автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение краевых задач упругого деформирования композитных оболочек вращения

На правах рукописи

ЮРЧЕНКО Андрей Васильевич

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2005

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Голушко Сергей Кузьмич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куропатенко Валентин Федорович

доктор физико-математических наук, профессор Самсонов Виктор Иванович

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится « 28 » декабря 2005 года в 11-00 на заседании диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, просп. М.А.Лаврентьева, 6. Факс: (383) 330-63-42 E-mail: DSovetfiict.nsc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики отделения ГПНТБ СО РАН (г. Новосибирск, просп. М.А.Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан « 26 .» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физика-математических наук, профессор

Л. Б. Чубаров

го%л г 2тзз

2-74 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Фундаментальная задача научных исследований — выявление причинно-следственных связей, общих тенденций и закономерностей. Так как проведение натурных экспериментов затрудняется их дороговизной и сложностью, проблемами при обеспечении исследователя желаемым количеством измеряемых параметров, а в ряде случаев невозможностью реализации, то моделирование процессов становится одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Особая роль при этом отводится вычислительному эксперименту.

Большинство задач математической физики приводит к необходимости численного решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. При этом системы уравнений могут иметь высокий порядок, переменные коэффициенты, содержать малые и большие параметры, что приводит к появлению в структуре решений таких задач быстро изменяющихся функций, а сами решения приобретают ярко выраженный характер погранслоев. Кроме того, нелинейность моделируемых процессов приводит п к нелинейности краевых задач, описывающих эти процессы. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования при этом оказываются малопригодными. Поэтому, разработка и совершенствование численных методов и алгоритмов решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании объектов и явлений, является важной и актуальной задачей фундаментальной науки.

Актуальным является решение конкретных, практически важных задач, среди которых выделим задачи моделирования и расчета композитных обо-лочечных систем. Тонкостенные пластины и оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Они играют ведущую роль в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Значительное повышение требований, предъявляемых к современным конструкциям, заставило использовать при их изготовлении новые композиционные материалы (КМ), сочетающие высокую прочность и жесткость с другими ценными качествами. Это, в свою очередь, привело к необходимости выявления и более полного использования потенциальных возможностей, открывающихся при использовании КМ. Решение задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкций, определение механизмов разрушения и выявление тенденций их поведения в зависимости от геометоитт^т^ктурных и механических харак-

1 библиотека

теристик материала, вида и параметров нагружения способствует как выработке конкретных технологических решений, так и формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в:

• разработке эффективных алгоритмов решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений и создании программного комплекса для решения задач расчета и анализа напряженно-деформированного состояния упругих слоистых армированных оболочек вращения;

• исследовании особенностей деформирования упругих слоистых армированных оболочек вращения, выявлении зависимостей их поведения от структурных и механических характеристик композиционных материалов, геометрии оболочек и вида их нагружения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Проведено численное исследование проблемы обеспечения точности и устойчивости расчетов при решении краевых задач методом дискретной ортогонализации. Выработаны критерии контроля и способы обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных сеток.

• Разработан и реализован программно эффективный алгоритм решения многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на методе дискретной ортогонализации.

• С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций, выполненных в виде замкнутых в окружном направлении оболочек вращения.

• Проведен сравнительный анализ использования различных структурных моделей композиционного материала и различных вариантов геометрически линейных и нелинейных теорий пластин и оболочек при расчете НДС композитных элементов конструкций. Исследовано влияние структурных и механических параметров композиционных материалов,

геометрии оболочек и вида нагружсния на поведение параболических

рефлекторов, куполов и тороидальных оболочек вращения

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Разработанные алгоритмы могут быть использованы при решении широкого класса нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные с помощью созданного программного комплекса результаты исследования НДС композитных оболочечных элементов конструкций могут служить основой как при выработке конкретных технологических решений, так и при формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по теме "Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336), поддерживались грантами: Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); II и V Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1998; 2001); XXXVII, XXXVIII Международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999; 2000); V, VI и VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); XVI школе-семинаре "Информационные технологии в задачах математического моделирования" в рамках научных мероприятий "Вычислительные технологии — 2000" (Новосибирск, 2000); Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск,

2000); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летню академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Казахстан, Алматы, 2004).

В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2005); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2005).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 14 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций, а также тезисы докладов на научных конференциях. Список публикаций приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка, включающего 83 наименования, и приложения. Общий объем диссертации составляет 164 страницы.

Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю к.ф -м.н Голушко Сергею Кузьмичу за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы.

Автор благодарен своим коллегам: к.ф.-м.н. Горшкову В.В. и аспирантке Морозовой Е.В. за ценные научные дискуссии и плодотворное обсуждение полученных результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, а также результаты, определяющие научную новизну работы. Приведено краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе диссертации описаны методы решения краевых задач, возникающих, в частности, при определении напряженно-деформированного состояния композитных оболочечных элементов конструкций. Сформулированы проблемы, возникающие при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малыми и большими параметрами. Изложены алгоритмы используемых в работе методов решения одномерных краевых задач.

В §1.1 перечислены некоторые подходы к решению двумерных краевых задач для систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных по направлениям. Описан метод разделения переменных для сведения краевых задач вида

= + А(,)у(в, „) 4- Г (.,(1)

-9Р(<р) = 0, р = 1,..., где у — вектор решения, А, Ат - матричные функции, { — вектор-функцня свободных элементов системы, gг) и др - векторы и свободные элементы граничных и локальных условий, к ряду краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида:

где вектор у состоит из коэффициентов в разложении компонентов решения исходной задачи в ряды Фурье, А и ^ — матричная и векторная функции, др - коэффициенты в разложении в ряды Фурье функций др{<р).

В § 1.2 обсуждаются проблемы неустойчивости численных алгоритмов при интегрировании одномерных краевых задач, особенности соответствующих систем уравнений. Если для задач Коши вопросы преодоления численной неустойчивости проработаны достаточно подробно, то для многоточечных краевых задач это значительно более сложная проблема. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования краевых задач на классах систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым приводят, в частности, задачи механики композитных элементов конструкций, оказываются малопригодными. Следует отметить, что в работах, посвященных проблемам численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ, рассматриваются задачи, решение которых устойчиво относительно начальных данных. Для такого класса задач спектр матрицы системы лежит в левой комплексной полуплоскости, хотя допускается и существование собственных чисел с малой положительной действительной частью.

Класс краевых задач статики тонкостенных оболочечных конструкций включает в себя задачи, спектры матриц систем которых содержат и отрицательные, и положительные действительные собственные числа, в том числе очень большие. Так, для матриц систем краевых задач, возникающих при расчете НДС тонкостенных армированных оболочек на основе теорий Кирхгофа — Лява или Тимошенко, эти числа достигают значений порядка 10. В случае использования уточненных теорий пластин и оболочек1 величины действительных собственных чисел могут быть на два и более порядка больше — от 100 до 1000 и выше.

