автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле

На правах рукописи

00349 1654

Давлетишн Анас Ильгизович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ В АКУСТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 ФЕ8 ?07П

Казань -2010

003491654

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН и в Татарском государственном гуманитарно-педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Аганин Александр Алексеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Егоров Андрей Геннадьевич,

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт механики Уфимского научного центра РАН (г. Уфа).

Защита состоится «28» января 2010 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «18» декабря 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.21

доктор физико-математических наук, профессор

Сидоров Игорь Николаевич.

д. ф.-м. н., доц.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Физические свойства жидкостей с пузырьками, происходящие в них химические превращения, биологические процессы и т.д. в значительной степени зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. Интенсивность такого взаимодействия увеличивается в акустических полях, где давление жидкости является переменным, вследствие чего пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания. В результате взаимодействия радиальные колебания отдельных пузырьков могут усиливаться или ослабляться, пузырьки могут удаляться друг от друга или сближаться, формировать устойчивые структуры (связанные пары, кластеры, стримеры) и т.д.

Существующие в настоящее время математические модели и методы расчета задач взаимодействия пузырьков можно условно разбить на три группы. В первой из них уравнения взаимодействия представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно радиусов взаимодействующих пузырьков, пространственных координат их центров и, в случае несферических пузырьков, амплитуд отклонения формы пузырьков от сферической в виде отдельных сферических гармоник. Решение здесь, как правило, находится численно с применением какого-либо варианта метода Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования по времени. Вторую группу составляют различные варианты метода граничных элементов, а третью образуют методы прямого численного моделирования: конечных разностей и конечных элементов.Каждая группа имеет свои преимущества и недостатки. В частности, подходы первой группы, к которой относятся предлагаемые в настоящей работе модели, более просты и экономичны, но, вместе с тем, и более ограничены, например, из-за более жестких ограничений на величину отклонений формы пузырьков от сферической.

К настоящему времени в рамках первой группы наиболее развитыми являются модели и методы исследования дальнего взаимодействия, когда расстояние между пузырьками относительно велико. В качестве меры близости взаимодействия пузырьков принято считать безразмерный параметр S — шах [(Я* + Rj)/dij] < 1, где Щ, Щ - радиусы пузырьков, dy - рассто-

яние между их центрами (г ф ]), г,] — 1,2,.. .К, К - общее количество юаимодействующих пузырьков. Изучение дальнего взаимодействия было начато еще в конце 19 века. С тех пор получено много теоретических и экспериментальных результатов. Теоретические исследования проводились, в основном, с применением математических моделей второго порядка точности по <5. Для адекватного описания наблюдаемых экспериментально кластеров и стримеров такой точности недостаточно, поскольку расстояние между пузырьками в этих структурах может быть меньше, чем при дальнем взаимодействии. Сравнительно недавно были разработаны модели, имеющие относительно 5 третий и четвертый порядки точности. Но и их точности может оказаться недостаточно из-за того, что для контроля достоверности результатов решение п-го порядка точности нужно сравнивать с решением (п + 1)-го порядка, так как лишь их близость позволяет сделать заключение о достоверности решения п-го порядка. Поэтому, строго говоря, модели четвертого порядка точности позволяют получить правильное решение лишь с третьим порядком, третьего - со вторым и т.д.

В большинстве существующих моделей первой группы пузырьки, как правило, считаются чисто сферическими. Вместе с тем, результатом взаимодействия можбт быть не только указанное выше сближение и удаление пузырьков или формирование из них связанного кластера, но и деформация пузырьков. Большие деформации могут привести к разрушению пузырьков. При разрушении каких-либо пузырьков в группе свойства всей группы могут существенно измениться. Поэтому деформацию пузырьков следует учитывать, иначе полученные теоретические предсказания их поведения могут оказаться неверными.

Таким образом, построение относящихся к первой группе математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу пузырьков («близкого» взаимодействия) в акустическом поле с учетом деформаций их поверхностей является весьма актуальным.

Цель работы. Целью работы является построение, верификация и апробация математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле с учетом малых деформаций их поверхностей.

Научная новизна работы. Научная новизна диссертации состоит в следующем.

1. Разработаны математические модели близкого взаимодействия сла-бонесферических пузырьков в виде систем ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками.

2. Предложена методика численного решения соответствующих задач, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения систем ОДУ.

3. Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия. Выявлено, что при дорезонанс-ном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков. Показана возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек.

Научная и практическая ценность работы. Предложенные в работе математические модели и метод расчета динамики пузырьков могут быть использованы для проведения детальных исследований радиальных колебаний, пространственных перемещений и малых деформаций близко расположенных друг к другу пузырьков. Они могут применяться также для оценки взаимовлияния пузырьков в кластере. Их можно применять при планировании экспериментальных исследований взаимодействия пузырьков, для изучения циклических нагрузок при кавитационном воздействии на жесткие стенки. Предложенные математические модели и метод расчета можно использовать для получения эталонных решений при тестировании более сложных методов расчета взаимодействия пузырьков.

Достоверность результатов работы. Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью постановки задачи, согласова-

нием результатов расчетов с экспериментальными данными, численными решениями других авторов, численными решениями, полученными автором с применением других математических моделей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на: Научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006); Российской конференции «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007); VI и VII Молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2007, 2008); VII и VIII Всероссийских семинарах «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2008); XXVIII и XXIX Научных конференциях молодых ученых и специалистов ТГГПУ (Казань, 2008, 2009); Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008); VI Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е. Алемасо-ва «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008); Российском симпозиуме "Динамика многофазных сред", посвященном 50-летию чл.-корр. РАН Д.А. Губайдуллина (Казань, 2008); Итоговых научных конференциях ИММ КазНЦ РАН за 2007, 2008 г. Работа в целом была заслушана на семинаре ИММ КазНЦ РАН под руководством чл.-корр. РАН Д.А. Губайдуллина.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей и 2 тезисов. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, содержащих 26 параграфов, и заключения. Изложена на 160 страницах, включающих 31 рисунок и список литературы из 167 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны цель работы, новизна, представлено краткое содержание ее разделов.

В первой главе дается краткий обзор существующих моделей и методов расчета задач взаимодействия газовых пузырьков в жидкости. Делается вывод, что экономичные модели и методы расчета взаимодействия слабонесферических пузырьков развиты недостаточно.

Во второй главе даются физическая и математическая постановки задач взаимодействия пузырьков. Приводится вывод уравнений основной из предлагаемых в работе моделей. Излагается методика численного решения.

Полагается, что в процессе взаимодействия центры пузырьков всегда находятся на оси 2. При этом в терминах потенциала скорости жидкости Ф = Ф(г4, вх, ц>{, €], где t - время, г;, ви щ - сферическая система координат с началом отсчета в центре г-го пузырька, г — 1,2,..., К (К - число пузырьков), уравнения динамики жидкости имеют вид

У2Ф = 0, ~ УФ + ^УФ • УФ + — = —. (1)

от 2 Ра Ра

Здесь р и рх - давление жидкости в произвольной точке и на бесконечности соответственно, ро - плотность жидкости, ту; - скорость смещения центра г-го пузырька, щ = ¿¿к, г,- - координата центра г-го пузырька, к -единичный вектор оси г, точка сверху означает дифференцирование по Ь. Давление газа в г-м пузырьке изменяется по закону

Pг=Pi0[-yг) , (2)

где Р2 и рго - текущее и начальное давление газа в пузырьке, а Ц и ^ -текущий и начальный объемы пузырька соответственно. Для изотермического пузырька Г; = 1, а для адиабатического = к, где к - показатель адиабаты газа.

Кинематические условия на поверхностях пузырьков записываются в виде

№

-^-уц-ЪЪ + ЪФ-У Ъ = 0, (3)

Са

а динамические - в виде

Р — Р% — 2Я«т, (4)

где = 0 - уравнение поверхности г-го пузырька, 2Я, - ее

средняя кривизна, а - коэффициент поверхностного натяжения.

Давление жидкости на удалении от пузырьков рх изменяется по закону

Рос = Ро ~ Др втшЬ (5)

где ра - статическое давление, Др, и> - амплитуда и частота колебаний.

