автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Эквивалентные преобразования и синтез схем замещения электрических и электронных цепей в функционально полном элементном базисе

На правах рукописи

Пивнев Виталий Викторович

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СИНТЕЗ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНО ПОЛНОМ ЭЛЕМЕНТНОМ БАЗИСЕ

05.09.05 — Теоретическая электротехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новочеркасск 2006

Работа выполнена на кафедре «Теоретических основ электротехники» Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Официальные оппоненты: д-р техн. наук, профессор Балим Г.М.,

канд. техн. наук, доцент Бурцев Ю.А.

Ведущая организация: Южный научный центр РАН

Защита состоится « 25 » декабря 2006 г. в 10 часов в 107 аудитории на заседании диссертационного совета Д 212.304.01 в Южно-Российском государственном техническом университете (Новочеркасском политехническом университете) по адресу: 346428 г. Новочеркасск, ГСП - 1, ул. Просвещения 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического университета).

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенные печатью) просим направлять по адресу: 346428, Новочеркасск, ГСП-1, ул. Просвещения, 132, Ученому секретарю Совета Д 212.304.01

Автореферат разослан: « 17 » ноября 2006 г.

Ученый секретарь совета Д.2112.304.01

Пятибратов Г. Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. При решении задач синтеза предполагается, что оператор, устанавливающий связь между множеством выходных (реакций) и входных (воздействий) токов и напряжений, известен. По данному оператору восстанавливается одна из возможных схем замещения. Вид схемы замещения, количество используемых элементов и их параметры, способ соединения этих элементов между собой в существенной мере зависит от метода синтеза и использованного при синтезе элементного базиса.

Успехи в развитии электронной техники, совершенствование технологий привели к существенному расширению возможностей применения на практике результатов электронного моделирования. Количество выпускаемых промышленностью различных элементов электронной техники неуклонно возрастает. Разработчики радиоэлектронного оборудования вынуждены вводить все новые и новые типы идеализированных элементов в схемы замещения и, таким образом, элементный базис схем замещения непрерывно расширяется.

Избыточность элементного базиса создает определенные трудности при синтезе схем замещения. Их сущность заключается в том, что методы синтеза разрабатываются для какого-то одного элементного базиса и непосредственно не могут быть использованы при синтезе схем замещения в другом элементном базисе.

В связи с вышеизложенным возникает проблема исследования свойств существующего элементного базиса и выделения минимального по количеству элементов функционально полного элементного базиса схем замещения.

Традиционно задача синтеза рассматривается либо для синтеза двухполюсников с заданным операторным сопротивлением, либо многополюсников с заданными передаточными характеристиками. Вопросам синтеза схем замещения по заданным дифференциальным уравнениям, связывающих между собой напряжения и токи, уделено недостаточно внимания.

Другая проблема заключается в том, что существующие методы синтеза дают какое-то одно га бесконечного множества возможных решений. И тогда возникает проблема нахождения других схемных решений с целью выбора оптимальных вариантов. Эта задача может быть решена путем применения эквивалентных преобразований. В данной работе используется общепринятое определение эквивалентности для участков: «два участка схемы замещения называются эквивалентными, если при замене одного участка другим, токи и напряжения в части схемы, не затронутой преобразованиями, не изменяются». Эквивалентные преобразования являются достаточно универсальным инструментом синтеза и исследования свойств схем замещения электрических и электронных цепей по следующим причинам:

1. При решении задач анализа и синтеза эквивалентные преобразования не требуют формирования системы расчетных уравнений.

2. Будучи один раз доказанными приемы эквивалентных преобразований в дальнейшем применяются без доказательств.

3. Эквивалентные преобразования позволяют провести полный расчет схемы замещения (вычислить токи и напряжения ветвей).

4. С помощью эквивалентных преобразований можно получить множество схем замещения, эквивалентных исходной по заданным параметрам, но отличающихся топологией, количеством элементов, а так же параметрами элементов.

5. Эквивалентные преобразования позволяют изменить количество активных и нелинейных элементов в схемах замещения.

6. Среди множества эквивалентных схем замещения можно выбрать такую, которая имеет более высокое быстродействие, надежность, устойчивость, более низкую чувствительность к изменению параметров элементов и т.п.

Однако эквивалентные преобразования, несмотря на широкие возможности, еще не получили достаточно широкого применения в инженерной практике. Сдерживающим фактором здесь является избыточность элементного базиса. Приемы эквивалентных преобразований в одном элементном базисе не всегда могут быть использованы непосредственно в другом элементном базисе.

Таким образом, исследование свойств существующего элементного базиса в теории электрических и электронных цепей, выделение множества минимальных по количеству использованных элементов базисов, способов перехода от одного элементного базиса к другому, взаимосвязь между элементными базисами и способами эквивалентных преобразований, а также создание новых методов синтеза является актуальной задачей.

Основная цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка методов синтеза линейных и нелинейных схем замещения электрических цепей в минимальном функционально полном элементном базисе на основе декомпозиции системы уравнений Кирхгофа (или системы уравнений, которые могут быть сведены к уравнениям Кирхгофа) с использованием аппарата эквивалентных преобразований.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разграничить множество идеализированных элементов, входящих в состав математических и физических схем замещения.

2. Установить взаимосвязь между элементами физической и математической схем замещения.

3. Определить минимальные функционально полные элементные базисы схем замещения электрических цепей.

4. Разработать процедуру синтеза схем замещения по заданным уравнениям.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись

методы теоретических основ электротехники, методы линейной алгебры и математического анализа. При выполнении численных расчетов применялась программа Electronics Workbench.

Научная новизна. Новыми научными результатами являются:

1. Описание минимальных, функционально полных элементных базисов.

2. Совокупность методов эквивалентных преобразований, позволяющих перейти от одного минимального функционально полного элементного базиса к другому.

3. Описание совпадений и отличий в свойствах элементов физической и математической схем замещения.

4. Описание схем замещения, которые можно рассматривать как базисные схемы замещения для синтеза моделей элементов расширенного элементного базиса в функционально полном элементном базисе.

5. Канонические схемы замещения, соответствующие в общем случае системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

6. Методика определения независимых начальных условий в синтезируемой схеме замещения по начальным условиям исходной системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

7. Процедура синтеза нелинейных резистивных элементов методом кусочно-линейной аппроксимации с минимальным числом линейных участков.

Практическая ценность работы состоит в том, что изложенный в работе материал позволяет:

1. В высокой степени формализовать и упростить процедуру синтеза схем замещения электрических цепей по заданной системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений, делая ее доступной для специалистов, работающих в области проектирования радиоэлектронной аппаратуры.

2. Для известных устройств, используя эквивалентные преобразования, получать новые схемные решения. Целенаправленно изменять их топологию и параметры элементов.

3. Получать для известных устройств схемные решения задачи синтеза в других элементных базисах, что особенно актуально при производстве промышленностью новых элементов.

4. Преобразовывать имеющиеся схемы замещения к виду, удобному для реализации.

Разработанный теоретический материал может быть полезен как в научных, так и инженерных расчетах, а так же и в учебных целях.

Работа выполнялась в соответствии с научным направлением «Методы анализа и синтеза электрических цепей в задачах электроэнергетики, электротехники, радиотехники и электронного моделирования» кафедры ТОЭ (теоретические основы электротехники) Таганрогского государственного радиотехнического университета, которое относится к «Приоритетным направлениям развития науки, технологии и техники Российской Федерации», утвержденным президентом Российской Федерации 21.05.06 г. Пр-843.

Апробация работы. По основным результатам сделаны доклады на Всероссийской научно-практической конференции " Перспективные системы и задачи управления" (Домбай, 13-17 марта 2006 г.), на ХШ-ом Международном Симпозиуме по теоретической электронной инженерии ГБТЕТ 05 (г. Львов, 2005 г.), на научно-практической конференции «Экология, экономика, техника, образование» (г. Туапсе, 2002 г.), на I Межрегиональной научно-практической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Ростов н/Д, 2006).