При численном интегрировании задачи Коши, спектр матрицы которой содержит большие и малые по величине собственные числа, лежащие и в левой и в правой комплексных полуплоскостях одновременно, наряду с классическими проблемами жесткости системы задачи Коши, возникает проблема неустойчивостн её решения относительно возмущений начальных данных В этом случае применение сеток со сколь угодно мелким шагом не дает возможности проинтегрировать задачу с заданной точностью — погрешность численного решения растет экспоненциально, тем быстрее, чем больше величина положительных собственных значений матрицы системы, если длина интервала интегрирования велика, то это неизбежно приводит к неограниченному росту погрешности интегрирования.

В § 1.3 приведены описания используемых в работе методов решения краевых задач для систем ОДУ: метода начальных параметров, метода дискретной ортогонализации (МДО), метода сплайн коллокации Вторая глава посвящена разработке алгоритма решения многоточечных краевых задач для систем ОДУ на основе МДО. МДО хорошо зарекомендовал себя при решении задач расчета осесимметричного НДС композитных сосудов высокого давления и резервуаров, в том числе составных. Использование при этом классической теории пластин и оболочек Кирхгофа—Лява позволило применять метод на равномерных сетках и без особых модификаций. Однако, переход к использованию уточненных теорий, учитывающих деформации поперечного сдвига на основе гипотез о нелинейном распределении вектора перемещений по толщине оболочки, заставил искать пути по адаптации алгоритма МДО к решению краевых задач для систем ОДУ, в спектрах матрицы Якоби которых содержатся сильно удаленные от мнимой оси величины из обеих комплексных полуплоскостей.

В §2.1 предложено решение проблемы построения векторов начальных

1Андреев А Н., Немировский Ю В Многослойные анизотропные оболочки и пластины- Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. — 288 с.

данных для многоточечных краевых чадам. В работе2, представлен общий алгоритм МДО, но отсутствует описание ряда необходимых при его реализации процедур. Тем самым, у исследователей имеется определенная свобода в реализации алгоритма метода. В частности, не рассматривается вопрос вычисления векторов начальных данных. Кроме того, алгоритм МДО изначально предназначен для решения двухточечных краевых задач, в то время как существует широкий класс проблем, приводящих к решению многоточечных краевых задач. Поэтому в диссертации предложен алгоритм построения начальных векторов в МДО для произвольного вида линейных невырожденных краевых условий, позволяющий, с одной стороны, использовать его при решении двухточечных краевых задач, с другой стороны, модифицировать алгоритм МДО для решения многоточечных краевых задач. Описана соответствующая модификация МДО.

В § 2 2 численно исследованы вопросы обеспечения устойчивости счета при использовании МДО Исследования проводились на задаче изгиба длинной слоистой пластины1, аналитическое решение которой содержит в своей структуре быстроизменяющиеся экспоненциальные функции.

Выявлены различные механизмы потери устойчивости, а именно: в результате вырождения набора векторов решений, в результате неустойчивости численного интегрирования задач Коши или в результате неограниченного роста погрешности численного интегрирования задач Коши. Построены зависимости минимального числа узлов ортогонализации ./. при котором счет становится устойчивым, от спектрального радиуса матрицы системы Л. На рис. 1а представлены два варианта таких зависимостей: при нефиксированном (больше трех, подбираемом в зависимости от результатов) количестве интегрирований между узлами ортогонализации (пунктирная кривая) и при фиксированном (три интегрирования, сплошная кривая). В обоих случаях зависимость приближенно стабилизируется на некоторой линейной функции при увеличении А. Однако, для фиксированного количества интегрирований между узлами ортогонализации эта зависимость более стабильная: J ~ 0.095- А+25. На рис 16 приведены значения IV* = тахм{ — | |}, полученные при построении представленных на рис. 1а зависимостей. Здесь Щги - диагональные элементы матрицы ЛУ^ оператора ортогонализации в ]-ом узле. Можно видеть, что при увеличении спектрального радиуса матрицы системы рассматриваемые величины стабилизируются, гиперболически приближаясь к значениям порядка 4 -г 5. При этом, для фиксированного

2Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961. Т. 16. № 3. С. 171-174

W

0 2500 5000 7500 10000

Рис. 1:

2500 5000 7500 10000

числа интегрирований между ортогонализациями в задачах с относительно небольшими спектральными радиусами матрицы системы, условия устойчивости выполняются с запасом, т.е. расчет становится устойчивым при меньшем числе узлов ортогонализации, а недостающую точность можно легко компенсировать измельчая сетку процедуры интегрирования.

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие критерии контроля и обеспечения устойчивости расчета МДО. При выборе шага интегрирующей процедуры можно руководствоваться выполнением критерия3

(кз -к2),

(к2 — ki)j

начиная со второго или с третьего после ортогонализации интервала интегрирования. Здесь кг - стадии метода Рунге — Кутты — Мерсона, используемого для численного интегрирования задач Коши. Выбор расстояния между узлами ортогонализации основывается на анализе оператора ортогонализации W. Необходимым условием уменьшения расстояния является вырожденность набора векторов-решений в узле, достаточным — условия вида:

max{— log10 \Wlt\} > const. >

Входящая в формулу константа зависит от многих факторов, в-т.ч. разрядности математического процессора. В расчетах const ~ 4.0.

На основе предложенных критериев разработан алгоритм решения краевых задач для систем ОДУ с автоматическим обеспечением устойчивости счета. Тестирование на задачах, для которых спектральные радиусы матрицы

3Новиков Е.А Явные методы для жестких систем Новосибирск- Наука. Сиб предприягие РАН, 1997 - 195 с.

Якоби систем ОДУ достигали значений порядка 104, показало работоспособность алгоритма - получаемые погрешности не превышали долей процента в большинстве случаев (см. табл. 1, где приведены погрешности е, а также число выполняемых при этом интегрирований).

Таблица 1

Спектральный радиус Л 20.75 103.77 311.32 1037.72 3113.18 10377.2

Погрешность е, % 0.55 2.75 0.16 0.04 0.14 0.09

Число интегрирований 19 116 371 1236 3722 12258

В §2.3 приведена схема алгоритма решения краевых задач для систем ОДУ, основанного на методе дискретной ортогонализации и разработанных дополнительных процедурах.

В § 2.4 исследована эффективность разработанных алгоритмов и процедур обеспечения устойчивости счета в применении к решению задачи изгиба круглых слоистых пластин в рамках уточненной теории пластин и оболочек1. Получено два варианта разрешающей системы уравнений с переменными коэффициентами. один вариант с постоянными собственными числами матрицы системы, другой вариант — с переменными, гиперболически стремящимися к бесконечности при приближении к нулю. Выписан общий вид аналитического решения задачи. Рассмотрено влияние вида разрешающей системы и параметров задачи на работу алгоритма и его эффективность. Показано, что алгоритм успешно справляется с решением задачи при различных ее параметрах, в том числе при малых радиусах внутреннего отверстия — получаемые погрешности составляют доли процента. При этом погрешности и соответствующие объемы вычислений зависят от параметров задачи и выбора варианта системы уравнений.

