автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование моделей сосуществования близкородственных популяций на неоднородных ареалах

На правах рукописи

Будянский Александр Владимирович

численное исследование моделей сосуществования близкородственных

популяцирГна неоднородных ареалах

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Ростов-на-Дону 2014 г.

005554932

005554932

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный Федеральный Университет» (ЮФУ) на кафедре вычислительной математики и математической физики.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент Цибулин Вячеслав Георгиевич

Официальные оппоненты: Тарасевич Юрий Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор, Астраханский госздарственный университет, зав. каф. прикладной математики и информатики

Ляпин Александр Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, Ростовский государственный строительный университет, зав. каф. информационных систем в строительстве

Ведущая организация: Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А

Защита диссертации состоится «9» октября 2014 г. в 16 час. 20 мин. на заседании диссертационного совета Д212.208.22 при Южном федеральном университете но адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ и на сайте http://hub.sfedu.ru / (liss/aunounceinent /

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.20; доктор технических наук, професс'

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Функционирование биологической системы является результатом взаимодействия во времени и пространстве ее элементов. Структурированность биологических популяций обуславливается их пространственной неоднородностью, спецификой локальных взаимодействий популяций между собой и с окружающей средой. Чтобы описать динамику таких систем, применяются математические модели на основе дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование моделей пространственно — временной динамики популяций необходимо для развития математических методов анализа и прогноза в экологии, где важен учет пространственной неоднородности моделируемых сообществ и существенны эффекты нестационарности.

В диссертации рассмотрены нелинейные математические модели динамики пространственно - неоднородных популяций, находящихся в условиях конкурентной борьбы и отношениях типа «хищник-жертва». Особенностью рассматриваемых задач является сильная неединственность решений, проявляющаяся в ответвлении непрерывных семейств стационарных состояний. Такие семейства возникают в системах дифференциальных уравнений в силу имеющейся симметрии или коспмметрии. Изучение задач при возмущениях, приводящих к потере коспмметрии, позволяет дать новые трактовки динамическим явлениям долгого установления к равновесиям.

Целью работы явлжлся развитие моделей популяционной динамики с учетом направленной миграции и пространственной неоднородности ареалов.

Объектом исследования являются модели, описывающие динамику популяций на основе систем дифференциальных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами.

Научная задача. Основная научная задача работы заключается в развитии математических моделей сосуществования популяций, численных методов и программного комплекса для анализа соответствующих начально-краевых задач. В соответствии с поставленной задачей в работе решаются следующие научные задачи:

• Развитие математических моделей популяционной динамики близкородственных видов на неоднородных ареалах.

• Разработка численного метода расчета пространственно-временной динамики популяций основано на применении интегро-интерполяционного метода и схемы смещенных сеток для пространственно распределенных моделей.

• Создание программного комплекса для моделирования направленной миграции и сосуществования видов.

• Численное исследование непрерывных семейств стационарных распределений популяций хищников и жертв на неоднородных ареалах.

Обоснованность научных положений и достоверность результатов исследований обусловлена корректной постановкой задач, применением апробированных методов и совпадением в частных случаях с известными результатами других авторов.

Научная новизна.

• Предложены модели динамики близкородственных популяций, позволяющие проанализировать сценарии распределения видов на пространственно-неоднородных ареалах с учетом направленной миграции.

• Построены аппроксимации нелинейных начально-краевых задач на основе схемы смещенных сеток и интегро-интерполяционного метода, сохраняющие свойство ко-симметрии исходных дифференциальных уравнений.

• Впервые параметрически исследованы сценарии возникновения семейств равновесий в пространственно-неоднородных моделях динамики близкородственных популяций.

• Численно проанализирован распад семейства стационарных распределений при нарушении свойства косимметрии, что позволило объяснить формирование структур сосуществующих популяций.

• Разработаны программы для проведения вычислительного эксперимента по расчету косимметричных семейств распределений в популяционных системах хищников и жертв, не исследованных ранее.

Практическая ценность работы. Проведенное исследование посвящено математическому моделированию динамики популяционных моделей, для пространственно-неоднородных ареалов. Полученные результаты могут быть использованы для изучения процессов, имеющих место при моделировании популяций, взаимодействующих по типу хищник-жертва и конкуренции, а также при анализе поведения человеческих сообществ, по-разному реагирующих на массовые скопления людей. Применяемые в диссертации подходы могут быть использованы для исследования систем уравнений в частных производных, в которых имеются однопараметрические семейства решений.

