автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы для обратных нелинейных параболических задач и их приложения к моделированию критических условий теплового взрыва

На правах рукописи &

Китаева Елена Викторовна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОБРАТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МОДЕЛИРОВАНИЮ КРИТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ТЕПЛОВОГО

ВЗРЫВА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2005

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Соболев Владимир Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Семенов Михаил Евгеньевич доктор физико-математических наук, профессор

Задорин Александр Иванович

Ведущая организация

Самарский государственный аэрокосмический университет

Защита состоится "09" июня 2005 года в 15 час 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Воронежской государственной технологической академии по адресу г Воронеж проспект Революции, 19

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежской государственной технологической академии.

Автореферат разослан

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук^

В. М. Самойлов

мигГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Прикладное значение математической теории теплового взрыва чрезвычайно велико для повышения эффективности энергетической системы, проектирования реакторов, двигателей внутреннего сгорания, моделей лазеров, механики полимеров и многих других задач и областей науки. Основы этой теории были заложены в трудах Н.Н.Семенова, Д.А. Франк-Каменецкого, Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, О. М. Тодеса, П. В. Мелентьева, А. Г. Мержанова и др. Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва важнейшие характеристики, определяющие тип реакции, отражает некоторый параметр, значение которого определяется начальным состоянием химической системы. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что приводит к взрыву При этом переход от медленного режима к взрывному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения этого параметра Для некоторого значения данного параметра, которое называется критическим, реакция идет в течение длительного времени, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим называется критическим.

Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для различных форм реакторов и являются главными в рамках исследования моделей. Отметим, что в работах упомянутых выше авторов исследовалась, в основном стационарная модель теплового взрыва, в рамках которой можно получить лишь приближенные решения, не учитывающие выгорание реагирующего вещества, и невозможно провести исследование перестройки решений в окрестности предела самовоспламенения.

Математическое исследование нестационарной модели проводилось с помощью асимптотических методов. Асимптотическим методам в этой области посвящены труды В.Ф. Бутузова. Г.Н. Горелова, Е.Ф. Мищенко, Ю.Н. Митропольского, Н.Х. Розова. В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, Е А. Щепакиной. В частности, В.А Соболевым было замечено, что критические режимы теплового взрыва описываются медленш " " [ивыми и

неустойчивыми интегральными

получить

асимптотические разложения в явном виде удается далеко не всегда (исследуется, в основном сосредоточенная модель, не учитывающая неравномерности протекания реакции по объему реакционного сосуда), в связи с чем актуальной является задача численного отыскания интегральных многообразий. Но эта задача также весьма трудна, так как искомое интегральное многообразие неустойчиво как в прямом (t), так и в обратном (—t) времени. Это некорректная сингулярно возмущенная задача, и классические численные методы оказываются непригодными для ее решения.

Математическая теория некорректных задач является важной частью современной математики. Ее становление связано с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Г.И.Марчука, С.Г.Крейна, J. Li-ons'a их многочисленных учеников и последователей. Существенно менее развиты математические методы для некорректных сингулярно возмущенных задач. При этом наличие малого параметра часто создает принципиальные дополнительные трудности, так как, например, при переходе к быстрому времени, в котором задача не будет сингулярной, решение надо искать на асимптотически большом промежутке времени. Но тогда известные методы решения (J.Lions), для которых ограниченность временного промежутка принципиальна, становятся неприменимыми.

В последние десятилетия интенсивно развивалась теория численных методов для сингулярно возмущенных задач. Разностным методам для сингулярно возмущенных задач посвящены работы Н.С. Бахвалова, A.M. Ильина, В.Б. Андреева, И.П. Боглаепа, А.И Задорина, К.В. Емельянова. В.Н. Игнатьева, В.Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, H.H. Яненко, Е. Gartland'a, P. Hemker'a, D. Herceg'a, J J.H. Miller'a, O'Riordan'a, К. Surla, M. Stynes'a, R. Vulanovic'a. Однако подавляющее большинство этих работ относится к корректным задачам в ограниченных областях. Отметим работы А.И. Задорина о сингулярных задачах на полубесконечном интервале которые, однако, также относятся к корректно поставленным задачам.

Отметим, что важным промежуточным звеном решения данной задачи является задача приближенного отыскания ограниченных на всей оси решений, рассматриваемых как частный случай медленных интегральных многообразий, сингулярно возмущенных уравнений и систем в условно устойчивом случае, содержащая в себе основные теоретические и вычислительные трудности исследования основной проблемы.

Цель работы: разработка и исследование устойчивых численных алгоритмов построения критических режимов сингулярно

возмущенных систем параболических уравнений. Достижение поставленной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

- Разработка устойчивых численных методов и алгоритмов отыскания медленных интегральных многообразий сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических задач.

- Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения критических режимов теплового взрыва и определения критических значений управляющего параметра, соответствующих этим режимам.

- Математическое обоснование этих методов в частном случае задачи отыскания ограниченных на всей оси решений сингулярно возмущенных параболических уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условно устойчивом случае.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

- Предложен алгоритм приближенного отыскания ограниченных на всей оси решений обратных сингулярно возмущенных линейных и нелинейных параболических задач, и доказаны оценки погрешности приближений, получаемых в этих алгоритмах, что обеспечило возможность отыскания критических режимов в системах уравнений, описывающих модель теплового взрыва.

- Предложены устойчивые численные алгоритмы отыскания критических значений параметра и критических режимов теплового взрыва в рамках классической модели.

Приведены условия, выполнение которых обеспечивает сходимость решений разностных аналогов сингулярно возмущенных параболических уравнений к точному решению.

- Разработан математически обоснованный алгоритм построения приближенного решения задачи отыскания критических режимов в моделях теплового взрыва с заданным законом выгорания реагирующего вещества.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретическую и практическую направленность. Развитые в ней методы могут стать основой теории решения некорректных обратных параболических задач на асимптотически больших и бесконечных промежутках времени. Разработанные алгоритмы являются основой математического моделирования критических режимов горения и теплового взрыва, прикладное

значение математической теории которого чрезвычайно велико для повышения эффективности энергетической системы, проектирования реакторов, двигателей внутреннего сгорания, моделей лазеров, механики полимеров и многих других задач и областей науки. Кроме того приведенные алгоритмы могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.

Методы исследования.

При обосновании теоретических результатов использовались: теория асимптотических методов, методы теории обыкновенных дифференциальнгых уравнений и уравнений в частных производных, линейного и нелинейного функционального анализа, численные методы. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ, проведения численных экспериментов и частичного сравнения с известными результатами, полученными аналитическими методами.

На защиту выносятся:

1. Методика приближенного решения нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений.

2. Алгоритм численного нахождения критических режимов и критических параметров в задачах, являющихся матемаматическими моделями теплового взрыва.

3. Комплекс программ, реализующий алгоритмы приближенного решения сингулярно возмущенных параболических уравнений и численного нахождения критических режимов и критических параметров в моделях теплового взрыва.

4. Оценки близости решений дифференциальных и разностных задач и оценки погрешности численных алгоритмов.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на Втором всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (летняя сессия, Самара, 1-6 июля 2001 г.), Четвертой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов"(Ульяновск, 2001), Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004), международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление"(Самара, 2004), Международной конференции "Progress in Combustions and Detonation"(MocKBa, 2004), научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета.

Личный вклад и публикации. По теме диссертации

опубликовано 7 работ, список публикаций приведен в конце автореферата. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 8 параграфов и 16 рисунков, заключения, изложенных на 121 странице, и списка литературы, включающего 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена численному моделированию критических режимов теплового взрыва.

Постановка задачи горения в классической теории заключается в следующем:

— задан замкнутый реакционный сосуд, внутри которого находится реагирующее вещество;

— известны кинетические закономерности тепловыделения;

— заданы начальные и граничные условия.

Требуется определить основные характеристики протекания реакции.

Модель горения строится при следующих предположениях.