Публикации. По результатам работы опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, введения и заключения, списка литературы. Ее содержание изложено на 197 страницах и проиллюстрировано 142 рисунками, 5 таблицами. Список использованной литературы из 71 источников.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, и формулируются задачи исследований, указывается научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе обсуждается вопрос о двойном назначении схем замещения. С одной стороны они отображают математические связи между напряжениями и токами в ветвях. В этом случае схемы замещения можно рассмотреть как своеобразные математические модели (математические схемы замещения). С другой стороны схемы замещения отображают физические процессы, возникающие в отдельных участках электрической цепи, и тогда можно рассматривать их как физические схемы замещения.

Этим видам схем замещения соответствуют свои элементные базисы. Приводится перечень элементов, составляющий сложившийся исторически элементный базис схем замещения. Вводится понятие минимального функционально полного элементного базиса.

Функционально полным элементным базисом схем замещения называется любая совокупность идеализированных элементов, сочетание которых позволяет моделировать свойства любого другого идеализированного элемента.

Элементный базис с минимальным числом элементен будем называть минимальным функционально полным элементным базисом. Ни один элемент функционально полного минимального элементного базиса не может быть заменен сочетанием других элементов этого же базиса.

Доказывается Теорема 1. Любое сочетание емкости (или индуктивности) идеального проводника, идеального ключа, одного независимого и одного зависимого (управляемого) источника электрической энергии с операторным коэффициентом управления К(Р) образуют функционально полный минимальный базис.

Здесь К(Р) — дробно-рациональная функция р:

где М(р) и Ы(р) — полиномы от р степени тип соответственно; р — комплексная переменная

р = сг+у-т. (2)

В результате доказательства теоремы показано, что любой управляемый источник напряжения (или тока) можно заменить эквивалентной схемой замещения, содержащей другой источник (тока или напряжения) соответственно (рис.1).

Аналогичные преобразования могут быть выполнены и для неуправляемых (независимых) источников энергии (рис. 2).

Одна из таких возможных эквивалентных схем показана на рис. 3.

Источник напряжения, управляемый напряжением

Источник тока, управляемый напряжением

ыина

Источник напряжения, управляемый током

А -Ж-

Источник тока, управляемый током

Рис. 1

Источник напряжения

Источник тока

Рис.2

а) ^

\

-Л

Кр)

К(р)

б) 4/

т

Нр)

Для того, чтобы схемы замещения на рис. 3 были эквивалентны, достаточно выполнение условия (3)

*.(р) = г,(р)-*(р). (3)

Из доказательства теоремы следует, что один из возможных минимальных функционально-полных- элементных базисов можно выбрать, воспользовавшись структурной схемой, приведенной на рисунке 4.

Рис.4

Для синтеза двухполюсника с заданной дробно-рациональной относительно р функцией сопротивления, основой может служить схема замещения на рис. 5.

Если в схеме замещения на рисунке 5 положить:

г^р) = гА(р), (4)

то ее входное сопротивление относительно полюсов (а, Ь) будет равно:

г(р) =

г, (Р)-г,(р) г^+г^-г^рУ

(5)

-сп-

11(р) \и,(р)

г,(Р) —си

2г(р)

2з(р)

2ф) -О

Ъ(Р>

Рис. 5

На основании (5) можно показать, что схема замещения на рис. 5 позволяет моделировать любой элемент расширенного элементного базиса (таблица 1).

В работе показано, что, используя элементы минимального, функционально полного элементного базиса, можно получить схемы замещения любого трехполюсного идеализированного элемента: унистора, гиристора, идеального транзистора и т. п.

В первой главе также подробно рассмотрен элементный базис физических схем замещения. Количество элементов физических схем замещения (ФСЗ) значительно меньше количества элементов расширенного элементного базиса математического элементного базиса (МСЗ). В него входят: сопротивление, емкость, индуктивность, операционный усилитель, идеальный проводник, диод.

Таблица 1

№ п/п Ом 22(Р). Ом г3(р), Ом г(р), Ом Примечание

1 1 2+г, г, -г, Инвертор сопротивления

2 2, 2+г| 1 -г, Инвертор сопротивления

3 11 -р 2+г, ¿АР1 Л Индуктивность второго порядка ¿(2) _ А А Л

4 1 2+г; 1 1 Ёмкость второго порядка с(2)=л-с,-с2

С,/> Сгр ЛС,С2р2

5 2, 23 - 24 Инвертор сопротивления

6 •р 2, + 23 + /г, Ъ К1 г

7 1 Схр 21 + 23 + Л/ 1

8 Л/ Ъ Л,-Лг Ьр С - ——. Мутатор Ь- С

9 Л, Лг X = -Л,Л2С. Мутатор С - Ь

10 Л/ Лг При С=1, Я2=1 получим Ь= -1*1. Мутатор Я - Ь

11 1 С,р Ь 1 С = —. При С1=1, 112=1, получим С= Мутатор И - С

Названия некоторых элементов ФСЗ совпадает с названиями элементов МСЗ. В то же время по своим свойствам они отличаются друг от друга. В ФСЗ такие элементы, как сопротивление, емкость и индуктивность могу принимать только положительные значения, а в МСЗ элементы с такими же названиями могут быть как положительными, так и отрицательными.

Показано, что любой элемент минимального функционально полного элементного базиса МСЗ имеет схему замещения в физическом элементном базисе. Последнее обстоятельство имеет важное значение, так как позволяет упростить процедуру перехода от МСЗ к схеме замещения электрической принципиальной.

Во второй главе рассматривается синтез схем замещения по заданной системе уравнений:

2„(р)/1(р)+2„(р)/2(р)+- + 2а|1(р)-/,=и2(р), ............................................... (6)

Здесь 2у|(р) - дробно-рациональная функция от переменной р:

(7)

Где М(р) и Ы(р) - конечные полиномы с целыми степенями рис вещественными коэффициентами. Уравнениям системы (6) соответствует схема замещения на рис. б.

,0-©-----&-----------0-• ч

^Kl.2(p)fкu(p) / КЫР) ^ и,(р)

Рис.6

Полученная схема является математической схемой замещения, в которой

. (8)

где у = 1+п, у = 1+л.

Показано, что путем применения эквивалентных преобразований, схема замещения на рис. 6 может быть сведена к схеме замещения, приведенной на рис. 7.

На этом рисунке г(1)2(р), 2<,,3(р) и т.д. - известные дробно - рациональные функции параметра р, имеющие такой же вид, как и (7).

Их схемы замещения могут быть получены методом Кауэра (возможно применения и других методов: Фостера, Бруне, Мията и др.), в результате получается схема замещения, приведенная на рис. 8.

Окончательный результат синтеза получается, если в схеме замещения на рис. 7 все двухполюсники с сопротивлением, зависящим от параметра р, заменить эквивалентными двухполюсниками в соответствии со схемой замещения на рис. 8.

Полученная таким образом схема является схемой замещения для системы уравнений (6).

В третьей главе решается задача учета начальных условий при синтезе схем замещения электрических цепей. Проблема состоит в том, что, зная начальные условия для исходной системы дифференциальных уравнений (6), необходимо вычислить значения независимых начальных условий в синтезируе-

мой схеме замещения.

Индуктивности вы* соких порядков

Индуктивности высоких порядков г(г/?з

г(Р)

1 Г 1...1

Емкости высоких порядков

Нм кости высоких порядков

Рис.8

Задача формулируется следующим образом. Пусть синтезируемая схема замещения соответствует неоднородному линейному дифференциальному уравнению порядка ТМ:

-ггт + — + а* ь

л"

+ ...+Л,-— + а0=е(1).