Уравнения (1)-(5) применяются и для описания взаимодействия пузырьков около жесткой плоской стенки в случае, когда ось г ортогональна к стенке. Задача взаимодействия К пузырьков у стенки тогда сводится к задаче (1)-(5) взаимодействия 2К пузырьков, в которой к К реальным пузырькам добавляются, используя метод отражения, К фиктивных. Уравнение поверхности г-го пузырька принимается в виде

ос

9и о = П - - £ ащ{г)Рп{С080,-) = 0. (6)

п=2

Здесь Щ - радиус пузырька, апг - амплитуда отклонения его формы от сферической в виде Рп(соз б1,), Рп - полином Лежандра степени п. В работе деформации пузырьков считаются малыми, так что величинами порядка можно пренебречь, где £„ = ап,-/Я, - искажение формы пузырька. В окрестности ¿-го пузырька (при < ¿ц, йц — — 23-|, ? ^ ]) потенциал скорости жидкости Ф представляется в виде ряда

7=0 Гг 7,;=0

где С7? = (-1)% + ?)'•/(71-?!), = 1 при г* > г,-, ву = -1 при г,- <

Подставив из (6) и Ф(гг,б*,£) из (7) в (3) и воспользовавшись

ортогональностью полиномов Лежандра, можно получить

щ+2

Вм — ———

0 е + 1

Ь 1 • I • а ®т7г7+2^7»еп"

щаоод + %а\ое + а-т^тОе — Рт\ег£тг----

1Ч

- Е

агз

(8)

где £> = 0,1,..

1 1 = ^пр / Р^РоР^, = ^^ /(! -

-1 -1

е = в подынтегральных выражениях аргументом поли-

номов Лежандра является т]. В (8) и далее по повторяющимся греческим индексам предполагается суммирование от 0 до оо, а по повторяющимся латинским индексам (кроме г и ]) - от 2 до оо.

Выразив давление из (1), подставив его в (4) и приняв во внимание, что 2Я,- = [2+ (га — 1)(п + 2)еП{Ры]/Лг, на поверхности г-го пузырька можно получить выражение, подстановка в которое потенциала (7) с учетом ортогональности полиномов Лежандра дает следующее соотношение

Л* _ _а°ое(Р'—£со) + [2а + _ 1)(т + 2)ат0е£то-]-

ДГ № РоЪ

ВуЛ /¿,1,7+1 ^7+2,7+1.1 \ В^Ву ,

^7+2 \ 71г хт71г ^^7+5+4 в хп>7«е -пы)-г

I Î7 ^■)ат-)дВ'1г£'гп.г .

C^B-yjR^ Z{

+ (9)

1 B->i--^-J ¡rf^rKTÎ + +

^^ "me c™;

i>e,

e+i'

где

= j PmPcPtPedn, ХтШ = ^^ /(1 - 7l^PraP^PA-

-1 -1

= + = 7(Ç<^mCi?i?+XmÇi?e), в = lise'-PmÇOe-

XmiVe), e = 0,1, — Параметры - это поправки на вязкость жидкости.

Продифференцировав уравнения (8) по времени и полагая последовательно g = 0,1,2,..., придем к системе ОДУ следующего вида

Ri = F0i (a, à) + фог + Дог, ¿i = Fu (a, à) + фн, ani = Fni (a, à) + Фт■ (10)

где а = (ai,a2, = (i^, Zi,a2b аз;, Дь Ян> ••■)> п = 2,3,....

Параметр До* - это поправка на сжимаемость жидкости. Коэффициенты Ву правой части (10) находятся из (8), а их производные В7j - из (9). Для поправок на вязкость жидкости получено следующее выражение

' (72 + З7 + 2)В.,г Г (. 20т1л

i>oi = 2(д+1)и j + - ((7 + tyotmie "

7 + 1

+

к

(И)

а для поправки на ее сжимаемость - следующее

со \ 2 ро

(12)

В (11) V - коэффициент кинематической вязкости, а в (12) со - скорость звука в жидкости.

Если необходим более точный, чем при Г,- = 1 и Г; = к, учет влияния теплообмена между жидкостью и пузырьками, то используется известная зависимость показателя политропы Г* от числа Пекле Ре*. В этом случае давление газа в г-м пузырьке изменяется по закону

Здесь Т0 - температура жидкости, Хг = (РгС-и), А» - коэффициент теплопроводности газа, сг, - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, Рх - плотность газа.

Система ОДУ (10), (14) совместно с (8), (9), (11)-(13) и представляет собой основную предлагаемую в настоящей работе модель взаимодействия слабонесферических пузырьков. Она, в отличие от существующих моделей, имеет произвольный порядок точности по 5, что позволяет применять ее для изучения произвольно близкого взаимодействия пузырьков.

Решение уравнений (10), (14) находится численно с точностью М > 2 относительно 5 при заданных в начальный момент времени значениях Д,, г,-, а„г, Рц, ¿¡, ап{, Тг (п = 2,3, N - число используемых в (6) гармоник). При этом на каждом временном шаге выполняются три этапа:

(1) определение коэффициентов В7г из уравнений (8) при д = 0,1,..., М', где М = М + N — 1. Для этого применяется один из вариантов метода последовательных приближений по 5 и е (излагается в третьей главе);

(13)

а температура газа Т; находится из уравнения

3(1-грдд;- ЗХг (Гр - Тг)

Ъ Щ

(14)

0.51

0.505

0.5

Рис. 1. Зависимости \Вц/{В?\У) \ от порядка точности М решения задачи о движении идеальной жидкости при наличии в ней двух сферических тел (о - число итераций, выполненное при расчете данной точки).

(п) определение производных В7!- из уравнений (9) при д = 0,1,ЛГ и уравнений, получаемых дифференцированием выражений (8) при д = N 4-1, N + 2,..., М (применяется тот же способ, что и на первом этапе);

(Ш) решение системы ОДУ (10), (14) высокоточным методом Дормана-Принса с автоматическим выбором шага интегрирования по времени.

Третья глава посвящена моделированию взаимодействия сферических пузырьков. Она начинается с вывода аналогичных (10) уравнений взаимодействия произвольного порядка точности относительно параметра Ь, Их правые части также зависят от неизвестных коэффициентов В7* и их производных В7,. Кроме того, путем исключения из них В^ и В7* получены более удобные для применения, но имеющие лишь пятый порядок точности, уравнения взаимодействия пузырьков в терминах их радиусов и координат центров. Подобные соотношения от второго до четвертого порядков обычно и применяются в литературе.

Способ определения В7, и В7!- упрощенным методом последовательных приближений подробно излагается для случая двух сферических пузырьков. Для тестирования данного метода используется задача о движении идеальной жидкости при наличии в ней двух сферических тел (¿-го и ¿-го), одно из которых неподвижно, а другое перемещается к нему с постоянной скоростью V/. На рис. 1 приводится сравнение зависимостей безразмерно-

п-1 2 3 4

________—■*---------«--*-

/ /4

/ /

/ „■ метод Хикса / з

/ / --т.- настоящая работа

/12''

-1-1-1-,-1-,-1-,-1-1-1-г-

4 8 12 16 20 24 М

\ (а) • * — « • • - \ (б) • • • • • • • • ф • • • • • • • #

...... 1 1 1

О 25 50 0 25 50 0 25 50

/со/2тг

Рис. 2. Изменение безразмерного расстояния между центрами взаимодействующих пузырьков в начале каждого периода колебаний давления окружающей жидкости.

го параметра \Вц/ (Я3И^) | от М - порядка точности решения относительно <5, полученных предлагаемым способом и классическим методом Хикса в случае Я,- = Щ — Я, ¿,- = \У, ^ = 0, 5 = 0.9. Видно, что с увеличением порядка точности оба решения сходятся к одному и тому же результату, что свидетельствует о правильности работы предлагаемого способа. Скорость сходимости метода Хикса выше, однако в настоящей работе он не используется, т.к. при неизвестных Я* и ц оказывается неприменимым.

Верификация предлагаемых математических моделей и метода расчета задач взаимодействия сферических пузырьков производится путем сравнения результатов решения задач взаимодействия пузырьков, полученных с применением разных моделей, как между собой, так и с тем, что имеется в литературе. В обоих случаях достигнуто хорошее согласование.

Рассмотрены примеры взаимодействия двух сферических воздушных пузырьков в воде при комнатных условиях, когда Ар = 1.2 бар, о)/27Г = 20 кГц. В начале взаимодействия скорости радиальных колебаний и пространственных смещений центров пузырьков равны нулю.

