автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное решение задач на собственные значения в цилиндрической системе координат

и

Черновицкий государетвэнный университет им.Юрия Фецьковича

На правах рукописи

СЕМЧУК Аркадий Романович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черновцы-1992

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики факультета кибернетики Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Приказчиков В.Г.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Белов Ю.А.

- кандидат физико-математических наук, доцент Совин Я.А.

Ведущая организация: Институт кибернетики имени В.М.Глуш-кова АН Украины.

Защита диссертации состоится " ^суре*-__1992 г. в

чао. __мин. в вуд. __на заседании специвлизиров;:

ного совета К 068.16.05 в Черновицком государственном универси! те им.Ю.Федьковича по адресу:г.Черновцы, ул.М.Коцюбинского 2, норп.1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке' Черновицкого университета по ул.Леси Украинки, 23.

Автореферат разослан г*

Ученый секретарь специализированного совета, „

доцент С/Г'^*^^^ А.М.Садовяк

Общая характеристике работы

Актуальноетьте?та« В микроэлектронике сверхвысоких частот (СВЧ). используются резонансные явления в диэлектриках с большой диэлектрической проницаемостью. Диэлектрические резонаторы (ДР) представляют собой образец произрольной формы из таких диэлектриков, вызывающий резонансное рассеяние падающей т него электромагнитной волны СВЧ. В последнее время ДР используют в качестве колебательных систем различных функциональных устройств в частотных фильтрах, твердотельных генераторах, переключающих ' устройствах и других приборах, работающих в СВЧ диеп83о-шх.

Наряду с созданием высокоэффективных устройств с улучшенными энергетическими характеристиками, минимальной массы и стоимости, остается актуальной задача миниатюризации волновых и колебательных систем СВЧ. Так, например, увеличивая диэлектрическую проницаемость материала ДР, мояНо уменьшить их габариты в 1001000 раз без увеличения потерь мощности и снижения собственной добротности. Изготовление конкретных образцов ДР вызывает определенные материальные, технические и умственные затраты. Поэтому разработчикам фильтров па ДР большую помощь мояет оказать вычислительный эксперимент, позволяющий с помощью ЭЕ<5 подобрать диэлектрик и размеры ДР с определенными собственными частотами без изготовления их конкретных образцов.

Изучение волновых процессов электродинамических систем в математической постановке приводит к частичной проблеме собственных значений (с.з.) для краевых задач, которая является одной из наиболее актуальных во многих областях нэупп п техники. Например, многочисленные волновые частотные задачи теории упругости, ядерной физики, квантовой механика, радиотехники в математической постановке сводятся к частичной проблеме задач ив с.з. для дифференциальных операторов. Поэтому объектом исследования данной диссертационной работа являются задачи на о.з. двумерных дифференциальных операторов второго порядка эллиптического типа с переменныг/и коэффициентам!, заданных в прямоугольной области. Получение точного решения таких задач в аналитическом виде представляется возможным только в исключительных сЛ}чаях. Этим обстоятельством объясняется интенсивное развитие численных методов

решения залач на с.з., ориентированных на применение современных ЭВМ. Важной особенностью задач на с.з., моделирующих собственные колебания неоднородных осесимметричных ДР в цилиндрическом ме-талличесокм экране, являются дифференциальные операторы с сингулярными кусочно-непрерывными коэффициентами. Естественно, что собственные функции (с.ф.) таких спектральных задач не обладают высокой классической гладкостью во всей рассматриваемой области. Поэтому предполагается, что с.ф. принадлежат соответствующим соболевским пространствам. Это приводит к пополнительным трудностям при построении и обосновании разностных схем.

y§£b_EäS2I!i заключается в создании программного продукта для численного расчета резонансных частот многослойных осесимметричных ДР в цилиндрическом металлическом экране. Естественным было желание создать такую программу, которая при минимальной вычислительной работе и минимальной компьютерной памяти позволяла бы численно решать наиболее широкий класс спектральных задач. Это стало возможным при построении однородной разностной схемы (p.c.) для решения задачи на с.з. с сингулярными и кусочно-непрерывными коэффициентами К такой задэче пришли после построения новой математической модели, позволившей свести систему дифференциальных уравнений к одному уравнению с переменными коэффициентами и условиями непрерывности на линиях разрыва.

y2I2SSEä_S££5Sfl22ä!iiii! заключается в использовании теории p.c., линейных операторов в гильбертовых пространствах, аппарата соболевских пространств, метода энергетических неравенств.