В §2.5 предлагается методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных адаптивных сеток процедуры Рунге — Кутты — Мерсона численного интегрирования задач Коши, возникающих в МДО. При определении шага таких сеток применяются формулы, построенные по принципу эквираспределения:

А(х) = тш{Дтах, А*Уе'/£'(х)}, (2)

Д(х) = тт{Дшах, С • ||(у*)'(*)1Г1/4}- (3)

Здесь Д(х) — шаг неравномерной сетки, Дщах — ограничение сверху на шаг сетки, у*(х) — решение, полученное на равномерной сетке с шагом Д*, е*{х) —

достигнутая при этом погрешность, для приближенного вычисления которой используется правило Рунге, е' — требуемая точность, С = С(у*, £*,£■'). Показано, что применение предложенной методики позволяет либо существенно — на 2 -г 4 порядка и более — увеличить точность расчетов, либо сократить объем вычислений в 3 -г 20 и более раз (см. табл. 2).

Таблица 2

Погрешность е « Ю-7 е и Ю-10 е и Ю-12

Тип сетки Число интервалов интегрирования

Равномерная 13825 75000 237000

Формула (2) 3109 3718 10471

Формула (3) 3077 8119 63022

Третья глава диссертации посвящена вопросам моделирования свойств композитов и описанию основных положений классической теории пластин и оболочек Кирхгофа — Лява и уточненной теории типа Тимошенко, выводу разрешающих систем уравнений, описывающих НДС круглых пластин и оболочек вращения.

В §3.1 обсуждаются основные подходы к определению физико -механических свойств КМ, представлены используемые в работе структурные модели КМ и критерии прочности и начального разрушения композитов. При использовании структурных моделей КМ физико-механические характеристики композита выражаются через характеристики его компонентов и структурные параметры армирования, при этом удается восстановить напряжения и деформации в связующем и армирующих элементах по известным средним напряжениям и деформациям КМ, что открывает широкие перспективы и возможности для улучшения свойств композитных конструкций. Приведены определяющие соотношения ряда структурных моделей КМ, которые используются в работе: модели В.В. Болотина (МБ)4, моделей Ю.В. Немировского с одномерными волокнами (MOB)5 и с двумерными волокнами (МДВ).6

Представлены используемые в работе структурные критерии прочности и начального разрушения композитов, которые базируются на изучении на-

4Болотии В.В , Новичков Ю Н Механика многослойных конструкций М.- Машиностроение, 1080 — 375 с.

5Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журн. прикл механики и техн. физики, 1969. № 6. — С. 8Х-89.

6Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров, 1972. № 5. — С. 861-873.

пряжений и деформаций в компонентах композита, для каждого из которых принимается тот или иной критерий прочности1 '7.

В § 3.2 дан сравнительный анализ расчетных характеристик однонаправ-лепно и перекрестно армированных КМ с известными экспериментальными данными. Показано, что результаты получаемые по МДВ и МБ, достаточно хорошо соотносятся с экспериментальными данными, что позволяет эффективно использовать эти модели при исследовании НДС армированных конструкций. Модель с одномерными волокнами дает заниженные значения для эффективных жесткостей армированных материалов, что позволяет использовать их для оценки прочности конструкционных элементов с запасом.

В § 3.3 выписаны исходные системы уравнений классической теории оболочек Кирхгофа — Лява8 и теории типа Тимошенко9, описывающие неосе-симметричное НДС оболочки вращения осесимметричного строения. Изложен способ получения и приведены разрешенные относительно производной по меридиональному направлению системы, состоящие из 8-ми и 10-ти дифференциальных уравнений с частными производными соответственно. Пренебрежение нелинейными слагаемыми позволяет получить уравнения линейных теорий, пригодные для изучения НДС пластин и оболочек при малых деформациях. С помощью метода разделения переменных получены одномерные краевые задачи для определения коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье по окружной координате.

Четвертая глава посвящена моделированию поведения главного зеркала параболической антенны. Исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ на НДС параболического рефлектора, выполненного в виде тонкой композитной оболочки и подверженного действию собственного веса, ветровой и температурной нагрузок.

В §4.1 приведена постановка задачи. Системы ОДУ, полученные из исходной системы с частными производными методом разделения переменных, имеют высокий порядок и содержат малые и большие параметры, что приводит к большому разбросу собственных чисел матрицы Якоби этих систем. На степень этого "разброса" существенно влияют механические и структурные параметры материала, номера рассчитываемых гармоник в разложении решения в ряды Фурье, кроме того, он переменный вдоль меридиана оболочки.

7Немировский Ю В , Резников Б С Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986. — 165 с.

8Новожилов В В Теория тонких оболочек Л Судпромгиз, 1951 — 344 с.

9Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. 321 с.

Так, при изменении структуры материала, величина

тах|А_,(А(г))|

Л* = шах—-^-,

' шш|А,(А(г))|

з

характеризующая указанный "разброс" собственных чисел \3 матрицы А системы ОДУ, возникающей при расчете антисимметричного НДС углеплас-тикового рефлектора, изменяется почти в 6 раз.

В §4.2 рассмотрено деформирование рефлектора антенны, находящегося в условиях осесимметричного нагружения действием собственного веса и температуры, а в §4.3 — неосесимметричного нагружения действием собственного веса и давления ветра, что создает, наряду с осесимметричными компонентами решения, антисимметричное НДС.

Проведены параметрические исследования влияния структуры КМ на характер поведения рефлектора, показавшие, в частности, что армирование высокомодульными волокнами может как улучшить, так и ухудшить жест-костные и прочностные характеристики конструкции. Это является существенным аргументом в пользу проведения предварительных исследований перед применением КМ. Показано, что при изменении структуры армирова-

90 , 90 1

Рис. 2.

ния может происходить перераспределение напряжений между материалами связующего и армирующих волокон. В целом меняя структуру КМ можно добиться изменения уровня интесивностей напряжений в материале армирующих волокон до 10 раз, в материале связующего — до 3 раз и более;

прогибы могут меняться более чем в 3 раза, а в случае термонагруженно-го алюминиево углеродного рефлектора, находящегося под действием собственного веса - до 30 раз, как на рис. 2. Здесь штах максимальные по всей поверхности рефлектора прогибы, Ьво — максимальные приведенные интенсивности напряжений в материале связующего, тр, —ф — углы укладки спиральных семейств волокон, и>2 — удельная интенсивность армирования окружного семейства волокон. Выбор удачной схемы армирования углеродными волокнами алюминиевого рефлектора, находящегося в условиях сложного нагружения действием собственного веса и давления ветра, позволяет уменьшить прогибы на 50% в сравнении с изотропной конструкцией того-же веса, при этом предпочтение нужно отдавать схемам, когда вся арматура уложена вдоль меридианов.