Рис. 2 иллюстрирует три возможных сценария взаимодействия с образованием связанной пары. Точками показана величина относительного расстояния между пузырьками е$у/(1у(0) в начале каждого очередного

периода колебаний давления жидкости рх. Видно, что в первом примере ((а), при 4 = 0: Я; = 2.5 мкм, Щ = 4.5 мкм, = 300 мкм) период пространственных колебаний пузырьков в паре совпадает с периодом колебаний давления жидкости (из точек образуется одна горизонтальная прямая), во втором ((б), при í = 0: Щ = 3 мкм, Я,- = 4.2 мкм, ¿у = 600 мкм) - превышает его в два раза (из точек образуются две горизонтальные прямые), а в третьем ((в), при I = 0: Щ = 3.3 мкм, Щ = 4.8 мкм, йу = 700 мкм) - изменяется апериодически (точки не упорядочены). Показано, что в этих примерах .начало взаимодействия можно правильно описывать с 3-м порядком точности относительно параметра 5 (М = 3). Однако в дальнейшем для получения достоверных результатов порядок точности нужно увеличивать до М — 5 (а), б (б) и 16 (в).

Четвертая глава посвящена моделированию взаимодействия слабо-несферических пузырьков. Она начинается с вывода упрощенной модели взаимодействия, имеющей четвертый порядок точности по 5, что на два порядка выше, чем у аналогичных существующих,

+ ——--—

Рг ~ Рх Р0

2а Р0#г

к ■ £

в0.

Во~

2

(ъ + 2%

щ

2{ВКЩ)' + ЗВ^ 3 (ЩацУ

44 + ю

-Ь^ог+До

92г0.2г 9©т

К

= £

5 5

3 (ДуД)' 3 - бДцД^

--1---!--

4

+

+-

гг + 1

Яа™ + ЗЯ^а„г - (п - 1) - ^ +

+

+

7+1

ХглПп

2(т + 1)

[п - 1)(n + 2) aeni _ ^ 9pnnB0jZi _ 9/ЗщЩъЪ _ ЩхтЯгВ^.

4s„4 44 24

у» - 1; y» -i- Obni _ y^

l502inRjffjZi¿j 2ip3lnR?B0jZj (2n +1) (R"Bpj)' 84 4%4 8s¡j4 +(n + l)(-5y)n4^

(2b + 1) [(Я?Д&)' + 2RfBQj (¿i - jj)] ,aunBoAe2l 3ê^ln (B0jami)'

2 (-ЗЦT+l 4+2 10s,i4 2stf (n + 1) 4

Q^n1 (¿m,-+2W) ^ 3Bo.¿i£mi

j__\ __/ . ""-uyi-ï/ji 1 7 a tí тг* л 7 q

+ 2Sij(m+l)4 + 2Sij4 ^ ^TI

+Фпг>

где n = 2,3,..по индексам г и п суммирование отсутствует.

Давление газа p¿ здесь определяется равенствами (13) или (2), поправки на сжимаемость жидкости До; - равенствами (12), а поправки на ее вязкость с соответствующей точностью имеют вид

. 4 vRi 12v(. B0j Щ B0je2i\

Фш = ~ |(n + 2) áni + 2 (П - 1) fíjEni + 3nQ^"'^"2¿i£mi-

7i(2n+l )Rr1Büj _ n{n+l) (2n+l) R^Rfa 3n92¿™-2B0jen

("*«)" С* 2(-6уГ+14+2 2вУ4

Из уравнений взаимодействия двух пузырьков, используя метод отражения, получены уравнения динамики отдельного пузырька у плоской жесткой стенки, имеющие четвертый порядок точности по 6.

Для верификации модели и метода расчета задач взаимодействия сла-бонесферических пузырьков использовано известное в литературе, хорошо согласующееся с экспериментальными данными, решение задачи о схло-пывании кавитационного пузырька около плоской жесткой стенки, полученное конечно-разностным методом (рис. 3). Входные данные задачи: Ро - Рь = 1 бар (рь - давление в пузырьке), р0 = Ю00 кг/м3, а = 0, // = О, со = ос, ЩО) = 1 мм, гс(0) = 1.5 мм, а„(0) = О, Д(0) = ¿с(0) = а„(0) = 0.

Рис. 3. Изменение формы пузырька при его охлопывании около стенки. Сплошные кривые - решение методом конечных разностей, штриховые кривые - расчет по методике настоящей работы. Цифрами указаны моменты времени.

Из рис. 3 видно, что до момента б имеет место удовлетворительное согласование результатов. Далее наблюдается значительное расхождение, что естественно, т.к. деформации поверхности пузырька уже не малы.

Применимость предлагаемых моделей взаимодействия слабонесфери-ческих пузырьков иллюстрируется на ряде задач взаимодействия двух воздушных пузырьков в воде при комнатных условиях при ш/2л = 20 кГц. При £ = 0 пузырьки сферические, а скорости их радиальных колебаний, пространственных смещений центров и изменения амплитуды искажений равны нулю. При этом сначала рассматриваются три задачи предыдущей главы (рис. 2), но теперь с учетом несферичности пузырьков. Получено, что при учете деформаций пузырьков их взаимодействие во всех трех случаях завершается разрушением одного из них уже на первом периоде.

Далее рассмотрены все типичные сценарии взаимодействия двух пузырьков: притяжение и столкновение, притяжение и разрушение, притяжение и образование связанной пары, отталкивание. Основное внимание уделено оценке справедливости обычно используемого в литературе предположения о постоянной сферичности взаимодействующих пузырьков, поскольку, как следует из предыдущих примеров, такая гипотеза может дать и неверные сценарии взаимодействия.

Затем иллюстрируется применимость предлагаемой в настоящей рабо-

250

0

-250 -

max|s„ J

0.5 -

n = 2,i = 2

0.25 -

3,2

0

0

2500

5000 ta/ 2n

Рис. 4. Взаимодействие трех пузырьков: сверху - изменение пространственных координат центров пузырьков, снизу - изменение максимальных (за период колебаний рх) амплитуд некоторых искажений сферичности пузырьков (другие искажения малы).

те модели для описания взаимодействия пузырька с плоской твердой стенкой. При этом основное внимание уделяется изменению давления жидкости на поверхности стенки.

Для иллюстрации применения модели настоящей работы в случае, когда число взаимодействующих пузырьков больше двух, рассмотрены три примера взаимодействия трех воздушных пузырьков в воде при комнатных условиях при Ар = 1.2 бар, ш/2п — 20 кГц. При i = 0 пузырьки сферические, а скорости их радиальных колебаний, пространственных смещений центров и изменения амплитуды искажений равны нулю. В первом примере (рис. 4, 5) при t = 0: Hi = 2.1 мкм, i?2 = 3 мкм, Щ — 2 мкм, dn — ¿2.3 = 250 мкм. Пузырьки, как видно из рис. 4, сближаются и формируют связанную тройку. Величина максимальных эллипсоидальных искажений (п = 2) среднего пузырька (г = 2) в тройке держится на уровне max |о2г| = 0.5. Несмотря на столь высокий уровень деформаций взаи-

25 12.5

О

0.5 0

-0.5

3999 3999.5 4000

га>/2я

Рис. 5. Изменение радиуса и амплитуды эллипсоидального (п = 2) искажения сферичности второго пузырька () = 2) при взаимодействии трех пузырьков в условиях рис. 4 в ходе 4000-го периода колебаний рх.

модействие пузырьков от них не зависит: траектории центров пузырьков с учетом и без учета их несферичности отличаются незначительно. Это связано с тем, что немалые искажения возникают лишь в короткие промежутки времени (при быстром расширении-сжатии) и при малых размерах пузырьков (рис. 5). На стадии же медленного расширения-сжатия пузырьки в пространстве практически неподвижны, а отклонения их формы от сферической - пренебрежимо малы. На таком режиме колебаний взаимодействие пузырьков на последующем периоде не зависит от предыстории, а определяется лишь расстоянием между пузырьками.

Во втором и третьем примерах взаимодействия трех пузырьков демонстрируется зависимость сценария взаимодействия трех и более пузырьков от их начального положения. Во втором примере взаимодействие заканчивается разрушением одного из пузырьков в ходе его сближения с другими, а в третьем - образованием двумя из трех пузырьков связанной пары.

