автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование замерзания воды с растворенным газом в замкнутых объемах

На правах рукописи

00461491У

Самылова Юлия Андреевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАМЕРЗАНИЯ ВОДЫ С РАСТВОРЕННЫМ ГАЗОМ В ЗАМКНУТЫХ ОБЪЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 2 /ЗЕК 2010

Тюмень - 2010

004614919

Работа выполнена на кафедре высшей математики и информатики ГОУ ВПО ХМАО-Югры «Сургутский государственный педагогический университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент

Сигунов Юрий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Аксенов Борис Гаврилович

Защита состоится «21» декабря 2010 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.274.14 при Тюменском государственном университете по адресу 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская 15А, ауд. 410.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан « /¿Г» ноября 2010 г.

кандидат физико-математических наук, доцент

Гореликов Андрей Вячеславович

Ведущая организация: Тюменское отделение

СургутНИПИнефть

Ученый секретарь диссертационного совета

Бутакова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В условиях холодного климата замерзание водосодержащих сред часто приводит к негативным последствиям, таким как закупорка, деформация и разрывы труб скважин или систем водоснабжения. Причиной является интенсивный рост давления в замерзающем объеме из-за разности плотностей воды и льда. На практике имеет место задержка стадии резкого роста давления на некоторый период. На длительность этого периода может повлиять растворенный в воде воздух (или любой газ некоторого состава). Отторжение растворенного газа из образовавшегося льда в незамерзшую область повлечет его диффузию и выделение в свободную фазу при превышении равновесного значения. Появление в системе пузырьков газа увеличит сжимаемость среды, что повлияет и на динамику замерзания, и на темпы роста давления в объеме. При математическом моделировании замерзания замкнутых объемов обычно учитывают только зависимость температуры замерзания от давления. Анализ влияния растворенного газа на условия замерзания замкнутых масс в известных математических моделях не встречается.

Включение фактора растворенного газа в модель замерзания замкнутого объема приводит к термодиффузионной задаче с фазовым переходом. Нетривиальность её постановки в данном исследовании состоит в учете возможного выделения газа из перенасыщенного раствора. При этом возникает сложная нелинейная зависимость между скоростью замерзания и интенсивностью выделения газа, связываемая через уравнение для роста давления, определяющегося обоими указанными факторами. Решение возникающей системы нелинейных уравнений теплообмена и диффузии с подвижной границей аналитически невозможно, а численное интегрирование требует дополнительных усилий для разработки эффективного и надежного вычислительного алгоритма.

Поэтому актуальность представленной работы обусловлена как необходимостью построения и исследования адекватных математических моделей для имеющих важное практическое значение процессов замерзания водных сред в замкнутых объемах, так и требованиями развития алгоритмов численного решения задач совместного тепломассопереноса с фазовыми превращениями.

Целью работы является численное моделирование процесса замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутом объеме для количественной оценки степени влияния растворенного газа на процесс замерзания и динамику роста давления в замерзающем объеме.

Основными задачами работы являлись:

1) разработка математической модели замерзания замкнутых объемов воды, учитывающей влияние выделения растворенного газа на динамику роста давления;

2) разработка и программная реализация численного алгоритма для исследования предложенной модели;

3) апробация математической модели и разработанного алгоритма на модельных задачах и экспериментальных данных;

4) численное исследование влияния исходных и внешних условий на динамику роста давления в замерзающем объеме. Научная новизна работы заключается в следующем:

1) предложена математическая модель замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме, которая учитывает изменение сжимаемости среды вследствие выделения газа;

2) разработаны и апробированы алгоритм и программа численного решения поставленной новой термодиффузионной задачи с фазовым переходом вода-лед;

3) выявлен ряд закономерностей динамики замерзания и роста давления в замкнутых объемах, которые не воспроизводятся моделями, не учитывающими фактор растворенного газа. Обоснованность и достоверность положений, выводов и

результатов, защищаемых в диссертации, обеспечиваются использование основных законов сохранения, принципов математического описания процессов теплообмена и диффузии, подтвержденных экспериментально физических законов. Алгоритм численного решения и программное обеспечение проверены на тестовых задачах, а полученные решения сопоставлены с результатами экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты численного исследования замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутом объеме позволяют более точно прогнозировать динамику протекания данного процесса, в частности интенсивность

роста давления в объеме. Pix анализ приводит к формулировке ряда новых практически значимых выводов.

Для решения задачи разработан, реализован в виде программного обеспечения и апробирован на тестах численный метод с подвижными расчетными сетками, привязанными к значениям рассчитываемых полей температуры и концентрации. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение могут быть использованы для научно-технических расчетов при исследовании аналогичных процессов.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции XIII International Conference on the Methods of Aerophysical Research (Новосибирск, 2007); на Vil! Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); на IV, V, УП конференциях «Наука и инновации XXI века: Открытая окружная конференция молодых ученых» (Сургут, 2003, 2004, 2006); на Региональном конкурсе научных студенческих работ (Тюмень, 2004); на VIII и IX научных конференциях преподавателей, аспирантов и соискателей СурГПУ (Сургут, 2004, 2005); на научно-исследовательском семинаре под руководством профессора В.Н. Кутрунова при ТюмГУ (Тюмень, 2010); на научных семинарах аспирантов и соискателей СурГПУ «Численное моделирование процессов тепломассопереноса» (Сургут); на научно-методических семинарах кафедры высшей математики информатики СурГПУ (Сургут).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, содержащего 109 наименований, и приложения. Работа содержит 37 рисунков и 12 таблиц. Полный объем диссертации составляет 115 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основания к построению модели. Рост давления внутри замерзающего объема является хорошо известным явлением. Исследованию роста давлений и возникающих напряжений посвящены как теоретические, так и экспериментальные работы. Мно-

гочисленные натурные наблюдения показывают образование и рост пузырьков воздуха при замерзании воды. Влияние содержания газа в воде отмечалось в экспериментальных работах по замораживанию капель воды, в том числе фиксировалась задержка роста давления, обусловленная выделением растворенного газа.

Фазовые превращения чистых веществ описываются известной задачей Стефана, для которой имеются многочисленные работы по её теоретическому исследованию и методам приближенного и численного решения. Описание затвердевания растворов приводит к совместным задачам теплообмена и диффузии с фазовым переходом. Термодиффузионные задачи возникают при моделировании затвердевания растворов соли и кристаллизации бинарных расплавов. Аналогичной задачей можно описать процесс замерзания воды, содержащий растворенный газ.

Математическая модель. Постановка задачи замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме является ключевым элементом в разработке и исследовании предлагаемой новой математической модели процесса.

Предлагаемая математическая модель включает:

- кондуктивный теплоперенос с фазовым переходом с учетом зависимости температуры замерзания от давления в объеме;

- отторжение растворенного газа из замерзшего объема, изменение его концентрации вследствие диффузии и выделение в свободную фазу при превышении равновесной концентрации;

- изменение давления в замерзающем объеме в процессе роста объема льда.

В постановке задачи не учитываются возможные конвективные течения, что представляется допустимым при небольших размерах среды (например, для труб с малым отношением диаметра к длине).

