автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах

кандидата физико-математических наук
Краснов, Виталий Александрович
город
Уфа
год
2004
специальность ВАК РФ
05.13.18
Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах»

Автореферат диссертации по теме "Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах"

На правах рукописи

КРАСНОВ Виталий Александрович

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель: д-р физ.-мат. наук, проф.

БАЙКОВ Виталий Анварович Официальные оппоненты: д-р физ.-мат. наук, проф.

БОЛОТНОВ Анатолий Миронович канд. техн. наук,

МУХАМЕДШИН Рустем Камилевич

Ведущая организация: Всероссийский нефтегазовый

научно-исследовательский институт им. академика А. П. Крылова

Защита состоится «17» декабря 2004 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета КР 212.288.26 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета

Автореферат разослан «16» ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д-р. физ.-мат. наук, проф. 'Ул^^Лу/- Г.Т. Булгакова

2.006- 4

г I о^ч ъч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

На сегодняшний день фильтрационное моделирование нефтяных и газовых залежей является одним из основных инструментов при проектировании разработки и управлении месторождением.

Фильтрация многофазной жидкости в пористом пласте описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Прямые задачи моделирования обычно ставятся как смешанные начально-краевые задачи. К таким задачам относятся расчет поля нефте-, газо-, водонасыщенности и давления в нефтяном пласте. Универсальным методом решения таких задач является численное моделирование. Несмотря на универсальность численного метода при решении задач фильтрации имеются определенные трудности.

Во-первых, для моделирования на этом уровне необходимы достоверные данные о фильтрационно-емкостных свойствах пласта, функциях относительных фазовых проницаемостей и других факторах. В то же время существующие оценки этих параметров характеризуются низкой точностью, а их интерполяция от скважин на весь пласт зачастую проблематична, и поэтому сложные гидродинамические расчеты порой приводят к результатам, не соответствующим данным разработки. Поэтому чрезвычайно важно решение обратных задач об определении и уточнении свойств пластовой системы по наблюдаемым показателям процесса разработки месторождений. На практике эти задачи решаются в процессе адаптации модели. Этот процесс представляет собой итеративную процедуру изучения чувствительности модели к вариации свойств, изменения пластовых параметров, просчета модели и сравнения результатов моделирования с реальными данными. Адаптация является наиболее трудоемким и длительным процессом и выполняется на компьютере практически «вручную».

Во-вторых, даже для самых быстрых моделирующих систем расчет гидродинамической модели может потребовать значительного времени - от нескольких часов до нескольких суток.

В-третьих, автоматизация процесса адаптации затруднена большой размерностью вектора параметров модели (размерность этого вектора в сеточной модели пласта в несколько раз превышает количество блоков).

Другую группу методов представляют аналитические, использующие аппарат теории математической физики для решения задач многофазной фильтрации. Эта группа методов имеет ряд существенных преимуществ перед численными: позволяет получить решение задачи быстро, проанализировать структуру решения и обосновать способ параметризации модели, оценить чувствительность решения к исходным и начальным данным. Из всех перечислен-

ных факторов наиболее сущес йййфьййТОВк эрости расчетов по срав-

БИЬ.ННН ЕКА С. Петербург »06 РК

нению с численными методами достигается при расчете коэффициентов чувствительности результатов к вариации параметров модели, так как при численном моделировании расчет каждого коэффициента требует отдельного просчета модели. Это преимущество особенно значимо при решении обратных задач, таких как задача адаптации модели. Однако применение этой группы методов к решению задач фильтрации для реальных месторождений затруднено нелинейностью уравнений фильтрации, сложным геологическим строением пластов, большим диапазоном возможных значений физико-химических и других свойств системы Получение же точных аналитических решений возможно лишь для определенных идеализированных условий.

Необходимость решения обратных задач и преимущества аналитических методов делают актуальным их развитие с применением элементов теории возмущений и компьютерных технологий. Такие приближенные методы позволяют снять часть ограничений, налагаемых на объект моделирования аналитическими методами, сохраняя при этом их преимущества. Практическая реализация расчетов в соответствии с таким подходом требует применения элементов численных расчетов на компьютере, однако в существенно меньшем объеме, чем при численном моделировании. Поэтому такие методы принято называть численно-аналитическими. Практическая реализация таких расчетов требует создания эффективных компьютерных алгоритмов и программ.

Таким образом, высокая актуальность развития численно-аналитических методов моделирования и практическая необходимость разработки алгоритмов и программ, реализующих такие методы, явились основаниями для выполнения настоящей работы.

Цель работы

Разработка эффективных численно-аналитических методов, алгоритмов и компьютерных программ для решения прямых и обратных задач моделирования двухфазной фильтрации в неоднородной пористой среде.

Для ее достижения были поставлены и решены следующие задами.

1. Разработка численно-аналитического метода и прикладной программы для приближенного расчета поля давления в неоднородном пористом Пласте.

2. Разработка способа решения обратной задачи идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей (МОФП) на основе данных эксплуатации скважины.

3. Разработка алгоритма расчета МОФП по данным о слоистой неоднородности пористого пласта, учитывающего гравитационную сегрегацию фаз.

4. Разработка помехоустойчивого алгоритма идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины.

5. Разработка прикладной программы для идентификации МОФП, реализующей разработанные алгоритмы.

Основные результаты, выносимые на защиту и полученные

лично соискателем

1. Численно-аналитический метод построения приближенного стационарного поля давления в двумерном неоднородном пористом пласте и программа для ЭВМ, реализующая построение поля давления в соответствии с методом.

2. Способ идентификации МОФП по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на сведении задачи идентификации к соответствующей одномерной задаче.

.1 3. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых прони-

цаемостей слоисто-неоднородного пласта, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз.

4. Помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным нормальной эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта.

5. Компьютерная программа, реализующая алгоритмы идентификации МОФП.

Научная новизна работы

1. Предложен численно-аналитический метод приближенного построения стационарного поля давления в неоднородном двумерном пористом пласте, основанный на совместном использовании метода согласования асимптотических разложений и возмущенного варианта метода граничных элементов, и позволяющий сократить вычислительные затраты по сравнению с конечно-разностным методом.

2. Предложен способ идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на использовании интегрального преобразования для сведения задачи идентификации к одномерной задаче и позволяющий упростить адаптацию истории гидродинамической модели месторождения.

3. Разработан алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей слоисто-неоднородного пласта, использующий методы нечеткой логики и отличающийся возможностью учета частичной гравитационной сегрегации фаз.

4 Разработан помехоустойчивый алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации и отличающийся устойчивостью результата к шумовой компоненте в исходных данных.

Теоретическая и практическая ценность

Программная реализация разработанных алгоритмов позволяет проводить оперативный расчет основных показателей разработки месторождений -поля давления в пласте, забойных давлений скважин, фракционного потока добывающих скважин, а также решать обратную задачу идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины. Разработанные программы для ЭВМ имеют существенное преимущество в скорости расчетов перед аналогами, реализующими численно-разностные методы, что позволяет рассчитывать коэффициенты чувствительности результатов моделирования к изменению параметров модели, которые необходимы для решения обратной задачи об определении параметров пластовой системы по данным эксплуатации месторождения.

