автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Декомпозиционный анализ динамики и устойчивости продольного возмущенного движения экраноплана

с";

с. 5

Московский Государственный авиационный институт (технический университет)

сз

СМ

на правах рукописи

ОДАРЕЕВ ВЛАДИМИР АРСЕНЬЕВИЧ

ДЕКОМПОЗИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ ПРОДОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЭКРАНОПЛАНА

05.07.09 - Динамика, баллистика и управление полетом летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1995

U)rto,:,i] iiijiio.niioii;) и Иркутским roo.yипрупшпиом тпхпичппком университете

Научный консультант - акадомик Международной

инженерной академии, П..т.н., проф. Панченков А.Н.

Официальные оппоненты:

д.т.н.; с.н.с. Святодух В.К. , д.т.н., проф. Паижовский И.'Л., д.ф.-м.н., проф. Самсонов В.А.

Ве.дугцая организация - Акционерное общество Центральное

конструкторское бюро по супам на подвощшх крыльях им. Р.Е.Алексеева, г. Шкштй Новгород Защита состоится " " 1996 г. в час.

на заседании диссертационного совета Д 053.18.08 при Московс государственном авиационном институте (техническом университ по адресу: I2587I, Москва Л-80, ГСП, Волоколамское шоссе, 4 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного авиационного института (технического униве; ситета).

Автореферат разослан." " 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.18.03.к.т.н., с.н.с.

Карп К.А.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность. Одной из основных проблем, стоящей на пути создания экраногоюнов, является проблема обеспечения устойчивости полета на малых относительных отстояниях от экрана. Важность этой проблемы связана, прежде всего, с безопасностью эксплуатации экра-нопланов, движущихся с большой скоростью в непосредственной близости от воды или земли.

В реальных условиях эксплуатации полег экраяоплана обычно происходит над взволнованной водой поверхностью. Аэродинамическая нагрузка, вносимая волнением, является периодической и зависит от высоты волны и частоты ее следования относительно аппарата. Это приводит к появлению новых для данного класса аппаратов динамических свойств, которые не наблюдаются при полете самолетов. К таким свойствам можно отнести параметрическое возбуждение от влияния волны, которое при определенных условиях приводит к потере устойчивости движения. Чем меньше высота полета, тем интенсивнее влияние волны. При некотором соотношении амплитуды волны и хорды крыла экраноплана при данной скорости полета возникает ситуация, когда полет становится невозможным из-за попадания аппарата в области динамической неустойчивости.

Для стабилизации полета экраноплана в условиях действия периодических нагрузок могут быть использованы средства механизации несущего комплекса аппарата, работающие в колебательном режиме с широким спектром частот.

Выполнение условий безопасности полета экраноплана требует увеличения высоты полета. Это ведет к существенному снижению аэродинамического качества аппарата, сокращению дальности его

полета из-за роста потребной мощности и соответственно к неэкономичному режиму движения. Поскольку в этом случае проявляются нелинейные свойства аэродинамических характеристик несущего комплекса, скоростных и дроссельных характеристик двигателей силовой установки, для оценки устойчивости экраноплана важной становится нелинейная постановка задачи, позволяющая выявить совокупность периодических режимов аппарата, его новые устойчивые положения равновесия, влияние начальных условий и т.д.

Таким образом, рациональное решение проблем при создании эк-ранопланов невозможно без исследования нелинейных и нестационарны задач динамики полета, где уделяется внимание вопросам устойчивое ти в возмущенной атмосфере при шлете над волной, возможным автоколебательным процессам, явлению параметрического резонанса и параметрической стабилизации. Решение подобных задач связано со зне чительными математическими и вычислительными трудностями, так кар требует привлечения методов исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений с периодическими коэффициентам!! Эти системы, как правило, многомерны и не допускают аналитическо1 решения. Поэтому наряду с актуальностью выдвигаемого класса зада* не менее важной становится задача поиска подходящего метода деко», позиции уравнений движения экраноплана, позволяющего совместно с экономией машинного времени в ряде случаев анализировать решения таковых уравнений в общем виде.

Положительное решение такой двуединой задачи имеет большое научное и практическое значение.

Целью работы является выявление новых динамических свойств экраноплана при полете над волной и при гармонических колебаниях

закрылка переднего горизонтального оперения, исследование автоколебательных, вынужденных установившихся и переходных режимов эк-раноплана, его устойчивости на основе декомпозиционного анализа исходных уравнений движения, разработка нового метода редукционной декомпозиции, позволящего в аналитической форме проводить решение этих задач.

Научная_. новизна. Рассмотрен новый класс задач динамики и устойчивости экраноплана при полете над волной в детерминированной и статистической постановке и дан инженерный алгоритм расчета областей параметрического резонанса аппарата вблизи волны. Предложен и экспериментально подтвержден принципиально новый для экраноплана способ изменения его динамических свойств на основе эффекта параметрического возбуждения аппарата средствами механизации крыла несущего комплекса. Реализация предложенного способа выполнена путем работы закрылка переднего горизонтального оперения (ПГО) аппарата схемы "утка" в режиме гармонических колебаний. Исследованы нелинейные задачи динамики и устойчивости экраноплана при полете на малых относительных отстояниях от экрана, когда Су= С (Н) и Р = Р(V) - существенно нелинейные функции. Разработан новый метод редукционной декомпозиции системы исходных уравнений движения экраноплана. Реализация метода позволила свести сложную задачу исследования устойчивости экраноплана на основе исходных нелинейных уравнений движения к совокупности более простых декомпозиционных задач, описываемых дифференциальными уравнениями меньшей размерности, что дало возможность применять к таким задачам известные аналитические методы расчета.

Полученные результаты использованы в практических расчетах и реализованы в виде программ ЭВМ.

- б -

Практическая_значимость_работы. Разработанный алгоритм расчета областей параметрического резонанса экраноплана при полете над волной на этапе эскизного проектирования позволяет определить безопасные высоты и скорости полета экраноплана. Использование закрылка с определенным законом колебаний позволяет увеличить или уменьшить высоту полета экраноплана для преодоления препятствий или других нуад без потери устойчивости. Исследование нелинейных задач дает возможность выявить аэродинамическую схему экраноплана, исходя из условий возникновения автоколебаний аппарата и его устойчивости по скорости полета при нелинейной зависимости от нее тяги двигателя силовой установки.

Полученные результаты могут быть использованы при создании новых перспективных экранопланов и внедрены на предприятии АО ЦКБ по СПК ( г. Нижний Новгород) и ряде других организаций.