Рассматривается ограниченный объем воды У0 в форме пластины толщиной Я с теплоизолированной поверхностью г = 0, либо цилиндрической или сферической области радиуса Я с внутренним вырезом радиуса г0. Вода имеет однородную начальную температуру Т0 и содержит растворенный газ объемной концентрации С0. Начальные температура и концентрация соответствуют равновесным значениям температуры замерзания и растворимости газа для начального давления в водном объеме Ро. С поверх-

ности г - Я происходит охлаждение посредством заданной температуры или по закону конвективного теплообмена с внешней средой температуры Ть < Т0, приводящее к замерзанию водного объема с начального момента времени.

Тепловая часть задачи. Перенос тепла и замерзание воды описывается краевой задачей с подвижной границей г = гт (0 : ?)Т

"'- = а АТ , 0<г<г(г);

IV У/ ' !П 4 ' '

Эг

дТ

Э*

•~ = аЛТ, гя(0<г<Л,

т„=т>=тт{Р),

дТ

Я-^^ЫТ^Т) или Т=ТЬ дг

г1 дг

дТ дг

(1)

(2)

дТ

дг при

с1г

Г = Ъ

при г = гя(/);(3)

(4)

дТ

= 0 при г = г0

(5)

(6)

дг

Т„=Т0, гт=Я при г = 0, где а и Я - коэффициенты температуропроводности и теплопроводности; 5 = 0, 1,2 соответственно для плоской, цилиндрической и сферической геометрий; Ь - объемная теплота фазового перехода вода-лед, /г - коэффициент теплоотдачи. Индексы и г соответствуют воде и льду. В системе уравнений предусмотрено задание двух вариантов граничных условий: первого рода и третьего.

Температура замерзания Тт(Р) определяется давлением в незамерзшем объеме из уравнения Клаузиса-Клапейрона:

с1Т

Р,

\

Т +273.2

¿Р и,"

Диффузионная часть задачи. В ходе замерзания воды растворенный в ней газ отторгается в незамерзшую область, вызывая перераспределение концентрации в последней вследствие диффузии. При перенасыщении раствора часть газа выделяется в свободную фазу в виде растущих пузырьков. Этот процесс описывается уравнениями диффузии с условием на поверхности раздела фаз и стоковым членом, задающим скорость выделения газа:

4- = 2>ДС-/(С), 0<г<ги(0; (7)

от

= при г = г„(0; (8)

аг ш

= 0 при г = г0; С = С0 при г = 0, (9)

аг

где И - коэффициент диффузии газа в воде, функция ]\С) задает интенсивность выделения газа в свободную фазу в зоне перенасыщенного раствора.

Процесс формирования и роста пузырьков газа в перенасыщенном растворе имеет довольно сложный характер. В литературе отмечается, что удовлетворительного математического описания не имеет даже задача о газовыделении из однородной среды при резком уменьшении давления. С учетом этого в нашей модели для функции интенсивности газовыделения в качестве первого приближения принималась линейная зависимость

где Я(С) - функция Хевисайда; кс - коэффициент, имитирующий задержку, обусловленную консолидацией молекул в пузырьки, повышающие сжимаемость среды.

Следует отметить, что в теории растворимости аналогичные линейные приближения часто используются. При растворении твердых частиц в жидкости линейная зависимость скорости растворения вещества от разности его концентрации в растворе и равновесной концентрации экспериментально установлены опытами Щукарева и Нернста. Такая линейная зависимость принимается в уравнениях, описывающих процесс сорбции газа. Кроме того, при больших значениях коэффициента пропорциональности кс функция источника будет соответствовать равновесным условиям, при которым молекулы газа мгновенно выделяются в свободную фазу. Такое допущение принимается во многих работах при описании газовыделения из перенасыщенного раствора.

Для равновесной концентрации принимается линейная зависимость от давления, выражаемая законом Генри

Сей=ТР,

где Г - постоянная растворимости, зависящая от состава газа.

Безразмерные переменные и параметры. Для предварительного анализа модели, а так же для проведения расчетов и их сопоставительной обработки система уравнений теплообмена и диффузии приводилась к безразмерному виду. Пространственная координата нормировалась к размеру замерзающего объема, концентрация и давление - к их начальным значениям, температура -к диапазону её изменения:

^

1 Т0-Ть " Т0-Т„ С0 ^ Р0

Структура уравнений при этом не метается и поэтому в автореферате не приводится. Переход к безразмерному виду приводит лишь к изменениям коэффициентов уравнений при уменьшении их количества. Входящие в постановку безразмерные параметры будут определяться соотношениями:

а1

гу - —!_• р

' I" 1 ' ~ п' ~~ г ' Г)

а. А; и Ь К

Первые три параметра определяются известными физическими свойствами воды, льда и газа, а значения двух последних (число Стефана 81 и число Био В1) варьируются в зависимости от интенсивности охлаждения.

Функция газовыделения в безразмерных величинах в рамках линейной зависимости примет вид

¡{а) = каН{сг-аея)(о-с7еа), где ка=кДг / И - безразмерный параметр, определяющий скорость газовыделения.

Уравнение роста давления в замерзающем объеме. Отдельным элементом, замыкающим полную постановку задачи, является вывод уравнения для роста давления в замерзающем объеме с учетом накопленного количества свободного газа. Рост давления происходит из-за меньшей плотности льда по сравнению с водой, так что при замерзании некоторой массы воды такая же масса льда уже будет занимать больший объем.

Образовавшийся избыточный объем льда должен компенсироваться соответствующим уменьшением объемов газа, воды и

льда за счет их сжимаемости. При образовании дополнительного объёма льда dVi должно выполняться равенство

где через р обозначены плотности, а через ЗУ - изменение объемов соответствующих сред, обусловленное их сжимаемостью. Индекс а здесь и далее отнесен к газу в свободном состоянии.

Считая лед и воду слабосжимаемыми, а газ идеальным, из последнего уравнения баланса объемов в работе выведено дифференциальное уравнение

=--, (10)

¿у (Ь,

связывающее приведенное давление с относительными объемами образовавшегося льда {у/ = У. !У0) и накопленного свободного газа (V = V, /Уо). Здесь % = \ — р11рж считается постоянной и независимой от давления величиной, равной при атмосферных условиях 0.083, коэффициенты Ь\ и Ь2 определены равенствами 6, = /?н.Р0, Ъг = (Д, - Д)Р0. Начальным условием для дифференциального уравнения является (р(0) = 1.

Приведенная выше система дифференциальных уравнений представляет математическую модель замерзания замкнутого водного объема, в которой учитывается изменение сжимаемости системы вследствие увеличения доли свободного газа.

Предварительный анализ влияния растворенного газа. Для предварительной оценки можно рассмотреть два предельных случая. Первый из них не учитывает дополнительного выделения газа, второй соответствует мгновенному выделению всего газа из замерзшей воды. Для таких идеализированных условий достаточно лишь одного уравнения роста давления, в котором v(т) = у0+С01// и для первого случая С0 = 0.

