автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Численное моделирование кремниевых многослойных структур и разработка пакета программ для проектирования диодов и тиристоров

ВВВДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Физические особенности работы мощных полупроводниковых структур

1.2. Методы численного моделирования характеристик полупроводниковых структур

1.3. Постановка задачи исследования

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ

2.1. Квазигидродинамическое приближение для описания процесса переноса носителей заряда в полупроводниковых структурах

2.2. Уравнения переноса и соотношение Эйнштейна в полупроводниках в условиях сильного электронно-дырочного рассеяния

2.3. Эффекты сильного и неоднородного легирования

2.4. Влияние эффектов сильного и неоднородного легирования на перенос носителей заряда в полупроводниковых структурах

2.5. Выводы к главе

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ФУВДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЫ

3.1. Уравнения математической модели полупроводниковой структуры

3.2. Разностная схема

3.3. Пакет программ дан численного моделирования силовых диодов и тиристоров

3.4. Выводы к главе

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК СИЛОВЫХ ДИОДОВ И ТИРИСТОРОВ

С ПОМОЩИ) ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ

4.1. Введение

4.2. Анализ вклада нелинейных физических эффектов в прямую ВАХ СПП

4.3. Анализ вклада нелинейных физических эффектов в переходный процесс восстановления р+-п-п+ структуры

4.4. Численное моделирование процесса выключения мощных тиристоров

4.5. Численное моделирование статической вольт-амперной характеристики диода Шоттки

4.6. Выводы к главе

Актуальность, В настоящее время прогресс в области силовой полупроводниковой электроники в значительной мере определяется созданием приборов с оптимальным сочетанием электрических характеристик. Взаимосвязь различных характеристик приборов с одной стороны затрудняет проведение оптимизационных расчетов, а с другой стороны требует повышения точности используемых при расчете моделей. С этой точки зрения возможности аналитических моделей, содержащих ряд существенных упрощений (например разбиение полупроводниковой структуры на области сильного поля и квазинейтральные области, использование различных приближений при решении уравнения негферывности и т.д.) оказываются явно недостаточными для адекватного описания процессов переноса носителей заряда в многослойных полупроводниковых структурах в широком диапазоне изменения внешних условий (температура,, излучение) и параметров, определяющих режим работы прибора (плотность прямого тока, напряжение и т.д.). В этих условиях единственным возможным выходом является переход к использованию универсальных численных моделей, основанных на решении фундаментальной системы уравнений полупроводникового прибора разностными методами. Такие модели позволяют учитывать сложные профили распределения различных электрофизических параметров по толщине полупроводниковой структуры. Большой объем литературы, посвященный численному моделированию полупроводниковых структур, опубликованный за последние годы, свидетельствует о перспективности этого направления.

Отметим, что позволяя преодолеть ряд сложных математических трудностей, связанных с решением фундаментальной системы уравнений полупроводникового прибора, переход к численному моделировакию ставит новые проблемы, обусловленные необходимостью повышения физической адекватности исходных математических соотношений, лежащих в основе моделей. Основой успешного применения численных моделей является, в первую очередь, адекватность учета основных физических эффектов, определяющих перенос носителей заряда в полупроводниковых структурах. В приборах силовой электроники такую роль играрт нелинейные эффекты, обусловленные высоким уровнем инжекции и сильным легированием. В кремнии, являющимся основным материалом при создании приборов силовой электроники, наиболее значительное влияние на перенос носителей заряда оказывают эффекты электронно-дырочного рассеяния, Оже-рекомбинация, эффекты сильного легирования в том числе снижение времен жизни и подвижности носителей заряда,, а, также сужение ширины запрещенной зоны в сильно легированных областях.

К моменту начала работ над диссертацией, в литературе существовало два взаимоисключающих подхода к учету электронно-дырочного рассеяния. В рамках первого из них предполагалось, что учет электронно-дырочных столкновений приводит к уменьшению подвижностей носителей заряда, и соответствующему уменьшению коэффициентов диффузии, при этом соотношение Эйнштейна не нарушается. В рамках другого подхода считалось, что снижение подвижностей носителей заряда, тем не менее не приводит к снижению амбиполярного коэффициента диффузии. Иными словами, использование этого подхода, приводит к необходимости отказаться от использования соотношения Эйнштейна, при учете электронно-дырочного рассеяния.

