автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование случайных сигналов и полей в задачах вычислительной аэроакустики

Боровская Ирина Анатольевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ АЭРОАКУСТИКИ

Специальность 05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

13

003174213

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ТК Коз\бская, зав сектором Вычислительной аэроакусгики ИММ РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация.

доктор физико-математических наук И Л Софронов, ведущий научный сотрудник, Институт прикладной математики им МБ Келдыша РАН

доктор физико-математических наук, профессор Э Г Шифрин, профессор Московского физико-технического института

Институт вычислительной математики и математической юофизики СО РАН

Защита состоится 8 ноября 2007 юда в_часов на заседании диссертационного совета К 002 058 01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, Москва, Миусская нл , 4А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН

Автореферат разослан _'' 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета К 002 058 01, // кандидат физико-математических наук Н Г Прончева

Общая характеристика работы Актуальность

Задачи аэроакустики важны и актуальны для различных инженерных приложений, промышленности и экологии Вопросы возникновения и подавления шума, влияние турбулентности на распространение звука в возмущенных средах и другие проблемы возникают в авиастроении (шум двигателей), автомобильной индустрии (звукоизоляция салона, шум от автомобиля) и при разработке бытовой техники, окружающей нас каждый день (фены, кондиционеры)

Чаще всего и наиболее достоверно на данный момент такие задачи решаются при помощи натурного эксперимента Но, несмотря на очевидные преимущества, физические опыты не дают полной картины происходящих процессов и не всегда могут быть проведены В сложных физических условиях (крайне низкая или высокая температура или давление) или в труднодоступных местах (резонаторы звукопоглощающих конструкций самолетов) физические эксперименты очень сложны и неоправданно дороги В таких случаях, для широкого круга задач газовой динамики и аэроакустики, дополнительным инструментарием исследований может стать вычислительный эксперимент

Численное моделирование задач аэроакустики основывается на уравнениях Навье-Стокса или уравненях Эйлера, их модификациях и, в том числе, линейных аналогах

Класс экономичных методов, основанных на осреднении (уравнения Рейнольдса, RANS - Reynolds Averadged Navier Stokes equations) или фильтрации (метод крупных вихрей, LES - Large Eddy Simulation) уравнений Навье-Стокса или уравнений Эйлера, является для задач аэроакустики практически неприменимым, так как подразумеваемое в этих моделях сглаживание решения уничтожает информацию о высокочастотных пульсациях Поэтому решение задач аэроакустики основывается, как правило, на постановках в рамках прямого численного моделирования (DNS - Dnect Numerical Simulation) В то же время, численное решение уравнений Навье-Стокса или Эйлера ввиду необходимости использования больших расчетных сеток с мелким разрешением требует

больших временных и ресурсных затрат В связи с этим такой метод используется чаще в исследовательских целях, чем в практических инженерных приложениях

В настоящее время в мире развивается специальный класс моделей DNS, известный как модели прямого расчета шума (DNC - Dnect Noise Calculation) При таком подходе источники шума моделируются явно, тем или иным способом

Одним из перспективных в этом направлении подходов является стохастическо-детерминистический, при котором звуковые источники задаются стохастическим образом Он основан на использовании гибридных моделей, построенных на основе RANS, нелинейных или линейных уравнений для пульсаций (уравнения NLDE - Non-Lmear Disturbances Equations или линеаризованных уравнений Эйлера), а также стохастических моделей

Характерной особенностью задач аэроакустики, отличающей их от других задач газовой динамики, является присутствие внешних или внутренних источников звука

В качестве внешних источников выступают привнесенные извне возбуждения акустической природы, например, шум реактивных двигателей или турбин при различных режимах слабый акустический шум, который естественным образом присутствует в течении газа, и т п

Внешние акустические сигналы, как правило, носят стохастический характер Поэтому при численном воспроизведении условий физического эксперимента необходимо адекватное моделирование входящих стохастических возмущений

В качестве внутренних источников звука можно рассматривать формируемые течением вихревые структуры и турбулентные возмущения среды Расчет звука генерируемого турбулентностью, наиболее сложная задача аэроакустики Несмотря на развивающиеся подходы, эта задача до конца не решена до сих пор, несмотря на многочисленные попытки и множество существующих и активно развивающихся подходов

Один из подходов предполагает использование стохастического моделирования для решения поставленной задачи В рамках данного направ-

ления присущая потоку турбулентность моделируется отдельным образом как случайное поле с заданными характеристиками (спектральные и корреляционные свойства, статистические моменты и т п ) Полученное таким образом турбулентное поле включается в задачу аэроакустики как входной параметр, рассматриваемый как источник генерации звука При таком подходе моделирование случайного поля также становится неотъемлемой частью численного решения всей задачи

Использование стохастических сигналов и полей широко развито не только в задачах азроакустики, но и в различных областях вычислительной физики Подходы, опирающиеся на стохастическое моделирование, в ряде случаев существенно расширяют возможности вычислительного эксперимента Однако возникающие при этом стохастические дифференциальные уравнения крайне сложны для решения, а особенно для их численного моделирования Для обхождения этих трудностей при численном моделировании задач математической физики вместо реальных стохастических величин в коэффициентах или источниковых членах дифференциальных уравнений предлагается использовать их гладкие реализации Следует отметить, что генерация таких гладких реализаций для процессов с заранее известными свойствами представляет самостоятельную научную проблему, актуальность которой возрастает по мере внедрения методов математического моделирования в практику решения инженерных задач

Существенным моментом в таком подходе является предположение (в ряде случаев подтвержденное теорией и экспериментом), что большинство реально существующих полей и сигналов обладают свойством эргодичности Наличие этого свойства позволяет использовать для анализа одну длинную по времени выборку, вместо большого набора реализаций, необходимого для достоверного осреднения по ансамблю

В задачах аэроакустики гладкие реализации стохастических величин и полей широко используются в качестве внутренних или граничных источников, исходно заданного турбулентного поля течения, а также при моделировании генерации звука в турбулентных течениях В последнем случае нестационарные поля турбулентности, представляющие гладкие

реализации случайного процесса с заданными спектральными характеристиками и моментами, вводятся в математическое описание задачи как внешний параметр

Таким образом, современная вычислительная аэроакустика требует умения реализовывать различные стохастические поля и сигналы и использовать генерирующие их модели в различном качестве при решении актуальных задач

Данная работа посвящена численной реализации случайных полей и сигналов для аэроакустических приложений, а также демонстрации возможности синтеза стохастического моделирования с классическими, детерминированными подходами на примере конкретных задач аэроакустики

В качестве одного из примеров рассматривается задача о слое смешения потоков с различными скоростями и возможности влияния на него внешним акустическим излучением Она является фундаментальной задачей в теории струй и изучении возможности управелния турбулентностью

Другим интересным примером задачи аэроакустики с использованием стохастической модели является модельная задача о прохождении звука через зону турбулентности Исследование процессов рассеяния и влияния нелинейных эффектов на акустическую волну представляет научный и практический интерес

Результаты численных расчетов, полученные даже в упрощенной двумерной постановке, соответствуют известным экспериментальным данным (что говорит об их достоверности и о разумности выбранного подхода)

Цель и задачи диссертационной работы

Целью работы являлось исследование и реализация моделей стохастических сигналов и полей и их применение в задачах вычислительной аэроакустики

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи

• изучение, разработка и численная реализация синтетических мо-

делей случайных сигналов и полей, используемых при моделировании входящего акустического возмущения и начально заданного турбулентного возмущения среды в задачах вычислительной аэроакустики,

• разработка комплекса программ для верификации моделей численно генерируемых сигналов и полей на соответствие заданным характеристикам ,

• реализация стохастических моделей и полей в различном качестве в рамках комплекса программ 1Ч013Ейе, разрабатываемого в секторе вычислительной аэроакустики Института математического моделирования РАН

• проведение расчетов модельных задач аэроакустики с использованием стохастических моделей

Научная новизна

1 Сформулирован и численно реализован алгоритм моделирования пульсаций по заданному спектру и статистическим параметрам, реализующий одномерные нестационарные по времени сигналы и двумерные однородные в стохастическом смысле поля

2 Рассмотрен и использован новый подход к решению задач аэроакустики, основывающийся на моделях Ы1ЛЭЕ и линейных уравнениях Эйлера в совокупности со стохастическими моделями турбулентных газодинамических параметров

3 Проведен вычислительный эксперимент по исследованию влияния внешнего акустического возмущения на слой смешения двух дозвуковых потоков в упрощенной двумерной постановке Выявлено, что при использовании мощного шума, слой смешения начинает формироваться ближе к границе раздела и его толщина уменьшается

4 Изучено явление рассеяния акустической волны турбулентностью и влияние нелинейных эффектов при моделировании этого явления

Теоретическая и практическая значимость

1 В результате проведенной работы был создан комплекс программ

SIGNUM1 Он позволяет генерировать случайные сигналы и поля, используемые при расчете аэроакустических задач, по заданным статистическим и спектральным характеристикам

