автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование роста и схлопывания пузырьков в сжимаемой жидкости

о

На правах рукописи

ЗАКИРОВ КАМИЛЬ РАВИСОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РОСТА И СХЛОПЫВАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак — 2005

Работа выполнена в лаборатории «Механика многофазных систем» Института механики Уфимского научного центра Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ахатов И. Ш.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Болотнов А. М., кандидат физико-математических наук, доцент Гималтдинов И. К.

Ведущая организация: Институт механики и машиностроения

Казанского научного центра РАН

Защита состоится 2005 года в часов на

заседании диссертационного совета К-212.315.01 в Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: 453103, г. Стерлитамак, Проспект Ленина, 49 в аудитории 312 физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Автореферат разослан « $$ 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Кризский В. Н.

WW

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Явление кумуляции энергии, возникающее при схлопывании парогазовых полостей в жидкости, уже на протяжении более века вызывает неослабевающий интерес исследователей. Проблема заключается в том, что экспериментально невозможно непосредственно получить полную картину наиболее интересующей стадии процесса, когда полость схлопывается до своего минимального размера. Этим вызвано появление огромного количества теоретических работ по данной проблеме, подавляющее большинство которых ограничены рамками сферической симметрии. В то время как, в действительности, даже незначительное начальное отклонение от сферической формы при схлопывании может увеличиваться. Поэтому исследование динамики несферических пузырьков является одной из актуальных проблем гидродинамики.

Явление схлопывания пузырьков находит применение в химической промышленности, в частности, в сонохимии. Оказывается, мельчайшие парогазовые пузырьки, которые растут и схлопываются в жидкости под действием ультразвука, могут обладать мощной каталитической способностью. Охлопывание пузырьков используется также при ультразвуковой очистке воды.

Для исследования явления кумуляции, целесообразно рассмотреть одиночный пузырек, схлопывающийся в неограниченном объёме невозмущенной жидкости. В этом суть классической задачи в постановке Рэлея. При выполнении экспериментальных исследований создать такую полость в объёме жидкости можно с помощью сфокусированного лазерного импульса. При постановке задачи математического моделирования в представленной работе были рассмотрены эксперименты B.C. Тесленко и В. Лаутерборна.

Численное моделирование гидродинамики жидкости, окружающей пузырёк, является эффективным методом исследования, поскольку на основании сравнения численных и экспериментальных данных о распространении ударной волны, излучаемой пузырьком в окружающую жидкость, возможно косвенно восстановить картину коллапса, которая недоступна для

непосредственного наблюдения.

Цели работы. Численное моделирования роста и схлопывания пузырьков с учетом сжимаемости жидкости. Анализ влияния гидростатического давления жидкости, давления насыщенных паров, поверхностного натяжения и массообменных процессов на границе, начальной геометрии самой границы на динамику пузырьков.

Выявление набора сценариев, по которым происходит схлопывание несферических пузырьков.

Построение численной сетки, обеспечивающей расчёт ударной волны, излучаемой пузырьком в окружающую жидкость без размазывания. Изучение структуры полученной волны.

Исследование эволюции искажения сферической формы пузырька при взрывном росте из зародыша в форме эллипсоида вращения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты:

разработана компьютерная программа, позволяющая производить экономичный и устойчивый расчёт задач газовой динамики с движением, близким к сферически-симметричному;

с помощью численного эксперимента показано, что осесимметричный пузырёк, близкий к шару, может при схлопывании стремиться либо к образованию тора, либо к разделению на два пузырька в зависимости от величины начального искажения и интенсивности массообменных процессов;

- установлено, что начальная взрывная полость, ограниченная вытянутым эллипсоидом вращения, быстро приобретает форму, близкую к шару, и к моменту максимального расширения граница полости становится приплюснутым эллипсоидом вращения, близким к сфере.

Практическая ценность.

Общие представления об особенностях коллапса пузырьков, близких к сферическим, помогут определить режимы схлопывания, ведущие к увеличению кумуляции во время коллапса.

- Результаты по величине диссипации энергии при схлопывании одиночного пузырька будут использоваться в замыкающих соотношениях для 'моделей механики многофазных сред и будут

иметь приложение в сонохимии и в технологиях очистки воды ультразвуком.