\А Р>» . . —

' ■ 1 - ' г- ~т...... !"■■ 1......! ■ ' " 8„,,п = 2,г = 2

Ч ' -1

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель близкого взаимодействия сла-бонесферических пузырьков с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками. Это - система ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках. В нее также входят явно не выраженные коэффициенты разложения потенциала скорости по полиномам Лежандра. В отличие от существующих моделей она имеет произвольный порядок точности относительно 6 (отношения суммы радиусов двух пузырьков к расстоянию между их центрами).

2. Получены уравнения взаимодействия: (а) одного слабонесферическо-го пузырька с плоской жесткой стенкой, более двух (б, в) сферических и (г) слабонесферических пузырьков между собой, имеющие по б четвертый (а), пятый (б), произвольный (в) и четвертый (г) порядки точности. Эти уравнения либо точнее известных (б, в), либо более удобны для анализа и применения (а, г).

3. Предложена методика численного решения задач взаимодействия в рамках разработанных моделей, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения системы ОДУ.

4. Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия.

5. Выявлено, что при дорезонансном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков, что объясняется кратковременностью проявления немалых деформаций и малыми радиусами, при которых они возникают.

6. Установлена возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек. Показано, что с увеличением числа пузырьков возрастает зависимость сценариев их взаимодействия от их начального положения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аганин А А. Динамика двух газовых пузырьков в жидкости / А ААганин, А.И.Давлетшин // Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. Сборник докладов. Казань, 2006. С. 75-77.

2. Аганин А А. Взаимодействие сферических газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин, В.Г.Малахов // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 5. Уфа, 2007. С. 66-72.

3. Аганин A.A. Взаимодействие сферических газовых пузырьков в вязкой жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 36. Казань, 2007. С. 3-5.

4. Аганин A.A. Взаимодействие двух сферических газовых пузырьков в несжимаемой жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Материалы VII Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 2008. С. 8-9.

5. Аганин A.A. Математическая модель динамики двух сферических пузырьков / АА.Аганин, А.И.Давлетшин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды межд. конф. Т. 3. Уфа, 2008. С. 61-65.

6. Аганин A.A. Алгоритм решения задач взаимодействия пузырьков / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Мат. докл. Казань, 2008. С. 109-112.

7. Аганин A.A. Взаимодействие газовых пузырьков в жидкости с учетом малых деформаций их поверхностей / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Материалы VIII Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 2008. С. 10-11.

8. Аганин A.A. Динамика газовых пузырьков в жидкости с малыми деформациями их поверхностей / АА.Аганин, А.И.Давлетшин // Труды Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 37. Казань, 2008. С. 7-10.

9. Аганин A.A. Моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости с учетом их малой несферичности / АА.Аганин, А.И.Давлетшин // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 6. С. 89-102.

10. Аганин A.A. Уточненная модель взаимодействия сферических газовых пузырьков в жидкости / А.ААганин, А.И.Давлетшин // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 9. С. 89-98.

Отпечатано в ООО «Печатный двор», г. Казань, ул. Журналистов, 1/16, оф.207

Тел: 272-74-59,541-76-41, 541-76-51. Лицензия ПД №7-0215 от 01.11.2001 г. Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТР РФ. Подписано « печать 14.12.2009 г. Усл. п.л 1,0 Заказ № К-6804. Тираж 120 экз. Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать - ризография.

Введение.

I. Модели и методы расчета взаимодействия пузырьков в интенсивных акустических полях: краткий обзор

§1. Динамика отдельных пузырьков.

§2. Характерные особенности взаимодействия пузырьков в интенсивных акустических полях.

§3. Модели и методы расчета взаимодействия сферических пузырьков

§4. Модели и методы расчета взаимодействия слабонесферических пузырьков.

§5. Модели и методы расчета взаимодействия сильнонесферических пузырьков.

Актуальность работы. Физические свойства жидкостей с пузырьками, происходящие в них химические превращения, биологические процессы и т.д. в значительной степени зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. Интенсивность такого взаимодействия увеличивается в акустических полях, где давление жидкости является переменным, вследствие чего пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания. В результате взаимодействия радиальные колебания отдельных пузырьков могут усиливаться или ослабляться, пузырьки могут удаляться друг от друга или сближаться, формировать устойчивые структуры (связанные пары, кластеры, стримеры) и т.д. Сближение пузырьков может приводить к их столкновению с образованием в жидкости новых более крупных газовых включений. Из-за отталкивания пузырьки могут удаляться так далеко, что их последующее взаимодействие становится несущественным. Другим результатом взаимного влияния пузырьков может быть формирование из них кластеров, которые ведут себя как единое целое (как совокупность "связанных" пузырьков). Такие кластеры в последующем могут либо перемещаться в акустическом поле, либо фиксироваться в его определенных местах (например, в пучностях или узлах).

Существующие в настоящее время математические модели и методы расчета задач взаимодействия пузырьков можно условно разбить на три группы. К первой относятся подходы, в которых уравнения взаимодействия представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно радиусов взаимодействующих пузырьков, пространственных координат их центров и, в случае несферических пузырьков, амплитуд отклонения формы пузырьков от сферической в виде отдельных сферических гармоник. Решение здесь, как правило, находится численно с применением какого-либо варианта метода Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования по времени. Вторую группу составляют различные варианты метода граничных элементов. Третью группу образуют методы прямого численного моделирования: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Модели и методы расчета первой группы имеют более долгую историю. С их применения фактически и началось теоретическое изучение взаимодействия пузырьков, тогда как модели и методы второй и третьей групп стали использоваться значительно позже (с 1970-х годов). Несмотря на это модели и методы расчета первой группы продолжают активно развиваться и применяться, что обусловлено их высокой экономичностью и развитием быстродействия вычислительной техники. Во многих случаях такие модели оптимально подходят и для изучения задач взаимодействия слабонесфери-ческих пузырьков в сильных акустических полях. Вместе с тем, их применение в существующем виде ограничено, в основном, из-за относительно небольшой точности описания взаимодействия близко расположенных пузырьков.

В качестве меры близости взаимодействия пузырьков принято считать безразмерный параметр д — тах[(Щ + Rj)/dij] < 1 - максимальное по всем парам взаимодействующих пузырьков отношение суммы их радиусов к расстоянию между их центрами, где Ri, Rj - радиусы пузырьков, dij - расстояние между их центрами (i ф j), i,j — 1,2К - общее количество взаимодействующих пузырьков. К настоящему времени в рамках подходов первой группы наиболее развитыми являются модели и методы исследования «дальнего» взаимодействия, когда расстояние между пузырьками относительно велико (когда 5 < 0.1). Изучение дальнего взаимодействия было начато еще на рубеже 19 и 20 веков (Бьеркнесами). С тех пор получено много теоретических и экспериментальных результатов. Теоретические исследования проводились, в основном, с применением математических моделей, имеющих относительно д второй порядок точности. Однако такой точности может быть и недостаточно для адекватного описания наблюдаемых экспериментально кластеров и стримеров, поскольку расстояния между пузырьками в этих структурах могут быть меньше тех, что характерны для дальнего взаимодействия. Сравнительно недавно были разработаны модели, имеющие относительно 6 третий и четвертый порядки точности. Однако и их точности может быть недостаточно, поскольку необходимо иметь в виду, что для контроля достоверности результатов решение 71-го порядка точности нужно сравнивать с решением (п + 1)-го порядка, так как лишь их близость позволяет сделать заключение о достоверности решения гг-го порядка. Поэтому, строго говоря, модели четвертого порядка точности позволяют получить правильное решение лишь с третьим порядком, третьего - со вторым и т.д.

Другим недостатком известных моделей первой группы является то, что пузырьки в них, как правило, считаются сферическими. Вместе с тем, результатом взаимодействия может быть не только указанное выше сближение и удаление пузырьков или формирование из них связанного кластера, но и деформация пузырьков. Большие деформации пузырьков могут привести к их разрушению. При разрушении каких-либо пузырьков в группе свойства всей группы могут существенно измениться. Поэтому деформацию пузырьков следует учитывать, иначе полученные теоретические предсказания их поведения могут оказаться далекими от действительности.

Таким образом, построение относящихся к первой группе математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу пузырьков («близкого» взаимодействия) в акустическом поле с учетом деформаций их поверхностей в силу их высокой экономичности является весьма актуальным.

Цель работы. Целью работы является построение, верификация и апробация математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле с учетом малых деформаций их поверхностей.

Научная новизна работы. Научная новизна диссертации состоит в следующем.