Разрешение возникающего противоречия представляет общий интерес для физики полупроводников и составляет одну из основных задач нашего исследования.

Отметим также, что соотношение Эйнштейна имеет также большое прикладное значение для физики полупроводниковых приборов, обусловленное тем, что построение эффективной конечно-разностной аппроксимации, необходимой для проведения численных расчетов существенно упрощается при его использовании. С этой точки зрения отказ от использования соотношения Эйнштейна, если этого действительно требуют особенности электронно-дырочных столкновений в полупроводнике существенно ухудшает характеристики алгоритмов численного моделирования в областях больших плотностей токов. В связи с этим тема работы, посвященной исследованию и установлению обобщенных уравнений переноса носителей заряда в полупроводниках, с учетом влияния совокупности эффектов высокого уровня инжекции и сильного легирования в различных слоях полупроводниковых структур, определение обобщенного соотношения Эйнштейна в полупроводниках и на основе этого разработка и анализ численного алгоритма решения фундаментальной системы уравнений прибора, является весьма актуальной.

Целью диссертационной "работы является:

- Вывод обобщенных уравнений переноса носителей заряда в полупроводниках, учитывающих совокупность эффектов сильного легирования и нелинейных эффектов, обусловленных взаимодействием подвижных носителей заряда друг с другом.

- Установление обобщенного соотношения Эйнштейна в полупроводниках.

- Разработка численной модели для расчета характеристик приборов силовой электроники (диодов, тиристоров, диодов ШотткиХ основанной на решении обобщенных уравнений переноса.

- Установление связи электрофизических, геометрических и технологических параметров структур с внешними электрическими характеристиками, сравнительный анализ вклада различных нелинейных эффектов в статические и динамические характеристики приборов,

- Разработка пакета, прикладных программ для расчета и моделирования характеристик силовых полупроводниковых приборов.

Разработка выполнялась в рамках целевой комплексной программы "Создание и использование в народном хозяйстве силовой полупроводниковой техники".

Основные научные положения» выносимые на защиту

1. Вывод макроскопических уравнений переноса носителей заряда, для электронно-дырочной плазмы полупроводников, показывающий, что для кроме обычных диффузионных и дрейфовых компонент уравнения содержат также компоненты увлечения, определяемые взаимным рассеянием подвижных носителей заряда друг на друге.

2. Матричное обобщение соотношения Эйнштейна для электрон-но-дырочной плазма полупроводника. Недиагональные элементы матриц подвижностей и коэффициентов диффузии обусловлены рассеянием друг на друге частиц разного типа. В пределе нулевой частоты столкновений частиц разного типа, недиагональные элементы обращаются в ноль и матричное соотношение Эйнштейна вырождается в обычные . соотношения для каждой из компонент.

3. Конечно-разностная аппроксимация выражений для плотностей токов носителей заряда, являющаяся обобщением разностной аппроксимации Шарфеттера-Гуммеля на случай, когда в уравнениях переноса носителей заряда в полупроводниках появляются перекрестные слагаемые, обусловленные электронно-дырочными столкновениями.

4. Эффективный алгоритм численного решения фундаментальной системы уравнений полупроводникового прибора, позволяющий осуществлять физически адекватный расчет статических и динамических характеристик полупроводниковых структур с учетом совокупности нелинейных эффектов высокого уровня инжекции и сильного легирования.

5. Учет электронно-дырочного рассеяния изменяющий соотношение вкладов нелинейных эффектов по сравнению с численными моделями известными ранее. В области рабочих плотностей токов вклад электронно-дырочного рассеяния в прямую ветвь вольт-амперной характеристики превышает вклад Оже-рекомбинации в два раза, а не в пять, как считалось ранее. Корректный учет электронно-дырочных столкновений не влияет на характер распределения заряда в базовом слое и практически не оказывает влияния на длительность фазы высокой обратной проводимости при восстановлении мощных р-п-п+ структур.

6. Эффект немонотонной зависимости прямого падения напряжения на диоде Шоттки от давня легирования базового слоя. Качественное объяснение этого эффекта, подтвержденное детальными численными расчетами, которые показали, что этот эффект обусловлен наличием непромоАудированного подвижными носителями заряда участка базового слоя структуры вблизи контакта, с металлом.