0§22£ШЗЛ2£2ШШа Предложена ногая математическая модель для расчета резонансных частот собственных колебаний многослойных осесимметричных ДР в цилиндрическом металлическом экране, описываемая двумерным дифференциальным оператором второго порядка эллиптического типа с переменными сингулярными и кусочно-непрерывными коэффициентами. Новая модель позволяет построить однородную p.c., которая существенно упрощает алгоритм ее реализации на ЭВМ.

Построены и исследованы p.c. задач на.с.з. для двумерных дифференциальных операторов второго порядка с такими переменными коэффициентами: положительными и ограниченными; сингулярны-

ми; кусочно-непрерывными и сингулярными. Для спектральной задачи с сингулярннг/и коэффициентами доказаны оценки снизу разностных с.з, через их номер, а в случае кусочно непрерывных и сингулярных коэффициентов доказана слабая сходимость решения .разностной задачи к соответствующему решению исходной задачи в метрике весового соболевского пространства W2 С ОТ) . получена оценка погрешности вычисления с.з.

Исследование точности p.c. проводилось в предположении, что с.ф. принадлежат соболевским пространствам W^ и "W^ в прямоугольнике.

Разработан алгоритм и составлена программа, реализующая однородную p.c., для решения восьми задач расчета собственных частот Н- и Е-колебаний неоднородных ДР с шестью вариантами линий разрыва коэффициентов каждая (рис.:).

ПЕактическая_значимостьг, Создан программный продукт численного расчета резонансных частот собственных колебаний радиально слоистых ДР в цилиндрическом металлическом экране, который используется пш разработке малогабаритных фильтров на ДР.

Программное средство позволяет сократить трудоемкость настройки фильтров и выбрать размер металлического экрана, обеспечивающий максимальную добротность при минимальном влиянии на частоту ДР.

Результаты диссертационной роботы внедрены на одном из предприятий г.Киева, где они использовались и будут использо-1 ваться в опытно-конструкторских разработках этого предприятия. В приложении к диссертационной работе приведен акт о внедрении.

Построены и использованы разностные схсмы цлл задач на с.з., которые могут использоваться при численном решении спектральных задач во многих отраслях науки и техники.

Hä _22!ffi2!I_2ä!i2£2I£2:

- .новая математическая модель для расчета резонансных частот собственных колебаний радиально слоистых ДР в цилиндрическом металлическом экране, которая описывается двумерным дифференциальным оператором второго порядка эллиптического типа с переменными сингулярными и кусочно-непрерывными коэффициентами в прямоугольной области;

- разностные схемы спектральных задач для дифференциальных one- '

а) Ö) е,= б2 илие2=Ез'

г о

в) £2 = е& i е.^ или = £г; £5 = S

Г) £д = е2 = £а .

ц) е<= ez= или

е) еА= аг = еь= еч.

Рис. I

г

раторов с непрерывными и сингулярны!.« коэффициентами и методика их исследования в предположении, что с.ф. из соболевских пространств "W^" и "\дв прямоугольнике; • явная оценка разностных с.з. для вырождающегося дифференциального оператора с сингулярными коэффициентами;

■ однородная p.c. задачи на с.з. для дифференциального оператора с переменными кусочно-непрерывными и сингулярными коэффициентами;

■ факт слабой сходимости решения однородной разностной задачи к соответствующему решению исходной задачи в метрике весового пространства W^-i 0=2") •

оценке погрешности вычисления с.з. однородной p.c. с учетом большей обобщеннои гладкости с.ф. в подобластях непрерывности коэффициентов, что дало возможность получить такой же порядок точности, как и в случае непрерывных коэффициентов; алгоритм и программа, реализующая однородную p.c., для восьми задач расчета собственных частот Я- и fi-колебаний неоднородных осесимметричных ДР с шестью вариантами линий разрывов каждая.

