автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование моделей полярона и кваркония на основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона

Р Г Б ОД

•' ' !

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

11-94-250

На правах рукописи УДК 517.9+519.6:519.62:519.64

ЗЕМЛЯНАЯ Елена Валериевна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ПОЛЯРОНА И КВАРКОНИЯ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО НЕПРЕРЫВНОГО АНАЛОГА МЕТОДА НЬЮТОНА

Специальность: 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1994

Работа выполнена в Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители: кандидат физико - математических паук ЛМИ 1'ХЛ 1 К) 1! И.]}, кандидат физико - математических наук ПУЗЫНИНЛ Т.П.

Официальные оппоненты:

Доктор физико - математических наук профессор РЯБОВ 10.Л.

Доктор физико - математических наук ИИ1ШЦКИИ С.И.

Ведущее научно - исследовательское учреждение: Научно - исследовательский институт физики Санкт-Петербургского Го-суда рственного Университета, Санкт-Петербург.

Автореферат разослан " ^^^¿Г 1994 г

ода.

Защита диссертации состоится " ^ " ^^^^^ 1994 года в " ^¿^ часов на заседании Специализировамного ученого совета Д047.01.04 при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЛИ.

Ученый секретарь Совета кандидат физико - математических наук \Л Ап З.М.Иванченко

з.м.и,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Представляемая диссертация посвящена актуальной проблеме — разработке методов и программного обеспечения для численного исследования нелинейных задач, возникающих в рамках двух известных и активно используемых моделей теоретической физики. Изучаемые задачи относятся к таким ее разделам, как теория полярона и квантовая хромодинамика.

Первая из рассматриваемых в диссертации моделей — это обобщенная поляронная модель Латтинжера - Лу1, в терминах которой дается описание целого ряда физических процессов, таких, например, как взаимодействие электрона проводимости с продольными эптическими фононами в полярных кристаллах, химические реакции в поляризующихся жидкостях, связанные колебания фононов в теории динамики решеток, эффекты фотовозбуждения электронов в кристаллах и др.

Уровни энергии и волновые функции полярона в рамках рассматриваемого в диссертации приближения определяются как решения ¡адачи на собственные значения для нелинейного интегродифферен-диалыюго уравнения в трехмерном координатном пространстве, по-тученного из условия минимума функционала энергии полярона.2

Особенно актуальным в настоящее время является вопрос суще-зтвования и нахождения поляронных состояний, отличных от сфери-тески симметричных, что связано с потребностью изучения проблемы )лектронного переноса возбужденных состояний в различных конден-шрованных средах. В диссертации исследуются некоторые классы 1есимметричных решений уравнения полярона на основе их разло-кения по сферическим функциям.

'ЬиНидег Л.М., Ьи С.У. // РЬув.аеу. В, у.21, 10, р.425-426, 1980.

2 Возбужденные поллронные состояния в конденсированных средах. // Сборник научных трудов, НЦБИ АН СССР, Пущино, 1990.

Вторая рассматриваемая в диссертации модель является активно развиваемым в последнее время в квантовой хромодинамике (КХД) обобщением нерелятивистской модели кварков3, которое сводится к системе уравнений Швингера - Дайсона (Ш-Д) для кварков и Бете - Солпитера (Б-С) для связанных состояний кварков с единым фено-

4

менологическим потенциалом.

Интерес к исследованию указанной модели связан с планированием экспериментов на сверхмощных ускорителях и обусловлен открывающейся возможностью единообразного описания поведения как легких, так и тяжелых кваркониев. В диссертации проведено численное исследование уравнений Ш-Д и Б-С с потенциалом Гаусса.

Поскольку все изучаемые в диссертации задачи могут рассматриваться как нелинейные функциональные уравнения в В - пространстве, в качестве единой математической базы для их численного исследования используется обобщенный подход на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН)5, являющегося, как известно, эффективным средством численного решения таких уравнений. Ньютоновские итерационные схемы успешно применяются для решения широкого круга задач, возникающих при исследовании различных моделей теоретической физики.6

Применение обобщения НАМН и его модификаций позволяет в создаваемых вычислительных схемах максимально учитывать специфику конкретных классов задач при сохранении единого подхода к их решению.

Работы, положенные в основу диссертации, выполнены в соответствии с планом научно - исследовательских работ ОИЯИ.