1. Разработаны математические модели близкого взаимодействия слабонесферических пузырьков в виде систем ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками.

2. Предложена методика численного решения соответствующих задач, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения систем ОДУ.

3. Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия. Выявлено, что при дорезонансном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков. Показана возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек.

Научная и практическая ценность работы. Предложенные в работе математические модели и метод расчета динамики пузырьков могут быть использованы для проведения детальных исследований радиальных колебаний, пространственных перемещений и малых деформаций близко расположенных друг к другу пузырьков. Они могут применяться также для оценки влияния друг на друга пузырьков в кластере. Их можно применять при планировании экспериментальных исследований взаимодействия пузырьков, для изучения циклических нагрузок при кавитационном воздействии на жесткие стенки. Предложенные математические модели и метод расчета можно использовать для получения эталонных решений при тестировании более сложных методов расчета взаимодействия пузырьков (конечных элементов или конечных разностей).

Достоверность результатов работы. Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчетов с экспериментальными данными, численными решениями других авторов, численными решениями, полученными автором с применением других математических моделей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах и семинарах:

- Научная конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006);

- Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007);

- VI Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007);

- Всероссийский семинар, посвященный столетию Аминова М.Ш. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2008);

- XXVIII и XXIX научные конференции молодых ученых и специалистов ТГГПУ (Казань, 2008, 2009);

- Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008);

- VI Всероссийская школа-семинар молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008);

- Всероссийский семинар, посвященный столетию Кузьмина П.А. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2008);

- VII Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2008» (Казань, 2008);

- Российский симпозиум "Динамика многофазных сред", посвященный 50-летию чл.-корр. РАН Д.А. Губайдуллина (с участием академика РАН Р.И. Нигматулина) (Казань, 2008);

- Итоговые научные конференции Учреждения Российской академии наук Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2007, 2008 г.

Работа в целом была заслушена на Семинаре Учреждения Российской академии наук Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН под руководством член-корреспондента РАН Д.А. Губайдуллина.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей и 2 тезисов. Основное содержание диссертации отражено в работах [2-4,6,7,9-11]. Большинство работ выполнено в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н., профессором А.А Аганиным. Вклад научного руководителя в публикациях заключается в постановке задач, в разработке математических моделей и методов расчета, анализе полученных результатов. Вклад автора диссертации состоит в участии в разработке математических моделей и методов расчета, написании и тестировании программ, проведении расчетов и анализе полученных результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, содержащих 26 параграфов, и, заключения. Изложена на 160 страницах, включающих 31 рисунок и список литературы из 167 наименований.

Заключение

1. Разработана математическая модель близкого взаимодействия слабо-несферических пузырьков с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками. Это - система ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках. В нее также входят явно не выраженные коэффициенты разложения потенциала скорости по полиномам Лежандра. В отличие от существующих моделей она имеет произвольный порядок точности относительно 5 (отношения суммы радиусов двух пузырьков к расстоянию между их центрами).

2. Получены уравнения взаимодействия: (а) одного слабонесферическо-го пузырька с плоской жесткой стенкой, более двух (б, в) сферических и (г) слабонесферических пузырьков между собой, имеющие по 5 четвертый (а), пятый (б), произвольный (в) и четвертый (г) порядки точности. Эти уравнения либо точнее известных (б, в), либо более удобны для анализа и применения (а, г).

3. Предложена методика численного решения задач взаимодействия в рамках разработанных моделей, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения системы ОДУ.

4. Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия.

5. Выявлено, что при дорезонансном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков, что объясняется кратковременностью проявления немалых деформаций и малыми радиусами, при которых они возникают.

6. Установлена возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек. Показано, что с увеличением числа пузырьков возрастает зависимость сценариев их взаимодействия от их начального положения.

1. Аганин А.А. Устойчивость сильного сжатия сферического пузырька / А.А.Аганин, Т.С.Гусева, М.А.Ильгамов и др. // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. Сб. Санктпетербургский государственный университет. Санкт-Петербург, 2002. С. 7-13.

2. Аганин А.А. Динамика двух газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. Сблрник докладов научной конференции. Казань, 2006. С. 75-77.

3. Аганин А.А. Взаимодействие сферических газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин, В.Г.Малахов // Труды ИМех УНЦ РАН. Вып. 5. Уфа, 2007. С. 66-72.

4. Аганин А.А. Взаимодействие сферических газовых пузырьков в вязкой жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 36. Казань, 2007. С. 3-5.

5. Аганин А.А. Взаимодействие двух сферических газовых пузырьков в несжимаемой жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Материалы VII Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 2008. С. 8-9.

6. Аганин А.А. Математическая модель динамики двух сферических пузырьков / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конференции. Т. 3. Уфа, 2008. С. 61-65.

7. Аганин А.А. Алгоритм решения задач взаимодействия пузырьков / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Материалы докладов. Казань, 2008. С. 109-112.

8. Аганин А.А. Динамика газовых пузырьков в жидкости с малыми деформациями их поверхностей / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Труды Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 37. Казань, 2008. С. 7-10.

9. Аганин А.А. Моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости с учетом их малой несферичности / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 6. С. 89-102.

10. Аганин А.А. Уточненная модель взаимодействия сферических газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 9. С. 89-98.

11. Аганин А.А. Простейшая модель вязкости в динамике жидкости с цилиндрической полостью / А.А.Аганин, М.А.Ильгамов // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. Сб. Санктпетер-бургский гос. университет. Санкт-Петербург, 2002. С. 14-20.

12. Аганин А.А. Нелинейные несферические колебания пузырька газа при периодическом изменении давления окружающей жидкости / А.А.Аганин, М.А.Ильгамов, Л.А.Косолапова, В.Г.Малахов // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15. JY2 3. С. 521-533.

13. Аганин А.А. Моделирование сильного сжатия газовой полости в жидкости / А.А.Аганин, М.А.Ильгамов, Т.Ф.Халитова // Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 11. С. 89-103.

14. Воинов О.В. Динамика капиллярных волн на пузыре при нелинейных пульсациях в жидкости малой вязкости / О.В.Воинов // ПМТФ. 1994а. Т. 3. С. 87-97.

15. Воинов О.В. О времени жизни симметрично пульсирующего пузыря / О.В.Воинов // ПМТФ. 1994b. Т. 3. С. 97-101.

16. Воинов О.В. О схеме захлопывания кавитационного пузырька около стенки и образования кумулятивной струйки / О.В.Воинов, В.В.Воинов // ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 1. С. 63-66.

17. Воинов О.В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями / О.В.Воинов, В.В.Воинов // ДАН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 559-562.

18. Воинов О.В. Уравнения Лагранжа для системы пузырей изменяющихся радиусов в жидкости малой вязкости / О.В.Воинов, А.М.Головин // МЖГ. 1970. № 3. С. 117-123.

19. Воинов О.В. Об устойчивости поверхности газового пузыря пульсирующего в жидкости / О.В.Воинов, В.В.Перепелкин // ПМТФ. 1989. Т. 3. С. 76-83.

20. Воинов О.В. Движение пузырей в жидкости / О.В.Воинов, А.Г.Петров // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. 1976. Т. 10. Р. 86-147.

21. Воронин Д.В. Вторичные акустические волны в полидисперсной пузырьковой среде / Д.В.Воронин, Г.Н.Санкин, В.С.Тесленко и др. // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 1. С. 22-32.

22. Заболотская Е.А. Взаимодействие газовых пузырьков в поле звуковой волны / Е.А.Заболотская // Акуст. журнал. 1984. Т. 30. Вып. 5. С. 618623.

23. Завтрак С.Т. К вопросу о силе взаимодействия Бьеркнеса двух газовых пузырьков в поле звуковой волны / С.Т.Завтрак // Акуст. журнал. 1987. Т. 33. № 2. С. 240-245.

24. Закиров К.Р. Числениое моделирование роста и схлопывания пузырьков в сжимаемой жидкости : дис. . канд. физ.-мат. наук / К.Р.Закиров ; Институт механики Уфимского научного центра РАН. -Уфа, 2005. 104 с.

25. Ильгамов М.А. Модели динамики несферического пузырька с учетом вязкости жидкости / М.А.Ильгамов, А.А.Аганин, Л.А.Косолапова и др. // Труды 16-сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Т. 16. Казань, 2002. С. 192-201.