Ап2обация__работнд Основные результаты докладывались на: сесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и матемэ-ическое моделирование" (Минск, 1984), IX Всесоюзной конференции о численным методам решения задач теории упругости и пластично-ти (Саратов, IS85), Республиканской научно-технической конвенции "Роль вычислительного эксперимента при исследсзании фи-ико-химических процессов" /шифр Х87-251/ (Ивано-Франковск, 987), И Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению диффе-енциалышх уравнений" (Дрогобнч, 1991), I научной конференции олодых ученых Киевского госуниверситета (Киев, 1985), научных еминэрэх кафедры вычислительной математики (Киев,I983-I99I) и афецры численных методов математической физики (Киев, 1985, 990) Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко, эучном семинаре по теории уравнений в частных производных Чер-овицкого государственного университета им.Ю.Федьковича (Чернова, 1990).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 6 эбот.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена

ua III сграницах машинописного текста и иллюстрирована 3 рисунками. Диссертация состоит ::з введения, трех глав, приложения» заключения v списка литературы, содержащего 75 наименований.

Содержание работы

ё2~22£5£Ц5Щ обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, полученные в диссертации, кратко изложено ее содержание.

состоит из трех параграфов.

В § I.I дано описание конструкции ДР. Он представляем собой область V* {(?»"&0<t<ü4 , о ¿ v? £ 2(КГ z<(2\ , ограниченную цилиндрической металлической поверхностью S>eoK и двумя плоскими торцами fe i . Параметрь среды £ и je внутри V являются кусочно-посточнними функциями координат ъ и -2- . Учитывая симметрию конструк-

Si_г;

sH

с

е« 5

У2

12

я.,

*1

"3 >

>3

Я.-

W

Seo<

So

и

0-2

ции ДР относительно осей Н и I , из рис.2 приведена схема четвертой части продольного осевого сечения ДР, рассматриваемого в диссертационной работе.

В § 1.2 приведена система уравнений Максвелла, краевые условия и условия на поверхностях раздела

Рис.2

сред, полученные на основе физических процессов, протекающих в осесимметричяых неоднородных ДР.

При азимутально симметричных колебаниях (производная по ^ равна нулю) система уравнений Максвелла распадается на две неза-

висимые подсистемы с неизвестными 1„

и,

н.

(Н-колебэ-

ния) и Цф , Е^ , Ег (Е-колебония). Поэтому в § 1.3 рассма-

тривается математическая постановка задач Н- и Е-колебаний ДР.

Представляем Й*. и НА через = . Тогда

для Н колебаний функция Для х = О. ^ • = 1>4«

(сМ. рис.2) должна удовлетворять уравнению

Лг 1 "Уу г.^гс... 1 ^чг л-, (I)

°-ЗГ+ (к2£и -1Лтт - П

при следующих граничных условиях: ЯУ = О на а

Бок ,

на

1У=- О 1Г=-0 на

^ = о ■эг и

Ш

<Ы

- о

\Г= О на ъг

, ТУ — о или

с. ^ Л или

, ЯГ = О или

Эо - ^ =о

на

на

на вд , на Э, ,

на Бд,

"а 5,

(2) (3)

(4)

и условиях непрерывности на границах раздела сред 1 <*?- "" Р ~ ас м г >

Р -ас " Р ъг

на

4 "ЗЯт0'.

< на

(5)

где Vе"0 - V , - ^„^^„--сопЛ > о когда , т = 1,4.

В случае Е-колебэний Б а и Е выражаются через функцию которая при х 6 Я2. ^ , I = 1,4, является решением уравнения (I) при граничных условиях

* ЯГ = О на ЙБоК (О

(3),(4) и условиях непрерывности на границах раздела сред (5), в которых у1-"0 = &т , т = 1.4. В (I) и (5) постоянные &т и]1т-относительные соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества £2. м , м = 1,4.

Математические постановки Н- и Е-колебэяпй ДР можно описать несколько иной математической моделью.

В прямоугольнике =- { С.г.> : О * г.* <хъ , 0 12< ¡2], состоящем из четырех меньших прямоугольников

04 ь ¿а,^^(^-'М^^о^М, г - а,,о«г , ^{(^гу-о^оз,?,««* >

О < < Ct2 <as , 0 < < £ г. и линий раздела сред

1<},1- 1,2 ; S24Ct'ft: »^ >

с границей Г = Г, U Г^ U U П, (см. рис Я ) рзссмогрим задачу яа с.з.

