автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы и вычислительный эксперимент в исследовании динамики и структуры взаимодействующих сообществ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СООБЩЕСТВ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕЛИНЕЙНЫМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

1.1. Уравнения, описывающие эволюцию взаимодействия популяций в задачах математической биологии и генетики.

1.2. Модели водной экосистемы.

1.3. Другие математические модели, описывающие взаимодействие сообществ.

1.4. Постановка задач.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ.

2.1. Существование и единственность решения задачи Коши для системы уравнений Лотки-Вольтерра.

2.2. Об асимптотической устойчивости решений одновидовых моделей

2.3. Постановка задач для системы двух дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра.

2.4. Поведение решений системы для двухвидовой модели с квадратичной нелинейностью.

2.5. Исследование поведения решений системы трех уравнений.

2.6. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью.

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА.

3.1. Приближенное аналитическое решение задачи Коши для системы двух уравнений Лотки-Вольтерра.

3.2. Вычислительные схемы решения задач для систем 2х и 3х уравнений Лотки-Вольтерра методом Рунге-Кутта.

3.3 Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в интегральной форме.

3.4. Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в дифференциальной форме.

3.5. Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом конечных элементов.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

4.1. Решение задач для двухвидовых моделей методом Рунге-Кутта.

4.2. Решение задач для трехвидовых моделей методом Рунге-Кутта в пакете Mathcad -2000.

4.3. Графическое представление решения задачи Коши, полученного методом последовательных приближений в интегральной форме.

4.4. Графики решений систем уравнений Лотки-Вольтерра с постоянной общей численностью популяций, полученные методом последовательных приближений в интегральной форме.

4.5. Алгоритмы решения моделей методом последовательных приближений в дифференциальной форме.

4.6. Результаты решения задач методом конечных элементов.

4.7. Исследование модели «цветения» воды.

4.8. Сравнительный анализ графических решений, полученных разными численными методами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Актуальность проблемы: Последнее время характеризуется качественно новым подходом к анализу и прогнозированию биологических, экологических и социальных процессов. Осознана необходимость привлечения математических методов моделирования и исследования этих процессов. Социальные и исторические исследования проводились математическими методами, например в работах [91, 107, 81, 80, 55, 136].

Представленная диссертационная работа посвящена изучению методами математического моделирования процессов изменения структуры социальных систем, систем экологии, биологии, медицины, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, среди которых наиболее известны уравнения типа Лотки - Вольтерра. В диссертации осуществлена разработка соответствующих вычислительных алгоритмов с использованием методов последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме и метода конечных элементов.

Известно, что формирование общественного сознания является коллективным явлением [102, 135]. Процесс взаимодействия индивидуумов и их сообществ представляется сложной синергетической системой зависимых переменных, и поведение этой системы может резко изменяться при определенных внешних условиях, приводя к кризисным ситуациям и глобальным изменениям [20, 94]. Известно также, что на деятельность человека и любой биосистемы заметное воздействие оказывают гелиографические факторы [137, 138]. Все биосистемы, в том числе и человек, с физической точки зрения функционируют в колебательном режиме, и этот режим нелинейно связан с электромагнитным, в особенности гелио-магнитным полем среды обитания [58, 86, 132].

В данной работе решаются задачи с помощью систем двух и трех нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями и с условием постоянства суммы искомых функций.

Большинство реальных социальных и природных процессов описываются математическими моделями с нелинейностью типа насыщения [46, 87, и др.]. Предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний [56, 61, 68].

Динамика общественного развития является нелинейной функцией времени ? и зависит от множества взаимодействующих факторов -природных, территориальных, экономических, социально-психологических, которые, в свою очередь, существенно зависят от временного фактора. Поэтому при формализации процессов информационного взаимодействия элементов в системе можно предположить, что характеризующие их параметры зависят только от времени. Это позволяет смоделировать многие процессы с помощью систем нелинейных дифференциальных уравнений типа «вход - выход» [54, 69, 93, 97].

Имеются многочисленные подтверждения общесистемного характера обобщенного логистического закона, поэтому остаются актуальными исследования, связанные с математическим моделированием, основанным на этом законе развития [47, 49, 99, 129, 142, 147]. Тем самым возникает необходимость в разработке и развитии методов исследования моделей, основой которых являются системы уравнений с квадратичной нелинейностью [23, 73].

