автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка моделей и методов повышенной точности для численного исследования задач прикладной аэроакустики

004614457^ рукописи

Козубская Татьяна Константиновна

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ АЭРОАКУСТИКИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат л _

2 5 НОЯ 2П1П

диссертации на соискание ученой степени ' и'1 и I и

доктора физико-математических наук

Москва-2010

004614457

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

профессор Гущин Валентин Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Гасилов Владимир Анатольевич

доктор технических наук,

профессор Крашенинников Сергей Юрьевич

Центральный аэрогидродинамический институт имени проф. Н.Е.Жуковского

Ведущая организация:

Защита состоится 25 ноября 2010 года в _ часов на заседании

Диссертационного совета Д 002.024.03 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу: Москва, 125047, Миусскс" л " л"

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В.Келдыша

РАН.

Автореферат разослан_октября 2010 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.024.03 доктор физико-математических наук

Змитренко Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Аэроакустика представляет собой раздел газовой динамики, изучающий звуковые поля, генерируемые воздушным потоком или привносимые в течение внешними источниками возмущений. При этом, вообще говоря, акустические волны в реальных задачах невозможно рассматривать отдельно от течения, так как они находятся в постоянном взаимодействии с потоком.

Особую актуальность прикладная аэроакустика приобрела в связи с ведущимися в мире широкомасштабными исследованиями, направленными па снижение шума, в авиационной и автомобилестроительной промышленности, а также ряде высокотехнологических отраслей производства. Наиболее остро проблема снижения шума стоит в авиации. Для защиты экологической обстановки мировым сообществом регулярно ужесточаются допустимые нормы по шуму, создаваемому летательными аппаратами. Выполнение этих норм требует постоянного совершенствования авиационной техники и, соответственно, решения широкого спектра задач прикладной аэроакустики.

Сложность аэроакустических исследований усугубляется сильным перепадом в масштабах между акустическими пульсациями и характерными параметрами несущего течения, а также не до конца изученными механизмами генерации звука. Эти особенности находят свое отражение в вычислительной аэроакустике, в которой непременным требованием является качество численных методик и, в первую очередь, их высокая точность. При использовании метода вычислительного эксперимента в аэроакустике применяемые в расчетах алгоритмы при условии корректности математической модели должны гарантировать воспроизведение акустических полей течения с точностью, требуемой спецификой прикладной задачи. В аэроакустике приемлемой является точность до нескольких децибел в зависимости от специфики решаемой задачи. Следует также заметить, что повышенная точность должна обеспечиваться в характерных для реальных приложений областях сложных геометрических конфигураций для дискретизации которых

построение структурированных сеток затруднено и удобно использовать сетки нерегулярной структуры.

Перечисленные трудности препятствуют широкому внедрению математического моделирования в практику решения инженерных задач аэроакустики. Поэтому в настоящее время вычислительный эксперимент в аэроакустике не имеет того серьезного прикладного значения, которого достигло численное моделирование в газовой динамике в целом, активно используемое при разработке летательных аппаратов в крупнейших авиационных компаниях в мире.

Приведенные аргументы явились побудительным мотивом настоящей диссертационной работы, целью которой стала разработка математических моделей и численных методик, ориентированных на решение задач прикладной аэроакустики.

Цель п задачи исследования

Главной целью работы является исследование и разработка математических моделей и вычислительных методов, ориентированных на численное решение задач прикладной аэроакустики. Для выполнения поставленной цели сформулированы основные задачи исследования.

1. Провести анализ наиболее полных математических моделей аэроакустики с точки зрения точности результатов, получаемых при их численной реализации. Рассмотреть возможные источники ошибок численных решений и предложить пути достижения наиболее точных результатов.

2. Разработать методы задания начальных и граничных условий стохастической природы для обеспечения постановок задач аэроакустики, максимально приближенных к реальным эксплуатационным условиям.

3. Предложить численные методы повышенной точности, работающие на неструктурированных сетках, наиболее удобных при расчете задач аэроакустики в геометрических областях сложной конфигурации.

4. Продемонстрировать эффективность разработанных методик на примере численного решения одного класса задач прикладной аэроакустики, а

именно задач резонаторного типа, лежащих в основе моделирования звукопоглощающих конструкций.

Методы исследования

Основным методом исследования, используемым и развиваемым в работе, является метод вычислительного эксперимента. Он включает в себя технику построения математических моделей и численных методов для решения начально-краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, разработку реализующих их программных средств, а также адаптацию к конкретным прикладным задачам.

Научная новизна

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

1. Проведено исследование семейства моделей нелинейной аэроакустики на основе полных уравнений Эйлера с точки зрения эффективности их использования для расчета задач аэроакустики. Для этой цели был предложен метод оценки глобальной ошибки системы моделирования «модель+метод», включающей в себя ошибки из-за неполноты модели, неточности численного алгоритма и ошибки округления. Предложены две формулировки нелинейных уравнений для возмущений, устойчивые к ошибкам округления при малых амплитудах решения.

2. Предложено использовать развиваемый специалистами в области общего стохастического моделирования и теории вероятности рандомизированный спектральный метод для численного исследования задач аэроакустики, а именно, для построения стохастических моделей акустических и турбулентных возмущений среды с целью имитации реальных физических условий. На основе рандомизированного спектрального метода построены гладкие реализации для случайного поля турбулентной скорости со спектром фон Кармана, а также акустического шума, распределенного в заданной полосе частот.

3. На основе квазиодномерной реконструкции потоковых переменных разработано новое семейство схем повышенной точности для расчета задач аэроакустики на неструктурированных сетках при определении переменных в узлах.

4. Предложена методика определения акустического импеданса резонаторов на основе численного моделирования. Разработанная методика может быть использована при исследовании и оптимизации ячеек звукопоглощающих конструкций резонансного типа.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы заключается в исследовании моделей нелинейной аэроакустики с точки зрения эффективности их численной реализации, а также предложение двух новых формулировок нелинейных уравнений для возмущений, корректно работающих во всем диапазоне амплитуд решения. В работе предлагается новый подход к оценке точности моделирования, одновременно учитывающий ошибки из-за неполноты математической модели, неточности вычислительного алгоритма, а также ошибки округления. Теоретическую ценность представляет предлагаемый принцип построения схем повышенной точности на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках на основе квазиодномерной реконструкции потоковых переменных в рамках метода конечных объемов. Данный подход позволяет объединить в себе преимущества методов конечных объемов и конечных разностей в рамках одного алгоритма.

С практической точки зрения, основную ценность представляет предложенная постановка вычислительного эксперимента по определению инженерных характеристик резонаторов, а также проведенные в ее рамках расчеты, подтверждающие возможность использования средств математического моделирования для оптимизации параметров ЗПК. В частности, в работе при помощи вычислительного эксперимента показано существенное влияние нелинейных и диссипативных эффектов, а также наличия

касательного течения на характеристики звукового сопротивления, создаваемого ячейками ЗПК.

Основные публикации

По теме диссертации опубликовано 58 работы, включая 11 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования научных результатов докторских диссертаций. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [122].

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается верификацией путем сравнения с известными аналитическими решениями, демонстрацией сходимости численного решения по сетке, а также валидацией по отношению к известным теоретическим и экспериментальным данным.

Апробация результатов диссертации

Результаты исследований, приведенных в диссертационной работе, были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях:

• Открытые всероссийские конференции по Авиационной акустике: 1-5 октября 2007, 5-9 октября 2009г., Звенигород Московской обл;

• Joint Russia-Japan Symposium "Numerical Experiment in Hydrodynamical Instability and Turbulence with High-Performance Computing", November 1113, 2009, Moscow;

• Russian-Indian Workshop on Scientific and Engineering Applications on high performance computing systems, November 24-26, 2009, Moscow;

• ECCOMAS 2004 Conference, July 24-28, 2004, Jyvaskyla, Finland; ECCOMASAVCCM8, June 30 - July 4, 2008, Venice, Italy;

• NUMGRID 2008 Conference, June 10-23, 2008, Moscow;

• Parallel CFD Conferences: May 13-15, 2003, Moscow, Russia; May 24-27, 2004, Las Palmos, Canary Islands, Gran Canaria, Spain; May 24-27, 2005,

May 21-24, 2007, Antalya, Turkey; College Park, MD, USA; May 19-22, 2008, Lyon, France;

• Открытые всероссийские конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике": 27-30 сентября 2006 года; 24-26 сентября 2008 года; 20-25 сентября 2010 года, г. Светлогорск Калининградской области;

• WEHSFF and EWHSFF Conferences: April 22-26, 2002, Marseille, France; October 19-22, 2005, Beijing, China; November 19-22, 2007, Moscow;

• Europe-Russia Workshop. Mathematical Modeling, Computation and Experimentation in Multiphysics Aerospace and Environmental Engineering Problems, November 8-10, 2006, Barcelona, Spain;

• Seminar at Los-Alamos National Laboratory, USA, May 15, 2006;

• AIAA/CEAS Aeroacoustics Conferences: May 28-30, 2001, Maastricht, The Netherlands; June 17-19, 2002, Breckenridge, USA; May 8-10, 2006, Cambridge, USA; June 7-9, 2010, Stokholm, Sweden;

• International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics", Moscow, June 19-25, 2006;

• International Workshop on Contemporary Research in Hypersonics and Shock Waves, January 27-28, 2005, Bangalore, India;

• International conference on Selected Problems of Modern Mathematics, dedicated to the 200th anniversary of K.G. Jacobi, and the 750th anniversary of the Koenigsberg foundation, April 4-8, 2005, Kaliningrad;

• PROMUVAL Workshop "Prospective in Multidisciplinary Modeling, Simulation and Validation in Aeronauticas", November 22-23, 2004, Athens, Greece;

• MASCOT04-IMACS /ISGG Workshop, November 25-27, 2004, Florence, Italy;

• EWM 2003, Novemver 3-7, 2003, Luminy, France;

• SCI 2003 Conference, July 27-30, 2003, Orlando, Florida, USA

• I SNA-16 Conference, August 19-23, 2002, Moscow, Russia.

Результаты работы докладывались на ряде научных семинаров в России, в частности, на семинаре К.И.Бабенко в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (2006), на

научных семинарах в ЦАГИ имени проф. Н.Е.Жуковского (в том числе в 2010), ЦИАМ им. П.И.Баранова (2006), ИММ РАН (2010), и за рубежом, в частности, на научном семинаре в Национальной Лаборатории Лос-Аламоса, США (2006), в институте INRIA, Франция (2002, 2008). Практические результаты работы были представлены также на Российском технологическом саммите, проводимом EADS и Российской академией наук в 2005 году.

Реализация и внедрение результатов работы

Работа выполнялась в рамках научных планов Института математического моделирования РАН и поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований. Методики, представляемые в работе к защите, используются в договорных работах с ОАО «Авиадвигатель», Пермь, ОАО «ОКБ Сухого», Москва, а также в проекте VALIANT по исследованию шума при обтекании самолета Седьмой рамочной программы Европейского Союза.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении проводится обзор современных методов математического моделирования в аэроакустике, анализируются трудности, связанные с внедрением метода вычислительного эксперимента в практику инженерного конструирования. Далее формулируются цели и задачи проведенного в диссертационной работе исследования, обосновывается его актуальность, а также приводятся научные положения, выносимые на защиту. Завершается Введение кратким описанием содержания работы и ее структуры.

Глава 1 диссертации посвящена рассмотрению семейства математических моделей аэроакустики в наиболее полной постановке. К таким моделям в работе относятся системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику трех основных газодинамических переменных (плотность, скорость и давление) в случае идеального газа и выведенные на основе полных уравнений Эйлера. При решении задач аэроакустики модели «семейства Эйлера», как правило, используются для моделирования ближних акустических полей течения.

Основным объектом исследования в вычислительной аэроакустике являются пульсационные составляющие физических параметров течения. Поэтому рассмотрение математических моделей предваряется описанием декомпозиции газодинамических переменных на средние и пульсационные компоненты. На основе декомпозиции физических переменных строится декомпозиция консервативных переменных, которая в дальнейшем берется в качестве базовой при рассмотрении математических моделей. Для наглядности все формулы в этой главе приводятся для двумерного случая.

Предположим, что в задаче задано некоторое фоновое течение с физическими параметрами и = . Тогда в решении И = ,

где р - плотность, м,у - компоненты скорости, р- давление, всегда можно выделить это фоновое течение и пульсации относительно него и = и + и' 11' = (р',м',у',р')Г. С учетом разложения физических переменных

вектор консервативных переменных Q = Q(U)=| p,pu,pv,p—---ьре

, где

е — внутренняя энергия газа, может быть так же разложен на некоторое среднее значение и пульсации вокруг него 0 = 0 + 0'. При этом, средняя и пульсационная компоненты вектора консервативных переменных могут быть формально определены как 0 = 0(и| и = + В дальнейшем

при рассмотрении моделей аэроакустики используется именно такая интерпретация. В то же время, следует отметить, что в тех случаях, когда принципиально использование в качестве фонового именно среднего течения, для декомпозиции консервативных переменных следует использовать

формулировку 0 = 0(и) и <2' = <2(и + и')-<2(и+и').

Естественно, что сами уравнения Эйлера и Навье-Стокса (ЕЕ и ЫЗЕ в обозначениях), на основе которых строится семейство моделей аэроакустики, также принадлежат этому семейству. С сохранением декомпозиции переменных на средние и пульсационные составляющие, они могут быть выписаны в векторном виде как

'О ЕЕ

a(Q + Q') 5F(q + Q') 3G(Q + Q')_

di дх ду

SFVÍQ + Q') 5G ÍQ + Q') (1)

vV —v ' NSE

дх dy

где F, G.Fj.jG,, обозначают векторы конвективных и вязких потоков соответственно.

Одной из наиболее распространенных моделей аэроакустики являются линеаризованные уравнения Эйлера (LEE)

¿Q'/.,, , дАД'ш [ dAyQ'lln = ^ (2)

8t дх ду

где под Q';/n понимается линейная по пульсациям физических переменных

_ ^р ____gQ _

часть Q', а матрицы Ar=-^(Q), ^^^qÍ^) являются -Якобианами потоков средних полей течения Q.

Еще одной моделью «семейства Эйлера» являются нелинейные уравнения для возмущений, известные в англоязычной научной литературе как NLDE -NonLiner Disturbance Equations'. Эти уравнения не столь широко используются в аэроакустике в настоящее время, и одной из целей работы является привлечение внимания к их полезным свойствам. В наиболее общем виде нелинейные уравнения для возмущений могут быть выписаны как

5Q' [ 3(F(Q + Q')-F(Q)) | 8(G(Q + Q')-G(Q)) 3F,(Q') | 3Gy(Q') (3)

dt дх ду дх ду

при условии, что среднее поле удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса (в противном случае, в уравнениях NLDE появляется источник). Как показано в работе на тестовых примерах, уравнения (3) более устойчивы к ошибкам округления по сравнению с исходной моделью Навье-Стокса (1). Это связано с тем, что основной расчетной переменной в них является пульсационная компонента течения, в которой не учитывается масштаб среднего поля. Однако при уменьшении амплитуд устойчивость решения уравнений (3) к ошибкам округления также портится. Рост неустойчивости происходит за счет членов типа F(Q + Q')-F(q), ошибка округления R при вычислении которого определяется формулой

R/Mf(a) + Rmf(b)

Видно, что при близких значениях а и Ь, что соответствует малости Q', числитель в формуле (4) стремится к нулю, что приводит к неконтролируемому росту ошибок округления.