Программы были использованы для построения карт давления и идентификации свойств пласта в рамках работы над проектами разработки Мамон-товского и Приразломного нефтяных месторождений и при моделировании более чем двухсот участков месторождений с целью оперативного управления заводнением. Применение помехоустойчивых алгоритмов для идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины позволило существенно сократить затраты на адаптацию гидродинамических моделей месторождений и построить каталог модифицированных фазовых проницаемостей для большинства объектов разработки ОАО «Юганскнефтегаз». Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в РОСПАТЕНТе, свидетельства №2004612121 и №2004612120. Результаты работ внедрены в ЗАО «Уфимский научно-исследовательский и проектный институт нефти», «Центр анализа и прогнозирования ЭП» ЗАО «ЮКОС ЭП».

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения", Ханты-Мансийск ,11-19 августа 2002 г;

- Школе-семинаре "Физика нефтяного пласта", Новосибирск, 21-24 мая 2002 г;

- Третьем всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Ростов на Дону, 14-20 мая 2002 г;

- XXVI школе-семинаре по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа, Уфа, 7 октября 2002;

- Международном форуме по описанию и моделированию пласта, Великобритания, Пиблз, 31 августа - 4 сентября 2003 г; (Reservoir description and modeling forum, Heriot Watt University, Stanford university)

- 12-м Европейском симпозиуме «Повышение нефтеотдачи пластов», Казань, 8 - 1С сентября 2003 г;

- 8-й международной конференции по интеграции и управлению данными в нефтяной промышленности, США, Хьюстон, 12-14 мая 2004 г;

- семинарах кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 132 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страниц, на которых размещено 12 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность решаемой научной проблемы, сформулирована цель и задачи исследования, приведены результаты, выносимые на защиту, отмечена их научная новизна и практическая значимость, приведены сведения об апробации работы.

Первая глава носит обзорный характер.

В первом параграфе представлен обзор развития моделей и методов расчета процесса вытеснения в пористой среде.

Краткому изложению теории численно-разностных методов расчета посвящен второй параграф, в котором рассматриваются основные уравнения, граничные условия, постановка основных задач моделирования, типы исходных данных, способы аппроксимации уравнений, формулировка системы разностных уравнений, способ учета скважин.

В третьем параграфе проводится анализ существующих методов расчета фильтрации с точки зрения их эффективности при решении прямых и обратных задач моделирования, обоснована актуальность развития численно-аналитических методов.

В четвертом параграфе представлен обзор и проведен сравнительный анализ методов расчета функций МОФП.

Во второй главе рассматривается математическая постановка задач исследования и разрабатываются численно-аналитические методы расчета процессов двухфазной фильтрации в неоднородной пористой среде.

В первом параграфе приводятся основные уравнения двухфазной фильтрации жидкости в пористой среде. В наиболее общих предположениях система уравнений двухфазной фильтрации имеет вид:

я. --МГ,", .

(!)

где и, =и;(х,у,г) - вектор скорости фильтрации вытесняющей (/ = 1) и вытесняемой (/ = 2) фазы; у, - массовая плотность фазы; (р-<р(х,у,г,р) -пористость; 5' = - насыщенность вытесняющей фазы; Г - время

и, = -Н8гас1(/>,+?',£г)> и = и, + и2, (2)

где Я, = Я, (5) - относительная подвижность фазы; к = к(х,у,г) - абсолютная проницаемость пористой среды; р: = р1 - давление в фазе; g - уско-

рение свободного падения; ось Ог считаем направленной вверх.

к

л, =-<-, Л = Л]+А7 , (3)

где к, = к (5) - относительная проницаемость фазы; д - вязкость фазы; Я -суммарная относительная подвижность.

Давления в фазах связаны соотношением:

(4)

где рс(Б) - известная функция капиллярного давления.

В некоторых случаях при фильтрации в пластах, характерная длина которых существенно превосходит толщину, возможно понижение размерности уравнений фильтрации, для чего они усредняются по вертикальной координате. При этом усредняются не только такие свойства, как пористость и проницаемость, но также и относительные фазовые проницаемости. Такие осреднен-ные функции носят название модифицированных фазовых проницаемостей (МОФП).

Во втором параграфе рассматривается постановка задачи расчета стационарного поля давления в неоднородной двумерной пористой среде при двухфазной фильтрации смеси с постоянной относительной подвижностью Я = Я0. Капиллярные, гравитационные силы и сжимаемость системы предполагаем малыми. Уравнение на давление при этих предположениях имеет вид

/,[/>] = «Йу(ог8га<1(р)) = 0, (5)

где сг = ст{х,у) - к(х,у) И(х,у) - известная функция гидропроводности.

Рассматривается область фильтрации = Ос К2, где Ос К2

i

соответствует пористому пласту и имеет гладкую границу Г,, а подобласти <у№1 с К2 с границами Г>(1 соответствуют скважинам.

Задаются следующие условия на границе пласта:

Ф

Е(х,у), Геч п Гер = 0, Ге? и Гер = Г,, (6)

где п - единичный вектор внешней нормали; /(х,у), g(x,y)~ некоторые известные функции; Гг - фаница области О; Ге?,Гср - некоторые участки границы.

Условия на скважинах имеют вид:

И-

Р[= Рт = союг, « е (¡аЛ I = /е ^ , (7)

где ^ , - множества скважин с заданным забойным давлением и дебитом соответственно; рш, - забойное давление и дебит; Гч7 - граница скважины; /з*( - неизвестное забойное давление для скважин с заданным дебитом

Требуется найти функцию р- р(х,у)е С^. п Сп., удовлетворяющую уравнению (5) и условиям (6) и (7).

Общее решение задачи в этой постановке имеет вид:

n

р{х,у) = Тв«;Р'(х>У) + Р'(х>У)> (8)

где N - число скважин; р'(х,у) - решение задачи (5}-{7) при = О, ЦТ - 0; р'{х,у) - базисные решения уравнения (5), соответствующие однородным условиям (6) и условиям (7) вида:

е:^„=0, (9)

где 3' - символ Кронекера.

В третьем параграфе разрабатывается численно-аналитический метод построения приближенных решений задачи о поле давления. На основе метода согласования асимптотических разложений строится разложение решения р = граничной задачи для уравнения (5) в области О. с малым

круговым отверстием а>с:

р\га^р,{х,у),р\к=рй- (10)

Асимптотическое разложение имеет двойственный характер: в окрестности скважины частичная сумма рт (х,у,с) асимптотического ряда описывается функцией ¿Ц^.^.е), где = е~х \х,у), а вдали от скважины - функци-

ей йт(х,у,г.), где малый параметр е соответствует радиусу скважины центр скважины находится в точке (0,0). Коэффициенты рядов выбираются

таким образом, чтобы в некоторой промежуточной области функции йт и ит асимптотически совпадали. Таким образом, функция р„{х,у,е) записывается как составное разложение:

рЛх>У>е) = Х(£~К )°Л£»£>>е) + (1-х(еЛ1г (И)

где х(г) £ — некоторая функция, равная единице при г<1 и равная нулю при г>2, г =|(дг,>')|.

Для построения приближенного решения в случае нескольких скважин еа используются асимптотические разложения р'т{х,у,гм) базисных решений, главный член каждого их которых имеет вид:

«(^о-^^'У^.аг-моЩ&ь*. (12)

Уо г.

' i

где р°" и и"" - главные члены разложения, соответствующие задаче для одного отверстия (0С1 с центром в точке (^.Заглавные члены внутреннего и внешнего разложения имеют вид: л [х,.г ч= Ъ(х,у) , , 1п(г) + а

оЛх'у'г*} цо+а'^'^-цо+а' (,3)

где С0 {хлу) - с точностью до множителя соответствует функции Грина первой краевой задачи для уравнения (5) с особенностью в точке (0,0); Q9 = Пт(а0 (лг,>>)- 1п(г)) - некоторая константа.

