автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Автомодельные режимы сверхбыстрого разлета плазмы

1, -V. ■

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

На правах рукописи УДК 517.9:533.9

ПРОНЧЕВА Надежда Геннадьевна

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ СВЕРХБЫСТРОГО РАЗЛЕТА ПЛАЗМЫ

( специальность - 05.13.18. - теоритические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской академии наук.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН С.П. Курдюмов, доктор физико-математических наук Н.В. Змитренко.

доктор физико — математических наук, профессор П.П. Волосевич, кандидат физико -математических наук С.А. Посошков.

Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН.

Защита диссертации состоится "_"_ 1995 года

на заседании специализированного совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская площадь, дом 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан "_"_ 1995 года.

Ученый секретарь специализированного совета К 003.91.01 при ИММ РАН.

к.ф.-м. н.

С.Р. Свирщевский

В диссертации развиты методы математического анализа автомодельных задач и изучено поведение соответствующих решений для модели одномерной газовой динамики с учетом теплопроводности и объемных источников тепла. Доказаны теоремы существования и единственности таких решений и исследована их устойчивость (по отношению к Ш возмущениям в начальных данных). Кроме того, целый ряд частных решений найден как в аналитическом виде, так и численно.

Рассматриваемые в работе задачи отличают две существенные особенности. Во-первых, изучаемые решения относятся к классу решений в разделяющихся переменных^ Ранее такие решения рассматривались для описания разлета плазмы ( ЖВММФ, т. 10, с. 1447, 1970г. ) при асимптотическом стремлении времени t —> +оо или для описания процессов сверхбыстрого сжатия ( Н.В. Змитреико, ' С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов. Теория режимов с обострением в сжимаемых средах. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 28, с. 3—94, Проблемы ядерного термоядерного синтеза. М., Атомиздат, 1976, с.296. ) при /—>/()< +оо (режим с обострением). В настоящей работе качественно изучены все возможные ситуации (разлет или сжатие, без обострения или с обострением). Во-вторых, основное внймание в работе уделено изучению режимов с обострением и, в частности, принципиально новому классу решений — решениям задачи разлета с обострением.

В этом случае координата границы плазмы с вакуумом за конечный промежуток времени достигает бесконечных значений.

Актуальность выбранной тематики определяют два обстоятельства.

Первым из них является то, что рассматриваемые задачи имеют непосредственное отношение к проблематике инерционного термоядерного синтеза (ИТС). Ранее, изучение режимов с обострением оказалось важным для описания процессов сверхвысокого сжатия в мишенях ИТС и определило как понимание соответствующих явлений так и области их практического использования ( см., например, Проблемы ядерного термоядерного синтеза. М., Атомиэдат, 1976, с. 296 ).

Режим сверхбыстрого сжатия, если не останавливаться на вопросах его реализации, позволяет в принципе уменьшить энергию инициирующего драйвера (например, лазера), необходимую для зажигания мишени в 104 -г 105 раз (от ЮМДждо 1кДж).

Выполненное в диссертации исследование подробно анализирует другие явления, связанные с действием в среде мощных источников энергии. В этом случае может наблюдаться "сверхбыстрый" (т.е. в режиме с обострением) разлет конечной массы плазмы. Среди таких задач можно отметить следующие.

1) Изучение динамики интенсивно горящих мишеней, где мощный источник тепла обеспечивается идущими в веществе

термоядерными реакциями.

* - ■

В работе показано, что если объемный источник энергии О (эрг/см3 сек) 'зависит от температуры и плотности среды степенным образом

то для осуществления режима "сверхбыстрого" разлета сферической мишени необходимо выполнение следующих условий:

3 3 1' ипи 2<а<2Ь'2

3 3.1 2 > а > 2 2

Например, такой режим может быть обеспечен • случае Ь =2 и 1.5<а <2.5, в частности, при Ь — 2, а "■'■ 2 зависимость радиуса границы плазмы от времени имеет вид

л -(/е-/)"1.