В работе предлагаются две новые формы нелинейных уравнений для возмущений, которые обладают устойчивостью к ошибкам округления. Первая формулировка выводится через матрицу средних

5Q' | 5a""'"Q' | 5a;:""'Q'_5Fv(Q') [ gCv(Q') dt дх ду дх ду

1 Morris, P., Long, L., Bangalore, A., and Wang, Q., A Parallel Three-Dimensional Computational Aeroacoustics Method Using Nonlinear Disturbance Equations, - J. Comp. Phys., Vol. 133, (1997), pp. 56-74

где матрицу средних предлагается построить на основе осреднения по Роу2 между состояниями О + О' и О

а""'"" = = \(р"'"!',и"""',у'1"е',Н""'1') а,

Модель с использованием матрицы Роу (5) обозначим ЖБЕ/Кое. Заметим, что матрицу средних можно определять не единственным образом.

Другая формулировка, обеспечивающая устойчивое решение при каких угодно малых амплитудах, получается путем выделения из разности + линейной части

р(С> + о') - р(0) = Аг (О)о' + да, (о,(}')(}'. (6)

Чтобы сравнить качество численного решения, получаемого при помощи различных моделей, в работе предложен метод оценки «глобальной» ошибки моделирования, включающей в себя ошибки из-за неполноты математического описания, неточности вычислительного алгоритма, а также ошибки округления, возникающие при работе с числами с плавающей арифметикой. При этом в качестве идеального решения, относительно которого проводится сравнительный анализ, берется точное решение наиболее полной математической модели.

В работе такой анализ моделей проводится на примере расчета тестовой задачи с искусственно заданным бесконечно гладким решением, представляющего собой экспоненциальное затухание начального возмущения в форме Гауссовского импульса. В качестве наиболее полной модели брались уравнения Эйлера. В расчетах использовались разрабатываемые в работе конечно-объемные схемы на основе квазиодпомерной реконструкции потоковых переменных с порядком точности с третьего по шестой.

: P.L. Roe, Approximate riemann solvers, parameter vectors and difference schemes, - J. Comp. Phys., Vol. 43, pp. 357-372, (1981)

Рис. 1: относительная ошибка численного моделирования задачи с искусственным решением при использовании различных моделей и схем различной точности в зависимости от амплитуды начального возмущения

Диаграмма, представленная на Рис. 1, показывает относительную ошибку вычислений в норме L, , полученных при использовании моделей ЕЕ (1), LEE (2) и NLDE/Roe (5) и схем разного порядка точности, в зависимости от амплитуды В начального возмущения. На диаграмме видно, что в зоне относительно больших амплитуд (в левой части графиков) минимальную ошибку для всех схем дают наиболее полные, нелинейные модели (ЕЕ, NLDE и NLDE/Roe). Причем, чем выше порядок точности схемы, тем более узким становится диапазон амплитуд, где вычисления дают корректный результат. Начиная некоторой величины амплитуды, ошибка вычислений по моделям ЕЕ и NLDE резко нарастает с уменьшением решения. Это происходит из-за роста ошибок округления. В то же время, начиная с некоторых амплитуд в сторону их уменьшения, минимальные ошибки относительно точного решения начинает давать линейная модель LEE, которая при большой величине решения работала

некорректно в силу своей неполноты. Единственной моделью, обеспечивающей минимальные ошибки численного решения во всем диапазоне амплитуд, является модель NLDE/Roe.

Такой же метод оценки «глобальной» ошибки моделирования в работе применяется и для анализа влияния точности аппроксимации вязких членов в зависимости от числа Рейнольдса и амплитуды решения.

В работе впервые выводятся нелинейные уравнения для возмущений двух типов U' = и', + Uj, один из которых задан или моделируется извне. Задача при этом решается относительно пульсационной компоненты, соответствующей возмущениям второго типа. В наиболее общем виде уравнения могут быть выписаны относительно вектора переменных Q' = Q (U + UJ + U'2) - Q (U + UJ) как

5Q- | a[F(Q + Q')-F(Q)] [ a[G(Q + Q')-G(Q)]

dt дх ду

aFv(Q-) | acv(Q-) | s.'

дх ду

где в качестве фонового течения выступает вектор Q = Q(U + Ui), а источниковый член S записывается в виде

[dQ | 3F(Q) | 5G(Q) 5Fv(Q) 8GV(Q)

dt дх ду дх ду

По аналогии с нелинейными уравнениями для возмущений NLDE выписанная модель (7) получила название NLDDE (NonLiner Decomposed-Disturbances Equations). Нелинейные уравнения для двух типов возмущений NLDDE (7) могут быть использованы, например, в том случае, когда в аэроакустических расчетах учитывается случайное поле турбулентной скорости, моделируемое отдельно при помощи стохастических методов.

В Главе 2 диссертации рассматривается возможность включения в обеспечение вычислительного эксперимента в аэроакустике методов

стохастического моделирования с целью воспроизведения в расчетах условий внешней среды.

Задачи прикладной аэроакустики достаточно часто характеризуются наличием внешних или внутренних источников звука стохастической природы. Наиболее распространенными из них является поступающий извне шум с некоторыми спектральными характеристиками, а также турбулентное возмущение окружающей воздушной среды. Для учета этих явлений при моделировании задач аэроакустики в диссертации предлагается использование гладких реализаций случайных процессов с заданными свойствами, генерируемых на основе рандомизированного спектрального метода (РСМ)3 4. Полученные таким образом реализации могут использоваться для математического описания внутренних или граничных источников, а также начального или фонового поля течения.

В начале Главы 2 предлагаемая технология на основе РСМ применяется для генерации акустического шума, равномерно распределенного в заданной полосе частот. Использование стохастически заданного шума при решении задач аэроакустики иллюстрируется задачами об акустическом возбуждении сдвиговых слоев.

Сначала решается задача о нахождении характерных частот слоев смешения на основе линеаризованных уравнений Эйлера (LEE) (2) и нелинейных уравнений для возмущений (NLDE/Roe) (5) при известном из предварительных расчетов среднем поле течения. Моделируемый равномерный шум используется в качестве граничного источника возмущений и распространяется вместе с потоком. При этом анализируется отклик возбуждающего сигнала в разных поперечных сечениях сдвигового слоя. При продвижении вдоль центральной линии слоя в изначально равномерном спектре входящего сигнала появляются видимые частотные пики, а сам спектр из широкополосного становится почти дискретным по мере удаления от кромки.

' С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов, Курс статистического моделирования, - Гл. ред. физ-мат. литры изд-ва "Наука", М., (1976)

4 О. Kurbanmuradov, К. Sabelfeld., Stochastic Spectra! and Fourier-Wavelet Methods for Vector Gaussian Random Fields, - Monte Carlo Methods and Applications, Vol. 12, No. 5-6, (2006)

На Рис. 2 показана трансформация спектра возмущений давления для дозвукового слоя смешения. Численно полученные характерные пики с высокой точностью соответствуют закону обратной пропорциональности в зависимости от удаления от кромки, или от ширины сдвигового слоя. Аналогичная задача решалась для трансзвукового и сверхзвукового слоя смешения.

140

1.10

— 120-Ш

г но н «

3 100 и

й 90 £ 80

70 60

Iй

А?

~I-1-1-1-1-1 I I I I

10 70 .10 40 50 60 70 ВО 90 100 Ягефмшсу (КН?)

Рис. 2: спектр возмущений в дозвуковом слое смешения в сечениях на разном расстоянии от кромки разделяющей пластины

Звуковое возбуждение дозвукового сдвигового слоя моделируется также на основе уравнений Навье-Стокса. Показывается возможность влияния на расположение точки отрыва вихрей акустическим шумом. На Рис. 3 показаны поля плотности в слое смешения с наличием акустического возбуждения и без.

миимиииии

. ....,

Рис. 3: поле плотности дозвукового слоя смешения при наличии акустического возмущения (снизу) и без него (сверху)

Наиболее актуальным является использование РМС для искусственного синтеза турбулентности с заданными свойствами. Требованием к разработанной в работе модели турбулентной скорости является соленоидалы-юсть поля clivfi=0 в предположении, что произвольное дифференцируемое векторное поле может быть разложено на соленоидальное (вихревое) и потенциальное*. Для генерации поля турбулентной скорости также необходимо задание его средних значений и спектральной плотности Е(к). В диссертации реализована модель такого поля со спектром фон Кармана

Е(к) = А

2-К 3

-ехр

-2

(8)

8 И

где К - кинетическая энергия турбулентности, кк . = — - Колмогоровское

волновое число, е - скорость диссипации энергии турбулентности, V -кинематическая вязкость. Параметры спектра А и кг определяются из условий нормировки

^E(k)dk = K, 2v ^к1 E(k)dk = е,

для чего необходимо решить соответствующее нелинейное уравнение, например, при помощи метода Ньютона.

Согласно РСМ поле турбулентной скорости моделируется на основе суммы Nhw.m синусов и косинусов

U(X) = Q&,)[lp ■ X)) + sin(*,(й, ■ i))],

7V,

(9)

' Теорема о разложении Гельмгольца

где Л'/»™, случайных волновых чисел к„ е (0Д„„„,] п = \,Икот кт,т<кы<+ю

распределены с плотностью вероятности р(к) = Е(к) / а2, ст2 = ^Е(к)с/к ; со^, -

»

изотропный вектор с компонентами ю^ = со5(2тта;)), ш2 = 8ш(27кх;,) в

двумерном случае, где аре[0,1] - равномерно распределении! случайная

величина; и г\р - независимые случайные вектора с распределением Гаусса.

Все необходимые наборы случайных чисел моделируются при помощи стандартных генераторов случайных чисел один раз перед началом расчета.

Формула (9) реализует модель стационарного, однородного и изотропного поля и может быть использована в дальнейшем для построения более сложных моделей. В частности, в работе рассматривается более точная модель случайного поля модель с декомпозицией интервала волновых чисел, позволяющая учесть особенности спектра процесса, не увеличивая при этом общее количество гармоник, а также возможность обобщения модели на случай нестационарного поля.

Рис. 4: линии тока в синтезированном поле турбулентной скорости (слева) и возмущения давления при прохождении через него монохромной акустической волны (справа)

На Рис. 4 слева приведена одна из реализаций стационарного поля турбулентной скорости, которая использовалась при решении задачи о рассеянии плоской монохромной волны на однородном турбулентном поле. В

качестве параметров при моделировании поля скорости в данной задаче использовались величины кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации, соответствующие уровню развитой турбулентности в следе за цилиндром с числом Маха М=0.1 и числом Рейнольдса Re=105. На Рис. 4 справа приведена картина возмущений давления при прохождении по турбулентному полю монохромной волны частоты 1500 Гц и мощностью 137 дБ.

Следует отметить, что предлагаемый в диссертации подход к использованию реализаций поля турбулентной скорости для моделирования задач аэроакустики и, в том числе, для моделирования генерации звука турбулентностью, имеет ряд преимуществ перед наиболее известной моделью стохастической генерации и излучения шума SNGR5 - Stochastic Noise Generation and Radiation. Так, в разработанной модели поля автоматически выполняется условие соленоидалыюсти, она может использоваться для полей с произвольно заданным спектром, иметь обобщение на нестационарный случай, а также служить основой для разработки моделей неоднородных полей. С другой стороны, синтезированные поля турбулентной скорости в работе предлагается использовать в качестве известной компоненты возмущения в нелинейных уравнениях для возмущений двух типов (NLDDE) (7), представляющих собой наиболее полную модель такого типа в отличие от SNGR-подхода, в описывающие уравнения которого включаются, в частности, только линейные относительно акустических пульсаций члены.

Глава 3 работы посвящена построению многопараметрического семейства схем повышенной точности для расчета задач аэроакустики на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Схемы строятся в рамках метода конечных объемов на основе квазиодномерной реконструкции потоковых переменных.

В первых разделах главы дается интерпретация одномерного аналога многопараметрических схем как схем, получающихся путем двукратного

' W. Bechara, C. Bailly, P. Lafon, and S. Candel, Stochastic Approach to Noise Modeling for Free Turbulent Flows,-AlAA Journal, Vol. 32, No 3, pp. 455-463, (1994)

применения известного метода модифицированного уравнения6. Рассмотрения начинаются с одномерного уравнения переноса

ди г, „т

— + а— = 0 (10)

д! дх

с положительной скоростью а> 0. В соответствии с методом прямых за основу при построении разностной схемы берется полудискретная аппроксимация

уравнения ^^Г^ = —(м), где функция Ч'Д") есть разностная

аппроксимация пространственной производной.

Кратко вывод многопараметрических схем для уравнения переноса можно описать следующим образом. Для простейшей схемы с разностью против потока с первым порядком аппроксимации определяется первое дифференциальное приближение, исходя из вида которого, строится модифицированное уравнение, для которого исходная схема имеет уже второй порядок аппроксимации. Далее для модифицированного уравнения строится схема, которая использует кусочно-линейную реконструкцию переменных с весовым параметром Р, контролирующим вклад разностей вверх и вниз по потоку.

+аиМп-ин12=0 Ж), Ьх

Г . - , . ч (Ч)

Ах

'и

Для полученной схемы (И) также определяется дифференциальное приближение, которое показывает, что схема имеет третий порядок аппроксимации по пространству при Р = 1/3 и второй - при других значениях 0 < Р < 1. На основе дифференциального приближения опять строится модифицированное уравнение путем добавления нового диффузионного члена, взятого из дифференциального уравнения. Для модифицированного уравнения

6 Шокин Ю.И., Яненко H.H., Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике, - Изд-во «Наука», Сиб. отд-ние, Новосибирск, (1985).

также конструируется разностная аппроксимация. Т.к. добавочный диффузионный член включает третью производную, то она аппроксимируется третьими разностями: центральной разностью и разностью вниз по потоку с весовым коэффициентом

¿л 1я"Д-ц;-?/2_0

<Л )1 Ах

"./+1/2 7+1/2 ]2

(1-5)

( д2и .