Эту константу можно представить как <2и =^(0,0), где функция ¿¡{х,у) является решением в области П задачи:

Х[4г] = Л,Л = -(8п«1(<г),гг -2), ч\1а =-1п(г). (14)

Для нахождения ^(0,0) используется возмущенный вариант метода граничных элементов для поля гидропроводности а(х,у) = аа + 3а1 (х,у), где 6 -параметр, который предполагается малым. Решение задачи (14) представляется рядом

ао

9 = (15)

а коэффициенты ц - ^ (х,у) определяются из системы задач для уравнения Лапласа:

= Яо, <?о|Гп = -1п(г), Я« = Л <Г\ й4,«=*Л*>У)>9л* |г„ - 0, Л, (х,^)=-(ёга<1(сг1)о--1,8гас1(^ )), °6)

которая решается методом граничных элементов.

В четвертом параграфе рассматривается задача о фракционном потоке добывающей скважины в модели двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости в предположении малости гравитационных и капиллярных сил, а также разрабатывается метод сведения к одномерной задаче. Фракционный поток скважины определяется как

я. =-0.'cf/(S) А (",«»)<//, (17)

где /(5)=Л,(5)(Я (5)) ' - функция фракционного потока.

Для его определения решается задача о поле насыщенности, эволюция которого описывается уравнением

S, + 9>-7'(S)(grad(S),u) = 0, (18)

где u=u(jc,^) - заданное векторное поле; /(S)еCj0^ - известная функция

фракционного потока.

Уравнение (18) дополняется начальными условиями, имеющими характерный вид:

V-0 = 4.,,,,о, = « 1, Г„ сГг, (19)

где Wt - множество нагнетательных скважин; Ге/ - некоторая часть внешней границы, через которую происходит приток из законтурной зоны.

Решение Bwl (/) двумерной задачи о фракционном потоке для некоторой

функции f(S) связано с решением В*2 (/) двумерной задачи для случая поршневого вытеснения и решением Bwi (/) одномерной задачи для функции f(S) следующим образом:

В.Л')= ( / к{~]Хг{*)dr, (20)

где В'1г - кусочно-непрерывная производная функции B'w2(t)e С(0 в); T'BTi = inf: B'w2 (/) > О) > 0 - время прорыва в двумерном случае поршневого вытеснения; Га/. = inf [t: Ви, (/) > 0j > 0 - время прорыва в одномерном случае. Выражение (20) заменой переменных

z = \n{t)-\n(TBT> Т'ВТ2), C = ln(r)-ln(C3). кг(г) = В„2(ТВТ1 е'), Д., (z) = Bwlе!), B'w2(z) = В\г(Т,, Тщ е') (21) преобразуется к интегральному уравнению свертки:

Кг{*) = 4zKi{C) dC- (22)

о dQ

Представление решения в форме (22) позволяет применить теорию преобразования Лапласа к нахождению решения одномерной задачи Ви (/) по

известному решению двумерной задачи Вп2(г) и функции В дальней-

шем этот метод применен для разработки алгоритма идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины.

В пятом параграфе дается общая постановка задачи идентификации модифицированных функций относительных фазовых проницаемостей по данным о фракционном потоке скважины.

В шестом параграфе рассматривается постановка задачи определения модифицированных относительных фазовых проницаемостей для неоднородного пласта.

В третьей главе разрабатываются алгоритмы идентификации МОФП, дается краткое описание разработанных компьютерных программ и проводится анализ точности разработанных методов и алгоритмов.

В первом параграфе разрабатывается алгоритм расчета МОФП, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз в процессе вытеснения в слоистом пласте. На практике при построении модифицированных фазовых проницаемостей для слоистого пласта используют выражения:

задающие параметрическую зависимость к1 и к2 от 5, как только определено множество Л^ = {«,,...,ил.}. Это множество представляет собой индексы слоев, отсортированные в соответствии с порядком их заполнения вытесняющей фазой. В выражении (23) к = и И = {/г,,...,А„} - проницаемости и толщины слоев; к[ - эффективное значение относительной проницаемости вытесняющей фазы; т - параметр; И - толщина пласта. Между точками и функции и к2 доопределяются постоянными значениями к1т и к1т.

Вопрос о построении множества решается по-разному в зависимости от сил, оказывающих преобладающее влияние на вытеснение. В случае, если капиллярными и гравитационными силами можно пренебречь, множество Ыг определяется в соответствии с абсолютными проницаемостями слоев. Если же гравитационная сила доминирует в процессе распределения насыщенности по вертикали, то ранг слоя определяется его близостью к подошве. Критерием, позволяющим оценить соотношение гравитационных и напорных сил, является гравитационное число:

•1га

Ь М

Н\ + М и/лг

где и - характерное значение модуля скорости фильтрации в межскважинной области; I - характерный размер пласта в горизонтальном направлении (длина); Н - характерный размер в вертикальном направлении (толщина); кт -средняя проницаемость в вертикальном направлении; АЛ - отношение под-вижностей.

Если гравитационные и напорные силы оказывают сопоставимое влияние на распределение фаз по вертикали, для построения множества Л^ предлагается использовать теорию нечеткой логики. При этом порядок заполнения слоев определяется как функция некоторых неформально определенных понятий. Для выделения базисного набора нечетких понятий, или множеств, был проведен анализ экспертных суждений о порядке обводнения пропластков.

Для формализации подобных суждений введены следующие нечеткие множества:

Ец = |слой I заполняется раньше, чем 31 рг },

Ки = |слой 1 более проницаем, чемЗ\(лк (25)

Си = |слои I иЗ наход. в гравитац. равновес. | //с {Мр (к„и, Ии , где цк, )лс - функции принадлежности нечетких множеств Е, К и С; k¡,kJ - проницаемости слоев / и У; ктЦ - средняя проницаемость между слоями; Ии - разделяющая их толщина. Функции /лК, ¡лс имеют характерную сигмовидную форму.

Тогда множество Еи можно формально представить следующим соотношением между нечеткими множествами Ки и Ои:

где меньшему индексу соответствует вышележащий слой.

Функция принадлежности множества Еи определяет степень уверенности в том, что слой / обводняется раньше слоя 3 и имеет вид:

Ме = (1'- Мс (к„и>Ьи )) Мк МЛ 3>1,ц»=\-^,1>3. (27)

Определив для каждой пары слоев значение ц", построим матрицу парных сравнений АЕ = (аи) Для ранжирования слоев по порядку заполнения к матрице А£ применен метод анализа иерархий, приближенно определяющий ранг у, каждого слоя как

Отсортировав слои по возрастанию соответствующих им у,, получаем искомое множество ЛГ,.

Еи=вцпК„, 3<1, Еи =ЕМ =вииКи, КЗ,

(26)

n

(28)

Во втором параграфе разрабатывается алгоритм идентификации МОФП по данным нормальной эксплуатации скважины.