Отметим, что для реакции *Н(с/, п)4Не зависимость сечения от температуры такова, что Ь ~ 2, а ~ 2 для 13 < Т <15 кэВ, а двутороннее неравенство 1.5 < а < 2.5 обеспечено в диапозоне 11<Г< 18 кэВ.

В качестве другого примера рассмотрим-случай постоянного источника. Тогда а ~~~ Ь " 0 и, как показано в работе

r.~(t0~f)-\

2) Изучение разлета плоского слоя важно для анализа эффективности конверсии ядерного излучения в собственное тепловое излучение плазмы.

Другая физическая задача, изучение которой может быть основано на этой же модели, связана с описанием динамики разлета материала оболочек сложной мишени ИТС, в которую лазерная энергия вводится через отверстия во внешних оболочках.

В обоих случаях разлет может быть подавлен введением внешнего магнитного поля. Проведенное в диссертационной работе исследование позволяет в рамках автомодельного подхода оценить степень уменьшения скорости разлета, в зависимости от величины поля.

3) В последнее время интенсивно обсуждается вопрос о возможности использования ультрамощных COj ~ лазеров для поджига мишеней ИТС. Этот подход известен как "fast ignifion".

В этом случае сжатие осуществляется достаточно медленно, чтобы не допустить развития гидродинамических неустойчивостей. Необходимую для поджига энергию предполагается ввести с помощью короткого и чрезвычайно мощного <10"-1019 Вт) лазерного импульса с длиной волны излучения Л ~ 10,6 мкм. Прогрев сжатого термоядерного топлива может быть обеспечен

в

путем поглощения в мишени быстрых электронов, генерируемых в области плазменного резонанса.

В этом случае, когда длина замедления быстрых электронов

/ = /,)р 1 ( -энергия электрона, /0 —константа ) заметно больше размеров мишени соответствующий объемный источник

представим в виде Q = . Здесь СЩ1Л7. — плотность потока

энергии быстрых электронов, пропорциональная потоку лазерного излучения ос— доля резонансного поглощения энергии. В

случае Цщ2 = СО/М/ имеем 0 ~ р (в - О, Й = I) и п > О. Однако, разумно рассматривать случаи, когда Я1А2 есть функция

времени. В частности, — ТГД® мощность лазера

может иметь вид режиме с обострением = Р0(/0 — < В рассматриваемом случае с учетом

~ 3 + £ "('

Л ~ (Г0 — Г)" легко получить, что Я = —д— и п < 0 при £ <—З,1

Другим обстоятельством, определяющим важность выбранной тематики является общность и универсальность базовой модели,. а также плодотворность применяемого подхода. Известно, что из автомодельных закономерностей для случая разделяющихся переменных легко следует та или иная физическая интерпритация. Ток, в диссертационной работе проведен полный качественный анализ

системы "автомодельных" уравнений (ОДУ), устанавливающий связь вида профилей температуры, магнитного поля, давления и т.д. (т.е. знаки пространственных производных) с временными зависимостями ряда интегральных величин (т.е. знаками временных производных) — энтропии, магнитного потока и т.п. Эта простая связь присуща решениям в разделяющихся переменных, которые имеют вид

F,{x,t) = /,(*)Д(/).

где х — массовая лагранжева переменная, / — время. Ft — любая из функций, входящая в исходную систему уравнений. Класс таких решений представляется частным случаем, однако в работе показано, что решение в разделяющихся переменных есть единственно возможный вид для широкого класса задач. В частности, к таким решениям (возможно, с нестепенными Д (t)) относятся решения задач с линейной зависимостью скорости от радиуса V ~ Г, гомохорические { р = p(t) ) или гомотермические ( Т — T(t) ) решения.