1. Реакция не сопровождается фазовыми превращениями и является одностадийной и необратимой.

2. Плотность и теплоемкость горючей газовой смеси считаются постоянными, геометрия реакционного сосуда но меняется в ходе реакции.

3. Тепловые потоки определяются теплопроводностью реагирующего вещества, пропорциональны градиенту температуры (закон Фурье), потоки вещества пропорциональны градиенту концентрации (закон Фика) и химическая реакция протекает по объему сосуда неравномерно.

4. Скорость реакции описывается законом Аррениуса, причем рассматривается реакция первого порядка т.е.: V/ = Щ{Т,С) — САех р(^§)- Здесь А - коэффициент пропорциональности, определяемый свойствами реагирующего вещества.

5. Границы сосуда непроницаемы для реагирующего вещества Температура Т0 стенок сосуда принимается постоянной.

6. В реакционном сосуде нет никаких источников тепла кроме самой химической реакции.

Пусть С - концентрация реагирующего вещества в моль/м3, С0 -концентрация реагирующего вещества в начальный момент времени, т - время в сек., Т - температура в °К, Т0- температура окружающей

среды, Е - энергия активации в кал/моль, Я = 1,986 кал/(моль-град) - универсальная газовая постоянная, \¥ - скорость реакции (изменения концентрации за счет выгорания) в моль/(м3 сек), <3 - коэффициент теплоотдачи в кал/моль, к коэффициент теплопроводности в кал/(град-м-сек), И - коэффициент диффузии в м2/сек, р - плотность горючей смеси в кг/м3, с - теплоемкость горючей смеси в кал/(кг-град) Основные неизвестные функции - концентрация и температура зависят от четырех аргументов С = С(т, х, у, г), Т = Т(т, х, у, г).

В основе теории горения лежит исследование дифференциального уравнения теплового баланса, описывающего процесс выделения тепла в реакционном сосуде вследствие химической реакции, и уравнения баланса массы описывающего изменения концентрации реагирующего вещества. Эти уравнения выводятся в первой главе и имеют вид:

Введем следующие безразмерные переменные: 9 = t = гдехр(-^), г? = С7/С0, * = р 6 = Ут ,6 = р

ли о -*0 ли о 10 10 I о

(2)

где /0 м. величина, характеризующая линейные размеры реактора, и параметры

. , 7?Я 1 , Е ... Т$Я 1 , „ 1 . Е ,

6 = ^-ГасЩ^ЯТ^ '£ = р = {£°-Щехр(Щ)Г '

приведем систему (1) к виду

90 в 1 . . дт) я 1 а

еж= + 5 еиа ~ + ~р (3)

В дальнейшем будем рассматривать три формы реакторов: плоскопараллельный реактор (бесконечный слой), цилиндрический реактор (бесконечный цилиндр) и сферический реактор (шар). Для каждого из этих реакторов уравнения (3) будут отличаться видом оператора Лапласа.

В случае плоскопараллельного реактора направим ось перпендикулярно стенкам, а оси О^, расположим в плоскости симметрии реактора. В случае цилиндрического и сферического реакторов перейдем к цилиндрической и сферической системе координат соответственно.

Предполагая, что для всех трех форм реакторов градиенты температуры и концентрации направлены перпендикулярно стенкам

реактора (т.е. температура и концентрация постоянны в любой плоскости, цилиндре или сфере, параллельной стенкам), получим, что Д^ = (плоскопараллельный реактор), = (цилиндрический реактор), = ^(С2^) (сферический реактор). Здесь в случае цилиндрического и сферического реакторов мы переобозначили г -*

С учетом этого перепишем уравнения (3) в виде

в 91]

а*

-епе + -Лп, Р

(4)

где !){(•) = ^ -- п—0 (плоскопараллельный реактор), п- 1 (цилиндрический реактор), п-2 (сферический реактор).

В соответствии с предположением 5 добавим граничные условия

= 0, 0

= 0,

е=о

и начальные условия

дт)

Щ

= 0,

{=о

дг1

Ж

= 0

?=1

в

1=4

= 0, 7?

1.

(=«о

(5)

(6)

Это и есть искомая математическая модель задачи о тепловом взрыве в случае реакции первого порядка, с учетом теплопередачи и диффузии по объему реакционного сосуда. Здесь е малый положительный параметр, 6 - критерий Франк-Каменецкого, скалярный параметр, характеризующий начальное состояние системы В зависимости от его величины реакция имеет либо взрывной характер, либо протекает медленно. Однако, в силу непрерывной зависимости правых частей системы (4) от параметра 6 между медленными и взрывными режимами должна лежать переходная область, содержащая переходные режимы. При некотором значении параметра 6, в дальнейшем называемого критическим, реакция будет протекать максимально долго, не срываясь в режим взрыва и не переходя к медленному режиму, что. собственно, и является целью технологического процесса. Задачи определения критических значений параметра и моделирования критических режимов являются главными в рамках исследования модели (4)-(6).

Далее рассматривается численный метод решения задачи (4)-(6). Особенностью данной задачи является то, что соответствующий искомому критическому значению параметра 6 режим описывается неустойчивым медленным интегральным многообразием, которое не

может быть найдено численно при расчетах в прямом времени, так как вычислительная погрешность приводит к тому, что приближенное решение неизбежно срывается либо во взрывной режим, либо в область затухания. Возможный выход следует искать, применяя расчеты в обратном времени.

Однако при переходе к обратному времени начально-краевая задача для получающейся параболической системы становится некорректной, так как затухающие в прямом времени гармоники, являющися собственными функциями линейной части оператора задачи, становятся растущими в обратном времени, причем быстрее всего растут высокочастотные компоненты, реальный вклад которых в искомое решение ничтожно мал вследствие его гладкости. Поэтому предлагается алгоритм, суть которого состоит в попеременном движении в прямом и обратном времени, причем при движении в прямом времени фиксируются растущие компоненты вектора ошибки, а затухающие подавляются, а в обратном времени наоборот.

Перейдем к изложению алгоритма.

В системе координат t отрезок [0,1] на оси разбивается равномерной сеткой 0 = < & < • • • < 1 = £т с шагом Н — 1 /т,тп — 2к, а ось времени равномерной сеткой 0 = т0 < тх < ■■■ < г; • • • с шагом г = еЬ?/5. Неизвестные функции т]{х,()

заменяются неизвестными сеточными функциями где

верхний индекс I обозначает номер временного слоя, а нижний индекс j - дискретную пространственную координату. Дифференциальная задача заменяется разностной задачей

(А а1+1 1 д(+1 ОД'+! о1+1

= ^ ехР^> + +<Ч 1 < , < т - 1, (7)

6 к2

Г1 _ „'+1 1 „1+1 _ „М

е

-1-— = -ет],1 ехр 01, + —---¿1-1 < ] < тп - 1, (8)

т ' р п1

с = О, С1 = е1 = «Г = лГ, (9)

^ = 5* (1-0- < = 0Л. (10)

Замечание 1. Схема (7)-(10) написана для случая плоскопараллельного реактора (п = 0). Для других форм реактора (п = 1,п = 2) в (7)-(10) добавляется разностная аппроксимация первой производной по формуле центральных разностей.

Решение сеточной задачи (7)-(10) находится по явным формулам Однако, как отмечалось выше, данная схема является абсолютно неустойчивой, что подтверждается численными экспериментами. Поэтому расчетная схема (7)-(10) модифицируется.