при эсдС^")6^ и краевых условиях

Utx") =■ о, эсеГ, иГ3 (Q)

пли

Utö-O, хбГ, , =0 , хе , (9)

а также

Щтс") = О

ЭС 6

или

или

или

rÖUL <Ы

= О , хе Г21)Г\

(10>

о непрерывными потоками и с.ф. на линиях разрыва коэффициентов «¡ча • 23 • ? »

где пг&д)» »^С'^Л

1Ч>1 - скачок функции ^ , во,г)>о > сНг>а)> о.

Если в задаче (7),(8),<Ю),(П) ЯГСг.а^ =« Дсг,а>

а Л/>м » - 8т,хгС^50б 52. т , т = то получим

зедсчу Н-колейаний, а если в (7Ь(9)-(Ш Т(Л,50 =

Сг.эО - Vim , = ,jC=.(t,i)6Q.m, rn = 1,4, то при-

дам к задаче Е-колебаний.

Уравнение (I) - этс частный случай уравнения (7), т.к. из ) получаем (I) при кусочно-постолнних £. и jj- , хотя в (7) и могут быть кусочно-непрерывными. Кроме того, если, например, задаче (1),(3)-(6) с условиями Неймана на Г. и построить е., то получим II разностных уравнений в точках, отмеченных я* " на рис.2. Это существенно усложняет исследование такой ,с. и написание программы для ее численной реализации. А задэ-| (7),(9)-(Н) позволяет построить однородную p.c., т.е. такую ,с», в которой во всех узлах сетки для любой задачи из данного iacca разностные уравнения имеют один и тот же вид.

Sl2EäS_E2ä2ä> которая представляет собой теоретическую зсть диссертационной работы, состоит из трех параграфов.

В § 2.1 распространяется методика получения априорных оце-эк погрешности p.c. спектральных задач, когда обобщенные с.ф. ринэдле.тат соболевсиим пространствам \7| и в прямо-

гольнике. _

В прямоугольнике Я- - \ Oi 1,2.^ с границей Г рассма-

ривается спектральная задача

(12)

хе г, (13)

0<с, ^ < , (14)

Задача (12)-(14) эквивалентна отысканию функции u.6 "VIj1 (Q-^) . удовлетворяющей интегральному тождеству

® \

1ля произвольной функции V6 wz (Si). _

В S2. вводим прямоугольную сетку со из узлов х^Сх,,-^,

-X. ^dL > O.tlj ' = 4/Ndl • ^ - I»2« T,e' tS - jx: О, ,dU<,2.} . Через « = |х: iA = 2]

обозначим множество внутренних узлов сетки, а через "^coNto -множество узлов сетки, лежащих на границе Г.

В пространстве сеточных функций, заданных в узлах со и обращающихся в нуль но "Jf , рассмотрим задачу

л^3 г i =ш > а - °»*y > <16>

где

а.,. ^ ( кЛ^Лг) «Ua,

«Г*- Сч* t 0,5)(\d , -- CvÜH , Ol = ) at,lto5>

C-O.S)

Доказана

Теорема 2tIt3. Если Л^ - простое собственное значение с номером п, задачи (16) и выполнены условия на коэффициенты fe^ Ох.") I oL. = 1,2, обеспечивающие принадлежность собственных функций и.^ задачи (12)-(14) пространствам » f =2,3,

Результаты параграфа опубликованы в L13,l2] . В § 2.2 техника получения оценок погрешностей с.з. и с.ф., описанная в предыдущем параграфе, применяется к исследованию р.о. спектральной задачи с сингулярными коэффициентами, что приводит к весовым соболевским пространствам и специфическим нормам в этих пространствах, а также получена оценка снизу с.з. разност ной задачи через их номер.

В прямоугольной области Я. 0 <z< Q,,o< г < {.}

с границей Г = i\ U Га , где Р, - ее левая вертикальная сторона, а - остальные три стороны, рассматривается задача на собственные значения

u«. + > 6 а> (I?)

Ц.ГУ1

о

X.

■аи. ■аг

= о.