Сопоставление показывает, что выделение растворенного газа существенно повышает сжимаемость среды и приводит к задержке роста давления (рис. 1). Исключение составляет случай, когда в объеме в начальный момент полностью отсутствует газ в свободном состоянии. В этом случае происходит резкое возрастание давления и дополнительное выделение газа (при заданных начальных концентрациях) не успевает оказать существенного

влияния на повышение сжимаемости системы. В реальности мгновенного роста давления не происходит в силу слабой прочности тонкого слоя льда, а так же некоторого количества газа, захватываемого потоком воды при заполнении объема. С увеличением начальной сжимаемости системы (увеличение значения у0) влияние растворенного газа на темпы роста давления проявляется сильнее. В действительности следует ожидать некоторой промежуточной динамики роста давления, т.к. в свободную фазу выделяется лишь некоторая доля растворенного газа. Здесь требуется учет всех включенных выше в полную модель факторов.

Рис. 1 Динамика роста давления при замерзании жидкости с выделением газа в свободную фазу (1 -уо = 0,- 2-уо = 0.01; 3-у0 = 0.03)

Численный метод. Предлагаемая к исследованию математическая модель приводит к термодиффузионной задаче с подвижной границей, содержащей ряд дополнительных уравнений и нелинейных связей. При решении термодиффузионных задач необходимо применять алгоритмы с явным выделением границы фазового перехода. Кроме того распределения температуры и концентрации имеют разные пространственные масштабы, различающиеся на порядки. Поэтому для расчета двух связанных частей задачи требуется различная пространственная дискретизация.

По этим причинам в основу расчетного алгоритма нами было положено использование конечно-элементных схем на подвижных сетках, для которых распределение узлов определяется самими значениями рассчитываемых температур и концентраций.

Использование таких сеток снимает проблему одновременного расчета связанных процессов с разными пространственно-временными масштабами.

Поставленная задача характеризуется наличием сквозных нелинейных связей, стыкующих тепловую и диффузионную части задачи через уравнение роста давления и интенсивность газовыделения. Для численного решения полной системы уравнений применялась итерационная процедура расчета одного временного шага, состоявшая из следующих этапов.

1. Для заданного объема свободного газа V решаются уравнения теплопереноса (1) - (6) по итерационной схеме:

1.1. Для заданного положения границы замерзания из уравнения (10) рассчитывается давление в области и соответствующая ему температура замерзания вт{(р).

1.2. Для рассчитанного значения температуры замерзания 0т(<р) определяется поле температуры и новое положение фазовой границы.

Этапы 1.1. и 1.2. итерируются до достижения сходимости по величине температуры замерзания. На каждой итерации координаты внутренних узлов сетки пересчитываются с учетом нового положения фронта фазового перехода.

2. Решение уравнений диффузии (7)-(9) построено на основе схемы расщепления. Давление в системе и соответствующая ему равновесная концентрация берутся из решения этапа 1.

2.1. С учетом найденного на предшествующем этапе положения границы замерзания, исходя из уравнения (8), вычисляется поток газа, отторгаемого из замерзшей воды, и распределение концентрации растворенного газа без учета его выделения в свободную фазу. На данном этапе рассчитываются новые значения концентрации на фронте ам и координаты узлов ?/, с заданными значениями концентрации сг(- (г =

2.2. Концентрации растворенного газа в узлах сетки пересчитываются с учетом его выделения в свободное состояние на основе уравнения:

0, 1, ...,N-1).

для a>aeq, где а. - значения узловых концентраций с предыдущего шага 2.1. Принимая на начало временного шага значения узловых концентраций равными <7., пересчет их значений с учетом выделения газа из раствора за временной шаг Ат производится по формуле:

О",- - ¿О

2.3. Для нового значения концентрации на фронте ои пере-считываются узловые концентрации <т,-, исходя из равномерного разбиения интервала [1; ам]. Процедура решения повторяется до достижения сходимости по величинам концентрации на фронте и координатам узлов сетки. 3. По результатам решения уравнений для концентрации пересчитывается накопленное содержание свободного газа в объеме v(r) и производится возврат к этапу 1.

Таким образом, на ряду с внутренними итерациями решение уравнений теплообмена и уравнений диффузии связано внешним итерационным циклом. Критерием окончания итераций является достижение сходимости по величинам давления <р и объема накопленного свободного газа v на конец временного шага.

Программная реализация исследуемой математической модели. Описанный алгоритм численного решения исследуемой задачи в её полной постановке был реализован в виде компьютерной программы на алгоритмическом языке Fortran.

Разработанный программный комплекс состоит из нескольких модулей, включающих основную программу и ряд функциональных процедур. По своему назначению последние можно условно разделить на служебные и процедуры, реализующие конечно-элементные аналоги дифференциальных операторов, составляющих уравнение системы. Фактически данные процедуры, написанные в виде подпрограмм, реализуют конечно-элементную схему решения задач с подвижной границей. Их назначение состоит в формировании системы численных уравнений, компонент матрицы Якоби и расчет одной итерации по методу Ньютона для полученной системы. Важно отметить, что две составные части задачи (тепловая и диффузионная) имеют подобную структуру, поэтому их расчет проводится с использование одних и тех же

функциональных модулей. Это позволяет значительно сократить трудоемкость программирования алгоритма. Отдельная процедура обеспечивает расчет начального распределения узлов расчетной сетки из асимптотических приближений. В рамках этих процедур реализована возможность расчета трёх геометрий задачи (плоской, цилиндрической, сферической).

Апробация численного алгоритма. Предварительная апробация алгоритма и программы была проведена на модельных задачах. В качестве первого теста бралась задача Стефана с заданной температурой замерзания в виде функции текущего положения фронта. Вторым примером являлась задача по замерзанию воды с растворенным газом без учета газовыделения. Последняя задача для полуограниченной однородной среды имеет точное автомодельное решение. В других случаях, где точное решение недоступно сопоставлялись результаты расчетов на последовательности сгущающихся сеток.

Далее алгоритм численного решения вместе с разработанной итерационной процедурой был протестирован на полной постановке задачи с сопоставлением результатов счета на сетках с разным числом узлов. При этом дополнительно отслеживалось выполнение баланса по объему газа отторгаемого в незамерзшую часть, растворенного в воде и выделившегося в свободное состояние. Величина дисбаланса не превосходила 0,1%. По результатам этих тестов были подобраны параметры расчетных сеток для последующих численных экспериментов.

Сопоставление модели с экспериментальными данными. Для оценки степени адекватности предложенной модели, а так же корректности работы вычислительного алгоритма, было получено решение задачи, для которой имеются замеры возникающих в объеме давлений. Для сопоставления были взяты результаты экспериментов по измерению давления внутри замерзающих капель воды (Р.1. Visagie, 1969). Условиями эксперимента обеспечивалось выдерживание сферического объема капли и равномерность охлаждения по всей поверхности в течение замерзания. Данные эксперименты представляют интерес тем, что в них исследовалось влияние концентрации растворенных газов в замерзающей капле в частности на период задержки роста давления.