Введем обозначения. Пусть II = {и = {и„—т < г < т},и.т = ит = 0} - пространство четных сеточных функций, определенных на равномерном с шагом к = 1 /т разбиении отрезка [—1,1], V — {ь = {ь„-тп < х < тп}, = г;_т+1,ит_1 = ит}. Пусть А - линейный оператор в пространстве С/, определяемый формулами

(.Ав)3 = —^—г±1, —ш + 1 <з<тп-1, I - единичный оператор. Пусть е, = {е^-т < з < ш},е» = вт?1^), в = 1,3,-•• ,2т- 1 ортогональный базис Фурье из собственных векторов оператора А в и, а. через /, = {//,-т < з < т}, // = сов^, в = 0,1, • • • , т — 1 ортогональный базис Фурье из собственных векторов оператора А в V. Пусть Е\ = врап{е[}, Е2 = зрап{ё3, •■• ,е2т_1}, = вратг{/1},^2 = врап{/2, • • • , /т-г} - линейные оболочки соответствующих групп векторов. Пусть Р], Р2 ортопроекторы на ЕХ,Е2, а ортопроекторы на Рь Р2 соответственно. Все

рассматриваемые на [0,1] вектор-функции считаются продолженными четным образом не [—1,0].

Фиксируется натуральное Пусть 9 - вектор с компонентами (10), г) - вектор с компонентами (10). Пусть = 6, т]К = т), = 6, = г]. Для I — 0,1,--- рассматриваются последовательности векторов (верхний индекс обозначает индекс вектора, а не степень)

= в»-1, У= Р1((/-7-Л(г(п+1)))у"+1',--/(!/"+1'',Г"+1'')) + Р2ёЛ'-

О £ £

п = N-1- 1, лг - / - 2. - - ,N-1-1!, (11)

= уп,/ = д1((/ _ 11Л)у«+1,| + г/(у»+и У-+1,')) +

Р£

п = И-1-1^-1-2--- ,И-1-1и (12)

-1-1и1 = уП-1-Н^ 2п+и = (/ + + Т-Цг«\гп<1),

О £ £

п = ДГ - / - 1и N - I - + 1, • • • , N - I - 2, (13)

= (14)

= уп-1-1,^ = + 11у1(тп))^»Д_

ре

-г/(гп'', 2"1''), п = N - I - 1и N - I - ^ + 1, • ■ • , N - I - 2, (15)

= (16)

где /(и, ь) - вектор-функция с компонентами /}(и,ь) = и,е">.

Численная реализация формул (11)-(16) (в частности, вычисление значений проекторов РьРг^ьФг) осуществляется с помощью дискретного быстрого преобразования Фурье (д.б.п.ф.).

Алгоритмом А1 называется численная реализация формул (11)-(16) до тех пор, пока выполняется условие max > О,

—m<j<m J

нарушение которого означает возврат к моменту "начала реакции (в = 0). Алгоритм А1 позволяет решить задачу (7)-(10) при фиксированном значении параметра 5. Для отыскания критического значения <5*, соответствующего переходному режиму, применяется алгоритм, называемый алгоритмом А2. Он состоит в следующем.

1. Выбирается начальное приближение параметра 5 = <$0 и вспомогательного параметра к = ко > 0.

2. Если выполнено неравенство к < TOL, где TOL - заданная точность, то вычисления прекращаются.

3. Для данного 5 реализуется алгоритм А1.

4. Если в момент окончания работы алгоритма А1 выполняется

неравенство max < 1, (maxnf-' > 1), то находится новое о <}<т 1 0<]<т 1

значение параметра 6 из условий 1/5 := 1/5 + к (1/5 := 1/5 - к) и осуществляется переход к шагу 2.

5. Если в момент окончания работы алгоритма А1 выполняется неравенство шах rff~l > 1 (max < 1), то полагается к := к/2,

0<7<т 1 0<j<m 1

находится новое значение параметра 5 из условий 1/5 :— 1/5 — к (1/5 1/5 + к) и осуществляется переход к шагу 2.

Далее приводятся результаты численных расчетов, которые хорошо согласуются с критическими значениями параметра, полученными для нулевого приближения (е = 0) Д.А.Франк-Каменецким.

Задача (4)-(6) оказывается сложной для исчерпывающего строгого математического исследования. Поэтому в §2 рассматривается упрощенная задача моделирования реакции горения с заданным законом выгорания, принадлежащая к классу задач, численные методы решения которых будут строго обоснованы в последующих главах.

Линеаризация и частичная дискретизация параболических уравнений по пространственным переменным приводит к системам линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с незнакоопределенными матрицами. Поэтому во второй главе рассматриваются свойства и методы численного отыскания ограниченных на всей оси решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в условно устойчивом случае, являющихся полудискретными моделями горения.

В §1 рассматриваются линейные системы фиксированного невысокого порядка. . -

Расматривается система обыкновенных дифференциальных

уравнений

ex = A(t)x -f f(t), 0 < £ < 1. (17)

Здесь x = (хг,х2, • ■ ■ ,xm)T, (x, = x,(t)) — неизвестная вектор-функция, / = (fx, /2, • • • , fm)T, f, = /,(<), -00 < t < +00 - заданная вектор-функция, A(t) — (ay(£)} — симметричная квадратная матрица порядка m. Пусть С, Ci, • • • - константы, не зависящие от е и сеточных параметров, || х 11«,= тах |х,|, Il x II, - нормы в Rm. Предположим,

l<t<m

ЧТО

А1. Матричная функция A(t) ограничена равномерно по i € (—00, +00) вместе с 2к\ + 1 производными и имеет собственные значения Хг > Л2 > • • • > А* > 0 > A*+i > • • • > Am, причем

inf |А,(<)| > А0 > 0.

te(-oo,+oo) ~

А2. Вектор-функция f(t) равномерно ограничена при t € (-00, +00) вместе с + 1 производными || Ц«,, 0 < i < 2кх + 1.

Доказывается, что при этих предположениях система (17) имеет единственное ограниченное вместе с производными при t е (-оо, +оо) решение x(t).

Далее рассматривается соответствующая дискретная задача. Пусть т > 0 таково, что |fA,(f)| < 1 - С, 1 < i < m, t G R. Пусть последовательность векторов хп удовлетворяет условиям

xn+1 - (/ + Т-А{тп))хп + j/(rn). (18)

Доказывается, что задача (18) имеет единственное ограниченное

вместе с разностными производными при п G (—00, +00) решение {*"}■

Теорема 1. Для ограниченых на всей оси решений систем (17) и (18) справедливы оценки || х(тп) — х" ||оо< Сет.

Далее ставится задача численного отыскания ограниченного на всей оси решения x(t) системы (17). В силу условий А1 искомое решение будет неустойчивым как в прямом (i), так и в обратном (—i) времени. Поэтому задача его численного нахождения будет некорректной по Адамару. В силу условия А2 первые к компонент разложения вектора ошибки по собственным векторам е,(<) матрицы А будут при достаточно малых е > 0 возрастать в прямом времени и убывать в обратном, а для последних тп — к компонент справедливо обратное. Поэтому первые к компонент вектора ошибки подавляются в обратном времени, при фиксации последних m — к компонент, а последние m — к компонент вектора ошибки подавляются в прямом времени, при фиксации первых к компонент.

В приложениях полная система векторов матрицы А часто неизвестна, но известны другие базисы, в определенном смысле близкие к собственным (собственные векторы "главной части" оператора задачи). Поэтому в дальнейшем в FC1 рассматривается ортонормированный базис {е^ е2, • • • , ет}. вообще говоря, отличный от собственного базиса А.

