автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование некоторых задач гидродинамики каналових течений

Г 3 с

На правах рукописи

Сулейменова Булдырык Байышевна

ЧИСЛЕННОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ КАНАЛ О ВЫХ ТЕЧЕНИЙ

05.13.16 - Применение вычислительной техники , математического моделирования и математических методов в научных исследованиях .

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы - 1997

Работа выполнена на кафедре вычислительной и прикладной математики Казахского государственного национального университета

им. Аль-Фараби.

Научные руководители : - доктор технических наук,

академик МИА Жумагулов Б. Т.,

кандидат физико-математических наук, доцент Темирбеков Н. М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, проф. Неронов B.C.

доктор физико-математических наук, проф. Шерьязданов Г.Б.

Ведущая организация: - Республиканский Центр новых

информационных технологий Минобразования и науки Кыргызской Республики

Защита состоится "25" декабря 1997 г. в "14.00"часов на заседании диссертационного совета К 14/А. 01.14 при Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: г. Алматы , ул. Масанчи , 39/47, механико-математический факультет.

~ Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 480121, г.Алматы, Тимирязова, 46, КазГУ, ученому секретарю (для Нысанбаевой С.А.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 24 ноября 1997 г.

Ученый секретарь -

диссертационного совета / ( Нысанбаева С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. При исследовании прикладных задач физики и техники методом вычислительного эксперимента приходится эазрабатывать численные методы решения математических задач, вписываемых сложными системами нелинейных уравнений в частных 1роизводных. Магнитная гидродинамика .теория фильтрации дают иирокий класс задач такого рода.Течение вязкой несжимаемой жидкости з поперечном магнитном поле, течение через пористые среды вписывается нелинейными уравнениями Навье-Стокса. Так как эти /равнения нелинейные, решать их известными аналитическими методами затруднительно. Поэтому даже частичный анализ решения юльзя осущесгвить, не прибегая к вычислительным машинам, (арактерным для таких задач является присутствие в уравнений 1вижения жидкости члена с быстроменяющимися коэффициентами. В :вязи с этим построение эффективных итерационных методов, скорость ¡ходимости которых независит от величины разброса коэффициентов, [ля задач магнитной гидродинамики и их математическое обоснование вляется актуальной проблемой.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является сследование приближенного метода решения математических задач, писываемых сложными системами нелинейных уравнений в частных

производных. К такому роду задач относятся исследования плоских задач гидродинамики, численные исследования течения вязкой несжимаемой жидкости в канале под воздействием внешних электромагнитных сил, течения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольном канале через пористые перегородки с неполнозаданными граничными условиями.

Научная новизна работы состоит в изучении задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. В частности :

- построена разностная схема с весами для модели магнитной газо -вой динамики в массовых Лагранжевых переменных ;

- получены основные априорные оценки ;

-доказана теорема об устойчивости решения по начальным данным;

- доказана теорема о сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи;

- решена задача течении жидкости в канале с параллельными стенками в неоднородном поперечном магнитном поле;

- решена задача численного моделирования процесса течения жидкости через пористые среды в переменных скорость,функция тока методом разделения области;

- решена задача численного моделирования движения жидкости через пористые среды с неполнозаданными граничными условиями.

Теоретическое и практическое значение результатов. В

юследние годы с развитием ЭВМ наряду с физическим экспериментом иироко используется на практике вычислительный эксперимент, поэтому зазработка математических моделей и создание на их основе пакетов !рикладных программ для расчета гидродинамических и магнито-идродинамических характеристик различных магнитогидродина-лических устройств имеет теоретическую и практическую ценность.

Численные методы для решения системы уравнений магнитной ги-(родинамики, предложенные в настоящей работе являются |ффективными для решения прикладных задач.

Созданные прикладные программы позволяют численно моделиро-1ать течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале при взаи-юдействии поперечного магнитного поля, на основе полных уравнений 1агнитной гидродинамики. Моделирование течения жидкости через ористую вставку является одним из эффективных итерационных !етодов.

