автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Численные методы решения задач оптимального управления параболическими системами

На правах рукописи

Подкопаева Елена Николаевна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

(Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в „МАТИ" — Российском Государственном Технологическом Университете им. К.Э. Циолковского и Вычислительном Центре им. А. А. Дородницына РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ишмухаметов А. 3.

доктор физико-математических наук, Знаменская Л. Н.

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар В. В.

Институт Математического Моделирования (ИММ РАН)

Защита^^исссртации состоится f/J^ 2006 г. в

"/часов на заседании Диссертационного совета^Д 002.017.03 в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН им. А. А. Дородницына.

Автореферат разослан

»OZ " О^Г^АзООб г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Мухин А. В.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В данной работе рассматриваются задачи оптимального управления процессом с распределенными параметрами, связанные с распределением тепла при заданных ограничениях. В настоящее время актуальными являются такие задачи, как оптимальное управление сушкой и прокалкой сварочных электродов большой длины (до 500 метров), длительным хранением их в подогретом состоянии (50° — 400°С); управление нагревом образцов при проведении испытаний для космической промышленности; интенсификация процесса прокаливания нефтяного кокса в камерных печах; управление охлаждением труднодоступных деталей машин; различные задачи управления интенсификацией процесса прокаливания, которые широко применяются в промышленности для упрочнения и восстановления деталей, а также общепромышленной арматуры и т.д. Большое значение имеет задача управления нагревом тел большой массы. Одной из целей такого нагрева является получение заданного распределения температуры по массе. В этом случае ограничения соответствуют тому факту, что в проходных нагревательных агрегатах недопустимы слишком большие значения амплитуды колебания температуры греющей среды и перепады температуры по длине печи. В этом случае нужно определить управление, удовлетворяющее ограничениям, так, чтобы несмотря на всевозможные возмущения процесса нагрева, вызванные как изменением скорости, так и изменением теплофизических параметров процесса, уклонение выходящего из печи материала от заданной температуры было бы минимальным.

Когда на практике возникают корректные, устойчивые задачи, в которых приближенность информации в исходной задаче и ее входных данных не влияет на близость приближенных оптимальных элементов к решению исходной задачи, то с вычислительной точки зрения методы решения таких задач менее трудоемки по сравнению с неустойчивыми. Сходимость приближенных оптимальных управлений к и* позволяет не проводить регуляризацию, тем са^лым упрощается численный метод и сокращается объем и время вычислений при решении прикладных задач. Поэтому при разработке численных методов для решений той или иной конкретной задачи важно априори знать оценки сходимости. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечноразностных аппроксимаций, были получены в работах Б. М. Будака, Ф. М. Васильева, В. В. Васина, Р. Ф. Габасова,

В. В. Дикусара, А. И. Егорова, Ю. М. Ермольева, В. Г. Карманова, Ф. М. Кирилловой, В. Б. Колановского, П. С. Краснощекова, А. Б. Куржанского, Е. С. Левитина, Ж. Л. Лионса, К. Малановского, Н. Н. Моисеева, Ю. С. Осипова, В. И. Плотникова, Д. Л. Рассела, А. Н. Тихонова, В. М. Тихомирова, Р. П. Федоренко, В. В. Федорова. В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А. Н. Тихонова. В теории бесконечномерной оптимизации, в частности, в задачах оптимального управления, известные методы, например, градиентные, дают обычно слабую сходимость по управлению. Поэтому одной из важных проблем является разработка устойчивых численных методов с сильной сходимостью по управлению. С этой целью применяются различные регуляризирующие методы. В настоящей работе этой проблематике уделено большое внимание, в ней предлагаются методы решения класса выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с сильной сходимостью по аргументу.

В прикладных задачах, которые являются неустойчивыми, некорректными, приближенность информации о задаче и ее входных данных дает отрицательный ответ по вопросам этих сходимостей. Поэтому для численного решения таких задач является актуальной разработка специальных устойчивых аппроксимаций с использованием метода регуляризации. Одним из эффективных методов решения задач оптимального управления является метод моментов. Впервые он был применен Н. Н. Красовским к задачам перевода системы в заданную точку для систем, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем метод моментов был развит и применен к решениям задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в работах А. Г. Бутковского, А. И. Егорова, Ф. М. Васильева, М. М. Потапова, А. 3. Ишмухаметова и др. Следует заметить, что во многих практических задачах точный перевод в заданное конечное состояние невозможен. В таких случаях естественно ставить задачу о переводе системы, как можно ближе к заданному конечному состоянию. Для решения такого рода задач в работах А. 3. Ишмухаметова был разработан новый метод решения задач оптимального управления, а именно: двойственный метод как обобщение проблемы моментов. Данная диссертационная работа посвящена рассмотрению численных методов, направленных на решение этих вопросов, для задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнением теплопроводности с управлением на границе и в правой части при заданных ограничениях на управления.

Для многих известных методов оптимизации остаются актуальными вопросы, связанные с их практической реализуемостью и эффективностью. К таким вопросам относится разработка методов, алгоритмов без бесконечных внутренних процедур, поиск и формулировка критериев, правил останова. Предлагаются два метода с конечношаговыми внутренними вычислительными процедурами. Эти методы построены на основе метода регуляризации, методов проекции и условного градиентов, а также двойственного метода. В предлагаемых методах получены критерии останова, доказаны оценки скорости сходимости по функционалу и сильная сходимость к нормальному оптимальному элементу.

Целью диссертационного исследования является разработка и обоснование численных методов, в абстрактном виде предложенных А.З.Ишмухаметовым, для решения задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнением теплопроводности с двумя управлениями: на левой границе и в правой части дифференциального уравнения при заданных ограничениях па управления.

Методы исследования. Для исследования указанного класса задач, когда нижняя грань функционала больше нуля и заданы ограничения на управления, предлагается обобщение метода моментов, связанного с теорией двойственности и регуляризации, аппроксимация с помощью усечения бесконечных рядов, конечноразностная аппроксимация. На основе теоретических исследований строятся численные методы решения задач с распределенным и граничным управлениями.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируются на известных достижениях в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Все доказательства теорем являются строгими и основаны на математическом и функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений и выпуклом анализе.

Научная новизна. В работе на основе теории двойственности и регуляризации разработаны численные методы для решения задач минимизации терминального квадратичного функционала на решениях параболической системы с управлением на границе и в правой части уравнения при заданных ограничениях на управления типа неравенств. В частности, для решения задачи с целевым квадратичным функционалом применяется регуляризованный двойственный метод, конечношаговые методы проекции и условного градиента с использованием аппроксимации с помощью усечения бесконечных рядов и конечноразностных аппроксимаций. Выведены условия и оценки сходимости по функционалу

и но управлению.