Научная новизна. Разработаны математические модели процессов переноса носителей заряда в полупроводниковых структурах, корректно описывающие различные механизмы рекомбинации и рассеяния носителей заряда, включая Оже-рекомбинацию, электронно-дырочное рассеяние, эффекты сильного и неоднородного легирования.

В рамках квазигидродинамического приближения получены обобщенные уравнения переноса носителей заряда в полупроводниках, учитывающие совокупность нелинейных эффектов сильного легировав ния и высокого уровня инжекции.

Показано, что в электронно-дырочной плазме полупроводников соотношение Эйнштейна имеет матричный вид в пространстве индексов, определяющих тип плазменных частиц.

Построена интегральная конечно-разностная аппроксимация уравнений непрерывности, основанная на использовании матричного соотношения Эйнштейна и являющаяся обобщением разностной аппроксимации Шарфеттера-Г^ммеля.

Разработаны и исследованы вычислительные алгоритмы, реализующие математические модели физических процессов в биполярных полупроводниковых приборах.

Проведен анализ вклада различных нелинейных физических эффектов в статические и динамические характеристики многослойных полупроводниковых структур.

Установлен эффект немонотонной зависимости прямого падения напряжения на диоде Шоттки от уровня легирования базового слоя. Предложено качественное объяснение этого эффекта, подтвержденные детальными численными расчетами.

Практическая ценность. Разработаны математические модели, алгоритмы и программы для одномерного анализа статических и динамических процессов в биполярных полупроводниковых диодах, тиристорах, диодах Шоттки.

Разработанные программы объединены в пакет "Исследование", позволяющий рассчитывать совокупность статических и динамических характеристик указанных выше силовых приборов.

Пакет программ "Исследование" прошел апробацию и внедрен на предприятиях подотрасли ПО "Преобразователь" (г. Запорожье), СКТБ ПТ (г. Ставрополь), а также в ФТИ им. А.Ф. Иоффе (г. Ленинград).

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:

1. Всесоюзная научно-техническая конференция "Основные направления в области развития технологии, конструирования и исследования силовых полупроводниковых приборов", г. Молодечно, 1984 год.

2. Всесоюзная научно-техническая конференция "Создание комплексов электротехнического оборудования высоковольтной преобразовательной и сильноточной электроники", г. Москва 1986 год.

3. Республиканская конференция "Численные методы и средства проектирования и испытания элементов РЭА", Эстонская ССР, г.Тал-линн!987 год.

4. Школа^семинар "Математическое и машинное моделирование в микроэлектронике", Литовская ССР, г. Паланга 1988 год.

Научные результаты диссертационной работы содержатся в следующих публикациях:

1. "О соотношении Эйнштейна в полупроводниках в условиях сильного электронно-дырочного рассеяния". - ФТП, т. 18, Вып. 7, 1984 г., стр. 1293-1296. в соавторстве с Мнацакановым Т.Т., Филатовым Н.И.)

2. "Исследование влияния нелинейных физических эффектов на вольт-амперную характеристику кремниевых многослойных структур с помощью исследования на ЭВМ". - Радиотехника и электроника, 1986 г., Вып. 9, стр. I848-1853. в соавторстве с Мнацакановым Т.Т., Филатовым Н.И.)

3. "Исследование численного алгоритма моделирования мощных полупроводниковых структур в проводящем состоянии". - Электронное моделирование, 1986 г., т. 8, № I, стр. 40-43. в соавторстве с Мнацакановым Т.Т., Филатовым Н.И.)

4. Эффективный алгоритм физико-топологического моделировав ния биполярных полупроводниковых приборов с учетом совокупности нелинейных эффектов сильного легирования и высокого уровня ин-жекции. - Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника, том 30, № 6, 1987 г., стр. 30-36. в соавторстве с Мнацакановым Т.Т., Филатовым Н.И.)

5» Investigation of the effect of nonlinear physical phenomena on charge carrier transport in semiconductor devices. - Solid State Electronics, vol, 30, Я 6, p.p, 579-585, 1987. (в соавторстве с Мнацакановым Т.Т., Филатовым Н.И.)