Ценность результатов диссертации заключается также и в том, что решения с нестепенными Д (/) (т.е. не автомодельные) также изучаются в работе. Это сделано как для упрощенной модели с осреднением по пространственным профилям, так и путем прямых расчетов исходной системы уравнений в частных производных.

Сделаем одно замечание по поводу используемого понятия "сверхбыстрого разлета". Поскольку в работе используется

приближение нерелятивистской гидродинамики, то разлет с "бесконечной" скоростью понимается с физической точки зрения именно в рамках указанной модели. Условие применимости нерелятивистских уравнений означает, что скорости V«С (с — скорость света), и, соответственно температуры кТ —

масса иона плазмы. Последнее условие можно записать в виде Т < АТ', где А атомный вес иона, а 71 = 1 МэВ.

Цель работы:

• построить аппарат автомодельных решений для описания процесса разлета конечной мессы плазмы а вакуум с учётом в ней ряда диссипативных процессов ;

• изучить возникающую при этом систему обыкновенных дифференциальных уравнений : получить условия существования и единственности этой системы, исследовать их поведение анлитически и численно;

• дать физическую характеристику обнаруженным с помощью автомодельного описания "режимам разлета с обострением в вакуум", проанализировать полученные автомодельные решения ;

р-лиссердации. «втер, защищает:

• формулировку автомодельной задачи для разлета с обострением конечной массы плазмы в вакуум ;

• результаты качественного, асимптотического, аналитического* и численного исследования автомодельной задачи;

• теорему существования и единственности решения системы ОДУ;

• результаты численных исследований системы уравнений в частных производных и устойчивости автомодельных решений;

• результаты исследования поведения средних параметров теплоизолированной системы в автомодельных и неавтомодельных зада аналитически и численно.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

• постороен и изучается новый класс автомодельных задач, описывающих разлет конечной массы плазмы с учетом ряда диссипативных процессов ;

• обнаружены и исследованы тепловые структуры ( немонотонные

I

распределения температуры по пространству ) , появляющиеся в автомодельном режиме разлета и локализованные на определенных участках массы плазмы ;

• впервые получен ряд аналитических и численных решений автомодельной задачи разлета плазмы ;

• доказано утверждение, связывающее возможность разлета в вакуум с конечной скоростью и наличием а среде источников тепла ;

• впервые получены некоторые асимптотические решения для задачи разлета в вакуум ;

• рассмотрен вопрос о связи рассмотренной автомодельной задачи с процессами разлета ионизованной плазмы, например, в г — и О— пинчах ;

• установлены условия автомодельного разлета плазмы с бесконечной скоростью на границе в зависимости от наличия тех или иных диссилативных процессов, в том числе и диффузии магнитного поля;

Пр^етичежаа^цеикО'У'Ь .ра§2Ш„заключается а том, что построенный аппарат автомодельных решений среди подходов, допускающих аналитические исследования, наиболее продвинут по числу учитываемых эффектов. Рассмотренные решения отличает ряд уникальных свойств. В частности, существование решений ОДУ, при которых граница с вакуумом достигается на конечном радиусе А при наличии теплопроводности.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 115 страницах, содержит 21 рисунок и библиографию из 40 наименований. <

Во введении характеризуется роль автомодельного подхода к решению задач физики плазмы и обосновывается его целесообразность для изучения задач разлета в вакуум конечной массы плазмы. Вводится понятие "режимов с обострением" и описывается физическая модель, использованная в работе.

В первой главе содержится постановка задачи разлета в вакуум. Проведен размерностный анализ и сформулирована автомодельная задача.

Такая задача ставится для записанной в массовых лагранжевых координатах системы одномерных нестационарных уравнений одно-жидкостной гидродинамики в общем случае с учетом однотемпе— ратурности, диффузии магнитного поля, электронной и ионной теплопроводности, объемных источников тепла.

Движение газа совершается в радиальном направлении поперек магнитного поля в случаях плоской ( N — 0 ), цилиндрической (N — 1) и сферической ( N — 2 ) симметрии ( в последнем случае без магнитного поля).

