей 49 Неполнота формализованного представления

3 Подблоки (узлы)

1.1.1 - идентификация объекта эи,51 50.52 50.53 5 54 55 26,56 29,31,57 Отсутствует полнота интегрального критерия качества

1.1.2 - выбор основных переменных Неполнота целевой адаптации

1.1.5- спецификация модели Отсутствует полнота интегральной оценки

1 2.1 - выбор аналитического метода Неполнота адаптации под ИММ

1.2.2 - адаптация метода к выбранной модели Неполнота параметризации модели

1.3.1 - формирование модели процесса решения Неполнота системно-интеграционного взаимодействия в рамках ИММ

1.3.2 - разработка алгоритма решения Системно-структурная неполнота

2.1.1- сбор данных Отсутствует привязка к целевой оптимизации поиска решения в системе ИММ

Быков А Геометрическое моделирование. 2006. URL: http://www.ozon.ru/

45 Саюнов А. А. Трехмерное моделирование в AutoCAD 2011. М.: ДМК Пресс

* Тику Ш. Эффективная работа: SolidWorks 2004. СПб.: Питер, 2005.

47 Пеклич В. А Высшая начертательная геометрия. М.: Ассоциация строительных вузов, 2000.

41 Смирнов А. А. Трехмерное геометрическое моделирование М.: Изд-во МГТУ им. Н Э. Баумана, 2008.

49 Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. М.: Наука, 1991.

и Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование М.: Наука, 1984

" Федоренко H. П. Экономико-математические модели. М.: Мысль, 1969.

" Карасев А. И., Кремер Н. Ш., Савельева Т. И. Математические методы в планировании М.: Экономика, 1987. " Шалиро л Д. Экономико-математическое моделирование. Томск: Изд-во ТГУ, 1987.

w Терехов Л. Л. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. Киев: Высш. школа, 1984

" Воркуев Б. Л. Математические методы анализа экономики М.: МГУ, 1990.

" Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология.

СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

57 Малыхина М. П Базы данных: основы, проектирование, использование СПб: БХВ-Петербург, 2004.

Окончание таблицы 1

11! 3 4

I 2.1.2 - пересылка (и/или 25,27.58 Неадекватное представление разноформатных

) передача на носителях) данных

ланных 59

2.2.1 - фильтрация дан- Неполнота целевой адаптации

ных

2.4.1 - выбор графиче- 33.60 Неполнота модетьного представления

1 ской модели визуализа-

1 ции данных

1 3.1.1 - выбор способа ГГ 6, Неполнота формализованного описания

! описания модели

| 3.1.2- обработка масси- 62.61,64 Неполнота учета исследовательских возмож-

| вов данных в соотв ст- ностей модели

ствии с выбранным ме-

тодом геометризации

3.1.3- формирование ГТП 65 Неполнота модельного представления

3.2.1 - выбор способа оцифровки 41 Не учтены исследовательские возможности модели

3.6.1 - выбор метода 47.66 Нет координации с информационными сред-

(способа) проецирования ствами исследования

3.7.1 - выбор способа (метода) формирования кинематической модели 4« Нет адаптации под ИММ

Проект 13. Гипотезы о предполагаемых решениях

1. В системе ИММ (прототип 0-го ранга) вводятся изменения в подсистемах аналитического моделирования, информационного моделирования, геометрического моделирования, выделение системы интеграции, а также дополнение подсистемой адаптации и соответствующим интерфейсом.

2. В подсистеме «Аналитическое моделирование» (первый прототип 1-го ранга) вводятся изменения в блоках математической формализации, аналитического решения, алгоритмизации решения, параметризации ММ, а также дополнение блоком интеграции и соответствующим интерфейсом.

" Гайдамакнн Н А. Автоматизированные информационные системы, базы и банки данных. Вводный курс. М.: Г ели ос АРВ, 2002

" Уткин В. Б., Баллин К. В. Информационные системы и технологии в экономике. М: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

60 Ветров Ю. Визуализация данных. Наглядный и компактный способ отображения информации. Классификация, http://www.jvetiau.eom/2009/03/l 1/

" Романов В. П. Интеллектуальные системы в экономике. / Под ред. Н. П. Тихомирова. М.: Экзамен, 2003. " Щавелев Л. В. Способы аналитической обработки данных для поддержки принятия решений // СУБД. 1998. № 4-5.

" Ахо Альфред В., Хопкрофт Джон Ульман, Джеффри, Д. Структуры данных и алгоритмы М.: Вильяме, 2000. " Кунву Ли Основы САПР (CAD/CAM/CA0), СПб.: Питер, 2004.

" Большаков В., Бочков А., Сергеев А. 31>моделирование в AutoCAD, КОМПАС-ЗО. SolidWorks, Inventor, Т-Flcx. СПб.: Питер. 2011.

64 Сиденко Л. А. Компьютерная графика и геометрическое моделирование: Учебное пособие. СПб: Питер. 2009

21

3. В подсистеме «Информационное моделирование» (второй прототип 1-го ранга) вводятся изменения в блоках формирования массивов данных, обработки данных, анализа данных, визуализации данных, визуализации аналитической/численной модели, вычислительных операций, а также дополнение блоком интеграции и соответствующим интерфейсом.

4. В подсистеме «Геометрическое моделирование» (третий прототип 1-го ранга) вводятся изменения в блоках ГГ интерпретации массивов данных, аналитического/ численного решения, геометрические операции и преобразования с визуализируемой моделью (ГТ моделью), а также дополнение блоком интеграции и соответствующим интерфейсом.

5. В блоке «Математическая формализация» (первый прототип 2-го ранга) вводятся изменения в узлах идентификации объектов, выбор основных переменных, спецификация модели, а также дополнение узлом подготовки данных и соответствующим интерфейсом.

6. В блоке «Аналитическое решение» (второй прототип 2-го ранга) вводятся изменения в узлах выбора аналитического метода, адаптации метода к выбранной модели, корректировки решения, интерпретации и анализа решения, а также дополнение узлом геометрической обработки аналитического/численного решения и соответствующим интерфейсом.

7. В блоке «Алгоритмизация решения» (третий прототип 2-го ранга) вводятся изменения в узлах формирования модели процесса решения, разработки алгоритма решения, проверки корректности алгоритма, а также дополнение узлом интеграции и соответствующим интерфейсом.

8. В блоке «Параметризация ММ» (четвертый прототип 2-го ранга) вводятся изменения в блоках интерактивной работы с цифровой моделью, вычислительных операций, а также дополнение узлом интеграционной оценки качества параметризации и соответствующим интерфейсом.

9. В блоке «ГГ интерпретация массивов данных» (12-й прототип 2-го ранга) вводятся изменения в узлах обработки массивов данных, формирования ГГП, а также дополнение узлом подготовки к компьютерной обработке ГТП и соответствующим интерфейсом.

10. В блоке «Формирование массивов данных» вводятся изменения в блоках оцифровки ГГ материалов, ГТ интерпретации массива данных, а также дополнение узлом интеграции и соответствующим интерфейсом.

11. В блоке «Анализ данных» вводятся изменения в области обработки данных с позиций системного анализа, а также дополнение узлом ГГ интерпретации массива данных и соответствующим интерфейсом.

12. В блоке «ГГ интерпретация массива данных» вводятся изменения в узлах формирования массивов данных, визуализации данных, а также дополнение узлом анализа данных и соответствующим интерфейсом.

13. В блоке «Геометрическое проецирование» вводятся изменения в узлах выбора метода (способа) проецирования, перспективных изображений, ручного способа выполнения проецирования, анализа результатов, а также дополнение узлом развития аппарата преобразований и соответствующим интерфейсом.

ПРОГРАММА 2. ИНФОРМАЦИОННО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Программа включает 4 проекта с 10 подпроектами.

Проект 2.1. Концептуальные модели

Разработана общая концептуальная модель системы ИММ на основе предложенного интенсионального определения ИММ, включающего его описание (в форме экспликации) как интеграционного процесса взаимодействия базовых составляющих, характеризующих разные виды (способы, формы) формализованного представления (модельного описания) объекта познания с позиции системного подхода (целостность, иерархическая организация, структурная упорядоченность, функциональные свойства, координация, целевая адаптация, процессуальные характеристики).

Представлена базово-уровневая концептуальная модель системы ИММ, отражающая взаимосвязь базовых составляющих, раскрываются их специфические особенности, состав и функциональные возможности, подчеркивается необходимость использования системно обоснованной (в соответствии с поставленной целью исследования) информации, квалифицированной ее обработки и алгоритмизации вычислительных процедур (программной реализации) в контексте визуализации модели и возможности численной оценки ее характеристик (элементов, отношений, зависимостей). Отмечается, что каждая из опорных составляющих является источником геометрических процедур, применяемых к модели в процессе моделирования.

В целях более глубокого изучения сущностного содержания ИММ в рамках системного подхода впервые предлагаются базово-уровневая концептуальная, онтологическая (тезаурусная), системно-структурные и алгоритмические модели системы ИММ и ее подсистем. Подпроект 2.1.1 - общая концептуальная модель ИММ

Информационно-математическое моделирование (ИММ) это сложно-организованный процесс построения формализованного образа объекта познания как его гомоморфного отображения, воспринимаемого по определенным свойствам (характеристикам) как аналог этого объекта, с группами функций исследования, на основе обработки и анализа системно обоснованного информационного массива, отображающего пространственные, морфологические, структурные, функциональные, коммуникационные, процессуальные аспекты организации и функционирования объекта, путем интеграции процедур математической формализации, геометризации и информационно-технологической поддержки с целью получения новых знаний об объекте, направленных на решение задач проектирования, оптимизации, визуализации, управления, прогнозирования, объяснения фактов, построения гипотез, обучения.

Совокупный процесс ИМ-моделирования включает сбор необходимой информации (в соответствии с поставленной целью), составляющей (определяющей) информационную модель исследуемого объекта, обработку полученных данных (их организацию или структурирование) и алгоритм преобразования этих данных (инкапсуляцию), формирование математической модели объекта,

23

решение (в виде формализованных или алгоритмических процедур) необходимых аналитических задач (технико-технологического, экономического, статистического и иного характера), геометризацию модели (компьютерную визуализацию), выполнение геометрических построений (преобразований), разработку численных алгоритмов (с целью создания программных продуктов), получение рассчитываемой информации (используемой в процессах производства).

Всякая математическая модель есть некоторая абстракция, отражающая выбранные существенные свойства рассматриваемых реальных объектов, процессов (физических ситуаций). В результате процедуры выделения и формализации получают математическое описание явления, т. е. его математическую модель, которую далее можно исследовать математическими методами - исследовать как математическую задачу, математическую проблему. Использование математических моделей и результатов исследований этих моделей происходит на основе их интерпретации в реальных ситуациях. При этом использование будет оправданным (правомерным) и эффективным, если модель будет достаточно адекватной, а полученные математические результаты практически реализуемы.

Наряду с математическими методами решения используются информационные (компьютерные) технологии решения, проводятся вычислительные эксперименты, выполняется численная обработка математической модели. При этом особо следует отметить возможности применения современных информационных технологий, использование специализированных автоматизированных средств для обработки пространственной информации и построения объемных цифровых моделей. Геометризация объектов инженерной практики использует методы геометрического моделирования, позволяющие визуализировать исследуемые объекты (а точнее, их модели).

Подпроект 2.1.2 - базово-уровневая концептуальная модель ИММ

Процесс ИМ-моделирования реального объекта (физической ситуации) необходимо рассматривать с позиций системного анализа. При этом изучение (исследование) объекта с целью построения достаточно адекватной модели (или при проектировании нового объекта) предполагает сбор (получение) данных (информационных массивов) об объекте (его характеристиках, свойствах) в виде разноформатных (табличных, графических, геометрических и иных) материалов, которые затем представляются и преобразуются в выходную информацию требуемого назначения.

При этом используются различные системные представления, выражающие основные способы понимания системы, взаимосвязанные и взаимодополняющие друг друга. Любой инженерно-технический объект (сооружение, жилой ансамбль, техническое устройство, механизм, транспортная сеть, промышленный комплекс и др.) можно рассматривать как сложную систему, обладающую определенной морфологией, функциональной направленностью, системной целостностью, средовой характеристикой и т. д. Поэтому для построения синтетического описания (модели) объекта (как сложной системы) необходимо

провести качественный анализ данных, выявление существенных (для исследуемого, проектируемого объекта) характеристик, определение структуры, связей, функциональных возможностей и т. д. Далее следует выразить (отразить) выявленные характеристики через параметры (переменные) модели.

Изучение таких многоэлементных систем связано с необходимостью учитывать и оценивать множество разнообразных по своей природе факторов в условиях неопределенности и недостаточной информированности (в рамках некоторой сконструированной системной модели). Методология системного анализа включает в себя выявление всех системообразующих связей, отношений, факторов, конструкций. При этом системное исследование включает следующие аспекты:

• компонентный, отражающий изучение состава системы (с выделением компонентов, взаимодействие которых обеспечивает целостность системы);

• структурный, предусматривающий изучение внутренних связей и взаимоотношений элементов системы, выяснение роли и функции каждой связи (т. е. структура, конфигурация, типология);

• функциональный, определяющий изучение функциональных зависимостей, свойств и отношений (функциональной организации);

• коммуникационный, характеризующий изучение системы во взаимодействии с окружающей средой, анализ возмущающих факторов;

• процессуальный, рассматривающий развитие системы во времени (изменение состояния системы, ее элементов и связей между ними, системного поведения), возможные перспективы развития.

Системность общего процесса ИМ-моделирования реальных объектов определяется взаимосвязанностью основных составляющих этого процесса (аналитической, информационной, геометрической) и достигается их интеграцией, целевой адаптацией, координацией решаемых задач (в соответствии с целевой направленностью). На рис. 2 представлена схема, определяющая структуру и состав ИМ-моделирования.

Аналитическая составляющая включает:

• математическую формализацию описания объекта-оригинала (и соответственно интерпретацию целевой проблемы), причем в форме, математически ориентированной на использование определенных аналитических методов исследования (в рамках некоторой математической теории), таким образом, формируется некоторая математическая модель;

• аналитическое решение поставленной (в математической интерпретации) задачи, при этом итоговый результат записывается в формальном (символьном) виде;

• алгоритмизацию итогового аналитического решения с целью использования вычислительных средств для получения числовых результатов, при этом может выполняться параметризация сформированной математической модели (это позволяет выполнить оптимизационный выбор конечного решения целевой проблемы).

Информационная составляющая включает:

• формирование массивов данных, составляющих информационное описание объекта-оригинала, что потребует сбор данных в соответствии с целевой задачей, их пересылку и/или передачу на носителях, ввод данных в информационную систему, актуализацию данных (в соответствии с текущей обстановкой);

• обработку данных, в том числе фильтрацию данных, организацию (инкапсуляцию) данных с целью их архивации, преобразования, спецификации, верификации и структурирования; а также сортировку данных (классификацию, агрегирование, интеграцию);

• анализ данных и получение обобщающих показателей (характеристик) с целью построения математической модели, ее параметризации;

• геометро-графическое представление (компьютерную визуализацию) полученной математической (аналитической или численной) модели, получение локальных (нормали, кривизны и др.) и интегральных (объем, площадь поверхности, моменты инерции и др.) характеристик цифровой модели, работа с цифровой моделью;

• вычислительные операции, направленные на выполнение необходимых расчетов в рамках полученной модели (при получении целевых результатов), или производимые в процессе моделирования.

Геометрическая составляющая определяет выполнение:

• геометро-графической интерпретации массивов данных (информационного описания объекта-оригинала) в целях последующей визуализации в виде геометрической модели;

• оцифровки (векторизации) геометро-графических материалов (на основе цифровой обработки изображений, пространственной информации);

• геометрической интерпретации аналитического описания модели, аналитического или численного решения (в рамках сформированной математической модели);

• геометрических построений и преобразований (в том числе с применением компьютерных средств), необходимых для получения результатов (промежуточных или итоговых), направленных на целевое решение исходной проблемы.

Необходимо отметить, что каждая из выделенных составляющих ИМ-моделирования характеризует определенный подход к описанию и изучению исследуемого объекта, отражая, таким образом, возможность получения его представления в определенной форме и определенным способом, что обеспечивает реализацию различных аспектов системного анализа, полноту исследования совместным дополнением разных системных представлений.

Так, математическая модель формируется, основываясь на результатах компьютерной обработки данных (анализа данных, визуализации данных, вычислений, геометрических построений, процедур визуализации).

Аналитический метод решения (включая численную реализацию алгоритма решения) требует геометрической интерпретации и последующей визуализации. Геометризация объекта проектирования позволяет рассмотреть раз-

личные варианты, внести уточнения (изменения), в том числе в аналитическое описание модели. Г рафический метод связан с геометризацией пространственных форм, использованием информационных технологий и построением объемных цифровых моделей объектов-оригиналов.

Применение компьютерных средств визуализации (машинной графики, компьютерной анимации) предоставляет функциональные возможности интерактивной работы с цифровой моделью, выполнение различных геометрических преобразований, внесение конструктивных изменений с последующим просмотром.

