автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование вихревых течений жидкости вблизи твердых поверхностей

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОГО ВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ

В ОБЛАСТИ С ГРАНИЦЕЙ.

1.1 Постановка задачи.

1.2. Решение задачи о восстановлении скорости по завихренности.

1.3. Численное решение нестационарной задачи движения жидкости в области с границей.

2. ЗАДАЧА О ВИХРЕВОМ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ БЕСКОНЕЧНОЙ

ГРАНИЦЫ.

2.1. Математическая постановка задачи.

2.2. Итерационный метод решения задачи.

2.3. Численная схема решения задачи.

2.4. Проведенные численные исследования.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ.

3.1 Математическая постановка задачи.

3.2 Итерационный метод решения задачи.

3.3 Численная схема решения задачи.до

3.4. Проведенные численные исследования.

4. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПРОНИЦАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ ИДЕАЛЬНОЙ

НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Первая методика расчета.

4.3. Вторая методика расчета.

4.4. Практическое применение методик.

5. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПРОНИЦАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ ИДЕАЛЬНОЙ

НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Проведенные численные исследования.

В работе рассматривается численное решение задач о вихревых течениях жидкости вблизи твердых поверхностей. Необходимость рассмотрения таких течений возникает в самых различных областях: это расчет аэродинамики летательных аппаратов и наземных транспортных средств, изучение движения жидкости в различных резервуарах, баках. Такие течения рассматриваются при математическом моделировании процессов в окружающей среде, например, при проведении аэрационных расчетов (т.е. расчетов ветровых потоков с учетом рельефа местности , жилой застройки, зеленых насаждений и т.д.).

При решении задач механики жидкости аналитические решения обычно удается получить лишь для случаев, когда рассматриваются течения в областях с простой геометрией. Поэтому с появлением ЭВМ в исследованиях широкое применение получило численное моделирование. При этом по мере развития ЭВМ открываются новые перспективы для решения все более сложных классов задач. Современный уровень развития вычислительной техники поставил на повестку дня реализацию математических моделей вихревых движений жидкости в областях со сложной геометрией.

Существует много численных методов решения уравнений динамики жидкости: конечноразностные, проекционные, спектральные, панельные и др. Обзор их можно найти в работах [1.8], [1.9], [3.19]. При этом задачи о вихревых течениях жидкости в областях со сложной геометрией представляют собой один из наиболее сложных случаев для численного моделирования. Развитие эффективных численных методов для таких задач представляет собой актуальную проблему современной вычислительной гидродинамики. В предлагаемой работе рассматривается решение некоторых задач о вихревом движении идеальной несжимаемой жидкости в замкнутых областях и областях с бесконечной границей с использованием метода дискретных вихрей.

При рассмотрении метода дискретных вихрей можно выделить два основных направления его применения. Первое направление связано с моделированием вихревых течений в безграничной области на основе так называемого уравнения переноса завихренности (уравнение переноса завихренности см.[1.6, 1.8]). Второе направление связано с использованием "вихревого слоя" при моделировании потенциальных течений в областях с границами, что позволяет свести такие задачи к решению граничных сингулярных интегральных уравнений (см.[1.1, 1.5]). В данной работе предлагается одновременное использование указанных подходов для решения задач о вихревом движении жидкости при наличии твердых границ. При этом поле скоростей жидкости ищется в виде суперпозиции фундаментальных решений типа вихрь, распределенных в области течения жидкости и на ее границе. Тем самым используется единообразный подход как для удовлетворения уравнений движения жидкости, так и для удовлетворения граничных условий.

Метод дискретных вихрей является специальным методом, возникшим и получившим свое развитие при решении задач механики жидкости. Его использование для решения задач о вихревых движениях несжимаемой жидкости в неограниченных областях рассматривалось различными авторами (см. Андерсон, Грингард [3.1, 3.21], Биркгоф, Фишер [3.2], Чорин [3.3], Чорин, Бернар [3.4], Холд [3.6], Розенхед [3.14], Леонард [3.10], Милинаццо, Сафмен [3.11], Мур [3.12], Сафмен, Бейкер [3.17], Сарпкая [3.18], Густавсон, Сетхиан [3.22]). Основная идея этого метода заключается в представлении потока с помощью дискретных вихрей, которые движутся вместе с ним. Для плоского течения невязкой с}со жидкости рассматривается уравнение переноса завихренности — = 0, Ш которое означает, что завихренность а> остается постоянной в движущемся элементе жидкости. Поэтому поток можно представить как совокупность вихрей, траектории которых определяются скоростью