Практическая ценность. Полученные теоретические результаты могут быть использованы в математической теории управления и ее приложениях. Предлагаемые в работе методы могут служить эффективными методами решения конкретных прикладных задач оптимального управления параболическими системами. Быстрота сходимости и малость времени счета говорят о применимости предложенных в данной работе методов в реальных системах автоматического управления с обратной связью.

Личный вклад.

1) Для решения задачи оптимального управления параболическими системами с управлениями в правой части дифференциального уравнения и в левом граничном условии применены регуляризованный двойственный метод и методы проекции и условного градиентов с конечношаговыми внутренними алгоритмами, предложенные А. 3. Ишмухаметовым в абстрактном виде.

2) Исследованы конечноразностные аппроксимации для поставленных задач и обоснованы численные методы в рассматриваемых пространствах.

3) Кроме того, автором выполнена вычислительная работа, результаты которой представлены в приложении и свидетельствуют о практической работоспособности алгоритмов, исследованных в диссертации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" САМГОП - 2004, г. Абрау-Дюрсо, на международной конференции "Современные прикладные задачи и технологии обучения математике и информатике (MoAPMI-2004)", г. Брест, в Материалах Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII", г. Воронеж, 2006 г. Результаты работы также обсуждались на семинаре отдела методов нелинейного анализа Вычислительного Центра им. A.A. Дородницына РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав( глава 1 включает в себя 5 параграфов, глава 2 — 2 параграфа и глава 4 — 6 параграфов), заключения, приложения и списка литературы.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведена общая характеристика представленной диссертации, обоснована актуальность темы исследования и сформулирована цель работы.

В главе 1 для решения задачи оптимального управления параболической системой рассматривается регуляризованный двойственный метод, предложенный в работах А.З. Ишмухаметова, эффективный. для решения выпуклых бесконечномерных задач минимизации с ограничениями типа неравенств, и приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними процедурами, которые направлены на разработку методов, алгоритмов без бесконечных внутренних процедур, поиск и формулировку критериев, правил останова.

В § 1 приводится постановка задачи минимизации терминального квадратичного функционала

J{u) = [ Т; и1, и2) - у{х)\2(1х т£ (1)

¿о

на решениях гу(-, и1, и2) параболического уравнения

-ш1-а,1ихх = (1(х)и1{г) +0г,т)ед (2)

-ш(х,0) = (р(х), я<Е[0,/] (3)

и краевыми условиями первого рода

™(0,г) = и2(Ь), = 0, 4 € [0,т] (4)

и второго рода

(О, I) = и2Ц), гпх{1, г) = 0, * е [О, Т], (5)

и = (и1, и2) е и С Н = ¿2(0, Т) х ¿2(0, Г),

при заданных ограничениях на нормы управлений

и = = (и1, и2) ен:! и1{г) м ^ яЬ ^и2{г) аг ^ в.11 (6)

Здесь Я = [0,/] х [0, Г]; а > 0, / е Ь2{Я)> у (х), <1 (ж), ф) € Ь2{0,1).

Обозначим нижнюю грань функционала «7* = J(u), оптимальные

иеи

элементы U* = и G U : J(u) = «/*, и и** E U — нормальное решение, то есть ||и**||я = min ||u||.

В § 1.2 исходная задача сводится к эквивалентной задаче в виде обобщенной проблемы моментов

оо

J(u) = ~ °fci2 inf>и е и с я> к=0

<рк = Л*ек, ак = (у,ек),

где елг, к — 0,1,... - некоторый ортонормированный базис пространства £г(0» У — У- wi(x>T), wi(x,t) - решение неоднородной задачи (2) - (5), т.е при и1 = и2 = 0.

Для описания сопряженного оператора А* вводится сопряженная краевая задача

Фь + афхх = 0, (®,î)€Q = (0>0x(0>T), (7)

^«(0,0 = 0, фх(1,г) = о, t е (о,т), ф(х,Т) = г{х), же (0,0-

Получен вид сопряженного оператора

= К.г, = Qf' <f(s) ,&(*, i) ¿с, -а V(0, *)) , (8)

где ф(х, t) - решения сопряженной краевой задачи (7), а

V* = OL vi) = ÇJ d(x) фк{х, <) rfar, -a , (9)

где фк - решения (7) при z[x) — ек(х), к = 0,1,----

Числовая последовательность ак, к — 0,1,..., представляется в виде суммы скалярных произведений, зависящих только от начальных данных задачи

ак = {Ук,ек)ь2 - {/уфк)ья + (¥>(х),ф{х,0))Li-

IH качестве ортонормированной системы ек, к = 0,1,..., можно взять систему собственных функций краевой задачи

-zxx = Xz, 2Z(0) = 0, zx(l) = 0. Тогда À0 = 0,z0(x) =

Хк = .(т)2' zk(x) = \/f cosНГ' k = 1»2..., функции = eeA*^i_T) Zk(x), к = 0,1,..., и элементы

[l d(x)zk(x)dxe°x*«-T\ Jo

^ = -<4/7, = к = 1,2----

В § 1.3 рассматривается регуляризованный двойственный метод, который является обобщением метода моментов. Для выпуклых задач минимизации вводится функция Лагранжа, регуляризующие задачи но Тихонову и двойственные к ним.

В § 1.4 представлены методы проекции и условного градиентов с конечношаговыми внутренними вычислительными алгоритмами для решения класса задач с выпуклыми функционалами и квадратичными ограничениями типа неравенств. Методы построены на основе метода регуляризации, методов проекции и условного градиентов, а также двойственного метода. В предлагаемых методах получены критерии останова, доказаны оценки скорости сходимости по функционалу и сильная сходимость к нормальному оптимальному элементу.

В главе 2 для задачи, поставленной в главе 1 рассматривается аппроксимация с помощью усечения бесконечного ряда в обобщенной проблеме моментов

n

JN(u) = ]Г\{и, <рк)н - акI2 inf, и = (и1, и2) 6 и. (10)

о

Для аппроксимаций вводится функционал Лагранжа

Ln(u, Л) = JN(u) + \ig1(u1) +Х2д2(и2), и € Я, Л е А = {Ai J? 0, Л2 ^ 0}

и соответствующие двойственные двумерные задачи

Xn(^) = inf Ln(u, А) —» sup, Л € Л.

и&Н

Определяется регуляризованная по А.Н. Тихонову задача

TN(u) = JN(u) + aNg(u) = JN(ul,u2) + aN (giiu1), g2(u2)) inf,

и е Я, ам > О, N = 1,2,..., ах О, N оо.

Представлен алгоритм нахождения множителей Лагранжа на основе метода проекции или условного градиента, сформулированы критерии останова для внутренних процедур.