а?]/5

3 и

(12)

"А -¡^[(1 - (-»/-!+ 3иГ 3"у+1+ «Л2 ) + 5 3»,-г 3»/+ )]

Из анализа правой части дифференциального приближения

с/гЛ аАх* (^ 2^\Э5м аАх\д6и /л 5\

— +Й— =--£— —Г +-%—- + 0[Ах ) (13)

8х 12 ^ 5)дх> 24 ^йс6 ^ '

схемы (12) можно видеть, что при £ = 2/5 пространственная аппроксимация исходного уравнения имеет пятый порядок точности.

В случае уравнения переноса со скоростью произвольного знака аппроксимацию пространственной производной можно представить в потоковом виде как

т (14)

Ах

а §

где базовый поток И определяется по формуле = — (н+г)-—

Параметр 5 в выражении означает количество схемной диссипации и изменяется от 0 до 1. При значении параметра 5 = 1 исходная схема представляет собой схему с направленными разностями первого порядка, а при параметре 8 = 0- центрально-разностную схему второго порядка.

Для построения схемы высокого порядка, интерполированные значения переменных вниз и вверх по потоку, обозначаемые в формуле (14) через м~+,/2 и

и]+\и> соответственно, с учетом обозначения Аи^хп =м>+1 — и- определяются по формулам

(1-р)Ди,+1(1+ рДиу.и

центральная вниз по потоку

НС (Ли,>з/2 - 2Лму+1/2 + А»>-1/2 ) + Ь (А"у+1/2 ~ 2Ди,_„2 + А";-3/2 )

центральная

вниз по потоку

(1-р)Д«>+1/2+ [ЗДм

центральная

7+3/2 вверх по потоку

+ ^ (Аи;+3/2 " 2А^+1/2 + Д^-./г)+ (Л";+5/2 - 2ДМу+3/2 + Аг/у+|/2) N_у_' V_¥_'

це/т!ри:шшя наерх по потоку

Упомянутые при выводе схемы (14)-(15) весовые коэффициенты 6, являются основными параметрами схемы, определяющими точность

ее пространственной аппроксимации. Приведем в Таблице 1 параметры для нескольких наиболее интересных схем.

Номер схемы б р Порядок

1 1 1/3 0 0 3

2 1 1/3 -1/6 0 4

3 1 1/3 0 -1/6 4

4 0 1/3 0 0 4

5 1 1/3 -1/10 -1/15 5

6 0 1/3 -1/10 -1/15 6

Таблица 1: порядок точности схемы в зависимости от параметров

В работе проведен анализ диссипативной и дисперсионной ошибок полученных многопараметрических схем. На Рис. 5 изображены амплитудные ошибки для схем с пятым и шестым порядком аппроксимации в зависимости от нормированного волнового числа ф / я и числа Куранта. Процедура интегрирования по времени выбирается с порядком точности, соответствующей порядку пространственной аппроксимации. Для всех схем, за исключением

схемы шестого порядка, модуль множителя перехода |G| всегда меньше или равен единицы для всех значений волнового числа и чисел Куранта в диапазоне от 0 до 1. Из этого следует, что амплитуда начального распределения может только уменьшаться со временем и выполняется необходимое условие устойчивости |G| < 1. Для схемы 6 это условие нарушается в области высоких частот и окрестности числа Куранта, равного 0.5. Также можно заметить отсутствие амплитудных ошибок (|G| = 1) для всех схем при небольших числах Куранта.

Рис. 5: амплитудные ошибки для схем 5го (слева) и бго (справа) порядков

Для демонстрации точности схем, в работе приведена тестовая задача о переносе начального возмущения, заданного в виде осциллирующего профиля

представленная на Четвертом семинаре по тестовым задачам вычислительной аэроакустики7.

L{ norm L2 norm norm

Д* = 1 / Ax = 1/2 9.42x10"' -4.95x10"' -8.48x10"'

Дх = 1/2 / Д* = 1/4 5.06 4.86 4.64

Дх = 1/4 / Д* = 1/8 5.96 5.96 5.94

АЛ: = 1/8 / Ajc = 1/16 5.99 5.99 5.99

Таблица 2: оценка порядка точности в разных нормах Z,,, 12 и Lm в зависимости от шага сетки

' Fourth Computational Aeroacoustics (САА) Workshop on Benchmark Problems, Cleveland, Ohio, October 20-22, 2003, URL: httpVAvww mathisu.edu/CAA4/Dclfs/Categorvl/problem.pdf

24

Таблица 2 показывает оценку порядка точности схемы в различных нормах в зависимости от величины шага сетки при использовании варианта схемы бго порядка точности.

По аналогии с уравнением переноса (10), схема строится и для уравнения Бюргерса

+ М = о, (.6)

д1 дх Жг

В этом случае, при использовании формулы (14) для аппроксимации пространственной производной согласно схеме Роу8 нелинейный поток может быть выписан как

Основываясь на представлении численного потока (17), невозможно построить схему с порядком точности выше второго для нелинейного уравнения9. Поэтому в работе для построения схемы повышенной точности предлагается перейти к реконструкции потоков и, соответственно, использовать для дальнейших построений одномерную схему Хуанг10

где й(/;,д,/у;,д) = -|8;8п(<1/2 + -/;,г), а /;|/2 и

/и/2 брать в виде интерполированных значений потоковых функций, сконструированных с использованием параметров Р, с,% для определения наклона интерполяционных прямых, аналогично (15).

8 Roe, Ph. L., Some Contributions to the Modelling of Discontinuous Flows, - Lectures in Applied Mathematics, Vol. 22, Pt. II, (1985), pp.163-193

9 Wu H. and Wang L, Non-existence of third order accurate semi-discrete MUSCL-type schemes for nonlinear conservation laws and unified construction of high accurate ENO schemes. - In Proceedings of the 6th International Symposium on CFD, Lake Tahoe, USA, September 4-8, (1995)

10 Huang L.C., Pseudo-Unsteady Difference Schemes for Discontinuous Solution of Steady-State, One-Dimensional Fluid Dynamics Problems, - Journal of Computational Physics, Vol. 42, (1981), pp. 195-211

Дальнейшее содержание Главы 3 посвящено обобщению многопараметрических схем на неструктурированные треугольные и тетраэдральные сетки с определением переменных в узлах, а также их адаптации ко всем моделям «семейства Эйлера», используемых в расчетах задач аэроакустики.

Численные алгоритмы метода конечных объемов с определением переменных в узлах сетки помимо сетки как таковой требуют дополнительных геометрических построений, связанных с необходимостью определения ячеек, для которых выписываются разностные аналоги законов сохранения. В работе используются ячейки двух типов, а именно «медианные» и «срединно-перпендикуляриые», названные так в зависимости от опорных точек для построения ячеек, которыми являются центры тяжести треугольника/тетраэдра и центры описанных окружностей соответственно.

В многомерном случае схема строится для наиболее общего вида для всех рассматриваемых в работе моделей аэроакустики

ад + 5^+ас(о) + зн(о) = 8! (]9)

д1 дх ду д: считая при этом, что под расчетной переменной О и потоками С((2),Н((2) понимаются разные функции в зависимости от выбора модели. Полудискретная аппроксимация для такой системы уравнений выписывается в виде

где |С;| - площадь ячейки С,, построенной вокруг узла ¿, а £1, - набор узлов, соседних по отношению к узлу /. Выражение (20) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируемых в рассматриваемой схеме при помощи метода Рунге-Кутты (до 4-го порядка точности) или его линейной версией произвольного порядка точности.

Техника построения схемы заключается в аппроксимации потоков Ф(>. Вводя обозначения

А„=АХ + А Х + АЛ УВ: В„=ВХ + ВХ + В;<

где пу, ) - вектор нормали к грани между узлами / и у, можно записать противопотоковую аппроксимацию Ф,у первого порядка как

При этом, центрально-разностная часть потока Ф^0 в (22) вычисляется согласно

формулам Ф": = —

для всех рассматриваемых уравнений

аэроакустики, в то время как диссипативный поток для разных моделей «семейства Эйлера» будем вычислять аналогично одномерной схеме Хуанг следующим образом:

1) для уравнений Эйлера

(23)

2) для линеаризованных уравнений Эйлера I

'г

или

Р=(АхО',Луо',А.О)

3) для нелинейных уравнений для возмущений в общем виде (NL.DE)

Э,=5^п аГ (д,+д;,д,+д;.)[(*■„ (д+д')), - (к. (д+д'))(

(24)

. (25)

или, в случае постоянного среднего поля

=б1818пАп;*(д,+д;,д,+д;)[(к„(д+д')), - (ё,(д+д')).], (26)

что по сути совпадает с диссипативным потоком в случае уравнений Эйлера,

4) для формулировки нелинейных уравнений для возмущений через матрицу средних (NLDE/Roe)

Kai / —

(27)

В разрабатываемых в диссертации схемах поток более высоких порядков предлагается вычислять на основе определения базового конвективного потока (23)-(27), но с заменой потоковых функций Р,С,Н на их интерполированное

(реконструированное) значение Б^ = (Р£,С£,Н£)

Опишем процедуру реконструкции на примере потоковой функции Р. Чтобы получить интерполированные значения функции со стороны узлов / и

согласно формулам Р)Л -■^•(УР)^-ц, Р^ =Р/-у, необходимо

определить скорость роста функции вдоль вектора направления у между узлами, характеризуемую градиентами ^Р)^ и . Поэтому задача о

реконструкции потоковых переменных сводится к построению аппроксимации этих градиентов. Это делается в полном соответствии с одномерным случаем при замене соответствующих разностей их многомерными аналогами. Таким образом, аппроксимация градиента (^Р)^ выражением

' '■)= 0 ~ • и + Р(^Р)" ' Ц (29)

при 0 < р < 1 обеспечивает порядок схемы до 4го включительно. Четвертый порядок аппроксимации достигается на «декартовом»* подмножестве неструктурированной сетки при выборе параметров 5 = 0, р = 1 / 3.

Приведенный способ аппроксимации потока через грань ячейки, разделяющую узлы < и_/, использует шаблон, представленный на Рис. 6.

Здесь и далее под «декартовыми» сетками понимаются треугольные сетки, полученные путем разбиения прямоугольных ячеек декартовой сетки на два прямоугольных треугольника или тетраэдральные сетки, полученные путем разбиения параллелепипедов (кубов) па тетраэдры, каждая из граней которого является прямоугольным треугольником

Рис. 6: базовый шаблон схемы на основе «противопотоковых» треугольников

Более точную пространственную аппроксимацию можно получить, если улучшить точность интерполяции и использовать выражение

+ (30)

Эта аппроксимация строится на расширенном шаблоне, включающем в себя помимо узлов базового шаблона все соседние к ним точки. В зависимости от выбора параметров аппроксимации 5,Р, полученная схема может

достигать точности до бго порядка включительно на «декартовых» сетках.

Приведенные аппроксимации используют многомерные градиенты

различных типов: центральный градиент ^Р)^, градиенты на треугольниках (У^)" и ^Р)^ вверх и вниз по потоку соответственно, комбинированный

градиент ^Р)^ , узловые градиенты ^Р). и (^Р)^. Способы вычисления

названных градиентов подробно приведены в диссертации.

Построение схемы в трехмерном случае для тетраэдральных сеток происходит аналогичным способом с точностью до замены в шаблоне противопотоковых треугольников противопотоковыми тетраэдрами.

Полученные в рамках метода конечных объемов многопараметрические схемы имеют второй теоретически обоснованный порядок точности на произвольных тетраэдральных или треугольных сетках. В то же время при

переходе на «декартовые» сетки пространственная аппроксимация схемы распадается на квазиодномерные конечные разности высокого порядка точности в зависимости от выбора параметров схемы. Соответственно, сама схема становится высокоточной. Это свойство схемы приводит к тому, что на практике, при использовании сеток произвольной структуры точность результатов оказывается заметно выше, чем при использовании традиционных конечно-объемных схем второго порядка. Этот факт подтвердили проведенные в работе исследования на сгущающихся сетках нерегулярной структуры, которые показали, что сходимость результатов по сетке происходит со скоростью, превышающей второй порядок.

В завершении Глава 3, возможности построенного многопараметрического семейства схем, построенных на основе квазодномерной реконструкции потоковых переменных, демонстрируется на ряде многомерных модельных задач.

Глава 4 диссертации посвящена программной и, в том числе, параллельной реализации разработанных схем с использованием квазиодномерной реконструкции переменных и созданию на их основе исследовательского комплекса программ М018Еие, предназначенного для численного моделирования задач аэроакустики и газовой динамики на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках с определением переменных в узлах.

Помимо общей характеристики комплекса программ ЫОКЕИе, в Главе 4 дается обзор реализованных в нем численных алгоритмам. Внимание уделяется аппроксимации диффузионных потоков в рамках метода конечных элементов, определению граничных численных потоков, а также методу интегрирования по времени.

Большая часть Главы 4 состоит из детального описания параллельной реализации предлагаемых схем повышенной точности для расчетов на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью. Трудность параллельной реализации определяется широким шаблоном

нерегулярной структуры, который используется для аппроксимации конвективных через грани ячеек, разделяющим узлы сетки. Для преодоления этой трудности в работе предлагается ряд приемов, основным из которых является замена пересылок повторяемыми вычислениями.

Рис. 7: график ускорения для задачи «струя, набегающая на цилиндр»

Для подтверждения высокой эффективности используемых параллельных алгоритмов приводятся графики ускорения для тестовых и реальных задач аэроакустики при использовании более тысячи процессорных ядер. На Рис. 7 показано ускорение, полученное при прямом численном моделировании задачи о натекании круглой струи на цилиндр бесконечной длины, выполненном на сетке размерностью 2048К узлов и 12067К тетраэдров. Полученное в расчете поле модуля скорости в центральном сечении поперек цилиндра показано на Рис. 8.

10'

N оГСРНэ

10"

Рис. 8: мгновенное распределение модуля скорости при натекании круглой струи на бесконечный цилиндр

В Главе 5 описывается проведенный вычислительный эксперимент по исследованию резонаторов и ячеек ЗПК резонансного типа.

ЗПК представляют собой двух- или многослойные панели сотовой структуры, каждая ячейка которых представляет собой резонатор. Панели ЗПК широко используются в авиастроении для снижения шума турбореактивных двигателей.

При разработке и оптимизации ЗПК широко используются физические эксперименты двух типов. Первый тип - это лабораторные эксперименты по изучению свойств отдельно взятого резонатора в импедансной трубе. Такие эксперименты проводятся, например, в ОАО «Авиадвигатель», Пермь, в Лаборатории аэроакустики Кафедры акустики Физического факультета МГУ. Второй тип экспериментов носит инженерный характер и больше ориентирован на промышленное использование. В его рамках исследуются не отдельные резонаторы, а целые панели ЗПК, которыми облицованы стенки канала. С одной стороны в канал подается поток с акустическим возмущением. На входе и выходе из канала находятся реверберационные камеры, в которых проводятся измерения. Такие эксперименты проводятся, в частности, в ЦАГИ им. Проф. Н.Е Жуковского и ЦИАМ им. П.И.Баранова.

