автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модифицированные ньютоновские схемы для численного исследования квантово-полевых моделей

11-2003-115

На правах рукописи УДК 517.9; 519.6; 539.12; 681.3.06

ПУЗЫНИНА Таисия Петровна

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ НЬЮТОНОВСКИЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ КВАНТОВО-ПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь 2003

Работа выполнена в Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Гребеников доктор физико-математических наук, профессор К. А. Гриднев доктор физико-математических наук, профессор В. П. Цветков

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов, г. Москва

Защита диссертации состоится "__" ___2003г.

в_на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при

Тверском государственном университете по адресу: Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_ 2003 г.

Учёный секретарь совета

доктор технических наук, профессор

В.Н.Михно

12559

' f 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертации выполнено численное исследование основных характеристик ряда математических моделей сложных процессов из различных разделов физики. Рассмотрены следующие математические модели:

1. Задача трех квантовых частиц, взаимодействующих по закону Кулона, как модель для вычисления уровней энергии и волновых функций связанных и квазистационарных состояний мезомолекул в проблеме мезокатализа синтеза ядер изотопов водорода, а также структуры уровней энергии "экзотической" квантовой системы рНе+ - антипротонной молекулы гелия.

2. Океаническая модель "жидкого дна" для расчета полей акустического волновода.

3. Модель кругового джозефсоновского перехода с микронеоднородностью для исследования устойчивости и точек бифуркации статических распределений магнитного потока.

4. Модель Латтинжера-JIy полярона (электрона в поле, создаваемом его взаимодействием со средой) для расчета Основных характеристик поляронных состояний.

5. Потенциальные модели кваркония (мезона, состоящего из тяжелого кварка и его антикварка) для расчета характеристик системы кварк-антикварк с несколькими типами потенциалов.

Актуальность исследования указанных моделей обусловлена потребностями теоретических и экспериментальных программ и проектов. В частности, теоретические расчеты характеристик процессов мюонного катализа выполнялись по Программе исследований явления мюонного катализа, утвержденной Совместным решением ГКАЭ и Президиума АНСССР (N32,19.09.83г.). Разработка алгоритмов и программ для расчета волнового распространения звука в океане проводилась в рамках Соглашения о научно-техническом сотрудничестве между ОИЯИ и Ленинградским государственным университетом. Исследования по джозефсоновским переходам велись совместно с Институтом радиоэлектроники г. Москва. Результаты исследований антипротонной молекулы гелия использованы в проекте CERN "Atomic spectroscopy and collisions using slow antiprotons" ASACUSA Collaboration (CERN/SPSC 97-19, CERN/SPSC P-307).

Выполнение работ проводилось при поддержке РФФИ (гранты 94-01-01119, 9701-01040, 00-01-00617, 03-01-00657).

Эти модели объединены объектом численного исследования, которым являются сингулярные нелинейные спектральные или граничные задачи для систем дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Полное исследование таких задач с помощью аналитических и качественных методов возможно лишь в исключительных случаях. Нередко из-за сложности математической постановки задач единственно возможным является их численное решение. Создание обоснованного и эффективного алгоритма численного решения поставленной задачи, обеспечивающего необходимую точность результатов, и его реализация в виде комплекса программ эквивалентны, в определенном смысле, ее полному решению.

В диссертации представлены судмы и их алгоритмв-

РОС НАЦИОНАЛЬНА*) БИБЛИОТЕКА {

ческая и программная реализар^я доя исследования этих нелинейных задач. Основой для их построения служит непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН), впервые предложенный М.К. Гавуркннм, í.. <Обоснование и первые применения этого подхода к решению конкретных задач изложены в обзоре 2. НАМН зарекомедовал себя Как'^йМфсальный и эффективный метод исследования многих важных проблем Téó'pé+ичеткой физики."В'результате его развитие создай качественно новый ([7],[12],[27]-[29],[38]-[41]), обобщенный НАМН, соединивший в себе достоинства неко-торых''др^^тга; известных- мет8Дбв,' Шйроко применяющихся при решении уравнений в математических моделях физики.- Это схемы теории возмущений, метод продолжения iíú nápáweTpy, метйд вариации-параметра, который в задачах ядерной физики известен K&ft мётод эволюции йо константе связи. Разработаны усовершенствованные итерационные схемы, алгоритмы и комплексы прбграмм [30]-[35].

Исследование современных математических моделей физики предъявляет высокие требования к методам их численного анализа. Особенно сложными являются возникающие в них спектральные и нелинейные задачи, в которых решение является не единственным и требуется обеспечить выделение необходимого решения из множества других. Многочисленные подходы к приближенному решению таких задач, развитые в различных разделах теоретической физики, в большинстве своем носят частный характер и предназначены для решения узко специальных задач. Поэтому создание новых эффективных алгоритмов и комплексов программ для решения систем дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений на основе единого метода, позволяющего единообразно анализировать точность расчетов и параметрические зависимости результатов и где НАМН представляется перспективной основой, является актуальной" проблемой в области компьютерного моделирования сложных физических процессов.

Работы, положенные в основу диссертации, выполнены в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ.

Цели и задачи' исследований

Целью диссертационной работы является решение фундаментальной научной проблемы—создание эффективных итерационных схем, алгоритмов и комплексов программ для численного моделирования физических систем, приводящего к спектральным и граничным задачам для дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, а также исследование конкретных математических моделей квантовой механики, квантовой хромодинамики, конденсированных сред и акустики.

Достижение цели диссертационной работы осуществляется решением следующих задач:

1. На основе свойств обобщенного НАМН реализовать общую концепцию построения вычислительных схем, опирающуюся на метод продолжения по параметрам. Объединение физических параметров модели и параметров дискретной аппрокси-

1Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. Известия вузов. Математика, 1958, т.5(6), с. 18-31. ■

2Жидков Б.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики. ЭЧАЯ, 1973, т.4, вып.1, с.127-166. ■ ,,

мации в методе продолжения позволяет наряду с исследованием параметрических зависимостей характеристик модели выполнять их уточнение, а также упростить проблему задания начальных приближений для итераций.

2. Разработать для данного круга задач способы дискретной аппроксимации сингулярных задач, включая перенос асимптотических условий для решений на конечные интервалы интегрирования.

3. Разработать для итерационных схем простые алгоритмы решения уравнений для итерационных поправок и построения начальных приближений к искомым решениям.

4. Выполнить численные исследования точности предложенных алгоритмов на моделях, близких к реальным задачам, или с помощью численных экспериментов на сгущающихся сетках и расширяющихся интервалах.

5. Разработать эффективные алгоритмы и создать комплексы программ для численного решения конкретных физических задач.

Для всех представленных в диссертации исследований выполнены все необходимые перечисленные выше задачи. Численное решение ряда задач теоретической физики из ее различных разделов с помощью разработанных схем и комплексов программ является практическим доказательством их эффективности.

Научная новизна и значимость работы

1. Наряду с классическими постановками (прямая и обратная задачи для уравнения Шредиягера, нелинейная граничная задача для уравнения Латтинжера-Лу), рассматриваются новые постановки для систем, объединяющих нелинейные граничные и спектральные задачи, уравнения в которых связаны через неизвестные решения граничных задач. Это система из уравнения синус-Гордона и сопутствующего уравнения на собственные значения в задаче исследования устойчивости солитон-ных решений, система нелинейных уравнений Швингера-Дайсона и уравнений на собственные значения Бете-Солпитера в потенциальных моделях квантовой хромо-динамики (КХД).

2. Данная диссертация является одной из первых работ, в которой систематически путем программной реализации и практической проверки эффективности представлены новые вычислительные схемы ньютоновского типа с параметром, минимизирующим невязку:

2.1. модифицированная схема с фиксированным сдвигом и дополнительной ор-тогонализацией собственных функций для последовательного вычисления решений из ограниченной части спектра оператора в задаче на собственные значения;

2.2. модифицированные итерационные схемы на основе дополнительной параметризации исходного уравнения, в частности, итерационная схема с одновременным уточнением обратного оператора в линейном уравнении для итерационной поправки, не требующая его обращения.

3. Разработано новое, усовершенствованное адиабатическое представление задачи трех кулоновских частиц в модели мезомолекул путем построения эффективных потенциалов простого двухуровневого приближения, воспроизводящего известные с высокой точностью уровни энергии мюонной трехчастичной системы за счет подбора параметра, обобщающего эффективную массу.

ч

4. На основе новых модифицированных ньютоновских схем разработаны алгоритмы'и созданы проблемно-орИентированные комплексы программ, объединенные в виде модулей, выполняющих как самостоятельные, так и вспомогательные функции при совместном использовании. • •

5. С использованием созданных программных комплексов впервые проведены численные исследования ряда нелинейных математических •моделей физики и получены новые результаты: !

5.1: В адиабатическом представлении задачи трех тел вычислены уровни энергии слабосвязанных возбужденных состояний мезомолекул ddß и dtfi, что послужило обоснбванйём модели резонансного образования мезомолекул И' инициировало дальнейшие исследования проблемы мюкатализа.

5.2. На основе усовершенствованного двухуровнего адиабатического представления выполнен расчет характеристик рассеяния мезоатомов на ядрах дейтерия и трития, более экономичный в отличие от многоуровневых расчетов.

5.3. Выполнен расчет схемы уровней энергии антипротонной молекулы гелия для широкого набора квантовых чисел с использованием идеи построения эффективных потенциалов адиабатического приближения, воспроизводящих известные спектрометрические экспериментальные данные с помощью подбора подгоночных параметров.

5.4. В океанической модели "жидкого дна" проведен численный анализ влияния на поведение акустического поля океанического волновода способов аппроксимации профиля скорости распространения звука на различных глубинах океана и выполнено исследование характеристик звукового поля в случае, когда источник и приемник находятся вблизи поверхности, что продемонстрировало более широкую применимость разработанной схемы по сравнению с применявшимися ранее методами.

5.5. Реализовано моделирование бифуркационных режимов в круговых джо-зефсоновских контактах, что послужило основой для развития новых итерационных схем для исследования устойчивости стационарных режимов в джозефсоновских контактах других конфигураций.

5.6. Для модели Латтинжера-JIy впервые получены сферически несимметричные решения уравнения полярона.

5.7. В рамках потенциальной модели кваркония с гауссовским потенциалом впервые получены параметры для описания массовой функции кварка, энергии и константы лептонного распада основного состояния пиона. В рамках этой модели также получены результаты, ценные для решения проблем перенормировки и устранения расходимости в потенциальных моделях КХД."

5.8. Проведены численные исследования релятивистского уравнения Шрединге-ра для кулоновского и линейного потенциалов/Сделан анализ динамики спектра в зависимости от параметров. Численные результаты подтверждают теоретические оценки влияния релятивистских эффектов и эффектов запаздывания взаимодействия на изменение спектра.

Практическая ценность

Программные комплексы SLIP1 [30], TERM [31], SLIPH4 [33], SLIPS2 [34],-SYSTEM, SYSTEMQ [4], [36] использовались в ОИЯИ, ИАЭ им. И.В. Курчатова (Москва), ИФВЭ (Протвино), ИЯН (Белград) для решения квантово-механическоЙ задачи трех

тел, для расчетов уровней энергии связи и волновых функций мезомолекул, мезомо-лекулярных комплексов, квазистационарных состояний, применяемых для определения скоростей и кинетики мюонного катализа. Комплексы программ WAVE [6] использовались при расчете полей акустических волноводов в океанической модели "жидкого дна" в НИИФ СПГУ.

Комплексы SLIP1, SLIPH4, SLIPS2, SNIDE, SYSINT(SYSINTM) с полным описанием и тестовыми задачами сданы в библиотеку стандартных программ ОИЯИ JINRLIB. Адреса их размещений на WWW (первые два адреса для SLIP1, SLIPH4 и SLIPS2):

http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/index.html http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/indexe.html http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/snide/index.html http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/sysint/index.html

Апробация результатов работы

Различные составные части диссертационной работы докладывались на международных конференциях "International Conference on High Energy Physics and Nuclear Structure", 6-th, Santa Fe - Los Alamos, 1975; " PANIC, Particles, and Nuclei", Tenth International Conference, Heidelberg, 1984; "Tenth International Conference on Atomic Physics", Tokyo, 1986; International Symposium "Schroedinger Operators Standard and non-Standard", Dubna, 1988; International Conference on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, Dubna, 1993; International Workshop "Perspectives in Polarons ", Pushchino, Russia, 1993; WNAA'96 (I International Workshop on Numerical Analysis and Applications, 1996, Rousse, Bulgaria); "First International Conference on Modern IVends in Computational Physics, Dubna, 1998"; "Second International Conference on Modern IVends in Computational Physics, Dubna, 2000"; Пятый Международный конгресс по математическому моделированию (V 1С ММ), Дубна, 2002; на научных семинарах Лаборатории информационных технологий и Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 49 работах в виде статей в журналах ЖВМиМФ, Мат. моделирование, ЖЭТФ, Ядерная Физика, Акустический журнал, ЭЧАЯ, Краткие Сообщения ОИЯИ, J. Сотр. Phys., Z. Phys. D, J. Phys. В, Annals of Physics, Phys. Letters A,B, J. Hyperfine Interactions, Сотр. Phys. Comm., докладов в трудах международных конференций, препринтов и сообщений ОИЯИ.

Структура и объём диссертации

Диссертация, содержащая 253 страницы, состоит из введения, шести глав, заключения, списка основных публикаций (в диссертации они имеют номера П1-П49) и списка цитируемой литературы, включающего 198 наименований. Главы разбиты на параграфы, параграфы - на пункты. Нумерация формул, таблиц (всего таблиц 49) и рисунков (их 42) сквозная в пределах каждой главы.

Личный вклад автора

Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников Лаборатории информационных технологий, Лаборатории теоретической физики и Лаборатории ядерных проблем ОИЯИ, участвовал в математической постановке задач, создании, проверке и улучшении математических моделей, в разработке и обосновании вычислительных схем. В создание комплексов программ, в проведение вычислений, часто длительных и трудоемких, в анализ достоверности и указанной точности численных результатов автор внес определяющий вклад.

Программные комплексы TERM [31], MANYPAR [32], SLIPS2 [34], SYSTEM, SYSTEMQ [4], [36] созданы автрром. В создание комплексов SLIP1 [30] и SLIPH4 [33] автором внесен определяющий вклад.

Программные реализации по проблеме мюонного катализа в работах [1]-[5], [15]-[21], [26]-[29], [36]-[42] и по исследованию структуры уровней энергии "экзотической" системы рНе+ в работах [11], [22]-[24] выполнены с определяющим вкладом автора диссертации.

Все программные реализации прямой и обратной задач квантовой механики в R-матричном подходе с использованием баргмановского формализма в работах [44]-[46], задачи о расчете полей акустических волноводов в работе [6] выполнены автором; В работе [43] исследование устойчивости и точек бифуркации связанных статических состояний флюксонов в круговом джозефсоновском переходе с микронеоднородностью проведено с использованием двух вычислительных схем, одна из которых разработана автором диссертации.

Описанные в Главе 2 программные комплексы SNIDE [35], SYSINT(SYSINTM) и выполненные с их использованием работы по поляронной проблеме [14], [47] и исследованию потенциальных моделей кваркония [8], [9], [48], [49], представленные в Главах 5 и 6 диссертации, выполнены под научным руководством 3 и при непосредственном участии автора диссертации. В получение результатов по исследованию релятивистского уравнения Шредингера, представленных в работах [10], [13], [25], автором внесен существенный вклад.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

м

Во Введении описываются цели и задачи исследований, поставленные в диссертации, обосновываются актуальность темы диссертации, научная новизна и значимость работы, ее практическая ценность. Приведен список конференций, семинаров, где была проведена апробация результатов работы. Указан личный вклад автора' в выполненные'работы, вошедшие в диссертацию. Приводится описание структуры й объёма диссертации. Приводится краткое описание содержанйя'диссертации по гла-" вам.

Глава 1 "Непрерывней аналог Метода Ньютона й его обобщение" посвящена описанию непрерывного аналога метода Ньютона, эффективного для исследования нелинейных математических моделей.

'Земляная Е.В. SYSINT(SYSINTM) - комплекс программ для численного решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений. Сообщение ОИЯИ, Р11-94-120, Дуб-' на, 1994.// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Дубна, 1994.

Во Введении (параграф 1.1) описывается класс уравнений, возникающих в математических моделях физических процессов, рассмотренных в диссертации. В общем случае этот класс может быть описан с помощью систем интегро-дифференциальных уравнений вида

= {-е[(Уг/+Л(р; х, t)f+V(p-, X, и(х, t))]+n J G{p- х, í , t))d?}u(z, í),

(1)

где t - время эволюционного процесса, х € О, О - область координатного пространства, р - вектор параметров модели, А - внешнее поле, V и G - локальный и нелокальный потенциалы взаимодействия, Г, в, П - операторы, задаваемые в зависимости от рассматриваемой модели. Кроме того, для каждой модели система (1) дополняется начальными и граничными условиями, а также, возможно, условиями нормировки искомых решений.

Общими характеристиками класса уравнений (1) являются многопараметрич-ность относительно параметров модели, многомерность координатного пространства и наличие особых точек решений, а также их возможная неединственность (спектр). Этот класс нелинейных задач описывает эволюцию сложных систем, которая может иметь бифуркационные и критические режимы.

Основным объектом исследований в диссертации являются стационарные задачи

(Г = 0).

Проблема устойчивости решений системы (1) решается в рассматриваемых моделях специальным образом. Именно, исследуется устойчивость стационарных решений системы (1) при Г = 0. Для вычисленных стационарных решений ставится задача их эволюции в малом промежутке времени при малых возмущениях специального вида. Как результат, формулируется спектральная задача, которая вместе со стационарной граничной задачей (1) образует новую систему. По свойствам части спектра системы делается вывод о характере локальной устойчивости моделируемого процесса. Кроме того, к стационарным задачам для уравнения (1) можно отнести системы граничных и спектральных задач из потенциальных моделей КХД, в которых уравнения спектральной задачи определяются через решения граничной задачи.

Для решения стационарных задач широко распространен метод понижения размерности путем разложения искомых решений по специальным базисам и редукции исходной задачи к системам одномерных уравнений (метод Л.В. Канторовича).