Кроме того, одной из основных задач изучения динамики процессов является также оценка устойчивости соответствующих систем уравнений [30] и описание качественных перестроек поведения их решений при изменении параметров [24, 72]. Наиболее адекватным математическим аппаратом построения и анализа таких моделей служит качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций [27, 28, 29, 123].

Объектом исследования диссертации являются алгоритмы решения систем уравнений вольтерровского типа и их обобщений, описывающих динамику и структуру взаимодействующих сообществ, а предметом исследования - системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с различными, в том числе и нестандартными дополнительными условиями, поиск методов их решения и границ изменения параметров для разных режимов функционирования систем.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование динамики и структуры биологических, экологических и социальных систем; исследование на этой основе особенностей социального развития сообществ, процессов в биологии, экологии, медицине; выбор и обоснование численных методов решения соответствующих дифференциальных уравнений; создание методики проведения вычислительного эксперимента и программного обеспечения для его реализации.

Основные задачи исследования:

1. Анализ различных математических моделей, представленных в литературе, основой которых являются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие социальные и биологические системы.

2. Сравнение поставленных математических задач и методов их решения с целью выявления общности и особенностей моделирования.

3. Построение математических моделей, описывающих динамику структуры систем общественного развития и биологии.

4. Оценка устойчивости систем с учетом влияния внешних факторов.

5. Выбор численных методов и построение алгоритмов решения поставленных задач.

6. Проведение численного исследования погрешности и устойчивости предлагаемых вычислительных схем.

7. Проведение численных экспериментов и получение сравнительных оценок эффективности решения задач рассматриваемых динамических систем.

8. Методика постановки вычислительного эксперимента по исследованию и прогнозированию развития процессов и возникновения критических ситуаций. Методы исследования:

Для решения поставленных научных задач были использованы методы математического моделирования, алгебры, качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Обоснована необходимость постановки взаимосогласованных граничных условий при наличии переопределенности в исходных данных для исследования динамики структуры рассматриваемых систем, таким образом модели, зачастую, сводятся к переопределенным задачам, -отличающимся от классических постановок.

2. Показаны условия разрешимости поставленных задач:

- задачи Коши для систем 3-х уравнений Лотки - Вольтерра (один «хищник» - две «жертвы»);

- системы двух уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций;

- системы трех уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций и, в частности задач, сводящихся к системам двух «разделенных» и двух «перекрестных» уравнений.

3. Предложены три численных метода решения поставленных задач -метод последовательных приближений в интегральной форме, метод последовательных приближений в дифференциальной форме, метод конечных элементов. Рассмотрены их достоинства и недостатки.

4. Разработаны алгоритмы для численного решения систем двух и трех уравнений вольтеровского типа с начальными условиями и при наличии ограничений постоянства суммы искомых функций, исследованы их сходимость и устойчивость.

Практическая значимость результатов работы состоит в следующем:

1. Разработанная методика численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с учетом ограничений может быть применена для моделей, основой которых являются системы трех и более уравнений вольтерровского типа, а также некоторых других систем в нормальной форме.

2. Выделенные в ходе исследования границы изменения параметров могут быть использованы при моделировании соответствующих управляемых систем.

3. Разработанные алгоритмы и оценки устойчивости, сходимости и погрешности соответствующих вычислительных схем дают возможность выбора метода получения решения и исследования динамики изучаемого процесса.

4. Материалы теоретических и методических разработок могут использоваться в учебном процессе при подготовке математиков по специальностям 073000, 010200.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Предложен и обоснован метод последовательных приближений в интегральной форме для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки - Вольтерра; построен вычислительный алгоритм и исследована его эффективность на примере систем двух и трех уравнений с приложениями к задачам биологии, социологии.

2. Разработан вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки - Вольтерра; составлено программное обеспечение и исследована его эффективность на прикладных задачах социологии.

3. Результаты сопоставительного анализа метода последовательных приближений в дифференциальной форме, в интегральной форме, метода конечных элементов, Рунге-Кутты на типовых задачах математического моделирования динамики и структуры взаимодействующих сообществ.

4. Результаты численного эксперимента по исследованию динамики и структуры моделей трехкомпонентных сообществ на основе разработанных численных методов и алгоритмов.