Анализ влияния вида нагружения на НДС рефлектора показал, что при изменении углов наклона оси антенны и направления ветра прогибы меняются более чем в 10 раз, а максимальные интенсивности напряжений — в б раз; максимальных значений напряжения и прогибы достигают в случаях, когда направление ветра перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось рефлектора и вертикаль.

В §4.4 рассмотрено комбинированное нагружение рефлектора антенны собственным весом, ветровой и температурной нагрузками.

Параметрические расчеты показали, что характер зависимостей максимальных прогибов и интенсивностей напряжений в связующем для титано-углеродного и алюминиево углеродного рефлекторов качественно схож. При этом диапазон значений, принимаемых максимальными прогибами титаноуг-леродного рефлектора существенно меньше, однако минимальные значения '^тах достигаются при использовании менее жесткой, алюминиевой матрицы.

В зависимости от структурных параметров прогибы в алюминиево-угле-родном рефлекторе изменяются более чем в 6 раз, а при использовании титановой и кремний-органической матриц интенсивности напряжений в армирующих волокнах изменяются более чем в 10 раз.

В §4.5 приведено сравнение результатов расчетов методами дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации на задаче определения НДС зеркала параболической формы отдельно по гармоникам, показавшее, что относительные разности компонент решения не превосходят 0.05%. При уменьшении шага сетки для метода дискретной ортогонализации и увеличении требований к точности для метода сплайн-коллокации результаты сближаются, и относительные разности компонент решения достигают значений порядка Ю-8 %.

С точки зрения эффективности по временным затратам, метод дискретной ортогонализации превосходит метод сплайн-коллокацин, позволяя достигать такой же точности в 3 -т-10 раз быстрее.

В пятой главе исследованы особенности деформирования, определены нагрузки начального разрушения армированных куполов, находящихся под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок.

В §5.1 приведена постановка задачи. Исследована структура матрицы системы ОДУ в зависимости от геометрии оболочки, структурных и механических характеристик КМ, номера рассчитываемой гармоники.

В §§ 5.2, 5.3 рассмотрен купол под действием собственного веса без учета и с учетом ветровой нагрузки. Исследовано влияние формы купола и его чн-нейных размеров, структурных и механических характеристик КМ на запас прочности. Выявлены характерные зависимости оптимальной высоты купола от типа его геометрии, структурных и механических характеристик КМ

Характер зависимостей максимальных интенсивностей напряжений от высоты купола существенно зависит от его геометрии и структурных параметров КМ, при этом влияние механических характеристик КМ лишь количественное Для каждого типа геометрии и структуры армирования существуют характерная высота купола, при которой напряжения в материале связующего минимальны При воздействии ветровой нагрузки можно выбором формы меридиана и высоты купола увеличить запас прочности конструкции более чем в 2 раза Исследования показали, что при нагружении только собственным весом эффективнее использовать эллиптические, близкие к сферической форме купола и жесткую крышку в вершине купола, в то время как при наличии ветровой нагрузки больший запас прочности можно обеспечить при использовании гиперболических куполов со свободным краем в вершине.

В §5.4 рассмотрено комбинированное нагружение купола собственным весом, температурной и ветровой нагрузками. Исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ на прочность куполов различной формы. Определены нагрузки начального разрушения.

Малый вклад действия собственного веса в НДС куполов, нагруженных давлением ветра и температурой, позволяет строить гиперповерхности прочности в пространстве приращения температуры и давления ветра. На рис 3 а представлены гиперповерхности прочности для железобетонного (кривая 1), стеклопластикового (кривая 2) и металлокомпозитного (кривая 3) параболических, а также для гиперболического (кривая 4) и эллиптического (кривая 5) металлокомпозитных куполов откуда, в частности, можно видеть, что стек-

150

100

50

■ 1........ 1 Л !

6\ \ •4 2\ "ч 'Г^'ч, \ 5 Ч. Ч. ,

60

120

180

Рис. 3.

лопластиковый купол (2) может быть более выносливым в отношении температурного нагружения, чем металлокомпозитный (3), что форма меридиана купола мало влияет на его выносливость в отношении температурного нагружения (кривые 3-4) На рис. 36 показано влияние структуры армирования на область упругого поведения гиперболического стеклопластикового купола. Кривым соответствуют параметры армирования — 0.2, и>2 = 0.2, а>з = 0.6, ф = 15° (кривая 1), ф = 45° (кривая 2), ф = 75° (кривая 3), = 0, ш2 = 0.4 (кривая 4), и>1 = 0.4, = 0 (кривая 5), и>1 = 0, ыг = 0, = 1, ф = 45° (кривая 6), где и> 1 — удельная интенсивность укладки спиральных семейств волокон, и>з - интенсивность армирования в меридиональном направлении. Очевидно, что изменением структуры армирования можно существенно влиять на прочность конструкции, исходя из вида ее нагружения.

В §5.5 приведен анализ достоверности полученных численных решений, показавший удовлетворительную степень совпадения результатов, получаемых двумя принципиально разными численными методами. В шестой главе, изучено влияние неоднородности и анизотропии КМ на деформирование резинокордной тороидальной оболочки. Исследовано влияние выбора модели КМ и теории оболочек, учета нелинейности на результаты расчетов напряженно деформированного состояния оболочки. Рассмотрены схемы армирования оболочки с несимметричным, относительно меридиана, строением.

В § 6.1 исследовано влияние и показана необходимость учета нелинейных слагаемых при расчете резинокордных тороидальных оболочек, состоящих из разного числа слоев, при использовании различных материалов корда. Приведенные на рис. 4 результаты соответствуют расчетам с использованием линейной классической теории оболочек (сплошные кривые) и теориям Тимошенко: линейной (штриховые кривые) и нелинейной (штрихпунктир-

а

б

W, мм

W, мм

60

6

30

0

•30

6

О

05

1 5 2 ф, рад.

О

05

1 5 2

ф, рад.

Рис. 4.

ные кривые). Рассчитывались двухслойные оболочки с вискозным кордом (рис. 4 а) и с металлокордом (рис. 46) при Р = 0.5 атм. Для сравнения рассчитано НДС оболочек с использованием нелинейной теории Тимошенко при значении Р = 2атм. (штрихпунктирные кривые с двумя точками). Различие между результатами, Получаемыми в рамках классической теории оболочек Кирхгофа—Лява и в рамках теории Тимошенко проявляется при большой разнице между модулями упругости связующего и арматуры.

Показано существенное влияние на результаты расчетов выбора модели КМ. При этом МДВ и МБ показывают близкие результаты, а применение MOB дает иную картину, как по максимальным значениям — отличие в прогибах может быть от 2-х до 4-х раз, так и по характеру — в частности, может принципиально меняться положение экстремумов для прогиба. При этом существуют параметры, когда отличие между результатами, получаемыми с применением МДВ и MOB не столь значительно.