Перечисленные задачи можно свести к единообразной постановке в виде уравнения ,

¥>(вДу) = 0, (2)

где у - элемент из некоторой области банахового пространства Y\ а 6 R¡ и А 6 Д™ - векторы из евклидовых пространств соответствующих размерностей. Нелинейная функция <р при заданном векторе а переводит элементы z = {Л, у} из области пространства Rm х У в пространство Rjn х U, где U является В - пространством, причем U Э Y. Предполагается, что для каждого заданного вектора а уравнение (2) имеет счетное (или конечное) множество решений {у*},п = 0,1,2,..., причем каждому решению у* соответствует вектор собственных значений А*. Решение z* = {А*,у*} уравнения (2) является функцией вектора параметров а.

Исследуемые задачи имеют следующие особенности:

,1, Как дравило, имеется определенная информация о. существовании и качественном. доведении искомых решений. Эта информация может.быть получена из физических свойств изучаемых процессов или рассмотрения упрощенных моделей, особенно в асимптотических областях изменения параметров.

2. В задачах, представляющих приближения для более сложных многомерных, а также,при переходе от бесконечных областей изменения независимых переменных к конечным возникают проблемы бценки точности применяемых аппроксимаций. Во многих случаях подобные оценки можно получить лишь численно, проводя расчеты при некоторых последовательных значениях параметров аппроксимации. '*

' Таким- образом, в постановке (2>) вектор "внешних" параметров а расширяется и помимо "физических" параметров модели содержит также параметры аппроксима-- ции задачи, в том числе и вычислительной схемы. Численное исследование модели V обычно сводится к проведению массовых расчетов в широкой области изменения этих параметров, позволяющих одновременно изучать и свойства рассматриваемых моделей,, то есть поведение решений в зависимости от "физических" параметров, и точность получаемых результатов в зависимости от параметров аппроксимации исходных задач. Поэтому естественно при организации таких расчетов применить методы продолжения по параметру и итерационные методы, позволяющие в процессе вычислений использовать всю априорную информацию для уточнения результатов.

Среди одношаговых итерационных методов метод Ньютона имеет при определенных условиях самую быструю, квадратичную, сходимость в окрестности изолированного решения и обеспечивает при этом минимальность линейной части' невязки на каждом шаге. Метод Ньютона получил дальнейшее развитие на основе его непрерывного аналога.

В параграфе 1.2 "Непрерывный аналог метода Ньютона (обзор)" дан краткий обзор работ по теоретическому обоснованию и первым применениям НАМН к решению ряда нелинейных задач физики. '

В пункте 1*2.1 показана-связь НАМН с известными < методами обратных итераций, обратных итераций с фиксированным и рэлеевским сдвигами.

Приведены ньютоновские итерационные схемы с итерационным параметром

Исходная нелинейная стационарная задача (2) при фиксированном наборе физических вектор-параметров.а £ Д; заменяется эволюционной задачей Коши

• мгм*))^ = -№*№*{ = (з)

I

Здесь £ (0 < ( < оо) - непрерывный параметр, от которого зависит траектория г(€), у/ - производная Фреше", - элемент в окрестности искомого решения г* = {А*,у*} уравнения (2). Доказательство сходимости непрерывной траектории г (4) при 4 —> оо к решению г*, при условии непрерывности <р и <р' и существовании ограниченного оператора (у1)-1 в окрестности г" основано на существовании интеграла задачи Коши (3) :

Ч>{а,г{1))=еГ<Ч>{а,2п). . (4)

Дискретная аппроксимация по параметру t задачи (3) на основе метода Эйлера сводит ее к решению последовательности линейных задач :

4>'(а,гк)Агк = -<р(а, гк), гк+1 = гк + ткЬгк, к = 0,1,2,..., О < т0 < тк< 1, (5)

причем специальным выбором параметра т* оптимизируются скорость и устойчивость СХОДИМОСТИ —» 2* 4.

В пункте 1.2.2 приведены оценки точности ньютоновских итерационных схем. После редукции с помощью метода Л.В. Канторовича исходная многомерная нелинейная стационарная граничная задача

у>(а,г) = 0 (6)

переходит в систему N (ЛГ —» оо) одномерных уравнений

= (7)

С учетом постановки граничных условий на конечных интервалах, характеризуемых граничными точками 7, она имеет вид

¥>лг,7(в, N, 7, = 0.. (8)

После дискретизации с параметрами дискретизации Л мы получаем совокупность соответствующих уравнений на сетке

^лг,7,л(а, ЛГ, 7, Л, = 0. (9)

Ньютоновский итерационный процесс (5) реализуется для уравнения (9) до выполнения условия

&к = II(а, N,1, Л, г*,7Л,*-)1к < е, (10)

где К - номер итерации, при котором выполнилось условие (10), £ > 0 - заданное малое число.

Требуется оценить ||г* — я^дд-Пк, где г* - решение уравнения (6). Если т л точное решение уравнения (9), то теоретическая оценка при выполнении условия (10) имеет вид

II*».,* - < в&к < Вв. (11)

Для точного решения уравнения (8) имеется теоретическая оценка

где р - порядок аппроксимации при дискретизации (9). Тогда выполняется неравенство

+ (13)

При условии е «к верна оценка

(14)

Это соотношение необходимо проверять на сгущающихся сетках (Л —► 0) и использовать экстраполяционные формулы для повышения точности результатов. О вкладе

4 Ермаков В .В., Калиткин H.H. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона. ЖВМиМФ, 1981, 21, с.491-497. Жанлав Т., Пузынин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. ЖВМиМФ, 1992, 32, 6, с.846-856.

погрешностей Ц-г^ — где - решение уравнения (7), и \\г* — г^Цл можно кос-

венно судить, проводя расчеты на последовательностях расширяющихся интервалов {7 —> оо} и для увеличивающегося числа —> оо}'уравнений системы (7).

Если значения сдвигов Ц7Ц и N из соответствующих последовательностей {7} и {ЛГ} достаточно велики, а величины ||г^7ЛЛГ - и -

настолько малы, что соотношение (14) выполняется, можно считать, что параметры аппроксимации ЛГ,7,Л определены подходящим образом. Естественно, что такая практическая процедура основана на предположениях о сходимости соответствующих методов аппроксимации исходного уравнения (6) и служит подтверждением этих предположений. Эту процедуру удобно реализовать на основе метода продолжения по параметрам, используя в итерациях уже вычисленные решения для уточнения последующих.

В пункте 1.2.3 описаны пять алгоритмов вычисления параметра тк (0 < то < тк < 1), минимизирующие невязку и хорошо зарекомендовавшие себя при решении ряда задач.

1. = т0.

Этот алгоритм при достаточно малом т0 (~ 0.1; 0.05; 0.01) обычно применяется при плохих начальных приближениях, с целью проверить возможность сходимости от этих приближений. Сходимость при этом очень медленная. При то = 1 получается классическая схема Ньютона.

2. тк = шш(1,2тк_1), если 5к < 4-ъ тк - тах(т0, П-1/2), если 5к > 8к-и

где 5к определяется по формуле (10) в сеточном аналоге нормы в С. Этот алгоритм аналогичен широко распространенному способу выбора шага интегрирования в стандартных программах решения задачи Коши и вычисления интегралов. Алгоритм рекомендуется применять при хороших начальных приближениях. Он обеспечивает быструю сходимость, однако не всегда устойчив при плохих приближениях.

3. тк = шш(1, тк-1 если 5к < тк = тях(гв, Ц^-), если 5к >

где 5к также вычисляется по формуле (10) в сеточном аналоге нормы в С. Этот алгоритм более устойчив и обеспечивает сходимость в достаточно широкой области начальных приближений.

4 т, —__

где £*(1) - невязка на к -той итерации для тк = 1. Величина 5к вычисляется по формуле (10) в сеточном аналоге нормы в Ь2. Это алгоритм оптимального выбора тк, предложенный в работе 4. Он основан на квадратичной аппроксимации зависимости 6 от т. При итерациях он должен обеспечить минимум невязки на каждом шаге.

5. На равномерной сетке и)т отрезка [0,1] с шагом Дг вычисляется последовательность невязок 5* по формуле (10) и выбирается такое значение тк, которому соответствует минимальная невязка. Этот алгоритм более общий, чем в пункте 4, но требует большего объема вычислений. Точность нахождения оптимального шага г^, обеспечивающего минимум невязки на каждом шаге,;зависит от выбора сетки ш

Эту сетку можно выбрать таким образом, чтобы точность нахождения т* и быстродействие алгоритма оптимально сочетались.

Алгоритмы 1,2,3 реализованы в SLIP1, алгоритмы 1-5 реализованы в SLIPH4, SLIPS2, SNIDE, SYSINT(SYSINTM). Все они прошли проверку на широком круге задач и использовались при решении представленных в диссертации моделей.

В параграфе 1.3 "Обобщение непрерывного аналога метода Ньютона" представлены разработанные нами и широко использующиеся модификации НАМН, увеличивающие его эффективность для конкретных классов задач и расширяющие область его применения. В разработанных итерационных схемах в определенном смысле решена задача выбора начальных приближений и упрощено решение линейной задачи относительно итерационных поправок. Более того, возможно построение итерационного процесса без обращения линейного оператора Фреше в этой задаче.

В пункте 1.3.1 рассмотрен модифицированный ньютоновский эволюционный процесс (здесь и далее вектор-параметр а в формулах опущен, вместо А будет А):

= -*,(*(*))', *(0) = (15)

где z - некоторый фиксированный элемент из окрестности искомого решения z*. Этот подход дает итерационные схемы типа (5), в которых оператор (p'(z(t)) требуется обратить только один раз. В спектральных задачах, когда неизвестное z состоит из двух компонент АиФ, можно фиксировать как обе, так и одну из этих компонент, в зависимости от того, насколько хорошо известно соответствующее приближение к искомому решению.

Для классической спектральной задачи (Я — А/)Ф = 0 относительно пары z = {А, Ф} € R X Y нелинейное уравнение (2) представимо в виде

Здесь Я - оператор в гильбертовом пространстве, a F{А, Ф) - дополнительный функционал, например:

а)(Ф, Ф) — 1 = 0 — условие нормировки,

б)(Ф, (Я — А/)Ф) = 0 — условие ортогональности.

Для решения спектральных задач (16) применима итерационная схема (5), которая при фиксированном значении вектор-параметра а представляет собой на каждом шаге систему относительно поправки Azt = {ДА*, ДФ*}:

(Я - А*/)ДФ* = -(Я - А*/)Ф* + ДА*Ф*, (17)

Фь)ДАк + П(Аь Фк)ДФ4 = -F( At, Ф*).

Двухкомпонентная структура функции <р и возможность изменения вида функционала F в итерациях позволяют получить широкий набор итерационных процессов с регулируемыми свойствами. В частности, для классической спектральной задачи при фиксированном значении А* = А и тк = 1 получается известная схема обратных итераций с фиксированным сдвигом, обеспечивающая сходимость к собственному значению А*, ближайшему к А. Схему (15) целесообразно использовать при

последовательных расчетах элементов ограниченной части спектра оператора H в сочетании с дополнительной ортогонализацией найденного в итерации с номером к приближения ко всем уже вычисленным собственным элементам Ф^, где m -номер .собственного элемента, и сдвигом от вычисленного собственного значения к следующему после окончания итераций., ,

Указанная ньютоновская итерационная схема реализована на примере решения частичной проблемы Штурма-Лиувилля для одного уравнения и для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, зависящими от, спектрги1ьного параметра, и дополнительным условием нормировки собственной , функции. Созданные на основе этой схемы (вместе с алгоритмами получения начальных приближений к решению, уточнения решения, набором алгоритмов для определения параметра г*, с примерами использования) программные комплексы SLIPH4, SLIPS2 подробно описаны в Главе 2 и на сайтах http: / / www.jinr .ru / programs/jinrlib/slip/index.html http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/indexe.html .

Реализована она и в комплексе SNIDE для решения интегро-дифференциального уравнения, http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/snide/index.html

В пункте 1.3.2 "Модифицированные итерационные схемы с явной зависимостью эволюционного уравнения от дополнительного параметра" представлена параметризация эволюционного уравнения относительно дополнительного параметра t с явной зависимостью <р от t. Следуя идее Д.Ф. Давиденко 5, непрерывный параметр О < i < оо вводится в функцию <p[z) = tp{t, z(t)) так, чтобы при t = 0 получалось простое уравнение

¥,(0,г(0))=1РоЫ = 0, (18)

и limj-^oo (p(t, z(t)) = <p(z). Для параметризованной функции рассматривается обобщенное уравнение НАМН

~V{t,z{t)) = -V(t,z(t)). (19)

Интеграл этого уравнения аналогично (4) есть <p(t,z(t)) = e~*<p(0,z(Ö)). Бели го-точное решение уравнения (18), мы получаем задачу Коши, определяющую метод Давиденко на полуоси 0 < t < оо,

g = -¿(t,z(i))-.V;(M(t)), 2(0) = Zo.

Если Zq- приближенное решение уравнения (18), то из уравнения (19), обозначив A(t,z(t)) = tp'z(t,z(t)), получаем'модифицированную ньютоновскую схему

' = -A(t, *(«))">(«, *(«)) + ¿(t, *(«))] (20)

с начальным условием г(0) = z0. Поскольку интеграл уравнения (19) есть <p(t,z(t)) = e~'<p(0,zо), то ¡|y>(£,z(i))|| 0 при i —> оо, и следует ожидать асимптотически устойчивую сходимость z(t) к искомому решению z*.

'Давиденко Д.Ф. О приложении метода вариации параметра к теории нелинейных функциональных уравнений. Укр. матем. журнал, 1956, 7,1, с.18.

При аппроксимации уравнения (20) по схеме; Эйлера получается последовательность итераций (гк = г(гк); Вк = А(Ьк, гк)-г)

4+1 =4 + ткУк, (21)

Уь = -Вк[<р(гк, гк) + <р[(1к, (22)

Вычисляя для каждого значения Ьк итерационную поправку V* и шаг тк, получаем новое приближение гк+1 к решению г*. Итерационный процесс (21),(22) должен продолжаться до выполнения неравенства (10).

В пункте 1.3.3 представлен итерационный процесс (21),(22) [7], в котором обращение оператора производной нелинейной функции ^(¿,2(4)) заменяется на каждой итерации на два умножения линейных операторов.

Для этого дополнительно к уравнению(19) вводится операторное уравнение для

АВ-1 = 0, (23)

где /-единичный оператор. Для уточнения В можно использовать, аналогично в, итерационные формулы для Вк = В(Ьк, гк)

Вк+1=Вк+ткЖк, (24)

]Ук = —Вк[АкВк - I], (25)

являющиеся следствием применения НАМИ к уравнению (23). Сходимость этого процесса для тк = 1 доказана, например, в работе 7.

Получается итерационная схема (21),(22),(24),(25) без обращения оператора в которой параметр тк минимизирует невязку исходного уравнения. Таким образом, имея начальное приближение 2ц и В0, можно последовательно найти все приближения гк и Вк. Практические вычисления-показали, что Вц = Л_1(го) является наилучшим Начальным приближением для В (т.е. в этом случае обращение оператора надо сделать один раз при í = 0).

Итерационный процесс продолжается до выполнения неравенства (10).

Отсутствие обращения оператора Ак в итерационном процессе (21)-(25) открывает дополнительные возможности для векторизации вычислительного процесса. Обращение производной нелинейной функции в рассматриваемой модификации заменяется перемножениями вспомогательных операторов, что приводит при программной реализации к умножению аппроксимирующих их матриц. При использовании вычислительных систем с последовательным выполнением команд одно обращение матрицы по времени близко ко времени умножения двух матриц 8, поэтому-время счета по модифицированной схеме (21)—(25) должно быть приблизительно в два раза больше по сравнению с обычной схемой (21),(22). Однако, с точки зрения векторизации операций 9 умножение матриц предпочтительнее обращения матрицы, и

•Давиденко Д.Ф. Доклады АН СССР, 1960,131, N.3, с.500.

7Ульм С. Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора. Изв. АН Эст. ССР. Том XVI, Физика. Математика. 1967, №4, с.403-411.

'Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978.

'Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.:Мир, 1991.

модифицированный алгоритм (21)-(25) дает выигрыш по времени на векторной вычислительной системе. Но этот выигрыш будет получен за счет увеличения объема памяти, необходимого для хранения дополнительных матриц.

В пункте 1.3-4 Для параметризации ip(t,z(t)) рассматривается известное представление функции <p(z)

<p(z) = <po(z) + <p1(z),

где уоМ регулярная часть, a <Pi(z) — ее возмущение. Считаем, что для уравнения

¥>o(z) = 0 легко найти приближенное решение zo, а оператор <p'0(z) легко обратим. <

Параметризацию можно выполнить с использованием скалярной функции g(t), так называемой функции включения возмущения, такой, что д(0) = д(оо) — 1 =

с») = 0, например, g(t) = 1 — е-', и представления функции ip(t,z(t)) в виде i,

суммы

<p(t, z(t)) = <p0(z(t)) + s(t)vi(z(i)). (26)

Достоинство рассматриваемого подхода состоит в построении модифицированных итерационных схем, где вместо обращения оператора <p'[z) на каждой итерации необходимо обращение производной специально выбранного оператора уо, имеющего простую структуру. Эта схема была использована при создании программного комплекса SNIDE [35] для решения задачи на собственные значения для интегро-дифференциального уравнения, где <po(z(t)) и tpi(z(t)) - дифференциальный и интегральный операторы соответственно.

В заключении к главе указано, что представленные итерационные схемы могут служить основой для разработки их новых модификаций.

В Главе 2 "Описание разработанных комплексов программ" представлены пять программных пакетов:

X. SLIP1 (Sturme-Iilouville Problem for 1 equation) [30] для решения задачи на собственные значения для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с граничными условиями, нелинейно зависящими от спектрального параметра, с конечно-разностной аппроксимацией 0(h2).

2. SLIPH4 (Sturme-LIouville Problem with precision 0(H4)) [33] - развитие пакета SLIP1 с трехточечной аппроксимацией задачи 0(h*).

3. SLJPS2 (Sturme-LIouville Problem for System 2 equations) [34] для решения задачи на собственные значения для системы 2-х дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Эти комплексы помещены на сайты (

http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/8lip/index.html http: //www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/indexe.html

4. SN 1L)E - для решения задачи на собственные значения для интегро-диффе-ренциального уравнения [35]

http://www.jinr.ru/programs/jmrlib/smde/index.html

5. SYSINT (SYSINTM)(SYStem of INTtegral equations) http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/sysint/mdex.htmI - для решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений.

Для каждого пакета дается описание ньютоновских итерационных схем, параметров подпрограмм, обсуждаются особенности программной реализации и приводятся примеры использования пакетов при решении физических задач.

