автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование некоторых нелинейных эволюционных моделей конденсированных состояний

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

11-2011-13

На правах рукописи УДК 519.633:536.21:538.9

МУЗАФАРОВ

Дилшод Зикриёходжаевич

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 2оч

Дубна 2011

4840878

Работа выполнена в Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Дидык Александр Юрьевич,

Лаборатория ядерных реакций ОИЯИ

кандидат физико-математических наук Амирханов Илькизар Валиевич, Лаборатория информационных технологий ОИЯИ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Цирулев Александр Николаевич,

Тверской государственный университет

доктор физико-математических наук,

профессор Красильников Владимир Владимирович,

Белгородский государственный университет

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов, г. Москва

Защита состоится » 2011 г. в ^^ часов на

заседании диссертационного совета Д 720.001.04 при Объединенном институте ядерных исследований (Лаборатория информационных технологий) по адресу: Ц1980, г. Дубна Московской области, ул. Жолио-Кюри, д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор О- Иванченко Иосиф Моисеевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертации выполнено численное исследование математических моделей двух сложных физических процессов. Рассмотрены следующие математические модели:

• Нелинейная трехмерная модель термического пика для описания тепловых процессов и изучения физических эффектов в материалах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий;

• Динамическая модель полярона для изучения эволюции возбужденных состояний полярона.

Эти модели объединены в диссертации объектом численного исследования, которым являются нелинейные задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Одной из перспективных и быстро развивающихся областей применения математического моделирования является радиационная физика как область физической науки, возникшая на стыке физики твердого тела, ядерной физики и физики высоких энергий. Значение радиационной физики непрерывно растет в связи с ее многочисленными приложениями для космических исследований, ядерной энергетики и т.д. Результаты радиационной физики представляют не только прикладной, но и общефизический интерес, позволяя, в частности, объяснять некоторые вопросы теории конденсированного состояния и фазовых переходов.

Активные исследования в области радиационной физики показали, что радиационно-стимулированные процессы приводят к качественному изменению свойств облучаемых материалов. Данное обстоятельство помимо чисто научного интереса породило значительные надежды на возможность технологического применения ускорителей заряженных частиц для модификации физико-химических свойств материалов и изделий. Одна из наиболее важных задач в разработке радиационных технологий -прогноз изменения структурно-фазового состояния облучаемой поверхности, которое зависит как от физических параметров вещества, так и от интенсивности источника излучения.

В основе модифицирующего воздействия заряженных частиц на твердое тело лежат тепловые процессы. Твердое тело при облучении плавится, испаряется, в нем образуются термомеханические напряжения, усиливается миграция атомов.

Значительный интерес также представляют исследования процессов перемешивания компонент при облучении тяжелыми ионами высоких энергий двухслойных структур в виде относительно тонкого слоя, нанесенного на более массивную подложку. В этом случае удается получить достаточно

хорошую адгезию, то есть перемешивание материалов двухслойной структуры на границе раздела, а также достигнуть перемешивания взаимно нерастворимых структур. Исследование процессов образования треков тяжелых ионов в различных материалах, отличающихся теплофизическими и структурными свойствами, дает возможность более детально изучить механизмы взаимодействия налетающих частиц с материалами.

Большой интерес представляет исследование динамической модели полярона, позволяющей выявить общие условия образования локализованных структур в конденсированных средах. Так, сравнительно недавно был обнаружен переход поверхности оксидных диэлектриков в высокопроводя-щее состояние под действием ионного облучения, при котором имеет место рост поверхностной электропроводимости более чем в 5-6 раз. Одной из популярных моделей описания этих изменений в кристаллах является модель поляронов (поляроны малого радиуса, моно- и биполяроны). Помимо этого, поляронные состояния используются в современной наноэлектрони-ке при описании переходов в квантовых точках. Поляронными эффектами объясняются полосы поглощения центров окраски в ионных кристаллах. В полярных средах сольватированные состояния электронов представляют собой поляронные состояния и определяют химические реакции, играя роль сильнейшего восстановителя. В полимерах поляроны являются основными носителями тока. Их проводящие свойства используются при создании сверхлегких проводников и аккумуляторов. В биологии поляроны объясняют возможность переноса энергии на большое расстояние. Их изучение дает основу для создания таких качественно новых устройств нанобиоэлектроники, как нанобиочипы и электронные нанобиосенсоры.

В связи с тем, что проведение натурных экспериментов в этих областях сопряжено с большими трудностями, особенно важную роль приобретает проведение математического моделирования. Для этого требуется разработка эффективных вычислительных схем и алгоритмов, а также проведение достаточно трудоемких вычислительных экспериментов, но в ряде случаев этот путь намного выгоднее, чем проведение натурных экспериментов.

Целью диссертационной работы является

1. Развитие методов математического моделирования взаимодействий ускоренных заряженных частиц с веществом. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

• Обобщение трехмерной модели термического пика, учитывающее нелинейную зависимость теплофизических параметров модели от температуры;

• Построение математических моделей процессов, имеющих практическую ценность, таких как воздействие тяжелых заряженных частиц на однослойные, двухслойные и анизотропные материалы;

• Разработка эффективных вычислительных схем, алгоритмов и программ для решения вышеперечисленных задач;

• В рамках предложенных моделей изучение влияния тепловых процессов на формирование треков в различных материалах.

2. Проведение численного эксперимента по изучению динамики поля-ронных состояний:

• Разработка алгоритма и программы для моделирования эволюции полярона с учетом трения в системе;

• Изучение эволюции полярона с различными начальными распределениями заряда.

Научная новизна.

1. Впервые проведено численное исследование трехмерной модели термического пика с учетом нелинейности теплофизических параметров. Проведены численные эксперименты для исследования температурных процессов в материалах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий и их влияния на образование треков.

а) Показано, что в нелинейной модели тепловые процессы в кристаллической решетке происходят значительно медленнее, чем при постоянных теплофизических параметрах.

б) В проведенных численных экспериментах определены максимальные размеры областей, в которых температура кристаллической решетки достигает температуры плавления материала.

в) Исследовано влияние тепловых процессов на улучшение взаимного смешивания слоёв в двухслойных структурах при облучении тяжелыми ионами.

2. Впервые проведено численное исследование динамической модели полярона с учетом трения в системе.

а) Численные эксперименты показали, что если в начальный момент времени полярон находился в (основном или возбужденном) стационарном состоянии, то он сохраняется в этом состоянии независимо от наличия или отсутствия трения в системе.

б) Показано, что начальное распределение заряда, заданное суперпозициями стационарных состояний полярона, при наличии в системе трения эволюционирует в основное состояние. При отсутствии трения эволюция в основное состояние не наблюдается в течение физически значимого промежутка времени.

Практическая значимость. В диссертации впервые в рамках трехмерной нелинейной модифицированной модели термического пика исследованы тепловые процессы в различных материалах при облучении тяжелыми ионами высоких энергий, что позволяет получить новую информацию о процессах изменения свойств облучаемых материалов.

Исследования облучения никелевой мишени ионами урана с энергией 700 МэВ показали, что полученные оценки параметров треков (диаметр 230Á) качественно описывают экспериментальные данные.

При облучении двухслойных образцов на примере Ni(2 mkm)/W ионами висмута с энергией 710 МэВ оценены размеры области вдоль траектории иона, где происходят процессы плавления. Это приводит к увеличению коэффициента адгезии, т.е. взаимного перемешивания компонент двух материалов, что является весьма важным при создании двухслойных структур из материалов с различными свойствами.

Выполненные численные исследования тепловых процессов при облучении высоко-ориентированного пиролитического графита (ВОПГ) показали, что при облучении ионами 209Bi (710 МэВ) температура ВОПГ превышает температуру сублимации и приводит к дефектным структурам типа кратеров на поверхности, которые отсутствуют при облучении ионами 86Кг (253 МэВ), что подтверждается экспериментальными данными.

Разработанные в диссертации вычислительные схемы, алгоритмы и комплексы программ для исследования модели термического пика в настоящее время используются в ОИЯИ для исследования тепловых процессов и оценок параметров треков при облучении различных конденсированных сред тяжелыми ионами высоких энергий.

Алгоритм и программа для решения динамической модели полярона используются в ОИЯИ, а также в ИМПБ РАН г. Пущино.

