автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами методом граничных элементов

На правах рукописи

Бсрезин Евгений Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ: ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кемерово — 2006

Работа выполнена в центре новых информационных технологий Кемеровского го (^дарственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических щук,

Защита состоится 28 декабря 2006 г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета ДООЗ.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6, юнференц-зал ИВТ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомится в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики научного отделения СО - ГПНТБ (проспект академика МА.Лаврентьева, б).

Автореферат разослан 27 ноября 2006 г.

профессор Афанасьев Константин Евгеньевич

с.н.с. Стурова Изольда Викторовна

доктор физико-математических наук, профессор Хакимзянов Гаяз Салимович

Ведущая организация: Томский государственный университет;

г. Томск

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию двумерных течений идеальной однородной несжимаемой жидкости с поверхностными гравитационными волнами методом граничных элементов, вопросам эффективного использования современных вычислительных технологий и методов параллельного программирования, а также разработке проблемно-ориентированной оболочки для информационной поддержки вычислительного эксперимента.

Актуальность темы. Постоянное развитие вычислительной техники и средств хранения информации открывает новые возможности для решения различных народно-хозяйственных задан, в частности задач движения жидкости со свободными границами. Результаты исследований течений жидкости со свободными поверхностями находят многочисленны е технические приложения, в таких областях как физическая океанология, гидротехника, кораблестроение и др. Эти задачи традиционно считаются непростыми, посшльку к нелинейности краевой задачи добавляется еще и дополнительная сложность, связанная с определением заранее неизвестной формы свободной границы. Примерами таких течений являются: нестационарное движение волн над неровным дном, выход волн на мелководье, эвофоция свободной поверхности под действием силы тяжести, движение тел в жидкости, взаимодействие поверхностных волн с препятствиями, распространение волн цунами и тд.

В полной нелинейной постановке, при режимах движения, наиболее интересных для исследования, сильно проявляются нелинейные эффекты, связанные с весомостью жидкости: опрокидывание волн, разрушение волн на мелководье и т.д. Физические эксперименты для изучения этих явлений оказываются сложными и дорогостоящими, поэтому важной задачей является разработка численных алгоритмов для решения задач со свободными границами.

Широкий круг задач со свободными границами, требует для своего решения значительных вычислительных ресурсов. Повышенные требования к производительности и памяти обусловлены сложными нелинейными моделями среды, описываемыми большим числом уравнений, пространственным характером задачи и нестационарностью протекающих процессов. Для моделирования таких задач требуется высокое быстродействие, а также необходима обработка и хранение большого объема информации, что предъявляет повышенные требования к вычислительным системам.

Таким образом, исследование задач со свободными границами с помощью новых информационных технологий является актуальным ввиду несомненной востребованности результатов в практических приложениях, в частности для принятия решений при конструировании разнообразных гидротехнических и морских сооружений.

Цель работ ы заключается в решении двумерных нелинейных задач гидродинамики идеальной однородной жидкости со свободными границами, а также построение эффективного параллельного численного алгоритма метода граничных элементов, и автоматизации обработки результатов численных расчетов.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались современные методы решения задач теории потенциальных течений и методы объектно-ориентированного программирования.

На защиту выносятся:

Решение нестационарных задач волновой гидродинамики при взаимодействии нелинейных поверхностных волн с препятствиями, частично или подлостью погруженными в жидкость.

Решение нестационарной задачи о генерации волн цунами движением оползня для разных законов движения и его геометрических параметров.

Параллельная реализация метода граничных элементов и проблемно-ориентированная оболочка автоматизированного сопровождения вычислительного эксперимента для задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами.

Научная новизна. Выявлены эффекты опрокидывания волн на свободной поверхности в зависимости от амплитуды набегающей волны и геометрии тела. Получены некоторые новые результаты по изменению динамической нагрузки на твердых границах препятствия и бассейна, в зависимости от варьируемых параметров задачи.

В полной нелинейной постановке проведено исследование задачи о генерации волн цунами движением оползня в зависимости от варьируемых параметров. Выявлены эффекты опрокидывания волн на свободной поверхности в зависимости от типа движения и геометрических параметров оползня.

Разработан инструментарий автоматизации численного эксперимента и средств хранения информации (свидетельство об официальной регистрации программы РОСПАТЕНТ).

Достоверность полученных результатов обеспечена: апробированно-стью используемых моделей гидродинамики, строгостью математической постановки задач, тестированием результатов на известных аналитических решениях, сравнением с имеющимися данными экспериментальных и численных исследований.

Практическая значимость. Подученные в диссертации результаты способствуют более глубокому пониманию значения нелинейных эффектов при исследовании задач идеальной однородной несжимаемой жидкости, а разработанный иструментарий расширяет возможности численного моделирования гидродинамических задач со свободными границами. Иэ-

ложенный материал может представлять интерес для специалистов, занимающихся моделированием реальных волновых процессов в жидкостях. Предложен новый современный подход к хранению, обработке и структурированию результатов численных расчетов. Кроме того, возможно решение задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами с использованием параллельного алгоритма метода граничных элементов.

Задачи о взаимодействии уединенной волны с частично или полностью погруженным в жидкость телом выполнены в рамках договоров ЙВТ СО РАН и совместной лаборатории Кемеровского государственного университета ИВТ СО РАН. Задача о генерации поверхностных волн движением оползня выполнена в рамках интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008) по теме "Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом".

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на V Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 2001г.), Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), IV Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003г.), V Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004г.), I региональной научно-практичесмэй конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово 2001г.), II региональной научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово 2003г.), III региональной научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово 2004г.), Международной конференции "High Speed Hydrodynamics" (Чебоксары 2004г.), VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию н информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Кемерово 2005г.), IX Международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово 2006г.), на научном семинаре "Численные методы радения задач механики сплошной среды" Кемеровского университета (Кемерово, 2000-2006гп).

Публикации, По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикации, в знаменателе - объем, принадлежащий автору) 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления кандидатской диссертации (1,6/1,2 печ. л.), 9 - в трудах международных и всероссийских конференций (3,3/1,6 печ. л.). Основные результаты диссертации опубликованы в

работах [1-11]. При выполнении работ [1-2], опубликованных совместно с научным руководителем и другими соавторами, автор диссертации принимая участие в разработке и реализации проблемно-ориентированной оболочки, интерфейса обмена данными и базы данных расчетов. В соавторстве с научным руководителем [4,7,8,10] автору диссертации принадлежит участие в постановке задачи, исследование численных алгоритмов, обсуждении полученных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Автором выполнена программная реализация численных алгоритмов, проведены расчеты тестовых задач и значительный цикл вычислительных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Выполнена на 145 страницах машинописного текста, содержит 16 таблиц, 141 рисунок. Список литературы включает 133 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении сформулированы цели диссертационной работы, обоснована актуальность решаемых задач. Излагаются основные результаты, содержащиеся в диссертации.

В первой главе рассматриваются вопросы построения математической нестационарной постановки идеальной однородной несжимаемой жидко1 ста со свободными границами. Рассматривается метод граничных элементов основанный на третьей формуле Грина для плоских задач. Обсуждаются методы решения системы линейных алгебраических уравнений, алгоритм движения по времени, а также алгоритмы вычисления кинематических и гидродинамических характеристик.

Параграф 1.1 содержит описание постановки для плоской нестационарной задачи движения идеальной однородной несжимаемой жидкости со свободными границами.

Пусть В € Я2 фиксированная область с границей Г, занятая однородной несжимаемой жидкостью. В этом случае платность жидкости р во всей области I) постоянна. Предположим, что течение является потенциальным, те. для вектора скорости V = и{х, () существует функция <р(х, () такая, что V — дтайф. Здесь х = х(х, у) - радиус-вектор точки области течения О. Тогда для потенциального течения однородной несжимаемой жидкости внутри и на границе области (П = Г и В) справедливо уравнение Лапласа

Д¥>(х,() = 0, хе£>. 0)

Граничные условия задаются либо в виде условия Дирихле (потенциал скорости принимает заданные значения на границе области), либо в виде условия Неймана (задается нормальная производная от потенциала скорости).

Приведем пример постановки нестационарной задачи движения жидкости в бассейне конечной глубины. Пусть в области D ограниченной твердыми и свободной границами, требуется найти решение уравнения Лапласа (1), удовлетворяющего на твердых границах Г^ условию непротекания (2). На свободной границе Ti задаются кинематическое и динамическое условия (3).

V» = 0, ге Гг, (2)

í = = »«rx. сз)

Здесь c(í) - функция от времени, равная значению левой части в некоторой точке пространства. Если жидкость на бесконечности покоится и давление на уровне у — О равно нулю, то c(t) = 0. Из решения нелинейной стационарной задачи в качестве начальных условий задается начальное положение свободной границы Ti в момент времени t = 0 и распределение потенциала <р на ней. Алгоритм построения стационарных уединенных волн, на основе метода граничных' элементов и идеи Л.Г. Гузевскош [Гузевский, Л. Г. Обтекание препятствий потоком тяжелой жадности конечной глубины / Л, Г. Гузевский // Динамика сплошных сред с границами раздела. - 1982. - С, 61-69.] о выделении двух решений, реализован в работах К.Е. Афанасьева, СЛ. Стукшюва [Афанасьев, К. Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов: учеб. пособие: - Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. - 203 е.]. Из решения данной задачи определяется точная форма уединенной волны и распределение на ней потенциала, для дальнейшего использования в радении нестационарных задач.