Л

(9)

Задано множество начальных условий:

иЛ

<Й|„о' ¿г |,.о.....('10')

• На первом этапе синтез схемы замещения, соответствующей уравнению (9), выполняется без учета начальных условий (полагается, что они нулевые). Ее можно представить так, как показано на рис. 9.

гвп

е,0)

ет(0

Активная резистивная часть

¡(0

Рис.9

В состав схемы на рис. 9 входят независимые источники, емкости, сопротивления и управляемые напряжением источники напряжения. Для синтезированной схемы замещения формируется система уравнений, состоящая из уравнений первого и второго законов Кирхгофа и полюсных уравнений элементов:

=0, где м = 1 + (т - У)-номер узла,

4-1

= Р = 1 + [п-(т-1)]-номер контура.

I I

"г, =7Г' Г'»-Л + ис,(0), о

е„=К-иЛ

(И) (12)

(13)

(14)

(15)

где к = 1-нг - номер элемента.

Напряжения и токи независимых источников тока и напряжения входят в левые части уравнений (11) и (12) соответственно.

Всего система имеет 2п—уравнения и 2п неизвестных (токов и напряжений).

В системе уравнений (11) - (15) полагается 1=0. Для этого момента времени схему замещения на рис. 9 можно заменить эквивалентной, показанной на рис. 10.

1Ы0)

«¡(ОХ

ис,(0){ О

'суШ иа,(0) 4 С )

О

-е

ем,(0)

Активная резистивная

Ш

е-

НО)

ШО)

Рис. 10

В соответствии с теоремой наложения для 1=0, используя соотношения (11) —(15) можно записать:

/(0) = ап ■ аС1 (0)+ о,, • иС2 (0)+...+аш ■ (0) +

+1\, -еДО+б,, •е1г(0) + ...+£иш •*„,«)) + (16)

+ ■ ' Л(0)+-+ • Л,2(0).

Затем система уравнений (11) ~{15) дифференцируется. Вновь полагается 1=0 и формируется второе уравнение системы, в котором выражается ('(0) через известные начальные условия.

Описанная процедура повторяется столько раз (N-1), сколько необходимо сформировать уравнений для вычисления независимых начальных условий. Окончательный результат имеет вид системы уравнений (17):

и, Лг -«с2(0)+- + 4» -«™(0)= Ъ(о)

(17)

Ат -"а(0)+Лг •««(0) + - + ^ '"™(0) =

Решение системы уравнений (17) и дает численные значения независимых начальных условий для синтезированной схемы замещения. Приводится пример.

В четвертой главе рассматривается задача синтеза схемы замещения нелинейных электрических цепей. Предполагается, что в состав нелинейной схемы замещения могут входить нелинейные сопротивления, индуктивности и емкости. Известно, что нелинейные емкости и индуктивности можно заменить эквивалентной схемой замещения, содержащей линейный четырехполюсник (му-татор Ь - К или С - Я ).

В работе показано, что свойствами мутатора обладает схема замещения на рис. 11.

Тогда схема замещения будет иметь вид, приведенный на рис. 12.

Рис. 11

1

Рис. 12

На нелинейные элементы в схеме замещения на рис. 12 накладываются следующие ограничения:

- они должны быть безьшерционными;

- вольт-амперные характеристики должны быть однозначными либо по оси токов, либо по оси напряжений.

Рассматривается приближенное решение задачи моделирования характеристик нелинейных элементов. То есть предполагается, что заранее известна погрешность, с которой требуется синтезировать элемент с заданной вольт-амперной характеристикой.

Такой подход оправдан тем, что на практике вольт-амперные характеристики нелинейных элементов известны лишь приближенно из-за погрешности измерительных приборов, методов измерения и зависимости параметров элементов от внешних условий.

Для заданной вольт-амперной характеристики и относительной погрешности <5,, в начале определяется область, в которой может располагаться аппроксимирующая зависимость (рис. 13).

Любая линия, /Ди) удовлетворяющая ограничению (18), может рассматриваться как ампер — вольтная характеристика нелинейного элемента.

Линейный

активный

многополюсник

<(И)-Д»П„(М) <;Д»)</(Ц) + Д,„„(") ■ (18)

В построенной таким образом области, методом секущих хорд, определяется кусочно-линейная аппроксимирующая зависимость /4(и).

Показано, что для синтеза схемы замещения двухполюсника, с кусочно-линейной вольт-амперной характеристикой, необходимо в общем случае использовать два типа звеньев (рис. 14 а, б ), которые соединяются параллельно.

Параметры элементов ветви, соответствующей у-му участку аппроксимирующей кривой, определяются следующими соотношениями:

£„=</„-■> (19)

, У1 "у

е _ V* К Ку О й >. <=нЭ-

—X-—

Рис. 14

При положительных значениях используется схема замещения на рис. 14 а, а при отрицательных значениях — на рис. 14 6.

Аналогично решается задача синтеза схемы замещения резистивного двухполюсника с вольт — амперной характеристикой, управляемой током. Приводятся примеры синтеза.

В пятой главе приводятся примеры синтеза схем замещения.

В первом примере рассмотрена задача синтеза математической схемы замещения двухполюсника, с отрицательным операторным сопротивлением используя управляемые источники энергии, например, источник напряжения управляемый напряжением (рис. 15).

Кр) 2(р)

(21)

Рис. 15

Входное сопротивление для схемы на рис. 15 равно:

/(Р) (1-/0 Очевидно, что при К = 2 получим:

2„(Р) = -ЗД. (22)

Заменив в схеме замещения на рис. 15 управляемый источник напряже-

ния на сочетание операционных усилителей получим физическую схему замещения инвертора операторного сопротивления (рис. 16).

о(р)

Рис. 16

Для синтеза инвертора операторного сопротивления можно использовать так же схему замещения представленную на рис. 5, входное сопротивление которой определяется в соответствии с выражением (5). Выбирая параметры элементов схемы замещения на рис. 5 в соответствии со строкой 1, 2 или 10 таблицы 1, получим схему замещения, которая будет вести себя как инвертор операторного сопротивления.

Во втором примере рассмотрен синтез параметрического сопротивления зависящего от некоторого напряжения их по линейному закону:

/?(«,) = *•«,. (23)

Задача синтеза решается приближенно. Предполагается, что абсолютная погрешность постоянна во всем интервале изменения их.

На рис. 17 приведен график изменения Щи*), на котором пунктирными линиями обозначены границы функциональной области, в которой может быть расположена аппроксимирующая зависимость Я(и,).

фк, Ом

5ЛЯ

зля

ля

Я(и^ЛЯ,

К-и

•'С

■ЯМ - ля

о

и,

зи, и» В

21/, Рис. 17

Ступенчатой аппроксимирующей зависимости Л(их) соответствует схема замещения представленная на рис. 18.

Очевидно, что повышение точности моделирования Л (к,) приведет к увеличению ступенчатых участков и к соответствующему увеличению числа управляемых источников напряжения.

Третий пример посвящен синтезу математической схемы замещения усилителя с заданными наперед свойствами: входное сопротивление усилителя должно быть равно бесконечности; коэффициент передачи по напряжению должен быть вещественным и положительным, при заданной вещественной положительной нагрузке.

Рис. 18

Данным требованиям соответствует математическая схема замещения представленная на рис. 19, содержащая два отрицательных сопротивления: Ид и -Я.

< -Л

Рис. 19

Для синтеза отрицательных сопротивлений Яд и -11 можно воспользоваться, схемой замещения представленной на рис. 5. Физическая схема замещения для схемы на рис. 5 будет получена путем замены управляемых источников напряжения на операционные усилители. Имея физические схемы замещения сопротивлений Яд и —Я, схема замещения усилителя с заданными свойствами будет иметь вид, приведенный на рис. 20.