Апробация работы. Основные положения и результаты представлены и докладывались на международных и российских конференциях: „XV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов»" (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2008); II Международная Конференция „Математическая Биология и Биоинформатика" (Пущино, Россия, 2008); „X и XII научные конференции молодых

ученых и специалистов ОИЯИ (Дубна, 2006, 2008); „V и VI Национальные конференции по применению Рентгеновского, Синхротронного излучений, Нейтронов и Электронов для исследования наноматериалов и наносистсм" (РСНЭ НАНО-2005 и 2007, ИК РАН, Москва), а также на семинарах по вычислительной физике Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований и на заседании программно-консультационного комитета ОИЯИ по физике конденсированных сред.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 печатных работах, из которых 6 статей в рецензируемых журналах [М1-М6] рекомендуемых ВАК, и 8 работ в материалах конференций [М7-М14] .

Личный вклад автора. Формулировки решенных в диссертации задач, разработка математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, а также компьютерные расчеты и анализ результатов выполнены соискателем самостоятельно. Более общие постановка задач, физическая интерпретация, анализ точности и достоверности полученных результатов проводились соискателем совместно с научными руководителями и соавторами.

Степень достоверности результатов. Достоверность результатов численного моделирования подтверждается тестированием разработанных комплексов программ и сопоставлением результатов, полученных с использованием различных вычислительных схем (явная схема и схема переменных направлений), расчетами на последовательностях сгущающихся сеток, на модельных задачах, а также сравнением с экспериментальными данными и численными результатами других авторов.

Оценки полученных в диссертации параметров треков качественно подтверждаются экспериментальными данными, полученными в ЛЯР ОИЯИ при облучении различных материалов тяжелыми ионами высоких энергий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список литературы содержит 95 наименования. Полный объем диссертации 105 страниц машинописного текста, включая 4 таблицы и 23 рисунка.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели работы, обосновываются новизна и научная значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Описывается структура диссертации и ее краткое содержание по главам.

Первая глава диссертации посвящена общей постановке задач и численным методам их решения. Подробно приводятся конечно-разностные методы численного решения систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

В первом параграфе рассматриваются основные модели взаимодействия тяжелых заряженных частиц с веществом. В частности, рассмотрены модели термического пика и кулоновского взрыва. Приведен основной математический аппарат исследования модели термического пика с помощью численных методов. Особое внимание уделяется конечно-разностным методам: явные, неявные и экономичные численные схемы, их преимущества и недостатки для решения систем уравнений модели термического пика.

В первом пункте первого параграфа сформулирована система уравнений, описывающая нелинейную трехмерную модель термического пика. Эта система в цилиндрической системе координат (с учетом зависимости удельной теплоемкости и теплопроводности от температуры) имеет вид:

-д(Т.)(Г,-Т,) + А(г,гЛ

°<<т'>§-?! (гА'<т<>§)+я И© -я(тж - т<>■ <2)

Ось г направлена перпендикулярно облучаемой поверхности мишени, т.е. по направлению движения тяжелого иона. Производная по углу отсутствует ввиду цилиндрической симметрии удельных ионизационных потерь тяжелого иона. Здесь Те(г, г, I) и Г,(г, г, £) - температуры электронного газа и кристаллической решетки, Се(Те), и Хе(Те), Л¿(Т*) - соответственно удельные теплоемкости и теплопроводности электронного газа и решетки, зависящие от температуры, д - коэффициент, характеризующий взаимодействие электронной подсистемы с решеткой (в общем случае, зависящий от температуры электронного газа). Функция А(г,г,Ь) -объемная плотность вносимой ионом мощности (энергии), имеет вид:

А(г, я,г) = ЬБ^г) ехр (-^¿р) ®ф '

где функция Бте1(г) - профиль ионизационных потерь иона, а1 = — ~ (1 — 5) • 10~15с, г0 ^ 1 нм, Ь - нормирующий множитель.

Система уравнений (1)-(2) дополняется начальными

ТеДг,2,0) = Т0 = 300К, (4)

и граничными условиями:

öTe, i{r,z,t)

дг

= 0 дТеА{г, г, t)

r=0 dz

- - г=0

В граничных условиях (5) Лтах - радиус удаления от траектории иона, а Zmax _ глубина, превышающая длину проективного пробега иона, при которых решетку можно считать невозмущенной, а ее температуру при г > /?тах и г > 2,пах равной То- Система (1)-(2) называется моделью термического пика.

Второй пункт первого параграфа посвящен численным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Рассматривается уравнение теплопроводности

в прямоугольнике П = {0 < г < Ятах, 0 < г < ZmгiX}, при Ь > О. Уравнение (6) дополняется условиями

T(r, z, 0) = То = const dT(r,z,t)

дг

= 0 dT(r,z,t)

r=o dz

= 0, (7)

2=0

T(Rmax, z, t) = T(r, Zmsx, t) = To-

Обсуждены проблемы нахождения приближенного решения задачи (6)-(7) конечно-разностными методами. Конечно-разностные (сеточные) методы основаны на переходе от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. В нашем случае, на П вводятся точки (узлы)

Ъ = ihr € (0,Rmax), г = 1,2,... ,М - 1, г0 = 0, гм = Дтах, Zj = jhz G (0, Zmax), j = 1,2,...,N-1, z0 = 0, zN = Zmax, tk — kht £ (0, Tmax), к = 1,2,..., L — 1, tо = 0, ti = Tmax,

образующие сетку w/, = Wh + dw^, где w^ - множество внутренних, a dw^ - граничных узлов. Параметры hr, hz, ht характеризуют эту сетку (шаги сетки). Приближенное решение непрерывной задачи (6)-(7) ищется в узлах сетки и обозначается Zfj ~ T(r;, Zj, t^)- Рассмотрены консервативные схемы: явная, чисто неявная и схема метода переменных направлений. Численная схема метода переменных направлений для уравнения (6) состоит

из двух шагов. Сначала по известному Tf ■ находится вспомогательная се-

точная функция (которую обозначим через Тft1^2) из уравнения

грк+1/2 _rpk 1

(~,к _tiâ. — __

iJ 0,5 ht hr

ЛГ/2 (af) + Ы (a)) +

(8)

где

<~Гк _ rpk rpk _ 'T'fc

aî («?)=«r+1; <J -

Л* (a*)=a*

'yfc _ rpk rpk _ rpk

к 1i,j к U-l

hz

h,

к _ J + к _ ^J+l + Kj

Oi - 2 . aj ~ 2

C*. = C7(7t3), A^ - A(7* ), /* = /(тч, 2j,ifc).

Интерпретируя T^1^2 как решение на момент времени ¿¡¿+1/2 = = h + ht/2, можно заметить, что (8) соответствует определению решения согласно неявной схеме по переменой г и согласно явной схеме по переменой z.

Второй шаг метода переменных направлений будет соответствовать использованию уравнения

грк+1 _ грк+1/2

~~ О

грк+1/2

Тем самым, второй шаг соответствует использованию явной схемы по переменой кг и неявной по переменной /¡2.

Во втором параграфе приводятся динамическая и стационарная системы уравнений полярона, подробное описание этих задач. Динамическая модель полярона с учетом трения в системе описывается следующей системой уравнений (в безразмерных единицах):

' _ д д2 ч> г2т— + — + 2т-ot ахг х

дх2 '

д2 д ,

--1-7--h и

dt2 1dt

■0 = 0,

где г/> - волновая функция, <р - потенциал, О, г/г, 7, и, ё - безразмерные параметры модели. Система (10) дополняется следующими начальными и граничными условиями:

1р(х, г)|(=0 = \кт + г БШ хкт),

1Ф? д

(И)

4=0

е х ' дЬ

■0(0, = 0, = 0, </з(0,£)=0, р'(оо,4)=0.

Здесь Хк и Ф^ - собственные значения и собственные функции соответствующей стационарной задачи:

сР п , Ф(г) — - 2тЛ + 2ш——

ах2 х

=

1 Ф2(х)

£ £

Ф(х) = 0, 0 < х < оо,

с граничными условиями и с условием нормировки:

(12)

Ф(0) = О, Ф(0) = о,

Ф2(х)с1х ■■

(13)

Ф(оо) = 0, Ф'(оо) = 0.