В §2.2, используя методику исследования свойств аппроксимации задач оптимального управления, для данного метода в различных случаях гладкости элементов множества допустимых управлений выведены условия и оценки сильной сходимости по функционалу и по управлению. Обозначим

тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Для задач (1) - (6) или эквивалентной ей (10) справедливы следующие утверждения.

1. Значения Адг —> А* при N —со, элементы идг = г/дг (Адг) —»■ и* при N оо слабо в Н и имеют место оценки

-ам(и*) ^ *дг (Адг) - 3* ^ (и*), -<7дг(и*) < Ты(им) - ,7* ^ Сем + -ам(и*) ^ Л^(илг) - < + В%) + ам(и*) + Сем,

где и* - произвольный элемент из II*.

2. Если ^[е/у + -> О, N оо, то

Цгх^г - и**||я О, N -> оо. Здесь А* - решения двойственной к исходной задаче х(А) = Ы Ь(и, А) т£, А е А,

оо

оо

иен

Ци, А) = <7(и) + А101(и1) +А2£2(и2).

В главе 3 на отрезке времени [О, Т] рассматривается задача минимизации терминального функционала

J(u)= [ \ы(х,Т\и1,и2) - у(х)\2<1х тГ Уо

на решениях ги^уУ.1,^) параболического уравнения

щ - {а(х)ых{х,г))х = а{х)и1(г) + /(м)

с краевыми и начальными условиями

= и2(г), = о, г е [о,Т],

0) = (р(х), х е [0,/]

и ограничениями и £ ?7 = С/1 х С/2 С Н = Ь2 х Ь2 :

«71 = {иЧО е : Цгг1!!^ < Яг};

с управлениями на границе и в правой части уравнения. Здесь я = [0,г] х [0,Т],ф) € С1[0,/],а(х) > 0,х е [0,1],/ € Ь2{Я), у(х),(1(х),(р(х) € ¿2(0,/). Даются описания пространств и решений. Для заданной сетки

гиЬт = {х,- = г^; г = 0,1,..., К; хк — ЬК = 1\ =<7-т. j = o,l,...,M; гм = тМ = Т}

вводятся пространства дискретных функций Ь2и(р,д); Ь2т(г,з);

£>2 Лг(р> <7> в); <?); 5) со скалярными произведениями соответственно:

ч «

= 2(г'Мг>; (*» 9)1*^,,) = X *(®М0г;

1=р 1=Г

« 9 З—г 1—р

д я

1=Р г=р+1

« а

»=Г 1=Г+1

Для N — (К, М) рассматривается конечноразиостные аппроксимирующие задачи минимизации

к-1

jn{u) = \w!*(h М\ им) - yk(i)\2h —> inf; (11) i=1

v>tfi{i,j) - (aK{i)wNx{i,j))x = dK(i)ulM{j) + fN(i,j), (12)

wNx = (0,j) = u2M(j); wNx(K,j) = 0, (13)

wN(i, 0) = <pK(i), i = 1,2,..., К - 1, j = 1,2,..., M (14)

с ограничениями на управляющие функции

= { (еи;)]2^ < я?},

и2мъ = | (f>20)]2^ < Д?},

где

("Л/, и2м) е Ulf х Ulf с Нм = ¿2r X Ь2т; o/i = {ая(г'), г = 1,2,..., К - 1};

Xi+l

dK = {dK{i) = \ J d(x)dx,i = l,2,...,K-l}',

Xi

Ук = Ьк{г) = ^ J y(x)dx, г = 1,2,..., К - 1};

Xi

/лг = {/(г, j), г = 1,2,..., ir - 1; J = 1,2,..., Л/}; <Рк = {<Рк(г), г = 1,2,..., К - 1}

- аппроксимации соответствующих элементов исходной задачи. В § 3.2 вводятся сопряженные задачи для исходной задачи

^t{x, t) + (а(х)фх(х, t))x = 0, (х, t)eQ (15)

i>x(0,t) = 0-, ipx{l,t) = 0, t € (0, Т) (16)

ф{х,т) = z(x), хе(0,i), Z е ¿2(0,0; (17)

и для ее дискретизации

1>т{*,з) + (а(*)М*,з))х = 0, (18)

Фнх(ОЛ) = 0; фих{К,з) = О, (19)

Фи{г,М)=гк(г), г = 1,2,..., К - 1, > = 0,1,..., М - 1 (20)

Описываются сопряженные операторы для исходной

д*г = а(х) Ф(х, •) ах, —а(о) ^(о, •)), Уг е и7;

где ^(я» •) ~ решение задачи (15) - (16), и аппроксимирующей задач

м

где ^лг ~ решение задачи (18) - (20). Приводится оценка его равномерной ограниченности. Описан вид градиентов функционалов исходной и дискретной задачи, а именно:

«/'(и) = 2 ф) *) «¿г, -о(0) ^(0, г)^ ,

В §3.3 для дискретной задачи определяются функция Лагранжа и введены двойственные к регуляризирующей функции Тихонова задачи, Для решения задачи, поставленной в §3.1 описаны схема метода, алгоритмы и критерии останова двойственного регуляризованного метода, который является развитием обобщенного метода моментов. Дастся алгоритм нахождения множителей Лагранжа на основе метода проекции градиента.

В §3.4 приводится обоснование сходимости регуляризованного двойственного метода. А именно: используя методику исследования свойств аппроксимации задач оптимального управления, для данного метода выведены условия и оценки сходимости решений разностного уравнения к решению исходного уравнения.

Для этого определяются операторы кусочно-постоянного продолжения:

р°т: L2M(1,M)^L2(0,T),

(p°Tg)(t) = g(j), < t < tr, j = 1,2,...M;

ph: L2K(1,K-1)-^L2{0,1)

g{i), xi^x < xi+b t = 1,2,..., К - 1;

(Phg)(x) = ,

0, 0 < a; < n; Phr : Wi. ^ -1; 1, M) L2{Q)

g{hj), Xi^x < xi+l, tj-i < t ^ i,-;

(РЫГ)(М) = tQtQ^x<htQ<t<Tt

Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть в задачах (1) - (5) и (11) - (Ц)

Pn = \phffi\bt + \pWm - u2\l2 + \Phrf% - f°\b2 -> 0. Тогда имеет место сходимость решений

max max |phwN(-J) - w^t)^ + [phr^Nx - wx|La -> 0.