Апробация_работы. Основные результаты работы докладывались на научно-технических семинарах Иркутского вычислительного центра ВСФ СО АН СССР (1981 - 1987 г.г.), Всесоюзном семинаре "Аэродинамика и динамика транспортных аппаратов" (1981г.), 1-ой сессии коор динационного Совета по целевой комплексной программе "Транспорт Сибирского Севера" региональной программы "Сибирь" (1985 г.), 3-ей Всесоюзной школе-семинаре "Гидродинамика больших скоростей" (1987г Научно-технических семинарах АО ЦКБ по СПК (1988-1990г.г.), Межрегиональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (1988 г.), Всесоюзой школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (1988 г.), 5-ой Всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (1990 г.), Всесоюзной научно-практической конференции "Спецтранс-90 (1990 г.) 1-ой Международной конференции по экранопланам (1993 г.), Всерос-

сийской научно-технической конференции "Техническое обеспечение создания и развития воздушно-транспортных средств (экранопланов и сверхлегких летательных аппаратов)" (1994г.).

Публикации. Основное содержание работы изложено в монографии "Метод редукционной декомпозиции в прикладных задачах динамики систем".-Иркутск: Изд-во Иркутского Государственного ун-та, 1991. -216с., семнадцати статьях, трех опубликованных тезисах докладов на научно-технических конференциях.

Структура_и_объем_работы. Диссертация состоит из введения, двух разделов и девяти глав, выводов и списка использованной литературы, изложена на 380 стр., содержит 75 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведен краткий анализ проблемы устойчивости экранопланов, дана математическая формулировка этой проблемы, показаны пути и методы решения задач динамики полета и устойчивости современных экранопланов, их практическая реализация на построенных аппаратах, дается описание недостатков этих решений.

В заключении главы формулируются задачи исследования, суть которых сводится к следующему:

1. Разработать метод декомпозиции исходной нелинейной системы дифференциальных уравнений продольных движений экраноплана, дающий возможность ослабить фактор размерности и соответственно проводить исследование динамических свойств экраноплана аналитическими методами.

2. Рассмотреть на основе разработанного метода новый класс задач динамики и устойчивости экраноплана при полете над волной в

детерминированной и статистической постановке и дать инженерный алгоритм расчета областей параметрического резонанса аппарата вблизи волны.

3.Предложить принципиально новые для экраноплана способы изменения его динамических свойств на основе эффекта параметрического возбуждения аппарата средствами механизации крыла несущего комплекса.

4. Исследовать нелинейные задачи динамики и устойчивости полета экраноплана на малых отстояниях от экрана, когда Су= С (Н) и Р = Р(V) - существенно нелинейные функции и выяснить условия возникновения автоколебаний экраноплана.

Предложенная формулировка исследований позволяет восполнить пробел в общей проблеме устойчивости экранопланов и создает предпосылки для более эффективного проектирования данного класса аппаратов.

Раздел.1 состоит из трех глав и посвящен математическому аппарату исследования динамических свойств экраноплана в возмущенном движении. Б рамках раздела излагается трактовка математического аппарата в форме конструктивной теории редукционной декомпозиции динамических систем. Результаты этой теории непосредственно используются для исследования нелинейных и нестационарных задач динамики и устойчивости продольных движений экраноплана в последующих главах.

Во второй главе дается краткий обзор декомпозиционных подходов при исследовании динамических систем, указываются пути преодоления "проклятия" размерности этих систем, дается понятие об Р ~ уравнениях и их возможностях.

В третьей главе описывается методика применения Р - урав-

нений для исследования параметрических колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы.

В том случае, когда система содержит п степеней свободы и ее динамические свойства определяются уравнениями

х, + 25,1, + [а* + е^апх, + £ в* х . ¥,(1). 11»], (1)

последним уравнениям ставится в соответствие система Р - уравнений вида

Ь + ь?р1 = V Ь1УГ ^Р(51г)Ь1[р1Г,(х,Л) - £ риГ^х]Д)],

*»> + Фи. - ехр(5^)Ьк[а,кГ,(х,Д) - £ п^(х^)]. (2)

где Г,(х,Д)= е,Ф,т X, (г), у, СО * х,(г) ехр(в^),

Ф1 (I)- периодические функции с периодом Т = 2я/и,

1 = 1,2,3,----п-1,п, р^Ц, - некоторые коэффициенты.

Система (2) дополняется условием .

1 к=1 1к

Структура (2), хотя и имеет неразделенные Р - уравнения, вместе с тем дает возможность провести декомпозицию и получить эти уравнения в изолированном виде. Процедура декомпозиции разделения изложена в следующей главе.

Известно, что определение границ областей неустойчивости сводится к отысканию условий, при которых заданная система уравнений (1) имеет периодические решения с периодами Т = 2я/и и 2Т = 4л/ы. Такой вывод является естественным, поскольку именно периодическое движение является граничным случаем по отношению к колебаниям с неограниченно возрастающими амплитудами. Это позво-

ляет искать периодические решения системы уравнений (1) непосредственно в виде тригонометрических рядов. Однако прямое использование этих рядов в системе уравнений (1) приводит к значительному росту размерности алгебраических систем уравнений, составленных относительно амплитуд колебаний. Трудности исследования, возникающие при этом, общеизвестны. В этой ситуации удобно использовать разделенные Р - уравнения (2), которые дают возможность оперировать одной переменной. Поскольку в разделенных Р - уравнениях (2) присутствует только одна искомая переменная исходной системы (1), размерность алгебраической системы, определяющей амплитуды колебаний, будет зависеть только от числа членов тригонометрического ряда искомого решения, т.е. будет такой, как в системе с одной степенью свободы. Процедура использования г - уравнения вытекает из их структуры и сводится к следующему:

1. Задается решение х^) в виде тригонометрического ряда с искомыми коэффициентами

V11) = А0 + Е (Аз31п + взСоэ (4)

здесь о> - частота возбуждения параметра системы.

2. По аналогии с (4) выписываются ряды для функций Р^) и а именно

Р.Ш = А* + £ (А*Б1п + В*Соз (5)

1 к ] »1

Индексы 3 = 1,3,5, ... относятся к нечетным, а индексы 3 = 0,2,4,. - к четным областям динамической неустойчивости.

3. Тригонометрический ряд (5) подставляется в левую часть уравнений (2), а ряд (4) в правую часть этих уравнений. После уравнивания членов при одинаковых гармониках определяются коэффи-

циенты А* ,А* и В* для функции Р^г) и Г11е(г>.