В третьем пункте второго параграфа приведена численная схема для первого уравнения системы (10) - динамического уравнения Шре-дингера. Для этого введена равномерная сетка по переменным в уравнении, т.е.: й) = й)Л х й)т, й>н = {хт = ш/г,ш = 0,1,..., М, НМ = Хтах}, й!Т — {£п = пт, п = 0,1, 2,...}, где /г и т ~ соответственно шаги по переменным т(.

Построим двухслойную конечно-разностную схему с весами

,п+1 _ ^п

г < а

С+1 ~ 2С+1 + Фт-1 ,

2тЬ? тН

+

+(1-а)

С+1 - 2С, + Фт-1 , Л , „

т = 1,2,... ,М - 1, п Эта схема имеет порядок точности О (г2 + /12) О (т2 + /I4) 0(г + Л2)

2 т/12 1,2,3,...

0,5,

При <7

1 ¿Л2 при<т=-- —= а

при а ф 0,5 и <х ф а.

1 Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. с. 296-300

Для проведения расчета по этой схеме на каждом временном слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений с трех-диагоналыюй матрицей. Для этого использован метод прогонки.

Во второй главе исследуются тепловые процессы при облучении никеля ионами урана с энергией 700 МэВ в рамках модели термического пика с учетом зависимости теплофизических параметров (удельная теплоемкость и теплопроводность) от температуры. Актуальность исследования этих процессов связана с исследованиями воздействия высокоионизи-рующих заряженных частиц на материалы в связи с созданием ускорителей и накопительных колец тяжелых ионов высокой энергий. На основе проведенных вычисленных экспериментов сделан вывод, что в случае облучения никеля ионами урана с энергией 700 МэВ температура мишени превышает температуру плавления (т.е. могут происходить фазовые переходы). Вычислены максимальные размеры области в никеле, где температура превышает температуру плавления. Проведенный сравнительный анализ с линейной моделью (не учитывающей зависимость удельной теплоемкости и теплопроводности от температуры) термического пика показал, что при учете зависимости теплофизических параметров от температуры тепловые процессы в кристаллической решетке происходят значительно медленнее, чем при постоянных теплофизических параметрах.

Во втором параграфе с целью изучения тепловых процессов в никеле при облучении ионами урана с энергией 700 МэВ сформулирована нелинейная модель термического пика в цилиндрической системе координат, описывающая эволюцию температуры в образце на основе системы уравнений (1)-(2).

В третьем параграфе приведен метод численного решения нелинейной модели термического пика с помощью численной схемы (8)-(9). Для проверки сходимости численной схемы проводился численный эксперимент при фиксированных шагах hr,htn на сгущающейся сетке по z, т.е. hz, hz/2, /гг/4 (hr = 10"3, hz = 4 • Ю-2, ht = 10~5). Как показали проведенные численные эксперименты, найденные относительные разности профилей температур на сгущающейся сетке уменьшаются согласно теоретическим оценкам2'3.

В четвертом параграфе приведены результаты численного моделирования. На рис. 1 для сравнительного анализа представлены зависимости от времени температуры электронного газа (а) и кристаллической решетки (б) на поверхности никеля, облучаемого ионами урана на различных расстояниях от оси трека г = 0; 50; 100; 150 А в рамках линейной (свер-

2 Турчак Л. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987, с. 251

3 Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, с. 74-78

Т (г,0,4 (хЗООК)

1-

1000 2~

3—1

100 4~т1

10

1

1—г=0

2—г=50Л

3—п=100А

4—г=150А

1Е-3 0.01 0.1 1 10 100 f (х101'с)

а)

Т(г,0,0 (хЗООК) 1

100

< (х10 с)

а)

1—г=0

2—Г=50А

3—~г=100А

4—г=150А

100

Т/г,О,У (хЗООК)

0.01 0.1

Т/г,О,У (хЗООК)

б)

1

0.01

0.1

б)

1—г=0

2—Г=50А

3—г=юоА

4—Г=150А

1 10

Кх10"с)

100

1—г=0 /

2—г=50А //

3—г=100А ///

4~г=150Ау#/

—.........—.........— ......... .........

¡(хЮ" с)

10

100

Рис. 1. Зависимости от времени температуры электронного газа (а) и решетки (б) при 2 = 0 облучаемого ионами урана никеля для различных расстояний от оси трека в рамках линейной (сверху) и нелинейной (снизу) моделей термического пика (штриховой прямой выделена температура плавления никеля).

ху) и нелинейной (снизу) двухтемпературной модели термического пика. Из сравнения этих графиков видно, что при учете зависимости теплофи-зических параметров от температуры температура электронного газа и кристаллической решетки значительно меньше, чем в случае постоянных теплофизических параметров, взятых при комнатной температуре. Особенность нелинейной модели характеризуется тем, что тепловые процессы в кристаллической решетке происходят значительно медленнее, чем в линейном случае.

В третьей главе в рамках нелинейной модели термического пика в трехмерном случае рассчитаны температуры в двухслойных структурах и анизотропных материалах при их облучении тяжелыми ионами высоких

7жю'-| T. w " T.,N,

t(x10'"c)

t(x10"c)

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

a)

6)

Рис. 2. Временная зависимость разности температур (в абсолютных значениях) в слоях на границе раздела двух материалов для электронной подсистемы (а) и кристаллической решетки (б) в случае неидеального контакта для различных

значений коэффициента в (1 - в = 104, 2 - в = 105, 3 - в = 106 , 4 - 9 = 107).

Двухслойная структура представляет собой массивную подложку из вольфрама и нанесенный на нее относительно тонкий слой никеля (толщиной 2 мкм). Детально исследованы изменения температур на границе раздела такой структуры в зависимости от значения коэффициента конвективного теплообмена в, характеризующего изменение градиента температур на границе раздела, а следовательно, и определяющего тип теплового контакта. Сравнительный анализ линейной и нелинейной моделей показал, что при учете температурной зависимости теплофизических параметров процесс изменения температуры электронного газа и кристаллической решетки происходит значительно медленнее, а достигаемый максимум температуры существенно меньше, чем в случае постоянных теплофизических параметров, взятых при комнатной температуре. Показано, что при увеличении коэффициента в имеет место переход от неидеального контакта к идеальному контакту (рис. 2).

В рамках модели термического пика проведены исследования температурных эффектов при облучении ВОПГ ионами висмута 209Bi с энергией 710 МэВ и криптона 86Кг с энергией 253 МэВ в зависимости от коэффициента электрон-фононного взаимодействия д. Исходя из экспериментальных данных по изучению изменений структуры поверхности монокристалла ВОПГ, облученного ионами висмута с энергией 710 МэВ и криптона с энергией 253 МэВ и на основании расчетов сделан вывод, что рассматриваемая в работе модель термического пика позволяет объяснить наличие структур типа кратеров (с глубиной Нст > 1 нм и диаметром на поверхно-

энергии.

сти DCT «5-7 нм) на поверхности ВОПГ при облучении ионами висмута и их отсутствие в случае облучения ионами криптона.

В первом параграфе рассматривается применение модели термического пика в трехмерном случае для вычисления температуры решетки и электронов в двухслойном материале на примере структуры Ni(2 mkm)/W при облучении ионами 209 В i с энергией 710 МэВ при неидеалыюм тепловом контакте на границе раздела материалов. Рассматривается система уравнений (1)-(2) для обоих слоев, с начальными и граничными условиями (4)-(5) и условиями сопряжения на границе раздела двух материалов:

,dTnA(r,z = H-0,t) ^dTna(r,z = H + 0,t)

,dTnil(r,z = H-Q,t) Z (14)

K,l{-ln,l) --Qz- = V '

= в [ТпЛ(г, г = Я - 0, í) - T„,2(r, z = H + 0,t)].

В записи (14) An>„ индекс п = е, г соответствует электронной подсистеме и кристаллической решетке, а индекс v = 1,2 первому и второму слоям соответственно. Н = 2 • 104А граница раздела двух материалов. Предполагается, что Rp < Zmax < lp> Я < Rp, где Rv - длина проективного пробега иона; 1Р - толщина второго слоя.

Во втором параграфе в рамках модели термического пика численно исследованы тепловые процессы в ВОПГ при облучении ионами висмута с энергией 710 МэВ и криптона с энергией 253 МэВ. Система уравнений модели термического пика в этом случае запишется в виде:

-д(Те)(Те-Т<) + А(г,г^),

- lír )+1 - »еда- - 7».