На первом этапе численного исследования разработанные в работе численные методики и программное обеспечение использовались для воспроизведения двух указанных типов физических экспериментов вычислительными средствами. В первой части Главы 5 подробно описываются результаты соответствующих расчетов и дается их физическая интерпретация.

Рис. 9: изоповерхности плотности при прохождении монохромной акустической волны сквозь отверстие резонатора в импедансной трубе

Для моделирования эксперимента по исследованию свойств резонатора в импедансной трубе использовались двумерные и трехмерные постановки на треугольных и тетраэдральных сетках соответственно. Изоповерхности плотности, полученные в результате трехмерного расчета при падающей монохромной акустической волне мощностью 147 дБ, показаны на Рис. 9. На рисунке видно, что в окрестности входного отверстия в резонатор задача перестает быть линейной и симметричной относительно оси. На правом рисунке (Рис. 9) можно заметить вихревые кольцеобразные структуры, формирующиеся у входного отверстия.

Расчеты по моделированию резонаторов в канале при наличии дозвукового касательного течения с числом Маха М=0.2 проводились в двумерной постановке на треугольных стеках. На Рис. 10 представлено поле плотности в окрестности входного отверстия в резонатор. Видно формирование (с передней кромки отверстия) сдвигового слоя с вихревыми структурами, которые налетают на заднюю стенку отверстия, проникают внутрь резонатора и

частично распространяются вдоль поверхности канала. Помимо вихревых структур на Рис. 10 заметно акустическое излучение, которое распространяется как снаружи, так и внутри резонаторной камеры. Проведенные численные эксперименты показали, что наличие акустического излучения («свиста») принципиальным образом зависит от толщины пограничного слоя, образующегося на передней кромке отверстия. При достаточно толстом погранслое явление «свиста» не наблюдается.

Рис. 10: поле плотности в окрестности входного отверстия резонатора

На правом рисунке (Рис. 10) внутри резонатора различимы структуры, полученные в результате отражения проникающих акустических волн от стенок. Следует отметить, что одновременное воспроизведение разномасштабных акустических и турбулентных возмущений в рамках одного расчета возможно благодаря использованию в расчетах схемы высокого порядка точности.

Проведенные численные исследования дают возможность предварительного качественного анализа физических процессов, происходящих внутри ячеек ЗПК при различных режимах течения. Для получения же более точной информации, в том числе необходимых количественных характеристик, требуется валидация полученных результатов относительно достоверных физических данных, в качестве которых, в первую очередь, в работе рассматривается резонатор Гельмгольца.

Во второй части Главы 5 предлагается методика определения технических параметров ЗПК (акустического импеданса и коэффициента

прохождения) по результатам расчетов и проводится ее апробация на задаче о резонаторе Гельмгольца с известными свойствами.

■Р.

Р'

Рис. 11: постановка задачи о изучении свойств резонатора

Конкретная конфигурация задачи по поиску характерных частот резонатора представлена на Рис. 11. Резонансная частота в двумерном случае теоретически оценивается как

(31)

5 ,

—+ а!п— 5 с1 с!)

где Н - диаметр волновода, с! и б - ширина и длина входного отверстия.

Акустический импеданс резонатора в установке, представленной на Рис.11, для гармоники к можно вычислить через коэффициент прохождения \¥к = А\_! А*, представляющий отношения амплитуд прошедшей и падающей

волн, при помощи формулы

й

ц/к

(32)

рс Н2(\-1Ук)'

На Рис. 12 представлены теоретические (верхний ряд) и расчетные (второй сверху ряд) значения модуля и фазы коэффициента прохождения для резонаторов разной конфигурации, схематически показанных на Рис. 13.

I

Щ

• \. / \! '" : 1 „. 1 | - } " ' ..... "

\ г Г Г" 1 1/ ' Г" /

' М 1 1 _ I \

-----,------,-----------г-----------4-----•----Г "2.8 -

!СЙ 1*0

\ X ■* / 1 X "Л Т!""7 / — -......}

X Ж /' /

Частота <Тд]

1>иа<»р 2 »»яг;!») 3

г«; ж к*» "л

Чяеютя (Гц)

| »и, IЬ

■ ]

|Д ■

■У

.....а

я« ¡лалйм-ол 150АГ>МЧ>.1 £<: 130 аЬ

'у.

Рис. 12: теоретические (сверху) и расчетные значения модуля и фазы коэффициента прохождения для разных режимов течения

I . !

................. : \| ! ........1

Л) 1.1 41

Рис. 13: конфигурации резонаторов, рассматриваемых в работе

Следует отметить, что упомянутые в начале Главы 5 физические эксперименты не дают возможности исследовать отдельно взятую ячейку ЗПК в условиях, приближенных к эксплуатационным. Так, эксперименты в канале нацелены на воспроизведение реальных условий, но исследуют при этом результирующий коллективный эффект звукопоглощения всеми панелями ЗПК, установленными в канале. Отдельная же ячейка является объектом изучения только при проведении экспериментов в импедансной трубе. Однако в импедансной трубе технически невозможно организовать течение, непременно присутствующее в условиях эксплуатации ЗПК. Для детального изучения свойств отдельной ячейки в реальных условиях, в том числе при наличии потока с разными параметрами пограничного слоя, в работе предлагается использовать третий тип экспериментальной постановки, а именно «вычислительный стенд» в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе». Схематически он полностью соответствует постановке, представленной па Рис. II. Принципиальным отличием от эксперимента в канале является диаметр волновода, выбираемый существенно меньшим по сравнению с длинами падающих волн.

На графиках в третьем и четвертом сверху рядах на Рис. 12 представлены полученные численно значения модуля и фазы коэффициента прохождения для резонатора А (Рис. 13) при учете нелинейных эффектов (третий ряд графиков), а также при наличии касательного дозвукового течения со скоростью М=0.1. Анализ представленных расчетов показывает существенное изменение свойств резонатора при учете нелинейных эффектов, диссипации и, главным образом, при учете набегающего течения.

вал аут

Рис. 14: фрагмент неструктурированной тетраэдральной сетки (слева) и поле плотности (справа) в задаче о моделировании перфорированной ячейки ЗПК

Численные методики и параллельные алгоритмы, реализованные в комплексе программ ЫСНЗЕИе, позволяют обобщить предлагаемую технологию проведения вычислительного эксперимента для определения свойств ЗПК на трехмерный случай. При этом «виртуальному» исследованию могут подвергнуться ячейки различной конфигурации. Так, на Рис. 14 представлены фрагмент тетраэдральной сетки (слева) и поле плотности в центральном сечении вдоль волновода (справа) при моделировании свойств перфорированной ячейки ЗПК, имеющей 11 входных отверстий в полость резонатора. Модуль коэффициента прохождения для случаев простой и перфорированной ячеек ЗПК при различных мощностях входящего акустического излучения дан на графиках на Рис. 15.

Завершается Глава 5 описанием общей схемой вычислительного эксперимента по изучению свойств ячеек или систем ячеек ЗПК Виртуальная экспериментальная установка представляет собой волновод произвольного поперечного сечения с диаметром, много меньшим длин волн интересуемого диапазона. В частности, удобно брать волновод с прямоугольным сечением. В стенку волновода встраивается исследуемый объект, представляющий собой одиночную ячейку ЗПК или систему из нескольких ячеек ЗПК произвольной конфигурации.

I !

Рис. 15: модуль коэффициента прохождения для случаев простой и перфорированной ячеек ЗПК при различных мощностях падающего излучения

Слева в волновод подается течение с заданной скоростью и профилем пограничного слоя. В волновод подается также широкополосное акустическое излучение с заданным спектром, моделируемое гладкой реализации случайного процесса, построенной в виде суперпозиции плоских волн в рамках рандомизированного спектрального метода. Технология построения гладких реализаций случайных процессов описана в Главе 2.

Путем сравнения сигналов на входе и контрольном сечении на выходе из волновода определяется коэффициент прохождения и импеданс исследуемого объекта, т.е. инсталлированной на стенке ячейки или системы ячеек ЗПК. Важно заметить, что в отличие от коэффициента прохождения акустический импеданс не зависит от формы волновода и угла падения акустических волн.

В Заключении диссертации в сжатом виде формулируются основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Показано, что при численной реализации моделей нелинейной акустики нелинейные уравнения для возмущений позволяют корректный переход к линейным формулировкам при уменьшении решения. Предложены две новые формы записи нелинейных уравнений для возмущений: с использованием матрицы средних и с выделением линейной части, обеспечивающие устойчивость к ошибкам округления и корректную работу во всем диапазоне амплитуд решения. Получены нелинейные уравнения для возмущений двух типов, один из которых задан или моделируется извне.

2. Разработаны и реализованы стохастические модели поля турбулентной скорости со спектром фон Кармана и акустического возмущения, равномерно распределенного в заданной полосе частот, на основе рандомизированного спектрального метода. Модели построены с целью имитации реальных физических условий при моделировании задач аэроакустики.

3. Построено многопараметрическое семейство схем метода конечных объемов повышенной точности на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках для расчета задач аэроакустики, описываемых моделями на основе полных уравнений Эйлера. Схемы основаны на квазиодномерной реконструкции потоковых переменных. Дана одномерная интерпретация многопараметрических схем как схем, получаемых путем двукратного применения известного метода модифицированного уравнения. Проведен теоретический и экспериментальный анализ одномерного аналога многопараметрических схем, возможности схем для многомерных задач на неструктурированных сетках продемонстрированы на модельных задачах.

4. Проведено численное исследование ячеек звукопоглощающих конструкций в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе», трудно реализуемой в рамках физического эксперимента. Исследование проведено на основе серийных расчетов на высокопроизводительных системах параллельной архитектуры с использованием разработанных математических моделей и программного обеспечения. При помощи предложенной постановки вычислительного эксперимента изучены свойства резонаторов при различных параметрах падающего акустического возмущения, в том числе при наличии касательного дозвукового течения.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Tatiana К. Kozubskaya. Validation and Verification in Computational Aeroacoustics: from Linear to Nonlinear - In A series of Handbooks on Theory and Engineering Applications of Computational Methods. Verification and Validation Methods for Challenging Multiphysics Problems, CIMNE, Barcelona (2006), pp. 187208

2. Ilya V.Abalakin, Alain Dervieux, Tatiana K.Kozubskaya. On the accuracy of direct noise calculations based on the Euler model, - In Book Computational Aeroacoustics, edited by G.Raman, Multi-Science Publishing, (2008), pp. 141-166.

3. I.Abalakin, A. Dervieux , T.Kozubskaya. On Accuracy of Noise Direct Calculation Based on Euler Model - International Journal of Aeroacoustics, Vol. 3, (2004), pp. 157-180

4. Ilya Abalakin, Alain Dervieux, and Tatiana Kozubskaya, Computational Study of Mathematival Models for Noise DNS, -AIAA paper 2002-2585 (2002)

5. T.Kozubskaya. "Euler Based Models and High Accuracy Numerical Techniques in Computational Aeroacoustics" - In Proceedings of IMACS/ISGG Workshop MASCOT 04 (Edited by C.Conti, F.Pistella, R.-M.Spitaleri), (2004), pp.121-130

6. И.В.Абалакин, К.А.Дапиэль, Т.К.Козубская. Исследование влияния точности аппроксимации вязких членов на точность численного решения уравнений газовой динамики, - Математическое моделирование, т. 19, № 7, (2007), стр. 8592

7. И.А. Боровская, Т.К. Козубская, О. Курбанмурадов, К.К. Сабельфельд. - О моделировании однородных случайных полей и сигналов и их использовании в задачах аэроакустики, - Математическое моделирование, т. 19, № 10, (2007), стр. 76-88

8. I.A.Borovskaya, T.K.Kozubskaya, Numerical Signal Processing in Computational Aeroacoustics, - in Proceedings of SCI 2003 Conference, Orlando, Florida, USA, July 27-30, (2003)

9. Anatoli V.AIexandrov and Tatyana K.Kozubskaya. Parallel Computation of White Noise Propagation through Viscous Compressible Gas Flows. - Journal of

Computational Methods in Science and Engineering (JCMSE), 2002, Vol. 2 (ls-2s), pp. 175-180.

10. Tatiana K.Kozubskaya, Ilya V. Abalakin, and Vladimir G.Bobkov. A Half-Stochastic Model for Noise Simulation in Free Turbulent Flows, -AIAA paper 20012258 (2001)

11. И.В.Абалакин, Т.К.Козубская. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса. - Математическое моделирование, т. 19, № 7, (2007), стр. 56-66

12. I.V.Abalakin, T.K.Kozubskaya, A. Dervieux. High Accuracy Finite Volume Method for Solving Nonlinear Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes, -Chinese Journal of Aeronautics, Vol. 19, No. 2, (2006)

13. И.В.Абалакин, А. Дервье, Т.К.Козубская, Х.Уврар. Методика повышения точности при моделировании переноса акустических возмущений на неструктурированных сетках, - Ученые записки ЦАГИ, T.XLI, №1, (2010)

14. T.Kozubskaya, I.Abalakin, A.Dervieux, H.Ouvrard, Accuracy Improvement for Finite-Volume Vertex-Centered Schemes Solving Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes, -AIAA paper 2010-3933 (2010).

15. А.В.Горобец, Т.К.Козубская, Технология распараллеливания явных высокоточных алгоритмов вычислительной газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках, - Математическое моделирование, т. 19, № 2, (2007), стр. 68-86

16. Г.И.Савин, Б.Н.Четверушкин, С.А.Суков, А.В.Горобец, Т.К.Козубская, О.И.Вдовикин, Б.М.Шабанов. Моделирование задач газовой динамики и аэроакустики с использованием ресурсов суперкомпьютера МВС-ЮОК, -Доклады академии наук, том 423, №3, (2008), стр. 312-315

17. Andrey V. Gorobets, Ilya V. Abalakin and Tatiana K. Kozubskaya. Technology of parallelization for 2D and 3D CFD/CAA codes based on high-accuracy explicit methods on unstructured meshes, - In Book Parallel Computational Fluid Dynamics 2007, Series Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Springer Berlin Heidelberg, Vol. 67, (2009), pp. 253-260

18. И.В.Абалакин, А.В.Горобец, Т.К.Козубская. Вычислительные эксперименты по звукопоглощающим конструкциям, - Математическое моделирование, т. 19, № 8, (2007), стр. 15-21

19. I.V.Abalakin, A.V.Gorobets, T.K.Kozubskaya, A.K.Mironov. Simulation of Acoustic Fields in Resonator-Type Problems Using Unstructured Meshes, - AIAA 2006-2519 Paper (2006)

20. А.В.Александров, Т.К.Козубская, Моделирование распространения акустического шума в потоках вязкого сжимаемого газа, - Математическое моделирование, т. 11, № 12, (1999),стр. 3-15.