Графоаналитические методы используют практические способы геометрического представления (отображения) и конструирования объемных тел и форм, поверхностей и кривых, расчета их характеристик. Причем следует иметь в виду важную особенность геометрического моделирования: возможность практической реализации результата геометрического моделирования (например, результата инженерного проектирования). Необходимо получить не только конструктивное содержание геометрической модели, но дать технологическое описание процесса создания (изготовления) образца. Таким образом, каждая из составляющих ИМ-моделирования является источником геометрических процедур, применяемых к модели в процессе моделирования. Процесс геометризации является составной частью процесса ИМ-моделирования, включающего математическую формализацию описания исследуемого или проектируемого объекта на основе скоординированной, внутренне согласованной и системно достаточной информации об объекте.

Ггометризация выполняется на основе гсометро-графической интерпретации информационного описания объекта-оригинала в целях последующей визуализации в виде геометрической модели. При этом функциональная направленность (в научно-теоретическом или конструктивно-практическом аспекте) образного представления отвечает поставленным целям исследования и определяет выбор вида модели (графического изображения), обеспечивающего ее семантические качества, когнитивные возможности, прикладные перспективы. Системный подход к пониманию геометризации как процесса геометрического моделирования требует осмысления различных аспектов его сущности, включая гносеологический, онтологический, когнитивный, морфологический, типологический, методологический.

Итак, можно определить «геометрическую проекцию» ИМ-моделирования объекта как «процесс создания визуализируемой модели объекта на базе математического описания характеризующих объект зависимостей и отношений, геометризации объекта и информационной оболочки, реализуемой в соответствующей программной среде используемых программно-аппаратных средств» [автор].

Информационно-математическое моделирование

Геометрическая составляющая

геометро-графическая интерпретация массивов данных

оцифровка (векторизация) геометро-графических материалов

геометрическая интерпретация аналитического описания (модели)

геометрическая интерпретация аналитического/численного решения

геометрические операции и преобразования

геометрическое проецирование

геометризация кинематических моделей объектов и форм

I

геометризация ко-шитивных и семантических моделей

Рис. 2. Структура и состав информационно-математического моделирования

Проект 2.2. Онтологические модели

Выполнены работы по систематизации и развитию базовых понятий и категорий, отражающих существенные свойства и отношения элементов системы ИММ. Выделены [-аксонометрические (классифицированные) категории, распределенные по иерархическим уровням, представляющие системное описание системы ИММ (ее положение в общей системе моделирования) и раскрывающие суть концептуальной модели ИММ.

В нодпроекте 2.2.1 на основе введенных понятий ИММ, существующих семантических связей и отношений между лексическими единицами разработана идеографическая схема в форме тезауруса (иерархическая схема понятий) к термину ИММ (рис. 3) с указанием только основных понятий и связей, используемых непосредственно при определении (формировании) концептуальных и структурных моделей).

Рис. 3. Иерархия понятий к термину «Информационно-математическое моделирование»

О - информационно-математическое моделирование; 1 - аналитическое моделирование; 2 -информационное моделирование; 3 - геометрическое моделирование;

1.1 - математическая формализация; 1.2 - аналитическое решение; 1.3 - алгоритмизация решения; 1.4 - параметризация ММ;

1.1.1 - идентификация объекта; 1.1.2 - выбор основных переменных; 1.1.3 - определение ■раниц изменения переменных; 1.1.4- математическое описание связей, ограничений; 1.1.5-спецификация модели; 1.1.6- проверка (обоснование) ММ; 1.1.7 - корректирование ММ; 1.2.1 - выбор аналитического метода; 1.2.2 - адаптация метода к выбранной модели; 1.2.3 -теоретическое обобщение (развитие теории); 1.2.4 - получение аналитического решения; 1.2.5 - проверка корректности полученных аналитических соотношений; 1.2.6 - корректирование решения; 1.2.7 - интерпретация и анализ решения;

1.3.1 - формирование модели процесса решения; 1.3.2- разработка алгоритма решения; 1.3.3

- блок-схема алгоритма; 1.3.4 - выбор языка программирования; 1.3.5 - проверка корректности алг оритма; 1.3.6 - корректирование алгоритма; 1.3.7- программная реализация решения; 1.4.1 - выбор параметров модели; 1.4.2 - оценка влияния параметров на ММ; 1.4.3 - определение областей изменения параметров; 1.4.4 - анализ устойчивости ММ по параметрам; 1.4.5

- критерии выбора решения по параметрам;

2.1 - формирование массивов данных; 2.2 - обработка и организация данных; 2.3 - анализ данных; 2.4 - визуализация данных; 2.5 - визуализация аналитической/численной модели; 2.6 - интерактивная работа с цифровой моделью; 2.7 - вычислительные операции;

2.1.1 - сбор данных; 2.1.2 - пересылка (и/или передача на носителях) данных; 2.1.3 - ввод данных в ИС; 2.1.4 - актуализация данных;

2.2 I - фильтрация данных; 2.2.2 - организация (инкапсуляция) данных; 2.2.3 - архивация данных; 2.2.4 - преобразование данных; 2.2.5 - структурирование данных. 2.2.6 - сортировка данных (классификация, агрегирование, интеграция);

2.3.1 - верификация данных; 2.3.2 - оценка репрезентативности данных; 2.3.3 идентификация данных, связей, отношений; 2.3.4 - спецификация данных, связей, отношений; 2.3.5 -формирование табличных структур данных; 2.3.6 - графическая интерпретация структур данных; 2.3.7 - получение обобщающих показателей и их оценка; 2 3.8 - формирование моделей зависимостей и их оценка (значимости, надежности), 2.3.9 - выявление особенностей (трендовых, морфологических, функциональных и др.) объекта для отражения в модели; 2.4.1 - выбор графической модели визуализации данных; 2.4.2 - выбор способа графического представления данных; 2.4 3 - подготовка данных для их графического представления в графической программе, 2.4.4 - выбор технологий визуализации (освоение инструментов, овладение методикой); 2.4.5 - формирование визуализированной модели; 2.4.6 - оценка качества визуализации; 2.4.7 - корректирование модели;

2.6.1 - настройка программно-аппаратной среды; 2.6.2 - загрузка модели; 2.6.3 - выбор режимов просмотра модели; 2.6.4 - внешнее оформление модели; 2 6.5 - назначение (оформление) фона для сцены; 2.6.6 - выполнение операций с моделью (редактирование, разрезы, сечения, поворот, булевы операгрш); 2.6.7 - получение конкретных информационных характеристик модели (метрических, геометро-графических, объемно-массовых и др.); 2.7.8 - подготовка к печати и печать; 2.6.9 - сравнительный анализ вариантов модели (при визуальном отображении);

2.7.1 - постановка вычислительных задач; 2.7.2 - анализ вычислительных задач; 2.7.3 - формирование модели процесса вычислений (алгоритма); 2.7.4 - настройка программно-аппаратной среды; 2.7.5 - программная реализация алгоритма; 2.7.6 - подготовка исходных данных для вычислений, 2.7.7 - выполнение вычислительных операций; 2.7.8 - оценка точности расчетов (анализ погрешностей, корректирование вычислений); 2.7.9 - анализ полученного результата;

3.1- геометро-графическая интерпретация массивов данных; 3.2 - оцифровка (векторизация) геометро-графических материалов; 3.3 - геометро-графическая интерпретация аналитического описания (модели); 3.4 - геометро-графическая интерпретация аналитического/численного решения; 3.5 - геометрические операции и преобразования с визуализированной моделью (ГТ моделью); 3.6 - геометрическое проецирование; 3.7 - гсометризация кинематических моделей объектов и форм; 3.8 - геометризация когнитивных и семантических моделей;

3.1.1 - выбор способа 1Т описания (графической нотации) объекта на основе массивов данных; 3.1.2 - обработка массивов данных в соответствии с выбранным методом геометризации; 3.1.3 - формирование ГТП; 3.1.4 - анализ ГТО; 3.1.5- оценка точности (корректности) ГТП; 3.1.6 — корректирование ГТП;

3.2.1 - выбор способа оцифровки; 3.2.2 - подготовка ГТ материалов к оцифровке (векторизации); 3.2.3 - настройка аппаратно-программной среды (в целях оцифровки); 3.2.4 - сканирование ГГ материалов; 3.2.5 - векторизация/растеризация графики (графической информации); 3.2.6 - анализ полученной графики; 3.2.7 - корректирование процесса оцифровки (векторизации); 3.2.8 - хранение графической информации (графической модели); 3.2.9 - формирование графических баз;

3.5.1 - ручной способ выполнения операций; 3.5.2 - автоматизированный способ; 3.5.3 - анализ результатов; 3.5.4 - корректирование,

3 6.1 - выбор метода (способа) проецирования, 3 6.2 - перспективные изображения; 3.6 3 ручной способ выполнения проецирования; 3 6 4 - автоматизированный способ проецирования; 3.6.5 - анализ результатов; 3.6.7 - корректирование,

3.7 1 - выбор способа (метода) формирования кинематической модели; 3.7.2 - подготовка исходных данных; 3 7.3 - реализация процедуры формирования кинематической модели; 3.7.4 - анализ результата; 3.7.5 - корректирование; 3 7 6 - получение дополнительной информации (сведений) при исследовании модели,

3.8.1 геометризация результатов/гипотез когнитивных процессов на основе некоторой модели представления знаний; 3.8.2 - геометризация семантических моделей теории и практики; 3.8 3 - анализ модели;

Под проект 2.2.2 - тезаурусная (иерархическая) модель к термину «Модель»

Разработана идеографическая схема в форме тезауруса (иерархическая схема понятий) к термину «Модель» (рис. 4).

Рис. 4. Фрагмент иерархии понятий к термину «Модель».

О - модель; 1 - объект моделирования: 2 - субъект моделирования: 3 - цель моделирования; 4 - виды моделей, 5 - построение моделей, 6 свойства моделей; 7 - критерии оценки моделей; 1.1 - объект визуализации; 1.2 - объект научного исследования; 1.3 - проектируемый объект; 2.1 - определение целей моделирования; 2.2 - определение условий (ограничений); 2.3 - выбор метода моделирования: 2.4 - выполнение процесса моделирования; 2.5 - оценка результата моделирования; 3.1 - проектирование; 3.2 - визуализация: 3.3 - оптимизация; 3.4 - управление; 3.5 - прогнозирование; 3.6 - получение новых знаний; 3 7 - объяснение фактов; 3.8 - построение гипотез; 3.9 - передача знаний (обучение); 4.1 - материальные (физические); 4.2 - знаковые, 4.3 - информационные; 5.1 - системный подход; 5.2 выбор формы представления, 5.3 - формализация; 5.4 - алгоритмизация решения (модель процесса решения задачи); 5.5 - обеспечение процесса моделирования; 5.6 - оценка целевой приемлемости

31

модели; 5.7 - корректирование модели; 6.1 - адекватность (обоснованность) модели; 6.2 — гомоморфизм модели, 6.3 - универсальность модели, 6.4 - репрезентативность модели; 6.5 -экономичность модели; 7.) - качественные критерии; 7.2 - количественные критерии; 4.1.1 -макеты, 4.1.2 - образцы; 4.1.3 - муляжи; 4.2.1 - символьные; 4.2.2 - геометро-графические;

4.3.1 - словесное описание; 4.3.2 - компьютерные; 4.2.1.1 - математические; 4.2.1.2 - табличные; 4.2.1.3 алгоритмические, 4.2.1.4 - программы ЭВМ; 4.2.2.1 - геометрические абстракции; 4.2.2.2 - схемы; 4.2.2.3 - сети; 4.2.2.4 - графы; 4.2.2.5 - карты; 4.2.2.6 - рисунки; 4.2.2.7 - чертежи; 4.2.2.8 - графики; 4.2.2.9 - фотографии; 4.2.2.10 - видеофильмы; 4.3.2.1 -имитационные; 4.3.2.2 - графические; 4.3.2.3 - расчетные; 4.3.2.4 - базы данных; 4.2.1.1.1 -логические; 4.2.1.1.2 — алгебраические; 4.2.1.1.3 — графоаналитические; 4.2.1.1.4 - векторные; 4 2.1.1.5 - вероятностные; 4.2.1.1.6 - функциональные; 4.2.2.1.1 - проективная геометрия; 4.2.2.1.2 - дифференциальная геометрия; 4.2.2.1.3 - начертательная геометрия; 4.2.2.1.1.1 — кремоновы (бирациональные) преобразования; 4.2.2.1.3 1 - аксонометрия; 4.2.2.1.3.2 - ортогональное проецирование; 4.2.2.1.3.3- циклография; 4.2.2.1.4 - топология; 4.2.2.1.5- евклидова геометрия; 4.2 2.1.6 - неевклидова геометрия; 4.3.2.1.1 - инженерная графика; 4.3.2.1.2

- компьютерная графика; 4.3.2.1.3 - анимация; 4.3.2.1.1 - видеографика, 5.1.1 - микроскопическое представление; 5.1.2 - функциональное представление; 5.1.3 - функциональное представление; 5.1.4 - макроскопическое представление; 5.1.5 - иерархическое представление; 5.1.6 - процессуальное представление; 5.3.1 - формализация условий задачи (модель содержания задачи); 5.3.2 - выбор вида модели объекта; 5.3.3 - выбор модели решения (модель способа решения), 5 5.1 - теоретическое; 5.5.2 - технико-технологическое, 5.5.3 - информационное (достаточность информации об объекте); 5.5.4 - кадровое (компетентность субъекта моделирования); 5.5.5 - ресурсное (материальное, финансовое); 6.1.1 - верификация модели;

6.1.2 - валидация модели; 6.2.1 - аналогия; 6.2.2 - подобие; 6.2.1.1 - по структуре; 6.2.1.2 -по внешнему виду; 6.2.1 3 -по поведению; 7.1.1 -соответствие цели; 7.1.2 -степень подобия объекту; 7.1.3 - область применимости (возможности и ограничения); 7.1.4 - полнота отражения свойств, взаимосвязей и отношений; 7.2.1 - эффективность модели; 7.2.2 - результативность модели; 7.2.11 - по возможности работы с моделью; 7.2.1.2 - по возможности исследования модели; 7.2.1.3 - полезность модели.

Подпроект 2.2.3 - Отношения «субъект - объект - модель»

Моделирование - это всегда целенаправленная деятельность субъекта, который стремится некоторым образом описать (представить) объект исследования (познания). Основной аспект отношения «субъект - объект» - познава-тельно-при кладной.

Выбор типа модели должен отвечать требованиям задачи, целям моделирования и связан с компонентами: семантическая (смысловая), синтаксическая (выразительная), прагматическая (оценочная).

Любая модель должна отражать отношение соответствия объекту (оригиналу) моделирования. В модели отражаются свойства объекта, существенные с точки зрения решаемой задачи.

Субъект выполняет оценивание модели по следующим аспектам:

- адекватность представления (соответствие модели объекту);

- возможность исследования модели (выполнение операций и преобразований над моделью);

- достижимость целевого результата (в решении исходной задачи).

На рис. 5 и 6 представлены схемы взаимосвязей «субъект - объект - модель», функционально-структурного состава модели.

Рис. 5. Схема взаимосвязей «субъект - объект - модель»

Модель проиес

Модель решения

Модель объекта

Модель содержания задачи (формализация условий)

Рис. 6. Функциональный состав модели

Решение исходной задачи на основе моделирования (в том числе ГМ) включает следующие аспекты:

- модель содержания задачи (формализация условий задачи, геометрическая постановка задачи);

- модель объекта (выбор модели объекта, отвечающей модели содержания задачи);

- модель решения (выбор метода/способа решения поставленной геометрической задачи);

- модель процесса решения задачи (алгоритмизация решения).

Выбор метода ГМ (модель решения) определяется способом описания объекта, исходными данными, условиями (ограничениями), поставленной целью (с выбором критерия оценки конечного результата), имеющимися средствами решения (включая уровень компетентности субъекта, технические средства).

Проект 23. Системно-структурные модели

В составе проекта 2.3 выполнено 2 подпроекта. Дано схематическое представление системы прототипов и предлагаемых решений. Схема прототипа и предлагаемых решений нулевого ранга (подпроект 2.3.1) представлена на рис. 7. Схемы прототипов и предлагаемых решений первого ранга (подпроект 2.3.2) и второго ранга представлены на рис. 8-10 и рис. 11-14 соответственно.

На всех рисунках в данном подпроекте и далее серый фон в уголке прямоугольников означает, что в диссертации в данном разделе разработаны частичные новые решения, а полностью затененные элементы означают, что они применены впервые или содержат преобладающую степень новизны в данном разделе работы.

Подпроект 2.3.1 — структурно-функциональная модель прототипа 0 ранга

Прототип 0-го ранга

Вход: заказ на развитую систему ИММ

"А

1Л

5

Выход: выполненный заказ

Подсистемы прототипа:

1 - аналитическое моделирование;

2 - информационное моделирование;

3 - геометрическое моделирование;

4 - системная интеграция; 6 - системная адаптация; 5, 7 - интерфейс.