6. Обобщенные уравнения переноса носителей заряда в биполярных полупроводниковых структурах, учитывающих совокупность эффектов сильного легирования и высокого уровня инжекции. -В сборнивв тезисов докладов конференции "Численные методы и средства, проектирования и испытания элементов РЭА", г. Таллинн 1987, стр. 100-103.

4.6. Выводы к главе 4

I. Проведен сравнительный анализ вкладов различных нелинейных эффектов в прямую ветвь вольт-амперной характеристики диодных и тиристорных структур.

Показано, что корректный учет электронно-дырочных столкновений изменяет соотношение вкладов нелинейных эффектов по сравнению с численными моделями, известными из литературы.

Показано, что по величине вклада, вносимого в прямую ветвь вольт-амперной характеристики, рассматриваемые нелинейные эффекты могут быть расположены в следующем порядке: а.) электронно-дырочное рассеяние, б) Оже-ре комбинация, в) сужение запрещенной зоны.

Показано, что в области рабочих гоютностей токов вклад электронно-дырочного рассеяния в прямую ветвь вольт-амперной характеристики превышает вклад Оже-рекомбинации всего в два раза, а не в пять раз, как считалось ранее в друтих работах, известных из литературы.

2. С помощью численной модели показано, что при корректном учете электронно-дырочных столкновений электронно-дырочное рассеяние не оказывает влияния на распределение подвижных носителей заряда в базовом слое мощной полупроводниковой структуры. Этот результат полностью коррелирует с аналитическими решениями, полученными в работах ряда авторов и полностью опровергает результаты численных расчетов, полученных в рамках предыдущих численных моделей, известных из литературы. Таким образом удалось ликвидировать противоречие, существовавшее в литературе между численными и аналитическими моделями.

3. Показано, что при корректном учете электронно-дырочных столкновений электронно-дырочное рассеяние практически не оказывает влияния на длительность фазы высокой проводимости при восстановлении мощных р+-п-п+ структур. Полученный вывод существенно отличается от результатов, полученных в рамках известных из литературы численных моделей. По величине вклада в длительность фазы обратного восстановления исследуемые нелинейные эффекты могут быть расположены в следующем порядке: а) Оже-рекомбинация, б) сужение запрещенной зоны, в) электронно-дырочное рассеяние.

4. Разработан вариант программы для расчета характеристик тиристорных структур, позволяющий учитывать неоднородность распределения глубоких уровней по толщине структуры. Проведен анализ влияния вида распределения глубоких уровней на статические и динамические характеристики тиристорных структур.

5. С помощью численного расчета, установлена немонотонная зависимость прямого падения напряжения на диоде Шоттки от уровня легирования базового слоя. Предложено качественное объяснение этого эффекта, подтвержденное детальными численными расчетами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в данной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты.

1. Показано, что при использовании квазигидродинамического приближения для описания процессов переноса в электронно-дыроч-ной плазме полупроводника удается корректно учесть влияние электронно-дырочных столкновений на транспортные свойства носителей заряда. В рамках квазигидродинамического подхода проведен вывод макроскопических уравнений переноса для электронов и дырок. При выводе уравнений учтены также эффекты сильного и неоднородного легирования, характерные для диффузионных эмиттер-ных слоев многослойных полупроводниковых структур.

2. Установлено, что между кинетическими коэффициентами, входящими в уравнения переноса имеется определенная о вязь, которая может рассматриваться как матричное обобщение соотношения Эйнштейна для электронно-дырочной плазмы полупроводника.

Показано, что матричное соотношение Эйнштейна сохраняется как и в условиях вырождения полупроводника , так и с учетом эффектов сильного и неоднородного легирования.

3. Разработана новая конечно-разностная аппроксимация выражений для плотностей токов носителей заряда, являющаяся обобщением разностной аппроксимации Шарфеттера-Гуммеля на случай, когда в уравнениях переноса носителей заряда появляются перекрестные слагаемые, обусловленные электронно-дырочными столкновениями.

4. Разработан эффективный алгоритм численного решения фундаментальной системы уравнений полупроводникового прибора, впервые позволяющий осуществлять физически адекватный расчет статических и динамических характеристик полупроводниковых структур с учетом совокупности нелинейных эффектов высокого уровня инжекции и сильного легирования.