Если ip £ И^1(0,/),м2 G W^O, T), W1(a, 6) — пространство с нормой и скалярным произведением (g,z)w1(a,b) — (g,z)L3(a,b) + {9',z')b2(a,b), mo справедлива оценка

\PhWN{-,j) - w{-, t)\u + - l2(Q) <

^C[(h + t)V2DN + j3N), DN = \V\WI + \VK\WI + + \u2M\w} + |/°|L2 + l/ftlw

В §3.5 выведены условия и оценки скорости сходимости по функционалу. Обозначим оператор продолжения

Рт = (Р®,Р?) : Нм = Lar(l, М) х ¿2т(1,М) —>■ Я = L2(0,T) х ¿2(0,Г) РЛг = (.Ph, Phr, Phr) : Wjv -> W

и введем условие близости для функционалов

\J(w, и) - J(wN,uN)| < C(\w - phTwN\w + \u-ptum\h + 0n), (21)

где (w, и) = (x, у, г, и) из ограниченного множества пространства W х Я, a wn,un = {хк,Уы,2н,им) из равномерно ограниченных множеств Wn х Яд/. Тогда справедлива следующая теорема об оценке сходимости по функционалу.

Теорема 3. Пусть в задачах (1) - (5) и (11) - (Ц) выполняется условие (21), (р Е ТУ^О,/), множество U С Ь2(0,Т) х Т), оно ограничено

в этом пространстве, а множества Um С L2m{1,M) х Wh{l,M) и они равномерно ограничены в этих пространствах. Тогда

^((Л + т^ + йг) (22)

\Jn(u*n) - Г\ + |J{pTu*M) - Г\ ^ C[(h + r)V2 + £n + едг]; (23) £n = sup inf |pTuM - u\n + sup inf |pTuM ~ u\H + \PhVK ~ <p\l2+

U uM Um u

+\PhdK ~ d\b2 + IphTfK - /|l3 + 0N.

Введем операторы дискретизации:

[Xi+l

qh : L2(0,0 L2K{l,K-l)-, (qhg)(i) = h~4 g{x)dx, i = 1,2,..., K-l\

JXi

9;:L2(0,T)-+W1,M); {q°Tg)(j) = r"1 [*' g{t)dt,i = 1,2,...,M;

Jtj-1

qT = (q°r,q°T) : L2(0,T) X L2(0,T) L2M(1,M) X L2M(l,M).

Xj+i tj

{9grg){h j) - (hr)'1 J J g(x,t)dxdt, i = 1,2,..., if- 1,

Xi tj-1

j = 1,2,..., M, qhT = (qh, ghT, ghT) : W ->• и следующее условие

\J'(w,u) - J'N(wN,uM)\ ^ C{\w - pTqN\w) + - рТим\н + Qn, (24)

где (w, и) = (ж, у, z, и) из ограниченного множества пространства W х Я, a (wn,um) = (xKtVNi из равномерно ограниченных множеств

пространств Wn х Ям- Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть в задачах (1) - (5) и (11) - (14) функционалы «Ту выпуклы, дифференцируемы и удовлетворяют условиям (21), (24), мнооюество V С Ь2(0,Т) х £2(0, Т) ограничено, а им С Им = х Ь2М{1,М) равномерно ограничены в этих

пространствах, а также выпуклы и замкнуты в этих пространствах. Тогда и* ф 0 и, если

= \дТи* - им\им + вирт/ \ртим - и\н + \рн<рк ~ им им и

+\ркйк - ¿\ь2 + \phrfN - /и, + 0ц + вм -». О, N оо

при некотором и* € II*, то имеет место сходимость

|7дг — 3*\ + 1— —> Ооо. Если элементы

е \У1(0,1) и и* П ^(О,Т) х ^(0,Т)) Ф 0, то справедливы оценки

|«/лг(и*м) - Л < С[{Н + г)1'2 + + елг].

В §3.6 приведены условия сходимости и оценки скорости сильной сходимости по управлению.

Теорема 5. Пусть в задачах (1) - (5) и (И) - (14) множество и выпукло, замкнуто и ограничено, 11м равномерно ограничено, выполняются условия теоремы (2). Тогда наряду с (22), (23) для единственного оптимального элемента и* справедлива оценка

\\рхи*м-и*\\2^С [(Л Ц-т)1/2+ +

В приложении представлены результаты вычислительных экспериментов для задачи в случае с точечным управлением в правой части уравнения. Это соответствует й(х) = 5{х — хо) при некотором хо £ (0,1). Реализован регуляризованный двойственный метод, используется аппроксимация с помощью усечения бесконечных рядов. Сделаны сравнения результатов решения задачи с одним управлением. Приведены результаты апробации конечношагового метода проекции градиента с использованием конечноразностной аппроксимации. Для вычисления проекции использовался регуляризованный двойственный метод. Представленные результаты численных экспериментов доказывают эффективность предложенных в данной работе методов. Апробация произведена в системе символьной математики "МаШета^са 5.0".

В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы.

Список литературы включает в себя научные труды по данному направлению теории оптимального управления, которые были изучены в процессе написания работы.

Основные результаты диссертационной работы

1) Построены устойчивые методы для решения задач минимизации терминального квадратичного функционала на решениях параболической системы с двумя управлениями: на границе и в правой части уравнения при ограничениях на управления типа неравенств. В частности, для задачи с целевым квадратичным функционалом применяются регуляризованный двойственный метод и методы проекции и условного градиентов с конечношаговыми внутренними алгоритмами. Методы обоснованы, а именно: выведены условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

2) Для решения задач, связанных с уравнением теплопроводности и его аппроксимацией с помощью усечения бесконечных рядов построен метод на основе регуляризации, обобщенного метода моментов и двойственного метода. Выведены условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

3) Разработан конечношаговый двойственный регуляризованный метод с использованием конечноразностных аппроксимаций. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости решений конечноразностных уравнений к исходному, получены условия сходимости по функционалу и сильной сходимости по управлению.

4) Разработанные методы апробированы вычислительными экспериментами.

Публикации по теме диссертации

1. Заболотская E.H. (Подкопаева), Ишмухаметов А.З. Двойственный регуляризованный метод в задаче оптимального управления параболической системой.// Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений. М.: ВЦ им. A.A. Дородницына РАН, 2002г, 192 с. С.165 - 176.

2. Заболотская E.H. (Подкопаева), Заболотский Е.В., Ишмухаметов А.З. Управление колебаниями упругой круговой пластины. Избранные

проблемы прикладной механики и математики, М.: МГТУ "МАМИ", 2003г, 319 с. С.127 - 142.

3. Заболотская E.H. (Подкопаева), Заболотский Е.В., Ишмухаметов А.З. Задачи с двумя управлениями в гиперболических и параболических системах. //Современные прикладные задачи и технологии обучения в математике и информатике (MoAPMI - 2004). Сборник научных статей, г. Брест, 2004, 296 с. С. 80-85.

4. Заболотская E.H. (Подкопаева), Ишмухаметов А.З. Конечноразностный двойственный регуляризованный метод в задаче управления параболической системой. Всероссийская школа-семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа"САМГОП-2004, Абрау-Дюрсо, 2004, 81 с. С.ЗЗ.