4. Производится сравнение между собой с учетом условия (3) коэффициентов А* ,А* и В*, в результате чего вышсывается система алгебраических однородных уравнений относительно искомых коэффициентов Ао JAJ и В . Такая процедура получения условий существования периодических решений с периодом Т и 2Т используется при расчете областей параметрического резонанса экраноплана при полете над волной и колебаниях закрылка несущего комплекса. В данной главе предложена и другая форма поиска областей динамической неустойчивости систем уравнений (1) и (2). С этой целью вводятся соотношенияе Р (г) = X х (Ю и путем соответствующего !к ! к

подбора коэффициентов X выписываются в общем виде уравнения границ областей динамической неустойчивости систем с п степенями свободы. Из этих уравнений границ непосредственно следуют частные случаи, соответствующие системам с более низким числом степеней свободы.

В_четвертой_главе излагаются методы исследования периодических режимов нелинейных систем с использованием Е - уравнений, описывается процедура декомпозиции многомерной нелинейной системы на отдельные подсистемы меньшей размерности.

Суть указанной процедуры заключается в следующем. Для нелинейной системы функция Г (х4Д) в (2) записывается в форме 11 7,(1;) - ух,), где н^х,) = офух^.И,^) - нели-

нейная дифференцируемая функция переменной и(1;). Тогда, переписав (2) в виде

ы (6)

- 12 -

- = (6)

после разрешения последней относительно функции и Н (х )

имеем п равенств вида 1[(х4) = ^"(х,) = ••• = И|п>(х1),

1= 1,2,3,...п

или в развернутой форме

Аи?1 +"ЁЧ1к11к = А1252 + 1Хг,Лгк = ... № 1»

(7)

11-1 п-1

•А, ,5, + Е В. г} = ... = А, ? + Е В. п

Здесь А и В - коэффициенты, определяемые из (6) в результате определения функции и (х1).

Система (7) разбивается на отдельные пары равенств, число которых равно числу сочетаний из п по 2, т.е. п!/2(п-2)!.

При нечетном п из каждой пары равенств (7) выбирается (п-1) произвольных строчек, из которых составляются системы уравнений (назовем их усеченными)

= А1п^ + 5 В1вкЧвЬ . (8)

Ш Т5Й;

1 = 1,2,3.....п-1.

Если теперь разрешить полученную систему уравнений относительно г, и г)пк , где к - фиксированное значение, и подставить полученный результат в оставшуюся строчку равенств (7), будем иметь

сП)е + В(П СШЕ + 0П> (9)

Здесь 1 - номер рассматриваемой пары равенств из (7), ¡л - нечетное число.

При четном п можно использовать полностью пары равенств (7), изолированные по индексам, например, пары 1 - П, Ш - 1V и т.д... Выражая в этих равенствах часть переменных г? (их число составляет п) через 5 и оставшиеся переменные rj , подставляя затем результаты в пары равенств (7), связанные по индексам, например, 1 - Ш, П - Ш и т.д., приходим к системе уравнений вида (9).

Далее вводятся в рассмотрение соотношения

сП>_ л (1) , (1)

5j ~ Vjk £Г}пк ' (10)

5{П - у г)"1

n Jk n nk

Подставляя (10) в (9) и приравнивая коэффициенты при переменных

5 и т) , получим значения величин X, и i в виде

j "

При такой структуре коэффициентов Xj и уп соотношения (10) приводят к тождественному удовлетворению равенств (9). С другой стороны соотношения (10) в различных равенствах (9) должны совпадать между собой, поскольку это одни и теже переменные. В результате имеем из (10) однородную систему уравнений

(ну + nJ)nJfc +Vv>nII = 0. (12)

где 3 = 1,2,3,..., n, 0k = ±1, е = 1/е, индекс 1- опущен.

Коэффициенты ш и п. определяются на основе равенств (11), а переменные т) имеют фиксированное значение индекса к, определяющего собой номер оставшихся функций п после сокращения переменных в паре с номером 1.

Для получения ненулевых решений системы (12) необходимо обеспечить равенство нулю определителя этой системы. Из этого условия можно найти неизвестное значение коэффициента е. Таким об-

- и -

разом, автономная система дает соотношение вида На основе (10) имеем

Sj = V JW ^ П= (U)

Здесь ¡1= Xj + e/ejn, цп = ук+ eöJn> 9Jn - коэффициент, определяемый из (12).

Возвратимся теперь к уравнениям (6). Согласно равенству (7) в общем случае 1-ое решение имеет форму

Правая и левая часть последнего уравнения будут иметь одну переменную в случае, если функции £ и R(x) будут обладать одинаковым индексом. Следовательно, из всего набора решений системы (6) в дальнейшем интерес представляет решение вида

+ЛвнЛк -W- (15>

т

где i пробегает все значения от 1 до п.

Последнее уравнение совместно с (13) и (14) дает возможность записать исходную систему (1) в виде изолированных уравнений.

Предложенный выше алгоритм декомпозиции позволил получить уравнения установления одночастотных колебаний нелинейной системы, позволяющие выявить основные особенности движений системы и установить количественные соотношения, точность которых вполне достаточна при исследовании динамики и устойчивости экраноплана. Кроме того, декомпозиционная структура Р - уравнений позволила редуцировать последние к нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка и найти условия устойчивости стационарных периодических решений. Наконец, обнаружены декомпозиционные свойства

самих F - уравнений. Это дало возможность на основе косвенных оценок (коэффициентов точности) записать F - уравнения для соответствуют)! переменных исходных уравнений в изолированном виде.

Раздел,11 состоит из пяти глав и посвящен декомпозиционному анализу динамики и устойчивости продольных движений экраноплана.

В данном разделе на основе F - уравнений проводятся исследования нового класса задач динамики и устойчивости экранопланов различных компоновочных схем вблизи волны в крейсерском режиме полета на малых отстояниях от опорной поверхности. Описывается новое явление, связанное с параметрической стабилизацией экраноплана с помощь») средств механизации крыла несущего комплекса, исследуются условия возникновения автоколебаний аппарата, условий равновесия, их устойчивости.

В_пятой_глаье аналитически исследуется динамическая устойчивость экрянопланов различных компоновочных схем яри полете над волной.

Волновая структура экрана вносит свои коррективы в коэффициент подъемной силы крыла в основном через относительное отстояние крыла от опорной поверхности Н. Закон изменения отстояния К относительно несущего крыла может быть разнообразным. В частности, структура волны может быть представлена в виде одномерной после -дователъности отдельных составляющих гармоник

_ п

Н (х,t) - Н (1 + У a Cos [«.it + х) * 1), (161

1 l i

1 = !