Мр. - О»

(18)

О ^^(лгу ^Сг^еСЧ^У (19)

На множестве функций, заданных в О. , вводятся полунормы юрмы с весом т, :

Задача (17)-(19) эквивалентна отысканию функции £ С £2") » удовлетворяющей интегральному тождеству

ш произвольной функции

17 е VI}

По переменной введем сдвинутую на полшага сетку г.=Сио,5)^; и-опТг, , ^ = 2УС2Мт:+Г)} , а по переменной 2- -Зыкновенную равномерную сетку = = ' ^ 1

^/ы , = ¿¿Г-г *сОа . Множество внутренних узлов этой

сетки обозначим со , а граничных - Tf = 'ftt U "fo » гце Т* =

= j = ОлИа \ , = Гг Г\ СО .3 пространстве сеточных

функций,« заданных в узлах оУ* = U 00 и обращающихся в нуль на ■ задачу (17) —(19) аппроксимируем задачей

A^^t^xt u", ^о,Х£ |2, (20)

Sl-S ^ =

. Для решения задач (I7)-(J9) и (20) доказана ТеоремаЕсли собственная функция ц, ^ , соответствующая простому собственному значению задачи (17)-(19), принадлежит пространствам WJ^ (SiT1) , m. = 2,3, то справедливы оценки погрешности решения задачи (20)

где ^ = + КгУ^2 , ,= ?i2 ] f постоянные ^uOtO >0 ,

>0- и не зависят от и Р*.г , п. = 1,2,... _

Если в задачах Н- или Е-колебаний £-L = ji; = 1 , i = 1,4, то уравнение (I) соьпадет с уравнением (17) при 1 ,

т.е. в этом случае (17) описывает колебания полого резонатора. Результаты параграфа опубликованы в

В § ?.3 получена оценка погрешности вычисления с.з. спектральной задачи с разрывными и сингулярными коэффициентами. Специфика этой задачи в том, что обобщенная с.ф. во всей области имеет лишь первую обобщенную ьроизводную, т.е. она принадлежит пространству \Д/21 С ^IL) . хотя в подобластях (вне вертикальной и горизонтальной линий разрыва) имеет большую гладкость. Опыт, полученный в предыдущих двух параграфах, позволяет получить оценку погрешности с.з. однородной p.c. с учетом большей гладкости обобщенной с.ф. по подобластям.

В прямоугольной области О <г.<а2) о < г <

с границей Г, разделенной прямыми z = a. А , э= ( О < a, < а2 , о< < на четыре прямоугольника О. ^ ,

К= 1,4, рассмотрим задачу на собственные значения

О , Х6 Г , (22)

•де ^о&ч) = Ь^/т. У&Ь/г. , , ^с^ ,

:усочно непрерывны, 0<с, й ЬСяС« 4^,0 < 4

[а линиях разрыва выполняются условия

[иС^Ц^О, о,

•де - разность между предельными значениями ^ при под-

:оде с разных сторон к линии разрыва (скачок функции).

Задача (21)-(23) может быть сформулирована как нахождение -лемента и. 6 (О) . удовлетворяющего интегральному тож-

еству

а

да любой ИХ £ № . (Ъ).

2,1 _

По переменным ъ и 2 введем неравномерные сетки со =

1-- 1, < ; с35 = } = олГг •> . Ц ^ ,

1- . так, чтобы т = а_л , 3 =■ были узлами сетки

сЗ - слг_кс5г. Множество внутренних узлов сетки обозначим через сО , а граничных - через "У . Введем пространство Н сеточных |ункций, заданных в узлах со и обращающихся в нуль на ^ , в •

котором задачу (21)-(23) аппроксимируем задачей

А^-СЦЙгСЦг^Г^^» (24)

где ^

= 0,5 СЦ = + 0,5 ,

- - ^ Ь.С?Л^Аг, 11, - о,5 Ск + ,

^г ^ - -'ч5 2 * V}'^^ - * -•

Лемма_2д3.1А Восполненное соответствующим обрезом решение дискретной задачи (24) слабо сходится в ^ г"' к соотве

отвукхцему обобщенному решению исходной задачи (21)-(23) при

О , где к » Гаа.-2С Н?" + , 1 = 1, Мг.- \ . Ь -1-, 1 1

При доказательстве леммы не используется файт существовав обобщенного решения задачи (21)-(23), а Доказывается его сущес вование с помощью интерполяции (воспонений) приближенного реше ния» т.е. с помощью решения задачи (24).

