автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод Кабаре для решения двумерных задач аэроакустики и гидродинамики

Яковлев Петр Георгиевич

Метод Кабаре для решения двумерных задач аэроакустики и гидродинамики

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООоио*.—

Якутск 2013

г IV,

Г'"!

/и 13

005062305

Работа выполнена в Центре вычислительных технологий Института математики и информатики Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Карабасов Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Сороковикова Ольга Спартаковна профессор Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» (ИАТЭ)

доктор физико-математических наук, профессор Утюжников Сергей Владимирович профессор Московского физико-технического института

Ведущая организация Институт прикладной математики им. М.В.

Келдыша РАН.

Защита состоится 12 июля 2013 года в 10 часов на заседании диссертационного совета ХУ112.306.04 при Северо-Восточном федеральном университете имени М.К. Аммосова, расположенного по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Белинского 58, зал Ученого Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова. Автореферат разослан 11 июня 2013г.

Ученый секретарь диссертациошюго совета

Саввинова Н. А

Общая характеристика работы

Актуальность

Актуальной проблемой при численном решении задач газовой динамики являются большие диссипативные и дисперсионные ошибки [1,2]. Одним из часто используемых подходов по улучшению диссипативных и дисперсионных свойств является использование схем повышенного порядка аппроксимации. Основным недостатком данного подхода является использование расширенного шаблона для аппроксимации исходных уравнений, что приводит к проблемам, как при задании граничных условий, так и при аппроксимации на произвольных расчетных сетках. При этом отличающиеся неявностью схемы высокого порядка оказываются неудобными для распараллеливания.

Одним из перспективных направлений является использование класса схем, записанных в дивергентной форме и с использованием коррекции потоков. Здесь одной из самых многообещающих схем является явная схема Кабаре [3, 4], обладающая вторым порядком аппроксимации для произвольно неоднородных сеток по пространству и времени. Несмотря на простоту реализации и «небольшой» порядок аппроксимации, она хорошо проявила себя в ряде задач газодинамики и аэроакустики [5, б, 7]. Отличительными чертами схемы Кабаре являются её компактный вычислительный шаблон, малодисперсиоппость и бездисипативность. Для решения задач нелинейного переноса в схеме Кабаре используется малодиссипативный алгоритм нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума для потоковых переменных.

Однако, несмотря на все достоинства, применение данной схемы ограничено набором вычислительных шаблонов, обычно состоящим в двумерном случае из четырехугольных и в трехмерном из гексагональных элементов. В этой связи представляется актуальным исследование возможных способов обобщения схемы Кабаре на треугольные сетки, желательно с сохранением положительных свойств схемы, таких как малодиссипативность и малодисперсионность, на декартовых сетках.

з

Цели и задачи исследования

Разработка нового численного алгоритма на основе метода Кабаре для решения двумерных задач гидродинамики на расчетных областях, состоящих из треугольных элементов.

Численное моделирование методом Кабаре для ортогональных сеток классических задач вихревой динамики и акустики таких как: задача о малых колебаниях вихря Ранкина и задача о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей. Научная новизна и практическая значимость

Предложен новый вариант обобщения схемы Кабаре на треугольные сетки, включающий в себя новую экстраполяционную формулу и процедуру коррекции потоков. Разработанный алгоритм предоставляет возможность численного решения задач гидродинамики и аэроакустики методом Кабаре на расчетных областях смешанного типа с рядом ограничений.

На основе метода Кабаре для ортогональных сеток численно решена задача об излучении звука вихрем Кельвина с учетом совокупности процессов генерации и обратного влияния звука на вихревое течение. Проведено численное моделирование задачи о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей методом Кабаре для ортогональных сеток, как для ближнего, так и дальнего полей. Предложена квазистационарная модель периодически зарождающихся вихрей, на основе которой продемонстрирована связь модельной задачи о парах вихрей с более общей задачей об идентификации механизмов шума турбулентной струи.

Численное решение поставленных в главах 2, 3 задач методом Кабаре для ортогональных сеток оказалось способным предсказать тонкие эффекты взаимодействия вихревой динамики и сжимаемости, выражаемые величинами, пропорциональными четвертой степени числа Маха, несмотря па всегда имеющиеся неконтролируемые ошибки, связанные с дискретизацией уравнений и схемной вязкостью. Это значит, что схема КАБАРЕ в целом допускает расширение прямого численного моделирования на задачи, характеризующиеся локализованными

вихрями с выраженным ядром, в том числе на задачи, когда турбулизация течения и генерация звука определяются тонкими эффектами взаимодействия колебаний ядра вихря и обтекающего ядро потока. Аппробация работы

Основные результаты, содержащиеся в диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (РФ, г. Якутск, 2009 г.);

• Всероссийская научно-практическая конференция "Вычислительный эксперимент в аэроакустике" (РФ, г. Светлогорск, 2010 г.);

• Научная конференция МФТИ (РФ, г. Москва, 2010 г.);

• 17th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (32nd AIAA Aeroacoustics Conference) (USA, Portland, Oregon, 2011 г.);

• Всероссийская конференция по авиационной акустике (РФ, г.Звенигород, 2011 г.);

• Международная конференция "Суперкомпьютерные технологии математического моделирования" (РФ, г.Якутск, 2011 г.).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК [1, 2] и тезисы конференций [3-11].

Основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении сформулирована цель работы, обоснована актуальность и научная новизна темы, кратко описано содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех разделов: в первой части приведен вывод основных уравнений газовой динамики; во второй - обзор метода Кабаре для ортогональных сеток; в третьей части описаны проведенные исследования по

обобщению метода Кабаре на треугольные сетки. Первые два раздела имеют вспомогательное значение и не претендуют на новизну или оригинальность.