-СП-

зя .я Я

Рис. 20

В качестве последнего примера приводится синтез схемы замещения амплитудного модулятора - устройства, выходное напряжение которого изменяется по закону

= К • и2 (0 • вшСо,*+а). (24)

Физическая схема замещения, удовлетворяющая условию (24), приведена на рис. 21.

Я,

Час

(

Д Кп(из) я

>

Рис. 21

На этом рисунке используется новое условное обозначение параметрического сопротивления (рис. 22), которое изменяется в зависимости от значения и2 по закону

Л„ (25)

из

и к<и>

Рис. 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты можно сформулировать в следующем виде:

1. Выделено два типа схем замещения, каждый из которых используется для отображения либо математических выражений связывающих токи и напряжения, либо физических процессов, протекающих на отдельных участках цепи соответственно. Этим схемам дано название математической схемы замещения (или просто схемы замещения) и физической схемы замещения соответственно. Каждый тип схем замещения имеет свой набор идеализированных элементов.

2. Впервые .одно определение функционально полного элементного базиса и определение минимального функционально полного элементного базиса схемы замещения.

3. Доказана теорема о составе элементов образующих минимальный функционально полный базис.

4. Синтезирована математическая схема замещения, которая, в зависимости от значения параметров ее элементов, позволяет реализовать элементы с отрицательными параметрами, элементы высших порядков и т. д.

5. Показано, что любой активный линейный многополюсник, описываемый системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений, можно моделировать математической схемой замещения состоящей из источников напряжения управляемых токами. Эту схему замещения можно считать канонической. Методом эквивалентных преобразований показано, что данная каноническая схема замещения, может быть заменена эквивалентной схемой замещения, состоящей из идеальных операционных усилителей и двухполюсников имеющих дробно-рациональную функцию входного сопротивления относительно параметра р. Кроме того, показано, что независимо от соотношения степеней полиномов числителя и знаменателя функции входного сопротивления двухполюсника, схема замещения имеет лестничную структуру содержащую, в

общем случае, элементы высокого порядка. Таким образом, лестничная структура является канонической для любого линейного двухполюсника.

6. Описана процедура формирования системы линейных алгебраических уравнений, решением которой является множество значений независимых начальных условий, необходимых для учета в синтезируемой схеме замещения начальных условий, соответствующих заданному линейному неоднородному дифференциальному уравнению Ы-го порядка.

7. Описана процедура аппроксимации характеристик нелинейных элементов в виде кусочно-линейной зависимости в заданной области и процедура синтеза схемы замещения таких элементов с минимальным числом элементов.

8. Теоретические выводы диссертации использованы в примерах синтеза схем замещения инвертора операторного сопротивления, при помощи управляемых источников энергии, параметрического сопротивления, усилителя, с наперед заданными свойствами и амплитудного модулятора.

Основные положения диссертации опубликованы в периодической печати:

1. Пивиев В. В. Задачи анализа схем замещения электрических цепей на этапе их описания. Известия ТРТУ. Специальный выпуск «Материалы ХЫ1 научно-технической конференции». Таганрог. Изд-во ТРТУ, 1997. № 2(5) с. 72-75.

2. Басан С. Н., Пивнев В. В. К вопросу синтеза схем замещения линейных электрических цепей. Известия вузов. Электромеханика. 1999. № 2. с. 8-9.

3. Басан С. Н., Пивнев В. В. Применение эквивалентных преобразований при замене нелинейной пассивной многолучевой звезды эквивалентным многополюсником. Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Перспективные системы и задачи управления. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 200б_№ 3(58). с. 244-251.

4. Басан С.Н., Пивнев В. В., Басан А. С. Баланс мощностей в электрических цепях гармонического тока. Экология, экономика, техника, образование — 2001. Труды второй городской научно-практической конференции. Таганрог: Изд-во ТРТУ,2002. с.63.

5. Басан С. Н., Пивнев В. В. Синтез линейных двухполюсников произвольных порядков. Известия вузов. Электромеханика. 2004. № 4. с. 3-6.

6. Басан С. Н., Пивнев В. В. Функционально полный элементный базис схем замещения электрических цепей. Известия вузов. Электромеханика. 2002. № 1-е. 21-24.

7. Басан С. Н., Пивнев В. В. Аппроксимация характеристик нелинейных резистивных элементов применительно к задачам синтеза. Современные проблемы радиоэлектроники: Сборник научных трудов. Вып. 1. — Ростов н/Дон: РГПУ, 2006. с. 270-273.

Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах: в [2]-сформулирована задача синтеза многополюсников по заданной системе обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений и показано, что эта задача сводится к синтезу управляемых источников и двухполюсников; в [3]-методом эквивалентных преобразований доказана теорема о замене многолучевой звезды эквивалентным многополюсником; в [4]-рассмотрены вопросы учета управляемых источников при оценке достоверности получен-

ных решений задачи анализа; в [5]-разработана физическая схема замещения, позволяющая синтезировать элементы высших порядков; в [6]-обоснована целесообразность разделения схем замещения на физические и математические. Сформулировано определение и описаны свойства функционально полного элементного базиса; в [7]-решена задача синтеза нелинейных резистивных элементов с минимальным числом линейных участков аппроксимирующей зависимости в функционально полном элементном базисе.

Пивнев Виталий Викторович

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СИНТЕЗ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНО ПОЛНОМ ЭЛЕМЕНТНОМ БАЗИСЕ

Автореферат

Подписано в печать 15.11.2006. Формат 60x84 Vie. Бумага офсетная. Ризография, Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,37. Тираж 100 экз. Заказ 1317.

Типография ЮРГТУ(НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 Тел., факс (863-52) 5-53-03 E-mail: tvpoeraohv@novoch.ru

Введение

1. Элементные базисы теории линейных электрических 20 цепей.

1.1. Понятие об элементных базисах схем замещения 21 электрических цепей

1.2. Элементный базис математических схем замещения 23 электрических цепей

1.3. Минимальный функционально полный элементный 27 базис математических схем замещения

1.4. Элементный базис физических схем замещения

1.5. Связь между элементами математических и 71 физических схем замещения

1.6. Выводы к главе

2 Синтез математических схем замещения линейных 80 автономных многополюсников

2.1. Канонические математические схемы замещения 80 линейных автономных многополюсников

2.2 Синтез схем замещения двухполюсников

2.3 Выводы к главе

3 Учёт начальных условий при синтезе математических 106 схем замещения линейных электрических цепей

3.1. Выводы к главе

4. Синтез математических схем замещения нелинейных 130 электрических цепей

4.1. Постановка задачи

4.2. Синтез математических схем замещения нелинейных 140 резистивных двухполюсников

4.2.1. Синтез математических схем замещения нелинейных 142 сопротивлений с вольт-амперными характеристиками, управляемыми напряжением

4.2.2. Синтез математических схем замещения нелинейных 165 сопротивлений с вольт-амперными характеристиками, управляемыми током

4.3. Выводы к главе

5. Примеры синтеза физических схем замещения

5.1. Синтез инвертора операторного сопротивления

5.2. Синтез параметрического сопротивления

5.3. Схема замещения усилителя

5.4. Синтез физической схемы замещения амплитудного 185 модулятора

5.5. Выводы к главе 5 187 Заключение 189 Литература

Одним из основных факторов «повышения эффективности общественного производства» является научно технический прогресс, в основе которого лежат дальнейшее развитие исследований в области электроники, теоретической и прикладной электротехники.

Электротехника - одно из крупнейших направлений в науке, изучающее электрические явления, их сущность и законы, которым подчиняются эти явления, а также способы получения, передачи и практического применения электрической энергии в различных отраслях промышленности, на транспорте, в сельском хозяйстве, медицине, в быту и в других сферах.