2 Разработан комплекс программ NUANSe2 для экспресс-анализа полей и сигналов, а также результатов, возникающих при решении задач аэроакустики Он позволяет быстро и качественно проводить процедуру верификации как сгенерированных сигналов и полей, так и численных результатов, полученных с их использованием

3 Программные модули, реализующие модели для генерации случайных сигналов и полей, внедрены в комплекс программ NOISEtte для решения задач газовой динамики и аэроакустики Комплекс программ NOISEtte, разрабатываемый в ИММ РАН, адаптирован к использованию в расчетах в различном качестве (источники, граничные условия, средние поля и тп)

4 На модельных задачах аэроакустики численно подтвержден ряд известных теоретических данных, что говорит о правильности выбора подхода и достоверности полученных результатов и дает возможность использовать данный подход в качестве инструментария для решения задач азроакустики

Апробация работы

Основные положения работы были доложены и обсуждены на научных и научно-практических конференциях, в том числе 4-х международных

• XLIV Научной конференции МФТИ, Москва, 25-28 ноября 2001г ,

• Международной конференции "The 7th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics", г Орландо, Флорида, США, 27-30 июля 2003г,

• XLVI Научной конференции Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 23-29 ноября 2003г,

1аббр SIGnal NUMerical - численный сигнал

2аббр NUmeiical ANalazer of Signals - численный анализатор сигналов

• XLVII Научной конференции Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 22-26 ноября 2004г,

• Международной конференции "International conference on Selected Problems of Modern Mathematics, dedicated to the 200th anniversary of К G Jacobi, and the 750th anniversary of the Koemgsberg foundation", г Калининград, 4-8 апреля 2005г,

• Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых ЛОМОНОСОВ-2005, Москва, 12-16 апреля 2005г (два доклада),

• Международной конференции "Tikhonov and Contemporary Mathematics", Москва, 19-25 июня, 2006г,

• Всероссийской научно-практической конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике", Светлогорск, 27-30 сентября 2006г,

• XLIX научной конференции Московского физико-технического института (Государственного университета) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 22-25 ноября 2006г,

• Научной конференции "Авиационная акустика", пансионат "Звенигородский" РАН, Моек обл , 1-5 октября 2007 ,

а также научных семинарах

• Научном семинаре сектора вычислительной аэроакустики Института математического моделирования РАН, Москва, 07 июня 2006г,

• Научном семинаре Института безопасности развития атомной энергетики РАН, Москва, 16 октября 2006г ,

• Научном семинаре факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 19 октября 2006г,

• Научном семинаре факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 23 апреля 2007г,

• Научном семинаре сектора вычислительной аэроакустики Института математического моделирования РАН, Москва, 19 сентября 2007г,

• Научном семинаре ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под рук проф Е И Леванова, Институт математического моделирования РАН, Москва, 27 сентября 2007г

Публикации

Основные положения и выводы диссертации отражены в 13-ти печатных работах, в том числе в 2-х журнальных статьях и 11-ти работах в сборниках научных трудов конференций, из них 4 международных

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений Работа изложена на 95 страницах машинописного текста, имеет 3 таблицы, 31 рисунок, 124 формулы Список литературы содержит 83 источника

Положения, выносимые на защиту

1 На основании разработанного комплекса программ SIGNUM реализован алгоритм моделирования случайных сигналов и полей по заданному энергетическому спектру и статистическим моментам в рамках рандомизированного спектрального метода

2 Разработан комплекс программ NUANSe для верификации и экспресс-анализа как сгенерированных сигналов и полей, так и результатов расчета задач аэроакустики, включающий в себя статистический, корреляционный, спектральный методы

3 В результате модернизации комплекса программ NOISEtte, предназначенного для решения задач газовой динамики и аэроакустики, в него были включены модели, генерирующие случайные сигналы и поля

4 Проведенные расчеты по моделированию рассеивания звука на однородном стохастическом поле с целью исследования взаимодействия плоской монохромной акустической волны с турбулентными полями продемонстрировали эффект рассеяния звука турбулентностью

5 Расчет задачи о возбуждении слоя смешения равномерным шумом в заданной полосе частот выявил зависимость характерных частот слоя смешения от расстояния до кромки разделяющей пластинки и показал влияние акустического излучения на расположение точки отрыва и формирование зоны перемешивания

Содержание, результаты и обсуждение работы Во введении обозначена актуальность работы, описан контекст работы, дан обзор существующих методов

Первая глава посвящена комплексу программ NUANSe для экспресс-анализа точечных пульсаций и полей, являющихся либо входным параметром, либо результатом моделирования при численном решении задач аэроакустики Комплекс позволяет проводить статистический, корреляционный и спектральный анализ Входные и выходные сигналы для удобства можно задавать как в размерном, так и в безразмерном виде Частотный анализ позволяет выявлять характерные частоты потока Для более точных и качественных результатов в комплексе программ реализованы процедуры интерполяции и фильтрации входных сигналов Комплекс программ NUANSe написан на языке Fortran Он может быть использован под разными операционными системами (Windows, Unix) Благодаря тому, что комплекс состоит из объединенных в одну оболочку модулей различного предназначения, существует возможность проводить анализ только необходимыми для данной задачи методами, тем самым экономя время на обработку данных Ограничение по памяти на входной сигнал определяется только объемом ОЗУ рабочей станции Вторая глава посвящена стохастическим моделям турбулентных пульсаций газодинамических переменных В работе рассмотрены два

подхода к моделированию таких пульсаций Первый подход - одноточечные модели Возмущение задается в одной точке или независимо в каждой точке области, содержащей источник

Были рассмотрены модификации амплитудно-фазовой модели, в которой случайная функция V представляется в виде гармонических колебаний с характерной частотой и>, фазой ф, равномерно распределенной на отрезке [—7г, 7г], и случайной амплитудой А, распределенной по Рэлею

11 = А соэ^+Ф) (1)

Амплитудно-фазовая модель, а также ее модификации фазовая, амплитудная, детерминированное приближение, непрерывная и модификация с дискретной фазовой выборкой задавались аналитически Исследование моделей включало в себя аналитические расчеты математического ожидания и дисперсии, численные расчеты, показывающие отклонения от аналитических данных Проведенный анализ показал, что амплитудно-фазовая модель, использованная в качестве источника возмущений в задаче слоя смешения, наиболее полно восстанавливает требуемые характеристики

В основу второго подхода к моделированию случайных сигналов и полей был положен рандомизированный спектральный метод [Г А Михайлов, К К Сабельфельд] Сигналы и поля раскладываются по Фурье модам и суммируются по гармоникам Поля, построенные на базе рандомизированного спектрального метода, по форме построения явно удовлетворяют условию несжимаемости (с1гюи(х) = 0)

и(х) = ¿2 иЬ.агт(х), (2)

»=1

Щагт{х) = х))+^8т(к\и? *))], (3)

где (2{ш) - двумерная матрица с элементами = — щш^ = 1,2 Случайную величину к 6 (0, оо) выбираем по плотности р(к) = Е(к)/а2 Изотропный двумерный вектор и; единичной длины задается своими компонентами и>1 = соз(27га),а;2 = 8ш(27га), где а - равномерно распреде-

ленная случайная величина на отрезке [0,1] Два независимых случайных двумерных вектора г) распределены по Гауссу

В рамках этого метода реализован алгоритм для численного моделирования случайных полей по заданному спектру Его работа продемонстрирована на двух примерах (1) модель турбулентных пульсаций скорости со спектром фон Кармана и (2) модель "розовый" шум

Анализ модели пульсаций скорости показал хорошую согласованность распределения компонент скорости полученного поля с распределением Гаусса Корреляционные функции близко повторяют аналитические значения при достаточном количестве рассмотренных реализаций (не менее 10000) Математическое ожидание и дисперсия полученных полей при увеличении числа реализаций быстро убывают к заданным значениям Моделирование случайного волнового числа к при использовании достаточного числа гармоник (рассматривалось число гармоник, равное 200 и 500) хорошо воспроизводит спектр фон Кармана

Моделирование нестационарных по времени пульсаций давления осуществлялось согласно формуле

где ш\ - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ытт, А\ - случайная величина, имеющая распределение Рэлея с

характеристиками /а - плотность распределения, гпа - математическое ожидание, Da - дисперсия, ар - дисперсия моделируемого сигнала

Процедура верификации показала, что для 500 гармоник выполняется близкое совпадение заданного спектра с полученным путем спектрального анализа Математическое ожидание и дисперсия быстро убывают к заданным значениям при увеличении числа гармоник, либо при увеличении числа реализаций при фиксированном числе гармоник

Описанные выше модели реализованы в виде самостоятельного комплекса программ SIGNUM, который для удобства изучения и верификации построенных моделей полностью совместим с анализатором сигналов

(4)

А=1

NUANSe

6000

ЭШ + по РИ ЭИв + 5та11 РИ ОМ 8 + 1а1^е РЫ

4000

2000

0

-2000

-4000

-6000,

О

5000 10000 15000 20000 25000 30000

Рис. 1: Клинообразная зона перемешивания в задаче о слое смешения

Все модели также реализованы в исследовательском комплексе программ ИОЗБЕйе для численного решения задач газовой динамики и аэроакустики.