3A.Le Yaouanc, L.Oliver, Р.Репе and J.C.Raynal. Spontaneous breaking of chiral symmetry for confining potentials // Phys. Rev. D29, p.1233,1984; Quark model of light mesons with dynamically broken chiral symmetry. // Phys. Rev. D31, p.137, 1985.

4Калиновский Ю.Л., Каллис В., Куранов Б.Н., Первушин В.Н., Сариков Н.А. Билокальные мезонные лагранжианы и потенциальная иодель. // Ядерная физика, т.49, стр. 1709 - 1717, 1989.

5Жанлав Т.,Пузынин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. // ЖВМиМФ, 1992, 32, 6, с.846-856; Жанлав Т.,Пузынин И.В. Эволюционный ньютоновский процесс решения нелинейных уравнений. // ЖВМиМФ, 1992, 31, 1, с.3-12.

6Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики. // Физ. элементарных частиц и атомного ядра. 1973, Т. 4, Вып.1, с. 127-165.

Целью работы является:

• На основе единого подхода, определяемого обобщением НАМН, с использованием модифицированных алгоритмов разработать вычислительные схемы и программное обеспечение для численного исследования уравнений полярона (модель Латтинжера -Лу) и уравнений Ш-Д и Б-С (кварковая потенциальная модель

КХД).

• Провести численное исследование уравнения полярона для указанной модели с использованием разложения решений по сферическим функциям.

• Выполнить численное исследование уравнений Швингера -Дайсона и Бете - Солпитера с потенциалом Гаусса.

Научная новизна

В диссертации на основе единого подхода, определяемого обобще-шем НАМН, разработаны алгоритмы, итерационные схемы и про-раммное обеспечение, позволившие провести численное исследова-ше уравнения полярона в рамках модели Латтинжера - Лу и ура-шений Ш-Д и Б-С в рамках кварковой потенциальной модели КХД.

Особенно важное значение в связи с развитием векторно - парал-гельных вычислительных систем приобретает представленный в дис-:ертации новый модифицированный алгоритм на основе обобщения IAMH, открывающий широкие возможности для распараллеливания i векторизации вычислений. Эффективность предложенного алго->итма для векторных систем подтверждается вычислениями на век-орной ЭВМ CONVEX С120.

Проведено исследование нелинейной самосогласованной спек-ральной задачи в рамках обобщенной поляронной модели Латтин-кера - Лу. Впервые для этой модели получены несферические реще-[ия уравнения полярона в виде их аппроксимации разложением по :ферическим функциям.

Выполнено численное исследование уравнений Ш-Д и Б-С с по-енциалом Гаусса и впервые получены параметры для одновремен-гого описания массовой функции кварка, энергии и константы рас-гада основного состояния пиона.

Практическая ценность

В диссертации получен ряд важных результатов по разработке модифицированных итерационных схем на основе обобщенного аналога метода Ньютона и создано программное обеспечение, позволившее при численном исследовании изучаемых задач получить ряд интересных физических результатов.

При этом разработанные алгоритмы, вычислительные схемы и программы имеют самостоятельную ценность и могут применяться для решения других задач.

В частности, в настоящее время с использованием разработанного программного обеспечения в рамках модели кваркония проводятся расчеты с потенциалом Юкавы, комбинацией гауссовского и осцилляторного потенциалов, комбинацией линейного и кулоновского потенциалов, а также для потенциала Гаусса с включением температурной зависимости.

Апробация работы

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах JIBTA ОИЯИ, на международном совещании "Polarons and Applications" (Пущино, Россия, май 1992), международной конференции "Mathematical Methods for Solving Physical Problems" (Дубна, Россия, июнь 1993), международном совещании в рамках программы "Гейзенберг - Ландау" (Росток, Германия, май 1994) и международном рабочем совещании CONVEX - Metacomputing (Дубна, Россия, май 1994).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, в том числе в виде препринтов ОИЯИ, в трудах совещаний, в журнале "Математическое моделирование" и сборнике "JINR Rapid Communications" .

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 106 страниц, 18 рисунков, 24 таблицы и список цитируемой литературы, включающий 102 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткое описание изучаемых в диссертации задач, обосновывается их актуальность и обсуждаются некоторые особенности, определившие выбор методов численного исследования, сформулированы основные требования, предъявляемые к вычислительным схемам, описывается структура диссертации и ее краткое содержание по главам.