5. Герасимова E.H. (Подкопаева) Конечношаговый регуляризованный метод в задаче управления параболической системой. Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII". Воронеж: Центрально -Черноземное книжное изд-во, 2006, 221 с. С. 36 - 37.

6. Ишмухаметов А.З., Махроус Р., Подкопаева E.H. Конечноразностный двойственный регуляризованный метод в задаче управления параболической и гиперболической системами. Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений. М.: ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2006г, 198 с. С. 118 - 131.

Введение.

Глава 1. Регуляризованный двойственный метод и методы проекции и условного градиентов

§1.1 Постановка задачи.

§ 1.2 Сопряженная система, градиент функционала

§ 1.3 Регуляризованный двойственный метод

§ 1.4 Конечношаговые методы проекции и условного градиента.

Глава 2. Аппроксимация с помощью усечения бесконечных рядов.

§2.1 Конечношаговый двойственный регуляризованный метод.

§ 2.2 Сходимость и оценки скорости сходимости

Глава 3. Конечноразностная аппроксимация

§ 3.1 Постановка задач. Описание пространств и решений уравнений.

§3.2 Сопряженные системы, градиенты функционалов.

§ 3.3 Конечноразностный регуляризованный двойственный метод.

§3.4 Условия и оценка скорости сходимости решений разностного уравнения к решению исходного уравнения.

§3.5 Условия и оценки скорости сходимости по функционалу.

§3.6 Условия и оценки скорости сходимости по управлению.

Современные сложные, быстро протекающие и энергоемкие процессы неразрывно связаны с системами автоматического управления. Существуют такие процессы, которые в принципе не могут идти без соответствующей системы управления, так как по своей природе они являются неустойчивыми. В начале своего развития теория автоматического управления имела дело с наиболее простыми процессами, модель которых математически можно было описать обыкновенным дифференциальным уравнением или, по крайней мере, конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Это так называемые системы с сосредоточенными параметрами.

Состояние таких систем в каждый момент времени иолиостыо описывается конечным набором чисел, а их изменение во времени соответственно описывается функциями времени. Системы автоматического управления объектами с сосредоточенными параметрами, особенно линейными объектами, уже относительно хорошо изучены [G5, 87, 94]. Практическая значимость решения задач оптимального использования ресурсов обусловила необходимость описания и управления системами, встречающихся на производстве. Например, проблема получения наилучших режимов работы агрегата (наивысшая производительность, минимальный расход сырья, энергии и т.д.) при заданных дополнительных ограничениях послужила причиной выработки надлежащего математического аппарата, который позволял бы определять оптимальные управляющие воздействия на объект. Наиболее существенными результатами в этом направлении для систем с сосредоточенными параметрами явились принципы максимума JI.C. Понтрягина [94] и метод динамического программирования Р. Беллмана [8].

Однако, в большинстве технических приложений суть объектов управления такова, что описание их небольшим конечным набором сосредоточенных переменных не соответствует той цели управления, которая поставлена применительно к каждому объекту. Основная особенность многих технических объектов состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать заданием изменения координат объекта лишь только во времени. Состояние таких объектов должно задаваться не только в каждый момент времени но и в каждой точке той геометрической области пространства, которую занимает данный объект. Разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами является значительно более сложной проблемой, нежели аналогичная проблема для объектов с сосредоточенными параметрами. Такое положение дел объясняется следующими причинами.

Состояние объекта с распределенными параметрами описывается функциями нескольких переменных. Движение таких систем в широком смысле слова (динамика и статика) описывается дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений в частных производных, интегральными уравнениями, интегро-дифференциальными уравнениями, смешанными дифференциальными уравнениями в частных производных и более сложными функциональными уравнениями неограниченно сложного типа. Иногда управляемый объект или процесс может описываться системой уравнений различного математического типа. Управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами также могут носить самый разнообразный характер. Это могут быть отдельные точки, линии, поверхности, области и вообще многообразия довольно общего вида, сосредоточенные как на границе области задания объекта, т. е. входящие в граничные условия, так и внутри этой области. На управляющие воздействия и функции состояния объекта помимо основных уравнений объекта могут накладываться дополнительные ограничивающие условия типа равенств и неравенств гораздо более общего характера но сравнению с сосредоточенными параметрами. Техническая реализация управляющих систем связана со значительно большими трудностями и проблемами новой технологии. Например, для создания системы стабилизации поля перемещений проводящей жидкости (плазмы) необходима специально сконструированная распределенная среда (распределительный регулятор), совмещающая в себе чувствительные элементы (датчики), преобразующие устройства и исполнительные органы в совершенно новом, необычном для систем регулирования сосредоточенными объектами виде. Также значительно более сложными являются проблемы оптимальности, управляемости и наблюдаемости, а также разработки методов и численного решения прикладных задач. По данной тематике опубликованы монографии и большое число научных статей отечественных и зарубежных авторов, среди которых [3, 4, 6, 7, 10, 15, 17, 20, 27, 30, 44, 45, 48, 49, 51-53, 59, 6365, 70, 71, 74, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 87, 94, 98,105,107,110,114-117]. Задачи управления для систем с распределенными параметрами даже в линейном случае недостаточно изучены, поэтому существующие работы по данному направлению посвящены исследованию конкретных задач оптимального управления [15,30,45,57,78,80,94,105]. При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления возникает проблема выяснения близости двух математических моделей, одна из которых рассматривается как возмущенная но отношению к другой. При этом важно изначально знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям и иметь скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах [11, 20, 23, 25, 27, 30-36, 59, 74, 7G, 87, 89-92, 108,112| и многих других. Вопрос получения оценок и скоростей сходимости в настоящее время является актуальным. Для численного решения устойчивых задач важно выбрать, сконструировать эффективные методы и аппроксимации, с целыо сокращения времени вычисления. Последнее особенно актуально при разработке систем управления с обратной связью, работающих в режиме реального времени.

В данной работе рассматривается задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами, связанного с распределением тепла при заданных ограничениях. Она связана с диффузионными процессами, которые широко применяются в основных отраслях промышленности: металлургической, химической, машиностроительной (термообработка) - и в целом ряде других отраслей промышленности и технике вообще. Системы подобного рода применимы к широкому классу процессов: поточные производственные процессы, нагрев металла в методических и проходных печах перед прокаткой и в процессе термообработки, получение заданных распределений температуры в "толстых" слитках, выращивание монокристаллов, сушка и обжиг сыпучих материалов, агломерация и т. д.

