автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью методом наложения в задачах аэродинамики

На правах рукописи

005002525

БЕЛОРОЗОВ РОМАН СЕРГЕЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ФИКСИРОВАННОЙ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОСТЫО МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Г 7 НОЯ 2011

Москва 2011

005002525

Работа выполнена в Военно-воздушной академии имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Москва

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация - Московский физико-технический институт

Защита состоится «1» декабря 2011г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д.215.001.01 при ВУНЦ ВВС «Военно-воздушной академии имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» по адресу: 125167, г. Москва, ул. Планетная, д.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВУНЦ ВВС «Военно-воздушной академии имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», с авторефератом диссертации - на сайте http://www.vak.ed.gov.ru/.

Автореферат разослан « октября 2011 г.

Матвеев Александр Федорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пивень Владимир Федотович кандидат физико-математических наук, доцент Крутицкий Павел Александрович

(государственный университет) (МФТИ).

Ученый секретарь диссертационного сове кандидат физико-математических наук

А.С. Ненашев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Аппарат интегральных уравнений широко применяется при решении многих задач науки и техники. Значительный круг задач аэродинамики, теории упругости, дифракции и других областей знаний при моделировании удобно сводить к граничным интегральным уравнениям.

Главным достоинством метода граничных интегральных уравнений является его экономичность. Он позволяет понизить размерность решаемой краевой задачи математической физики, то есть свести исходную двумерную задачу к интегральному уравнению по кривой, являющейся границей области решаемой задачи.

При этом большой популярностью пользуются математические модели, описываемые интегральными уравнениями Фредгольма, интегральными уравнениями со слабой особенностью в ядре и линейными сингулярными интегральными уравнениями с ядром Коши и Гильберта. Это обусловлено хорошо развитой теорией указанных интегральных уравнений, а также значительными продвижениями, полученными в вопросах построения и обоснования вычислительных схем приближенного решения таких интегральных уравнений.

Однако в последние годы ряд прикладных задач сводится к интегральным уравнениям с сильной особенностью, содержащим гиперсингулярные интегралы и понимаемым в смысле конечной части расходящегося интеграла по Адамару. При этом одни прикладные задачи сводятся к интегральным уравнениям, содержащим плавающую гиперсингулярность, а другие - к сингулярным интегральным уравнениям, допускающим в одной или в нескольких фиксированных точках области интегрирования гиперсингулярнуго особенность. В первом из этих случаев будем использовать термин - гиперсингулярные интегральные уравнения, а во втором - сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью. В отличие от интегральных уравнений Фредгольма, а также линейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и Гильберта указанные выше гиперсингулярные интегральные уравнения изучены недостаточно. Так, в аэродинамике большое внимание уделяется исследованиям, связанным с использованием энергетических средств механизации летательных аппаратов. Однако, не смотря на большой интерес со стороны специалистов отношение к энергетическим методам управления

летательными аппаратами из-за большой «энергоемкости» и сложности исследования до недавнего времени было довольно скептическим. Но достигнутые к настоящему времени успехи в создании современных силовых установок и развитие теоретических методов исследования математических моделей аэродинамики позволяют рассматривать энергетические методы управления летательным аппаратом (ЛА) как реальные уже в ближайшей перспективе.

В настоящей диссертации рассматривается математическая модёлЬ обтекания крыла, использующего в качестве энергетических средств механизации устройства отсоса внешнего потока. При этом данная модель рассматривается с учетом влияния случайных возмущений, когда ее входные параметры носят случайный характер.

Посредством такой механизации возможно создание энергетического предкрылка, увеличивающего угол атаки, допускающий безотрывное обтекание крыла. Также ведутся исследования по использованию устройств отсоса внешнего потока с поверхности крыла в качестве борьбы с концевыми вихрями спутного следа, образующимися при полете самолета и представляющими серьезную опасность для находящихся поблизости других ЛА. Причем все устройства отсоса, выступая в роли органов управления ЛА (не имеет значения их конструктивная составляющая), являются элементами системы автоматического управления ЛА. Из теории управления авиационными автоматическими системами известно, что каждая система управления подвержена действию случайных явлений (возмущений), к которым могут относиться ошибки измерений приборов и датчиков, вибрации механизированных и силовых агрегатов, помехи в энергетических и радиолокационных системах, случайные силы и моменты и т.д. Поэтому их учет (формализация) и влияние (моделирование воздействия) в системе управления устройствами отсоса в настоящее время является мало изученной задачей. В целом данные факты обуславливают актуальность проводимых в диссертационной работе исследований, направленных на построение, обоснование и численную реализацию новых вычисленных схем решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих в задачах аэродинамики, в том числе стохастического характера, имеющих важное прикладное значение.

В данной работе предлагается новый метод численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих в задачах аэродинамики при моделировании обтекания несущих поверхностей с отсосом внешнего потока. Этот численный метод отличается от используемых ранее повышенной скоростью сходимости приближенного решения к точному. В диссертации этот метод назван методом наложения.

При математическом моделировании стационарного обтекания изолированного профиля с отсосом внешнего потока возникают сингулярные интегральные уравнения первого рода с фиксированной гиперсингулярностыо. К одной из первых работ, посвященных обтеканию профиля с отсосом потока с его поверхности скорее всего следует отнести статью H.V. Woolard. В нашей стране изначально математическая задача обтекания профиля с отсосом была поставлена и изучена в работах Белоцерковского С.М., Лифанова И.К. и Бушуева В.И., а предложенный в них метод получил название традиционного подхода к моделированию задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока. Полученное этим подходом граничное интегральное уравнение относится к классу некорректно поставленных задач. Регуляризация этого уравнения осуществлялась лишь на этапе дискретизации и численного решения, что вызывало определенные неудобства. Затем указанные неудобства были преодолены: в работе Матвеевой A.A. предложена новая редакция традиционного подхода, а в работах Лифанова И.К., Сетухи A.B., Димитрогло М.Г., Лебедевой Тд.В., Вайникко Г.М. и др. описан новый (нетрадиционный) подход постановки рассматриваемой задачи. Нетрадиционный подход постановки задачи обтекания профиля и крыла конечного размаха с отсосом внешнего потока предложен Сетухой A.B. и подробно изложен в его докторской диссертации. Полученное нетрадиционным подходом граничное интегральное уравнение рассматривается в классе обобщенных функций, а его правая часть содержит 8-функцию Дирака с носителем в точке отсоса внешнего потока. Приближенное решение этого граничного интегрального уравнения, полученного нетрадиционным подходом, строится методом дискретных вихрей с равномерным распределением узлов. Кроме указанных работ имеется значительное число работ чисто вычислительного характера, в которых проводятся расчеты задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока без их математического обоснования. Обзор этих работ можно найти к монографии авторов Бушуева В.И. и Зубок В.В.

Объектом исследования являются сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью, описывающие задачи аэродинамики профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока.

Предметом исследования является метод наложения численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью и его численная реализация.

Цель работы.

Проведение исследований, направленных на разработку новЫх вычислительных схем построения приближенного решения граничных интегральных уравнений, возникающих при моделировании стационарного обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с их поверхностей.

Задачи исследования.

Обоснование, разработка, реализация и тестирование численного метода (метода наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности.

Построение и численная реализация математической модели обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности в условиях неполной информации.

Научная новизна.