26. Ильгамов М.А. Исследование эволюции формы пузырька газа в жидкости по уточненной модели / М.А.Ильгамов, Т.Ф.Халитова, Н.А.Хисматуллина // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конф. Т. 3. Уфа, 2008. С. 119-122.

27. Кнэпп Р. Кавитация / Р.Кнэпп, Дж.Дейли, Ф.Хэммит. М. : Мир, 1974. - 678 с.

28. Кобелев Ю.А. Эффект самопросветления для акустических волн в жидкости с пузырьками газа / Ю.А.Кобелев, Л.А.Островский, А.М.Сутин // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 30. Вып. 7. С. 423-425.

29. Косолапова Л.А. Исследование эволюции формы пузырька газа в жидкости по уточненной модели / Л.А.Косолапова, В.Г.Малахов // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конференции. Т. 3. Уфа, 2008. С. 119-122.

30. Кузнецов Г.Н. Взаимодействие пульсирующих пузырьков в вязкой жидкости / Г.Н.Кузнецов, И.Е.Щукин // Акуст. журнал. 1972. Т. 18. С. 565-570.

31. Ламб Г. Гидродинамика / Г.Ламб. М., Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947. - 929 с.

32. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г.Левич. М. : Физматгиз, 1959. - 699 с.

33. Маргулис М.А. Сонолюминесценции / М.А.Маргулис // Успехи физ. наук. Обзоры актуальных проблем. 2000. Т. 170. № 3. С. 263-287.

34. Маргулис И.М. Динамика взаимодействия пузырьков в кавитацион-ном облаке / И.М.Маргулис, М.А.Маргулис // ЖФХ. 2004. Т. 78. № 7. С. 1326-1337.

35. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1 / Р.И.Нигматулин. М. : Наука, 1987. - 464 с.

36. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И.Нигматулин. М. : Наука, 1978. - 336 с.

37. Перник А.Д. Проблемы кавитации / А.Д.Перник. Л. : Судпромгиз, 1963. - 336 с.

38. Рождественский В.В. Кавитация / В.В.Рождественский. Л. : Судостроение, 1977. - 248 с.

39. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э.Хайрер, С.Нерсетт, Г.Виннер. М.: Мир, 1990. -512 с.

40. Халитова Т.Ф. Численное моделирование сильного сжатия кавитаци-онного пузырька: дис. канд. физ.-мат. наук / Т.Ф.Халитова; Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН. -Казань, 2009. 120 с.

41. Afanasiev К.Е. Numerical investigation of three-dimensional bubble dynamics / K.E.Afanasiev, I.V.Grigorieva // Journal of Engineering Mathematics. 2006. V. 55. № 1-4. P. 65-80.

42. Akhatov I. Towards a theory of self-organization phenomena in bubble-liquid mixtures / I.Akhatov, U.Parlitz, W.Lauterborn // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. № 5. P. 4990-5003.

43. Asaki T.J. Equilibrium shape of an acoustically levitated bubble driven above resonance / T.J.Asaki, P.L.Marston // JASA. 1995. V. 97. P. 21382143.

44. Barber B.P. Defining the unknowns of sonoluminescence / B.P.Barber, R.A.Hiller, R.Lofstedt et al. // Phys. Rep. 1997. V. 281. P. 65-143.

45. Batchelor G.K. Transport properties of two-phase materials with random structure / G.K.Batchelor // Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. V. 6. P.227-255.

46. Benjamin T.B. Hamiltonian theory for motions of bubbles in an infinite liquid / T.B.Benjamin // J. Fluid Mech. 1987. V. 181. P. 349-379.

47. Benjamin T.B. Note on shape oscillations of bubbles / T.B.Benjamin // J. Fluid. Mech. 1989. V. 203. P. 419-424.

48. Benjamin T.B. Self-propulsion of asymmetrically vibrating bubbles / T.B.Benjamin, A.T.Ellis // J. Fluid. Mech. 1990. V. 212. P. 65-80.

49. Benjamin T.B. The collapse of cavitation bubbles and the pressures thereby produced against solid boundaries / T.B.Benjamin, A.T.Ellis // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1966. V. 260. № 1110. P. 221-240.

50. Best J.P. The formation of toroidal bubbles upon the collapse of transient cavities / J.P.Best // J. Fluid. Mech. 1993. V. 251. P. 79-107.

51. Bevir M.K. Numerical solution of incompressible bubble collapse with jetting / M.K.Bevir, P.J.Fielding // Moving boundary problems in heat flow and diffusion. Oxford, 1974.

52. Birkhoff G. Note on Taylor instability / G.Birkhoff // Quart. Appl. Math. 1954. V. 12. № 3. P. 306-309.

53. Birkhoff G. Stability of spherical bubbles / G.Birkhoff // Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. P. 451-53.

54. Bjerknes C.A. Hydrodynamische fernkrafte / C.A.Bjerknes. Leipsig : Verlagvon Wilhelm Engelmann, 1915.

55. Bjerknes V.F.K. Fields of force / V.F.K.Bjerknes. New York : Columbia University Press, 1906. - 173 p.

56. Blake J.R. Cavitation bubbles near boundaries / J.R.Blake, D.C.Gibson // Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. V. 19. P. 99-123.

57. Blake J.R. Collapsing cavities, toroidal bubbles and jet impact / J.R.Blake, M.C.Hooton, P.B.Robinson, R.P.Tong // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1997. V. 355. № 1724. P. 537-550.

58. Blake J.R. Acoustic cavitation: the fluid dynamics of non-spherical bubbles / J.R.Blake, G.S.Keen, R.P.Tong, M.Wilson // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1999. V. 357. P. 251-267.

59. Blake J.R. Interaction of two cavitation bubbles with a rigid boundary / J.R.Blake, P.B.Robinson, A.Shima, Y.Tomita // J. Fluid Mech. Digital Archive. 1993. V. 255. P. 707-721.

60. Blake J.R. Transient cavities near boundaries. Part 1. Rigid boundary / J.R.Blake, B.B.Taib, G.Doherty // J. Fluid Mech. Digital Archive. 1986. V. 170. P. 479-497.

61. Blake J.R. Transient cavities near boundaries Part 2. Free surface / J.R.Blake, B.B.Taib, G.Doherty // J. Fluid Mech. Digital Archive. 1987. V. 181. P. 197-212.

62. Blake J.R. The art, craft and science of modelling jet impact in a collapsing cavitation bubble / J.R.Blake, Y.Tomita, R.P.Tong // Appl. J. Sci. Res. 1997. V. 58. № 1-4. P. 77-90.

63. Boulton-Stone J.M. A comparison of boundary integral methods for studying the motion of two-dimensional bubble in an infinite fluid / J.M.Boulton-Stone // Com. Met. Apll. Mech. Eng. 1993. V. 102. P. 213234.

64. Brennen C.E. Cavitation and bubble dynamics / C.E.Brennen. New York : Oxford University Press, 1995. - 294 p.

65. Brujan E.A. The final stage of the collapse of a cavitation bubble close to a rigid boundary / E.A.Brujan, G.S.Keen, A.Vogel, J.R.Blake // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 1. P. 85-92.

66. Chahine G.L. Pressure field generated by non-spherical bubble collapse / G.L.Chahine, A.G.Bovis // Trans. ASME J. Fluid Eng. 1983. V. 105. P. 356-363.

67. Chahine G.L. Boundary element method for calculating 2-D and 3-D underwater explosion bubble behavior in free water and near structures / G.L.Chahine, R.Duraiswami // NSWC weapons research and technology departament report NCWCDD. TR-93. 44.

68. Doinikov A.A. Effects of the second harmonic on the secondary Bjerknes force / A.A.Doinikov // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. № 3. P. 3016-3021.

69. Doinikov A.A. Equations of coupled radial and translational motions of a bubble in a weakly compressible liquid / A.A.Doinikov // Phys. Fluids. 2005. V. 17. № 12. 128101(4).

70. Doinikov A.A. Influence of neighboring bubbles on the primary Bjerknes force acting on a small cavitation bubble in a strong acoustic field / A.A.Doinikov // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. № 5. P. 7516-7519.

71. Doinikov A.A. Mathematical model for collective bubble dynamics in strong ultrasound fields / A.A.Doinikov // JASA. 2004. Y. 116. № 2. P. 821-827.

72. Doinikov A.A. Translational motion of two interacting bubbles in a strong acoustic field / A.A.Doinikov // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 026301(6).