В настоящее время актуальными являются такие задачи, как сушка и прокалка сварочных электродов большой длины (до 500 метров), длительного хранения их в подогретом состоянии (50° — 400°С); управление нагревом образцов при проведении испытаний для космической промышленности; интенсификация процесса прокаливания нефтяного кокса в камерных печах; охлаждение труднодоступных деталей машин; различные задачи управления интенсификацией процесса прокаливания, которые широко применяются в промышленности для упрочнения и восстановления деталей, а также общепромышленной арматуры и т.д. Большое значение имеет задача нагрева тел большой массы. Одной из целей такого нагрева является получение заданного распределения температуры но массе. В этом случае ограничения соответствуют тому факту, что в проходных нагревательных агрегатах недопустимы слишком большие значения амплитуды колебания температуры греющей среды и перепады температуры по длине печи. В этом случае нужно определить управление, удовлетворяющее ограничениям, так, чтобы несмотря на всевозможные возмущения процесса нагрева, вызванные как изменением скорости, так и изменением теплофизических параметров процесса, уклонение выходящего из печи материала от заданной температуры было бы минимальным.

Многие задачи автоматического управления, оптимального проектирования, математического программирования можно формулировать как задачи минимизации функционала, зависящего от управления и и от состояния системы w = Gu :

J (и) = Ф(С7и,и) inf, ueU С Я, где U— множество допустимых управлений из некоторого выбранного пространства Я, a G : Я -»• W— отображение из пространства управлений Я в пространство состояний системы. Возмущенные задачи представляются в виде аналогичной последовательности задач минимизации:

JN(u) = Фм(Сми, и) inf, и 6 UN С HN, N = 1,2,., где Un, N = 1, 2,.— приближенные множества из аппроксимирующих пространств #/v, N = 1,2,.; Gn ' Wn, N = 1, 2,. возмущенные отображения. Параметр N определяет возмущения, связанные с приближенностью модели и исходных данных задачи. Эти возмущения могут быть вызваны неточностью информации о коэффициентах уравнений, малостью некоторых параметров в уравнениях, аппроксимацией уравнений и функций, задающих множество допустимых управлений. В такой постановке охватываются возмущения и аппроксимации как одной природы Яjv С Я. Решением невозмущенной задачи является минимальное значение функционала и множество оптимальных элементов:

Г = inf J(u), U* = {ueU: J(u) = J*}. uGU

Проблема устойчивости и аппроксимации заключается в исследовании условий сходимости приближенных решений возмущенных задач, т.е. u*N € Un, N = 1,2,. (приближенных оптимальных элементов): inf J (и) = J*N < Jn{u*n) ^ J*n + £n, £n -> 0, N -» 00, к решениям исходной, предельной задачи по функционалу:

JN(u*N) -» J* (Jh Л,N оо и по управлению: u]v -»£/*, iV оо.

Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечпоразностных аппроксимаций, были получены в работах Б. М. Будака, Е.М. Берковича, Е.Н. Соловьевой [11,13] и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.И. Царенко [33-30]. В них были иолучеиы общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н.Тихонова [107]. В дальнейшем эта методика развивалась во многих работах [5, 9, 12, 16, 21, 22, 88, 95, 122] Условия устойчивости и аппроксимации применительно к различным конкретным системам с сосредоточенными и с распределенными параметрами исследовались в работах [1,42,46,50,62,77,79,95,100]. Для параболических систем данные исследования проводились в работах [18, 26, 42-44, 57, 60, 61, 69, 77-79, 93,114,118]. В теории бесконечномерной оптимизации, в частности, в задачах оптимального управления, известные методы, например, градиентные, дают обычно слабую сходимость по управлению. Поэтому одной из важных проблем является разработка устойчивых численных методов с сильной сходимостью по управлению. С этой целью применяются различные регуляризирующие методы (см., например, [3, 6, 20, 27, 59,107, 117]). В настоящей работе этой проблематике уделено большое внимание, в ней предлагаются методы решения класса выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с сильной сходимостью по аргументу. Отметим, что в случаях некоторых практических задач, даже при естественных аппроксимациях, сходимости по функционалу или по управлению может и не быть.

В прикладных задачах, которые являются неустойчивыми, некорректными, приближенность информации о задаче и ее входных данных дает отрицательный ответ но вопросам этих сходимостей. Поэтому для численного решения таких задач является актуальной разработка специальных аппроксимаций с использованием метода регуляризации [3, 6, И, 23, 36, 65, 73, 92, 93, 107, 108]. В этих случаях с успехом можно применять методы коиечиоразиостной аппроксимации для уравнений в частных производных. Одним из эффективных методов решения задач оптимального управления является метод моментов. Впервые он был применен Н.Н. Красовским к задачам перевода системы в заданную точку для систем, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [G5-G8]. В дальнейшем метод моментов был развит и применен к решениям задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в работах А.Г. Бутковского [15], А.И. Егорова [30], М.М.Потапова [20] и др. Следует заметить, что во многих практических задачах точных перевод в заданное конечное состояние невозможен. В таких случаях естественно ставить задачу о переводе системы, как можно ближе к заданному конечному состоянию. Для решения такого рода задач в работах А.З. Ишмухаметова [45,48,49,52,53] был разработан новый метод решения задач оптимального управления, а именно: двойственный метод как обобщение проблемы моментов.

Данная диссертационная работа посвящена рассмотрению численных методов, направленных на решение этих вопросов, для задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнением теплопроводности с управлением на границе и в правой части при заданных ограничениях на управления.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Построены устойчивые методы для решения задач минимизации терминального квадратичного функционала на решениях параболической системы с двумя управлениями на границе и в правой части уравнения при ограничениях на управления типа неравенств. В частности, для задачи с целевым квадратичным функционалом применяется регуляризованный двойственный метод. Выведены условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

2) Разработаны конечношаговые методы проекции и условного градиента с использованием копечиоразностных аппроксимаций. Построенные численные методы связаны с методом проекции градиента с конечношаговыми внутренними процедурами. Для вычисления проекции применяется двойственный регуляризованный метод.

3) Для решения задач, связанных с уравнением теплопроводности и его конечноразностной аппроксимацией построен метод на основе регуляризации, обобщенного метода моментов и двойственного метода. Выведены условия и оценки сходимости решений разносного уравнения к решению исходного уравнения, условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

4) Разработанные методы апробированы вычислительными экспериментами.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируются на известных достижениях в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Все доказательства теорем являются строгими и основаны на математическом и функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений и выпуклом анализе.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы в математической теории управления и ее приложениях. Предлагаемые в работе методы могут служить эффективными методами решения конкретных прикладных задач оптимального управления параболическими системами. Быстрота сходимости и малость времени счета говорят о применимости предложенных в данной работе методов в реальных системах автоматического управления с обратной связью.

Результаты, полученные в настоящей работе обсуждались на семинаре отдела методов нелинейного анализа ВЦ им. Дородницына РАН. Основные результаты диссертации содержатся в работах [24,38-41].