Пусть | - значения фракционного потока скважины, заме-

ренные в моменты времени I = Пусть также Ви2 (/) - гладкая неубы-

вающая функция, аппроксимирующая точки ,> а ~ фракци-

онный поток для случая поршневого вытеснения, рассчитанный, например, на модели. Решив интегральное уравнение (22), определим соответствующую функцию (/) для одномерной задачи. К этой функции применен метод определения насыщенности на скважине (известный как метод Уэлджа) - для каждого момента / рассчитывается соответствующее значение насыщенности

по известным значениям накопленной добычи жидкости V = | | и нефти V, = , ■ Таким образом определяется функция фракционного потока

Функции МОФП будем искать в виде

к)=к'1Бс\к2=( 1-5)С\ (29)

где к[, С,, С7 - постоянные, определяемые из решения регрессионной задачи аппроксимации Т функцией фракционного потока вида:

к' 9 е'

Их

(30)

^ Их Иг Задача определения коэффициентов (А;,С„С2)бП = [^,п,^]х[С1т1П,С1гоах]х[С2тт,С2пж] сводится к задаче минимизации функционала невязки:

(31)

Как показал результат численного эксперимента, решение этой задачи чрезвычайно чувствительно к малым изменениям исходных данных - помехам Устойчивость решения задачи (31) можно оценить, рассмотрев множество Пг = |(£|',С|,С2):ЛДГр,£|',С1,С2)<<5|сП,0<5<50 для некоторой величины 5,

соответствующей заданной погрешности исходных данных. Множество Пл может быть визуализировано, если ввести прямоугольную систему координат Ок\СхС2. На рис. 1 приведены проекции на координатные плоскости ОС2С1 и Ок[С{ множества Пм, которое было построено для некоторых модельных входных данных и соответствует погрешности в 5%.

Из рисунка видно, что для такой величины погрешности возможный разброс идентифицированных параметров достаточно широк. Например, диапазон изменения к\ составляет, как минимум, интервал [0.13,0.84]. Поэтому непосредственное применение алгоритма для интерпретации промысловых данных затруднено.

262

3 02

3 42

021 037 052 068 084 к[

Рисунок 1. - Проекции множества Пм на плоскости ОС,С, и Ок'С)

В третьем параграфе разрабатывается помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта.

Пусть Н, (к,Ь, к[) и Н2 (к,И) - операторы, осуществляющие построение функций МОФП по данным о слоистой неоднородности пласта по некоторому алгоритму, например в соответствии с выражением (23). Тогда

^(5) = *1'3;(к,Ь),*1(5) = Е2(к,Ь). (32)

Обозначим к[(§) = {к[) (<;)= Н*(к,Ь). Будем предполагать, что функции МОФП, определенные в классе функций (29) по данным эксплуатации, и таковые, рассчитанные по слоистой неоднородности, должны быть близки. В качестве меры такбй близости возьмем

ДЛ (к, Ь,С„С2) = р^ ^ (н; (к,Ь) - ) + (е2 (к.Ь) - (1 - ;), (33) где р^ - метрика в пространстве ^.

Выражение (33) используется в качестве стабилизирующего функционала задачи (31). Соответствующий сглаживающий функционал имеет вид:

«(Г(,,к,Ь^;,С„С2,а) = Л;>(^Д;,С1,С2) + а-ЛДк,Ь,С(,С2), (34)

где а - а(8) > 0 - параметр регуляризации, согласованный с погрешностью исходных данных 8 В качестве решения задачи идентификации выбирались

значения к[,Сх,Сг, доставляющие минимум функционалу (34). Параметр регуляризации а был выбран по результатам численного эксперимента.

В четвертом параграфе приводится краткое описание программ для ЭВМ, реализующих разработанные методы и алгоритмы.

Для проведения тестовых и промышленных расчетов были созданы программы для ЭВМ «Анализ поля давления методом граничных элементов (Ну-с1гоВЕМ)» и «Анализ неоднородности пласта (БСАЬЕсШог)».

Программа НуёгоВЕМ предназначена для расчета поля давления в неоднородном нефтяном пласте. Для расчета поля давлений используется разработанный численно-аналитический метод.

Программа 8САЬЕс1ког предназначена для идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины и неоднородности слоистого пласта. Программа основана на разработанных в работе алгоритмах.

В пятом параграфе приводятся результаты испытаний разработанных методов и алгоритмов и их сравнение с аналогами.

Метод приближенного расчета поля давления был испытан на модельных примерах неоднородного пласта и примере реального месторождения. Результаты расчета сравнивались с результатами, полученными на конечно-разностном симуляторе. Также было проведено сравнение одного из модельных экспериментов с точным решением. Численный эксперимент показал, что при изменении гидропроводности в 2 раза по площади пласта, погрешность определения забойных давлений, как правило, не превышает 10% от перепада между давлением на контуре и забоем. Погрешность сильно зависит от характера распределения проницаемости (сильные изменения в окрестности скважин приводят к большим ошибкам в определении забойного давления). Существенное преимущество в скорости расчетов перед численно-разностными методами делает возможным эффективное использование метода для оценки поля давления и расчета коэффициентов чувствительности при решении обратных задач.

Метод идентификации МОФП по данным о фракционном потоке скважины был испытан на модельном примере. Для параметрически заданных функций вида (29) была решена прямая задача моделирования, результат которой использовался для проверки алгоритма идентификации. Испытание показало совпадение исходных и восстановленных функций с достаточной степенью точности. Так, для исходных значений С, =2, С2 = 3 и к[ = 0.25 идентифицированные значения составляют С, = 1.6,С2 = 2.9 и к[ = 0.28 - т.е. близки к исходным с достаточной для практических применений точностью. Однако анализ чувствительности алгоритма к шумам показал неустойчивость процедуры идентификации. Введение регуляризирующего функционала позволило сократить чувствительность к шумам и использовать алгоритм для идентифи-

кации МОФП по большинству эксплуатируемых объектов ОАО «Юганскнефтегаз».

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан численно-аналитический метод и компьютерная программа для приближенного построения стационарного поля давления в двумерном неоднородном нефтяном пласте, основанный на совместном использовании согласования асимптотических разложений и возмущенного варианта метода граничных элементов. Метод имеет преимущество перед конечно-разностными методами в скорости расчетов и может быть эффективно использован для оценки коэффициентов чувствительности модели к изменению параметров.

2. Разработан способ идентификации МОФП по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на использовании интегральных преобразований для сведения задачи идентификации к одномерной задаче и позволяющий упростить адаптацию истории гидродинамической модели месторождения.

3. Разработан алгоритм расчета МОФП слоисто-неоднородного пласта, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз, использующий аппарат теории нечеткой логики и позволяющий более точно определить вид функций МОФП без проведения ресурсоемких численных расчетов.

4. Разработан помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта и позволяющий проводить идентификацию по реальным промысловым данным, содержащим шумовую компоненту.

5. Разработана, апробирована и внедрена компьютерная программа для расчета МОФП на основе разработанных алгоритмов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Краснов В.А., Хабибуллин P.A. Решение обратной задачи о восстановлении фильтрационно-емкостных свойств нефтяного пласта по истории замеров давления и истории эксплуатации скважин // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, № 1(9). - С. 214-215.

2. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев Е.В., и др. Математическое моделирование движения флюидов в сложно построенном нефтяном пласте // Физика нефтяного пласта: Сб. тр. шк.-сем. - Новосибирск: НГУ, 2002. - С.26-31.

3. Сысоев С.Е., Краснов В.А., Хабибуллин P.A. Построение полей пластовых давлений на основе решения обратной задачи по восстановлению фильтрационно-емкостных свойств пласта // Обратные задачи: теория и при-

ложения: Матер, междунар. шк.-конф. 4.2. - Ханты-Мансийск: Юг. НИИ инф. технологий, 2002. - С. 36-38.