Соответствующая задача для сферической геометрии была численно решена в предложенной в работе постановке. На рис. 2 представлено сопоставление результатов численного счета и давлений, измеренных в экспериментах.

Рис. 2. Динамика роста давления в замерзающей капле.

Представленные результаты соответствуют замерзанию капли воды диаметром 7 мм, насыщенной при атмосферных давлениях двуокисью углерода (С02). В силу высокой начальной концентрации растворенного газа, давление резко возрастает лишь на последней стадии замерзания, что приводит в экспериментах к разрушению капли и сбросу давления. Результаты счета показывают хорошее качественное и количественное согласование с экспериментом. Отметим, что такое согласование получено для значения эмпирического коэффициента в функции стока = 1.5-104.

Результаты численных экспериментов. Целью проведения численных экспериментов являлась оценка влияния растворенного в воде газа на процесс замерзания в замкнутых объемах. Для этого сопоставлялись решения задачи при различных значениях входных параметров: температуры охлаждения Ть, безразмерного коэффициента теплоотдачи Bi, начальной концентрации растворенного газа Со, формы объема, исходного относительного содержания свободного газа v<>. Все представленные ниже результаты, если это не оговаривается особо, соответствуют замерзанию цилиндрической полости.

Прежде всего, интерес представляла оценка влияния интенсивности газовыделения из перенасыщенного раствора, которая определяет сжимаемость системы и зависит от коэффициента ка функции fia). В отсутствие необходимых эксперимен-

тальных данных, этот коэффициент варьировался в диапазоне 103 -ПО5 безразмерных единиц. Верхнее значение диапазона соответствует практически мгновенному выделению газа сверх его равновесного значения. Расчеты показывают, что учет повышения сжимаемости за счет выделения растворенного газа приводит к существенным изменениям в моделируемой динамике процесса замерзания. От интенсивности консолидации молекул в пузырьки свободного газа сильно зависит динамика роста давления в объеме (рис. 3 а). Следствием этого является различие в темпах образования льда, а также его стационарного объема, достигаемого к моменту снижения температуры замерзания до температуры охлаждения, когда замерзание воды прекращается (рис. 3 Ь). Максимальный объем льда, образующийся при ка = 0, составляет 0.363, а при ка = 105 эта величина увеличивается до 0.523.

а Ъ

Рис. 3. Динамика роста давления (а) и объема образовавшегося льда (6), (Ть = -2°С, Со = 0.1, у0 = 0.02) 1-К= 105; 2 -ка= 104;3 -£<, = 2.5-103; 4-ка= 103; 5 -£„ = 0

Следующая серия вычислительных экспериментов была проведена с целью выявления влияния условий и интенсивности охланедения водного объема. Нами рассматривались два режима охлаждения: при поддержании на поверхности объема фиксированной температуры и при охлаждении по закону конвективного теплообмена. Приведенные ниже результаты получены для исходных условий Со = 0.1, у0 = 0.02, ка = 104.

На рис. 4 а приведены кривые зависимости безразмерного давления от доли льда в замерзающем объеме (р(у) для первой группы расчетов с варьированием температуры на поверхности охлаждения. При одинаковых объемах образовавшегося льда возникающие давления возрастают с понижением температуры охлаждения. Результаты расчетов существенно отличаются от соответствующих, но без учета фактора растворенного газа. Последние представлены единой для всех случаев пунктирной кривой.

Причину различия в интенсивности роста давления иллюстрирует рис. 4 Ь, на котором сопоставлены кривые процентного отношения газа, выделяющегося в свободное состояние, в общем объеме газа. Меньшее количество выделяющегося в свободную фазу газа для низких температур охлаждения обуславливает слабое увеличение сжимаемости. Это объясняется тем, что при сильном охлаждении темпы образования льда приводят к опережающему возрастанию давления и соответствующей равновесной концентрации газа в начальный период процесса, когда газа ещё не успевает выделиться в свободное состояние.

Вторая группа расчетов проведена для значения В! = 5 и разных температурах окружающей среды (рис. 4 с, сГ). Результаты численных экспериментов показали, что влияние на исследуемый процесс температуры охлаждения сохраняется, но в отличие от предыдущего случая, имеют противоположную тенденцию. Рост давления с увеличением доли льда в объеме при малой температуре охлаждения происходит наоборот более быстрыми темпами, чем при низкой температуре охлаждения (рис. 4 с). При конвективном охлаждении количество газа, выделяющегося в свободное состояние, возрастает с понижением температуры охлаждающей среды (рис. 4 с1).

Причиной такого разнонаправленного характера является различие в скоростях движения границы замерзания в начальный момент времени: при граничных условиях первого рода она принимает бесконечное значение, а при граничном условии третьего рода - нулевое. При этом в первом случае скорость границы фазового перехода монотонно убывает со временем, а во втором - монотонно возрастает.

Таким образом, численные эксперименты показывают определяющее влияние условий охлаждения на динамику роста давле-

ния, которое зависит не только от его интенсивности, но и от режима охлаждения. Далее все расчеты проводились для условий конвективного охлаждения.

а Ь

Рис. 4. Динамика роста давления (а, с) и изменение доли выделившегося газа ф, ¿) при фиксированной температуре на поверхности (а, Ь) и при режиме конвективного охлаждения (с,1-Ть=-2 °С, 2-Ть = -5 °С, 3-Гг> = -10°С)

Аналогичное влияние растворенного газа проявляется в зависимости скорости роста давления от формы замерзающего объема. Для одной и той же доли замерзшего объема наибольший рост давления наблюдается в сферическом объеме, а наименьший - в плоском.

Представленные результаты примечательны тем, что расчет замерзания без учета растворенного газа, даст одинаковую зави-

симость <р(у/) независимо от формы объема, для любых температур и условий охлаждения. В случае замерзания среды с постоянной сжимаемостью давление в объеме зависит только от доли образовавшегося льда и не зависит ни от каких других условий.

В предыдущих численных экспериментах всегда наблюдалась стадия резкого роста давления. В этой связи представляет интерес оценка начальных условий, при которых подобной стадии можно избежать. Здесь возможны два варианта повышения начальной концентрации растворенного газа: использование газов с высокой растворимостью и насыщение водной среды обычным воздухом при повышенных давлениях.

В первом случае интересно оценить величину начальной концентрации газа, достаточной для того, чтобы полностью исключить опасный рост давления. Пример соответствующих расчетов с варьированием исходной концентрации в атмосферных начальных условиях представлен на рис. 5.

Рис. 5. Динамика роста давления (в) и изменение доли выделившегося газа ф) для различных начальных концентраций растворенного газа: /-С0 = ОЛ, 2 - Со = 0.2, 3 - Со = 0.275, 4-С0 = О.З. пунктирные линии -при Ть = -2°С, сплошные линии -при Ть - -5°С

Расчеты показывают, что здесь также многое зависит от интенсивности охлаждения. Так, концентрация, исключающая стадию резкого роста давления при температуре охлаждающей среды Ть = -5 °С недостаточна для температуры Ть = -2 °С.