Лд. Если » "Х^. ~ простые собственные знг чения фиксированного номера п. соответственно задач (21)-(23] (24), а собственная функция и. п е (£1 ^ , гг\ = 1,4, то

и^-т^и с о^ИМка }

где Иг + '> ^ Иг-А >

Ч и 5

Tг -

Результаты параграфа, кроме слабой схопмости, опубликована в [5].

lE§Ib2JE5§22 представляет практическую часть диссертагчон-;юй работы и состоит из двух параграфов,

В § 3.1 приводится алгоритм получения p.c. для восьми задач (7)-(П) из однородной p.c. (24), полученной интегро-интерполя-иионным методом при аппроксимации задачи (21)-(23) на кусочно-юстоянной сетке.

В § 3.2 отмечено, что составлена и отлажена программа на элгорит!шческом языке ФОРТРАН, реализующая алгоритм предыдущего параграфа для любой из задач (7)-(П). Тестирование проводилось три £{_=]Ч=А > i- = 11 = В этом случае точ-

ные решения находятся методом разделения переменных. Относительные погрешности между наименьшими с.з. разностной задачи л с.з., полученными аналитически, для Н- и Е-колеб^ний меньше 0,05$. Ре-лены практические задачи для Н- и Е-колебаний. Относительная погрешность минимального разностного с.з. и экспериментального, полученного при £z = si t 3; Еъ= =1 ; = I; i =1,4, около 11% для Н-колебаний и около 20$ для Е-колебаний. Вычисления проводились на ЭВМ EC-I045 с одинарной точностью.

Состаьленная программа легко позволяет изменять не только геометрию резонатора (величины Q.^ , i = 1,4 и ty , j = 1,2), но и внутреннюю структуру проектируемых резонаторов путем приравнивания между собой соседних величин £ , jt^ , i = 1,4. Поэтому программа является гибким инструментом инженеров-конструкторов, который позволяет решать довольно широкий класс задач при конструировании резонаторов в цилиндрическом металлическом экране.

Программный продукт диссертационной роботы внедрен на одном из предприятий г.Киева, что подтверждено актом о внедрении.

Результаты главы опубликованы в [£].

Основные результаты п выводы

1. Предложена новая математическая постановка задачи на с.з. для расчета резонансных частот собственных колебэчий многослойных осесимметричных ДР в цилиндрическом металлическом экране, позволившая построить однородную p.c.

2. Построены и исследованы p.c. задач на с.з. для дифференциальных операторов второго порядка с положительными и ограни-

ченными, сингулярными коэффициентами, когда обобщенные с.ф. принадлежат соболевским пространствам. Для оператора с сингулярными коэффициентами доказаны оценки снизу с.з. разностной задачи через их номер, которые представляют собой самостоятельный интерес.

3. Получена однородная p.c. спектральной задачи для двумерного дифференциального оператора второго порядка с разрывным и сингулярными коэффициентами, доказана слабая сходимость разно отного решения и оценке погрегности вычисления с.з.

4. Составлена и отлажена программа решения восьми задач на собственные значения (каждая с шестью вариантами (см.рис.1) линий разравов коэффициентов) для численного расчета и нэстройки ДР при разработке малогабаритных фильтров. Программный продукт внедрен на одном из предприятий, что подтверждено актом о внедрении.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. Приказчиков В.Г., Семчук А.Р. Точность разностной схемы в спектральной задаче с гбобщенныеми решениями //Дифференц. уравнения.- 1985.- Т.21, В 7.-. C.I246-I252.

2. Приказчиков В.Г., Семчук А.Р. Оценка скорости сходимости разностных схем в спектральных задачах с обобщенными решета ими //Докл.АН УССР. Сер.А.- 1985,- № 4.- C.I7-I9.

3. Семчук А.Р. Оценка погрешности собственного значения разнос ного аналога спектральной задачи в цилиндрической системе к ордлнат //Вачисл. и прикл.математика.- 1986.- Вып.58.-0.29-

4. Приказчиков В.Г., Семчук А.Р. Оценка погрешности вычисления собственных функций спектральной задачи в цилиндрической си стеме координат //Физико-технические приложения нелинейных краевых задач: Сб.науч.тр.-К.: Ин-т математики АН УССР. 1987.- C.II5-II8.

5. Приказчиков В.Г.,Семчук А.Р. Точность разностной схемы спектральной задачи о разрывными коэффициентами //Дифферен1 уравнения.- 1988.- Т.24, № 7.- C.I244-I249.

6. Семчук А.Р. Расчет частот электромагнитных колебаний цилиш рических резонаторов //Вычисл.и прикл.математика.-1989.» Вып.67.-С.37-42.