автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Быстрые алгоритмы решения теории упругости

А г

/л —■ 2 д

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ АКАДЕМИИ НАУК АРМЕНИИ

На правах рукописи

БАГДА.САРЯН ШУШАНЖ АШОТОВНА

БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕЙЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1992

Работа выполнена в Ереванском государственном университете.

. Научный руководитель - член корр. АН Армении.

доктор физико-математических наук, профессор НЕРСЕСЯН А.Б.

Офицальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор МХИТАРЯН С.М.

- кандидат технических наук, с.н.с. САРУХАНЯН А.Г.

Ведущая организация - ЕрНИИММ

Защита состоится "И" 1993 г. в часов не

заседании спедализированного совета К 005.21.01 по присуждению степени кандидата, физико-математических наук в институте проблем информатики и автоматизации АН Армении по адресу: 375044, г.Ереван, ул. П.Севака I.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ЖШиА АН РА и

ЕГУ.

Автореферат разослан "¿'".£¿>«^1992 г.

■■ Ученный секретарь

спедализированного совета; доктор физико-математических наук, профессор

^ </*'д"а~"^агаян С.С.

ГО С/А' I'- '.--'«»л*

I яла

-з-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Автоматизация научно-технических расчетов, применение методов моделирования за ЭВМ, разработка и эксплуатация АСНИ позволяют эффективно организовать научные исследования.

Различные задачи математической теоретической физики* приводятся к решению- лин&янмх интегрга -:: : уравнении. В ряда задач теории упругоста ;;; гаасгичиости тяовяз&чо рзггать равнение Фредгольма первого вгж гп^зсго

Случаи точяог© (етдадятетесясто) ^етэскя ззтагральных ураяненш краев® уэеяя г еоегску ¡кяя эгд&гок является' • ргараЗс-тв» згпгхгнгясх ^дакгажбзхо редиковз зэтгк ^потк^вст. Заметим, ято ^Дгпзкк®» уртазаши 2з;зэот-о рол® уояо получить

сзвдягтак зго эг икгрого рода '"гштадетж рэтуязжзацде).

Е^зйсдзэ жжчнсхж ""сто^тсто ■ршгаа уравнения

в^с-рогз ■Х..-3 кжэ^ч «¿-о тозг'гяздгк^зж» -¿ведение к -жжт. 3 злуз* тявр&тъ хязз £=[а,ь],

5"ОГЭ Ш.-.ЗЕВ ДЛЕЗ'ЧЬ Г^ЕЮЗЩ фОрМУЛЫ

соог^зтазпзз?: ая у» •гагеоа подход

ррэ^эг.?: с**?* и (тот) о?*»»?« табу.сгэртжашЕ зга.

Зг^ягдашв еж гетв» хфэаямгоь и слушав .специальной судохода л/х, ь>* Так» для ряетоотв« х=к(х-ь) язвестны бкста;в аяторяк рвешя, хрэсугпгв сетс<здалш> ~:зболюого объема памяти. ¡бшшэ така» ядра я садтгв к ш Ботретеэвся э задачах теорня .упр'УгссЕз3. В часавпстк» жаз граивеавд возникают при нзученжи коггакчЕНх задач да . зл о тснкжет покритиямн, двнамичэскоя смешанной задачи об ангшнюскоа дафсрлацш упругого слоя . В настоящее время такая тематика гкткввз развивается как в теоритЕческом, так и в грикладном аспектах.

Цель работа состоит в разработке Снстрых' алгоритмов

1 Ф. М. Морс,Г. Фешбах. Методы теоретической фиэики, М. , Иэд. Ин. Лит. , 1960

2 -

В. М. Александров, С. М. Мхитарян. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками, М. , "Наука", 1993

з Сосо0е^зз гра сгдовгавс грзбсваниях к чсез'-? агзгззотчЕ г: тэотуотзшяу Увеличению

численного рмпвни»? определенного кгаъсв тоория уиругоста.