Для удобства численной реализации краевая задача (1)-(3) для потенциала скоростей записана в безразмерном виде, где в качестве характерных величин выбираются ускорение свободного падения д и глубина бассейна Я. Безразмерные переменные Ж, 5, í и С, записываются следующим образом:

х = х/Н, у = у/Я, í = íy^, С = = F,

ще С - скорость волны и F - число Фруда. При этом уравнения (1), (2) остаются без изменений, а динамическое условие (3) принимает вод:

= х 6 Г(. (4)

Тильда над безразмерными переменными в формуле (4) и далее опускается; Требуется определить положение свободной поверхности и распределение поля скоростей на ней в последующие моменты времени.

Параграф 1.2 содержит описание метода граничных интегральных уравнений, основанный на третьей формуле Грина для плоской задачи. Для описания функции на границе области используются линейные граничные элементы. Рассматриваются вопросы вычисления сингулярных и регулярных интегралов. Обсуждаются вопросы решения системы линейных алгебраических уравнений. Рассматривается метод решения нестационарной задачи, который заключается в разбиении исходной задачи на последовательность линейных задач теории потенциала и описывается алгоритм автоматического выбора шага по времени и алгоритм движения по времени для нестационарных задач со свободными границами.

В параграфе 1.3 описываются формулы высокого порядка точности для дифференцирования функций заданных на границе. Затрагиваются вопросы нахождения давления внутри области течения, а также приводятся формулы для вычисления интегральных характеристик (кинетической и потенциальной энергии, массы и динамической нагрузки).

В следующем пункте рассматривается вычисления давления. Для этого необходимо решить дополнительную краевую задачу вида

== 0, х е В (5)

^ = хбС (6)

§£«0, х€Г. (7)

Из решения краевой задачи (5-7) находим на границе Г. После этого давление вычисляется по формуле:

Р(х) = -(¥>, + ||У^2 + у). (8)

По строительным нормам и правилам [Нагрузки и воздействия на гидротехнические сооружение (волновые, ледовые и от судов): СНиП 2.06.04-82*(с изм. 2.1995)/ГЪссгрой СССР. - Мч 1989. - 72 е.] основным параметром при проектировании гидротехнического сооружения служат внешние нагрузки, создаваемые волнением поверхности воды. Нагрузка Р4 вычисляется по следующей формуле:

9

ч

Р„,<Я\ (9)

где РШ = Р-Р0- волновое давление, Р - распределение давления на каждом шаге по времени, Ро - распределение давления в начальный момент времени (= О,

Во второй главе приводится решение ряда двумерных задач гидродинамики идеальной однородной несжимаемой жидкости, а также проводится тестирование алгоритмов, описанных в первой главе.

Параграф 2,1 на ряде тестовых задач демонстрируется применимость метода граничных элементов для решения нестационарных задач движения идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами.

Метод граничных элементов для решения плоских задач со свободными границами тестировался методом пробных функций. Такой тест предложен в работе А.Г. Петровым и В.Г. Смодяиипым [Петров, А. Г. Расчет нестационарных волн на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины / А. Г. Петров, В. Г. Смолянин // ПММ. - 1987. - X 54, Ка 4. - С. 137-143.]. Требуется найти решение уравнения Лапласа в области В = {0 < х < 2тг;— 1 < у < 0,5вгп(г)}. На дне и вертикальных стенках задается условие непротекания: д<р/дп = 0, а на верхней границе задается условие вида: ур(х, у) = со&(х)созЪ,(у + 1) являющееся гармонической функцией. Найденное решение сравнивается с точным аналитическим решением. В таблице 1 приведены относительные погрешности вычисления искомых функций. Значения приведены в зависимости от дискретизации

Таблица 1. Относительные погрешности.

<Уш) К{А)

100/43 6.83Е-03 2.27Е-03 8.55Е-03 133

200/87 4.54Е-03 1.11Е-03 .ООЕ-ОЗ 273

40СУ175 2.51Е-03 6.26Е-04 3.73Ё-03 561

800/351 1.21Е-03 6.90Е-04 2.24Е-03 1189

1500/659 5.90Е-04 8.17Е-04 1.44Е-03 2395

области - число узлов на всей границе, ЛГа - число узлов на свободной границе области). В пятой колонке приводятся числа обусловленности К(А) матрицы А системы линейных алгебраических уравнений. Из таблицы видно, что метод обладает достаточной точностью.

В качестве другой тестовой задачи приводится задача о распространении уединенной волны амплитуды А — 0.5, постоянной глубины Н = 1. В процессе движения волна должна сохранять свою амплитуду, скорость, форму и полную энергию. Шаг по времени выбирается автоматически. Для расчета выбирается область О = {—15 < ж < 75;—1 < у < уо}, тое уо = £(ь{а:) описывает форму уединенной волны. Вершина волны при г = 0 находится в точке х = -5, у = 0.5, Расчеты проводятся до момента безразмерного времени % =■ 50, когда вершина волны переходит в точку с абсциссой х - 56. К этому моменту времени волна проходит путь равный 5.5 длин волны. .Длина волны I определяется длиной отрезка по оси х, на котором выполняется условие < 0.01.А(().

Рост погрешности основных характеристик волны имеет линейный характер. В таблице 2 приводится изменение амшипуцы, массы и полной энергии на длину пробега волны в зависимости от количества точек разбиения области (ЛГ - число узлов на всей границе, ЛГр • число узлов на свободной границе области). Видно, что при изменении количества узлов

Табавда 2. Погрешности основных характеристик воины.

N/Na НА) €{М) е(Е)

310/151 3.30 % 0.55 % 0.78 %

514/301 1.98 % 0.47 % 1.00%

718/451 1.56 % 0.46% 1.10%

922/601 1.49 % 0.48 % 1.12%

1126/751 1.35 % 0.50 % 1.17 %

1330/901 1.38% 0.52 % 1.18 %

на свободной границе с 300 до 900 погрешность уменьшается. При увеличении граничных элементов происходит рост погрешности. Оптимальная длинна граничного элемента составляет приблизительно 0.2.

Тест на гидродинамические нагрузки рассматривается при решении задачи о накате солигона на вертикальную стенку. После отражения со-литон восстанавливает свою первоначальную форму. При амплитудах А > 0.3 расчетные хронограммы давления имеют два локальных максимума. Эти особенности при накате солитонов на вертикальную стенку подтверждаются экспериментами полученными C.B. Манойлиным [Ma-нойлнн, С, В. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооружения и акватории морских портов: препринт / С. В. Манойлин. - Красноярск : ВЦ СО АН СССР, 1989. - №> 5. - 50 е.]. Далее приводится тестовый расчет задачи о движении уединенной волны над прямоугольным выступом. Сравнение с численными результатами других авторов, показывает качественное и количественное совпадение результатов [Seabra-Santos, P. J. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle / F, J, Seabra-Santos, D. P. Renouant, A. M. Temperville // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 176. - P. 117-134.].

В параграфе 2.2 рассматривается решение плоской нестационарной задачи о взаимодействии уединенной волны с частично погруженным в жидкость телом. В монографии Г.С. Хахимзянова, Ю.И. Шокина, В.Б. Барахлила, Н.Ю. Шокнной [Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами / Г. С, Хакимзянов [и др.]. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. - 393 е.] проводится исследование влияния варьируемых параметров гга величину заплесков, амплитуду отраженной н прошедшей волны, с помощью шнечно - разностных методов расчета на

адаптивных сетках. Задача в полной нелинейной постановке решалась К.Е. Афанасьевым, Е.Н. Березиным [9]. В расчетной области О (рис. 1),

г

-1. а н-1 ° ц г, _ь__ *

Рис. 1. Схема раочетной области

ограниченной поверхностями Си С-х и Г1, Га, решается уравнение Лапласа (1). Границы С\, С?2 являются свободными поверхностями жидкости, Г) твердая граница бассейна, Гг твердая граница погруженного тела. На твердых границах выставляется условие непротекания (2). На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое условия (3). Начальная форма уединенной волны и распределение потенциала на ней, получены из численного решения нелинейной стационарной задачи.

Приводятся результаты численных расчетов для задачи о взаимодействии солитона с частично погруженным в жидкость телом. Варьируемыми параметрами задачи являются величины: А - амплитуда волны, Л

- расстояние от дна до препятствия, а - протяженность препятствия, Ь

- расстояние между правой границей тела и правой границей бассейна. Численные расчеты выполнялись для диапазона варьируемых параметров Л е [0.1: 0.5], Л 6 [ОД : 0.7], а е [1 т 8] для случая когда: 1.) тело расположено далеко от правой стенки бассейна, где Ь изменялось 22 < Ь £ 29 и 2.) тело расположено вблизи правой стенки бассейна, расстояние Ь было постоянным и равно 6 = 0.5.

Тело расположено далеко от правой стенки бассейна. Численные расчеты показали, что при увеличении протяженности тела а и уменьшении расстояния Л величины заплеска (рис. 2а) и нагрузки на левой границе тела (рис. 26 - линии с маркерами) возрастают; а эаплеск и нагрузка на правой границе тела убывают. На рисунке 2а,б показаны хронограммы для следующих параметров: А — 0.3, Л = 0.4, а = 2 (пунктирные линии) и А = 0.3, Ъ. —■ 0.1, а = 8 (сплошные линии).