В третьей главе рассматриваются две задачи аэроакустики с использованием однородных случайных полей и сигналов. Равномерно распределенный в полосе частот шум ("розовый" шум) задан на входной границе в задаче о слое смешения. Во второй задаче, моделирование рассеивания акустической волны на турбулентном фоне, поля турбулентной скорости задаются в качестве среднего поля течения.

Для решения этих задач был использован комплекс программ МОКЕйе, создаваемый в ИММ РАН. В нем реализованы различные модели для решения задач газовой динамики и аэроакустики, в том числе полные уравнения Навье-Стокса, нелинейные уравнения для возмущений (МЬБЕ), линейные уравнения Эйлера и Навье-Стокса [И.В. Абала-кин, Т.К. Козубская, 2007].

Стохастические модели, реализованные в рамках комплекса программ ГГОШЕМе, могут быть использованы в качестве внешнего источника, заданного на границе, либо в отдельных внутренних точках области. Такая постановка задач может использоваться для всех моделей

комплекса МСЛЭЕйе Примером такого использования стохастических моделей является задача о слое смешения

Рассмотрен слой смешения, возникающий при перемешивании двух потоков с различными скоростями М\ = 0 3 и М2 = 0 7, разделенных бесконечно тонкой пластинкой Число Рейнольдса Не = 2000 в задаче оценивалось по толщине пограничного слоя в потоке с большей скоростью

Задача решалась в двух постановках В первой постановке рассматривался слой смешения без возмущения, во второй - вдоль всей входной границы потоков добавлялся сопутствующий ' розовый" шум Мощность шума составляла 117 Дб для малого возмущения и 160 Дб для сильного возмущения, диапазон частот задавался как [103 Гц, 105 Гц]

Математическое описание данной задачи основывается на решении полных уравнений Навье Стокса В качестве начальных условий были заданы нормальные условия для воздуха в неподвижной среде В граничных условиях задавались набегающие слева течения с различными скоростями и температурами с учетом пограничных слоев для адиабатической стенки Во второй постановке учитывалось возбуждающее акустической волной воздействие, которое добавлялось к потоку на входной границе

Известно, что задача о слое смешения характеризуется положением и размером зоны перемешивания, а также формированием когерентных структур внутри нее Акустическое же воздействие может существенно влиять на положение точки отрыва, соответствующей началу формирования клинообразной зоны смешения Проведенные численные исследования подтверждают этот факт В частности, результаты расчетов показали, что при наличии существенного возмущения (160 Дб) клин слоя смешения формируется ближе к границе раздела двух потоков, чем в случае малого возмущения (117 Дб) или его отсутствия Следует отметить, что при этом угол клина невозмущенного слоя оказался больше, чем возмущенного Эти результаты продемонстрированы на рис 1 и 2

Еще одним теоретически и экспериментально установленным свойством слоя смешения является наличие у него характерных частот Для

Рис. 2: Развитие клина слоя смешения для невозмущенной (слева) и возмущенной (справа) задач

каждого поперечного сечения слоя эти частоты различны и подчиняются закону обратной пропорциональности в зависимости от расстояния до кромки разделяющей пластинки. Полученные численные результаты подтверждают этот факт, а также обосновывают метод определения характерных частот слоя смешения при помощи вычислительного эксперимента. Идея метода заключается в спектральном анализе численно полученных сигналов - откликов на воздействие входящего "розового" шума, вдоль центральной линии слоя смешения. В ходе расчетов показано, что при равномерном спектре входящего излучения в откликах появляются выраженные пиковые частоты. При приближении к кромке характерные, "откликающиеся" частоты становятся более высокими, толщина спектра более широкой, а мощность пика, наоборот, более слабой.

В результате сравнения расчетов прямого численного моделирования с расчетами с возбуждением потока "розовым" шумом было показано влияние шума на развитие слоя смешения, тем самым показана возможность численного моделирования процессов акустического воздействия на слои смешения и струи.

Вторым рассмотренным примером была задача о прохождении акустического сигнала по однородному стационарному турбулентному фону в канале. Целью численного исследования явилось моделирование рассе-

яния акустической волны турбулентностью, а также возможное влияние нелинейных процессов при волнах большой мощности. Поэтому основными параметрами задачи являлись мощность и частота входящей акустической волны, а также ее отношение к мощности и корреляционной длине заданной турбулентности.

Используемое в задаче в качестве параметра поле турбулентности (рис. 3.) характеризовалось кинетической энергией к и скоростью ее диссипации е, соответствующих течению при обтекании цилиндра на расстоянии 2.5 его радиусов при расчете с помощью уравнений Рейнольдса, замкнутых к — £ моделью турбулентности. В качестве параметров входящего акустического излучения брались плоские монохромные волны с определенной мощностью и частотой, поступающие в канал слева.

Рис. 3: Линии тока турбулентного Рис. 4: Рассеяние плоской монохро-фона матической волны на турбулентном

фоне (давление)

В качестве математического описания данной задачи рассматривались две модели: линеаризованные уравнения Эйлера и нелинейные уравнения для пульсаций ]МЬВЕ без учета вязких членов. В качестве начальных условий для этой задачи брались нулевые значения пульса-ционной составляющей. В граничных условиях задавалась входящая в канал слева плоская монохромная волна.

Результаты расчетов показали существенное влияние зоны турбулентности на рассеивание плоской монохроматической акустической волны при прохождении через эту зону в случае, когда интенсивность вхо-

дящей волны сравнима или меньше интенсивности неоднородного фона Искажение фронта входящей акустической волны, обусловленное наличием турбулентного фона, показано на рис 4 С другой стороны, при неизменном турбулентном поле, чем выше интенсивность входящей волны, тем меньшее влияние на нее оказывает пространственная неоднородность фона

Для волн недостаточно высокой мощности результаты моделировав ния по линейной и нелинейной моделям практически совпадают, так как в течение продолжительного времени нелинейные эффекты оказываются несущественными Влияние нелинейности можно отчетливо видеть при волнах мощностью 150 Дб и выше, когда решение начинает терять гладкость В этом случае адекватное численное решение требует более тонкой настройки используемых алгоритмов повышенной точности (в частности, введения адаптивной численной вязкости)

В заключении обсуждены основные результаты работы, сделаны необходимые комментарии и выводы, обозначены перспективы дальнейших исследований по тематике данной работы

Основные результаты.

1 Построены и изучены свойства трех типов синтетических моделей случайных процессов, используемых при моделировании пульсаций газодинамических параметров одноточечные стохастические модели, одномерные и двумерные спектральные рандомизированные модели

2 Разработан комплекс программ SIGNUM, реализующий алгоритм моделирования случайных сигналов и полей по заданному энергетическому спектру и статистическим моментам Разработан комплекс программ NUANSe, позволяющий проводить верификацию и экспресс-анализ как сигналов и полей, так и полученных в результате решения аэроакустических задач

3 Произведена модернизация комплекса программ NOISEtte, предназначенного для решения задач газовой динамики и аэроакустики, посредством включения в него моделей, генерирующих случайные сигналы и поля

4 Проведен вычислительный эксперимент по моделированию рассе-

ивания звука на однородном турбулентном поле в двумерном приближении Показано влияние нелинейных газодинамических процессов при акустических волнах большой мощности

5 Проведен расчет задачи о возбуждении слоя смешения равномерным шумом в заданной полосе частот Продемонстрирована зависимость характерных частот слоя смешения от расстояния до кромки разделяющей пластинки Показано влияние акустического излучения на расположение точки отрыва и формирование зоны перемешивания

Публикации по теме диссертации

1 Боровская И А , Козубская ТК Стохастическое моделирование турбулентных пульсаций скорости в газовых потоках //В материалах XLIV Научной конференции МФТИ - М МФТИ, 2001 - Ч VII - С 44

2 Borovskaya I, Kozubskaya Т Numerical Signal Processing m Computational Aeroacoustics // Proceedings of The 7th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics, Orlando, Florida, USA, 2003 - P 305-309

3 Боровская И A , Козубская T К Обработка сигналов в вычислительной аэроакустике /,/ В материалах XLVI Научной конференции МФТИ - М МФТИ, 2003 - Ч VII - С 92-93

4 Боровская И А , Козубская Т К Комплекс программ NUANSe для обработки аэроакустических сигналов и моделирования турбулентных полей скорости //В материалах XLVII Научной конференции МФТИ -М МФТИ, 2004 - Ч VII - С 117-118

5 Borovskaya I, Kozubskaya Т, Kurbanmuradov О А , Sabelfeld К К On ways of developing synthetic stochastic models for turbulent velocity fields //In Book of Abstracts of International confeience on Selected Problems of Modern Mathematics, dedicated to the 200th anniversary of К G Jacobi, and the 750th anniversary of the Koemgsberg foundation, 2005 - P 118

6 Боровская И А О стохастическом моделировании турбулентных полей скорости //В материалах Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых JIOMOHOCOB-2005 - М МГУ, 2005 - С 10