Электротехника проникла во все области человеческой деятельности. Это объясняется тем, что многие законы физики (механики, статики, гидравлики, химии и т.п.) являются прямым следствием электромагнитных взаимодействий.

Непрерывное расширение многообразия функций, а так же усложнение функций, выполняемых различными устройствами автоматики, вычислительной техники, радиотехники, измерительной техники и т.п. и повышение требований к качеству работы таких устройств, к их надёжности, экономическим критериям делают актуальной задачу создания новых сложных электрических цепей, обладающих заданными характеристиками.

Синтез электрических цепей является одной из важнейших частей современной теории цепей. Научно обоснованное проектирование электрических цепей, применяемых в различных областях электротехники, возможно только на основе методов синтеза.

По сути дела, в теории электрических цепей рассматриваются методы синтеза схем замещения электрических цепей. Процесс создания электрической цепи с заданными свойствами является весьма непростым и состоит из нескольких этапов. Реализации электрической цепи обязательно предшествует этап синтеза схемы замещения. Синтез схемы замещения электрической цепи и реализацию электрической цепи, следует различать друг от друга.

Современная теория синтеза сложных линейных схем замещения электрических цепей с заданными характеристиками создавалась трудом многих ученных, как зарубежных, так и отечественных.

Математические основы теории синтеза начали развиваться с середины 20-х годов прошлого столетия после опубликования работы Фостера [4]. В этой работе впервые был описан метод синтеза схемы замещения двухполюсника, входное сопротивление (или проводимость) которого соответствует дробно-рациональной функции комплексного переменного р. Заданная для синтеза схемы замещения функция (сопротивления или проводимости) представляется виде суммы слагаемых, для каждого из которых схема замещения известна.

Вслед за этим выходят в свет несколько работ Кауэра, в которых он, обобщая результаты работы Фостера, формирует свой подход к решению задач синтеза [5, 6, 7, 8] и успешно применяет его на практике.

Схемы замещения, полученные методами Фостера и Кауэра имеют лестничную структуру. Это является ограничением применения данных методов. Оказалось, что дробно-рациональная функция комплексной переменной р, удовлетворяющая условиям пассивности, не всегда может иметь схему замещения лестничной структуры.

В классической работе О. Бруне [9] изложил общий метод синтеза схем замещения двухполюсников, соответствующих дробно-рациональным функциям сопротивления (проводимости), принадлежащим к классу ПВФ (положительно-вещественных функций). Принадлежность функции комплексной переменной р к классу ПВФ является необходимым и достаточным условием для решения задачи синтеза соответствующей ей схемы замещения в виде входного сопротивления или проводимости двухполюсника, состоящего из элементов с сосредоточенными параметрами. Подобно Фостеру, который в своей более ранней работе рассматривал цепи без потерь, Бруне заложил основы для нового подхода к решению этой задачи. Дополнив и расширив положения Фостера, он создал математический фундамент, на котором создавалась теория, известная ныне под названием теории синтеза линейных электрических цепей.

Дальнейшим развитием теории синтеза Бруне являются результаты, опубликованные в монографии Дарлингтона [10]. Метод Дарлингтона представляет интерес лишь как средство синтеза схем замещения двухполюсников по заданным функциям входных сопротивлений. Его главная ценность с практической точки зрения состоит в том, что он дает особую структуру схемы замещения (называемую реализацией по Дарлингтону), представляющую собой четырехполюсник без потерь, нагруженный на одно активное сопротивление. Это обстоятельство позволяет найти способ определения параметров элементов четырехполюсников без потерь по заданным характеристикам.

Использование методов Бруне и Дарлингтона создают ситуации, когда при синтезе схемы замещения необходимо применение связанных индуктивностей. Это создаёт проблемы при реализации электрических цепей в микросхемном исполнении.

Первая попытка избежать появления связанных индуктивностей посредством более сложных этапов преобразования заданной функции была предпринята Боттом и Даффином [11], использовавшим теорему Ричардса [12]. Предложенный Боттом и Даффином метод синтеза, как и перечисленные выше, считается классическим, его применение впервые успешно показало, что взаимные индуктивности не являются неотъемлемой частью синтезируемой цепи, и что их всегда можно избежать за счет увеличения общего числа элементов.

Однако, кроме своих достоинств, данный метод имеет и недостатки -один из которых является отсутствие логически обоснованной последовательности выполняемых этапов преобразований, что не обеспечивает полного понимания механизма, посредством которого решается задача синтеза.

Дальнейшие исследования в области синтеза цепей, не содержащих связанных индуктивностей или трансформаторов, связаны с именем Мията [13], которым в 1925 году использовано представление вещественной составляющей дробно-рациональной функции в виде суммы слагаемых.

Особенностями метода синтеза по Мията является значительное число элементов, и определенные ограничения по классу реализуемых рациональных функций цепи [14].

История развития перечисленных ранее методов синтеза электрических цепей относится к области синтеза пассивных линейных цепей, составленных из двухполюсных R-, L-, С-элементов. В таких цепях выполняются условия пассивности и обратимости [14].

С конца 30-х годов 20-го века развивается область синтеза активных линейных цепей. Под активной электрической цепью понимают цепь, содержащую источники электрической энергии.

С помощью активных цепей оказывается возможным реализовать в качестве входных функций или функций передачи любую рациональную дробь, относительно комплексного переменного р, с вещественными коэффициентами, с любым соотношением степеней числителя и знаменателя. Важнейшее преимущество активных схем замещения состоит в том, что они позволяют получать решения, не содержащие индуктивностей.

Обширной области синтеза безиндуктивных электрических цепей посвящены сотни журнальных статей и отчетов. Ежегодно издаются монографии и инженерные руководства, учебники и учебные пособия, проводятся межведомственные национальные и международные конгрессы и симпозиумы, посвященные этой теме. Началу развития применения цепей без индуктивных связей положила статья Скотта [15], в которой впервые продемонстрированы возможности создания частотно-избирательных цепей на базе пассивных элементов R, С и активного элемента - электронной лампы.

К сожалению, эта работа не вызвала широкого отклика, хотя в печати эпизодически публиковались результаты подобных исследований, среди которых хотелось бы выделить статьи отечественных ученых: Ризкина А.А.,

Штейна В.М., Гуткина А.Г., Сифорова [16,17,18,19,20].

Только 15 лет спустя, (1953-1955 гг.) появляются публикации, посвященные решению задачи синтеза активных RC - фильтров. С этого момента начинает развиваться новое научное направление.

К концу 50-х - началу 60-х годов необходимость решения проблем синтеза активных цепей стала остро необходимой - задачи электросвязи, сейсмологии, биологии, гидролокации требовали освоения диапазонов низких и инфранизких частот.

Насущные задачи практики и потенциальные возможности активных RC - цепей привели к стремительному развитию методов их проектирования и расширению областей использования.

Начиная с 1954 г., число публикаций по проблемам синтеза активных RC - цепей стремительно растет, и в 1972 г. их число превышает 300 [21]. Только с 1969г по 1973г. вышло в свет около 20 монографий и руководств по обсуждаемой проблеме. В последующие годы развитие теории синтеза линейных и нелинейных активных электрических цепей связано с именами таких учёных, как Айзинов М. М., Анисимов В. И., Демирчян К. С., Бутырин П.А., Миронов В.Г., Матханов П.Н., Данилов JI.B. Ланнэ А.А., Синицкий Л. А., Шакиров М.А., Седов К.И., Пухов Г.Е., Попов В.П., Басан С.Н., Чуа Л.О., Филлипов Е. И, и многих других. Такова краткая история развития теории синтеза электрических цепей.

Однако практическое применение в перспективных разработках методов синтеза пассивных и активных электрических цепей испытывает затруднения в силу ряда объективных причин.

Во-первых, огромное количество статей рассеяно в многочисленных журналах, которые недоступны широкому кругу инженеров и научных работников, непосредственно проектирующих аппаратуру различного функционального назначения.