Рис. 7. Структура ИММ по прототипу 0-го ранга и предлагаемому решению: 6 - подсистема адаптации, 7 - дополнительный интерфейс

Подпроект 2.3.2 - структурно-функциональные модели прототипа 1 ранга

Вход подсистемы: заказ на развитую подсистему

Блоки прототипа:

1.1 - математическая формализация,

1.2 - аналитическое решение;

1.3 - алгоритмизация решения;

1.4 - параметризация ММ;

1.5 - интерфейс; 1.6- блок интеграции;

1.7 - дополнительный интерфейс.

Рис. 8. Структура подсистемы 1 «Аналитическое моделирование»

Вход подсистемы:

заказ на развитую подсистему

Блоки прототипа:

2.1 - формирование массивов данных;

2.2 обработка данных;

2.3 — анализ данных;

2.4 - визуализация данных,

2.5 визуализация аналитической/ численной модели;

2.6 - интерактивная работа с цифровой моделью;

2.7 - вычислительные операции;

2.8 интерфейс,

2.9 - блок интеграции;

2.10- дополнительный интерфейс.

Выход подсистемы: выполненный заказ

Рис. 9. Структура подсистемы 2 «Информационное моделирование»

Вход

подсистемы:

Третий прототип 1 -го ранга

3 А 32/ 3.4 / Ж

к > к ;

У 3 9 1'

3.5 36/ 37/

Выход подсистемы:

заказ на

развитую

подсистему

3.11

I—— .1 10

выполненный заказ

Блоки прототипа:

3.1 - ГТ интерпретация массивов данных; 3.2 - оцифровка (векторизация) ГГ материалов; 3.3 - ГТ' интерпретация аналитического описания (модели); 3.4 -ГГ интерпретация аналитического/численного решения; 3.5 - геометрические операции и преобразования с визуализированной моделью (ГТ моделью); 3.6 -геометрическое проецирование; 3.7 -геометризация кинематических моделей объектов и форм; 3.8 - геометризация когнитивных и семантических моде-лей;3.9 - интерфейс; 3.10 блок интеграции; 3.11 - дополнительный интерфейс.

Рис 10. Структура иодсистемы 3 «Геометрическое моделирование»

Подпроект 2.3.3 - структурно-функциональные модели прототипа 2 ранга

Вход блока:

Первый прото

ran 2-го ранга

1.1.Ь

1.1.3

1 15.

1.1.7 *■

заказ на развитый блок

1.1.2,

I 14

1 1.6

11

1.1.10

Выход блока: выполненный заказ

Узлы блока:

1.1.1 - идентификация объекта; 1.1.2- выбор основных переменных;

1.1.3 - определение границ изменения переменных;

1.1.4 - математическое описание связей, ограничений;

1.1.5 — спецификация модели,

1.1.6- проверка (обоснование) ММ;

1.1.7- корректирование ММ; 1.1.8 - интерфейс;

1.19- подготовки данных;

4.10 — дополнительный интерфейс.

Рис. 11. Структура блока «Математическая формализация»

Вход: Второй прототип 2-го ранга

1.2.1. 1.2.2/ 1.2.3 1.2.4 1.2.9

• i Ь Выход: ^

заказ на развитый блок 1 , 1.2.8 1 2 ¡о выполненный заказ

1.2.5 J | 126J 1 Х21л

Узлы блока:

1.2.1 - выбор аналитического метода; 1.2.2 — адаптация метода к выбранной модели; 1.2.3 - теоретическое обобщение (развитие теории); 1.2.4 - получение аналитического решения; 1.2.5 - проверка корректности полученных аналитических соотношений; 1.2.6 - корректирование решения; 1.2.7 - интерпретация и анализ решения;

1.2.8 - интерфейс; 1.2.9 - геометрическая обработка аналитического/численного решения; 1.2.10- дополнительный интерфейс.

Рис. 12. Структура блока 1.2 «Аналитическое решение»

Узлы блока:

3.1.1 выбор способа ГТ описания (графической нотации) объекта на основе массивов данных; 3.1.2 - обработка массивов данных в соответствии с выбранным методом геометризации; 3.1.3 формирование ГТТТ; 3.1.4 - анализ ГГП; 3.1.5 - оценка точности (корректности) ГГП; 3.1.6 — корректирование ГГП; 3.1.7 - интерфейс; 3.1.8 - подготовка к компьютерной обработке ГГП; 3.1.9 - дополнительный интерфейс.

Рис. 13. Структура блока 3.1 «ГГ интерпретация массивов данных»

Узлы блока:

3.6.1 - выбор метода (способа) 1гроецирования; 3.6.2 - перспективные изображения; 3.6.3 - ручной способ выполнения проецирования; 3.6.4 автоматизированный способ проецирования; 3.6.5 - анализ результатов; 3.6.6 - корректирование; 3.6.7 - интерфейс; 3.6.8 - развитие аппарата проецирования, 3.6.9 - дополнительный интерфейс.

Рис. 14. Структура блока 3.6 «Геометрическое проецирование»

Проект 2.4. Алгоритмические модели

Подпроект 2.4.1 — алгоритмическая модель функционирования ИММ

Предложен пакет алгоритмических моделей, представленных в виде блок-схем по ГОСТ 19-701. Старший алгоритм приведен на рис. 15.

3 Начало цикла по целеполаганию

7 Начало цикла по времени

}.....'¿¿А

5 ....."Х}.....,кГГ7\

Информация о запросах: на ситуацию (исходные условия задачи): на организацию (последовательность подзадач ИММ),

на управление (координация подзадач ИММ); ^ на обеспечение

6 Г Начало цикла по " * ]_ ресурсам

ю:

Х

16

1С

Функционирование под

системы 1 / —£—

X

и.

Функциони-роваше подсистемы 2

X

Интерфейс 5

17

Функционирование подсистемы 4

20

Оценка результативности

21 Конец цикла по

времени

25 Конец цикла по целеполаганию

} ••< У

24 Г Конец цикла по по ресурсам

27

/7.....Н

19

Результаты, отчеты

Рис. 15. Алгоритмическая модель функционирования по прототипу ИММ и прилагаемому решению

ПРОГРАММА 3. ИММ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Программа включает 3 проекта с 10 подпроектами.

Проект 3.1. ИММ на основе размерности геометрических многообразий

Геометризация объектов инженерной практики использует методы геометрического моделирования, позволяющие визуализировать исследуемые объекты (а точнее, их модели). Основным инвариантом таких отображений является размерность.

Подпроект 3.1.1 - Методология геометрического моделирования

Методы геометрического моделирования определяются способами решения геометрических задач. Их можно разделить на следующие группы:

- аналитические методы;

- графические методы, в том числе с использованием средств машинной графики;

- графоаналитические методы.

Аналитические методы основаны на переходе от геометрических абстракций (определяющих геометрическую постановку задачи, описываемую с помощью геометрических понятий) к некоторым числовым объектам и операциям над ними (в рамках некоторой математической модели). Результатам, полученным в итоге действий над числовыми объектами, ставятся в соответствие геометрические объекты (геометрическая интерпретация). Основное достоинство всех аналитических методов - возможность получения точного числового решения. Использование компьютерных средств направлено именно на выполнение численных расчетов. Например, методы аналитической геометрии позволяют исследовать геометрические фигуры и их свойства алгебраическими средствами (на основе координатного способа описания исследуемого объекта).

Графические методы решения осуществляются с помощью геометро-графических построений - «приемов, позволяющих по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперед заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями»67. Последовательность действий (построений), приводящая к требуемому результату, представляется в виде алгоритма и может быть осуществлена на компьютере. Развитие графических методов, ориентированных на использование ЭВМ, основано на методах и средствах машинной графики. Сегодня активно используется компьютерная анимация, представляющая собой в общем случае совокупность методов и средств, ориентированных на получение динамических графических изображений. Системы компьютерной анимации составляют часть инструментальных средств, реализующих графические методы обработки динамических данных.

Графоаналитические методы решения геометрических задач определяют реализацию геометрического алгоритма на основе сочетания геометро-графических построений и аналитических вычислений, при этом эффективно

67 Большой энциклопедический словарь: В 2 т.1 Под ред А М. Прохорова - М Сов. Энциклопедия, 1991

39

использование ЭВМ (программных средств аналитических вычислений, машинной графики или компьютерной анимации).

Графоаналитические методы основываются на разделах вычислительной геометрии (например, теория поверхностей Кунса, теория кривых Безье, теория сплайнов и др.), разделах дискретной математики, в которых рассматриваются алгоритмы для решения геометрических задач, исследуются вопросы построения выпуклых оболочек, определения принадлежности одного объекта другому, поиска их пересечения и т. п.

Методологический анализ представленных способов решения геометрических задач в рамках ГМ позволяет сделать следующие выводы.

Аналитический метод

1. Качественное выполнение анализа проблемы в целях выявления геометрических свойств исследуемого объекта, количественных отношений его элементов, определяющих аналитическое описание объекта, опирается на применение теоретических знаний и практических умений (т. е. развитых компетенций) в области аналитической геометрии. Важным является способность аналитической интерпретации (символьной формализации) геометрического описания объекта, его геометрических свойств и отношений.

Выявленные элементы (параметры, характеристики, отношения) должны отражать (непосредственно или через геометрические свойства) как целевые параметры, так и исходные данные.

2. Выбор рационального пути (способа) аналитического решения геометрической задачи определяется выделением конструктивной последовательности аналитических операций, реализующих выявленные в результате анализа геометрические свойства (признаки, отношения), связанные с целевыми параметрами (и/или характеризующие их).

3. Аналитические методы решения геометрических задач предполагают формирование символьной модели, определяющей получение в процессе последовательного проведения математических преобразований итогового результата в виде формализованного представления (формул и/или символьных записей), выражающих зависимость целевых параметров от исходных величин.

4. Использование вычислительных возможностей информационных технологий в рамках аналитических методов решения геометрических задач направлено на выполнение числовой обработки полученной символьной (формализованной) модели. Это потребует разработку соответствующего вычислительного алгоритма и его реализацию в выбранной программной и/или прикладной среде.

Получение численного результата может быть выполнено как в форме подстановки исходных числовых значений в итоговое символьное описание (результата математических преобразований), так и путём выполнения итерационных процедур (нахождения последовательных приближений) или иных аппроксимационных алгоритмов. В последнем случае необходимо указать точность, с которой выполняется аппроксимация итогового результата. Кроме того, возникает вопрос о погрешностях вычислительных операций.

5. Итоговый численный результат должен быть интерпретирован (в соответствии с описательными процедурами образования символьной модели) на геометрическом языке (через геометрические понятия). Полученное геометрическое представление позволяет выполнигь визуализацию геометрической модели. Этот этап также характеризуется использованием программных средств (машинной графики).

Таким образом, аналитический метод в геометрическом моделировании направлен на получение численного результата (точного или приближенного) на основе символьного (формализованного) представления геометрической модели. Особенностью этого метода является развитость аналитических компетенций субъекта моделирования в отношении описания (интерпретации) геометрических свойств (форм, отношений, взаимосвязей) объектов. Информационные технологии используются в роли вычислительных средств, обеспечивающих числовую реализацию аналитических итогов, а также при выполнении аналитических преобразований (с помощью средств компьютерной алгебры).

Графический метод

1. Графический метод (в рамках ГМ) основан на использовании геометрических построений и, следовательно, предполагает, прежде всего, переход к описанию объекта исследования на геометрическом языке (через геометрические понятия), т. е. получение абстрактной геометрической модели.

Следует заметить, что геометрическим понятиям и теориям присуща высокая степень абстрактности. Можно отметить такие важнейшие виды абстракции (причем имеющие важное значение в геометрии, для математики в целом) как «абстракция идеализации» - отождествление между собой предметов определенного класса и наделение их идеальными, воображаемыми свойствами, которыми реальные предметы не обладают или обладают лишь с определенной степенью приближения (понятия геометрической точки, линии, фигуры и др.); «абстракция потенциальной бесконечности» (понятие бесконечного множества, неограниченность продолжения прямой в обе стороны, число точек на отрезке, прямой, плоскости и др.); «абстракция над абстракциями» (многоступенчатая абстракция) - образование новых обобщенных понятий при отождествлении объектов уже являющихся некоторыми абстракциями (понятия вектора, группы, поля, многомерных пространств, в т. ч. бесконечномерных и др.).

Поэтому формализация исходной реальной проблемы (в том числе в геометрической форме), прежде всего, направлена на возможность ее решения (хотя и через абстрактные представления).

2. Формирование геометрической абстракции как модельного описания объекта может выполняться как на основе предварительного анализа объекта (выделения важных по целевым установкам геометрических свойств и отношений, количественных характеристик и функциональных зависимостей), так и в результате непосредственного выполнения компьютерных методов графического изображения (например, по аналитическому описанию объекта) в соответствующей среде программирования или прикладной среде. В этом случае качественная компьютерная визуализация позволяет исследовать графическое

изображение модели (например, при ЗО-моделировании можно выполнять операции интерактивного просмотра модели в различных ракурсах), определить взаиморасположение элементов модели (структуру в целом), а также числовые значения элементов модели.

3. Графический метод решения исходной задачи реализуется в результате выполнения необходимых геометрических построений, позволяющих получить геометрические характеристики, определяющие итоговый результат. В процессе геометрических построений появляются новые геометрические объекты, связанные с исходной моделью. Поэтому графический метод решения опирается на геометрическую подготовленность исследователя, владение компетенциями пространственного мышления, способностью применения теоретических знаний и практических умений различных разделов геометрии (планиметрии, стереометрии), а также тригонометрии.

4. Использование информационных технологий (в виде средств машинной графики) особенно эффективно при выполнении геометрических построений (преобразований) в рамках созданной визуализированной модели (изображения). Развитые программные средства (специализированные пакеты прикладных программ), особенно такие, которые содержат геометрические ядра (набор библиотек с программным интерфейсом, с помощью которого можно пользоваться функциями геометрического моделирования) типа CAD-систем (например, геометрические ядра Parasolid и ASM в CAD-системах SolidWorks и AutoCAD соответственно), позволяют оперативно и качественно выполнить необходимые построения и преобразования и получить итоговый результат.

Таким образом, графический метод в ГМ направлен на получение геометрического результата на основе выполнения необходимых геометрических построений и преобразований. Количественные характеристики определяются непосредственно в результате измерения характеристик элементов геометрической модели или интерфейсного (сервисного) получения из компьютерной модели.

Особенностью этого метода является развитость пространственного мышления и качество геометро-графической подготовки субъекта-исследователя. Информационные технологии используются в качестве графических средств выполнения геометрических операций и играют доминирующую роль в получении итогового результата (причем являются инструментом исследовательских действий субъекта моделирования).

Графоаналитический метод

1. Графоаналитический метод в ГМ осуществляется на основе указания конструктивного отображения, определяющего переход от объема-оригинала М| к геометрической модели М3 через вспомогательное (промежуточное) отображение М2, т. е. отображение типа М,—» М2—► М3. Причем в качестве такого отображения М2 могут быть выбраны аналитический способ преобразования (через табличные массивы описания или символьные формализации), графический способ, использующий проецирующий аппарат, а также произведение нескольких промежуточных отображений (аналитического и графического типов.

Теоретическими основами графоаналитических методов (в целях геометрического моделирования) можно рассматривать начертательную геометрию, проективную геометрию, вычислительную геометрию. Практические методы представлены в инженерной геометрии (инженерной графике). Эти методы геометрического моделирования используют преобразования (операции) с геометрическими образами, представление модели через конструирование основного обратимого отображения (как произведения вспомогательных отображений, в т. ч. и необратимых). Подходящие отображения позволяют трансформировать объект (или промежуточную модель) в другой образ, позволяющий упростить целевую задачу. Кроме того, в процессе построения таких отображений, получения преобразований, используются результаты различных математических теорий (теории групп, теории множеств, алгебраической геометрии).

2. Геометризация объекта исследования может выполняться в результате оцифровки (векторизации) графических материалов, представляющих описание объекта; построения поверхностной или объемной модели по табличным данным; кинематическими методами (операции скининга, ЗО-поворота, кручения, сдвига и др.); проективными методами и др.

3. Графоаналитические методы используются при моделировании слож-ноорганизованных геометрических форм, например, фракталообразных объектов (естественного и искусственного происхождения). Особенностью геометрического моделирования таких объектов (с точки зрения теории фракталов68) являются их структурная неоднородность, нечеткость контуров, пространственная сложность. Методология фрактального моделирования основана на геометро-графических и аналитических способах получения модельного описания фрактального объекта, позволяющих выполнить визуализацию модели. Эти способы, в основном, определяются алгоритмами рекурсивного (итерационного) смысла.