При построении начальных приближений к решению разработан алгоритм, основанный на методе Ньютона для нахождения корней Полинома с исключением уже найденных корней и алгоритме встречной прогонки для повышения устойчивости вычисления собственных функций.

Комплексы БУЭШТ и его модификация ЭУвШТМ предназначены для решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений. Модификация состоит в реализации итерационного процесса, в котором обращение оператора ( производной нелинейной функции заменяется на каждой итерации на два умноже-

ния линейных Операторов. Преимуществом его является отсутствие операции деления на протяжении всех вычислений. Этим исключаются и случаи деления на малое число, возможные при обращении плохо обусловленных матриц. Тем' самым » повышаются устойчивость и точность вычислений. Тестовые расчеты, проведенные

для ряда задач, подтвердили эффективность представленного алгоритма для векторных процессоров. Оба комплекса использовались при численном исследовании задачи Бете-Солпитера в рамках модели кваркония. Модифицированный алгоритм более эффективен при использовании векторных процессоров.

В заключении к главё подчеркивается практическая значимость разработанных программных комплексов.

Глава 3 " Алгоритмическое и программное обеспечение теоретических исследований мезомолекулярных процессов" посвящена изложению алгоритмов на основе непрерывного аналога метода Ньютона и его обобщения при изучении моделей мезокатализа.

Во Введении дается краткое описание идеи мезокатализа 10. В качестве основной модели рассматривается квантово-механическая проблема трех тел, взаимодействующих по закону Кулона. С помощью' расчета осйовйых характеристик этой системы вычисляются параметры процессов мезокатализа, таких, как процессы перезарядки мезоатомов, скорости образования мезомолекул и расчет прилипания мезонов к гелию. Отмечено, что рассматриваемая модель включает в себя все основные задачи квантовой механики: задачу на связанные состояния, задачу рассеяния и обратную задачу восстановления потенциалов ядерного взаимодействия с использованием экспериментальных данных.

Первым подходом при исследовании этих задач было адиабатическое представление11^ основе которого лежит разложение волновой функции Ф(г, Ё) исходного уравнения Шредингера для системы трех тел

(Н-еЩ?,&) = 0

в шестимерном пространстве (г, К) (здесь Я - вектор, соединяющий ядра мезомоле-кулы а и Ь (их массы Ма и Мь, Ма > Мь), г - вектор, соединяющий середину отрезка Я й ц - мезон (с массой тпИ)) по полному набору решений задачи двух центров

Ф(г, = £ Ф,(г» д)я_1х,(я)+£ / Д;

5 • ■

10Пономарев Л.И. Мюонпый катализ. Обзор. Москва, Министерство атомной энергетики и промышленности СССР, 1990.

"Виницкий С.И., Пономарев jl.II. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновскив^ взаимодействием. ЭЧАЯ, 1982,13, с.567. : • '

В результате применения метода Л.В. Канторовича для редукции уравнения в частных производных получена бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений

+ ЪМе - = £ Щ(Я)ъ(Я) + £ / ВД *)«», (27)

<,

где М - приведенная масса системы. Таким образом, в данном подходе необходимо реализовать вычислительную схему, которая одновременно обеспечивала бы точность вычисления необходимых характеристик в зависимости от числа членов разложения, т.е. числа уравнений системы, и от параметров численной аппроксимации.

Показано, что ньютоновская итерационная схема в сочетании с методом продолжения по указанным параметрам представляет собой перспективный и наиболее оптимальный подход к решению этой проблемы.

Адиабатическое представление включает в себя разложение волновой функции Ф по набору волновых функций задачи двух центров непрерывного и дискретного спектров. Этот набор и эффективные потенциалы Щ находятся численно. Контроль за точностью вычислений представляет собой на каждом этапе реализации и в комплексе сложную проблему. ,

В семидесятые годы полученные результаты были первыми. Они нашли косвенное экспериментальное подтверждение при расчетах скоростей образования мезомолеку-лы <Мц и инициировали более перспективные для изучения проблемы мезокатализа исследования мезомолекулы .

В параграфе 3.2 дана постановка задачи трех тел в адиабатическом представлении, которая сводится к бесконечной системе радиальных уравнений Шредингера. С учетом асимптотики искомых волновых функций сформулированы граничные условия для волновых функций дискретного, непрерывного и дискретно-непрерывного (в задаче рассеяния с закрытыми каналами) спектров.

В параграфе 3.3 рассматривается проблема построения базиса для адиабатического представления задачи трех тел. Дана постановка задачи двух центров, приводятся алгоритмы вычисления волновых функций дискретного и непрерывного спектров и матричных элементов по ним. В вычислительных схемах реализована концепция продолжения по параметрам, которыми в данном подходе являются константы связи и число членов в разложениях двухцентровых волновых функций по специальным базисам. Использовались асимптотические свойства волновых функций и энергий (термов) системы при Я —»ОиЯ-*оо(Д- фиксированное расстояние между двумя центрами).

В параграфе 3.4 описана численная аппроксимация задачи для системы радиальных уравнений (27).

В параграфе 3.5 представлено решение больших систем и экстраполяция результатов по параметрам аппроксимации.

В параграфе 3.6 в двухуровневом адиабатическом приближении выполнено моделирование перехода квазистационарного состояния мезомолекулы в связанное состояние при увеличении эффективной массы М. Построены новые эффективные потенциалы двухуровневого приближения, в которых эффективная масса трехча-стичной системы рассматривается как параметр, подбором которого можно воспроизвести более точный вариационный уровень энергии. Вычислены волновые функции

слабосвязанного состояния Л/г-мезомолекулы, имеющие в отличие от вариационных правильную асимптотику. Для решения задачи рассеяния в системе трех кулонов-ских частиц применено построенное эффективное адиабатическое представление, в котором потенциалы строятся таким образом, чтобы воспроизвести результаты расчетов уровней энергии связанных состояний, полученные вариационным способом. Приведены расчеты задачи непрерывного спектра с использованием этого эффективного представления, согласующиеся со сложными многоуровневыми адиабатическими расчетами других авторов.

В параграфе 3.7 описаны расчеты структуры уровней энергии "экзотической" системы рНе+ [11], [22]~[24]. При расчете этой структуры в широком диапазоне квантовых чисел использовалась развитая в предыдущем параграфе идея построения эффективных потенциалов простого адиабатического приближения, воспроизводящих известные с большой точностью спектрометрические экспериментальные данные за счет выбора подгоночных параметров. Это приближение позволило экономично выполнить необходимые расчеты.

В заключении к главе перечислены основные полученные результаты.

Глава 4 "Прямые и обратные спектральные задачи и исследование .некоторых волновых процессов" содержит описание трех задач из разных разделов теоретической физики, решенных на основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона и разработанных модифицированных ньютоновских схем и комплексов программ.

4.1. Численное решение прямой и обратной задач квантовой механики в Н-матричном подходе с использованием баргмановского формализма.

При исследовании многих задач квантовой механики приходится решать две группы задач - прямые и обратные. Прямая задача состоит в нахождении энергии и волновой функции как решения уравнения Шредингера при заданном потенциале взаимодействия. Обратная задача - определение самих потенциалов по спектральной функции р(Х) уравнения Шредингера. В различных подходах к обратной задаче в качестве спектральной функции р( А) используются различные экспериментальные данные. Например, в качестве р{А) можно использовать фазы рассеяния 6(к) при 0 < к < оо, собственные значения Е„- и нормировочные константы Л/"„ (можно использовать матрицу, Я(к) - матрицу и т.д.). С помощью аппарата обратной

задачи рассеяния можно, используя точные решения уравнения Шредингера для специальных потенциалов (например, потенциалы баргмановского типа), приближенно восстановить потенциал по экспериментальным данным.

В диссертации представлены результаты работ [44]—[46]. Уравнение Шредингера для задачи трех тел сводится к многоканальной системе связанных одномерных уравнений Шредингера и для восстановления потенциалов задачи трех тел рассматривается точно решаемая многоканальная модель баргмановского типа. Приводятся общие формулы для матриц взаимодействия баргмановского типа и матричные (векторные) решения в рамках Я-матричной теории рассеяния. На основе и с использованием комплексов программ 8ЫР1, 8ЫРН4 и 8ЫРБ2, описанных в Главе 2, созданы два комплекса программ для решения прямой V и обратной 8 задач квантовой механики. Приведены результаты численных экспериментов для одноканальной и двухканальной задач.

4.2. Решение задачи о расчете полей акустических волноводов в океанической модели "жидкого дна".

Для расчетов акустических полей в океаническом волноводе широко используется метод нормальных волн. Число нормальных волн, которое надо учитывать в разложении полного поля при типичных океанических условиях, того же порядка, что и значение частоты в Гц. На Частотах десятки-сотни Гц ряд традиционных методов расчета собственных функций и собственных значений краевой задачи в вертикальном сечении, через которые выражаются нормальные волны, не применим. В таком диапазоне частот достаточно эффективны асимптотические методы, однако, дать аккуратную оценку точности расчетов по асимптотическим формулам довольно затруднительно. Кроме того, их реализация в случае некоторых особенностей поведения профиля звука с{г) слишком громоздка.

В работе [6] для расчета нормальных волн использован непрерывный аналог метода Ньютона. К числу его достоинств надо отнести: применимость при достаточно широких предположениях о поведении профиля скорости с(г) в зависимости от глубины; возможность контроля точности вычислений; естественность пересчета по трассе с медленно меняющимися параметрами; достаточное быстродействие.

В качестве модели океана выбрана модель вертикально-стратифицированного водного слоя, лежащего на жидком однородном полупространстве. Алгоритм расчета может быть, однако, без больших затруднений перенесен и на случай более сложных моделей. В выбранной модели поле от монохроматического точечного источника представляется в виде следующего ряда нормальных волн:

—к—• (28)

Здесь Фт - собственные функции, ц^ - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля

Ф"(г)'+ р2(п2(г) - /¿2)Ф(г) = 0, (29)

Ф(0) = 0, (30)

Ф'(Я) + !^-п|,Ф(Я) = 0, (31)

N^ - нормировочный интеграл

N1 = Г Фl(z)dz + 8 , (32)

J 0 W/*m ~ П Н

zq - глубина источника, z\ - глубина приемника, Я - глубина океана, г - расстояние между источником и приемником по горизонтали, n(z) - показатель преломления (n(z) = c*/c(z), c(z) - скорость распространения звука в воде, с* = ттс(г)), пц -показатель преломления в дне, па — с*/сц, р — ш/с*, ш — 2ж1/, и - частота источника, ае - отношение плотности дна к плотности воды. Считается, что разложение (28) включает в себя только незатухающие нормальные волны, а вкладом боковой волны и затухающих нормальных волн можно пренебречь. Это оправдано в усжи виях глубокого океана и достаточного разнесения источника и приемника. С помощью созданного пакета WAVE, использующего программы MANYPAR [32] и SLIPH4,

проведены расчеты зависимости решения задачи (29)-(31) и суммарного поля (28) от способа аппроксимации скорости распространения звука в воде c(z) для любых расстояний между источником и приемником, а также на любых глубинах их расположения. При этих расчетах очень эффективно использовалась итерационная схема с фиксированным сдвигом, подробно описанная в Главе 2 при описании комплекса SLIPH4 и его параметров (MOD=2). Все предыдущие расчеты, полученные другими авторами, использовали разные подходы и методы, применимые лишь для частных случаев аппроксимации c(z).

4.3. Исследование устойчивости и точек бифуркации связанных статических состояний флюксонов в круговом джозефсоновском переходе с микронеоднородностью.

В этом параграфе рассматривается статическая математическая модель джозеф-соновского перехода в форме круга радиуса R с кольцевой микронеоднородностью

j =,[1 - ftS{r- ra)]sin<f(r,e), О < r0 < R. (33)

Здесь j - джозефсоновский ток, <р - распределение разности фаз волновых функций сверхпроводящих электронов в верхнем и нижнем сверхпроводниках перехода, определяемое уравнением

А V = 3, (34)

<5(r-r0) - дельта-функция Дирака, ц, го, R - физические параметры. За единицу длины принята джозефсоновская глубина проникновения Аj. Исследуется радиально-симметричный случай, для которого уравнение (34) имеет вид

(¿Г + 4>(г) - [1 - - r„)]8in^(r) = 0. (35)

Граничные условия

= о • (36)

отвечают требованиям регулярности магнитного поля в точке г = 0 и отсутствия магнитного поля на границе круга. Граничную задачу (35)-(36) можно получить из условия обращения в нуль первой вариации функционала энергии SE = 0, где

. .. ЯИ= 2тг^Я rdr |i [¿VW] + [1 - l*S(r - r0)] [1 - coS^(r)]J . (37)

Первое слагаемое в выражении (37) пропорционально энергии магнитного поля в переходе, второе - энергии джозефсоновских токов. Состояния у (г), определенные из условия 8Е[ф\ = 0, устойчивы относительно малых флюктуаций, если 8iE[ip] > 0. Последнее условие сводится к требованию положительности собственных значений Л в линейной граничной задаче

{i + +Л - fl - - г«)]со^(г)} 9(г) = о, (38)

¿Ч(г)|г=0,г=д = 0. (39)

Изложенный подход эквивалентен исследованию устойчивости решений нестационарного уравнения

Ф« = ДФ - [1 - ц&{г - г0)]«иф, Ф = Ф(r,9,t), 0 < г < Я, 0 < в < 2тг, 0 < t < оо,

& 1 а2 1 9

представимых в виде

Ф = (41)

Здесь <р{г)~ решение граничной задачи (35)-(36), а £(г,0)- малая амплитуда возмущения,

1Ю1« ПИ1. |:£M)Uo„=л = о, £М) = £М+2*).

В линейном приближении анализ устойчивости решения (41) относительно возмущений £(г, ^е-*"4 сводится путем разделения переменных в линеаризованном относительно f(r, в) уравнении (40) к рассмотрению спектра задачи на собственные значения (38)-(39), где А = ы2.

' Для приложений наиболее интересны устойчивые состояния и точки (поверхности) бифуркаций, в которых при медленном изменении параметров система может скачком перебрасываться из одного устойчивого состояния в другое или же переходить в нестационарный режим.

Приводятся вычислительные схемы, численный анализ их точности, а также результаты численного решения задачи (35)-(36) и определения минимального собственного значения А задачи (38)-(39) в физически интересной области значений внешних параметров (г, Яо, /*) модели. Согласно изложенному выше, А > 0 соответствует устойчивому состоянию (р(г), А < 0 - неустойчивому, а А = 0 - точке бифуркации.

В заключении к главе перечислены основные полученные результаты.

Глава 5 "Численное исследование уравнения полярона в рамках модели Латтинжера-Лу" посвящена описанию поведения полярона (электрона в поле, создаваемом его взаимодействием со средой).

В настоящее время проблема электронного переноса возбуждений в самых разных конденсированных средах (растворы, биомакромолекулы, органические поляронные состояния) приобретает большое значение. Общим в различных физических задачах, приводящих к уравнениям полярона, является необходимость решения самосогласованной спектральной задачи. В диссертации рассматривается модель, развитая в работе Латтинжера и Лу 13.

В параграфе 5.2 описывается обобщенная поляронная модель Латтинжера-Лу. С математической точки зрения эта задача сводится к решению задачи на собственные значения для нелинейного интегро-дифференциального уравнения в трехмерном координатном пространстве

2/« I* J lr-flK >

«(f)=£«(f), (42)

"Lnttiager J.M., La C.Y. Plqn.Bev. B, 1980, V.21,10, p.425-426.

в которой {е„,и(г)} - уровни энергии и волновые функции полярона, у2, ~ трехмерный оператор Лапласа, ¡1 = т/(1+т) - приведенная масса электрона, а - константа связи, С = цу/2/^/1 — (I. Условие нормировки имеет вид:

/ <*г\«(г")|* =

1.

В пункте 5.2.1 дана постановка задачи для сферически симметричного случая в виде спектральной задачи для системы дифференциальных уравнений [47]:

ф"(х) ~ Хф(х) + Аф(х)У*~У1 = О, х

V" + — =0, (43)

х

У2"+СУ2 + ^= О,

где ф(х) = хи(х), х = г, с условием нормировки

оо

= ± (44)

о

Решения должны удовлетворять'асимптотическим условиям

ф(0) = ф(оо) = 0, К,(0) = К(оо) = 0, У2(0) = ^(оо) = 0.

В пункте 5.2.2 формулируется постановка задачи для сферически несимметричного случая.

В этом случае задача (42) сформулирована как нелинейная задача на собственные значения для системы уравнений [14]:

Аф{т) - Хф(г) + А{У1(г) - Уг{т))ф(г) = О

А^(г)+ | Ф{г) |2= 0 (45)

АУ2(г) - СгУ2(т)+ | ф(т) |5=0

с условием нормировки

оо

11 ф(г) I2 &= 1, (46)

о

где Д - трехмерный оператор Лапласа, А и С - физические параметры задачи, А -собственные значения, определяющие уровни энергии состояний полярона.

Используя представление решения системы (45) в виде разложения по сферическим функциям У;т(0, ф)

= Щ?) = ^Пу1т(0,ф), ¿ = 1,2 (47)

Г Л-' * Г

1=0 т=—/ 1=0 т=-|

и' подставив его в систему (45), после ряда преобразований получим следующую систему уравнений для коэффициентов разложения и Vnm(r):

Ф"т(г) - Щт(г) - + ± £) £ Q,m,imi (г)ф,1т1 (г) = О,

il=0 mi=-(i

VlUr) - + 5,m(r) = О, (48)

Г

VÏÏmW - ^Î^VW(r) - CVMm(r) + Slm(r) = 0, Z = 0,1,2,...; m = -l,...,I с условием нормировки

oo / 00

ЕЕ

1=0 m=-/ 0

где

OO /3

Q/miitTH = У^ T H^^mj^m^Kiijmjir) - V^jraa(*")),

2 00 /1 00 /2

5,m = ;E E E E (50)

/l=0 mi=—ii /2=0 mj=—ij

Wim/^^jmj = J dïïYlrnYhmi i Wfmfimj/jmj = J ^^im^iimi ^ijm, •

Искомые решения системы (48) удовлетворяют асимптотическим условиям: ^т(г),-+0 -> AUrar'+1, ^/га(г)г_юо A21me~V^rj Vllm(r)r->0 -» Bx/mr'+1, Vlim(r)r->oo -4 ВИтг-' • (51)

Умт(»0<-»О ->■ Сцтг'+1, Vr2(m(r)r-+00 —»■ СцтГ~Ст,

где Aum,A2lm,Bum,B2lm,Cum,C2lm — константы.