где w - частоты, f - произвольные фазовые углы, э - амплитуды отдельных составляющих гармоник волны.

В реальных условиях ь силу нестационарности волнения послед ■ ние параметры не являются постоянными, а находятся в функционяль-

ной зависимости от координаты х и г, носящей случайный характер.

Следует отметить, что реализация в расчетах равенства (16) в общем случае невозможна. В связи с этим имеет смысл в дальнейшем ограничиться только основной (первой) гармоникой волны, при этом считать волнение малым и стационарным. В этом случае полагая, что начало отсчета соответствует нулевой начальной фазе, равенство (16) можно записать в виде

Н (хД) = Н [1 + аСови(г + х)], (17)

где а = А/Н << 1, а = 2гсЬ/1, А - амплитуда волны, 1 - длина волны, Ь - полухорда крыла, х и X - безразмерные величины.

Коэффициент подъемной силы крыла экраноплана в нестационарном потоке в линейном приближении имеет структуру

С = [В Шу + В (Ь)а + В,(1;)у + у 1 2 з (18)

+ В (1;)а + В ГО( а + а ) + В, (1;) ] Х/бН,

4 5 и о

где коэффициенты В,(X) = В (1; + Т), Т = 2я/и.

Таким образом, аэродинамическая нагрузка, определяемая коэффициентом подъемной силы (18), в силу (17) является периодической и зависит от высоты волны и частоты ее следования относительно экраноплана. Поскольку в этом случае происходит периодическое изменение во времени отстояния несущего комплекса от опорной поверхности, эта нагрузка входит в коэффициенты левой части дифференциальных уравнений возмущенного движения экраноплана и при определенном соотношении конструктивных параметров аппарата и характеристик волнения может вызвать потерю его динамической устойчивости.

Дифференциальные уравнения движения экраноплана схемы "утка" при полете над волной имеют вид

У + 254У + и®у + е^п^Созв'Ь + п^пи^у +

+ М2 V т гсоэыг + Г „БЗЛИ!;, МС>\

12 1 2 (1У)

и + 25„у + а+ е (ш Сози1; + п Б1ш1;)1/ -2 2 2 2 2

- и21у = Г3С08И1 + Г431ш1;. Обращаясь к общепршятой в динамике полета летательных аппаратов символике, коэффициенты последней системы уравнений можно записать в виде 251 = $Су/вН, и2 = эСу/бН, о22 = эСу/ди, 25, = вС /дЬ, и2 = эС /ди, и2 = аС /эН,

2 т 2 т 21 га

где С и С - соответственно коэффициенты подъемной силы и момен-

у ш

та экраноплана, а координата у заменена на приращение ДН отстояния Н.

Системе уравнений (19) ставится в соответствие система разделенных Г - уравнений вида

+ Ь1Г1 = У\ + ЬХ + Р1Ь1еЛа)У1 ~

- ехр(51г)Ь1Ср1¥1(г) - Р12уЪ)] (20)

?! + ьр1 = а1ь2е1Ф2(г)у1 + ехр(51г)ьа[д1У1(г) - %2ч3а)1,

К + ь2р2 = + ьРа + Р2ь2£2ф № -

- ехр(52г)Ь2[р2¥2(1) - Р21у-Ь)], (21)

+ = - ЧА'А^У* + ех^т^^Х) - qЯ11t^t)l,

где 7 = уехр(5^), у2 = уехр(г2Ю, Ф (1;) = п^Соэь^ + п^^шг, = тСозо>1; + п,эти!;, у (1;) = 1 Соэь^ + I Мпт,

с £ 2 11 2

= 10Созиг + Г Б1ш1;.

2 3 4

Поскольку уравнения (20) и (21) отделены друг от друга , их использование позволяет определить искомые периодические решения по каждой координате независимо. Границам областей неустойчивости соответствуют периодические решения однородной системы Р - уравнений.

- 18 -

В данной главе путем использования рядов Фурье (4) и (5) на основе (20) и (21) получены уравнения критических частот, связывающих между собой частоту следования волны и и собственные частоты bt и Ь2 и определяющих границы областей динамической неустойчивости экраноплана. Численный расчет по этим уравнениям и по конечным формулам областей неустойчивости, приведенным в третьей главе, показывают, что уменьшение высоты Не 0,1 до 0,01 приводит к интенсивному заполнению клиньями неустойчивости пространства параметров ы и а и , начиная с высоты Н s 0,03, заполняется все это пространство (рис.1 и рис.2). Таким образом, устойчивый полет экраноплана на малых отстояниях возможен лишь при малых значениях относительной амплитуды волны.

В_шестой_главе рассматриваются задачи нелинейной динамики и устойчивости экраноплана на малых отстояниях от плоской опорной поверхности.

Дифференциальные уравнения колебаний экраноплана в плоскости тангажа имеют вид

у + 2б,у + + R(y)] + и® у = i(t),

- , • 2 2 rt (22) у + 252У + ир ~ W2iy =

где R(y) = - а у2+ 0У3- нелинейная статическая характеристика по отстоянию, а = 1/Н, р = 1/Н2, Н - относительное отстояние несущего комплекса аппарата от опорной поверхности, ?(t) - внешние возмущения.

Системе уравнений (22) ставится в соответствие система F -уравнений для одной из координат в виде

F + bjF = yt + b*yt + pb4exp(б11>[<a®R(у) - ¥(t)J,

F+ bgF = - q^expifijtJtujRiy) - T(t)J. (23)

Из последней системы уравнений следует интегральное уравне-

Но =• 0,01, ï = 52, Гг = 1,2, Хо ^ 4,0.

V /

77t>¿/ / '/////'

;//////

0 0,1 0,2 d 0,3

Рис.2 Области динамической неустойчивости при Но = 0,01, I - 52, Г* = Хо = 4.0.

- 20 -

ние вынужденных установившихся движений экраноплана

УЬШ + «®|Ь(г)Шуь(1-1;)](1г = 1Ь(1;). (24)

о

где Ш)= ехр(-511)(р51пЪ1^+ qSlnЬ2t) - весовая функция линейной части системы, Гь(1;) = ^(гЖ^гШг. Если в уравнении (24) положить *ь(1;) = 0, то получим уравнение, определяющее возможный автоколебательный режим движения экраноплана

уа(г) + иуЫт)Н[ув(1;-г)]<1г = 0 (25)

о

Наконец, если учесть, что у(1) = у,(1;)+ у (1), где у. Ш - свобод-

Ъ с с

ная составляющая движения экраноплана, то из (23) можно найти интегральное уравнение свободного движения экраноплана

УсШ + м®|Ь(г-г){Н[уь(г)]+ув(г)] -

о- Н[уь(т)]}<1г = ф) + г^г). (2б)

Здесь Г*Ш = и^Гш-г) Н[уь(г)]йт , - реакция экрано-С -00 е плана (как линейной системы) на действие начальных условий.