7 Горобец А у Боровская И Технология распараллеливания высоко-

точных алгоритмов на неструктурированных треугольных сетках //В материалах Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых ЛОМОНОСЮВ-2005 - М МГУ, 2005 - С 11

8 Borovskaya I, Kozubskaya Т, Кит banmuradov О, Sabelfeld К Verification of the SNGR Approach Modification //In Proceeding of the International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics-Moscow, 2006 - P 41-42

9 Боровская И А, Козубская TK, Курбанмурадов О, Сабелъ-фелъд К К О генерации и верификации полей турбулентной скорости для аэроакустических приложений //В сборнике докладов Всероссийской научно-практической конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике" - Светлогорск, 2006 - С 19-20

10 Боровская И А О методе генерации и верификации полей пульсаций скорости в задачах аэроакустики // Труды 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" - М МФТИ, 2006 - Ч VII - С 167-168

11 Боровская И А Моделирование однородных случайных полей по заданному спектру в задачах аэроакустики // Математическое моделирование - 2007 - Т19, N 7 - С 67-76

12 Боровская И А , Козубская Т К, Курбанмурадов О , Сабелъфельд К К О моделировании однородных случайных полей и сигналов и их использовании в задачах аэроакустики// Математическое моделирование - 2007 - Т 19, N 10 - С 76-88

13 Козубская ТК, Абалакин ИВ, Боровская И А , Горобец А В, Даниэль К А Вычислительный эксперимент в инженерной аэроакустике на примере моделирования звукопоглощающих конструкций // Сб тезисов Научного семинара "Авиационная акустика", Звенигород, Моек обл , 2007

Заказ № 55/10/07 Подписано в печать 27 09 2007 Тираж 100 экз Уел пл 1,25

ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 ^. -тт с/г ги, е-тай т/о@с/г ги

Введение

Список сокращений

1 Комплекс программ NUANSe для экспресс-анализа сигналов и полей в задачах аэроакустики

1.1 Статистический анализ и распределение.

1.2 Физические/акустические характеристики

1.3 Интерполяция и фильтрация сигнала.

1.4 Спектральный и корреляционный анализ.

1.5 Частотный анализ.

1.6 Структура NUANSe.

1.6.1 Общие сведения

1.6.2 Входные/выходные данные.

1.6.3 Обезразмеривание.

1.6.4 Блок-схема комплекса программ NUANSe.

2 Стохастические модели возмущений газодинамических переменных

2.1 Одноточечные модели.

2.1.1 Описание.

2.1.2 Анализ одноточечных моделей.

2.2 Модели на основе рандомизированного спектрального метода

2.2.1 Общая схема реализации алгоритма моделирования пульсаций по заданному спектру.

2.2.2 Примеры

2.2.3 Верификация.

2.3 Комплекс программ SIGNUM для генерации моделей пульсаций

2.3.1 Общие сведения

2.3.2 Входные/выходные данные.

2.3.3 Структура (блок-схема).

2.3.4 Обезразмеривание.

3 Примеры использования моделей стохастических сигналов и полей при численном моделировании задач аэроакустики

3.1 Общие замечания.

3.1.1 Характеристика комплекса программ NOISEtte для расчета аэроакустических задач на неструктурированных сетках.

3.1.2 Схема включения стохастических сигналов и полей в программный комплекс NOISEtte

3.2 Использование стохастических моделей в качестве внешнего источника на примере задачи о возбуждении слоя смешения акустическим излучением.

3.2.1 Идея.

3.2.2 Постановка задачи.

3.2.3 Математическая модель.

3.2.4 Результаты.

3.3 Использование стохастических моделей для задания фонового турбулентного поля на примере задачи о рассеянии акустических волн на турбулентном поле.

3.3.1 Идея.

3.3.2 Постановка задачи.

3.3.3 Математическая модель.

Актуальность

Задачи аэроакустики важны и актуальны для различных инженерных приложений, промышленности и экологии. Вопросы возникновения и подавления шума, влияние турбулентности на распространение звука в возмущенных средах и другие проблемы возникают в авиастроении (шум двигателей), автомобильной индустрии (звукоизоляция салона, шум от автомобиля) и при разработке бытовой техники, окружающей нас каждый день (фены, кондиционеры).

Чаще всего и наиболее достоверно на данный момент такие задачи решаются при помощи натурного эксперимента. Но, несмотря на очевидные преимущества, физические опыты не дают полной картины происходящих процессов и не всегда могут быть проведены. В сложных физических условиях (крайне низкая или высокая температура или давление) или в труднодоступных местах (резонаторы звукопоглощающих конструкций самолетов) физические эксперименты очень сложны и неоправданно дороги. В таких случаях, для широкого круга задач газовой динамики и аэроакустики, дополнительным инструментарием исследований может стать вычислительный эксперимент.

Численное моделирование задач аэроакустики основывается на уравнениях Навье-Стокса или уравнениях Эйлера, их модификациях и, в том числе, линейных аналогах.

Класс экономичных методов, основанных на осреднении (уравнения Рейнольдса, RANS - Reynolds Averadged Navier Stokes equations) или фильтрации (метод крупных вихрей, LES - Large Eddy Simulation) уравнений Навье-Стокса или уравнений Эйлера, является для задач аэроакустики практически неприменимым, так как подразумеваемое в этих моделях сглаживание решения уничтожает информацию о высокочастотных пульсациях. Поэтому решение задач аэроакустики основывается, как правило, на постановках в рамках прямого численного моделирования (DNS - Direct Numerical Simulation). В то же время, численное решение уравнений Навье

Стокса или Эйлера ввиду необходимости использования больших расчетных сеток с мелким разрешением требует больших временных и ресурсных затрат. В связи с этим такой метод используется чаще в исследовательских целях, чем в практических инженерных приложениях.

В настоящее время в мире развивается специальный класс моделей DNS, известный как модели прямого расчета шума (DNC - Direct Noise Calculation). При таком подходе источники шума моделируются явно, тем или иным способом.

Одним из перспективных в этом направлении подходов является стохастическо-детерминистический, при котором звуковые источники задаются стохастическим образом. Он основан на использовании гибридных моделей, построенных на основе RANS, нелинейных или линейных уравнений для пульсаций (уравнения NLDE - Non-Linear Disturbances Equations или линеаризованных уравнений Эйлера), а также стохастических моделей.

Характерной особенностью задач аэроакустики, отличающей их от других задач газовой динамики, является присутствие внешних или внутренних источников звука.

В качестве внешних источников выступают привнесенные извне возбуждения акустической природы, например, шум реактивных двигателей или турбин при различных режимах, слабый акустический шум, который естественным образом присутствует в течении газа, и т.п.

Внешние акустические сигналы, как правило, носят стохастический характер. Поэтому при численном воспроизведении условий физического эксперимента необходимо адекватное моделирование входящих стохастических возмущений.

В качестве внутренних источников звука можно рассматривать формируемые течением вихревые структуры и турбулентные возмущения среды. Расчет звука, генерируемого турбулентностью, наиболее сложная задача аэроакустики. Несмотря на развивающиеся подходы, эта задача до конца не решена до сих пор, несмотря на многочисленные попытки и множество существующих и активно развивающихся подходов.

Один из подходов предполагает использование стохастического моделирования для решения поставленной задачи. В рамках данного направления присущая потоку турбулентность моделируется отдельным образом как случайное поле с заданными характеристиками (спектральные и корреляционные свойства, статистические моменты и т.п.). Полученное таким образом турбулентное поле включается в задачу аэроакустики как входной параметр, рассматриваемый как источник генерации звука. При таком подходе моделирование случайного поля также становится неотъемлемой частью численного решения всей задачи.

Использование стохастических сигналов и полей широко развито не только в задачах аэроакустики, но и в различных областях вычислительной физики. Подходы, опирающиеся на стохастическое моделирование, в ряде случаев существенно расширяют возможности вычислительного эксперимента. Однако, возникающие при этом стохастические дифференциальные уравнения крайне сложны для решения, а особенно для их численного моделирования. Для обхождения этих трудностей при численном моделировании задач математической физики вместо реальных стохастических величин в коэффициентах или источниковых членах дифференциальных уравнений предлагается использовать их гладкие реализации. Следует отметить, что генерация таких гладких реализаций для процессов с заранее известными свойствами представляет самостоятельную научную проблему, актуальность которой возрастает по мере внедрения методов математического моделирования в практику решения инженерных задач.

Существенным моментом в таком подходе является предположение (в ряде случаев подтвержденное теорией и экспериментом), что большинство реально существующих полей и сигналов обладают свойством эргодичности. Наличие этого свойства позволяет использовать для анализа одну длинную по времени выборку, вместо большого набора реализаций, необходимого для достоверного осреднения по ансамблю.

В задачах аэроакустики гладкие реализации стохастических величин и полей широко используются в качестве внутренних или граничных источников, исходно заданного турбулентного поля течения, а также при моделировании генерации звука в турбулентных течениях. В последнем случае нестационарные поля турбулентности, представляющие гладкие реализации случайного процесса с заданными спектральными характеристиками и моментами, вводятся в математическое описание задачи как внешний параметр.