Пакет прикладных программ может быть использован для пределения значения давления на входном сечении канала сложной юрмы с пористой вставкой.

Степень достоверности научных положений и результатов. При ¡атематическом обосновании разностных схем полученные результаты

сформулированы в виде теорем, при доказательстве которых использо -вались известные теоремы и неравенства.

Результаты численного решения задачи о течении в канале с параллельными стенками в неоднородном поперечном магнитном поле согласуются с решениями этой задачи на более простой модели. Полученная картина течения жидкости через пористую среду качественно согласуется с известными экспериментальными работами. Все полученные численные результаты приведены в диссертационной работе в виде графиков и изолинии.

Основные положения, выносимые на защиту:

- теоремы об устойчивости по начальным данным для разностных схем с весами для модели магнитной газовой динамики в массовых Лагранжевых переменных;

- теорему о сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи магнитной газовой динамики;

- метод численного решения двумерной начально - краевой задачи магнитной гидродинамики;

- метод численного моделирования течения жидкости через пористые среды в переменных скорость, функция тока разделением на подобласти;

- численное решение задачи о течении жидкости через пористые среды с неполнозаданными граничными условиями.

Апробация работы. Основные положения и результаты, изложенные в диссертации, докладовались на научных семинарах кафедры вычислительной и прикладной математики КазГУ им. Аль-Фараби под руководством д. ф. - м. н. , профессора , академика ИА РК Смагулова Ш.С. , на семинаре член-корр.НАН РК, д.ф.-м.н., профессора Отельбаева М.О., на семинаре "Механика жидкости газа и плазмы" под руководством член-корр. НАИ РК проф. д.т.н. Ершина Ш.А. ,на международной научно - технической конференции (г. Актау, 1996); на Казах-станско - Российской научно - практической конференции (г.Алматы, 1997).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в семи опубликованных работах.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа изложена на 113 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 84 наименований и включает 28 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы, определяется цель и задачи исследования, новизна полученных результатов и их

практическая значимость. Формулируется кратко содержание диссертации.

Данная диссертация посвящена численному моделированию течения вязкой несжимаемой жидкости в канале под воздействием внешних электромагнитных сил. Эти течения описываются нелинейными уравнениями гидродинамики и уравнениями магнитной индукции, полученными преобразованием уравнений Максвелла и закона Ома.

В первой главе "Разностные схемы для уравнений магнитной газовой динамики" рассматривается начальнокраевая задача для одномерных уравнений магнитной газодинамики.

Рассматривается начально-краевая задача для модели магнитой газовой динамики в массовых Лагранжевых переменных:

дх ~~

(1.1)

(1.2)

(1.4)

с начальными условиями

и, Э, в, Н\ (=0=Ч),Л' Зр^

0< щ < 30 < Ц < ос, 0 < 0О < М1 < ос

С граничными условиями

д О

и-—=Н=0 прид-=0ил=1

дх

(1.5)

(1.6)

(1.7)

>0 (1-3)

Заменим дифференциальную задачу (1.1) - (1.7) разностной схемой с

весами

,п+1

^ ^--а.и^-а-а^^О ,1=1,..., К (1.9)

А\.

и"+1 -и?

Д1

= Ц

иг

1/2/,

-и

+ 1-1/2 ;

Д11 + 1 ДП

°|-1/2 " °|-1/2

= А.