Основные задачи, решаемые в работ-!?;

- построений параллельных алгоритмов для уравнений с матричными ядрами 'л, удовяетворявдиш дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка (уравнения таяё л), Эти уравнения непосредственно связаны с задачей передачи давлении от зубчатого штампа";

- построение алгоритмов для уравнении со скалярными ядрами к, удовлетворяющими дифференциальному уравнению второго порядка (уравнения типа в). Такие уравнения возникают в смешанных, задачах терии упругости9;.

- оценка сложности и объема необходимой памяти параллельных и последовательных вариантов алгоритмов;

- анализ устойчивости алгоритмов и оценка накопления ошибок;

- разработка методов стабилизации неустойчивых алгоритмов;

- апробация алгоритмов на шороком классе тестовых уравнении.

- рекомендации к использованию в прикладных задачах.

Метода исследования. Теоретической основой работа являются

подхода работ''. Алгоритмы принадлежа-}' к рекуррентному телу и строятся на основе квадратурных формул. Применены методы анализа устойчивости и стабилизации алгоритмов. Для гадгвевдания практической эффективности возможности персоналы*«?, кошьетеров типа 1вм рс/ат проведен всесторонний численник эксперимент в? тестовых уравнениях, моделирулцих уравнения, возникэп&'.з ь прикладниц задачах.

Научная новизна состоит в разработке современншг м*тодо;< эффективного численного решения определенного класса задач теория, упругости. сводящегося к решению интегральных уравнений. Именно

1. В случае уравнении типа а разработаны метода стабилизации алгоритмов и выделены ядра, допускащие^устоичивыо алгоритма.

2, Показано, что алгоритмы в случае уравнении типа &1

И. И. Ворович, Б. И. Александров, В. А. Бавешко. Неклассмческие сметанные оадачи теории упругости. М. , "Наука", 1974

* А. Б.Нерсесян. Новые алгоритмы численного решения интегральных уравнений второго рода, ДАН, т.83,И 4, 1989, 171-176;

Структура резольвент некоторых интегральных Операторов, Иэв. АН Армении, математика, 17, N в, 1982 '

устойчивы ч подучена сценка явкоплвляя оетйкн.

3. Псстрожчаю новые Сястрие хжраллелыив алгораяш, одновременно зконоияздо память,' реализованы з заг® тестировавши программ и готовы к употреблении для ракенвя соответствующих .прикладат. задач.

Практическая ценность. Разработанные- в работе алгоритмы и программы жгут йутъ попользованы при исследованиях в следуших областях

з) В контактных задачах ?эорш упругости, в теории диффракщга на системе лент3 (уравнения тала .-з).

0) В задачах механики сплошных сред и з задачах многократного рассеяния излучения"3 (уравнения типа в).

з) Решения ззтегральных уравнения с ядрами обеих ютов могут быть использованы яри резании нелинейных уравнения теории солэтснов методом Захарова-Шабада7.

Предлагаемый .злгсригмы зектори^Занн (т.е. имеют параяпвльщгэ с-грухтуру} я могут быть реализованы на современна многопроцессорных вычислительных системах.

17а катасту выносятся следующие положения:

Г. "еретическая разработка еовых быстрых параллельных • алгоритмов для интегральных уравнении, зозникащих в теории упругсетл и лрули прикладных областях.

2. Обоснование устойчивости разработаных алгоритмов или методов ах стабилизации.

3. Программная разработка алгоритмов различной точности и методов стабилизации численного решения.

4. Численныи эксперимент, содержащий решение тестовых уравнении.

5. Сравнительный анализ результатов эксперимента с результатами вычислении по стандартным программам.

6. Рекомендации по применено разработанных алгоритмов при решении прикладных задач.