Набор уравнений (24), (25) и (26) является сводкой основных интегральных уравнений, определяющих нелинейную динамику продольных движений аппарата.

Для численного эксперимента в качестве расчетной принята нормальная схема гипотетического экраноплана с несущим комплексом малого удлинения и стабилизатором, вынесенным из зоны влияния экрана. При этом рассматривались две модели аппарата. У первой модели центр тяжести аппарата расположен впереди центра давления основного несущего крыла, а у второй центр тяжести располагается между центрами давления крыла и стабилизатора.

В качестве варьируемых параметров приняты соответственно относительное отстояние крыла Н (режимный параметр) и относительная длина аппарата 1 = 14/1 , 1 и 1 - расстояние от центров давления основного крыла и стабилизатора до центра тяжести аппарата (конструктивный параметр). Следовательно, плоскость Н1, по сути дела, представляет режимно-центровочную диаграмму (РЦД) экранопла-на. Построение РЦЦ ведется с использованием корней характеристического уравнения четвертого порядка. Для обеспечения устойчивости в линейном случае необходимо, чтобы удовлетворялись согласно (22) одновременно два неравенства

(^ + 1ф2/4 * к^ - и^ы^г 0. (27)

При нарушении второго неравенства возникает апериодическая неустойчивость (дивергенция) аппарата вблизи экрана, а при нарушении первого неравенства - колебания с возрастающими амплитудами (флаттер). Второе неравенство в (27), выраженное через фокусные расстояния по тангажу и высоте полета экраноплана приводит к известному критерию статической устойчивости

В нелинейной задаче численные расчеты по уравнению (25) показывают, что для первой модели области устойчивого состояния равновесия укладываются в зону апериодической устойчивости РЦЦ, полученной в линейном случае, и не изменяют ее. У второй модели зона апериодической неустойчивости РЦЦ сокращается за счет того, что экраноплан в этой зоне имеет некоторую область устойчивого состояния равновесия (рис.3).

При исследовании автоколебаний численный расчет показывает, что для первой модели в рамках базовых параметров гипотетического

аппарата такого автоколебательного решма не обнаружено. Этот же вывод относится и ко второй модели для области РЦЦ, в которой собственные частоты Ь] и Ь2 аппарата различны. Однако область автоколебаний присутствует в пределах области колебательной неустойчивости второй модели и отсекает от этой области зону, ограниченную кривой вещественности амплитуды автоколебаний и границей области колебательной неустойчивости (рис.4).

Анализ полученных по уравнению (26) переходных процессов показывает, что уже первое приближение дает процесс с.характеристиками, присущими нелинейной системе. В частности, наблюдается изменение периода колебаний с течением времени. Кроме того, Еторая полуволна кривой переходного процесса на малых отстояниях Н = 0,03 для первой модели, а для второй модели и на отстояниях Н = 0,09, выше по уровню, чем первая. Этот факт подчеркивает несимметричность нелинейной характеристики й(у). В результате несимметрии она становится "мягкой" вверх от экрана и "жесткой" по направлению к нему. Отсюда ясно, что экраноплан легче уходит от экрана, чем приближается к нему.

Сравнение динамических свойств обеих моделей "нормальной" схемы экраноплана по виду переходных процессов, по областям устойчивости на РЦД и но способностям к автоколебаниям говорит о том, что вторая модель ведет себя значительно хуже первой по всем перечисленным показателям.

Анализ устойчивости экраноплана по скорости полета при нелинейной зависимости тяги двигателя силовой установки от скорости Р - Р(У) показывает, что в нелинейной и линейной задачах устойчивость апериодической составляющей скорости полета определяется

-о,г -од о о,1 £

Рис.3. Режимно-центровочная диаграмма экраноплана нормальной схемы с различным расположением центра тяжести, Б = 0,2

Н

0,075 0,065

0,050 0,У25

йю!аст устойчи эйатель ь »сти ш/

чР: Я/ / (Ж^Ъ)

\Д уЧ1 у У У У У А

у -Ъ&о

О 0,0370,05 ОД 0Д5 £

Рис.4. Область колебательной неустойчивости и автоколебаний экраноплана с задним расположением центра тяжести, Б = 0,4-

знаком действительного корня характеристического уравнения исходной системы дифференциальных уравнений движения.

В._седьмой_главе в линейной постановке в рамках корреляционнс теории приводится расчет статистических характеристик экранопланг самолетной схемы с крылом малого удлинения в плоскости тангажа щ полете над стохастически взволнованной опорной поверхностью в условиях возмущенной атмосферы.

Вертикальные перемещения экраноплана вблизи волны определяю-: ся следующим интегральным уравнением

уШ + е |Ф(г)Ш-г)у(г)(1т = Ш), (28)

о

где 11(1;) = ехр(-5^)(р51пЬ^ + дБ1пЪ21;) - весовая функция, е -

нормируемый множитель (коэффициент возбуждения), пропорциональны!

амплитуде волны, ь

1(г) = |щг-г)Ф(г)с!г, Ф(Х) = к0Ф(г) + £ к^Ш, о 1в1

Ф(Ю - функция, характерзующая влияние опорной поверхности, т (Ъ) - внешнее 1-ое возмущение, ко и к1 - некоторые коэффициент] Расчет уравнения (28) ведется методом последовательных приближений.

Функция,-определяющая уровень волнения поверхности экрана в плоскости тангажа аппарата, согласно (16) определяется суммой Ф*(хЛ) = 1+2 а Сова (х + г) + р .

В том случае, когда спектр сосредоточен в узком диапазоне частот, так что и - средняя частота, а фактические частоты с^нез начительно отличаются от и, приведенную выше функцию можно записать в виде

<S*(x,t) = 1 + S a Cosa t(x + t) - u(x + t) + p +

+ Ü(x + t)] = 1 + A(t)Cosu(x + t) + B(t)Sinw(x + t),

n

где A(t) = £ a Cost(и - a)(x + t) + f ], i»i

B(t) = I ajSlntdíj- w)(x + t) + p,].

1 a 1

В равенстве (29) предположение об узости спектра частот означает, что величины A(t) и B(t) являются медленно меняющимися функциями времени. В этом случае они практически не зависят от координаты х в пределах хорды крыла несущего комплекса.

