автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамическая адаптация в многофронтовых задачах Стефана
Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Королева, Ольга Николаевна
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Введение.
1. Методы построения адаптивных сеток в стационарных задачах.
2. Методы построения адаптивных сеток в нестационарных 13 задачах.
3. Методы решения задач Стефана.
ГЛАВА 2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ МНОГОФРОНТОВОЙ
ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ.
Введение.
1. Постановка задачи. 21 1.1. Начальные и граничные условия.
2. Теплофизические характеристики и параметры.
3. Алгоритм решения.
3.1. Нестационарная произвольная система координат 29 3.1.1. Начальные и граничные условия.
3.2. Функция преобразование).
3.3. Выбор коэффициента Б.
3.4. Разностная аппроксимация дифференциальной модели в 35 расчетном пространстве
4. Результаты моделирования.
Введение 2006 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Королева, Ольга Николаевна
1. Постановка задачи 71
2. Постановка задачи в произвольной нестационарной системе 74 координат
3. Функция преобразования р. 78
4. Разностная схема. 80
5. Алгоритм решения 82
6. Задача о промерзании 84
7. Вычислительный эксперимент. 87 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 94
ВВЕДЕНИЕ
Новой универсальной технологией научных исследований в настоящее время является математическое моделирование [1], обладающее рядом несомненных преимуществ. Используемые для исследований математические модели не требуют столь сильных допущений и позволяют получить качественную и количественную информацию о любой стороне моделируемого явления при различных условиях проведения вычислительного эксперимента. Организация и проведение вычислительного эксперимента, по сути, заключается в разработке математических моделей, численных алгоритмов решения нелинейных систем и в создании соответствующего программного обеспечения. Одним из показателей вычислительной эффективности алгоритма является число узлов сетки, необходимое для проведения расчетов. Значительную экономию количества узлов, а соответственно и увеличение эффективности позволяет получать метод динамической адаптации расчетной сетки к решению поставленной задачи.
Целью данной диссертации является развитие и применение метода динамической адаптации к решению задач о быстрых фазовых переходах в многослойных материалах и двумерных постановках многофронтовой задачи Стефана.
Основным элементом научной новизны является способ определения функции преобразования при переходе к нестационарной системе координат в методе динамической адаптации, позволяющей полностью автоматизировать процесс построения квазиравномерных сеток независимо от линейных размеров области определения и скорости движения границ. Разработаны и проанализированы алгоритмы решения многофронтовых одномерных и двумерных задач Стефана.
Научная и практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанного подхода для многофронтового варианта задачи Стефана, с явным выделением контактных и межфазных границ. Метод динамической адаптации применялся для моделирования процессов лазерного нагрева, плавления и испарения двумерной мишени произвольной геометрии и многослойной мишени в одномерной постановке при различных режимах воздействия. Проведенные исследования расширили представления об особенностях поведения процессов при лазерном воздействии на конденсированные среды.
Материалы диссертации докладывались на Международной конференции "Laser Processing of Advanced Materials and Laser Microtechnologies", (Москва, 22-27 июня 2002); на Международном научном семинаре "4th International Workshop on Fundamentals of Ablation with Short Pulsed Solid State Lasers 2004", (Hirschegg, Austria), Stuttgart, Germany: Forschungsgesellschaft für Strahl Werkzeuge FGSW, 4-6 February 2004; на Первом, втором и третьем Международных научных семинарах "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах" (Москва, 28 января - 1 февраля 2004; 25 - 29 января 2005; 31 января - 4 февраля 2006).
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [112 -118].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Заключение диссертация на тему "Динамическая адаптация в многофронтовых задачах Стефана"
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулируем основные результаты диссертации:
1. В работе предложена функция преобразования, позволяющая строить квазиравномерные сетки. Полученная функция преобразования не содержит подгоночных коэффициентов и учитывает особенности решения задач с подвижными границами.
2. Разработан алгоритм численного решения многофронтовой одномерной задачи Стефана, описывающей процессы плавления-затвердевания и испарения в вакуум многослойной металлической мишени. В основу алгоритма положены разностные схемы с динамической адаптацией расчетной сетки. Исследованы процессы плавления-затвердевания и испарения, происходящие в многослойных мишенях под действием лазерного излучения.