S X. Хенл, Л. Mayo, К. Вест фа ль. Теория дифракции, М. .Мир, 1964

а Д. И. Нагирнер. О переносе получения в слое, шаре и цилиндре, ДАН СССР, 2as. N 3, 1986

7 И. А. Кунин. Теория упругих сред с микроструктурой, М. , Наука, 1975

методы, научных

задачах

Аггробация работы. Основные результаты, диссертации доложены в Институте математики АН Армении, в Ереванском государственном университете, а также на республиканской конференции "Информатика и вычислительная техника" (Доликан, 1990).

Публикации. По теме диссертации опубликованы;три работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, приложения, списка цитируемой литературы (22 наименовании). Общии объем работы 77 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава I посвящена уравнениям Фрэдгольма второго рода

у(х) - J K(x,t)y(t)dt + f(x), xefcfl", nil <I)

с ядром типа a

d

Awf * ^ <mt>) - о <2>

где A(x) и K(x, t) - t'rxrj-матрицц, 'и состоит из четерех параграфов. В первом параграфе рассмотрены прикладные задачи, которые приводятся к такому уравнений. Рассмотрены: а) задача вдавливания зубчатого штампа на границу упругой полосы, усиленной покрытием винклеровского типа; б) динамическая смешанная задача об внтиплоскоя деформации упругого слоя. Уравнения с ядрами типа (2), встречаются также в гидродинамике и теории солитонов.

Во втором параграфе изложены принципы построения алгоритмов дам быстрого решения уравнения (Г). Для ядер (2) и о=(0,т), о<т<1 резольвентное ядро в удавлетворяет уравнению

AOxR(x,t) + dx_(R(x,t)A(t)) = R(x,0)A(0)R(0,t)+R(x,r )А(т )R(t ,t)

0 Sx, t£ I r (3) Построены економичные рекуррентные алгоритмы решения уравнения (I) при ¿>-[0,1] точности a(h) и ось2) (дискретизация в N точках, h = 1/Н, N - оо). Алгоритм'точности O(h) {К, е е с1) выглядит слвдувдим образом:

Алгоритм AI.

I. у(х,0) = f(х); R(x,t,0) - K(hx,ht); ti-J/N-(х, t±0,1, .N) (4)

-72. = [E - hR(n,n,n)fl. y(n,n+l) =r y(n,n)an;

y(x,n+l) = y(x,n) hR(x,n,n)y(n,n+l), 0<x<Jf, x*n (5)

i

R(n,n+l,n+l) ~ R(n,n*l,nMn;

R(x-,n+l,n+l) - R(x,n+l,n)+hR(x,n,n)R(n,n+l,n+l), ■

Ii Л x*n (6)

где

R(x,n+l,n) - R(x,n,n) + [hR(x,0,n)A(0)R(0,n ,n) -

-- hR(x,n,n)A(n)R(n,n,n)+ A(x)(R(x-h,n,n) - R(x,n,n)) -- hR(x,n,n)A[(n)]A~1 <a)

R(n,Q,n+l) = R(n,0,n)an;

R(x,d,n-H) - RCx, 0,n) + hR(x,n,n)R(n, 0,n+l);

0 < x 5 N, x*n

R(0,n,n+1) - R(0,n,n)an;

R(0, t,n+l) = R(0,t,n) + hR(0,n,n+l)R(n,t,n); t>n+l R(n-hl,n,n+l) = R(n+l,n,n)an;

R(n+l,t,n+l) - R(n+1, t,n)^tR(n-H,n,n-t-l)R(n, t,ti), &-П+1

где

R(n+1, t,n) = R(n,t,n) + hA~l (n)[R(n,0,n)A(0)R(0, t,n) -

- R(n,n,n)A(n)R(n, t,n) - RCn, t,n)A[Ct)J -

- А 1 (n)[R(n, t,n)-R(n,t-h,n)]A(t)

n = 0,1,2,.. . ,N-1

При м»<» алгоритм ai имеет сложность о а?; и использует о(н) ячеек памяти.