Таким образом, современная вычислительная аэроакустика требует умения реализовывать различные стохастические поля и сигналы и использовать генерирующие их модели в различном качестве при решении актуальных задач.

Данная работа посвящена численной реализации случайных полей и сигналов для аэроакустических приложений, а также демонстрации возможности синтеза стохастического моделирования с классическими, детерминированными подходами на примере конкретных задач аэроакустики.

В качестве одного из примеров рассматривается задача о слое смешения потоков с различными скоростями и возможности влияния на него внешним акустическим излучением. Она является фундаментальной задачей в теории струй и изучении возможности управелния турбулентностью.

Другим интересным примером задачи аэроакустики с использованием стохастической модели является модельная задача о прохождении звука через зону турбулентности. Исследование процессов рассеяния и влияния нелинейных эффектов на акустическую волну представляет научный и практический интерес.

Результаты численных расчетов, полученные даже в упрощенной двумерной постановке, соответствуют известным экспериментальным данным (что говорит об их достоверности и о разумности выбранного подхода). Цель и задачи диссертационной работы

Целью работы являлось исследование и реализация моделей стохастических сигналов и полей и их применение в задачах вычислительной аэроакустики.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

• изучение, разработка и численная реализация синтетических моделей случайных сигналов и полей, используемых при моделировании входящего акустического возмущения и начально заданного турбулентного возмущения среды в задачах вычислительной аэроакустики;

• разработка комплекса программ для верификации моделей численно генерируемых сигналов и полей на соответствие заданным характеристикам;

• реализация стохастических моделей и полей в различном качестве в рамках комплекса программ NOISEtte, разрабатываемого в секторе вычислительной аэроакустики Института математического моделирования РАН;

• проведение расчетов модельных задач аэроакустики с использованием стохастических моделей.

Научная новизна

1. Сформулирован и численно реализован алгоритм моделирования пульсаций по заданному спектру и статистическим параметрам, реализующий одномерные нестационарные по времени сигналы и двумерные однородные в стохастическом смысле поля.

2. Рассмотрен и использован новый подход к решению задач аэроакустики, основывающийся на моделях NLDE и линейных уравнениях Эйлера в совокупности со стохастическими моделями турбулентных газодинамических параметров.

3. Проведен вычислительный эксперимент по исследованию влияния внешнего акустического возмущения на слой смешения двух дозвуковых потоков в упрощенной двумерной постановке. Выявлено, что при использовании мощного шума, слой смешения начинает формироваться ближе к границе раздела и его толщина уменьшается.

4. Изучено явление рассеяния акустической волны турбулентностью и влияние нелинейных эффектов при моделировании этого явления.

Теоретическая и практическая значимость

1. В результате проведенной работы был создан комплекс программ SIGNUM1. Он позволяет генерировать случайные сигналы и поля, используемые при расчете аэроакустических задач, по заданным статистическим и спектральным характеристикам.

2. Разработан комплекс программ NUANSe2 для экспресс-анализа полей и сигналов, а также результатов, возникающих при решении задач аэроакустики. Он позволяет быстро и качественно проводить процедуру верификации как сгенерированных сигналов и полей, так и численных результатов, полученных с их использованием.

3. Программные модули, реализующие модели для генерации случайных сигналов и полей, внедрены в комплекс программ NOISEtte для решения задач газовой динамики и аэроакустики. Комплекс программ аббр. SlGnal NUMerical - численный сигнал

2аббр. NUmerical ANalazer of Signals - численный анализатор сигналов

NOISEtte, разрабатываемый в ИММ РАН, адаптирован к использованию в расчетах в различном качестве (источники, граничные условия, средние поля и т.п.).

4. На модельных задачах аэроакустики численно подтвержден ряд известных теоретических данных, что говорит о правильности выбора подхода и достоверности полученных результатов и дает возможность использовать данный подход в качестве инструментария для решения задач аэроакустики.

Апробация работы

Основные положения работы были доложены и обсуждены на научных и научно-практических конференциях, в том числе 4-х международных:

• XLIV Научной конференции МФТИ, Москва, 25-28 ноября 2001г.,

• Международной конференции "The 7th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics", г. Орландо, Флорида, США, 27-30 июля 2003г.,

• XLVI Научной конференции Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 23-29 ноября 2003г.,

• XLVII Научной конференции Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 22-26 ноября 2004г.,

• Международной конференции "International conference on Selected Problems of Modern Mathematics, dedicated to the 200th anniversary of K.G. Jacobi, and the 750th anniversary of the Koenigsberg foundation", г. Калининград, 4-8 апреля 2005г.,

• Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых ЛОМОНОСОВ 2005, Москва, 12-16 апреля 2005г. (два доклада),

• Международной конференции "Tikhonov and Contemporary Mathematics", Москва, 19-25 июня, 2006г.,

• Всероссийской научно-практической конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике", Светлогорск, 27-30 сентября 2006г.,

• XLIX научной конференции Московского физико-технического института (Государственного университета) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 22-25 ноября 2006г.,

• Научной конференции "Авиационная акустика", пансионат "Звенигородский "РАН, Моск. обл., 1-5 октября 2007., а также научных семинарах:

• Научном семинаре сектора вычислительной аэроакустики Института математического моделирования РАН, Москва, 07 июня 2006г.,

• Научном семинаре Института безопасности развития атомной энергетики РАН, Москва, 16 октября 2006г.,

• Научном семинаре факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 19 октября 2006г.,

• Научном семинаре факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института (Государственного университета), Москва, 23 апреля 2007г.,

• Научном семинаре сектора вычислительной аэроакустики Института математического моделирования РАН, Москва, 19 сентября 2007г.,

• Научном семинаре ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под рук. проф. Е.И. Леванова, Институт математического моделирования РАН, Москва, 27 сентября 2007г.

Положения, выносимые на защиту

1. На основании разработанного комплекса программ SIGNUM реализован алгоритм моделирования случайных сигналов и полей по заданному энергетическому спектру и статистическим моментам в рамках рандомизированного спектрального метода.

2. Разработан комплекс программ NUANSe для верификации и экспресс-анализа как сгенерированных сигналов и полей, так и результатов расчета задач аэроакустики, включающий в себя статистический, корреляционный, спектральный методы.

3. В результате модернизации комплекса программ NOISEtte, предназначенного для решения задач газовой динамики и аэроакустики, в него были включены модели, генерирующие случайные сигналы и поля.

4. Проведенные расчеты по моделированию рассеивания звука на однородном стохастическом поле с целью исследования взаимодействия плоской монохромной акустической волны с турбулентными полями продемонстрировали эффект рассеяния звука турбулентностью.

5. Расчет задачи о возбуждении слоя смешения равномерным шумом в заданной полосе частот выявил зависимость характерных частот слоя смешения от расстояния до кромки разделяющей пластинки и показал влияние акустического излучения на расположение точки отрыва и формирование зоны перемешивания.

Содержание работы

Первая глава посвящена комплексу программ NUANSe, предназначенному для экспресс-анализа точечных пульсаций и полей в задачах аэроакустики. Отдельное внимание уделено методам обработки специфических аэроакустических сигналов. Комплекс позволяет проводить статистический, корреляционный и спектральный анализ. Входные и выходные сигналы для удобства можно задавать как в размерном, так и в безразмерном виде.

Вторая глава посвящена стохастическим моделям турбулентных пульсаций газодинамических переменных. В качестве одного из подходов рассматриваются одноточечные модели. Пульсация задается в одной точке или в каждой точке области независимо.

В основу второго подхода к моделированию турбулентных пульсаций скорости был положен рандомизированный спектральный метод [1]. На базе этого подхода численно реализован алгоритм генерации сигналов и полей газодинамических параметров по заданному энергетическому спектру. Приведены два примера: сигнал, реализующий равномерно распределенный в заданной полосе частот шум ("розовый"шум) и двумерное поле турбулентной скорости со спектром фон Кармана.

В третьей главе рассматриваются две модельных задачи аэроакустики с использованием однородных случайных полей и сигналов. "Розовый "шум служит возмущением в граничных условиях для задачи о слое смешения. Во второй задаче о рассеянии акустической волны на турбулентном фоне стохастические поля скорости являются параметром задачи.

Обзор литературы по тематике диссертации

Существуют различные подходы к изучению явлений газовой динамики, например, [2][3][4][5]. Работа [6] посвящена описанию различных моделей и подходов. Предсказание звука требует точных по времени решений уравнений. В большинстве практических приложений при использовании прямого метода требуется решать уравнения, моделирующие вязкие и турбулентные эффекты. Примером таких уравнений являются полная система уравнений Эйлера или Навье-Стокса, Рейнольдсовы уравнения (иначе еще называемые, уравнения Навье Стокса, осредненные по Рейнольдсу) (RANS), уравнения с фильтрами в подходах моделирования отделяемых вихрей (DES) и моделирование крупных вихрей (LES)[7][8][9][10][11].