3. Предложен алгоритм численного решения многофронтовых нестационарных двумерных задач Стефана с явным выделением межфазных границ в произвольных областях. Разработанная методика использовалась для моделирования процессов лазерного плавления и испарения в двумерных постановках. Исследованы различные режимы воздействия на мишени сложной геометрии.
Библиография Королева, Ольга Николаевна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
1. A.A. Самарский. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1984, №3, с. 77-88.
2. H.A. Дарьин, В.И. Мажукин. Метод построения адаптивных сеток дляодномерных краевых задач. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1987, №33, 26 с.
3. H.A. Дарьин, В.И. Мажукин. Математическое моделирование нестационарной двумерной задачи Стефана на адаптивной сетке. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1987, №52, 25 с.
4. H.A. Дарьин, В.И. Мажукин., A.A. Самарский. Конечно-разностный метод решения нестационарных двумерных задач на адаптивной сетке, динамически связанной с решением. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1987, №117, 27 с.
5. В.Д. Лисейкин. Технология конструирования трехмерных сеток для задач аэрогазодинамики. Обзор. ВАНТ, серия: "Математическое моделирование физических процессов." 1991, вып. 2, с. 31-45
6. Р.Н. Антонова, Г.П. Прокопов, О.И. Софронова. Расчет подвижныхразностных сеток и проблема начального приближения для сетки в94сложной области. ВАНТ, серия: "Математическое моделирование физических процессов." 1996, вып. 1-2, с. 84-90
7. Weizhang Huang, Yuhe Ren, Robert D. Russell. Moving Mesh Methods Based on Moving Mesh Partial Differential Equations. Journal of Computational Physics. 1994,113, pp. 279-290
8. R. Hagmeijer. Grid Adaption Based on Modified Anisotropic Diffusion Equations Formulated in the Parametric Domain. Journal of Computational Physics. 1994, 115, pp. 169-183
9. J.D. Blom, P.A. Zegeling. Algorithm 731: A Moving-Grid Interface for Systems of One-Dimensional Time-Dependent Partial Differential Equations. ACM Transactions on Mathematical Software, 1994, Vol. 20, №2, pp. 194-214
10. Ke Chen. Error Equidistribution And Mesh Adaptation. SIAM J. Scl. Comput., 1994, Vol. 15, №4, pp. 798-818
11. Weizhang Huang, David M. Sloan. A Simply Adaptive Grid Methtod in Two Dimensions. SIAM J. Scl. Comput., 1994, Vol. 15, №4, pp. 776-797
12. В.И. Мажукин, Ю.А. Повещенко, С.Б. Попов, Ю.П. Попов. Об однородных алгоритмах численного решения задачи Стефана. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1985, №122, 23 с.
13. П. В. Бреславский, В.И. Мажукин, JI. 10. Такоева. Математическое моделирование лазерное плавления и испарения однородных материалов. Пакет LASTEC-1. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1991, №22,46 с.
14. Rubbert P. Е., Lee К. D. Patched coordinate systema. Numerical Grid Generation. Ed.Thompson J. F. North-Holland, 1982. p.235.
15. Miki K., Takagi T. A domain decomposition and overlapping method for the generation of three-dimensional boundary-fitted coordinate systems. J. Comput. Phys. 1984. Vol. 53. P. 319-330.
16. В. M. Пасконов. Разностные схемы на самоорганизующемся множестве расчетных точек в двумерных односвязных областях произвольной формы. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, №2, с. 429-440.
17. L.-E. Ericsson. Practical Three-Dimentional Mesh Generation Using Transfinite Interpolation. J. Fluid Mech., 1984, V. 148, P. 45-71.
18. R. E. Smith. Three-Dimentional Algebraic Grid Generation. AIAA Pap., 1983. №1904.
19. R. E. Smith, L.-E. Ericsson. Algebraic Grid Generation. Сотр. Metli. Appl. Mech. Eng., 1987, V. 64, P. 285-300.
20. R. E. Smith, R. A. Kudlinski, E. L. Everton. A Grid Spasing Control Technique for Algebraic Grid Generation Methods. AIAA Pap. 82-0226, Orlando, Fla., Jan. 1982.