5. Методика анализа динамики трехкомпонентных сообществ. Графическое представление решений.

6. Программный комплекс для математического моделирования динамических процессов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа (регистрация № 2005610753, № 2005610754)

Публикации и апробация результатов исследования.

По теме диссертации автором опубликовано 19 работ, из них 5 статей, 12 тезисов докладов на научных конференциях, два свидетельства о регистрации.

Результаты исследований докладывались на ежегодных региональных научно-технических конференциях СевКавГТУ (г. Ставрополь, 1999-2004г.), на 7й и 8й научно-практических конференциях (2003-2004г.) Ставропольского финансово-экономического института. Автор также принимал участие в 7й Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2003 г.), в 4й Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.), в Iй Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (г. Ставрополь, 2004 г.). Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 148 наименований и 4

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В результате обзора математических моделей, описывающих поведение социальных, биологических и других динамических систем, выявлена актуальность условия, ограничивающего сверху сумму частных решений систем дифференциальных уравнений. Разработаны математические модели динамики структуры при взаимодействии двухвидовых и трехвидовых сообществ с учетом сохранения их общей численности, в основу которых положены системы уравнений с квадратичной нелинейностью. Обоснована возможность замены одного из дифференциальных уравнений для быстрой переменной алгебраическим, в соответствии с методом А.Н. Тихонова редукции системы с учетом иерархии времен. Разработан метод последовательных приближений в интегральной форме, продемонстрирована его эффективность для решения поставленных задач взаимодействия двух и трех видов. Разработаны вычислительные схемы для метода последовательных приближений в интегральной форме, исследована их сходимость и устойчивость на примерах систем двух и трех уравнений с начальными условиями и условиями сохранения суммы искомых функций. Предложен и исследован условно-сходящийся метод последовательных приближений в дифференциальной форме, выявлены условия его сходимости, составлены вычислительные схемы, исследована их эффективность, сходимость, устойчивость.

Разработан вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для систем двух и трех уравнений с квадратичной нелинейностью, составлено программное обеспечение по его реализации.

Для машинной реализации вычислительных алгоритмов составлен программный комплекс, позволяющий по заданным значениям параметров и дополнительных условий получать графики решений.

8. В ходе вычислительного эксперимента по решению задач как традиционным методом Рунге - Кутты, так и методами последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме, конечных элементов получены графические решения для систем двух и трех уравнений как с начальными условиями, так и с условием постоянства суммы искомых функций.

9. Проведен сопоставительный анализ рассмотренных в диссертации методов решения поставленных задач и показано, что наиболее продуктивным для практического применения наряду с широко применяемым методом Рунге-Кутты является метод последовательных приближений в интегральной форме.

10. Показана применимость рассмотренных в диссертации методов для исследования эволюции численности видов в ходе их взаимодействия на примере модели динамики социального конфликта.

1. Адамчук A.C., Амироков С.Р., Щепотьева C.B. Динамическая модель планирования инвестиций в форме задачи нелинейного программирования. // Вестник СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая».-2004. №1 (8).-С. 116-118.

2. Амироков С.Р. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью. // Известия вузов Сев.-Кав. региона. Серия «Естественные науки». Приложение, Ростов н/Д, 2004 - №9 -С. 3-7.

3. Амироков С.Р. Математическое моделирование экологических систем. // Материалы III региональной научно-технической конференции. «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону». Ставрополь: СевКавГТУ, 1999. - С.6.

4. Амироков С.Р., Адамчук A.C., Чеботарева Т.Е. Моделирование изменений структуры двухвидовых сообществ. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2005, N1.-C. 18-20.

5. Амироков С.Р. Решение вольтерровской системы трех уравнений методом последовательных приближений в интегральной форме. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2005, N1.-С. 21-22.

6. Амироков С.Р., Наац И.Э. Математическое моделирование в задачах прогноза социально-экономических систем. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2006, N2.-C. 19-23.

7. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. -544 с.

8. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. -М.: Едиториал УРСС, 2004.-304 с.

9. Антоновский М.Я. Выбор переменных в некоторых эколого -экономических моделях // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Т.З. -JL: 1980, С. 122-140.

10. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. -М.: МЦНМО, 2000. -32 с.

11. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. -128 с.

12. Арнольд В.И., Афраимович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. -М.: Наука, 1989.-217 с.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления / Учеб. для вузов. -М.: Высшая школа, 2003.-614 с.

14. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. -М.: Наука, 1984. -296 с.

15. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций.-Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-368 с.

16. Базыкин А.Д., Хибник А.И. О жестком режиме возбуждения автоколебаний в модели типа Вольтерра // Биофизика, 1981, т. 26, вып.5, С. 851-853.

17. Базыкин А.Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций. -М.: Знание, 1989. -47 с.

18. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. -М.: Наука, 1984.-176 с.

19. Бахвалов Н.С., Лапин A.B., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. -200 с.

20. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. -М.: Мир, 1970. -326 с.

21. Беллман Р. Математические методы в медицине. М.: Мир, 1987. -200 с.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. .М.: Высшая школа, 2001.-382 с.

23. Владимирский Б.М. Биологические ритмы и солнечная активность // Проблемы космической биологии. -М.: Мир, 1980, Т 41. С. 289 -315.

24. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976.-288 с.

25. Гаджиев К. С. Введение в политическую науку. М.: Логос, 1997, 542с.

26. Ганусов В. В., Брильков А. В., Печуркин Н. С. Популяционная динамика бактериальных плазмид. // Математическое моделирование. 2001. т. 13, №1, С. 77-98.

27. Горев В.В., Филиппов В.В., Тезиков Н.Ю. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций. -М.: Высшая школа, 2002. 206 с.

28. Горстко А.Б. Математическое моделирование и проблемы использования водных ресурсов. Ростов на Дону: 1976. -64 с.

29. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. -М.: Знание, 1991.-160 с.

30. Горстко А.Б., Угольницкий Г.А. Введение в моделирование эколого-экономических систем. -Ростов н/Д.: Издательство РГУ, 1990. -112.с.

31. Гумилев А.Н. Этногенез и биосфера Земли. М.: Танаис, ДИДИК, 1994.

32. Демидович В.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.-М.: Физматгиз, 1967. -368 с.

33. Динамическая теория биологических популяций / под редакцией Р. А. Полуэктова. М.: Наука, 1974, -455с.

34. Дромашко С.Е., Романовский Ю.М. Эволюция математических моделей генетики (серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1984. -64 с.

35. Дэмбэрэл С. Оленев Н. Н., Поспелов И. Г. К математическому моделированию взаимодействия экономических и экологических процессов. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №4. С. 107122.

36. Завалишин Н. Н., Логофет Д. О. Динамические блоковые модели углеродного цикла в экосистеме переходного болота. // Математическое моделирование. 2001. т.13. №4. С. 3-19.

37. Завалишин Н. Н., Логофет Д. О. Моделирование экологических систем по заданной диаграмме «Запасы потоки». // Математическое моделирование. 1997, т.9. №9. С. 3-17.

38. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. -М.: Просвещение, 1990. -176 с.

39. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко A.B. Математические методы в экономике. М.: Дело и сервис, 1999. -368 с.

40. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986. -350 с.

41. Ивлев B.C. Экспериментальная экология питания рыб. М.: 1955, -466 с.

42. Ильичев В. Г. Дельта функции и исследование экологических моделей Вольтерра в переменной среде. Изв. Вузов. Математика, 1998, №4. С. 23-33.

43. Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Анализ моделей конкуренции в постоянной и периодической среде. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №3. С. 71-83.

44. Ильичев В. Т., Задорожный А. И. К моделированию динамики групп. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №12. С. 72-85.

45. Исаков В.Н. Элементы численных методов. М.: Издательский центр «Академия», 2003. -192 с.

46. Казначеев В.П., Михайлова Л.П. Биоинформационная функция естественных электромагнитных полей. -Новосибирск: Наука, 1985. -170 с.

47. Калиткин H.H. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

48. Кипнис М.М. Модели социальных явлений в коротком курсе математики. Челябинский rnH.\Internet\Kipnis.htm, 04.02.00.

49. Козлов Н. Н. Один способ хранения генетической информации. // Математическое моделирование. 2002, т. 14. №8. С. 72-79.

50. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ, 1998. -240 с.

51. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. В сб. Математическая биология и медицина. Т. 1. М.: Наука, 1978, С.117-165.