Прямые методы требуют больших вычислительных затрат, а также сложны в реализации. Для адекватного моделирования необходимо использовать точные методы, очень мелкие сетки, захватывающие всю расчетную область от источников шума до приемников, а также хорошие акустически неотражающие граничные условия. При расчете звука в дальнем поле такие мелкие сетки уже недопустимы (для расчета профиля крыла самолета требуются сотни характерных длин в расчетной области). Прямые методы наиболее применимы для расчета шума в ближнем поле (например, шум в кабине). В таких случаях шум (звук) обусловлен в основном локальным гидродинамическим давлением, предсказание которого связано с разумными затратами и используемой точностью.

Задачи аэроакустики тесно переплетены с задачами турбулентности. Одной из самых важных задач аэроакустики является задача о предсказании шума в газовых, в том числе и турбулентных потоках. Эта проблема очень актуальна и важна для современных промышленных и инженерных приложений. Существует целый ряд работ, в которых использовались различные методы и подходы [12][13][14][15][16][17] [18] [19][20][21][22]. Но, тем не менее, она пока не имеет универсального решения.

За последнее пятидесятилетие были предложены различные способы решения газодинамических задач, например, [23][24][25][26] [27] и другие. Для научных исследований чаще всего используется метод прямого численного моделирования (DNS) [28][29]. Он требует значительных временных и вычислительных ресурсов. Для инженерных приложений используются гибридные методы, построенные на фильтрации или осреднении уравнений Навье-Стокса и линеаризованные уравнения Эйлера [30] [31] [21] [32]. Они требуют меньших ресурсов, но имеют ограничения но классам задач, в которых эти методы обеспечивают необходимую точность результатов. Наиболее распространенные среди них моделирование крупных вихрей (LES) [7], осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (RANS).

Другая группа работ, например, [33] [12] по вычислительной аэроакустике посвящена использованию подхода, который основывается на полном газодинамическом описании потока при помощи уравнений Навье-Стокса и других основанных на этих уравнениях подходов [31] [21].

На схеме 0.1 схематически представлено отличие методов DNS, LES и RANS [34].

Волновое ад

Рис. 0.1. Отличие методов прямого численного моделирования, моделирования больших вихрей и уравнений Рейнольдса. Темным показана область волновых чисел, требующих математических моделей. Светлая область -прямое численное моделирование.

Для аэроакустических задач предпочтительнее использовать модели, разработанные специально для моделирования шума, который можно рассматривать как звук или как все возмущения процесса, или как другие типы малых возмущений в соответствующем физико-математическом базисе разделения потока. В любом из случаев возникает необходимость в выделении шума из общего нелинейного газодинамического феномена (явления).

Такие модели получают на базе системы уравнений Навье-Стокса, рассматривая ее как наиболее полное описание газодинамических процессов с физической точки зрения. Следует заметить, что в отличие от прямого численного моделирования (DNS), описываемого полными уравнениями Навье-Стокса, акустические модели на базе уравнений Навье-Стокса требуют дополнительного моделирования. В эти модели необходимо включать данные о среднем поле, которые получаются из различных моделей, использующих осреднение или фильтрацию. Такие модели также широко используются в вычислениях, например, в работах [29] [30] [31].

В этом классе моделей присутствуют такие подходы как уравнения для нелинейных возмущений (NLDE) [21] [32], неконсервативные нелинейные уравнения Эйлера для возмущений (PENNE)[35], линеаризованные уравнения Эйлера (LEE) с источниками [30][31][21][32], линейные акустические уравнения с источниками (LAE+S)[19].

Эти модели отличаются между собой в основном по членам, относящимся к нелинейным эффектам. Считая, что акустика имеет дело с очень малыми возмущениями потока, можно предположить, что дополнительные члены малы, а потому все формулировки будут давать примерно тот же результат. Тем не менее, в вычислительной практике это не всегда так из-за возможных ошибок округления. С другой стороны, когда нелинейные члены достаточно велики, слишком упрощенные модели не подходят.

Рис. 0.2. Схема стохастического-детерминированного подхода

Одним из перспективных подходов для решения инженерных задач в области аэроакустики является стохастически-детерминированный подход [36] [23] [19] [25] [16] [17]. Он основан на решении полных и осредненных уравнений Навье-Стокса. Газодинамические переменные разделяются на средние и пульсационные компоненты. Пульсации скорости разделяются на турбулентные и акустические составляющие. Проведенная двойная декомпозиция подставляется в полные уравнения. Уравнения решаются относительно акустических компонент [36] [23] [25] [13]. Поля турбулентной скорости моделируются стохастически и выступают в модели как распределенный источник, отвечающий за генерацию акустических возмущений. Схема работы такого подхода представлена на рис. .

Влияние акустического возмущения на шум струй и возможность управления турбулентностью рассмотрен в [37] [38]. Была изучена зависимость характерной частоты в слое смешения по мере удаления от точки смешения. В этих работах использовались теоретические подходы наряду с физическими экспериментами. Использование численных методов для предсказания шума струй было рассмотрено в [25]. Численное исследование задачи о рассеянии звука на вихревом поле рассматривалось в [39].

Использование стохастических сигналов и полей широко развито в различных областях вычислительной физики [40] [41]. Подходы, опирающиеся на стохастическое моделирование [42], в ряде случаев существенно расширяют возможности вычислительного эксперимента в задачах газовой динамики и аэроакустики.

В различных инженерных и научно-исследовательских приложениях возникают задачи, требующие моделирования стохастических сигналов и полей физических переменных [36] [23] [19] [43] [25] [16] [17] [42]. Чаще всего такое моделирование необходимо при исследовании сложных процессов, не имеющих точного описания, либо расчет полной постановки которых требует больших временных и вычислительных ресурсов, неприемлемых для решения инженерных практических задач.

Стохастические методы в газовой динамике применялись для решения уравнения Больцмана при решении задач для разреженного газа [44] [45] [46].

Исследование турбулентности при помощи методов изучения разреженного газа рассматривалась в работах Белоцерковского и Яницкого, например, в [44]. Авторы использовали статистический метод частиц на основе уравнения Больцмана [47] [45] и исследовали возможности совмещения стохастических методов и численного моделирования. Такой подход позволяет получать функции распределения вероятности пульсаций или произвольные моменты этого распределения, понять механизмы турбулентного обмена, но в то же время, существенным препятствием для широкого внедрения статистической имитации методом частиц является отсутствие универсальных кинетических уравнений турбулентности. Метод также не включает влияние пульсаций давления на диффузию энергии турбулентности, неясен вклад градиента давления в моделирование перемежаемости [46].

В задачах аэроакустики гладкие реализации стохастических величин и полей широко используются в качестве внутренних или граничных источников внешнего акустического возмущения, в качестве исходно заданного турбулентного поля течения, а также при моделировании генерации звука в турбулентных течениях. В последнем случае нестационарные поля турбулентности, представляющие гладкие реализации случайного процесса с заданными спектральными характеристиками и моментами, вводятся в математическое описание задачи как внешний параметр. В рамках этого подхода применение стохастических моделей для синтезирования турбулентных составляющих скорости демонстрируется, например, в работах [23] [36] [25] [19] [17] [16] [21]. В настоящее время наиболее известной и широко используемой в практике расчета задач аэроакустики моделью этого класса является модель SNGR (Stochastic Noise Genera-tion and Radiation) [23] [36].

Следует отметить, что модели, представленные в работах [23] [36] [25] [17], реализуют только однородные или квази-неоднородные поля турбулентной скорости. Реальная же турбулентность характеризуется существенной неоднородностью. Стохастическое моделирование неоднородных случайных полей чрезвычайно сложно и к тому же требует существенных вычислительных затрат.

Один из алгоритмов моделирования пульсаций - рандомизированный спектральный метод [1][48]. Он используется в различных отраслях научных и прикладных исследований. Применения встречаются в задачах гидро- и газовой динамики, акустики [36][23][19][25][16][17]. Подобные стохаотические методы используются для расчетов турбулентности [19], по предсказанию шумов, потоков многофазных жидкостей в пористых средах для нефтегазовой промышленности, а также в экономике, финансовой математике [43] [49]. В [50] предложено использование этого алгоритма для моделирования распределенных и граничных источников звука с заданным спектром в задачах вычислительной аэроакустики.

Важным аспектом процесса математического моделирования является верификация построенных моделей и разработанного алгоритма [51]. Для проверки соответствия полученных моделей требуемым характеристикам необходимо вычислять математическое ожидание и дисперсию по сгенерированным полям и сигналам. Спектральный и корреляционный анализ позволяет проверить совпадение с заданными корреляционными функциями и спектром [52]. Для практических целей полезно определять параметры моделей, при которых они описывают моделируемый процесс с заданной (допустимой) точностью, а также временные и ресурсные затраты вычислительных мощностей. Для инженерных приложений важно разработать не только точную, но и экономичную модель.

Благодарности

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность и глубокую признательность д.ф.-м.н. профессору Карлу Карловичу Сабельфельду за неоценимую помощь и научное руководство в области стохастического моделирования, директору ИММ РАН, чл.-корр. Борису Николаевичу Четве-рушкину за постоянную поддержку на всех этапах работы, к.ф.-м.н. с.н.с. Татьяне Константиновне Козубской, моему научному руководителю, с.н.с. Илье Владимировичу Абалакину и м.н.с. Андрею Владимировичу Горобцу за содействие в освоении NOISEtte и всем коллегам по сектору вычислительной аэроакустики ИММ РАН.