ап+1 4-1/2 X

■ц«нгщ (1.10)

-Я-

+а - о-ж^а2з?://2 + а - ъж^

+ (1 - а. И",,, I + ц-^-М-5-

М2

Ис^Н

а",,, ^—+ н"и°, = цн

н„-1 _ н„

Н"

(1.1 и

(1.12)

где вещественные параметры а ; таковы что, если 0 < <2; <1 если

^ Оз то О, = <23 = сс4 = 0, или а2 = а5 = а6 = а4 = а1 = 0, а если «1 = 0 то = О

ИЛИ — — ^

и, - II,

и" = и" = О 9"п = 9'»\п = Н" = Н" = 0 ,

и Л' ' 1/2 Л-1/2 и Л '

Положим, что:

а; =(} = ,

Тогда схема (1.9)-(1.12) имеет вид:

(1.14)

о 11+1 _ п п

¿X

и;1+| - и"

м

= ц

п+1 \

1 ,м!1 ^.Гб^'/г и1 -К|- -

П+1 к

V.® ¡-1/2

п+1

(1.15)

(1.16)

1/2/

2)11+1 ап1 (дп+1 \

= я.

9

М1+) _ пг ¡-1/2 ¿-1/2

м

„ НГ' - Н;1

'-1/2

^¡-1/2/

УН/2 ^¡-1/2 1-1/2

1-1/2

АХ

' 1 4 Щ+1

9;

¡1+1 IX

(1.18)

4^-1/2 /х

с условиями (1.13), (1.14).

Для этой задачи построена разностная схема с весами. Доказана теорема 1, где получены основные априорные оценки, которые показывают ограниченность норм производных приближенных решений. Далее,

вают ограниченность норм производных приближенных решений. Далее, доказаны: теорема 2 - об устойчивости решения разностной задачи по начальным данным; теорема 3 - о сходимости решения разностной задачи по начальным данным; теорема 3 - о сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задаче (1.1) -(1.7). Основные априорные оценки получены методом энергетических неравенств. Предполагая малость ¿V и используя лемму Гронуоллы получено неравенство, доказывающее теорему об устойчивости по начальным данным. .

В § 1. 5 первой главы рассматривается задача о течении в плоском

канале с параллельными стенками в неоднородном поперечном магнит—>

ном поле . При исключении неизвестного вектора Е из системы уравнений, граничное условие переходит в граничное условие

^Ц/^^^ при численном решении неудобно решать уравнение

магнитной индукции с таким граничным условием. Поэтому, в двумерном

случае, если ввести вспомогательную функцию ^.х, , то

получим задачу с граничными условиями первого рода для (О. Затем напряженность магнитного поля определяем из системы

сН,

---= со ,

дхх дхг

Ж, Шг п —1 + —-= О

дхх дхг

с граничными условиями Нп ; Л = 0 .

Уравнения механики для определения скорости жидкости и давления можно решать схемой расщепления по физическим процессам. Уравнение индукции, полученные из уравнении электродинамики, численно решается вышеуказанным методом.

Для иллюстрации возможностей вышеуказанного алгоритма были проведены численные расчеты на ЭВМ задачи о течении жидкости в плоском канале с параллельными стенками в неоднородном поперечном магнитном поле. Результаты численных расчетов приведены на рисунках 1 и 2. Решение предсказывают сильную немонотонность профилей скорости в направлении оси, перпендикулярной внешнему магнитному полю. В пограничных слоях на границе подобластей , с воздействием и без воздействия магнитного поля, компонента скорости и уменьшается и, кроме того, образуются небольшие зоны обратного течения.

Вторая глава - "Конечно - разностные методы решения уравнений для вязкой несжимаемой жидкости с разрывными коэффициентами" -посвящена разработке численных методов решения уравнений Навье-

Стокса в естественных переменных и в переменных функция тока , вихрь скорости.

В § 2.1, § 2.2 этой главы для численного решения системы нелинейных уравнений, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости через пористую среду, используется схема расщепления по физическим процессам. В разностной схеме, вводя сеточную функцию тока, избавляемся от решения эллиптического уравнения для давления. Такой подход к решению уравнений Навье - Стокса был предложен в работах Смагулова Ш. С. , Данаева Н.Т., Жумагулова Б.Т., Темирбекова Н. М. и успешно применялся для решения задач внутренного обтекания. Для численного определения функций тока получается эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами, но с граничными условиями первого рода.Коэффициенты этого уравнения являются быстроменяющимися, поэтому более эффективно применить метод разделения области.