21. Alexey Duben, Tatiana Kozubskaya, Mikhail Mironov, Numerical Investigation of Resonators for Acoustic Liners, - In Book of Abstracts of Trilateral Rassian-French-German Workshop "Computational Experiment in Aeroacoustics", Sveilogorsk, September 22-25, 2010, MAKS press, Moscow, (2010), pp. 34-36.

22. V.Kopiev, I.Abalakin, G.Faranosov, A.Gorobets, T.Kozubskaya, N.Ostrikov, M.Zaitsev, Experimental and Numerical Localization of Noise Sources for Cylinder in Round Jet, - In Book of Abstracts of Trilateral Russian-French-German Workshop "Computational Experiment in Aeroacoustics", Svetlogorsk, September 22-25, 2010, MAKS press, Moscow, (2010), pp. 75-78.

Подписано в печать:

20.10.2010

Заказ № 4334 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Математические модели для описания ближнего 24 акустического поля течения

1.1 Общие замечания

1.2 Декомпозиция газодинамических переменных

1.3 Модели на основе уравнений Эйлера в аэроакустике

1.3.1 Уравнения Эйлера и Навье-Стокса

1.3.2 Линеаризованные уравнения

1.3.3 Линеаризованные уравнения Эйлера для случая 30 неоднородного среднего поля

1.4 Нелинейные уравнения для возмущений и его формулировки

1.4.1 Общая формулировка

1.4.2 Формулировка через матрицу средних

1.4.3 Формулировка с выделением линейной части

1.5 Уравнения для случая декомпозиции возмущений

1.6 Сравнительный анализ моделей семейства Эйлера

1.6.1 Тестовая задача о распространении Гауссовского 37 импульса

1.6.2 Тестовая задача с искусственным решением

1.6.3 Оценка глобальной ошибки системы 44 моделирования «модель+метод»

1.7 Влияние аппроксимации вязких членов на точность решения 46 уравнений Навье-Стокса

1.8 Общая схема решения задач аэроакустики на основе 52 уравнений семейства Эйлера

1.8.1 Математические модели аэроакустики семейства 52 Эйлера

1.8.2 Общая схема решения задач прикладной 53 аэроакустики

ГЛАВА 2 Стохастические модели для описания внешней среды в 56 задачах прикладной аэроакустики

2.1 Общие замечания

2.2 Общая схема генерации сигналов и полей с заданным 57 спектром в рамках рандомизированного спектрального метода

2.3 Моделирование акустического излучения с заданными 60 свойствами и примеры его использование при решении задач аэроакустики

2.3.1 Моделирование одномерных сигналов

2.3.2 Верификация

2.3.3 Метод «просвечивания» полей течения 62 равномерным широкополосным шумом

2.3.4 Задача о возбуждении слоя смешения акустическим излучением

2.4. Моделирование поля турбулентной скорости с заданными 70 свойствами и примеры его использование при решении задач аэроакустики

2.4.1 Моделирование однородных случайных полей 70 турбулентной скорости

2.4.2 Моделирование спектра

2.4.3 Моделирование нестационарных случайных полей 742.4.4 Алгоритм численной реализации модели однородного стационарного поля скорости

2.4.5 Использование декомпозиции спектра при 76 реализации модели однородного стационарного поля скорости

2.4.6 Реализация и верификация

2.4.7 Задача о рассеянии акустической волны на 79 турбулентном поле

ГЛАВА 3 Численный метод повышенной точности на основе 83 квазиодномерной реконструкции потоковых переменных для неструктурированных сеток с определением переменных в узлах

3.1 Одномерная схема высокой точности для численного 83 решения уравнений гиперболического типа

3.1.1 Вывод схемы для уравнения переноса

3.1.2 Метод интегрирования по времени

3.1.3 Анализ диссипативной и дисперсионной ошибок схемы

3.1.4 Тестовые задачи и анализ результатов

3.1.5 Вывод схемы для уравнения Бюргерса

3.2 Схема повышенной точности на основе квазиодномерной 102 реконструкции потоковых переменных для численного решения систем уравнений семейства Эйлера на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках

3.2.1 Методы с определением переменных в узлах сетки

3.2.2 Контрольные объемы, или ячейки

3.2.3 Пространственная аппроксимация

3.2.4 Определение базового конвективного потока через 111 грань контрольного объема

3.2.5 Численный конвективный поток повышенного 116 порядка точности на основе MUSCL аппроксимации

3.2.6 Численный конвективный поток повышенной 119 точности на основе квазиодномерной реконструкции потоковых переменных

3.2.7 Вычислительный шаблон схемы повышенного 122 порядка точности

3.2.8 Аппроксимация по времени на основе явного метода

3.2.9 Аналитическое исследование порядка аппроксимации схемы

3.2.10 Численное исследование точности схемы на 128 примере тестовых задач

3.2.11 Общая характеристика схем на основе 142 квазиодномерной реконструкции потоковых переменных

ГЛАВА 4 Параллельная реализация численного метода 144 повышенной точности в рамках комплекса программ NOISEtte для решения задач аэроакустики на неструктурированных сетках

4.1 Исследовательский комплекс программ NOISEtte для 144 численного моделирования задач аэроакустики и газовой динамики на неструктурированных сетках

4.1.1 Общая характеристика комплекса NOISEtte

4.1.2 Постановка задачи и обезразмеривание

4.1.3 Реализованные математические модели

4.1.4 Реализованные численные алгоритмы

4.2 Параллельная реализация алгоритмов на основе семейства 153 схемы повышенной точности в рамках комплекса программ NOISEtte

4.2.1 Общие замечания

4.2.2 Принципы распараллеливания комплекса и его этапы

4.2.3 Подготовка сетки для параллельных расчетов

4.2.4 Построение и оптимизация схемы пересылки данных

4,2.5 Наложение, или перекрытие, вычислений

4.2.6. Дополнительные структуры данных для 161 параллельных вычислений

4.2.7 Организация обмена данными в параллельной версии

4.2.8 Параллельный вывод результата и сборка данных

4.2.9 Верификация параллельного кода

4.2.10 Эффективность параллельных вычислений

4.2.11 Необходимость адаптации параллельных 176 алгоритмов для новой генерации суперперкомпьютеров

4.2.12 Параллельная обработка сеточных данных 178 большого объема

4.2.13 Проблема эффективности вычислений на 179 многоядерных узлах

4.2.14 Гибридная модель распараллеливания 182 4.2. ^Экспериментальная оценка эффективности параллельной реализации

ГЛАВА 5 Численное моделирование задач резонаторного типа. От 192 ячеек звукопоглощающих конструкций (ЗПК) к резонаторам Гельмгольца и обратно к ячейкам ЗПК

5.1 Методы исследования ЗПК резонансного типа

5.2 Численное воспроизведение физических экспериментов по

5.2.1 Общие замечания

5.2.2 Эксперимент «резонатор в импедансной трубе»

5.2.3 Эксперимент «резонатор/система резонаторов в канале»

5.3 Численное исследование резонатора Гельмгольца

5.3.1 Общие замечания

5.3.2 Теоретическая оценка характерных частот резонатора

5.3.3. Численное моделирование

5.4 Численная методика определения свойств ячеек ЗПК путем 214 вычислительного эксперимента

5.4.1 Формулировка метода

5.4.2 Оценка инженерных характеристик ЗПК 215 (коэффициенты отражения и прохождения, импеданс)

5.4.3 Задание падающего акустического возмущения 220 5.5 Вычислительный эксперимент по ЗПК в постановке 221 «резонатор/система резонаторов в волноводе»

5.5.1 Анализ расчетов на основе линейной модели

5.5.2 Влияние нелинейности

5.5.3 Влияние касательного течения в волноводе

5.5.4 Трехмерные расчеты

5.5.5 Общая схема вычислительного эксперимента 237 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 240 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация посвящена вычислительному эксперименту в аэроакустике или, более точно, развитию численных технологий, обеспечивающих применимость вычислительного эксперимента для решения прикладных задач в области аэроакустики. Актуальность и мотивация работы

Ааэроакустика представляет собой раздел газовой динамики, изучающий звуковые поля, генерируемые воздушным потоком или привносимые в течение внешними источниками возмущений. В прикладной аэроакустике, как правило, объектом практического интереса являются дальние акустические поля течения. Классический пример в авиации уровень шума от взлетающих и садящихся самолетов в населенных пунктах вокруг аэропортов. Однако сами источники звука при этом находятся в ближнем поле течения, а потому возможность влияния на дальние акустические поля напрямую сопряжена с детальным изучением процессов генерации звука в зоне неодно-родностей течения и, в частности, вблизи поверхности самолета. Поэтому задачи аэроакустики, а особенно задачи, связанные с реальными приложениями, включают в себя моделирование всего течения как такового. Но специфика задач аэроакустики накладывает дополнительные жесткие требования на качество решения газодинамических задач. В первую очередь, это требование высокой точности решения и корректного воспроизведение нестационарных режимов в сложных условиях эксплуатации при наличии турбулентности. Можно также сказать, что аэроакустика ближнего поля течения представляет собой газовую динамику высокой точности.

Особую актуальность прикладная аэроакустика приобрела в последние десятилетия в связи с ведущимися в мире широкомасштабными исследованиями, направленными на снижение шума, в авиационной и автомобилестроительной промышленности, а также ряде высокотехнологических отраслей производства. Наиболее остро проблема снижения шума стоит в авиации. Для защиты экологической обстановки мировым сообществом регулярно ужесточаются допустимые нормы по шуму, создаваемому летательными аппаратами. Выполнение этих норм требует постоянного совершенствования авиационной техники и, соответственно, решения широкого спектра задач прикладной аэроакустики.

Как уже было отмечено, требование высокой точности повышает сложность аэроакустических исследований, которая только усугубляется сильным перепадом в масштабах между акустическими пульсациями и характерными параметрами несущего течения, а также отсутствием полной ясности в вопросе о механизмах генерации звука.

Эти особенности находят свое отражение в вычислительной аэроакустике, которая требует использования наиболее полных математических моделей и специфических численных алгоритмов, отличающихся от методов вычислительной газовой динамики, как правило, более высокой точностью. Следует также заметить, что повышенная точность при этом должна обеспечиваться в характерных для реальных приложений областях сложных геометрических конфигураций, для дискретизации которых построение структурированных сеток затруднено и удобно использовать сетки нерегулярной структуры.

Перечисленные трудности препятствуют широкому внедрению математического моделирования в практику решения прикладных задач аэроакустики. Поэтому в настоящее время, к сожалению, вычислительный эксперимент в аэроакустике не имеет того серьезного прикладного значения, которого достигло численное моделирование в газовой динамике в целом, активно используемое при разработке летательных аппаратов в крупнейших авиационных компаниях в мире.

Приведенные аргументы явились побудительным мотивом настоящей диссертационной работы. Целью же стала разработка математического, методического и программного обеспечения, достаточного для проведения вычислительного эксперимента в аэроакустике при исследовании ряда прикладных задач.

Вычислительный эксперимент в аэроакустике

Вычислительный эксперимент в той или иной области приложения представляет собой «виртуальный» инструмент для проведения прикладных исследований и изучения физики явлений. Его несомненным достоинством является возможность получения всех параметров течения в любой момент времени и в любой точке расчетной области.

В зависимости от уровня сложности исследуемых задач и соответственного уровня развития обеспечения вычислительного эксперимента, область применения вычислительного эксперимента может быть уже или шире. В некоторых случаях он может даже замещать физический эксперимент, однако полностью заменить натурный эксперимент вычислительным невозможно. В противном случае, как минимум, будет отсутствовать база для ва-лидации результатов численного исследования.

Заметим, что вычислительный эксперимент как инструмент исследования имеет много общего с физическим экспериментом. Так же, как и натурный эксперимент, он имеет свою стоимость, протяженность во времени, ограничения по применимости, погрешность. Для обоих типов экспериментов необходима верификация и валидация используемого обеспечения, которое время от времени надо обновлять, заменяя более эффективными решениями. Эти общие свойства дают возможность сравнения двух типов эксперимента между собой.

В общем случае зоны действия вычислительного и физического экспериментов (ВЭ и ФЭ соответственно) можно схематически представить в виде рисунка (см. Рис. 1). Вообще говоря, они не совпадают, но пересекаются. Так, как правило, всегда остаются задачи, исследование которых посредством вычислительного эксперимента невозможно либо из-за недостаточного уровня развития математического и/или программного обеспечения, либо из-за отсутствия корректного математического описания вообще. В то же время, вычислительный эксперимент, наоборот, может восполнить недостаток натурного в тех случаях, когда воспроизведение условий эксплуатации по техническим причинам оказывается неосуществимым или когда в ходе физического эксперимента оказывается невозможным исследовать необходимые параметры, например, в труднодоступных для измерений местах. В области пересечения зон действия определяющим становится вопрос стоимости того или иного эксперимента. Так, может оказаться, что серийные расчеты с целью оптимизации того или иного параметра задачи оказываются дешевле, чем постановка большого числа необходимых физических экспериментов.

Рис. 1 Зоны действия вычислительного и физического эксперимента

Важно правильно определить место вычислительного эксперимента в исследовании и по максимуму использовать его преимущества. Так, численное моделирование может быть исключительно полезным при подготовке натурного эксперимента для предварительной оценки параметров экспериментальной установки. Также следует иметь в виду, что вычислительный эксперимент можно поставить в физически нереализуемых (или труднореализуемых) условиях, например, для исключения из постановки того или иного физического явления, действие которого нежелательно с точки зрения цели исследования. Таким образом, в ряде случаев удается разделить различные физические механизмы, обычно сопутствующие друг другу. Такая возможность, в частности, демонстрируется в диссертации при численном исследовании свойств резонаторов и ячеек звукопоглощающих конструкций

Воспроизведение экстремальна условий эксплуат

Измерения и визуализация в труднодоступных местах

ЗПК).

Стоит отметить, что в такой сложной области исследований, какой является аэроакустика, вычислительный эксперимент с требуемой точностью для достаточно широкой области приложений еще не осуществим. Однако современный уровень развития вычислительных технологий позволяет существенным образом изменить это положение.

Требования к математическим моделям, численным методам и их программной реализации с точки зрения приложений в аэроакустике

Математические модели

При решении задач, связанных с аэроакустикой ближнего поля представляется крайне важным обеспечить максимально возможную полноту математического описания. Упрощения могут привести к исключению из математического описания важных свойств течения, тех, например, которые отвечают за генерацию звука в потоке.

В настоящее время наиболее полное математическое описание задач, связанных с динамикой газа, строится на основе системы уравнений Навье-Стокса. Данная модель включает в себя как нелинейную конвекцию, так и характерные для течения диссипативные эффекты. Однако при проведении расчетов по полной системе уравнений Навье-Стокса существует опасность «потерять» мелкомасштабные движения газа как за счет численной вязкости, возникающей за счет аппроксимации производных искомой функции на заданной сетке, так и за счет вычислительных ошибок округления, вызванных большим перепадом масштабов между акустическими возмущениями и параметрами основного течения. С этой точки зрения, в диссертации обращается внимание на нелинейные уравнения для возмущений (NLDE NonLinear Disturbance Equations) [1-3], которые при правильной формулировке [4-11] сохраняют полноту описания и обеспечивают устойчивость к вычислительным ошибкам.