Приведем краткое описание раздела 1.1. Рассматривается система уравнений Эйлера для динамики сжимаемой идеальной жидкости дополненная уравнением состояния. После простых операций система приводится к следующему виду:

гдр , др , ди , др , ди „ '— + Ы-Г- + р— + + р— = О дt дх к дх ду ^ ду

ди , ди . ди 1 дР

дх ду р дх

— + и— + V— ~ --—

дг дх ду р ду

(1)

„г . др , 2 , ар , 2 п

--Ь и — + рс —— + V--1- рсг — = О

я. дх г я- я., г я,,

дх ду ду

Здесь р - плотность, и и V - компоненты скорости по осям ОХ и ОУ соответственно, Р — давление, е - удельная внутренняя энергия, Е - удельная полная

1ур

энергия, у - показатель адиабаты, I — время, с = I— - скорость звука.

Перенеся в правую часть все частные производные по д/ду, система (1) переписывается в векторном виде:

дф дф

Здесь ф =

Аг =

/и р 0 0\ О и

О 1

р

0 0 и 0 \0 рс2 0 и/

. Будем считать, что в пределах одной

пространственно - временной ячейки течение удовлетворяет условию изэнтропичности, тогда приведя матрицу Ах в диагональный вид, получим систему уравнений в характеристическом виде

Г^Г + Л3 Т7 - Чз< -Г7 + ¿4 ТГ -

ЭК,

V ас ' "-3 з* ас ' дх Инварианты Римана ^ имеют следующий вид:

^ = и + С рСг-1)/2у. р2 = и-с р<г-»/гг; р3 = = v, (3)

Опишем раздел 1.2 в котором приводится обзор метода Кабаре для ортогональных сеток.

Рассмотрим прямоугольную область 0 < х < 1Х, 0 < у < Ьу и время расчета задачи Т. Введем ортогональную расчетную сетку с координатами узлов

{(х(0.у0)>*1 = °'*г+1 > = 1хЛ = 1.2.....Мх;у1 = 0,у;+1 > уруКу =

Ьу,) = 1,2, ...,Ыу}, шага по времени обозначим {¿п: = 0,£"+1 > Ьт =Т,п = 0,1, ...,№}.

В методе Кабаре переменные разделяются на два типа - «консервативные», которые относятся к центрам ячеек, и «потоковые» - к центрам граней. Пусть в некоторый момент времени известны как все консервативные, так и все потоковые переменные. Алгоритм вычисления значений неременных на следующем шаге £п+1, для удобства изложения, разобьем на 3 фазы:

1. Первая фаза. Используя дивергентную запись уравнений Эйлера, вычисляются значения консервативных переменных на промежуточном временном слое.

2. Вторая фаза. В соответствии с (3) вычисляются все инварианты Римана на текущем и промежуточном временных слоях, затем в зависимости от направления характеристики выбирается элемент «влияния», из которой по

экстраполяционной формуле = 2 • (Рк)с 2 - к = 1,2,3,4 со вторым

порядком вычисляются предварительные инварианты Римана на следующем шаге по времени. Далее применив алгоритм нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума, корректируются вычисленные инварианты Римана и по ним находятся новые значения потоковых переменных.

3. Третья фаза. Как и в фазе 1, используя дивергентную запись уравнений Эйлера вычисляются консервативные переменные на новом временном слое.

Раздел 1.3 посвящен обобщению метода Кабаре на треугольные сетки.

Как и в случае ортогональных сеток будем использовать два типа переменных: консервативные (в центрах элементов) и потоковые (в центрах граней). Здесь и далее для определенности будут использоваться следующие обозначения: нижний индекс (*)с обозначает переменные в центрах треугольников; (*)у - переменные в центрах граней с номерами вершин верхние индексы (*)п, (*)пН/2, (*)п+1 обозначают переменные на текущем, промежуточном слое с шагом Ах/2 и па новом слое по времени соответственно.

Пусть в некоторый момент времени Ьп известны как консервативные, так и потоковые переменные. Алгоритм также разделим на три фазы.

В первой фазе уравнения Эйлера в дивергентной записи интегрируются по площади некоторого треугольника в

1$с°ТгЛхс1у + $>с Рийу ~ РуЛх = 0

, Во 1Г ах(1у + риЧу ~ РиуЛх + $ас Му = 0 (4)

Яс 1Г йхЛу + РиЫу ~ §ас, Ру2 йх ~ Фас Рйх = 0

Яс ^хйу + фдс рЕийу - фдс рЕуйх + фдс РЫу - фас Руйх = О

Интегралы по границам аппроксимируются квадратурной формулой. В результате приходим к системе разностных уравнений, где известны все переменные кроме консервативных на промежуточном слое по времени.

Во второй фазе, для нахождения новых значений потоковых переменных на ребрах элементов, используется характеристическая форма представления уравнений (2), записанная для нормалей к ребрам треугольника. Рассматривается отдельно взятое ребро и два смежных с ним элемента (см. Рис. 1). Для каждого ребра произвольным образом выберем «передний» (Р) и «задний» (В) элементы, и выделим нормаль, направленную в сторону «переднего» элемента. Так как собственные числа определены в центрах ячеек, то область зависимости точки в середине ребра будем определять по знаку их средних значений.

Введем внутреннюю нумерацию узлов как показано на Рис. 1. По известным значениям консервативных и потоковых переменных на текущем и промежуточном слоях по времени, в соответствии с (3) вычисляются значения локальных инвариантов (Гк)£3, (Рк)п,л, (Щ?, к = 1,2,3,4.

(Wl)

(wj

Рис. 1. Грапь н смежные элементы.

Введем вспомогательные переменные, вычисляемые на 2/3 медианы от центра искомого ребра на текущем временном слое (на Рис. 1 обозначено квадратом).

В данной работе рассмотрены два вида экстраполяции инвариантов Римана в данную точку:

Шк\в~ 2-5--(Fk)4,2

i. \ /р in ,ГР in in —

\(.rk),F - Z---К.гк)42

П. |(Fk)nF = """ чп /г? Л" = 1'2'3'4 W

2(Рк)2р - СРк)?,2

После этого новые значения локальных 1Швариантов на выделенном ребре, как и в случае метода Кабаре для ортогональных сеток вычисляются экстраполяцией из прилегающей ячейки, являющейся зоной влияния, т.е. с учетом направления прихода характеристики

(2 ¿/ к < О

Затем по значениям локальных инвариантов на новом временном слое согласно (3) вычисляем предварительные потоковые переменные.