4. Особенностью графоаналитического метода является, в первую очередь, использование результатов моделирования в практических целях (например, использование чертежей в производстве, причем чертежей в бумажной или электронной форме, а также цифровых моделей - результатов визуализации). Поэтому эффективность применения данного метода существенно зависит от подготовленности (теоретической и практической) субъекта-исследователя, а также от развитости используемых средств компьютерного моделирования.

Необходимо отметить, что качество решения многих инженерных задач (задачи проектирования, задачи конструирования геометрических форм) напрямую зависят от точности исходных данных (данных измерений). Эти измерения выполняются с помощью различных инструментов (технологических операций), причем часто в автоматизированном режиме. К их числу относятся лазерные дальномеры с цифровым видоискателем, электронные теодолиты, спутниковые геодезические системы и др. Поэтому разработка процесса геометрического моделирования начинается с этапа выполнения необходимых измерений (для получения системно обоснованной информации об объекте).

** Мачпельброт Б Фрактальная геометрия природы М.: Ин-т компьютерных исследований. 2002

43

Процесс ГМ включает описание последовательности применения операций конструктивной геометрии при создании геометрической модели. Практическая реализация процесса основана на задании информации (вводе данных в виде информационного массива) о наличии, размере и месте расположения элементов объекта, что необходимо для автоматического синтеза технологического процесса изготовления (производства) объекта. Можно отметить следующие распространенные методы геометризации объектов определяемые на основе способов геометрического представления.

1. Геометризация аналитического описания моделируемого объекта, заданного (или полученного) в виде:

- функциональных уравнений (систем уравнений), математических ограничений (в виде неравенств, отношений), иных символических описаний аналитического типа;

- приближенных результатов итерационных процедур (вычисленных с некоторой точностью), численных аппроксимаций решений уравнений (неравенств и

т. д.).

2. Геометризация на основе числовых баз данных (табличных массивов), определяющих координаты точек, лежащих на поверхностях моделируемого объекта, выполненная:

- как аппроксимация поверхностей (кривых) на основе массивов координат точек, лежащих на этих поверхностях (принадлежащих кривым); методы аппроксимации: метод наименьших квадратов (при заданном типе аппроксимирующей поверхности или кривой), с помощью многомерных полиномов (например, полиномы Лагранжа), функциональных представлений;

- с помощью ограничивающих поверхностей (типа линейчатых, Безье и др.);

- как каркасное моделирование, представляющее объекты в виде полиэдров (с вершинами в заданных точках) или получаемых перемещением образующей, которая фиксируется в некоторых положениях (определяемых с помощью табличного массива);

как поверхностное моделирование, включающее дополнительно данные о поверхностях (гранях), сведения о связности поверхностей; например, построение сплайновой поверхности по фиксированным точкам, гладкого сопряжения между двумя кусками разных поверхностей (граней);

- как объемное (твердотельное) моделирование - построение пространственной формы (тела) с замкнутым объемом.

3. Кинематическая модель объемного тела на основе функции заметания

- создания тел путем перемещения плоской фигуры (контура) по заданной траектории или вращением фигуры.

4. Комбинаторное моделирование - объект проектирования собирается из некоторых конструктивных, функциональных, технологических элементов простой формы - на основе синтеза объектов из объемных базовых элементов формы. При этом над геометрическими объектами могут производиться операции, подобные теоретико-множественным операциям (типа: объединение, вычитание, пересечение). В результате формируется модель конструктивной объ-

емной геометрии или структурная модель, описание которой представляется в виде графа, вершины которого отображают элементы, ребра - операции.

5. Моделирование на основе функции скикнинга, которая позволяет создавать объемное тело, натягивая поверхность на заданные плоские поперечные сечения тела.

6. Методы интерполяции между заданными сечениями.

7. Геометрические преобразования с уже существующими геометрическими объектами:

- функции изгиба, растягивания, иных деформаций, сдвиг, масштабирование;

- функции создания скругления (сопряжения) граней, смещение (перенос) граней, снятие фаски, придания граням уклона или кривизны и т. д. ;

- функции, позволяющие создавать дополнительно различные технологические и конструктивные элементы (типа отверстий, выемок и др.), а также реализующие принципы объектно-ориентированного моделирования (операции поворота, создания массивов (размножения) объектов, зеркальное отображение и др.).

8. Проективные методы (применяемые в начертательной геометрии).

9. Параметрическое моделирование на основе введения числовых параметров в описания геометрических взаимосвязей (выражающих отношения геометрических элементов объекта) и соотношения, связывающие заданные размеры элементов объекта.

Подпроект 3.1.2 - Параметрическое число алгебраической кривой и поверхности в пространствах различной размерности

Число Р степеней свободы (параметрическое число) Л-плоскости в пространстве F" определяется формулой Р = {к+ 1 )(п - к).

Для определения количества параметров любой алгебраической кривой общего вида т-го порядка в «-мерном пространстве сначала определяем по формуле Р = т(т + 3)/2 параметрическое число плоской алгебраической кривой общего вида. Затем определяем количество носителей (плоскостей) в п-мерном пространстве. Известно, что 2-плоскосгь однозначно задается тремя точками, на каждую из которых в и-мерном пространстве тратится 3п параметров. Однако каждая из 3-х точек, находясь в 2-плоскости, имеет 6 степеней свободы. Следовательно, число условий, требуемых для определения 2-плоскости, принадлежащей я-пространству, равно Р = 3(и - 2). Таким образом, общее число параметров плоской алгебраической кривой общего вида т-то порядка в п-мерном пространстве равно

р=т(т + 3)+3(„_2)

Например, множество коник в R2 пятимерно, а в Ff - 5+3(и - 2)-мерно. Однако это не распространяется на кривые частного вида. Например, множество окружностей (кривых 2-го порядка) на плоскости трехмерно, а не пятимерно (поскольку окружность - это циркульная кривая, обладающая двумя циклическими точками).

Указанный способ дает обобщение для подсчета параметрического числа гиперповерхности /я-го порядка /»-мерного пространства:

45

/> = 1п<м + «)-1- (3.1)

Для определения числа Р двумерной поверхности т-го порядка в п-мерном пространстве по формуле (3.1) определяем параметрическое число гиперповерхности общего вида в Л3, т. е. при п ~ 3. Затем определяем количество носителей (3-плоскостей) в и-мерном пространстве. Поскольку число параметров, требуемых для определения 3-плоскости, принадлежащей »-пространству, равно 4(я — 3), то имеем требуемое общее число параметров:

/, = 1П(»я + |)-1 +4(/7 -3).

Определяя число параметров исходных условий задачи, можно оценить их достаточность для получения решения.

Подпроект 3.1.2 - Информационно-математическое моделирование горногеометрических объектов

Современная практика горного производства характеризуется широкой и комплексной автоматизацией технологических процессов, внедрением АСУ и систем контроля состояния горно-технических объектов, использованием специализированных автоматизированных информационных систем (ГИС, САПР, пакетов экономико-статистического анализа, систем делопроизводства, бухгалтерского учета и справочных правовых систем, экспертных и консультационных систем) в различных приложениях и для выполнения разнообразных работ (технического, экономического, горно-геометрического, экологического, социального и др. содержания), связанных с функционированием горных предприятий (объектов, процессов). Это достигается компьютеризацией горнотехнических объектов, внедрением новейших мультимедийных комплексов, телекоммуникационных средств и цифровых линий связи в сочетании с использованием высокоточных измерительных технологий (включая глобальные навигационные спутниковые системы).

Горно-геометрические исследования структурных и качественных особенностей месторождений полезных ископаемых включают систематизацию и математическую обработку полученных данных геологоразведочных работ, анализ морфологических особенностей залежей полезных ископаемых, выявление основных закономерностей и характера размещения полезных компонентов и вредных примесей внутри рудных тел, оценку горно-экономических параметров и кондиций, в т. ч. оптимизацию геологических границ оконтуривания рудных тел (в целях промышленной разработки месторождения), подсчет запасов, мощности залежи. В процессе решения подобных задач горного производства используются методы из различных областей математики.

Методология математического моделирования, заключающаяся в выделении и возможности формального описания наиболее важных, существенных связей и зависимостей, устойчивых структурных особенностей, тенденций развития, свойственных изучаемому объекту, является важным моментом использования математики при исследовании различных реальных процессов (физических ситуаций). Использование мощного математического аппарата при ре-

шении задач прикладного характера позволяет развивать, дополнять и уточнять известные методы исследования реальных процессов, в т. ч. в горном производстве, при рассмотрении геодинамических проблем в целом.

Геометрическое моделирование играет важную роль при осуществлении геометризации месторождений. Залежь полезного ископаемого представляет собой по форме и строению сложное геометрическое тело. В той же мере распределение свойств полезного ископаемого внутри этого тела определяется пространственной формой расположения элементов этих свойств. На основании ограниченных данных о месторождении (получаемых при разведочных работах) необходимо определить наиболее вероятные формы залежи, выявить условия залегания полезного ископаемого среди других горных пород, описать распределение важных для производства свойств полезного ископаемого. Полученные результаты используются для построения объемной модели месторождения. Определение геометрической формы рудного тела на основе построения поверхностей (верхней, нижней) месторождения по данным измерений толщины пласта в точках бурения разведочных скважин представляет собой математическую аппроксимацию поверхностей физического слоя руды. При создании модели формируют сетевую структуру данных из конструктивных элементов и связей между ними, определяются пространственные и количественные отношения элементов модели.

Последующее определение /»-оболочек объемной модели рудного тела (или отдельных ее блоков) на основе статистического анализа распределений параметров оруденения (распределений значений содержаний компонентов полезных ископаемых) при оконтуривании рудных тел с учетом горно-экономических параметров и кондиций (по слоям с различным бортовым содержанием полезного компонента) дает возможность оценивать запасы отдельно для различных типов и промышленных сортов руд с достаточной точностью.

Таким образом, процесс информационно-математического моделирования месторождения разбивается на несколько этапов, причем является итерационным (с последующей корректировкой модели на основе дополнительной геологоразведочной, горно-экономической информации или пересчета определяющих характеристик), модель может представляться в разных вариантах в зависимости от принятых критериев для ее оценки.

Компьютерная визуализация разрабатываемых геометрических моделей может быть осуществлена с помощью современных САПР, достаточно активно используемых.

Автоматизация основных процессов геометризации, графические возможности компьютерных средств, телекоммуникационные технологии (дистанционная связь) определяют современные направления развития методов горно-геологической геометризации, включая геологическое картирование, моделирование месторождений (с компьютерным подсчетом запасов полезных ископаемых, пересчет запасов по эксплуатационным слоям (этажам) в связи с проектированием разработки месторождения, реконструкцией рудника), определение (планирование) рациональных способов разработки месторождения (в

т. ч. оптимизацию расположения шахтных стволов, подготовительных выработок и направления очистной выемки рудных тел, автоматизированное решение маркшейдерских задач на карьерах при открытом способе добычи полезных ископаемых), анализ и прогнозирование горно-геологических деформаций в местах разработки месторождения, оценку надежности и рисков инженерно-технических сооружений (безопасность их использования), управление (контроль) подвижными объектами; защиту окружающей среды (экологическая безопасность) и др.

Информационная поддержка процессов геометризации месторождений позволяет визуализировать, оперативно редактировать и автоматически рассчитывать необходимые параметры (показатели) горного производства. При этом имеет место интеграция получаемых данных, быстрое обновление результирующих характеристик, постоянный мониторинг качества производственного процесса.

Среди программных продуктов, используемых для комплексного решения широкого круга геологических, маркшейдерских и технологических задач, встречающихся в практике работы горнодобывающих предприятий, можно отметить такие интегрированные системы как Mineframe (российская САПР для автоматизированного планирования, проектирования и сопровождения горных работ), программные продукты компаний Micromine, Genicom, Mincom, Maptek, Mintec, Surpac, Datamine, геоинформационная система K-MINE и др. Они позволяют проводить полигональное и блочное моделирование месторождений, быструю и надежную оценку запасов, проектирование карьеров и подземных горных выработок, учет запасов и их движения в процессе добычи, применяются в управлении горным производством.

Использование специализированных автоматизированных средств позволяет осуществлять проектирование на основе гибридного моделирования в диапазоне от проволочной (каркасной) геометрии до технологий параметрического моделирования с использованием твердых тел и сплайн-поверхностей. Современное программное обеспечение для (инженерного) горного моделирования и проектирования отличается интерактивной трехмерной графикой, высокого качества визуализацией поверхностей и моделей объектов, а также дружественным интерфейсом пользователя.

Именно создание объемной компьютерной модели месторождения (в сочетании с аналитическим описанием) позволяет качественно решать основные горно-геометрические задачи. Трехмерная визуализация объемной модели обеспечивает всестороннее изучение месторождения, особенностей его геологического строения, структуры, распределения полезного ископаемого, предоставляя такие функциональные возможности как задание направления взгляда (изменение точки зрения, угла обзора), обзор модели «изнутри» (вдоль заданной траектории), масштабирование, геометрическое построение разрезов, сечений, проекций, формирование различных объектов технологического и конструктивного характера внутри модели, интерактивное отображение координат элементов модели.

В то же время, отсутствие аналитического описания поверхности модели определяет использование (в целом) в горных компьютерных системах табличного способа задания поверхности модели (цифровой модели), а это ведет к необходимости оперирования большими объемами данных в процессе решения производственных задач, требует интерполяции для промежуточных значений, причем оперативная обозримость модели возможна лишь при компьютерной визуализации модели. Получение описания точек линий (контуров) разрезов, сечений, проекций и др. выполняется лишь на основе оцифровывания (обводом контуров мышью на экране или сканированием).

Предлагаемый способ математической аппроксимации физической поверхности рудного тела определяется возможностью получения аналитического описания алгебраической поверхности и-го порядка по массиву данных пространственно-геометрических измерений. Последующие геометрические построения (необходимые в горном производстве при осуществлении геометризации месторождений) выполняются в сочетании с методами начертательной геометрии (геометрического моделирования в целом).

Решение задачи математического моделирования поверхности рудного тела опирается на ряд математических результатов. Рассмотрим математическую модель поверхности л-го порядка в евклидовом пространстве Л"1, описываемую общим уравнением п-й степени относительно переменных д:2,

■ • Ч Х/п .

Е аА..;тх,л...х!г =0, (3.2)

(у\- Jnl)*J0

т

где ^ ={и\.-Лт) | 0< £./',< л,е Л/0, $ = 1,...,»»}, Ы0 - множество нату-

5-1

ральных чисел (с нулем).

Общее число коэффициентов ау( ¡т в уравнении и-й степени (3.2) определяется формулой

п _ п т-1 т

<я) = 1С* = I П(*+о = ж П(»+о.

к= О А=01=1 1=1

— к '— к к где С* - число сочетаний с повторениями, причем Ст = Ст+к_,.

Пусть с целью геометрического описания конфигурации (структуры) физического слоя рудной массы, были проведены необходимые геологоразведочные работы. Полученные данные пространственно-геометрических измерений (после первичной обработки) сведены в виде табличного массива, где указаны для каждого узла И (я = 1, 2,..., г) геодезической сети координаты (х,, >•„ г.г) точки на верхней поверхности рудного тела.

Подставив данные массива в уравнение (3.2), учитывая т = 3, дг, ^ х, Х2 =у,х з =2,

г = ИИ3>-|=1(л + 1)(« + 2)(и + 3)-1,

получим систему линейных уравнений (относительно неизвестных коэффициентов а1]к ):

X а,]кх\у{2)= О, Л-= 1,2,..., г (3.3)

(|,/'.*)еУ о

Считая, что а000 * 0, т. е. моделируемая поверхность не проходит через начало координат, для определенности положим а000 = 1.

Тогда систему (3.3) можно записать в матричном виде

Яа +1 = О,

где Л - матрица размера г х г, а и 1 - г-мерные столбцы,

П п-1 .

/? =

-1 х\ х1У\ У\ А

V „ Т V2 ^ 1, ,.2 т т2

г," (г. Л а!00 гг

, я = а101 , / = 1

"г ка00л, 1и

Если det ЯФ 0, то существует единственное решение матричного уравнения:

а - -Л-1/, где Л-' - обратная матрица.

Численная реализация полученного аналитического решения (в задаче определения коэффициентов а1/к) включает ряд этапов по организации и проведению вычислительного процесса: разработка, проектирование, конструирование и программная реализация конкретного вычислительного алгоритма; выбор используемых информационных технологий и средств, в первую очередь выбор системы программирования и/или интегрированной системы, обеспечивающей выполнение требуемых вычислительных процедур. Спектр современных вычислительных средств весьма широк, что позволяет эффективно и качественно провести этап численного определения коэффициентов а,}к.

Получим аппроксимацию физической поверхности рудного тела с помощью алгебраической поверхности 3-го порядка, т. е. п — 3, г = 19. Тогда уравнение этой поверхности можно привести к виду (при «003 * 0):

г3 + от2 + + у = 0 ;

(3.4)

а =-(<*102х + аопу + аш);

■*ооз

У = -

1 , 2

Р =---(«201* +а\11хУ + а021У +а10|* + "011>' + а001);

%>з

(<*ШХ3 + ашх2у + а120ху2 + а030у? + а200х2 + а, 10ху + а020у2 +

003

+ а100х + а01ау + 1).