4. Краснов В.А., Хабибуллин P.A., Еличев В.А. Определение гидро-проводности нефтяного пласта при построении полей пластовых давлений // Обратные задачи: теория и приложения: Матер, междунар. шк.-конф. 4.1. -Ханты-Мансийск: Юг. НИИ инф. технологий, 2002. - С.40.

5. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев С.Е., и др. Приближенно аналитические методы расчета пластового давления в нефтяном месторождении при наличии дизъюнктивных нарушений геологической структуры // Вестник УГАТУ, 2003, №1(4). - С.163-170.

6. Краснов В.А., Хабибуллин P.A. Определение гидропроводности нефтяного пласта при построении полей пластовых давлений в рамках модели стационарной фильтрации однородной жидкости // Вестник УГАТУ, 2003, № 2. -С. 177-181.

7. Байков В.А., Краснов В.А., Карачурин Н.Т. и др. Автоматизация процессов проектирования и моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Нефтяное хозяйство, 2003, № 10. - С.92-95.

8. Байков В.А., Краснов В.А., Карачурин Н.Т. и др. Компьютерная технология моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Нефтегазовое дело. - Уфа: УГНТУ, 2003, Т.1. - С.121-128.

9. Байков В.А., Краснов В.А., Манапов Т.Ф. и др. Компьютерные технологии проектирования и моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Повышение нефтеотдачи пластов: Сб. тр. 12-го Европ. симп. - Казань: Идел-Пресс, 2003. - С.420-427.

10. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004612120 (РФ). Анализ поля давления методом граничных элементов (HydroBEM) // Краснов В.А. - М.: Роспатент, 2004.

11. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004612121 (РФ). Анализ неоднородности пласта (SCALEditor) // Краснов В.А. - М.: Роспатент, 2004.

12. Краснов В.А. Восстановление параметров продуктивности скважин по данным нормальной эксплуатации с учетом интерференции скважин // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвуз. сб. - Уфа: УГАТУ, 2004. - С.198-211.

13. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев С.Е., и др. Модель для нахождения пластового давления в нефтяном месторождении // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвуз. сб. - Уфа: УГАТУ, 2004. - С.51-63.

Соискатель

В. А. Краснов

КРАСНОВ ВИТАЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 12.11.2004г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл.кр.-отг. 1,0. Уч.-издл. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ № 627

Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии

450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса ,12

РНБ Русский фонд

2006-4 1205

19 НОЯ 200*

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Краснов, Виталий Александрович

Введение

1. О моделировании фильтрации в пористой среде

1.1. Краткий обзор моделей и методов расчета процесса ф фильтрации в пористой среде

1.2. Численное моделирование многофазной фильтрации

1.3. Сравнительный анализ методов расчета процессов фильтрации в пористой среде

1.4. Обзор методов расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей

2. Численно-аналитические методы решения задач двухфазной фильтрации

2.1. Уравнения двухфазной фильтрации

2.2. Постановка задачи о поле давления

2.3. Построение приближенного решения задачи о поле давления

2.4. Задача о фракционном потоке добывающей скважины

2.5. Постановка задачи идентификации модифицированных фазовых проницаемостей по данным о фракционном потоке

2.6. Постановка задачи идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей для слоистого пласта

3. Алгоритмы и компьютерные программы для решения задач фильтрационного моделирования

3.1. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей для слоисто-неоднородного пласта с учетом частичной гравитационной сегрегации фаз

3.2. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным эксплуатации скважины

3.3. Помехоустойчивый алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей ф 3.4. Компьютерные программы для решения задач фильтрационного моделирования

3.5. Результаты испытаний алгоритмов и программ

Введение 2004 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Краснов, Виталий Александрович

На сегодняшний день фильтрационное моделирование нефтяных и газовых залежей является одним из основных инструментов при проектировании разработки и управлении месторождением.

Фильтрация многофазной жидкости в пористом пласте описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Прямые задачи моделирования обычно ставятся как смешанные начально-краевые задачи. К таким задачам относятся расчет поля нефте-, газо-, водонасыщенности и давления в нефтяном пласте. Универсальным методом решения таких задач является численное моделирование. Несмотря на универсальность численного метода при решении задач фильтрации имеются определенные трудности.

Во-первых, для моделирования на этом уровне необходимы достоверные данные о фильтрационно-емкостных свойствах пласта, функциях относительных фазовых проницаемостей и других факторах. В то же время существующие оценки этих параметров характеризуются низкой точностью, а их интерполяция от скважин на весь пласт зачастую проблематична, и поэтому сложные гидродинамические расчеты порой приводят к результатам, не соответствующим данным разработки. Поэтому чрезвычайно важно решение обратных задач об определении и уточнении свойств пластовой системы по наблюдаемым показателям процесса разработки месторождений. На практике эти задачи решаются в процессе адаптации модели. Этот процесс представляет собой итеративную процедуру изучения чувствительности модели к вариации свойств, изменения пластовых параметров, просчета модели и сравнения результатов моделирования с реальными данными. Адаптация является наиболее трудоемким и длительным процессом и выполняется на компьютере практически «вручную».

Во-вторых, даже для самых быстрых моделирующих систем расчет гидродинамической модели может потребовать значительного времени — от нескольких часов до нескольких суток.

В-третьих, автоматизация процесса адаптации затруднена большой размерностью вектора параметров модели (размерность этого вектора в сеточной модели пласта в несколько раз превышает количество блоков).

Другую группу методов представляют аналитические, использующие аппарат теории математической физики для решения задач многофазной фильтрации. Эта группа методов имеет ряд существенных преимуществ перед численными: позволяет получить решение задачи быстро, проанализировать структуру решения и обосновать способ параметризации модели, оценить чувствительность решения к исходным и начальным данным. Из всех перечисленных факторов наиболее существенный выигрыш в скорости расчетов по сравнению с численными методами достигается при расчете коэффициентов чувствительности результатов к вариации параметров модели, так как при численном моделировании расчет каждого коэффициента требует отдельного просчета модели. Это преимущество особенно значимо при решении обратных задач, таких как задача адаптации модели. Однако применение этой группы методов к решению задач фильтрации для реальных месторождений затруднено нелинейностью уравнений фильтрации, сложным геологическим строением пластов, большим диапазоном возможных значений физико-химических и других свойств системы. Получение же точных аналитических решений возможно лишь для определенных идеализированных условий.

Необходимость решения обратных задач и преимущества аналитических методов делают актуальньш их развитие с применением элементов теории возмущений и компьютерных технологий. Такие приближенные методы позволяют снять часть ограничений, налагаемых на объект моделирования аналитическими методами, сохраняя при этом их преимущества. Практическая реализация расчетов в соответствии с таким подходом требует применения элементов численных расчетов на компьютере, однако в существенно меньшем объеме, чем при численном моделировании. Поэтому такие методы принято называть численно-аналитическими. Практическая реализация таких расчетов требует создания эффективных компьютерных алгоритмов и программ.

Таким образом, высокая актуальность развития численно-аналитических методов моделирования и практическая необходимость разработки алгоритмов и программ, реализующих такие методы, явились основаниями для выполнения настоящей работы.

Целью работы является разработка эффективных численно-аналитических методов, алгоритмов и компьютерных программ для решения прямых и обратных задач моделирования двухфазной фильтрации в неоднородной пористой среде.

Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи.

1. Разработка численно-аналитического метода и прикладной программы для приближенного расчета поля давления в неоднородном пористом пласте.

2. Разработка способа решения обратной задачи идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей (МОФП) на основе данных эксплуатации скважины.

3. Разработка алгоритма расчета МОФП по данным о слоистой неоднородности пористого пласта, учитывающего гравитационную сегрегацию фаз.

4. Разработка помехоустойчивого алгоритма идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины.

5. Разработка прикладной программы для идентификации МОФП, реализующей разработанные алгоритмы.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Численно-аналитический метод построения приближенного стационарного поля давления в двумерном неоднородном пористом пласте и программа для ЭВМ, реализующая построение поля давления в соответствии с методом.

2. Способ идентификации МОФП по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на сведении задачи идентификации к соответствующей одномерной задаче.

3. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей слоисто-неоднородного пласта, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз.

4. Помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным нормальной эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта.

5. Компьютерная программа, реализующая алгоритмы идентификации МОФП.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложен численно-аналитический метод приближенного построения стационарного поля давления в неоднородном двумерном пористом пласте, основанный на совместном использовании метода согласования асимптотических разложений и возмущенного варианта метода граничных элементов, и позволяющий сократить вычислительные затраты по сравнению с конечно-разностным методом.

2. Предложен способ идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на использовании интегрального преобразования для сведения задачи идентификации к одномерной задаче и позволяющий упростить адаптацию истории гидродинамической модели месторождения.

3. Разработан алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницае*чостей слоисто-неоднородного пласта, использующий методы нечеткой логики и отличающийся возможностью учета частичной гравитационной сегрегации фаз.

4. Разработан помехоустойчивый алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации и отличающийся устойчивостью результата к шумовой компоненте в исходных данных.

Практическая ценность работы состоит в программной реализации разработанных алгоритмов, что позволяет проводить оперативный расчет основных показателей разработки месторождений - поля давления в пласте, забойных давлений скважин, фракционного потока добывающих скважин, а также решать обратную задачу идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины [4]. Разработанные программы для ЭВМ имеют существенное преимущество в скорости расчетов перед аналогами, реализующими численно-разностные методы, что позволяет рассчитывать коэффициенты чувствительности результатов моделирования к изменению параметров модели, которые необходимы для решения обратной задачи об определении параметров пластовой системы по данным эксплуатации месторождения [6,7,37, 38,39,40,73].

Программы были использованы для построения карт давления и идентификации свойств пласта в рамках работы над проектами разработки Ма-монтовского и Приразломного нефтяных месторождений и при моделировании более чем двухсот участков месторождений с целью оперативного управления заводнением. Применение помехоустойчивых алгоритмов для идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины позволило существенно сократить затраты на адаптацию гидродинамических моделей месторождений [2,3,5] и построить каталог модифицированных фазовых про-ницаемостей для большинства объектов разработки ОАО «Юганскнефтегаз». Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в РОСПАТЕНТе [70, 71], свидетельства №2004612121 и №2004612120. Результаты работ внедрены в ЗАО «Уфимский научно-исследовательский и проектный институт нефти», «Центр анализа и прогнозирования ЭП» ЗАО «ЮКОС ЭП».

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения", Ханты-Мансийск ,11 — 19 августа 2002 г;

- Школе-семинаре "Физика нефтяного пласта", Новосибирск, 21-24 мая 2002 г;

- Третьем всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Ростов на Дону, 14-20 мая 2002 г;

- XXVI школе-семинаре по пробле.мам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа, Уфа, 7 октября 2002;

- Международном форуме по описанию и моделированию пласта, Великобритания, Пиблз, 31 августа - 4 сентября 2003 г; (Reservoir description and modeling forum, Heriot Watt University, Stanford university)

- 12-м Европейском симпозиуме «Повышение нефтеотдачи пластов», Казань, 8-10 сентября 2003 г;

- 8-й международной конференции по интеграции и управлению данными в нефтяной промышленности, США, Хьюстон, 12-14 мая 2004 г;

- семинарах кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Заключение диссертация на тему "Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан численно-аналитический метод и компьютерная программа для приближенного построения стационарного поля давления в двумерном неоднородном нефтяном пласте, основанный на совместном использовании согласования асимптотических разложений и возмущенного варианта метода граничных элементов. Метод имеет преимущество перед конечно-разностными методами в скорости расчетов и может быть эффективно использован для оценки коэффициентов чувствительности модели к изменению параметров.

2. Разработан способ идентификации МОФП по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на использовании интегральных преобразований для сведения задачи идентификации к одномерной задаче и позволяющий упростить адаптацию истории гидродинамической модели месторождения.

3. Разработан алгоритм расчета МОФП слоисто-неоднородного пласта, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз, использующий аппарат теории нечеткой логики и позволяющий более точно определить вид функций МОФП без проведения ресурсоемких численных расчетов.

4. Разработан помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта и позволяющий проводить идентификацию по реальным промысловым данным, содержащим шумовую компоненту.

5. Разработана, апробирована и внедрена компьютерная программа для расчета МОФП на основе разработанных алгоритмов.

Библиография Краснов, Виталий Александрович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. -М.: Недра, 1882. 408 с.

2. Байков В.А., Краснов В.А., Карачурин Н.Т. и др. Автоматизация процессов проектирования и моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Нефтяное хозяйство, 2003, № 10. С.92-95.

3. Байков В.А., Краснов В.А., Карачурин Н.Т. и др. Компьютерная технология моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Нефтегазовое дело.-Уфа: УГНТУ, 2003,T.l.-С.121-128.

4. Байков В.А., Краснов В.А., Манапов Т.Ф. и др. Компьютерные технологии проектирования и моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Повышение нефтеотдачи пластов: Сб. тр. 12-го Европ. симп.- Казань: Идел-Пресс, 2003. С.420-427.

5. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев Е.В., и др. Математическое моделирование движения флюидов в сложно построенном нефтяном пласте // Физика нефтяного пласта: Сб. тр. шк.-сем. Новосибирск: НГУ, 2002. -С.26-31.

6. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев С.Е., и др. Приближенно аналитические методы расчета пластового давления в нефтяном месторождении при наличии дизъюнктивных нарушений геологической структуры // Вестник УГАТУ, 2003, №1(4). С.163-170. '

7. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев С.Е., и др. Модель для нахождения пластового давления в нефтяном месторождении // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвуз. сб.- Уфа: УГАТУ, 2004. С.51-63.

8. Баренблатт Г.И. Фильтрация двух несмешивающихся жидкостей в однородной пористой среде. // Изв. АН СССР, сер. механика жидкости и газа, 1971, №5, с. 17—26.

9. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. -М.: Недра, 1972.

10. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. // Прикл. матем. и механика, т. 24, вып. 5, 1960, с. 852-864.

11. Баренблатт Г.И., Крылов А.П. Об упруго-пластическом режиме фильтрации. // Изв. АН СССР, 1955, № 2, с. 5-13.

12. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. -М.: Недра, 1993. 416 с.

13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. 248 с.

14. Брук Б.Н., Бурков В.Н. Методы экспертных оценок в задачах упорядочения объектов. // Изв. АН СССР, сер. техническая кибернетика, 1972, №3, с. 3-11.

15. Бузинов С.Н. К вопросу об определении остаточной нефтенасыщенности. // Доклады АН СССР, т. 116, № 1, 1957, с. 55-57.

16. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. -М.: Недра, 1973. -232 с.

17. Ван Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. (Перев. с англ.) -М.: Мир, 1967. 310 с.

18. Гадылыпин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром в граничных условиях. // Дифференц. уравнения, 1989, т. 22, № 4, с. 640 — 652.

19. Галин JI.A. Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью. // Докл. АН СССР, т. 47, № 4, 1945, с. 250—253.

20. Герольд С. Аналитические основы добычи нефти, газа и воды из скважин. -М. —Л.: Нефтеиздат, 1932.

21. Годунов С. К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука, 1976.-432с.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973326с.

23. Данилов В.Л., Кац P.M. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. -М.: Недра, 1979. 264 с.

24. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. -М.: ИЛ, 1961.247 с.

25. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. -М.: Наука, 1979.-320 с.

26. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. -М.: Мир, 1976. 163 с.

27. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи для области с малым отверстием. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып. 6, с. 57 82.

28. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Мат. сб., 1976, т. 99, №4, с. 514-537.

29. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Мат. сб., 1977, т. 103, № 2, с. 265-284.

30. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. -М.: Наука, 1989. 336 с.

31. Каневская Р.Д. Асимптотический анализ влияния капиллярных и гравитационных сил на двумерный фильтрационный перенос двухфазных систем. // Изв. АН СССР, сер. механика жидкости и газа, 1988, № 4, с. 88-89.4»

32. Каневская Р.Д. Влияние неполноты вытеснения нефти водой в отдельных пропластках на вид модифицированных фазовых проницаемостей слоистого пласта. // Сб. науч. тр. ВНИИ, вып. 103, М., 1988, с. 110 121.

33. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. -М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 128 с.

34. Каневская Р.Д. Методы введения модифицированных фазовых проницаемостей. // Сб. науч. тр. ВНИИ, вып. 94, М., 1988, с. 45 52.

35. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. (Пер. с. англ.) -М.: Мир, 1964. 350 с.

36. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. -М.: Мир, 1972.-274 с.

37. Краснов В.А., Хабибуллин Р.А. Определение гидропроводности нефтяного пласта при построении полей пластовых давлений в рамках модели стационарной фильтрации однородной жидкости // Вестник УГАТУ, 2003, № 2. -С. 177-181.

38. Кричлоу Г.Б. Современная разработка нефтяных месторождений. -М.: Недра, 1979.-303 с.

39. Крэйг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении. -М.: Недра, 1974.

40. Куранов И.Ф., Коган Л.Г. Расчет вытеснения нефти водой в системе скважин. // Тр. ВНИИНефть, вып. 21, 1959, с. 25-51.

41. Курант Р. Уравнения с частными производными. (Перев. с англ.) — М.: Мир, 1964.- 830 с.

42. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. II. (Перев. с нем.) -М.-Л.: Гостехтеориздат, 1945. 620 с.

43. Курбанов А.К. О некоторых обобщениях уравнений фильтрации двухфазной жидкости. // Науч.-техн. сб. ВНИИ, -М.: вып. 15, 1961, с. 32-38.

44. Курбанов А.К. Об уравнениях движения двухфазных жидкостей в пористой среде. // В кн.: Теория и практика добычи нефти. -М.: Недра, 1968, с. 281-286.

45. Курбанов А.К., Атанов Г.А. К вопросу о вытеснении нефти водой из неоднородного пласта. // Нефть и газ Тюмени, вып. 13, 1972, с. 36-38.

46. Ладыженская О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973. 576 с.

47. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. -М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

48. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. — Тбилиси: Изд-во Тбил. Ун-та, 1981. 206 с.

49. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР, сер. мат., 1984, т. 48, № 2, с. 347 371.

50. Макеев С.П., Шахнов И.Ф. Упорядочение объектов в иерархических системах. // Известия АН СССР, сер. техническая кибернетика, 1991, №3.

51. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. -М.: Гостоптехиздат, 1949.

52. Мирзаджанзаде А.Х., Амиров А.Д., Ахмедов З.М. и др. Об особенностях разработки нефтяных и газовых месторождений в условиях проявления начального градиента давления при движении нефти и газа // Труды VIII Мирового нефтяного конгресса. М., 1971.

53. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. ОГИЗ, -М.-Л.: Гостехтеор-издат, 1949.

54. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Изд. 2-е. -М.: Наука, 1970. 510 с.

55. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Учебное пособие. -Л.: ЛГУ, 1883. 117 с.

56. Найфэ А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир, 1984. 535 с.

57. Найфэ А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. 455 с.

58. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. -М.: Наука, 1978. 375 с.

59. Пискунов Н.С. О продвижении контура нефтеносности и падении давления в пласте при разработке крупных месторождений. // Докл. АН СССР, т. 84, № 5, 1952, с. 544-545.

60. Полубаринова-Кочина П.Я. О неустановившихся движениях в теории фильтрации. О перемещениях контура нефтеносности. // Прикл. матем. и мех., т. 9, № 1, 1945, с. 79—90.

61. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. -М.—Л.: Гостехиздат, 1952.

62. Регламент по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений (РД 15339.0-047-00). М., Минтопэнерго РФ, 2000.

63. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. (Пер. с англ.) -М.: Радио и связь, 1993. 316 с.

64. Салехов Г.С. К определению давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений. // Изв. Казан, фил. АН СССР, сер. физ.-мат. и техн. наук, вып. 9, 1956, с. 49 52.

65. Салехов Г.С. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений. // Докл. АН СССР, 1955, т. 105, № 6, с. 1174 — 1176.

66. Самарский А.А. Теория разностных схем. —М.: Наука, 1976. — 335 с.

67. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004612120 (РФ). Анализ поля давления методом граничных элементов (HydroBEM) // Краснов В.А. М.: Роспатент, 2004.

68. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004612121 (РФ). Анализ неоднородности пласта (SCALEditor) // Краснов В.А. М.: Роспатент, 2004.

69. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. —М.: Мир, 1977.-349 с.

70. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-285 с.

71. Тумашев Г.Г. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах.// Изв. вузов, сер. математика. №3, 1958, с. 203—216.

72. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. —М.: Гостоптех-издат, 1963.

73. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. -M.-JL: Гостехиздат, 1948.

74. Швидлер М.И. Фильтрационные течения в неоднородных средах. -Д.: Красный Печатник, 1963. 137 с.

75. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. -М.-Л.: Гостоп-техиздат, 1949.

76. Щелкачев В.Н. Расстановка скважин в пластах с водонапорным режимом. // В кн.: Сб. научно-иссл. работ нефтяников, вып. Ill, -М.: Гостоптех-издат, 1944.

77. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962.127 с.

78. Эфрос Д.А. Движение водонефтяной смеси в системе скважин. // Труды ВНИИ, вып. 12, 1958, с. 352.

79. Эфрос Д.А. Исследования фильтрации неоднородных систем. —Л.: Гостоптехиздат, 1963.-351 с.

80. Юрен Л. Современные методы добычи нефти (теория и практика). -М.-Л.: Нефтеиздат, 1928.

81. Яковлев В.П. О размещении скважин при водонапорных режимах. И Нефт. хозяйство, № 3—5, 1940.

82. Ang W.T., Kusuma J., Clements D.L. A boundary element method for a second order elliptic partial differential equation with variable coefficients. // Engng. Anal. Boundary Elements, 1997, 18, p. 311-316.