В соответствии с (29) формула для возмущающей функции Ф(Ю записывается в виде

®(t) = C1(t)m(t) + C2(t)ñ(t), (30)

где Cl(t)=Cosut, C2(t)=Slncot. m(t)=mA(t)+nB(t), ïï(t)=nA(t)+mB(t).

В случае нерегулярного (стохастического) волнения в последней формуле случайными являются только функции m(t) и n(t), функции С (t). С (t) - неслучайные.

Предположение об узкополосности спектра частот ведет при нормальном распределении мгновенных значений ординат волн к распределению Рэлея для их амплитуд. Представление стохастического волнения опорной поверхности узкополосным процессом является приближенным, однако наблюдения согласно ряду источников, показывают исключительно хорошее согласие закона распределения Рэлея с фактическим распределением высот волн в морском ветровом волнении и ограниченных водоемах. В этом случае автокорреляционная функция для

- 26 -

возмущения (30) запишется в форме

Кф( г4, 12) = (шг + п2)а2ехр(-а|х|)СоБыг. (31

Здесь с2- дисперсия волновых координат, а - параметр, характеризующий степень нерегулярности волнения ( а = 0 при регулярном волнении), г - г - г . Частота и соответствует максимуму спект-

3 1

ральной плотности случайного волнового процесса.

Движение экраноплана в условиях возмущенной атмосферы характеризуется действием на него горизонтальных и вертикальных порывов ветра. Векторная суша указанных компонент ветра представляет собой переменную составляющую ветровой нагрузки на экраноплан и характеризует турбулентное движение атмосферы. Полный вектор скорости ветра условно может быть представлен как сумма постоянной и переменной составляющих. Модуль постоянной составляющей скорости ветра является случайной величиной. Экспериментальные данные показывают, что эта величина имеет закон распределения Рэлея.

С точки зрения анализа статистических свойств динамической системы, находящейся под действием ветровых возмущений, наиболее удобна такая аппроксимация экспериментальных статистических характеристик, при которой спектральные плотности являются дробнора-циональными функциями частоты. Однако такая аппроксимация исходит из условия изотропности ветрового потока, что не правомерно для малых высот полета. Кроме того, для малых высот в настоящее время не имеется достаточного количества экспериментальных данных по статистике порывов ветра.

В том случае, когда взаимная корреляционная функция Кф^(1;,г)= уравнение (28) с учетом (31) дает постоянную составляющую среднегс значения процесса в виде

- 27 -

тсу = - ССрЬ1/(5^ + Ь2)' + qb2/(5^ + Ь2)], (32)

> С = к0(т2 + п2)а3(рС1 + цс2),

С1 = ь1(ва+ь^-ыа)/г(52+Ь2-Ы2)2+ 452И2], С2 = Ь2(б2+Ь2-И2)/[(52+Ь2-Ы2)2+ 452Ы2], 5=5^«. ¡сь ко и определяются равенствами к0 = Н, к = *!(ао1+ »т7 (x)/эх 1 х_2) /6Н-

Учет (32) позволяет оценить уровень смещения положения равно-яя экраноплана в условиях полета над стохастически взволнован: опорной поверхностью.

В_восьмой_главе исследуется поведение экраноплана схемы "утка" изи опорной поверхности в условиях, когда совершаются заданные монические колебания закрылка носового крыла (переднего гори-тального оперения). Поставленная задача логически вписывается руг вопросов, связанных с общей проблемой стабилизации полета аратов данного класса, так как закрылок носового крыла таких аратов является одним из основных средств управления их двинем в условиях действия периодических нагрузок со стороны душного потока.

Дифференциальные уравнения движения экраноплана схемы "утка", щего две степени свободы, запишутся в виде

(Д, + т^у, + т2у1 + <тэ + ?1)у1 - ?2у2 + $эу* +

МЛэя-ш4)уа+п1дуа-т6у2 = -Ф(г) (33)

+ п>'2 + ПЛ + (Т)Г пэ>У2 " + + + (Р31+ п4)у\ + п5у1+ п^ = О 2Ъ с) и У2(t) - вертикальные перемещения носового и основно-гсрыдьев относительно их стационарных отстояний соответственно. Данная система уравнений является исходной для анализа дина-

мических свойств экраноплана при колебаниях закрылка носового крыла.

Рассматриваются два основных режима колебаний закрылка.

1. Симметричные колебания, когда р(1;) = р 31лк1;,

2. Несимметричные колебания, когда рШ = р0(1-СобМ).

В первом случае закрылок имеет поворот в сторону положительных и отрицательных углов атаки. Во втором случае угловые движения закрылка совершаются только в зоне его положительных углов атаки.

Использование приведенных выше функций рШ приводит к появлению периодических коэффициентов в левой части исходной системы уравнений (33). В этом случае в решении уравнений (33) появляется постоянное смещение носового крыла, зависящее от частоты и угловой амплитуды колебаний закрылка. Таким образом, в результате колебаний закрылка носовое крыло получает постоянное приращение подъемной силы. В зависимости от знака этого приращения носовое крыло испытывает в среднем за период постоянный по величине либо избыток, либо недостаток подъемной силы. В случае избытка, а это происходит при несимметричных колебаниях закрылка, наблюдается "подъем" всего экраноплана над опорной поверхностью. Недостаток подъемной силы носового крыла, который создается при симметричных колебаниях закрылка, вызывает "просадку" всего экраноплана к опорной поверхности.

Исходной системе дифференциальных уравнений движения экраноплана (33) согласно метода редукционной декомпозиции ставится в соответствие система Г - уравнений вида

? + 254Р + (в* + Ь^)Р = у4 + 251у1 + [в® + Ь® +

+ ер*Ь,С08]Шу. - рЬ ® СовМ, (34)

4 1 1 1 01

Р + 254Р + (5^ + Ъ*)? = - eq*b2Coskt у1 + qb2Ф01Coskt.

Для определения условий устойчивости экраноплана с колеблющимся закрылком и расчета амплитуд его вынужденных движений может быть использован ряд Фурье. Это дает систему алгебраических уравнений, из которых находятся искомые амплитуды.

Эффект "подъема" и "просадки" экраноплана проявляется только в случае квазистатического режима полета, когда коэффициент нормировки, характеризующий отношение постоянной составляющей решения к полной амплитуде его осциллирующей части, по модулю значительно больше единицы.

При выполнении условия автономности системы уравнений (34), т.е. при Ф = 0, последняя дает возможность построить область параметрического резонанса экраноплана при колебаниях закрылка в плоскости р к. (рис.5 и рис.6). Вне этих областей аппарат ведет себя устойчиво.