Для контроля за не монотонностью решения, добавлена искусственная вязкость

"4,2 — 2 4,2 2 4

_1 + НК^ + ^ + ЧУ + ЧП

V4,2 — 2 4,2 2 4

_ 1 . Щ®1 + № + ИХ* +

4,2 ~2р4'2 2 4

рп+1 _ 1 рП+1 . Н^+^Т+РгТ + ПП ^4,2 2 4

В третьей фазе, так же как и в первой фазе записываем уравнения Эйлера в интегральной форме, но при применении квадратурной формулы для интеграла по границе, берем переменные на новом временном слое.

Новый алгоритм тестировался на следующих задачах: «бегущие волны», акустический импульс, вихрь Гаусса и вихрь Тейлора. При анализе нового алгоритма рассматривались различные комбинации экстраполяций в дополнительную точку и коррекции потоков. Приведем результаты для двух лучших вариантов:

• Алгоритм с экстраполяцией в дополнительную точку по формуле (5) и с искусственной вязкостью, далее будем писать «экстраполяция с диссипатором»,

• Алгоритм с экстраполяцией в дополнительную точку вида (6) без применения какой либо коррекции потоков, далее - «экстраполяция по консервативным переменным».

Для всех тестовых расчетов была рассмотрена расчетная область, состоящая из равносторонних треугольников с высотой Л1г.

Бегущие волны.

Рассмотрена квазиодномерная задача, где с одной границе заданы зарождающиеся периодические волны вида = Л5т(о>£), где А « 1 -

некоторая константа, а с другой - условие свободной границы. Аналитическое решение соответствует решению волнового уравнения без учета нелинейности.

Показано, что вариант «экстраполяции с диссипатором» имеет второй порядок точности в нормах С, Ь; и Ь2. При увеличении амплитуды возмущений А проявляются нелинейные эффекты. При этом в численном решении присутствуют нефизичные осцилляции.

При «экстраполяции по консервативным переменным» сходимость решения имеет почти первый порядок. При учете нелинейности наблюдается характерные для данного типа задач "завалы".

Акустическое возмущение

В покоящейся среде Р0 = 1, р0 = 1, щ = 0 задан акустический импульс в

-в(—\г

виде «сгустка» внутренней энергии 5е = Ае с параметрами А = Ю-4, В =

\п2,г0 = 3 ■ 10~2, где г - расстояние до центра импульса. На границах условие "неотражения".

Для центра акустического импульса аналитическое решение имеет вид:

Здесь 0(х) = е-*2 е~у2 с1у - интеграл Доусона.

Показано, что для алгоритма с «экстраполяцией с диссипатором» результат численного расчета в центре акустического импульса практически совпадает с аналитическим решением, сходимость имеет второй порядок по точности. Распространение волны идет симметрично по всем направлениям. Для «экстраполяции по консервативным переменным» сходимость метода имеет первый порядок точности. Волна распространяется симметрично, но при этом амплитуда волны раза в два меньше относительно результата вычисленного методом КАБАРЕ на ортогональной сетке.

Вихрь Гаусса

В покоящемся пространстве Р0 = 1, р0 = 1, и0 = 0 задан вихрь Гаусса с параметрами а = 0.204,/? = 0.3, г0 - 0.05, Т] = — :

'и(т/) = аг]ехтр[/3 • (1 — т]2)] Р = ^ (1 + 8Т)р;

Ро

' р = Ро(1 + ¿70^

V \р0у у 4/?

Для «экстраполяции с диссииатором» получены следующие результаты: на Рис. 2 продемонстрировано сравнение распределения завихренности в начальный момент времени и после 50 оборотов, кинетическая энергия при этом уменьшается не более чем на 15%.

1 4 I рт & г,-1 Г" м 1 : 1 Л

\

Рис. 2. Распределение завихренности при плотности сетки — « 4 (а) на

начальный момент (б) после 50 оборотов.

Алгоритм с «экстраполяцией по консервативным переменным» сохраняет стационарное решение более чем на 50 оборотов, но для движущегося вихря результаты сильно хуже - вихрь распадается за первые два оборота. Вихрь Тейлора

В покоящемся пространстве Р0 = 1, р0 = 1, щ = 0 заданы вихри Тейлора с начальными условиями соответствующими стационарному решению для несжимаемого газа: и' = этхсозу, г/ = — соБхзту, Р' = ^(соз2х + соэ2у).

4

При решении с «экстраполяцией с диссипатором» вихрь начинает излучать завихренность, затем нарастает неустойчивость. Для решения с «экстраполяцией по

консервативным переменным» кинетическая энергия вихря резко спадает (это связано с тем, что начальное положение соответствует стационарному решению для несжимаемой среды), затем устанавливается относительно устойчивое положение. Отметим, что до 8тысяч шагов по времени форма вихрей не сильно меняется

Во второй главе проведено прямое численное моделирование классической задачи о малых колебаниях вихря Ранкина в сжимаемом газе.

В неограниченном покоящемся сжимаемом идеальном газе задан плоский локализовашшй вихрь с постоянной завихренностью Оо в области, ограниченной замкнутой кривой. Будем считать, что исходная круговая граница слабо возмущена и в полярных координатах (г, ф) имеет вид

/О) = г0(1+£ 005(5^) + 0(е2))

Здесь г0= 2.6 мм значение радиуса невозмущенного вихря, £«1 - коэффициент

О т

возмущения, - целое число. Обозначим Му = - число Маха для ядра вихря, где

2сет

с0о - скорость звука, 0(г=76кГц.

Расчетная область - квадрат состоящий из структурированных прямоугольников, в центре которого задается вихрь. Сетка имеет зеркальную симметрию относигельно осей ОХ и ОУ. Уравнения Эйлера для сжимаемого газа решались методом КАБАРЕ. Исследовались малые возмущения границы вихря и излучаемое звуковое поле.