В случае, когда тело расположено вблизи вертикальной правой стенки бассейна, величина заплеска на правой границе тела (рис. За) может превосходить величину заплеска на левой (линии с маркерами) границе тела, чего не наблюдается для первого случая. Кривые на рисунке За приведены для следующих параметров: А = 0.3, Л = 0.4, а = 2. На рисунке (рис.

Рис. 2, Хронограммы (а) - максимального заплеека на левой (пунктирная лиши) и правой границах тепа н (б) - нагрузки на левой (линии с маркерами) и правой границах

тела.

36) показаны хронограммы динамической нагрузки д ля следующих параметров: А = 0.3, Н = 0.4, а = 2 (пунктирные линии) и А = 0.3, к = 0.1, а = 8 (сплошные линии). Видно, что при увеличении протяженности тела и уменьшении расстояния к величина нагрузки на левой границе (линии с маркерами) тела возрастает, а на правой границе тела убывает.

Рис. 3. Хронограммы' (а) - максимального заплеека на правой И левой границах тела и (б) - нагрузки на правой и левой границах тела.

Параграф 2.3 В настоящем параграфе представлены результаты расчетов волнового движения жидкости при взаимодействии уединенной волны с телом прямоугольного сечения, расположенным на горизонтальном дне. В работе МХ Хажоян, Г.С. Хакимзянова [Хажоян, М. Г. Численное моделирование поверхностных волк с подводными препятствиями / М. Г. Хажоян, Г. С. Хакимзянов И Вычислительные технологии. • 2003. - X 8, № 4. - С. 108-123.] данная задача исследуется с помощью конечно-разностных методов расчета на адаптивных сетках. В полной нелинейной постановке задача решалась К.Е. Афанасьевым, Е.Н. Берез иным [7]. Постановка задачи повторяет постановку приведенную в Параграфе 2.2 за исключением того, что тело полностью погружено и располагается на дне. Параметр Н рассматривается как высота выступа. Группа численных расчетов выполнялась для диапазона варьируемых параметров А е [0.1: 0.5], К € [0.1: 0.9], а € [2 : 20] для случая когда: 1.) выступ расположен далеко от правой стенки бассейна, где Ь изменялось 50 < 6 < 65 и 2.) выступ расположен вблизи правой стенки бассейна, расстояние & было постоянным

и равно & = 0,5.

После взаимодействия волны с препятствием она распадается на прошедшие и отраженные волны. Установлено, что количество отраженных и прошедших волн зависит от изменение протяженности или высоты выступа.

Выступ расположен далеко от правой стенки бассейна, На рисунке 4а изображены хронограммы изменения нагрузки на левой (линии с маркерами) и правой границе препятствия. Пунктирные линии (рис. 4а,б) соответствуют следующим параметрам:. Л = 0,3, Л = 0.2, а = 2. Сплошные линии (рис, 4л,б) получены для А = 0.3, к = 0,4, а = 15.

Рис. 4. Хронограммы динамической нагрузки (а) - на левой (линии о маркерами) а правой траншах выступа и б) - на верхней границе препятствия.

В момент взаимодействия проходящей волны с лицевой границей тепа (рис. 4а) нагрузка на ней достигает максимального значения, затем при дальнейшем движении волны над верхней границей препятствия, значение максимальной нагрузки принимает постоянное значение до момента времени (рис. 46), тогда волна не достигнет тыльной границы препятствия. При дальнейшем движении волны нагрузка на верхней границе препятствия убывает, в то время как на правой границе препятствия нагрузка возрастает и принимает максимальное значение равное максимальному значению нагрузки на верхней границе выступа.

В случае, когда выступ расположен вблизи правой вертикальной стенки бассейна, картина течения жидкости становится более сложной. На ри-

. бассейна.

сунках 5а,б приведены хронограммы изменения максимального заплеска

(рис. 5а) и динамической нагрузки Рг на правой стенке бассейна (рис. 56). Хронограммы показаны для следующих параметров: А = 0.3, h = 0.2, а = 5 (пунктирная линия) и А = 0.3, h = 0.4, а = 15 (сплошная линия). При увеличении протяженности и высоты выступа величина заплеска (рис. 5а). Для хронограмм изменения динамической нагрузки наблюдается наличие двух максимумов (рис. 56). Это явление можно объяснить следствием действия сил инерции, что характерно для случая, взаимодействия с вертикальной стенкой без тела.

В третьей главе привадится описание основных результатов исследования генерации поверхностных волн движением оползня. Численные результаты для нелинейно • дисперсионных моделей, линейной и нелинейной модели мелкой вода, а тахже для полной модели были получены коллективом института вычислительных технологий СО РАН: З.И. Федотовой, Л.Б. Чубаровым, С.А. Бейзель, С.В. Елецким, Г.С. Хакимзяновым [Моделирование генерации цунами движением оползня с учетом вертикальной структуры течения / Ю. И. Шокин, 3. И. Федотова, Г. С. Хакимзя-нов, Л. Б. Чубаров, С. А, Бейзель // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф : тр. УШ Всерос. конф. (Кемерово, 26-28 октября 2005 г.). - Кемерово, 2005. - С. 20-40.].

3 параграфе 3,1 приводится постановка нестационарной задачи. В расчетной области D (рис. 6), ограниченной свободной границей С и твердыми границами Г{ и Г2 решается уравнение Лапласа (1). На границе

выставляется условие непротекания (2). На границе оползня

<рп = 0>п, х(я,у) е Га. (10)

На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое условия (3). Модельный оползень описывается функцией t) приведенной в работе P. Lynett (Lynett, P. A Numerical Study of Submarine Landslide Generated Waves and Runup / P. Lynett, P. L-F. Liu // Proc. Royal Society of London A. - 2002. - Vol. 458. - P. 2885-2910.).

Рис. 6. Схема расчетной области

Рассматриваются пять типов движения оползня: "слайд 1", "слайд 2",

"слайд 3", "сламп 1", "сламп 2" (ЗЛ. Федотова, Л.Б. Чубаров, С А. Бейзель [и Др.]).

В параграфе 3.2 приводятся анализ результатов и их сопоставление с мареограммами различных моделей. Расчеты проводятся в области с координатами хо — 1.0 и х„ = 41.0 до времени I = 50. Для моделирования оползневых движений используются следующие значения параметров: А = 0.05, Ь - 1.0, И = 2.3, хс = 2.38, 0 = 6е. Для изучения волновой картины были установлены семь мареографов с координатами: Здо ХМ1 — = 2.38, ХМ{ = + 2, г = 2..6.

В процессе сравнения полной модели и НЛД моделей было получено близкое совпадение мареограмм для полной (тонкие линии) и двухслойной модели Лью-Линетта. Установлено, что с увеличением угла /? марео-граммы полученные по полной модели методом граничных элементов и двухслойной модели Лью-Линетта расходятся не только в мористой зоне, но и прибрежной тоже, после остановки оползня.

В полной нелинейной постановке выполнены сравнения мареограмм для разных толщин оползня. Сравниваются результаты, получены автором методом граничных элементов и Г.С. Хакимзяновым методом конечных разностей на адаптивных сетках. Установлено, что в прибрежной зоне методы дают близкие результаты для разных законов движения. Однако, в мористой зоне методы показывают достаточно близкие результаты до момента остановки оползня ( = 30.0 и различаются в поведении "хвоста" мареограмм, для закона движения "слайд 1" (7а) и "сламп 2". Для закона движения "сламп 1" в мористой зоне различия результатов не наблюдается

т. 1

Рис. 7. Мареотраммы полученные в седьмом мареографе, где (а) - "слайд 1" и (6) -

"сламп 1".

На рисунке 8а показаны мареограммы для первого мареографа, при следующих параметрах: толщина оползня равна АН = 0.01 (штриховая линия) и АН = 0.05 (сплошная линия), начальное положении центра масс хс = 2.38. На рисунке 86 приведены мареограммы для первого (сплошные линии) и четвертого (пунктирные линии) мареографа, при следующих параметрах: протяженность оползня равна Ь = 1 (линии без маркеров) и 6=3 (линия с маркерами), хе = 4.38, АН = 0.05. Видно, что увеличение толщины и протяженности оползня приводит к росту амплитуды мареограмм, при этом возможно возникновение сильно нелинейных эффектов,

таких как опрокидывание волн.

В четвертой главе рассматривается ряд вопросов, связанных с решением задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами на высокопроизводительных системах. Рассматривается проблемно - ориентированная ободочка для решения задач гидродинамики, автоматизирующая хранение и обработку необходимой исследователю информации на всех стадиях вычислительного эксперимента.

Параграф 4.1, В качестве вычислительного кластера использоались стандартные рабочие станций с операционной системой Linux. Компьютеры между собой связаны с помощью локальной сети. Программирование, выполнялось на основе модели передачи сообщений MPI. Декомпозиция области проводилась ш границе расчетной области [Афанасьев, К Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов : учеб. пособие. - Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. - 206 е.].

Следующим пунктом является тестирование эффективности и ускорения параллельного алгоритма метода граничных элементов для двумерных задач со свободными границами на кластере кафедры ЮНЕСКО Кемеровского государственного университета (КемГУ) и Института вычислительных технологий СО РАН (ИВТ СО РАН). В качестве теста решается задача о генерации поверхностных волн движением оползня. Исследование производительности и эффективности программного кода выполняется в зависимости от размерности задачи и числа процессоров.