Второй случай насыщения воды газом при повышенном давлении приводит наоборот к худшему результату. С увеличением начального давления, не смотря на пропорциональное увеличение начальной концентрации, интенсивность газовыделения существенно снижается, а рост давления происходит интенсивнее.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена новая модель замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме на основе системы дифференциальных уравнений, учитывающей теплообмен с фазовым переходом, диффузию растворенного газа и его выделение из перенасыщенного раствора, влияние последнего фактора на изменение давления в замкнутом объеме.

2. Для решения задачи совместного теплообмена и диффузии разработан и реализован численный метод с подвижными расчетными сетками, привязанными к значениям рассчитываемых полей.

3. Проведено сопоставление результатов моделирования с экспериментальными данными, показавшее их достаточное согласование.

4. Выполнено численное исследование процесса замерзания газонасыщенной водной среды в замкнутом объеме. На его основе выявлен ряд новых физических закономерностей, являющихся следствием наличия растворенного газа и возможности его выделения в свободную фазу. В частности:

- показано, что при условиях создающих более интенсивное газовыделение из раствора происходит снижение темпов роста давления и образуется больший объем льда к моменту наступления термодинамического равновесия;

- обнаружен эффект влияния граничных условий на динамику роста давления, заключающийся в зависимости скорости роста давления от интенсивности охлаждения;

- выявлен разнонаправленный характер данной зависимости в случае поддержания на поверхности охлаждения постоянной температуры и при режиме конвективного охлаждения;

- показано, что динамика роста давления зависит не только от объема образовавшегося льда, но и от формы замерзающего объема: для одинаковой доли замерзшего объема более медленная скорость роста давления наблюдается для плоского тела, наибольшая - для сферического;

- даны оценки величины начальной концентрации растворенного газа, необходимой для исключения возникновения больших давлений вплоть до окончания процесса замерзания; показано, что насыщение воды газом при повышенном давлении приводит к большей интенсивности его последующего роста.

Таким образом, итоговый результат состоит в разработке, программной реализации и численном исследовании новой компьютерной модели замерзания водной среды с растворенным газом в замкнутом объеме. Выполненное исследование выявило ряд новых закономерностей развития процесса, которые не воспроизводятся более простыми моделями, не учитывающими эффекты выделения газа в свободное состояние.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сигунов Ю.А., Самылова Ю.А. Динамика роста давления при замерзании замкнутого объема воды с растворенным газом // Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т. 47. -№ 6. - С. 85-92.

2. Сигунов Ю.А., Самылова Ю.А. Численное моделирование замерзания жидкости с растворенным газом в замкнутом объеме // Математическое моделирование и вычислительные технологии в науке и образовании: межвуз. сб. научн. тр. - Сургут: РИО СурГПИ. - 2005. - Вып. 2. - С. 28-40.

3. Sigunov Yu.A., Samylova Yu.A. Numerical modeling of nonequi-libriura dissolved-gas release freezing of water in closed volume // International Conference on the Methods of Aerophysical Research. Proceeding Pert IV. - Novosibirsk: Publishing House "Parallel". - 2007. - P. 180-185.

4. Самылова Ю.А. Численное решение сопряженной задачи теплообмена и диффузии с фазовыми превращениями и неравновесными эффектами // Сб. тезисов УШ Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Новосибирск: изд-во ИВТ СО РАН, 2007.-С. 71-72.

5. Самылова Ю.А. Численное моделирование замерзания жидкости с растворенным газом // Сб. материалов лауреатов Регионального конкурса научных студенческих работ: научное издание. - Тюмень: изд-во Тюменской государственной сельскохозяйственной академии. - 2004. - С. 32-33.

6. Самылова Ю.А. Математическая модель замерзания жидкости с растворенным газом // Наука и инновации XXI века: Мат-лы открытой окружной конференции молодых ученых. - Сургут: изд-во СурГУ. - 2004. - С.28-30.

7. Самылова Ю.А. Численное исследование влияния растворенного газа на динамику замерзания в замкнутом объеме // Наука и инновации XXI века: Мат-лы открытой окружной конференции молодых ученых. - Сургут: изд-во СурГУ. - 2005. -С. 16-18.

8. Самылова Ю.А. Моделирование интенсивности выделения газа из перенасыщенного раствора // Наука и инновации XXI века: Мат-лы открытой окружной конференции молодых ученых. - Сургут: изд-во СурГУ. - 2007. - С. 20-22.

9. Сигунов Ю.А., Самылова Ю.А. Математическое моделирование замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутых объемах // Проблемы качества образовательной системы СурГПИ: поиски и решения: Сб. тезисов докладов восьмой отчетной научной конференции преподавателей, аспирантов и соискателей института. - Сургут: РИО СурГПИ. - 2004. - С. 144-145.

10. Сигунов Ю.А., Самылова Ю.А. Численное исследование влияния растворенного воздуха на процесс замерзания воды // Проблемы качества научных исследований в СурГПИ: поиски и решения: Сб. тезисов докладов девятой отчетной научной конференции преподавателей, аспирантов и соискателей института. - Сургут: РИО СурГПИ. - 2005. - С. 172-173.

Сдано в печать 15.11.2010 г. Формат 60x84/16 Печать ризограф. Гарнитура Times NR Тираж 100 экз. Заказ №80. Усл. п.л. 1

Редакционно-издательский отдел Сургутского государственного педагогического университета 628417, г. Сургут, 50 лет ВЛКСМ, 10/2

Отпечатано в РИО СурГПУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами.

1.2. Методы исследования классической задачи Стефана.

1.3. Факторы, определяющие условия фазового перехода. Термодиффузионные задачи.

1.4. Краткие сведения о растворимости газов вводе.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТЕРМОДИФФУЗИОННЫХ ЗАДАЧ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ НА СВЯЗАННЫХ ПОДВИЖНЫХ СЕТКАХ.

2.1 Численное решение задачи Стефана с переменной температурой фазового перехода.

2.1.1. Постановка задачи и её безразмерный вид.

2.1.2. Тождества интегрального баланса.

2.1.3. Расчетная сетка и схема численного решения.

2.1.4. Апробация численного алгоритма.

2.2 Численное решение термодиффузионной задачи с фазовым переходом.

2.2.1. Задача о затвердевании газонасыщенной среды.

2.2.2. Особенности численного решения.

2.2.3. Результаты тестовых расчетов.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЗАМЕРЗАНИЯ ВОДЫ С РАСТВОРЕННЫМ ГАЗОМ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Математическая модель замерзания газосодержащей воды в замкнутом объеме.

3.1.1. Уравнение роста давления в замерзающем объеме. Предварительные оценки.

3.1.2. Полная постановка задачи о замерзании воды с растворенным газом в замкнутом объеме.

3.1.3. Безразмерная формулировка задачи.

3.2. Алгоритм численного решения задачи, его программная реализация и апробация.

3.2.1. Итерационная процедура расчета временного шага.

3.2.2. Программная реализация исследуемой математической модели.

3.2.3. Тестирование алгоритма и подбор параметров расчетной сетки.

3.3. Результаты численного моделирования.

3.3.1. Замерзание сферического объема воды (сопоставление с экспериментом).

3.3.2. Исследование влияния интенсивности газовыделения.