Реализация результатов работы. Полученные в диссертации результаты нашли применение в научно-исследовательских разработках кафедры вычислительной математики и математической физики факультет математики, механики и компьютерных

наук ЮФУ в рамках выполнения внутреннего гранта (К-07-Т-112, рук. Жуков М.Ю.), Целевой программы Министерства образования и науки «Развитие научного потенциала высшей школы»(р.и. 2.1.1/6095, рук. Жуков М.Ю.), гранта РФФИ (11-01-00708-а, рук. Цибулин В.Г.).

Публикации II апробация работы. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ. Из них 3 составляют статьи в реферируемых изданиях |1]-[3| из списка ВАК, свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [4|, 6 статей опубликовано в трудах конференций [5]-[10|. В этих работах автор участвовал в выборе теоретической модели, метода решения и обсуждении результатов, проводил вычисления и аналитические выкладки. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, Всероссийской школе-семинаре «Математический анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010 г.), всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Дюрсо, 2010 г.), международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморск, 2011, 2014 гг.), всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической изики» (Дюрсо, 2012 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 150 страниц, включая 40 рисунков. Список литературы содержит 170 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы, обоснована актуальность темы, изложены цели работы и методы исследования, представлена структура и содержание работы.

Глава 1 посвящена описанию рассматриваемых математических моделей и анализу их свойств. В §1.1 приведены необходимые для дальнейшего изложения результаты по теории косимметрии и исследованию косимметричных систем. Дифференциальная 1-форма £(к>) называется косимметрией для уравнения и> = Ф(ги), если она ортогональна векторному полю задачи Ф в каждой точке рассматриваемой области /= (¿(»),Ф(ю)) = 0.

В § 1.2 предложена модель понуляционной динамики, сформулированная на основе системы дифференциальных уравнений параболического типа:

^ =-У •<?, + /„ г = 1,... ,п, V = (дх, ду)т. (1)

Плотности популяций на двумерном ареале П описываются функциями щ(х,у,1), г = 1,2,... ,п. Конкурирующих за ресурс р(х,у) жертв определяют функции щ(х,у,1), г = 1,2,... ,т (т < п), а хищников - функции с коэффициентами г = ш+1,гтг + 2,... ,п. (х,у) £(!, (- время. Уравнения баланса видов записываются через миграционные потоки (¡г; и функции роста /¡.

Потоки близкородственных популяций жертв выражаются через градиенты плотностей видов и функции ресурса р(х, у):

п

qi =+а^Ур + щ^^Р^и}, г = 1 ,...,т. (2)

1=1

Для потоков популяций хищников учитывается неравномерность распределения жертв:

п

= — + щ У^ уЗцУ щ, г = т+1,...,п. (3)

3 = 1

Для потоков qi диагональные матрицы второго порядка к, содержат неотрицательные диффузионные коэффициенты, направленная миграция учитывается слагаемыми с коэффициентами о^ и /% (диагональные матрицы второго порядка). Неоднородность ресурса по ареалу проявляется в присутствии градиента Ур в выражениях миграционных потоков жертв, а также поточечно в функциях роста /; (г = 1,2,...,т).

Модель учитывает влияние неравномерности распределения одного вида на миграцию другого. Знак коэффициента /Зу определяет разные виды реакции на неравномерность распределения популяции и^{х,у,Ь), нулевое значение соответствует нейтральной реакции.

Естественный рост плотности популяций жертв определяется «логистическим» законом с коэффициентом роста /¿¡. Убыль из-за присутствия хищника дается слагаемыми с коэффициентами /¡:

п ^ т

и=№,1о~Щ £ 1ИП3' /о = 1--г = !,(4)

3 = т+1 Р ] = 1

Изменение плотности популяции хищника и точке ареала определяется формулами:

и = П{ £ Цци^ — Ъщ, г = т + 1,..., п. (5)

1=1

Система дополняется начальными распределениями плотностей популяций:

0) = и°{х,у), г = 1,..., п. (6)

Задача рассматривается для прямоугольной области П = [0, а] х [0,6]. На сторонах И могут быть использованы краевые условия различных типов (Дирихле, Неймана и смешанного типа).

Показано, что для представленной системы косимметрие» является

^ = (^Ь • • • , Чт, Ст+1) Ст+2) • • • 1 <Сп)>

т п

* = £ с, = £

при выполнении следующих условий:

= i,j = m+l,...,n, г = 1,...,т,

= к]кг, г,= 1,... ,т, г = т + 1,..., п, к^] = кг, = т + 1,..., п, к^а.] = к^оц, = 1,... ,т,

кф^ = кф{ г, г,] = (1,... ,т) V (ш+ 1,... ,п), г = 1,...,п.