Тогда решение кубичного уравнения (3.4) (с действительными коэффициентами) определяется формулами6':

если О <0, где0 = (р/з)3 + (д/2)2, р = -\ ог+р, Ч = -]сф + у, то имеем

2 = г1=2л1-р/Зсо$(УЗ), соБа) = -1<7(-р/зГ3/2,

если > О, то2 = /4 + /?-у, где + В = ■

Построение алгебраических (плоских) кривых 3-го порядка (каркасных линий, контуров сечений, разрезов) может производиться как на основе полученного аналитического описания моделируемой поверхности, так и непосредственно по массиву точек М5 (.? = 1, 2,..., г), через которые должна проходить кривая. При этом г = 1^<2)-1 = 9. Это также позволяет выполнить уплотнение каркаса поверхности.

На рис. 16 приведены примеры моделей поверхности при разном числе узлов: г = 20; г = 90. По исходному табличному массиву данных с количеством узлов г ~ 20 сначала в соответствии с представленным методом получены коэффициенты уравнения (3.4), затем найдено его решение и, далее, построена модель поверхности (рис. 16, а). Затем выполнено уплотнение каркаса (рис. 16, б).

о б

Рис. 16. Модели поверхности: а - при числе узлов г = 20; б - при числе узлов г = 90

Данный метод позволяет вычислять (определять) значения г на моделируемой поверхности в любой точке, без дополнительных вычислительных процедур интерполяционного характера. Точность аппроксимации (в узлах сетки) определяется только ошибками округления в арифметических операциях. Применима эффективная компьютерная визуализация с ее функциональными возможностями.

'Л Карманов В Г. Математическое программирование М Наука, 1986 - 256 с

17 рое кг 3.2. Конструирование бирациональных соответствий плоскости

Рассматриваются возможности использования конструктивных моделей теории геометрического моделирования применительно к получению характеристик плоских кривых высших порядков. Кремоновы (бирациональные) преобразования возникают в трехмерной и многомерной начертательной геометрии в результате композиции косых проецирований плоскости на плоскость.

Бирациональные соответствия характеризуются наличием конечного числа точек, для которых нарушается однозначность (фундаментальные или F-точки). При этом каждая F-точка переходит в однопараметрическое множество точек, образующих алгебраическую кривую, называемую принципиальной (исключительной) кривой (р-кривой). Характеристикой кремонова соответствия называется набор чисел {п, &}, где п — порядок преобразования, & - число фундаментальных точек кратности j, где 1 <j < п -1. Для преобразований более высокого порядка (п > 6) фундаментальные и принципиальные системы F-точек и линий прямого и обратного преобразований могут быть различными. Каждая у-кратная фундаментальная точка является _/-кратной точкой всех гомалоидов, где j определяет порядок соответствующей ей р-кривой. Так как принципиальной кривой qi первой плоскости соответствует во второй плоскости фундаментальная точка F], то образ прямой а плоскости П есть гомалоид а = f(a) плоскости П, который пройдет через F1 столько раз, сколько раз прообраз а пересекает принципиальную кривую q(. Указаны основные свойства принципиальных линий. Нодпроект 3.2.1 - Косое проецирование плоскости на плоскость в пространстве Л3

Такое проецирование осуществляется с помощью прямых конгруэнции первого порядка класса т. В качестве аппарата отображения выбрано двухпа-раметрическое множество линий, образующих гиперболическую конгруэнцию Кг(1,1). При этом получаем квадратичное бирациональное отображение точек плоскости П на плоскость П;. Произвольная точка А плоскости П высекает из конгруэнции прямых единственную произвольную прямую, определяемую этой точкой и двумя директрисами тип конгруэнции Кг(1, 1) (рис. 17). Если точка А перемещается по прямой а, инцидентной плоскости П, то проецирующие лучи, пересекающие три скрещивающиеся прямые а, т, п, образуют полуквадрику, которая на плоскости П высекает конику (а)2, соответствующую прямой а. Соответствие между плоскостями ПиП'в целом взаимно однозначное, но существуют элементы, для которых однозначность нарушается:

F] = тПП, F2 = пПП, F, = F,F2nn, = тПП', F^nnn7, F'3 = F,F1nn/.

Действительно, точку Fi в отличии от точки А общего положения косо проецирует не одна прямая Kr(l, 1), а однопараметрическое множество, образующее пучок с вершиной в точке F^ Поэтому точке Fi соответствует прямая F2Fj пересечения плоскости пучка прямых (Fi) с плоскостью П. Точка F2 также будет высекать из прямых конгруэнции Kr(l, 1) пучок прямых, определяемых точкой F2 (вершиной пучка) и прямой т. Следовательно, точке F2 плоскости П

в данном отражении будет соответствовать принципиальная прямая, проходящая через точки Г,, которые являются фундаментальными точками плоскости II.

Третьей фундаментальной точкой Р3 такого соответствия является точка пересечения прямой Р^Р^ с плоскостью П. Действительно, эта точка будет проецироваться единственной прямой конгруэнции Кг(1, 1), но она вся лежит в плоскости П и точка ее пересечения с плоскостью П' будет фундаментальной точкой Р3 плоскости П. Таким образом, фундаментальные точки Рь Р2, Р3 плоскости П будут проецироваться в принципиальные прямые ц2, ц3, образующие фундаментальный треугольник с вершинами Рь Р2, Р3, которые являются фундаментальными точками плоскости П для данного отображения. Таким образом, появление фундаментальных точек Г|, г2, г3 порождается неоднозначностью проецирования, а точка Р3 — неоднозначностью сечения. Гомалоид а= С(а)с:П - косая проекция прямой (прообраза) а - проходит через все три фундаментальные точки Б^, Р'2, К3 плоскости П'.

Подпроект 3.2.2 - Композиция косых отображений с произвольно выбранными директрисами конгруэнций

В случае композиции косых проецирований прямыми Кг(1, 1) плоскости на плоскость, когда директрисы конгруэнций последующего отображения выбираются произвольно (не инцидентны в промежуточной плоскости фундаментальными точками предыдущего отображения), отображение Г2, устанавливающее соответствие между плоскостями П; и П", осуществляется косым проецированием с помощью Кг(1, 1) (рис. 18). При таком отображении плоскости П' на п" гомалоиды (коники) отображения являющиеся для отображения 1"2 прообразами, проецируются в кривые четвертого порядка плоскости п", проходящие дважды через фундаментальные точки отображения С2"' и по одному разу через косые проекции фундаментальных точек отображения Г]'1 во втором отображении Г2. Для определения кратности фундаментальной точки на гома-лоиде надо определить, сколько раз в предыдущем поле принципиальная прямая, соответственная этой точке, пересекает прообраз - соответственно сколько раз его образ будет проходить через фундаментальную точку. Таким образом, в результате композиции двух рассмотренных отображений устанавливается

/п

а

Рис. 17. Косое проецирование с помощью Кг(1, 1)

между плоскостями II и П соответствие четвертого порядка со следующей характеристикой {4; З2, З1}. При последующем отображении Г3 плоскости П" на гомалоиды (кривые четвертого порядка) отображения 1"2, являющиеся для отображения Г3 прообразами, переходят в кривые восьмого порядка плоскости II1", проходящие четырежды через фундаментальные точки обратного отображения 1у' (кратность этих фундаментальных точек на гомалоиде а"' определяется числом свободных пересечений принципиальных прямых отображения Г2 с прообразом - кривой четвертого порядка л" плоскости П"), дважды через проекции Р-точек отображения 1У' и по одному разу через косые проекции фундаментальных точек отображения {2~'.

Следовательно, результирующее соответствие как композиции отображений имеет характеристику {8; З4, З2, З1}.

Рис. 18. Композиция косых проецирований плоскостей друг на друга

Индукцией можно показать, что композиция п отображений Г„-...-Г2 Г|, если в промежуточных плоскостях Р-системы имеют общее положение, имеет следующую характеристику {2"; 32<п'1), ..., З2, З1}.

Подпроект 3.2.3 - Композиция косых отображений с заданной директрисой одной из конгруэнций

Рассмотрим композицию косых проецирований прямыми Кг (I, 1) плоскости на плоскость, когда одна из директрис конгруэнции последующего отображения проходит в промежуточной плоскости через фундаментальную точку различной кратности последующего отображения. Композиция косых отображений (рис. 19), когда одна из директрис конгруэнции последующего отображения Г„ проходит через одну фундаментальную точку предыдущего отображения, т. е. директриса конгруэнции первого отображения пересекает директрису п2 второго отображения Г2 в точке, инцидентной плоскости П;. Такая композиция отображений Г21Г| устанавливает соответствие меньшего порядка между плоскостями П и П . Гомалоид а", принадлежащий плоскости И", есть косая проекция коники а' плоскости П' и проходит через все фундаментальные точки композиции отображений Г2-С,. Он распадается на принципиальную прямую,

соответствующую фундаментальной точке отображения Г,"', инцидентной точке а'. Остаток гомалоида а" - кривая третьего порядка, соответствующая в отображении С2 оставшимся точкам кривая третьего порядка плоскости П" в композиции отображений {2 Т\ Фундаментальная система плоскости П7 будет состоять из одной двукратной фундаментальной и четырех простых фундаментальных точек. Две простые фундаментальные точки последовательно проецируются из плоскости П в плоскость П". Кратность оставшихся фундаментальных точек определяется числом свободных пересечений соответствующих принципиальных прямых с гомалоидом (коникой) плоскости П'. Полученное отображение Гг-^ имеет порядок три и характеристику {I2, 41}.

Рис. 19. Композиция косых отображений, когда одна из директрис Кг(1,1) последующего отображения проходит через Г-точку предыдущего отображения

Рассмотрим характеристику следующей композиции Г3-1уГ|. В этом случае одну из фундаментальных точек отображения Г3 совместим с простой фундаментальной точкой предыдущего отображения Г2 в плоскосги П" и получим соответствие пятого порядка. Это следует из того, что квадратичные отображения Г, переводят кривую третьего порядка (гомалоид плоскости II") в кривую шестого порядка - гомалоид плоскости П'", распавшуюся на прямую, соответственную фундаментальной точке плоскости П", инцидентной кривой третьего порядка, и остаток — кривую пятого порядка, которая и определяет порядок этого отображения. Композиция таких отображений Г3-Г21| имеет порядок 5 и характеристику {I3, З2, З1}. По индукции можно показать, что для получения отображения нечетного порядка 2т+1с помощью композиции отображений {„ ...

имеем результирующее отображение с характеристикой {I2" '; (2/и-1)2; З1}. Для получения отображения четного порядка 2п с помощью композиции отображений Т„ ... ГгТ, имеем отображение с характеристикой {I2" 2; (2и-2)2; З1}.

В подпроекте 3.2.4 - Обобщение аппарата косого проецирования плоскости на плоскость - рассмотрены нелинейные методы отображения в «-мерном

пространстве. Для установления однозначного отображения плоскостей друг на друга в п-мерном проективном пространстве рассматриваются предварительно их косые отображения друг на друга в 4-х мерном проективном пространстве, осуществляемые с помощью конструкции, аналогичной установлению соответствия между двумя плоскостями 3-х мерного пространства с помощью конгруэнции Кг(1, 1). При таком отображении плоскостей друг на друга надо задать такой аппарат проецирования, который произвольной точке плоскости П однозначно ставит в соответствие определенную точку плоскости П'. Проецирующими образами в этом случае должны быть двумерные плоскости. Проецирующую двумерную плоскость зададим соответственными прямыми аь а2 двух плоскостей а, и (ь общего положения, имеющих общую точку О (рис. 20). Эти соответственные прямые а, и а2 определяются однозначно пересечением двух трехмерных плоскостей, которые определяются натягиванием пространств на плоскости аь а2 и произвольную точку А, инцидентную плоскости II. Две гиперплоскости в пересечении дают искомую проецирующую плоскость а^ которая пересекается с а, по прямой а! (Оеа,). Следовательно, в плоскостях Ч\ и а2 имеем две соответственные прямые а(, а2, которые однозначно определяют проецирующую плоскость.

Под проект 3.2.5 - Алгоритм вычисления характеристик бирациональных соответствий плоскости

На основе предложенного метода представления в виде композиции квадратичных отображений, осуществляемых косым проецированием прямыми Кг(1, 1), разработан алгоритм вычисления характеристик бирациональных соответствий высших порядков. Представленный алгоритм численно реализован. Он отличается от известного алгоритма, основанного на решении системы уравнений существования (который ранее использовали разные авторы).

Пусть \У = Т - отображение порядка п, является произведением отображения Т порядка т и квадратичного отображения О. Отображение \У будем

Рис. 20. Косое проецирование двумерных плоскостей друг на друга в 4-х мерном пространстве

называть результирующим, отображение Т - исходным, отображение О — генерирующим. Пусть т, а/ - характеристика отображения Т, т. е. исходное отображение Т переводит прямые в кривые порядка т, проходящие /' раз через каждую из <з, фундаментальных точек кратности / отображения Т. При этом считаем, что характеристика исходного отображения Т была получена композицией квадратичных отображений. Отображение О в общем случае переводит эти кривые — гомалоиды Т-отображения (Т-гомалоиды) в кривые порядка 2т, т. е. гомаяоиды отображения \У (\¥-гомалоиды). Таким образом, порядок п результирующего отображения XV в общем случае равен 2т. Однако в случае совпадения фундаментальных точек генерирующего отображения О с фундаментальными точками отображения Т"' (с кратными Р-точками Т-гомалоидов) порядок результирующего отображения будет понижаться. По предложенному алгоритму получаются все отображения плоскости, которые также включают в себя повторные случаи получения результирующих отображений XV искомых характеристик.

Получена таблица соответствия числа характеристик порядку, причем определение самих характеристик связано с громоздкими вычислениями. Характеристики бирациональных преобразований были впервые получены следующими авторами:

Сгетопа-до 10-го порядка(1865 г.); Могиевапо- 11-й порядок (1903 г.);

•1опцшеге5 - 12-13 порядки (1888 г.); Ьалве - 14-15 порядки, неполн. (1908 г.);

МоШесапо - 14-15 порядки, доп. (1911 г.); ТиттагеПо- 14-15 порядки, доп. (1914 г.),

Млодзиевский - до 21 -го порядка (1922 г.);

Бабич - до 27-го порядка (1985 г.); Бабич - до 30-го порядка (2004 г.).

Проект 33. Бирациональные преобразования с заданными

характеристиками Подпроект 3.3.1 - Жонкьеровское преобразование «-го порядка

В бирациональном преобразовании образом сети прямых плоскости П на плоскость П' является первая гомалоидальная сеть преобразования Т(1) = с^ + + с2Г2 + с3Г3. Прямым плоскости П соответствует вторая гомалоидальная сеть на П'. Кривые Г и ^ называются гомалоидами. По определению, каждая кривая однозначно соответствует прямой другой плоскости и поэтому является рациональной кривой. Все гомалоиды должны быть рациональными кривыми. Гома-лоидная сеть приобретает эти свойства благодаря наличию фундаментальной системы. В связи с этим каждая фундаментальная точка имеет три основные характеристики: постулирование Р, эквивалентность Е, понижение жанра Я.

Преобразование и-го порядка Т„ с характеристикой типа {I'"1, (2п-2)'} называется жонкьеровским. Оно существует для всех значений п, имеет одну фундаментальную точку максимальной кратности (п-1), (2п-2) простых фундаментальных точек и преобразует сеть прямых одной плоскости в сеть кривых с (п-1)-кратной точкой (моноидами), а кратная Р-точка - ее вершиной. Кратной фундаментальной точке соответствует Р-моноид, а простым фундаментальным точкам - принципиальные прямые, инцидентные вершине моноида.

Преобразование л-го порядка Т„, имеющее одну (п—2)-кратную фундаментальную точку, может содержать у простых точек и х двукратных точек. Грех-кратных точек и фундаментальных точек высших кратностей быть не может по геометрическому определению кривой. Для получения характеристики Т„{1(1|"2>, х1, у1} будем использовать свойства фундаментальной системы этой гомалои-дальной сети. Множество гомалоидов образует сеть (двухпараметрическое множество прямых переходит в двухпараметрическое множество гомалоидов, при этом следует помнить, что требование проходить через данную точку / раз связывает у плоской кривой i/2(/-t-l) степеней свободы). Два гомалоида пересекаются только в одной свободной точке - образе точки пересечения прямых -прообразов. Поскольку две кривые n-го порядка пересекаются в п2 точках, а в их общей ¡-кратной точке имеют i2 пересечений, то i2(T| = п2-1, где п - порядок преобразования, CTj - число фундаментальных точек кратности Числа n, i, CTi удовлетворяют также еще одному уравнению Ej i<T| = 3n - 3. Все гомапоиды есть кривые нулевого жанра, и каждая фундаментальная точка имеет три характеристики: 1) постулирование - число Р, определяющее количество параметров гомалоида заряженных в этой i-кратной фундаментальной точке, Р = i(i+l)/2, причем суммарное постулирование всех фундаментальных точек гомалоида равно n(n+3)/(n—2), т. е. для построения гомалоида надо построить всего две точки; 2) эквивалентность число Е = i2 независимых условий, относящих ее к сети (т. е. из (п2-1) точек пересечения двух любых гомалоидов, приходящихся на все фундаментальные точки, на ¡-кратную точку приходится i пересечений); 3) понижение жанра — число R, которое делает гомалоид рациональной кривой, R = ¡(¡—1)/2.