3.3.2. Зависимость динамики роста давления от условий охлаждения и формы объема.

3.3.3. Интенсивность роста давления при разной растворимости газа и начальном давлении в объеме.

Актуальность темы. В условиях холодного климата замерзание водо-содержащих сред часто приводит к негативным для функционирования различных технических и промышленных систем последствиям. Так, замерзание воды в замкнутых полостях, например скважинах или системах водоснабжения, сопровождается их закупоркой, а так же деформациями или разрывами труб. Эти проблемы связаны с тем, что при замерзании воды в замкнутом объёме происходит интенсивный рост давления в жидкой фазе, являющийся следствием разности плотностей, а так же слабой сжимаемости воды и льда. Таким образом, при соответствующих расчетах необходимо учитывать изменение температуры фазового перехода с ростом давления.

В действительности, динамика замерзания воды в замкнутом объёме имеет более сложный характер, так как необходимо дополнительно учитывать наличие в замерзающем объеме газа, как в растворенном состоянии, так и в виде свободной фазы. Известно, что водные среды даже при атмосферных условиях содержат достаточное количество растворенного воздуха. В других условиях газонасыщенность замерзающего объема может быть более высокой (повышенное начальное давление в объеме, содержание легко растворимых газов, таких как углеводородный, углекислый и др.).

Отторжение растворенного газа при образовании льда в незамерзшую область повлечет его диффузию и выделение в свободную фазу при превышении равновесного значения. Появление в системе свободного газа будет приводить к резкому увеличению сжимаемости среды, а следовательно и к иной динамике замерзания, чем без учёта указанного фактора. В то время как учет температуры замерзания от давления является стандартным элементом математических моделей, анализ влияния растворенного газа на условия замерзания замкнутых масс в известных математических моделях не встречается.

Включение фактора растворенного воздуха в модель замерзания замкнутого объема приводит к термодиффузионной задаче с фазовым переходом. Нетривиальность её постановки в данном исследовании состоит в учете возможного выделения газа из перенасыщенного раствора. При этом возникает сложная нелинейная зависимость между скоростью замерзания и интенсивностью выделяемого газа, связываемая через уравнение для роста давления, определяющегося обоими указанными факторами. Решение возникающей системы нелинейных уравнений теплообмена и диффузии с подвижной границей аналитически невозможно, а численное интегрирование требует дополнительных усилий для разработки эффективного и надежного вычислительного алгоритма.

Поэтому, актуальность представленной работы обусловлена как необходимостью построения и исследования адекватных математических моделей для имеющих важное практическое значение процессов замерзания водных сред в замкнутых объемах, так и требованиями развития алгоритмов численного решения задач совместного тепломассопереноса с фазовыми превращениями.

Целью работы являлось численное моделирование процесса замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутом объеме для количественной оценки степени влияния растворенного газа на процесс замерзания и динамику роста давления в замерзающем объеме.

Основными задачами работы являлись:

1. разработка математической модели замерзания замкнутых объемов воды, учитывающей влияние выделения растворенного газа на динамику роста давления;

2. разработка и программная реализация численного алгоритма для исследования предложенной модели;

3. апробация математической модели и разработанного алгоритма на модельных задачах и экспериментальных данных;

4. численное исследование влияния исходных и внешних условий на динамику роста давления в замерзающем объеме.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. предложена математическая модель замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме, которая учитывает изменение сжимаемости среды вследствие выделения газа;

2. разработаны и апробированы алгоритм и программа численного решения поставленной новой термодиффузионной задачи с фазовым переходом вода-лед;

3. выявлен ряд закономерностей динамики замерзания и роста давления в замкнутых объемах, которые не воспроизводятся моделями, не учитывающими фактор растворенного газа.

Обоснованность и достоверность положений, выводов и результатов, защищаемых в диссертации, обеспечиваются использование основных законов сохранения, принципов математического описания процессов теплообмена и диффузии, подтвержденных экспериментально физических законов. Алгоритм численного решения и программное обеспечение проверены на тестовых задачах, а полученные решения сопоставлены с результатами экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты численного исследования замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутом объеме позволяют более точно прогнозировать динамику протекания данного процесса, в частности интенсивность роста давления в объеме. Их анализ приводит к формулировке ряда новых практически значимых выводов.

Для решения задачи разработан, реализован в виде программного обеспечения и апробирован на тестах численный метод с подвижными расчетными сетками, привязанными к значениям рассчитываемых полей температуры и концентрации. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение могут быть использованы для научно-технических расчетов исследования аналогичных процессов.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции XIII International Conference on the Methods of Aerophysical Research (Новосибирск, 2007); на VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); на IV, V, VII конференциях «Наука и инновации XXI века: Открытая окружная конференция молодых ученых» (Сургут, 2003, 2004, 2006); на Региональном конкурсе научных студенческих работ (Тюмень, 2004); на VIII и IX научных конференциях преподавателей, аспирантов и соискателей СурГПУ (Сургут, 2004, 2005); на научно-исследовательском семинаре под руководством профессора В.Н. Кутрунова при ТюмГУ (Тюмень, 2010); на научных семинарах аспирантов и соискателей СурГПУ «Численное моделирование процессов тепломассопереноса» (Сургут); на научно-методических семинарах кафедры высшей математики информатики СурГПУ (Сургут).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, содержащего 109 наименований, и приложения. Работа содержит 37 рисунков и 12 таблиц. Полный объем диссертации составляет 115 страниц.

Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационного исследования, могут быть сформулированы следующими положениями.

1. Предложена новая модель замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме на основе системы дифференциальных уравнений, учитывающей теплообмен с фазовым переходом, диффузию растворенного газа и его выделение из перенасыщенного раствора, влияние последнего фактора на изменение давления в замкнутом объеме.

2. Для решения задачи совместного теплообмена и диффузии растворенного газа разработан и реализован численный метод с подвижными расчетными сетками, привязанными к значениям рассчитываемых полей.

3. Проведено сопоставление результатов моделирования с экспериментальными данными, показавшее их достаточное согласование.

4. Выполнено численное исследование процесса замерзания газонасыщенной водной среды в замкнутом объеме. На его основе выявлен ряд новых физических закономерностей, являющихся следствием наличия растворенного газа и возможности его выделения в свободную фазу. В частности:

- показано, что при условиях создающих более интенсивное газовыделение из раствора происходит снижение темпов роста давления и образуется больший объем льда к моменту наступления термодинамического равновесия;

- обнаружен эффект влияния граничных условий на динамику роста давления, заключающийся в зависимости скорости роста давления от интенсивности охлаждения;

- выявлен разнонаправленный характер данной зависимости в случае поддержания на поверхности охлаждения постоянной температуры и при режиме конвективного охлаждения;

- показано, что динамика роста давления зависит не только от объема образовавшегося льда, но и от формы замерзающего объема: для одинаковой доли замерзшего объема более медленная скорость роста давления наблюдается для плоского тела, наибольшая - для сферического;

- даны оценки величины начальной концентрации растворенного газа, необходимой для исключения возникновения больших давлений вплоть до окончания процесса замерзания; показано, что насыщение воды газом при повышенном давлении приводит к большей интенсивности его последующего роста.