Список сокращений

DNS (Direct Numerical Simulation) - прямое численное моделирование

LES (Large Eddy Simulation) - моделирование крупных вихрей

NLDE (Non-linear Disturbance Equations) - нелинейные уравнения для возмущений

LEE (Linear Euler Equations) - линейные уравнения Эйлера

RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes equations) - уравнения Рейнольдса или осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса

NUANSe аббревиатура от NUmerical ANalyser of Signals - численный анализатор сигналов

NOISEtte ( англ. noise - шум, и фр. уменьшительного суффикса -ette) шумок

SIGNUM аббревиатура от SIGnal NUMerical - численный сигнал. РАН Российская Академия наук

ОЗУ Оперативное запоминающее устройство, оперативная память.

PN Pink Noise - возмущение в виде 11 розового "шума.

DNS+PN Прямое численное моделирование при помощи уравнений Навье-Стокса с добавлением внешнего возмущения в виде "розово-го"шума.

Основные результаты

На основании проделанной работы можно сформулировать следующие основные результаты.

1. Построены и изучены некоторые свойства трех типов синтетических моделей случайных процессов, используемых при моделировании пульсаций газодинамических параметров: одноточечные стохастические модели, одномерные и двумерные спектральные рандомизированные модели, двумерные и трехмерные квази-вейвлет модели.

2. Разработан комплекс программ SIGNUM, реализующий алгоритм моделирования случайных сигналов и полей по заданному энергетическому спектру и статистическим моментам.

3. Предложена процедура верификации стохастических полей газодинамических параметров на соответствие заданным статистическим моментам и спектральным характеристикам. Разработан комплекс программ NUANSe, позволяющий проводить верификацию и экспресс-анализ сигналов и полей, возникающих при решении аэроакустических задач.

4. Произведена модернизация комплекса программ NOISEtte, предназначенного для решения задач газовой динамики и аэроакустики, разрабатываемого в ИММ РАН, которая позволила включить в него модели, генерирующие случайные сигналы и поля.

5. Проведены расчеты по моделированию рассеяния звука на пульсирующем однородном поле с целью исследования взаимодействия плоской монохромной акустической волны с турбулентными полями. Показано влияние нелинейных газодинамических процессов при акустических волнах большой мощности.

6. Проведен расчет задачи о возбуждении слоя смешения равномерным шумом в заданной полосе частот. Продемонстрирована зависимость характерных частот слоя смешения от расстояния до кромки разделяющей пластинки. Показано влияние акустического излучения на расположение точки отрыва и формирование зоны перемешивания.

Заключение

Обсуждение

В работе показана возможность применения методов стохастического моделирования при решении задач аэроакустики. Подход основан на численной генерации бесконечно гладких реализаций случайных сигналов и полей с заданными средними характеристиками и спектрально-корреляционными свойствами, а также последующем использовании их в качестве внешних параметров при численном моделировании акустических полей течения в рамках детерминированного описания. Приведены две задачи аэроакустики, демонстрирующие эффективность данного подхода.

Введение в описание задач внешнего возбуждения акустической или турбулентной природы помогает в воспроизведении условий физического эксперимента или режима реальной эксплуатации, что расширяет возможности вычислительного эксперимента в инженерных приложениях аэроакустики. Следует отметить, что акустическое возбуждение может служить не только как имитация реальных условий, но также как инструмент "виртуального" исследования. В частности, в задаче о слое смешения был показан способ нахождения характерных частот при помощи воздействия на слой "розовым"шумом. Данный подход можно использовать также для изучения возможности акустического управления турбулентностью струй.

Серьезной проблемой при моделировании турбулентной составляющей течения на основе стохастического описания является необходимость генерации случайных полей с существенной неоднородностью статистических моментов по пространству. В данной работе, а также в большинстве научных публикаций в мире по этой тематике, используются только однородные стохастические поля. Однако наиболее интересным и актуальным для приложений, по-прежнему, остается вопрос об эффективных алгоритмах моделирования неоднородных полей с сохранением необходимых временных и пространственных корреляционных зависимостей. Работы в этом направлении продолжаются.

1. Сабельфельд К.К., Михайлов Г.А. О численном моделировании диффузии частиц на случайных полях скорости. - Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. - Т. 16, N 3. - 1980. - С. 229-235.

2. Шифрин Э.Г. О турбулентности.: Этюды о турбулентности. М.: Наука. 1994. - С. 86-102.

3. Bailly Ch., Comte-Bellot G. Turbulence. CNRS Editions, Paris, 2003.

4. Пятницкий JI.H. Уравнения Навье-Стокса и турбулентные пульсации. М.: Граница, 2006. - 192 с.

5. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике/ В.Н. Гзал-нев, В.И.Запрягаев, В.Н. Усков и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 200 с.

6. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2003. - 292 с.

7. Scotti, A. and Meneveau, С. A fractal model for larfe eddy simulation of turbulent flow // Physica D. V. 127. - 1999.- P. 198-232.

8. Novikov, A. and Bodony, D.J. A multiscale, asymptotic model for the subgrid scale stresses in the large-eddy simulation of an incompressible fluid // Center of Turbulence Research, Annual Research Briefs. 2005. -P. 195-210.

9. Bogey, C. and Bailly, C. and Juv e, D. Computation of the sound radiated by a 3D jet using Large Eddy Simulation // AIAA-paper 2000-2009.-2000.

10. Bogey, C. and Bailly, C. LES of a high Reynolds, high subsonic jet: effects of the inflow conditions on flow and noise //А1АА paper 2003-3170 2003.

11. Bogey, C. and Bailly, C. Investigation of sound sources in subsonic jets using causality methods on LES data // AIAA paper 2005-2885. 2005.

12. Abalakin, I. and Dervieux, A. and Kozubskaya, T. Computational Study of Mathematical Models for Noise DNS // The 8th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference. AIAA-2002-2585 paper. - 2002.

13. Abalakin, I. and Dervieux, A. and Kozubskaya, T. On Accuracy of Noise Direct Calculation Based on Euler Model. International Journal of Aeroacoustics. 2004 - V.3, N2. - P. 157-180.

14. Aleksandrov, A.V. and Kozubskaya, Т.К. Parallel Computation of White Noise Propagation through Viscous Compressible Gas Flows // Journal of Computational Methodds in Applied Sciences and Engineering. 2001.

15. Aleksandrov, A.V. and Kozubskaya, Т.К. and Chetverushkin, B.N. Noise Prediction for Shear Layers //Proceedings of Parallel CFD 2001 conference, Egmond Ann Zee The Netherlands. 2001.

16. Ewert R. The Simulation Of Slat Noise Applying Stochastic Sound Sources Based On Solenoidal Digital Filters (SDF) // Euromech Colloquium 467: Turbulent Flow and Noise Generation Marseille, France. - 2005.

17. Ewert R., Emunds R. CAA Slat Noise Studies Applying Stochastic Sound Sources Based On Sole-noidal Digital Filters // AIAA paper 2005-2862. 2005.

18. Kozubskaya, Т.К. A Way of Acoustic Noise Modeling for Turbulent Gas Flows //In CD ROM Proceedings of European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, Barcelona, Spain. 2000.

19. Kozubskaya, Т.К. and Abalakin, I.V. and Bobkov, V.G. A Half-Stochastic Model for Noise Simulation in Free Turbulent Flows. AIAA paper 20012258. 2001 - N 201 - P. 29 - 39.

20. Bailly, C. and Bechara, W. and Lafon, P. and Candel, S. and Tam, C.K.W. and Auriault, L. Jet noise predictions using a k-epsilon turbulence model // AIAA paper 93-4412. 1993.

21. C. Bailly and D. Juve. A stochastic approach to compute subsonic noise using linearized euler's equations. AIAA Paper, 99-1872, 1999.

22. S. Sarkar and M.Y. Hussaini. Computation of the sound generated by isotropic tubulence. ICASE Report 93-74, 1993.

23. Bailly С., Lafon О., Candel S. A Stochastic Approach to Compute Noise Generation and Radiation for Free Turbulent Flows // AIAA paper 95092-1-6. 1995.

24. Bastin, F. and Lafon, P. and Candel, S. Computation of jet mixing noise due to coherent structures. J. Fluid Mech. 1997 - V. 335. - P. 261-304.

25. Billson M., Eriksson L.E., Davidson L. Jet Noise Prediction Using Stochastic Turbulent Modeling. AIAA paper 2003-3282. 2003.

26. Farge, M. Wavelet Transforms and their Application to Turbulence // Annu. Rev. Fluid Mech. N 24. - 1992. - P. 395-457.

27. Ffowcs-Williams, J.E. and Hawkings, D.L. Sound Generation by Turbulence and Surfaces in Arbitrary Motion // Proc. Roy. Soc. London.- V. A264. 1969. - P. 321-342.