Особую сложность в математическом описании вызывают случаи турбулентных течений, характеризуемых высокими числами Рейнольдса. Как известно (см., например, [12-13]), даже при современном уровне развития вычислительной техники расчет с использованием сетки нужной степени подробности для разрешения высокочастотных процессов, принципиально влияющих на корректность описываемого процесса, не реализуем. Ряд авторов дают не слишком утешительные прогнозы по осуществимости прямого численного моделирования (DNS Direct Numerical Simulation) на основе полных уравнений Навье-Стокса [14].

В качестве альтернативы DNS, в настоящее время активно развиваются направления моделирования, описывающие поведение турбулентных течений в осредненном смысле, среди которых выделяются два основных подхода: RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) решение осредненных по Рей-нольдсу уравнений Навье-Стокса [15-17] и LES (Large Eddy Simulation) моделирование крупных вихрей [18-19]. Для ряда приложений, связанных с пристеночными течениями, наиболее эффективными оказываются гибридные модели, такие как модели семейства DES (Detached Eddy Simulation) моделирование отсоединенных вихрей [17], [20-21]. Не будем приводить здесь сравнительного анализа данных подходов, так как в диссертации они не используются. Отметим только, что моделирование акустических полей течения на основе этих методов имеет дополнительные серьезные сложности, связанные с определением диапазона корректно описываемого спектра, а также дополнительной (вдобавок к сеточной вязкости) опасностью упустить из математического описания масштабы, существенным образом влияющие на генерацию звука.

Еще одним важным требованием к математическим моделям в аэроакустике является правильное описание условий внешней среды. Для прикладных задач аэроакустики характерно присутствие внешних источников акустических возмущений, таких как падающий акустический шум, вибрация поверхности, точечные и распределенные источники пульсаций и др. Другим характерным проявлением внешней среды в задачах аэроакустики являются присутствующие в течении неоднородности, вызванные турбулентностью. Эти внешние воздействия включаются в описание задачи через граничные и начальные условия, а также коэффициенты и источниковые члены уравнений.

Основная трудность в описании вышеперечисленных факторов внешней среды заключается зачастую в их стохастической природе. Это приводит к необходимости искусственного синтеза реализаций на основе некоторой (не всегда исчерпывающей) информации о соответствующих случайных процессах. При этом для обеспечения корректной работы численных алгоритмов необходимо обеспечение достаточной гладкости синтезируемых реализаций.

Задача построения таких реализаций в общем случае является чрезвычайно сложной, поэтому для этой цели представляется актуальным использовать все современные фундаментальные подходы в области стохастического моделирования в целом и, в частности, рандомизированный спектральный метод (РСМ) [22-23].

Численные алгоритмы

Самым главным требованием к численным алгоритмам для расчетов прикладных задач аэроакустики, безусловно, является их повышенная точность.

В настоящее время в вычислительной аэроакустике используется множество схем высокой точности, построенных на разных принципах. Так, одной из наиболее популярных схем является предложенная К.Тамом схема DRP (Dispersion Relation Preserving), сохраняющая дисперсионные соотношения [24]. Эта центрально-разностная схема четвертого порядка точности, в которой один из аппроксимационных коэффициентов выбирается из условия минимизации разности между физическим и численным волновыми числами. Такой подход дает заметное улучшение дисперсионных свойств схемы, что существенно для аэроакустических приложений. Данная схема получила свое развитие в работах К.Байи и К. Буже (C.Bailly, C.Bogey) [25-26], которые построили оптимизированную схему более высокого порядка точности на 11-точечном шаблоне.

Активно используются в вычислительной аэроакустике компактные схемы [27-32], позволяющие добиться высокой точности на небольших, компактных, шаблонах. Так, в работе [30] используются компактные схемы 6-го порядка точности.

Еще одним классом схем, успешно работающих в вычислительной аэроакустике, являются схемы ENO (Essentially Non-Oscillating) и WENO (Weighted Essentially Non-Oscillating) [33-39], которые весьма эффективны для расчетов задач газовой динамики, включая случаи разрывных решений. Схемы строятся на базе полиномиальной реконструкции переменных на различных шаблонах с выбором аппроксимации на одном из них или взвешенной суммы аппроксимаций на нескольких шаблонах, лежащих в области наибольшей гладкости решения.

Также стоит отметить семейство схем ADER (Arbitrary high order schemes using DERivatives) [40-41] произвольно высокого порядка точности.

Неплохие для расчета задач аэроакустики свойства показывают и специальные методы формально более низкого порядка точности. Так, в вычислительной аэроакустики успешно применяется бездиссипативная схема Кабаре второго порядка точности по времени и по пространству [42-44].

Вышеперечисленные схемы это одни из наиболее эффективных современных конечно-разностных алгоритмов1, предназначенных для расчетов задач аэроакустики на структурированных сетках.

Проблема состоит в том, что большинство прикладных задач аэроакустики решаются в областях сложной геометрической конфигурации, представляющих собой часть пространства, прилегающего к реальной конструкции. Как правило, использование сеток регулярной структуры оказывается невозможным в таких условиях. Одним из выходов в создавшейся ситуации

1 Заметим, что большинство из названных схем имеют также версии, построенные в рамках метода конечных объемов для структурированных сеток. является построение многоблочных структурированных сеток (включая блоки криволинейных сеток). При этом существуют технологии работы как со стыкующимися, так и с произвольно перекрывающимися блоками [45]. Другим способом решения проблемы является использование неструктурированных сеток с различными геометрическими элементами в своей основе.

Многоблочное строение сеток неизбежно вносит дополнительную погрешность в численное решение. К тому же, существуют задачи, для которых в силу особенности геометрии расчетной области, построение многоблочных сеток оказывается экстремально сложной и не всегда решаемой задачей. Простейший пример такой задачи, для которой построение многоблочных структурированных сеток весьма затруднительно, два бесконечно длинных цилиндра, расположенных на расстоянии друг от друга и повернутых друг относительно друга на некоторый угол. Для этой задачи, как и для многих других, применение неструктурированных сеток представляется намного более удобным средством дискретизации пространства.

Однако использование неструктурированных сеток также имеет свои недостатки. Нерегулярность сеточной структуры кардинально меняет общую хорошую ситуацию с методами повышенной точности для расчета задач вычислительной аэроакустики. Так, до сих пор неизвестно ни одной эффективной реализации схем с оптимизированными дисперсионными свойствами (типа схемы ОКР) на неструктурированных сетках. Аналогичная ситуация обстоит с компактными схемами. Достаточно много работ посвящено адаптации к неструктурированным сеткам схем £N0 и \¥Е>Ю [46-54]. Однако их реализация исключительно трудоемка, а их высокая вычислительная стоимость не дает широко использовать эти схемы для решения прикладных задач аэроакустики.

Поэтому применительно к неструктурированным сеткам в настоящее время, как правило, используются схемы первого и второго порядка точности, построенные в рамках метода конечных объемов [55-57]. Также есть работы, где используются схемы с полиномиальной реконструкцией переменных [58-59], но, как правило, в отличие от схем ENO/WENO, без выбора оптимального шаблона или шаблонов аппроксимации.

Следует отметить, что перспективной альтернативой для расчета задач аэроакустики на неструктурированных сетках могут стать конечно-элементные схемы и, в первую очередь, разрывный метод Галеркина (Discontinuous Galerkin) [60-65] с финитными базисными функциями. Однако его применение также сопряжено с серьезными математическими и вычислительными трудностями.

В настоящей работе для неструктурированных сеток разрабатывается класс оригинальных экономных схем повышенной точности в рамках метода конечных объемов. Особенностью этих схем является повышение точности за счет свойства совпадения с конечными разностями высокого порядка в случае их применения на структурированных сетках [66-71]. В этом смысле они объединяют преимущества конечно-разностного и конечно-объемного подходов к построению схем.

Программная реализация

Численное решение прикладных задач в аэроакустике может быть успешным только на основе синтеза целого ряда высокоразвитых вычислительных технологий, программная реализация которых неизбежно приводит к необходимости разработки комплекса программ. От качества разработки соответствующего комплекса напрямую зависит эффективность вычислительного эксперимента, проводимого с его использованием. Естественным требованиям к комплексу программ является модульность его структуры и обеспечение максимальной независимости составляющих блоков. Современные требования к комплексу программ приводятся, например, в [72-73].

В диссертации описывается комплекс программ NOISEtte [74], предназначенный для численного моделирования задач аэроакустики и газовой динамики на неструктурированных сетках.

Как известно, повышение порядка точности численных алгоритмов является наиболее эффективным средством достижения лучшей точности. При условии использования высокоточных методов дальнейшее повышение точности может достигаться на пути более подробной дискретизации задачи и, соответственно, использования сеток большой размерности. Подробные сетки в задачах прикладной аэроакустики необходимы также и для корректного разрешения характерных для аэроакустики разномасштабных явлений.

Применение же сложных вычислительных алгоритмов на огромных сетках приводят к крайне высокой вычислительной стоимости расчета, проведение которого за разумное время оказывается не под силу однопроцессорному компьютеру. Поэтому еще одним фактором, благоприятствующим реализуемости вычислительного эксперимента в аэроакустике, стал наблюдаемый в последние годы бурный рост многопроцессорной вычислительной техники. Сверхмощные современные компьютеры активно входят в повседневную практику вычислений, что приводит к кардинальному снижению стоимости аэроакустических расчетов, выполняемых с требуемой точностью, и, таким образом, приближает внедрение метода вычислительного эксперимента в прикладной аэроакустику.

Вместе с тем широкое распространение высокопроизводительных многопроцессорных систем приводит к необходимости нового витка в развитии вычислительных технологий. Речь идет о создании эффективных параллельных алгоритмов, адаптированных к современной архитектуре суперкомпьютеров. Если при использовании вычислительных кластеров с распределенной памятью, как правило, было достаточно использовать распараллеливание на основе MPI библиотек [75-76], то такого подхода оказывается недостаточным для компьютеров с многоядерной архитектурой процессорных узлов. В этом случае эффективной оказывается для распараллеливания «нитевая» технология ОрепМР [77-78], а также гибридные MPI-OpenMP модели распараллеливания. В диссертации рассказывается о реализации данной технологии применительно к комплексу программ NOISEtte [74].

Валидация и верификация

Валидация и верификация математического, алгоритмического и программного обеспечения вычислительного эксперимента является необходимым условием его использования при решении прикладных задач вообще и задач аэроакустики, в частности [6]. При проведении тестовых и модельных расчетов по валидации и верификации важно правильно различать эти два важных понятия.

В процессе верификации исследуются на корректность численные алгоритмы и их программная реализация, что, вообще говоря, никак не связано с физической корректностью результата. На данном этапе проверки проводится тестирование на задачах с известным аналитическим или эталонным численным решением, сравниваются между собой численные результаты, полученные разными методами, а также полученные с использованием сеток разной размерности (в последнем случае изучается сходимость результата по сетке). При верификации используются и другие приемы: например, проведение квазиодномерных расчетов в двумерной и трехмерной постановках, квазидвумерных расчетов в терхмерной постановке и т.п.

Целью верификации является доказательство того факта, что полученный численный результат является решением данной начально-краевой задачи (математической модели) с заданной точностью.

В отличие от верификации, валидация имеет непосредственное отношение к физической корректности численного результата. В процессе валидации проверяется выполнение при полученном численном решении известных физических законов, а также проводится сравнение с теоретическими и достоверными экспериментальными данными.

Успешная валидация говорит о том, что поставленная начально-краевая задача (математическая модель) корректно описывает физику явления, а также что точность выбранного численного алгоритма и подробность выбранной сетки достаточны для обеспечения физической корректности численного результата.

Исходя из данного определения, можно сказать, что в большинстве случаев верификация является необходимым условием для валидации и, наоборот, валидация является достаточным условием для верификации.

Важно заметить, что проведение валидации численных результатов оказывается на практике существенно более сложной задачей для вычислителя, чем проведение верификации. Во многом это связано с недостатком доступных экспериментальных данных вообще и данных, соответствующих конкретной рассматриваемой постановке, в частности. Так, для рассматриваемой в диссертации постановки вычислительного эксперимента в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе» [79-81] не удалось найти соответствующих экспериментальных данных, что вызвано, в первую очередь, отсутствием (как минимум, в России) натурных экспериментов в данной постановке.

Тем не менее, валидация остается ключевым моментом при проведении вычислительного эксперимента.

Численное моделирование звукопоглощающих конструкций (ЗПК)

Звукопоглощающие конструкции (ЗПК) широко применяются в авиастроении и используются в качестве одного из наиболее эффективных средств для снижения шума турбореактивного двигателя. Панели ЗПК представляют собой однослойные и многослойные конструкции сотовой структуры. В зависимости от типа ЗПК, они могут быть наполнены дополнительно тем или иным звукопоглощающим материалом. ЗПК с полыми ячейками относятся к ЗПК резонансного типа, в которых снижение акустической энергии падающего излучения происходит за счет ее частичной трансформации в энергию вынужденных колебаний воздуха в полостях резонаторов, а также за счет ее частичного перехода в кинетическую энергию вихревого движения и потерь в результате диссипации.

Исследование звукопоглощающих свойств ЗПК представляется одной из задач, в исследовании которых уже сегодня может быть применен метод вычислительного эксперимента. Наиболее существенными с инженерной точки зрения характеристиками ЗПК являются импеданс, а также коэффициенты прохождения и отражения. Свойства ЗПК панелей, и в первую очередь, их акустическое сопротивление (импеданс) определяются двумя слагаемыми свойствами отдельной ячейки ЗПК и коллективным эффектом от взаимодействия множества ячеек. Можно заметить, что посредством проводимых экспериментов по изучению свойств ЗПК (а такие эксперименты проводятся, например, в ЦАГИ им. проф. Н.Е.Жуковского [82-83], ЦИАМ им. П.И.Баранова [84-85]) выделить из общей картины взаимодействующих элементов ЗПК вклад в звукопоглощение отдельной ячейки ЗПК не представляется возможным. Предпринимаемые попытки изучения ячеек ЗПК в импе-дансных трубах (ОАО «Авиадвигатель», Пермь [86], лабораторные установки, например, на кафедре акустики Физического факультета МГУ [87]) достаточно эффективны, однако конструктивные возможности постановки не позволяют исследовать ячейки в условиях их эксплуатации и, в первую очередь, при наличии входящего течения. Сложившаяся ситуация привела к реализованной в диссертации идее поставить вычислительный эксперимент в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе», подходящей для исследований одной или нескольких ячеек ЗПК в рабочих условиях.