Достоверность результатов обеспечивается использованием известного численного метода для решения уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости, обусловлена совпадением полученных результатов с некоторыми автомодельными решениями, а также проведением сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

- на конференции молодых математиков МГУ (Москва, 1998);

- на Международной конференции САМГОП (Уфа, 1998);

на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения в физике» (Стерлитамак, 1999);

на 138 съезде Американского акустического общества (Огайо, 1999);

- на Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р. И. Нигматулина ICMS-2000 (Уфа, 2000);

- VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002);

на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003);

- на VIII школе-семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск, 2004);

на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и получили положительную оценку на семинарах в Институте механики УНД РАН (под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина), в Институте проблем транспортировки

энергоресурсов АН РБ (г.Уфа) (под руководством академика АН Республики Азербайджан А. X. Мирзаджанзаде) и в Стерлитамакской государственной педагогической академии на семинарах под руководством профессоров В. Ш. Шагапова и К. Б. Сабитова.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц, в том числе 35 рисунков. Список литературы состоит из 80 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении отмечена практическая ценность и актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации. Сформулированы цели диссертационной работы. Оценивается достоверность результатов и их научная новизна. Проведено краткое изложение структуры диссертации.

В первой главе выполнен обзор литературы, относящейся к проблеме нелинейной динамики пузырьков в жидкости. Рассмотрена история возникновения термина кавитация. Приводятся работы, в которых исследовались потери энергии пузырьком за счёт акустического излучения. Рассматривается явление люминесценции пузырьков в ультразвуковом поле и обзор гипотез о механизме данного свечения. Проведён подробный обзор экспериментальных работ по динамике пузырьков, возникающих в результате оптического пробоя жидкости. Также рассматриваются работы по динамике несферических пузырьков.

Во второй главе подробно изложено построение численной схемы па основе метода Годунова для проведения двумерных расчётов Осесимметричная схема в цилиндрических координатах, предложенная Годуновым, вблизи оси симметрии даёт несколько большую погрешность по сравнению с остальной расчётной областью. Данное обстоятельство отмечается в работах (Колган,

Рис. 1: положение и форма ударной волны (сплошные линии) и контактной поверхности (штриховые линии) при сферическом взрыве для трёх моментов времени, тонкими линиями приведён расчёт по схеме в цилиндрических координагах

Фонарев 1972), (МаэБоп 1969). При тестировании данной схемы на сферически-симметричных задачах, автор столкнулся с появлением в результатах несферичности близ оси симметрии, которая имела численную природу. Поэтому была предпринята модификация данной схемы из цилиндрических в сферические координаты. Полученная таким образом схема избавлена от указанного недостатка, что демонстрируется на тестовых расчётах. В данной главе собраны тестовые расчёты численной схемы для нестационарных течений идеального газа. Повторяются численные расчеты, полученные другими авторами, сравниваются результаты полученные с помощью схемы в цилиндрических и сферических координатах, также получено численное решение некоторых автомодельных задач.

Здесь приводится расчёт задачи о сферическом взрыве. Будем считать окружающую среду и продукты взрыва совершенными газами с показателем адиабаты 7 = 7/5. Радиу^ заряда приняли

равным Я = 1. В начальный момент времени окружающая среда покоится. Отношение давления внутри заряда к внешнему Р2/Р1 примем равным 109, отношение плотностей ръ/ Р\ = Ю2. На рис. 1 показано положение и форма ударной волны и контактной поверхности для трёх моментов времени г = 0.3,0.9,1 8. Видно, что имеется некоторое запаздывание по оси симметрии для схемы в цилиндрических координатах.

т, «

В третьей главе рассматривается рост и схлопывание несферических пузырьков в сжимаемой жидкости. Система уравнений для изэнтропического осесимметричного движения \

сжимаемой жидкости в сферических координатах имеет вид:

дрг2 дриг2 1 dpvr sin в _

~W + дг + дв ~ '

дриг2 д(р + ри2)г2 1 dpuvr sin в „ 9

+ я J + ■ д яа-= 2pr + pv г, (1)

ot or sm в дв

dpvr2 dpuvr2 1 dpv2r sin в дрг

~дГ + -дГ + дв

здесь t — время, в — угол отсчитываемый от оси симметрии, г — расстояние до центра координат, и, v ~ составляющие вектора скорости по направлениям г и в соответственно, р — давление, р — плотность.