Во-вторых, это громоздкость используемого математического аппарата при решении задач синтеза, связанных с выполнением следующих процедур:

- нахождение необходимых и достаточных условий физической реализуемости рациональных функций, задающих характеристики искомой цепи;

- приближенное воспроизведение заданной зависимости с помощью функций, удовлетворяющих соответствующим условиям физической реализуемости (задача аппроксимации).

В силу изложенных обстоятельств известные методы синтеза линейных электрических цепей недостаточно доступны для широкого круга инженеров, сталкивающихся с проектированием, ремонтом и обслуживанием устройств радиотехники, электротехники и электронной аппаратуры, но не специализирующихся в области синтеза электрических цепей.

Следует отметить, что в области синтеза отдельных типов устройств имеются значительные успехи. Например, синтез пассивных двухполюсных цепей, синтез устройств вычислительной техники, радиотехники, систем автоматического управления, активных резистивно-емкостных фильтров, и тому подобных, которые фактически являются электрическими цепями. Как правило, здесь решается задача синтеза двухполюсников с заданными частотными свойствами, либо четырёхполюсников (или многополюсников) с заданными передаточными характеристиками.

Усложнение технологических процессов, объектов управления, условия высокой надежности, быстродействие радиоэлектронной аппаратуры и т.п. приводят к усложнению синтезируемых электрических цепей. В новых условиях известные методы синтеза оказываются малоэффективными.

Поэтому одной из важных проблем в настоящее время является создание новых, высокоэффективных методов синтеза устройств с заданными характеристиками. Достаточно общей теории синтеза электрических цепей, из которой известные методы синтеза вытекали бы как частные случаи, в настоящее время нет. В то же время многие устройства с точки зрения теоретической электротехники являются сложными электрическими цепями, электромагнитные процессы в которых описываются системами, насчитывающими большое количество уравнений, переменными в которых являются и токи и напряжения. Возникает проблема синтеза схемы замещения электрической цепи, соответствующей такой системе уравнений. Такая постановка задачи синтеза схем замещения по уравнениям Кирхгофа (или полученным из уравнений Кирхгофа путём преобразований) в известной нам научной литературе практически не рассматривалась. Разработка методов синтеза, с учётом изложенного, даст возможность получать новые, ранее не известные схемные решения для известных устройств. Они будут иметь отличное от известных схемных решений количество элементов, надёжность, чувствительность к изменению параметров и т.п. Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной и обладает научной новизной.

Проектирование широкого класса устройств, основанных на использовании электромагнитных явлений, содержит в своём составе следующие этапы:

1. Математическая постановка задачи проектирования. То есть, формирование систем уравнений, описывающих электромагнитные процессы в электрической цепи (математической модели). В данной работе считается, что эта задача уже выполнена и уравнения сформированы. Предполагается, что уравнения, описывающие работу синтезируемого устройства, записаны в области комплексной переменной р.

2. Синтез математической схемы замещения электрической (электронной) цепи. Здесь под "математической схемой замещения" понимается условное графическое изображение электрической цепи, на котором посредством специально введённых идеализированных элементов обозначены вполне определённые математические действия над токами и напряжениями, выполняемыми на отдельных её участках. Это понятие ставит знак равенства между системой уравнений и графическим изображением, которое является по сути дела своеобразной записью этих уравнений. Представление о схеме замещения как математической модели, как аналога соответствующей системы уравнений, наиболее чётко было сформулировано в работах М.А. Шакирова [1] и В.И. Астахова [2,3]. Диссертационная работа как раз и посвящена рассмотрению процедур синтеза именно таких схем. Математическую схему замещения, несмотря на схожесть, не следует путать с функциональной схемой. На функциональной схеме посредством специально введённых обозначений отображается назначение отдельных частей электрической цепи в виде передаточных и входных функций, но математическая связь между токами и напряжениями не определяется. Функциональная схема составляется на начальном этапе проектирования и предшествует составлению математической схемы замещения.

Третий этап - синтез физической схемы замещения. Под физической схемой замещения понимается условное графическое изображение свойств электрической цепи, на котором посредством специально введённых графических символов обозначены вполне определённые физические процессы, протекающие на отдельных её участках. Каждый элемент идеальной физической схемы замещения соответствует какому-то одному физическому процессу. На начальном этапе развития электротехники понятия физической и математической схемы замещения совпадали [2]. Однако с развитием электротехники значительно увеличилось количество идеализированных элементов, среди них появились такие, в которых одновременно может протекать множество различных процессов. Например, нельзя одним физическим процессом объяснить функционирование идеального транзистора, идеального фильтра или отрицательного сопротивления. Поэтому элементы математической схемы замещения могу заменяться либо одним элементом физической схемы замещения, либо их сочетанием.

После синтеза физической схемы замещения решается задача построения принципиальной электрической схемы. Это такая схема, на которой посредством специально введённых графических обозначений в соответствии с ГОСтами и ОСТами обозначены реальные элементы электрических цепей, выпускаемые промышленностью. Один из способов синтеза принципиальной схемы замещения заключается в том, что каждому элементу физической идеализированной схемы замещения ставится в соответствие реальный элемент электрической цепи, напряжения и токи, на полюсах которого с заданной степенью точности совпадают с полюсными уравнениями физической схемы замещения.

Мы не будем касаться дальнейших этапов реализации, так как они не входят в круг вопросов, рассмотренных в диссертации. Однако следует помнить, что между обеими идеализированными схемами замещения (математической и физической) имеются принципиальные отличия. Переход от математической модели к физической должен выполняться с учётом вышеизложенных соображений.

Из изложенного выше видно, что как при реализации электрических цепей, так и их схем замещения используются соответствующие наборы элементов. Каждый такой набор элементов образует элементный базис. Имеется элементный базис схем замещения и элементный базис, используемый при реализации электрической цепи. Элементы схем замещения являются идеализированными. Они обладают такими свойствами, что ни один из них принципиально невозможно абсолютно точно реализовать в виде какого-то изделия. Но сочетание этих элементов позволяет моделировать с достаточной степенью точности свойства, как электрической цепи, так и её отдельных элементов.

В промышленности при создании элементов электрических цепей стремятся по возможности с большей степенью точности приблизить их свойства к элементам схем замещения как можно в большем диапазоне изменения токов, напряжений, частот, температур и т.п., так как в этом случае упрощается процедура реализации различного рода устройств.

В данной работе в основном будет рассматриваться и использоваться элементный базис математических схем замещения и частично, по мере необходимости, физический элементный базис.

Многообразие используемых функций в практической деятельности человека привело к тому, что в настоящее время применяется большое разнообразие элементов, как в схемах замещения, так и в электрических цепях. Уже сейчас ясно, что рассмотренный в современной литературе элементный базис схем замещения является избыточным, то есть одни и те же функции можно моделировать различным сочетанием идеализированных элементов. Эта избыточность, с одной стороны, позволяет более гибко решать задачи синтеза схем замещения, получать множество вариантов решения одной и той же задачи, а с другой стороны усложняет проблему. Чем больше количество элементов в базисе, тем сложнее им оперировать на практике. Теория синтеза схем замещения, которая включала бы в себя все известные идеализированные элементы, была бы громоздка, при решении конкретных задач использовалась бы лишь небольшая часть имеющихся в базе данных идеализированных элементов. Всё это негативно влияло бы на объём используемой памяти и быстродействие при автоматизации синтеза схем замещения. Таким образом, выявления минимальных по количеству элементов элементных базисов и разработка методов синтеза в этих базисах схем замещения с заданными свойствами является актуальной задачей.

Большие возможности в решении задач синтеза электрических цепей открывают методы эквивалентных преобразований. Эквивалентные преобразования позволяют решать широкий круг задач анализа и синтеза, оптимизации, модернизации как линейных, так и нелинейных электрических цепей.