Первая глава посвящена описанию модифицированных итерационных схем на основе обобщенного НАМИ.

Первый раздел этой главы носит обзорный характер. В нем рассматривается общий подход к решению нелинейных функциональных уравнений вида

Т(г) = 0 (1)

в В - пространстве, определяемый НАМИ и его обобщением, обсуждаются различные аспекты его использования для решения конкретных задач, приводятся оценки точности ньютоновских итерационных схем и формулировки некоторых теорем, касающихся сходимости метода, рассматриваются варианты модифицированных схем на основе НАМИ.

В разделе 2 представлен модифицированный алгоритм на основе эбобщенного НАМИ с одновременным вычислением оператора, обратного производной нелинейной функции,путем замены обращения этого оператора на каждом итерационном шаге перемножением вспомогательных линейных операторов.

Согласно предлагаемому подходу вместо уравнения (1), представляющего исследуемую задачу, рассматривается следующая система функционально - операторных уравнений

\ 6.4-1 = О, Ы

"де Л = ?'г,В = А-1, Т — единичный оператор.

Вводя непрерывный параметр ¿(0 < < < оо) и переходя, согласно обобщенному НАМИ, к системе эволюционных уравнений, после 1ростых преобразований и дискретизации непрерывного параметра то схеме Эйлера получаем формулы для вычисления г/с+1 = 1)

и Bk+i = B(tk.|_i), считая известными на каждом k-том шаге zk и Вк:

J Zfc+i = Zk + TfcVfc , ,

\ = Вк + тк\Ук W

где

У* = +

Wk = [I-Bk(Ak + A'kt)}Bk.

Использование такой модифицированной итерационной схемы предоставляет дополнительные возможности для векторизации и распараллеливания вычислений.

Приведенные результаты сравнительного анализа временных характеристик модифицированного и ^модифицированного алгоритмов применительно к численному решению ряда задач подтверждают эффективность предложенного алгоритма для векторных вычислительных систем (CONVEX С120).

Во второй главе дано описание двух программных пакетов, использовавшихся при численном анализе рассматриваемых в диссертации задач.

В разделе 1 описывается модифицированная ньютоновская итерационная схема и разработанный на ее основе программный комплекс SNIDE для решения задачи на собственные значения для нелинейного интегродифференциального уравнения

A, у(х)) = + Q(*) - Щх))у(х)+ (4)

ь

+уп{х) J I<(x,x')ym(x')dx' = 0,

а

где п = 0,1, m = 1,2, а < я < Ь, граничные условия имеют вид

ф{2)(\у(х)) = + МХ,х)]у(х) = 0, X = G,

ф{3)(\,у(х)) = №(А, х)4~ + МКх))у{х) = 0, х = Ь,

условие нормировки следующее:

ь

у{х)) = У у\х)йх - N = 0.

а

"Здесь (¿(х), Я(х), К(х, х') — заданные на [а, Ь] функции, обеспечивающие существование нетривиального решения, N — заданная нормировка, ¿\ + Л > 0, ¿1 + /| > 0.

Численная схема в представленном пакете реализована на неравномерной сетке с использованием аппроксимации кубическими сплайнами.

Программа применялась для численного решения уравнения по-лярона в сферически симметричном случае.

В разделе 2 дается описание ЗУЗШТХЭУБШТМ) — программного комплекса, разработанного с использованием изложенного в главе 1 модифицированного алгоритма и предназначенного для решения задачи на собственные значения для системы линейных интегральных уравнений:

л

Ф(г) = Я{х)ф{х) - Щх)ф(х) + I К(х,х')ф(х')<1х' = 0,

о

г = (Л, ф(х)), ф = {фг(х), ф2(х),..., фь{х)} ; условием нормировки

я

Г(г)= / йх^ф]{х)-0 = 0,

п 1=1

де

дп(х) ... д1Ь(®)\ / Яи{х) ... я1Ь{х)

1(х) = | ......... = ...

... Яьь{х)) \Яы{х) ... Яь^х)

(Къ{х,х>) ... Кц,(х,х')

К(х,х')=[ .........

\КЬ1{х,х') ... Км{х,х')

С^1т(х), Я1т(х), К1т(х, х') — известные функции.

Этот комплекс использовался для "численного решения уравнения Б-С при исследовании кварковой потенциальной модели КХД с потенциалом Гаусса.

Для каждого программного пакета приводятся численные примеры, иллюстрирующие его работу.