Вообще говоря (при произвольной матрице А(х)), алгоритм этот

(7)

(8)

<9)

неустойчив.

В §1.3 рассмотрены, метода повышения устойчивости (стабилизации) полученного алгоритма. Дм относительно устоичевого вычисления /г (х, t) (х, ь)) используется схема с увеличенным шагом по х

• || ^ Ш. *)-*Сх-аЬ> *> (г =2,3,41 <10)

Второй предлагаемый способ,- метод "сглажйвания",- производится усредаенем Щх,п,п) по его значениям и(х,р,р) (р=п-1, п, п+1, л - 1....Я-1). В случае диагональной вещественной матрица ¿(х; предлагается устойчивый алгоритм решения уравнения (I).

Произведены вычислительные эксперименты в случае, когда {2x2) - и матрица а диагональная (см. (2)). Для разных (комплексных) значений с рассмотрены случаи, когда а

сЛа^{ехр(алг),<У} (а = О, 0.3, 1). §1.4 . П0СВЯЩ8Н анализу результатов. Схема (10) с параметром т заметно уменьшает неустойчивость вычисления. В §1.4 сравниваются результаты вычислений при разных методах стабилизации.

Глава II посвящена уравнениям типа в с ядром

—§■ - + (а(х) - а( Ь))К = О. (II)

Ох а?

Она состоит из пяти параграфов. В первом параграфе показано, что уравнения с ядрами типа (II) возникают в различных задачах теории упругости и теории переноса излучения. В частности, рассмотрены осесимметричная задача о вдавливанйи штампа в упругий слой, усиленный покрытием винклеровского типа, две смешанные задачи упругого слоя покоящийся на жестком основании.

Второй параграф содержит метод построения быстрых алгоритмов. Резольвентное ядро удовлетворяет уравению:

~ + (а(х) -а(Ь)) =

Приведем алгоритм точносити о(Ь) (%2.3). Обозначив ¡Г{хл,п) -= дг[х,ь,п) = и

Ф^(х,п) = Я(х,п,п), Ф2(х,п) - .В(х,0,п), Ф3(х,п) - Н*(х,Я,п), Фл(х,п) - В^(х,п,п), Фд.(х,л) = ^ (х, 0,П), Ф^(х.п) - 0,п),

Ф^<х,л) - ¡Г<х,Н,п), Фв(х,п> - Ях(х,п,л), Ф0(х,л) = ¡)*'(х,Я,п), имеем:

Алгоритм В1. Основной ЦИКЛ л* п+1 (х,Ъ = к = 0,1, ..., N ) .

Ф^х,л+1) = 0.5Ф1(х-И,п) + О.бф^х+Ь.п) + 1тФАСх,п) + + ЬР1(х,п)Ф1(п,п+1), х*0,Я

Фг(Х,П+1) - Фя(х,п) + М1(х,п)Фг(п,п + 1)

ф%(х,Л+1) = фа(х,п) + ьфа(Л,р+1)ф^(Х,п), X 2 П

ФЪ(Х,П*1) - + Ф^(х+Ь,п) + Фъ(х+ь,п) -Фа(х-ь,п)~

- МЖх-Ь.п) + Кх+Ь.п))^ + ЬФ1(х,п)ФА(п,п+1), х * о,и

Ф9<х,п*1> - фъ(х,п) + Ьф^(х,п)ф^(п,л+1) ф^(х,л+1) - Фа(х,п) + ЬФ^(п,п+1)Фп(х,п), х > л Ф^(х,п+1) - Ф7(Х,Г.) + ЬФв(л,п-И)Фв(х,п), X £ л ф(х,п+1) - 0.5\ф(х-Ь,п) + ф (х+Ь,п) + ф^(х+Ь,п) -ф(х-11,п) ♦