В § 2.3 подробно изложен численный аналог альтернирующего метода Шварца на примере эллиптического разностного уравнения с силь-номеняющимися в подобластях коэффициентами при старшей производной. Для определения зависимости скорости сходимости численного аналога альтернирующего метода Шварца решена тестовая задача. Результаты численных расчетов показывают, что скорость сходимости

' метода оказывается тем выше, чем массивнее перекрытия подобластей. Количество итерации для достижения требуемой точности почти не зависит от разброса коэффициентов уравнения.

Численные результаты показывают неэффективность применения этого метода, когда толщина подобласти о2 имеет значительные размеры , т.к. для решения в этой подобласти применялся метод матричной прогонки и с увеличением количества узлов сетки подобласти размер матрицы, которую необходимо обращать и запоминать в памяти ЭВМ , увеличивается.

В § 2.4 численно моделируется процесс течения жидкости через пористые в переменных скорость, давление. Для определения функции тока на каждой внутренней итерации мы сталкиваемся с пятиточечным разностным уравнением с сильноменяющимися коэффициентами в подобластях. Эффективность известных итерационных методов для решения таких уравнений, за исключением попеременно-треугольного метода, существенно снижается.Так как подобласть резкого изменения коэффициента по ширине мала, эффективно использовать численный аналог классического альтернирующего метода Шварца.

Численные расчеты проводились в широком диапазоне изменения входных параметров. Результаты численных расчетов представлены в

виде графиков (рисунки 3,4,5,6) . Картина течения в плоском канале согласуется с ранее известными экспериментальными данными.

В § 2.5 численно моделируется движение жидкости через пористую среду с неполнозаданными граничными условиями.Здесь рассматривается задача внутреннего обтекания жидкости с граничными условиями на касательную составляющую скорости и давления на входе и выходе. При такой постановке возникают дополнительные трудности для определения граничных условий для вихря скорости на этих границах. На входной грани це для вихря скорости получается граничное условие вида

из уравнения движения, представленного в форме Громэка - Лэмба и граничных условий в первоначальной физической постановке. Аналогичное граничное условие получается на выходной границе .

Для численного решения системы уравнений в переменных функция тока, вихрь скорости используется трехслойная разностная схема. После нахождения приближенного стационарного решения уравнений не известное значение давления пересчитызается из

соотношения, где У - любая кривая, соединяющая границы АВ и РМ. По предложенному конечно - разностному методу проводились

численные расчеты. Проводилась процедура оптимизации итерационного параметра. Результаты численных расчетов приведены в виде графиков. Например, на рис. 7 - значения давления на входе в канал без пористой вставки, на рис.8 - значения давления на входе в канал с пористой вставкой .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследованы вопросы устойчивости разностной схемы с весами для одномерных уравнений магнитной газодинамики (неизотермический случай).

2. Строго математически доказаны теоремы сходимости.

3. Предложен метод для численного решения уравнений магнитной гидродинамики. По этой методике решена задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в поперечном магнитном поле.

4. Разработана разностная схема для численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость, функция тока методом разделения области с налеганием подобластей.

Для численного решения эллиптического уравнения с переменными коэффициентами используется численный аналог альтернирующего метода Шварца.

5. Разработан метод определения неизвестного значения давления на входном сечении канала.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сулейменова Б.Б. Разностные схемы с параметрами для уравнения магнитной газовой динамики. { неизотермический случай). -Алматы,

1995. - 18 с. - Деп. в КазГосИНТИ 17.02.95, № 5846 - Ка 95.

2. Сулейменова Б.Б. Разностные схемы с параметрами для уравнения магнитной газовой динамики. ( неизотермический случай). -Алматы,

1996. - 23 с. -(Препринт / Министерства науки-Академии наук РК , ин-т механики и машиноведения).