Третья глава посвящена численному исследованию уравнения полярона в рамках модели Латтинжера - Лу.

В разделе 1 с использованием разложения решений по сферическим функциям формулируется самосогласованная нелинейная спектральная задача:

■ФПг) - Хф,(г) - %,(г) + у £ ОиМФь (г) = О, I = 0,1,..., ¿т, г Г /1=0

К» - ЩУ-Щг) + 5,(г) =0, I = 0,1, (5)

гI

- - С2У2,(г) + ЗД = 0, I = 0,1,.., ь„,

г

условие нормировки имеет вид

г н

г

/ # (г)с1г = 1.

1 — п

Здесь

¡=о 0

ЯпМ^КиММ-УЖг)), 12=0 Е/т Ьт

11=012=0

Р/ — полиномы Лежандра, Ли С — константы, связанные с физическими параметрами модели, Л — собственные значения, определяющие уровни энергии полярона.

С учетом асимптотических свойств решений краевые условия на конечном интервале 0 < 7- < /?„, имеют вид:

ф1А(0)ф',(0) - г/,'1А(0)М0) = 0, (6)

тМЯтМДт) - Ф^ЪпШЪп) = (<)

К1л(0)^(0)-1/.'м(0)К-/(0) = 0,

Уг2А{ЯтЩ{Ит) - Уг'2Л(Ят)Уи(Ят) = О,

где

фхл = Аиг1+\ ф2Л = Л21е-^г, УпА = Виг1+1,

У12А = В21г-', У21А = Сиг'+\ = С21с-С'\

Ли, Вц, Сц — константы, г = 1,2.

Показано, что для сферически симметричного случая (Хт = О,/>„ = 0) задача может быть поставлена в виде нелинейной задачи на собственные значения для интегродифференциального уравнения:

л /

ф"(х) - Щх) + Аф(х)- [ = 0 (8)

х у х'

о

с граничными условиями (6),(7) и условием нормировки

п

ф\х)йх = —,

"Де

/г /■

п, / х' ~ {ехр{-Сх)зкСх')/С, х' < х,

а ] ~ \ х - (ехр(-Сх')з}1Сх)1С, х < х'.

В разделе 2 описывается итерационный процесс на основе сочетали НАМИ и метода последовательных приближений для численного

решения уравнения полярона. В соответствии с предлагаемым подходом, по аналогии с методами расщепления7, решение достаточно сложной нелинейной системы заменяется на каждом шаге последовательным решением относительно простых линейных задач.

В разделе 3 представлены численные результаты. Показано, что полученные решения в сферически симметричном случае согласуются с известными численными результатами работы8, а в.сферически несимметричном случае — с представленной в работе9 классификацией возможных решений уравнения полярона для модели Пекара.

В четвертой главе рассматривается кварковая потенциальная модель КХД.

В разделе 1 этой главы дается постановка задач Швингера - Дай-сона и Бете - Солпитера для гауссовского потенциала. Задача Ш-Д в этом случае имеет вид нелинейной системы двух интегральных уравнений:

' оо

Е(р)соз(2у(р)) = ш0 + У ¿д-\\{р,ц)соз(2ь(д)),

оо° (9)

Е(р)зт(2ь(р)) = р+ / dq-V2(p, q)sin(2v(q)),

J Р о

а задача Б-С для псевдоскалярных мезонов представляет спектральную задачу для системы двух линейных интегральных уравнений:

Миф) = Ег{р)иф)~ (10)

оо

-2 I dq[ф)C^)V1(p,q) + S^)sPv2(p,q)}Uil)(q)

I о

7Марчук Г.И. Методы вычислительной математики // Наука, М., 1989.

8Амирханов И.В. и др. Численное исследование нелинейной самосогласованной задачи на собственные значения в обобщенной модели полярона. // Препринт НЦБИ АН СССР, Пущино, 1988.

9Габдуллин P.P. Маломерная аппроксимация решений уравнения полярона Пекара. // Препринт НЦБИ АН СССР, Пущино, 1991.