21. J. F. Thompson, F. S. Thames, C. W. Mastin. Automatic Numerical Generation of Body-Fitted Curvilinear Coordinate System for Field ContainingAny Number of Arbitrary Two-Dimensional Bodies. J. of
22. Comput. Physics, 1974, V. 15, P. 229-319.
23. J. L. Steger. Implicit Finite-Difference Simulation of Flow About Arbitrary Two-Dimensional Geometries. AIAA J., 1978, V. 16, №7, P. 679-686.
24. С. К. Годунов, Г. П. Прокопов. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, №2, с. 429-440.
25. J. F. Thompson, Z. U. A. Warsi, С. W. Mastin. Boudary Fitted Coordinate Sysems for Numerical Solution of Partial Differentional Equations. A review. J. of Comput. Physics, 1982, V. 47, P. 1-108.
26. X. Aubert, M. Deville. Steady Viscous Flows by Compact Differences in Boundary-Fitted Coordinates. J. of Comput. Physics, 1983, V. 49, P. 490.
27. D. A. Anderson. Equidistribution Schemes, Poisson Generators, and Adaptive Grids. Appl. Mathematics and Computation, 1987, V. 24, P. 211227.
28. K. Matsuno, H. A. Dwyer. Adaptive Methods for Elliptic Grid Generation. J. of Comput. Physics, 1988, V. 77, P. 40-52.
29. J1. M. Дегтярев, В. В. Дроздов, Т. С. Иванова. Об использовании адаптивных к решению сеток в одномерных краевых задачах с пограничным слоем. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1986, №164, 26 с.
30. Т. С. Иванова. Об использовании адаптивных к решению сеток в одномерных краевых задачах . Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1987, №196, 27 с.
31. А. В. Jr. White. On the Numerical Solution of Initial/Boundary-Value Problems in One Space Dimension. SIAM J. on Numerical Analysis, 1981, V. 18, P. 1019-1032.
32. J. F. Thompson. Grid Generation Techniques in Computational Fluid Dynamics. AIAAJ., 1984, V. 22, №11, P. 1505-1523.
33. С. К. Годунов, А. В. Забродин, M. Я. Иванов и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М: Наука, 1976.
34. М. Белоцерковский, В. Г. Грудницкий, В. Н. Рыгалин. Выделение разрывов при расчете одномерных нестационарных течений газа. Докл. АН СССР, 1983, Т. 272, № 1, с. 49-52.
35. М. М. Rai, D. A. Anderson. Application of Adaptive Grids to Fluid-Flow Problems with Asymptotic Solutions. AIAA J., 1982, V. 20, №4, pp. 486502.
36. JI. M. Дегтярев, Т. С. Иванова. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1993, №12, 33 с.
37. Л. М. Дегтярев, Т. С. Иванова. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1993, Т. 29, №7, с. 1179-1192.
38. J. G. Verner, J. G. Blom, J. M. Sanz-Serna. An Adaptive Moving Grid Method for One-Dimensional Systems of Partial Differential Equations, J. of Comput. Physics, 1989, V. 82, P. 454-486.
39. J. J. G. Blom, J. M. Sanz-Serna, G. Verner. Report NM-R87 13, Centre for Mathematics and Computer Science. Amsterdam, 1987; 12th IMACS Word Congress '88 on Scientific Computation. Paris, July 1988 (North-Holland, Amsterdam, in press).
40. C. de Bor. In Conference on the Numerical Solution of Differential Equations, Dundee, Scotland, 1973, edited by G. A. Watson, (SpringerVerlag, Berlin, 1974), p. 12.
41. T. Г. Дармаев, В. Д. Лисейкин. Метод построения многомерных адаптивных разностных сеток. Моделирование в механике, 1987, Т. 1(18), №1, с. 49-57.
42. К. Nakahashi, G. S. Deiwert. Three-Dimentional Adaptive Grid Method. A1AA J., 1986, V. 24, №6, pp. 948-954.
43. А. И. Толстых. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и о применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, Т. 18, №2, с. 139-153.
44. С. Г. Черных. О выборе системы координат для численного решения упрощенных уровнений Навье-Стокса маршевым методом. Сб. "Численные методы механики сплошной среды." 1982, Т. 13, №1, с. 132-146.