означают, что теплопроводность зависит от направления, а именно: перпендикулярно и вдоль облучаемой поверхности. Система уравнений (15) дополняется начальными и граничными условиями (4)—(5), а функция A(r,z,t) имеет вид (3).

Система уравнений (15) решалась численно с использованием экономичного конечно-разностного метода (метод переменных направлений). Проводился численный эксперимент для исследования сходимости вычислительной схемы на сгущающихся сетках. В конце параграфа сделано за-

ключение, где, в частности, по результатам сравнительного анализа полученных решений и экспериментальных данных, указывается диапазон значений коэффициента электрон-фононного взаимодействия для ВОПГ, удовлетворяющий двойному неравенству 400^ < д < 103.дь где = 3,12-1012

В четвертой главе исследована численная схема для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию полярона. Выполнен анализ точности схемы вычислений. По результатам вычислительных экспериментов сделан вывод, что если в начальный момент времени полярон находился в стационарном состоянии (основном или возбужденном), то он сохраняется в этом состоянии независимо от наличия или отсутствия трения в системе. Показано, что начальные распределения заряда, заданные суперпозициями стационарных состояний при наличии в системе трения с течением времени эволюционируют в основное состояние. При отсутствии трения эволюция в основное состояние не наблюдается.

В первом параграфе описывается актуальность и цель исследования, обосновывается необходимость проведения вычислительных экспериментов в рамках динамической модели полярона.

Во втором параграфе формулируется система уравнений (10)—(11), описывающих динамическую модель полярона. Представлены первые три собственные функции и собственные значения стационарной системы полярона (12).

В третьем параграфе приводятся численная схема и алгоритм для решения системы уравнений динамической модели полярона, проводится тестирование вычислительной схемы с помощью модельных расчетов и на последовательности сгущающихся сеток. Задача (10)—(11) решается с использованием следующей неявной конечно-разностной схемы порядка аппроксимации 0(/г.( + /г2):

Вт/(см3-К).

фп+1 _ фп тт_Ут _ ^

а

•"Ут ' Ущ-1 . Ут /гИ

2тН2х ткх *т

+

Л.

(16)

<Рт+1 ~ 14>т + Ут-1 _ р.п+1 и2 т

/г2 ё тИх

а) б)

Рис. 3. Результаты сравнительного анализа численного и точного решений уравнения Шредннгера с кулоновским потенциалом: а) - для основного состояния, б) - для первого возбужденного состояния.

1 I2

= Ф*(со8А*г + гяпАкт); в"1 =

©т = ©т1; ^ = 0; Х

т = 1,2,...,/; п = 0,1,2,...

где а = 0,5.

Для решения задачи (10)-(11) по схеме (16) на каждом слое с номером п предлагается следующий алгоритм:

1. Решается третье уравнение при известном фп относительно 0П+1;

2. Решается второе уравнение для найденного 0П+1, определяется

3. Решается первое уравнение и вычисляется ~фп+1 на следующем временном слое;

4. Повторяется весь алгоритм.

Проводилось тестирование вычислительной схемы (16) с помощью модельных расчетов для уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом, которое совпадает с первым уравнением системы (10) при уз = 1. Такой подход обусловлен тем, что в этом случае для уравнения Шредингера можно написать точные аналитические решения и провести их сравнительный анализ с численными результатами. По результатам проведенного сравнительного анализа численных и точных решений уравнения Шредингера выбирались значения шагов сетки и Нх для последующих расчетов (рис. 3).

в)

2000 4000 6000 8000 10000

Г)

Рис. 4. Эволюция гюлярона из состояния (17) и соответствующая энергия электрона W(t) при коэффициентах трения 7 = 4 (а, б) и 7 = 0 (в, г).

В четвертом параграфе обсуждаются полученные результаты. Для визуализации численных результатов были вычислены „величины энергии" (в безразмерных единицах) IV (Ь) по формуле:

"Ю-Ш

dip(x,t)

дх

dx

dx.

На рис. 4 показана эволюция полярона в случае, когда начальные условия выбирались в виде комбинации двух стационарных состояний

Фоехр ( йг^р j + Ф1 ехр И71"^"

(17)

где N - нормировочная константа, Ф0 ~ волновая функция основного состояния, Фх - волновая функция первого возбужденного состояния, при

значениях параметров т. — 1, ш = 1, ё = 1, 7 = 0 и 4. Из рисунка следует, что начальное распределение заряда, заданное суперпозицией (17), с течением времени эволюционирует в основное состояние. Этот вывод является общим при наличии в системе трения (7 ^ 0). При 7 = 0 численные исследования показывают, что эволюция в основное либо возбужденное состояние не наблюдается..

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации которые выносятся на защиту:

1. Разработаны алгоритмы, созданы, протестированы и применены эффективные вычислительные схемы и программы с использованием экономичных консервативных разностных схем для решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных для модели термического пика. Проведено численное исследование и получены следующие результаты:

а) Проведен сравнительный анализ результатов исследования линейной и нелинейной моделей термического пика. Показано, что учет нелинейности приводит к тому, что моделируемые тепловые процессы в кристаллической решетке происходят значительно медленнее, чем при постоянных теплофизических параметрах. Оценены максимальные области в материалах, где могут образоваться треки.

б) В случае облучения никеля ионами урана с энергией 700 МэВ максимальные размеры области в никеле, где температура превышает температуру плавления, равны ~ 230Á; ~ 140 • 103А (D™- оценка максимального диаметра и Z™^ -оценка максимальной глубины, где может происходить плавление);

в) При облучении двухслойной структуры Дгг(2мкм)/W ионами висмута с энергией 710 МэВ и при неидеальных условиях теплопередачи (теплового контакта) в плоскости стыковки материалов максимальные размеры, где может происходить плавление, равны = 0) ~ 222А (на поверхности никеля); Дм."(2 = Н) — 219А (z = Н - граница раздела материалов);

2. Модель термического пика обобщена для исследования облучения двухслойных материалов. Исследовано влияние температурных эффектов облучения двухслойных структур тяжелыми ионами высоких энергий на улучшение адгезии на границе двух материалов.

3. Модель термического пика адаптирована для исследования тепловых процессов в анизотропных материалах, облучаемых тяжелыми

ионами. На основании численного моделирования подтверждены экспериментальные данные о наличии структур типа кратеров на поверхности ВОПГ при облучении ионами

209Bj

и их отсутствие в случае облучения ионами 86Кг.

4. Разработаны алгоритмы, создано программное обеспечение и проведено численное исследование уравнений, описывающих динамику по-ляронных состояний с учетом трения в системе.

а) Для численного решения и визуализации процесса эволюции по-ляронных состояний разработан комплекс программ с использованием графических средств Compaq Visual Fortran для ОС Windows.

б) Показано, что начальное распределение заряда, заданное суперпозициями стационарных состояний при наличии в системе трения эволюционирует в основное состояние. При отсутствии трения эволюция в основное состояние не наблюдается.

В приложении к диссертации дано описание графической программы для численного решения и визуализации процесса эволюции поля-ронных состояний, разработанный с использованием графических средств Compaq Visual Fortran для ОС Windows.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

[Ml] I. V. Amirkhanov, A. Yu. Didyk, Р. Z. Muzafarov. I .V. Puzynin, T. P. Puzynina, N. R. Sarkar, I. Sarkhadov, Z. A. Sharipov. Investigation of Thermal Processes in One- and Two Layer Materials under Irradiation with High-Energy Heavy Ions within the Thermal Peak Model // Crystallography Reports. 2006. v. 24. Suppl. 1. P. 32-43.

[M2] И. В. Амирханов, А. Ю. Дидык, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Н. Р. Саркар, И. Сархадов, 3. А. Шарипов. Применение нелинейной модели термического пика для расчета температурных эффектов в двухслойных структурах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 12. С. 58-66.

[МЗ] И. В. Амирханов, А. Ю. Дидык, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Н. Р. Саркар, И. Сархадов, 3. А. Шарипов. Нелинейная модель термического пика в пиролитическом графите при

облучении тяжелыми ионами тКг и 209Bi высокой энергии // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 5. С. 78-86.

[М4] И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, В. Д. Лахно, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, 3. А. Шарипов. Численное исследование динамики поляронных состояний // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2009. 2[13]. С. 5—14.