Показано, что использование дополнительной процедуры построения начального приближения, основанной на применении экстра-поляционных формул, позволяет существенно повысить эффективность алгоритма, снизив более чем в два раза суммарное время счета.

5. Проведен сравнительный анализ вкладов различных нелинейных эффектов в прямую ветвь вольт-амперной характеристики диодных и тиристорных структур.

Показано, что корректный учет электронно-дырочных столкновений изменяет соотношение вкладов нелинейных эффектов по сравнению с численными моделями, известными из литературы.

Показано, что по величине вклада, вносимого в прямую ветвь вольт-амперной характеристики, рассматриваемые нелинейные эффекты могут быть расположены в следующем порядке: а) электронно-дырочное рассеяние; б) Оже-рекомбинацию; в) сужение запрещенной зоны.

Показано, что в области рабочих плотностей токов вклад электронно-дырочного рассеяния в прямую ветвь вольт-амперной характеристики превышает вклад Оже-рекомбинации в разработанной нами модели всего в два раза, а не в пять раз, как считалось ранее в других работах, известных из литературы.

6. С помощью численной модели показано, что при корректном учете электронно-дырочных столкновений электронно-дырочное рассеяние не оказывает влияния на распределение подвижных носителей заряда в базовом слое мощной полупроводниковой структуры. Этот результат согласуется с аналитическими решениями, полученными в работах ряда авторов и полностью опровергает результаты численных расчетов, полученных в рамках предыдущих численных моделей, известных из литературы. Таким образом удалось ликвидировать противоречие, существовавшее в литературе между численными и аналитическими моделями.

7. Показано, что при корректном учете электронно-дырочных столкновений электронно-дырочное рассеяние практически не оказывает влияния на длительность фазы высокой проводимости при восстановлении мощных р+-п-п+ структур. Полученный вывод существенно отличается от результатов, полученных в рамках известных из литературы численных моделей.

По величине вклада, в длительность фазы обратного восстановления исследуемые нелинейные эффекты могут быть расположены в следующем порядке:--а) Оже-рекомбинация, б) сужение запрещенной зоны, в) электронно-дырочное рассеяние.

8. Разработан вариант программы для расчета характеристик тиристорных структур, позволяющий учитывать неоднородность распределения глубоких уровней по толщине структуры.

Проведен анализ влияния вида распределения глубоких уровней на статические и динамические характеристики тиристорных структур.

9. Впервые с помощью численного расчета установлена немонотонная зависимость прямого падения напряжения на диоде Шоттки от уровня легирования базового слоя. Предложено качественное объяснение этого эффекта., подтвержденное детальными численными расчетами.

10. Полученные в результате исследований результаты явились основой для разработки пакета прикладных программ "Исследование", предназначенного для расчета характеристик мощных силовых полупроводниковых диодов, тиристоров, диодов Шоттки.

Пакет программ прошел апробацию в составе системы автоматизированного проектирования и внедрен на предприятиях подотрасли СКТБ ПТ (г. Ставрополь), ПО "Преобразователь" (г. Запорожье).

В заключении выражаю искреннюю благодарность научному руководителю, кандидату физико-математических наук Мнацаканову Т.Т., а также доктору физико-математических наук, профессору Кузьмину В.А., кандидату физико-математических наук Кюрегяну А.С. и кандидату технических наук Джафарову З.Т. за постоянное внимание и интерес к работе.

Хочу поблагодарить кандидата технических наук Филатова Н.И. за плодотворное сотрудничество и кандидата технических наук Шпера В.Л. за ряд ценных замечаний.

1. Kokosa R.A. The potential end carrier distribution of a p-n-p-n device in ON state. Proc. IEEE, 1967, v. 55, IT 8, p. 1389-1400.

2. Грехов И.В., Отблеск А.Е. О влиянии электронно-дырочного рассеяния на распределение концентрации инжектированных носителей в базе р-п структур. ФТП, 1974, т. 8, № 7, стр. I408-I4II.

3. Грибников З.С., Мельников В.И. Электронно-дырочное рассеяние в полупроводниках при высоких уровнях инжекции. ФТП,1968, т. 2, № 9, стр. 1352-1363.

4. Бойко И.И., Балев О.Г. Диффузионно-дрейфовый перенос носителей в условиях сильного электронно-дырочного рассеяния. ФТП, 1983, т. 17, № 4, стр. 745-748.