52. Краснощекое П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. -М.: Издательство МГУ, 1983, -264с.

53. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.: Инфра-М, 1998.-464 с.

54. Крогиус Ф.В., Крохин Е.М., Меншуткин В.В. Сообщество пелагических рыб озера Дальнего // Опыт кибернетического моделирования. Л., 1969.

55. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. Мн.: Наука и техника, 1982.-286с.

56. Лобанов А. И., Старожилова Т. К., Зарницына В. И., Атауллаханов Ф. И. Сравнение двух математических моделей для описания пространственной динамики процесса свертывания крови. // Математическое моделирование. 2003, т.15. №15. С. 14-28.

57. Логофет Д. О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами. //Математическое моделирование. 2002, т.14. №12. С. 11-23.

58. Ляпунов A.A. Биогеоценозы и их математическое моделирование //Природа. 1971. №10. С. 38-41.

59. Ляпунов A.A., Титлянова A.A. Системный подход к изучению обменных процессов в биогеоценозе // Ботанический журнал. 1974. Т 59, №8.-с. 1081 -1092.

60. Малинецкий Г. Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. -336 с.

61. Малинецкий Г. Г. Управление риском и редкие катасрофические события. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №8. С. 107112.

62. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир, 1983, -397с.

63. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.-320с.

64. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии М.: Наука, 1991.-304 с.

65. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

66. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. -Л.: 1971.

67. Меншуткин В.В. Теоретические основы математического моделирования водных экологических систем // Общая биология. 1974. Т 35, №4.

68. Михайлов А. П., Савельев А. В. Обоснование макромоделей властных иерархий через их микроописание. // Математическое моделирование. 2001. т. 13. №4. С. 19-35.

69. Михайлов А. П., Юхио JI. Ф. Простейшая модель установления равновесия между двумя ветвями власти. // Математическое моделирование. 2001, т. 13, №1, С. 65-76.

70. Михайлов А.П. Математическое моделирование распределения власти в иерархических структурах // Математическое моделирование. -1994. Т.6, №.6, С.108-138.

71. Михайлов А.П. Моделирование эволюции распределения власти в государственных иерархиях // Вестник фонда «Российский общественно политический центр. -1996. №2. С.26-39.

72. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. -384 с.

73. Моисеев H.H. Простейшие математические модели экономического прогнозирования (серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1975.-64 с.

74. Моисеев H.H. Модели экологии и эволюции.(серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1983. -64 с.

75. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей.-М.: Едиториал УРСС, 2004.-192 с.

76. Мэрди Дж. Модели популяций. В кн. «Математическое моделирование»/ Под ред. Дж.Эндрюса. М.: Мир, 1979. -109 с.

77. Наац И. Э. Метод последовательных приближений для операторных уравнений и систем. // Научные школы и научные направления СевКавГТУ. Ставрополь: СевКавГТУ. С. 48-50.

78. Наац И. Э., Семенчин Е. А. Математическое моделирование пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга окружающей среды. Ставрополь.: Издательство СГПУ, 1995.-196с.

79. Нахушев A.M. Математические методы в исторических исследованиях.- Нальчик: КБГУ, 1987. 56 с.

80. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. -59 с.

81. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.-301 с.

82. Нахушев A.M., Кенетова P.O. К проблеме математического моделирования социально исторических и этнических процессов.-Нальчик: Эльфа, 1998.- 170с.

83. Неймарк Ю.И. Простые математические модели // Природа. 1991. N 11.С.12.

84. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975.-740с.

85. Орлов Ю. Н., Суслин В. М. Кинетические уравнения для некоторых моделей демографии. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №3. С. 43-54.

86. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C. Теория управления в примерах и задачах. -М.: Высшая школа, 2003. -583 с.

87. Перминов В. Д., Саранча Д. А. Об одном подходе к решению задач популяционной экологии. // Математическое моделирование. 2003, т.15. №11. С. 121-124.

88. Песков Н. В. Численный анализ предельного цикла в одной химической модели. // Математическое моделирование. 2002. т.14. №3. С. 59-70.

89. Петров А. А., Шананин А. А. Математические модели для оценки эффективности одного сценария экономического роста. // Математическое моделирование. 2002, т.14. №7. С. 27-53.