Далее рассматривается следующий численный алгоритм. Пусть Е\ = span{eu ■ ■ ■ , е*}, Е2 = span{ek+u ■ ■ ■ ,ёт} - линейные оболочки соответствующих групп векторов. Пусть Рг, Р2 ортопроекторы на Ei,E2 соответственно. Фиксируется натуральное 1Х. Пусть х € Я™ - некоторый вектор. Пусть xN — х, zNfi = х. Для I = О,I,- - рассматриваются последовательности векторов (верхний индекс обозначает индекс вектора, а не степень)

у"-" = xN-\yn'1 = P1((I-^A(r(n+l)))yn+l',--f(r(n+l))) + P2xN-1,

£ £

n = N-l-l,--- ,N-l-lu (19)

zN-l-lul = yW-l-W z«+u = PlyS-l-lul + p2((; + lA(Tn))z»J + -/(rn)),

€ £ n = N - l — Ii, - ■ ■ ,N — l - 2, (20)

xN~l~l = (21)

Теорема 2. Пусть КОНСТ&НТЫ С, С\, таковы, что для

любого X Е Rm, nkiZ

II Pix II. + II P»x ||.< С II x ||„ II Рх{1-^А(тп))РгХ ||.< (1 -C, J) II Pxx

II Р^тпЩх ||.< C2 Ii P2x II.,

II P2(I+^A(rn))P2x ||.< (1 -cj-) II P2x II., II P2A(rn)PlX ||.< Ci II Ргх |

Тогда если выполнено условие CiC3 — С2С4 > 0, то найдутся такие константы т0 G (0,1], е0 > 0,Cb,C6,C7,Cs > 0,ъ > 0, что при т 6 (О,т0),£ 6 (0,е0] ■■т-<Ъ,к = [С5] I = 0,1, • • • справедливы оценки

|| xN~l-xN-1 ||.< С7(1-С^У || xN-xN ||. +С8(т+е), / = 0,1, • • ■ (22)

Далее в §1 доказано, что оценки, аналогичные (22), справедливы и для разностных производных точного и приближенного решений.

Оценки (22) для решений разностных задач и их производных не являются равномерными относительно е. Поэтому далее в §1 рассматривается модификация алгоритма (19)-(21), для которой выражение С6(е: + т) в (22) и соответствующих оценках близости

разностных производных заменяется на С8(е'5+1 + т), где натуральное число s зависит только от гладкости A(t) и f(t). Полученные оценки также не являются равномерными по е. Однако в силу малости е при фиксированных s будет выполняться условие е3 = 0(т), т.е. практически сходимость можно считать равномерной по е.

В §2 результаты, аналогичные §1, получены для нелинейной задачи

ex = F(x,t). (23)

В §3 рассматриваются задача (17) в предположении тп» 1. Такие задачи возникают при частичной дискретизации параболических уравнений. При этом формулировки основных результатов почти не отличаются от §1. Однако наличие еще одного большого параметра тп создает существенные трудности в оценках решений и производных дифференциальных и разностных задач, в связи с чем в §1 получен ряд вспомогательных результатов по оценке их функций Грина. В §4 результаты §3 распространяются на нелинейные задачи высоких порядков.

Третья глава посвящена исследованию и методам численного отыскания ограниченных на всей оси решений линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений, к которым сводятся задачи горения.

В §5 рассматривается линейная параболическая задача

= 0. (24)

Предположим, что

Е1. Функции /(f,£),a(£,£) и все их частные производные dt^ap' >0 < ^ < 2fci 4- 1, 0 < s < г равномерно ограничены

при t е R, £ £ [-1,1]-

Е2. При каждом фиксированном t € R для собственных значений оператора + a(t, £) с краевыми условиями (24) справедливы неравенства At > Аг > - ■ • > А* > 0 > А*+1 > •••, |А,(<)| > А0 > 0 и выполняются условия

Аа - 0'{s% |А,-А,| > C\i-j\\ хфз, inf \\(t)\ > А0 > 0. (25)

f€(-oo,+oo)

Доказывается, что задача (24) имеет единственное ограниченное при t € (—оо, +оо), £ € [—1,1] вместе с производными решение u(f, £).

Далее рассмотривается задача приближенного отыскания ограниченного решения u(t,£). В системе координат t отрезок [—1,1] на оси 0£ разбивается равномерной сеткой —1 = £_m < <

0V> О XL

at эр

с=-1

• • • < 1 = £от с шагом к = 1/т, т = 2". Рассматривается пространство сеточных функций М — {и — —га < 3 < т},и_т — ут = 0}.

В этом пространстве вводится норма {{ у ||т,о= тп_1/,2у \у3\2.

Кроме того в М вводятся нормы || V ||с(лл= шах |и,| и

|| V ||т,1=|| V« ||т,о, где = {у}+1 - у,)/к. Через ии,иТ.,

обозначаются разностные аналоги частных производные порядка р и я по переменным £ и < функции «(£,£), определенной на сетке {£ = зЬ} и (или) {I = г'т}.

Ставится задача численного отыскания равномерно ограниченного при t £ Я решения задачи (24). Ось времени разбивается равномерной сеткой 0 = т0 < тх < • ■ • т( • • ■ с шагом т = 0*(еЛ2). Неизвестная функция и(1, £) заменяется неизвестной сеточной функцией где верхний индекс I обозначает номер временного

слоя, а нижний индекс j — дискретную пространственную координату. Дифференциальная задача (24) заменяется полностью дискретной разностной задачей

и'*1 - и1 и1 , - 2 и1 +и', £ т = /К6)+—-^--тп+1 <з<тп-1,

«-« = «» = 0, / = 0,1,■■• . (26)

Через и' € М обозначаются сеточные функции вида и' = {«', —т < 3 < т}, являющиеся следами функции и при фиксированном значении I.

Доказывается, что задача (26) имеет единственное ограниченное при I £ (—оо,+оо),з 6 [—гп, т] вместе с разностными производными решение и = {и13}.

Пусть для непреоывной функции ?;(£) Ту — {ь^И), —тп < 3 < т} 6

М.

Теорема 3. Для ограниченных на всей оси решений задач (24) и (26) справедливы оценки

|| Ти(т1, () - и1 ||т,0< С{ет + Л2). (27)

Далее рассматривается соответствующий численный метод.

Пусть е, = {е^-гп < 3 < т},е, = вш в = 1,2,-- - ,2т-

1 ортогональный базис Фурье из собственных функций оператора = в М. Пусть £г = арапф,--- =

$рап{е*+1, • •' , - линейные оболочки соответствующих групп

функций. Пусть Р2 ортопроекторы на Е\, Е2, соответственно.

Фиксируется натуральное Ь. Пусть и = {и_т+1, ■ • • ,йт_!}, -некоторая функция из М. Положим йы = 2, г"'0 = и. Пусть

и = + Для I = 0,1, • • • рассматриваются

последовательности сеточных функций (верхний индекс обозначает индекс функции, а не степень)

у"-'.' = = р,((/ - - ~т/(т(п +1),0) + Я«"-',

п = АГ-/-1,ЛГ-/-2---,(28) глг-/-/„1 = ^-'-'ь^ ,1 = + р2((/ + 1/Л)г"<' + I Т/(гп,0),

П = ЛГ - г - гь # - I - 1Х + 1, • • • , N - I - 2, (29)

г"-'-' = (30)

(здесь норма || • ||, - это одна из норм || ■ ||т,0, || • ||„и).

Теорема 4. Пусть константы С,СиС2,С3,СА таковы, что для любого и 6 М, п € Z

II Рхи II. + II Р2и ||,< С II и II., II Р1(/-^Л(гп))Р1и ||.< (1-е,-) II Р,и ||.

|| Р1А(тп)Р2и ||.< С2 || Р2и ||., || Р2(1+-А(тп))Р2и ||,< (1-С3-) || Р2и ||.

£ £

|| Р2А(тп)Р1и ||.< С, || Р,и ||. .

Тогда если выполнено условие С.Сз — С2СЛ > 0, то найдутся такие константы г0 € (0,1], £0 > 0, С5, С6, С7, С8 > 0,70 > 0, что при т € (О, т0), £ Е (0, £о] : ^ < 7о, Ь = [Сз] / = 0,1, • • • справедливы оценки

||.< С7( 1 - С61)' || й" - и" ||. +С8(г + Л2 + е) * = 0,1, • • •

(31)

Далее, как и во второй главе, рассматривается модификация алгоритма (28)-(30), позволяющая получить оценки погрешности вида (31), в которых выражение С8(г+Л2+е) заменяется на С8(т+Л2+е<+1). В §6 результаты §5 распространяются на нелинейные задачи вида

ди

' дг де

<=1

В заключении перечислены основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты.

1. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка в условно устойчивом случае, возникающих при частичной

дискретизации параболических задач, а также для параболических задач получены условия существования и единственности ограниченных на всей оси решений и равномерные по малому параметру и порядку системы оценки этих решений и их производных.

2. Рассмотрены разностные дискретизации задач из п. 1, для которых доказаны полные аналоги всех названных в 1 результатов, а также оценки близости решений дифференциальных и разностных задач.

3. Предложены устойчивые численные алгоритмы приближенного отыскания решений разностных задач, и доказаны оценки погрешности приближений, получаемых в этих алгоритмах. >

4. Предложен математически строго обоснованный численный алгоритм моделирования реакции горения с заданным законом выгорания реагирующего вещества. .

5. Алгоритмы из п. 3-4 распространены на задачи отыскания критических значений параметра и критических режимов теплового взрыва в рамках классической модели.

6. Написан комплекс программ, реализующий данные алгоритмы, и проведены численные эксперименты по отысканию критических режимов и критических значений параметра, результаты которых хорошо согласуются с известными классическими данными в тех случаях, когда эти данные могут быть получены аналитическими методами.

Список публикаций по теме диссертации.

1. Китаева Е.В. Численное моделирование критических режимов реакций горения /Е.В.Китаева // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2001.- Т.8, Вып.1.- с. 211.

2. Китаева Е.В. Регуляризация параболических задач в "обратном времени"и численное моделирование критических режимов >-реакций горения /Е.В.Китаева //Труды четвертой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" 10-12 декабря 2001 г., г. Ульяновск.- Ульяновск: изд-во УлГУ. 2001.- с. 67.

3. Китаева Е.В. Ограниченные на всей оси решения дискретных сингулярно возмущенных уравнений и систем /Е.В.Китаева // Вестник Самарского государственного университета.- 2003,- № 2(28) -с. 36-56.

4. Китаева Е.В. Ограниченные на всей оси решения дискретных сингулярно возмущенных параболических уравнений и численное моделирование критических - режимов горения /Е.В.Китаева, В.А.Соболев.- Труды Международной конференции по

вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II.- Новосибирск.-Изд-во ИВМ и МГ СО РАН.- 2004, с. 511-517.

5. Китаева Е.В. Эволюционные задачи и численные моделирование критических режимов реакций горения /Е.В.Китаева //Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление" Тезисы докладов. 22-25 июня 2004 г.- Самара, 2004.-с. 30-31.

6. Kitaeva E.V. Numerical modelling of the critical conditions of thermal explosion in the case of a first order reaction. /E.V.Kitaeva // Progress in Combustions and Detonation"/ Moscow: TORUS PRESS Ltd., 2004.- p. 7-8.

7. Китаева Е.В. Численное отыскание ограниченных на всей оси решений дискретных сингулярно возмущенных уравнений и критических режимов горения /Е.В.Китаева, В.А.Соболев // Журн. вычисл.матем. и матем. физики.- 2005.- Т. 45, №1.- с. 56-87.

Подписано в печать 27 04 05 Формат 60х84'/1Л Бумага писчая № 1 Гарнитура Тайме Печать оперативная Уел печ л 1,10 Физ печ л 1,19 Уч -изд л 0,61 Тираж 100 экз

Типография государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики» 443010, г Самара, ул Л Толстого, 23 Тел./факс 8-902-378-62-16

»-83 15

РНБ Русский фонд

2006-4 14112

Введение.

Глава I. Математическая модель теплового взрыва, основные алгоритмы и результаты численных экспериментов. ^

§1 Классическая модель теплового взрыва.

1.1 Численный метод для задачи (1.9)-(1.12).

§2 Модель реакции горения с заданным законом выгорания

Глава II. Ограниченные на всей оси решения полудискретных моделей горения и численные методы их отыскания.

§3 Линейиые уравнения невысокого фиксированного порядка.

3.1 Теорема существования решения и оценки производных.

3.2 Доказательства и вспомогательные результаты.

3.3 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

§4 Нелинейные уравнения невысокого фиксированного по рядка. j 4.1 Теорема существования решения и оценки произj/ водных.

4.2 Численные алгоритмы и оценки погрешностей

§5 Линейные уравнения высокого порядка.

5.1 Теорема существования и оценки производных.

5.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

§6 Нелинейные уравнения высокого порядка.

6.1 Теорема существования решения и оценки производных.

6.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

Глава III.Ограниченные на всей оси решения параболических модельных задач горения и численные методы их отыскания.

§7 Линейная параболическая задача.

7.1 Теорема существования решения и оценки произи водных.,.

7.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

J §8 Нелинейная параболическая задача. v, 8.1 Теорема существования решения и оценки производных.

8.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

Настоящая работа посвящена численным методам решения некоторых классов некорректных сингулярно возмущенных задач для систем обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных и их приложениям к численному моделированию критических режимов теплового взрыва. Прикладное значение математической теории теплового взрыва фезвычайно велико для повышения эффективности энергетической системы, проектирования реакторов, двигателей внутреннего сгорания, моделей лазеров, механики полимеров и многих других задач и областей науки. Основы этой теории были заложены в трудах Н.Н.Семенова, Д.А. Франк-Каменецкого, Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, О. М. Тодеса, П. В. Мелентьева, А. Г. Мержанова и др. [52],[61],[33] ,[59]. Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва важнейшие характеристики, определяющие тип реакции, отражает некоторый параметр, значение которого определяется начальным состоянием химической системы. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что приводит к взрыву. При этом переход от медленного режима к взрывному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения этого параметра. Для некоторого значения данного параметра, которое называется критическим, реакция идет в течение длительного времени, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим будем называть критическим.

Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для различных форм реакторов и являются главными в рамках исследования моделей. Отметим, что в работах упомянутых выше авторов исследовалась, в основном, стационарная модель теплового взрыва, в рамках которой можно получить лишь приближенные решения, не учитывающие выгорание реагирующего вещества, и невозможно провести исследование перестройки решений в окрестности предела самовоспламенения.

Математическое исследование нестационарной модели проводилось с помощью асимптотических методов. Асимптотическим методам в этой области посвящены труды В.Ф. Бутузова, Г.Н. Горелова, Е.Ф.

Мищенко, Ю.Н. Митропольского, Н.Х. Розова, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, Е.А. Щепакиной [17],[19]-[20], [26], [47], [73], [53]-[56], [27], [80], [81], [46], [86]-[88]. В частности, В.А. Соболевым было замечено, что критические режимы теплового взрыва описываются медленными устойчиво-неустойчивыми и неустойчивыми интегральными многообразиями. Однако получить асимптотические разложения в явном виде удается далеко не всегда (исследуется, в основном сосредоточенная модель, не учитывающая неравномерности протекания реакции по объему реакционного сосуда), в связи с чем актуальной является задача численного отыскания интегральных многообразий. Но эта задача также весьма трудна, так как искомое интегральное многообразие неустойчиво как в прямом (£), так и в обратном (—t) времени. Это некорректная сингулярно возмущенная задача, и классические численные методы оказываются непригодными для ее решения.

Математическая теория некорректных задач является важной частью современной математики. Ее становление связано с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Г.И.Марчука, С.Г.Крейна, J. Lions'a [57], [58], [40], [44], [38], [39], [41], их многочисленных учеников и последователей [63], [48]-[50], [23]-[25], [2], [8]. Существенно менее развиты математические методы для некорректных сингулярно возмущенных задач. При этом наличие малого параметра часто создает принципиальные дополнительные трудности, так как, например, при переходе к быстрому времени, в котором задача не будет сингулярной, решение надо искать на асимптотически большом промежутке времени. Но тогда известные методы решения (J.Lions), для которых ограниченность временного промежутка принципиальна, становятся неприменимыми.