В параграфе 5.3 описывается итерационный процесс на основе H АМН с использованием программного комплекса SNIDE для численного решения уравнения поля-рона в указанных в пунктах 5.2.1 и 5.2.2 постановках. В параграфе 5-4 обсуждаются численные результаты.

Полученные решения ф = {фи I = 0,1,..., 5} (/ - количество нулей функции) могут быть разделены на несколько групп:

1. сферически симметричные решения, в которых только функции фо не равны нулю,

2. ненулевыми являются функции ф( для четных значений 1 (I = 0,2,4),

3. ненулевыми являются функции ф\ для нечетных значений 1 (I = 1,3,5).

В Заключении показано, что полученные решения в сферически симметричном случае согласуются с имеющимися численными результатами работы 13. Для сферически несимметричного случая классификация полученных решений .согласуется с результатами работы 14 для модели Пекара.

13Амирханов И.В., Лахно в.Д., Пузынин И.В., Стриж Т.А., Федянин В.К. Численное исследование нелинейной самосогласованной задачи ва собственные значения в обобщенной подели нолярона. Препринт НЦБИ АН СССР, Пущино, 1988.

14Gabdon0ine R.R. A low-dimennonal approximation of solutions to the polaron équation. Препринт НЦБИ АН СССР, Пущино, 1991.

/

C(0dr = l,

(49)

В Главе 6 "Численное исследование уравнений Швингера-Дайсона и Бете-Солпитера в рамках модели кваркония" описывается динамика кварков и их связанных состояний с помощью решений уравнений Швингера-Дайсона (Ш-Д) для массовой функции кварков и Бете-Солпитера (Б-С) для связанных состояний кварков. (Кварконий - мезон, состоящий из тяжелого кварка и его антикварка. Кварки -элементарные составляющие всех адронов - мезонов и барионов.)

Представлено разработанное алгоритмическое и программное обеспечение для численного исследования этой модели и полученные численные решения краевых задач для указанной системы уравнений с некоторыми видами феноменологических потенциалов. Рассмотрены различные схемы модификаций ( "перенормировок") уравнения Швингера-Дайсона. При этом задача исследования состоит в определении параметров задачи и схемы перенормировки, при которых удается описать наилучшим способом известные экспериментальные данные (в данном случае это спектры масс М„ ~ 137 и константы лептонных распадов F„ ~ 132 пиона).

Явный вид этих уравнений зависит от физической постановки задачи. Как праг вило, эти уравнения являются нелинейными дифференциальными, интегральными или интегро-дифференциальными уравнениями.

В параграфе 6.2 показано, что уравнение Ш-Д для заданного потенциала V(\p—gj) может быть сведено к следующей системе интегральных уравнений:

Е(р) cos(2v(p)) = mo + dqV(\p-¿¡\)с<к(2у(Я))/(2к)\

_ E{p) sin(2u(p)) =P+\jdqV{\p- 9l)i sin(2v(9))/(2ir)s,

где интегрирование ведется в трехмерном пространстве координат вектора <?, £ = (ß/p, q/q) - скалярное произведение единичных трехмерных векторов, то - заданная константа (масса кварка), Е(р) и v(p) - соответственно энергия и волновая функция кварка, которые надо найти.

После интегрирования но углам вектора q эта система принимает вид

(52)

(53)

(54)

(55)

Энергия кварка Е(р) и массовая функция кварка т(р) = Е(р) cos(2v(p)) должны удовлетворять, исходя из физических соображений, следующим асимптотическим условиям:

lim Е(р) = Const, lim Elp) = р, lim m(p) = Const, lim m(p) = пц, (56)

p—*Q рЧао рчО р-Юо

Г Е(р) cos(2v(p)) = »По + Д, \£(p)sin(2t>(p))=p+/2,

h = J dqVx{p,q) coe(2t;(g)), h = JdqV2(p,q) sin(2v(q)),

что эквивалентно требованиям lim /1 = Const < ос

При более сильном условии

lim /1 = Const < 00, lim /1 = 0, lim /2 = Const < 00, lim I-> — 0. (57)

p-»0 p-too p-+0 , p-too 4 '

üm/2-0 (58)

асимптотическое поведение функции ь(р) имеет вид:

Итг(р) = 0, Кт и(р) = тг/4. (59)

Требования (57)-(59) накладывают определенные ограничения на класс допустимых потенциалов, т.к. только при их выполнении можно надеяться на существование решений, имеющих физический смысл. Для расширения класса допустимых потенциалов ряд авторов предлагает производить переход к перенормированной системе, который может осуществляться разными способами.

В пункте 6.2.1 описана потенциальная модель КХД для потенциала Гаусса:

К = «0ехр(-А2) + С, (60)

где С - постоянный член. В импульсном представлении указанный потенциал имеет следующий вид:

У{\р-91) = ^Я* ехр (-Я2|V- ?Т) + С{2*)Ч{\р-К = ф. (61)

В диссертации исследуются варианты перенормированных систем, обеспечивающие выполнение асимптотических условий (57)-(59) для разных к = 1,2,3, где

/<ц = У<1дУ2(р, д)(*т(2ь(д)) - д/Е(д)), /<2) = 0, (62)

= Уя)(ММч)) ~ ч/Чч)), Е0(р) = ф

В пункте 6.2.2 дается постановка задачи Б-С с потенциалом Гаусса. Рассматривается уравнение Б-С для псевдоскалярных мезонов, состоящих из кварков с разными массами 15:

МЬ{1)(р) = Е,(р)Ьщ(р) - ] щ-,У(\р-+ ^^Ц})«), (63)

где

С}'' = соз(«1 (р) ± «г(р)), = 81п(г/1(р) ± щ(р)),

VI,У2 и Е\,Еъ - решения уравнения Ш-Д для кварка и антикварка, £'((р) = Е\(р) + Е2(р) - полная энергия мезона, М - собственное значение (масса связанного состояния), ¿^ - волновые функции. Условие нормировки имеет вид:

= (64)

Из) h

"Амирханов И.В., Жураев О.М., Каллкс В., Первушин В.Н., Пузыния И.В., Сариков H.A., Стриж Т.А. Кварконий в КХД с растущим потенциалом. Сообщение ОИЯИ Р11-88-506, Дубна, 1988.

где Ne = 3 - квантовое число. Зная волновые функции V\ и v2 уравнения Ш-Д и используя полученные решения системы (63), можно вычислить константы лептонных распадов псевдоскалярных мезонов

* = 1Г / cos(Vl(q) + V2(q))q- (б5)

Для модификаций, приведенных в п.6.2.1, Ставилась задача найти такие значения параметров, при которых для основных состояний уравнения Б-С выполняется условие Mx/F* ~ 1.04, соответствующее экспериментальным данным для пиона. При этом массы U и D -кварков должны быть в пределах теоретических оценок то = 2 -ï 10. Решения системы (63) ищутся в виде

= , . ' (66) /,т

где Yim{e, ф) - сферические функции.

Подставляя разложения (66) в формулы (63),(64) при 1,т = 0, для потенциала Гаусса (61) при С = 0, обозначив = получим:

• Миф) = Et(j>)U{li)(p)- • (67)

ОО

' -2 Jdg[cPcPvi(p,q) + 5p(î)5,(ï)Vi(p,9)]£A(})(g), о

1Г(2= (68)

с асимптотическими условиями на решения

Hmi/a)(p) = 0, ^ni/(;)(p) = 0.

Здесь

Vi(p,9) = ~Vi(p> 9)1 V2(p,q) = ?Vs(p,9). (69)

Я 9

Формула (65) примет вид:

F^^-^^JdqU2(q)cos(v1(q)+vî(q))q. ' (70)

Таким образом, мы получили задачу на собственные значения для системы двух интегральных уравнений (67) с условием нормировки (68). Еще раз отметим, что в формулы, определяющие задачу Б-С, входят решения (vi,Ei) и («2,£2) системы Ш-Д для двух масс кварков moi и тог.

В параграфе 6.3 представлена общая схема численного исследования модели и методы численного решения уравнений Швингера-Дайсона и Бете-Солпитера с использованием подхода, определяемого НАМИ. В частности, для решения одного вида перенормированной системы (62) применялся модифицированный алгоритм [7] без обращения линейного оператора. При этом постановка задачи путем простых

преобразований формулировалась в виде нелинейного интегрального уравнения для определения массовой функции кварка

т(р) = Я(р)сов(2»(р)). ,

Система Б-С (67) представляет собой задачу на собственные значения для двух линейных интегральных уравнений с условием нормировки (68).

Численное решение задачи (67)^(68) осуществлялось с использованием программного комплекса БУвШТ (БУБШТМ), описание которого дано в Главе 2.

В параграфе 6.4 представлены результаты исследования модели с потенциалом Гаусса для различных схем "перенормировки" волновой функции кварка.

В параграфе 6.5 представлены результаты исследования той же модели с потенциалом Юкавы [49], с комбинацией гауссовского и осцилляторного потенциалов [48], с кулоновским и линейным потенциалами [9].

В параграфе 6.6 "Численное исследование одного релятивистского уравнения на связанные состояния" представлены работы по численному исследованию некоторых проблем на собственные значения в импульсном представлении [10].

В пунктах 6.6.2 и 6.6.3 представлены результаты исследования релятивистского уравнения Шредингера для кулоновского и линейного потенциалов [13], [25]. Численный анализ ряда релятивистских потенциальных моделей сводится к решению задач на собственные значения для интегральных уравнений в импульсном пространстве. Одна из трудностей исследования таких задач связана с тем, что в качестве эффективного потенциала в указанных моделях, по аналогии с нерелятивистским подходом, обычно используется комбинация кулоновского Ус и линейно растущего Уь потенциалов

а < 0, (71)

что приводит к расходимостям в ядрах интегральных уравнений при р = д и р оо. В ряде работ расходимость интегралов устраняется за счет дополнительно введенных в исходные уравнения контрчленов (т.н. перенормировка). Другой подход предполагает модификацию эффективного потенциала на уровне координатного представления путем его аппроксимации некоторыми элементарными функциями. Исследование свойств ряда таких аппроксимирующих потенциалов проведено в работе [10].

В настоящей работе исследуется обобщение разработанных в [9] и [10] приемов на случай т.н. запаздывающего взаимодействия. При этом потенциалы (71) и (72) принимают, соответственно, вид

где Ер = т/р1 +тг, Еч = ^/д2 +тп2, тп - масса (параметр модели).

Переход от потенциалов (71 ),(72) к (73),(74) означает на уровне координатного представления переход к нелокальному взаимодействию, т.е. исходные дифференциальные уравнения в координатном пространстве становятся интегро-дифференци-альными, что сильно усложняет интуитивное представление о свойствах спектральной задачи с такими потенциалами.

В качестве примера рассматривается релятивистское уравнение

1 ос

Ш - ЕЖЬ) +1<кУ^\р,ч)ф%\9) = 0,' (75)

о

где

Я(р) = 2{Ер-т), (76)

+1

(?,<?) = I ¿хУ^(р,д,х)Р1(х), (77)

-1

' ' ' 1 с условием нормировки

оо

= • (78)

о •

Здесь п = 0,1,2,... - число нулей собственной функции , / = 0,1,2,...; т - параметр, Р; - полиномы Лежалдра, /3 = 1,2,3,4 соответствует четырем указанным выше типам взаимодействия (71),(72),(73),(74).

Отметим, что целый ряд релятивистских обобщений уравнения Шредингера отличается от задачи (75),(76) только видом функции £?(р).

Нерелятивистский случай, используемый для сравнения и тестирования, соответствует функции

' Я(р) = £ (79)

т

в задаче (75),(77),(78).

Представлены постановка задачи и методы численного анализа уравнения (75) с кулоновским и линейным потенциалами.

В пункте 6.6-4 проведен анализ динамики спектра в зависимости от параметров. Численные результаты подтверждают теоретические оценки влияния релятивистских эффектов и эффектов запаздывания взаимодействия' на изменение спектра.

В Заключении к главе 6 сформулированы полученные результаты.

В Заключении к диссертации сформулированы все основные результаты,"полученные'в диссертации.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона разработаны итерационные схемы с параметром, минимизирующим невязку уравнения:

1.1. Схема с фиксированным сдвигом и дополнительной ортогонализацией собственных элементов для решения спектральных задач.

1.2. Модифицированная итерационная схема на основе дополнительной параметризации исходного уравнения, объединяющей метод вариации параметра и НАМИ.

1.3. Итерационная схема с дополнительной параметризацией исходного уравнения с одновременным уточнением обратного оператора в линейном уравнении для итерационной поправки, не требующая 'его обращения.

2. Разработаны проблемно-ориентированные программные комплексы, реализующие концепцию объединения ньютоновских итерационных схем и метода продолжения по параметрам для уточнения решений и изучения параметрической зависимости решений:

2.1. SLIP1 (Sturme-LIouville Problem for 1 equation)

2.2. SLIPH4 (Sturme-LIouville Problem with precision 0(H4))

2.3. SLIPS2 (Sturme-LIouville Problem for System 2 equations)

Эти комплексы имеют два адреса в библиотеке программ ОИЯИ:

http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/index.html

http: //www.jinr.ru /programs/jinrlib/slip/indexe.html

2.4. SNIDE ( Integro-DifFerential Equation)

http: / / www.jinr.ru/programs/jinrlib/snide/index.html

2.5. SYSINT (SYSINTM) (SYStem of INTtegral equations) http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/sysint/index.html

3. С помощью разработанных вычислительных схем и комплексов программ проведено численное исследование математических моделей физики и модернизация методов их исследования.

3.1. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение расчета уровней энергии слабосвязанных возбужденных состояний мезомолекул ddfi и dtfi в адиабатическом представлении задачи трех тел, важных для обоснования модели резонансного образования этих мезомолекул.

3.2. Разработано новое, усовершенствованное двухуровневое адиабатическое представление мюонной трехчастичной задачи путем построения эффективных потенциалов простого двухуровневого приближения, воспроизводящего известные с высокой точностью уровни энергии мюонной трехчастичной системы подбором параметра, обобщающего эффективную массу.

3.3. На основе усовершенствованного двухуровневого адиабатического представления выполнен расчет сечений и волновых функций задачи рассеяния мезоатомов на ядрах дейтерия и трития, более экономичный и согласующийся по точности с многоуровневыми расчетами других авторов. Выполнен расчет

волновых функций слабосвязанного состояния «fö/t-молекулы, который в отличие от вариационного расчета обеспечивает их правильное асимптотическое поведение. .

3.4. Выполнен расчет схеМы уровней энергии'антйпротонной молекулы гелия для широкого набора квантовых чисел с использованием идеи построения эф* фёктивных потенциалов адиабатического приближения, воспроизводящих известные спектрометрические экспериментальные данные с помощью подбора подгоночных параметров.

" 3.5.-Проведены расчеты акустических полей в океаническом волноводе в моде-''ли "жидкого дна", продемонстрировавшие достоинства разработанных алгоритмов (широкие предположения о поведении профиля скорости звука, контроль точности вычислений, достаточное быстродействие, естественность пересчета по трассе с непрерывно меняющимися параметрами) и возможность применимости в более сложных моделях.

3.6. Реализовано моделирование бифуркационных режимов в круговом джо-зефсоновском контакте, что послужило основой для развития новых итерационных схем для исследования устойчивости стационарных режимов в джозеф-соновских контактах других конфигураций. , , ;

3.7. Для модели Латтинжера-JIy впервые йолучены сферически несимметричные решения уравнения полярона с использованием их разложений по сферическим функциям.

3.8. В рамках потенциальной модели кваркония с .потенциалом Гаусса впервые получены параметры для описания массовой функции кварка, энергии и константы лептонного распада основного состояния пиона. Проведены исследования модели с кулоновским и линейным потенциалами, с Комбинацией гаус-

совского и осцилляторного' потенциалов, с потенциалом Юкавы. В рамках этой модели получены результаты, ценные для решения проблем перенормировки и устранения расходимости в потенциальных моделях КХД.

3.9. Проведены численные исследования релятивистского уравнения Шре-дингера для кулоновского и линейного потенциалов. Сделан анализ динамики спектра в зависимости от параметров. Численные результаты подтверждают теоретические оценки влияния релятивистских эффектов и эффектов запаздывания взаимодействия на изменение спектра.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики. Математическая часть. ЖВМ и МФ, т.8, вып.6, 1968, стр.1256-1268.

2. Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Вычисление уровней энергии мезоколекул водорода с учетом адиабатических поправок на движение ядер. ЖЭТФ, 1973, т.65, вып.1(7), стр.28-34.

3. Виницкий С.И., Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н., Файфман М.П. Резонансное образование ¿t-мезонолекул водорода. ЖЭТФ, 1978, т.74, вып.З, стр.849-861.

4. Виницкий С.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Простое эффективное адиабатическое представление в задаче трех тел и моделирование перехода квазистационарного состояния в слабосвязанное для di/i-мезомолекулы. Ядерная Физика, 1992, ,55, 12, стр.3271-3277.

5. Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Smirnov Yu.S., Vinitsky S.I. New Effective Mass in Adiabatie Approach for the Muonic Three-Body Problem. Ядерная Физика, 1993, 56, 7, стр.82-88. In Proceed. Intern. Conf. Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems. P&MM'93, Dubna, 1993, p.234.

6. Виницкий С.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Славянов С.Ю. Применение непрерывного аналога метода Ньютона для расчета волнового распространения звука в океане. Акустический журнал, 31, 6, 1985, стр.787-790.

7. Puzynin I.V., Amirkhanov I.V., Puzynina Т.Р., Zemlyanaya E.V. The Newtonian Iterative Scheme with Simultaneous Calculating the Inverse Operator for the Derivative of Nonlinear Function. JINR Rapid Comm., No.5[62]-93, Dubna, 1993, p.63-73. In Proceed. Intern. Conf. P&MM'93, Dubna, 1993, p.30-34.

8. Амирханов И.В., Земляная E.B., Первушин B.H., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сариков Н.А., Стриж Т.А. Численное исследование уравнений Швингера-Дайсона и Бете-Солпнтера с потенциалом Гаусса в рамках модели кварко-ння. Мат. моделирование, 1994, 6, 7, стр.55-70.

9. Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А.

О некоторых проблемах численного исследования модели кваркония с куло-новскнм и линейным потенциалами. Мат. Моделир., 1995, 7, 7, стр.34-48.

10. Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. 0 некоторых проблемах численного исследования задач на собственные значения в импульсном представления. Мат. моделирование, 1997, 9, 10, стр.111-119.

11. Mardoyan L.G., Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Tyukhtyaev A.Yu., Vinitsky S.I. Nonadiabatic Coupling in the pHe+System. Ядерная физика, 1998, 61, 11, стр.1-7.

12. Пузынин И.В., Амирханов И.В., Земляная'Б.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П., С*риж Т.Л., Лахно В.Д. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых квантово-полевых моделей.'ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, вып.1, стр.210-265. Phys. of Particles and Nuclei, Vol.30, No.l, 1999, p.87-110.

13. Амирханов И.В., Земляная E.B., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. Релятивистские уравнения для связанных состояний с кулоновским и линейным потенциалами. Мат. моделирование, 2000, 12, 12, стр.79-96.

14. Amirkhanov I.V., Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Zemlyanaya E.V. Iteration Method for Solving the Spherical Non-Symmetrical Polaron Equation (the Luttin-ger-Lu model). "Polaron and Applications", Ed.V.D.Lakhno, John Wiley&Sons, Chichester, New-York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1994, p.445-452.

15. Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P. Continuous Analog of Newton's Method as Applied to the Calculation of the Binding Energy of Mesic Molecules. J. Comput. Phys., Vol.13, No.l, 1973, p.1-14.

16. Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P. Continuous Analog of Newton's Method for the Calculation of Quaslbound States of Hydrogen /i-mesic Molecules. J. Comput. Phys.; Vol.22, No.l, 1976, p.125-130.

17. Ponomarev L.I., Puzynina T.P., Somov L.N. Non-adiabatic Matrix Elements Connecting the Discrete and Continuous Spectra of Two-Centre Problem in Quantum Mechanics. J. Phys. B: Atom. Mol. Phys., Vol.10, No.4, 1977, p.1335-1345.

18. Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Somov L.N. The Scattering Problem in Quantum Mechanics as an Eigenvalue Problem. Annals of Physics, Vol.110, No.2, 1978, p.274-286. '

19. Melezhik V.S., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Somov L.N. Numerical Solution of a System of Integro-Differential Equations Arising From the Quantum Mechanical Three-Body Problem with Coulomb Interaction! J. Comput. Phys., Vol.54, No.2,1984, p.221-236. .

20. Eaifman M.P., Menshikov L.I.; Ponomarev L:I., Puzymn I.V., Puzynina T.P., Strizh T.A. The Energy Levels of Hydrogen Isotopes Mesic Molecular Complexes. Z.Phys. D-Atoms, Molecules and Clusters 2,1986, p.79-82. Abstracts Tenth Intern. Conference on Atomic Physics', Tokyo, 1986, p.98. Intern. Symposium on Muon-Catalyzed Fusion, University of Tokyo', 1986. Abstracts of papers, p.28, p.35.

21. Puzynin I.V., Puzynina T.P., Smirnov Yu.S., Vinitsky S.I. New effective' Adi-abatic Approach to the Muonic ThreerBody Problem. J. Hyperfine Interactions, 82,; 1993, p.73-81. ' ,

22. BakalovD.,PuzyninI.V.,i>uzyniiiaT.P.', Vinitsky S.I. Fine and hyperfine Struc-, ture of Antiprotonic Helium. J. Hyperfine Interactions, 101/102, 1996, p.487-

23. Puzynin I.V., Puzynina T.P., Vinitsky S.I., Puzynin V.I. Energy Level Scheme of pHe+ System in an Improved Adiabatic Approach. J. Hyperfine Interactions, 101/102,1996, p.493-502.

24. Bakalov D., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Vinitsky S.I. Spin Effects in Anti-protonic Helium Spectroscopy. Phys. Letters A211, 1996, p.223-227.

25. Puzynin I.V., Machavariani A.I., Amirkhanov I.V., Puzynina T.P., Strizh T.A., ZemlyanayaE.V. Numerical Solution of Two-Body Relativistic Equations , for the Bound-State Problem with Confining and Coulomb Potentials.

Сотр. Phys. Comm., 126 (2000) p.16-21. In Proceed. First Intern. Conf. "Modern Trends in Computational Physic, MTCP-1998", Dubna, Russia, p.24.

26. Puzynin I.V., Puzynina T.P., Smirnov Yu.S., Vinitsky S.I. Effective mass of three-body quantum mechanics system with coulomb interaction as matching parameter in effective adibatic representation. In Proceed. Intern. Conf. on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems. P&MM'93, Dubna, 1993, p.234-239.

27. Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Непрерывный аналог метода Ньютона в некоторых задачах математической физики на собственные значения. Сб. "Программирование и математические методы решения физических задач", ОИЯИ, D10-7707, Дубна, 1974 , стр.134.

28. Виницкий С.И., Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Процесс Ньютона в теории возмущений с непрерывным включением взаимодействия. Препринт ОИЯИ, Р4-10942, Дубна, 1977.

29. Виницкий С.И., Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н. Численное исследование некоторых модификаций непрерывного аналога метода Ныггона при решении частичной задачи Штурма-Лиувилля. Сообщение ОИЯИ, Р5-12788, Дубна, 1979.

30. Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Программа приближенного решения задачи Штурма-Лиувилля с помощью иенрерывного аналога метода Ныггона. В сб.: "Col- * lection of scientific papers in collaboration of JINR, Dubna, USSR and Central Research Institute for Physics", Budapest, Hungary, KFKI-74-34, 1974, стр.93112. http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/index.html /

31. Пузынина Т.П. TERM - программа для вычисления собственных значений задачи двух центров квантовой механики. В c6.:"CoIlection of scientific papers in collaboration of JINR, Dubna, USSR and CRIP", Budapest, Hungary, KFKI-77-12, 1977, стр.149-169.

32. Баатар Д., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Численное решение многоп&рамет-ричесхой задачи на собственные значения и повышение точности разностного решения. Сообщение ОИЯИ, Р11-82-97 , Дубна, 1982.

33. Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. SLIPH4 - программа для численного решения задачи Штурма-Лиувилля. Сообщение ОИЯИ, Р11-87-332, Дубна, 1987. http://www.jinr.ru/program8/jinrlib/sUp/index.html

34. Пузынина Т.П. SLIPS2 - программа численного решения задачи Штурма-Лиувилля для системы дифференциальных уравнений. Сообщение ОИЯИ, Р11-89--728, Дубна, 1989. http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/index.html

35. Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынина Т.П. SNIDE - пакет программ для решения задач на собственные значения для интегро-дифференциального уравнения на основе НАМИ. Сообщение ОИЯИ, Р11-91-87, Дубна, 1991. http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/snide/index.html

36. Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P. Calculation of Quasi-Stationary State Characteristics of Hydrogen Mesic Molecules. Препринт ОИЯИ, P4-9183, Дубна, 1975. In Proceed. International Conference on High Energy Physics and Nuclear Structure, 6-th, Santa Fe—Los Alamos, 1975, p.163.

37. Виницкий С.И., Пономарев JI.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.'Н. Вычисление уровней /г-мезомолекул изотопов водорода в адиабатическом представлении задачи трех Тел. Препринт ОИЯИ, Р4-10336, Дубна, 1976. В сб. "Мезоны в веществе. Труды международного симпозиума по проблемам ме-зонной химии и мезомолекулярных процессов в веществе", Дубна, 7-10 июня 1977г., ОИЯИ, Д1, 2, 14-10908, с.187-192.

38. Виницкий С.И., Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н. Программа численного решения частичной задачи Штурма-Лиувилля для системы линейных дифференциальных уравнений второго, порядка. Сообщение ОИЯИ, Р5-12787, Дубна, 1979.

39. Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Решение частичной задачи Штурма-Лиувилля для системы ивтегродафференциальных уравнений специального вида. Сообщение ОИЯИ, Р5-12789, Дубна, 1979.

40. Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н. Решение частичной задачи Штурма-Лиувилля для системы интегро-Дифференциальных уравнений, возникающей при вычислении уровней энергии (i-мезомолекул в адиабатическом представлении задачи трех тел. Сообщение ОИЯИ, Р5-12790, Дубна, 1979.

41. Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н. Решение системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей при вычислении энергии /i-мезомолекул в адиабатическом представлении задачи трех тел. Сообщение ОИЯИ, Р11-82-842, Дубна, 1982.

42. Ponomarev L.I., Puzynina T.P. Tables of the Effective Potentials for the Three-Body Problem with the Coulomb Interaction in the Adiabatic Representation. J INR Comm., E4-83-778, Dubna, 1983.

43. Касчиев M.C., Касчиева B.A., Маханьков В.Г., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Филиппов А.Т. Численное исследование устойчивости и точек бифуркации связанных статических состояний флюксонов в круговом джозефсоновском переходе с микронеоднородаостью. Препринт ОИЯИ, PI 1-84-832, Дубна, 1984.

рос. национальная]

библиотека 1 С.Петербург I 1 09 100 акт I

44. Amirkhanov I.V., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Zakhariev B.N. About the Three-Body Inverse, Problem. Proceed. Intern. Symposium "Schroedinger Operators Standard and non-Standard", Dubna, USSR, 1988. Singapore: World Scientific, p.353.

45. Anlirkhanov I.V., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Zakhariev B.N. Potential reconstruction from R-matrix resonance positions and reduced widths.

In Intern. Proceed, on Few-Body Physics, изд-во КГУ, Калинин, 1989, c.55-59.

46. Амирханов И.В., Пузынина Т.П. Численное решение прямой н обратной задач квантовой механики в рамках R-матричного подхода и баргмановского формализма. Сообщение ОИЯИ, Р11-89-771, Дубна, 1989.

47. Амирханов И.В., Земляная Б.В., Пузынина Т.П. Итерационный метод решения уравнения полярона в сферически-симметричном случае. Сообщение ОИЯИ, Р11-91-139, Дубна, 1991.

48. Amirkhanov I.V., Pervushin V.N., Puzynin I.V., PuzyninaT.P., Sarikov N.A., Strizh T.A., Zemlyanaya E.V. Numerical Investigation of Shwinger-Dyson and Be-the-Salpeter Equations with Gauss and Oscillator Potentials at the Framework of the Quarkonium Model. Препринт ОИЯИ, Ell-94-509, Dubna, 1994.

49. Амирханов И.В., Давлатов Х.Ф., Земляная E.B., Первушин В.Н., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сариков Н.А., Стриж Т.А. Численное исследование модификации КХД-инспирированной модели кваркония с потенциалом Юкавы. Сообщение ОИЯИ, Р11-94-523, Дубна, 1994.

Получено 17 июня 2003 г.

I

If

I

I2559 P12 5 5 9 /

Макет H. А. Киселевой

Подписано в печать 19.06.2003. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,12. Уч.-изд. л. 3,24. Тираж 100 экз. Заказ № 53975.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение.

1 Непрерывный аналог метода Ньютона и его обобщение

1.1 Введение.

1.2 Непрерывный аналог метод Ньютона (обзор)

1.2.1 Ньютоновские итерационные схемы

1.2.2 Оценки точности ньютоновских итерационных схем.

1.2.3 Алгоритмы вычисления параметра г^.

1.3 Обобщение непрерывного аналога метода Ньютона.

1.3.1 Ньютоновская итерационная схема с фиксацией элемента z из окрестности искомого решения z*.

1.3.2 Модифицированные итерационные схемы с явной зависимостью эволюционного уравнения от дополнительного параметра

1.3.3 Ньютоновская итерационная схема с одновременным вычис

• лением оператора, обратного к оператору производной нелинейной функции.

1.3.4 Модификация НАМН с непрерывным включением взаимодействия в схеме с возмущением оператора.

2.2 SLIP1 - комплекс программ на основе итерационных схем НАМН для решения задачи на собственные значения для дифференциального уравнения.46

• 2.2.1 Постановка задачи.46

2.2.2 Метод решения (НАМИ).47

2.2.3 Дискретное представление по параметру t.48

2.2.4 Дискретная схема.49

2.2.5 Описание параметров подпрограммы SLIP1.50

2.2.6 Пример использования подпрограммы SLIP1.52

2.3 SLIPH4 - комплекс программ на основе модифицированных ньютоновских схем для решения задачи на собственные значения для дифференциального уравнения .54

2.3.1 Алгоритм вычисления начального приближения.55

2.3.2 Алгоритм уточнения начального приближения.56

2.3.3 Модифицированный алгоритм .58

2.3.4 Дискретное представление.59

2.3.5 Алгоритмы вычисления 7>.60

2.3.6 Точность вычислительной схемы.60

2.3.7 Описание программ комплекса.61

2.3.8 Примеры использования комплекса SLIPH4.68

2.3.9 Задачи, решенные с использованием комплекса SLIPH4 . 70

2.4 SLIPS2 - комплекс программ для решения задачи на собственные значения для системы дифференциальных уравнений.72

2.4.1 Введение .72

Ф 2.4.2 Алгоритмы. Описание итерационного процесса.73

2.4.3 Модифицированный процесс. Г(ж) = I.76

2.4.4 Дискретное представление и точность вычислительных схем 76

2.4.5 Описание комплекса программ.77

2.5 SNIDE - комплекс программ для решения задачи на собственные значения для интегро-дифференциального уравнения.86

2.5.1 Введение.86

2.5.2 Описание итерационного процесса.87

2.5.3 Описание параметров программы.91

2.5.4 Численные примеры.93

2.6 SYSINT (SYSINTM) - комплекс программ для решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений . 95

• 2.6.1 Введение. 95

2.6.2 Алгоритм программы SYSINT. 96

2.6.3 Алгоритм программы SYSINTM.97

2.6.4 Программная реализация.98

2.6.5 Подпрограммы пользователя.99

2.6.6 Описание параметров программы.99

2.6.7 Пример использования комплексов SYSINT и SYSINTM . 100 2.7 Заключение.103

3 Алгоритмическое и программное обеспечение теоретических исследований мезомолекулярных процессов 106 106

3.2 Адиабатическое представление задачи трех тел квантовой механики 109

3.3 Задача двух центров квантовой механики.111

3.3.1 Матричные элементы, эффективные потенциалы.113

3.4 Численная аппроксимация задачи для системы радиальных уравнений 114

3.5 Решение больших систем и экстраполяция результатов по параметрам аппроксимации.115

3.6 Новые эффективные потенциалы двухуровневого приближения и решение задачи рассеяния.117

3.7 Структура "экзотической" системы рНе+.123

3.7.1 Введение.123

3.7.2 Эффективное адиабатическое представление .123

3.8 Заключение.129

4 Прямые и обратные спектральные задачи и исследование некоторых волновых процессов 131

4.1 Исследование прямой и обратной задач квантовой механики в Rматричном подходе с использованием баргмановского формализма 131

4.1.1 Введение.131

4.1.2 Прямая задача для системы уравнений.133

4.1.3 Обратная задача для системы уравнений.134

4.1.4 Комплексы программ Уи S.137

4.1.5 Численные эксперименты.138

4.2 Решение задачи о расчете полей акустических волноводов в океанической модели "жидкого дна".141

4.3 Исследование устойчивости и точек бифуркации связанных статических состояний флюксонов в круговом джозефсоновском переходе с микронеоднородностью.146

4.3.1 Введение.146

4.3.2 Численные схемы.148

4.3.3 Численный анализ: особенности, результаты.151

4.4 Заключение.159

5 Численное исследование уравнения полярона в рамках модели Латтинжера-JIy 161

5.1 Введение.161

5.2 Постановка задачи.163

5.2.1 Сферически симметричный случай.165

5.2.2 Сферически несимметричный случай.167

5.3 Описание итерационного метода решения уравнения полярона . . . 170

5.4 Численные результаты.172

5.4.1 Сферически симметричный случай.172

5.4.2 Сферически несимметричный случай.177

5.5 Заключение.181

6 Численное исследование уравнений Швингера—Дайсона и Бете— Солпитера в рамках модели кваркония 183

6.1 Введение.183

6.2 Постановка задачи.183

6.2.1 Уравнение Швингера-Дайсона с потенциалом Гаусса.185

6.2.2 Уравнение Бете-Солпитера.188

6.3 Численное решение уравнений Швингера-Дайсона и Бете-Солпитера 189

6.3.1 Итерационная схема решения уравнения Швингера-Дайсона 190

6.3.2 Метод решения уравнения Бете-Солпитера.191

6.3.3 Программная реализация.191

6.4 Анализ численных результатов для потенциала Гаусса.192

6.5 Численное исследование систем Ш-Д и Б-С с другими видами потенциалов .196

6.5.1 Потенциал Юкавы.196

6.5.2 Комбинация гауссовского и осцилляторного потенциалов . . 200

6.5.3 Комбинация кулоновского и линейного потенциалов.204

6.5.4 Приложение.216

6.6 Численное исследование одного релятивистского уравнения на связанные состояния с кулоновским и линейным потенциалами.216

6.6.1 Введение.216

6.6.2 Кулоновский потенциал.219

6.6.3 Линейный потенциал.224

6.6.4 О некоторых особенностях спектра релятивистского уравнения .227

6.7 Заключение к главе 6.230

Заключение.232

Благодарности.235

Основные публикации по теме диссертации.236

Список цитируемой литературы.242

Введение

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы В диссертации выполнено численное исследование основных характеристик ряда математических моделей сложных процессов из различных разделов физики. Рассмотрены следующие математические модели:

1. Задача трех квантовых частиц, взаимодействующих по закону Кулона, как модель для вычисления уровней энергии и волновых функций связанных и квазистационарных состояний мезомолекул и мезомолекулярных комплексов в проблеме мезокатализа синтеза ядер изотопов водорода, а также структуры уровней энергии "экзотической" квантовой системы рНе+ - антипротонной молекулы гелия.

2. Океаническая модель "жидкого дна" для расчета полей акустического волновода.

3. Модель кругового джозефсоновского перехода с микронеоднородностью для исследования устойчивости и точек бифуркации статических распределений магнитного потока.

4. Модель Латтинжера-JIy полярона (электрона в поле, создаваемом его взаимодействием со средой) для расчета основных характеристик поляронных состояний.

5. Потенциальные модели кваркония (мезона, состоящего из тяжелого кварка и его антикварка) для расчета характеристик системы кварк-антикварк с несколькими типами потенциалов.

Актуальность исследования указанных моделей обусловлена потребностями теоретических и экспериментальных программ и проектов. В частности, теоретические расчеты характеристик процессов мюонного катализа выполнялись по Программе исследований явления мюонного катализа, утвержденной Совместным решением ГКАЭ и Президиума АНСССР (N32, 19.09.83г.). Разработка алгоритмов и программ для расчета волнового распространения звука в океане проводилась в рамках Соглашения о научно-техническом сотрудничестве между ОИЯИ и Ленинградским государственным университетом. Исследования по джозефсо-новским переходам велись совместно с Институтом радиоэлектроники г. Москва.