Предложен и реализован метод численного решена, сингулярных-интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью (метод наложения), научная новизна которого заключается в построении и обосновании новых вычислительных схем высокой степени точности приближенного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности и предусматриваемых наличие в правой части случайной функции.

Теоретическая значимость работы заключается в математическом обосновании нового метода численного решения сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число точек фиксированной гиперсингулярности. При этом правая часть указанных уравнений может быть случайной функцией.

Практическая значимость работы заключается в том, что предложенный и реализованный в качестве пакета прикладных программ метод наложения может быть использован при исследовании задач аэродинамики, в том числе стохастического характера, об обтекании несущих поверхностей с отсосом внешнего потока.

Положения, выносимые на защиту.

1. Разработка и математическое обоснование численного метода (метода наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью с ядром типа Коши и Гильберта.

2. Стохастическая модель обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности и ее численная реализация.

3. Реализация на ЭВМ и тестирование новых вычислительных схем метода наложения решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих при моделировании обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

XIII, XIV и XV Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, 2007, 2009, 2011 гг.);

II, III и V Международных научно-технических конференциях «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, ПГУ, 2007, 2008, 2010 гг.);

VI научно-технической конференции «Люльевские чтения» (г. Екатеринбург, ОАО «ОКБ «Новатор», 2008 г.);

IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского» (г. Москва, ВВА им. проф. Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, 2010 г.)

научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВВА им. проф. Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, 2010 г., руководитель -профессор Сетуха A.B.);

научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики «Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений» (г. Пенза, ПГУ, 2010 г., руководитель - профессор Бойков И.В.);

научно-исследовательском семинаре кафедры теоретической физики и математического моделирования «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2010 г., руководитель - профессор Пивень В.Ф.);

научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ «Интегральные уравнения в задачах математической физики» (г. Москва, МГУ, 2011 г., руководитель - профессор Захаров Е.В.);

на заседании кафедры электронной автоматики (и авиационны;: тренажеров) (г. Москва, ВВАим. проф. Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина, 2011 г.).

Материалы и основное содержание работы опубликовано в 12 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата, причем работы [1,2] представлены в журналах, входящих в «перечень рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук».

Личный вклад соискателя.

Результаты, представленные в диссертации, получены лично соискателем или при его непосредственном участии. Автором лично выбраны пути решения поставленных задач и схемы их осуществления.

Достоверность результатов и выводов обоснована и обеспечивается согласованием расчетных данных с результатами расчетов других авторов и аналитических решений, а также с известными экспериментальными данными.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа выполнена на 111 страницах машинописного текста и содержит 18 рисунков, 6 таблиц, 51 наименование источников используемой литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы актуальность работы, обозначены цель и задачи исследований, научная новизна, теоретическая значимость, защищаемые положения, представлена апробация работы и личный вклад соискателя, введены основные понятия и обозначения, использующиеся в работе, описана структура диссертации.

В первой главе изложены особенности математического моделирования обтекания плоских задач аэродинамики методом дискретных вихрей, при этом

важная роль отводится моделированию аэродинамических задач обтекания профиля с отсосом внешнего потока. Известно, что такие задачи сводятся к решению сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью. В главе описаны существующие вычислительные схемы построения численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью.

Во второй главе разработан и обоснован метод наложения численного рвения характеристического и полного сингулярного интегрального уравнения (СИУ) первого рода с ядром Коши с любым конечным числом точек фиксированной гиперсингулярности. Такие уравнения возникают при моделировании обтекания тонкого профиля с отсосом внешнего потока.

Рассматривается характеристическое сингулярное интегральное уравнение первого рода с фиксированной гиперсингулярностью

где <2 - некоторое число, а функция <5(дг0 — ^г) определяется следующим образом

Предлагается метод приближенного решения уравнения (1), суть которого состоит в редукции задачи решения СИУ с фиксированной гиперсингулярностыо (1) в классе неинтегрируемых функций к равносильной ей, в определенном смысле, задаче решения другого СИУ в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера внутри отрезка интегрирования. Применяя затем к полученному после редукции СИУ вычислительную схему метода дискретных вихрей с равномерным или с неравномерным распределением узлов получим приближенное решение исходного СИУ. Следует заметить, что вычислительная схема метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов, применяемая к редуцированному уравнению (к уравнению (1) такая схема не применима), приводит к приближенному решению исходного СИУ (1) с интерполяционной степенью точности.

Так, например, в теоремах 1 и 2 дается математическое обоснование метода наложения соответственно с равномерным и неравномерным

(1)

+оо,д:0=д

, при этом ^¿(х0-д)&0=1.

-I

распределением узлов численного решения системы СИУ с фиксированной гиперсингулярностыо

задачи бесциркуляционного обтекания (при С = 0) тонкого слабоизогНутэгО профиля с отсосом внешнего потока. При этом константа 2 характеризует интенсивность отсоса внешнего потока в точке ^ е (— I; 1), С - суммарная циркуляция, которую для общности рассмотрения будем считать отличной от нуля. Решение данной системы ищется в классе функций, обращающихся на обоих концах отрезка [-1;1] в бесконечность и имеющих в точке отсоса де(-1;1)

особенность вида ——.

х-Я

Теорема 1. Численное решение системы интегральных уравнений (2) в узлах сетки, включающей два множества дискретных точек хк,к---\,п и х0/, j = 0,п, удовлетворяющих условиям:

|*,ы-*»| = л> к = \п-\, = — , к>+1-*оу| = А, j = 0,n-l, х,-хт хт =х„ к = \,п и + 1 ' 1 2 2 '

будем искать в виде у„(х„) = уы{хк)-—^т^ ® , где уи(хк) - численное решение

я хк ~Я

вспомогательной системы уравнений

построенное методом дискретных вихрей в узлах равномерной сетки и определяемое из следующей системы линейных алгебраических уравнений

т ЫI Хк —Х01-

-/К)

т 4=1

При этом между у„(хк) и точным решением системы (2) выполняется соотношение \у(хк)-уп (хк)| ^ 0„ ), к = \,п, в котором для всех точек хк е[-1+5,1-<5], где 5 >о - сколь угодно малое число, величина 0„ОО удовлетворяет неравенству @„ (хк) 2 А^, Я, >0, а для всех точек хк е [-1,1]:

Л2 >0,

»■и

гд ь'А,, А - некоторые константы, независящие от п.

Теорема 2. Численное решение системы интегральных уравнений (2) в узлах сетки

хк =Соз—-я], ак = — , к = \,...,п, *0, =Со1 — п\ , j — \,...,п — 1, у 2п ; п \п )

будем искать в виде

I \ 1 1

к Ч.

ж V1-**

где и„ (хк) - числеу.ное решение вспомогательной системы уравнений

"Ч VI —л:1 *-*„

(3)

(4)

I

J и(х)сИх = (

(5)

построенное методом дискретных вихрей в узлах сетки (3) и определяемое из следующей системы линейных алгебраических уравнений

Я 4=1 Хк Хо у

-¿«Д-^Ь =с

Я" 4=1

, У = 1,...,и —1.

При этом между решениями системы (6) и функцией

-+с

(6)

(7)

выполняется соотношение |и(х*)-"„ (хк), к = \,п, в котором для всех

точек х4е[-1,1] имеет место неравенство , 0<а<1,где А - некоторое

число, Д, - погрешность аппроксимации в точках хк сингулярного интеграла,

стоящего в формуле (7) с /(л0)бЛг, квадратурной формулой интерполяционного

типа, построенной по точкам х0/, j = l.....п-1. При этом формула (4) будет давать

точное значение решения у (х) в точках хк, если /(х0) является многочленом степени не более 2л -1.