1х с1у течения: — = и, —= V. Если скорости известны, то данные уравнения ш ск можно проинтегрировать. Если предположить, что поле течения состоит из совокупности точечных вихрей интенсивностью Г{ в точках (х,, у^), то функция тока поля течения может быть представлена в виде суперпозиции функций тока отдельных вихрей: ф = -1 / (4*)Е Г, 1п[(х -хЛ2+(У-Н)2], (1) г так как для единичного точечного вихря функция тока имеет вид: ф1 = -Г, / (2я) 1п г = -Г{ / (4ж) 1п[(х -X;)2 + (у- у¿)2]. (2)

Тогда поле скоростей имеет вид:

Ш ду / л2.- (3)

О*/) '

II дх г- (4)

О'*/) где = (хг- - ху ) 2 + (У1 - ^ ) 2 •

Интегрирование записанных уравнений позволяет получить положение вихрей и следовательно определить поле скоростей. К достоинствам данного метода можно отнести следующее:

1 .При нахождении скоростей частиц жидкости нет необходимости в использовать операцию численного дифференцирования, которая приводит к большой погрешности вычислений.

2.Если завихренность сосредоточена локально в рассматриваемой области, то при численном решении задачи можно не строить сетку разбиения в той части области, где завихренность равна нулю, что значительно экономит время счета и ресурсы ЭВМ.

3.Универсальность и простоту метода при его численной реализации.

Однако возникают и определенные трудности при использовании метода дискретных вихрей. Первая заключается в том, что интегрирование уравнений может приводить к стремительному росту решения вследствие наличия особенности в правых частях уравнений (1)-(4) при приближении вихрей друг к другу.

Эту трудность можно преодолеть используя вихри конечного радиуса вместо точечных вихрей, т.е. использования вместо выражений (2) соотношений Г-Гг /(2л-)1пг, г>5 -1г./(27Г)г/3, г <5 и выбора д таким, чтобы перемещение вихрей в течение временного шага имело тот же порядок, что и шаг сетки расположения вихрей по области. Этот выбор однако субъективен. В дальнейшем этот подход к сглаживанию особенности в точках расположения вихрей был развит и нашел математическое подтверждение (см. М.С. Белоцерковский и др. [1.1], [1.3], А.В Сетуха [2.6 - 2.8], Холд [3.5], Янг [3.20]).

Ко второму недостатку метода дискретных вихрей многие зарубежные авторы относят трудность учета границы. Действительно, применение общей концепции метода дискретных вихрей к свободным течениям жидкости без твердых границ не вызывает принципиальных трудностей, однако метод, позволяющий включать в рассмотрение границы, недостаточно разработан. Это и вызвало необходимость проведения исследований по созданию методик расчета вихревых течений в областях с твердой границей.

Существует ряд методов по учету границы. Рассмотрим некоторые из них.

Учесть граничные условия можно методом функции Грина. Завихренность б) = ди!ду-д\!дх связана с функцией тока уравнением

Пуассона Аф = со. Для учета граничных условий нахождение ф через со осуществляется с помощью функции Грина оператора Лапласа.

Другой подход удовлетворения граничных условий основан на методе отражений, т.е. на размещении дополнительных вихрей, симметричных вихрям, моделирующих течение, относительно границы области. Однако оба указанных подхода реально применимы только для областей с простой геометрией.

Для замкнутых областей сложной формы можно использовать подход, который основан на применении метода граничных интегральных уравнений. При этом скорость ищется в виде:

Яг=Щ0+Пго, (5) где 1Уа = (ц V), £/, V имеют вид (3), (4) и ¡¥а - неизвестная добавка, которая является потенциальной. Если ее потенциал (р ищется как решение краевой задачи Неймана: Д^ = 0и д(р!дп = -Ш0)п в виде потенциала простого слоя, то задача сводится к решению граничных интегральных уравнений Фредгольма. Дискретизация указанных уравнений приводит к так называемым панельным методам (см. [3.7], [3.8], [3.13], [3.15], [3.16]).

В настоящей работе потенциальную добавку 1¥а (далее IVу) в формуле (5) предлагается искать в виде поля скоростей, индуцируемого вихревым слоем, размещенным на границе области. При этом отыскание функции 1¥а сводится к решению граничного сингулярного интегрального уравнения с использованием численного метода дискретных вихрей. Такой подход к учету границы при рассмотрении потенциального течения был предложен С.М. Белоцерковским (см. [1.1 -1.3]), а его теоретическое обоснование было дано в работах И.К.Лифанова. Получено обоснование применения метода дискретных вихрей для учета границы и для трехмерного случая ( см. И.К. Лифанов [1.5], И.К.Лифанов, Л.Н. Полтавский [2.5], И.Я. Тимофеев [2.9]).