Массовая координата х рассматриваемой плазмы меняется в циапозоне 0 < х < М0 < оо . Граничные условия задаются при X = О [ в центре, на оси или на плоскости симметрии ) в виде естественных условий симметрии и при х = Мо в виде " режимов с обострением".

Начальные условия в рамках рассмотренной автомодельной задачи считаются ' несущественными: или они задаются в виде решений автомодельной задачи на начальный момент времени, или решение с достаточно произвольных начальных данных выходит со временем на автомодельное.

Для коэффициентов переноса, объемных источников и стоков гепла принимается степенной вид зависимости от температуры и плотности.

В диссертационной работе показано, что решение автомодельной задачи можно искать в виде

/-,(*,/) = д./, (*)/*.

-де время / должно меняться в диапозоне - со < / < О. Идея применения "отрицательного времени" к описанию процессов в Е^иссипативнои среде была выдвинута С.П. Курдюмовым. В ряде забот, выполненных им и под ь. о руководством, "отрицательное »ремя" было использовано для построения автомодельных задач :жатия плазмы с учетом в ней диссипативных процессов. В диссертационной работе "отрицательное время" было впервые использовано для задач разлета в вакуум.

Последовательное проведение такого подхода к описанию как для задач сжатия, так и для задач разрежения показало, что система обыкновенных дифференциальных уравнений для функций ( автомодельная система уравнений ) одинакова как для случая сжатия, так и для случая разрежения плазмы. Отличие состоит я знаке безразмерных постоянных Д & коэффициентах диссипации:

где 1'ц— постоянная из закона движения поршня , Л - газозак

постоянная, постоянные А,- определяются услоаиями явтомо-дельности. Как показано в работе, введение "отрицательного времени " и физически разумное требование положительности размерных коэффициентов диссипации ( Я,- > 0 ) приводит к тому, что А( < О для диесилзтивных процессов в автомодельной задаче разрежения. Результаты второй, третьей и четвертой главы позволяют утверждать, что именно это и соответствует физическому смыслу.

Во второй главе проведен качественный анализ полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом теплопроводности и объемных источников тепла как для автомодельной задачи разрежения, так и сжатия. Изучен вопрос поведения энтропии, давления и энергии при различных знаках времени I и коэффициента п .

Здесь же представлены аналитические решения при постоянных профилях плотности и давления по пространству, при наличии только объемного источника тепла, которые позволяют более полным образом исследовать систему автомодельных уравнений. Среди этих решений представлены и такие, в которых разлет в вакуум происходит с конечной скоростью, то есть значение радиуса, на котором достигается граница с вакуумом оказывается конечной величиной, несмотря на интенсивные действия тепловых источников. Приведем пример такого решения. Рассмотрим задачу с постоянным профилем плотности по пространству, где в качестве диссипативных процессов возьмем теплопроводность и объемный источник тепла. Тогда профиль давления имеет соответствующий вид:

ц.аИ^ы*-*),

о»

Здесь значение плотности, а Л- радиус на котором достигается граница с вакуумом.

Проведен асимптотический анализ, дающий условия для разрешимости поставленной задачи.

Доказано утверждение, связывающее наличие в среде объемного источника теппа со скоростью разлета плазмы в вакуум, которое звучит следующим образом:

Теплопроводная плазма без источников тепла разлетается в вакуум с обострением с бесконечной скоростью.

Этот известный факт, ранее полученный И.В. Немчиновым и В.Е. Неуважаевым в диссертационной работе обобщен на случай сверхбыстрого разлета.

В следующих параграфах доказаны теоремы существования и единственности решения. В частности доказано, что если

Ь < 0 или Ь > 1.

