автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное решение неклассических смешанных задач в ряде уравнений математической физики

Р Г Б ОД

комитет российской федерации

по высшему образованию алтайский государственный университет

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕШССИЧЕСКГОС СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ В РЯДЕ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05.13.15. - Применение вычислительной ггехи.лси, математического моделирования и математических методов в научных, исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физию - математических нзук

Р МЯХАНОВ ГШТАР УШРЗАКОВИЧ

На правах рукописи

УДК 51 - 73 : 550.3

БАРНАУЛ - 1934

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете им. Ленинского комсомола.

Нгучвий руководитель - доктор фкзкко-математических наук,

профессор В.К.Врагов. Официальные оппоненты: доктор (¡[¡игико-математических наук, профессор А.Ф.Воеводин, кащыдзт Оизгао-математическкх наук, доцент А.й.КамышгакоЕ.

Ведущая организация - Вычислительный центр СО РАН, г. Новосибирск

Зз[цкта состоится 1994 г. в часов

на заседании спет»авизированного совета К 064.45.03 по присуждени» учёной степени кандидата физ;*ко - математических, наук при Алтайском государственном университете по адресу: 656099, г. Барнаул, ул. Димитрова, 66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке АТУ. Автореферат разослан " 1994 г.

Учвний: секретарь специализировали кандидат физ.- мат.наук, дицент

специализированного совета С.С. Кузиков

I.. овижл характеристика рднота

кктуальгюсь -темы, в настоящее время в связи с проблемами •еофизккн, океанологии, физики атмосферы, использованием фиогенкых жидкостей в технике и рядом других проблем значи-•ельно возрос интерес к изучению динамики различных неодно-юдных и, в частности, стратифицированных кидкостей. Конечно, ум детального описания этого круга физических явлений необходимо исходить из достаточно развитых математических юделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, [елинейнкми, многопараметрическими и для их полного исследо-тния эффективны лишь численные методы, основанные на исполь-. ювании современных ЭВМ.

Однако в ряде случаев первоначальное качественное пред-давление об изучаемом круге явлений мозкло получить и на >снове более простых линейных моделей и аналитических ютодов их исследования. Оказывается, что в этом отношении ¡есьма характерны задачи динамики стратифицированной жидкости, [аже в рамках линейных моделей их математическая постановка называется очень своеобразной и приводит 'к нестандартным [ачально - краевым задачам с производной по времени в грани-:ном условии, не имеющим аналогов в классической математической физике. Это определяет и самостоятельный математический итервс к этим задачам.

Неклассические смешанные задачи для уравнений мате-1атической физики изучались . в работах Р.Сакамото, ¡.К.Годунова, В.М.Гордиенко, В.Н.Врагова, М.М.Лаврентьева, [.С.Темирбулатова, А.М.Блохина, С.А.Габова, А.Г. Свешникова,

Э

Р.С.Жамалова и др.

Следовательно, разработка и обосновайие численных методов, а такг.о создание программного обеспечения для. исследования смешанных задач, содержащих производную по времени в граничном условии, является актуальней задачей в вычислите л! ной математике и её приложениях в прикладном аспекте и в области математического моделирования.

цель работы - изучение смешанных задач, когда граничное условие содержит производную по времени для волнового уравнения и уравнения Соболева, построение конечно-разностнш аппроксимации этих задач и их численное решение.

методика исследования. Доказательство разрешимости сме шзнной задачи, содержащей производную по времени в граничне уолови! для волнового уравнения и уравнения Соболева, прово дится на основе идей и методов разработанных В.Н.Враговым < использованием метода априорных оценок. В диссертации испол зуются также методы функционального анализа и численные методы.

научная новизна, в диссертации получены следующие результаты:

1) Доказана корректность по Адамару смешанной задачи с производной по времени в граничном условии для волнового уравнения.

2) Построена устойчивая разностная схема и итерационный алгоритм численного решения смешанной задачи с производно но времени в граничном условии для волнового уравнения.

3) Предложен метод конструирования вычислительной модели да численного решения смешанной задачи с производной по времеь

з граничном условии для уравнения Соболева. 1) Построена устойчивая разностная схема к итерационный алгоритм численного решения на основе сконструированной вычислительной модели.

5) Проведены численные эксперименты кг персональном компьютере IBM 386. Результата численных расчетов приведены в виде рисунков.