Заметим, что решение системы (2) в любой внутренней точке *е(-1;1)

отрезка интегрирования может быть получено с помощью формулы

х -q

в которой и„ (л) - значения интерполяционного многочлена Лагранжа

1=0 к=0 хк}

к*

построенного по узлам интерполяции хк (3).

Метод наложения решения полного СИУ с фиксированной гиперсингулярностыо

I Г2М±+1 Гк(х..х)(х-1)г(*)<Ь = -/М-еН*.-1)' (8)

х~х« Я"-!

где (2 - некоторая константа, - точка гиперсингулярности, К[х0,х) -

известная функция непрерывная по Гельдеру на [— I; 1] х [— 1; 1], состоит в редукции задачи решения интегрального уравнения (8) к равносильной ей, в определённом смысле, задаче решения совокупности уравнений

rT,(x)dt 1 17 * ~~ хо 71 1 п¿x)dx 1 }

7Г , X Хп 7Г ,

1 ГМ^ + 1 Г (х)<ь = -в5(ха-д). (9)

Применяя метод регуляризации Карлемана-Векуа из монографии Мусхелишвили Н.И и результаты Матвеевой A.A. можно показать, что решение СИУ (9) с фиксированной гиперсингулярностью сводится к решению СИУ без гиперсингулярности, а затем решение уравнения (8) допускает представление в виде у(х) = у,(х) + у2(х). Это, в свою очередь, дает возможность применить вычислительную схему метода дискретных вихрей с неравномерным

распределением узлов. Заметим, что к уравнению (8) такая вычислительная схема не применима.

Во второй главе сформулированы и доказаны теоремы 1-10 о сходимости численного решения к точному для характеристического и полного СИУ индексов а: = -1,0,1 с фиксированной гиперсингулярностыо на отрезке.

Кроме того, в данной главе диссертации показано, что метод наложения легко обобщается на случай любого конечного числа точек гиперсингулярностей. Примером такого обобщения может служить характеристическое СИУ индекса к = 1 на отрезке [-1; 1] с фиксированной гиперсингулярностью в трех точках дх, дг и д, (где -Кд, <дг<д, <1)

-1 ]

-!.Г7(дг)Д = С

(10)

где <2Ч,, и - некоторые константы, д,,д2,д,,х0 е(-1 ;1). Решение данной системы ищется в классе функций, обращающихся на обоих концах отрезка [-1; 1] в бесконечность и имеющих в точках д1У д2 и д, фиксированную особенность вида

—-—. При данных условиях СИУ (10) имеет единственное решение вида х-д

1(*) =

1 1

Т-у/П^

(*,)&, д^лД7^"

, лге(-1 ;1)

х-д1 х-д2 х-д,

Для приближенного решения системы (10) методом наложения искомое решение этой системы представим в виде:

( \ 1 1

п Л-х

х-д2 х-д,

х-д,

(11)

где и(х ) - новая неизвестная функция, приближенное решение которой находится методом дискретных вихрей, например, по схеме «косинусов», и(х)е1и и является решением системы уравнений (5). Используя схему с неравномерным

распределением узлов, численное решение (5) найдем методом дискретных вихрей в узлах сетки (3) из системы линейных алгебраических уравнений (6). Подставляя из решения системы (6) в формулу (11) вместо к(х) при к = \,п, получим значения приближенного решения системы (10) в точках хк. Построенное таким образом приближенное решение системы (10) имеет интерполяционную степень точности.

Далее в главе приводятся результаты численного решения методом наложения СИУ первого рода с ядром Коши задачи стационарного обтекания тонкого профиля с любым конечным числом точек отсоса внешнего потока. Численный эксперимент подтверждает высокую степень точности предложенного численного метода. Также для случая циркуляционного обтекания слабоизогнутого тонкого профиля с отсосом внешнего потока, когда областью интегрирования является отрезок [0;1] на оси ОХ, расчеты методом наложения показывают практическую сходимость численного решения к известному аналитическому решению из работы \Voolard НЛУ. (рис. 1)

28

24-'

20 16 -128 -4 -0 -4 -8 -12

У

X X X -

ю о О) о --

о о' о о

точное решение метод наложения

: п=20 ^ 4=0,3

^ й ' *

• X - х ' X ' х-

со • со ■ "до N г-- сч ^ »-:(£> .- <о о ; ю

—--' ** : Ю : 1Л : <С (О Г— : : Ю СО СТ:0>

о о" о* о о" О О О О О' ОТО

Рис. 1 - Распределение интенсивности вихревого слоя на тонком профиле с отсосом в точке д для циркуляционной задачи.

В третьей главе предложен метод наложения численного решения СИУ первого рода с ядром Гильберта с любым конечным числом точек гиперсингулярности, возникающих при моделировании обтекания телесного профиля с отсосом внешнего потока

[

Для уравнения, возникающего при обтекании цилиндра, имеет место следующая теорема.

Теорема 11. Рассмотрим систему интегральных уравнений

^/с'г^^т = / М+- д)

(12)

¿/7(*)*-0

Если правая часть первого уравнения системы (12) удовлетворяет необходимым и достаточным условиям разрешимости ^(/(х„)+2<5(лг0-д))&0 = о,

о

то система (12) имеет единственное решение вида

Приближенное решение системы (12) методом наложения будем определять по формуле ■у(х) = -у,(х)-—с^-—-,где 7,(х) - решение системы

27Г 2 То + = /(*„)

Jy¡(x)dx=0

о

которая решается численно методом дискретных вихрей (см. монографию И.К. Лифанова). При этом значение регуляризирующей переменной -у0 характеризует степень разрешимости системы (12). Если система (12) разрешима, то 7„=0.

Далее в данной главе представлены результаты численного решения задачи стационарного обтекания телесного профиля (цилиндра) с любым конечным числом точек отсоса внешнего потока, полученные с использованием метода наложения.

В четвертой главе строится стохастическая (случайная) модель обтекания потоком идеальной невязкой несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла (пластины) с отсосом внешнего потока с его поверхности. При этом возникают стохастические сингулярные интегральные уравнения с

фиксированной гиперсингулярностыо, под которыми в диссертации понимаются уравнения, в которых правые части являются случайными функциями. С применением вычислительных схем метода наложения в данной главе ищется численное решение стохастических интегральных уравнений рассматриваемой задачи аэродинамики. Случайные составляющие этой задачи связаны с ошибками измерений приборов, вибрациями механизированных и силовых агрегатов, помехами в энергетических и радиолокационных системах, ошибками пилотирования, а также с другими типами случайных возмущений (рис. 2). При этом значения параметров задачи (угла атаки а {со), скорости набегающего потока 110(а), производительности (интенсивности) устройств отсоса 2(®)> интенсивности вихревого слоя у(ха,о)),у(ха,:а,а>), коэффициентов подъемной силы и момента тангажа Суа (со), т. (со)) предполагаются случайными величинами.