В §6.2 изучено влияние неоднородности и анизотропии КМ на деформирование резинокордной тороидальной оболочки. Показано, что переход от перекрестно армированной 8-ми слойной к квазиоднородной по толщине тороидальной оболочке не вносит существенных погрешностей (не более 5 %) в величины интенсивностей напряжений в элементах КМ, а в случае 16-ти слойной оболочки они практически совпадают с квазиоднородной моделью. Так как использование квазиоднородности по толщине существенно упрощает расчеты, то можно сказать, что применение этой гипотезы оправдано при количестве перекрестно армированных слоев более 4-х, а при количестве слоев более 8 — целесообразно.

В § 6.3 рассмотрено применение несимметричных относительно меридиана схем укладки корда Армирование по таким схемам приводит к необходимости учета поперечных сдвигов и усложняет разрешенную систему уравнений. В результате исследования удалось показать, что применение несимметричных схем армирования позволяет реализовать значительно более широкий спектр НДС в оболочке, в сравнении симметричными схемами укладки арматуры. В частности можно, сохраняя достаточную гибкость оболочки, изменять в широком диапазоне уровень максимальных интенсивностей напряжений в связующем материале и корде, и наоборот. В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Разработан эффективный алгоритм численного решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено тестирование алгоритма на задачах с известными аналитическими решениями, показавшее, что его применение позволяет успешно решать краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральные радиусы матрицы Якоби которых достигают значений на несколько порядков больше единицы.

2. Численно исследована проблема обеспечения устойчивости метода дискретной ортогонализации при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малыми и большими параметрами. Построены зависимости необходимого числа узлов ортогонализации от спектрального радиуса матрицы системы дифференциальных уравнений, обеспечивающие устойчивость расчетов. Выявлены характеристики, позволяющие контролировать и управлять устойчивостью вычислительного процесса. Выработаны критерии и предложены методики выбора шага интегрирования и расстояния между узлами ортогонализации для обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных адаптивных сеток, применение которой позволяет на порядки повышать точность расчетов, либо в десятки раз уменьшать объем необходимых вычислений.

3. С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния и проведено исследование особенностей деформирования композитных оболочечных элементов конструкций: параболических рефлекторов, гиперболических, параболических и эллипсоидальных куполов, тороидальной оболочки.

Проведен сравнительный анализ использования при этом классической и уточненной теорий оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках, различных структурных моделей композиционного материала. Указаны области параметров конструкций, при которых получаемые с использованием различных теорий оболочек и моделей композиционного материала результаты отличаются несущественно, параметры, при которых учет нелинейных слагаемых необходим.

4. Показано существенное влияние анизотропии материала, структурных и механических характеристик композита, вида п параметров нагружения на напряженно-деформированное состояние композитных конструкций: на величины прогибов и интенсивностей напряжений в элементах композита, на характеры их распределения. Обнаружено, что в зависимости от структурных и механических параметров композиционного материала в конструкции могут реализовываться различные механизмы начального разрушения. Показано, что, в сравнении с симметричными схемами армирования, применение несимметричных схем открывает более широкие возможности по управлению поведением оболочек.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях.

1. Голушко С.К., Горшков В.В , Юрченко A.B. Нелинейное поведение армированных сосудов давления // Механика летательных аппаратов и современные материалы Доклады конференции. Томск- Изд-во Том ун-та, 1998. С. 140 141.

2. Горшков В.В., Юрченко A.B. О двух численных методах расчета сопряженных композитных конструкций // Материалы XXXVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999. С. 30-31.

3. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко A.B. О двух численных методах расчета сопряженных композитных конструкций // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Материалы V научной конференции, посвященной 275-летию Российской академии наук, Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. С. 49-55.

4. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко A.B. Анализ поведения армированного сосуда в геометрически нелинейной постановке // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1999. Вып. 114. - С. 155-160.

5 Юрченко A.B. Исследование напряженно-деформированного состояния рефлектора антенны // Материалы XXXVIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс". Новосибирск, 2000. Ч. 1. С. 73-74.

6. Голушко С.К., Юрченко A.B. Расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов зеркальных антенн // Труды конф. мол. уч., посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Новосибирск, 25-26 декабря 2000 г. / Т. II: Математическое моделирование. С. 28-31.

7. Голушко С.К., Юрченко A.B. Разрушение армированной параболической антенны при действии экстремальных нагрузок // Природно-техногенная безопасность Сибири. Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф: Тр. научн. мероприятий / Научн. ред. Ю.И. Шокин, H.A. Махутов, В.В. Москви-чев. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. - С. 193-198.

8. Голушко С.К., Юрченко A.B. Расчет напряженно-деформированного состояния армированных тонкостенных элементов зеркальных антенн // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика, 2001. Т. 1. Вып. 2. - С. 38-62.

9. Голушко С.К , Юрченко A.B. Моделирование поведения главного зеркала композитной параболической антенны // Вычислительные технологии, 2001. Т. 6. Ч. II. - С. 750-759.

10. Голушко С.К., Юрченко A.B. Влияние структурных и механических характеристик композиционного материала на деформирование зеркальной антенны // Прикладная механика и техническая физика, 2002. Т. 43. № 2. - С. 170-175.

11. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко A.B. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач / / Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. № 2. - С. 24-33.

12. Юрченко A.B. Применение адаптивных сеток при решении краевых задач для жестких систем ОДУ // Тезисы Международной научной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 44-45.

13. Golushko S.K., Yurchenko A.V. Effect of Structural and Mechanical Characteristics of the Composite Material on the Deformation of a Reflector

Antenna // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002. Vol. 43. No. 2. - P. 315-319.

14. Голушко С.К., Юрченко A.B. Расчет тонкостенных композитных куполов методом дискретной ортогонализации // Тр. XVIII Межреспубл. конф. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Новосибирск, 2003. С. 55-62.

15. Голушко С.К., Юрченко A.B. Анализ поведения композитного купола при действии экстремальных нагрузок // Тр. VII Всерос. науч. конф "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф". Красноярск, 2003. Т. 1. — С. 93 99.

16. Голушко С К.. Морозова R.B., Юрченко A.B. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений 1' Веггник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2005. № 2. - С. 12-26.

17. Голушко С.К., Горшков В.В., Морозова Е.В., Юрченко A.B. Многослойные цилиндрические оболочки: сравнение решений для различных оболочечных теорий и пространственной теории упругости // Тр. XIX Межреспубл. конф. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" Новосибирск, 2005. С 77-84.

18. Голушко С.К., Юрченко A.B. О численном решении жестких краевых задач уточненных теорий пластин и оболочек // Там же. С. 92-100.