Теоретическая и практгшческ&ЯЕ ценность. Полученные В диссертации результата являются новыми и имеют теоретический и практический интерес. Дачные задччи являются математическими моделями ряда процессов в механике.и физике. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории смешанных задач с производной по времени в граничном условии, а также при решении прикладных задач, приводящих к таким задачам.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и осоуждалисьt

- на объединённом семинаре '* Некдассическке задачи математической физики ". Институт математики СО РАН и лаборатории математичэского моделирования Новосибирского госуниверситета под руководством д-ра физ.- мат.наук, профессора В.Н.Врагова;

- на XVIII научно-теоретической конференции в КарГУ ( г. Караганда, 19ЭЗ г. );

- на международной конференции студентов и аспирантов в НГУ ( г. Новосибирск, 1994 г. );

- на семинаре лаборатории прикладкой гидродинамики ИГиЛ СО РАН под руководством профессора В.В.ПухначЭва;

- на семинаре лаборатории ВЦ СО РАН под руководством д-ра физ.-мат.наук Г.Н.Ерохнна.

пуадикяцгси. по теме диссертация опубликована 4 печатные работы..

оаъёи и структура дассартсцйя:. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 6 параграфов и 6 пунктов, заключения", списка литературы из 64 наименований. Объём работ 81 страница, включая 21 рисунок.

краткое содеиьшив работ«.

Во введения дан краткий экскурс в историю И современное состояние науки о смешанных задачах, содержащих производную по времени в граничном условии. Далее во введении приведена постановка основных задач, сделан обзор предшествующих работ и тахже лриведено краткое содержание диссертации. Изложим результаты работы, состоящей из двух глав.

В первой главе рассматривается смешанная задача для волнового уравнения.

В §1.1 изучается следующая задача в области

<2 = 1(г,х,у): г > О, х > 0, \ у\ < <*> ) для волнового уравнения

Ш = и.. - и - и = О. (1)

г г хя уу ■»

сисшаннзя задача. Кайти решение уравнения (1) в области ¡2, удовлетворяющее начальным данным

П = и (х,у), и\\ = и (х,у)

<+=0 "4=0

(2)

граничному условию

üt -aUx -Шу| (3)

де а и Ъ - вещественные числа.

теорема, пусть функции UQ(x,y) е YI^(G), U^x.y) i . выполнена условия согласования

■ U, - - W- I = О.

1 0х

(4)

U. 4 -Olí, - Ы7< I =0.

Охх т Оуу 1х

► пусть выполнено а > 0, тогда . существует и притом дшственное решение задачи (1)-(3) из пространства 2 (О) и tuieer/i сценку

< |p0ljt|fc/ l^l^ígj]

■де 0 не зависит от U0 и í/;.

В §1.2 на основании метода, предложенного s работе ti*], основная задача сводится к решений дзух .задач: ¡олнового уравнения с упрощенным граничным условием и задаче :оши для дифференциального уравнения первого порядка.

задача i - это смешанная задача для волнового уравнения

L7 = V.. - У - 7 =0. (5)

tt XX цу

I*. Врагов В.Н. О смешанной задаче для системы гиперболических уравнений /У Применение функционального анализа в уравнениях..математической физики. - Новосибирск, 1987,-С.59-66.

удовлетворяющего начальным данным

Т„0=

= + ип - аИ, - ъи, = V,

4 Охх Оуу 1

1

и граничному условию

vi = о (7)

| х=0

задача 2 - ьто задача Коим для дифференциального уравнения первого порядка

Ш = - Шх- ьи = V (8)

с начальным условием

У| =и.(х,у). (9)

I t=o ^

Для первой задачи используется классическая разнос ^ схема на семиточочном шаблоне. Для второй задачи применили два явные разностные схемы, одна из которых аппроксимирует дчшюе уравнение с первым порядком точности по временному и пространственным переменным, а вторая - схема Лакса-ВендрофЗ со вторым порядком точности. Эти две разностные схемы взяты для сравнительного аналкза.

Начальные условия для первой задачи- определяются по формуле (6) с учётом граничного условия (7), а для второй

задачи по формула. (9). Показан численный алгоритм решения системы уравнений (5), (8) и устойчивость этой системы.

В §1.3 Приведены результаты численных экспериментов. Показано, как начальное возмущение взаимодействует с границей х = 0. Результаты расчётов по схеме первого порядка точности

.имеют более сглаженный характер вследствие большей диссипатив--

Во второй главе рассматривается смененная задача для , уравнения Соболэза.