а(ю) и0(а),

Стохастическая модель стационарного обтекания профиля и

тонкого крыла (пластины) с отсосом внешнего потоке / \ Математическая модель обтекания профиля и тонкого крыла (пластины) с отсосом

у(х<„а),у(х9,г0,о)),Суа((о),тг(а))

еИ

Факторы случайных исходных данных

1. Колебания обтекаемой поверхности

2. Ошибки измерений приборов и датчиков

3. Вибрации механизированных и силовых агрегатов

4. Помехи в энергетических и радиолокационных системах

5. Ошибки пилотирования

Рис. 2 - Построение стохастической модели стационарного обтекания профиля и тонкого крыла (пластины) с отсосом внешнего потока с его поверхности.

При моделировании процесса обтекания тонкого профиля вихревым слоем в случае циркуляционного обтекания с отсосом внешнего потока в условиях неполной информации, используя нетрадиционную схему выполнения условия непротекания, приходим к стохастическому интегральному уравнению

Первый интеграл в левой части (13) понимается в смысле главного значения по Коши, А'(х,х0) - заданная на [-1;1]х[-1;1] детерминированная функция, удовлетворяющая условию Гельдера по обеим переменным. Правая часть содержит заданную случайную функцию /:[-1;1]хП-»Е и заданную случайную величину <2(<у):П-> 3, где £2 - множество элементарных исходов а заданного вероятностного пространства (ДА,Р), случайная функция /(.*„,а) имеет конечные моменты первого и второго порядка, которые являются гельдеровскими функциями по всем своим переменным, ()(а) - случайная величина, характеризующая производительность (интенсивность) отсоса внешнего потока в точке с/е(-1;1). Решение данного уравнения ищется в классе случайных функций у(х, а), обращающихся в бесконечность на левом конце отрезка интегрирования [-1;1] и равных нулю на правом его конце и имеющих в

точке отсоса q особенность вида ——.

х-Я

В случае рассмотрения задачи плоскопараллельного обтекания телесного профиля набегающим установившимся потоком идеальной невязкой несжимаемой жидкости в условиях неполной информации приходим к стохастическому сингулярному интегральному уравнению вида

с1я^г{^о})сЬ+]к(х,х0)г{х,со)ск^/(х0,а) + 0{со)5{х0-11), (14)

2я о 2 о

2*

которое будет разрешимо только при условии _[(/(*„,а)+<2{а)5(х0-<?))&•„ =о, а

о

К (л-, *0)- заданная на [0; 2л-] х [о, 1л\ детерминированная функция, удовлетворяющая условию Гельдера по обеим переменным. Для искомых случайных функций, по крайней мере, в прикладных задачах, обычно ограничиваются рассмотрением таких вероятностных характеристик, как

моменты первого и второго порядка и вероятности некоторых событий, связанных с этими функциями.

Используя метод канонического представления случайных функций по теории B.C. Пугачева, случайную функцию /(х0,а), стоящую в правой части стохастического СИУ (13) или (14) представим своим каноническим разложением

/ (*„, <в ) = т, (*„) + £I• (Ю ) /, (х,). (15)

где в качестве коэффициентов разложения £.(а>) выбираются некоррелированные между собой центрированные случайные величины коррелированные с данной случайной правой частью /(х0,са) и имеющие дисперсии D[^:(cj)]=Di /0. Тогда приближенное решение у„(х„,т), исследуемого интегрального уравнения (13) или (14), с новыми неизвестными детерминированными функциями: математическим ожиданием ту (дг0), координатными функциями у,(ха) и функцией у. (,х{1) имеют вид

у (*„, о>) = т, (дг0) + £ f, (со) Г, (*„) + Q (о) У. (*„) » (16)

где тг(х„) - решение СИУ (13) или (14) с детерминированной правой частью равной т/(х0), Yi{xо) " решение СИУ (13) или (14) с детерминированной правой частью f,(x„), а у.(х0) - решение СИУ (13) или (14) с детерминированной правой частью равной S(x„-q).

Известно, что при моделировании стационарного обтекания тонкого крыла (прямоугольной пластины большого удлинения) с отсосом внешнего потока задачу нахождения интенсивности вихревого слоя в условиях неполной информации об исходных данных можно свести к решению двумерного СИУ с фиксированной гиперсингулярностыо в точке Mq (х , :ч)

\

1 к '

(--о--)2

&<£- = /(*„,г0,о). (17)

yj(x0-х)г+{:0-:)\

где х0 е(-Ь,я9)и(д:в,б), г0 е(-/,г?)и(г,,/). Аналогично случаю с одномерным уравнением для численного решения СИУ (17), применяя теорию B.C. Пугачева,

случайную функцию /(х0,:0,ш), стоящую в правой части двумерного стохастического СИУ (17) представим своим каноническим разложением

/(*„, .-„,й>) = т/(лг0, --„)+][;£ (о)/; (*„,.-„). (18)

Тогда искомое приближенное решение двумерного стохастического интегрального уравнения (17) имеет вид

у (*и,г„, о) = (*„,;„), (19)

где тД*„,г„) - решение СИУ (17) с детерминированной правой частью равной ш/(*о>го)> У:{хч':о) ' решение СИУ (17) с детерминированной правой частью /(*„,;„), а в качестве коэффициентов разложения {а) выбираются некоррелированные между собой центрированные случайные величины коррелированные с данной случайной правой частью /(х0,:„,со) и имеющие дисперсии 0[£(й))]=0,

Таким образом, задача решения стохастических СИУ с правой частью (15) и (18) относительно неизвестной случайной функции (16) и (19) соответственно сводится к совокупности задач решения детерминированных СИУ относительно искомых детерминированных функций, входящих в формулу (16) и (19). По каноническому представлению (16) и (19) можно определить как значения линейных функционалов от искомых решений, так и статистические характеристики значений этих функционалов и самих решений у(х„, ©), у(х„,:„, а).

Далее показан пример применения аппарата теории случайных функций, в котором рассмотрим стохастическое сингулярное интегральное уравнение с фиксированной гиперсингулярностью, когда его правая часть является случайной функцией, которая в соответствии с методом канонического представления представлена своим каноническим разложением

я 0 X ДГц £ Ч У ,ж|

Тогда случайная функция у(х0, ш) является решением СИУ (20) и представляется каноническим разложением вида

(21)

к V 1 + х "V1 -

где £,(«), |2(й>), 4з{т) - некоррелированные случайные величины, заданные в правой части СИУ (20).

Далее в качестве наглядного изображения полученного приближенного решения, применяя метод статистического моделирования, по формуле (21) определим числовые характеристики искомого решения (рис. 3). При этом предположим, что входящие в формулу (21) изначально заданные случайные величины / = 1,2,3 равномерно распределены на отрезке [0;1], их

математические ожидания равны нулю: М[£,(в> заданные дисперсии: Р[£.(<у)]= О, ф 0, / = 1,2,3.

Интенсивность вихревого слоя

Исходные данные

£1 (">)•&(г") - «[ученные величины, равномерно распределенные на [0:1]

Значения случайных, величин К*.-®) ооо Математическое ожидание «,(*<,)

Дисперсия Ог

¿«рей/ Лол»аороаей / Пфинад¿шя*т /кюф.Сунтг /

Рис. 3 - Результаты численного решения стохастического СИУ.

0.14 Ог д

0.12 Ал/м Л л

0,03

0.04 V// Л

0.02 \

На рис. 3 при заданных исходных данных представлены результаты численного решения стохастического СИУ (20) с фиксированной гиперсингулярностыо в точках ^=0,04, <?г = 0,56 и =0,75. При этом разброс значений случайной функции у(ха, ю) от ее математического ожидания тг (х„) описывается дисперсией Вг.