[М5] И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, В. Д. Лахно, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, 3. А. Шарипов. Численное моделирование эволюции состояний полярона // Вестник РУДН. Серия: Математика, Информатика, Физика. 2010. № 2, вып. 2. С. 64-69.

[Мб] И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, В. Д. Лахно, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, 3. А. Шарипов. Математическое моделирование эволюции поляронных состояний // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2011. № 1. С. 66-70.

[М8] И. В. Амирханов, А. Ю. Дидык, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Н. Р. Саркар, И. Сархадов, 3. А. Шарипов. Исследование тепловых процессов в материалах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий в рамках общей модели термического пика // Тезисы докладов V Национальной конференции „РСНЭ-НАНО-2005". ПК РАН, Москва. 2005. С. 321.

[М7| Д. 3. Музафаров. Исследование тепловых процессов при облучении материалов тяжелыми ионами высоких энергий // Труды X научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ. Дубна.

2006. С. 43-47.

[М9] И. В. Амирханов, А. Ю. Дидык, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, Н. Р. Саркар, И. Сархадов, 3. А. Шарипов. Применение нелинейной модели термического пика для расчета температурных эффектов в двухслойных структурах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий // Тезисы докладов VI Национальной конференции „РСНЭ-НАНО-2007". ПК РАН, Москва.

2007. С. 450.

[М10] Д. 3. Музафаров. Изучение динамических уравнений для полярона в бесконечной полярной среде // Труды XII научной конференции молодых учёных и специалистов ОИЯИ. Дубна. 2008. С. 96-99.

[Mil] Д. 3. Музафаров. Численное исследование динамических уравнений для полярона // Материалы XIII международной научной конференции молодых ученых „Ломоносов-2008". Москва, МГУ. 2008. С. 74-76.

[М12] И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, В. Д. Лахно, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, 3. А. Шарипов. Численное исследование динамики поляронных состояний // Доклады II международной конференции Математическая Биология и Биоинформатика. Пущино. 2008. С. 15-16.

[М13] И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, В. Д. Лахно, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, 3. А. Шарипов. Математическое моделирование эволюции поляронных состояний // Тезисы докладов VII Национальной конференции „РСН-НБИК-2009". ИК РАН, РНЦ КИ, Москва. 2009. С. 498.

[М14] И. В. Амирханов, Е. В. Земляная, В. Д. Лахно, Д. 3. Музафаров, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина, 3. А. Шарипов. Численное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей эволюцию полярона // Материалы международной конференции „Математическое моделирование и вычислительная физика". Дубна, ЛИТ, ОИЯИ. 2009. С. 40-41.

Получено 4 февраля 2011 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 07.02.2011. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,43. Уч.-изд. л. 1,66. Тираж 100 экз. Заказ № 57237.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

Актуальность работы

Цель диссертационной работы.

Краткий обзор глав диссертации.

Глава 1. Модель термического пика и модель эволюции поля-рона: основные уравнения и численные схемы.

1.1. Воздействие тяжелых заряженных частиц на вещество.

1.1.1. Модель термического пика.

1.1.2. Численные схемы для решения уравнений модели термического пика.

1.2. Динамическая система уравнений полярона

1.2.1. Система уравнений для описания эволюции полярона

1.2.2. Стационарная система уравнений полярона

1.2.3. Численные схемы для решения системы уравнений полярона

Глава 2. Нелинейная модель термического пика для описания облучения материалов тяжелыми ионами высоких энергий

2.1. Введение

2.2. Система уравнений модели термического пика.

2.3. Метод численного решения.

4.2. Постановка задачи.81

4.3. Численная схема. Проверка численной схемы .83

4.4. Обсуждение полученных результатов.85

4.5. Заключение .87

Заключение .90

Литература .93

Приложение А. Описание графической программы .105

Введение

Актуальность работы. В диссертации выполнено численное исследование математических моделей двух сложных физических процессов. Рассмотрены следующие математические модели:

• Нелинейная трехмерная модель термического пика для описания тепловых процессов и изучения физических эффектов в материалах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий; V

• Динамическая модель полярона для изучения эволюции возбужденных состояний полярона.

Эти модели объединены в диссертации объектом численного исследования, которым являются нелинейные задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Современный этап развития характеризуется широким использованием средств вычислительной техники и численного моделирования. Эти вычислительные средства существенно расширяют возможности теоретических исследований. Возможности прямого сопоставления с натурными экспериментами поставили проблему более тесной взаимосвязи экспериментальных и теоретических исследований. Математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях и при решении прикладных проблем в различных областях техники. Появление современных вычислительных машин, быстрое развитие вычислительной математики, повсеместное использование вычислительной техники чрезвычайно расширило возможности математического моделирования. Вычислительные средства, под которыми мы понимаем компьютеры и вычислительные методы, позволили решать с приемлемой точностью и за разумное время задачи, которые ранее были недоступны для исследования, дали возможность реализовать крупнейшие научно-технические проекты.

Одной из перспективных и быстро развивающихся областей применения математического моделирования является радиационная физика как область физической науки, возникшая на стыке физики твердого тела, ядерной физики и физики высоких энергий. Значение радиационной физики непрерывно растет в связи с ее многочисленными приложениями для космических исследований, ядерной энергетики и т.д. Результаты радиационной физики представляют не только прикладной, но и общефизический интерес, позволяя, в частности, объяснить некоторые вопросы теории конденсированного состояния и фазовых переходов.

Активные исследования в области радиационной физики показали, что радиационно-стимулированные процессы приводят к качественному изменению свойств облучаемых материалов. Данное обстоятельство помимо чисто научного интереса породило значительные надежды на возможность технологического применения ускорителей заряженных частиц для модификации физико-химических свойств материалов и изделий. Одна из наиболее важных задач в разработке радиационных технологий - прогноз изменения структурно-фазового состояния облучаемой поверхности, которое зависит как от физических параметров вещества, так и от интенсивности источника излучения.

В основе модифицирующего воздействия заряженных частиц на твердое тело лежат тепловые процессы. Твердое тело при облучении плавится, испаряется, в нем образуются термомеханические напряжения, усиливается миграция атомов.

Значительный интерес также представляют исследования процессов перемешивания компонент при облучении тяжелыми ионами высоких энергий двухслойных структур в виде относительно тонкого слоя, нанесенного на более массивную подложку. В этом случае удается получить достаточно хорошую адгезию, то есть перемешивание материалов двухслойной структуры на границе раздела, а также достигнуть перемешивания взаимно нерастворимых структур. Исследование процессов образования треков тяжелых ионов в различных материалах, отличающихся теплофизическими и структурными свойствами, дает возможность более детально изучить механизмы взаимодействия налетающих частиц с материалами.

Большой интерес представляет исследование динамической модели по-лярона, позволяющей выявить общие условия образования локализованных структур в конденсированных средах. Так, сравнительно недавно был обнаружен переход поверхности оксидных диэлектриков в высокопроводящее состояние под действием ионного облучения, при котором имеет место рост поверхностной электропроводимости более чем в 5-6 раз. Одной из популярных моделей описания этих изменений в кристаллах является модель поляронов (поляроны малого радиуса, моно- и биполяроны). Помимо этого, полярон-ные состояния используются в современной наноэлектронике при описании переходов в квантовых точках. Поляронными эффектами объясняются полосы поглощения центров окраски в ионных кристаллах. В полярных средах сольватированные состояния электронов представляют собой поляронные состояния и определяют химические реакции, играя роль сильнейшего восстановителя. В полимерах поляроны являются основными носителями тока. Их проводящие свойства используются при создании сверхлегких проводников и аккумуляторов. В биологии поляроны объясняют возможность переноса энергии на большое расстояние. Их изучение дает основу для создания таких качественно новых устройств нанобиоэлектроники, как нанобиочипы и электронные нанобиосенсоры.

В связи с тем, что проведение натурных экспериментов в этих областях сопряжено с большими трудностями, особенно важную роль приобретает проведение математического моделирования. Для этого требуется разработка эффективных вычислительных схем и алгоритмов, а также проведение достаточно трудоемких вычислительных экспериментов, но в ряде случаев этот путь намного выгоднее, чем проведение натурных экспериментов.