с условием нормировки

где

УЦр,«/) = Р\схр{-/32{р2 + q2))sh{2/32pq)], V2{p,q) = ¿["M-^iP2 + q2))(2i32pqch{2(32pq) - sh{'2?pq))),

CP = соз(ы(р) ± v3(p)), SP = 3tiz(w,(p) ± v2(p)),

v\(p),v2(p) и E\{p), E2(p) - решения уравнения Шнингера - Дайсона цля кварка и антикварка с заданными массами ?7?0i и т02, Et(p) — Е\{р) + Е2(р) — полная энергия мезона, М — собственное значение ¡масса связанного состояния), — волновые функции мезона, ¡3 — заданный параметр потенциала.

В разделе 2 представлена общая схема численного исследования подели и методы численного решения уравнений Ш-Д и Б-С.

В разделе 3 обсуждаются результаты исследования модели для различных вариантов задачи Ш-Д (так называемых схем "перенормировки" волновой функции кварка). Показано, что в рамках обсу-кдаемой постановки модель удовлетворительно описывает динамическую массу кварка, а также массы и константы лептонного распада )Сновного состояния пиона.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты, выносящиеся на защиту:

• На основе обобщения непрерывного аналога метода Пыотона разработан новый модифицированный алгоритм, открывающий широкие возможности для распараллеливания и векторизации вычислений. Эффективность алгоритма для векторных систем подтверждена расчетами на векторной ЭВМ CONVEX С120.

• Построен и программно реализован итерационный метод решения нелинейной самосогласованной спектральной задачи в рамках обобщенной поляронной модели Латтинжера - Jly.

• Выполнено численное исследование уравнения полярона с использованием разложения решений по сферическим функциям. Полученные численные результаты согласуются с известными численными и теоретическими результатами работ других авторов.

• Впервые для модели JIаттишкера - Лу получены несферические решения уравнения полярона в виде их аппроксимации разложением по сферическим функциям.

• Разработаны и программно реализованы общая схема иследова-ния и методы решения уравнений Швингера - Дайсона и Бете - Солпитера в рамках модели кваркония.

• Выполнено численное исследование уравнений Швингера -Дайсона и Бете - Солпитера с потенциалом Гаусса.

• Впервые в рамках рассматриваемой модели получены параметры для одновременного описания массовой функции кварка, энергии и константы распада основного состояния пиона.

• На основе модификаций обобщенного аналога метода Ньютона составлены два программных пакета для решения задач на собственные значения: 1) — для интегродифференциального уравнения и 2) — для системы интегральных уравнений.

Работы, положенные в основу диссертации:

1. И.В.Амирханов, Е.В.Земляная, Т.П.Пузынина. SNIDE — пакет программ для решения задач на собственные значения для интегродифференциального уравнения // Сообщение ОИЯИ Р11-91-87, Дубна, 1991.

2. И.В. Амирханов, Е.В. Земляная, Т.П. Пузынина. Итерационный метод решения уравнения полярона в сферически симметричном случае // Сообщение ОИЯИ Р11-91-139, Дубна, 1991.

3. I.y.Amirkhanov, I.V.Puzynin, T.P.Puzynina, E.V.Zemlyanaya. Iteration method for solving the spherically non-symmetric po-laron equation (the Luttinger - Lu model) // in: International

Workshop "Polarons and Applications", Pushchino, Russia, May 1992; 11 Preprint JINR El 1-92-205, Dubna, 1992.

I.V. Amirkhanov, I.V. Puzynin, T.P. Puzynina, T.A. Strizh, E.V. Zemlyanaya. Some nonlinear problems in the nonlinear field theories. // in: International Conference "Mathematical Methods for Solving Physical Problems" Dubna, Russia, June 1993.

I.V.Puzynin, I.V.Amirkhanov, T.P.Puzynina, E.V.Zemlyanaya. The newtonian iterative scheme with simultaneous calculating the inverse operator for the derivative of nonlinear function. // JINR Rapid Comm., 5[62]-93, Dubna, 1993, c.G3.

E.B. Земляная. SYSINT(SYSINTM) — комплекс программ для численного решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений // Сообщение ОИЯИ Р11-94-120, Дубна, 1994.

И.В. Амирханов, Е.В. Земляная, В.Н. Первушин, И.В. Пузы-шш, Т.П. Пузышша, Н.А. Сариков, Т.А. Стриж. Численное исследование уравнений Швингера - Дайсона и Бете - Солпи-тера с потенциалом Гаусса в рамках модели кваркония // Ма-тем. Моделирование, 7, 1994; // Препринт ОИЯИ Р11-94-74, Дубна, 1994.

Рукопись поступила в издательский отдел 1 июля 1994 года.