Важно отметить, что с целью численной реализации рассматриваемых моделей плоскопараллельного обтекания профиля и тонкого крыла идеальной невязкой несжимаемой жидкостью с отсосом в настоящей работе разработан пакет программ. Он позволяет численно исследовать прикладные задачи аэродинамики, которые аналитически могут быть сведены к решению сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью, двумерным интегральным уравнениям и стохастическим сингулярным интегральным уравнениям с сильной особенностью. При этом основным численным методом, который используется в алгоритмах программ комплекса, является метод наложения, предложенный в рамках настоящей диссертации. В результате моделирования рассматриваемых задач аэродинамики с использованием указанного пакета программ имеется возможность исследования аэродинамических характеристик ЛА (коэффициенты подъемной силы и момента тангажа) при изменении параметров устройств отсоса (производительности отсоса, координат расположения) и в условиях не полной информации о полете ЛА.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в ходе проведения исследований.

В приложении диссертации представлены результаты численного решения рассматриваемых в ходе проведения исследований задач.

Основные результаты

1. Формулировка и математическое обоснование новых численных схем для приближенного нахождения обобщенных решений сингулярных интегральных

уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, решения которых могут содержать любое конечное число фиксированных точек сингулярности.

2. Осуществлено численное решение методом наложения задачи об обтекании профиля при наличии на нем любого конечного числа точек отсоса внешнего потока.

3. Построена стохастическая модель обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности, численная реализаций которой использует вычислительные схемы метода наложения.

4. Разработан пакет программ, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по расчету аэродинамических характеристик профиля с конечным числом точек отсоса внешнего потока и выработать рекомендации о возможных диапазонах изменения исходных данных в условиях возмущений случайного характера, а также о реакции модели на данные возмущения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Приближенное решение методом наложения полного сингулярного интегрального уравнения первого рода с фиксированной гиперсингулярностью. // Дифференциальные уравнения, т.44, №9. - Москва, 2008. -С 1281 - 1289.

2. Белорозов P.C. О способе оценки сбалансированности вариантов развития системы вооружения на основе принципа комплектности и применения методов стохастического моделирования. // Электронный журнал «Вооружение и экономика», вып. №15, 2011. - Москва, 2011. - С. 115-124.

3. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Численное решение интегрального уравнения задачи обтекания тонкого изолированного непроницаемого профиля с отсосом внешнего потока. // Вестник ХНУ №780, 2007. - Харьков, 2007 - С.19-34.

4. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Сравнительный анализ методов численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью. // Труды XIII Международного симпозиума МДОЗМФ, 2007. - Харьков-Херсон, 2007 - С.52-55.

5. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Об одном методе приближенного решения сингулярного интегрального уравнения в классе обобщенных функций. // Сборник статей II Международной научно-технической конференции

«Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2007. - Пенза, 2007 - С.25-28.

6. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Моделирование обтекания профиля с конечным числом точек отсоса внешнего потока методом наложения. // Материалы VI научно-технической конференции ОАО «ОКБ «Новатор» «Люльевские чтения», 2008. - Екатеринбург, 2008. - С.76.

7. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Математическое моделирование воздействия отсосов внешнего потока в конечном числе точек поверхности профиля на значение коэффициента его подъемной силы // Сборник статей III Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2008. - Пенза, 2008 - С.241-244.

8. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. О приближенном решении граничного интегрального уравнения задачи обтекания тонкого изолированного профиля с эжекцией // Труды XIV Международного симпозиума МДОЗМФ, 2009. - Харьков-Херсон, 2009 - С.231-235.

9. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Приближенное решение методом наложения сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта в классе обобщенных функций // Сборник статей V Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2010, - Пенза, 2010 - С.25-28.

10. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. К расчету аэродинамических характеристик задачи обтекания профиля с отсосом жидкости с его поверхности // Материалы IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского», 2010. - Москва, 2010 - С.31-32.

11. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Об одном методе численного решения интегрального уравнения с сильной особенностью задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск 8. Орел: ОГУ. - 2010, с.70-75.

12. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. О математическом моделировании стохастических задач аэродинамики обтекания крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности II Труды XV Международного симпозиума МДОЗМФ, 2011. -Харьков-Херсон, 2011 - С.264-267.

Подписано в печать: 25.10.2011

Заказ №111 Тираж 100 экз. Печать трафаретная. Объем 1,5 усл.п.л. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1 О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ АЭРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ.

1.1 Математическое моделирование обтекания тонкого и телесного профилей.

1.2 Математическое моделирование обтекания профиля с отсосом внешнего потока с его поверхности.

2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ, СОДЕРЖАЩЕГО ФИКСИРОВАННУЮ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОСТЬ НА ОТРЕЗКЕ.

2.1 Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с фиксированной гиперсингулярностью на отрезке.

2.2 Полное сингулярное интегральное уравнение с фиксированной гиперсингулярностью на отрезке.

2.3 Сингулярное интегральное уравнение с конечным числом точек гиперсингулярности на отрезке.

2.4 Результаты численных, экспериментов.

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ФИКСИРОВАННОЙ ГИПЕРСИНГУЛЯРНСТЬЮ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА.

3.1 Сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта, решение которого содержит.фиксированную сингулярность.

312 Сингулярное интегральное уравнение с конечным числом точек гиперсингулярности.

3.3 Результаты численных экспериментов.

4 СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБТЕКАНИЯ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРОФИЛЯ И ТОНКОГО КРЫЛА С ОТСОСОМ ВНЕШНЕГО ПОТОКА.

4.1 Физическая постановка задачи.

4.2 Математическая постановка задачи.

4.3 Численная реализация и разработка пакета программ.

Посредством такой механизации возможно создание энергетического предкрылка, увеличивающего угол атаки, допускающий безотрывное обтекание крыла. Также ведутся исследования по использованию устройств отсоса внешнего потока с поверхности-крыла» в качестве борьбы с концевыми вихрями спутного следа, образующимися при полете самолета и представляющими серьезную опасность.для находящихся поблизости других ЛА. Причем- все устройства отсоса, выступая в роли органов управления ЛА (не имеет значения их конструктивная составляющая), являются элементами системы автоматического управления ЛА. Из теории управления авиационными автоматическими системами известно, что каждая система управления подвержена действию случайных явлений (возмущений), к которым могут относиться ошибки измерений приборов и датчиков, вибрации механизированных и силовых агрегатов, помехи в энергетических и радиолокационных системах, случайные силы и моменты и т.д. Поэтому их учет (формализация) и влияние (моделирование воздействия) в системе управления устройствами отсоса в настоящее время является мало изученной задачей. В целом данные факты обуславливают актуальность проводимых в диссертационной работе исследований, направленных на построение, обоснование и численную реализацию новых вычисленных схем решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, описывающих задачи аэродинамики, в том числе стохастического характера, имеющие важное прикладное значение.

В настоящей диссертации предлагается новый метод численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих в задачах аэродинамики при моделировании обтекания несущих поверхностей с отсосом внешнего потока. Этот численный метод, названый в данной работе методом наложения, позволяет увеличить скорость сходимости приближенного решения таких уравнений к точному решению.

Суть, метода наложения состоит в редукции задачи решения построенного граничного интегрального уравнения с сильной особенностью в правой части к равносильной ей, в определенном смысле, задаче решения сингулярного интегрального »уравнения с гладкой правой частью. Это, в свою очередь, дает возможность применить вычислительную схему метода дискретных вихрей с неравномерным распределением- узлов для приближенного, решения полученного СИУ (к исходному уравнению эта вычислительная^ схема- не применима). Все это в итоге позволяет нам существенно повысить скорость сходимости приближенного- решения к точному.