Автор выражает признательность за руководство данной работой и благодарит д.ф.м.н., проф. А.З.Ишмухаметова, а также участников семинара отдела методов нелинейного анализа: гл. научного сотрудника Гребепикова Е.А., д.ф.м.н., проф. Дикусара В.В., д.ф.м.н. Березнева В.А. и др.

Также автор искренне благодарит оппонентов данной работы: д.ф.м.н. Знаменскую JI.H. и д.ф.-м.н. Дикусара В.В.

Заключение

1. Абдырахманов О., Кряжимский А. В. К вопросу о корректности задачи оптимального управления. // Дифференц. уравн., 1984, 20, № 10. С. 1G59 - 1С65.

2. Аваков Е. Р. Условия регуляризации аппроксимирующего семейства экстремальных задач. // Вести. МГУ. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберн., 1982, № 1. С. 29 35.

3. Антипин А. С. Методы регуляризации в задачах выпуклого программирования. Экономика и матем. методы, 1975, 11, № 2. С. 336342.

4. Антипин А. С. Об едином подходе к методам решения некорректных экстремальных задач. Вестник МГУ. 1973, № 2. С. 61 66.

5. Аваков Е. Р. Условия регуляризации аппроксимирующего семейства экстремальных задач. Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1982, № 1. С. 29 35.

6. Бакушинский А. В., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельников Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. Ил. 1960.

9. Бердышев В.И. Устойчивость задачи минимизации при возеущепии множества допустимых элементов. // Мат. сб., 1977, 103 (104), № 4(8). С. 467 479.

10. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лаграпжа. М.: Радио и связь, 1987.

11. И. Будак Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е. Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управелния // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1969. Т. 9. № 3. С. 522 547.

12. Будак Б. М., Васильев Ф. П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управленияю. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 171.

13. Будак Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е. Н. Об аппроксимации экстремальных задач, I, II // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1971. Т. 2. № 3. С. 580 596, № 4. С. 870 - 884.

14. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1975.

15. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

16. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. Москва, МГУ, 1989.

17. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Потапов М. М., Солодкая М. С. Обобщенный метод моментов в задаче управления параболической системой.//Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ, 1984.

18. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Уварова О. JI. Применение к задаче оптимального управления гиперболической системой с линейными ограничениями. //Вестн. МГУ. Сер. 15.вычисл. мат. и киьерн., 1986. №2.

19. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Москва.: Факториал, 2002. С. 823.

20. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

21. Васильев Ф. П. О сходимости одного разностного метода решения задачи быстродействия. Банах, центр, 1978. Т. 3. С. 93-101.

22. Васин В. В. Устойчивая дискретизация экстремальных задач и ее приложения в математическом программировании // Мат. заметки, 1982. Т. 31. № 2. С. 269 280.

23. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. С. 156.

24. Евсеенко Т. П. Приближенное решение задачи оптимального управелния процессом теплопроводности.// Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Фрунзе: Изд-во Илим, 1975.

25. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

26. Егоров А. И. Оптимальное унравелние тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

27. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.

28. Егоров А. И. Оптимальное управления тепловыми и диффузионными процессами. М.: Мир, 1978. С. 463.

29. Егоров А. И. Об устойчивости и оптимизации систем с распределенными параметрами. // Прикл. мат., 1984. Т. 20. № 4. С. 95 100.

30. Егоров А. И., Михайлова Т. Ф. Сингулярные возмущения в задачах оптимальной стабилизации теплового процесса. // Докл. АН УССР, сер. А, 1986. Т. 3. С. 74 77.

31. Ермольев Ю. М. Конечноразностный метод в задачах оптимального управелния. // Тез. сообщ. межд. конгр. математиков. М., 1966. № 1. С. 709 721.

32. Ермольев Ю. М., Гуленко В. П. О численных методах решения задач оптимального управления. // Кибернетика, 1966. N5 1. С. 120-121.

33. Знаменская JI. Н.Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004.

34. Заболотская Е.Н. (Подкоиаева), Заболотский Е.В., Ишмухаметов А.З. Управление колебаниями упругой круговой пластины. Избранные проблемы прикладной механики и математики, М.: МГТУ "МАМИ", 2003г. С.127 142.

35. Иванович JI. Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задачи об оптимальном нагреве стержня. // Вести. МГУ. Сур. 15. Вычисл. мат. и киберн., 1982. № 3. С. 10 15.

36. Искеидеров А. Д., Тагиев Р. К. Задачи оптимизации с управелниями в коэффициентах параболического урпвнения.// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1324 1334.

37. Ишмухаметов А. 3., Юлина А. В. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой. Ж. Вестник МЭИ 1998, № 6. С. 73 84

38. Ишмухаметов А. 3. Условия аппроксимации и устойчивости задач минимизации. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993 Т. 33, № 7. С. 1012 1029

39. Ишмухаметов А. 3. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления поперечными колебаниями стержня.// Вычисл. мет. и программир., 1983, 39, С. 155 165.

40. Ишмухаметов А. 3. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. 2000.

41. Ишмухаметов А. 3. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. 2000.

42. Ишмухаметов А. 3. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2000. С. 151.

43. Ишмухаметов А. 3. Вопросы аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления гиперболическими системами.// Вычисл. мет. и системы обраб. данных на ЭВМ. М.: Изд-во МГУ, 1988. С. 4 -8.

44. Ишмухаметов А. 3. Регуляризованные методы оптимизации с конечношаговыми внутренними алгоритмами. Докл. РАН, 2003. Т. 390. №3.

45. Ишмухаметов А. 3. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации.//ЖВМиМФ, 2000, Т. 40, № 7. С. 1045 1060.

46. Ишмухаметов А. 3. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998. С. 80

47. Ишмухаметов А. 3. Моделирование процессов управелния линейными системами: Устойчивость и аппроксимация. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ: Вычисл. науки, 1991. Т. 7, С. 3 88.

48. Ишмухаметов А. 3. Обобщенный метод моментов в задаче с управелнием, зависящем только от пространственных переменных. // Стандартные программы и вычисл. решение задач волновой физики. МГУ, 1986.

49. Ишмухаметов А. 3. Применение градиентного метода для решения одной задачи оптимального управления.// Вопросы оптимизации и уиравелния. М.: Изд-во МГУ, 1979.

50. Ишмухаметов А. 3., Першеев Д. В., Потапов М. М. Аппроксимация проблемы моментов в параболической задаче оптимального управления //Численные методы решения краевых и начальных задач для дифференциальных управнений. М.: Изд-во МГУ, 198G. С. 117-122

51. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000.

52. Керимов А.К. Об аппроксимации но Галеркину задач оптимального уиравелния для систем с распределенными параметрами параболического тииа. // Ж. Вычисл. матем. и матем физики, 1979. Т. 19. № 4. С. 851 865.