5. Авакьянц Г.М., Мурыгин В.И., Сандлер Л.С., Тешбаев А., Юровский А.В. Прямая ветвь вольт-амперной характеристики тонких диодов при высоких уровнях инжекции. Радиотехника и электроника, 1963, II, стр. I9I9-I926.

6. Авакьянц Г.М., Лазарев Е.В. О влиянии электронно-дырочного рассеяния на вольт-амперную характеристику приборов. Изв АН Армянской ССР, Сер. Физика, 1969, т. 4, № I, стр. 83-89

7. Киреев П.С. Физика полупроводников. Москва, "Высшая школа"1969, 592 стр.

8. Смит Р. Полупроводники, Москва, "Мир", 1982, 560 стр.

9. Dziewor J., Schmid W. Auger coefficients for highly doped and highly exited silicon, Appl. Phys. Letters, 1977»v. 31, IT 5, p. 346-348.

10. Svantesson K.G., ITilsson TUG, Measurement of Auger recombination in silicon by laser exitation. Solid State Electronics, 1978, N 21, К 12, p. 1603-1608.

11. Вайткус Ю,, Гривицкас В. Зависимость интенсивности зона-зонной Оже-рекомбинации от концентрации носителей заряда в кремнии. ФТП, 1981, т. 15, № 10, стр. 1894-1902.

12. Грехов Й.В., Делимова Л.А. Оже-рекомбинация в кремнии. -ФТП, 1980, т. 14, № 5, стр. 897-901. '

13. Svantesson K.G#, Nilsson H.G,, Huldt Ъ, Recombination in strongly exited silicon, Solid State Communication, 1971, v. 9, H 3, p. 213-216,

14. Блинов Л.М., Бобров E.A., Вавилов B.C., Галкин Г.Н. 0 рекомбинации неравновесных носителей в кремнии при высоких уровнях фотовозбуждения. ФТТ, 1967, т. 9, Jfe II, стр.3221-3228.

15. Caugehey D.M., Thomas R.E. Carrier mobilities in Siliconempirically related to doping and field. Proc. IEEE, 1967, v. 55» N 19, p. 2192-2193.

16. Jacoboni C., Canali C., Ottaviani G., Alberigi Quaranta A. A rewiew of some transport properties of Silicon. Solid

17. State Electron*. 1967, v. 20, БГ 1, p. 77-89.

18. Pantelides S.T., Selloni A., Car R. Energi gap reduction in heavily doped silicon couses and consequanses, Solid

19. State Electron» 1985, v. 28, H 1/2, p. 17-25.

20. Bennet H.S., Wilson G.L. Statistical comparission of data on band-gap narrowing in heavily doped silicon, J. Appl., Phys., 1984, v. 55, U 10, p. 3528-3587.

21. Possum T.S., Lee D.S. A physical model for the dependance of carrier lifetime on doping density in.nondegenerafce silicon. Solid State Electron, 1982, v. 25, Я 8, p.741-747.

22. Landsberg P.Т., Kousik G.S. The connection between carrier lifetime and doping density in nondegenerate semiconductors,- J. Appl. Phys., 1984, v» 56, И 6, p. 1696-1700.

23. Marshak A.U., Van Vliet K.M. Electron carrents in solids with position dependent band structure. Solid State Electronics, 1978, v. 21, N 3, p. 417-427.

24. Van Vliet K.M., Marshak A.H. The Shockley-like equations for the carrier densities and current flows in materials with a nonuniform composition. Solid State Electron, 1980, v. 23, N 1, p. 49-53, .

25. Lundstrom M.S., Schwartz R.J., Grax J.L. Transport equations for the analysis of a heavily doped semiconductor devices.- Solid State Electronics, 1981, v. 25, Я 2, p. 195-20 2.

26. В.Л. Бонч-Бруевич, й.П. Звягин, А.Г. Миронов. Доменная неус-. тойчивость в полупроводниках. Москва, "Наука", 1972 г.

27. П.Д. Ландау. Е.М. Лифшиц. Статистическая физика, Москва, . "Наука", 1979 г.