Уравнение состояния имеет вид:

Ро Ро

где для воды В — 3 • Ю8 Па, 7 = 7, ро = 1000 кг/м3.

Для системы (1) решается краевая задача со свободной границей при г равном R(t,$) — поверхность пузырька, на которой заданы условия

р(в) =Pv- Ар(в),и(в) = В!{в) - i/р{9),

где pv — среднее давление пара внутри пузырька, Др{9) — разница давлений за счёт поверхностного натяжения межфазной

Рис. 2: положение и форма поверхности пузырька при взрывном росте из области пробоя для пяти моментов времени и поле давлений для второго момента (давление в атм)

поверхности, £ — поток массы через единицу поверхности, который вычисляется по формуле Герца-Кнудсена-Ленгмюра

* = 7(2)

где а — коэффициент аккомодации, Яд — газовая постоянная для < водяного пара , 7} — температура жидкости на границе пузырька

считалась постоянной, р„ — давление насыщения пара, равное 2330 Па при Г;, равном 293 К. Коэффициент а задаёт интенсивность массообменных процессов, от него зависит достигаемая глубина коллапса. Расчётная глубина коллапса согласуется с экспериментом при а равном 0.04. Среднее давление пара внутри пузырька р„ вычислялось по формуле

Ру =Рэ(Р»/Ре)К,

здесь показатель адиабаты для пара к равен 1.33, ру — плотность паров, равная ту/У, где V — объём полости, масса пара т„

Рис. 3: эволюция искажения сферической формы пузырька — А (штриховые линии) и его радиуса — Я (сплошные линии) на стадии роста для разных давлений окружающей жидкости: Р\ = 5 атм, Р2 = 2.5 атм, Р3 = 1 атм

определялась уравнением

dmv = ^

dt

где S — площадь поверхности пузырька. Разница давлений на контактной поверхности за счет сил поверхностного натяжения вычислялась по формуле

/ 1 1 ^ Н\ Г12

где а — коэффициент поверхностного натяжения 0.073 N/m, Ry, R2 — радиусы кривизны поверхности поверхности пузырька в интересующей точке.

Для системы (1) на бесконечности давление неизменно и равно начальному, а жидкость неподвижна.

Создать полость в объёме жидкости, соответственно постановке Рэлея, можно с помощью сфокусированного лазерного импульса.

В эксперименте область пробоя обычно имеет веретенообразную форму. Для простоты при численном моделировании зародыш пузырька будем задавать в форме эллипсоида вращения, вытянутого вдоль оси симметрии. В начальный момент времени давление в окружающей жидкости однородно, варьировалось от одной до десяти атмосфер, давление внутри полости также однородно и равно 104 атмосфер. На рис. 2 приведены результаты численного моделирования для окружающего давления пять атмосфер: первая диаграмма - положение поверхности пузырька для различных моментов времени, в силу симметрии можно ограничиться одной четвертью плоскости. Поле давлений для момента времени 2 приводится на второй диаграмме рис. 2. Видно, что ударная волна отошла на расстояние около 0.7 мм, причем с ростом угловой координаты, начиная от оси симметрии, интенсивность ударной волны возрастает и достигает максимума в направлении, перпендикулярном оси симметрии. Массовая скорость за фронтом ударной волны также будет больше в направлении в = тт/2, следовательно контактная граница в данном направлении движется быстрее, чем в направлении в = 0. В результате пузырёк из вытянутого эллипсоида вращения превращается к моменту максимального расширения 5 в приплюснутый. В промежуточный момент времени 4 форма пузырька наиболее близка к гфере. На рис. 3 приводятся интегральные результаты для трех различных давлений окружающей жидкости, при этом зародыш пузырька для всех вариантов задавался одинаковым и по размеру и по внутреннему давлению. Видно, что с ростом окружающего давления искажение формы пузырька при достижении им максимального размера увеличивается.

Рассмотрим известную задачу Рэлея о схлопывании полости в неограниченном объеме жидкости за счет гидростатического давления. Будем считать полость элипсоидом вращения, немного приплюснутым по оси симметрии. В начальный момент времени давление в окружающей жидкости однородно и равно одной атмосфере, давление внутри полости также однородно и равно давлению насыщения паров.

На рис. 4 изображено схлопывание пузырька с 3% начальным

Л(6),м/с

-300

-200

А, % у, мм

400 0.8

300 0.4 : 0

- 200 -0.4:

- 100 -0.8-

0

-0.8 -0.4 0 0.4 0.8 х, мм

Рис. 4: схлопывание пузырька с 3% начальным искажением формы и низкой скоростью массообмена (коэффициент а в (2) равен 0.01): а) зависимость искажения сферической формы пузырька А (штриховая линия) и скорости границы В,'(9) от радиуса (скорость в направлении оси симметрии Я'(0) — штрих-пунктирная линия, в перпендикулярном ей направлении Я'(7г/2) — сплошная линия); б) положение и форма поверхности пузырька для пяти моментов времени; в) поле давлений в жидкости для четвёртого момента времени (размер диаграммы 1x1 мм, цена деления на осях 0.02 мм); г) поле давлений для пятого момента времени (размер диаграммы 0.3x0.3 мм, цена деления на осях 0.01 мм)

Рис. 5: схлопывание пузырька с 3% начальным искажением формы и высокой скоростью массообмена (коэффициент а в (2) равен 0.04): а) зависимость искажения сферической формы пузырька А (штриховая линия) и скорости границы Я'(в) от радиуса (скорость в направлении оси симметрии Я'(0) — штрих-пунктирная линия, в перпендикулярном ей направлении Я'(тг/2) — сплошная линия); б) положение и форма поверхности пузырька для пяти моментов времени; в) поле давлений в жидкости для четвёртого момента времени (размер диаграммы 1x1 мм, цена деления на осях 0.02 мм); г) поле давлений для пятого момента времени (размер диаграммы 0 3x0.3 мм, цена деления на осях 0.01 мм)

искажением сферической формы. Этот расчёт был проведён с заниженной скоростью массообмена: в формуле (2) коэффициент а был взят равным 0.01. На первой диаграмме приводится засисимость скорости границы пузырька и искажения формы от радиуса, на второй — контактная граница для разных моментов времени, помеченных на первой диаграмме кружочками. Видно, что по мере схлопывания несферичность поверхности пузырька увеличивается. Поля давлений для четвёртого и пятого моментов времени приведены на следующих диаграммах рис. 4. Видно, что локальные максимумы давления (изолинии со значением 7.4 и 260.5 атм), образующиеся на оси симметрии — "струи", стремятся превратить пузырёк в тор. Результаты расчётов схлопывания пузырька с таким же начальным искажением формы, но с более высокой скоростью массообмена а = 0.04 приведены на рис. 5. Поля давлений для четвёртого момента времени на рис. 5 и 4 практически совпадают. При схлопывании с высокой скоростью массообмена пузырёк начинает оказывать сопротивление свободному движению жидкости на более поздней стадии. Это приводит к тому, что при дальнейшем схлопывании тенденции, образовавшиеся на начальной стадии схлопывания, меняются: локальные максимумы на оси симметрии исчезают и появляются в перпендикулярном ей направлении. Образуется "пояс давлений", стремящийся разделить пузырёк на два.

В четвёртую главу вошли результаты тестирования численной схемы для сферически-симметричного движения изэптропической жидкости, окружающей пузырёк. Рассматриваются радиальные колебания пузырька, образованного в результате подводного взрыва. На заключительной стадии схлопывания решение сравнивается с автомодельным решением К. Хантера. Стадия роста пузырька, как начальная после взрыва, так и повторная после первого схлопывания сопровождается излучением расходящейся ударной волны. На этой стадии основное внимание уделяется построению численной сетки, не размазывающей ударную волну.

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе метода Годунова в подвижной системе координат разработана численная схема экономичного расчёта задач роста и схлопывания пузырьков в сжимаемой жидкости со слабыми ударными волнами. Экономичность расчёта достигается за счёт рассмотрения изэнтропического движения среды и решения задачи

0 распаде разрыва в звуковом приближении. Для расчёта двумерных пузырьков была выбрана осесимметричная схема в сферических координатах, что позволило производить устойчивый расчёт движений, близких к сферически-симметричным.

2. На основе численных экспериментов, выполненных с помощью разработанной программы, показано, что паровая полость,

01 раниченная в начальный момент времени вытянутым эллипсоидом вращения, при взрывном росте быстро приобретает форму близкую к шару. К моменту максимального расширения граница полости становится приплюснутым эллипсоидом вращения, близким к сфере.

3. Установлено, что увеличение давления окружающей жидкости при постоянных начальных параметрах паровой полости ведёт к увеличению отклонения пузырька от сферической формы на момент его максимального расширения.

4. Показано, что осесимметричная паровая полость, близкая к шару, при схлопывании под действием окружающего давления стремится либо к образованию тора, либо к разделению на две полости в зависимости от величины начального искажения и интенсивности массообменных процессов.

5. Установлено, что при движении ударной волны, распространяющейся от коллапсирующего парового пузырька по жидкости, пологий подъём перед фронтом волны возникает за счёт достаточно длительного формирования возмущения давления в окрестности пузырька на стадии его схлопывания и зависит только от свойств жидкости. Степень затухания волны за фронтом зависит от свойств содержимого пузырька и от интенсивности массообменных процессов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Закиров К. Р. Кавитация пузырька с учётом фазовых переходов // Сборник трудов: «Дифференциальные уравнения и их приложения в физике». - Стерлитамак, 1999. - С. 163-166.

2. Nigmatulin R.I., Akhatov I.Sh., Vakhitova N.K., Bolotno-va R.Kh., Topolnikov A.S., Nasibullaeva E.Sh., Kalyaki-na O.L., Zakirov K.R. Mathematical modeling of a single bubble and multibubble dynamics in a liquid // Proceedings of International Conference on Multiphase Systems. - Ufa, Russia, 2000. -PP. 294-301.

3. Болотнова P.X., Топольников А.С., Закиров К.P.

Динамика парового пузырька в жидкости при лазерном и нейтронном пробое // Башкирский химический журнал, Т. 7, № 5, 2000.- С. 82 -91.

4. Akhatov I., Vakhitova N., Topolnikov A., Zakirov K. Wolfrum В., Kurz Т., Lindau O., Mettin R., Lauterborn W. Dynamics of laser-induced cavitation bubbles // Experimental Thermal and Fluid Science, Vol. 26, 2002. - PP. 731-737.

5. Закиров К.P. О распространении сферической волны от схлопывающегося парового пузырька // Труды 16 сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды - Казань, 2002. - С. 175-178.

6. Закиров К.Р. Образование и распространение волн при кавитации // Труды Института механики УНЦ РАН. - Уфа, 2003. - С. 128-141.

7. Закиров К.Р. О схлопывании пузырька с начальным искажением сферической формы // Труды 17 сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. - Казань, 2004. - С. 115-118.

Закиров Камиль Рависович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РОСТА И СХЛОПЫВАНИЯ ПУЗЫРЬКОВ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99г.

Подписано в печать 28.09 2005 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,08. Тираж 100 экз. Заказ 697.

Редакционно-шдателъский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул.Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул.Фрунзе, 32

»17840

РНБ Русский фонд

2006-4 17643

Введение '

Глава 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1. Открытие явления гидродинамической кавитации.

1.2. О кавитационном шуме, потерях энергии пузырьком и одной из задач настоящей работы.

1.3. Об открытии явления сонолюминесценции и о гипотезах, объясняющих её механизмы.

1.4. Подводные взрывы и лазерная кавитация.

1.5. Явления кумуляции энергии и её ограничители

1.6. Об исследованиях динамики несферических пузырьков.

Глава 2. ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА, ПОСТРОЕНИЕ, ТЕСТИРОВАНИЕ

2.1. Схема расчёта осесимметричных задач в сферических координатах

2.2. Расчёт "больших"величин на границах ячеек.

2.3. Вычисление шага по времени.

2.4. Тестовый расчет обтекания сферы.

2.5. Тестовый расчет дифракции ударных волн на сфере

2.6. Тестовый расчет — взрыв сферического заряда, автомодельное решение Седова для расходящейся ударной волны.

Глава 3. ДИНАМИКА НЕСФЕРИЧЕСКОГО ПУЗЫРЬКА

3.1. Осесимметричная модель для изэнтропического течения сжимаемой жидкости.

3.2. Тестирование метода расчёта поверхностного натяжения

3.3. Взрыв в жидкости заряда, имеющего форму эллипсоида вращения

3.4. Схлопывание несферического пузырька.

Глава 4. РОСТ И СХЛОПЫВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ПУЗЫРЬКА

4.1. Сферически-симметричная модель для сжимаемой жидкости

4.2. Сферически-симметричная модель для несжимаемой жидкости

4.3. Формирование возмущения давления в окрестности пузырька при его свободном схлопывании, автомодельное решение Хантера

4.4. Особенность сферической волны, расходящейся от коллапсирующего пузырька.

4.5. Сферический взрыв в жидкости с образованием полости

Актуальность темы. Явление кумуляции энергии, возникающее при схлопывании парогазовых полостей в жидкости, уже на протяжении более века вызывает неослабевающий интерес исследователей. Проблема заключается в том, что экспериментально невозможно непосредственно получить полную картину наиболее интересующей стадии процесса, когда полость схлопывается до своего минимального размера. Этим вызвано появление огромного количества теоретических работ по данной проблеме, подавляющее большинство которых ограничены рамками сферической симметрии. В то время как, в действительности, даже незначительное начальное отклонение от сферической формы при схлопывании может увеличиваться. Поэтому исследование динамики несферических пузырьков является одной из актуальных проблем гидродинамики.

Явление схлопывания пузырьков находит применение в химической промышленности, в частности, в сонохимии. Оказывается, мельчайшие парогазовые пузырьки, которые растут и схлопываются в жидкости под действием ультразвука, могут обладать мощной каталитической способностью. Охлопывание пузырьков используется также при ультразвуковой очистке воды.

Для исследования явления кумуляции, целесообразно рассмотреть одиночный пузырек, схлопьтвающийся в неограниченном объёме невозмущенной жидкости. В этом суть классической задачи в постановке Рэлея. При выполнении экспериментальных исследований создать такую полость в объёме жидкости можно с помощью сфокусированного лазерного импульса. При постановке задачи математического моделирования в представленной работе были рассмотрены эксперименты B.C. Тесленко и В. Лаутерборна.

Численное моделирование гидродинамики жидкости, окружающей пузырёк, является эффективным методом исследования, поскольку на основании сравнения численных и экспериментальных данных о распространении ударной волны, излучаемой пузырьком в окружающую жидкость, возможно косвенно восстановить картину коллапса, которая недоступна для непосредственного наблюдения.

Цели работы. Численное моделирования роста и схлопывания пузырьков с учетом сжимаемости жидкости. Анализ влияния гидростатического давления жидкости, давления насыщенных паров, поверхностного натяжения и массообменных процессов на границе, начальной геометрии самой границы на динамику пузырьков.

Выявление набора сценариев, по которым происходит схлопывание несферических пузырьков.

Построение численной сетки, обеспечивающей расчёт ударной волны, излучаемой пузырьком в окружающую жидкость без размазывания. Изучение структуры полученной волны.

Исследование эволюции искажения сферической формы пузырька при взрывном росте из зародыша в форме эллипсоида вращения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты:

- разработана компьютерная программа, позволяющая производить экономичный и устойчивый расчёт задач газовой динамики с движением, близким к сферически-симметричному;

- с помощью численного эксперимента показано, что осесимметричный пузырёк, близкий к шару, может при схлопывании стремиться либо к образованию тора, либо к разделению на два пузырька в зависимости от величины начального искажения и интенсивности массообменных процессов;

- установлено, что начальная взрывная полость, ограниченная вытянутым эллипсоидом вращения, быстро приобретает форму, близкую к шару, и к моменту максимального расширения граница полости становится приплюснутым эллипсоидом вращения, близким к сфере.

Практическая ценность.

- Общие представления об особенностях коллапса пузырьков, близких к сферическим, помогут определить режимы схлопывания, ведущие к увеличению кумуляции во время коллапса.

- Результаты по величине диссипации энергии при схлопывании одиночного пузырька будут использоваться в замыкающих соотношениях для моделей механики многофазных сред и будут иметь приложение в сонохимии и в технологиях очистки воды ультразвуком.

Достоверность результатов обеспечивается использованием известного численного метода для решения уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости, обусловлена совпадением полученных результатов с некоторыми автомодельными решениями, а также проведением сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

- на конференции молодых математиков МГУ (Москва, 1998);

- на Международной конференции САМГОП (Уфа, 1998);

- на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения в физике» (Стерлитамак, 1999);

- на 138 съезде Американского акустического общества (Огайо, 1999);

- на Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р. И. Нигматулина ICMS-2000 (Уфа, 2000);

- VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплоышой среды (Казань, 2002);

- на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003);

- на VIII школе-семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск, 2004);

- на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и получили положительную оценку на семинарах в Институте механики УНЦ РАН (под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина), в Институте проблем транспортировки энергоресурсов АН РБ (г.Уфа) (под руководством академика АН Республики Азербайджан

A. X. Мирзаджанзаде) и в Стерлитамакской государственной педагогической академии на семинарах под руководством профессоров

B. Ш. Шагапова и К. Б. Сабитова.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц, в том числе 35 рисунков. Список литературы состоит из 80 наименований.

Заключение

1. На основе метода Годунова в подвижной системе координат разработана численная схема экономичного расчёта задач роста и схлопывания пузырьков в сжимаемой жидкости со слабыми ударными волнами. Экономичность расчёта достигается за счёт рассмотрения изэнтропического движения среды и решения задачи о распаде разрыва в звуковом приближении. Для расчёта двумерных пузырьков была выбрана осесимметричная схема в сферических координатах, что позволило производить устойчивый расчёт движений, близких к сферически-симметричным.

2. На основе численных экспериментов, выполненных с помощью разработанной программы, показано, что паровая полость, ограниченная в начальный момент времени вытянутым эллипсоидом вращения, при взрывном росте быстро приобретает форму близкую к шару. К моменту максимального расширения граница полости становится приплюснутым эллипсоидом вращения, близким к сфере.

3. Установлено, что увеличение давления окружающей жидкости при постоянных начальных параметрах паровой полости ведёт к увеличению отклонения пузырька от сферической формы на момент его максимального расширения.

4. Показано, что осесимметричная паровая полость, близкая к шару, при схлопьтвании под действием окружающего давления стремится либо к образованию тора, либо к разделению на две полости в зависимости от величины начального искажения и интенсивности массообменных t процессов.

5. Установлено, что при движении ударной волны, распространяющейся от коллапсирующего парового пузырька по жидкости, пологий подъём перед фронтом волны возникает за счёт достаточно длительного формирования возмущения давления в окрестности пузырька на стадии его схлопывания и зависит только от свойств жидкости. Степень затухания волны за фронтом зависит от свойств содержимого пузырька и от интенсивности массообменных процессов.

1. Thornycroft J.j Barnaby S. W. Torpedo Boat Destroyers // Minutes of Proc. 1.st, of Civil Engineers. 1895. V. 122, P. 51-103.

2. Besant W.H. Treatise on hydromechanics. Cambridge university press. 1859.

3. Lord Rayleigh On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity /'/ Phil. Mag. 1917. V. 34, P. 94-98.

4. Hunter C. On the collapse of an empty cavity in water //J. Fluid Mech. 1960. V. 8, P. 241-263.

5. Брушлинский К.В., Каждая Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // Успехи математических наук. 1963. Т. 18, В. 3, С. 3-23.

6. Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, В. 6, С. 1129-1131.

7. Забабахин Е.И. Кумуляция энергии и её границы // Успехи физических наук. 1965. Т. 85, В. 4, С. 62-68.

8. Забабахин Е.И. Явления неограниченной кумуляции // сб. Механика в СССР за 50 лет 1917-1967. Москва. 1970. Т. 2, С. 313-345.

9. Забабахин Е.И. Неустойчивость неограниченной кумуляции // Журнал экспериментальной и технической физики. 1979. Т. 30, В. 2, С. 97-99.

10. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит. 1950. 494 с.

11. Hickling R., Plesset M.S. Collapse and rebound of a spherical bubble in water // Phys. Fluids. 1964. № 7, P. 7-14.

12. Ivany R.D., Hammitt F.G. Cavitation bubble collapse in viscous, compressible liquids —numerical analysis // ASME J. Basic Eng. 1965. № 87, P. 977-985.

13. В.П. Морозов Численный анализ излучения звука сферической каверной // Труды акустического института. 1969. в. 7, С. 115.

14. Fujikawa S., Akamatsu Т. Effects of the non-equilibrium condensation of vapour on the pressure wave produced by the collapse of a bubble in a liquid // J. Fluid Mech. 1980. № 97, P. 481-512.

15. Birkhoff G. Note on Taylor instability // Quart. Appl. Math. 1954. V. 12, № 3, P. 306-309.16.