Подписано в печать 25.11.2005 Формат бумаги 60 х 84 1/16 Тираж 100 экз. Заказ Л"« т

ЗАО "РИЦ "Прайс-Курьер", 630090, г.Новосибирск, просп. ак. М.А.Лаврентьева, 6

Р24568

РНБ Русский фонд

2006-4

27409 '

i

Введение

1 Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек вращения

1.1 О сведении двумерных краевых задач к одномерным

1.2 Особенности систем дифференциальных уравнений при решении краевых задач

1.3 Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.3.1 Метод начальных параметров.

1.3.2 Метод дискретной ортогонализации.

1.3.3 Метод сплайн-коллокации.

2 Алгоритм решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1 Проблемы вычисления векторов начальных данных и решения многоточечных задач

2.2 Обеспечение устойчивости расчетов.

2.3 Схема алгоритма.

2.4 Анализ эффективности алгоритма при решении задачи изгиба слоистых кольцевых пластин.

2.5 Обеспечение точности расчетов с использованием неравномерных сеток.

3 Определяющие соотношения статики упругих композитных оболочек вращения

3.1 Моделирование свойств и критерии прочности пол нормированных композитов.

3.1.1 Модель В.В. Болотина.

3.1.2 Модели Ю.В. Немировского.

3.1.3 Критерии прочности и начального разрушения композиционных материалов.

3.2 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными

3.3 Исходные и разрешающие системы уравнений теории оболочек вращения.

3.3.1 Исходные уравнения и соотношения.

3.3.2 Разрешающие системы уравнений.

Напряженно-деформированное состояние рефлектора параболической антенны

4.1 Постановка задачи.

4.2 Рефлектор под действием осесимметричного нагружения собственным весом и температурой.

4.3 Рефлектор под действием собственного веса и ветровой нагрузки

4.4 Рефлектор под действием собственного веса, температурной и ветровой нагрузок.

4.5 Анализ достоверности численных решений.

Особенности поведения и начальное разрушение армированных куполов

5.1 Постановка задачи.

5.2 Купол под действием осесимметричного нагружения собственным весом.

5.3 Купол под действием собственного веса и давления ветра

5.4 Купол под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок.

5.5 Анализ достоверности численных решений.

6 Влияние анизотропии материала на деформирование резинокордной тороидальной оболочки

6.1 Влияние выбора модели композиционного материала и теории оболочек на результаты расчетов напряженно-деформированного состояния оболочки.

6.2 Влияние анизотропии и неоднородности материала на поведение оболочки.

6.3 Об использовании несимметричных схем армирования

Фундаментальная задача научных исследований — выявление причинно-следственных связей, общих тенденций и закономерностей. Так как проведение натурных экспериментов затрудняется их дороговизной и сложностью, проблемами при обеспечении исследователя желаемым количеством измеряемых параметров, а в ряде случаев невозможностью реализации, то моделирование процессов становится одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Особая роль при этом отводится вычислительному эксперименту.

Большинство задач математической физики приводит к необходимости численного решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. При этом системы уравнений могут иметь высокий порядок, переменные коэффициенты, содержать малые и большие параметры, что приводит к появлению в структуре решений таких задач быстро изменяющихся функций, а сам pi решения приобретают ярко выраженный характер погранслоев. Кроме того, нелинейность моделируемых процессов приводит и к нелинейности краевых задач, описывающих эти процессы. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования при этом оказываются малопригодными. Поэтому, разработка и совершенствование численных методов и алгоритмов решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании объектов и явлений, является важной и актуальной задачей фундаментальной науки.

Среди актуальных, практически важных задач, приводящих к решению краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными, выделим задачи моделирования и расчета композитных оболочечных систем. Тонкостенные пластины и оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Они играют ведущую роль в авиационной и ракетно-космической технике, судо-и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Значительное повышение требований, предъявляемых к современным конструкциям, заставило использовать при их изготовлении новые композиционные материалы (КМ), сочетающие высокую прочность и жесткость с другими ценными качествами. Это, в свою очередь, привело к необходимости выявления и более полного использования потенциальных возможностей, открывающихся при использовании КМ.

Таблица 1 р, 103 кг/м3 Е, ГПа а, к-1 ст*, МПа

Матрицы

Эпоксидная 1.25 3.0 5-Ю-5 50

Кремний-органическая 1.4 13 2-10~5 50

Алюминиевая 2.68 70 2.33-Ю-5 170

Титановая 4.5 110 8.3-10-6 600

Волокна

Борные 2.5 386 9-Ю-6 3.74

Нитевидные кристаллы 3.96 500 6.4-10-6 34

Органические (Терлон) 1.45 145 3-Ю"6 3.4

Стальные 7.8 200 12.5-10-6 3.8

Стеклянные (ВМ-1) 2.58 95 9.6Т0"6 4.2

Углеродные 1.9 550 2-Ю-6 2.5

Армирование высокомодульными волокнами широко применяется при создании легких, но прочных конструкций с заданными свойствами. В качестве связующего используются полимерные, углеродные, металлические или керамические матрицы. Армирующими элементами являются стеклянные, углеродные, борные или органические, а также ряд металлических волокон. Перспективно, также, использование в качестве арматуры нитевидных кристаллов (усов). В отличие от обычных волокон, обладающих прочностью не превышающей 1-3% от модуля упругости Е, усы, вследствие малых поперечных размеров и высокой степени совершенства, достигают прочности в 5-15% Е. В таблице 1 приведены механические свойства характерных представителей разных классов матриц и волокон [10, 68, 74], используемые в работе. Здесь р - удельная плотность, Е - модуль упругости, а - коэффициент линейного температурного расширения материала, а сг* - предел прочности (текучести).

Свойства конструкций из слоисто-волокнистых композитов существенно зависят от технологии изготовления и структуры материала. При неудачном выборе компонентов и структуры КМ, армированная конструкция может проиграть изотропной, поэтому перед изготовлением конструкций из КМ очень важно решить вопрос о выборе материалов и схемах армирования.

Решение задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкций, определение механизмов разрушения и выявление тенденций их поведения в зависимости от геометрии, структурных и механических характеристик материала, вида и параметров нагружения способствует как выработке конкретных технологических решений, так и формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Методами математического моделирования задачи определения НДС композитных элементов конструкций приводятся к решению пространственной задачи механики деформируемого твердого тела, сформулированной в виде краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Решение таких задач в аналитическом виде возможно лишь в простейших случаях, а наиболее распространенным подходом является применение численных алгоритмов. Среди универсальных алгоритмов, позволяющих решать в пространственной постановке задачи механики сплошных сред, в том числе механики композитных конструкций, выделяются методы конечных и граничных элементов. Они завоевывают все большую популярность, вследствие существенного прогресса, достигнутого в разработке высокопроизводительной вычислительной техники. Однако их использование приводит к очень большим объемам вычислений, особенно при решении задач механики композитных конструкций в пространственной постановке. Это обусловлено эффектами анизотропии материала, наличием в системах уравнений, описывающих НДС, малых и больших параметров, что приводит к появлению ярко выраженных краевых эффектов и заставляет существенно измельчать сетки элементов в областях погранслоев. Получаемые объемы вычислений столь высоки, что даже на современных высокопроизводительных системах для решения обозначенных задач требуется существенное количество времени, что, в частности, накладывает существенные ограничения на проведение вариантных расчетов. При этом, достоверность получаемых в результате расчета чисел бывает очень сомнительна [66].