Необходимо отметить, что приближенному вычислению сингулярных интегралов, а также разработке и теоретическому обоснованию численных методов решения сингулярных интегральных уравнений посвящены многочисленные работы.

Фундаментальный вклад в становление и развитие приближенных методов решения СИУ внесли такие ученые как Бабаев А.А, Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Захаров Е.В., Полтавский JI.H., Матвеев А.Ф., Сетуха A.B., Бойков И.В., ПивеньВ.Ф., ГохбергИ.Ц., Джишкариани A.B., Иванов В.В., Каландия А.И., Лавреньтьев М.А., Шешко М:А., Ненашев Ю.Н. и многие другие.

Цель работы. "

Проведение исследований, направленных на разработку новых вычислительных схем построения приближенного решения? граничных интегральных уравнений, возникающих при моделировании стационарного обтекания профиля; и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с их поверхностей. .

Задачи исследования:

Обоснование, разработка, реализация и тестирование численного метода (метода наложения) решения, сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности.

Построение и численная! реализация математической модели обтекания потоком, идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого? крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности в> условиях, неполной информации.

Научная новизна;

Предложен и реализован метод численного решения сингулярных интегральных, уравнений с фиксированной« гиперсингулярностью (метод наложения), научная- новизна которого заключается в построении« и обосновании новых вычислительных схем высокой; степени точности приближенного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности и предусматриваемых наличие вшравой части случайной функции.

Теоретическая значимость работы заключается в математическом обосновании нового метода численного решения сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число точек фиксированной гиперсингулярности. При этом правая часть указанных уравнений может быть случайной функцией.

Практическая значимость работы заключается в разработке пакета прикладных программ, численно реализующего метод наложения-решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью и позволяющего проводить исследования задач аэродинамики, в том числе стохастического характера, об обтекании несущих поверхностей с отсосом внешнего потока.

Положения, выносимые на защиту

Разработка и математическое обоснование численного метода (метода наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью с ядром типа Коши и Гильберта.

2. Стохастическая модель обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла с отсосом» внешнего потока с- его поверхности и ее численная реализация.

3. Реализация на ЭВМ', и тестирование'новых вычислительных схем метода наложения решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью; возникающих при моделировании обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

XIII, XIV и XV Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей4 в задачах математической физики» (г. Херсон, 2007, 2009, 2011гг.);

И, III и V Международных ' научно-технических конференциях «Аналитические и численные методы моделирования, естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, ПГУ, 2007, 2008, 2010 гг.);

VI научно-технической конференции «Люльевские чтения» (г. Екатеринбург, ОАО «ОКБ «Новатор», 2008 г.);

IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского» (г. Москва, ВУНЦ ВВС, 2010 г.) научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВУНЦ ВВС, 2010 г.); научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики «Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений» (г. Пенза, ПГУ, 2010 г.); научно-исследовательском семинаре кафедры теоретической физики и математического моделирования «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2010 г.); научно-исследовательском семинаре кафедры, математической физики факультета ВМиК МГУ «Интегральные уравнения в задачах математической физики» (г. Москва, МГУ, 2011 г.).

По теме диссертационной работы имеется^ 12 публикаций:

1. Матвеев А.Ф;, Белорозов P.C. Приближенное решение методом наложения полного сингулярного интегрального уравнения'первого рода с фиксированной гиперсингулярностью. // Дифференциальные уравнениям т.44, №9. - Москва, 2008. - С 1281- 1289:

2. Белорозов^ P.C. О способе оценки сбалансированности1 вариантов, развития системы вооружения на основе принципа комплектности и применения методов стохастического моделирования. // Электронный журнал «Вооружение и экономика», вып. №15, 201*1- Москва, 2011-С.115-124.

3. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C., Численное решение интегрального уравнения задачи обтекания- тонкого изолированного непроницаемого профиля с отсосом внешнего потока. // Вестник ХНУ №780, 2007. - Харьков, 2007 — С.19-34.

4. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Сравнительный анализ методов численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью. // Труды XIII Международного симпозиума МДОЗМФ, 2007. - Харьков-Херсон, 2007 - С.52-55.

5. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Об одном методе приближенного решения, сингулярного интегрального уравнения в классе обобщенных функций. // Сборник статей II Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2007. - Пенза, 2007 - С.25-28.

6. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Моделирование обтекания профиля с конечным числом точек отсоса внешнего потока методом наложения: // Материалы VI научно-технической конференции ОАО «ОКБ «Новатор» «Люльевские чтения», 2008. - Екатеринбург, 2008. — С.76.

7. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Математическое моделирование воздействия отсосов внешнего потока в конечном числе точек поверхности профиля на значение коэффициента его*подъемной силы // Сборник статей III Международной научно-технической» конференции «Аналитические' и численные методы моделирования естественнонаучных. и социальных проблем», 2008. - Пенза, 2008 - С.241-244.

8. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. О приближенном решении граничного интегрального уравнения задачи обтекания,тонкого изолированного профиля с эжекцией // Труды XIV Международного симпозиума МДОЗМФ, 2009: -Харьков-Херсон, 2009 - С.231-235.

9. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Приближенное решение методом наложения сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта в классе обобщенных функций // Сборник статей V Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2010. - Пенза, 2010 - С.25-28.

10. Матвеев А.Ф., Белорозов* P.C. К расчету аэродинамических характеристик задачи обтекания профиля с отсосом жидкости с его поверхности // Материалы IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского», 2010. - Москва, 2010 - С.31-32.

11. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Об одном методе численного решения интегрального уравнения с сильной особенностью задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск 8. Орел: ОГУ. - 2010, с.70-75.

12. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. О математическом моделировании стохастических задач аэродинамики обтекания крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности // Труды XV Международного симпозиума МДОЗМФ, 2011. - Харьков-Херсон, 2011 - С.264-267.

Основные понятия и обозначения

Ниже приводятся основные понятия и обозначения, используемые в настоящей диссертации.

Следуя работам [14, 15, 32,33,45] введем следующие классы действительных функций: г - функции непрерывные по Гёльдеру;

Н - функции непрерывные по Гёльдеру на отрезке [,—1;1] и имеющие г производных Г {х), где f (х) е h на отрезке [-1;1]; - функции непрерывные но Гёльдеру на любом отрезке, вложенном f(x) в [-1; 1], а вблизи концов с = ±1, представимых в виде —v ' , где 0 < а < 1, f{x)е h на отрезке f-l;l|; Р (р = y/wq, уле /?.}, где w-(х) = — х-д

Множество разобьем на классы, характеризующие поведение функции на концах отрезка [-1; 1]: со) - класс функций из неограниченных вблизи концов х = -1 и х = 1;

- класс функций из , ограниченных вблизи конца х-с, где с = -1 или с-1; х = 1.