Таким образом, итоговый результат диссертационной работы состоит в разработке, программной реализации и численном исследовании новой компьютерной модели замерзания водной среды с растворенным газом в замкнутом объеме. Выполненное исследование выявило ряд новых закономерностей развития процесса, которые не воспроизводятся более простыми моделями, не учитывающими эффекты выделения газа в свободное состояние

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации: — Рига: Зинатне, 1980. 178 с.

2. Албу А.Ф., Горбунов В.И., Зубов В.И; Оптимальное управление процессом плавления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т. 40. - № 4. - С. 517-531.

3. Александров Д.В., Иванов A.A., Малыгин А.П. Автомодельное затвердевание с двухфазной зоной от охлаждаемой стенки // Вестник удмурд-ского университета: Физика, химия. 2008. - Вып. 1. - С. 14-25.

4. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т.1: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. 384 с.

5. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Алгоритм численного решения гидродинамического варианта задачи Стефана при помощи динамически адаптирующихся сеток // Математическое моделирование. 1991. -Том 3.-№10.-С. 105-115.

6. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана // Численные методы в газовой динамике. Вып. IV. М.: Изд-во МГУ. - 1965. - С. 139-183.

7. Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Егорова А.Т., Успенский А.Б. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае // Вычислительные методы и программирование. Вып. VIII. -М.: Изд-во МГУ. 1967. - С. 103-120.

8. Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. Вып. VII. М.: Изд-во МГУ. - 1967. - С. 206-216.

9. Будак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б: Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1965. - Т.5. - № 5. - С. 828-840.

10. Бурже Ж.П., Сурио М., Комбарну М. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. — М.: Недра, 1988. 422 с.

11. Васильев В.И. Численная реализация моделей замораживания водона-сыщенного грунта // Математическое моделирование. 1995. — Т. 7. -№8.-С. 91-104.

12. Васильев В.И., Попов В.В. Численное решение задачи промерзания грунта // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. - №7. -С. 119-128.

13. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. — Т. 3 - № 5. - С. 874-886.

14. Гегузин Я.Е., Дзюба A.C. Выделение газа, формирование и выделение газовых пузырьков на фронте кристаллизации из расплава// Кристаллография. 1977. - Т. 22. - № 2. - С. 348-353.

15. Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. Курс физической химии. Т. 1.-М.: Химия, 1970.-624 с.

16. Гётц И.Г., Мейрманов A.M. Обобщенное решение задачи Стефана с кинетическим переохлаждением. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. - Т. 3. - №1(5). - С. 66-87.

17. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 392 с.

18. Гофман Ю.В. Законы, формулы, задачи физики. Справочник. Киев: Науковая думка, 1977. - 576 с.

19. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена / В сб.: Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат, 1967. - С. 75-90.

20. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. — 1985. Т. 40. - № 5 (245). - С. 133-185.

21. Данилюк И.И. Об одной квазистационарной задаче типа Стефана. // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теориифункций JI.: Наука, Ленинград, отд. - 1979. - №84. - С. 26-34.

22. Дарьин H.A., Мажукин В.И. Математическое моделирование нестациоiнарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией // Математическое моделирование. 1989. — Т. 1. - №3. - С. 29-43.

23. Дубина М.М. Тепловое и механическое взаимодействие инженерных сооружений с мерзлыми грунтами / Дубина М.М., Красовицкий Б.А., Лозовский A.C., Попов Ф.С. Новосибирск: Наука, 1977. - 144 с.

24. Ентов В.М. Максимов A.M. К задаче о замерзании раствора соли // Инж.-физ. журн. 1986. - Т. 51. - № 5. - С. 817-821.

25. Ершов Э.В. Общая геокриология. Учебник. М.: Изд-во МГУ, 2002. -682 с.

26. Зенин Г.С., Пенкина Н.В., Коган В.Е. Физическая химия. Ч.З. Фазовые равновесия и учение о растворах: Учебное пособие. — СПб.: Изд-во СЗТУ, 2005.- 119 с.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М: Мир, 1986.-312 с.

28. Иванов И.Э., Крюков И.А. Методы динамической адаптации расчетных сеток // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17. - № 8. -С. 121-128.

29. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

30. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -488 с.

31. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. -480 с.

32. Кириллин В.А., Шейндлин А.Е., Шпильрайн Э.Э. Термодинамика растворов. М.: Энергия, 1979. - 288 с.

33. Кнорре Д.Г., Крылова Л.Ф., Музыкантов B.C. Физическая химия. М.: Высш. шк., 1990. - 416 с.

34. Коган В.Б., Огородников С.К., Кафаров В.В. Справочник по растворимости. (В 3-х тт.): Т.З. Тройные и многокомпонентные системы, образованные неорганическими веществами. M.-JL: Изд-во Акад. наук, 1970.-1219 с.

35. Краткий справочник физико-химических величин / Под ред. A.A. Равеля и A.M. Пономаревой. JL: Химия, 1983. - 232 с.

36. Кудряшов Б.Б., Чистяков В.К., Литвиненко B.C. Бурение скважин в условиях изменения агрегатного состояния горных пород. Л.: Недра, 1991.-295 с.

37. Лидин Р. А., Андреева Л. Л., Молочко В. А. Справочник по неорганической химии. М.: Химия, 1987. - 320 с.

38. Лебедев A.C., Лисейкин В.Д., Хакимзянов Г.С. Разработка методов построения адаптивных сеток // Вычислительные технологии. 2002. -Т. 7. № 3. - С. 29-43.

39. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. Издание второе дополненное и переработанное. М.: Государственное издательство физико-химической литературы, 1959. - 700 с.

40. Лейбензон Л.С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния. М.: Известия АН СССР, Серия: География и геофизика. - 1939. — № 6. — 433 с.

41. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1953. -С. 317-357.

42. Лейбензон Л .С. Собрание трудов. Т.З. М.: Изд-во АН СССР, 1955. -С. 435-439.

43. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М.: Металлургия, 1969.-265 с.

44. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975.-256 с.

45. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. - 599 с.

46. Мажукин В.И., Такоева Л.Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах // Математическое моделирование: Вычислительные алгоритмы и методы. 1990. - Т. 2. - № 3. - С. 101-118.

47. Медведский Р.И. Влияние давления водной фазы на процессы промерзания и протаивания поровой влаги в крупнодисперсных средах // ИФЖ. 1986. - Т.50. - № 5. - С. 780-786.

48. Медведский Р.И. Строительство и эксплуатация скважин на нефть и газ в вечномерзлых породах. М.: Наука, 1987. - 232 с.

49. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Метод численного решения одномерных многофронтовых задач Стефана // ИФЖ. 1990. - Т.58. - № 4. -С. 681-689.

50. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. О решении одномерных нелинейных задач теплопроводности на изотермической сетке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. - Т. 29. - № 11. - С. 1742-1746.

51. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Метод решения внутренней двухфазной задачи Стефана с нелинейным граничным условием // Теплофизика высоких температур. 1990. - Т. 28. - №2. - С. 291-300.

52. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Численное моделирование повторяющихся тепловых воздействий на толщу мерзлых пород // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1988. - № 21. - Вып. 6. - С. 72-79.

53. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. - 239 с.

54. Мейрманов A.M. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. // Математический сборник. 1980. -№ 2(6). - С. 180-192.

55. Меламед В.Г. Сведения задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Известия АН СССР, Серия: Геофизика. 1958.-№ 7. - 132 с.

56. Мюнстер А. Химическая термодинамика. М.: Едиториал, УРСС, 2002. - 296 с.

57. Намиот А.Ю. Растворимость газов в воде: Справочное пособие. — М.: Недра, 1991.- 167 с.

58. Несис Е.И. Методы математической физики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1997. - 199 с.

59. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 1961. - № 25. - С.3-20.

60. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Доклады АН СССР. 1960. - Т. 135. - № 5. - С. 1054-1057.

61. Рид. Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей: Справочное пособие / Пер. с англ. под ред. Б.И. Соколова. JI.: Химия, 1982. 592 с. - Нью-Йорк, 1977.

62. Рубинштейн Л.И. К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи Стефана // Известия высших учебных заведений. Математика. -1958. №4(5) - С. 202-214.

63. Рубинштейн Л.И. О решении задачи Стефана. М.: Известия АН СССР, Серия: География и геофизика. - 1947. - № 1.

64. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967. — 458 с.

65. Савельев И. В. Курс общей физики. В 3 томах. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Учебное пособие. -М.: Изд-во ЛАНЬ, 2007. 528 с.

66. Самарский A.A. Теория разностных схем. — 3-е изд., испр. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 616 с.

67. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

68. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы: Учебное пособие для* вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

69. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1965-Т. 5.-№5.-С. 816-827.

70. Сигунов Ю.А. Метод изопотенциальных сеток для задач тепломассо-переноса при фазовых превращениях // Сб. науч. тр. Сургут: Сургутский государственный университет, 1998. - № 4. - С 54-61.

71. Сигунов Ю.А. Методы решения классической задачи Стефана Сургут: РИО Сургутского государственного педагогического университета, 2009. - 140с.

72. Сигунов Ю.А., Самылова Ю.А. Динамика роста давления при замерзании замкнутого объема воды с растворенным газом // Прикладная механика и техническая физика. 2006. - Т. 47. — №6. - С. 85-92.

73. Стригоцкий C.B. Основы управления качеством строительства скважин в многолетних породах. М.: ВНИИОЭНГ, 1991. - 179 с.

74. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 7-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

75. Тихонов А.Н., Швидковский Е.Г. К теории непрерывного слитка. // Журн. техн. физики. 1947. - Т. 17. - № 2. - С. 161-176.

76. Федорченко А.И., Чернов A.A. Аналитические решения задачи о вытеснении растворенного в расплаве газа плоским и сферическим фронтами кристаллизации. // Прикладная механика и техническая физика. -2003. -№ 1.-С. 131-136.

77. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х томах: Т. 1. М.: Мир, 1991. - 504 с.

78. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988.-352 с.

79. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 536 с.

80. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 428 с.

81. Чарный И.А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении и нагревании тел // Известия АН СССР. Отд. тех-нич. наук. 1948. -№ 2. - С. 187-202.

82. ТТТи Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988 -544 с.

83. Bari S.A., Hallett J. Nucleation and growth of bubbles at an ice-water interface // Journal of Glaciology. 1974. - Vol. 13. - № 69. - P. 489-520.

84. Bianchi M.V.A., Viskanta R. The Effect of Air Bubbles on the Diffusion-Controlled Solidification of Water and Aqueous Solutions of Ammonium Chloride // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1999. - № 42. - P. 1097-1110.

85. Bonnerot R., Jamet P. A second order finite element method for the one-dimensional Stefan problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1974. -Vol. 8. -P. 811-820.

86. Cannon J.R., Hill C.D., Existence, uniqueness, stability and monotone dependence in a Stefan problem for the heat equation // J. Math. Mech. 1967. -Vol. 17.-№ l.-P. 1-19.

87. Chawla T.C., Pedersen D.R., Leaf, G., Minkowycz W.J., Shouman, A.R. Adaptive collocation method for simultaneous heat and mass diffusion with phase change // J. Heat Transfer. 1984. - V. 106. - № 3. P. 491-497.

88. Conti M. Planar solidification of a finite slab: effects of the pressure dependence of the freezing point // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. - Vol. 38. -P. 65-70.

89. Evans G.W., Isaacson E., Mac Donald J.K.L. Stefan-like problems // Quart. Appl. Math. 1950. - Vol. 8. - № 3. - P. 312-319.

90. Fedorov A.G., Viskanta R. Gas diffusion in closed-cell foams // Journal of Cellular Plastics. 2000. - Vol. 36. - № 6. - P. 451-474.

91. Felvarch E., Bergheau J.M., Leblond J.B. An implicit finite element algorithm for the simulation of diffusion with phase changes in solids // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2009. — V. 78. -P. 1492-1512.

92. Grange B.W., Viskanta R., Stevenson W.H. Diffusion of heat and solute during freezing of salt solutions // Int. J. Heat Mass Transfer. 1976. - Vol. 19. - P. 373-384.

93. Hanzawa E.-I., Classical solutions of the Stefan problem // Tohoku Mathematical Journal. 1981. - Vol. 33. - № 3. - P. 297-335.

94. Kinderlehrer D. Variational inequalities and free boundary problems // Bulletin of the American mathematical society. 1978. - V.84. - №1. - P. 7-26.

95. Monaghan J.J., Huppert H.E., Worster M.G. Solidification using smoothed particle hydrodynamics // Journal of Computational Physics. 2005. - Vol. 206. - P. 684-705.

96. Murray W.D., Landis F. Numerical and machine solutions of transient heat conduction problems involving melting or freezing // J. Heat Transfer. -1959. Vol. 81. - P. 106-112.

97. O'neill K., Lynch D.R. A finite element solutions for freezing problems using a continuously deforming coordinate system // Numerical Methods in Heat Transfer / Ed. By R.W. Lewis, K. Morgan and O.C. Zienkiewicz. -New-York: Wiley, 1981. P. 215-232.

98. Pena J.A., De Pena R.G., Hosier C.L. Freezing of water in equilibrium with different gases // Journal of the atmospheric science. 1969. - Vol. 26. -P.309-314.

99. Sugawara M., Seki N., Kimoto K. Freezing limit of water in a closed circular tube // Berlin: Heidelberg. Heat and Mass Transfer. 1983. - Vol. 17. - № 3.-P. 187-192.

100. Sychevskii V.A. Calculation of stresses and strains in a spherical volume filled with water caused by its freezing // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2007. - Vol. 80. - № 4. - P. 820-827.

101. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical Grid Generation. Foundations and Applications. North-Holland: Prentice Hall Professional Technical, 1985 - 330 p.

102. Visagie P.J. Pressures inside freezing water drops // Journal of Glaciology. -1969. Vol. 8. - № 53. - P. 301-309.