Следует отметить, что вычислительный эксперимент для данного типа задач прикладной аэроакустики оказывается реализуем в рамках прямого численного моделирования (DNS) благодаря умеренным числам Рейнольдса, характеризующим течение в резонаторных отверстиях2. При этом он открывает возможность для детального исследования физических процессов, протекающих в отверстии ячейки ЗПК и ее окрестности (как в случае простой конфигурации с одним отверстием, так и для случая перфорированной ячейки) с целью определения факторов, влияющих на имепданс ячейки. Эти зна

2 В то же время возможно обобщение предлагаемой постановки на случай турбулентного течения. ния могут привести к дальнейшим технологическим исследованиям по оптимизации ячейки ЗПК также при помощи данного «вычислительного стенда». Заметим, что на предлагаемой вычислительной установке можно проводить эксперименты и с системой из нескольких ячеек, чтобы на микроуровне исследовать влияние на звукопоглощение коллективного эффекта.

Представляется, что вместе с дальнейшим развитием вычислительных технологий и высокопроизводительных суперкомпьютеров возможности вычислительного эксперимента как в данной области прикладной аэроакустики, так и для других аэроакустических приложений будут только расширяться.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении, сформулируем основные результаты работы.

1. Показано, что при численной реализации моделей нелинейной акустики нелинейные уравнения для возмущений позволяют корректный переход к линейным формулировкам при уменьшении решения. Предложены две новые формы записи нелинейных уравнений для возмущений: с использованием матрицы средних и с выделением линейной части, обеспечивающие устойчивость к ошибкам округления и корректную работу во всем диапазоне амплитуд решения. Получены нелинейные уравнения для возмущений двух типов, один из которых задан или моделируется извне.

2. Разработаны и реализованы стохастические модели поля турбулентной скорости со спектром фон Кармана и акустического возмущения, равномерно распределенного в заданной полосе частот, на основе рандомизированного спектрального метода. Модели построены с целью имитации реальных физических условий при моделировании задач аэроакустики.

3. Построено многопараметрическое семейство схем метода конечных объемов повышенной точности на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках для расчета задач аэроакустики, описываемых моделями на основе полных уравнений Эйлера. Схемы основаны на квазиодномерной реконструкции потоковых переменных. Дана одномерная интерпретация многопараметрических схем как схем, получаемых путем двукратного применения известного метода модифицированного уравнения. Проведен теоретический и экспериментальный анализ одномерного аналога многопараметрических схем, возможности схем для многомерных задач на неструктурированных сетках продемонстрированы на модельных задачах.

4. Проведено численное исследование ячеек звукопоглощающих конструкций в конфигурации «резонатор/система резонаторов в волноводе», трудно реализуемой в рамках физического эксперимента. Исследование проведено на основе серийных расчетов на высокопроизводительных системах параллельной архитектуры с использованием разработанных математических моделей и программного обеспечения. При помощи предложенной постановки вычислительного эксперимента изучены свойства резонаторов при различных параметрах падающего акустического возмущения, в том числе при наличии касательного дозвукового течения.

1. P.J. Morris, L.N. Long, A. Bangalore, and Wang. A parallel three-dimensional computational aeroacoustics method using nonlinear disturbance equations. J. Comput. Phys., Vol. 133, pp. 56-74 (1997).

2. L.N. Long. A Nonconservative Nonlinear Flowfield Splitting Method for 3D Unsteady Fluid Dynamics. AIAA Paper 2000-1998 (2000).

3. Chyczewski T.S., P.J. Morris, L.N. Long. Large-eddy simulation of wall bounded shear flow using the nonlinear disturbance equation. AIAA Paper 2000-2007 (2000).

4. Ilya V.Abalakin, Alain Dervieux, Tatiana K.Kozubskaya. On the accuracy of direct noise calculations based on the Euler model. In Book Computational Aeroacoustics, edited by G. Raman, Multi-Science Publishing, (2008), pp. 141-166.

5. I.Abalakin, A. Dervieux , T.Kozubskaya. On Accuracy of Noise Direct Calculation Based on Euler Model International Journal of Aeroacoustics, Vol. 3, (2004), pp. 157-180.

6. Ilya Abalakin, Alain Dervieux, and Tatiana Kozubskaya, Computational Study of Mathematical Models for Noise DNS, AIAA paper 2002-2585 (2002).

7. I.Abalakin, A.Dervieux, and T. Kozubskaya. High Accuracy Study of Mathematical Models for DNS of Noise around Steady Mean Flow. In

8. West East High Speed Flow Fields , Aerospace applications from highsubsonic to hypersonic regime, ed. by D.E. Zeitoun et all., International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), Barselona, Spain, (2003), pp. 486-497.

9. I.Abalakin, A.Dervieux, and T. Kozubskaya. On Computational Efficiency of Euler Based Models in Free Flow Aeroacoustics. In Proceedings of 6th CEAS/ASC AIAA-cosponsored Workshop "From CFD to CAA , Athens, November 7-8, (2002).

10. I.Abalakin, A.Dervieux, and T. Kozubskaya. Navier-Stokes Based Models in Computational Aeroacoustics. In Proceedings of International Simposium on Nonlinear Acoustics ISNA-I6, Moscow, August, 19-23, (2002).

11. Фриш У. Турбулентность: Наследие А. H. Колмогорова. M.: Фазис, 1998.

12. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений СПб.: Балт. гос. техн. ун-т., 2001.

13. Spalart Ph.R. Strategies for turbulence modelling and simulation, Int. J. Heat Fluid Flow, Vol. 21, No. 3, pp. 252-263 (2000).

14. D.C. Wilcox. Turbulence Modeling for CFD. DWC Industries. La Canada, 2nd edition, 1998

15. B.E. Launder and D.B. Spalding. Lectures in mathematical models of turbulence. Academic Press, London, 1972.

16. P.A. Durbin, B. A. Pettersson Reif. Statistical Theory and Modeling for Turbulent Flows. John Wiley & Sons, 2nd edition, 2010

17. E. Gamier, N. Adams, P. Sagaut. Large Eddy Simulation for Compressible Flows. Springer, 2009

18. Волков K.H., Емельянов B.H. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

19. Spalart, P.R., Jou, W.H., Strelets, М., Allmaras, S. R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach, Proc. of the First AFOSR Int. Conf. on DNS/LES, Ruston, USA, pp. 137-148 (1997).

20. Haase, W., Braza, M., and Revell, A. (Editors). DESider A European Effort on Hybrid RANS-LES Modelling, Springer, 2009.

21. C.M. Ермаков, Г.А. Михайлов. Курс статистического моделирования.1. М.: Наука, 1976.

22. О. Kurbanmuradov, К. Sabelfeld., Stochastic Spectral and Fourier-Wavelet Methods for Vector Gaussian Random Fields. WIAS preprint 1082, Berlin, 2005.

23. C.K.W. Tam, J.C. Webb. Dispersion- Relation- Preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics. J. Comput. Phys., Vol. 107, pp. 262-281 (1993).

24. C. Bogey, C. Bailly. A family of low dispersive and low dissipative explicit schemes for flow and noise computations. J. Comput. Phys., Vol. 194, pp. 194-214(2004).

25. C. Bogey, C. Bailly, D. Juve. Noise investigation of a high subsonic, moderate Reynolds number jet using a compressible LES. Theoret. Comput. FluidDyn., Vol. 16, No. 4, pp. 273-297 (2003).

26. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990.

27. S.K. Lele. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution.

28. J. Comput. Phys., Vol. 103, No. 1, pp. 16-42 (1992).

29. D. P. Rizzetta, M. R. Visbal, and G. A. Blaisdell. Application of a highorder compact difference scheme to large-eddy and direct numerical simulation. AIAA Paper 1999-3714 (1999).

30. J. B. Freund. Noise sources in a low-Reynolds-number turbulent jet at Mach 0.9. J. of Fluid Mech., Vol. 438, pp.277-305 (2001).

31. Ekaterinaris, J. A., Implicit, High-Resolution, Compact Schemes for Gas Dynamics and Aeroacoustics. J .of Comput. Phys., Vol. 156, pp. 272-299 (1999).

32. X.Deng, H. Zhang. Developing High-Order Weighted Compact Nonlinear Schemes. J .of Comput. Phys., Vol. 165, pp. 22-44 (2000).

33. C-W. Shu and S.Osher. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. J. of Comput. Phys., Vol. 77, No. 1, pp. 439-471 (1988)

34. C-W. Shu and S.Osher. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, II. J. of Comput. Phys., Vol. 83, No. l,pp. 32-78 (1989).

35. C-W. Shu. Numerical experiments on the accuracy of ENO and modified ENO schemes. J. ofSci. Comput., Vol. 5, No. 1, pp. 151-167 (1990).

36. X-D. Liu, S. Osher, T. Chan. Weighted essentially non-oscillatory schemes.

37. J. of Comput. Phys., Vol. 115, pp. 200-212 (1994).

38. G. Jiang, C.-W. Shu. Efficient implementation of weighted ENO schemes, J. Comput. Phys., Vol. 126, pp. 202-228, (1996).

39. C-W. Shu. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. NASA/CR-97-206253, ICASE Report No. 97-65 (1997).

40. J.Qiu, C-W. Shu. On the construction, comparison, and local characteristic decomposition of high order central WENO schemes. J. of Comput. Phys., Vol. 183, pp. 187-209 (2002).

41. Т. Schwartzkop, C.D. Munz, and E.F. Того. ADER: A high-order approach for linear hyperbolic systems in 2D. J. ofSci. Comput., Vol. 17, pp.231240, (2002).

42. V.A. Titarev, E.F. Того. ADER: arbitrary high order Godunov approach. J. ofSci. Comput., Vol. 17, pp. 609-618, (2002).

43. S.A.Karabasov, V.M.Goloviznin, T.K.Kozubskaya, and I.V.Abalakin. A New High-Resolution Balance-Characteristic Method for Aeroacoustics. AIAA paper 2006-2415 (2006).

44. В.М.Головизнин, С.А.Карабасов, Т.К.Козубская, Н.Максимов, Баланс-ио-характеристический метод численного решения одномерных задач аэроакустики. Препринт / Ин-т проблем безопас. развития атом, энергетики РАН, № IBRAE-2007-08 (2007).

45. В.М. Головизнин, С.А. Карабасов, Т.К. Козубская, Н.В. Максимов, Схема Кабаре для численного решения задач аэроакустики: обобщение на линеаризованные уравнения Эйлера в одномерном случай. ЖВМ и МФ, т. 49, № 12, (2009), стр. 1-16.

46. N.E. Suhs, R.E. Stuart, W.E. Dietz. PEGASUS 5: An Automatic Preprocessor for Overset-Grid CFD. AIAA Paper 2002-3186 (2002).

47. T. Barth, P. Frederickson. High order solution of the Euler equations on unstructured grids using quadratic reconstruction. AIAA Paper No. 900013 (1990).

48. C. F. Ollivier-Gooch. Quasi-ENO Schemes for Unstructured Meshes Based on Unlimited Data-Dependent Least-Square Reconstruction. J. Comput. Phys., Vol. 133, pp. 6-17 (1997).

49. O.Friedrich. Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for the Interpolation of Mean Values on Unstructured Grids. J. Comput. Phys., Vol. 144, pp. 194-212 (1998).

50. R.Abgrall, T.Sonar. On the use of Muhlbach expansions in th recovery step of ENO methods. Numer. Math., Vol. 76, pp. 1-25 (1997).

51. Ch. Hu, Ch-W. Shu. Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes on Triangular Meshes. J. of Comput. Phys., Vol. 150, pp.108 127 (2002).

52. T. Zhang, C.-W. Shu. Third order WENO schemes on three dimensional tetrahedral meshes. Commun. Comput. Phys., Vol. 5, pp. 836-848, (2009).

53. M. Dumbser and M. Kaser, Arbitrary high order non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for linear hyperbolic systems J. Comput. Phys., Vol. 221, pp. 693-723, (2007).

54. M. Dumbser,M. Kaser, V.A. Titarev and E.F. Toro. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic systems. J. Comput. Phys., Vol. 226, pp. 204-243, (2007).

55. Barth T.J. Aspects of unstructured grids and finite-volume solvers for the Euler and Navier-Stokes equations. VKI Lecture Series N 1994-05, Brussels, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, (1994).

56. C. Debiez, A.Dervieux. Mixed element volume MUSCL methods with weak viscosity for steady and unsteady flow calculation. Computer and Fluids, Vol. 29, pp. 89-118,(1999).

57. Viozat C., Held C., Mer K., Dervieux A. On Vertex-Centered Unstructured Finite-Volume Methods for Stretched Anisotropic Triangulations. INRIA Report RR-3464 (1998).

58. T.Kozubskaya, I.Abalakin, A.Dervieux, H.Ouvrard, Accuracy Improvement for Finite-Volume Vertex-Centered Schemes Solving Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes. AIAA paper 2010-3933 (2010).

59. И.В.Абалакин, А. Дервье, Т.К.Козубская, Х.Уврар. Методика повышения точности при моделировании переноса акустических возмущений на неструктурированных сетках. Ученые записки ЦАГИ, t.XLI, №1, (2010), стр. 28-36.

60. B. Cockburn, C.-W. Shu. The Runge-Kutta discontinuous Calerkin finite element method for conservation laws V: Multidimensional systems. J. of Comput. Physics, Vol. 141, pp. 199 224, (1998).

61. B. Cockburn, C.-W. Shu. The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems. SI AM J. Numer. Anal., Vol. 35, pp. 2440 2463, (1998).

62. J.S. Hesthaven, T. Warburton. Nodal Discontinuous Galerkin Methods. Algorithms, Analysis, and Applications. Springer, 2008.

63. G. Kanschat. Discontinuous Galerkin Methods for Viscous Incompressible Flow Deutscher Universitâtsverlag, 2007.

64. A.B. Волков. Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путем решения уравнений Навье-Стокса на основе схем высокого порядка точности. Дис. докт. ф.-м. наук, Москва, 2010.

65. С. Debiez, Approximations décentrées^ à faible dissipation pour des problèmes hyperboliques. INRIA Report 2811, Février (1996).

66. I.V.Abalakin, T.K.Kozubskaya, A. Dervieux. High Accuracy Finite Volume Method for Solving Nonlinear Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes. Chinese Journal of Aeronautics, Vol. 19, No. 2, (2006).

67. Abalakin, I. V., Dervieux, A., and Kozubskaya Т. K. A vertex centered high order MUSCL scheme applying to linearised Euler acoustics. INRIA report RR4459, April 2002, (2002).

68. Gourvitch N., Rogé G., Abalakin I., Dervieux A., Kozubskaya Т. A tetrahedral based superconvergent scheme for aeroacoustics. INRIA report RR5212, May 2004 (2004).