Для аналитического решения собственная частота несжимаемого вихря для каждой гармоники л- имеет вид со5 = С10(б — 1)/2. Для сжимаемого вихря частота кельвиновскош возмущения ^=2, отнесенная к частоте П0/2 несжимаемого приближения, имеет вид

Ш2=£о+ + ^ + (7)

2 I 12 41152 16 32 192 16 2 Л 4 у

Здесь Су = 0.5772... постоянная Эйлера. Это выражение показывает, что частота сжимаемого вихря отличается от частоты несжимаемого на члены ~ М*, кроме того при учете членов Мл в собственной частоте появляется мнимая добавка, соответствующая акустической неустойчивости.

Рассмотрим результаты численного моделирования. На Рис. 3 представлен график радиальной скорости на расстоянии 1.2г0 от центра вихря, общее время расчета соответствует примерно 100 периодам собственных оборотов вихря.

|-и/с]

0,02 и 0,01 ■

-0.02-.-,-.-.-.-,-■-.-■-.-•-.---1-•-■-■ —--■

0 209 418 627 836 1045 1254 1463 1672 1881 2090

f"a/rO

Рис. 3 Радиальная скорость. s=2, ¡№¡.=0.3.

Видно, что на всем временном интервале скорость имеет достаточно гладкий вид. В спектре, главным образом, присутствует только одна гармоника и отклонение частоты от аналитического решения составляет 0,1%. При этом численное решение демонстрирует медленное нарастание амплитуды колебаний, которое естественно связать с акустической неустойчивостью.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Аналитическое решение (7) для

инкремента неустойчивости дает 5t = где N - количество оборотов.

Учитывая линейную зависимость радиальной скорости от s, аппроксимируем локальные максимумы в численном решении методом наименьших квадратов функцией вида у = АедЫ. В результате получим приближенные значения для инкремента б. Так, для аналитического решения 6 = 5- 10~3, а для численного 6пит — 4,4 • 10~3, т.е. отклонение от аналитического решения для инкремента составляет около 10%.

analytical numerical

0,0006

0,0004

Q.

ъ.

0,0002-

0,0000

16 24 32 40 48

г/г„

0

8

Рис. 4. Осредненные значения пульсаций давления

Проанализируем излучаемое возмущенным вихрем звуковое поле. На рисунке Рис. 4 представлены графики осредненных значений пульсаций давления на различных расстояниях от центра вихря. Начиная с 8 радиусов пульсации давления хорошо соответствуют аналитическому решению, которое получено в приближении дальнего поля.

В третьей главе рассмотрена классическая задача о движении двух вихревых пар противовращающихся плоских вихрей конечного радиуса.

В области с открытой границей рассматривается система из двух пар противовращающихся вихрей. Циркуляция скорости каждого вихря на бесконечности равна +Г, Г > 0. Распределение завихренности задано по гауссову закону:

Здесь циркуляция Г = 0.24 л 5 ат отвечает числу Маха по радиусу вихря М0 = 0.3, г0 - радиус вихря и 3 = 2.5г0 - половина расстояния между центрами соседних вихрей.

Задача решалась численно методом Кабаре для ортогональных сеток. На Рис. 5 представлена эволюция завихренности системы вихрей при числе Рейнольдса равном 9400. Как показало сравнение решений, именно при этом числе Рейнольдса решение Кабаре больше всего соответствует решению, полученному в статье [8] для

2

О

числа Рейнольдса 10000. Небольшое отличие в числах Рейнолдса двух решений возможно связано с различием в аппроксимации вязких членов при использовании полностью консервативной формы записи уравнений движения в схеме Кабаре и в методе лагранжевых частиц [8], не использующим консервативную форму записи.

При числе Рейнольдса 9400 в решении Кабаре вихревые пары успевают совершить четыре проскальзывания друг относительно друга, Рис. 5,(б),(г),(д),(е), интервалы между которыми становятся с каждым разом все короче. При меньших числах Рейнольдса слияние вихрей происходит быстрее. Например, при Ие=5000 вихри сливаются в один уже после трёх оборотов.

(а) (б) (в) (г)

(Д) (е) (ж) (з)

Рис. 5. Распределение завихренности системы вихрей в характерные моменты времени a^t/S =0 (а), 18 (б), 36 (в), 54 (г), 72 (д), 90 (е), 108 (ж), 120 (з).

Перейдя к количественному анализу полученного решения, сравним среднюю скорость центра масс системы вихрей и характерные времена между соседними проскальзываниями вихревых пар с аналитическим решением для двумерных точечных вихрей в невязком потоке. Решение для точечных вихрей является классическим, и может быть получено на основе теории потенциала. В частности, при 8у = 8Х = S и значениях потока на бесконечности р«, = 1,рт = 1 и 5 = 0.15 для периода и средней скорости потока с точностью до четвертого знака, получены следующие формулы

т = !il££! = 12.21,77 = ^^ = 0.1282.

р г S

Данные значения можно сравнить с величинами средней скорости и временами между первым и вторым, (Тр)1 и вторым и третьим, (Тр)2 проскальзываниями вихрей, приведенными в Таблице 1. Разница между значениями средней скорости и временами между соседними проскальзываниями вихрей при измельчении шага сетки не превышает 1%. Расчетное значение средней скорости потока, полученное на самой грубой сетке, отличается от теоретического значения для системы точечных вихрей также не более чем на 1%. Таблица 1. Сравнение интегральных характерстик,

Шаг сетки, Ь г0/6 г0/9 г0/12

П 0.1271 0.1277 0.1279

(гД 10.85 10.9 10.9

СТР)2 7.9 8.1 8.2

Отличие в характерных временах между соседними проскальзываниями вихрей и теоретическим значением для точечных вихрей больше, оно составляет порядка 10-15%. Таким образом, для этого параметра отличие между численным решением Кабаре для конечных вихрей и решением для точеных вихрей составляет порядка квадрата отношения радиуса вихря к расстояншо между вихрями (г0/6)2 = 0.16. Поправка в квадратичном члене относительно теории точечных вихрей может объясняться эффектом конечности радиуса вихря, когда при усреднении периода Тр~82 = |х — у|2 по всем точкам пространственно распределенных вихрей 0 < г < г0 с центрами в х и у линейные по возмущению члены сокращаются.