83. Aziz K. Notes for Petroleum Reservoir Simulation. -Stanford, California: Stanford Univ., 1994. 471 pp.

84. Aziz К., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. -New York.: Elsevier Applied Science Publishers, 1979. -362p.

85. Batycky, R.P. A Three-Dimensional Two-Phase Field Scale Streamline Simulator. PhD Thesis. -Stanford, California: Stanford University, 1997.

86. Batyky R.P., Blunt M. J., Thiele M. R. A 3D Field Scale Streamline Based Reservoir Simulator. // SPE Reservoir Engineering, November 1997, pp. 246 254.

87. Buckley S.E. and Leverett M.S. Mechanism of Fluid Displacement in Sands. //Journ. Petr. Technology, 1941, T. P. 1337.

88. Burdine, N.T. Relative Permeability Calculations From Pore Size Distribution Data. // Trans. AIME 1953 vol. 198, p. 71.

89. Cao H., Aziz K. Evaluation of Pseudo Functions. // Paper SPE 54589,1999.

90. Cheng A. H.-D. Darcy's Flow with Variable Permeability: A Boundary Integral Solution. // Water Resources Research, 1984, 20(7), p. 980-984.

91. Clements D.L. A boundary integral equation method for the numerical solution of a second order elliptic equation with variable coefficients. // J. Austrl. Math. Soc., 1980, 22(B), p. 218-228.

92. Coats K.H., Dempsey J.R., Henderson J.H. The Use of Vertical Equilibrium in Two-Dimensional Simulation of Three-Dimensional Reservoir Performance. // SPE Journal. 1971. - V.l 1, №1. -P.63-71.

93. Coats K.H., Nielsen R.L., Terhune M.H., Weber A.G. Simulation of Three-dimensional Two-phase Flow in Oil and Gas Reservoirs. // SPE Journal. -1967. V.7, №4. -P.377-388.

94. Coll C., Muggeridge A.H. and Jing X.D. Regional Upscaling: A New Method to Upscale Waterflooding in Heterogeneous Reservoirs for A Range of Capilary and Gravity Efects. // Paper SPE 59337, 2000.

95. Corey A.T. The Interrelation Between Gas and Oil Relative Permeabilities. // Producers Monthly, (November) 1954.

96. Dake L.P. The practice of reservoir engineering (Revised Edition). -Amsterdam: Elsevier Science B.V., 2001, 546 p.

97. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Ed. Victor Dal-mont.-Paris: 1856.

98. Douglas J.W. Jr., Peaceman D. W., Rachford H. H. A Method for Calculating Multi-Dimensional Immiscible Displacement. // Trans. AIME, 1959, vol. 216, p. 297.

99. Georghitza S.I. On the Plane Steady State Flow of Water through Inho-mogeneous Porous Media. // Paper presented at the Symposium on the Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, held in Haifa, Israel, 1969.

100. Hearn C.L. Simulation of Stratified Waterflooding by Pseudo Relative Permeability Curves. //J. Petrol. Technol. 1971. V. 23, №7. -P.805-813.

101. Higgins R.V. and Leighton A.J. A Computer Method to Calculate Two-Phase Flow in Any Irregularly Bounded Porous Medium. // Journ. Petrol Technology, 1962, June, pp. 679-683.

102. Hirasaki G.J. Properties of Log-normal Permeability Distribution for Stratified Reservoirs. // Paper SPE 13416, 1984.

103. Jacks H.H., Smith J.O., and Mattax C.C. The Modeling of a Three-Dimensional Reservoir with a Two-Dimensional Reservoir Simulator The Use of Dynamic Pseudo Functions. // SPE Journal, June, 1973, pp. 175-185.

104. Johnson E.F., Bossier D.P., and Naumann V.O. Calculation of Relative Permeability from Displacement Experiments. // J. Pet. Tech. (Jan. 1959) pp. 61-63. Trans., AIME 216.

105. Kyte J.R., Berry D.W. New Pseudo Functions to Control Numerical Dispersion. // SPE Journal, 1975, v. 15, №3, p. 269-276.

106. Lafe O.E., Cheng, A.H-D. A Perturbation Boundary Element Code for Steady State Groundwater Flow in Heterogeneous Aquifers. // Water resources Research, 1987,23(7), p. 1079-1084.

107. Leverett M.C. Capillary Behavior in Porous Solids.//Trans. AIME, 1941. vol. 142, pp. 152-169.

108. Leverett M.C. Flow of Oil-Water Mixtures through Unconsolidated Sands.//Trans. AIME, 1939, vol. 132, pp. 152-159.

109. Martin J.C. Partial Integration of Equations of Multiphase Flow. // SPE Journal, December 1968, pp. 370-380.

110. Mattax C.C. Dalton R.L. Reservoir simulation. SPE Monograph vol. 13. -Richardson, Texas: 1990. 174 pp.

111. Molina N.M. A Systematic Approach to the Relative Permeability in Reservoir Simulation. // Paper SPE 9234, 1980.

112. Muskat M.A. Note on a Problem in Potential Theory. // Journ. Apl. Physics, vol. 8, No. 6, 1937.

113. Muskat M. and Meres M. The Flow of Heterogeneous Fluids. // Physics, 1937, vol. 9.

114. Noaman A.F. El-Khatib. The Application of Buckley-Leverett Displacement to Waterflooding in Non-Communicating Stratified Reservoirs. // Paper SPE 68076, 2001.

115. Noaman A.F. El-Khatib. Waterflooding Performance of Communicating Stratified Reservoirs with Log-Normal Permeability Distribution. // Paper SPE 37696, 1997.

116. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation. // SPE Journal, vol.18, №3, 1978, pp. 183-194.

117. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability. // SPE Journal, vol.23 №3, 1978, pp. 531-543.

118. Rangogni R.A. solution of Darcy's flow with variable permeability by means of B.E.M. and perturbation techniques. // Boundary Elements IX, Vol. 3, C. A. Brebbiaed. Springer-Verlag, Berlin, 1987.

119. Rapoport L.A. and Leas W.J. Properties of Linear Waterfloods. // Trans AIME, 1953, vol. 198, pp. 139-148.

120. Shaw R.P. Green's functions for heterogeneous media potential problems. // Engng. Anal. Boundary Elements, 1994, 13, pp. 219-221.

121. Shengzong Z., Jianguo H., Zhongxing L., Kegiang Y. A calculation of pseudo-relative permeability curve using reservoir performance data. // Paper SPE 20791, 1990.

122. Simon A.D., Koederitz, L.F. An Improved Method for the Determination of Pseudo-Relative Permeability Data for Stratified Systems. // Paper SPE 10975, 1982.

123. Standing M. B. Notes on Relative Permeability Relationships. // Proc., U. of Trondheim, Norway, 1975.

124. Stone H.L. Rigorous Black-oil Pseudo Functions. // Paper SPE 21207,1991.

125. Welge H.J. A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive. // Trans. AIME, 1952, vol. 195, pp. 91—98.

126. Wycoff R.D., Botset H. G. The Flow of Gas-Liquid Mixtures through Unconsolidated Sands. // Physics, vol. 7, No 9, 1936.

127. Zadeh L.A. Fuzzy sets. // Information and Control, 8, 1965, pp. 338-353.

128. Zhou D., Fayers F.J. and Orr F.M. Scaling of Multiphase Flow in Simple Heterogeneous Porous Media. // Paper SPE 27833, 1993.