С их помощью можно существенно упростить исходную электрическую цепь и тем самым облегчить анализ ее свойств и процедуру расчета [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. В некоторых случаях эквивалентные преобразования позволяют осуществить полный расчет цепи, а также решать оптимизационные задачи -уменьшение числа нелинейных и активных элементов, снижение стоимости, повышение быстродействия, устойчивости, произвести оценку чувствительности цепи к изменению параметров элементов [29] и т.п. Методы эквивалентных преобразований позволяют также решать задачи синтеза. Например, имея одно устройство, можно получить целое множество других устройств, выполняющих те же самые функции, но отличающиеся количеством элементов, структурой цепи и характеристиками используемых элементов. Естественно, что среди множества цепей, получаемых в результате эквивалентных преобразований, всегда можно выбрать такую, которая максимально отвечает требованиям проектирования.

Эквивалентные преобразования позволяют перевести цепи из одного класса в другой. Например, преобразование звезды в эквивалентный треугольник позволяет из сложной схемы замещения сделать простую по топологии схему и наоборот.

Эти же соображения остаются справедливыми при реализации моделирующих цепей.

Эквивалентные преобразования позволяют целенаправленно изменять внутреннюю структуру исходной цепи, осуществлять поиск новых структур физически реализуемых цепей с заданными свойствами, успешно решать задачи качественного исследования электрических цепей [30], что имеет важное значение в теории синтеза электрических цепей.

Перечисление областей применения эквивалентных преобразований можно было бы продолжить, но и сказанное позволяет оценить их большое значение.

По эквивалентным преобразованиям схем замещения электрических цепей имеется много исследований [31, 32, 33, 34, 35, 36 ,37, 38, 39 ], но все же в области эквивалентных преобразований активных цепей существует в настоящее время множество нерешенных вопросов. В своей работе [40] Е.А. Гиллемин прямо пишет: «. определение эквивалентных цепей -дополнительная задача, которую в настоящее время приходится считать еще далеко не решенной ». К тому же выводу приходят и многие другие ученые, так или иначе занимающиеся рассматриваемой тематикой. Известные методы эквивалентных преобразований не позволяют решать в полной мере эту задачу. Например, на сегодняшний день не получено положительных результатов в решении задачи замены многоугольника эквивалентной многолучевой звездой, преобразования фрагментов электрических цепей с нелинейными элементами и т.п. Поэтому теория эквивалентных преобразований требует дальнейшего развития.

Медленные темпы развития теории эквивалентных преобразований объясняются только сложностью задачи.

Применение эквивалентных преобразований позволяет в существенной мере упростить процедуру синтеза математических идеализированных схем замещения, переход от математических идеализированных схем к физическим схемам, а от них к принципиальным. Применение аппарата эквивалентных преобразований делает процедуру синтеза наглядной, упрощает применение используемого математического аппарата. Эквивалентные преобразования позволяют достаточно просто изобразить каноническую схему замещения по корректно записанным системам уравнений. Таким образом, создаются предпосылки алгоритмизации и автоматизации процедуры синтеза и реализации как линейных, так и нелинейных электрических цепей, сделать её доступной для широкого круга инженеров, что подтверждает практическую значимость работы.

Достоверность результатов работы подтверждается строгостью использованного математического аппарата, результатами численного и физического моделирования.

Новизна полученных результатов диссертационной работы следует из их обсуждения на конференциях и семинарах, апробации печатных работ.

Целью данной диссертации является разработка методов синтеза линейных и нелинейных схем замещения электрических цепей в минимальном, функционально полном элементном базисе на основе методов декомпозиции заданной для моделирования системы уравнений Кирхгофа (или системы уравнений, которые могут быть сведены к уравнениям Кирхгофа) с использованием аппарата эквивалентных преобразований.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разграничить множество идеализированных элементов, входящих в состав математических и физических схем замещения; установить взаимосвязь между элементами физических и математических схем замещения;

- определить минимальные функционально полные элементные базисы схем замещения электрических цепей;

- разработать процедуру построения схем замещения по заданным уравнениям в функционально полном элементном базисе.

Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения.

В первой главе вводятся понятия математической и физической схем замещения. Для каждого типа схемы замещения рассматривается понятие элементного базиса. Проводится анализ существующего элементного базиса. Показана его избыточность. Даётся определение минимального функционально полного элементного базиса. В главе показано, что как для математических, так и для физических схем замещения существует множество функционально полных элементных базисов. На основе анализа свойств существующих элементов обосновывается выбор минимального функционально полного элементного базиса как для идеализированных математических, так и для физических схем замещения. Формулируется задача синтеза математической схемы замещения.

Во второй главе рассматривается процедура синтеза математических схем замещения неавтономных линейных многополюсников. В основе синтеза лежит типовое звено, которое в общем случае представляет собой последовательное соединение источников напряжения, управляемых токами. Коэффициенты управления этих источников напряжения представляют собой дробно-рациональные функции от комплексной переменной р. Путем эквивалентных преобразований типовое звено сводится к схеме замещения, состоящей из идеального операционного усилителя и двухполюсников, сопротивление которых также представляет собой дробно-рациональную функцию р. Таким образом, синтез схемы замещения сводится к синтезу соответствующих двухполюсников. Синтез полученных двухполюсников осуществляется путем представления дробно-рациональной функции в виде арифметических комбинаций слагаемых, каждому из которых соответствует в общем случае двухполюсный элемент высокого порядка. В диссертации также рассмотрены процедуры синтеза элементов высоких порядков.

В третьей главе рассмотрен учет ненулевых начальных условий при синтезе электронных моделирующих цепей. Даже в линейных системах начальные условия оказывают существенное влияние на режим работы. Например, можно так подобрать независимые начальные условия, что в цепи при коммутации будет отсутствовать переходной процесс. В нелинейных электрических цепях начальные условия могут существенно влиять на режим работы [41, 42, 43]. Так, нелинейная система, в зависимости от начальных условий, может находиться либо в устойчивом состоянии, либо, при других начальных условиях, в ней могут возникать субгармонические колебания.

В четвёртой главе показано, что существует такой класс дифференциальных уравнений, в которых можно выделить линейную и нелинейную части, причем линейная часть представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений. А нелинейная часть представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений. Таким образом, задача синтеза сводится отдельно к синтезу линейной схемы замещения и к синтезу нелинейной резистивной схемы замещения.

Рассматривается синтез математических схем замещения нелинейных резистивных двухполюсников двух типов: двухполюсники с вольтамперной характеристикой, управляемой напряжением и двухполюсники с вольт -амперной характеристикой, управляемой током. Для выделенных типов вольт -амперных характеристик разработаны приближенные методы синтеза. Такой подход оправдан тем, что на практике вольт - амперные характеристики нелинейных элементов известны лишь приближенно из-за погрешности измерительных приборов, методов измерения и зависимости параметров элементов от внешних условий.

Результаты диссертационной работы обсуждались на Всероссийской научно-практической конференции " Перспективные системы и задачи управления" , Домбай, 13-17 марта 2006 г., на ХШ-ом Международном Симпозиуме по теоретической электронной /Инженерии ISTET'05, г. Львов, 2005 г., научно - практические конференции " Экология, экономика, техника, образование" 2002 г., г. Туапсе.

По теме диссертации опубликовано 7 работ:

1. В. В. Пивнев. Задачи анализа схем замещения электрических цепей на этапе их описания. Известия ТРТУ. Специальный выпуск «Материалы XLII научно-технической конференции». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1997. № 2(5) с. 7275.

2. С. Н. Басан, В. В. Пивнев. К вопросу синтеза схем замещения линейных электрических цепей. Известия вузов. Электромеханика. Новочеркасск. Изд-во Новочеркасска. 1999. № 2. с. 8-9.