Сравним акустические сигналы поступившие в отдельные точки контрольной поверхности, расположенные под разными углами к движению системы вихрей и сравнить решения при разных числах Рейнольдса. На Рис. 6 представлены результаты расчета акустических пульсаций в точках контрольной поверхности, отвечающих углам 0 и 90 градусов относительно направления движения центра масс вихрей. Амплитуда пульсаций, переносимых под малым углом, рис.б(а), (б), в 1.5-2 раза превышает амплитуду пульсаций под 90 градусов к направлению движения

потока (в, г). По сравнению со случаем 11е=9400 (а,в), для Ке=5000 (б,г) амплитуда этих высокочастотных пульсаций заметно меньше. Можно предположить, что эти высокочастотные пульсации вызваны нестационарностью мелких пространственных структур, возникающих в ядре общего вихря, и наиболее эффективно вязкость действует именно на эти мелкомасштабные структуры.

(б)

(в)

(Г)

Рис. 6. Акустические пульсации поля вихрей на контрольной поверхности под разными углами к потоку и при разных значениях ламинарной вязкости

Рассмотрим последовательность периодически возникающих пар противовращающихся вихрей и генерируемые ими акустические пульсации в дальнем поле. Период возникновения таких квадруполей - это свободный параметр задачи. Выберем его таким образом, чтобы взаимное влияние между ними было достаточно малым, и чтобы звуковое поле системы возникающих вихрей можно

получить наложением звуковых пульсаций каждого квадруполя в отдельности в соответствии с временной задержкой возникновения вихревых квадруполей.

Окывазывается, что при определенном значении периода возникновения вихревых квадруполей их суммарное звуковое поле качественно совпадает со спектральными характеристиками звукового поля трехмерной турбулентной струи, полученными с помощью сквозного метода расчета в вихреразрешающем режиме (LES) [9].

На Рис. 7 показаны графики спектров пульсаций давления в дальнем поле для численного расчета струи методом LES [9] и для системы периодически возникающих плоских квадруполей, где произведена нормировка на постоянный коэффициент таким образом, чтобы максимальная амплитуда акустического спектра [9] и максимальная амплитуда спектра модели плоских вихрей под малым углом к струе совпадали. На графиках приведена обезразмеренная частота, где для расчета [9] нормировка соответствует скорости струи и ее диаметру, а в случае модели плоских вихрей - расстоянию между вихрями в квадрупольной паре и той же скорости, что и в струе [9].

Видно, что для широкого диапазона частот форма спектров для наблюдателя но малым и большим углом, полученных для модели квазистационарных плоских вихревых пар и спектров трехмерной турбулентной струи [9], полученных методом прямого моделирования, находятся в хорошем соответствии друг с другом.

(а) (б)

Рис. 7. Спектр звуковых пульсаций в дальнем иоле под разными углами обзора (а) моделирование методом LES (Bogey and Bailly, 2006) и (б) система периодически возникающих квадруполей.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы Список литературы

1. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1978.

2. Hirsch С. Numerical Computation of Internal and External Flows. The Fundamentals of Computa-tional Fluid Dynamics. 2nd Edition, John Wiley&Sons, Ltd 2007.

3. Самарский А. А., Головизнин, B.M., Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной, Матем. моделирование, 1998, 10:1, 86-100.

4. Самарский А.А., Еоловизнин, В.М., Некоторые свойства разностной схемы "кабаре", Матем. моделирование, 1998, 10:1, 101-116.

| - - SOrfeg |

5. Karabasov, S. A. and Goloviznin, V.M. "A New Efficient High-Resolution Method for Non-Linear problems in Aeroacoustics", AIAA Journal, 2007, vol. 45, no. 12, ¡p. 2861-2871.

6. Головизнин B.M., Карабасов C.A., Яковлев П.Г. "Прямое моделирование заимодействия вихревых пар" // Журнал Математическое моделирование т.23 №11 011г. стр. 21-32.

7. Яковлев П.Г. "Излучение звука плоским локализованным вихрем" // Акустический журнал, том 58, № 4, Июль-Август 2012, стр. 563-568

8. Eldridge, J.D., "The dynamics and acoustics of viscous two-dimensional leapfrogging vortices", J. Sound Vib., 301 (2007), pp. 74-92.

9. Bogey, C. and Bailly, C., Computation of a high Reynolds number jet and its radiated noise using large eddy simulation based on explicit filtering. Comput. Fluids 35 (10), 2006, pp. 1344-1358.

Осповные результаты работы:

1. Предложена новая экстраполяционная формула для вычисления потоковых переменных для метода Кабаре на расчетных сетках, состоящих из треугольных элементов. Предложен диссипатор для коррекции потоковых переменных. Проведены исследования применимости разработагаюй методики Кабаре для треугольных сеток на классических тестовых задач аэроакустики и вихревой динамики

2. Задача об излучении звука вихрем Кельвина решена численно методом КАБАРЕ, для ортогональных сеток, как для ближнего, так и для дальнего поля. Произведена оценка излучаемого звукового поля. Показано согласованность пульсаций давления в дальнем поле с аналитическим решением. Показано, что численный метод хорошо моделирует малые возмущения вихря Кельвина: инкремент неустойчивости хорошо согласуется с аналитическими данными, частота собственных колебаний вихря практически совпадает с аналитическим решением.

3. Рассмотрено решение задачи о движении двух пар противовращающихся плоских вихрей на основе метода Кабаре для ортогональных

элементов. Показано хорошее качественное соответствие решений полученных по схеме Кабаре на сетках плотностью 6 и 12 точек на радиус вихря с решением, полученным в литературе с использованием метода лагранжевых частиц. Показано хорошее соответствие численного и аналитического решений для средней скорости движения системы и времени между соседними проскальзываниями вихревых пар. Отмечен эффект усиления звука под малыми углами к потоку и влшншя вязкозти на мелкомасштабные структуры вблизи ядра вихря. Установлена слабая количественная зависимость рассмотренных эффектов от плотности расчетной сетки.