К преимуществам данного метода моделирования границы можно отнести следующее:

1.В процессе решения сразу ищется поле скоростей (а не его потенциал или функция тока), что исключает нежелательную операцию численного дифференцирования.

2.3адача сводится к решению сингулярных интегральных уравнений (см. H.H. Мусхелишвили [1.7]), при численном решении которых получается система линейных алгебраических уравнений с хорошо обусловленной матрицей (см. И.К. Лифанов [1.5]).

В работе рассмотрено несколько задач о вихревых течениях несжимаемой жидкости. При этом общим является подход к их решению, основанный на представлении поля скоростей жидкости в виде суперпозиции полей скоростей, индуцируемых вихрями, распределенными по области течения и вихревым слоем, размещенным на границе.

В первом разделе рассматривается плоская нестационарная задача о вихревом течении идеальной несжимаемой жидкости в ограниченной области: дается постановка задачи, методика и численная схема ее решения, а так же приводятся результаты расчетов и выводы по ним.

Исследуется течение идеальной несжимаемой жидкости в конечной области Ocz R с границей dfl, которое описывается уравнениями

Эйлера для поля скоростей W{x,t) = (IVi(x,t),(lV2 (x,t)) и давления

P(x,t): divW = О, dW — -— + (WV)fV =

6)

1

Vp, а p

7) p-const > 0 - заданная плотность жидкости, х-{хх,х2). Ищется решение, определенное и непрерывное в цилиндре QT = Í2 х [0, Г] (здесь

Q = Í2u dQ - замыкание области Q) вместе со всеми производными, фигурирующими в уравнении (7), при заданных условии непротекания на границе и начальном поле скоростей:

Wn= ОнадП, (8)

W(x,t)\t=0 = a(x), (9)

Wn - нормальная составляющая скорости W на кривой д£1, а(х) -заданное начальное поле скоростей, причем diva = 0, ап - 0 на dVí и dQ - есть замкнутая простая гладкая кривая, заданная параметрическим уравнением х — х0 (Я), Á е [0, ], | dx0 / d)l| > 0.

В работе к решению задачи (6) - (9) применяется вихревой подход и она сводится к отысканию траекторий движения жидких частиц.

Пусть - положение в момент времени t жидкой частицы, которая в начальный момент находилась в точке £ е Q. Это означает, что при известном поле скоростей W{%,t) функция x(^,t) есть решение задачи Коши:

-*<*.'WW.o>-f (10)

В рассматриваемой задаче функция W является неизвестной, поэтому для замыкания задачи (10) используется теорема о сохранении завихренности y = rotW = (¿W2 !dx\-dW\/дхг), (1 ^ в жидких частицах [1.4], [1.10], [1.11], из которой следует равенство: а)(х, /)|Л = б)0(£) = rota, где а. - заданное начальное поле скоростей.

Скорость W{x,t) ищется в виде суммы двух слагаемых:

Щх, 0 = 1¥а)(х,0 + 1¥г(х,0- (12) поля скоростей, индуцируемого распределенной по области завихренностью: / а)0(£)Р(х-Щ,Г)№ (13) и поля скоростей индуцируемого вихревым слоем, размещенным на границе:

Л» у(х,0= [г(Л,0Пх-хо(Л))с/Л, (14) о где У(х) = \! {2л)\х\ (-*2,*1) - поле скоростей, индуцируемое дискретным точечным вихрем единичной циркуляцией, помещенным в начало координат. Неизвестная интенсивность вихревого слоя у находится из следующей системы сингулярных интегральных уравнений, вытекающих из граничного условия (8): у(Л, 1)9(х - х0(Л))с/Л п(Ла) = (х, 0 п(Л0)| ^ (Л) , (15)

Л0 е[0,Ятах], у(Л,^Л = 0. (16)

В результате рассматривается решение замкнутой системы (10) -(16) для функции ( закона движения жидких частиц) и функции у(Л,1) (интенсивности вихревого слоя). Заметим, что функция Щх,1), определяемая в каждый момент времени выражением (12), является искомой для задачи (6) - (9) (см. [2.8]).