Н I в 8 4 4

* Ь(Р(х~Ь,п) - Р(х+Ь,п))| + М>в(х,п)Ф1(л,п+1), х * О,Я

Ф9(х,П+1) = ФВ(Х,Л) + ЬФ9(л ,л + 1)Ф^(х,л) у(х,п+1) = у(х,л) + Ьф^ (х,п )у(п ,п+1)

где принято

F(x,n) - [a(nh) - a(x)]<Pi (x,n) + ФА(х,г.)Ф^п,п) - Ф±(х,п)Ф^(п,n)-

- Фа(х,п)Фг(п,п) ■(■ !>,. . <)Фа(Л,п)

Алгоритм В1 абсолютно устоУч-;;; йвдйт сложность 5 (ЛГ «») мультипликативных ошрашг зе зрвбуэ» 20 (лч-1) ячеак ?;амяти.

Обозвючш через. ^г*,«;- = а <х < 1)

точные значения атак функция, а черзз у{х,п), - их

приближенные значения на сетке но фор?,улан ашржз В1. Пусть, далее [|| .Цр г В .Цср р'а а]. "

<5л г шах | у(х,п) - * а -

В §2.3 доказана *

Теорема / о накоплении оек£ок в егзорешэ ^ /. Д?еть А", / # <? и-оператор I - лгт при • г - т^1 Гл = 1,2». ■ сфата* в

с([0Д)). Тогда при достаточно калон шаго ь - 1/ы

л < А(1 + 'вьГ п1Iя, л - 1,2____

где А и в еэ зависят от л и w. В частости, ¿N < левл.

В §2,4 применением формула грзтшцет достроен алгоркш порядка оо?) .

§2.5 посвящен численна« результате«. НгогочЕслешз» вычисления на разных ядрах подтвервдазэ? теоретические вывода. Хорошие свойства алгоритма bi проявились в частности в аффективной- реализуемости нервоз и второй экстраполяция по Ричардсону.

В приложении содержатся (в вад& таблиц к диаграмм) характеристики тестовых интегральных уравнений, для которых проводились численные эксперименты (ядро, свободный член, точное решение), а также численные результаты применения алгоритмов глав I и II для разных тестовых ядер.

Программы реализованы на языках pl/I, Pascal.

Основныв результата работ.

1. Разработаны быстрые (имевшие сложность oct?;} алгоритмы решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для двух классов ядер (типа (2) и (II)), возникающих в задачах теории упругости и других прикладных задачах. Алгоритмы векторизованы и требуют оперативной памяти порядка О(Ы).

2. Предложены метода стабилизации алгоритмов и выделены ядра, допускающие устойчивые быстрые алгоритмы.

3. Показано, что алгоритмы в случае ядер вида (II) устойчивы и получена оценка накопления ошибки.

4. Намечена схема подуения быстрых алгоримов произвольного порядка точности.

5. Предложенные алгоритмы порядка O(h) и 0(Ьг; (h= ^ О) реализованы для тестовых уравнении и готовы к употреблению для решения соответствующих прикладных задач.

6. Результаты вычислении приведены в виде, таблиц и диаграмм и на их основе предложены рекомендации для численного решения соответствующих прикладных задач.

Основные результата диссертации опубликованы в следущих работах:

1. А.Б. Нерсесян, Ш.А. Багдасарян. О повышении устойчивости алгоритма быстрого решения одного класса интегральных уравнений, //ДАН Армении, 91. Л 3, 1990, II5-I80

2. А.Б. Нерсесян, М. Абду, Ш.А. Багдасарян. Новое быстро решаемое интегральоб уравнение, //ДАН Армении, 92, Я 4, 1991, 168-174

3. Ш.А. Багдасарян. Алгоритм решения одного класса интегральных уравнении. Тезисы докладов Республиканской конференции "Информатика и вычислительная техника". Дилижан, 1990

Сдано в производство 17.12.1992г. Бум. 60x84 печ. 0,75 листа Заказ 100 Тираж (00

Цех "Ротапринт" Ереванского госуниверситета. Ереван, ул. Ал.Манукяна № I.