В §1.3 рассмотрены постановки основных задач, для которых проводится численное моделирование. Выписаны системы для двух популяций, конкурирующих за общий ресурс, уравнения для двух популяций при наличии хищника и система, описывающая динамику двух жертв и двух хищников.

Глава 2 посвящена описанию численных методов и расчетных схем для исследования моделей, представленных в главе 1. В §2.1 развита численная схема пространственной дискретизации задачи на основе интегро-интерполяционного метода и схемы

смещенных сеток. На прямоугольнике вводятся основные сетки:

хг = rhx, r = (),...,nx, hx = a/nx, ув = shy, s = 0,..., пу, hy = b/пу.

Через ui rs обозначается значение плотности распределения популяции щ в узле (xr,ys). На области определения наряду с основной строится вспомогательная сетка:

Xr+i/2 = -hx/2+ rhx, г = 1,... ,пх, Vs+i/2 = -hy/2 + shy, s=l,...,ny.

Для аппроксимации системы (1)-(6) по пространственным координатам уравнения (1) интегрируются по ячейке [^-1/2,^+1/2] х [Уа-1/2, J/s+i/2), а уравнения (2) и (3) - соответственно по ячейкам [zr,xr+i] х [уя_1/2,1/5+1/2], [жг-1 /2,^+1/2] х \у„уа+1]- Для записи уравнений используются конечно-разностные операторы:

,, > «V+i,» - wr.s /. \ wr.s+1 - «V,,

=-г-, ,+1 =-Y-

и операторы вычисления среднего

«v+i,s + uy,

(5iw)r

> №w)riS+i =

Шг,8+1 + wr<s

2 ' 4 '-"-.«+2 2

В результате разностная схема для системы (1)-(6) записывается следующим обьра-

«¡,rs = [dl9il + rf2?i2 + /i]rs, г = 0,...,nx, s = 0, ...,%, n

fl.TS ~ /'i^'l.r.S /o.rs Vi, га ^ ] lij^i.rsi i — ^ij

(7)

j=m+l

/о,ГЗ 1 p ^ ^ Uj,rS; -

3=1

1 1 Г^г+1/2 «.+ 1/2 ¿xdy

1 1 ЛГг+1/2 Г 'lxhyJXr_l/2 Jyt_l/2

P(x,y)

fi,rs --^ ^ huitrsj Ъ ~~~ 1TI "t" 1 } • . . 5

3=1

ПОТОКИ ПЛОТНОСТеЙ ПОПУЛЯЦИЙ </jl,r+l/2,s (г = . . . ,ПХ — 1, S = 0 ,...,Пу) И fe,r,s + l/2

(r = 0,..., n^, s = 0,..., ny — 1) вычисляются по соответствующим формулам. Например,

(</ü)r+l/2,s —

fcj.ndiUj — a^udipSiUi - ^ ßij,udiuAuj 3=1

i = 1,..., т.

г—1/2,3

Дискретные аналоги краевых условий Неймана записываются с применением законтурных узлов:

</¡1,-1/2,3 = </¡1,1/2,31 9а,пг+1/2,> = </| 1,Пт-1/2,«1

</г2,г,-1/2 = </¡2,г,1/2, <?12,г,п|( + 1/2 = (/¡2,г,п„-1/2, г=1,...,П.

Из (6) получаются начальные условия для (7): = u°(xT,ys), i = l,...,n,

г = {),... ,nx, а = {),...,ny.

В § 2.2 представлены расчетные схемы моделирования динамики популяций и вычисления семейств стационарных распределений. Для интегрирования по времени системы (1)-(6) используется метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Это позволяет рассчитывать динамические режимы и находить методом установления стационарные решения. Для параметрического анализа задач используется метод продолжения но параметру. Определение семейств стационарных решений основано на косимметричной версии теоремы о неявной функции (В.II. Юдович, 1995). Алгоритм вычисления к + 1-ой точки на семействе (известные Yk, к > 0) состоит из следующих шагов:

1. Матрица линеаризации Jk = находится численно.

П

2. С помощью SVD-разложения вычисляется ядро матрицы Jk: Gk = kerJk.

3. Приближение для fe+l точки семейства рассчитывается по мегоду Адамса трегьего порядка:

П+1 = Yk + А(23Gk - lGGjt_i + 5Gjt_2), j = 1,2,...