Параграф 4.2. В настоящее время перед исследователем остро стоит следующие проблемы: наиболее эффективного использования мощных технических возможностей для научной работы; систематизации и хранении уже полученных результатов в ходе проведения вычислений; использование вычислительных ресурсов или внешней памяти более мощных вычислительных систем, которые в настоящее время становятся все доступнее для широкого круга вычислителей.

Оболочка прототипа информационной системы "AKORD" представляет пользователю удобный интерактивный интерфейс при реализации всех основных этапов численного решения задач, начиная с ее постановки, и

заканчивая графическим анализом полученных результатов. Она обеспечивает согласованность данных для исследования задачи и корректный вызов всех необходимых компонент ИС при проведении расчетов. Кроме того, оболочка синхронизирует данные как на стороне сервера БД, выполняющего функции хранилища результатов расчетов, так и на стороне рабочей станции пользователя, непосредственно выполняющего действия по подготовке процесса численного решения задачи и последующей обработки результатов. Оболочка имеет модульную структуру (рис, 9). Все модули вызываются из ободочки, которая, в свою очередь, является обобщающим модулем, связывающим отдельные компоненты в единое приложение.

Все информационные потоки в ИС подчиняются четко определенному интерфейсу обмена данными между компонентами системы. Совокупность данных составляет некий набор знаний, связанный с исследуемой задачей. Этот набор данных поддерживается на рабочей станции пользователя, а при необходимости может быть помещен в БД расчетов для дальнейшего хранения. Для обработки и хранения данных была выбрана СУБД Oracle.

Физическая модель БД представлена совокупностью отношений, содержащих всю необходимую информацию и объединенных различными связями (функциональными зависимостями).

Основной логической единицей базы данных расчетов является расчет, который соответствует исследуемой задаче. Часто исследователь проводит большое количество расчетов с целью выявить влияние на получаемое решение какого-либо одного параметра. Для учета этой специфики численного эксперимента в БД расчетов добавлено дополнительное отношение "Серия расчетов", которое позволяет объединить расчеты в некоторую последовательность по признаку, выбранному пользователем (рис. 10).

Все отношения в логической модели данных ИС удовлетворяют удо-

£3

Рио. 9, Модульная структура оболочки

—| Сершрдоетса |

-1 peewni |

| CejM р«счето» |

—| ptctnu |

Рис. 10. Схема серии расчетов

влетаоряют требованиям четвертой нормальной формы. Результирующие таблицы физической модели данных сгенерированы так, чтобы учитывать особенность современных СУБД по автоматическому поддержанию целостности данных.

Основные результаты работы

1. Для нестационарных задач о взаимодействии солитона с частично или полностью погруженными в идеальную однородную несжимаемую жидкость препятствием установлено влияние амплитуды волны А, высоты (или зазора) Л и протяженности а препятствия на следующие характеристики: максимальный заплеск, амплитуда прошедшей волны Ор, амплитуда отраженной ваяны а^ и нагрузки на твердых границах Р,. Для различных значений амплитуды А набегающей водны, протяженности препятствия а и высоты (или зазора) к получены таблицы изменения параметров максимального заплеска, амплитуды прошедшей а0 и отраженной волны ар, а также изменения динамической нагрузки Р,. Выявлены эффекты сильной деформации свободной границы "опрокидывание волн" в зависимости от геометрических характеристик препятствия.

2. Для задачи о генерации поверхностных волн движением оползня по- . лучены волновые режимы в зависимости от начального залегания й, толщины К протяженности Ь и законов движения оползня. Установлено, что изменение геометрических параметров и схемы движения оползня, приводит к разным картинам формирования цуга волн различной амплитуды, движущихся к берегу и от него. Выявлены эффекты "опрокидывания волн" в зависимости от геометрических характеристик оползня.

3. Создан параллельный алгоритм метода граничных элементов, применяемого для решения задач механики жидкости.

4. Разработана проблемно-ориентированная оболочка для информационной поддержки вычислительного эксперимента для задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Афанасьев, К Е. Распределенный пакет прикладных программ "АКО!Ф"для проведения вычислительных экспериментов / А. М. Гудов, Е. Н. Березин [и др.] // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000: тр. междунар. науч. хонф - Уфа, 2000. - С. 47-57.

2. Афанасьев, К. Е. Интегрированная система поддержки численного эксперимента "АК0К1>7 К. Е. Афанасьев, А. М, Гудов, Е. Н, Бере-зин [и др.] // Вестник КемГУ. - Кемерово, 2000. - № 4. - С. 82-92.

3. Березин, Е. Н. Исследование эволюции свободных границ при взаимодействии уединенной волны с препятствием / Е. Н. Березин // Новые технологии и математическое моделирование: матер. Всерос. науч.-пракх конф. - Анжеро-Судженск, 2002. - С 28-30.

4. Афанасьев, К, Е. Моделирование нелинейных волновых течений при взаимодействии уединенных волн с препятствием / К. Е. Афанасьев, Е. Н. Березин // Информационные недра Кузбасса: матер, науч. практ. нонф. - Кемерово, 2003. - С. 222*224.

5. Березин, Е. Н. Моделирование взаимодействия солитона с частично погруженным в жидкость телом / Е. Н. Березин // Наука и практика: Диалоги нового века: матер. Всерос. конф. - Анжеро-Судженск, 2003. - С. 32-35.

6. Березин, Е. Н. Численное моделирование поверхностных волн при взаимодействии уединенных волн с препятствием / Б. Н. Березин // Информационные недра Кузбасса: матер, науч. практ. конф. - Кемерово, 2004. - С. 235-238.

7. Afanasiev, К. Е. Numerical modeling of surface waves interaction with a solid partially submerged into the fluid / К. E. Afanasiev, E. N. Berezin // High Speed Hydrodynamics. - June 2004. - P. 145-150.

8. Березин, E. H. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенной волны с препятствием / К. Е. Афанасьев, Е. Н. Березин //Вычислительныетехнологии. - 2004. - Т. 9, Ks 3 - С. 22-37.

9. Березин, Е. Н. Трансформация солитона при воздействии с подводным препятствием / Е, Н. Березин // Информационные недра Кузбасса: матер, науч. практ. нонф. - Кемерово, 2005. • С. 186-190.

10. Афанасьев, К. Е. Численное моделирование движения уединенной волны над подводным препятствием /К. Е. Афанасьев, Е. Н. Березин //Вычислительные технологии, - 2005. -Т, 10, Лв2, - С. 15-26.

11. Березин, Е. Н. Применение средств параллельного программирования для численного моделирование движение оползня / Е. Н. Березин // Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование: сб. тр. Ш Междунар. науч. летней школы - Кемерово, 2006. -С. 333-339.

Отпечатано в ОАО «ИПП «Кузбасс».

ПодписановпечаТ1,22.11.2006. Формат 1/16, Объем 500 усл. печ: л.

Гарншура «Тшез Ые^Коташк Печать офсетная. Бумага офсегоая. Тираж-100 экз. Заказа 1680-06

Введение

Глава 1. Математические и вычислительные алгоритмы

§1 Общая постановка задач.

1.1 Уравнение неразрывности.

1.2 Уравнения движения.

1.3 Постановка нестационарной задачи.

§2 Метод граничных элементов.

2.1 Вычисление интегралов

2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений.

2.3 Алгоритм движения по времени.

§3 Кинематические и динамические характеристики.

3.1 Вычисление компонент вектора скорости.

3.2 Вычисление гидродинамических характеристик.

Глава 2. Взаимодействие поверхностных волн с препятствием

§ 1 Тестирование вычислительных алгоритмов.

1.1 Тестирование МГЭ методом пробных функций.

1.2 Нестационарное движение уединенной волны по бассейну с ровным дном.

1.3 Накат солитона на вертикальную стенку.

1.4 Движение уединенной волны над прямоугольным выступом

§2 Взаимодействие поверхностных волн с частично погруженным в жидкость телом.

2.1 Постановка задачи

2.2 Численные результаты.

§3 Численное моделирование взаимодействия солитона с подводным препятствием.

3.1 Постановка задачи

3.2 Численные результаты.

Глава 3. Численное моделирование генерации поверхностных волн движением оползня

§1 Схема модельной области и механизмы движения оползня.

1.1 Постановка задачи

1.2 Схемы движения оползня

§2 Численные результаты

Глава 4. Информационные технологии в численных расчетах

§1 Реализация параллельного метода граничных элементов.

1.1 Эффективность и ускорение

1.2 Схема последовательного алгоритма метода граничных элементов и его распараллеливание.

1.3 Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса.

1.4 Тестирование параллельного алгоритма.

§2 Информационная система сопровождения численного эксперимента

2.1 Структура информационной системы.

2.2 Интерфейс обмена данными.

2.3 Логическая схема базы данных.

2.4 Хранилище данных.

2.5 Оболочка информационной системы.

Диссертационная работа посвящена исследованию двумерных течений идеальной однородной несжимаемой жидкости с поверхностными гравитационными волнами методом граничных элементов, и вопросам эффективного использования современных вычислительных технологий и методов параллельного программирования.

В современной науке широко используется методология математического моделирования [76]. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и в исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Этот метод сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа с моделью объекта дает возможность, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение. Широкое применение вычислительного эксперимента с математическими моделями объектов позволяет, опираясь на современные вычислительные методы и технические ресурсы, подробно и глубоко изучать объекты в достаточно полном объеме, что недоступно аналитическим подходам.