4. Предложена квазистационарная модель зарождающихся вихрей. Проанализированы спектральные характеристики идуцированного ими акустического поля. Показано, что при высоких числах Рейнольдса спектральная мощность результирующего сигнала в дальнем поле содержит важные черты спектров турбулентных струй.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

1. Головшнпн В.М., Карабасов С.А., Яковлев П.Г. "Прямое моделирование взаимодействия вихревых пар" // Математическое моделирование, т.23, №11,2011 г., стр. 21-32.

2. Яковлев П.Г. "Излучение звука плоским локализованным вихрем" // Акустический журнал, том 58, № 4, Июль-Август 2012, стр. 563-568.

3. Головизнин В.М., Васильев В.А, Яковлев П.Г. "Балансно-характеристический подход для одномерных уравнений мелкой воды"// Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов, "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации ", г.Якутск, 25 июня - 2 июля, 2006 г.

4. Васильев В.А., Головизнин В.М., Яковлев П.Г. «Балансно-характеристическая разностная схема для численного решения уравнений мелкой воды» // Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к

многопроцессорным системам", посвященная памяти К.И.Бабенко, Тезисы докладов, с.Абрау-Дюрсо, сентябрь 2006г.

5. Васильев В.А., Канаев. A.A., Яковлев П.Г. «Разработка кода для решения задач гидродинамики на базе балансно-характеристического метода» // Сборник научных трудов 9 научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, г.Москва, 24 апреля 2008 г.

6. Карабасов С.А., Яковлев П.Г. "Использование метода КАБАРЕ для численного моделирования взаимодействия пар плоских вихрей"// Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов " Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации ", г.Якутск, июль, 2009 г.

7. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Яковлев П.Г. "Использование метод Кабаре для численного моделирования взаимодействия пар плоских вихрей" // Всероссийская научно-практическая конференция "Вычислительный эксперимент в аэроакустике", г.Светлогорск, сентябрь 2010г.

8. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Яковлев П.Г. "метод Кабаре для численного решения задачи о взаимодействии пар плоских вихрей" // Научная конференция МФТИ, г.Москва, октябрь 2010г.

9. Goloviznin V.M., Karabasov S.A., Yakovlev P.G. "On the acoustic super-directivity of jittering vortex systems for the study of jet noise". // 17th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (32nd AIAA Aeroacoustics Conference), Portland, Oregon, 2011

10. Яковлев П.Г. "Численный расчет излучения звуковой волны плоским изолированным вихрем на основе параллельного алгоритма для метода КАБАРЕ" // Международная конференция "Суперкомпьютерные технологии математического моделирования", г.Якутск, ноябрь 2011 г.

11. Беляев И.В., Головизнин В.М., Карабасов С.А., Копьев В.Ф., Яковлев П.Г. "Рассеяние звуковой волны изолированным вихрем: численное моделирование" // Всероссийская конференция по авиационной акустике, г.Звенигород, октябрь 2011г.

МЕТОД КАБАРЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ АЭРОАКУСТИКИ И ГИДРОДИНАМИКИ

автореферат

Яковлев Петр Георгиевич

Подписано в печать 09.06.2013 г. Формат 60x84/16. Печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 3.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ. Адрес: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЕВЕРО-ВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.К. АММОСОВА

04201360432

Яковлев Петр Георгиевич

МЕТОД КАБАРЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ АЭРОАКУСТИКИ И ГИДРОДИНАМИКИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. С.А. Карабасов

На правах рукописи

А

Якутск 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................4

ГЛАВА 1. МЕТОД КАБАРЕ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ................................................................................................13

1.1 Основные уравнения движения...........................................................13

1.2 Метод Кабаре на ортогональных сетках (обзор)..............................18

1.2.1 Фаза 1. Вычисление консервативных переменных на промежуточном слое по времени............................................................19

1.2.2 Тензор вязких напряжений..........................................................21

1.2.3 Фаза 2. Вычисление потоковых переменных на новом слое по времени......................................................................................................24

1.2.4 Фаза 3. Вычисление консервативных переменных на новом слое по времени.........................................................................................27

1.2.5 Граничные условия.......................................................................28

1.3 Метод Кабаре на треугольных сетках.................................................29

1.3.1 Фаза 1. Вычисление консервативных переменных на промежуточном слое по времени............................................................30

1.3.2 Фаза2. Вычисление потоковых переменных на новом слое по времени......................................................................................................31

1.3.3 Процедура дополнительной коррекции.....................................34

1.3.4 ФазаЗ. Вычисление консервативных переменных на новом слое по времени.................................................................................................34

1.3.5 Вычисление величины допустимого шага по времени............35

1.4 Результаты тестовых расчетов...........................................................36

1.4.1 Бегущие волны..............................................................................36

1.4.2 Акустическое возмущение...........................................................41

1.4.3 Вихрь Гаусса.................................................................................47

1.4.4 Вихрь Тейлора...............................................................................54

1.5 ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 1................................................,....................................57

ГЛАВА 2. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ВИХРЕМ РАНКИНА..............58

2.1 Постановка задачи.................................................................................58

2.2 Результаты................................................................................................61

2.3 Выводы к главе 2.....................................................................................64

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ПАР ПРОТИВОВРАЩАЮЩИХСЯ ВИХРЕЙ.....................................................................................................................66

3.1 Постановка задачи.................................................................................66

3.2 Результаты................................................................................................70

3.3 Квазистационарная модель..................................................................78

3.4 Выводы к главе 3.....................................................................................80

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................................................81

ЛИТЕРАТУРА...........................................................................................................83

ВВЕДЕНИЕ

Вычислительный эксперимент [1-3] играет большую роль при решении многих практических задач в механике жидкости и газа. Например, существенной проблемой переноса результатов стендовых испытаний на натурные условия является сложность соблюдения законов подобия, таких как числа Маха и Рейнольдса, одновременно, которые могут по-разному проявляться на различных режимах течения. С другой стороны, применение вычислительных технологий может не только сократить время проведения экспериментов за счет отбраковки значительного числа неудачных вариантов на ранней стадии проектирования, но и получить решения для таких режимов течения, экспериментальная реализация которых была бы крайне затруднена. В частности, применение вычислительных технологий значительно улучшило эффективность авиационных двигателей за последние 20 лет, а также сильно сократило время, затрачиваемое на их проектирование [4].