Целью диссертационной работы является

1. Развитие методов математического моделирования взаимодействий ускоренных заряженных частиц с веществом. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

• Обобщение трехмерной модели термического пика, учитывающее нелинейную зависимость теплофизических параметров модели от температуры;

• Построение математических моделей процессов, имеющих практическую ценность, таких как воздействие тяжелых заряженных частиц на однослойные, двухслойные и анизотропные материалы;

• Разработка эффективных вычислительных схем, алгоритмов и программ для решения вышеперечисленных задач;

• В рамках предложенных моделей изучение влияния тепловых процессов на формирование треков в различных материалах.

2. Проведение численного эксперимента по изучению динамики полярон-ных состояний:

• Разработка алгоритма и программы для моделирования эволюции полярона с учетом трения в системе;

• Изучение эволюции полярона с различными начальными распределениями заряда.

Научная новизна.

1. Впервые проведено численное исследование трехмерной модели термического пика с учетом нелинейности теплофизических параметров. Проведены численные эксперименты для исследования температурных процессов в материалах при облучении их тяжелыми ионами высоких энергий и их влияния на образование треков. а) Показано, что в нелинейной модели тепловые процессы в кристаллической решетке происходят значительно медленнее, чем при постоянных теплофизических параметрах. б) В проведенных численных экспериментах определены максимальные размеры областей, в которых температура кристаллической решетки достигает температуры плавления материала. в) Исследовано влияние тепловых процессов на улучшение взаимного смешивания слоёв в двухслойных структурах при облучении тяжелыми ионами.

2. Впервые проведено численное исследование динамической модели по-лярона с учетом трения в системе. а) Численные эксперименты показали, что если в начальный момент времени полярон находился в (основном или возбужденном) стационарном состоянии, то он сохраняется в этом состоянии независимо от наличия или отсутствия трения в системе. б) Показано, что начальное распределение заряда, заданное суперпозициями стационарных состояний полярона, при наличии в системе трения эволюционирует в основное состояние. При отсутствии трения эволюция в основное состояние не наблюдается в течение физически значимого промежутка времени.

Практическая значимость. В диссертации впервые в рамках трехмерной нелинейной модифицированной модели термического пика исследованы тепловые процессы в различных материалах при облучении тяжелыми ионами высоких энергий, что позволяет получить новую информацию о процессах изменения свойств облучаемых материалов.

Исследования облучения никелевой мишени ионами урана с энергией 700 МэВ показали, что полученные оценки параметров треков (диаметр 230Á) качественно описывают экспериментальные данные.

При облучении двухслойных образцов на примере Ni (2 mkm)/W ионами висмута с энергией 710 МэВ оценены размеры области вдоль траектории иона, где происходят процессы плавления. Это приводит к увеличению коэффициента адгезии, т.е. взаимного перемешивания компонент двух материалов, что является весьма важным при создании двухслойных структур из материалов с различными свойствами.

Выполненные численные исследования тепловых процессов при облучении высоко-ориентированного пиролитического графита (ВОПГ) показали, что при облучении ионами 209Bi (710 МэВ) температура ВОПГ превышает температуру сублимации и приводит к дефектным структурам типа кратеров на поверхности, которые отсутствуют при облучении ионами 8бКг (253 МэВ), что подтверждается экспериментальными данными.

Разработанные в диссертации вычислительные схемы, алгоритмы и комплексы программ для исследования модели термического пика в настоящее время используются в ОИЯИ для исследования тепловых процессов и оценок параметров треков при облучении различных конденсированных сред тяжелыми ионами высоких энергий.

Алгоритм п программа для решения динамической модели полярона используются в ОИЯИ, а также в ИМПБ РАН г. Пущино.

Апробация работы. Основные положения и результаты представлены и докладывались на международных и российских конференциях: „XV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов»" (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2008); II Международная Конференция „Математическая Биология и Биоинформатика" (Пущино, Россия, 2008); „X и XII научные конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ (Дубна, 2006, 2008); ,У и VI Национальные конференции по применению Рентгеновского, Синхротронного излучений, Нейтронов и Электронов для исследования наноматериалов и наносистем" (РСНЭ НАНО-2005 и 2007, ИК РАН, Москва), а также на семинарах по вычислительной физике Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований и на заседании программно-консультационного комитета ОИЯИ по физике конденсированных сред.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 печатных работах, из которых б статей в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК, и 8 работ в материалах конференций .

Личный вклад автора. Формулировки решенных в диссертации задач, разработка математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, а также компьютерные расчеты и анализ численных результатов выполнены соискателем самостоятельно. Более общие постановки задач, физическая интерпретация, анализ точности и достоверности полученных результатов проводились соискателем совместно с научными руководителями и соавторами.

Степень достоверности результатов. Достоверность результатов численного моделирования подтверждается тестированием разработанных комплексов программ и сопоставлением результатов, полученных с использованием различных вычислительных схем (явная схема и схема переменных направлений), расчетами на последовательностях сгущающихся сеток, на модельных задачах, а также сравнением с экспериментальными данными и численными результатами других авторов.

Оценки полученных в диссертации параметров треков качественно подтверждаются экспериментальными данными, полученными в Л ЯР ОИЯИ при облучении различных материалов тяжелыми ионами высоких энергий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список литературы содержит 95 наименования. Полный объем диссертации 105 страниц машинописного текста, включая 4 таблицы и 23 рисунка.

Основные результаты диссертации которые выносятся на защиту:

1. Разработаны алгоритмы, созданы, протестированы и применены эффективные вычислительные схемы и программы с использованием экономичных консервативных разностных схем для решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих модель термического пика. Проведено численное исследование и получены следующие результаты: а) Проведен сравнительный анализ результатов исследования линейной и нелинейной моделей термического пика. Показано, что учет нелинейности приводит к тому, что моделируемые тепловые процессы в кристаллической решетке происходят значительно медленнее, чем при постоянных теплофизических параметрах. Оценены максимальные области в материалах, где могут образоваться треки. б) В случае облучения никеля ионами урана с энергией 700 МэВ мак симальные размеры области в никеле, где температура превышает температуру плавления, равны D™^¡¡¿ ~ 230Á; Z™^ ~ 140 - 103Á (-^max ~ оценка максимального диаметра и - оценка максимальной глубины, где может происходить плавление); в) При облучении двухслойной структуры Ní(2mkm)/W ионами висмута с энергией 710 МэВ и при неидеальных условиях теплопередачи (теплового контакта) в плоскости стыковки материалов максимальные размеры, где может происходить плавление, равны Dm^íz = - 222А (на поверхности никеля); D™£(z = Н) ~ ~ 219Á {z = Н - граница раздела материалов);

Модель термического пика обобщена для исследования облучения двухслойных материалов. Исследовано влияние температурных эффектов облучения двухслойных структур тяжелыми ионами высоких энергий на улучшение адгезии на границе двух материалов.

Модель термического пика адаптирована для исследования тепловых процессов в анизотропных материалах, облучаемых тяжелыми ионами. На основании численного моделирования подтверждены экспериментальные данные о наличии структур типа кратеров на поверхности ВОПГ при облучении ионами 209Bi и их отсутствие в случае облучения ионами 86Кг.

4. Разработаны алгоритмы, создано программное обеспечение и проведено численное исследование уравнений, описывающих динамику полярон-ных состояний с учетом трения в системе. а) Для численного решения и визуализации процесса эволюции поля-ронных состояний разработан комплекс программ с использованием графических средств Compaq Visual Fortran для ОС Windows. б) Показано, что начальное распределение заряда, заданное суперпозициями стационарных состояний при наличии в системе трения эволюционирует в основное состояние. При отсутствии трения эволюция в основное состояние не наблюдается.

3.

БЛАГОДАРНОСТИ

Я выражаю искреннюю и глубокую признательность моим научным руководителям Дидыку А.Ю. и Амирханову И.В. за постановку задач, за всестороннюю помощь, поддержку и постоянное внимание. Я глубоко благодарен Пузыпину И.В., Пузыниной Т.П. и Земляной Е.В. за поддержку, за неоценимую помощь на всех этапах работы.

Я благодарен всем моим соавторам, в сотрудничестве в которыми были получены результаты, отраженные в диссертации. Это Амирханов И.В., Дидык А.Ю., Лахно В.Д., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Земляная Е.В., Сархадов И., Саркар Н.Р., Шарипов З.А.