Колеблющийся закрылок может использоваться как средство подавления параметрических резонансов экраноплана вблизи волны. В данной главе получено приближенное соотношение между амплитудами волны и колебаний закрылка, при выполнении которого возможно при соблюдении равенства частот и = к устранение вторых областей динамической неустойчивости экраноплана.

В_левятой_главе приводятся результаты экспериментальных исследований динамических свойств буксируемых моделей экраноплана схемы "утка" при колебаниях закрылка. Испытания проводились на открытой акватории с помощью катера-буксировщика. Выявлен экспериментально и зафиксирован на осциллограммах эффект "подъема" и

к

0,6

0,4 0,2

О 0,174 о,348 д,,рад о,522

Рис.5. Области динамической неустойчивости экраноплана при ±1 = 0,7, Ь02 = 0,1.

К

0,6

0,4 0,2

4

'../<> /Г,

О . 0,174 0.348 А.РЭД 0,522

Рис.6. Области динамической неустойчивости экраноплана при х4 = 0,7, Ъ02= 0,15.

"просадки" модели экраноплана в зависимости от режима колебаний закрылка. Экспериментально получена область динамической неустойчивости модели экраноплана. Переходный процесс, вызванный импульсным возмущением по основному и носовому крыльям, является затухающим и носит колебательный характер. Время переходного процесса в 2,5-3 раза меньше по сравнению с временем переходного процесса в отсутствии режима параметрического возбуждения аппарата. Амплитудно-частотные характеристики, полученные экспериментально в процессе буксировки модели экраноплана, качественно совпадают с амплитудно-частотными характеристиками, найденными расчетным путем.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Основные выводы теоретических и экспериментальных результатов сводятся к следущему.

1. Рассмотрен .новый класс задач динамики и устойчивости экраноплана при полете над волной в детерминированной и статистической постановке и дан инженерный алгоритм расчета областей параметрического резонанса аппарата вблизи волны. В рамках данного алгоритма

а) разработана методика определения областей динамической неус тойчивости экраноплана при полете над взволнованной опорной поверхностью;

б) выявлен диапазон возможных относительных высот устойчивого полета экраноплана вблизи волны с учетом частоты ее следования отно сительно аппарата:

в) установлено, что с ростом относительного отстояния (от 0,07 и выше) влияние волны как параметрического возбудителя значительно уменьшается;

г) дана ориентировочная оценка уровня смещения положения рав-

новесия экраноплана в условиях полета над стохастически взволнованной опорной поверхностью в рамках тех законов распределения плотности вероятности, которые согласуются с фактическим распределением высот волн в морском ветровом волнении и ограниченных водоемах;

д) установлено, что учет скорости полета принципиально не меняет методику расчета областей динамической неустойчивости экраноплана и конфигурацию этих бластей.

2. Предложен и экспериментально подтвержден принципиально новый для экраноплана способ изменения его динамических свойств на основе эффекта параметрического возбуждения аппарата средствами механизации крыла несущего комплекса. Реализация предложенного способа выполнена путем работы закрылка носового крыла аппарата схемы "утка" в режиме гармонических колебаний. В результате:

а) установлено, что колебания закрылка в несимметричном режиме, когда изменение угла атаки закрылка подчиняется закону p(t) = ?0(1-Coskt), приводит к "подъему", а симметричные колебания с законом p(t) = ?oSinkt - к "просадке" экраноплана относительно опорной поверхности;

б) разработана методика расчета областей параметрического резонанса и устойчивости движения экраноплана при гармонических колебаниях закрылка носового крыла;

в) выявлено, что вне областей параметрического резонанса происходит параметрическая стабилизация аппарата на других относительных отстояниях от экрана, не соответствующих тем, которые необходимы для выполнения условий балансировки. Иначе говоря, при работе закрылка в режиме гармонических колебаний экраноплан приоб-

ретает совершенно новые динамические свойства, идентичные свойствам параметрически возбуждаемых систем.

г) предложен алгоритм использования закрылка для ликвидации вторых областей динамической неустойчивости экраноплана при полете над волной;

д) экспериментальные исследования моделей экранопланов подтвердили существование режимов "подъема" и "просадки" экраноплана и возможность его стабилизации при гармонических колебаниях закрылка носового крыла. Глубина "просадки" модели к опорной поверхности почти на порядок меньше, чем высота "подъема" модели экраноплана;

е) экспериментально выявлена только одна область динамической неустойчивости (параметрического резонанса) модели экраноплана, которая лежит вблизи первой собственной частоты колебаний модели;

ж) анализ осциллограмм переходных процессов показал, что движение модели экраноплана на режиме "подъема" при параметрической стабилизации является устойчивым. При этом динамические характеристики модели экраноплана улучшаются за счет сокращения времени переходного процесса в 2,5 - 3,0 раза по сравнению с переходным процессов в отсутствии параметрического возбувдения закрылком.

3. Исследованы нелинейные задачи динамики и устойчивости экраноплана нормальной схемы при полете на малых отстояниях от экрана, когда Су = С (Н) и Р = Р(7) - существенно нелинейные функции. Анализ результатов показал:

а) экраноплан может иметь в нелинейной постановке в продольной плоскости не менее трех положений' равновесия на различных отстояниях от экрана. Реальное их существование определяется выполнением условий устойчивости того или иного положения равно-

весия (области устойчивого равновесия приведены на режимно-центро-вочных диаграммах);

б) автоколебательный режим экраноплана возможен на двух частотах ы01 и и02, причем первая частота автоколебаний совпадает с собственными частотами аппарата Ъ и Ь2 по всей линии границы колебательной неустойчивости, а вторая только в точке границы, где совпадают парциальные частоты и2, т.е. эСу/аН = эСт/ау. Однако в-рамках, принятых для расчета, базовых параметров гипотети ческого экраноплана для нормальной схемы (первая модель) этого режима не обнаружено;

в) условия возникновения устойчивых автоколебаний выполняются в ограниченной зоне области колебательной неустойчивости второй модели экраноплана нормальной схемы с расположением центра тяжести между центрами давления крыла и стабилизатора;

г) переходные процессы экраноплана имеют характеристики, присущие нелинейной системе. В частности, наблюдается изменение периода колебаний с течением времени. Кроме того, вторая полуволна кривой переходного процесса выше по уровню, чем первая. Этот факт подчеркивает несимметричность нелинейной статической характеристики по отстоянию. В результате несимметрии она становится "мягкой" вверх от опорной поверхности и "жесткой" по направлению к последней, поэтому экраноплан легче уходит от опорной поверхности, чем приближается к ней;

д) сравнение переходных процессов по уровню затухания, колебательности и амплитудным значениям показывает, что вторая модель ведет себя значительно хуже по всем перечисленным показателям;

е) устойчивость экраноплана по скорости полета при нелиней-

ной зависимости тяги двигателя от скорости в рамках принятых приближений определяется знаком действительного корня характеристического уравнения пятого порядка исходной системы дифференциальных уравнений продольного движения.

4. Представленный выше комплекс задач динамики полета и устойчивости экраноплана исследован на основе разработанного метода редукционной декомпозиции системы дифференциальных уравнений, что существенно облегчило их решение. Реализация метода позволила:

а)свести сложную задачу исследования устойчивости экраноплана на основе исходных нелинейных уравнений к совокупности более простых декомпозиционных задач, описываемых дифференциальными уравнениями меньшей размерности, что дало возможность применить к таким задачам известные аналитические методы расчета;

б) распространить предложенный декомпозиционный подход не только на свой класс нелинейных уравнений, но и на системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Иначе говоря, реализация метода позволила провести декомпозиционный анализ как нелинейных, так и нестационарных задач динамики полета экраноплана;

в) найти конечные формулы областей динамической неустойчивости (параметрического резонанса) экраноплана при полете над волной;

г) определить в рамках метода не только стационарные периодические режимы экраноплана и условия их устойчивости, но и режимы установления одночастотных колебаний -аппарата и переходные процессы при действии различного вида внешних воздействий.

- 36 -

Основное содержание диссертации опубликовано в работах: 1. Одареев В.А. Метод редукционной, декомпозиции в прикладных задг чах динамики систем. -Иркутск: Изд-во Ирк.Гос.Ун-та, 1991.- 216с. 2.Одареев В.А. Резонансные свойства летательного аппарата вблизи экрана //Асимптотические методы в механике. - Иркутск, 1979. -с.163 - 170.

3. Одареев В.А. Нелинейные уравнения колебаний упругого летательного аппарата в плоском ограниченном потоке // Асимптотические ме тоды в теории систем. - Иркутск, 1980. - с.144 - 168.

4. Одареев В.А. Некоторые особенности движения летательного аппарата в плоском ограниченном потоке // Асимптотические методы в ме ханике. - Иркутск, 1981. - с. 92 -118.

5. Одареев В.А. К проблеме устойчивости летательного аппарата вблизи взволнованного экрана // Асимптотические методы в теории систем. - Иркутск, 1982. - с.102 - 116.

6. Одареев В.А. Вопросы продольной динамики летательного аппарата в ограниченном потоке // Асимптотические методы в механике. - Новосибирск: Наука, 1983. - с. 145 - 165.

7. Одареев В.А. Некоторые задачи динамики транспортного аппарата вблизи волны // Некорректные задачи теории возмущений. - Новосибирск: Наука, 1984. - с.222 - 231.

8. Одареев В.А. Вынужденные установившиеся и переходные движения транспортного аппарата вблизи волны // Методы возмущений в механи ке. - Иркутск, 1984. - с.74 - 81.

9. Одареев В.А. Некоторые задачи статистической динамики траспор! ногоаппарата в ограниченном потоке //Асимптотические методы. Прикладные задачи механики. - Новосибирск: Наука, 1986. - с.118 -

10. Одареев В.А. Об одном способе разделения нелинейной системы дифференциальных уравнений //Асимптотические методы в динамике систем. - Иркутск, 1988. - с.66 - 89.

11. Одареев В.А. Косвенные оценки декомпозиционных свойств F -уравнений при t-^eo и их использование в задачах динамики полета экранопланов // Асимптотические метода в задачах аэродинамики и проектирования летательных аппаратов. - Иркутск, 1994. - с.54 - 66.

12. Одареев В.А., Афанасьев A.B. Рекимно-центровочные диаграммы транспортных аппаратов различных компоновочных схем в ограниченном потоке // Асимптотические методы в динамике систем. - Иркутск, 1985. - с.56 - 72.

13. Одареев В.А.«Моженков И.Н. Динамические характеристики транспортного аппарата в ограниченном потоке на режиме "вспухания" //Асимптотические методы в динамике систем. - Иркутск, 1985. -

с.73 - 85.

14. Одареев В.А., Моженков И.Н. Об одном способе расчета областей неустойчивости многомерных систем, возбуждаемых параметрически. -Иркутск, 1989. - 32с.: ил.10. - Библ.:4 назв. -Рус.- Деп.в ОНИПР ЦНИИ ГА и К.

15. Одареев В.А., Моженков И.Н. Линейные задачи устойчивости транспортных аппаратов на сверхмалых отстояниях от экрана с учетом скорости полета // Асимптотические методы в теории систем. - Иркутск, 1992.- с.90 - 96.

16. Одареев В.А., Моженков И.Н. Динамическая устойчивость транспортного аппарата вблизи волны // Тезисы докладов научной школы .конференции " Современные проблемы механики жидкости и газа":

- 38 -

Академия наук СССР. - Иркутск, 1988. - с.67.

17. Одареев В.А., Мокенков И.Н. Динамические свойства экраноплана схемы "утка" при гармонических колебаниях закрылка носового крыла // Первая международная конференция по экранопланам: Тез. докл. -Иркутск: Изд-во Ирк. ун-та, 1993. - с.70 -71.

18. Одареев В.А., Моженков И.Н. Параметрический резонанс экраноплана вблизи волны при изменении скорости полета // Всероссийская научно-техническая конференция "Техническое обеспечение создания ] развития воздушно- транспортных средств / экранопланов и сверхлегких летательных аппаратов/: Тез. докл. - Казань: Изд-во Казанское гос.техн.ун-та, 1994. - с. 23.

19. Одареев В.А., Фунтиков А.В. Вопросы нелинейной динамики транспортного аппарата в ограниченном потоке // Асимптотические метод] Задачи и модели механики. - Новосибирск: Наука, 1987.- с.215 -235

20. Гусев И.Н., Одареев В.А. К вопросу об управлении вынужденными колебаниями летательного аппарата вблизи взволнованного экрана // Асимптотические методы в теории систем. - Иркутск, 1978.- с.185 • 195.

21. Гусев И.Н., Одареев В.А. Гармонические и переходные движения летательного аппарата в ограниченном потоке // Асимптотические ме тоды в механике жидкости и газа. - Иркутск, 1979.- с.84 - 92.