то система ОДУ имеет единственное решение, в противном случае система может как не иметь решения, иметь единственное решение

I

или два решения, в зависимости от параметров задачи. Отдельно изучаете^ вопрос устойчивости полученных автомодельных решений, что важно для их использования их при анализе физических задач. Так было получено, что получаемые автомодельные решения являются асимптотиками для временных функций, если выполняется условие (для сферического случая):

а < 1,5 и а > (ЗА - 1)/2. В этой же главе приводится ряд численных решений системы автомодельных уравнений. Они подтверждают результаты проведенного качественного и асимптотического анализа:

• профиль давления является монотонно убывающей функцией;

• при определенных условиях возможны немонотонности в профиле температуры;

• коэффициенты а, Ь, т, к существенно влияют на характер стремления профиля давления к нулю, и на рисунках ко второй

главе представлены соответствующие примеры ( когда давление стремится к нулю по прямой и параболе ); ¿месте с качественными исследованиями и аналитическими решениями они позволяют изучить новый класс автомодельных эежимов разрежения. В частости, приведен расчет, иллюстрирую-ций появление в плазме немонотонности температуры.

^ третьей главе рассмотренная во второй главе автомодельная^ :истема уравнений дополняется членами учитывающими вклад магнитного и электрического полей. Аналогично второй главе здесь проведи качественный анализ полученной системы ОДУ. Получено аналитическое решение, в котором граница с вакуумом достигается 4а конечном радиусе. Это решение с теплопроводностью, эбъемным источником тепла при постоянном профиле плотности по чространству. В случае плоской симметрии и ограничиваясь конфигурацией пинча получаем для профилей температуры и магнитного поля:

0(А) = - ■*) + - Л,2),

Так же отдельный параграф посвящен асимптотическому анализу рассматриваемой автомодельной системы уравнений. На основе этого анализа получаем подтверждение утверждения, что в

конфигурации 6-пинча при отсутствии теплопроводности невозможно построить автомодельное решение сверхбыстрого разлета плазмы в вакуум, которое строго доказывается в случае постоянного коэффициента магнитной вязкости.

Специально изучается вопрос влияния на положение границы с вакуумом магнитного и электрического попей. Тек утверждается, что значение граничного радиуса при включении магнитного поля уменьшается.

Качественный анализ поведения плазмы с магнитным полем подтвержден численным решением системы ОДУ. Найденные аналитически асимптотики реализованы численно.

решения исходой системы уравнений в частных производных, которые были получены с помощью пакета программ FLORA, разработанных в ИММ РАН. В этой программе уравнения в частных производных решаются разностными методами с использованием полностью консервативной схемы. В качестве начальных данных брались соответствующие автомодельные профили, полученные во второй главе диссертационной работы. В приведенных примерах показано, что с течением времени функции сохраняют свой профиль по пространству, что показывает устойчивость реализованных автомодельных решений.

диссертационной работы представлены некоторые

перечислены основные результаты диссертации.

на XXXV и XI

научных' конференциях МФТИ (1989 и 1994 годов), на научном семинаре профессора Е.И. Леванова, на семинаре сектора теории плазмы ОКРФ ФИАН.

1. Н.Г. Яковлева Разлет плазмы с обострением // Моделирование процессов обработки информации и управления. Междуведомственный сборник/ М., 1990, с. 148-153.

2. В.В. Гудков, Н.В. Змитре'нко, Н.Г. Прончева Сверхбыстрый разлет конечной мессы плазмы. М., Препринт ИММ РАН, 1993, N21,

3. Н.Г. Прончева Автомодельный разлет плазмы с учетом источников ( стоков ) тепла, теплопроводности м воздействия

в трех работах :

с.28.

магнитного поля. М., Препринт ИММ РАН, 1995, N"¿3, с.21.

Н.Г. Прончева' Автомодельные режимы сверхбыстрого ратлета плазмы.'

/Специальность - 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ/

Подписано в печать 25.О4.05 г. Заказ №17. Тираж 50 экз.

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики АН