Несмотря на быстрое развитие вычислительной техники, в вычислительной механике жидкости и газа остаётся ряд задач, которые трудно поддаются решению только за счет увеличения быстродействия компьютера [57]. Центральной из них продолжает оставаться задача расчета турбулентных течений. Наряду с этим, в силу большого перепада гидродинамических и акустических масштабов [8], задачи аэроакустики также являются примером задач повышенной сложности. Численное моделирование должно корректно разрешать все соответствующие величины, поскольку взаимное влияние аэродинамической [9] и акустической [10] составляющих может быть достаточно существенным. В этой связи важное значение играет точность вычислительного алгоритма.

Построению высокоточных алгоритмов посвящено значительное количество публикаций в литературе, где существует несколько общих подходов. Один из таких подходов основан на построении вычислительных

схем по свойствам, приближающимся к спектральным схемам [11-13]. Примером подобного класса являются методы с сохранением дисперсионного соотношения (DRP - Dispersion relation preserving schemes) разработанные К. Тамом [13-15]. Для подавления коротко-волновых осцилляций в этих схемах используются методы искусственной вязкости высокого порядка. Другим примером построения схем высокого разрешения являются схемы повышенного порядка аппроксимации на основе принципа невозрастания полной вариации решения (TVD - Total Variation Diminishing) [16-18]. В данном подходе для борьбы с численными осцилляциями, возникающими в силу дисперсионных ошибок, при повышении порядка аппроксимации к разностной схеме добавляются ограничители потоков таким образом, чтобы схема обладала высоким порядком на гладких решениях и сохраняла монотонность в областях сильного разрыва. К методом основанных на ограничении нефизичных осцилляции относятся также методы ЕНО (ENO -essentially non-oscillatory) [19-22] . В данном роде методов применяется автоматический анализ уровня гладкости решения в ячейках, в зависимости от которого строятся полиномы заранее заданного порядка (порядок аппроксимации зависит от степени полинома). Увеличение порядка аппроксимации в таких схемах зачастую сопровождается увеличением вычислительного шаблона; последнее ведет к проблемам, как при задании граничных условий, так и при аппроксимации на произвольных расчетных сетках.

Перспективным направлением для улучшения разностных свойств является использование класса схем с разнесенными переменными на компактном шаблоне с использованием коррекции потоков на основе принципа максимума. Здесь одним из самых многообещающих подходов является схема Кабаре, обладающая вторым порядком аппроксимации для произвольно неоднородных сеток по пространству и времени. Схема Кабаре впервые предложена в консервативной форме в работах Головизнина и Самарского [23, 24]. Процедура нелинейной коррекции потоков впервые представлена в работах

Головизнина и Карабасова [25]. Усовершенствованные варианты нелинейной коррекции потоков появились в работах Головизнина и др. [26] и Головизнина и Карабасова [27]. В последующих работах схема Кабаре была обобщена на одномерные [28] и двумерные уравнения Эйлера [29].

Несмотря на простоту реализации и «небольшой» порядок аппроксимации, Кабаре хорошо проявила себя в ряде задач газодинамики и аэроакустики [3032]. Отличительными чертами схемы Кабаре являются её компактный вычислительный шаблон, малодисперсионность и бездиссипативность. Для решения задач нелинейного переноса в схеме Кабаре используется алгоритм нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума для потоковых переменных. Оказалось, что характеристики этой схемы исключительно хорошо приспособлены для решения вычислительных задач, связанных с вихревой динамикой.

Существенным минусом имеющихся реализаций схемы Кабаре, является использование гексаэдральный сеток. В Главе 1 настоящей диссертации разработаны новые варианты двумерной схемы Кабаре, позволяющие решать уравнения газовой динамики на произвольных треугольных сетках. Приведены результаты тестовых расчетов акустических волн и вихревых течений.

В следующих в главах 2, 3 рассмотрен ряд задач вихревой динамики и акустики представляющих сложность для вычислительных методов. Для удовлетворения высоких требований к точности, предъявляемых в этих задачах, они решены методом Кабаре на декартовых сетках.

В Главе 2 представлено решение задачи о малых колебаниях вихря Ранкина и излучения им звука. Задача рассеяния звуковых волн изолированным вихрем [33-37] является классической в теории рассеяния звуковых волн на гидродинамических неоднородностях потока. В частности, эта задача является базовой для понимания взаимодействия звуковых волн с завихренными течениями, включая турбулентные [38-41]. В случаях, когда турбулентность может быть представлена распределением локализованных вихрей (подход

Крейчнана-Татарского [42, 43]), звуковое поле, рассеянное таким течением, представляет собой суперпозицию рассеянных полей от каждого вихря. В рамках данного подхода описание элементарного события - рассеяние звука отдельным вихрем - является необходимым условием для понимания механизмов переноса звука в турбулентных течениях, включая вихревые следы летательных аппаратов гражданской авиации [44]. Кроме того, исследование взаимодействия звука с локализованными вихрями имеет особый интерес с точки зрения диагностики объектов по рассеянию звука на создаваемом ими следе, как в воздухе, так и воде.

С точки зрения аналитического описания задача хорошо известна. В несжимаемой жидкости колебания такого вихря рассматривались еще Кельвином [45]. В сжимаемой жидкости задача также рассматривалась, поскольку она является одним из наиболее простых модельных примеров распределенного вихря, когда динамику вихревого поля и звук можно вычислить точно [46]. Теоретически были обнаружены такие особенности излучения звука вихрем как акустическая неустойчивость [47], объяснение которой на языке волн отрицательной энергии было дано в [48, 49]. С точки зрения численного моделирования задача является исключительно сложной, поскольку вихревое течение отличается резкой границей, разделяющей завихренное и потенциальное течение. Деформации этой границы (возмущения Кельвина) вращаются с постоянной угловой частотой и медленно нарастают из-за акустической неустойчивости.