28. Freund J.В., Lele S.K., Moin P. Direct simulation of a mach 1.92 jet and its sound field // AIAA paper-98-2291. 1998.

29. Viswanathan, K. and Sankar, L.-N. Toward the direct calculation of noise: Fluid/acoustic coupled simulation // AIAA Journal. V. 33 - P. 2271-2279.- 1995.

30. R.R. Mankbadi, R. Hixon, S.-H. Shih, and L.A. Povinelli. Use of linearized euler equations for supersonic jet noise prediction. AIAA Journal, 36:140— 147, 1998.

31. C. Bailly and D. Juve. Numerical solution of acoustic propagation problems using linearized euler equations. AIAA Paper, 98-2267, 1998.

32. Morris P.J., Long L.N., Bangalore A. and Wang Q. A Nonlinear Disturbance Equation Method for Supersonic Jet Noise // Journal of Computational Physics. 1997. - Vol. 133. - P. 56-74.

33. Abalakin, I. and Dervieux, A. and Kozubskaya, T. Navier-Stokes Based Models in Computational Aeroacoustics // International Symposium on Nonlinear Acoustics ISNA-16. 2002.

34. Apte, S.Introduction to Turbulence Modeling Techniques, 539-78 2006. (30):539—78, 2006.

35. Long, L.N. A nonconservative nonlinear flowfield splitting method for 3D unsteady fluid dynamics // AIAA Paper 2000-1998. - 2000.

36. W. Bechara, C. Bailly, P. Lafon, and S. Candel. Stochastic approach to noise modelling for free turbulent flows. AIAA Journal, 32(3), March 1994.

37. Гиневский А.С., Власов E.B., Каравосов P.K. Акустическое управление турбулентными струями. М.: Физматлит, 2001 240 с.

38. Федорченко А.Т. О воздействии мелкомасштабной турбулентности на развитие когерентных структур в слое смешения. Доклады Академии наук СССР. 1988. - т. 302, N 6. - С. 1327-1332.

39. Heaton C.J., Peake N. Generation and Scattering of Sound in Vortical Flow //in Proceeding of 11th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Monterey, California. AIAA 2005-3023. - 2005.

40. Ермаков, C.M., Михайлов, Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1976.

41. Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. М.: Наука, 1989.

42. Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes and Fields. Utrecht: VSP, 1996.

43. Яницкий, В.Е. Статистический метод частиц для решения некоторых задач кинетической теории газов и турбулентности. Диссертация на соискание степени д-ра физ.-мат. наук., Москва, 1984.

44. Яницкий В.Е. О методе частиц и прямом численном моделировании турбулентности // Этюды о турбулентности. (Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения) М.:Наука, 1994. - С. 275-290.

45. Белоцерковский О.М., Ерофеев А.И., Яницкий В.Е. Прямое статисти-чесое моделирование задач аэрогидродинамики // Успехи механики. -Т. 5, N 3/4. 1982. - С. 11-40.

46. Sabelfeld К.К. Monte Carlo methods in boundary value problems. Springer Verlag. New York Heidelberg - Berlin, 1991.

47. Kurbanmuradov 0. and Sabelfeld K. Stochastic spectral and Fourier-wavelet methods for vector Gaussian random fields // Monte Carlo Methods Appl., 12 (2006) pp. 395-446.

48. Боровская И.А. Моделирование однородных случайных полей по заданному спектру в задачах аэроакустики // Математическое моделирование. 2007. - Т. 19, N 7. - С. 67-76.

49. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2ое изд. - М.: Физматлит, 2001.

50. Боровская И.А., Козубская Т.К. Комплекс программ NUANSe для обработки аэроакустических сигналов и моделирования турбулентных полей скорости //В материалах XLVII Научной конференции МФТИ. М.: МФТИ, 2004. - Ч. VII. - С. 117-118.

51. Боровская И.А., Козубская Т.К. Стохастическое моделирование турбулентных пульсаций скорости в газовых потоках //В материалах XLIV Научной конференции МФТИ. М.: МФТИ, 2001. - Ч. VII. - С. 44.

52. Наган А.А., Горбачев О.Г., Гуз С.А. Основы теории случайных процессов. М.: МЗ-Пресс, 2003. 168 с.

53. Вентцель Е.С., ОвчаровЛ.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. Учебное пособие для втузов. - 2-е изд., стер. -М.: Высш. шк., 2000. - 383 с.

54. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, механика турбулентности, том 2. М.: Наука, 1967.

55. Borovskaya I., Kozubskaya Т. Numerical Signal Processing in Computational Aeroacoustics // Proceedings of The 7th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics, Orlando, Florida, USA, 2003. P. 305-309.

56. Боровская И. А., Козубская Т.К. Обработка сигналов в вычислительной аэроакустике //В материалах XLVI Научной конференции МФТИ. -М.: МФТИ, 2003. Ч. VII. - С. 92-93.

57. Бетчелор, Дж.К. Теория однородной турбулентности. М., Изд-во иностранной литературы, 1955.

58. Бунимович, В. Флюктуационные процессы в радиоприемных устройствах. М., "Советское радио" - 1951.

59. Свешников, А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -Судпромгиз 1961.

60. G.H. Goedecke, V.E. Ostashev, D.K. Wilson, and H.J. Auvermann. Quasi-wavelet model of von karman spectrum of turbulent velocity fluctuations. Boundary-Layer Meteorology, (112):33-56, 2004.

61. V. Ostashev, Ph. Blanc-Benon, and D. Juve. Coherence functions of a spherical acoustic wave after passing through a turbulent jet. Comptes Rendus de I'Academie des Sciences, serie II B(326):39-45, 1998.

62. R. Frehlich, L. Cornman, and R. Sharman. Simulation of three-dimensional turbulent velocity fields. J. Applied Meteorology, 40:246-258, 2000.

63. Rytov, S. and Kravtsov, Y. and Tatarskii, V. Principles of Statistical Radio Physics, Pt.4. Wave Propagation through Random Media. Springer, Berlin, 1989.

64. Husebye, E. and Dainty, A. Monitoring a Comprehencive Test Ban Treaty //in Proceedings of the NATO Advance Study Institute on Monitoring a Comprehensive Text Ban Treaty, 1996. P. 664-688.

65. Ostashev, V. Acoustics in Moving Inhomogeneous Media. (E and FN SPON (An imprint of Thompson Professional), London), (Chapters 6,7), 1997.

66. Comte-Bellot G. and Corrsin S. Simple Eulerian Time Correlation of Full and Narrow-Band velocity Signals in Grid-Generated, Isotropic Turbulence // J.Fluid Mech., 48(2). 1971. - P.273-337.

67. Боровская И.А. О стохастическом моделировании турбулентных полей скорости //В материалах Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых JIOMOHOCOB-2005. М.: МГУ, 2005. -С. 10.

68. Боровская И.А., Козубская Т.К., Курбанмурадов О., Сабельфельд К.К. О моделировании однородных случайных полей и сигналов и их использовании в задачах аэроакустики // Математическое моделирование. 2007. - Т. 19, N 10. - С. 76-88.

69. Боровская И.А. О методе генерации и верификации полей пульсаций скорости в задачах аэроакустики // Труды 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". : М. МФТИ, 2006. - Ч. VII. - С. 167-168.

70. Илющин Б.Б. Моделирование процессов переноса в турбулентных течениях: учебное пособие. Новосибирск, НГУ, 1999.

71. Bangalore, A., Morris P.J., and Long L.N. A Nonlinear Disturbance Equation Method for Supersonic Jet Noise // AIAA 96-1728, 17th AIAA Aeroacoustics Conference, State College, PA. - 1996.

72. Абалакин И.В., Козубская Т.К. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса. Математическое моделирование. 2007. - Т 19, N 7. - С. 56-66.

73. P. Spalart and S. Allmaras. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows. Technical Report AIAA-92-0439, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1992.

74. В. E. Launder and D. B. Spalding. Lectures in mathematical models of turbulence. Academic Press, London, England, 1972.

75. D. Choudhury. Introduction to the renormalization group method and turbulence modeling. Fluent Inc. Technical Memorandum TM-107, 1993.

76. A. Shabbir Z. Yang T.-H. Shih, W. W. Liou and J. Zhu. A new -eddy-viscosity model for high reynolds number turbulent flows model development and validation. Computers Fluids, 24(3):227—238, 1995.

77. Menter, F. R. and Kuntz,M. and Langtry, R. Ten Years of Experience with the SST Turbulence Model // In K. Hanjalic, Y. Nagano, and M. Tummers, editors, Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, Begell House Inc., 2003. -P. 625-632.

78. Gibson M.M., Launder B.E. Ground Effects on Pressure Fluctuations in the Atmospheric Boundary Layer // J. Fluid Mech. N 86. - 1978. - P. 491-511.

79. Launder, В. E. Second-Moment Closure: Present. and Future? // Inter. J. Heat Fluid Flow. V. 10(4). - 1989. - 282-300.

80. Launder, В. E. and Reece,G. J. and Rodi, W. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure // J. Fluid Mech. V. 68(3). -1975. - P. 537-566.