Широкий круг проблем, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с решением уравнений механики жидкости. Большинство течений жидкости имеет природное (океаны, моря, ветер) и техногенное происхождение (самолеты, машины, биоинженерия). Существует потребность в моделировании проблем течения жидкостей, с целью лучшего понимания сложных явлений и повышения качества технологий. Результаты исследований течений жидкости со свободными поверхностями находят многочисленные технические приложения, такие как физическая океанология, гидротехника, кораблестроение и других. Эти задачи традиционно считаются непростыми, поскольку к нелинейности краевой задачи добавляется еще и дополнительная сложность, связанная с определением заранее неизвестной формы свободной границы. Примерами таких течений являются: нестационарное движение волн над неровным дном, выход волн на мелководье, эволюция свободной поверхности под действием силы тяжести, движение тел в жидкости, взаимодействие поверхностных волн с препятствиями, распространение волн цунами и т.д. Учет подобных явлений усложняет математическую постановку задач и порождает самостоятельные проблемы при их решении. Однако и в этом случае основу задачи составляют классические уравнения механики жидкости.

Фактически единственным эффективным способом решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений, являются численные методы, реализуемые на быстродействующих вычислительных машинах. То есть, на основе математической модели при помощи непосредственного численного решения соответствующих уравнений количественно определяется поведение течений жидкости в тех или иных условиях.

В отличие от аналитических [73] и инженерных [78,79] методов, где зачастую для каждой задачи разрабатываются свои самостоятельные приемы решения, численные методы отличаются большой универсальностью и применимы для исследования широкого класса явлений.

Среди множества численных методов, применяемых для решения задач потенциальных течений со свободными границами, широкое развитие получил метод граничных элементов (МГЭ). Он составил удачную конкуренцию таким популярным среди исследователей методам, как метод конечных разностей (МКР) [77] или метод конечных элементов (МКЭ) [56,86,87]. Привлекательность МГЭ обусловлена, прежде всего тем, что в МКР, как и МКЭ, требуется разбиение всей области течения, в то время как в МГЭ дискретизации подвергается лишь граница области. Для реализации такой возможности в МГЭ требуется переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям связывающим неизвестные функции на границе области.

Полный обзор технологии метода граничных элементов можно найти в монографиях П. Бенерджи, Р. Баттерфилда [28] и К. Бреббии, Ж. Теллеса, J1. Вроубела [27].

Обзор состояния проблемы и методы решения различных задач идеальной жидкости со свободными границами изложены в монографиях М.И. Гу-ревича [43], О.М. Киселева, J1.M. Котляра [53]. Теории волновых движений жидкости посвящена монография JI.H. Сретенского [80]. В этих работах используются, в основном, аналитические методы, которые применимы лишь для ограниченного круга задач.

Если жидкость весомая, а на свободной границе присутствуют сильно нелинейные деформации, то применение аналитических методов практически невозможно. В этом случае используются различные модификации численно -аналитических методов (эти направления нашли развитие в работах В.П. Жит-никова [47-49], Д.В.; Маклакова [61-65]; Р.А. Рузиева, Г.С. Хакимзянова [74]).

Решению задач в точной постановке, выяснению особенностей и разработке методов исследования посвящена монография A.M. Лаврентьева, Б.В. Шабата [57].

Многие из задач течения идеальной однородной несжимаемой жидкости описываются уравнением Лапласа с нелинейными условиями на свободной поверхности. Значительное место в этих задачах занимает волновая тематика. В литературе приводится немалое количество примеров уединенных волн (солитонов). Отметим некоторые из них, полученные аналитически по различным линейным и приближенным нелинейным теориям с помощью численного анализа точных и приближенных нелинейных уравнений: Д.В. Маклаков [63,64], Б.Е. Протопопов [72], Препринт по ред. Ю.И. Шокина [92], М. Tanaka [131], Ан.Г. Марчук, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин [60], Е.А. Karabut [115]; а также путем моделирования волн различными подвижками боковых стенок, дна, или с помощью создания локального возвышения уровня жидкости: A.M. Франк [98], найденные в эксперименте: С.В. Манойлин [59], В.И. Букреев, Н.П. Туранов [30]. Обзор методов численного решения стационарных и нестационарных задач со свободными границами приведен в работе И.В. Стуро-вой [84].

Подход к численному решению задачи о течении идеальной несжимаемой жидкости с поверхностными волнами в каналах со сложным очертанием берегов методом конечных-разностей рассматривается в работах [22,101]. В статье [102] предложен итерационный алгоритм расчета на криволинейных адаптивных сетках стационарных течений жидкости с поверхностными гравитационными волнами в речных руслах с островами в рамках модели мелкой воды с учетом неровности дна. Обзор работ, посвященных разработке конечно-разностных методов на адаптивных сетках [58] для расчета течений идеальной жидкости со свободной границей в рамках нелинейных моделей мелкой воды и модели потенциальных течений дан в работе Г.С. Хакимзянова [99].

Исследование задач взаимодействия поверхностных волн с препятствиями является одним из наиболее интересных приложений нелинейной гидродинамики в связи с важностью вопросов по определению воздействия этих волн на гидротехнические сооружения (плавучие доки, волноломы, платформы и т.д.) [114,116] и акватории портов.

Вопросам взаимодействия поверхностных волн с препятствиями посвящено множество теоретических и экспериментальных работ: взаимодействию с вертикальной стенкой [72,108,111,117,122,130], с подводным препятствием (ступенька, выступ, полуцилиндр): теоретические и экспериментальные исследования [128], численное моделирование выполнено в [31-33,74,92,97,104, 107,109,118,126]. В работе [128] - использовалась неявная конечно разностная схема для нелинейно-дисперсионной модели мелкой воды, в [97] - дискретная модель несжимаемой жидкости, в [74,92,104,126] - модель потенциальных течений, в [31,32] - одномерная модель мелкой воды.

В работе [33] в рамках одномерных моделей мелкой воды второго приближения разработан метод расчета транскритических течений над неровным дном, позволяющий учесть опрокидывание волн и возникновение приповерхностного турбулентного слоя. Для нелинейно дисперсионных моделей мелкой воды в работе [109] рассматривается решение задачи о движении уединенной волны в канале с криволинейным дном. Обсуждаются результаты сравнительного анализа основных свойств волны и применимость моделей Перегрина, Железняка-Пелиновского, Ким-Рейд-Витакера, Федотовой-Пашкова и классических уравнений линейной и нелинейной теории мелкой воды.

Для модели плоских потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей в работах [100,103] методом конечных разностей предложен подход к решению задачи о взаимодействии солитона с подводным или частично погруженным препятствием.

В полной нелинейной постановке изучены различные режимы обтекания подводных препятствий, например, обтекание полуцилиндра [3,4,19], взаимодействие уединенной волны с вертикальной и наклонной стенкой [18,21,81], взаимодействие уединенной волны с частично или полностью погруженным в жидкость препятствием [8,9].

В диссертационной работе проводятся исследования о генерации поверхностных волн (цунами) движением оползня. Многообразие причин, порождающих волны цунами, обилие факторов, определяющих характер их трансформации при распространении по океану и в береговой зоне, выделяют феномен цунами и обуславливают необходимость комплексного подхода к его изучению.

Основные направления исследований, сформулированы в работах Е.Ф. Са-варенского [75], развитые затем в трудах С. С. Войта [35], А.С. Алексеева [2], Ю. И. Шокина [60,92]. Обзор посвященный проблеме цунами дан в работе JI.A. Островского и Е.Н. Пелиновского [69], Н.А. Щетникова [94].

В работах [113,132] показано, что для изучения закономерностей волнообразования необходимо исследовать зависимость характеристик процесса от основных параметров задачи: длины и ширины оползня, глубины его заглубления и закона его движения. Такой подход при соответствующей параметризации представляет адекватную схематическую картину реальных оползневых процессов в широком диапазоне изменения определяющих характеристик.

В статьях [46,90] исследовалась возможность использования приближенных математических моделей гидродинамики для моделирования механизма движения оползня, при этом анализировалась необходимость учета вертикальной структуры течения. Было показано, что для детального и качественного описания явлений в обширных водоемах следует использовать модели волновой гидродинамики, хорошо описывающие дисперсию и отражающие неоднородность процесса в вертикальном направлении. Для полной модели, в работах [46,132,133] получены результаты наиболее близкие к лабораторным экспериментам.

В работе [93] выполнен комплекс многопараметрических расчетов с помощью иерархии моделей волновой гидродинамики, учитывающих изменение во времени донной поверхности: линейные и нелинейные модели мелкой воды, слабо нелинейные дисперсионные модели, полученные в [45] и совпадающие в случае ровного дна с моделями Мея - Меоте и Перегрина [123,127], упрощенные варианты модели Грина - Нагди [112] и Нвогу [125], одно -двухслойные нелинейно-дисперсионные модели (НЛД) Лью - Линетта [120], а также полная модель течения течения идеальной жидкости [100]. Более полное описание моделей приведено в работе [91].

Появление быстродействующих ЭВМ и создание вычислительных методов внесло новую струю в исследования задач со свободными границами, которые требует для рвоего решения значительных вычислительных ресурсов. Повышенные требования к производительности и памяти обусловлены сложными нелинейными моделями среды, описываемыми большим числом уравнений, пространственным характером задачи и нестационарностью протекающих процессов [18,37,129]. Многим из них требуется высокое быстродействие, а также необходима обработка и хранение большого объема информации, что предъявляет повышенные требования к вычислительным системам.