69. I.V.Abalakin, A.V.Gorobets, T.K.Kozubskaya, S.A.Sukov, A.P.Duben. One Higher-Accuracy FV-Based Vertex-Centered Scheme for Computational Aeroacoustics. In Proceedings of WEHSFF Conference, Moscow, Russia, November 19-22, 2007 (2007).

70. Горбунов-Посадов M.M. Расширяемые программы. M.: Полиптих, 1999.

71. Горбунов-Посадов M.M. Эволюция программы: структура транзакции

72. Открытые системы, № 10, (2000), стр. 43-47.

73. А.В.Горобец, Т.К.Козубская, Технология распараллеливания явных высокоточных алгоритмов вычислительной газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках. Математическое моделирование, т. 19, № 2, (2007), стр. 68-86.

74. W.Gropp, E.Lusk, A.Skjellum. Using MPI: Portable Parallel Programming with the Message Passing Interface. The MIT Press, 2nd edition, 1999.

75. Karniadakis G.E., Kirby II R.M. Parallel Scientific Computing in С++ and MPI. Cambridge University Press, 2003.

76. R. Chandra, L Dagum, D. Kohr, D. Maydan, J. McDonald, R. Menon. Parallel Programming in OpenMP Morgan Kaufmann, Academic Press, 2001.

77. B. Chapman, G. Jost, R. van der Pas, D.J. Kuck. Using OpenMP: Portable Shared Memory Parallel Programming The MIT Press, 2008.

78. А.П.Дубень, Т.К.Козубская, М.А.Миронов. Численные эксперименты по изучению резонансных характеристик. В Тезисах докладов Всероссийской открытой конференции по авиационной акустике (октябрь 2009 г.), Москва, стр. 91-92, (2009)

79. А.П. Дубень, Т.К. Козубская, M.A. Миронов. Численное исследование резонаторов в волноводе. Механика жидкости и газа (в печати).

80. А.Ф. Соболев. Полуэмпирическая теория однослойных сотовых звукопоглощающих конструкций с лицевой перфорированной панелью. Акустический журнал, т. 53, № 6, (2007), стр. 861-872.

81. А.Ф. Соболев, В.Г. Ушаков, Р.Д. Филиппова. Звукопоглощающие конструкции гомогенного типа для каналов авиационных двигателей. Акустический журнал, т. 55, № 6, (2009), стр. 749-759.

82. Y. Khaletskiy, V. Povarkov and R. Shipov. The study of combined acoustic liners for turbofan noise reduction. Proceedings of the Sixteenth1.ternational Congress on Sound and Vibration (ICSV16), 5-9 July 2009, Krakow, Poland.

83. Y. Khaletskiy, V. Povarkov and R. Shipov.} Experimental study of the turbofanhush kit response. Proceedings of the Seventeenth International Congress on Sound and Vibration (ICSV17), 18-22 July 2010, Cairo, Egypt.

84. A.M. Сипатов Решение многодисциплинарных задач в процессе проектирования авиационных двигателей (газовая динамика, аэроакустика, прочность). Екатеринбург, УрО РАН, 2010.

85. V. Lebedeva, S.P. Dragon. Determination of acoustic characteristics in tubes by means of two microfone. Measurement Techniques, Vol. 31, No. 8, pp. 806-807, (1988). Translated from Izmeritel'naya Tekhnika, No.~8, (1988), pp. 52.

86. T.Kozubskaya. Euler Based Models and High Accuracy Numerical Techniques in Computational Aeroacoustics. In Proceedings of IMACS/ISGG Workshop MASCOT 04 (Edited by C.Conti, F.Pistella, R.-M.Spitaleri), (2004), pp.121-130.

87. Fedorchenko A.T., A model of unsteady subsonic flow with acoustics excluded. J.ofFluidMech.,Vol.334 (1997), pp. 135 155.

88. W. Bechara, C. Bailly, O.Lafon. Stochastic Approach to Noise Modeling for Free Turbulent Flows. Journal of Acoust. Soc. Am., Vol. 97, No. 6, pp. 3518-3531.

89. ICASE/Larc Workshop on Benchmark Problems in Computational Aeroacoistics (CAA) (Eds. by J.C. Hardin, J.R. Ristorcelli and C.K.W. Tam). NASA CP-3000 (1995).

90. И.В.Абалакин, К.А.Даниэль, Т.К.Козубская. Исследование влияния точности аппроксимации вязких членов на точность численного решения уравнений газовой динамики. Математическое моделирование, т. 19, № 7, (2007), стр. 85-92.

91. I. Borovskaya, T.Kozubskaya, O.Kurbanmuradov, K.Sabelfeld, Synthetic Models of Random Signals and Fields in Computational Aeroacoustics Problems. In Proceedings of WEHSFF Conference, Moscow, Russia, November 19-22, 2007 (2007).

92. M. Billson, L.E. Eriksson, L. Davidson. Jet Noise Prediction Using Stochastic Turbulent Modeling. ALAA paper 2003-3282 (2003).

93. T. Kozubskaya, I. Abalakin, V. Bobkov. A Half-Stochastic Model for Noise Simulation in Free Turbulent Flows. AIAA paper 2001-2258 (2001).

94. R. Ewert. The Simulation Of Slat Noise Applying Stochastic Sound Sources Based On Solenoidal Digital Filters (SDF). Euromech Colloquium 467: Turbulent Flow and Noise Generation July 18-20, 2005 Marseille, France.

95. R. Ewert. Broadband slat noise prediction based on CAA and stochastic sound sources from a fast random particle-mesh (RPM) method. Сотр. Fluids, Vol. 35, pp. 369-387 (2007).

96. R. Ewert, C. Appel, J. Dierke, and M. Herr. RANS/CAA based prediction of NACA 0012 broadband trailing edge noise and experimental validation.

97. K.K.Sabelfeld. Monte Carlo methods in boundary value problems. Springer Verlag. New York Heidelberg - Berlin, 1991

98. P.Kramer, O. Kurbanmuradov, K. Sabelfeld. Extentions of Multiscale Gaussian Random Field Simulation Algorithm. WIAS preprint 1040, Berlin, 2005.

99. Дж.К. Бетчелор. Теория однородной турбулентности. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1955.

100. В. Бунимович, Флюктуационные процессы в радиоприемных устройствах. М.: Советское радио, 1951.

101. А.А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. Судпромгиз., 1961.

102. И.А. Боровская. Моделирование однородных случайных полей по заданному спектру в задачах аэроакустики. Математическое моделирование, т. 19, №7, (2007), стр. 67-76.

103. И.А. Боровская, Т.К. Козубская, О. Курбанмурадов, К.К. Сабельфельд.

104. О моделировании однородных случайных полей и сигналов и их использовании в задачах аэроакустики. Математическое моделирование, т. 19, № 10, (2007), стр. 76-88.

105. Е.С. Венцель, Л.А. Овчаров. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000.

106. А.В.Александров, Т.К.Козубская, Моделирование распространения акустического шума в потоках вязкого сжимаемого газа. Математическое моделирование, т. 11, № 12, (1999), стр. 3-15.

107. A. Alexandrov, B.Chetverushkin, T.Kozubskaya, Numerical Investigation of Viscous Compressible Gas Flows by Means of Flow Field Exposure to

108. Acoustic Radiation. In Proceedings of Parallel CFD 2000 Conference, Trondheim, Norway, North Holland, Elsevier, May 2000, (2000).

109. Anatoli V.Alexandrov and Tatyana K.Kozubskaya. Parallel Computation of White Noise Propagation through Viscous Compressible Gas Flows. J. of Computational Methods in Science and Engineering (JCMSE), 2002, Vol. 2 (ls-2s), pp. 175-180.

110. F. Bastin, P. Lafon, S. Candel. Computation of jet mixing noise due to coherent structures: the plane jet case. J. Fluid Mech., Vol 335, pp. 261-304,(1997).

111. A.C. Гиневский, E.B. Власов, P.K. Каравосов. Акустическое управление турбулентными струями. М.: Физматлит, 2001.

112. А.Т. Федорченко. О воздействии мелкомасштабной турбулентности на развитие когерентных структур в слое смешения. Доклады Академии наук СССР, т. 302, №6, (1988), стр. 1327-1332.

113. Н.Е. Кочин. Векторное исчисление и начала тензорного анализа. М.: Наука, 1965.

114. Хинце И.О. Турбулентность. Ее механизм и теория. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1963.

115. I. Borovskaya, Т. Kozubskaya, О.А. Kurbanmuradov, K.K.Sabelfeld, Verification of the SNGR Approach Modification. In Proceedings of International Conference Tikhonov and Contemporary Mathematics , Moscow, Russia, June 19-25, 2006 (2006).

116. И.В.Абалакин, Т.К.Козубская. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса. Математическое моделирование, т.19, № 7, (2007), стр. 56-66.

117. Э. Оран, Дж. Борис, Численное моделирование реагирующих потоков.1. М.: Мир, 1990.

118. Ch. Hirsch. Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol. 1: Fundamentals of Computational Fluid Dynamics. Elsevier, ButterworthHeinemann, 2nd edition, 2007.

119. Ю.И. Шокин, H.H. Яненко. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние, 1985.

120. А. Harten, High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. J. Comput. Phys., Vol.49, No. 4, pp. 357-393, (1983).

121. S.R. Chakravarthy, S. Osher. High Resolution applications of the Osher upwind scheme for the Euler Equations. AIAA Paper 83-1943 (1983).

122. A. Jameson, Numerical Solution of the Euler Equations for Compressible inviscid Fluids. In Book Numerical Methods for the Euler Equations of Fluid Dynamics, edited by F. Angrand et al., SIAM, Philadelphia, (1985), pp. 199.

123. Fourth Computational Aeroacoustics (CAA) Workshop on Benchmark Problems. NASA/CP-2004-212954 (2004).

124. L.C.Huang. Pseudo-Unsteady Difference Schemes for Discontinuous Solution of Steady-State, One-Dimensional Fluid Dynamics Problems. J. of Comput. Phys., Vol.42, (1981), pp.195-211.

125. J.A. Desideri, A.Dervieux. Compressible Flow Solvers Using Unstructured Grids. VKI Lecture Series N 1988-05, Brussels, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, (1988), pp. 1-115.

126. A. Dervieux, L. Fezoui, F.Loriot. On high resolution variants of Lagrange-Galerkin finite-element schemes. INRIA Report 1703, (1992).

127. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.1. М.: Наука, 1981.

128. В. van Leer Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme.V. A Second-Order Sequel to Godunov's Method. J. of Comput. Phys., Vol. 32. (1979), pp. 101-136.

129. A. Dervieux. Steady Euler simulation Using Unstructured Meshes Von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture Series N 1985-94, Brussels, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, (1985).

130. И.В.Абалакин, А.В.Жохова, Б.Н.Четверушкин. Кинетически-согласованные схемы повышенного порядка точности. Математическое моделирование, т. 13, № 5, (2001), стр. 53-61.

131. L. Ferzoui, В. Stoufflet. A class of implicit upwind schemes for Euler simulations with unstructured grids. J. of Comput. Phys., Vol 84, (1989), pp. 174-206.

132. W.A. Mulder, B. van Leer. Experiments with Implicit Upwind Methods for the Euler Equations. J. of Comput. Phys., Vol 59, (1985), pp. 232-246.

133. P.K. Sweby. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws. SIAM J. on Num. Anal., Vol. 21, (1984), pp. 9951011.

134. Lallemand M.-H. Schémas decentrés Multigrilles pour la Résolution desi

135. Equations D Eider en Eléments Finis, Thesis, L Université de Provence Saint Charles (1988).

136. Maple User Manual. Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., 2005

137. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

138. P.R. Spalart, and , S.R. Allmaras. A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows. AIAA Paper 92-0439, 30th Aerospace Science Meeting, Reno, Nevada (1992).

139. J.L. Steger, R.F. Warming. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite-Difference Methods J. Comput. Phys., Vol. 40, (1981), pp. 263-293.

140. Y. Saad. Iterative methods for sparse linear systems. Copyright by Yousef Saad, second edition, 2000.

141. A.B. Горобец, C.A. Суков, Ф.Х. Триас, Проблемы использования современных суперкомпьютеров при численном моделировании в гидродинамике и аэроакустике. Ученые записки ЦАРИ, T.XLI, №1, (2010), стр.65-71.

142. А.В. Горобец, Т.К. Козубская, Технология распараллеливания явных высокоточных алгоритмов вычислительной газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках. Математическое моделирование, т. 19, № 2, (2007), стр. 68-86.

143. Andrey V. Gorobets, Ilya V. Abalakin and Tatiana K. Kozubskaya. Technology of parallelization for 2D and 3D CFD/CAA codes based on high-accuracy explicit methods on unstructured meshes, In Book Parallel

144. Computational Fluid Dynamics 2007, Series Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Springer Berlin Heidelberg, Vol. 67, (2009), pp. 253-260.149. http:// glaros .dtc.umn.edu/gkhome/views/metis

145. I. Abalakin, A. Gorobets, T. Kozubskaya, and S. Soukov, Parallel CFD Simulations Using Explicit Vertex-Centered Methods on Tetrahedral Grids.

146. Proceedings of NUMGRID 2008 Conference, June 10-23, 2008, Moscow, Russia (2008).

147. И.В.Абалакин, А.В.Горобец, Т.К.Козубская. Вычислительные эксперименты по звукопоглощающим конструкциям. Математическое моделирование, т. 19, № 8, (2007), стр. 15-21.

148. I.V.Abalakin, A.V.Gorobets, T.K.Kozubskaya, A.K.Mironov. Simulation of Acoustic Fields in Resonator-Type Problems Using Unstructured Meshes. AIAA 2006-2519 Paper, (2006).

149. C. Richter, F.H. Thiele, X. Li, M. Zhuang. Comparison of Time-Domain Impedance Boundary Conditions by Lined Duct Flows. AIAA Paper 2006-2527, (2006).162.163.164.165.166.

150. X.D. Lia, С. Richter, F. Thiele. Time-domain impedance boundary conditions for surfaces with subsonic mean flows. Journal of Acoust. Soc. Am., Vol. 119, No. 5, (2006), pp. 2665-2676.

151. C.K.W. Tam, H. Jua, M.G. Jones, W.R. Watson and T.L. Parrott A computational and experimental study of slit resonators. Journal of Sound and Vibration, Vol. 284, Issue 3-5, (2004), pp. 947-984.

152. Jeong J., Hussain F, On the identification of a vortex. J. Fluid Mech, 285, p. 69,(1995).

153. А.П. Дубень, Т.К. Козубская, М.А. Миронов. Численное исследование резонаторов в волноводе. Механика жидкости и газа (в печати).

154. И.В.Абалакин, Б.Н.Даньков, Т.К.Козубская, Д.К.Колмогоров. Расчет турбулентных течений вокруг обратных уступов и каверн. В Тезисах докладов Всероссийской открытой конференции по авиаг}ионной акустике (октябрь 2009 г.), Москва, стр. 64-65, (2009)