3. Сулейменова Б. Б.Численное моделирование течения жидкости через пористую вставку методом разделение области. -Алматы, КазГУ, //Ж. Вестник КазГУ, 1997 г. - N7,- с. 204-211.

4. Сулейменова Б. Б., Жумагулов Б. Т. ,Темирбеков Н . М. Моделирова -ние гидродинамики в пористых средах методом разделения области. -Алматы,1996 г. -14 с, (Препринт/ ПАРК ,№19).

5. Сулейменова Б. Б. , Темирбеков Н. М. Об одном методе численного решения краевой задачи магнитной гидродинамики. - Алматы, // Ж. Вестник КазГУ, 1997., № 8. - с.158-169.

•6. Сулейменова Б. Б. , Темирбеков Н. М. Численное решение уравне -ние движения жидкости среды альтернирующим методом Шварца. //Тезисы международной научно-технической конф. 22-24 мая 1996. -Актау, 1996 г.-с. 121.

7. Сулейменова Б. Б., Темирбеков Н . М .Об одном методе численного решения краевой задачи магнитной гидродинамики. // Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности. : Материалы Казахстан -с ко - Российской научно - практической конференции, 16-17 октября 1997. -Алматы, 1997.-е. 114.

Рис. 1. Профиль компоненты скорости Ц.на выходе.

Рис.& Компоненты скорости V при входе в подобласть с воздействием магнитного поля

Рис. 3. Профиль скорости и зз псрйотсй-встазкой,

Рис. 'Ii ; Профиль скороста и на выходе.

J_I_I_I_I_I_I_I_1.

О.Со"""о.~2о" 0.40 О.бсГ 0780 1X0 120 1.40 гесГ^ 1.5" , 2.со

Рис.£ Изолинии функции тока при Пе=100

J_I !_(_|__|__Ц

Рис.(ГИзолинии функции тока при Яе=500

12

.^iC'tJtKjv'» «. ------------------—. - J

Hf^^ssuasernseaméat.

. --------,—,—

2 {bíépg^^^i^z:

0 +

?ис. 7. Значения дг.ьлеккк на гхсдг е без лоркогой гставк::.

Ркс. &

Значения Д£.вка входе в каизл С ПОРИСТОЙ ВСГН2КС-Й.

Сулейменова Б.Б. Канал агысыныц гидродинамикасыньщ кейбф есептерж сандык моделдеу.

Тужырымдама

Бул жумыста магнит ерюжщ эсершдеп туткыр сыгылатын газ згалысынын, тен,деу!н курылган б!р параметрл! айырымдык, схе-;ньщ орныктылыры мен жинак;тылыгы зерттелген.Магнитп'к ги-одинамика тендеулерЫ сандык шешу тэс"1л'| к,урылган.Осы тэсш лденец магнит ерю! эсер етет1н туткыр суйык агысы жайында еп шыгарылган. Есептелген сандык, шеш|'мдер график туртде ршген.

Облысты белу тасш!мен жылдамдык;, ток функциясы -(ымалы -ларымен жазылган Навье-Стокс тецдеулер!н сандык шуге ар- налган айырымдык схема тургызылган.

Каналдьщ суйык; енет'ш к,имасындагы к;ысым мэн'ш есептеуге ^лган тает туррызылран.Суйьщтын к1рет1'н жэне шыгатын ара-ктарына шекаралык; шарттар кою мэселелер:' карастырылган.

Syleimanova Buldirik Baichevna

Numerical modelling some problems hydrodynamics channels streams.

Problems of the difference scheme stability with the weights for one-ansion magnetic gas-dynamics equations are investigated. The theorems Dnvergence are strictly mathematically proved. The method for numerical tion of the magnetic hydrodynamics equation is elaborately. Difference finite scheme for numerical solution of the Navie-Stocks ations with in velocity variables and current function by partitioning of the )n are elaborated with subregion overlapping.

The urethra for finding of the unknown value for presser variable at the t of the channel is elaborated.