В 70-80-х годах в России велись исследования, направленные на создание параллельных вычислительных систем. Примерами таких систем являются PHOENIX [1], ПС-2000 [71], а так же многопроцессорные вычислительные комплексы Эльбрус [55]. Принципы, заложенные в основу структурной организации упомянутых машин, находят свое применение и в настоящие время. Одновременно с разработкой параллельных вычислительных систем учеными велись работы по распараллеливанию алгоритмов сложных задач, например, [34,38] посвященные общим вопросам распараллеливания алгоритмов, [41,68] - распараллеливанию численных методов линейной алгебры. В работах [51,70,95] - рассматриваются проблемы численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Одно из наиболее интересных направлений развития современной вычислительной техники на сегодняшний день представляют многопроцессорные вычислительные системы [20,38,105].

Вычислительные системы (кластеры) представляют собой мультикомпью-теры, состоящие из множества отдельных компьютеров или рабочих станций общего назначения (узлов), связанных между собой единой коммуникационной системой. Каждый узел имеет свою локальную оперативную память (общей физической оперативной памяти для узлов не существует). Для вычислительных кластеров используются стандартные для рабочих станций операционные системы, чаще всего, свободно распространяемые - Linux/FreeBSD, вместе со специальными средствами поддержки параллельного программирования и распределения нагрузки. Программирование, выполняется на основе модели передачи сообщений (MPI) [85]. Привлекательность использования вычислительных кластеров для решения задач со свободными границами рассматриваются в работах [5,6,20,83].

Численный решение задач гидродинамики не ограничивается только применением современных вычислительных технологий и методов параллельного программирования. Большую важность при численном моделировании принимает корректность и простота ввода начальных данных задачи, а также обработка результатов численного расчета [14,15].

Поэтому актуальной задачей является разработка полнофункциональной информационной системы [12], с возможностью автоматизированной подготовки данных для численного эксперимента, хранения и систематизации, как полученных результатов, так и самих постановок задач, входных данных для каждого из расчетов и необходимых алгоритмов.

Основу численного эксперимента составляет триада модель - алгоритм -программа [76].

• На первом этапе вычислительного эксперимента строится модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства.

• Второй этап связан с выбором вычислительного алгоритма для реализации модели на компьютере.

• На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере.

Опираясь на триаду модель - алгоритм - программа, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется и калибруется на решении содержательного набора пробных задач.

В настоящие время существует ряд пакетов прикладных программ (ППП) предназначенных для решения научных, инженерных и прикладных задач. Описание некоторых пакетов можно найти в работах [36,40]. Среди систем автоматизирующих полный цикл решения некоторой задачи можно выделить:

• ANSYS (http://www.ansys.com) - предназначенный для исследования: задач статического и динамического анализа конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности; задач ползучести и пластичности; задач линейной и нелинейной устойчивости конструкций; стационарных и нестационарных задач теплофизики с учетом фазового перехода; задач гидро-газодинамики; электромагнитных полей (в т.ч. высокочастотный анализ); задач акустики; связанных задач (например, взаимодействие жидкости с конструкцией),

• BEASY (http://www.beasy.com). Пакет состоит из четырех основных модулей: Mechanical Design - предназначен для решения задач механики; Fatigue and Crack Growth - анализ усталости материалов и процесса образования трещин; Acoustic Design - решение задач акустики; Corrosion and Cathodic Protection - задачи коррозии и защиты от коррозии.

О предмете и содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы.

Выводы

Сформулируем основные результаты:

1. Создан параллельный алгоритм метода граничных элементов. Выполнено тестирование параллельного метода решении нестационарной задачи о генерации поверхностных волн движением оползня. Проведено сравнение ускорения и эффективности алгоритма на кластере кафедры ЮНЕСКО Кемеровского государственного университета и Института вычислительных технологий СО РАН.

2. Разработан и стандартизирован интерфейс обмена данными;

3. Разработана база данных расчетов, позволяющая хранить и обрабатывать все необходимые информационные составляющие численного решения задачи;

4. Разработана модель хранилища данных обеспечивающая хранение и систематизацию всех данных численного эксперимента на локальной машине пользователя;

5. Разработана проблемно-ориентированная оболочка, обеспечивающая реализацию всех основных этапов численного решения задач, начиная с ее постановки, и заканчивая графическим анализом полученных результатов.

1. Аксенов, В. П. Структура и характеристики высокопроизводительных ЭВМ и систем / В. П. Аксенов, С. В. Бочков, А. А. Мошков // Зарубежная радиоэлектронника. - 1982. - Ч. 1, № 3. - С. 35-53; Ч. 1., № 4. - С. 33-57.

2. Алексеев, А. С. Об оценке цунамиопасности подводных землетрясений / А. С. Алексеев, В. К. Гусяков // Землетрясения и предупреждение стихийных бедствий: 27-й Между нар. геологический конгресс. Москва: Наука. - 1984. - Т. 6. - С. 127-133.

3. Афанасьев, К. Е. Решение нелинейных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов: автореф. дис. д-ра. физ.-мат. наук. Кемерово, 1997. - 17 с.

4. Афанасьев, К. Е. Моделирование сильно нелинейных волновых течений // Вычислительные технологии. 1998. - Т. 3 - № 1. - С. 3-13.

5. Афанасьев, К. Е. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенной волны с препятствием / К. Е. Афанасьев, Е. Н. Березин // Вычислительные технологии. 2004. - Т. 9, № 3 - С. 22-37.

6. Афанасьев, К. Е. Численное моделирование движения уединенной волны над подводным препятствием / К. Е. Афанасьев, Е. Н. Березин // Вычислительные технологии. 2005. - Т. 10, № 2. - С. 15-26.

7. Афанасьев, К. Е. Моделирование нелинейных волновых течений при взаимодействии уединенных волн с препятствием / К. Е. Афанасьев, Е. Н. Березин // Информационные недра Кузбасса: матер, науч. практ. конф. Кемерово, 2003. - С. 222-224.

8. Афанасьев, К. Е. Информационные технологии в численных расчетах: учеб. пособие / К. Е. Афанасьев, А. М. Гудов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001.- 204 с.

9. Афанасьев, К. Е. Исследование эволюции пространственного газового пузыря методом граничных элементов / К. Е. Афанасьев, А. М. Гудов, Ю.Н. Захаров // Вычислительные технологии. 1992. - Т. 1, № 3. - С. 158-167.

10. Афанасьев, К. Е. Интегрированная система поддержки численного эксперимента "AK0RD7 К. Е. Афанасьев, А. М. Гудов, Е. Н. Березин и др. // Вестник КемГУ. Кемерово, 2000. - № 4. - С. 82-92.

11. Афанасьев, К. Е. Регуляризующие алгоритмы при решении задач гидродинамики методом граничных интегральных уравнений / К. Е. Афанасьев, А. М. Гудов, В. Н. Трушников // Методы оптимизации и их приложения: тез. докл. Иркутск, 1995. - С. 236-239.

12. Афанасьев, К. Е. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами / К. Е. Афанасьев, Т. И. Самойлова // Вычислительные технологии. 1995. - Вып. 7, № 11. - С. 19-37.

13. Афанасьев, К. Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: учеб. пособие / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. - 206 с.

14. Афанасьев, К. Е. О наличии трех решений при обтекании препятствий сверхкритическим установившемся потоком тяжелой жидкости / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов // Журнал прикладной механики и технической физики. 1999. - № 11. - С. 27-35.

15. Афанасьев, К. Е. Многопроцессорные вычислительные системы и параллельное программирование: учеб. пособие / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово : Изд-во КемГУ, 2003. - 182 с.

16. Афанасьев, К. Е. Численное моделирование взаимодействия уединенной волны с препятствием / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 4, № 6. - С. 3-16.

17. Барахнин, В. Б. Некоторые проблемы численного моделирования волновых режимов в огражденных акваториях / В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзя-нов, Л. Б. Чубаров и др.. // Вычислительные технологии. Новосибирск, - 1996.-Т. 1,№2.-С. 3-25.

18. Березин, Е. Н. Исследование эволюции свободных границ при взаимодействии уединенной волны с препятствием / Е. Н. Березин // Новые технологии и математическое моделирование: матер. Всерос. науч.-практ. конф. Анжеро-Судженск, 2002. - С. 28-30.

19. Березин, Е. Н. Моделирование взаимодействия солитона с частично погруженным в жидкость телом / Е. Н. Березин // Наука и практика: Диалоги нового века: матер. Всерос. конф. Анжеро-Судженск, 2003. - С. 32-35.

20. Березин, Е. Н. Численное моделирование поверхностных волн при взаимодействии уединенных волн с препятствием / Е. Н. Березин // Информационные недра Кузбасса: матер, науч. практ. конф. Кемерово, 2004. - С. 235-238.

21. Березин, Е. Н. Трансформация солитона при воздействии с подводным препятствием / Е. Н. Березин // Информационные недра Кузбасса: матер, науч. практ. конф. Кемерово, 2005. - С. 186-190.

22. Бребия, К. Методы граничных элементов / К. Бребия, Ж. Теллес, JI. Вроубел. Мир: Москва, 1987,- 524 с.

23. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984. - 494 с.

24. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1975. -600 с.

25. Букреев, В. И. Эксперименты с волнами на мелкой воде, генерируемые движением торцевой стенки бассейна / В. И. Букреев, Н. П. Туранов // Прикладная механика и техническая физика. 1996. - Т. 37, № 6. - С. 44-50.

26. Букреев, В. И. Ондулярный прыжок при обтекании открытым потоком порога в канале / В. И. Букреев // Прикладная механика и техническая физика. 2001. - Т. 42, № 4. - С. 40-47.

27. Букреев, В. И. Обтекание порога бурным потоком в открытом канале / В. И. Букреев // Прикладная механика и техническая физика. 2002. - Т. 43, № 6. - С. 54-61.

28. Букреев, В. И. Транскритическое течение над порогом в открытом канале / В. И. Букреев, А. В. Гусев, В. Ю. Ляпидевский // Известия РАН. Сер.: Механика жидкости и газа. 2002. - Т. 6. - С. 55-62.

29. Валях, Е. Последовательно-параллельные вычисления: пер. с англ. / Е. Валях: М.:Мир, 1985. 456 с.

30. Войт, С. С. Обзор работ по теории волн цунами, выполненных в СССР / С. С. Войт // Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. 1967. -Т. 3, № 11. - С- 1158-1165.

31. Волков, К. Н. Реализация векторизованных конечно-разностных алгоритмов решения краевых задач механики жидкости и газа в пакете MATLAB / К. Н. Волков, В. Н. Емельянов // Вычислительные методы и программирование. 2004. - Т. 5, Разд. 3. - С. 13-29.

32. Волков, К. Н. Применение средств параллельного программирования для решения задач механики жидкости и газа на многопроцессорных вычислительных системах / К. Н. Волков // Вычислительные методы и программирование. 2006. - Т. 7 - С. 69-84.

33. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб. : БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

34. Воронин, В. В. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и Коллокации / В. В. Воронин, В. А. Цецохо // Журнал высшей математики и математической физики. 1981. - Т. 21, № 1. - С. 40-50.

35. Вшивков, В. А. Использование современных информационных технологий для численного решения прямых задач химической кинетики / В. А. Вшивков, И. Г, Черных, В. Н Снытников // Вычислительные методы и программирование. 2005. - Т. 6, Разд. 2. - С. 71-76.

36. Голуб, Дж. Матричные вычисления: пер. с англ. / Дж. Голуб, Ван Лоун Ч. -М.:Мир, 1999.-С. 548.

37. Гузевский, Л. Г. Обтекание препятствий потоком тяжелой жидкости конечной глубины / Л. Г. Гузевский // Динамика сплошных сред с границами раздела. 1982. - С. 61-69.

38. Гуревич, М. И. Теория струй идеальной жидкости / М. И. Гуревич. М.: Наука, 1979. - 536 с.

39. Диго, С. М. Базы данных: проектирование и использование / С. М. Диго.- Финансы и статистика, 2005. 592 с.

40. Елецкий, С. В. Моделирование генерации поверхностных волн перемещением фрагмента дна по береговому склону / С. В. Елецкий, Ю. Б. Майоров, В. В. Максимов и др. // Вест. КазНУ . Сер.: Математика, механика, информатика. 2004. - Т. 9, Ч. II. - С. 194-206.

41. Житников, В. П. Расчет формы уединенных волн с помощью численно-аналитических методов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. - Т. 1, № 2-3.- С. 103-107.

42. Житников, В. П. Решение задач гидродинамики с особенностями на свободной поверхности (с оценкой погрешности и достоверности) / В. П. Житников, О. И. Шерыхалин, Н. М. Шерыхалина // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. М., 1999. - № 3. - С. 293-294.

43. Житников, В. П. Численно-аналитические методы решения задач об обтекании препятствий под поверхностью весомой жидкости с образованием солитона / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина // Вычислительные технологии. 2000. - Т. 5, № 2. - С. 35-45.

44. Зейтурян, P. X. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны / P. X. Зейтурян // Успехи физических наук. 1995. - Т. 165, № 12. - С. 1403-1456.

45. Ильин, В. П. Параллельный процессор для решения задач математической физики: препринт / В. П. Ильин, Я. И. Фет. Новосибирск, 1979. -217 с.

46. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. М.: Мир, 2001. - 575 с.

47. Киселев, О. М. Нелинейные задачи теории струйных течений тяжелой жидкости / О. М. Киселев, JI. М. Котляр // Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1978. 156 с.

48. Коротков, Г. Г, Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов / Г. Г. Коротков: автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Кемерово, 1999. -18. с.

49. Королев, JI. Н. Структуры ЭВМ и их математическое обеспечение / Л. Н. Королев. М.: Наука, 1978. - С. 166-169.

50. Коннор, Дж. Метод конечных элементов механике жидкости / К. Бреб-бия, Дж. Коннор. Л.: Судостроение, 1979. - 204. с.

51. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1977. - 407. с.

52. Лебедев, А. С. Разработка методов построения адаптивных сеток / А. С. Лебедев, И. А. Васева, Г. С. Хакимзянов // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7, № 3. - С. 29-43.

53. Манойлин, С. В. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооруженияи акватории морских портов: препринт / С. В. Манойлин. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. - № 5. - 50 с.

54. Марчук, А. Г. Численное моделирование волн цунами / А. Г. Марчук, JI. Б.Чубаров, Ю. И. Шокин. Новосибирск: Наука, 1983. - 175 с.

55. Маклаков, Д. В. Предельные режимы докритического обтекания препятствия / Д. В. Маклаков // Вычислительные технологии.- Новосибирск. -1993.- Т. 2, № 4. С. 55-70.

56. Маклаков, Д. В. Обтекание препятствия с образованием нелинейных волн на свободной поверхности. Предельные режимы // Известия АН. Сер.: МЖГ. 1995. - № 2. - С. 108-117.

57. Маклаков, Д. В. О волнах, генерируемых движущимся телом / Д. В. Маклаков // Тр. Мат. центра им. Лобачевского, 2000. Т. 5. - С. 133-134.

58. Маклаков, Д. В. Струйное обтекание пластины с интерцептором при наличии застойной зоны / Д. В. Маклаков, Фридман Г.М. // Известия РАН. Сер.: МЖГ. 2005. - № 4. - С. 36-44.

59. Петров, А. Г. Расчет нестационарных волн на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины / А. Г. Петров, В. Г. Смолянин // ПММ. 1987.- Т. 54, № 4. С. 137-143.

60. Овсянников, Л. В. Точные результаты в теории волн на воде / Л. В. Овсянников // Нелинейные явления: тр. Всесоюзн. конф., 1991.- С. 133139

61. Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: пер. с англ. / Дж. Ортега. М.: Мир, 1991. - 367 с.

62. Островский, JI. А. Нелинейная эволюция волн типа цунами / Л. А. Островский, Е. Н. Пелиновский // Теоретические и экспериментальные исследования по проблеме цунами. Москва: Наука, - 1977. - С. 52-60.

63. Прангишвили, И. В. Архитектурные концепции высокопроизводительных параллельных вычислительных систем 80-х годов / И. В. Прангишвили // Вопросы кибернетики. 1981. - № 79. - С. 3-14.

64. Протопопов, Б. Е. Численный анализ трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной преграды / Б. Е. Протопопов // Известия АН. Сер.: МЖГ. 1990. - № 5. - С. 115-123.

65. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ. / П. Роуч. М.: Мир, 1980. - 616 с.

66. Рузиев, Р. А. Численное исследование трансформации уединенной волны над подводным уступом / Р. А. Рузиев, Г. С. Хакимзянов // Вычислительные технологии: сб. науч. тр. Новосибирск, 1992. - Т. 1, № 1. - С. 5-22.

67. Саваренский, Е. Ф. Изучение цунами / Е. Ф Саваренский // Вестник АН СССР. 1956. - № 9. - С. 7-13.

68. Самарский, А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. М.: ИММ РАН, 2000. - 409 с.

69. Самарский, А. А. Численные методы: учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М., 1989. - 432 с.

70. Нагрузки и воздействия на гидротехнические сооружения (волновые, ледовые и от судов): СНиП 2.06.04-82*(с изм. 2.1995) / Госстрой СССР. М, 1989. - 72 с.

71. Гидротехнические сооружения. Основные положения проектирования: СНиП 2.06.01-86 (с изм 1.1988) / Госстрой СССР. М, 1987. - 45 с.

72. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский.- М.: Паука, 1972. 815 с.

73. Стуколов, С. В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов: авто-реф. дисс. канд. физ. мат. наук / С. В. Стуколов. - Кемерово, 1999. -24 с.

74. Стуколов, С. В. Численное моделирование уединенных стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины / С. В. Стуколов // Математические проблемы механики сплошных сред: сб. науч. тр. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1999. - № 114. - С. 129-134.

75. Стуколов, С. В. Вопросы построения и производительности кластеров на базе ПК / С. В. Стуколов // Новые информационные технологии в университетском образовании: тез. докл. Новосибирск: Изд-во СГУПС и ИДМИ, 2001: - 46 с.

76. Стурова, И. В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн: препринт / И. В. Стурова // Красноярск: ВЦ СО РАН, 1990. № 5. - 48 с.