45. В. Д. Лисейкин, В. Е. Петренко. Адаптивно-инвариантный методчисленного решения задач с пограничными и внутренними слоями.
46. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.
47. И. Э. Иванов, И. А. Крюков. Учет особенностей метода контрольного объема при адаптации расчетной сетки. Мат. моделирование, 2001, 13, 1, с. 99-111.
48. J. U. Brackbill. Coordinate System Control: Adaptive Meshes. Numerical Grid Generation. Edited by J. F. Thompson. North-Holland, Amsterdam, 1982, pp. 277-316.
49. В. Д. Лисейкин, H. H. Яненко. О выборе оптимальных разностных сеток. Сб. "Численные методы механики сплошной среды." 1977, Т. 8, №7, с. 100-104.
50. Н. Н. Яненко, Н. Г. Данаев, В. Д. Лисейкин. О вариационном методе построения сеток. Сб. "Численные методы механики сплошной среды." 1977, Т. 8, №4, с. 157-163.
51. Н. А. Дарьин, В. И. Мажукин. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивных сетках. Дифференциальные уравнения, 1987, Т. 23, №7, с. 1154-1160.
52. Н. А. Дарьин, В. И. Мажукин. Об одном подходе к построению адаптивных разностных сеток. ДАН СССР, 1988, Т. 298, №1, с. 64-68.
53. Н. А. Дарьин, В. И. Мажукин, А. А. Самарский. Конечно-разнотный метод решения одномерных уравнений газовой динамики на адаптивных сетках. ДАН СССР, 1988, Т. 302, №5, с. 1078-1081.
54. В. Ф. Василевский, В. И. Мажукин. Численные расчеты температурных волн со слабыми разрывами на сетках с динамической адаптацией.
55. Дифференциальные уравнения, 1989, Т. 25, №7, с. 1188-1 193.
56. П. В. Бреславский, В. И. Мажукин. Математическое моделирование процессов импульсного плавления и испарения металла с явным выделением фазовых границ. ИФЖ, 1989^ Т. 57, №1, с. 107-114.
57. В. Ф. Василевский, В. И. Мажукин. Расчет ударных волн на сетках с динамической адаптацией. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1990, №37, 11 с.
58. К. Miller, R. N. Miller. Moving Finite Elements, I. SIAM J. on Numerical Analisys, 1981, V. 18, pp. 1019-1032.
59. K. Miller. Moving Finite Elements, II. SIAM J. on Numerical Analisys, 1981, V. 18, pp. 1033-1057.
60. R. J. Gelinas, S. K. Doss, K. Miller. The Moving Finite Element Method: Application to General Partial Differential Equations with Multiple Large Gradients. J. of Comput. Physics, 1981, V. 40, P. 202-249.
61. H. А. Дарьин, В. И. Мажукин. Об одном подходе к построению адаптивных сеток для нестационарных задач. ЖВМ и МФ, 1988, Т. 28, №3, с. 434-460.
62. В. И. Мажукин, JL 10. Такоева. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток. Математ. моделирование, 1990, т. 2 №3, с. 101-118.
63. Н. А. Дарьин, В. И. Мажукин. Математическое моделирование нестационарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией. Математ. моделирование, 1989, т. 1 №3, с. 29-43.
64. В. И. Мажукин. Математическое моделирование проблемы Стефана на адаптивной сетке. Тепломассообмен-ММФ, / HEAT/MASS NRANSFER-MIF/, Проблемные доклады. Минск, 1988, с. 125-139.
65. Н.А. Дарьин, В.И. Мажукин. О численном решении задачи Стефана на адаптивной сетке. Препринт Инст. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, 1987, №51,17 с
66. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 5, с.816-827.
67. G.H.Meyer. The numerical solution of Stefan problems with front-tracking and smoothing methods. Appl. Math. Comput. 1978. V.4. pp.283-306.
68. B.R.E.White. A modified finite difference scheme for the Stefan problem. Math. Comput. 1983. V.41. pp.816-827.
69. M. F. Williams, D. G. Wilson. Inerative solution of a nonlinear system arising in phase-change problems. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1990, v. 11, № 164, pp. 337-347.