Численное решение задачи (10) - (16) осуществляется методом дискретных вихрей. При этом в начальный момент времени область течения разбивается на подобласти. В каждой подобласти выбирается точка = хг-(01г=о> г = 1,., N, в которой располагается дискретный вихрь, сосредотачивающий в себе всю завихренность из подобласти. Далее ищутся траектории движения выбранных точек хг (0 « , I). При этом считается, что завихренность, сосредоточенная в каждой такой точке, не меняется со временем и на каждом временном шаге интеграл в выражении (13) заменяется квадратурной суммой, в которой точки хг (/) выступают в роли узлов квадратур. Вихревой слой, размещенный на границе области, заменяется системой неподвижных точечных вихрей, размещенных на границе. Интенсивности этих вихрей определяются на каждом временном шаге путем решения системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих интегральное уравнение (15) и получаемой при его дискретизации по схеме, разработанной Лифановым И.К. [1.5].

С использованием разработанной численной схемы решения задачи были проведены методические исследования. Для проверки численного алгоритма сначала рассматривалось решение задачи вихревого течения жидкости в круге при равномерной завихренности, так как для этого случая известно аналитическое решение. После этого были получены решения задачи для равномерной и неравномерной завихренности в круге, эллипсе и в областях с негладкой границей: квадрате и прямоугольнике. Численные исследования показали устойчивость применяемого алгоритма и хорошую его сходимость по параметрам дискретизации. По результатам методических исследований были рекомендованы соотношения между используемыми параметрами дискретизации.

Во втором разделе рассматривается стационарная плоская задача о вихревом течении жидкости в области с бесконечной границей.

Рассматривается стационарное течение идеальной несжимаемой у жидкости в области АсЛ , лежащей выше кривой заданной уравнением у = у0 (х), причем у0 (х) -> 0 при х оо. Течение жидкости описывается стационарными уравнениями Эйлера для поля скоростей W(r) = (Wx{r),(Wy{r)) и давления р(г), где (уравнениями dW

6) -(7), где —S0). dt

Ищется решение, удовлетворяющее граничному условию (условию непротекания) (8) и условию lim W(x,y) = V00(y) = (VaDX,Vooy), (17)

Х-^-00 где: fx (y) - заданный профиль скорости, причем (>') = О при у > 0 и dVccx/dy = О при у > утах > 0 ( т.е. при х-+-ао поток плоскопараллельный и завихренность со^ = -dV^ / dy сосредоточена в полосе 0 <у<утах). Для давления ставится условие: р\х=^Х) = р^. у=О

Так же, как и для течения в ограниченной области, рассмотренного в первом разделе, неизвестное поле скоростей ищется в виде суперпозиции полей скоростей, индуцируемых завихренностью со(г), распределенной по области Q, и вихревым слоем интенсивностью у , размещенным на границе области:

W(r) = ja>(r')V(r-ndr'+ ¡y(A)V(r-r0(A))dA, (18)

Q c£l где r = r0(X) - параметрическое уравнение границы.

Тем самым задача сводится к нахождению неизвестной функции су (г) (завихренность) и у (Л) (интенсивность вихревого слоя), для отыскания которых разработана итерационная процедура.

При этом на каждом шаге итераций возникает необходимость восстановления очередного приближения поля скоростей W(r) по его ротору со = rotW при граничном условии (8) и условии на бесконечности (17). Функция W{r) находится по формуле (18), где у (Я) находится из системы уравнений (15), (16). В отличие от случая, рассмотренного в первом разделе, первый интеграл в выражении (18) является интегралом по бесконечной области и особенность в этом интеграле при * -» ±оо следует рассматривать в смысле главного значения по Коши, а второй интеграл в выражении (18), равно как и сингулярное интегральное уравнение (15) для функции у (Л), записывается на бесконечной кривой. Исходя из этого, в работе были рассмотрены вопросы о численном решении сингулярного интегрального уравнения (15) на бесконечной кривой по методу дискретных вихрей и построении квадратурных схем для приближенного вычисления интегралов, входящих в выражение (18).

По разработанной схеме решения задачи были проведены численные методические исследования, которые показали, что итерационный процесс решения обладает хорошей сходимостью. В среднем для достижения точности, приемлемой в инженерных расчетах, требуется четыре, пять итераций. Так же была получена хорошая сходимость полученных в итоге численных решений по параметрам дискретизации и даны рекомендации по выбору соотношений между этими параметрами.