Вторая задача, рассмотренная в настоящей работе в Главе 3, посвящена решению задачи о взаимодействии пар плоских вихрей [50-52]. Данная задача имеет большое значение в теории генерации звука в нестационарных и неоднородных гидродинамических потоках, включая турбулентные [53-55]. Покоящаяся в начальный момент времени, в результате взаимодействия, система вихрей приходит в движение. Вихри начинают проскальзывать друг относительно друга, и их центр масс приходит в движение. Задача о

проскальзывающих вихрях представляет интерес не только с точки зрения изучения фундаментальных механизмов генерации звука для относительно простого течения, но и с точки зрения тестирования расчетных методик, поскольку разрешение как самих мелких филаменов завихренности так и порождённых ими акустических пульсаций требует повышенной точности расчета. В частности, при использовании традиционных конечно-разностных сеточных методов на эйлеровых сетках для выполнения этих требований из-за дисперсионных и диссипативных ошибок необходимо использовать аппроксимации высокого порядка и достаточно мелкую сетку. До недавнего времени соответствующие решения уравнений Навье-Стокса [56] были получены в литературе только для относительно низких чисел Рейнольдса, определенных по отношению к циркуляции вихря и не превышающих 10004000 [57]. Для исключения проблем эйлеровых методов при решении этой задачи при рекордно большом числе Рейнольдса, Яе=10000, в работе [52] был реализован специальный эйлерово-лагранжевый метод [58-60], оперирующий в переменных вихрь - дивергенция скорости. В этом методе для описания переноса завихренности используются лагранжевые частицы [61], которые наряду с завихренностью также переносят дивергенцию скорости. Для достижения устойчивой работы этого алгоритма на длительных временах, лагранжевые шаги чередуются с пересчётом решения на эйлеровой сетке, для чего используется интерполяция высокого порядка. К достоинствам лагранжевого метода [52] можно отнести его небольшую вычислительную сложность относительно классических разностных методов, требующих большого сеточного разрешения, а также использование в расчёте переменных завихренности и дивергенции поля, которые удобны для интерпретации результатов расчета в рамках классических подходов акустической аналогии [62]. В настоящей работе данная задача о проскальзывающих вихрях при высоких числах Рейнольдса, 5000-10000, была решена методом Кабаре и проведены сравнения с результатами в статье [52].

Цели и задачи исследования

Разработка нового численного алгоритма на основе метода Кабаре для решения двумерных задач гидродинамики на расчетных областях, состоящих из треугольных элементов.

Численное моделирование методом Кабаре для ортогональных сеток классических задач вихревой динамики и акустики, таких как задача о малых колебаниях вихря Ранкина и задача о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей.

Научная новизна и практическая значимость

Предложен новый вариант обобщения схемы Кабаре на треугольные сетки, включающий в себя новую экстраполяционную формулу и процедуру коррекции потоков. Разработанный алгоритм предоставляет возможность численного решения задач гидродинамики и аэроакустики методом Кабаре на расчетных областях смешанного типа с рядом ограничений.

На основе метода Кабаре для ортогональных сеток численно решена задача об излучении звука вихрем Кельвина с учетом совокупности процессов генерации и обратного влияния звука на вихревое течение. Проведено численное моделирование задачи о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей методом Кабаре для ортогональных сеток, как для ближнего, так и дальнего полей. Предложена квазистационарная модель периодически зарождающихся вихрей, на основе которой продемонстрирована связь модельной задачи о парах вихрей с более общей задачей об идентификации механизмов шума турбулентной струи.

Численное решение поставленных в главах 2, 3 задач методом Кабаре для ортогональных сеток оказалось способным предсказать тонкие эффекты взаимодействия вихревой динамики и сжимаемости, выражаемые величинами, пропорциональными четвертой степени числа Маха, несмотря на всегда имеющиеся неконтролируемые ошибки, связанные с дискретизацией уравнений и схемной вязкостью. Это значит, что схема КАБАРЕ в целом допускает

расширение прямого численного моделирования на задачи, характеризующиеся локализованными вихрями с выраженным ядром, в том числе на задачи, когда турбулизация течения и генерация звука определяются тонкими эффектами взаимодействия колебаний ядра вихря и обтекающего ядро потока.

На защиту выносятся следующие результаты

1) Новый алгоритм численного решения уравнений гиперболического типа на треугольных расчетных сетках, который можно считать обобщением известного метода Кабаре.

2) Результаты расчетов методом Кабаре для ортогональных сеток задачи о динамики вихря Кельвина для «ближнего» и «дальнего» полей.

3) Результаты расчетов методом Кабаре для ортогональных сеток задачи о взаимодействии пар противовращающихся плоских вихрей как для «ближнего» и «дальнего» полей.

Личный вклад автора заключался

1).. в разработке численного алгоритма на основе метода Кабаре для решения задач гидродинамики на треугольных сетках; исследование процедуры коррекции нелинейных потоков; в проведении тестовых расчетов и анализе полученных результатов.

2) ..в проведении численных расчетов задач о вихре Кельвина и движении пар плоских вихрей.

3) научному руководителю д.ф.-м.н. С.А. Карабасову принадлежит помощь в постановке задачи о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей. Д.ф.-м.н. В.Ф. Копьеву принадлежит помощь в постановке задачи о вихре Кельвина. Д.ф.-м.н. В.М. Головизнину принадлежит помощь при проведении численных расчетов.

Аппробация работы

Основные результаты, содержащиеся в диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (РФ, г. Якутск, 2009 г.);

• Всероссийская научно-практическая конференция "Вычислительный эксперимент в аэроакустике" (РФ, г. Светлогорск, 2010 г.);

• Научная к