70. Ф. П. Васильев. О методе конечных разностей для решения однородной задачи Стефана. ЖВМиМФ, 1963, т.З, № 5, с. 861-873.
71. Р. Д. Бачелис, В. Г. Меламед, Д. М. Шляйфер. Решение задачи Стефана с помощью метода прямых. ЖВМиМФ, 1969, т.9, № 5, с. 585-594.
72. М. Devis, P. Kapadia, J. Dowden. Solution of Stefan Problem in the theory of laser welding by the method of lines. J. Comput. Phys., 1985, v. 60, pp. 534-548.
73. А. Б. Успенский. О методе выпрямления фронтов для многофронтовых одномерных задач типа Стефана. ДАН СССР, 1967, т. 172, № 2, с. 6164.
74. Б. М. Будак, H.J1. Гольдман, А. Б. Успенский. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана. ДАН СССР, 1968, т. 167, № 4, с. 735-738.
75. М. A. Hastaoglu. A numerical solution to moving boundary problem -application to melting and solidification. Int. J. Heat Mass Transfer. 1986, v. 29, № 3, pp. 495-499.
76. J. Grank, Gupta. Isotherm migration method in two dimensions. Brunei Univ. Tech. Rep. 1974,42 p.
77. Biswajit Basu, Date A. W. Numerical modeling and solidification problems. A review. Sadhana, 1988, v. 13, part 3, pp. 169-213. Printed in India.
78. Рыкалин H.H., Углов A.A., Зуев И.В., Кокора А.Н. Лазерная и электронно лучевая обработка металлов. М.: Машиностроение. 1985.
79. Волгин В.И. Влияние лазерного легирования поверхности на твердость алюминиевого сплава AJI25. Поверхность. Физика, химия, механика. 1983, №1, с.125-129.
80. Сафонов А.Н., Грирорьянц А.Г., Макушева Н.А., Сергеев А.В. Исследование микроструктуры алюминиевых и медных сплавов после обработки непрерывным СО2- лазером. Электронная обработка материалов. 1984, № 1, с.26 29.
81. Дериглазова И.Ф., Левитес И.И., Мульченко Б.Ф. Лазерное легирование алюминиевых поршневых сплавов. Исследованиеструктуры. Автомобильная промышленность. Лазерная обработка. 1985, №12, с.8-10.
82. Дериглазова И.Ф., Боголюбова И.В., Мульченко Б.Ф. Исследование возможности легирования алюминиевых поршней с помощью лазерного излучения. М.: Труды НПО "НИИТавтопром". 1987, вып.2, с. 33-34.
83. Дериглазова И.Ф., Мульченко Б.Ф., Воробьев С.С., Боголюбова И.В., Соколов A.M. Лазерное упрочнение канавок алюминиевых поршней. Автомобильная промышленность. Технология, материалы. 1987, №9, с.25 -26.
84. Боголюбова И.В., Дериглазова И.Ф., Мульченко Б.Ф. Лазерное поверхностное легирование сплава АЛ25. Металловедение и термическая обработка металлов. 1988, №5, с.24 25.
85. Mazhukin V.I., Samarskii А.А. Mathematical modeling in the technology of laser treatments of materials. Review. Surv. Math. Ind., 1994, vol. 4, pp. 85149.
86. Mazhukin V.I., Smurov I., Dupuy C., Jeandel D. Simulation of Laser Induced Melting and Evaporation Processes in Superconducting Ceramics. J. Numerical Heat Transfer Part A, 1994, v. 26, pp. 587-600.
87. Cheynet В., Dubois J.-D., Milesi M. Données thermodynamiques des éléments chimiques. Techniques de l'Ingenier, traité Matériaux métalliques, 1993, pp. M 64-1 M 64-22. Printed in France by Imprimerie Strasbourgeoise.
88. Laurent M., P.L. Vuillermoz P.L. Conductivité Thermique des solides. In Techniques de lTngenier, traité Constantes physico-chimiques, 1995, pp. К 420-1 К 420 -30. Printed in France by Imprimerie Strasbourgeoise.
89. Landolt Bornstein. Numerical Data and Functional Relatioships in Science and Technology. Vol.6, Ed. von H. Borchers, E. Schmidt. Berlin-Gôttingen-Heidelberg-New York, Springer — Verlag, 1964.