В третьем разделе рассматривается решение стационарной задачи о вихревом течении идеальной несжимаемой жидкости в плоском канале. Постановка задачи аналогична рассмотренной во втором разделе с тем отличием, что область Q дополнительно ограничена сверху. Методика решения задачи используется та же, что и во втором разделе. Численная схема решения и результаты проведенных методических исследований представлены в параграфах 3.3 и3.4.

В четвертом разделе показывается применение разработанных вихревых методов к решению одной практической задачи, возникающей в экологии. При проведении аэрационных расчетов возникла необходимость находить поле скоростей над заданным рельефом местности с учетом проницаемых объектов, расположенных на нем. В качестве проницаемого объекта может рассматриваться, например, лес.

Для таких задач были предложены эмпирико-математические модели, использующие вихревой подход. В работе предлагается две методики решения задачи.

В первой методике проницаемый объект воспринимается как источник вихреобразования и моделируется распределенной завихренностью. Из эмпирических соображений задается распределенная завихренность внутри проницаемого объекта. Далее решается следующая математическая задача: ищется поле скоростей в рассматриваемой области, имеющее заданное значение на бесконечности и удовлетворяющее условию непротекания на границе области. При этом скорость должна иметь заданную завихренность в подобласти моделирующей проницаемый объект и нулевую завихренность в остальной части области.

Завихренность, моделирующая проницаемый объект, определяется по полю скорости внутри проницаемого объекта, строящемуся на основе эмпирических соображений. При этом принимаются следующие гипотезы:

- используется один из известных эмпирических законов затухания горизонтальной составляющей скорости,

- рассматривается несжимаемое течение, т.е. дивергенция скорости принималась равной нулю,

- для вертикальной составляющей скорости ставится граничное условие: на границе области она принимается равной нулю (у основания проницаемого объекта).

С использованием этих гипотез находится поле скоростей внутри проницаемого объекта по которому и определяется завихренность.

Второй подход к решению задачи течения жидкости в неограниченной области с проницаемым объектом заключался в следующем. Так же как и в первой методике, на основании тех же гипотез строится эмпирическое поле скоростей внутри проницаемого объекта. Далее для этого поля определяется нормальная составляющая скорости на границе проницаемого объекта. После этого решается следующая математическая задача: строится поле скоростей вне проницаемого объекта удовлетворяющее условию на бесконечности, условию непротекания на границе области и с непрерывной нормальной составляющей скорости на границе проницаемого объекта. Данный подход используется и при рассмотрении трехмерной задачи в пятом разделе.

Проведенные методические исследования предложенных плоских и пространственной эмпирико-математических моделей показали, что они отражают физику обтекания жидкостью проницаемых объектов. Результаты исследований отражены в тексте диссертации в разделах 4 и 5.

Методики расчета и результаты проведенных исследований были использованы в НИР, которая выполнялась совместно с экологическим фондом " ЭКОГОРОД ".

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Реализована на ЭВМ методика численного расчета вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости в области с границей, основанная на методе дискретных вихрей. Проведены численные исследования в ходе которых отработаны вопросы регуляризации вычислений и получены рекомендации по выбору расчетных параметров.

2. Разработана и реализована на ЭВМ методика численного моделирования плоского стационарного вихревого течения в области с бесконечной границей. При этом разработаны численная схема решения сингулярного интегрального уравнения и квадратурные суммы для вычисления сингулярного интеграла на бесконечной кривой. 3. Разработаны математические модели обтекания проницаемых объектов и осуществлена их численная реализация.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе было рассмотрено решение некоторых задач о вихревом движении идеальной несжимаемой жидкости в замкнутых областях и областях с бесконечной границей с использованием метода дискретных вихрей. При этом поле скоростей жидкости искалось в виде суперпозиции фундаментальных решений типа вихрь, распределенных в области течения жидкости и на ее границе. Тем самым использовался единообразный подход как для удовлетворения уравнений движения жидкости, так и для удовлетворения граничных условий.

В работе проведены методические исследования предлагаемого подхода, а так же разобраны примеры его практического применения.

В заключении автор благодарит: Лифанова И.К. и Сетуху A.B. за помощь, оказанную при написании предлагаемой работы. Автор так же признателен друзьям за оказанную моральную и материальную поддержку.

1.1. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. - М.: Наука, 1978.

2. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М., Наука, 1985.

3. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М., Наука, 1988.

4. Кочин. Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика, ч. I—II.— М.: Физматгиз, 1963.

5. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.-М.: ТОО "Янус", 1995.-520 с.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва, "Наука", 1973.

7. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.