73. Doinikov A.A. Viscous effects on the interaction force between two small gas bubbles in a weak acoustic field / A.A.Doinikov // JASA. 2002. V. 111. № 4. P. 1602-1609.

74. Doinikov A.A. On the mutual interaction of two gas bubbles in a sound field / A.A.Doinikov, S.T.Zavtrak // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 8. P. 19231930.

75. Doinikov A.A. Radiation forces between two bubbles in a compressible liquid / A.A.Doinikov, S.T.Zavtrak // JASA. 1997. V. 102. № 3. P. 14241431.

76. Eller A. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field / A.Eller, L.A.Crum // JASA. 1970. V. 47. P. 762-767.

77. Feng Z.C. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonance / Z.C.Feng, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1994. V. 266. P. 209-242.

78. Feng Z.C. Nonlinear bubble dynamics / Z.C.Feng, L.G.Leal // Ann. Rev. Fluid Mech. 1997. V. 29. P. 201-243.

79. Feng Z.C. On energy transfer in resonant bubble oscillating / Z.C.Feng, L.G.Leal // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. 4. P. 826-836.

80. Fujikawa S. Dynamics of two nonspherical bubbles in liquids / S.Fujikawa, H.Takahira // Fluid Dynamics Research. 1988. V. 4. № 3. P. 179-194.

81. Gaines N. Magnetostriction oscillator producing intense audible sound and some effects obtained / N.Gaines // Physics. 1932. V. 3. P. 209-229.

82. Gaitan D.F. Observation of sonoluminescence from a single, stable cavitation bubble in a water/glycerin mixture / D.F.Gaitan, L.A.Crum // 12th Inter. Symp. On Nonl. Acoustics. New York, 1990. P. 459-463.

83. Gavrilyuk S.L. Drag force acting on a bubble in a cloud of compressible spherical bubbles at large Reynolds number / S.L.Gavrilyuk, V.M.Teshukov // Eur. J. Mech. B. Fluids. 2005. V. 24. № 4. P. 468-477.

84. Hall P. Nonlinear oscillations of non-spherical cavitation bubbles in acousticfields / P.Hall, G.Seminara // J. Fluid Mech. 1980. V. 101. P. 423444.

85. Hamilton M.F. Interaction of bubbles in a cluster near a rigid surface / M.F.Hamilton, Y.A.Ilinskii, G.D.Meegan, E.A.Zabolotskaya // JASA. 2005. V. 6. № 3. P. 207-213.

86. Hammitt F.G. Cavitation and multiphase flow phenomena / F.G.Hammit. New York : McGraw-Hill, 1980.

87. Hao Y. The effect of viscosity on the spherical stability of oscillating gas bubbles / Y.Hao, A.Prosperetti // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 6. P. 13091317.

88. Harkin A. Pulsation and translation of two gas bubbles / A.Harkin, T.J.Kaper, A.Nadim // J. Fluid Mech. 2001. V. 445. P. 377-411.

89. Harlow F.G. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surfaces / F.G.Harlow, J.E.Welch // Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 2182-2189.

90. Harper J.F. Growing bubbles rising in line / J.F.Harper // Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences. 2001. V. 5. № 2. P. 65-73.

91. Harris P.J. Interaction of an explosion bubble with a fixed rigid structure / P.J.Harris, A.Verma, R.Chakrabarti // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1999. V. 29. P. 389.

92. Hilgenfeldt S. Analysis of Rayleigh-Plesset dynamics for sonoluminescing bubbles / S. Hilgenfeldt, M.Brenner, S.Grossmann, D.Lohse //J. Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 171-204.

93. Hilgenfeldt S. Sonoluminescence light emission / S.Hilgenfeldt, S.Grossmann, D.Lohse // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 6. P. 13181330.

94. Hilgenfeldt S. Phase diagrams for sonoluminescing bubbles / S.Hilgenfeldt,

95. D.Lohse, M.Brenner // Phys. Fluids. 1996. V. 8. P. 2808-2826.

96. Hobson E.W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics /

97. E.W.Hobson. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1931.

98. Holt R.G. Observation of stability boundaries in the parameter space of single bubble sonoluminescence / R.G.Holt, D.F.Gaitan // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3791-3794.

99. Ida M. A characteristic frequency of two mutually interacting gas bubbles in an acoustic field / M.Ida // Phys. Lett. A. 2002. V. 297. P. 210-217.

100. Ida M. Alternative interpretation of the sign reversal of secondary Bjerknes force acting between two pulsating gas bubbles / M.Ida // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 056617.

101. Ida M. Avoided crossings in three coupled oscillators as a model system of acoustic bubbles / M.Ida // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. № 3. 036306.

102. Ida M. Investigation of transition frequencies of two acoustically coupled bubbles using a direct numerical simulation technique / M.Ida //J. Phys. Soc. Jpn. 2004. V. 73. P. 3026-3033.

103. Ilinskii Y.A. Bubble interaction dynamics in Lagrangian and Hamiltonian mechanics / Y.A.Ilinskii, M.F.Hamilton, E.A.Zabolotskaya // JASA. 2007. V. 121. № 2. P. 786-795.

104. Kang I.S. Bubble dynamics in time-periodic straining flows / I.S.Kang, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1990. V. 218. P. 41-69.

105. Kang I.S. Small-amplitude perturbations of shape for a nearly sphrical bubble in an inviscid straning flow (steady shapes and oscillatory motion) / I.S.Kang, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1988. V. 187. P. 231-266.

106. Kok J.B.W. Dynamics of a pair of gas bubbles moving through liquid. Part I. Theory / J.B.W.Kok // Eur. J. Mech. B. Fluids. 1993a. V. 12. № 4. P. 515-540.

107. Kok J.B.W. Dynamics of a pair of gas bubbles moving through liquid. Part II. Experiment / J.B.W.Kok // Eur. J. Mech. B. Fluids. 1993b. V. 12. № 4. P. 541-560.

108. Konovalova S.I. Structure formation in acoustic cavitation / S.I.Konovalova, I.Sh.Akhatov // Multiphase Science and Technology. 2005. V. 17. № 3. P. 343-371.

109. Kornfeld M. On the destructive action of cavitation / M.Kornfeld, L.Suvorov // J. Appl. Phys. 1944. V. 15. P. 495-506.

110. Kurbatskii K.A. Collapse of a bubble in the cavitation zone near a rigid boundary / K.A.Kurbatskii, V.K.Kedrinskii // JASA. 1992. V. 92. № 4. P. 2453.

111. Lamb H. Hydrodynamics / H.Lamb. Cambridge : Cambridge University Press, 1932. - 632 p.

112. Lautenborn W. Cavitation and inhomogeneities in underwater acoustics / Lautenborn W. (ed.). Heidelberg : Springer-Verlag, 1980.

113. Lauterborn W. Experimental investigations of cavitation-bubble collapse in the neighbourhood of a solid boundary / W.Lauterborn, H.Bolle // J. Fluid Mech. 1975. V. 72. P. 391-399.

114. Lee M. On the boundary integral method for the rebounding bubble / M.Lee, E.Klaseboer, B.C.Khoo // J. Fluid Mech. 2007. V. 570. P. 407429.

115. Leighton T.G. The acoustic bubble / T.G.Leighton. Academic Press, 1994. - 613 p.

116. Lenoir M. Calcul numerique de l'implosion d'une bulle de cavitation au voisinage d'une paroi ou d'une surface libre / M.Lenoir // J. Mec. 1976. V. 15. P. 725-751.

117. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 1. Normal modes / M.S.Longuet-Higgins // J. Fluid Mech. 1989a. V. 201. P. 525-541.

118. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 2. An initial-value problem / M.S.Longuet-Higgins // J. Fluid Mech. 1989b. V. 201. P. 543-565.

119. Longuet-Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations / M.S.Longuet-Higgins //J. Fluid Mech. 1991. V. 224. R 531-549.

120. Luther S. Modelling acoustic cavitation by a Lagrangian approach / S.Luther, R.Mettin, W.Laterborn // Nonlinear acoustics at the turn of the millennium. AIP Conf. Proc. 2000. V. 524. P. 351-354.

121. Mei C.C. Parametric resonance of a spherical bubble / C.C.Mei, X.Zhou // J. Fluid Mech. 1991. V. 229. P. 29-50.

122. Mettin R. Bjerknes forces between small cavitation bubbles in a strong acoustic field / R.Mettin, I.Akhatov, U.Parlitz et al. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. № 3. P. 2924-2931.