- класс функций из кд,, ограниченных вблизи концов х = -1 и

Аналогично разобьем множество функций К на классы: к (оо) - класс функций из К, неограниченных вблизи концов х = -\ и х-1; к (с) - класс функций из К, ограниченных вблизи конца х = с, где с = —1 или с = 1; к (-1; 1) - класс функций из К, ограниченных вблизи концов х = ~\ и х = 1;

А->0 г 1 Г А А] > -"-о е к

2 2 0, й к к\

2 2

Введем пространство функций, определенных на [-1;1], квадрат модуля которых интегрируем с весом р(х)> 0 на отрезке [-1;1]:

Пространство функций !]) со скалярным произведением: 1 я)= ¡р(х)/(х)8(х)^х> / е £2,Д-1; 1]) становится гильбертовым. В

-1 нем имеется полная ортонормированная система базисных функций Рп (х) относительно которой любая функция р(х)е12;Д-1;1]) представима рядом 1 ср{х) = ^(¡>(п)Рп{х), где (р{п)= ^р{х)ср{х)Рп(х)с1х. Норма функций ср{х) в данном

-1 гильбертовом пространстве определяются формулой

Кх%,Р = .И^М*)!2^ = <00 •

-1 п=О

Следуя [14, 15], с пространством ¿2;р([-1; 1]) свяжем пространство

Нл.р([- % 1]) типа соболевского.

Определение. Пусть ЛеК - произвольное действительное число. Весовым пространством НХ р = НХ р (х)}) на [-1; 1] будем называть множество таких функций (или обобщенных функций для А < 0) и(х), что

СО 1 функция ил(х) = ^Л7(п)Р11(х), где й(я)= |,р(х)и(х)Р„(х)Л = (к(*);Рв(х))9

О х принадлежит пространству Ьг.р, где п = тах{1; п}. Нормой функции и(х) в

СО пространстве Яд р назовем число = ^йл\КпТ ♦ Скалярным п= О произведением- функций м(х) и- у(х) из пространства1 НХр будем называть

СО 1 число (и, у) = ^пхй(п)Ъ{п). Относительно этого скалярного произведения п~0 пространство НКр становится гильбертовым.

Краткое содержание диссертации:

Первая глава рассматривает вопросы математического моделирования, обтекания плоских задач аэродинамиктметодом дискретных вихрей, при этом важная роль отводится вопросам' моделирования аэродинамических задач обтекания профиля с отсосом внешнего потока.

В главе описаны существующие вычислительные схемы построения численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, которые возникают при решении задач аэродинамики профиля с отсосом внешнего потока.

Во второй главе разработан и обоснован метод наложения численного решения сингулярного интегрального уравнения (СИУ) первого рода с ядром Коши, содержащего конечное число точек, фиксированной гиперсингулярности. Такие уравнения возникают в задаче обтекания тонкого профиля с отсосом внешнего потока.

Рассматривается характеристическое сингулярное интегральное уравнение первого рода с фиксированной гиперсингулярностью [14]

1 '/!,'/.«.( 1:1), (1) где б - некоторое число; (в задачах аэродинамики 0 = СЧ - безразмерный коэффициент интенсивности стока- моделирующего отсос внешнего потока с поверхностшкрыла); а;функция 6(х0-д) определяется следующим образом

-ч) = 1

Р,*0 е(-1;1) . у, при этом I 6(х0 - ц)с1х0 = 1. +оо,х0 = д ^

С таким- уравнением приходится иметь, дело при моделировании; процесса обтекания тонкого, профиля с: отсосом внешнего потока в случае нетрадиционного подхода* выполнение граничного? условия; непротекания« на поверхности профиля: Решение уравнения (1) ищется в трех различных классах функций, определяемых характером поведения искомой функции- на концах отрезка интегрирования.

Предлагается метод приближенного решения; уравнения (1), суть которого состоит в редукции задачи4 решения СИУ с фиксированной гиперсингулярностыо (1) в классе неинтегрируемых функций к равносильной ей; в определенном смысле, задаче решения другого СИУ в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера внутри отрезка интегрирования. Применяя затем: к полученному после редукции СИУ вычислительную схему метода дискретных вихрей с равномерным или с неравномерным распределением узлов, получим приближенное решение исходного СИУ. Следует заметить, что вычислительная схема метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов, применяемая к редуцированному уравнению (к уравнению (1) такая схема не применима), приводит к приближенному решению исходного; СИУ (1) с интерполяционной степенью точности.

Метод наложения решения полного СИУ с сильной особенностью в правой части

I + fjCfaxXx-gyyM^-ffä-Qßfa-g), (2) где Q - некоторая константа, q е (-1;1) - точка гиперсингулярности, К(х0,х) известная функция непрерывная по Гельдеру на [—l;l]x[—1;1], состоит в редукции задачи решения интегрального уравнения (2) к равносильной ей, в определенном смысле, задаче решения совокупности уравнений

1 j'x(x0,x)(x-g}Yi(x)dx = -/(x0)f wZ.i х~хо 7ri 1 ГK(xo:x)(x-q)j2(x)dx = -QS(x0-q). (3)

7Г" X — XQ J

Применяя метод регуляризации Карлемана-Векуа из монографии Мусхелишвили Н.И, [35] и теоремы 2, 3 из работы Матвеевой A.A. [33] можно показать, что решение СИУ (3) в классе функций hq. с сильной особенностью в правой части находится из в классе функций К с гладкой v правой частью, а решение уравнения (2) допускает представление в виде /(x) = 7i (Х) + У2(Х)- Это, в свою очередь, дает возможность применить вычислительную схему метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов (к уравнению (2)« эта вычислительная схема не применима).

В данной главе сформулированы и доказаны теоремы 1-10 о сходимости численного решения к точному для характеристического и полного СИУ индекса к = -1,0,1 с фиксированной гиперсингулярностью на отрезке.

Кроме того, во второй главе показано, что метод наложения легко обобщается на случай любого конечного числа точек гиперсингулярностей.

В заключение главы приводятся результаты численного решения методом наложения СИУ первого рода с ядром Коши задачи стационарного обтекания тонкого профиля с любым конечным числом точек отсоса внешнего потока. При этом проводится сравнение численного решения, полученного известными методами [13, 14, 26, 27], и предлагаемого в диссертационной работе численного метода.

В третьей главе предложен метод наложения численного решения СИУ первого рода с ядром Гильберта с любым конечным числом точек гиперсингулярности. Такие уравнения возникают в задачи обтекания телесного профиля с отсосом внешнего потока.

Рассмотрим систему интегральных уравнений 27Г [<~Мч Ч)

4)

-|7(«)Л=0

Если правая часть первого уравнения системы (4) удовлетворяет необходимым и достаточным условиям разрешимости

2тг (/(*0 ) + б6 (Х0 ~ = 0 > О то система (4) имеет единственное решение вида

Приближенное решение системы (4) методом наложения будем определять по формуле \ / \ б х — а 7(*) = 71 (*)-—<*£-£-» где 7! (х) - решение системы

1 X

2п о 2

J Ъ(х)<Ь = О . о которая решается численно методом дискретных вихрей' [27]. При этом значение регуляризирующей переменной 70 характеризует степень разрешимости системы (4). Если система (4) разрешима, то 70 = 0.

Затем вычислительная* схема метода» наложения обобщена на случай наличия на области интегрирования конечного числа точек гиперсингулярности. Также проводится сравнение результатов численного решения- задачи о телесном профиле, поученных методом наложения и методами работ [14, 26].

Далее в данной главе представлены, результаты численного решения задачи' стационарного обтекания телесного^ профиля с любым конечным числом точек отсоса внешнего потока, полученные с использованием1 метода наложения.