Результаты исследований антипротонной молекулы гелия использованы в проекте CERN "Atomic spectroscopy and collisions using slow antiprotons" ASACUSA Collaboration (CERN/SPSC 97-19, CERN/SPSC P-307).

Выполнение работ проводилось при поддержке РФФИ (гранты 94-01-01119, 97-01-01040, 00-01-00617, 03-01-00657).

Эти модели объединены объектом численного исследования, которым являются сингулярные нелинейные спектральные или граничные задачи для систем дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Полное исследование таких задач с помощью аналитических и качественных методов возможно лишь в исключительных случаях. Нередко из-за сложности математической постановки задач единственно возможным является их численное решение. Создание обоснованного и эффективного алгоритма численного решения поставленной задачи, обеспечивающего необходимую точность результатов, и его реализация в виде комплекса программ эквивалентны, в определенном смысле, ее полному решению.

В диссертации представлены ньютоновские итерационные схемы и их алгоритмическая и программная реализация для исследования этих нелинейных задач. Основой для их построения служит непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН), впервые предложенный М.К. Гавуриным [1]. НАМН зарекомедовал себя как универсальный и эффективный метод исследования многих важных проблем теоретической физики. В результате его развития создан качественно новый ( [П7], [П12], [П27]- [П29], [П38]- [П41]), обобщенный НАМН, соединивший в себе достоинства некоторых других известных методов, широко применяющихся при решении уравнений в математических моделях физики. Это схемы теории возмущений, метод продолжения по параметру, метод вариации параметра, который в задачах ядерной физики известен как метод эволюции по константе связи. Разработаны усовершенствованные итерационные схемы, алгоритмы и комплексы программ [ПЗО]- [П35].

Исследование современных математических моделей физики предъявляет высокие требования к методам их численного анализа. Особенно сложными являются возникающие в них спектральные и нелинейные задачи, в которых решение является не единственным и требуется обеспечить выделение необходимого peineния из множества других. Многочисленные подходы к приближенному решению таких задач, развитые в различных разделах теоретической физики, в большинстве своем носят частный характер и предназначены для решения узко специальных задач. Поэтому создание новых эффективных алгоритмов и комплексов программ для решения систем дифференциальных, интегро— дифференциальных и интегральных уравнений на основе единого метода, позволяющего единообразно анализировать точность расчетов и параметрические зависимости результатов, и где НАМН представляется перспективной основой, является актуальной проблемой в области компьютерного моделирования сложных физических процессов.

Работы, положенные в основу диссертации, выполнены в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ.

Цели и задачи исследований

Целью диссертационной работы является решение фундаментальной научной проблемы — создание эффективных итерационных схем, алгоритмов и комплексов программ для численного моделирования физических систем, приводящего к спектральным и граничным задачам для дифференциальных, интегро—дифференциальных и интегральных уравнений, а также исследование конкретных математических моделей квантовой механики, квантовой хромодинамики, конденсированных сред и акустики.

Достижение цели диссертационной работы осуществляется решением следующих задач:

1. На основе свойств обобщенного НАМН реализовать общую концепцию построения вычислительных схем, опирающуюся на метод продолжения по параметрам. Объединение физических параметров модели и параметров дискретной аппроксимации в методе продолжения позволяет наряду с исследованием параметрических зависимостей характеристик модели выполнять их уточнение, а также упростить проблему задания начальных приближений для итераций.

2. Разработать для данного круга задач способы дискретной аппроксимации сингулярных задач, включая перенос асимптотических условий для решений на конечные интервалы интегрирования.

3. Разработать для итерационных схем простые алгоритмы решения уравнений для итерационных поправок и построения начальных приближений к искомым решениям.

4. Выполнить численные исследования точности предложенных алгоритмов на моделях, близких к реальным задачам, или с помощью численных экспериментов на сгущающихся сетках и расширяющихся интервалах.

5. Разработать эффективные алгоритмы и создать комплексы программ для численного решения конкретных физических задач.

Для всех представленных в диссертации исследований решены все необходимые из перечисленных выше задач.

Численное решение ряда задач теоретической физики из ее различных разделов с помощью разработанных схем и комплексов программ является практическим доказательством их эффективности.

Научная новизна и значимость работы

1. Наряду с классическими постановками (прямая и обратная задачи для уравнения Шредингера, нелинейная граничная задача для уравнения Латтинжера-Лу), рассматриваются новые постановки для систем, объединяющих нелинейные граничные и спектральные задачи, уравнения в которых связаны через неизвестные решения граничных задач. Это система из уравнения синус-Гордона и сопутствующего уравнения на собственные значения в задаче исследования устойчивости солитонных решений, система нелинейных уравнений Швингера-Дайсона и уравнений на собственные значения Бете-Солпитера в потенциальных моделях квантовой хромодинамики (КХД).

2. Данная диссертация является одной из первых работ, в которой систематически путем программной реализации и практической проверки эффективности представлены новые вычислительные схемы ньютоновского типа с параметром, минимизирующим невязку:

2.1. модифицированная схема с фиксированным сдвигом и дополнительной ортогонализацией собственных функций для последовательного вычисления решений из ограниченной части спектра оператора в задаче на собственные значения;

2.2. модифицированные итерационные схемы на основе дополнительной параметризации исходного уравнения, в частности, итерационная схема с одновременным уточнением обратного оператора в линейном уравнении для итерационной поправки, не требующая его обращения.

3. Разработано новое, усовершенствованное адиабатическое представление для мюонной задачи трех кулоновских частиц путем построения эффективных потенциалов простого двухуровневого приближения, воспроизводящего известные с высокой точностью уровни энергии мюонной трехчастичной системы за счет подбора параметра, обобщающего эффективную массу.

4. На основе новых модифицированных ньютоновских схем разработаны алгоритмы и созданы проблемно-ориентированные комплексы программ, объединенные в виде модулей, выполняющих как самостоятельные, так и вспомогательные функции при совместном использовании.

5. С использованием созданных программных комплексов впервые проведены численные исследования ряда нелинейных математических моделей физики и получены новые результаты:

5.1. В адиабатическом представлении задачи трех тел вычислены уровни энергии слабосвязанных возбужденных состояний мезомолекул ddfj, и dtfi, что послужило обоснованием модели резонансного образования мезомолекул и инициировало дальнейшие исследования проблемы мюкатализа.

5.2. На основе усовершенствованного двухуровнего адиабатического представления выполнен расчет характеристик рассеяния мезоатомов на ядрах дейтерия и трития, более экономичный в отличие от многоуровневых расчетов.

5.3. Выполнен расчет схемы уровней энергии антипротонной молекулы гелия для широкого набора квантовых чисел с использованием идеи построения эффективных потенциалов двухуровнего адиабатического приближения, воспроизводящих известные спектрометрические экспериментальные данные с помощью подбора подгоночных параметров.

5.4. В океанической модели "жидкого дна" проведен численный анализ влияния на поведение акустического поля океанического волновода способов аппроксимации профиля скорости распространения звука на различных глубинах океана и выполнено исследование характеристик звукового поля в случае, когда источник и приемник находятся вблизи поверхности, что продемонстрировало более широкую применимость разработанной схемы по сравнению с применявшимися ранее методами.

5.5. Реализовано моделирование бифуркационных режимов в круговых джо-зефсоновских контактах, что послужило основой для развития новых итерационных схем для исследования устойчивости стационарных режимов в джозефсонов-ских контактах других конфигураций.

5.6. Для модели Латтинжера-Jly впервые получены сферически несимметричные решения уравнения полярона.

5.7. В рамках потенциальной модели кваркония с гауссовским потенциалом впервые получены параметры для описания массовой функции кварка, энергии и константы лептонного распада основного состояния пиона. В рамках этой модели также получены результаты, ценные для решения проблем перенормировки и устранения расходимости в потенциальных моделях КХД.

5.8. Проведены численные исследования релятивистского уравнения Шре-дингера для кулоновского и линейного потенциалов. Выполнен анализ динамики спектра в зависимости от параметров. Численные результаты подтверждают теоретические оценки влияния релятивистских эффектов и эффектов запаздывания взаимодействия на изменение спектра.

Практическая ценность Программные комплексы SLIP1 [ПЗО], TERM [П31], SLIPH4 [ПЗЗ], SLIPS2 [П34], SYSTEM, SYSTEMQ [П4], [П36] использовались в ОИЯИ, ИАЭ им. И.В. Курчатова (Москва), ИФВЭ (Протвино), ИЯН (Белград) для решения квантово-механической задачи трех тел, для расчетов уровней энергии связи и волновых функций мезомолекул, мезомолекулярных комплексов, квазистационарных состояний, применяемых для определения скоростей и кинетики мюонного катализа. Комплексы программ WAVE [П6] использовались при расчете полей акустических волноводов в океанической модели "жидкого дна" в НИИФ СПГУ.

Комплексы SLIP1, SLIPH4, SLIPS2, SNIDE, SYSINT(SYSINTM) с полным описанием и тестовыми задачами сданы в библиотеку стандартных программ ОИЯИ JINRLIB. Адреса их размещений на WWW (первые два адреса для SLIP1, SLIPH4 и SLIPS2): http: / / www.jinr.ru / programs/jinrlib / slip/index.html http://www.jinr.ru / programs/jinrlib / slip/indexe.html http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/snide/index.html http://www.jinr.ru / programs/jinrlib/sysint /index.html

Апробация результатов работы

Различные составные части диссертационной работы докладывались на международных конференциях: "International Conference on High Energy Physics and Nuclear Structure", 6-th, Santa Fe - Los Alamos, 1975; " PANIC, Particles, and Nuclei ", Tenth International Conference, Heidelberg, 1984; 'Tenth International Conference on Atomic Physics", Tokyo, 1986; International Symposium "Schroedinger Operators Standard and non-Standard", Dubna, 1988; International Conference on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, Dubna, 1993; International Workshop "Perspectives in Polarons ", Pushchino, Russia, 1993; WNAA'96 (I International Workshop on Numerical Analysis and Applications, June 1996, Rousse, Bulgaria); "First International Conference on Modern Trends in Computational Physics, Dubna, 1998"; "Second International Conference on Modern Trends in Computational Physics, Dubna, 2000"; на Пятом Международном конгрессе по математическому моделированию (V 1С ММ), Дубна, 2002; на научных семинарах Лаборатории информационных технологий и Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 49 работах (П1-П49) в виде статей в журналах ЖВМ и МФ, Мат. моделирование, ЖЭТФ, Ядерная Физика, Акустический журнал, ЭЧАЯ, Краткие Сообщения ОИЯИ, J. Сотр. Phys., Z. Phys. D, J. Phys. В, Annals of Physics, Phys. Letters A,B, J. Hyperfine Interactions, Сотр. Phys. Comm., докладов в трудах международных конференций, препринтов и сообщений ОИЯИ.

Структура и объём диссертации

Диссертация, содержащая 256 страниц, состоит из введения, шести глав, заключения, списка основных публикаций (в диссертации они имеют номера П1-П49) и списка цитируемой литературы, включающего 194 наименования. Главы разбиты на параграфы, параграфы - на пункты. Нумерация формул, таблиц (всего таблиц 49) и рисунков (их 42) сквозная в пределах каждой главы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона разработаны итерационные схемы с параметром, минимизирующим невязку уравнения:

1.1. Схема с фиксированным сдвигом и дополнительной ортогонализацией собственных элементов для решения спектральных задач.

1.2. Модифицированная итерационная схема на основе дополнительной параметризации исходного уравнения, объединяющей метод вариации параметра и НАМН.

1.3. Итерационная схема с дополнительной параметризацией исходного уравнения с одновременным уточнением обратного оператора в линейном уравнении для итерационной поправки, не требующая его обращения.

2. Разработаны проблемно-ориентированные программные комплексы, реализующие концепцию объединения ньютоновских итерационных схем и метода продолжения по параметрам для уточнения решений и изучения параметрической зависимости решений:

2.1. SLIP1 (Sturme-LIouville Problem for 1 equation) для решения задачи на собственные значения для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с граничными условиями, нелинейно зависящими от спектрального параметра, с конечно-разностной аппроксимацией 0(h2).

2.2. SLIPH4 (Sturme-LIouville Problem with precision 0(H4)) - развитие пакета SLIP1 с трехточечной аппроксимацией задачи 0(hA).

2.3. SLIPS2 (Sturme-LIouville Problem for System 2 equations) для решения задачи на собственные значения для системы 2-х дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Эти комплексы имеют два адреса в библиотеке программ ОИЯИ: http: / / www.jinr.ru / programs/jinrlib / slip / index.html http: / / www.jinr.ru / programs/jinrlib / slip / indexe.html

2.4. SNIDE ( Integro-Differential Equation) - для решения задачи на собственные значения для интегро-дифференциального уравнения http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/snide/index.html

2.5. SYSINT (SYSINTM) (SYStem of INTtegral equations) - комплекс программ для решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/sysint/index.html

3. С помощью разработанных вычислительных схем и программ проведено численное исследование математических моделей физики и модернизация методов их исследования.

3.1. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение расчета уровней энергии слабосвязанных возбужденных состояний мезомолекул ddp, и dtp, в адиабатическом представлении задачи трех тел, важных для обоснования модели резонансного образования этих мезомолекул.

3.2. Разработано новое, усовершенствованное двухуровневое адиабатическое представление мюонной трехчастичной задачи путем построения эффективных потенциалов простого двухуровневого приближения, воспроизводящего известные с высокой точностью уровни энергии мюонной трехчастичной системы подбором параметра, обобщающего эффективную массу.

3.3. На основе усовершенствованного двухуровневого адиабатического представления выполнен расчет сечений и волновых функций задачи рассеяния мезоатомов на ядрах дейтерия и трития, более экономичный и согласующийся по точности с многоуровневыми расчетами других авторов. Выполнен расчет волновых функций слабосвязанного состояния ^//-молекулы, который в отличие от вариационного расчета обеспечивает их правильное асимптотическое поведение.

3.4. Выполнен расчет схемы уровней энергии антипротонной молекулы гелия для широкого набора квантовых чисел с использованием идеи построения эффективных потенциалов адиабатического приближения, воспроизводящих известные спектрометрические экспериментальные данные с помощью подбора подгоночных параметров.

3.5. Проведены расчеты акустических полей в океаническом волноводе в модели "жидкого дна", продемонстрировавшие достоинства разработанных алгоритмов (широкие предположения о поведении профиля скорости звука, контроль точности вычислений, достаточное быстродействие, естественность пересчета по трассе с непрерывно меняющимися параметрами) и возможность применимости в более сложных моделях.

3.6. Реализовано моделирование бифуркационных режимов в круговом джозефсоновском контакте, что послужило основой для развития новых итерационных схем для исследования устойчивости стационарных режимов в джозефсоновских контактах других конфигураций.

3.7. Для модели Латтинжера-Jly впервые получены сферически несимметричные решения уравнения полярона с использованием их разложений по сферическим функциям.

3.8. В рамках потенциальной модели кваркония с потенциалом Гаусса впервые получены параметры для описания массовой функции кварка, энергии и константы лептонного распада основного состояния пиона. Проведены исследования модели с кулоновским и линейным потенциалами, с комбинацией гауссовского и осцилляторного потенциалов, с потенциалом Юкавы. В рамках этой модели получены результаты, ценные для решения проблем перенормировки и устранения расходимости в потенциальных моделях КХД.

3.9. Проведены численные исследования релятивистского уравнения Шре-дингера для кулоновского и линейного потенциалов. Сделан анализ динамики спектра в зависимости от параметров. Численные результаты подтверждают теоретические оценки влияния релятивистских эффектов и эффектов запаздывания взаимодействия на изменение спектра.

Благодарности

В первую очередь я сердечно благодарю моего научного консультанта и самого строгого рецензента Пузынина Игоря Викторовича за помощь на всех этапах работы.

Я благодарю Логунова А.А. за помощь и поддержку на самых первых шагах работы в ОИЯИ.

Я с благодарностью вспоминаю создателей нашей Лаборатории информационных технологий Мещерякова М.Г. и Говоруна Н.Н.

Я глубоко признательна моим уважаемым соавторам, в творческом сотрудничестве с которыми получены результаты, вошедшие в диссертацию: Герштейну С.С., Пономареву Л.И., Пузынину И.В., Сомову Л.Н., Виницкому С.И., Мележи-ку B.C., Файфману М.П., Баатару Д., Гочевой А.Д., Славянову С.Ю., Гусеву В.В., Касчиеву М.С., Касчиевой В.А., Маханькову В.Г., Филиппову А.Т., Меньшикову Л.И., Стриж Т.А., Амирханову И.В., Захарьеву Б.Н., Земляной Е.В., Смирнову Ю.С., Первушину В.Н., Сарикову Н.А., Давлатову Х.Ф., Бакалову Д., Пузынину В.И., Лахно В.Д., Мардояну Л.Г., Тюхтяеву А.Ю., Мачавариани А.И.

Я благодарю коллективы Издательского отдела и Научно-технической библиотеки ОИЯИ за их высокопрофессиональную работу и душевную обстановку при этом. В каждой научной публикации есть и их вклад.

Я благодарю коллективы математиков, инженеров, техников, операторов, обеспечивавших работу ЭВМ М20, БЭСМ4 и CDC6500, где были получены основные результаты, вошедшие в диссертацию.

Я благодарю Коробову Г.А., Ангелова К.Н., Емелина PI.А., Жиронкина С.Г. за всестороннюю помощь, связанную с эксплуатацией компьютеров.

Благодарю всех, кто помогал мне в оформлении диссертации: Айряна Э.А., Айряна А.Н., Амирханова И.В., Бояджиева Т.Л., Бушу Я., Земляную Е.В., Иванченко З.М., Катрасеву Т.И., Кретову С.А., Луценко А.И., Никонова Э.Г., Полянского А.Я., Попкову Л.В., Сапожникову Т.Ф., Сапожникова А.П., Сархадова И. и др.

Благодарю весь коллектив Отдела вычислительной физики ЛИТ за творческую научную обстановку и дружескую атмосферу.

Я благодарна моим родным и близким за поддержку, понимание и любовь.

Основные публикации по теме диссертации

П1] Пономарев JI.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики. Математическая часть. ЖВМ и МФ, т.8, вып.6, 1968, стр.1256-1268.