90. К. Дж. Смилз. Металлы. Справочник. Издание пятое. Под ред. С.Г. Глазунова. М.: Металлургия, 1980.
91. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С.Григорьева,
92. Е.З.Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.
93. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.:, Изд-во МГУ, 1999.
94. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
95. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
96. W.W.Duley. Laser Processing and Analysis of Materials. 1983, Plenum Press. New York and London.
97. M.Vinokur. On one-dimensional stretching functions for finite-difference calculations. J.Comput.Phys., 1983, V.50, pp.215-234.
98. M.Vinokur. On one-dimensional stretching functions for finite-difference calculations. NASA CR 3313, 1980 (available NTIS 80N 34188).
99. Laser Ablation. Springer Series in Materials Science, Vol. 28 Editor: John C. Miller. Springer Verlag. Berlin Heidelberg, 1994.
100. V.I.Mazhukin, M.M.Chuiko. Method of dynamically adaptive grids for numerical solution of nonstationary multi-dimensional problems of Stefan. Docl. Akad. Nauk, 1999, V. 368, No 3, pp. 307 310.
101. D. Crout. An application of kinetic theory to the problems of evaporation and sublimation of monatomic gases. J. Math. Phys., 1936, 15, 1-54.
102. V.I.Mazhukin, P.A. Prudkovskii, A.A.Samokhin. On gas-dynamic boundary conditions at evaporation front. J. Math. Modeling, 1993, 5(6), pp. 3-10 (in Russian).
103. И.И. Данилюк. О задаче Стефана. Ж. Успехи математических наук. 1985. Т. 40, вып. 5. с. 133-185.
104. V.I.Mazhukin, M.M.Chuiko. Solution of the multi-interface Stefan problem by the method of dynamic adaptation. J. Computational Methods in Applied Mathematics, Vol. 2 (2002), No. 3, pp. 1-11.
105. V.I. Mazhukin, O.N. Koroleva, M.M. Chuiko. Modeling of formation of deep 2D channels in metal targets via laser irradiation. SPIE The International Society for Optical Engineering. 2002. V 5121, pp. 87 - 97.
106. O.H. Королева, В.И. Мажукин. Математическое моделирование лазерного плавления и испарения многослойных материалов. -ЖВМиМФ, 2006, т.46 № 5, с. 910-924.
107. В. И. Мажукин, О. H. Королёва, К. Февьет. Моделирование неравновесной кинетики ионизации в дуговом разряде. Материалы Первого Международного научного семинара LPPM3, Москва, 2004.
108. Vladimir I. Mazhukin, Olga N. Koroleva. Mathematical Modeling of Melting and Evaporation Multilayer Materials. Материалы Второго Международного научного семинара LPPM3, Москва, 2005.
109. О. Н. Королева, В. И. Мажукин, А. В. Мажукин, François Gentils. Математическая модель неравновесной кинетики электрического пробоя молекулярного газа. Материалы Третьего Международного научного семинара LPPM3, Москва, 2006.
110. О. Н. Королёва, В. И. Мажукин. Математическое моделирование лазерного плавления и испарения многослойных материалов. Материалы Третьего Международного научного семинара LPPM3, Москва, 2006.
-
Похожие работы
- Динамическая адаптация во многофронтовых задачах Стефана
- Численное моделирование замерзания воды с растворенным газом в замкнутых объемах
- Численное моделирование тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах
- Метод динамической адаптации в проблемах горения и взаимодействия лазерного излучения с веществом
- Численное моделирование теплового процесса сварки полиэтиленовых труб при низких температурах
-
- Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
- Теория систем, теория автоматического регулирования и управления, системный анализ
- Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления
- Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
- Автоматизация технологических процессов и производств (в том числе по отраслям)
- Управление в биологических и медицинских системах (включая применения вычислительной техники)
- Управление в социальных и экономических системах
- Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей
- Системы автоматизации проектирования (по отраслям)
- Телекоммуникационные системы и компьютерные сети
- Системы обработки информации и управления
- Вычислительные машины и системы
- Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)
- Теоретические основы информатики
- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
- Методы и системы защиты информации, информационная безопасность