28. DannhSuser Р. Die Abhangigkeit der Tragerfceweglichkeit in Silizium von der Konzentration deo? freien badungstrSger, I.- Solid State Electron. 1972, 15, N 12, p. 1371-1375,

29. Krausse J. Die Abhangigkeit der Tragerhaweglichkeit in Silizium von der Konzentration der freien Ladungstrslger, II.- Solid State Electron. 1972, 15, S" 12, p. 1377-1381.

30. B.A. Кузьмин, Т.Т. Мнацаканов, В.Б. Шуман. О влиянии злект-ронно-дырочного рассеяния на. вольт-амперную характеристику кремниевых многослойных структур при большой плотности тока.- Письма в ЖТФ, 1980, 6, № II, стр. 689-693.

31. Tyagi M.S., Van Overstraeten R. Minority carrier recombination in heavily doped silicon, Solid State Electron, 1983, v. 26, N 6, p. 577-597.

32. Possum J.G., Mertens R.P., Lee D.S., Mjs J.P. Carrier recombination and lifetime in highly doped silicon. Solid State Electronics, 1983, v, 26, N 6, p, 569-576.

33. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. Москва, "Высшая школа", 1984 , 351 стр.

34. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва, "Наука", 1977 г.653 стр.

35. Conor S. Rafferty, Mark Д. Pinto, Robert W* Dutton. Iterative methods in Semiconductor Device Simulation, IEEE Transactions on Computer Aided Design, vol. CAD-4, Я" 4i 1985.

36. S. Polalc, W. Shilders, M. Driessen, The CURRY algoritm. Swansea Conference II, 1986, Simulations of Semiconductor Devices and Processes* p. 131-142,

37. Selberherr S., Ringhofer Ch.A, Implications of Analitical Investigations about the Semiconductor Equations on Device Modeling Programs, IEEE Transactions on Comuter Aided Design, CA&-3, IT 3, p. 52-64, 1986.

38. Польский B.C. Численное моделирование полупроводниковых приборов. Рига "Зинатне", 1986.

39. Кареткина Н.В. Безусловно устойчивая разностная схема для параболических уравнений, содержащих первые производные. -Журнал вычислительной математики и математической физики,1980, т. 20, * I.,. стр. 236-240.

40. Scharfetter D.L., Gummel Н.К. Large-signal analisis of a silicon Read-diode oscillator. IEEE Trans., 1969»vol, ED-16, IT 1, p. 64-77.

41. C. Christiaan Abbas, A design tool for.high power semiconductor devices. Swansea, II Conference, p. 615-629» 1986,

42. J, Machek, S, Sel>erherr. A Novel Finite - Element Approach to Device Modelling* - IEEE Transactions oft Electron Devices, 1983, ED-30, ТГ 9, p. 1083-1092.

43. Reiser M. On the stability of finite difference schemes in transient semiconductor problems. Comput. Math. Appl. England, 1973, Я 2, p. 65-68.

44. Mock M.S. A time dependent numerical model of the insulated-gate field-effect transistor* Solid State Electronics, 1981, vol. 24, N 10, p. 959-966.

45. Mock M.S. The charge-neutral approximation and time-dependent simulation. HASEOODE-I Boole Press,, Dublin, June 1979, pp. 120-135.

46. Mock M.S. Time discretisation of a nonliner initial value problem. Joraal of Computational Physics, vol. 21,pp. 20-37, 1976.

47. Seidman T.L,, Choo S.C. Iterative scheme for computer simulation of semiconductor.devices, Solid State Electronics, 1972, vol. 15, N 10, p. 1229-1235.

48. Polsky B.S., Rimshans J.S. Two dimensional numerical simulation of bipolar semiconductor devices taking into account heavy doping effects and Fermi statistic .

49. Gummel H.K. A self consistent iterative scheme for one dimensional steady.state transistor calculations. IEEE Transactions, 1976, vol, ED-23, N 1, p. 455-465.

50. Yoshii A., Kitazawa H., Tomizawa M. et al. A three dimensional analysis of semiconductor devices, IEEE Trans., 1982, vol. ED-29, N 2, p, 184-189.

51. Адамсоне A.E., Польский B.C. Численное трехмерное моделирование биполярных транзисторных структур. Радиоэлектроника, 1986, т. 29, № 9, стр. 46-49.