В §2.1 в области 3 = ■( х > О, X > О, |у| < * ;

рассмотрено уразнение Соболева

д2 г ,

смешанная :г.ядзнп. НаТ:хи решение уравнения (10) в области Д, удовлетворяющее .начальным данным

Ь'| =ип;(х,и)., 0.\ = и (х.у) (11)

я граничному условию

:и. - аП - Ш |=0, (12)

где а аг :Ъ - вещественные числа. Б работе доказано:

¿* .Врагов В.Н. О корректности смешанной задачи с производной по Бремени в граничном условии для уравнения Соболева // Бюллетень Сиб.Мат.О-ва.- Новосибирск,- 1989. С.53-5В.

■Вьарвиа, ПуЫЪ фу11Щмио(Х.у) < ^(О, И^Х.у) £ ^(в) и выполнены, условия согласования йля существования регулярного решения:.

1 х=0

и пусть выполнено условие а > 0. Тогва существует и притол • единственное решение задачи ( 10 )- ( 12 ) 'и имеет, место априорная оценка на решение задачи

^ * I и Уг(Ю<т ( I ио ^4г(С) * I и1^э2(0) )

где т не зависит ост и .

§2.2 используя тот же м^тод подхода, данная задача разбивается на решение двух задач.

Всюду ниже будем предполагать, что начальные функции и0(х,у) с О4(О, и,(х,у) € С3(в).

задача д- - это смешанная задача для уравнения Соболева О2 г ,

И = ТрН * *„у } ' = ° ■ (13>

удовлетворяющая начальным условиям

VI = У, - о!/. - Ы7Л = V'

11=0 1 . Ох Оу О,

У.\ = ф - СЙ7, - ЬУ, = V, 4 и=0 IX . 1у 1

(14)

где функция фСх.у) есть решение задачи Дирихле из пространства Й^ГС; П С3-а(0.

и граничного условия

Ф( = сО + ъи I . (16)

|Л=0 1х |я=0

Граничное условие для задачи (13)

V} =0. (17)

| х-0

задяча 2 - эТо задача Козк для дифференциального уравнения первого порядка

ГО = и- сМ -ъи = V (18)

Ь X у

с начальным условием

(19)

<=0

Для первой задачи в уравнение (13) была сделана замена, чтобы облегчить численную реализации, то есть

V + V ' =

XX у у 4

Гогда уравнение (13) запишется следулцим образом дга

+ У = О,.

дг2

а началыше условия

V- V

** _ д

.7, =70 0 и-о

V + V

XX %)У

V 1 = V 1=0 г~и

Таким образом, вместо уравнения Соболева мы получили систему уравнений

~~У*Х (21) ¿V = <1 .

■Система уравнений (21) решается методом конечных разностей'. Задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка решаем методом Рунге-Кутта со вторым порядком аппроксимации, а уравнение Пуассона решаем на пятиточечном шаблоне методом верхней релаксации.

Для зторой задачи применили две явные разностные схемы, одна из которых агщроксимирует данное уравнение с первый порядком точности по временному и пространственным переменным, а вторая - схема Л ак с а -В е ндроффа со вторым порядком точности. Зти две разностные схемы взяты для сравнительного анализа.

Начальные условия дл первой задачи (21) вычисляются по "формуле (20), предварительно определив начальные условия (14), где функция ц>(х,у) есть решение уравнения Пуассона {15) с граничным условием (16). Уравнение (15) с учётом (16) решается методом верхней релаксации. HaчaJ ное условие для уравнения (18) вычисляется по формуле (19). Показан численный алгоритм решения системы уравнений

(21),(1ь) и устойчивость этой системы.

В §2.3 приведены результаты численных экспериментов. Показано, как начальное возмущение взаимодействует с границей х = О. Результаты расчетов по схеме первого порядка точности имеют более сглокенный характер вследствие большей диссипа-тивности.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д-ру физ.-мат.наук, профессору В.Н. Врагову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публякацля автора по таые диссертации

1. Зияханов М.У. О численной реализации смешанной задачи с прозводной по времени в граничном условии для волнового уранения // Тез. докл. XVIII науч.-таор. -конф., ч.г.Караганда: Изд. КарГУ, 1993, с.103

2. Зияханов М.У. Численное решение смешанной задачи с производной по времени в граничном условии для волнового уравнения. Новосибирск, Препринт, ВЦ СО РАН, 1994. й 1022, 17 с.

3. Зияханов М.У. О численной реализации смешанной задачи для уравнения Соболева // .Матер. XXXII Мевд.науч. студ. конф.: Математика, НГУ. Новосибирск 1994, с. 18-19.

4. Зияханов М.У. Численное решение смешанной задачи с производной по времени ь граничном условии для уравнения Соболева // Неклассические задачи математической физики и анализа. - Новосибирск, НГУ, 1994.