В четвертой главе строится^ стохастическая (случайная) модель некоторых задач аэродинамики обтекания? профиля и. тонкого« крыла с отсосом внешнего потока с его» поверхности. Вихревым методом? [27] рассматриваемые задачи аэродинамики- сводятся к соответствующим стохастическим интегральным уравнениям с сильной особенностью в ядре. Под термином стохастические интегральные уравнения в данной работе понимаются уравнения, в которых* правые части являются случайными функциями. С применением вычислительных схем метода наложения в данной главе ищется численное решение возникающих стохастических интегральных уравнений задач аэродинамики.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

Выводы

В целом предлагаемая в настоящей работе стохастическая модель обтекания профиля и тонкого крыла (пластины) с отсосом внешнего потока с его поверхности и ее численная реализация, использующие аппарат теории случайных функций и метод наложения, позволяют дать рекомендации^ о возможных диапазонах изменения исходных данных в'условиях возмущений случайного характера, а также о реакции модели на часто встречающие на практике возмущения.

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие результаты и выводы:

1. Предложен и реализован численный метод (метод наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью с ядром типа Коши и Гильберта, который позволяет существенно повысить скорость сходимости приближенного решения к точному за счет использования вычислительных схем с неравномерным распределением узлов.

2. Осуществлено численное решение методом наложения задачи об обтекании профиля при наличии на нем любого конечного числа точек отсоса внешнего потока.

3. Построена стохастическая модель обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности, численная реализация которой использует вычислительные схемы метода наложения.

4. Разработан пакет программ, с помощью которого проведены вычислительные эксперименты по расчету аэродинамических характеристик профиля с конечным числом точек отсоса внешнего потока и даны рекомендации о возможных диапазонах изменения исходных данных в условиях возмущений случайного характера, а также о реакции модели на данные возмущения.

1. Бабакин В.И., Бедоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование:на ЭВМ; М.: Наука, 1989.

2. Бушуев В.И. Исследование на ЭВМ влияния отсоса потока и механизации крыльев на их. аэродинамические характеристики. Межвузовский сборник. Гидродинамика больших скоростей. Красноярск: КИИ, 1986.

3. Бушуев, В:И., Зубок В .В. Аэродинамика самолетов с органами управления и механизации / Под ред. В.И.Бушуева. М.: изд. ВВИА им. проф. Н:Е. Жуковского, 2008. — 288 с.

4. Бушуев В .И., Лифанов И.К. Численное решение- сингулярных интегральных уравнений в классе сингулярных функций и задача отсоса потока в аэродинамике // Журнал вычислительной математики и математической физики, №10. Москва, 1986 - G. 1572-1577.

5. Вайникко Г.М., Лебедева. Н.В., Лифанов! И.К. Численное; решение сингулярного и гиперсингулярного интегральных уравнений на отрезке и дельта-функция; // Математический сборник, т. 193 • №10 Москва, 2002 -С.3-16.

6. Голубев В.В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке // Л.: ГИТТЛ, 1938, 260с.i i320с.

7. Димитрогло М.Г. Диссертационная работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 2003 г.

8. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха. A.B. О новом способе , расчета обтекания тонкого профиля идеальной жидкостью с отсосомвнешнего потока. НММ кафедры аэродинамики ВАТУ им. Н.Е.Жуковского. 2002, с.96-112.

9. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха A.B. Расчет обтекания-крыла конечного размаха с отсосом внешнего потока. НММ кафедры аэродинамики ВАТУ им. Н.Е.Жуковского. Москва, 2002, с.113-132.

10. Зиберов В.А, Лифанов И.К. К численному решению задачи для профиля с рулевой поверхностью. В кн.: Динамика сплошной, среды с нестационарными границами.Чебоксары, 1984.

11. Колмагоров А.Н. Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей / Вестник МГУ. Серия математическая, №5, 1941.

12. Колмагоров А.Н. Основные понятия* теории вероятностей. Ml: ОНТИ, 1936.

13. Кочетков Ю.А. Основы автоматики авиационного оборудования: -изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1995.

14. Лебедева Н.В. Диссертационная работа на соискание- ученой степени кандидата физико-математических наук, 2002 г.

15. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., ТОО «Янус». 1995. -с.519.

16. Лифанов И.К. О математических вопросах метода дискретных вихрей и сингулярных интегральных уравнениях // Труды ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского, вып. 1309, 1979.

17. Лифанов И.К., Сетуха A.B. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. // Дифференциальные уравнения, т.35, №9. Москва, 1999. - С. 1227-1241

18. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения // Вычислительные процессы и системы М. Наука, 1990 г., вып. 7. - С. 94-273.

19. Матвеев А.Ф. О построении статистических решений сингулярных интегральных уравнений со случайной правой частью // Дифференциальные уравнения, т.32, №9. Москва, 1996. - С.1153 - 1160.

20. Матвеев А.Ф., Матвеева A.A. О сингулярном интегральном уравнении с фиксированной гиперсингулярностью // Труды XI Международного симпозиума МДОЗМФ, 2003. Харьков-Херсон, . 2003 -С.176-181.

21. Матвеев А.Ф., Матвеева A.A. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения аэродинамики с фиксированной гиперсингулярностью // Дифференциальные уравнения, т.39, №9. — Москва, 2003.-С.1262- 1271.

22. Матвеева A.A. Диссертационная- работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 2006 г.

23. Мусхелишвили Н:И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-512 с.

24. Прандтль JI. Механика низких жидкостей. М.: Оборонгид, 1939.'

25. Пугачёв B.C. Теория вероятностей и математическая статистика // М.: Физматлит, 2002.

26. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962.

27. Пугачев B.C., Казаков И:Е., Гладков Д.И., Евланов Л:Г., Мальчиков C.B., Мишаков А.Ф., Седов В.Д., Соколов В.И. Основы теории автоматического управления. — М.: Наука., 1974.

28. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд. испр.- М: Физматлит.- 2001.- 320 с.

29. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968.

30. Сетуха А.В. Диссертационная работа на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 2003 г.

31. Сетуха А.В. О плоской краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. // Дифференциальные уравнения, т.38, №9 — Москва, 2002.-С.1172-1182

32. Сетуха А.В. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши на отрезке в классе обобщенных функций. // Дифференциальные уравнения, т.40, №9. Москва, 2004. - С. 1208-1218.

33. Сетуха А.В. Фундаментальные решения плоской краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа. // Дифференциальные уравнения, т.39, №1.- Москва, 2003. С.125-132.

34. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов: Учеб. пособие для авиац. спец. вузов / А.А.Лебедев, В.Т. Бобронников, М.Н.Красилыциков, В.В.Малышев. Ml: Машиностроение, 1985.

35. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены М:: Наука.- 1979.-416 с.

36. А.с. №1103670 (СССР). Способ изменения аэродинамических характеристик несущей поверхности'летательного аппарата. / В.И. Бушуев, И.К. Лифанов, М.И. Ништ, 1984. (Патентный документ).

37. Koening D.G., Falarski M.D. Aerodynamic characteristics of large-scale* /V**" оmodel with a swept and augmented jet flat'// NASA TMX 62029/ -1972. . . i

38. Lifanov I.K., Singular solutions ,of singular integral equations end,flow'" ejecting for an arbitrary by contur.// Sov.J.Nomber. Anal. Math. Modelling. 1989. V.4. №3. - p239-252.

39. Woolard H.W. Thin-airfoil theory of an ejector-flapped wing section. Journal Of Aircraft, 1975, v. 12, №1.