52. S, Selberherr., The status of МПШЮS Proceedings of International Conference Simulation of Semiconductor Devices and Processes, Swansea June 1986, p. 2-16.

53. Иоцюо В., Кведаравичус А., Реклайтис А. Модификация метода Гуммеля для расчета транзисторных структур при больших внешних напряжениях, в кн. Физическая электроника,, Каунас, 1974, т. 3, стр. 120-126.

54. Носов Ю.Р., Петросянц K.O. Расчет с помощью ЭЦВМ электрических характеристик одномерных полупроводниковых структур. -Электронная техника. Сер. 2, 1973, № 4, стр. 3-16.

55. JCurata M^ aae-dimensionaL c^lculation of thyristor forward voltages and holding currents. Solid State Electronics, 1976, vol. 19, pp. 525-535,

56. С.Г. Мулярчик, И.И. Абрамов, В.Г. Соловьев. Программа одномерного анализа переходных процессов в биполярных транзисторах. Известия Вузов Радиоэлектроники, 1980, Том ХХШ,6, стр. 55-60.

57. Buturla Е.М,, Cottrell Р.Е. Simulation of semiconductor transport using coupled and decoupled-solution techniques. Solid State Electron, 1980, vol. 23, N 4, p. 331-334.

58. Велмре Э.Э., Удал А.Э., Фрейдин Б.П. Исследование эффективности алгоритмов моделирования силовых полупроводниковых структур в проводящем состоянии. Электронное моделирование, 1981, №4, стр. 85-88.

59. Польский Б.С., Похвалила Л.С. Двумерная численная модель биполярного транзистора. Известия АН Латв. ССР. Сер. Физ. и техн. наук, 1977, Jfe 4, стр. 59-69.

60. Franz А.P., Franz G.A., Selberher. Finite boxes a general-azation of the finite difference method sutable for semiconductor device simulation. - IEEE Trans. ED-30,U 9,1983,p.10701082

61. Абрамов И.И., Мулярчик С.Г. Метод векторной релаксации систем в задачах численного анализа полупроводниковых приборов.- Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника,, 1981, т. 24, J& 6, стр. 59-67.ф

62. Е. Palm, F. Van de Wiele. wo dimensional transient simulation of Semiconductor Devices coupted to an External Circuit.- Proceedings of an International Conferens. Swansea tl.K., 1984, p. 1-14.

63. Grossman B.M., Hargrove M.J. Numerical Solution of the Semiconductor Transport equations with current Boundury conditions. IEEE Trans. Electron Devices. ED-30, p# 1092, 1983*

64. Мулярчик С.Г., Абрамов И.И. Выбор начального приближения в задаче численного анализа биполярных полупроводниковых приборов. Известия Высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 1981, т. 24, & 3, стр. 49-56.

65. Мулярчик С.Г., Соловьев В.Г. Способ построения начального приближения при численном анализе ВДП-приборов. Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 1982, т. 25,6, стр. 46-50.

66. Mock M.S. Basic theory of stationary numerical models Process and Device Modelling W.L. Engl. North Holland 1986, p. 159-194.

67. Мулярчик С.Г. Свойства систем линейных алгебраических уравнений в задачах численного моделирования тверцотельных структур. Изв. Вузов. Радиоэлектроника, 1986, том 29,12, стр. 50-56.

68. Slotboom J.M., de Graaf M.C. Measurements of band-gap narrowing in Si bipolar transistors. Solid Stafce Electronics, 1976, v, 19,.N 10, p. 857-862.

69. Freidin В., Velmre E,, Electron/Letters., 1978, v. 14, N 22, p. 701-703.

70. Beck J,D#, Conradt R. Auger-recombination in Si, Solid State Communications, 1973, v, 13, И 1, p. 93-95.

71. Мнацаканов Т.Т. О пределе применимости диффузионного приближения в теории многослойных полупроводниковых структур. -Радиотехника и электроника, т. 32, Ml, стр. 128-132, 1987.

72. Милне А. "Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках". М., "Мир", 1977, 563 стр.

73. Кузьмин В.А., Юрков С.Н., Тандоев А.Г., Балашова Е.Л. Влияние технологической шунтировки катода на напряжение переключения тиристоров. Электротехника, 1988 г., № 8, стр. 72-75.