90. Петров В.М., Яблонский А.И. Математика и социальные процессы (Серия «Математика, кибернетика»).-М.: Знание, 1980.-64 с.

91. Петров Ю.П., Петров Л.Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-240 с.

92. Ю4.Печуркин Н. С. Популяционная микробиология.- Новосибирск: Наука, 1978.-272с.

93. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. -412 с.

94. Плис А.И., Сливина H.A. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 2000. -656 с.

95. Плотинский Ю.М. Модели социальных процессов.-М.: Логос, 2001. С.65.

96. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. -311 с.

97. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой.-М.: УРСС, 2003.-312 с.

98. Ризниченко Г. Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических репродукционных процессов. М.: Издательство МГУ, 1993. -300 с.

99. Ш.Романов М.Ф., Федоров М.П. Математические модели в экологии. -СПб.: «Иван Федоров», 2003, 240 с.

100. Розенберг Г.С. Математические модели экологического прогнозирования // Человек и биосфера. Вып. 8. -М.: 1983. -С.86 -108.

101. ПЗ.Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М., С-П.: Физматлит, 2000. -344 с.

102. Романюха А. А., Каркач А. С. Индивидуально ориентированная модель динамики инфекционного процесса в неоднородной популяции. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №5. С. 95-105.

103. Румшиский J1. 3. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971.-192с.

104. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 2000. -296 с.

105. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.:, Наука, 1973.-415с.

106. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000.-316с.

107. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -288 с.

108. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432с.

109. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -368 с.

110. Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. -М.: Наука, 1978.-272с.

111. Свирежев Ю.М. Математические модели биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.

112. Семенчин Е. А., Наац В. И., Наац И. Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: М.: Издательство ФМЛ, 2003- 291с.

113. Смит Д. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. -184 с.

114. Стеценко В .Я., Плюта А.И. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения систем линейных и нелинейных уравнений. Учебное пособие. -Ставрополь: Издательство СГУ, 2003. 71 с.

115. Тер-Крикоров A.M. Нелинейные задачи и малый параметр (серия «Математика, кибернетика»). -М.: Знание, 1984. -64с.

116. Терехов А. И. Математические модели соперничества в сфере НИОКР. // Математическое моделирование. 2003, т. 15. №4. С. 34-65.

117. Терехов А. И. Фактор продуктивности в эволюции научного сообщества. // Математическое моделирование. 2001. т. 13. №5. С. 7590.

118. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1980.-231с.

119. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.- М.: Едиториал УРСС, 2004.- 240 с.

120. Уатт К.Е. Экология и управление природными ресурсами. -М.: Мир, 1971.-464 с.

121. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. М.: Наука, 1980.

122. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах.-М.: Мир,1985. -423 с.

123. Чернавский Д. С., Старков Н. И., Щербаков А. В. Динамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы). // Математическое моделирование. 2001. т. 13. №11. С. 97116.

124. Чижевский A. JI. Зеленое эхо солнечных бурь. -М.: Мысль, 1973. -349 с.

125. Чижевский A.JI. Физические факторы исторического процесса. -Калуга: 1924.-58 с.

126. Шведовский В. А. Исследование динамики электорального поведения с использованием модели социально психологического потенциала. // Математическое моделирование. 2000, т. 12 №8. С. 46-56.

127. Экономико математическое моделирование / Под. ред. Дрогобыцкого И. В. -М.: Экзамен, 2004.-800с.

128. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. -240 с.

129. Anderson R. М., May R. М. Population infections diseases: Part 1. // Nature. 1979, v. 280, №2, p. 361-367.

130. Monod Y. (1949)/ The growth of bacterial cultures. Annual Review of Microbiology, v. 3, p. 371-394.

131. Rapport A. Mathematical Models in the Social and Behevioral Scienses. N. Y.: Wiley, 1983.

132. Gause G. F. The struggle for existence. Baltimore: Williams and Wilkins, 1934.

133. Weidlich W. Stability andcyclicity in social systems// Behavioral Science. 1988.№33 .p.241.

134. Marchetti C. The Future // In Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi",G.Caglioti and H.Haker (eds),1991.

135. Goodwin R.M. The non-linear accelerator and peasistence of business cycles // Econ. 1951. N 19. P. 1 -17.