77. MPI: Стандарт .интерфейса передачи сообщений: пер. с англ. / под ред. Г. И. Шпаковского: http://www.cluster.bsu.by

78. Терентьев, А. Г. Численные исследование в гидродинамике / А. Г. Те-рентьев // Известия АН Республика Чувашия. 1994. - Вып. 1, № 2. - С. 61-84.

79. Терентьев, А. Г. Численные методы в гидродинамике: учеб. пособие / А. Г. Терентьев, К. Е. Афанасьев; Чуваш, ун-т. им. И.Н. Ульянова.-Чебоксары: ЧГУ, 1987. 94 с.

80. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Семенов. М.: Наука, 1990. - 115 с.

81. Чубаров, JI. Б. Численное моделирование волн цунами: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / Л. Б. Чубаров.- Новосибирск, 2000. С. 30.

82. Чубаров, Л. Б. Численное моделирование генерации волн движением оползня / Л. Б.Чубаров, 3. И.Федотова, С. В.Елецкий // Тр. Междунар. конф. по вычисл. математике. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004: ч. II. - С. 753-758.

83. Шокин, Ю. И. Численное моделирование плоских потенциальных течений жидкости с поверхностными волнами: препринт, № 12 / Ю. И. Шокин, Р. А. Рузиев, Г. С. Хакимзянов; ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1990. - 37 с.

84. Шокин, Ю. И. О подходах к численному моделированию оползневого механизма генерации волн цунами / Ю. И. Шокин, Л. Б. Чубаров // Вычислительные технологии. 2006. - Т. 11, Ч. 2. - С. 100-111.

85. Щетников, Н. А. Цунами / Н. А. Щетников // Москва: Наука. 1981.-89 с.

86. Фельдман, Л. П. Параллельные алгоритмы численного решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. П. Фельдман // Математическое моделирование. 2000, Т. 12, № 6. - С. 15-20.

87. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений: пер. с. англ. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер.- М.: Мир, 1980. 280 с.

88. Франк, А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости / А. М. Франк. М.: Физматлит, 2001. - 208 с.

89. Франк, А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / А. М. Франк. Новосибирск, 1994. - 30 с.

90. Хакимзянов, Г. С. Конечно-разностные методы на адаптивных сетках для расчета течений идеальной жидкости со свободной границей / Г. С. Хакимзянов // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 7. - С. 134-145.

91. Хакимзянов, Г. С. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами / Г. С. Хакимзянов и др.. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. - 393 с.

92. Хакимзянов, Г. С. Численное моделирование установившихся течений жидкости в рамках модели мелкой воды / Г. С. Хакимзянов, Н. Ю. Шо-кина // Вычислительные технологии. 1996. - Т. 1, № 3. - С. 93-105.

93. Хакимзянов, Г. С. Расчет обтекания острова с использованием адаптивных сеток / Г. С. Хакимзянов, Н. Ю. Шокина // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 2. - С. 102-111.

94. Хажоян, М. Г. Численное моделирование поверхностных волн с подводными препятствиями / М. Г. Хажоян, Г. С. Хакимзянов // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 4. - С. 108-123.

95. Хажоян, М. Г. Численное моделирование обтекания ступеньки потоком идеальной несжимаемой жидкости / М. Г. Хажоян, Г. С. Хакимзянов // Прикладная механика и техническая физика. 2006. - № 6, Т. 47. - С. 17-22.

96. Якобовский, М. В. Распределенные системы и сети: учеб. пособие / М. В. Якобовский. М.: МГТУ "Станкин", 2000. - 118 с.

97. Afanasiev, К. Е. Numerical modeling of surface waves interaction with a solid partially submerged into the fluid / К. E. Afanasiev, E. N. Berezin // High Speed Hydrodynamics. June 2004. - P. 145-150.

98. Cooker, M. J. The interaction between a solitary wave and a submerged semicircular cylinder / M. J. Cooker, D. H. Peregrine, J. W. Dold et. el. // J. Fluid Mech. 1990. V. 215. - P. 1-22.

99. Cooker, M. J. Reflection of a high-amplitude solitary wave at a vertical wall / M. J. Cooker, P. D. Weidman, D.S. Bale // J. Fluid Mech. 1997. V. 342. P. 141-158.

100. Chubarov, L. B. Comparative Analysis of Nonliner Dispersive Shallow Water Models / L. B. Chubarov, Z. I. Fedotova, YU. I. Shokin et al. // IJCFD. -2000.-Vol. 14.-P. 55-73.

101. Ertekin, R. C. Some Soliton Calculations / R. C. Ertekin, J. V. Wehausen // Proc. 16th Symp. Naval Hydrodynamics, Berkeley, CA. 1986 P. 167-184.

102. Ertekin, R. C. Some Soliton Calculations / R. C. Ertekin, J. V. Wehausen // Proc. 16th Symp. Naval Hydrodynamics, Berkeley, CA. 1986 P. 167-184.

103. Green, A. E. A derivation of equations for wave propagation in water at variable depth / A. E. Green, D. M. Naghdi // J. Fluid Mech. 1976. - Vol. 78, P 2. - P. 237-246.

104. Grilli, S. T. Modeling of waves generated by moving submerged body. Applications to underwater landslide / S. T. Grilli, P. Watts // Eng. Analysis With Boundary Elements. 1999. - Vol. 23. - P. 645-656.

105. Kawahara, M. Finite element analysis of wave motion / M. Kawahara, T. Miwa // International journal for numerical methods in engineering. 1984. -Vol. 20.-P. 1193-1210.

106. Karabut, E. A. Asymptotic expansion in the problem of a solitary wave / E. A. Karabut // J. Fluid Mech. 1996. - Vol. 319. - P. 109-123.

107. Kawasaki, K. Numerical simulation of breaking and post-breaking wave deformation process around a submerged breakwater / K. Kawasaki // Coastal Engineering Journal. 1999. -Vol. 41, Nos. 3. - P. 201-223.

108. Ют, J. W. A Strongly-Nonlinear Model for Water Waves in Water of Variable Depth—The Irrotational Green-Naghdi Model / J. W. Kim, et. al. // J. of Offshore Mech. and Arctic Engin. February. 2003. - Vol. 125. - P. 25-32.

109. Liu, P. L.-F. Solitary wave runup and force on a vertical barrier / P. L.-F. Liu, Al-Banaa Khaled // J. Fluid Mech. 2004. - Vol. 505. - P. 225-233.

110. Longuet-Higgins, M. S. The deformation steep surface waves on water. 1. A numerical method of computation / M. S. Longuet-Higgins, J. D. Fenton // Proc. R. Soc. Long, A. 1974. - Vol. 340. - P. 471-493.

111. Lynett, P. Two-Layer Approach to Water Wave Modeling / P. Lynett, P. L-F. Liu // Proc. Royal Society of London A. 2004. - Vol. 460. - P. 2637-2669.

112. Lynett, P. A Numerical Study of Submarine Landslide Generated Waves and Runup / P. Lynett, P. L-F. Liu // Proc. Royal Society of London A. 2002. -Vol. 458. - P. 2885-2910.

113. Madsen, P. A. A new Boussinesq method for fully nonlinear waves from shallow to deep water / P. A. Madsen, et. al. // J. Fluid Mech. 2002. Vol. 462. - P. 1-30.

114. Mei, С. C. Note on equations of long waves on uneven bottom / С. C. Mei, B. Le Mehaute // J. Geophys. Res. 1966. - Vol. 72, N 2. - P. 393-400.

115. Nakayma, T. A computational method for simulating transient motions of an incompressible inviscid fluid with a free surface / T. Nakayma // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1990. - Vol. 10. - P. 683-695.

116. Nwogu, O. Alternative Form of Boussinesq Equations for Nearshore Wave Propagation / O. Nwogu // J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 1993.-Vol. 119.-P. 618-638.

117. Protopopov, В. E. An efficient numerical method for calculation of strongly nonlinear water waves / В. E. Protopopov // Computational Technologies. -Vol. 3,№ 3.- 1998.-P. 55-71.

118. Peregrine, D. H. Long waves on a beach / D. H. Peregrine // J. Fluid Mech.- 1967.-Vol. 27, pt 4.-P. 815-827.

119. Seabra-Santos, F. J. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave oyer a shelf or isolated obstacle / F. J. Seabra-Santos, D. P. Renouard, A. M. Temperville // J. Fluid Mech. 1987. - Vol. 176. - P. 117-134.

120. Sitanggang, K. Parallel Computation of a Highly Nonlinear Boussinesq Equation Model through Domain Decomposition / K. Sitanggang, P. Lynett // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. - Vol. 49 (1).- P. 57-74.

121. Su, С. H. On Head-On Collision Between Solitary Waves / С. H. Su, R. M. Mirie // J. Fluid Mech. 1980. - Vol. 98, Pt 3. - P. 509-525.

122. Tanaka, M. The stability of solitary waves / M. Tanaka // Physics of Fluids.-1986. V. 29 (3). - P. 650-655.

123. Watts, P. Comparing model simulations of three benchmark tsunami generation cases / P. Watts, F. Imamura, S. Grilli // Sci. of Tsunami Hazards. -2000. Vol. 18, №2. - P. 107-123.

124. Watts, P. Landslide tsunami case using a Boussinesq model and fully nonlinear tsunami generation model / P. Watts et al. // Natural Hazards and Earth System Sci. 2003. - Vol. 3, № 5. - P. 391-402.