Гомалоид может иметь кратные точки только в фундаментальных точках, которые эквивалентны i(i-l)/2 двойным точкам. В сумме они составляют (п-1)(п-2)/2 двойных точек. Из указанного свойства постулирования следует n(n+3)/(n-2) = (п-1)(п-2)/2+Зж+у, причем n(n+3)/(n-2) - количество параметров, определяющих F-точки гомалоидной сети; п(п+3)/2 - количество параметров, определяющих плоскую кривую n-го порядка; (п-1)(п-2)/2 - количество параметров, определяющих (п-2)-кратную F-точку гомалоидной сети f; i(i-l)/2 - количество параметров, определяющих двойную F-точку гомалоидной сети f. Отсюда (с учетом свойства эквивалентности) имеем х = п - 2, у = 3. Таким образом, бирациональное преобразование плоскости n-го порядка с (п-2) - кратной F-точкой будет содержать (п-2) двукратных и три простых F-точек, т. е. имеет характеристику TB{1D"2, (п-2)2, З1}. К полученной характеристике можно прийти также в результате понижения жанра R, которое делает гомалоид рациональной кривой.

Подпроект 3.3.2 - Бирациональное преобразование »-го порядка типа

Рассмотрим некоторые характеристики бирациональных преобразований плоскости и-ro порядка, имеющих одну (п-З)-кратную F-точку, т. е. преобразование с характеристикой типа Tnfl""3, х\ у2, z'}. Сеть гомалоидов такого преобразования должна обладать тремя основными свойствами:

1) линейность и иметь размерность 2, при этом требование прохождения гома-лоида через данную Р-точку / раз связывает у кривой /(/+1) степеней свободы, следовательно ЕР = Ц ¡(¡+1)с/2;

2) два произвольных гомалоида данной сети f пересекаются только в одной свободной точке, таким образом имеем следующее равенство: ЕЕ = = п2-1;

3) все гомалоиды должны быть кривыми нулевого жанра: ЕН = ¡(¡-1)ст/2 = (п-1)(п-2)/2.

Из условия равенства понижений жанров всех Р-точек следует, что на х3 и у" приходится (п-1)(п-2)/2-(п-3)(п-4)/2 = 2п-5 двойных точек, причем (п-3)(п-

4)/2 — число двойных точек, эквивалентных (п-3)-кратной Р-точке, (2п-5) - число параметров данной сети, находящихся в трех и двукратных Р-точках, понижающих жанр сети до нуля. Если исследуемое преобразование не имеет двойных Р-точек, то число (2п-5) равно суммарному понижению жанров только трехкратных Р-точек. С учетом того, что трехкратная Р-точка эквивалентна в смысле понижения жанра трем двукратным Р-точкам, получаем число трехкратных Р-точек, равное (2п-5)/3.

На основании равенства суммы эквивалснтностей всех Р-точек числу (п2-1) можно записать уравнение п2-1 = (п-3)2 + ((2п-5)/3)32 + г, где г - число простых Р-точек данного преобразования, эквивалентное количеству параметров этих точек; ((2п-5)/3)32 - число независимых условий гомалоидной кривой, эквивалентных трехкратным Р-точкам данного преобразования. Поскольку суммарное постулирование всех Р-точек гомалоида равно п(п+3)/2-2, а постулирование одной ¡-кратной Р-точки равно ¡(¡+1)/2, то имеем уравнение п(п+3)/2 - 2 = (п-3)(п-2)/2 + 2(2п-5) + г, где (п-3)(п-2)/2 - число параметров гомалоида, заданных в (п-З)-кратной Р-точке, 2(2п-5) - число параметров гомалоида, заданных в трехкратных Р-точках. Отсюда находим г = 5. Следовательно, имеет место следующая характеристика Т„{1п"2, |(2п-5)/3]3, 51}.

Если данное преобразование не имеет трехкратных и содержит лишь двукратные Р-точки, то имеет место следующая характеристика Тп{1в"3, (2 п-5)2, (10-2П)1}. Если имеется п двойных Р-точек и (2п-5-ш)/3 трехкратных Р-точек, то получим характеристику Т„{1п3, [(2п-5-т)/31, т1, (5-т)1}. По полученным формулам составлены характеристики бирациональных преобразований плоскости для 2 < п < 30.

ПРОГРАММА 4. ИММ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПОВ СИММЕТРИИ И ПОДОБИЯ

Программа включает 3 проекта с 5 подпроектами.

Понятие симметрии содержит два противоречивых момента: преобразования (изменения) и сохранения (инварианта). Теория симметрии предусматривает, что все преобразования совершаются на уровне элементов, эквивалентных в том или ином отношении. Сохраняется же целое, совокупность элементов и их структурных связей, образующих целостную систему. Различное выделение структурных подуровней у одного и того же объекта приводит к различному определению его групп симметрии.

Проект 4.1. Геометрическая модель матрицы операций симметрии плоскости Подпроект 4.1.1 — Операции симметрии на плоскости

Предположим, что рассматриваются отражения от двух зеркал. Чтобы отличить их, введем индексы: обозначим одну плоскость симметрии т^ а другую т2. Записав равенство г = т2*п)|, где знак умножения означает «выполняемое вслед за», т. е. когда две плоскости симметрии пересекаются, получаем поворотную симметрию. Операция т2-т! называется произведением отражений п^ и т2 (сомножители в произведении следует читать справа налево). Две операции симметрии считаются совпадающими, если, действуя на любой образ, они приводят к одному и тому же результату.

Пусть прямые т, и т2 обозначают плоскости симметрии. Помещаем образ около одной из них и обозначим его через а. Отразив, этот образ от плоскости гП), получаем второй образ (мотив) Ь. Затем, последовательно отразив от т2 получим мотив с. Таким образом, получили с и а при помощи операции двух отражений Шг'Ш). Однако из а в с можно было бы перейти, совершив поворот вокруг оси, совпадающей с линией пересечения плоскостей симметрии п^ и т2. Именно в этом смысле и надлежит понимать равенство п^'Ш] = г. Операции симметрии подчиняются законам таблицы умножения (табл. 2), причем выполняются следующие свойства.

1) Произведение (результат последовательного выполнения) любых двух операций симметрии для произвольно выбранной фигуры всегда совпадает с некоторой третьей операцией симметрии этой фигуры.

2) Произведение операций симметрии ассоциативно, т. е. для любых трех операций симметрии ш, пир должно выполняться равенство (т-п)-р=ш*(п'р).

3) Существует операция симметрии, играющая роль 1. Это тождественная операция, обозначаемая ¡, оставляющая на месте все точки фигуры. Следовательно, для любой операции симметрии п справедлива цепочка равенств гп = пм = п.

4) Если п — произвольная операция симметрии, то операция, обратная операции п, обозначается п"1. Для прямой и обратной операции выполняется п '-п

= I И П'О1 = г

Подпроект 4.1.2 - Характеристики композиций симметрии

Произведение операций не всегда коммутативно, так как существенен порядок, в

котором выполняются операции, т. е. гт^-т, Ф т,-т2 Это повороты на один и тот же угол, но один поворот выполняется по часовой стрелке, а другой против нее. Угол между плоскостями симметрии составляет 60° и последовательное отражение от плоскостей порождают поворот на угол 120° и на угол -120°соответственно. Имеем шесть операций симметрии и шесть образов. Каждый образ показывает, во что соответствующая операция переводит исходный образ а. При этом имеют место алгебраические соотношения между операциями симметрии. Например, если начать с образа а, то операция гт переведет его в образ е, а операция г3 совпадает с тождественной операцией ¡. Операция г-т, переводит образ а в образ «1. Однако операция т,-г переводит образ а в образ Г. Таким образом, система симметрии состоит из шести операций симметрии, каждому образу соответствует одна операция (рис. 21). Множество операций симметрии замкнуто относительно умножения операций (образует группу). Изучение симметрии в основном сводится к изучению групп симметрии. Получена таблица характеристик композиций симметрии (табл. 2).

Табл. 2.

1 411 т2 т3 г г2

1 1 П1[ т2 т3 г г2

т, П1, I г2 г т3 т2

т2 т2 К 1 г2 т, т3

т3 т3 г2 г т2 Ш|

К г т2 П»з Ш1 г2 1

г2 г2 т3 т, т2 1 г

11 "'2

Рис.21 Шесть операций симметрии

Известно, что покрыть плоскость без пробелов и кратных покрытий можно правильными шестиугольниками, квадратами, треугольниками, прямоугольниками и параллелограммами и что основой каждого плоского узора служит один из названных многоугольников. Связь между теорией групп и задачей о покрытии плоскости можно понять, если рассмотреть решение, где к ~ 6, ( = 3, т = 2 уравнения 1 /к +\Н +11т = 1, и соответствующий плоский узор, который получается при покрытии плоскости правильными шестиугольниками.

Подпроект 4.1.3 - ИММ цветной симметрии на плоскости

Рассматривается нахождение всех возможных симметричных конфигураций и элементов цветной симметрии в двумерном пространстве и доказательство того, что полученный список является полным. Для решения этих проблем используется алгоритмический подход, который включает в себя рассмотрение комбинации двух элементов симметрий. Проведенные исследования позволяют моделировать в процессе геометризации различные периодические орнаменты, характеризующие типы цветной симметрии на плоскости.

На рис. 22 изображена полностью асимметричная фигура (неправильный треугольник), которую приведем во взаимодействие с осью поворотной симметрии 3-го порядка и зеркалом. Узор получен при помощи одного поворота и двух отражений из исходного мотива.

Рис 22. Построение узора с асимметричным мотивом

В следующем алгоритме построения цветной симметрии за исходный мотив выберем произвольный треугольник и подвергнем его скользящему отражению. На рис. 23 показано, как происходит взаимодействие элементов симметрии: ось симметрии 2-го порядка, ее зеркальное отражение, исходная ось, ее зеркальное отражение. Возникает периодический узор из треугольника под действием операции симметрии со скольжением, т. е. отражения, сопровождаемого трансляцией.

Рис. 23. Операция симметрии со скольжением

На рис. 24 представлен периодический узор, возникающий из параллелограмма при использовании оси симметрии 2-го порядка и зеркала. Далее обнаруживаем еще одну ось симметрии 6-го порядка. В соответствии с алгоритмическим подходом начинаем с преобразования двух элементов симметрии и порождаем некий периодический орнамент со всеми скрытыми в нем элементами симметрии.

Перебор всевозможных нар и троек взаимодействующих элементов симметрии позволяет определить исчерпывающую классификацию всех плоских орнаментов.

Рис. 24. Исходный мотив параллелограмм, ось симметрии второго порядка и зеркало

Проект 4.2. Геометризация форм на основе подобия и пропорциональности Подпроект 4.2.1 — ГМ на основе инвариантов 5-чисел Фибоначчи

Рассматривается обобщение ряда Фибоначчи (Л'-ряд) и соответствующие 5-сечения. Рассмотрим числовой ряд, 5+1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов: предыдущего и отстающего от предыдущего на 5 шагов. Если п-й член этого ряда обозначим через /¿{я), то получим общую формулу /^п) = /¿п -1) -5 -1), п > 5+1. При 5 = 0 из этой

формулы получим «двоичный» ряд, при 5=1- ряд Фибоначчи, при 5-2, 3,... новые ряды чисел Фибоначчи (5-ряды). Приводится сводная таблица элементов этих рядов. В общем виде 5-пропорция А* есть положительный корень уравнения 5-сечения (при 5=0 получается деление отрезка пополам, а при 5=1 — классическое золотое сечение), причем Хо ~ 0,5; А., «0,618; Х2 «0,682; Я.3 «0,724. 5-сечения являются числовыми инвариантами 5-чисел Фибоначчи. ГМ на основе 5-сечений позволяет выразить соразмерность элементов архитектурной формы в сочетании с новыми пропорциями, определяющими художественную выразительность архитектурной композиции при визуальном восприятии. Подпроект 4.2.2 - Геометризация эволюционной структуры города на основе метода ритмокаскада

Предложена модель эволюционной структуры в виде иерархической системы ритмокаскадов, определяющих развитие (во времени) соответствующих уровней городской среды. Это позволит оценить значимость свободных участков города для их последующей застройки (включение новых архитектурных объектов в сложившуюся среду города). В основе метода лежит идея синтеза двух повсеместно распространенных временных категорий времени: времени ритма и времени возврата. Первый образ времени дают циклические модели, а в качестве второго - сценарий перехода системы к динамическому хаосу - сценарий Фей-генбаума - каскад последовательных удвоений периода (частоты) системы. Синтез осуществляется на самом быстром варианте сценария Фейгенбаума, назван-

ного ритмокаскадом, когда сценарий становится масштабно-инвариантным не только в пространстве параметров, но и на временной шкале. Учет иерархических отношений в системе приводит к построению дерева ритмокаскадов. По завершению очередного периода происходит - последовательно образуется временной (прямой или обратный) ритмокаскад (точки бифуркации синхронизированы с концами периодов). В общем случае прямой ритмокаскад, стартующий в момент Тз(, выражается последовательностью Те,; Т5,+ Т0; Тв,+ ЗТ0; 7Т0; ...; Тз,+(2П-1 )Т0; ...], п = 0, 1, 2,.... Это самый быстрый каскад, где наблюдается изменение периода вдвое (октавный принцип). Структура возникающего временного ряда имеет самоподобный фрактальный характер. Рассмотрено применение метода ритмокаскадов на примере развития города Екатеринбурга в период 2008-2013 гг.

Рассмотрим бесконечный ритмокаскад, стартующий в момент времени Те, = 0; для простоты положим Т0 =1. Согласно приведенной формуле, ритмокаскад принимает вид: {0; 1; 3; 7; 15; 31; 63; 127; ...], это самый старший ритмокаскад, образующий первый уровень системы. На втором уровне системы в промежутках (окнах доступа) между точками бифуркаций первого уровня развиваются младшие, конечные, ритмокаскады. Этот процесс продолжается в следующем поколении, т. е. на третьем уровне — в точках решетки, не задействованных первым и вторым уровнями, строятся конечные ритмокаскады (рис. 25).

Номера структурных иерархических

уровней системы

0 1 3 15 31

2 4 6 8 10 14 16 18 22 30

5 9 11 13 1" 19 21 23 25 29

Время в единицах основного периода ритма-водителя

Рис. 25. Геометрическая интерпретация ритмокаскадов

Рис. 25 наглядно показывает принцип фрактальности масштабной полноты ритмокаскадов. В системе одновременно существуют все ритмокаскады, не противоречащие принципам иерархической синхронизации ритмокаскадов и признаку максимума темпа роста ритмокаскадов.

Рассмотрим применение метода ритмокаскадов на примере развития города Екатеринбурга в период 2008-2013 гг. В этом случае под ритмокаскадами г орода будем понимать:

- первый ритмокаскад есть уровень развития города, дополнительным элементом которого будет являться новый район города;

- второй (младший) ритмокаскад задает уровень развития района города, дополнительным элементом которого является новая улица;

- третий ритмокаскад есть уровень развития улицы города, дополнительным элементом которого является новый квартал;

- четвертый ритмокаскад определяет уровень развития квартала, дополнительным элементом которого будет являться отдельное здание (сооружение);

- пятый ритмокаскад определяет уровень развития здания. В этом случае дополнительным элементом является новая функция (услуга) здания.

В системе почти всегда сосуществуют уровни с противоположно направленными стрелами времени. Это можно интерпретировать как одновременное присутствие эволюции для одних уровней и инволюции для других. Стрела времени может менять свое направление на каждом уровне, за исключением первого, где период только замедляется.

Отмечается использование ритмокаскадов в горном деле: в сейсмологии (ритмограммы), мониторинг деформаций земной коры, синергетика геологических систем, в геотехнологии (рациональное использование недр, оценка степени воздействия человека на окружающий его ландшафт, динамика изменений). Проект 4.3. Геометрическое моделирование на основе фрактальной геометрии

Принципы и классические методы геометрического моделирования предполагают полную визуализацию модели, ее детализацию (детализацию всех элементов, подробностей модели, ее формы). Современные исследования в различных областях потребовали более качественного представления реальных объектов и процессов, без сглаживания их формы, контуров, поверхностей; необоснованного упрощения их структуры, организации; игнорирования некоторых свойств (причем, как оказалось, существенных и характерных) этих объектов и процессов. В этом направлении успешно используется методология фрактального моделирования рассматриваемых объектов и процессов (методов и принципов фрактальной геометрии), т. е. приводит к неклассическим - постклассическим - методам геометрического моделирования.