П2] Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Вычисление уровней энергии мезомолекул водорода с учетом адиабатических поправок на движение ядер. ЖЭТФ, 1973, т.65, вып.1(7), стр.28-34.

ПЗ] Виницкий С.И., Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов JI.H., Файфман М.П. Резонансное образование ^-мезомолекул водорода. ЖЭТФ, 1978, т.74, вып.З, стр.849-861.

П4] Виницкий С.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Простое эффективное адиабатическое представление в задаче трех тел и моделирование перехода квазистационарного состояния в слабосвязанное для dfyi-мезомолекулы. Ядерная Физика, 1992, 55, 12, стр.3271-3277.

П5] Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Smirnov Yu.S., Vinitsky S.I. New Effective Mass in Adiabatic Approach for the Muonic Three-Body Problem. Ядерная Физика, 1993, 56, 7, стр.82-88. In Proceed. Intern. Conf. Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems. P&MM'93, Dubna, 1993, p.234.

П6] Виницкий С.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Славянов С.Ю. Применение непрерывного аналога метода Ньютона для расчета волнового распространения звука в океане. Акустический журнал, 31, 6, 1985, стр.787-790.

П7] Puzynin I.V., Amirkhanov I.V., Puzynina Т.Р., Zemlyanaya E.V. The Newtonian Iterative Scheme with Simultaneous Calculating the Inverse Operator for the Derivative of Nonlinear Function. JINR Rapid Comm., No.5[62]-93, Dubna, 1993, p.63-73. In Proceed. Intern. Conf. Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems. P&MM'93, Dubna, 1993, p.30-34.

П8] Амирханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сариков Н.А., Стриж Т.А. Численное исследование уравнений Швин-гера-Дайсона и Бете-Солпитера с потенциалом Гаусса в рамках модели кваркония. Мат. моделирование, 1994, 6, 7, стр.55-70.

П9] Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж ТА. О некоторых проблемах численного исследования модели кваркония с кулоновским и линейным потенциалами. Мат. Моделирование, 1995, 7, 7, стр.34-48.

П10] Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж ТА. О некоторых проблемах численного исследования задач на собственные значения в импульсном представлении. Мат. моделирование, 1997, 9, 10, стр.111-119.

ПИ] Mardoyan L.G., Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Tyukhtyaev A.Yu., Vinitsky S.I. Nonadiabatic Coupling in the pHe+System. Ядерная физика, 1998, 61,11, стр. 1-7.

П12] Пузынин И.В., Амирханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П., Стриж Т.А., Лахно В.Д. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых квантово-полевых моделей. ЭЧАЯ, 1999, т.30, вып.1, стр.210-265. Phys. of Particles and Nuclei, Vol.30, No.l, 1999, p.87-110.

П13] Амирханов И.В., Земляная E.B., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. Релятивистские уравнения для связанных состояний с кулоновским и линейным потенциалами. Мат. моделирование, 2000, 12, 12, стр.79-96.

П14] Amirkhanov I.V., Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Zemlyanaya E.V. Iteration Method for Solving the Spherical Non-Symmetrical Polaron Equation (the Luttinger-Lu model). ''Polaron and Applications", Ed.V.D.Lakhno, John Wiley&Sons, Chichester, New-York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1994, p.445-452.

П15] Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P. Continuous Analog of Newton's Method as Applied to the Calculation of the Binding Energy of Mesic Molecules. J. Comput. Phys., Vol.13, No.l, 1973, p.1-14.

П16] Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P. Continuous Analog of Newton's Method for the Calculation of Quasibound States of Hydrogen /x-mesic Molecules. J. Comput. Phys., Vol.22, No.l, 1976, p.125-130.

П17] Ponomarev L.I., Puzynina Т.Р., Somov L.N. Non-adiabatic Matrix Elements Connecting the Discrete and Continuous Spectra of Two-Centre Problem in Quantum Mechanics. J. Phys. B: Atom. Moi. Phys., Vol.10, No.4, 1977, p.1335-1345.

П18] Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Somov L.N. The Scattering Problem in Quantum Mechanics as an Eigenvalue Problem. Annals of Phys., Vol.110, No.2, 1978, p.274-286.

П19] Melezhik V.S., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Somov L.N. Numerical Solution of a System of Integro-Differential Equations Arising From the Quantum Mechanical Three-Body Problem with Coulomb Interaction. J. Comput. Phys., Vol.54, No.2, 1984, p.221-236.

П20] Faifman M.P., Menshikov L.I., Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Strizh T.A. The Energy Levels of Hydrogen Isotopes Mesic Molecular Complexes. Z. Phys. D- Atoms, Molecules and Clusters 2, 1986 , p.79-82. Abstracts Tenth International Conference on Atomic Physics, Tokyo, 1986, p.98. International Symposium on Muon-Catalyzed Fusion, University of Tokyo, 1986. Abstracts of papers, p.28, p.35.

П21] Puzynin I.V., Puzynina T.P., Smirnov Yu.S., Vinitsky S.I. New effective Adi-abatic Approach to the Muonic Three-Body Problem. J. Hyperfine Interactions, 82, 1993, p.73-81.

П22] Bakalov D., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Vinitsky S.I. Fine and hyperfine Structure of Antiprotonic Helium. J. Hyperfine Interactions, 101/102,1996, p.487-492.

П23] Puzynin I.V., Puzynina T.P., Vinitsky S.I., Puzynin V.I. Energy Level Scheme of pHe+ System in an Improved Adiabatic Approach. J. Hyperfine Interactions, 101/102, 1996, p.493-502.

П24] Bakalov D., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Vinitsky S.I. Spin Effects in Antiprotonic Helium Spectroscopy. Phys. Letters A211, 1996, p.223-227.

П25] Amirkhanov I.V., Machavariani A.I., Puzynin I.V. , Puzynina T.P., Strizh T.A., Zemlyanaya E.V.Numerical Solution of Two-Body Relativistic Equations for the Bound-State Problem with Confining and Coulomb Potentials. Сотр. Phys. Comm., 126 (2000) p.16-21. In Proceed, of First Intern. Conference "Modern Trends in Computational Physics", 1998, Dubna, Russia, p.24.

П26] Puzynin I.V., Puzynina T.P., Smirnov Yu.S., Vinitsky S.I. Effective mass of three-body quantum mechanics system with coulomb interaction as matching parameter in effective adibatic representation. In Proceed. Intern. Conf. on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems. P&MM'93, Dubna, 1993, p.234-239.

П27] Пономарев JI.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Непрерывный аналог метода Ньютона в некоторых задачах математической физики на собственные значения. Сб. "Программирование и математические методы решения физических задач", ОИЯИ, D10-7707, Дубна, 1974 , стр.134.

П28| Виницкий С.И., Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Процесс Ньютона в теории возмущений с непрерывным включением взаимодействия. Препринт ОИЯИ, Р4-10942, Дубна, 1977.

П29] Виницкий С.И., Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н. Численное исследование некоторых модификаций непрерывного аналога метода Ньютона при решении частичной задачи Штурма-Лиувилля. Сообщение ОИЯИ, Р5-12788, Дубна, 1979.

ПЗО] Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Программа приближенного решения задачи Штурма-Лиувилля с помощью непрерывного аналога метода Ньютона. В сб.: ''Collection of scientific papers in collaboration of JINR, Dubna, USSR and Central Research Institute for Physics", Budapest, Hungary, KFKI-74-34, 1974, стр.93-112. http://www.jinr.ru/prograins/jinrlib/slip/index.html

П31] Пузынина Т.П. TERM - программа для вычисления собственных значений задачи двух центров квантовой механики. В c6.:''Collection of scientific papers in collaboration of JINR, Dubna, USSR and Central Research Institute for Physics", Budapest, Hungary, KFKI-77-12, 1977, стр.149-169.

П32] Баатар Д., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Численное решение многопараметрической задачи на собственные значения и повышение точности разностного решения. Сообщение ОИЯИ, Р11-82-97 , Дубна, 1982.

ПЗЗ] Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. SLIPH4 - программа для численного решения задачи Штурма-Лиувилля. Сообщение ОИЯИ, Р11-87-332, Дубна, 1987. http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/index.html

П34] Пузынина Т.П. SLIPS2 - программа численного решения задачи Штурма

Лиувилля для системы дифференциальных уравнений. Сообщение ОИЯИ, Р11-89-728, Дубна, 1989. http://www.jinr.ru/programs/jinrlib/slip/index.html

П35] Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынина Т.П. SNIDE - комплекс программ для решения задач на собственные значения для интегро-дифференциаль-ного уравнения на основе НАМН. Сообщение ОИЯИ, Р11-91-87, Дубна, 1991.

П36] Ponomarev L.I., Puzynin I.Y., PuzyninaT.P. Calculation of Quasi-Stationary State Characteristics of Hydrogen Mesxc Molecules. Препринт ОИЯИ, P4-9183, Дубна, 1975. In Proceed. International Conference on High Energy Physics and Nuclear Structure, 6-th, Santa Fe—Los Alamos, 1975, p.163.

П37] Виницкий С.И., Пономарев JI.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н. Вычисление уровней /х-мезомолекул изотопов водорода в адиабатическом представлении задачи трех тел. Препринт ОИЯИ, Р4-10336, Дубна, 1976. В сб. "Мезоны в веществе. Труды международного симпозиума по проблемам мезонной химии и мезомолекулярных процессов в веществе", Дубна, 7-10 июня 1977г., ОИЯИ, Д1, 2, 14-10908, с.187-192.

П38] Виницкий С.И., Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов Л.Н.

Программа численного решения частичной задачи Штурма-Лиувилля для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Сообщение ОИЯИ, Р5-12787, Дубна, 1979.

П39] Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Решение частичной задачи Штурма-Лиувилля для системы интегродафференциальных уравнений специального вида. Сообщение ОИЯИ, Р5-12789, Дубна, 1979.

П40] Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов JI.H. Решение частичной задачи Штурма- Лиувилля для системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей при вычислении уровней энергии /^-мезомолекул в адиабатическом представлении задачи трех тел. Сообщение ОИЯИ, Р5-12790, Дубна, 1979.

П41] Мележик B.C., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сомов JI.H. Решение системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей при вычислении энергии /i-мезомолекул в адиабатическом представлении задачи трех тел. Сообщение ОИЯИ, Р11-82-842, Дубна, 1982.

П42] Ponomarev L.I., Puzynina Т.Р. Tables of the Effective Potentials for the Three-Body Problem with the Coulomb Interaction in the Adiabatic Representation. JINR Comm., E4-83-778, Dubna, 1983.

П43] Касчиев M.C., Касчиева В.А., Маханьков В.Г., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Филиппов А.Т. Численное исследование устойчивости и точек бифуркации связанных статических состояний флюксонов в круговом джозеф-соновском переходе с микронеоднородностью. Препринт ОИЯИ, Р11-84-832, Дубна, 1984.

П44] Amirkhanov I.V., Puzynin I.V., Puzynina Т.Р., Zakhariev B.N. About the Three-Body Inverse Problem. In Proceed. International Symposium ''Schroedinger Operators Standard and non-Standard", Dubna, USSR, 1988. Singapore: World Scientific, p.353-367.

П45] Amirkhanov I.V., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Zakhariev B.N. Potential reconstruction from R-matrix resonance positions and reduced widths. In Intern. Proceed, on Few-Body Physics, изд-во КГУ, Калинин, 1989, c.55-59.

П46] Амирханов И.В., Пузынина Т.П. Численное решение прямой и обратной задач квантовой механики в рамках R-матричного подхода и баргмановского формализма. Сообщение ОИЯИ, Р11-89-771, Дубна, 1989.

П47] Амирханов И.В., Земляная Е.В., Пузынина Т.П. Итерационный метод решения уравнения полярона в сферически-симметричном случае. Сообщение ОИЯИ, Р11-91-139, Дубна, 1991.

П48] Amirkhanov I.V., Pervushin V.N., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Sarikov N.A., Strizh ТА., Zemlyanaya E.V. Numerical Investigation of Shwinger-Dyson and Bethe-Salpeter Equations with Gauss and Oscillator Potentials at the Framework of the Quarkonium Model. Препринт ОИЯИ, Ell-94-509, Dubna, 1994.

П49] Амирханов И.В., Давлатов Х.Ф., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Сариков Н.А., Стриж Т.А. Численное исследование модификации КХД-инспирированной модели кваркония с потенциалом Юкавы. Сообщение ОИЯИ, Р11-94-523, Дубна, 1994.

Заключение

Объединив полученные результаты из всех глав, можно сформулировать следующие

1. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. Изв. вузов. Математика, 1958, Т.5(6), с.18-31.

2. Земляная Е.В. SYSINT(SYSINTM) комплекс программ для численного решения задачи на собственные значения для системы интегральных уравнений. Сообщение ОИЯИ Р11-94-120, Дубна, 1994.

3. Земляная Е.В. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Дубна, 1994.

4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа, Москва, Гостехиздат, 1952.

5. Давиденко Д.Ф. О применении метода вариации параметра к обращению матриц. Докл. АН СССР, I960, 131, N.3, с.500-502.

6. Жанлав Т., Пузынин И.В. ЖВМ и МФ, 1992, 31, 1, с.З.

7. Пономарев Л.И. Мюонный катализ. Обзор. Москва, Министерство атомной энергетики и промышленности СССР, 1990.

8. Виницкий С.И., Пономарев Л.И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием. ЭЧАЯ, 1982, 13, вып.б, с. 1336— 1418.

9. Luttinger J.M., Lu C.-Y. Generalized path-integral formalism of the polaron problem and its second-order semi-invariant correction to the ground-state energy. Phys.Rev. B, v.21, 10, p.4251-4263, 1980.

10. Амирханов И.В., Лахно В.Д., Пузынин И.В., Стриж Т.А., Федянин В.К. Численное исследование нелинейной самосогласованной задачи на собственные значения в обобщенной модели полярона. Препринт НЦБИ АН СССР, Пущино, 1988.

11. Gabdoulline R.R. A low-dimensional approximation of solutions to the polaron equation. Препринт НЦБИ АН СССР, Пущино, 1991.

12. Амирханов И.В., Жураев О.М., Каллис В., Первушин В.Н., Пузынин И.В., Сариков Н.А., Стриж Т.А. Кварконий в КХД с растущим потенциалом. Сообщение ОИЯИ Р11-88-506, Дубна, 1988.1. Литература к Главе 1

13. Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. ДАН СССР, 1976, 231, 5, с.1052; Жидков Е.П., Перельштейн Э.А., Иванов И.Н. и др. ЖВМ и МФ, 1975, 15, 5, с.1241; Жидков Е.П., Визнер Я., Лелек В. и др. ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.З, с.710.

14. Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона для численного решения задач квантовой механики. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 11-12016, Дубна, 1978.

15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

16. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

17. Давиденко Д.Ф. О приложении метода вариации параметра к теории нелинейных функциональных уравнений. Укр. матем. журнал, 1955, 7, 1, с.18-28.

18. Киржниц Д.А., Такибаев Н.Г. ЯФ, 1977, 25, с.700

19. Марчук Г.И. Методы расщепления, М.:Наука, 1988.

20. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

21. Александров J1. Дифференциальные уравнения, 1977, 13, 7, с.1281.

22. Системы параллельной обработки. Ред. Ивенс Д., М.: Мир, 1985.

23. Blum Е.К., Chang A.F. J. Inst. Math. Appl., 1978, 22, p.29.

24. Bracci L., Fiorentini G. Phys.Rep. 1982, 86, p.169.

25. Puzynin I.V., Vinitsky S.I. J. Muon Catalyzed Fusion, 1988, 3, p.307-320.

26. Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона. ЖВМ и МФ, 1981, 21, с.491.

27. Лебедев К.А. ЖВМ и МФ, 1996, 36, 3, с.6.

28. Родионов И.Д. Афтореф. дисс. на соиск. уч. степ, д.ф.м.н., Дубна, 1987г.

29. Канторович Л. В., Акилов П. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

30. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М:Наука, 1965.

31. Кивистик Л.А. Об одной модификации итерационного метода с минимальными невязками для решения нелинейных операторных уравнений. Докл. АН СССР, 1961, 136, 1, с.22.

32. Жанлав Т., Пузынин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. ЖВМ и МФ, 1992, 32, 6, с.846-856.

33. Пузынин И.В. Приближенное решение краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка методом введения непрерывного параметра. Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.м.н., 11-4735, Дубна, 1969.

34. Жанлав Т., Пузынин И.В. ЖВМ и МФ, 1994, 34, 2, с.175.

35. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1976.

36. Чулуунбаатар О., Пузынин И.В., Виницкий С.И. Препринт ОИЯИ, Р11-2001-61, Дубна, 2001.

37. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1980.

38. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.:Физматгиз, 1963.

39. Holbrow W., Hass R. , Kalaba R. , Zagustin E. Report, University of Southern California, Los Angeles, 1972.

40. Ульм С. Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора. Изв. АН Эст. ССР. Том XVI, Физика. Математика. 1967, № 4, с.403-411.

41. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978.

42. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.:Мир, 1991.

43. Виницкий С.И., Гочева А.Д., Пузынин И.В. Сообщения ОИЯИ, Р11-81-837, Дубна, 1981; Р11-82-314, Дубна, 1982; Р11-82-315, Дубна, 1982.

44. Виницкий С.И., Пузынин И.В., Смирнов Ю.С. Сообщение ОИЯИ, Р11—91-327, Дубна, 1991.

45. Жанлав Т., Пузынин И.В., Смирнов Ю.С. Сообщение ОИЯИ, Р11-90-501, Дубна, 1990.

46. Виницкий С.И., Пузынин И.В., Смирнов Ю.С. Ядерная физ., 1990, т. 52, вып. 4(10), с. 1176.

47. Жанлав Т., Пузынин И.В., Ракитский А.В. Сообщение ОИЯИ, Р11-88-823, Дубна, 1988.

48. Бояджиев T.JI. , Жанлав Т., Пузынин И.В. Сообщение ОИЯИ, Р11-89-423, Дубна, 1989.

49. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М:Высшая школа, 2000, с. 154-175.1. Литература к Главе 2

50. Р. Курант, Д. Гилберт. Методы математической физики. Москва:ГИТТЛ, 1951.

51. Канторович Л.В. УМН, 1956, 11, вып.6, с.90.

52. Калиткин Н.Н. ЖВМ и МФ, 5, 1107 (1965).

53. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. Физмат-гиз. Москва. 1962.

54. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. ГТТИ, Москва, 1956.

55. Тихонов А.Н., Самарский А.А. ЖВМ и МФ, 1, 784 (1961).

56. Акишин П.Г., Пузынин И.В. Сообщение ОИЯИ, 5-10992, Дубна, 1977.

57. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М:Наука, 1970.

58. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж.Холл, Дж.Уатт., М :Мир, 1979.

59. Дымарский Я.С. и др. Справочник программиста, т.1, Судпром ГИЗ, Л., 1963.

60. Bailey Р.В. SLEIGN An Eigenvalue-Eigenfunction Code for Sturm--Liouville Problems. SAND77-2044, Sandia Laboratories, 1978.

61. Библиотека программ на ФОРТРАНе и автокоде МАДЛЕН для БЭСМ-6, т. 2, Б2-11-98-77, ОИЯИ, Дубна, 1977.

62. Гареев Ф.А., Гончаров С.А., Жидков Е.П. и др. Численные решения задач на собственные значения для интегро-дифференциальных уравнений. ЖВМ и МФ, Т. 17, 2, с.407-419, 1977.

63. Жидков Е.П., Пузынин И.В., Хоромский Б.Н. Об одном итерационном процессе численного решения интегро-дифференциального уравнения Шредингера. Сообщение ОИЯИ, Р5-9512, Дубна, 1976.

64. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.А. Методы сплайн функций. М:Наука, 1980.

65. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М:Наука, 1976.

66. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М:Мир, 1972.

67. Давиденко Д.Ф. Об итерационном методе вариации параметра для обращения линейных операций. ИАЭ им.И.В.Курчатова, ИАЭ-1963, Москва, 1970.

68. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М:Мир, 1988.

69. CERN Computer Centre, Program Library, Geneva, 1988. Литература к Главе 3

70. Frank F.C., О.В.Е. Hypothetical alternative energy sources for the "second meson" events. Nature, 1947, v. 160, p. 525-527.

71. Сахаров А.Д. Пассивные мезоны. Отчет ФИАН. М., 1948, с. 1-5.

72. Зельдович Я.Б. Реакции, вызываемые р, мезонами в водороде. ДАН, 1954, т. 95, с. 493-496.

73. Зельдович Я.Б., Герштейн С.С. Ядерные реакции в холодном водороде. УФН, 1960, т. 71, с. 581-610.

74. Alvarec L.W. et.al. Catalysis of Nuclear reactions by p mesons. Phys. Rev., 1957, v. 105, p. 1127-1128.

75. Jackson J.D. Catalysis of nuclear reactions between hydrogen isotopes by pT -mesons. Phys. Rev., 1957, v. 106, p. 330-339.

76. Gershtein S.S. and Ponomarev L.I. д-meson catalisys of nuclear fusion in a mixture of deuterium and tritium. Phys. Lett., 1977, v.72B, p.80-82.

77. Петров Ю.В. Концептуальная схема гибридного мезокаталитического реактора синтеза. Атомная энергия, 1987, т. 63, в. 5, с. 333-341.

78. Э.А. Весман. ЖЭТФ, Письма. 5, ИЗ, 1967; Toimet. Elesti NSV Teaduste Acad., 18, 429, 1969.

79. Герштейн С.С., Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Квазиклассическое приближение в задаче двух центров. Препринт ОИЯИ, Р-1779, Дубна, 1964. ЖЭТФ, 48, 2, 1965, стр.632.

80. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики. Препринт ОИЯИ, Р2-3009, Дубна, 1966. ЖЭТФ, 52, 5, 1967, стр.1273.

81. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики.1.. Математическая часть. Препринт ОИЯИ, Р2-3012, Дубна, 1966. ЖВМ и МФ, 8, 6, 1968, стр.1256.

82. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики.

83. I. Таблицы термов. Препринт ОИЯИ, Р4-3175, Дубна, 1967.

84. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики.1.. Матричные элементы. Препринт ОИЯИ, Р4-3405, Дубна, 1967.

85. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики.

86. V. Алгоритм. Препринт ОИЯИ, Р4-5040, Дубна, 1970.

87. Пузынина Т.П. Численное решение задачи двух центров квантовой механики . Автореферат диссертации на степень к.ф.м.н. Публикация ОИЯИ, 11-5074, Дубна, 1970.

88. Виницкий С.И., Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Задача двух центров квантовой механики. IX. Алгоритм вычисления матричных элементов. Сообщение ОИЯИ, Р4-83-498 , Дубна, 1983.

89. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулонов-ские сфероидальные функции. М.:Наука, 1976.

90. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Москва, Физматгиз, 1958-1968.

91. Соколов С.Н., Силин И.Н. Препринт ОИЯИ Д-810, Дубна, 1961. Силин И.Н. Препринт ОИЯИ 11-3362, Дубна, 1967.

92. Ponomarev L.I., Puzynina Т.Р., Truskova N.F. Effective potentials of the three-body problem in the adiabatic representation. J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., Vol. 11, No.22, 1978, p.3861.

93. Мележик B.C., Сомов Л.Н. ОИЯИ, Pll-81-856, Дубна, 1981.

94. Абрамов Д.И., Гусев В.В. Препринт ИФВЭ, 84-148, Протвино, 1984.

95. Виницкий С.И., Гочева А.Д., Пузынин И.В. ОИЯИ, Р11-82-315, Дубна, 1982.

96. Бакалов Д.Д. и др. ОИЯИ, Р4-83-875, Дубна, 1983.

97. Виницкий С.И., Мележик B.C., Пономарев Л.И. ЖЭТФ, 1982, 82, с. 670.

98. Korobov V.I., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. Muon Catalysed Fusion, 1992, 7, p.63.

99. Aissing G.A., Monkhorst H.J., Petrov Yu.V. Phys. Rev. A, 1990, V.42,11, p.6894.

100. Chiccoli C. et. al. IFNFN/BE-91/09, Bologna, 1991. Литература к антипротонной модели гелия

101. Yamazaki Т., Invited Talk at the Intern. Conf. on Low-Energy Antiproton Physics LEAP94, 1994, Bled, Slovenia.

102. Братцев Д.Ф. Докл. Акад. Наук СССР, 1965, 160, с.570.

103. Ponomarev L.I., Vinitsky S.I., Vukajlovich F.R. J. Phys., 1980, B13, p.847-867.

104. Cohen E.R., Taylor B.N. J. Research, Nat. Bur. Stand., 1987, 92, p.85. Литература к Главе 4

105. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Изв. АН, сер. матем., 15, 4(1951).

106. Крейн М.Г. ДАН СССР, 105, J5 3 (1955).

107. Марченко В.А. ДАН СССР, 104, В5 (1955).

108. Фаддеев Л.Д. УМН, 1959, т.14, вып.4(88), с.57-82. Современные проблемы математики. Т.З, М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974, с.43-180.

109. Агранович З.С., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков, изд-во ХГУ, 1960.

110. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.:Мир, 1980.

111. Захарьев Б.Н., Сузько А.А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985.

112. Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. ОИЯИ, Р5-3895, Дубна, 1968. Христов Е.Х. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. ОИЯИ, 11-В1-414, Дубна, 1981.

113. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.:Наука, 1976.

114. Амирханов И.В., Гречко В.Е., Дементьев Р.Н. ОИЯИ, Р4-7109, Дубна, 1973.

115. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов P.M., Скачков Н.Б. ЭЧАЯ, том 2, вып.З, Атомиздат, Москва, 1971.

116. Егикян Р.С., Жидков Е.П. ОИЯИ, Р5-85-366; Р5-85-858, Дубна, 1985.

117. Airapetyan R.G., Zhidkov Е.Р., Puzynin I.V. Numerical method for solving the inverse problem of a quantum scattering theory. JINR Preprint El 1-96-393, Dubna, 1996.

118. Абрамов Д.И. ДАН СССР, 1988, т.298, 3, с.585.

119. Grazyna Staszewska. Phys. : At. Mol. Opt. Phys. 22(1989) 913-929.

120. Захарьев Б.Н., Пивоварчик B.M., Плеханов Е.Б., Сузько А.А. Точно решаемые квантовые модели (потенциалы баргмановского типа). ЭЧАЯ, 1982, 13, 1284-1335.

121. Сох J.R. J. Math. Phys., 1964, ч.5, 1065; Ann Phys., 1966, v.39, 216-236.

122. Булдырев В. С., Буслаев В. С. Асимптотические методы в задачах распространения звука в океанических волноводах и их численная реализация. Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР, 1981, т. 117, с. 39-77.

123. Булдырев В. С., Явор М.И. Асимптотические методы расчета звуковых полей в подводных волноводах на низких частотах. Акустический журнал, 1982, т. 28, 5, с. 601-606.

124. Бреховских Л. М., Лысанов Ю. П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982, с.264.

125. Крупин В.Д. Вычисление звуковых полей в волноводах на основе метода фазовой функции. В кн.: Вопросы судостроения. Акустика. Л.: РУМБ, 1977, вып. 9, с. 3-14.

126. Вагин А. В., Мальцев Н.Е. Расчеты низкочастотных звуковых полей в слоистом океане. В кн.: Вопросы судостроения. Акустика. Д.: Румб. 1977, вып. 9, с. 61-80.

127. Распространение волн и подводная акустика. М.: Мир, 1980.

128. Буслаев В. С. Структура акустического поля вблизи поверхности глубокого моря. 1 — Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР, 1981, т. 117, с. 98-111.

129. Гальперн Ю.С., Филиппов А.Т. Письма в ЖЭТФ, 1982, 35, с.470.

130. Filippov А.Т., Galpern Yu.S. Solid State Comm., 1983, 48, p.665 .

131. Гальперн Ю.С., Филиппов А.Т. ЖЭТФ, 1984. 86, с.1527.

132. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. Письма в ЖЭТФ, 1976, 24, с.15.

133. Жидков Е.П., Пузынин И.В. ЖВМ и МФ, 1967, 7, 5, с.1086

134. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 1,11, Физматгиз, М., 1959.

135. Андреев В.Б., Самарский А.А. Разностные методы для эллиптических уравнений, М.-Наука, 1977.

136. О. Bathe K.J., Wilson Ed. Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, Imc.Cliff.N.J. 1976.1. Литература к Главе 5

137. Поляроны (под ред. Ю.А.Фирсова) М.:Наука, 1975.

138. Nguyen Suan Han, Pervushin V.N. Mod. Phys. Lett. A., v.2, p.400, 1987.

139. Возбужденные поляронные состояния в конденсированных средах. Сборник научных трудов, НЦБИ АН СССР, Пущино, 1990.

140. Пикаев А.К. Сольватированный электрон в радиационной химии. М.:Наука, 1969.

141. Рашва Э.И., Левинсон И.В. УФН, вып. 4, 3, с.683, 1973. 144. Стоунхэм A.M. Теория дефектов в твердых телах. М.:Мир, 1978.

142. Амирханов И.В. Пузынин И.В., Родригес К., Стриж Т.А., Федянин В.К., Ямалеев P.M. Численное исследование одной спектральной задачи в оптической модели полярона. Сообщение ОИЯИ Р11-85-445, Дубна, 1985.

143. Поляроны. Работы сектора квантово-механических систем 1979-1993 гг. НЦБИ РАН, Пущино, 1993.

144. Габдуллин P.P. Несферические решения уравнения полярона. Доклады РАН, Т.ЗЗЗ, 1, с.23, 1993.

145. Акишин П.Г., Пузынин И.В., Смирнов Ю.С. Метод численного решения трехмерных уравнений полярона. ЖВМ и МФ, 1996, 36, 7, с.109-118.

146. Калиновский Ю.Л., Каллис В., Куранов Б.Н., Первушин В.Н., Сариков Н.А. Билокальные мезонные лагранжианы и потенциальная модель. Ядерная физика, т.49, с.1709-1717, 1989.

147. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. Гостехиздат, М.-Л., 1951.

148. Боголюбов Н.Н. УМЖ, Т.2, с.З, 1980.

149. Балабаев Н.К., Лахно В.Д. О структуре полярона сильной связи. Препринт ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1979. ТМФ, Т.45, 1, 139, 1980.

150. Хартри Д.Р. Расчеты атомных структур. М.:ИЛ, 1960.

151. Witten Е. Nucl. Phys. В., v.149, р.285, 1979.

152. Комаров Л.И., Крылов Е.В., Феранчук И.Д. Численное решение нелинейной самосогласованной задачи на собственные значения. ЖВМ и МФ, Т.18, 3, с.681-691, 1978.

153. Mijake S.J. J. Phys. Soc. Jap., 1975, 38, p.181.

154. Feynman R.P. Phys.Rev., 97, 660, 1955.

155. Lu Y., Shen Ch.K. Phys. Rev. B, v.26, p.4707-4710, 1982.

156. Горшков С.Н., Лахно В.Д., Родригес К., Федянин В.К. ДАН СССР, Т.278, с.1343-1348, 1984.

157. Давыдов А.С. Квантовая механика. М:Наука, 1973.

158. Амирханов И.В., Пузынин И.В., Стриж Т.А. Нелинейная граничная задача с параметрической зависимостью уравнений от асимптотики решений и ее приложение к модели полярона. Сообщение ОИЯИ Р11-91-454, Дубна, 1991.

159. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. МгНаука, 1989.

160. Смирнов Ю.С. Алгоритм и программа для решения многоканальной задачи рассеяния с матрицами потенциалов специального вида. Сообщение ОИЯИ Р11-88-912, ОИЯИ, Дубна, 1988.1. Литература к Главе 6

161. Le Yaouanc A.; Oliver L., Репе P. and Raynal J.С. Spontaneous breaking of chiral symmetry for confining potentials. Phys. Rev. D29, p.1233, 1984; Quark model of light mesons with dynamically broken chiral symmetry. Phys. Rev. D31, p.137, 1985.

162. Adler S.L., Davis A.C. Chiral symmetry breaking in coulomb gauge QCD. Nucl. Phys., B224, p.469, 1984.

163. Alkofer R. and Amundsen PA. Chiral symmetry breaking in an instantaneous approximation to coulomb gauge QCD. Nucl. Phys. B306, p.305, 1988.

164. Trzupek A. Chiral symmetry breaking in the pairing model of QCD with the coulomb potential. Acta Physica Polonica, vol. B20, N2, p.93, 1989.

165. McKay D.W., Munczek H.J. and Bing-Lin Young. From QCD to the low-energy effective action through composite fields: Goldstone's theorem and fn. Phys. Rev. D37, p.195, 1988.

166. Kalinovsky Yu.L., Kalliss W., Kaschluhn L., Miinchow L., Pervushin V.N., Sari-kov N.A. Mesons in the Low Energy Limit of QCD. Fortschr. Phys. 38, p.333, 1990; Relativistic Bound States in QCD. Few Body Systems, 10, p.87, 1991.

167. Kocic A. Chiral symmetry restoration at finite densities in coulomb - gauge QCD: Phys. Rev. D33, p.1785, 1986.

168. Pedro J. de A.Bicudo and Jose E.F.T.Ribeiro. Current-quark model in a 3P0 condensed vacuum. Phys. Rev. D42, p.1611, 1990.

169. Horvat R., Keker D., Klabucar D. and Palle D. Mesons as bilocal fields in the harmonic approximation. A Reassessment. Phys.Rev. D44, N.5, p.1585, 1991.

170. Goldrey S. and Isgur N. Mesons in relativised quark model with chromodynamics. Phys. Rev. D, v.32, N1, 1985.

171. Амирханов И.В., Земляная E.B., Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. Численный анализ одной модели кваркония для конечной температуры. Сообщение ОИЯИ Р11-95-325, Дубна, 1995. Математическое Моделирование, 9, N3, 73-90 (1997).

172. Blaschke D., Kalinovsky Yu.L., Pervushin V.N., Ropke G., Schmidt S. On the chiral transition temperature in bilocal effective QCD. Zeitdchrift fur physika, A346, p.85, 1993.

173. Kalinovsky Yu.L. et al. The bilocal relativistic theory of mesons at finit temperature. Rostok Preprint, 1994.

174. Salpeter E.E. Phys. Rev., 87, p.328, 1952.

175. Amirkhanov I.V., Juraev O.M., Pervushin V.N., Puzynin I.V., Sarikov N.A. Instantaneous approximation for QCD and the properties of mesons {ж, тг', К, К'). Preprint JINR E2-90-414, Dubna, 1990.

176. Амирханов И.В., Насиров T.3., Сариков Н.А. Сообщение ОИЯИ Р11-93-173, Дубна, 1993.

177. Amirkhanov I.V., Juraev О.М., Pervushin V.N., Puzynin I.V., Sarikov N.A. Newtonian iterative scheme for solving Schwinger-Dyson equation for a quark. Preprint JINR Ell-91-108, Dubna, 1991.

178. Амирханов И.В., Жураев O.M., Первушин B.H., Пузынин И.В., Сариков Н.А. Численный метод решения краевой задачи для системы интегро-диффе-ренциальных уравнений (уравнение Бете-Солпитера). Сообщение ОИЯИ Р11-91-111, Дубна, 1991.

179. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. М:Наука, 1960.

180. Puzynin I.V., Amirkhanov I.V., Puzynina Т.Р., Strizh T.A., Zemlyanaya E.V. Some nonlinear problems in the nonlinear field theories. In: International Conference "Mathematical Methods for Solving Physical Problems", Dubna, Russia, June, 1993, p.205.

181. Бете Г., Солпитер E.E. Квантовая механика с одним и двумя электронами. Физматгиз, М., 1960.

182. Калиновский Ю.Л., Каллис В., Куранов Б.Н., Первушин В.Н., Сариков Н.А. ЯФ, 49, 1709 (1989).

183. Blankenbecler R. and Sugar R. Phys.Rev., 142, 1051 (1966).

184. Kadyshevsky V.G. Nucl.Phys., B6, 125 (1968).

185. Norbury J.W., Kahana D.E. and Maung K.N. Can. J.Phys., 70, 866 (1992).

186. Быков A.A., Дремин И.М., Леонидов A.B. УФН, T.143, 3 (1984).

187. Chikade Habe (Yoshida) et al. Prog. Th. Phys. 77, 917 (1987).

188. Maung K.H., Kahana D.E. and Norbury J.W. Phys.Rev., D47, N3, 1183 (1993).

189. Thompson R.H. Phys. Rev., Dl, 110 (1970).

190. Gross F. Phys.Rev., 186, 1448 (1969). Gross F. and Milane J. Phys. Rev., D43, 2401 (1991); Phys. Rev., D45, 969 (1992).