Я очень благодарен Амирханову И.В., Пузыниной Т.П., Земляной Е.В., Иванченко И.М., Шарипову З.А., Гусейнову H.A. за то, что они взяли на себя труд прочесть различные разделы диссертации и внесли ряд важных замечаний и предложений. Я благодарю всех тех, кто проявил внимание к работе, оказал помощь и поддержку на разных этапах, сделал полезные замечания и рекомендации.

Отдельно хочу поблагодарить дирекцию Лаборатории Информационных Технологий Объединенного Института Ядерных Исследований за предоставленные хорошие условия для работы.

Благодарю коллектив Отдела вычислительной физики и весь коллектив ЛИТ ОИЯИ за творческую научную обстановку и дружескую атмосферу.

Благодарю коллектив Издательского отдела за профессиональную работу и помощь в оформлении материалов диссертации.

Я искренне признателен своей семье, своим родным и близким за поддержку и любовь.

Заключение

1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС. 2003. 784 с.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т. V. Атомная и ядерная физика. 2-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ. Изд-во МФТИ. 2002. 784 с.

3. Шарипов З.А. Математическое моделирование тепловых процессов в материалах при облучении тяжелыми ионами высоких энергий: дис. канд. физ.-мат. наук / Шарипов Зариф Алимжонович; ОИЯИ. Дубна. 2010. 100 с.

4. Fleisher R. L., Price Р. В., Walker R. M. Ion explosion spike mechanism for formation of charged-particle tracks in solids // J. Appl. Phys. 1965. V. 65. № 11. P. 3645-3652.

5. Fleisher R. L., Price P. В., Walker R. M. Nuclear Track in Solids: principles and applications. Berkeley, CA: University of California Press, 1975. 605 p.

6. Klaumunzer S., Ming-dong Hou, Schumacher G. Coulomb Explosions in a Metallic Glass Due to the Passage of Fast Heavy Ions // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 850-853.

7. Lesueur D., Dunlop A. Damage creation via electronic excitations in metallic targets part II: A theoretical model // Rad. Eff. Def. Sol. 1993. V. 126. P. 163-172.

8. Метелкин E. В., Рязанов А. И. Возникновение эффективного электрического поля в трековых областях при торможении быстрых тяжелыхзаряженных частиц в материалах // ЖЭТФ. 2000. Т. 117. Вып. 2. С. 420-428.

9. Метелкин Б. В., Рязанов А. И., Павлов С. А., Жемеров А. В. Влияние кулоновского взрыва на процесс образования треков в металлах при облучении тяжелыми ионами // ЖЭТФ. 2005. Т. 128. Вып. 1. С. 139-149.

10. Лифшиц И. М., Каганов М. И., Танатаров J1. В. К теории релаксационных изменений в металлах // Атомная энергия. 1959. Т.6. С. 391-402.

11. Wang Z. G., Dufour Ch., Paumier E. et al. The Se sensitivity of metals under irradiation swift-heavy-ion irradiation: a transient thermal process // J. Phys.: Condens. Matter. 1994. V.6. № 34. P. 6733-6750.

12. Toulemondc M., Dufour C., Meftah A. et. al. Transient thermal processes in heavy ion irradiation of crystalline inorganic insulators // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 2000. V. 166-167. P. 903-912.

13. Yavlinskii Yu. Track formation in amorphous metals under swift heavy ion bombardment // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 1998. V. 146. № 1-4. P. 142-146.

14. Каганов M. И., Лифшиц И. M., Танатаров Л. В. Релаксация между электронами и решеткой // ЖЭТФ. 1956. Т.31. № 2(8), С. 232-237.

15. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука. 1978. 793 с.

16. Мартыненко Ю. В., Явлинский Ю. Н. Охлаждение электронного газа металла при высокой температуре // ДАН СССР. 1983. Т. 270. № 1. С. 88-91.

17. Perspective of polarons. / Chuev G. N., Lakhno V. D. (eds.) Singapore: World Scientific. 1996. 250 p.

18. Фирсов А. Ю. (ред.) Поляроны. М.: Наука. Главная редакция Физико-математической литературы. 1975. 424 с.

19. Polarons and Applications / Ed. by V.D. Lakhno. Wiley. Chichester. 1994.

20. Булычева А. А., Пичугин В. Ф. Модифицирование ионной бомбардировкой свойств сильно легированных окисью магния кристаллов LiNbOs // Поверхность. Рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. 2006. № 10. С. 63-68.

21. Брыксин В. В. Перескоковая проводимость малых поляронов с внутри-узельным притяжением (биполяроны) // ФТТ. 1989. Т. 31. В. 7. С. 6-15.

22. Давыдов А. С., Энольский В. 3. Трехмерный солитон в ионном кристалле // ЖЭТФ. 1981. Т. 81. вып. 3(9). С. 1088-1098.

23. Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. М.: Го-стехиздат. 1951. 256 с.

24. Satoru J. Miyake. Strong-Coupling Limit of the Polaron Ground State // J. Phys. Soc. Jpn. 1975. V. 38. P. 181-182.

25. Комаров JI. И., Крылов Е. В., Феранчук И. Д. Численное решение нелинейной самосогласованной задачи на собственные значения // ЖВМ и МФ. 1978. Т. 18. вып. 3. С. 681-691.

26. Амирханов И. В. Пузынин И. В., Родригес К. и др. Численное исследование одной спектральной задачи в оптической модели поляропа // Сообщение ОИЯИ Р11-85-445. Дубна. 1985.

27. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

28. Турчак J1. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.

29. Lesueur D. Amorphisation par irradiation aux flagmats de fussion d'un allige. Pd-Si // Radiat. Effects. 1975. V. 24, № 2. P. 101-110.

30. Баранов И. А., Цепелевич С. О., Явлинский Ю. Н. Неупругое распеление твердых тел // УФН. 1988. Т. 156. № 3. С. 477-510.

31. Баранов И. А., Кривохатский А. С., Обнорский В. В. Механизм распыления материалов тяжелыми многозарядными ионами осколками деления // ЖТФ. 1981. Т. 51. № 12. С. 2457-2457.

32. Chanel М., Hansen J., Laurent J. -M. et al. Experimental Investigations of Impact-Induced Molecular Desorption by 4.2 MeV/u Pb ions // CERN/PS 2001-040 (AE). 2001 Particle Accelerator Conference, 18th-22nd June 2001. P. 1-4.

33. Toulemonde M. Nanometric phase transformation of oxide materials under GeV energy heavy ion irradiation // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. В 1999. V. 156. № 1-4. P. 1-11.

34. Neumann R. Scanning probe microscopy of ion-irradiated materials // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 1999. V. 151. № 1-4. P. 42-55.

35. Furuno S., Otsu H., Hojou K. et al. Tracks of high energy heavy ions in solids // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 1996. V. 107. № 1-4. P. 223-226.

36. Dufour С., Audouard A., Beuneu F. et al. A high-resistivity phase induced by swift heavy-ion irradiation of Bi: a probe for thermal spike damage //J. Phys.: Condens. Matter. 1993. V. 5. № 26. P. 4573-4584.

37. Didyk A. Yu., Varichenko V. S. Track structure in dielectric and semiconductor single crystals irradiated by heavy ions with high level of inelastic energy loss // Radiat. Meas. 1995. V. 25. № 1-4. P. 119-124.

38. Baranov I., Hakanson P., Kirillov S. et al. Desorpsion of nanoclusters (2-40 nm) from nanodispersed metal and semiconductor layers by swift heavy ions // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 2002. V. 193. P. 798-803.

39. Baranov I. et al. Sputtering of nanodispered targets of gold and desorption of gold nanoclusters (2-100 nm) 6 MeV Au5 cluster // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 2002. V. 193. P. 809-815.

40. Афанасьев Ю. В., Демченко H. Н., Завестовская И. Н. и др. Моделирование абляции металлов ультракороткими лазерными импульсами // Известия РАН. Серия: физическая. 1999. Т. 63. № 4. С. 667-675.

41. Анисимов С. И., Ретфельд Б. К теории взаимодействия сверхкороткого лазерного импульса с металлом // Известия РАН. Серия: физическая. 1997. Т. 61. № 8. С. 1642-1655.