123. Mettin R. Bubble size distributions and structures in acoustic cavitation / R.Mettin, S.Luther, W.Lauterborn // Proc. of the 2nd conf. on ultrasound in processing. 1999. P. 125-129.

124. Mitchell T.M. Asymmetric cavitation bubble collapse / T.M.Mitchell, F.G.Hammit // Trans. ASME. 1973. V. 95. № 1. P. 29-37.

125. Mitchell T.M. Numerical and photographic studies of asymmetric bubble collapse / T.M.Mitchell, C.L.Kling, R.Cheeseweight, F.G.Hammit // Rep. № 07738-5-T. U. of Michigan, 1967.

126. Nourdine C. Statistical description of a cloud of compressible bubbles / C.Nourdine, S.L.Gavrilyuk // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2007. V. 18. № 7-8. P. 469-479.

127. Parlitz U. Spatio-temporal dynamics of acoustic cavitation bubble clouds / U.Parlitz, R.Mettin, S.Luther et al. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1999. V. 357. P. 313-334.

128. Plesset M.S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry / M.S.Plesset // J. Appl. Phys. 1954. V. 25. № 1. P. 96-98.

129. Plesset M.S. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary / M.S.Plesset, R.B.Chapman // Div. of Eng. and Appl. Science. Calif Inst, of Tech. Rep. № 85-49.

130. Plesset M.S. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary / M.S.Plesset, R.B.Chapman //J. Fluid Mech. 1971. V. 47. P. 283-290.

131. Plesset M.S. On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid / M.S.Plesset, T.P.Mitchell // Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. № 4. P. 419-430.

132. Plesset M.S. Bubble dynamics and cavitation / M.S.Plesset, A.Prosperetti // Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. V. 9. P. 145-185.

133. Popinet S. Bubble collapse near solid boundary: a numerical study of the influence of viscosity / S.Popinet, S.Zaleski // J. Fluid Mech. 2002. V. 464. P. 137-163.

134. Prosperetti A. Bubble dynamics: a review and some recent results / A.Prosperetti // Appl. J. Sci. Res. 1982. V. 38. P. 145-164.

135. Prosperetti A. Free oscillations of drops and bubbles: the initial-value problem / A.Prosperetti // J. Fluid^Mech. 1980. V. 100. P. 333-347.

136. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows / A.Prosperetti // Quart. Appl. Math. 1977. V. 34. P. 339-352.

137. Prosperetti A. Modeling of spherical gas bubble oscillations and sonoluminescence / A.Prosperetti, Y.Hao // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1999. V. 357. P. 203-223.

138. Putterman S.J. Sonoluminescence: How bubbles turn sound into light / S.J.Putterman, K.P.Weninger // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. V. 32. P. 445-476.

139. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity / Lord Rayleigh // Phylos. Mag. 1917. V. 34. P. 94-97.

140. Reddy A.J. Coupled dynamics of translation and collapse of acoustically driven microbubbles / A.J.Reddy, A.J.Szeri // JASA. 2002. V. 112. № 4. P. 1346-1352.

141. Roberts P.H. The decay of bubble oscillations / P.H.Roberts, C.C.Wu // Phys. Fluids. 1998. V. 10. P. 3227-3229.

142. Robinson P.B. Application of the boundary integral method to the interaction of rising two-dimensional deformable gas bubbles / P.B.Robinson, J.M.Boulton-Stone, J.R.Blake // Journal of Engineering Mathematics. 1995. V. 29. P. 393.

143. Ryskin G. Numerical solutions of free boundary problems in fluid mechanics. Part I. The finite-didderence technique / G.Ryskin, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1984a. V. 148. P. 1-17.

144. Ryskin G. Numerical solutions of free boundary problems in fluid mechanics. Part II. Buoyancy-driven motion of a gas bubble through a quiescent liquid / G.Ryskin, L.G.Leal //J. Fluid Mech. 1984b. V. 148. P. 19-36.

145. Ryskin G. Numerical solutions of free boundary problems in fluid mechanics. Part III. Bubble deformation in an axisymmetric strainig flow / G.Ryskin, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1984c. V. 148. P. 37-44.

146. Ryskin G. Orthogonal mapping / G.Ryskin, L.G.Leal //J. Comput. Phys. 1983. V. 56. P. 71-100.

147. Sanada T.Behavior of a pair of bubbles rising side by side at high Reynolds number / T.Sanada, A.Sato, M.Shirota, M.Watanabe // Am. Phys. Soc. 59th Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics. 2006.

148. Sankin G.N. Interaction between shock wave and single inertial bubbles near an elastic boundary / G.N.Sankin, P.Zhong // Phys. Rev. E. 2006. V. 74. 046304.

149. Sato K. Numerical analysis of a gas bubble near a rigid boundary in an oscillating pressure field / K.Sato, Y.Tomita, A.Shima // JASA. 1994. V. 95. P. 2416-2424.

150. Shaw S.J. Translation and oscillation of a bubble under axisymmetric deformation / S.J.Shaw // Phys. Fluids. 2006. V. 18. 072104.

151. Shima A. The collapse of a spherical bubble between near a solid wall / A.Shima, Y.Sato // J. Mec. 1981. V. 20. P. 253-271.

152. Shopov P.J. Interaction of a deformable bubble with a rigid wall at moderate Reynolds numbers / P.J.Shopov, P.D.Minev, I.B.Bazhlekov, Z.D.Zapryanov // J. Fluid Mech. 1990. V. 219. P. 241.

153. Stroud A.H. Gaussian quadrature formulas / A.H.Stroud, D.Secrest. -Englewood : Prentice-Hall, 1966. 374 p.

154. Taib B.B. Boundary integral methods applied to cavitetion bubble dynamics : PhD thesis / B.B.Taib ; Univ. Wollongong. Wollongong.

155. Taib B.B. Boundary integral methods applied to cavitetion bubble dynamics / B.B.Taib, G.Doherty, J.R.Blake // Proc.Cent. for Math. Anal. ANU Math. Prog, and Num. Anal Workshi. 1984. V. 6. P. 166-186.

156. Takahira H. Dynamics of a cluster of bubbles in a liquid (theoretical analysis) / H.Takahira, T.Akamatsu, S.Fujikawa // JSME International Journal. Ser. B. 1994. V. 37. № 2. P. 297-305.

157. Trevena D.H. Cavitation and tension in liquids / Trevena D.H. Bristol: Adam Hilger, 1987.

158. Tsamopoulos J.A. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles / J.A.Tsamopoulos, R.A.Brown // J. Fluid Mech. 1983. V. 127. R 519-537.

159. Wijngaarden L.van Mechanics and Physics of bubbles in liquids / L.van Wijngarden (ed.). The Hague : Nijhoff, 1982. - 392 p.

160. Wang Q.X. The evolution of a gas bubble near an inclined wall / Q.X.Wang // Theor. Сотр. Fluid Dynamics. 1998. V. 12. № 1. P. 29-51.

161. Williams J.E.F. On resonant nonlinear bubble oscillations / J.E.F.Williams, Y.P.Guo // J. Fluid Mech. 1991. V. 224. P. 507-529.

162. Wu C.C. On rectified diffusion and sonoluminescence / C.C.Wu, P.H.Roberts // Theor. Сотр. Fluid Dynamics. 1998. V. 10. P. 357-372.

163. Yang S.M. Nonlinear effects in the dynamics of shape and volume oscillations for a gas bubble in an external flow / S.M.Yang, Z.C.Feng, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1993. V. 247. P. 417-454.

164. Zardi D. Chaotic mode competition in the shape oscillations of pulsating bubbles / D.Zardi, G.Seminara // J. Fluid Mech. 1995. V. 286. P. 257-276.

165. Zhang Y.L. Simulation of three-dimensional bubbles using desingularized boundary integral method / Y.L.Zhang, K.S.Yeo, B.C.Khoo, W.K.Chong // International J. for Numerical Methods in Fluids. 1999. V. 31. P. 1311.

166. Zhang Z.Y. Surface tension effects on the behavior of a cavity growing, collapsing, and rebounding near a rigid wall / Z.Y.Zhang, H.S.Zhang // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 056310.

167. Zhang Z.Y. Surface tension effects on the behavior of two cavities near a rigid wall / Z.Y.Zhang, H.S.Zhang // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. 066302.b-7