Другой подход к решению задач механики композитных элементов конструкций — понижение размерности — применим в случае, когда хотя бы один из линейных размеров рассчитываемого элемента конструкции мал, в сравнении с остальными, как, например, толщина для пластин и оболочек. При данном подходе исходная трехмерная задача механики деформируемого твердого тела сводится к двумерной задаче с помощью метода гипотез, метода разложения в ряды по координате или малому параметру и др. Порядок систем уравнений теорий пластин и оболочек, получаемых при этом, в общем случае много больше, чем порядок исходной системы. Кроме того, даже линейная задача пространственной теории упругости может привести к нелинейной задаче теории пластин и оболочек. С учетом того, что вдобавок к малым и большим параметрам, унаследованным от исходной задачи, в системах уравнений теории оболочек появляются новые, решения соответствующих двумерных краевых задач приобретают еще более ярко выраженный характер погранслоев, а их численное интегрирование сопряжено с существенными проблемами по обеспечению устойчивости счета.

Цель диссертационной работы заключается в:

• разработке эффективных алгоритмов решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений и создании программного комплекса для решения задач расчета и анализа напряженно-деформированного состояния упругих слоистых армированных оболочек вращения;

• исследовании особенностей деформирования упругих слоистых армированных оболочек вращения, выявлении зависимостей их поведения от структурных и механических характеристик композиционных материалов, геометрии оболочек и вида их нагружения.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту.

• Проведено численное исследование проблемы обеспечения точности и устойчивости расчетов при решении краевых задач методом дискретной ортогонализации. Выработаны критерии контроля и способы обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных сеток.

• Разработан и реализован программно эффективный алгоритм решения многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на методе дискретной ортогонализации.

• С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния упругих композитных элементов конструкций, выполненных в виде замкнутых в окружном направлении оболочек вращения.

• Проведен сравнительный анализ использования различных структурных моделей композиционного материала и различных вариантов геометрически линейных и нелинейных теорий пластин и оболочек при расчете НДС композитных элементов конструкций. Исследовано влияние структурных и механических параметров композиционных материалов, геометрии оболочек и вида нагружения на поведение параболических рефлекторов, куполов и тороидальных оболочек вращения.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы могут быть использованы при решении широкого класса нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные с помощью созданного программного комплекса результаты исследования НДС композитных оболочечных элементов конструкций могут служить основой как при выработке конкретных технологических решений, так и при формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций.

Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по теме "Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336), поддерживались грантами: Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); II и V Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1998; 2001); XXXVII, XXXVIII Международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999; 2000); V, VI и VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); XVI школе-семинаре "Информационные технологии в задачах математического моделирования" в рамках научных мероприятий "Вычислительные технологии — 2000" (Новосибирск, 2000); Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Казахстан, Алматы, 2004).

В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. Шо-кин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2005); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — ч л .-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций, а также тезисы докладов на научных конференциях [17]-[31], [76], [77], [80].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 164 стр., включая 47 рисунков и 17 таблиц. Список литературы содержит 83 наименования.

Заключение

В результате проведенных исследований получены следующие результаты.

1. Разработан эффективный алгоритм численного решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено тестирование алгоритма на задачах с известными аналитическими решениями, показавшее, что его применение позволяет успешно решать краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральные радиусы матрицы Якоби которых достигают значений на несколько порядков больше единицы.

2. Численно исследована проблема обеспечения устойчивости метода дискретной ортогонализации при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малыми и большими параметрами. Построены зависимости необходимого числа узлов ортогонализации от спектрального радиуса матрицы системы дифференциальных уравнений, обеспечивающие устойчивость расчетов. Выявлены характеристики, позволяющие контролировать и управлять устойчивостью вычислительного процесса. Выработаны критерии и предложены методики выбора шага интегрирования и расстояния между узлами ортогонализации для обеспечения устойчивости счета. Предложена методика обеспечения и повышения точности расчетов с применением неравномерных адаптивных сеток, применение которой позволяет на порядки повышать точность расчетов, либо в десятки раз уменьшать объем необходимых вычислений.

3. С помощью созданного программного комплекса решены новые краевые задачи расчета напряженно-деформированного состояния и проведено исследование особенностей деформирования композитных оболочечных элементов конструкций: параболических рефлекторов, гиперболических, параболических и эллипсоидальных куполов, тороидальной оболочки. Проведен сравнительный анализ использования при этом классической и уточненной теорий оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках, различных структурных моделей композиционного материала. Указаны области параметров конструкций, при которых получаемые с использованием различных теорий оболочек и моделей композиционного материала результаты отличаются несущественно, а также, параметры, при которых необходим учет нелинейных слагаемых.

4. Показано существенное влияние анизотропии материала, структурных и механических характеристик композита, вида и параметров нагружения на напряженно-деформированное состояние композитных конструкций: на величины прогибов и интенсивностей напряжений в элементах композита, на характеры их распределения. Обнаружено, что в зависимости от структурных и механических параметров композиционного материала в конструкции могут реализо-вываться различные механизмы начального разрушения. Показано, что, в сравнении с симметричными схемами армирования, применение несимметричных схем открывает более широкие возможности по управлению поведением оболочек.

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, Т. 1, № 3, С. 542-545.

2. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. — 264 с.

3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1977. № 5. С. 8796.

4. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. — 288 с.

5. Арушанян О.В., Залёткин С.Ф. Решение линейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом ортогональной прогонки С.К. Годунова // Вычислительные методы и программирование, 2001. Т. 2. С. 41-48.

6. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. — 632 с.

7. Бидерман В.JI. Механика тонкостенных конструкций. М: Машиностроение, 1977. — 488 с.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. — 375 с.

9. Бунаков В.А., Головкин Г.С., Машинская Г.П. и др. Армированные пластики. М.: Издательство МАИ, 1997.

10. Бурман З.И., Лукашенко В.И, Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Изд-во Казанского университета, 1973. — 569 с.

11. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. — 269 с.

12. Виноградов А.Ю. Вычисление начальных векторов для численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995. Т. 35, №1. С. 156-159.

13. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Метод функционального нормирования для краевых задач теории оболочек. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 160 с.

14. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод "прогонки". Дополнение к книге Годунова С.К., Рябенького B.C. Введение в теорию разностных схем. М., Физматгиз, 1962. с. 283-309.

15. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961. Т. 16. N2 3. С. 171-174.

16. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. Нелинейное поведение армированных сосудов давления // Механика летательных аппаратов и современные материалы: Доклады конференции. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 140-141.

17. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. Анализ поведения армированного сосуда в геометрически нелинейной постановке / / Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1999. Вып. 114. С. 155-160.

18. Голушко С.К., Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах решения многоточечных нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии, 2002. Т. 7. № 2. — С. 24-33.

19. Голушко С.К., Морозова Е.В., Юрченко А.В. О численном решении краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Серия: математика, механика, информатика, 2005. № 2. С. 12-26.

20. Голушко С.К., Юрченко А.В. Расчет напряженно-деформированного состояния армированных тонкостенных элементов зеркальных антенн // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика, 2001. Т. 1. Вып. 2. С. 38-62.

21. Голушко С.К., Юрченко А.В. Моделирование поведения главного зеркала композитной параболической антенны // Вычислительные технологии, 2001. Т. 6. Ч. II. С. 750-759.

22. Голушко С.К., Юрченко А.В. Влияние структурных и механических характеристик композиционного материала на деформирование зеркальной антенны // Прикладная механика и техническая физика, 2002. Т. 43. № 2. С. 170-175.

23. Голушко С.К., Юрченко А.В. Расчет тонкостенных композитных куполов методом дискретной ортогонализации // Тр. XVIII Меж. республ. конф. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Новосибирск, 2003. С. 55-62.

24. Голушко С.К., Юрченко А.В. О численном решении жестких краевых задач уточненных теорий пластин и оболочек //Тр. XIX Меж-республ. конф. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Новосибирск, 2005. С. 92-100.

25. Горшков В.В., Юрченко А.В. О двух численных методах расчета сопряженных композитных конструкций // Материалы XXXVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999. С. 30-31.

26. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.

27. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. — 287 с.

28. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболочек с приложением к механике пневматических шин // Научно-технический прогресс в машиностроении. Вып. 39. М., 1993. — 50 с.

29. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1973. 228 с.

30. Григоренко Я.М. и др. Механика композитных материалов и элементов конструкций: в 3-х т. Т.2. Механика элементов конструкций. Киев: Наук, думка, 1983. — 464 с.

31. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к моделированию и численному решению задач о деформации гибких оболочек вращения // Прикл. мех. 1993. Т. 29, №7. С. 3-9.

32. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к численному решению линейных и нелинейных задач теории оболочек в классической и уточненной постановках // Прикл. мех. 1996. Т. 32, №6. С. 3-39.

33. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. — 321 с.

34. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. Киев: Наук. думка, 1988. — 264 с.

35. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1979. 280 с.

36. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1983. — 286 с.

37. Григорьев В.И., Мяченков В.И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. — 216 с.

38. Гудрамович B.C., Дисковский И.А., Макеев Е.М. Тонкостенные элементы зеркальных антенн. Киев: Наукова думка, 1986.

39. Гузь А.Н., Шнеренко К.И. Решение двухмерных краевых задач теории оболочек из композиционных материалов // Механика композитных материалов, 2000. Т. 36, №4. С. 465-472.

40. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

41. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге —Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 334 с.

42. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975. 542 с.

43. Канторович JI.B. О методе Ньютона // Труды математического института им. Стеклова, 1949. 28. С. 104-144.

44. Кармишин А.В., Лясковец А.В., Мяченков В.А., Фролов В.И. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. — 376 с.

45. Композиционные материалы: Справочник / Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др. М.: Машиностроение, 1990. — 512 с.

46. Куликов Г.М. О влиянии анизотропии на напряженное состояние многослойных армированных оболочек // Прикл. механ., 1986. 22, №12. С. 66-72.

47. Куликов Г.М. Неосесимметричное напряженно-деформированное состояние многослойных анизотропных оболочек вращения // Прикл. механ., 1990. 26, №11. С. 66-70.

48. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров, 1968. Ш. С. 519-534.

49. Мерзляков В.А., Галишин А.З. Расчет термоупругопластическо-го неосесимметричного напряженно-деформированного состоянияслоистых ортотропиых оболочек вращения // Механика композитных материалов, 2002. Т. 38, № 1. С. 37-58.

50. Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969. № 6. С. 81-89.

51. Немировский Ю.В. Уравнения изгиба и устойчивости армированных оболочек и пластин из вязкоупругого материала // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 1970. Вып. 4. С. 50-63.

52. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров, 1972. № 5. С. 861-873.

53. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986. 165 с.

54. Немировский Ю.В., Шульгин А. В. Упругопластическое деформирование и разрушение оболочек из волокнистых металлокомпози-тов // Механика композитных материалов, 1990. №6. С. 1064-1071.

55. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О границах применимости некоторых теорий расчета изгибаемых армированных пластин // Научный вестник НГТУ, 2004. №3(18). С. 91-113.

56. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997. — 195 с.

57. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1951. — 344 с.

58. Образцов И.Ф., Васильев В.В, Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. — 144 с.

59. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. 120 с.

60. Победря Б.Е. Принципы вычислительной механики композитов // Механика композитных материалов. 1996. Т.32, №6. С. 729-746.

61. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

62. Резниченко В.И., Хомич В.И. Применение композиционных материалов. М.: Центральный Российский Дом Знаний НВЦ Источник, 1992.

63. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. — 284 с.

64. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. С.-Пб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

65. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. — 664 с.

66. Слепцов А.Г., Шепеленко В.Н. Пакет программ решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988. (Препр. / СО АН СССР. ИТПМ; № 8-88)

67. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Издательство Казанского ун-та, 1986. 295 с.

68. Физические величины. Справочник под редакцией Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: ЭнергоАтомИздат, 1991.

69. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Киев: Наук, думка, 1966. 4.2. 244 с.

70. Юрченко А.В. Исследование напряженно-деформированного состояния рефлектора антенны // Материалы XXXVIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 2000. Ч. 1. С. 73-74.

71. Юрченко А.В. Применение адаптивных сеток при решении краевых задач для жестких систем ОДУ // Тезисы Международной научнойконференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 44-45.

72. Ascher U., Christiansen J., Russel R. D. Collocation software for boundary value ODEs // ACM. Trans, on Math. Software, 1981. Vol. 7. N. 2. R 209-222.

73. Budianski В., Radkovski P.P. Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution // AIAA Journal, 1963. V. 1 N.8. Р/ 1833-1842.

74. Golushko S.K., Yurchenko A.V. Effect of Structural and Mechanical Characteristics of the Composite Material on the Deformation of a Reflector Antenna // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002. Vol. 43. N. 2. P. 315-319.

75. Russel R.D., Christiansen J. Adaptive mech selection strategies for • solving boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal, 1978. Vol.15, N. 1. P. 59-80.

76. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical Grid Generation: Foundations and Applications. New York: Elsevier, 1985. 483 p.

77. Walter J.D., Patel H.P. Approximate expressions for the elastic constants of cord-rubber laminates // Rubber Chemistry and Technology, 1979. Vol. 52, N. 4. P. 710-724.