Фракталы представляют собой математические модели сложных структур, пространственное изображение которых представляется в виде сломанных, морщинистых, нечетких форм. Фракталы (как математические абстракции) обладают следующими характерными свойствами, отображающими их иррегулярную сущность: самоподобие (иерархический принцип организации); способность к развитию (принцип непрерывности формообразования); дробная метрическая размерность (принцип сингулярности меры); размытость, нечеткость контуров (принцип неопределенности границ); геометрическое представление хаотической динамики (принцип динамического хаоса). Фрактальные структуры (с перечисленными характерными свойствами) имеют широкое распространение, как в естественной, гак и в искусственной средах. Исследование фрактальных структур позволило количественно описать сложную пространственную организацию реальных объектов (морфогенез природных форм), создавать более адекватные модели, отражающие динамику (развитие, формоор-ганизацию). Развитие ЭВМ и средств мультимедиа технологий привело к возможности эффективной реализации сложных рекурсивных процедур построе-

ния объектов фрактальной геометрии и последующей компьютерной визуализацией этих объектов.

Математическое понимание фрактала определяет его как множество с дробной размерностью. Дробное значение фрактальной размерности характеризует степень заполнения пространства фрактальной структурой, тогда как значение лакунарности представляет собой меру неоднородности структуры фрактала. Существуют разные практические методы оценки фрактальной размерности множества, основанные на различных математических определениях размерностей геометрического объекта. Методология фрактального моделирования природного объекта включает четыре основных этапа: I) подготовка изображения (визуализация) модели; 2) выбор математического метода (алгоритма) определения фрактальной размерности; 3) практическая реализация метода; 4) анализ полученного результата и его практическая интерпретация. Отметим следующие особенности каждого из этапов. Визуализация модели природного объекта может быть получена на основе обработки массивов геофизических данных и последующей компьютерной реконструкцией, оцифровкой графической информации (представление в виде изображения - цифровой модели объекта). Качество этого этапа характеризуется погрешностью модели, зависит от точности измерений, степени разрешимости (характеристики пикселя, коэффициент масштабирования, обеспечение подробностей элементов объекта), способа получения изображения. Следует заметить, что компьютерное (и любое статическое) изображение не позволяет представить фрактал полностью во всех его деталях.

В качестве теоретической основы алгоритма вычисления фрактальной размерности выбирается математическое определение размерности геометрического объекта такого типа как размерность Минковского, хаусдорфова, информационная, корреляционная, а также спектра обобщенных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек (дискретного множества) в ограниченной области Л, что называется совокупности) величин dq (с показателем q е R):

d4=T(q)/(q-1), т(^) = lim (In Z{q, е)/ Ine), Z(q, e) = TrfCe),

где p,(e) - вероятность того, что некоторая точка содержится в /-Й ячейке (сфере) Е, (причем А с U(E-, diam Ei < е), N(е) - минимальное число ячеек покрытия множества точек. Для однородного фрактала (с одинаковым распределением точек по ячейкам) имеем d. = d = lim In N( e)/ In (1/e) . При q = О величина do

4 e-»0

представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества А (является грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах). При q = 1 величина dx = т'(1) характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. Информационная размерность d\ показывает, что количество информации, необходимой для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки б —* 0. При q = 2 величину d2 называют корреляционной размерностью (является количественной характеристикой самоподобия множеств). Часто в практической реализации используется сеточный (клеточный) метод

66

вычисления фрактальной размерности, основанный на упрощенном определении размерности - кубической размерности, которая отличается от хаусдорфо-вой тем, что при ее вычислении берутся не шары, а клетки (или кубы). В общем случае, значение кубической размерности не меньше хаусдорфовой размерности (но для самоподобны.х фракталов они совпадают).

Обсуждаются вопросы оценивания хаусдорфовой размерности фрактальной структуры на основе выделения степенной асимптотики функции Реньи в зависимости от пространственного масштаба. Определяются характерные свойства функций мультифрактального спектра и индекса Репьи. Даются рекомендации для расчета мультифрактальных характеристик.

Процедура практической реализации характеризуется такими видами погрешностей как остаточная погрешность (выполнение лишь конечного числа итераций при бесконечном процессе математического алгоритма — получение итогового результата в пределе); начальная погрешность (связанная с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно): погрешность округления при вычислениях; погрешность действий (суммарная ошибка после выполнения последовательносги операций над приближенными числами).

Кроме того, на точность практической реализации существенно влияют неминимальность используемого покрытия (сам поиск минимального покрытия это не простая задача) и выбор расчетного диапазона для величины е (с учетом возможности подсчета требуемых клеток в зависимости от их размера и сохранения определенного физического смысла). Параметры линейной регрессии (в частности, тангенс угла наклона графика, определяющий фрактальную размерность) вычисляются методом наименьших квадратов. Рассматриваются практические методы моделирования фракталоподобных форм на основе геометризации результатов итерационных и рекурсивных процедур, кинематических моделей объемного тела, функции скиннинга и др. (рис. 26), конкретная интерпретация фрактальных свойств естественных и искусственных форм (с точки зрения геометризации), рассматриваемых (используемых) в инженерной практике (в горном производстве, архитектуре), в планировочной структуре городского пространства.

Рис. 26 Визуализация фракталоподобных форм 67

Фрактальный подход - это достаточно эффективный способ анализа и проектирования форм, развитие которого включает разработку алгоритмов эволюционного виртуального формообразования, складок, топологических структур; изучение проекционной сущности инженерной геометрии в отношении фракталопо-добных форм, создание моделей формообразования фрактальных структур на основе математических и компьютерных моделей; компьютерную грамматику фрактальной формы.

Проводятся исследования объектов горного производства на основе геоинформационной интерпретации параметров мультифрактального спектра.

ПРОГРАММА 5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИММ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОМУ ПРИМЕНЕНИЮ

Программа включает 3 проекта с 4 подпроектами.

Проект 5.1. ИММ горногеометрических объектов на основе данных спутниковых измерений

Рассматриваются возможности использования глобальных спутниковых навигационных систем (GPS и ГЛОНАСС) для координатных пространственных определений объектов в процессе решения задач горного производства. При этом отмечаются высокие метрологические характеристики этих технологий, всепо-годность измерений, охват наблюдениями всей исследуемой территории, мобильность, активный выбор пунктов наблюдений, синхронность наблюдений. Для представления результатов спутниковых определений используется геоцентрическая система координат WGS-84 с началом в центре масс Земли, от которой переходят к геодезическим координатам и далее к плоским прямоугольным координатам в системе, принятой для данной территории (операции перехода от одной системы координат к другой запрограммированы). Работа спутниковых систем обеспечивается оборудованием, созданного с использованием высоких технологий. Фундаментальные принципы построения системы с точки зрения позиционирования объектов основаны на следующих положениях: (а) координаты пункта на земной поверхности вычисляются по измеренному расстоянию пункт - спутник; (б) для однозначного определения координат пункта необходимо измерить расстояние до четырех спутников; (в) расстояние до спутника определяется путем измерения времени прохождения радиосигнала спутник - приемник; (г) время прохождения сигнала спутника определяется по задержке принятого кода относительно кода, сформированного приемником; (д) аппаратура спутников и приемников генерирует одинаковые коды в одни и те же моменты времени; (е) спутники выполняют точный отчет времени (атомные часы), приемники в точных часах не нуждаются.

Методика использования измерительных технологий на основе спутниковых систем для выполнения пространственно-геометрических измерений предусматривает автоматизацию процесса сбора и сохранения данных, их систематизацию, представление в виде БД (обновление БД, слияние, формат представления). При этом обеспечивается качественность выполнения компьютерного моделирования объектов горного производства с возможностью визуа-

68

лизации, а также получения математической аппроксимации объемной модели. Приводится практическая реализация предложенной методики использования данных спутниковых определений в горном производстве.

Координаты пунктов съемного оборудования вычисляют в единой государственной системе геодезических координат 1995 г. (СК-95), высот - в Балтийской системе высот 1977 г.

Основанием для выполнения работ является технический проект (программа). Проектирование работ выполняется наряду с действующими общеобязательными и ведомственными нормативными актами.

Технический проект должен описывать порядок получения конечных результатов - съемочного обоснования и плана съемки. Обязательным в техническом проекте должно быть обоснование выбора масштаба съемки и высоты сечения рельефа.

При проектировании съемочного обоснования для съемки конкретного объекта в требуемом масштабе с заданной высотой сечения рельефа необходимо выбрать метод спутниковых определений - статический, быстрый статический или метод реаккупации.

Статический метод спутниковых определений применяется в тех случаях, когда при высоте сечения рельефа 0,5 м получение высотной съемочной основы более экономично по сравнению с производством нивелирных работ.

Быстрый статический метод спутниковых определений является основным, так как позволяет определять плановые координаты пунктов и их высоты оперативно и с достаточной точностью для большей части масштабного ряда и высот сечения рельефа.

Метод реаккупации применяется в тех случаях, когда по условиям выполнения спутниковых измерений кратковременно наблюдается небольшое количество спутников, двумя приемами в разное время.

При съемочном обосновании необходимо использовать все пункты геодезической основы, находившиеся в пределах объекта и ближайшие к объекту за ее пределами, но не менее 4 пунктов с известными плановыми координатами и не менее 5 пунктов с известными высотами. Это необходимо для обеспечения приведения координат и высот пунктов съемочного обоснования в систему координат и высот пунктов геодезической основы.

Программа полевых работ на объекте составлена так, чтобы все линии сети были определены независимо друг от друга, включая линии, опирающиеся на пункты геодезической основы.

Результаты исследований, полученные в диссертации, внедрены в работу Федерального государственного унитарного предприятия «Уралгеоинформ» при геоинформационном ландшафтном моделировании участка городской территории на этапе создания проекта генерального плана города, что подтверждается Справкой о внедрении № 410 от 03.06.2005 ФГУП «Уралгеоинформ», а также актом внедрения Сибирского гранитного карьера внедренного на Шар-ташском карьере города Екатеринбурга.

Проект 5.2. И.ММ в архитектуре и градостроительстве

Проектирование в условиях сложившегося городского окружения (конкретного архитектурного пространства) требует тщательного учета всех факторов существующего контекста, включая градостроительную преемственность, визуальный анализ, экологическую безопасность, экономическую достаточность, историческую и культурную привязку, что должно найти отражение в концептуальном изложении проекта и определяет обоснованность предлагаемой архитектурной композиции.

Поиск архитектурных решений (с выбором форм, конструктивных схем, определяющих структуру объекта) выполняется с учетом строительных норм, экономических, социальных, экологических и иных требований, технических условий последующего функционирования объекта. Все эти факторы учитываются при составлении ИММ архитектурного объекта. Последующая компьютерная визуализация позволяет осознанно и обоснованно выполнить выбор наиболее приемлемого варианта архитектурного проекта.

Количество параметров, характеризующих поведение (функциональные и конструктивные свойства) реальной системы (проектируемого объекта), очень велико. Огромная трудоемкость процессов обработки и выявления характеризующих признаков и зависимостей, наличие случайных факторов, влияющих на поведение реального объекта, сложность представления этих зависимостей, связей, функциональных особенностей в аналитической форме - все это требует значительных усилий при формировании ИМ-моделей объектов архитектуры и градостроительства. ИМ-моделирование обеспечивает сопровождение в процессе реализации архитектурного замысла по всей цепочке: композиция - проектирование - рабочая документация - строительство. Подпроект 5.2.1 - Методология системного анализа в архитектуре

Характерной чертой ИМ-моделирования архитектурных объектов является формирование и использование скоординированной, внутренне согласованной, системно-рассчитываемой информации о проектируемом объекте, соответствие создаваемых моделей и строительной документации. В целом, процесс проектирования сводится к сложной проблеме оптимизации: необходимо выбрать объемно-планировочную структуру архитектурного объекта, которая должна обеспечивать комплексное решение функциональных, конструктивных и эстетических требований, а также социальных, экономических, санитарно-гигиенических, экологических, инженерно-технических аспектов. Поэтому требуется системное исследование всех аспектов, определяющих модельное формирование объекта.

В работе дается синтетическое описание системы, учитывающее ее различные системные представления, выражающие основные способы интуитивного понимания системы, взаимосвязанные и взаимодополняющие друг друга. Здесь можно выделить процессуальное, макроскопическое, иерархическое, функциональное и микроскопическое представления. Раскрывается содержание и взаимосвязь указанных представлений в проекции на архитектурные объекты (градостроительные системы). К ним относятся представления о самоорганиза-

ции и эволюционизме, целостности, иерархической организации, основанные на понятиях системы (элементы, связи), структуры (морфология, упорядоченность), подсистемы (компоненты, единицы системной иерархии), окружающей среды (дихотомия «система - системное окружение»), процессуальных инвариантов (период жизни, единица перехода, временное состояние), классификации основных свойств и процессов в системах и т. д.

В процессе системного анализа устанавливаются (выделяются) системообразующие компоненты (элементы), связи и отношения, функциональные и коммуникационные характеристики, реализуемые совокупностью градостроительных, технических, организационных и иных средств, существенная роль среди которых отводится архитектурным формам и отношениям (доставляющих практическое обеспечение социальных, экологических, психологических, духовных, эстетических процессов).

Представлена методология построения системной модели на основе синтеза различных системных представлений. Современное архитектурное моделирование на основе системных представлений выполняется с активным использованием информационных (компьютерных) технологий. Подпроект 5.2.2 - Методология ИММ в архитектуре

Геометрическое представление объекта является важнейшей частью архитектурного проектирования. Например, геометризация формы здания (сооружения) позволяет осознать объемно-пространственные характеристики объекта (композицию, пространственную организацию, художественное выражение), выявить особенности геометрии объекта с позиций аэродинамики, эколо-гичности, экономичности, определить оптимальное размещение конструктивных элементов, оценить объем здания (и, следовательно, расход материалов), выбрать рациональные технологии строительства (планировать строительные работы) и др.

Выделены особенности ИМ-моделирования архитектурных объектов. Проектирование архитектурного объекта, градостроительного комплекса (планировочной структуры) выполняется на основе выработанной концептуальной композиции определенного архитектурного пространства, характеризующей авторский замысел относительно используемых форм, элементов, конструкций, их взаимосвязи (с учетом принципов пропорциональности и масштабности), предназначенных для реализации требуемого функционального назначения и смыслового художественного образа. Концептуальная модель определяется как объемно-пространственная композиция, в которой функциональные, конструктивные и эстетические качества архитектуры, отражающие технологичность, экологичность, надежность и образное решение (т. е. сочетание пользы, прочности, красоты), взаимосвязаны.

Определение стратегии и возможных направлений архитектурного процесса должно рассматриваться в соответствии с иерархической формулой: материалы —> технологии —> формы. Современное состояние научно-технической базы существенно расширяет возможности архитектуры, особенно в аспекте реализации фрактальных форм. Приводятся современные примеры сооруже-

ний, сочетающих функциональность, технологичность, экологичность и образное решение с интересным архитектурным решением, отражающим фрактальные формы, причем сознательно и целенаправленно.

Использование специализированных автоматизированных средств позволяет осуществлять проектирование на основе гибридного моделирования в диапазоне от проволочной (каркасной) геометрии до технологий параметрического моделирования. Технология «виртуального здания» (В1М-технология), поддерживающая связь с информационной базой данных, определяет формирование параметрической модели здания, объединяет собственно ЗО модель и внешние данные, причем модель корректно обновляется при изменении ее отдельных элементов, предоставляя соответствующее визуальное изображение.

Именно создание объемной компьютерной модели объекта (в сочетании с аналитическим описанием) позволяет качественно решать основные задачи планировочного структурирования.

Отмечается применение фрактальной геометрии в определенной мере для анализа архитектурных форм (моделирования таких структур), причем для разных типов архитектурных сооружений можно найти фрактальный аналог, двумерный или трехмерный, и тем самым выявить их фрактальный алгоритм. Качественный анализ графических фрактальных образов, визуализирующих некоторые архетипы фасадов, планов и трехмерных архитектурных форм, эффективен с привлечением имитационного компьютерного моделирования. Можно смоделировать некоторые графические фракталы в качестве прототипов архитектурных фасадов и планов и выявить множество направлений и решений морфогенеза, включая не раскрытые ранее аспекты формообразования и создание потенциально новых архитектурных форм.

Рассмотрены фрактальные модели построения архитектурно-пространственной среды города с позиции характерных свойств фракталов. Поэтому совершенствование методологии применения компьютерного моделирования при решении архитектурных задач позволяет расширить спектр направлений осознанного поиска новых архитектурных форм, углубить исследование аспектов формообразования (с позиций современных объемно-пространственных подходов, учитывающих фрактальный морфогенез), более качественно выполнить анализ пространственной конфигурации города и разработать перспективную градостроительную модель, автоматизировать графоаналитические проектные расчеты.