Здесь h - шаг, определяющий дискретизацию непрерывного семейства. Для вычисления второй и третьей точки на семействе используется метод Эйлера с меньшим шагом.

4. Равновесие Yk+1 уточняется методом Ньютона, который для системы нелинейных уравнений = 0 дается формулами:

'd4>(Zj)Yl

Zj+i — Zj —

Ф(ZД j =0,1,...

дг

Здесь з - номер итерации, = если || 2к+1 — 2к ||< е.

В § 2.3 дано описание программного комплекса «БуРоМС», написанного в среде МАТЬАВ. Программы комплекса позволяют находить стационарные распределения популяций, анализировать устойчивость равновесий и вычислять семейства стационарных распределений. Для анализа устойчивости нулевого равновесия разработана программа «МиИ.а». Приложение позволяет определять критические значения параметров миграции, при которых происходит потеря устойчивости нулевого равновесия. Для проведения вычислительных экспериментов но анализу взаимодействия популяций была написана программа «ЭШаР», позволяющая рассчитывать стационарные распределения и нестационарные режимы. Эта программа предназначена для решения задач популяци-онной динамики на основе метода прямых, описанного в §2.1. Приложение «ЗетИа» создано для вычисления семейств стационарных решений. Реализован метод, описанный в §2.2, первый элемент семейства находится при помощи установления в программе

«St.Ii.aP». Программа «ЗетИа» осуществляет продолжение кривой семейства с заданным шагом, а уточнение равновесия производится методом Ньютона.

В третьей главе представлены результаты численных экспериментов для систем популяционной динамики, описанных в главе 1. Рассмотрены задачи на одномерных и двумерных ареалах, расчеты проводились при помощи комплекса программ «ЦуРоМС».

В §3.1 численно изучено ответвление стационарных решений от нулевого равновесия для модельного уравнения, описывающего динамику одной популяции на неоднородном ареале:

Здесь к - коэффициент диффузии. Миграция, обусловленная неравномерностью ресурса, определяется скалярным коэффициентом а. Рост плотности популяции задается параметром /(, р(х,у) - функция ресурса. Расчет проводился для области [0,2] х [0,1], использовались сетки 30 х 60 узлов.

Для модели (8) проведен анализ влияния функции ресурса и граничных условий. Исследовано влияние миграции, вызванной неоднородностью жизненных условий на распределение видов. На рис. 1 приведены нейтральные кривые для различных значений параметра диффузии к. При отсутствии учета направленной миграции (а>0) потеря устойчивости нулевого равновесия происходит при превышении параметром роста критического значения ¡х". Если распространение популяции по ареалу идет с учетом неоднородности жизненных условий (а>0), то потеря устойчивости нулевого равновесия происходит при меньшем значении параметра роста (;( < ц*). В этом случае нейтральная кривая представляет собой монотонно убывающую функцию а = £*(/4), когда большему а соответствует меньшее значение у..

Рис. 1: Нейтральные кривые устойчивости нулевого равновесия в случае краевых условий смешанного типа: к = 0.2 (кривая 1), к = 0.3 (2), к = 0.4 (3)

Изучению динамики двух близкородственных популяций и = щ и V = и2, конкури-

рующих за общий ресурс, посвящен §3.2:

и = —(¡х + /¿1и/о, </1 = —к\и! + а\Щ) + Дш/, V = —(¡2 + 1110 ¡о, 12 = ~к2у' + а2ьр' + @2ьи',

и(х,0) = и°(х), ф.О) = у°(х), и(0,4) = и(а, г) = и(0, г) = у(а,«) = 0.

Исследованы случаи влияния миграции, вызываемой неравномерностью распределения ресурса и соседней популяции. Проанализированы сценарии локального вытеснения одной из популяций и сосуществования видов в случае выполнения условий косиммет-рии (k2f.11 = к\112, а2/л = а\Ц2, + Р2 = 0). Рис. 2 демонстрирует пространственно-временную эволюцию популяций. Показано, что при учете направленной миграции нарушение косимметрии не приводит к вытеснению менее приспособленной популяции. Сначала популяция и полностью заполняет наиболее близкую благоприятную зону, при этом популяция у развивается вне ее. Затем происходит постепенное вытеснение популяции V из второй благоприятной зоны. Задержка в освоении ареала популяцией и вызвана миграцией в направлении более благоприятных условий обитания и стремлением к размежеванию с популяцией V. На рис. 3 дано разбиение плоскости миграционных

Рис. 2: Установление стационарных распределений и (а) и V (Ь) при «1 — 0.15, а^О.СИ, А =-0.12, /32 -0.3

параметров (0:1.02) на зоны, соответствующие сосуществованию и выживанию одной из популяций.