В последние десятилетия интенсивно развивалась теория численных методов для сингулярно возмущенных задач. Разностным методам для сингулярно возмущенных задач посвящены работы Н.С. Ба-хвалова, A.M. Ильина, В.Б. Андреева, И.П. Боглаева, А.И. Задорина, К.В. Емельянова, В.Н. Игнатьева, В.Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, Н.Н. Яненко, Е. Gartland'a, P. Hemker'a, D. Herceg'a, J.J.H. Miller'a, O'Riordan'a, К. Surla, M. Stynes'a, R. Vulanovic'a [1], [15], [16], [28], [84], [29], [30], [42], [43], [64]-[69], [97], [96], [98]. Методы конечных элементов изучались в работах Б.М. Багаева [3]-[6], Б.М. Багаева и В.В. Шайдурова [7], И.А.Блатова [10], [11], И.А.Блатова и В.В.Стрыгина [12], И.П. Боглаева [13] -[14], P. Hemker, P.P.N. de Groen [83],[82], Gartland E. [77], [79], J.J.H.Miller'a, O'Riordan'a, M. Stynes'a, [45], [91]-[95], W.Scymchak'a, I.Babushka'a [90], A.H.Schatz'a, L.B.Wahlbin'a [89]) и схемы на адаптирующихся к погранслою сетках ( U. Asher'a,R.

Weiss'a, К. Ringhover'a [70]-[72], [85], E. Gartland'a [78], J.E.Flaherty [76]). Однако подавляющее большинство этих работ относится к корректным задачам в ограниченных областях. Отметим работы А.И. Задорина [31], [32] о сингулярных задачах на полубесконечном интервале которые, однако, также относятся к корректно поставленным задачам.

Отметим, что важным промежуточным звеном решения данной задачи является задача приближенного отыскания ограниченных на всей оси решений, рассматриваемых как частный случай медленных интегральных многообразий, сингулярно возмущенных уравнений и систем в условно устойчивом случае, содержащая в себе основные теоретические и вычислительные трудности исследования основной проблемы. В диссертации детально исследуется именно эта задача. Для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений доказываются теоремы существования и априорные оценки ограниченных решений и производных, их дискретные аналоги для разностных схем, оценки погрешности, сформулированы вычислительные алгоритмы, и доказаны теоремы сходимости. Отметим, что для рассматриваемых дифференциальных задач теоремы существования ограниченных решений вытекают из результатов работ [46], [62], однако в диссертации эти результаты получены вместе с равномерными по порядку системы оценками производных, необходимыми для обоснования численных методов. Аналоги этих теорем для дискретных систем и оценки близости являются абсолютно новыми. В [22] (см. также библиографию в [22]) рассматривались многообразия дискретных систем, ио там не изучался условно устойчивый случай и системы высокого порядка, естественным образом возникающие при частичной дискретизации параболических задач.

В связи с этим целями настоящей работы являются

1) Разработка устойчивых численных методов и алгоритмов отыскания медленных интегральных многообразий сингулярно возмущенных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических задач.

2) Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения критических режимов теплового взрыва и определения критических значений управляющего параметра, соответствующих этим режимам.

3) Построение строгой математической теории этих методов в частном случае задачи отыскания ограниченных на всей оси решений сингулярно возмущенных параболических уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условно устойчивом случае.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, приводится краткое содержание работы.

Заключение

Таким образом в диссертации получены следующие основные результаты.

I. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений фиксированного невысокого порядка в условно устойчивом случае доказаны равномерные по малому параметру оценки производных ограниченных на всей оси решений.

II. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка в условно устойчивом случае, возникающих при частичной дискретизации параболических задач, доказаны теоремы существования и единственности ограниченных на всей оси решений и равномерные по малому параметру и порядку системы оценки этих решений и их производных.

III. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений доказаны теоремы существования и единстве-ности ограниченных на всей оси решений вместе с равномерными по малому параметру оценками этих решений и их производных.

IY. Рассмотрены разностные дискретизации задач из п.п. I-III, для которых доказаны полные аналоги всех названных в I—III результатов.

Y. Доказаны оценки близости решений дифференциальных и разностных задач.

YI. Предложены устойчивые численные алгоритмы приближенного отыскания решений разностных задач, и доказаны оценки погрешности приближений, получаемых в этих алгоритмах.

YII. Предложен математически строго обоснованный численный алгоритм моделирования реакции горения с заданным законом выгорания реагирующего вещества.

YIII. Алгоритмы из п.п. III-IY распространены на задачи отыскания критических значений параметра и критических режимов теплового взрыва в рамках классической модели.

IX. Написан комплекс программ, реализующий данные алгоритмы, и проведены численные эксперименты по отысканию критических режимов и критических значений параметра, результаты которых хорошо согласуются с известными классическими данными в тех случаях, когда эти данные могут быть получены аналитическими методами.

1. Андреев, В.Б. О сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского для сингулярно возмущенного уравнения Текст. /В.Б.Андреев // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. - Т.38, N8.-с. 1266-1278.

2. Арсенин, В.Я. О решении некоторых интегральных уравнений Фред-гол ьма первого рода методом регуляризации Текст. /В .Я.Арсенин, В.В.Иванов //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1968.- Т.8, N 2.-с. 310-321.

3. Багаев, Б.М. Использование асимптотических разложений для задач с малым параметром Текст. /Б.М.Багаев У/ Асимптотич. и комбинатор, анализ. Красноярск.- 1979,- с. 5-15.

4. Багаев, Б.М. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром при старшей производной Текст. /Б.М.Багаев // Матем. модели и вычисл. методы мех. сплошн. среды,- Красноярск, 1979.152-157.

5. Багаев, Б.М. Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром Текст. /Б.М.Багаев // Числ. Методы мех. сплош. среды.- 1979.- Т. 10, N 1.- с. 5-16.

6. Багаев, Б.М. Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных Текст.: дис. . канд. физ.-мат. наук /Б.М.Багаев.-Новосибирск ВЦ СО АН СССР, 1982,- 142 с.

7. Багаев, Б.М. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром Текст. /Б.М.Багаев, В.В.Шайдуров //Дифференц. и ин-тегро-дифференц. уравнения.- Новосибирск, 1977.- Вып.1.- с. 89-99.

8. Бакушинский, А.Б. Замечания об одном классе регуляризирующих алгоритмов Текст. /А.Б.Бакушинский //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1988.- Т.28, N 5.- с. 683-694.

9. Блатов, И.А. Об оценках Z,{/-разложений разреженных матриц и их приложениях к методам неполной факторизации Текст. /И.А.Блатов

10. Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997.- Т.37, N 3. с. 259276.

11. Блатов, И.А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. I Текст. /И.А.Блатов // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 5. с. 661669.

12. Блатов, И.А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. II Текст. /И.А.Блатов // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 7. с. 912922.

13. Блатов, И.А. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем Текст. /И.А.Блатов, В.В.Стрыгин.- Воронеж.-Изд-во ВГУ.-1997, 406 с.

14. Боглаев, И.П. Вариационно-разностная схема для краевой задачи с малым параметром при старшей производной Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1981.- Т.21, N 4.- С. 887896.

15. Н.Боглаев, И.П. Численные методы решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1981.- Т.21, N 4.- с. 887-896.

16. Боглаев, И.П. Численный метод решения квазилинейного эллиптит-ческого уравнения с малым параметром при старших производных Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988.-T.28.-N4.- с. 492-502.

17. Боглаев, И.П. Численное решение квазилинейного параболического уравнения с погранслоем Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1990.- Т.30, N 5.- с. 716-726.

18. Бутузов,В.Ф. Асимптотика решения задачи горения в случае автокаталитической реакции Текст. /В.Ф.Бутузов,Л.В.Калачев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1988.- Т.28, N 5.- с. 683-694.

19. Быков, В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике Текст. /В.И.Быков.- М.: Наука, 1988.- 264 с.

20. Васильева,А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений /А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов.- М.: Высшая школа, 1990.-208с.