3. С. Н. Басан, В. В. Пивнев. Применение эквивалентных преобразований при замене нелинейной пассивной многолучевой звезды эквивалентным многополюсником. Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Перспективные системы и задачи управления. Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2006.№ 3(58). с. 244-251.

4. С.Н. Басан, В. В. Пивнев, А.С. Басан. Баланс мощностей в электрических цепях гармонического тока. Экология, экономика, техника, образование - 2001. Труды второй городской научно-практической конференции. Таганрог: Изд-во ТРТУ,2002. с.63.

5. С. Н. Басан, В. В. Пивнев. Синтез линейных двухполюсников произвольных порядков. Известия вузов. Электромеханика. Новочеркасск. Изд-во Новочеркасска. 2004. № 4. с. 3-6.

6. С. Н. Басан, В. В. Пивнев. Функционально полный элементный базис схем замещения электрических цепей. Известия вузов. Электромеханика. Новочеркасск. Изд-во Новочеркасска. 2002. № 1. с. 21-24.

7. С. Н. Басан, В. В. Пивнев. Аппроксимация характеристик нелинейных резистивных элементов применительно к задачам синтеза. Современные проблемы радиоэлектроники: Сборник научных трудов. Вып. 1. - Ростов н/Дон: РГПУ, 2006. с. 270-273.

5.5. Выводы к главе 5 операторным сопротивлением.

5.2. Синтезирована математическая схема замещения сопротивления зависящего от управляющего напряжения (параметрического сопротивления). Выполнен переход от математической схемы замещения к физической схеме замещения параметрического сопротивления функционирующего при положительных и отрицательных значениях управляющего напряжения.

5.3. Синтезирована математическая и физическая схемы замещения усилителя с бесконечным входным сопротивлением и вещественным положительным коэффициентом передачи по напряжению при заданной вещественной положительной нагрузке.

5.4. Получена физическая схема замещения амплитудного модулятора на основе параметрического сопротивления рассмотренного во втором примере.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом диссертационной работы является разработка методов синтеза линейных и нелинейных схем замещения электрических цепей в минимальном функционально полном элементном базисе на основе декомпозиции системы уравнений Кирхгофа (или системы уравнений, которые могут быть сведены к уравнениям Кирхгофа) с использованием аппарата эквивалентных преобразований.

Для достижения поставленной цели в первой главе предметом исследования стала схема замещения и ее элементный базис. Было показано, что целесообразно выделить два типа схем замещения, каждый из которых используется для отображения либо математических выражений связывающих токи и напряжения, либо физических процессов, протекающих на отдельных участках цепи соответственно. Эти схемы замещения носят название математической схемы замещения (или просто схемы замещения) и физической схемы замещения соответственно. В связи с различным типом рассматриваемых схем замещения, каждая из них имеет свой элементный базис:

1. Элементный базис математической схемы замещения;

2. Элементный базис физической схемы замещения.

Показано, что элементы математической схемы замещения принципиально отличаются от элементов физической схемы замещения, тем, что они могу иметь как положительные, так и отрицательные значения. Параметры элементов физической схемы замещения имеют только положительные значения, кроме этого в элементном базисе физической схемы замещения отсутствуют управляемые источники электрической энергии.

Впервые дано определение функционально полного элементного базиса и определение минимального функционально полного элементного базиса схемы замещения.

Доказана теорема о составе элементов, образующих минимальный индуктивности), идеального проводника, идеального ключа, одного независимого и одного зависимого (управляемого) источников электрической энергии с операторным коэффициентом управления образуют функционально полный минимальный элементный базис. При доказательстве последней теоремы были получены следующие выводы:

1. Источник тока или напряжения (как управляемый, так и неуправляемый) можно заменить эквивалентной схемой замещения содержащей источник напряжения или источник тока соответственно.

2. Получена математическая схема замещения (рис. 1.23), которая позволяет реализовать элементы с отрицательными параметрами, элементы высших порядков и т. д., перечень которых приведен в таблице 1.4.

3. Связанные индуктивности, унистор, гиратор и гиристор можно моделировать в минимальном функционально полном элементном базисе в соответствии с таблицей 1.4.

4. Разработана методика синтеза физических схем замещения соответствующих заданной системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений, содержащая следующие этапы:

4.1. Синтез канонической схемы замещения.

4.2. Синтез двухполюсников в функционально полном элементном базисе.

4.3. Получение физической схемы замещения путем замены элементов, полученной на первом этапе синтезированной схемы на их модели в физическом элементном базисе.

5. Описана процедура учета независимых начальных условий при решении задач синтеза.

6. Решена задача аппроксимации и синтеза кусочно-линейных моделей нелинейных элементов с минимальным числом линейных участков аппроксимирующей зависимости.

7. Приведены примеры синтеза, представляющих практический интерес, устройств в рассмотренном элементном базисе:

- параметрическое сопротивление;

- инвертор операторного сопротивления;

- усилителя; модулятора.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты позволяют:

1. Конструировать (синтезировать) схемы замещения математических макромоделей линейных и некоторых классов нелинейных устройств в тех случаях, когда их внутренняя структура неизвестна, а известен лишь оператор, устанавливающий связь между множеством входных и выходных переменных.

2. Для известных устройств, используя эквивалентные преобразования, получать новые схемные решения. Целенаправленно изменять их топологию и параметры элементов.

3. Получать для известных устройств, схемные решения задачи синтеза в других элементных базисах, что особенно актуально при производстве промышленностью новых элементов.

4. Уменьшать размерность систем уравнений, описывающих процессы в схемах замещения.

5. Преобразовывать имеющиеся схемы замещения к виду, удобному для реализации.

Разработанный теоретический материал может быть полезен как в научных, так и инженерных расчетах, так же и в учебных целях.

Таким образом, цель, сформулированная во введении, выполнена в полном объеме.

1. ШакировМ. А. Преобразование и диакоптика электрических цепей. JL: Ид-во ЛГУ, 1980. 195 с.

2. Астахов В.И. Моделирование цепями Кирхгофа электротехнических устройств. Режим постоянного тока. Известия вузов. Электромеханика.5/6. Новочеркасск. 1998. с. 95-108.

3. Астахов В.И. Моделирование цепями Кирхгофа электротехнических устройств. Режим переменного тока. Известия вузов. Электромеханика.З. Новочеркасск. 1999. с. 105-120.

4. R.M. Foster A Reactance Theorem. BSTJ, №3, 1924.

5. W. Cauer Virpole. Elek. Nachr. Tech,b.6, №7,1929.

6. W. Cauer Ein Reaktanztheorem. Sitzber. peuss. Akad. Wiss. mt. k 1., b. 30. 1931.

7. W. Cauer. Sibschaltungen.V.D.I. Verlag G.M.B.H., Berlin, 1931.

8. W. Cauer. Ausgangsseitig Curlanfende Filter. Ebk. Nachr Tech. b.16, №6, 1949.

9. O. Brune. Synthesis of a Finite Two Terminal Network Whose Driving Point Impendance is a Prescribed Function of Frequency. J. Math.and Phys., №10, №3, oct. 1931.

10. Darlington. Synthesis of Reactance 4 Poles. J. Math. And Phys., №18, sept. 1939.

11. Bott and R.J. Duffin. Impendance Synthesis Without use of Transformers. J. Appl. Phys., v 20 , №8, aug. 1949.

12. Richards PJ. A Special Class of Function with positive real part in a halt plan. Duke Math., 1947, №14.

13. F. Miyata. A New System of Two Terminal Synthesis. J. Inst. Eltc. Engrs. (Jahan), v. 35, may 1952.

14. N. Balabanian. Net Work Synthesis. Prentice Hall, 1958.

15. Scott H.H. A New Type of Selective circuit and some applications. -"Proc.16