8. Пейре Р., Тейлор Т. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат,1986.

9. Роуч. П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980.

10. Ю.Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1,2. Изд. 3-е М.: Наука, 1976.

11. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Изд. 3-е.-М.:НАука,1980.2.Статьи.

12. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений ПММ, т.39, №4, с.742-746,1975.

13. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода.-ДАН СССР, т.255, №5, с.1046-1050, 1980.

14. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений Дифференциальные уравнения, т. XVII, №12, 1981.

15. Лифанов И.К. Сингулярное интегральное уравнение первого рода задачи Неймана Дифференциальные уравнения, т. XXIV,№l,c.l00-115, 1988.

16. Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Обобщенный оператор Фурье и его применение в обосновании метода дискретных вихрей.- Матем. сборник,1992.-183,№5,с.574-578.

17. Сетуха A.B. Численное решение задачи о движении вихревой пелены при аналитическом начальном условии.- Дифференциальные уравнения т.31, №9, стр. 1529-1537,1995г.

18. Сетуха A.B. Обоснование метода дискретных вихрей в задаче о движении конечной вихревой пелены при аналитических начальных условиях- Дифференциальные уравнения т.32, №9, стр. 1272-1279,1996г.

19. Сетуха A.B. Обоснование численного метода дискретных вихрей для уравнений Эйлера в области с границей.- Дифференциальные уравнения №9, 1997.

20. Тимофеев И.Я. Метод замкнутых вихревых особенностей численного решения сингулярного интегрального уравнения теории несущей поверхности.- Труды ВВИА им. проф. Жуковского, бвып.1313, 1986.

21. Литература на иностранных языках.

22. Anderson C.R., Greengard С., On vortex methods, SI AM J. Numer. Anal., vol.22, (1985), s. 413-440.

23. Birkhoff, G., and Fisher, J. Circ. Mat. Palermo 8, 77-90 (1959).

24. Chorin, A. J. J. Fluid Mech. 57, 785-796 (1973).

25. Chorin, A. J., Bernard, P. S. J. Comput. Phys. 13,423-428 (1973).

26. Hald, V. Mauceri Del Prete, Math. Сотр., 32, p. 791 (1978).

27. Hald. О. H. SIAM J. Numer. Anal. 16, 726-755 (1979).

28. Hess, J. L., and Smith, A.M.O. Douglas Aircraft Co. Rept. No. ES40622, March (1962). Abbreviated version: J. Ship Res. 8, 22-44 (1964).

29. Hess, J. L., and Smith, A.M.O. Progress in Aeronautical Science, Voi.8,pp. 1-138, Pergamon Press, New York (1966).

30. T. Kato, On the classical solution of the two dimensional nonstationary Euler equation, Arch. Rat. Mach. Anal. 24 (1967), 302-324.

31. O.Leonard, A. J. Comput. Phys. 37, 289-335 (1980).

32. Milinazzo, F., and Saffinan, P. G. J. Comput. Phys. 23, 380-392 (1977).

33. Moore, D. W. Mathematika 23, 35-44 (1976).

34. Roberts, A. L., and Rundle, К. ВАС (Weybridge) Rept. Aero. MA 19 (1972).

35. RosenheadL. Proc. R. Soc. Lond. A 134,170-192 (1931).

36. Rubbert, P. E., and Saaris, G.R. AIAA Paper No. 72-188 (1972).

37. Rubbert, P. E., et. al. Vol. I, USAAVLABS Tech. Rept. No. 67-61A December (1976).

38. Saffinan, P. G., and Baker, G. G. Ann. Rev. Fluid Mech. 11, 95-122 (1979).

39. Sarpkaya Т., Computational methods with vortices-the 1988 Freeman Scholar Lecture, J. Fluids Eng., vol.lll (1989), s.5-52.

40. Taylor, T., and Murdock, J. In: Approximation Methods for Navier-Stokes Problems, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 771, pp. 519-539 Springer-Verlag, New York (1980).

41. Ying L., Convergence problem of the vortex method for calculating incompressible flow, Progress in natural science,vol.5,No.4, August 1995.

42. Vortex dynamics and vortex methods, eds. Ch. R. Anderson, C. Greengard, Lectures in Applied Mathematics vol. 28, The Proceedings of the 1990 Summer Seminar on Vortex Dynamics and Vortex Methods, Seattle 1990.

43. Vortex methods and vortex motion, eds. K.E. Gustawson, J. A. Sethian, SI AM Philadelphia, Pennsylvania 1991.