21. Васильева, А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях Текст. /А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов.- М.: Наука, 1978.- 106с.

22. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст. /В.С.Владимиров.-М.: Наука, 1981.- 512с.

23. Воропаева, Н.В. Декомпозиция многотемповых систем/ Н.В.Воропаева, В.А.Соболев. Самара.: Изд-во НВФ "CMC", 2000.-292с.

24. Гончарский, А.В. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором Текст. /А.В.Гончарский, А.С.Леонов, А.Г.Ягола //Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физики.- 1972.- Т. 12, N 6.- с. 1592-1594.

25. Гончарский, А.В. Обобщенный принцип невязки Текст. /А.В.Гончарский, А.С.Леонов, А.ГЛгола //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1973.- Т. 13, N 2.- с.294-302.

26. Гончарский, А.В. Конечно-разностная аппроксимация линейных некорректных задач Текст. /А.В.Гончарский, А.С.Леонов ,А.Г.Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1974.- Т. 14, N 1.- с. 15-24.

27. Гольдштейн, В.М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем Текст. /В.М.Гольдштейн, В.А.Соболев.- Новосибирск: Ин-т математики АН СССР.- Сиб. отделение, 1988.- 154 с.

28. Горелов, Г.Н. Сингулярно возмущенные модели горения Текст. /Г.Н.Горелов, В.А.Соболев, Е.А.Щепакина. Самара.: 1999.- 184 с.

29. Дулан, Э. Равномерные численные методы для задач с пограничным слоем Текст. /Э.Дулан, Дж. Миллер, У.Шилдерс.- М.: Мир, 1983.173 с.

30. Задорин, А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром Текст. /А.И.Задорин //Численные методы мех. сплош. среды. 1984. - Т. 15, N 1.- с. 33-44.

31. Задорин, А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром Текст. /А.И.Задорин //Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физики. 1998. - Т. 38, N 8. - С. 1255-1265.

32. Задорин, А.И. Численный метод для системы линейных уранвнеий второго порядка с малым параметром на полубесконечном интервале Текст. /А.И.Задорин., О.В.Харина //Сиб. журн. вычисл. матем. -2004.-Т. 7,N2. -с. 103-114.

33. Задорин, А.И. Численный метод для нелинейного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции Текст. /А.И.Задорин., О.В.Харина //Вычислительные технологии.- Т.9, часть 2(спец. выпуск).- 2004.- с. 215-221.

34. Зельдович, Я.Б. Математическая теория горения и взрыва Текст. /Я.Б.Зельдович, Г.И.Баренблатт, В.Б.Либрович, Г.М.Махвиладзе.- М.: Наука, 1980.-480с.

35. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций/Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, B.JI. Мирошниченко.- М.: Наука, 1980. 352с.

36. Калиткин, Н.Н. Численные методы Текст. /Н.Н.Калиткин,- М.: Наука, 1977.-512с.

37. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. /А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин.- М.: Наука, 1981.-544с.

38. Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений /М.А.Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, В.Я.Стеценко, Я.Б.Рутицкий- М.: Наука, 1969.

39. Крейн, С.Г. О классах корректности для некоторых задач Текст. /С.Г.Крейн //Докл АН СССР. 1957. Т.113, №3.- с. 791-794.

40. Крейн, С.Г. О приближенных методах решения некорректных задач Текст. /С.Г.Крейн, О.И.Прозоровская //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1963.- Т.З. №1.- с. 83-95.

41. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики анализа Текст. /М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский.- М.: Наука, 1980.-320с.

42. Лионе, Ж. Метод квазиобращения и его применения Текст. /Ж.Лионе, Р.Латтес.- М.: Мир, 1970.- 593с.

43. Лисейкин, В.Д. Адаптивно-инвариантный метод численного решениязадач с пограничными и внутренними слоями Текст. /В.Д. Лисейкин, В.Е. Петренко.- Новосибирск.- ВЦ СО АН СССР.- 258с.

44. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики Текст. /Г.И.Марчук.- М.: Наука, 1989.- 608с.

45. Миллер, Дж. Метод конечных элементов для двухточечных краевых задач с сингулярными возмущениями Текст. /Дж.Миллер, Е.Риордан // Числ. методы механ. сплошной среды.- Новосибирск: ИТПМ АН СССР.- 1983.-Т. 14, N2.- с. 142-154.

46. Митропольский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике Текст. /Ю.А.Митропольский, О.Б.Лыкова.- М.: Наука, 1973.-512с.

47. Мищенко, Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания Текст. /Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розов.- М.: Наука, 1975.- 247с.

48. Морозов, В.А. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором Текст. /В.А.Морозов, В.И.Гордонова //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1973.- Т.13, N 3.- с. 539-545.

49. Морозов, В.А. Регулярные методы решения операторных уравнений Текст. /В.А.Морозов //Изв.вузов.Математика.- 1978.- Т.П.- с. 539545.

50. Морозов, В.А. О принципе невязки при решении несовместных уравнений методом регуляризации Тихонова Текст. /В.А.Морозов //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1973.- Т.13, №5.- с. 10991111.

51. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений Текст. /А.А.Самарский, Е.Н.Николаев.- М.: Наука, 1978.- 590с.

52. Семенов, Н.Н. О некоторых проблемах химической кинетики реакционной способности Текст. /Н.Н.Семенов М.: Изд-во АН СССР, 1959.-418 с.

53. Соболев, В.А. Самовоспламенение запыленных сред Текст. /В.А.Соболев, Е.А.Щепакина // Физика горения и взрыва.- 1993.- №3.-с. 133-136.

54. Соболев, В.А. Траектории утки в одной задаче горения Текст. /В.А.Соболев, Е.А.Щепакина // Дифференциальные уравнения.-1996.- Т.32, №9.- с. 1175-1184.

55. Соболев, В.А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории утки Текст. /В.А.Соболев, Е.А.Щепакина // Известия РАЕН. МММИУ.- 1997.- Т.1,№3.- с. 151-175.

56. Стрыгин, В.В. Разделение движений методом интегральных многообразий Текст. /В.В.Стрыгин, В.А.Соболев.- М.: Наука, 1988. 256с.

57. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. /А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин.- М.: Наука, 1974.- 224с.

58. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач Текст. /А.Н.Тихонов, А.В.Гончарский, В.В.Степанов, А.ГЛгола.- М.: Наука, 1990.-230с.

59. Тодес, О.М. Теория теплового взрыва Текст. /О.М.Тодес, П.В.Мелентьев //Журнал физической химии. 1939.- т. 13, вып. 7. С. 52-58.

60. Уилкинсон, Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений Текст. /Дж.Х. Уилкинсон.- М.: Наука, 1970.- 564с.

61. Франк-Каменецкий, Д.А. Диффузия и теплоотдача в химической ки-нетике/Д.А.Франк-Каменецкий.- М.: Наука, 1967.- 492с.

62. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений/Д.Хенри,-М.: Мир, 1985. 376с.

63. Шишатский, С.П. Об одном методе приближенного решения некорректной задачи Коши для эволюционного уравнения Текст. /С.П.Шишатский.- Математические проблемы геофизики.- Вып.З.-Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972.- с. 216-228.

64. Шишкин, Г.И. Разностная схема для решения эллиптического уравнения с малым параметром в области с криволинейной границей Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.1978.-Т. 18, N 6.-е. 1466-1475.

65. Шишкин, Г.И. Разностная схема на неравномерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.-1983.- Т. 23, N3.- с. 609-619.

66. Шишкин, Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим погранслоем Текст. /Г.И.Шишкин //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. - Т. 29, N 7. - с. - 963978.

67. Шишкин, Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых с угловым пограничным слоем Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1987.- Т. 27, N 9.- с. 13601374.

68. Шишкин, Г.И. Сеточная аппроксимация метода аддитивного выделения особенностей для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1994.- Т. 34, N 5. с. 720-738.