о2 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2

Рис. 3: Карта миграционных параметров, отвечающих сосуществованию (III) и выживанию одной из популяций и (I) или V (II), сплошная линия - существование непрерывного семейства решений

В § 3.3 рассмотрена система для двух близкородственных популяций жертв (и, у) и одного хищника (ги) на двумервом ареале. Проанализировано влияние хищника на формирование распределений популяций. Установлено, что возникновение семейства стационарных распределений зависит от параметров роста (убыли) хищника. Вычислены функции косимметричного дефекта в случае невыполнения условий косиммет-рии для параметров модели (коэффициенты роста, миграционные коэффициенты). На рис. 4 в координатах средних плотностей популяций изображены семейства стационарных распределений при различных коэффициентах смертности хищника 13. Кривая 2 соответствует случаю ¿з=1, а точки А и В отвечают распределениям, изображенным на рисунке 5. С увеличением коэффициента 1з происходит снижение плотности популяции хищника ш и, как следствие, увеличение плотности жертв. В расчетах использовались неравные коэффициенты прироста хищника (/¿31 > Ц32), поэтому в случае преобладания популяции и{х,у,£) происходит рост плотности хищника. В случае преобладания популяции V происходит уменьшение плотности хищника.

На рис. 6 для различных коэффициентов роста хищника /^31 и показаны проекции семейств стационарных состояний на плоскость среднеквадратических отклонений (а(и),а(у)). При отсутствии хищников семейство стационарных распределений популяций жертв дается прямой РСДля достаточно больших значений параметров ц^, /л32 наблюдается сосуществование популяций жертв при наличии хищника (кривая 1 на рис. 6). В случае понижения параметра роста /х31 (//32) и доминирования на ареале популяции и (у) может наблюдаться вымирание хищника, см. кривые 2, 3 на рис. 6.

На рис. 7 представлены результаты расчета в том случае, когда для популяций жертв учитывается только неоднородность жизненных условий. Сравнение рисунков 5 (левая

Рис. 4: Семейства стационарных распределений при 13 = 0.5 (кривая 1); 13 = 1 (2); ¿3 = 1.5 (3); при отсутствии хищника (4)

Рис. 5: Финальные распределения плотностей популяций из различный начальных распределений; <21,11 = «1,22 = /3l2.ll = 021,11 = О

колонка) и 7 (левая колонка) показывает, что при ненулевых коэффициентах миграции (матрица «1) неравномерность ресурса р(х,у) приводит к тому, что для распределения и{х,у,Ь) получается сжатие максимумов плотности в областях, отвечающих благоприятным зонам. Для популяции ь(х,уЛ) происходит спад плотности в благоприятных зонах и компенсационный рост вне областей максимальных значений популяции и(х,у^).

o(V)

a(U)

Рис. 6: Семейства стационарных распределений при = 1.4, Цц = 1.4 (кривая 1); дз = 0.8, /л4 = 1.4 (2); = 1.4, /¿4 = 0.8 (3); при отсутствии хищников (Р(

Совместный учет миграционных факторов (неравномерность функции ресурса р(х,у) и неоднородность распределения соседней популяции) иллюстрируют распределения на рис. 7 (правая колонка). Из-за взаимовлияния популяций финальные плотности имеют более выраженные по ареалу экстремумы. В местах локальных максимумов (минимумов) популяции и(х,у,Ь) наблюдается уменьшение (увеличение) плотности популяции г>(х,уЛ). Эти решения соответствуют наблюдаемым в природе явлениям размежевания видов и образования экологических «ниш».

С

D

Рис. 7: Финальные распределения плотностей популяций и, v, w при а1Д1 = 01,22 = 0.15, Pi.ii = /32,11 = 0 (слева) и ахдд = «1,22 = 0.15, /3ltll = -0.05, ,82,11 = -0.2 (справа)

В §4 проведен анализ системы для двух популяций хищников и двух популяций жертв, конкурирующих за общий ресурс. Представлены результаты, демонстрирующие возможности модели (1)-(6) для описания формирования стационарных распределений популяций. Изучено формирование биологических структур при неоднородности параметров роста (убыли) и показано, что для близкородственных видов сосуществование возможно также без выполнения условий косимметрии. Проведен вычислительный эксперимент для переменного параметра роста одного хищника: = + Msi s"1 —, где - модуляция параметра роста по переменной х, а цъо ~ среднее значение по ареалу. В расчетах было фиксировано значение и изучалось влияние модуляции на

формирование распределений популяций.