53. Кузенков О.А., Плотников В.И. Сходимость конечномерных приближений в задаче оптимального уиравелния сильно параболической системой. // Конструир. алгоритм, и решений задач мат.физ., М., 1989.

54. Короткий А. И. Коэффициентрная устойчивость регений гиперболических систем и корректность задач оптимального управления. // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск, 1987. С. 22 33.

55. Косыояшок С. А. К методу мометнов в теории оптимального управления // Автоматика и Телемеханика, № 8, 1970. С. 169 171.

56. Косыоянюк С. А. О методе моментов в теории оптимальнеого управелния при входных воздействиях с различными энергиями.// Автоматика и Телемеханика, № 5, 1978. С. 5 9.

57. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.6G. Красовский Н. Н. К теории оптимального регулирования Автоматика и телемеханика, 1957. Т. 18, № 11. С. 9С0 970.

58. Красовский Н. Н. Об одной задаче оптимального регалирования.// ПРикладная математика и механика, 1957. Т. 21, № 5. С. 670 677.

59. Красовский Н. Н. Теория оптимальных управляемых систем. Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука 1968.

60. Лабузов С. Г., Потапов М. М. Оценка скорости сходимости метода прямых в задаче об оптимальном нагреве. // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 1985. № 3. С. 35 -42.

61. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.:Наука, 1973.

62. Ладыженская О. А., Солоиников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.:Наука, 1967.

63. Лигун А. А., Капустян В. Е., Волков Ю. И. Специальные вопросы теории приближений и оптимального управления распределенными параметрами. Киев.: Выща школа, 1990. С. 208.

64. Лигун А. А., Капустян В. Е., Волков Ю. И. Специальные вопросы теории приближений и оптимального управления распределенными параметрами. Киев.: Выща школа, 1990. С. 208.

65. Лионе Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. С. 414.

66. Лионе Ж. Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. С. 368.

67. Лоран П. Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. С. 496.

68. Лубышев Ф. П. О диффереициалыю-разиостиых аппроксимациях многомерных задач оптимального управелния с распределенными в пространстве параметрамим// Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, № 4. С. 711 717.

69. Лубышев Ф. П. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа, БГУ, 1999. С. 243

70. Лубышев Ф. П. Аппроксимация и регаляризация задач оптимального упрвелния для несамоспряженного эллиптического урпвенния с переменными коэффициентами. // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1991, 31, № 1. С. 17 -30.

71. Максимов В. И. Устойчивое восстановление неизвестных возмущений в параболических вариационных неравенствах. // Задачи оптимизации и устойчивости в управлфемых системах. Свердловск, 1990. С. 74 86.

72. Марчук Г. И., Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. С. 608.

73. Марчук Г. И., Агошип В.И. Введение в проектционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

74. Мину М. Математическое программирование: Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. С. 488.

75. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

76. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. С. 424.

77. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. С. 239.

78. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

79. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимального управления. М.: Наука, 1987. С. 359

80. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. С. 236.

81. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Свердловск, 1991. С. 104.

82. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. С. 236.

83. Плотников В. П., Сумин М. И. Об условиях на эелементы минимизирующих последовательностей задач оптимального управления. // Докл. АН СССР, 1984. Т. 280, № 2. С. 104.

84. Плотников В. И., Сумин М. И. О сходимости приближений в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы. // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1972. № 1. С. 61 77.

85. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г. , Гамкрелидзе Ф. П., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

86. Потапов М. М. Об аппроксимации задач оптимизации с гладкими допустимыми управлениями при наличии ограничений.// Вест. МГУ. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберп., 1983, № 4. С. 3-8.

87. Потапов М. М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические уравнения). М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 63.

88. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.:Наука, 1975. С. 320.

89. Разгулин А. В., Шамаева Т. Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления для уравнения типа Шредингера.// Прикладные методы нелинейного анализа и управелния. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 87 94.

90. Разгулин А. В. Аппроксимация задачи управления для нелинейного уравнения типа Шредингера.// Вестник МГУ, сер. вычисл. матем. и киберн., 1988, № 2. С. 28 33.

91. Рахимов М. Р. О некоторых методах решения задачи линейно-квадратичного программирования для систем с распределенными параметрами.// Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1986. Т. 26, № 12. С. 1797- 1812.

92. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

93. Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.

94. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1977. С. 480.

95. Серазетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределительными параметрами. М.: Наука, 1977.

96. Тагиев Р. К. Об оценке скорости сходимости разностных аппроксимация и регуляризации задач оптимального управелния для дифференциальных урнвнений второго порядка.//Ж. Дифференц. Уравенния, 1989. Т. 25.№ 9. С 1626 1629.

97. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

98. Тихонов А. Н., Арсенин А. Я. Методы решения некорренктных задач. М.: Наука, 1986. С. 286.

99. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

100. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

101. Федоренко Р. П. Приближенные методы решениы задач оптимального управлния. М.: Наука, 1978. С. 487.

102. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. // Итоги науки и техники. Мат. анализ. ВИНИТИ, 1977.

103. Шамаева Т.Ю. Обобщенный метод моментов в задаче управления типа Шредингера. // Числ. мет., МГУ, 1986. С. 50 53.

104. Dubinska-Nagorska A., Just A., Stempien Zdziskaw. A non-linear parabolic control problem with non-homogeneous boundary condition-converagence of Galerkon approximation // Math. Metli. Appl. Sci. 1997. V 20, № 16. P. 1365 1377.

105. Dubinska-Nagorska A., Just A. Optimum control of distributed parameter system. // Postepy Cybernetyki, 1983. V 6, № 3. P. 5 15.

106. Evtushenko Y. G. Computation of exact gradient in distributed dinamic system. // Optimizat. Methods and Software, 1997. V. 7, № 4. P. 45 75.

107. Kaplan A. Tichatschke R. Stable methods for ill-posed problems. Berlin: Akad. Verl., Mathematical topics, Vol. 3, 1994.

108. Lasiecka I. Galerkin approximation of abstract parabolic boundary value problems with routh boundary data —Lp— theory.//Math. Coinput., 1986, 47. P. 55 57.

109. Malanovski K. Convergence of approximations vs. regularity of solutions for convex control constrained

110. Narukawa K. Admissible controllability of vibrating szstems with con-trained controls.//SIAM J. Control and Optim., 1982. V. 20, № 6. optimal control problems.// Appl. Math. Optim., 1981, 8. P. 69-95.

111. Stummel F. Diskrete Konvergenz lienearer Operatoren.// Math. Ann., 1970, 190. С 45 92.

112. Zolezzi T. A characterization of well-posed optimal control sys-tem.//SIAM J. Contr. Optim., 1981, 19, № 5. P.604 616.