69. Шишкин, Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений Текст. /Г.И.Шишкин.-Екатеринбург, 1992.

70. Asher, U. A collocation solver for mixed order system of boundary value problems Text. /U.Asher, J.Christiansen ,R.Russel //Math. Comput.1979.- V.33.- No. 146.- p. 659-679.

71. Asher, U. Collocation for singular perturbation problems I: first order system with constant coefficient Text. /U.Asher, R.Weiss // SIAM, J. Numer. Anal.- June 1983.- V.20.- No.3.- p. 537-557.

72. Asher, U. Collocation for singular perturbation problems II: linear first order system without turning point Text. /U.Asher, R.Weiss // Math.Comput.- 1984.- V.43.-No.167.-p. 157-187.

73. Babushok, V.I. Critical Condition for the Thermal Explosion with Reactant Consumption Text. /V,I,Babushok, V,M,Goldstein, V.A.Sobolev // Combust. Sci. and Tech.- 1990.- Vol. 70.- p. 81-89.

74. Flaherty, J.E. Collocation methods for singularly perturbed boundary value problems Text. /J.E.Flaherty, W.Mathon.- Boundary and Inter. Lauers Comput. and Asympt. Meth. Proc. BAIL. I. Conf. Dublin.- 1980.- p. 7792.

75. Flaherty, J.E. Numerical methods for stiff systems of two-point boundary value problems Text. /J.E.Flaherty, R.E.O'Malley //SIAM J. Sci. Stat. Comput.- 5(1984).- p. 865-886.

76. Flaherty, J.E. High-order finite element methods for singular perturbed elliptic and parabolic problems Text. /J.E.Flaherty, M.Aiffa , S.Adjerid.-Rensselaer Polytechnic Institute- Troy.- New York.- 12180-3590.

77. Gartland, Jr. Uniform high-order difference schemes for a singularly perturbed two-point boundary value problem Text. /Jr.Gartland //Math. Comput.- 1987.-V.48.-p. 551-564.

78. Gartland, Jr. Graded mesh difference schemes for a model singularly perturbed boundary value problem Text. /Jr.Gartland //Math. Comput.-1988.- V.51.-p. 631-657.

79. Gartland, Jr. An analusis of a uniformly convergent finite-difference finite element scheme for a model singular perturbation boundary value problem Text. /Jr.Gartland //Math. Comput.- 1988.- V.51.- p. 111-123.

80. Gorelov, G.N. Duck-trajectories in a thermal explosion problem Text. /G.N.Gorelov, V.A.Sobolev // Appl. Math. Lett.- 1992- Vol.5, N6.- p. 3-6.

81. Gorelov, G.N. Mathematical modelling of critical phenomena in thermal explosion theory Text. /G.N.Gorelov, V.A.Sobolev //Combust. Flame.-1991.-Vol. 87.- p. 203-210.

82. Groen, P.P.N.de. A finite element with a large mesh-width for a stiff two-point boundary value problem Text. /P.P.N.de Groen// J. Comput. and Appl. Math. -1981.-V. 7.-N l.-p. 3-15.

83. Groen, P.P.N, de. Error bound for exponentially fitted problems Text. /P.P.N.de Groen, P.W Hemker// Numer. Analys. Singular perturbation Problems. New York. - Acad. Press. - 1979. p. 217-249.

84. Herceg, D. Numerical solution of some diskrete analogues of boundary value problem Text. /D.Herzeg //Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod. -Mat. Fak. Ser. Mat. 24.2 (1994).- p. 187-196.

85. Ringhover, C. On collocation schemes for quasilinear singularly perturbed boundary value problems Text. /C.Ringhover // SIAM J. Numer. Anal.-1984.- V.21.- No.5.- p. 864-882.

86. Shepakina, E.A. Black Swans and Canards in Applied Problems Text. /Е.A.Shepakina.- Preprint.- Ben Gurion University of the Negev.- Israel, 1998.

87. Shepakina, E.A. Standart Chase on Black Swans and Canards Text. /E.A.Shepakina,V.A.Sobolev.- Weierstrass-Institut fuer Angewandte Analusis and stochastik. Preprint No 426.- Berlin, 1998.

88. Schatz, A.H. On the finite element method for singularly two and one dimensions Text. /А.Н.Schatz,L.B.Wahlbin //Math. Comput.- 1983.- 40, No. 161.-p. 47-89.

89. Scymchak, W. Adaptivity and error estimates for the finite element method applied to convection-diffusion problems Text. /W.Scymchak, I.Babushka //SIAM. J. Numer Anal.- 1984.- V.21, N 5.- p. 910-954.

90. Stynes, M. A finite element method for a singularly perturbed boundary value problem Text. /M.Stynes, E.Riordan //Numer.Math.- 1986.- V.50.-p. 1-15.

91. Stynes, M. A uniformly accurace finite elements method for a singularly perturbed boundary value problem Text. /M.Stynes, E.Riordan //Math.Comput.- 1986.- V.47.-p. 555-570.

92. Stynes, M. i} and uniform convergence of a difference scheme for a semilinear singular perturbation problem Text. /M.Stynes, E.Riordan //Numer. Math.- 1987.- V.80.- No.5.- p. 519-531.

93. Stynes, M. Uniformly convergent difference schemes for singularly perturbed parabolic diffusion-convection problems without turning points Text. /M.Stynes, E.Riordan //Numer.Math.- 1989.- V.55.- p. 521-544.

94. Stynes, M. An analusis of a superconvergence result for a singularly perturbed boundary value problem Text. /М, Stynes, E.Riordan //Math. Com-put.- 1986.- V.46.- p. 81-92.

95. Sun, G. An almost fourth order uniformly convergent diference scheme for a semilinear singularly perturbed reaction-diffusion problem Text. /G.Sun, M.Stynes // Numer. Math. 1995. V. 70. p. 487-500.

96. Surla, K. On numerical solving singularly perturbed boundary value problems by spline in tension Text. /K.Surla // Univ. u Novom Sadu. Zb. Rad. Prir. Math. Fak. Ser. Math. -24. - 2(1994).- p. 175-186

97. Vulanovic, R. On numerical sution of seilinear singular perturbation prob-.i lems by using the Hermite scheme Text. /R. Vulanowic //Univ. u Novom

98. Sadu. Zb. Rad. Prir. Math. Fak. Ser. Math. -23. 2(1993) p. 363-379.

99. Китаева, E.B. Численное моделирование критических режимов реакций горения Текст. /Е.В.Китаева // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2001.- Т. 8, Вып.1.- С. 211.

100. Китаева, Е.В. Ограниченные на всей оси решения дискретных сингулярно возмущенных уравнений и систем Текст. /Е.В.Китаева //Вестник Самарского государственного университета.- 2003.- № 2(28).- с. 36-56.

101. Китаева, Е.В. Ограниченные на всей оси решения дискретных сингулярно возмущенных параболических уравнений и численное моделирование критических режимов горения Текст. /Е.В.Китаева,

102. В.А.Соболев.- Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II.- Новосибирск.- Изд-во ИВМ и МГ СО РАН.-2004, с. 511-517.

103. Китаева, Е.В. Эволюционные задачи и численные моделирование критических режимов реакций горения Текст. /Е.В .Китаева //Международный семинар "Нелинейное моделирование и управле-ние".Тезисы докладов. 22-25 июня 2004 г.- Самара, 2004.- с. 30-31.

104. Kitaeva, E.V. Numerical modelling of the critical conditions of thermal explosion in the case of a first order reaction Text. /E.V.Kitaeva //Progress in Combustions and Detonation"/ Moscow: TORUS PRESS Ltd., 2004.- p. 7-8.

105. Китаева, Е.В. Численное отыскание ограниченных на всей оси решений дискретных сингулярно возмущенных уравнений и критических режимов горения Текст. /Е.В.Китаева, В.А.Соболев //Журн. вы-числ.матем. и матем. физики.- 2005.- Т. 45, №1.- с. 56-87.