Рассчитанная карта распределений (см. рис. 8) показывает, что на плоскости параметров роста Цз и модуляции /¡5! имеются области, соответствующие выживанию одной из популяции хищников (из или щ), а также область, которая соответствует сосуществованию видов. Семейству решений (случай косимметрии) отвечает точка (3,0), к которой «стягиваются» области I и II.

Мм

2 II : III I

0 ---

-2 ^^ III

Рис. 8: Карта параметров, отвечающих сосуществованию хищников (III) и выживанию одного из хищников u¡ (I) и щ (II) в случае неоднородного параметра = A¿50 + № sin ^

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Предложены модели популяционной динамики и развиты методы вычислительного эксперимента для анализа сосуществования видов в условиях конкурентной борьбы хищников и жертв. Разработанные методы позволяют проанализировать характер распределения попз'ляций с учетом направленной миграции, вызванной неравномерностью жизненных условий. В среде MATLAB написаны программы, с помощью которых проведено параметрическое исследование задач.

В процессе проведенных исследований получены следующие результаты:

• Апробированы модели нопуляционной динамики, учитывающие таксис и неравномерность жизненных условий.

• На основе схемы смещенных сеток и интегро-интерполяционного метода построены аппроксимации нелинейных начально-краевых задач для систем популяций на двумерном и одномерном неоднородных ареалах.

• Исследовано возникновение непрерывных семейств стационарных распределений популяций п проанализированы сценарии сосуществования видов.

• Изучены эффекты направленной миграции на развитие пространственно-временной динамики популяций в одной экологической нише.

• Численно проанализирован распад семейства стационарных распределений близкородственных популяций при нарушении свойства косимметрии и формирование пространственно-неоднородных структур сосуществующих популяций.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК и приравненные к ним

1. Будянский A.B., Цибулин В.Г. Моделирование пространственно-временной миграции близкородственных популяций // Коми, исследование и моделирование. 2011. Т. 3 № 4. С. 477-488.

2. Будянский A.B. Моделирование сосуществования конкурирующих систем хищник-жертва в пространственно неоднородной области // Изв. Вузов. Сев. Кав. 2013. Т. 1. С. 10-14.

3. Будянский A.B., Кругликов М.Г., Цибулин В.Г. Численное исследование сосуществования популяций в одной экологической нише // Вестник ДГТУ. 2014. Т. 1 (75). С. 173-188.

4. Будянский A.B., Кайдашева Е.С., Цибулин В.Г. Комплекс программ «DyPoMC» для исследования динамики популяционных моделей с косимметрией // Объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». Л*8 19906. 2014.

Публикации в других изданиях

5. Будянский A.B. Численное исследование динамики популяций с учетом миграции // Труды международной конференции молодых ученых: «Математический анализ и математическое моделирование». Владикавказ. 2010. С. 139-140.

6. Будянский A.B., Цибулин В.Г. Моделирование динамики популяций с учетом миграционных потоков // Тез. докл. V Всероссийской конференции. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Дюрсо. 2010. С. 22.

7. Будянский A.B., Цибулин В.Г. Моделирование сосуществования и конкуренции близкородственных популяций с учетом миграции// Труды XV международной конференции: «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2011. Т.1. С. 22-26.

8. Будянский A.B. Моделировании конкуренции близкородственных популяций при наличии хищника. Тез. докл. V Всеросс. шк.-сем. «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», Дивноморск. 2011. С. 20-21.

9. Будянский A.B. Численное исследование сосуществования и конкуренции популяций хищников и жертв // Тез. докл. XIX Всеросс. конф. «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики». Дюрсо. 2012. С. 15-16.

10. Будянский A.B., Цибулин В.Г. Математическая модель распространения сосуществующих популяций на неоднородном ареале // Тез. докл. IX Всеросс. шк.-сем. «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», Дивноморск. 2014. С. 27.

Личный вклад автора в опубликованных работах в соавторстве:

В статьях [1,3,4] автору принадлежит разработка программ, предназначенных для исследования динамики популяционных моделей с косимметрией и проведения расчетов дифференциальных уравнений в частных производных. Разработка моделей и численных методов принадлежит авторам в равной степени.

Соискатель

Сдано в набор 09.08.2014. Подписано в печать 09.08.2014. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Times» Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru