автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование сильного сжатия кавитационного пузырька

На правах рукописи

Х0-<

Халитова Талия Фаритовна

003461Т41

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛЬНОГО СЖАТИЯ КАВИТАЦИОННОГО ПУЗЫРЬКА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ■кандидата физико-математических наук

' ^ -

Казань - 2 0 0 9

003461741

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Даутов Рафаил Замилович,

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт механики Уфимского научного центра РАН (г. Уфа)

Защита состоится «26» февраля 2009 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21- в Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан «24» января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аганин Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук профессор

Сидоров Игорь Николаевич,

218.

Д 212.081.21 д.ф.-м.н., профессор

Задворнов О.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Сильное сжатие парогазовых пузырьков сопровождается высокими температурами, давлениями и плотностями содержимого пузырьков, высокими давлениями жидкости в их окрестности. Этспредстав-

I > 1 .

ляет значительный интерес для различных приложений..Так, в сонохимии пузырек'играет'роль химического реактора, в медицине он применяется для разрушения камней в почках. Сильное сжатие пузырьков может вызывать кавитационное разрушение гребных винтов. Наибольший интерес представляет экстремально сильное сжатие, с который Связывают такие феномены, как однопузырьковая сонолюминесценция и нейтронная эмиссия при акустической кавитации. Их теоретические И экспериментальные исследования привели к формированию представления о том, что в финальной высокоскоростной стадии сжатия в пузырьке формируется ударная волна, сходящаяся к его центру. По мере схождения ее интенсивность возрастает так, что кратковременно в центре пузырька'1 образуется сферическое ядро с очень высокими значениями температуры и плотнЬсТи, что и вызывает свечение в первом случае и нейтронную эмиссию во втором.

Теоретическое представление о таком механизме экстремально сильного сжатия содержимого пузырьков основано на предположении о сферичности процесса сжатия. Однако в реальности пузырек всегда имеет небольшие отклонения от сферической формы. Поэтому разработка математических моделей, методов .расчетов .и исследование влияния искажений сферичности пузырька на характеристики сильного сжатия являются актуальными. До настоящего времени этот вопрос практически не исследовался. Изучалось лишь влияние радиальной (сферической) составляющей движения содержимого пузырька и окружающей жидкости на эволюцию малых возмущений сферичности пузырька, на степень их нарастания. При этом обратное влияние искажений сферичности на радиальную составляющую движения, что представляет наибольший интерес, неучитывалось.

Цель работы. Цель работы состоит в создании численного метода исследования сильного сжатия несферического (осесимметричного) кавита-ционного пузырька в жидкости. Для этого необходимо решить следующие

задачи;

- выбрать математическую модель;

- разработать экономичный метод расчета;

- провести численное исследование его работоспособности.

Научная новизна работы.

1. Предложено обобщение одномерной модели Нигматулина сильного сжатия кавитационного пузырька на осесимметричный случай.

2. Разработан численный метод расчета задач сильного сжатия осесим-метричного кавитационного пузырька.

3. Установлено, что при решении осесимметричных задач сильного сжатия пузырька предлагаемый метод существенно экономичнее классического метода Годунова.

4. Выявлен один из сценариев развития несферичности динамики среды в кавитационном пузырьке при сильном сжатии. Установлено, что в процессе сжатия давление и температура внутри пузырька в несферическом случае могут быть выше, чем в сферическом.

Достоверность обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчета разнообразных тестовых и модельных задач с их аналитическими решениями, численными решениями, полученными автором другими методами расчета, и численными решениями других авторов.

Научная и практическая ценность работы. Предложенные в работе математическая модель и численный метод могут быть использованы для проведения детального изучения влияния отклонений формы поверхности пузырьков от сферической на развитие несферичности полей давления, плотности, температуры и скорости в его полости при сильном сжатии. Результаты таких исследований могут быть использованы при планировании экспериментов по экстремально сильному сжатию содержимого пузырьков. Их можно использовать также при оценке реалистичности различных теорий сильного сжатия, основанных на гипотезе о сферической симметрии процесса сжатия.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах: VI Всероссийский

семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2005); V Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2006» (Казань,.2006); Научная конференция «Актуальные прбблемы естественных и,.гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006); IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007); IX Международная конференция «За-бабахинские научные чтения» (Снежинск, 2007); VII Всероссийский семинар «Сеточные; методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007); VI Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007); VIII Всероссийский семинар по аналитическая механика, устойчивости и управлению движением (Казань, 2008); Российский симпозиум «Динамика многофазных сред» (Казань, 2008); Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008); Всероссийский VI Школа-семинар молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008); VIII Всероссийский семинар по аналитическая механика, устойчивости и управлению движением (Казань, 2008); Итоговые научные конференции Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2006, 2007 г.

Работа выполнена в рамках программы Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 05-01-00415-а, № 08-01-00215, № 08-01-97029-р_поволжье_а).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 статей и 4 тезисов. Из них 2 статьи - в изданиях, входящих в список ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих восемнадцать параграфов и заключения, изложенных на 120 страницах, включая 28 рисунков и список использованной литературы из 131 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность темы диссертации. Определена цель работы. Отмечена ее научная новизна. Представлено краткое содержание разделов диссертации.

В первой главе приведен обзор работ по динамике сферического и несферического пузырька и методам ее численного исследования. В параграфе 1 рассмотрены применяемые в настоящее время модели и методы расчета динамики пузырька. В параграфе 2 приведен обзор литературы по численным методам решения уравнений газовой динамики: явные, неявные и явно-неявные схемы, методы искусственной вязкости, методы аппроксимации интегральных законов сохранения, современные методы повышенного порядка точности.

В параграфе 3 сформулированы краткие выводы по первой главе.

Во второй главе описаны математическая модель и метод расчета сильного сжатия газового пузырька в сжимаемой жидкости.

В параграфе 4 описана математическая модель динамики несферического кавитационного пузырька, которая является обобщением одномерной модели Нигматулина на двумерный случай. Модель построена на основе уравнений газовой динамики, описывающих движение как газа в полости пузырька, так и окружающей его жидкости. Нестационарные уравнения газовой динамики в бескоординатной форме имеют вид:

с уравнениями состояния вида р = р(р,Т), е = е(р,Т). Здесь Ь — время, р — плотность, и — вектор скорости частицы среды, р — давление, Е = е + и2/2 — удельная полная энергия, е - удельная внутренняя энергия, Т — температура, к — коэффициент теплопроводности. Нижний индекс Ь обозначает частную производную по времени.

Граничные условия на межфазной поверхности г — г3 имеют вид

р+ (Б - и+) ■ п = р- (Б - и-) • п = з , р+=р~ + 2На, (4)

р, + У-(ри) = 0,

(ри)< + (V • ри) и + (ри • V) и + \7р = О (рЕ)г + V • [(рЕ + р) и - кУТ] = 0,

(1) (2) (3)

Т+ = Т~ , («VТ • п)+ - (кУТ • п)- = Ц, (5)

где О = дтв/дь = О ■ п — скорость смещения элемента поверхности пузырька, п — внешняя единичная нормаль, а — коэффициент поверхностного натяжения, 2Я — средняя кривизна поверхности, з — интенсивность фазовых преобразований, I — теплота парообразования. Знак плюс сверху относится к стороне жидкости, а минус — к стороне газа.

Зависимости 1(Т), о(Т) являются аппроксимациями экспери-

ментальных данных, ] определяется по формуле Герца — Кнудсена — Ленгмюра. На внешней поверхности жидкости г = г/ задаются давление Р = Р/(0 и температура Т — Т}^).

Для учета несферичности пузырька, больших градиентов давления и тонких тепловых приграничных слоев в окрестности межфазной границы применяются смешанные эйлерово-лагранжевые (СЭЛ) координаты. Соотношение сферических координат г, б, ф (и связанного с ними времени ¿) с СЭЛ координатами т], £ (и связанного с ними время т) имеет вид: г = г{£,т1,т), в = в(г1), ф = С, 4 = т.

В параграфе 5 приводится конечно-объемный метод решения уравнений (1)-(3), состоящий в том, что на каждом временном шаге сначала строится расчетная сетка, а затем в два этапа выполняются вычисления, построенные по принципу расщепления по физическим процессам. Дается описание алгоритмов построения сетки и расчетов на первом и втором этапах. На первом этапе игнорируется теплопроводность газа и жидкости. Здесь решаются уравнения (1)-(3) без учета тепловых потоков. Влияние теплопроводности учитывается на втором этапе. Для этого решается уравнение энергии.

На первом этапе используются следующие уравнения газовой динамики:

дт + Р5 + о, = з, (б)

где

С2 = Л1, Г = Л, в = Б = 7з,

f =

( p(U-Uw) \ pu(U - Uw) +p£r pv{U -Uw)+pr~^e

\ pE (U - Uw) + pU /

g =

s =

< PV puV pvV + pr~l1s

У pEV + pV \

\

-p{2u + vctg6) r'1 -p (2u2 + uv ctg в - v2) r~l -p (uv — vrT + 2uv + v2 ctgfl) г"1 у -{p + pE)(2u + vctg9)r~l J с граничными условиями (4) на межфазной поверхности и р — р/{т) на внешней границе жидкости. Здесь U = u£r + vr~l£e, V = vr~lr]g, Uw = uw£r, uw = rT, u, v — компоненты вектора скорости частицы среды, uw — радиальная компонента вектора скорости СЭЛ координат, = 9V/ J, = —Trf/J, т]д = r(/J, J = гфг! — якобиан преобразования. Система (6) с указанными граничными условиями решается численно с применением модификации метода Годунова на основе UNO-схемы (UNO — uniformly nonoscillatory, равномерно неосциллирующая). Алгоритм решения состоит из следующих четырех шагов.

Шаг 1. Линейная интерполяция вектора q = (р, pit, рг>, рЕ)т в ячейке с номером ik на предыдущем временном слое:

(7)

где < £ < &+1/2, %-i/2 < V < Vk+i/2-

Для подавления нефизических осцилляций в окрестности разрывов при определении пространственных производных q^ и q, используется UNO -ограничитель вида:

1

(qi)jit = minmod

А«-

1 д2 д1

2 i+l/2,к '

г-1 ,к + 2^1-1/2,*

/А^, (8)

minmod[:r, У] = \ (sign(cc) + sign(y)) min (|z|, |у|) , Ajk ■■

q"+i,t ~~ qlt >

Д?+1/2,* = imin - 2q?k + , - 2q^i,* + fmin[x,y] =

x, |x| < \y\\

2/. W > M-

Аналогично определяется производная q по координате т]

Шаг 2. Предиктор: вычисление неизвестных параметров на промежуточном временном слое с применением разложения в ряд Тейлора

= ^ + (9)

и замены временных производных пространственными Яг = Ь — Аг5 — Вг-ц,

где

Ь = 8- + ^ + ^Е), 2 = (р,ри,ру,рЕ,г)т, Л = В =

Вычисление матриц А и В размерности 4x5 составляет основную сложность расчета производных по времени. Полученные значенияч"^2 применяются для вычисления сеточного аналога вектора свободных членов

йп+1/2 _ ч,Ап+1/2ч Ап+1/2 _ тП+1/2-п+1/2

~ а(Чгк ), где - С1Л

Шаг 3. Расчет численных потоков Г и С через границы между ячейками. Сначала по формулам (7) и (9) определяются входные данные для решения задачи о распаде разрыва на гранях между ячейками на момент времени т = т"+1/2 :

4.-1/211,* = - -у Ыг/ь . Чг+г/гхл = ч* + "у '

Затем по решениям задач распада разрывов по £ и г/ направлениям

~п+1/2 / „п+1/2 .„+1/2 , ■

^+1/2,к = ШетаПП(С14+1/2ь,^^+1/2Д,^'

-п+1/2 /-п+1/2 -п+1/2 \

^Л+1/2 = Чг',*:+1/2д) -

находятся численные потоки ^п+г/г- Здесь индексы Ь и Я обо-

значают отношение параметра к грани ячейки по разные ее стороны (слева и справа по направлению £ или снизу и сверху - по г}). Оператор Шешапп(х£, хд) обозначает решение задачи Римала.

Шаг 4, Корректор: вычисление сеточных функций на следующем временном слое с использованием явной конечно-объемной схемы:

Лп+1 А» рП+1/2 _ £,п+1/2 Ап+1/2 _ Ал+1/2

Чд- ~ д 8+1/2,* ¿-1/2,* ¿,*+1/2 ¿,к—1/2 _ Ап+1/2

Лгп Д£ Дт? * '

Рассчитанные по данной схеме значения полной энергии на втором этапе будут корректироваться с учетом теплопроводности.

Если в (8) положить Д?±1у24 = 0, то получится ТУВ-схема второго порядка точности. Точность ТУБ-схем снижается не только в окрестности разрывов решения, но и в окрестности локальных экстремумов. При (ч?)^ = (ч»))"к = (ЧтУ1к ~ 0 получается классическая схема Годунова первого порядка точности. Такая взаимосвязь удобна для контроля правильности программной реализации численного метода.

На втором этапе учитывается влияние теплопроводности. Для этого решение уравнения энергии находится по явной схеме с использованием вспомогательного поля температуры, определяемого по неявной схеме из уравнения теплопроводности

где кг = -1/ {ргт), к2= (р- р2ер) / (рет), в = \/£г2 +&2г~2. Уравнение (10) решается с контактными условиями (5), условием на внешней поверхности жидкости Т — Т]{т) и условием = 0 при г = 0. При этом используется схема переменных направлений. Ее применение приводит к двум системам алгебраических уравнений, которые решаются методом матричной прогонки.

В параграфе 6 сформулированы краткие выводы по второй главе.

Третья глава посвящена верификации предлагаемого метода расчета и его компьютерного кода. Приводятся решения ряда двумерных задач, имеющих либо известное аналитическое решение, либо эквивалентную приближенную формулировку в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых легко находится численно методом Рун-ге — Кутта, либо численное решение, полученное другими авторами.

В параграфе 7 выписаны уравнения эволюции радиуса пузырька и его малого отклонения от сферической формы в слое жидкости, полученные в рамках упрощенной формулировки задачи в виде системы обыкновен-

(10)

ных дифференциальных уравнений второго порядка с учетом того, что сжимаемость жидкости несущественна. Их аналитическое или численное решение использовалось в качестве эталонного в задачах динамики пузырька в слое жидкости. Параграфы 8-12 содержат результаты тестирования предлагаемого численного метода на следующих двумерных задачах: о свободных колебаниях формы пузырька под действием поверхностного натяжения (параграф 8), о совместных колебаниях формы и объема пузырька под действием поверхностного натяжения (параграф 9), об эволюции поверхности эллипсоидального пузырька в сферической колбе при радиальном движении стенки колбы (параграф 10), об эволюции поверхности эллипсоидального пузырька в слое жидкости под действием поверхностного натяжения на свободной внешней границе (параграф 11), об обтекании сферического тела однородным сверхзвуковым потоком газа (параграф 12).

Показано, что предлагаемый метод позволяет правильно описать эволюцию несферической формы пузырька, совместное сферическое и несферическое движение поверхности пузырька, влияние внешней границы на эволюцию формы пузырька. Выявлено, что предлагаемый метод с удовлетворительной точностью позволяет получить форму несферической ударной волны и значения газодинамических параметров в окрестности ее фронта. Во всех задачах достигнута точность, характерная для UNO-схем. Сравнение численных решений, полученных с применением классической схемы Годунова и ее UNO- и TVD-модификаций второго порядка точности показало, что использование UNO-модификации является более предпочтительным. Схема Годунова обладает большой численной вязкостью за счет первого порядка точности, а TVD-схема теряет второй порядок точности в экстремальных точках.

В параграфе 13 приведены краткие выводы по третьей главе.

В четвертой главе показана эффективность и работоспособность предлагаемого численного метода при описании сильного сжатия пузырька.

Параграф 14 содержит постановку и результаты вычислений задачи о сильном чисто сферическом сжатии кавитационного пузырька в дейтери-рованном ацетоне. В этой задаче в финальной стадии процесса сжатия

в результате быстрого схождения стенки пузырька формируется ударная волна. Со временем ее интенсивность быстро возрастает, а профиль давления в следующей за ней волне сжатия усложняется.

рхЮ"6, бар рхЮ'6, бар

Г\ ------ 1G

Рис. 1. Радиальные распределения давления газа в полости пузырька в финальной стадии сжатия, полученные с применением классической схемы Годунова, ее UNO (А) и TVD-модификаций (В). Буквы G, U и Т означают расчеты методом Годунова, его UNO и TVD-модификациями, соответственно. Цифрами указаны расчетные сетки: 1 - 150+385, 2 - 300+770, 3 - 600+1540, 4 - 1200+3080.

При численном решении учитывалась сжимаемость жидкости, теплопроводность и газа, и жидкости, разрывы газодинамических параметров на фронте ударной волны, применялись реалистичные уравнения состояния. На рис.1А приводятся радиальные распределения давления газа в полости пузырька в финальной стадии сжатия, полученные на ряде последовательно сгущающихся расчетных сеток Ng + Ni (Ng - число ячеек в области газа, a TV; - число ячеек в области жидкости) по методу настоящей работы и с применением классической схемы Годунова, широко используемой при моделировании сферического сжатия пузырька. Для получения удовлетворительной точности по методу настоящей работы требуется сетка 300+770, а для классической схемы Годунова даже сетки 1200+3080 оказывается недостаточно. Таким образом, для достижения "эталонного" решения с применением классического метода Годунова затраты компьютерного времени оказываются более чем в десятки раз большими, чем при

расчетах методом настоящей работы.

При численном решении задач с ударными волнами широко применяются ТУБ-схемы. На рис. 1В приводится сравнение результатов расчетов, полученных предлагаемым методом и аналогичным методом на основе ТУБ-модификации схемы Годунова. Видно, что ТУБ-схема "подрезает" экстремум решения: максимальное значение давления у решения методом ТУБ меньше, чем у решения методом 1ЖО. 1ШО-схема в~ 4 раза экономичнее, чем ТУБ-схема.

В параграфе 15 рассмотрена задача о схлопывании пустой несферической полости в жидкости. Ее расчеты показали, что до уменьшения радиуса полости в 50 раз ТЛЧО-модификация метода Годунова является в тысячи раз экономичнее классического метода Годунова и в 8 раз экономичнее его ТУВ-модификации.

Параграф 16 содержит исследование задачи об адиабатическом сжатии воздушного пузырька в воде. Сравнение результатов расчетов по модели настоящей работы с результатами расчетов по одной из упрощенных моделей, основанных на расщеплении движения жидкости на сферическую и несферическую составляющие, показало, что упрощенная модель завышает на ~ 40% максимальное отклонение от сферической формы пузырька.

В параграфе 17 демонстрируется работоспоспособность предлагаемого метода исследования сильного несферического сжатия пузырька в том случае, когда в его полости возникают значительные неоднородности, и даже ударные волны. Приводится постановка и результаты вычислений двумерной задачи сильного сжатия несферического навигационного пузырька в дейтерированном ацетоне. На рис. 2 изображено развитие процесса сжатия пузырька в его финальной стадии (моменты времени ¿1_з). По кривым температуры видно, что интенсивность ударной волны довольно быстро возрастает. При этом в момент ¿з максимальные значения температуры на фронте ударной волны на разных лучах различаются более чем в 2 раза, а максимальные значения давления в волне сжатия за ее фронтом — в ~ 10 раз. Из рис. 2 следует, что в процессе несферического сжатия давление и температура в полости пузырька могут быть выше, чем при чисто сферическом сжатии.

Рис. 2. Радиальные распределения давления и температуры внутри полости пузырька для трех последовательных моментов времени ¿1_з финальной стадии сжатия в сечениях 0 = 0 (кривые 1) и в = 7г/2 (кривые 2). Эти распределения даны сплошными кривыми. Для сравнения пунктирными кривыми приведены результаты расчетов для сжатия чисто сферического пузырька.

давление температура

, ,_Ч* ,

О Ю г, мкм 20

Рис. 3. Изолинии давления и температуры пара в пузырьке и небольшой окрестности окружающей жидкости в три представленных на рис. 2 момента времени ¿х_з финальной стадии сжатия: слева - изобары; справа -изотермы (поверхность пузырька обозначена символами ■

В процессе сжатия форма пузырька изменяется от приплюснутой по оси симметрии сферы (в начале сжатия) до вытянутой (в финале сжатия). Для иллюстрации особенностей динамики пара внутри пузырька в финальной стадии сжатия на рис. 3 приводятся изолинии давления и температуры в моменты времени ¿1-3. На каждом графике изображены 10 линий уровня, которые распределены равномерно между максимальными и минимальными значениями р и Т. Видно, что по мере приближения к центру пузырька ударная волна довольно сильно деформируется. Сначала

(момент £1) ее форма подобна форме поверхности пузырька (вытянутому по оси симметрии эллипсоиду). Затем (момент ¿г) у нее сверху (и снизу) появляется вмятина. В ходе дальнейшего сжатия форма ударной волны изменяется, так что к моменту ¿з в ее верхней (и нижней) части осевого сечения при в и тг/4 (в ~ Зтг/4) возникает заострение. Расчеты показывают, что в рамках принятой математической модели предлагаемый метод расчета удовлетворительно описывает динамику жидкости и пара в полости пузырька до тех пор, пока радиус радиально сходящейся ударной волны в пузырьке не станет меньше 8% текущего радиуса пузырька.

В параграфе 18 приведены краткие выводы по четвертой главе.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена математическая модель сильного сжатия осесимметрич-ного кавитационного пузырька, являющаяся обобщением одномерной модели Нигматулина.

2. Разработан численный метод расчета задач сильного сжатия несферического кавитационного пузырька на основе иКО-модификации метода Годунова второго порядка точности.

3. Установлено, что предлагаемый метод существенно экономичнее классического метода Годунова при решении двумерных (осесимметричных) задач сильного сжатия пузырька.

4. Показано, что предлагаемый метод расчета удовлетворительно описывает сильное сжатие несферического кавитационного пузырька в дей-терированном ацетоне до тех пор, пока радиус ударной волны в пузырьке не станет меньше 8% радиуса пузырька.

5. Выявлен один из возможных сценариев развития несферичности ударной волны в пузырьке в финальной стадии сжатия. Показана трансформация несферических зон экстремально высокого давления и температуры. Установлено, что в процессе сжатия давление и температура внутри пузырька в несферическом случае могут быть выше, чем в сферическом.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аганин A.A. Эволюция формы осесимметрнчного пузырька при коллапсе / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова // Материалы Шестого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Изд-во КГУ, 2005. С. 24-28.

2. Халитова Т.Ф. Численное моделирование динамики осесимметрнчного газового пузырька в жидкости / Т.Ф. Халитова // Сборник докладов научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук». Казань: Изд-во КГУ, 2006. С. 72-74.

3. Аганин A.A. Моделирование сильного сжатия осесимметрнчного газового пузырька в жидкости / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения -2006». Казань; Казанское математическое общество, 2006. С. 7-8.

4. Аганин A.A. Моделирование свободных колебаний полости в жидкости / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова // Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: СамГТУ, 2007. Т. 5. С. 9-11.

5. Аганин A.A. Расчет эволюции отклонения от сферической формы пустой полости при ее сильном сжатии / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова // Материалы Седьмого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Изд-во КГУ, 2007. С. 19-22.

6. Аганин A.A. Моделирование эволюции малых искажений сферичности коллапсирующего пузырька / A.A. Аганин, Т.С. Гусева, Т.Ф. Халитова // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. Т. 5. С. 60-65.

7. Аганин A.A. Прямое численное моделирование сильного сжатия осе-симметричной газовой полости в жидкости / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. Т. 5. С. 73-78.

8. Аганин A.A. Устойчивость сферического сжатия газовой полости в жидкости / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Тезисы IX Международной конференции «Забабахинские научные чтения». Сне-жинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2007. С. 31 - 32.

9. Аганин А;А. Устойчивость сферического сжатия газовой полости в жидкости [Электронный ресурс] / А,А. Аганин, Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Труды IX международной конференции «Забабахинские научные чтения». URL: http://www.vniitf.ru/rig/ konfer/ 9zst/sl/l-16.pdf (дата обращения 14.11.2008)

10. Халитова Т.Ф. Моделирование сжатия газовой полости в жидкости с учетом теплопроводности, испарения и конденсации / Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Материалы Шестой молодежной .научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007». Казань: Казанского математического общества, 2007. С. 232-234.

И. Халитова Т.Ф. Коллапс газовой полости в жидкости с осесиммет-ричными отклонениями от сферической формы / Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Материалы VII Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2008. G. 78-79.

12. Халитова Т.Ф. Расчет сильного сжатия осесимметричного парового пузырька в жидкости / Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Материалы VIII Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2008. С. .78 - 79.

13. Йльгамов М.А. Динамика осесимметричного кавитационного пузырька при коллапсе / М.А. Ильгамов, Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». Уфа: Гилем, 2008. Т. 3. С. 109-113.

14. Халитова Т.Ф. Коллапс сферического парового пузырька в жидкости / Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Материалы докладов VI Школы-семинара молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань: Изд-во КГУ, 2008. С. 153 - 156

15. Аганин A.A. Моделирование сильного сжатия газовой полости в жидкости / A.A. Аганин, М.А. Ильгамов, Т.Ф. Халитова, //' Математическое моделирование. 2008. Т. 20. №11. С. 89-103.

16. Аганин A.A. Расчет сильного сжатия сферического парового пузырька в жидкости / A.A. Аганин, Т.Ф. Халитова, H.A. Хисматуллина // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. № 6. С. 17-27.

Отпечатано в ООО «Печатный двор», г. Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф.207

Тел: 272-74-59,541-76-41, 541-76-51. Лицензия ПД №7-0215 от 01.11.2001 г. Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТР РФ. Подписано в печать 16.01.2009г. Усл. пл 1,1 Заказ № К-6634. Тираж 120 экз. Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать -ризография.

Введение.

I. Модели и методы расчета задач динамики пузырька. Численные методы в газовой динамике

§1. Обзор моделей и методов расчета динамики пузырька.

§2. Краткий обзор численных методов в газовой динамике.

§3. Выводы.

II. Математическая модель и метод расчета

§4. Математическая модель сильного сжатия газового пузырька в сжимаемой жидкости.

§5. Метод расчета.

Построение расчетной сетки.

Алгоритм расчета первого этапа.

Алгоритм расчета второго этапа.

Начальные и граничные условия.

§6. Выводы.

III. Верификация

§7. Динамика пузырька в слое несжимаемой жидкости.

§8. Свободные колебания формы эллипсоидального пузырька в жидкости.

§9. Свободные совместные колебания формы и объема эллипсоидального пузырька в слое жидкости.

§10. Эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в сферической колбе при радиальном движении стенки колбы.

§11. Эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в слое жидкости под действием поверхностного натяжения на свободной внешней границе.

§12. Обтекание шара сверхзвуковым потоком газа с отошедшей ударной волной.

§13. Выводы.

IV. Динамика пузырька при его сильном сжатии

§14. Сильное сжатие сферического кавитационного пузырька

§15. Схлопывание пустой полости в жидкости.

§16. Адиабатическое сжатие воздушного пузырька в воде.

§17. Сильное сжатие несферического парового пузырька в жидкости

§18. Выводы.

Актуальность работы. Сильное сжатие парогазовых пузырьков сопровождается высокими температурами, давлениями и плотностями содержимого пузырьков, высокими давлениями жидкости в их окрестности. Это представляет значительный интерес для различных приложений. Так, в сонохимии пузырек играет роль химического реактора, в медицине он применяется для разрушения камней в почках. Сильное сжатие пузырьков может вызывать кавитационное разрушение гребных винтов. Наибольший интерес представляет экстремально сильное сжатие, с которым связывают такие феномены, как однопузырьковая сонолюминесценция и нейтронная эмиссия при акустической кавитации. Их теоретические и экспериментальные исследования привели к формированию представления о том, что в финальной высокоскоростной стадии сжатия в пузырьке формируется ударная волна, сходящаяся к его центру. По мере схождения ее интенсивность возрастает так, что кратковременно в центре пузырька образуется сферическое ядро с очень высокими значениями температуры и плотности, что и вызывает свечение в первом случае и нейтронную эмиссию во втором.

Теоретическое представление о таком механизме экстремально сильного сжатия содержимого пузырьков основано на предположении о сферичности процесса сжатия. Однако в реальности пузырек всегда имеет небольшие отклонения от сферической формы. Поэтому разработка математических моделей, методов расчетов и исследование влияния искажений сферичности пузырька на характеристики сильного сжатия являются актуальными. До настоящего времени этот вопрос практически не исследовался. Изучалось лишь влияние радиальной (сферической) составляющей движения содержимого пузырька и окружающей жидкости на эволюцию малых возмущений сферичности пузырька, на степень их нарастания. При этом обратное влияние искажений сферичности на радиальную составляющую движения, что представляет наибольший интерес, не учитывалось.

Цель работы. Цель работы состоит в создании численного метода исследования сильного сжатия несферического (осесимметричного) кавита-ционного пузырька в жидкости. Для этого необходимо решить следующие задачи:

- выбрать математическую модель;

- разработать экономичный метод расчета;

- провести численное исследование его работоспособности.

Научная новизна работы.

1. Предложено обобщение одномерной модели Нигматулина сильного сжатия кавитационного пузырька на осесимметричпый случай.

2. Разработан численный метод расчета задач сильного сжатия осесимметричного кавитационного пузырька.

3. Установлено, что при решении осесимметричпых задач сильного сжатия пузырька предлагаемый метод существенно экономичнее классического метода Годунова.

4. Выявлен один из сценариев развития несферичности динамики среды в кавитационном пузырьке при сильном сжатии. Установлено, что в процессе сжатия давление и температура внутри пузырька в несферическом случае могут быть выше, чем в сферическом.

Научная и практическая ценность работы.

Предложенные в работе математическая модель и численный метод могут быть использованы для проведения детального изучения влияния отклонений формы поверхности пузырьков от сферической на развитие несферичности полей давления, плотности, температуры и скорости в его полости при сильном сжатии. Результаты таких исследований могут быть использованы при планировании экспериментов по экстремально сильному сжатию содержимого пузырьков. Их можно использовать также при оценке реалистичности различных теорий сильного сжатия, основанных на гипотезе о сферической симметрии процесса сжатия.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчета разнообразных тестовых и модельных задач с их аналитическими решениями, численными решениями, полученными автором другими методами расчета, и численными решениями других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах:

- VI Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2005);

- V Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2006» (Казань, 2006);

- Научная конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006);

- IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007);

- Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007);

- IX Международная конференция «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2007);

- VII Всероссийский .семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007);

- VI Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения -2007» (Казань, 2007);

- VIII Всероссийский семинар по аналитическая механика, устойчивости и управлению движением (Казань, 2008);

- Российский симпозиум «Динамика многофазных сред» (Казань, 2008);

- Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008);

- Всероссийский VI Школа-семинар молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008);

- VIII Всероссийский семинар по аналитическая механика, устойчивости и управлению движением (Казань, 2008);

- Итоговые научные конференции Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2006, 2007 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 статей и 4 тезисов. Из них 2 статьи - в изданиях, входящих в список ВАК. Основное содержание диссертации отражено в работах [10,12-20,34,48-52]. Работы [13-16] выполнены совместно с А.А Аганиным, [12] - с А.А. Аганиным и Т.С. Гусевой, [17-20] - с А.А. Аганиным и Н.А. Хисматуллиной, [10,34] - с М.А. Иль-гамовым и А.А. Аганиным, [49-52] - с Н.А. Хисматуллиной.

Вклад соавторов заключается в следующем.

А.А. Аганину принадлежит постановка задач, участие в разработке методики расчета, составлении программ и обсуждении полученных результатов. Т.С. Гусевой принадлежит расчет по упрощенной модели эволюции искажения сферической формы полости, а Н.А. Хисматуллиной - участие в разработке методики расчета и обсуждении полученных результатов. М.А. Ильгамов участвовал в обсуждении полученных результатов. Вклад автора в публикациях состоит в участии в разработке методики расчета, составлении программ, проведении расчетов и анализе полученных результатов.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю и соавтору большинства своих работ доктору физико-математических наук А.А. Аганину. Кроме того, автор благодарен члену-корреспонденту РАН М.А. Ильгамову и кандидату физико-математических наук Н.А. Хисма-туллиной за регулярные консультации и полезные советы. Спасибо также всем сотрудникам лаборатории ВДСС ИММ КазНЦ РАН за поддержку и внимание. Проводимые исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты № 05-01-00415-а, № 08-0100215, № 08-01-97029-рповолжьеа), Фондом научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок Республики Татарстан (проекты № 05-5.4-397-2005(ф), № 07-7.5-19/2006(г)), Российской Академией Наук (программа Ю002-251/ОЭМППУ-13/079-083/190603-773).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих восемнадцать параграфов и заключения, изложенных на 120 страницах, включая 28 рисунков и список использованной литературы из 131 наименования.

§18. Выводы

Проведено исследование экономичности предлагаемого метода расчета в задаче схлопывания слабопесфср и ческой пустой полости в нетеплопро-водпой жидкости при отсутствии массообмепа па межфазной поверхности. Для этого результаты расчетов, выполненных с использованием UNO-модификации метода Годунова сравнивались с тем, что получается при использовании метода Годунова в его классическом варианте. В алгоритме расчета применялось акустическое уравнение состояния. Расчетная область состояла из одной области жидкости. Выявлено, что до уменьшения радиуса полости в 50 раз UN О-модификация в тысячи раз эффективнее методов первого порядка точности, широко используемых в литературе для моделирования задач сильного сжатия.

На примере задачи о сильном чисто сферическом сжатии кавитационного пузырька в дейтерированном ацетоне показано, что UN О-модификация схемы Годунова позволяет повысить эффективность метода расчета в десятки раз в сложных одномерных задачах, не имеющих эквивалент]! ых упрощенных постановок. В этой задаче учитывалась сжимаемость жидкости, теплопроводность и газа, и жидкости, разрывы газодинамических параметров на фронте ударной волны, применялись реалистичные уравпения состояния.

Исследование задачи адиабатического сжатия воздушного пузырька в воде показало, что упрощенная модель, приведенная в работе Н. Lin'a, B.D. Storey и A.J. Szeri [94] и основанная на расщеплении движения жидкости на сферическую и несферическую составляющие, завышает на» 40% максимальное отклонение от сферической формы пузырька.

На примере задачи сжатия несферического кавитационного пузырька показано, что предлагаемый метод позволяет изучать движение газа в пузырьке на высокоскоростной стадии его сжатия. В этой задаче, как и в случае ее одномерного аналога, учитывались сжимаемость жидкости, теплопроводность и газа, и жидкости, разрывы газодинамических параметров на фронте ударной волны, применялись реалистичные уравнения состояния. Выявлен один из возможных сценариев эволюции искажений сферичности пузырька и их влияния на динамику газа в полости пузырька. В этом сценарии в газе образуется ударная волна, которая сначала по форме подобна форме поверхности пузырька и имеет вид вертикально вытянутого эллипсоида, а затем, по мере ее радиального схождения, у нее сверху (и снизу) появляется вмятина. В дальнейшем в ее верхней (и нижней) части осевого сечения возникает заострение. Зоны экстремально высоких температур располагаются в тонких областях, примыкающих к поверхностям вмятин, и в тонких областях, отходящих от кромок вмятин в виде кольцеобразных лент, а зоны экстремально высокого давления - в окрестности оси симметрии на некотором удалении от вмятин. При этом максимальные значения температуры в газе на разных лучах могут различаться в более чем 2 раза, а давления - в ~ 10 раз. Установлено, что до тех пор пока радиус радиально сходящейся ударной волны в пузырьке не станет меньше 8% текущего радиуса пузырька, метод с удовлетворительной точностью описывает значения газодинамических параметров в окрестности ее фронта. Сравнение со случаем сжатия сферического пузырька показывает, что экстремальные значения давления и температуры в процессе сжатия в несферическом случае могут быть даже выше, чем в сферическом.

Заключение

1. Предложена математическая модель сильного сжатия осесимметрич-ного кавитационного пузырька, являющаяся обобщением одномерной модели Нигматулина.

2. Разработан численный метод расчета задач сильного сжатия несферического кавитационного пузырька на основе UNO-модификации метода Годунова второго порядка точности.

3. Установлено, что предлагаемый метод существенно экономичнее классического метода Годунова при решении двумерных (осесимметричных) задач сильного сжатия пузырька.

4. Показано, что предлагаемый метод расчета удовлетворительно описывает сильное сжатие несферического кавитационного пузырька в дейтери-рованном ацетоне до тех пор, пока радиус ударной волны в пузырьке не станет меньше 8% радиуса пузырька.

5. Выявлен один из возможных сценариев развития несферичности ударной волны в пузырьке в финальной стадии сжатия. Показана трансформация несферических зон экстремально высокого давления и температуры. Установлено, что в процессе сжатия давление и температура внутри пузырька в несферическом случае могут быть выше, чем в сферическом.

1. Аганин А.А. Эволюция малого искажения сферической формы газового пузырька при его сильном расширении-сжатии / А.А. Аганин, Т.С. Гусева // ПМТФ. 2005. Т. 46. № 4. С. 17-28.

2. Аганин А.А. Эволюция возмущений сферичности пузырька газа в жидкости при сильном сжатии / А.А. Аганин, Т.С. Гусева // Актуальные проблемы механики сплошной среды. / Отв.ред. Д.А.Губайдуллин; Казань: Изд-во КГУ, 2006. С. 83-103.

3. Аганин А.А. Искажение сферической формы пузырька при больших расширениях-сжатиях из состояния покоя / А.А. Аганин, Т.С. Гусева, М.А. Ильгамов // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: Изд-во КГУ, 2003. С. 95-132.

4. Аганин А.А. Динамика пузырька газа в центре сферического объема жидкости / А.А. Аганин, М.А. Ильгамов // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 1. С. 26-40.

5. Аганин А.А. Эллипсоидальные колебания газового пузырька при периодическом изменении давления окружающей жидкости/А.А. Аганин, М.А. Ильгамов, J1.A. Косолапова и др.//МЖГ. 2005. J^ 5.С.45-52.

6. Аганин А.А. Затухание начального искажения сферической формы пузырька / А.А. Аганин, М.А. Ильгамов, Д.Ю. Топорков // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: Изд-во КГУ, 2003. С. 66-94.

7. Аганин А.А. Влияние вязкости жидкости на затухание малых искажений сферической формы газового пузырька / А.А. Аганин, М.А. Ильгамов, Д.Ю. Топорков // ПМТФ. 2006. Т.47. № 2. С.30-39.

8. Аганин А.А. Моделирование сильного сжатия газовой полости в жидкости / А.А. Аганин, М.А. Ильгамов, Т.Ф. Халитова // Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 11. С. 89-103.

9. Аганин А.А. Устойчивость сильного сжатия сферического пузырька / А.А. Аганин, Т.С. Гусева, М.А. Ильгамов и др. // Проблемы механики деформируемого твердого тела. СПб: СПбГУ, 2002. С. 7-13.

10. Аганин А.А. Моделирование эволюции малых искажений сферичности коллапсирующего пузырька / А.А. Аганин, Т.С. Гусева, Т.Ф. Халитова // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. Т. 5. С. 60-65.

11. Аганин А.А. Эволюция формы осесимметричного пузырька при коллапсе / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова // Материалы VI Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Изд-во КГУ, 2005. С. 24-28.

12. Аганин А.А. Моделирование сильного сжатия осесимметричного газового пузырька в жидкости / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова // Материалы V молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения 2006». Казань: Казанское математическое общество, 2006. С. 7-8.

13. Аганин А.А. Моделирование свободных колебаний полости в жидкости / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова // Труды IV Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: СамГТУ, 2007. Т. 5. С. 9-11.

14. Аганин А.А. Расчет эволюции отклонения от сферической формы пустой полости при ее сильном сжатии / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова // Материалы VII Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Изд-во КГУ, 2007. С. 19-22.

15. Аганин А.А. Прямое численное моделирование сильного сжатия осе-симметричной газовой полости в жидкости / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина// Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. Уфа: Гилем, 2007. Т. 5. С. 73-78.

16. Аганин А.А. Устойчивость сферического сжатия газовой полости в жидкости / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина// Тезисы IX Международной конференции «Забабахинские научные чтения». Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2007. С. 31 32.

17. Аганин А.А. Устойчивость сферического сжатия газовой полости в жидкости / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина// Труды IX межд." конф. «Забабахинские научные чтения». URL: http://www.vniitf.ru/rig/ konfer/ 9zst/sl/l-16.pdf (от 14.11.2008)

18. Аганин А.А. Расчет сильного сжатия сферического парового пузырька в жидкости / А.А. Аганин, Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. № 6. С. 17-27.

19. Белоцерковский О.М. О рассчете обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной на электронной счетной машине // ПММ.1960. № 24. С. 511-517.

20. Бондаренко Ю.А. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. / Ю.А. Бондаренко, В.В. Башуров, Ю.В. Янилкин; Са-ров: РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2003. 51 с.

21. Величко С.А. Расчет нестационарных течений при помощи схемы повышенной точности / С.А. Величко, Ю.Б. Лифшиц, И.А. Солнцев // ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. № 5. С. 850-864.

22. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов и др.; М.: Наука. 1976. 400 с.

23. Годунов С.К. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной / С.К. Годунов, А.В. Забродин, Г.П. Прокопов // ЖВМиМФ.1961. Т. 1. № 6. С. 1020-1050.

24. Гусева Т.С. Искажение сферической формы пузырька при его сильном расширении-сжатии /Т.С. Гусева // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: изд^во КГУ, 2003. С. 133-178.

25. Гусева Т.С. Влияние вязкости жидкости на искажение сферической формы пузырька в ходе его однократного расширения-сжатия / Т.С. Гусева // Вестник КГПУ. 2004. Т. 2. С. 85-99.

26. Закиров К.Р. Численное моделирование роста и схлопывания пузырьков в сжимаемой жидкости / К.Р. Закиров : Дис. . канд. физ.-мат. наук; Уфа, 2005. 105 с.

27. Иванов М.Я. Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счета / М.Я. Иванов, А.Н. Крайко // ЖВМиМФ. 1978. Т. 18. № 3. С. 780-783.

28. Ильгамов М.А. Колебания оболочек, содержащий жидкость и газ / М.А. Ильгамов; М.:Наука, 1969. 182с.

29. Ильгамов М.А. Качественный анализ развития отклонений от сферической формы при схлопывании полости в жидкости /М.А. Ильгамов // Докл. АН. 2005. Т. 404. № 1. С. 37-40.

30. Ильгамов М.А. Качественная теория устойчивости сферической формы полости при сжатии в жидкости / М.А. Ильгамов // Актуальные проблемы механики сплошной среды / Отв.редактор Д.А.Губайдуллин; Казань: изд-во КГУ, 2006. С. 8-35.

31. Ильгамов М.А. Динамика осесимметричного кавитационного пузырька при коллапсе / М.А. Ильгамов, Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина // Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы». Уфа: Гилем, 2008. Т. 3. С. 109-113.

32. Илькаев Р.И. Исследование проблем термоядерного синтеза на мощных лазерных установках / Р.И. Илькаев, С.Г. Гаранин // Вестник РАН. 2006. Т. 76. № 6. С. 503-513.

33. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели / В.К. Кедринский; Новосибирск: СО РАН, 2000. 435. с.

34. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывныхрешений газовой динамики / В.П. Колган // Учен. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3. № б. С. 68-77.

35. Корецкий В.В. О свойствах монотонной разностной схемы, построенной на основании метода С.К. Годунова с использованием принципа минимальных значений производной / В.В. Корецкий // Числ. методы мех. сплошн. среды 1982. Т. 13. Кь- 4. С. 52-62.

36. Крайко А.Н. Газодинамическое обеспечение управляемого термоядерного синтеза / А.Н. Крайко //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос. университета. 2006. Т. 2. С. 115-116.

37. Куликовский А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов; М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 608 С.

38. Лебо И.Г. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза методами математического моделирования / И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин; М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006. 304 С.

39. Маргулис М.А. Сонолюминесценция / М.А. Маргулис // Успехи физических наук. Обзоры актуальных проблем. 2000. Т. 170. № 3. С. 263-287.

40. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред / Р.И. Нигматулин; М.: Наука. 1987. Т. 1. 464 С.

41. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин. М.: Наука. 1978. 336 С.

42. Нигматулин Р.И. Искажение сферичности парового пузырька в дейте-рированном ацетоне / Р.И. Нигматулин, А.А. Аганин, М.А. Ильгамов и др.//ДАН. 2006. Т. 408. №6. С. 767-771.

43. Нигматулин Р.И. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька / Р.И. Нигматулин, И.Ш. Ахатов, Н.К. Вахитова // Докл. РАН. 1996. Т. 348. № 6. С. 768-771.

44. Топорков Д.Ю. Динамика газового пузырька при периодическом изменении давления окружающей жидкости / Д.Ю. Топорков // Динамика газовых пузырьков и аэрозолей. Казань: Изд-во КГУ, 2003. С. 179-215.

45. Халитова Т.Ф. Численное моделирование динамики осесимметричного газового пузырька в жидкости / Т.Ф. Халитова // Сборник докладов научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук». Казань: Изд-во КГУ, 2006. С. 72-74.

46. Халитова Т.Ф. Расчет сильного сжатия осесимметричного парового пузырька в жидкости / Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина // Материалы VIII Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2008. С. 78 79.

47. Халитова Т.Ф. Коллапс сферического парового пузырька в жидкости / Т.Ф. Халитова, Н.А. Хисматуллина // Материалы докладов VI Школы-семинара молодых ученых и специалистов акад. РАН

48. В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань: Изд-во КГУ, 2008. С. 153 156

49. Afanasiev К.Е. Numerical investigation of three-dimensional bubble dynamics / K.E. Afanasiev, I.V. Grigorieva // Journal of Engineering Mathematics. 2006. V. 55. № (1-4). P. 65-80.

50. Akhatov I. Collapse and rebound of a laser-induced cavitation bubble / I. Akhatov, O. Lindau, A. Topolnikov et al. // Phys. Fluids. 2001. Vol. 13, № 10. P. 2805-2819.

51. Augsdorfer U.H. Thermal noise and the stability of single sonoluminescing bubbles / U.H. Augsdorfer , A.K. Evans, D.P. Oxley // Phys. Review E. 2000. V. 61. P. 5278-5286

52. Barber B.P. Defining the unknowns of sonoluminescence / B.P. Barber, R.A. Hiller, R. Lofstedt et al. // Phys. Rep. 1997. V. 281. P. 65-143.

53. Birkhoff G. Note on Taylor Instability / G. Birkhoff // Quart. Appl. Math. 1954. V. 12. № 3. P. 306-309.

54. Blake J.R. Growth and collapse of a vapour cavity near a free surface / J.R. Blake, D.C. Gibson // J. Fluid Mech. 1981. V. 111. P. 123-140.

55. Blake J.R. Collapsing cavities, toroidal bubbles and jet impact / J.R. Blake, M.C. Hooton, P.B. Robinson et al. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1997. V. 355. P. 537-550.

56. Blake J.R. Acoustic cavitation: the fluid dynamics of non-spherical bubbles / J.R. Blake, G.S. Keen, R.R Tong et al. // Phys. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999, V. 357. № 6. P. 251-267.

57. Calvisi M.L. Shape stability and violent collapse of microbubbles in acoustic traveling waves / M.L. Calvisi, O. Lindau, J.R. Blake// Phys. Fluids. 2007. V. 19. 047101.

58. Camara C.G. Upper bound for neutron emission from sonoluminescing bubbles in deuterated acetone / C.G. Camara, S.D. Hopkins, K.S. Suslick // Phys.Rev.Lett. 2007. V. 98. 064301.

59. Cole R.H. Underwater explosions/R.H. Cole. Princeton University Press. 1965.

60. Colella P. Modern Numerical Methods for Fluid Flow / P. Colella, E.G. Puckett; 1994.

61. Collins J.P. An Implicit-Explicit Eulerian Godunov Scheme for Compressible Flow / J.P. Collins , P. Colella , H.M. Glaz // J. Comput. Phys. V. 116. № 2. 1995. P.195-211

62. Eller A.I. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field / A.I. Eller, L.A. Crum // J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1970. V. 47. № 3. P. 762-767.

63. Evans A.K. Instability of converging shock waves and sonoluminescence / A.K. Evans// Phys.Rev.E 1996. V.54. № 5. P. 5004-5011.

64. Feng Z.C. Nonlinear bubble dynamics / Z.C. Feng, L.G. Leal // Annu. Rev. Fluid Mech. 1997. V. 29. P. 201-242.

65. Fromm J.E. A method for reducing dispersion in convective difference schemes / J.E. Promm //J. Comput. Phys. 1968. V.3. P. 176-189

66. Gaitan D.F. Observation of sonoluminescence from a single, stable cavitation bubble in a water/glycerine mixture / D.F. Gaitan, L.A. Crum //in 12th Intern. Symp. On Nonl. Acoustics. New York: Elsevier, 1990. P. 459-463.

67. Gilmore F.R. The collapse and growth of a spherical bubble in a viscous compressible liquid / F.R. Gilmore // California Institute of Technology Hydrodynamics Laboratory. 1952. Rep. № 25-4.

68. Harten A. High-resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // J. Comput. Phys. 1983. V. 49. P. 363-390.

69. Harten A. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes III / A. Harten, B. Engquist, S. Osher et al. // J.Сотр. Phys. 1987. V. 71. P. 231-303.

70. Hao Y. The effect of viscosity on the spherical stability of oscillating gas bubbles / Y. Hao, A. Prosperetti // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 6. P. 1309-1317.

71. Herring C. Theory of the pulsations of the gas bubble prodused by an underwater explosion / C. Herring // OSRD Report. 1941. № 236.

72. Hilgenfeldt S. Analysis of Rayleigh-Plesset dynamics for sonoluminescing bubbles / S. Hilgenfeldt, M. Brenner, S. Grossmann et al. // J.Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 171-204.

73. Hilgenfeldt S. Phase diagrams for sonoluminescing bubbles / S. Hilgenfeldt, D. Lohse, M. Brenner // Phys. Fluids. 1996. V. 8. P. 2808-2826.

74. Ho C.Y. Effects of ionization in single-bubble sonoluminescence / C.Y. Ho, L. Yuan, M.-C. Chu et al. // Physical Review E. 2002. V. 65. P. 041201.

75. Ida M. Investigation of transition frequencies of two acoustically coupled bubbles using a direct numerical simulation technique / M. Ida // Physical society of Japan 2004. V. 73. № 11 P. 3026-3033.

76. Ida M. An improved unified solver for compressible and incompressible fluids involving free surfaces. II. Multi-time-step integration and applications / M. Ida// Comput. Phys. Commun. 2003. V. 150. P. 300-323.

77. Iooss G. Stability of a compressed gas bubble in a viscous fluid / G. Iooss, P. Laure, M. Rossi// Phys. Fluids. 1989. V. 1. № 6. P. 915-923.

78. Jeltsch R. Accuracy barriers of difference schemes for hyperbolic equations / R. Jeltsch, J.H. Smit // SIAM J. Numer. Anal. 1987. V. 24. P. 1-11.

79. Keller J.В. Damping of underwater explosion bubble oscillations / J.B. Keller, I.I. Kolodner // J. Appl. Phys. 1956. V. 27. P. 1152-1161.

80. Keller J.B. Bubble oscillations of large amplitude / J.B. Keller, M. Miksis // J.Acoust. Soc. Am. 1980. V. 68. № 2. P. 628-633.

81. Kondic L. Theoretical studies of sonoluminescence radiation: Radiative transfer and parametric dependence / L. Kondic, J.I. Gersten, C. Yuan // Phys. Rev. 1995 V. 52. P. 4976-4990.

82. Kull H.J. Excitation and amplification of cavity oscillations in spherically converging shells / H.J. Kull//Phys. Rev. A1990. V. 41. № 8. P. 4312-4325.

83. Kwak H.-Y. Rayleigh-Taylor instability on a sonoluminescencing gas bubbles / H.-Y. Kwak, S.W. Karng, Y.P. Lee // J. of the Korean Phys. Soc. 2005. V. 45. № 4. P. 951-962.

84. Lamb H. Hydrodynamics / H. Lamb; N.Y.: Dover Publications. 1945.

85. Leer B. Review Article: Upwind and High-Resolution Methods for Compressible flow: From Donor Cell to Residual-Distribution Schemes / B. Leer // Commun. Comput. Phys. 2006. V. 1. № 2. P. 192-206.

86. Lin H. Inertially driven inhomogeneities in violently collapsing bubbles: the validity of the Rayleigh-Plesset equation / H. Lin, B.D. Storey,

87. A.J. Szeri //J. Fluid Mech. 2002. V. 452. P. 145-162.

88. Lin H. Rayleigh-Taylor instability of violently collapsing bubbles / H. Lin,

89. B.D. Storey, A.J. Szeri // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 8. P. 2925-2928.

90. Lofstedt R. ' Towards a hydrodynamic theory of sonoluminescence / R. Lofstedt, B.P. Barber, S.J. Putterman // Physics of Fluids. 1993. V. 5. №11. P. 2911-2928.

91. Lohse D. Sonoluminescing air bubbles rectify argon / D. Lohse, M.P. Brenner, T.F. Dupont et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 1359-1362.

92. Longuet-Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations / M.S. Longuet-Higgins // J. Fluid Mech. 1991. V. 224. P. 531-549.

93. Matula T.J. Inertial cavitation and single-bubble sonoluminescence / T.J. Matula // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999. V. 357. P. 225-249.

94. Moss W.C. Calculated Pulse Widths and Spectra of a Single Sonoluminescencing bubble / W.C. Moss, D.B. Clarke, D.A. Young // Science. 1997. V. 276. P. 1398-1401.

95. Moss W.C.Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond somoluminescence / W.C. Moss, D.B. Clarke, J.W. White et al. // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 9. P. 2979-2985.

96. Moss W.C. Computed optical emissions from a sonoluminescing bubble / W.C. Moss, D.A. Young, J.A. Harte et al. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. № 3. P. 2986-2992.

97. Neumann J. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks / J. Neumann, R. Richtmyer // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. № 3. P. 232-237.

98. Nigmatulin R.I The Theory of Super compression of Vapor Bubbles and Nano-Scale Thermonuclear Fusion / R.I Nigmatulin, I.Sh. Akhatov, A.S. Topolnikov et al. // Physics of Fluid. 2005. V. 17. P. 107105.

99. Noltingk B.E. Cavitation produced by ultrasonics / B.E. Noltingk, E.A. Neppiras // Proc. Phys. Soc. London Sec. 1950. V. 63. B. P.674-685.

100. Plesset M.S. The dynamics of cavitation bubbles / M.S. Plesset //J. Appl. Mechanics. 1949. P. 277-282.

101. Plesset M.S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry / M.S. Plesset // J. Appl. Phys. 1954. V. 25. № 1. P. 96-98.

102. Plesset M.S. Collapse of sn initially spherical vapour cavity in the heaigbourghood of a solid boundary / M.S. Plesset, R.B. Chapman // J. Fluid Mech. 1971. V. 47. № 2. P. 283-290.

103. Plesset M.S. On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid / M.S. Plesset, T.P. Mitchell// Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. № 4. P. 419-430.

104. Plesset M.S. Bubble dynamics and cavitation / M.S. Plesset and A. Prosperetti// Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. V. 9. P. 145-185.

105. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows / A. Prosperetti // Quart. Appl. Math. 1977. V. 34. P. 339-352.

106. Prosperetti A. Modeling of spherical gas bubble oscillations and sonoluminescence / A. Prosperetti, Y. Hao// Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1999. V. 357. P. 203-223.

107. Prosperetti A. Bubble dynamics in a compressible liquid. Part 1. First order theory / A. Prosperetti, A. Lezzi //J. Fluid Mech. 1986. V. 168. P. 457-478.

108. Putterman S.J. Sonoluminescence: How Bubbles Turn Sound into Light / S.J. Putterman, K.P. Weninger // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. V. 32. P. 445-476.'

109. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity / Lord Rayleigh // Phylos. Mag. 1917. V. 34. № 200. P. 94-97.

110. Roache P.J. Computational fluid dynamics / P.J. Roache // Hermosa. Albuquerque. NM. 1976.

111. Roberts P.H. Structure and stability of a spherical implosion / P.H. Roberts, C.C. Wu // Phys.Lett.A 1996. V.213. P. 59-64.

112. Roe P.L. Efficient construction and utilization of approximate Riemann solutions /P.L. Roe, J. Pike// Computing Methods in Applied Sciences and Engineering 1984. V.6. P. 499-518;

113. Shaw S.J. Translation and oscillation of a bubble under axisymmetric deformation / S.J. Shaw // Phys. Fluids. 2006. V. 18. P. 072104.

114. Storey B.D. Water vapour, sonoluminescence and sonochemistry / B.D. Storey, A.J. Szeri // Proc. R. Soc. Lond. A 2000. V. 456. P. 1685-1709

115. Taleyarkhan R.P. Evidence for Nuclear Emissions During Acoustic Cavitation / R.P. Taleyarkhan, C.D. West, J.S. Cho et al. // Science. 2002. V. 295. P. 1868-1873.

116. Taleyarkhan R.P. Nuclear emissions during self-nucleated acoustic cavitation / R.P. Taleyarkhan, C.D. West, R.T. Lahey et al. // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96. 034301.

117. Trilling L. The collapse and rebound of a gas bubble / L. Trilling// J. Appl. Phys. 1952. V. 23. № 1. P. 14-17.

118. Yuan L. Role of gas density in the stability of single-bubble sonoluminescence / L. Yuan, C.Y. Ho, M.-C. Chu // Phys. Review E. 2001. V. 64. P. 016317.

119. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method / B. Van Leer // Journal of computational physics. 1979. V. 32. P. 101-136.

120. Vuong V.Q. Sonoluminescence and diffusive transport / V.Q. Vuong, A.T. Szeri// Physics of Fluids. 1996. V. 8. № 9. P. 2354-2364.

121. Wesseling P. On the construction of accurate difference schemes for hyperbolic partial differential equations / P. Wesseling //J. Eng. Math. 1973. V. 7. P. 19-31.

122. Wilkins M.L. Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations / M.L. Wilkins // J. Comput. Phys. 1980. V. 36. № 3. P. 281-303.

123. Wu C.C.Shock wave propagation in a sonoluminescencing gas bubble/С.С. Wu,P.H. Roberts//Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P.3424-3427.

124. Wu C.C. Structure and stability of a spherical shock wave in a van-der-Waals gas / C.C. Wu, P.H. Roberts // Q.J.Mech.appl.Math. 1996. V.49. Pt.4. P. 501-543.

125. Wu C.C. On rectified diffusion and sonoluminescence / C.C. Wu, P.H. Roberts // Theor. Comput. Fluid Dynamics. 1998. V. 10. P. 357372.