42. Seitz F., Koehler J. S. // Sol. St. Phys. 1956. V. 2. P. 305.

43. Vineyard G. H. Thermal spikes and activated processes // Radiat. Eff. 1976. V. 29. № 4. P. 245-248.

44. Лифшиц И. M. О температурных вспышках в среде, подверженной действию ядерного излучения // ДАН СССР. 1956. Т. 109. № 6. С. 1109-1111.

45. Гегузин Я. Е., Каганов М. И., Лнфшнц И. М. Влияние длины свободного пробега электронов на образование трека траектории заряженной частицы в металле // ФТТ. 1973. Т. 15. № 8. с. 2425-2428.

46. Давыдов А. А., Калиниченко А. И. Механические эффекты вблизи ионных треков и термических пиков // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение. Москва. 1985. Вып. 3(36). С. 27-30.

47. Amirkhanov I. V., Zemlyanaya Е. V., Puzynin I. V. et al. Numerical Simulation of Evaporation of Metals under the Action of Pulsed Ion Beams // Crystallography Reports. V. 49. Suppl. 1. 2004. P. 118-123.

48. Амирханов И. В., Земляная Е. В., Пузынин И. В. и др. Численное моделирование фазовых переходов в металлах, облучаемых импульсными ионными пучками // Сообщение ОИЯИ Р11-2001-164. Дубна. ОИЯИ. 14 с.

49. Cheblukov Y. N., Didyk A. Yu., Hofman A. et al. The influence of defect structure on the surface sputtering of metals under irradiation of swift heavy ion in the inelastic energy loss region // Nucleonika. 2004. 49(1). P. 15-21.

50. Cheblukov Y. N., Didyk A. Yu., Khalil A. et al. Sputtering of metals by heavy ions in the inelastic energy loss range // Vacuum. 2002. 66. P. 133-136.

51. Чеблуков Ю. H., Дидык А. Ю. Федотов А. С. и др. Изменение структуры поверхности высокоориентированного пиролитического графита под воздействием быстрых тяжелых ионов // Перспективные материалы. 2001. № 5. С. 42-45.

52. Dufour С., Lesellier de Chezelles Е., Delignon V. et al. In: Modificationsinduced by irradiation in glasses. / Ed.: P. Massoldi, Amsterdam: North-Holland. 1992. P. 61.

53. Dufour C., Paumier E., Toulemonde M. A transient thermodynamic model for track formation in amorphous metallic alloys // Radiat. Eff. and Defects in Solids. 1993. V. 126. P. 119-122.

54. Waligorski M. R. P., Hamm R. N., Katz R. The radial distribution of dose around the path of a heavy ion in liquid water // Nucl. Tracks and Radiat. Meas. 1986. V. 11. P. 306-319.

55. Bitensky I. S., Dimirev P., Sundqust B. U. R. On model of fullerene formatiom from polymer under MeV ion impact // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 1998. V. 82. P. 356-361.

56. Музафаров Д. 3. Исследование тепловых процессов при облучении материалов тяжелыми ионами высоких энергий // Труды X научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ. Дубна. 2006. С. 43-47.

57. Амирханов И. В., Земляная Е. В., Лахно В. Д. и др. Математическое моделирование эволюции поляронных состояний // Тезисы докладов

58. VII Национальной конференции „РСН-НБИК-2009". ИК РАН, РНЦ КИ, Москва. 2009. С. 498.

59. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

60. Biersack J. P., Haggmark L. G. A Monte Carlo computer program for the transport of energetic ions in amorphous targets // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B. 1980. V. 174. P. 257-269 (URL: http://www.srim.org).

61. Boise W., Schattat В. Atomic mixing in thin film systems by swift heavy ions // Nucl. Instr. and Meth. in Phys.Res. B. 2002. V. 190. P. 173-176.

62. Leguay R., Dunlop A., Dunstetter F. et al. Atomic mixing induced in metallic bilayers by high electronic excitations // Nucl.Instr. and Meth. in Phys.Res. B. 1995. V. 106. P. 28-33.

63. Boise W. Atomic transport in thin film systems under heavy ion bombardment // Surf. And Coating Techn. 2002. V. 158-159. P. 1-7.

64. Амирханов И. В. и др. Температура в двухслойных материалах вдоль проективного пробега тяжелого иона высокой энергии в модели термического пика // Письма в ЭЧАЯ. 2006. Т. 3. № 1(30). С. 63-75.

65. Амирханов И. В. и др. Применение модели термического пика для расчета температуры в двухслойных структурах вдоль проективного пробегатяжелого иона высокой энергии // Письма в ЭЧАЯ. 2006. Т. 3. № 5(134). С. 80-91.

66. Амирханов И. В. и др. Распыление твердых тел под действием тяжелых ионов и температурные эффекты в электронной и решеточных подсите-мах // ЭЧАЯ. 2006. Т. 37. вып. 6. С. 1592-1644.

67. Луканин В. Н. и др. Теплотехника. М.: Высш. шк., 2003. С. 281.

68. Алферов Ж. И. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии (Нобелевская лекция. Стокгольм, 8 декабря 2000 г.). // УФН. 2002. Т. 172. № 9. С. 1068-1086.

69. Binning G., Rohrer Н., Gerber Ch., and Weibel E. Surface studies by scanning tunneling microscopy // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. № 1. P. 57-61.

70. Михушкин В. M., Сысоев С. Е., Гордеев Ю. С. Создание наноструктур ионной бомбардировкой полупроводников и высокотемпературных сверхпроводников // Изв. РАН. Сер. физ. Т. 66. № 4. Р. 588-592.

71. Комаров Ф. Ф. Дефектообразование и трскообразование в твердых телах при облучении ионами сверхвысоких энергий // УФН. 2003. Т. 173. № 12. С. 1287-1318.

72. Фиалков А. С. Углерод, межслоевые соединения и композиты на его основе. М.: Аспект пресс. 1997. 505 с.

73. Дидык А. Ю., Латышев С. В., Семина В. К. и др. Влияние облучения ионами криптона с энергией 305 МэВ на высоко-ориентированный пиро-литический графит. // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26. вып. 17. С. 1-5.

74. Cheblukov Yu. N. et al. Surface structure changes of high oriented pyrolytic graphite under influence of swift heavy ions // Journal of Advanced Materials. 2001. № 5. P. 42-45.

75. Физические величины. Справочник / Под ред. Григорьева И. С., Мей-лихова Е. 3. М.: Энергоатомиздат. 1991. 1232 с.

76. Савватимский А. И. Плавление графита и жидкий углерод // УФН. 2003. Т. 173. № 12. С. 1371—1379.

77. Асиновский Э. И., Кириллин А. В., Костановский А. В. Экспериментальное исследование термических свойств углерода при высоких температурах и умеренных давлениях // УФН. 2002. Т. 172. № 8. С. 931-944.

78. Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова Думка. 1988. 304 с.

79. Компьютеры и суперкомпьютеры в биологии. / Под. ред. Лахно В. Д. и Устинина М. Н. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 528 с.

80. Lakhno V. D. Dynamical polaron theory of the hydrated electron. // Chemical Physics Letters. 2007. T. 437. C. 198-202.

81. Амирханов И. В., Земляная Е. В., Лахно В. Д. и др. Численное исследование динамики поляронных состояний // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2009. № 213]. С. 5-14.

82. Амирханов И. В., Земляная Е. В., Лахно В. Д. и др. Численное моделирование эволюции состояний полярона // Вестник РУДН. Серия: Математика, Информатика, Физика. 2010. № 2, вып. 2. С. 64-69.

83. Амирханов И. В., Земляная Е. В., Лахно В. Д. и др. Математическое моделирование эволюции поляронных состояний // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2011. № 1. С. 66-70.

84. Музафаров Д. 3. Изучение динамических уравнений для полярона в бесконечной полярной среде // Труды XII научной конференции молодых учёных и специалистов ОИЯИ. Дубна. 2008. С. 96-99.

85. Музафаров Д. 3. Численное исследование динамических уравнений дляполярона // Материалы XIII международной научной конференции молодых ученых „Ломоносов-2008". Москва, МГУ. 2008. С. 74-76.

86. Амирханов И. В., Земляная Е. В., Лахно В. Д. и др. Численное исследование динамики поляронных состояний // Доклады II международной конференции Математическая Биология и Биоинформатика. Пущино. 2008. С. 15-16.

87. Пузынин И.В. и др. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей. //ЭЧАЯ. 1999. Т. 30. вып. 1. С. 210-262.