Разработанная методика используется при реконструкции центра города Екатеринбурга, что подтверждается полученным актом внедрения №0-15/106 от 19.05.05, выданным Уральским научно-исследовательским и проектно-конструкторским институтом Российской академии архитектуры и строительных наук (УРАЛНИИПРОЕКТ РААСН). Проект 5.3. Внедрение в учебный процесс

Разработанная методология ИММ объектов инженерной практики (архитектуры и градостроительства, горного производства) используется в теоретических и прак-

тических курсах учебных процессов УралГАХА, УМ У. Теоретические материалы

изложены в 8 монографиях и учебных пособиях.

Подпроект 5.3.1 - Внедрение в учебный процесс УралГАХА

Результаты полученных теоретических и практических исследований применяются в учебном процессе при подготовке магистров УралГАХА в следующих учебных курсах:

• философия и методология научной и практической деятельности;

• инновационная деятельность в архитектуре и градостроительстве;

• архитектурное моделирование в контексте методологии системного анализа;

• теория предпочтительных пропорций;

• методика научного анализа в архитектуре;

• графоаналитические основы архитектуры;

• методика проектного решения;

• актуальные теоретические проблемы архитектуры

Акты внедрения прилагаются. Подпроект 5.3.2 - Внедрение в учебный процесс УГГУ

В подготовке технического специалиста (горного инженера) отмечается важность разработки и внедрения методики обучения студентов технических и других специальностей геометро-графическому моделированию на основе ИММ. Это позволяет перейти на новый уровень ГМ, сформировать пространственно-конструктивное мышление инженера, включающего в себя владение визуально-образным геометрическим языком и современными компьютерными технологиями ГМ объектов.

Такой подход к чтению лекций по традиционным курсам инженерной графики, начертательной геометрии позволяет повысить интерес студентов к читаемым курсам.

Акт внедрения в учебный процесс прилагается.

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Предложена систематизация теоретических основ современной начертательной геометрии с позиций системного анализа ИММ, исследования взаимосвязей ее методов с результатами и методами смежных разделов математики, составляющих ее теоретический фундамент.

• Рассмотрены методы геометризации объектов инженерной практики на основе обобщений методов ГМ.

• Разработана методика построения геометрических моделей по предложенным направлениям обобщений: объект, модель, носитель модели, аппарат отображения.

• Разработана методика использования теории ГМ в рамках теоретико-множественного подхода и дано обоснование преимуществ такого метода при решении задач геометризации объектов инженерной практики. Выделена усовершенствованная методика геометризации объемных задач инженерной практики, отличающаяся получением теоретических результатов на основе ГМ.

• Сформирован базовый пакет прототипов моделирования объектов и процессов, отличающийся четырехранговой структурой.

• Разработаны (уточнены) и выделены для введения в научный оборот термины «информационно-математическое моделирование», «геометрическая модель», «геометризация» для отражения системного подхода и интеграционной основы процесса моделирования объекта познания в целях создания и исследования визуально-образного представления модели.

• Предложены системно-структурные модели подсистем и блоков системы ИММ, отличающиеся модернизацией прототипов.

• Предложен пакет алгоритмических моделей процессов ИММ, отличающихся структурой и последовательностью.

• Разработана методика геометризации задач инженерной практики, отличающаяся использованием графоаналитических методов конструирования каркасных поверхностей на основе нелинейного моделирования алгебраических кривых, выявленных их свойств и особенностей.

• Предложена системно-структурная организация ИММ, отличающаяся усовершенствованием ее подсистем, а также дополнительной системно-интеграционной адаптацией моделей подсистем и блоков системы ИММ к решению поставленных задач.

• Получены качественные характеристики и их количественная оценка алгебраических кривых высших порядков на основе кремоновых (бирациональных) преобразований.

• Получена алгоритмическая модель вычисления характеристик бирациональных соответствий плоскости, основанная на разработанном методе композиции квадратичных соответствий.

• Получены характеристики бирациональных соответствий плоскости до 30-го порядка на основе разработанных методик и алгоритмов с помощью компьютерного моделирования.

• Развит метод нелинейных преобразований плоскости с заданными свойствами.

• Разработана методика вычисления параметрического числа алгебраических кривых и поверхностей в пространствах различной размерности.

• Разработана методика ГМ форм на основе алгоритмического подхода и предложенной матрицы операций симметрии, инвариантов Б-чисел Фибоначчи.

• Разработаны конструктивные методы геометризации форм на основе принципов симметрии и подобия для решения задач инженерной практики.

• Разработан алгоритмический подход к получению всевозможных симметричных конфигураций элементов цветной симметрии на плоскости на основе предложенных обобщений ГМ.

• Рассмотрены методологические аспекты и принципы системного анализа в архитектуре и архитектурной практике.

• Предложен единый принцип построения симметричных фигур в трехмерном пространстве с помощью предложенных обобщений ГМ на основе геометрии правильных многогранников и их компьютерная алгоритмизация.

• Рассмотрена ассоциированная связь объектов инженерной практики и архитектуры с фракталоподобными формами, предложены конструктивные интерпретации фрактальных свойств архитектурных форм и градостроительных процессов с позиций процесса формообразования и визуального представления.

• Предложена геометро-фрактальная интерпретация ритмокаскадов на примере развития г. Екатеринбурга.

Общие выводы: поставленная цель - развитие теоретических основ ИММ в контексте практического решения задач геометризации объектов инженерной практики, формализованное системотехническое описание основных объектов исследования ИММ, исследование полученных конструктивных моделей линейчатых алгебраических многообразий - достигнута. Предложенные решения прошли практическую апробацию и нашли применение в решении задач инженерной практики, используются в процессе теоретической подготовки специалистов и магистров УралГАХА, УГГУ и УрФУ.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Бабич ВН. Основы цветной симметрии на плоскости // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. 2005. № 3. С. 68-75.

2. Бабич ВН. Основы моделирования многообразий // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. 2006. № 1. С. 81-84.

3. Бабич В.Н. Алгоритм влияния факторов на изучаемую проблему // Известия высших учебных заведений. Архитектон 2006. Вып. 14. С. 27-33. /[Электронный ресурс) режим доступа: http://archvuzru/magazin/Numbers/2006_02.

4. Бабич В Н. Теория пропорций в архитектуре // Известия высших учебных заведений. Архитектон. 2006. Вып. 15. С. 57-64. /[Электронный ресурс] режим доступа: http://archvuz.ru/ m agazine/Numbers/2006 03.

5. Бабич В.Н., LI¡ангина Е.И. Подсчет параметров различных многообразий // Известия Высших учебных заведений. Горный журнал. 2007. № 1. С. 72-76.

6. Бабич В.Н. Принципы построения метода ритмокаскада // Приволжский научный журнал 2008. Вып. 2. С. 79-83.

7. Бабич В.Н. Принципы синергетики в архитектуре // [Электронный ресурс] Архитектон: Известия вузов. 2008. №21. Режим доступа: http://archvuz.ru/magazine/Nurabers/ 2008_1.

8. Бабич В.Н.. Клепко В.Л. Спутниковые методы определения координат пунктов на земной поверхности // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. 2009. № 5. С. 38-41.

9. Бабич В.Н., Кремлев А.Г. Об информационно-математических технологиях в горногеологических задачах // Известия Высших учебных заведений. Горный журнал. 2010. № 7. С.72-76.

10. Бабич В.Н., Кремлев А.Г. О фрактальных моделях в архитектуре // [Электронный ресурс] Архитектон: Известия вузов. 2010. № 30. Режим доступа: http://archvuz.ni/Nuinbers/2010 07.

11. Бабич В. Н., Кремлев А.Г., Холодова Л. П. Программы логики самоорганизации форм и их мутаций // [Электронный ресурс] Архитектон: Известия вузов. 2011. № 33. Режим доступа: http://archvuz/Numbers/2011_04.

12. Бабич В Н., Колясников В.А. Фрактальные структуры в планировке и застройке города // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2009. № 2. С.45-47.

13. Бабич В.Н., Витюк Е.Ю. Синергетические законы развития города // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2011. № 3.

14 Бабич ВН., Кремлев А.Г., Холодова Л.П. Методология системного анализа в архитектуре // [Электронный ресурс] Архитектон: Известия вузов. 2011. № 34. Режим доступа. http://archvuz.ru/ magazine/Numbers/201109.

15. Бабич В Н.. Кремлев А.Г. Информационно-математическое моделирование в задачах архитектуры и градостроительства // Архитектон: Известия вузов 2012. № 37. - Режим доступа: http://archvuz ru/numbers/2012_ 1 /5

16. Бабич В Н.. Кремлев А.Г., Холодова Л.П. Синергетический подход к архитектурной деятельности // Архитектон: Известия вузов. 2013. № 42. - Режим доступа: http://archvuz.ru/numbers/2013_2/2.

17. Бабич В Н., Кремлев А.Г., Холодова Л.П. Моделирование пространства компромисса в задачах архитектуры и градостроительства // Архитектон: Известия вузов. 2014. № 46. -Режим доступа: http://archvuz.ni/nuinbers/2014_2/2.

18. Бабич В Н., Кремлев А.Г. Инновационные аспекты архитектурной деятельности. Синергетический подход // Архитектон: Известия вузов. 2014. № 47. - Режим доступа: http://archvuz.ru/numbers/2014_2/2.

Монографии и учебные пособия:

19. Бабич В.Н. Геометрическое моделирование многомерных пространств. Теория и приложения. Монография. Изд-во Уральского государственного ун-та, 2004. -224 с.

20. Бабич В Н. Характеристики плоских кривых высших порядков. Справочник. Екатеринбург: Архитектон, 2004. - 500 с.

21. Бабич В Н. Город как средоточие коммуникаций. Коллективная монография /Науч. ред. Холодова Л .П./ Екатеринбург: Архитектон, 2009. - 300 с.

22. Бабич В Н. Геометрическое моделирование. Монография. Екатеринбург, изд-во УГТУ, 2009. - 222 с.

23. Бабич В.Н., Витюк Е Ю. Синергетика в архитектуре. Монография. Екатеринбург. Архитектон, 20II. — 111 с.

24. Бабич В.Н. Начертательная геометрия в проекциях с числовыми отметками. Учебное пособие. Екатеринбург: Полиграфист, 1999. -150 с.

25. Бабич В.Н. Графоаналитические основы и принципы инвариантности в архитектуре и дизайне. Учебное пособие. Екатеринбург: Архитектон, 2003. - 226 с.

26. Бабич В.Н. Системный анализ в геометрическом моделировании. Монография. /Под ред. А. Г. Кремлева. Екатеринбург: изд-во УГТУ, 2014. - 171 с.

27. Бабич В Н., Кремлев А.Г. Инновационная модель бизнес-процесса. Учебное пособие. Екатеринбург: изд-во УрФУ, 2014. - 184 с.

Публикации в журналах и сборниках научных трудов:

28. Бабич В.Н. К исследованию характеристик кремоновых преобразований с фундаментальными точками высших кратностей // Ученые записки Ярославского пединститута. 1983. Вып. 126. С. 21-26.

29. Бабич В.Н., Иванов Г.С., Пеклич В.А., Суняйкин Г.Н. Вычисление характеристик кремоновых преобразований плоскости с помощью ЭВМ // Депонировано ВИНИТИ. Per. номер В/565-64. 1984. 106 с.

30. Бабич В.Н. Получение рациональных алгебраических кривых высших порядков с помощью композиции квадратичных преобразований плоскости и исследование их особых точек. // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск, 1986.-66-70.

31. Бабич В.Н. Принципы построения метода ритмокаскада // Альманах современной науки и образования. Раздел: Математика, физика, строительство, архитектура, технические науки. Тамбов: Грамота, 2008. № 12 (19), часть I. С. 34-37.

32. Бабич В.Н., Кремлев А.Г., Сиразутдинова Н.Б. Методология математического моделирования в задачах горного производства // Альманах современной науки и образования. Раздел: Математика, физика, строительство, архитектура, технические науки. Тамбов: Грамота, 2009. № 11 (30), часть 1. С. 9-13.

33. Бабич ВН. Методология математического моделирования в задачах архитектуры // Исследования и инновационные разработки РААСН. Сб. статей к общ. собр. РАССН в 2 т. (под ред. А.П. Кудрявцева). Иваново: изд-во Ивановского государственного архитектурно-строительного ун-та; 2010. Т.1 С.127-129.

34. Бабич В.Н., Холодова Л П., Витюк ЕЮ. Исследование формализованных методов в архитектурной науке // Екатеринбург: изд-во УралГАХА, 2011. - 58 с. - Деп. в ВНТИЦ 25.01.2011, № ГР 01201057116.

35. Бабич В.Н., Кремлев А.Г. Фрактальный подход к архитектурному моделированию // Альманах современной науки и образования. Раздел: Педагогика, психология, социология. -Тамбов: Грамота, 2011. № 2 (45). С.66-68.

36. Babich V.N., Kremlev A.G. Methodology of it-based mathematical modelling in architecture and town planning. // International journal оf experimental éducation. № 6, 2014.

37. Babich V.N., Kremlev A. G. Synergetics in architecture and town planning. Innovative aspects. // International journal of experimental éducation. № 9, 2014.

Материалы международных, всероссийских, региональных научных конференций.

38. Бабич В.Н., Фролов А. П. Практическое использование методов начертательной геометрии в инженерной практике // Материалы Всесоюзн. семинара «Пути совершенствования преподавания инжецерно-графических курсов для студентов горных специальностей». Орджоникидзе: изд-во Северокавказ. горно-металлургического института, 1988. - С. 79-80.

39. Бабич В Н.. Шангина Е.И. Подсчет параметров различных геометрических многообразий // Материалы Юбилейной научно-технической конференции «УрГАПС - 40 лет. Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту». Екатеринбург: изд-во УрГАПС, 1996.С. 47.

40. Бабич В.Н. Архитектура и математическая теория симметрии на плоскости // Материалы Всероссийской научно-методической конференции. Екатеринбург: изд-во УралГАХА, 2003.-С. 139-146.

41. Бабич В.Н. Платоновы тела // Материалы Международной научно-практической конференции «Наука и практика. Диалоги нового века». Набережные Челны: Изд-во Камского государственного политехнического института, 2003. Часть 2. С. 248-251.

42. Бабич В Н. Теория пропорций в архитектуре // Десятые Уральские академические чтения. Екатеринбург: изд-во Урал!"AXA, 2005. - С. 22-28.

43. Бабич В.Н. Геометрия архитектурных стилей // Материалы Международной Украинско-Российской научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования». Харьков: изд-во ХГУПТ, Украина. 2005. С. 206-215.

44. Бабич В.Н. Метод ритмокаскадов в архитектуре // Инновационные методы и технологии в высшем архитектурном образовании: Материалы научной конференции. - Самара, 2008. С.46-50.

45. Бабич В.Н., Кремлев А.Г. Информационно-математическое моделирование в геометризации месторождений // Международный научно-промышленный симпозиум «Уральская горная школа - регионам». Сборник докладов. Екатеринбург: изд-во Уральского государственного горного ун-та, 2010. С. 178-181.

46. Бабич В.Н., Кремлев А.Г. Фрактальное моделирование в образовании и творчестве архитектора // Материалы Международной научно-методической конференции «Диверсификация российских архитектурных школ в условиях внедрения государственных образовательных стандартов третьего поколения». Воронеж: изд-во ВГАСУ. 2010. - С. 226-230.

47. Бабич В.Н. Принципы инвариантности и симметрия // Материалы международной научно-практической конференции «Уральская горная школа - регионам». Екатеринбург: изд-во Уральского государственного горного ун-та, 2011. С. 3-4.

48. Babich V.N., Kremlev A. G. Computer visualization of mining géométrie models II Сборник трудов международной научной конференции «Russia-Korea Workshop on advanced computer and information technologies». Екатеринбург: изд-во УрФУ, 2011. С. 191-196

49. Бабич В.Н., Кремлев А.Г. Методология информационно-математического моделирования в задачах горного производства //Материалы международной научно-практической конференции «Уральская горная школа - регионам». Екатеринбург: изд-во УТТУ, 2012.

50. Babich V.N'., Kremlev A.G. Methodology of the information and mathematical modeling in mining tasks // Сборник трудов международной научной конференции «Russia-Korea Workshop on advanced computer and information technologies». Екатеринбург: изд-во УрФУ, 2012. С. 68-73.

51. Бабич В.H., Кремлев А.Г. Фрактальное моделирование в образовании и творчестве архитектора // Материалы Всероссийской научной конференции «Архитектура и дизайн в современном обществе: российский опыт и мировые тенденции». Екатеринбург: УралГАХА. 2012.

Владимир Николаевич БАБИЧ

ИНФОРМАЦИОННО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ИНВАРИАНТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора технических наук

Издательство УралАХА «Архитектон» Екатеринбург, ул. К.Либкнехта, 25

Подписано в печать 29.01.2015 г. Бумага писчая. Формат 60x84/16. Печать ва ризографе. Печ. л. 3,25. Тираж 120. Заказ 45

2014250908

2014250908