автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование нестационарных тепловых структур

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

11-2004-142

На правах рукописи УДК 519.6, 517.9

ДИМОВА Стефка Николаева

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ СТРУКТУР

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 2004

Работа выполнена в Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований

Научный консультант: доктор физ.-мат. наук, чл.корр. РАН, проф. Курдюмов Сергей Павлович.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, проф. Абрамов Александр Александрович; доктор физ.-мат. наук, проф. Вабищевич Пётр Николаевич; доктор физ.-мат. наук, проф. Гулин Алексей Владимирович.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится " оШ " " " 2004 г.

в ч. на заседании Диссертационного совета Д 720.001.04 в Объеди-

ненном институте ядерных исследований (Лаборатория информационных технологий), г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Совета: кандидат физико-математических наук

Иванченко З.М.

* 64002

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1 Актуальность работы

Новые тенденции в современной науке наиболее ярко проявляются в синергетике [1],[2]. Одной из главных задач синергетики - выявление общих принципов, лежащих в основе процессов самоорганизации в системах самой разной природы: физических, технических, биологических, социальных. При всем различии таких систем, все они характеризуются несколькими общими признаками, среди которых определяющими являются открытость, диссипативность и нелинейность [2].

Открытость системы означает наличие в ней обмена веществом и энергией с окружающей средой не только через границы системы, а также через объемные источники и стоки.

Диссипативность системы означает наличие в ней рассеивающего, размывающего неоднородности фактора (теплопроводность, диффузия, дисперсия и т.д.).

Нелинейность системы выражается нелинейной зависимостью диссипирующего фактора от состояния среды. В такой среде действие нелинейных объемных источников и стоков создает и может усиливать ее неоднородность. Взаимодействие этих двух нелинейных факторов (с одной стороны сглаживание неоднородностей благодаря диссипации, а с другой - их усиление объемными источниками и стоками) может приводить к локализации процессов на определенных участках среды - т.е., к возникновению структур, к возникновению самоорганизации. Чтобы отразить влияние диссипации на формирование структур, Пригожий ввёл понятие диссипа-тивной структуры [3]. Действие стоков приводит к возникновению стационарных диссипативных структур (стоячие волны, ячейки Бенара), а действие источников -к нестационарным, эволюирующим диссипативным структурам (тепловые структуры, в частности Т-слой [4], бегущие и спиральные волны, вихри).

Благодаря нелинейности в одной и той же среде без изменения её параметров могут возникать разные структуры. Но не произвольные структуры, а свойственные только этой среде. Одна из важнейших и актуальных задач синергетики - определение спектра структур, которые могут возникать и самоподдерживаться в открытых нелинейных системах.

Важный класс диссипативных структур образуют сильно нестационарные структуры [5]. Они возникают в результате сверхбыстрых процессов в нелинейных открытых системах с объемными источниками (так называемые системы с положительной нелинейной обратной связью). Характерные величины в таких процессах (температура, концентрация, энергия) возрастают на несколько порядков за конечное время. Это время принято называть временем обострения, а сам процесс - режимом с обострением (blow-up).

Проблема режимов с обострением поставлена в 1940-х и 50-х годах в связи с теорией цепных реакций Семенова и с теорией горения (Зельдович, Баренблатт, Либро-вич). Их интенсивное изучение в 70-х годах началось благодаря предложенному на основе численных экспериментов [б] процессу сверхсжатия центральных частей капли из дейтерия и трития путем ее облучения профилированным во времени лазерным импульсом. Режимы с обострением рассматриваются в области физики плазмы [7], лазерного термоядерного синтеза [8], магнитной гидродинамики [9], астрофизики. Методология решения "задач на обострение" позволяет с нетрадиционной точки зре-

ния рассмотреть ряд классических задач. Она открывает новые подходы к задачам коллапса (быстрое сжатие вещества), химической кинетики, метеорологии (катастрофические явления в атмосфере Земли), экологии (рост и вымирание биологических популяций), эпидемиологии (вспышка инфекционных заболеваний), экономики (феномен бурного экономического развития) и т.д.. Поэтому разработка надежных и эффективных методов численного решения задач на обострение является актуальной проблемой, выходящей за рамки конкретного класса задач.

Механизмы самоорганизации можно проследить, изучая сравнительно простые на первый взгляд математические модели- Вся синергетика работает с несколькими такими моделями - это нелинейные уравнения (или системы уравнений) типа реакция-диффузия с нелинейными источниками и стоками.

Одна из самых богатых моделей - модель тепловых структур. В общем виде она выглядит так:

щ = + <2М, <>0,16^ (1)

Эта модель описывает процессы распространения тепла и горения в среде с коэффициентами теплопроводности fcj(ii) > 0 и источником Q(u) > 0 , которые являются нелинейными функциями температуры u(t,x) > 0.

Модели вида (1) в различном контексте изучались многими исследователями. Большее количество работ посвящено полулинейным уравнениям: ki[u) = 1, Q{u) = Ле" (уравнение Франка-Каменецкого), Q(u) = v/}, ß > 1. После пионерской работы Н. Fujita (1966 г.), они и их обобщения изучались интенсивно многими авторами. Среди них: J. Bebernes, A. Bressan, H. Brezis, D. Eberly, A. Friedman, В.А. Галактионов, И.М. Гельфанд, М.А. Неггего, R. Kohn, Л.А. Лепин, С.А. Посашков, А.А. Самарский, J.L. Vazquez, L.J.L. Velazquez. Монография [28] содержит обширную библиографию и отражает часть этих исследований.

Квазилинейное уравнение изучалось в работах D.G. Aronson, A. Friedman, H.A. Levine, S. Kaplan, L.A. Pelitier и др.. Большой вклад ученых русской школы. Необычный эффект локализации граничных режимов с обострением обнаружен численным экспериментом в работе А. А. Самарского и М. И. Соболя 1963 года [10]. Проблема локализации в квазилинейных уравнениях с источником поставлена С П. Курдю-мовым в 1974 г.. Работы И.М. Гельфанда, А.С. Калашникова, ученых школы А.А. Самарского и С. П. Курдюмова (их работы цитированы ниже) посвящены исследованию интереснейших проблем физического и математического характера, связанных с моделью (1) или ее обобщениями. Среди них: локализация (строгая и эффективная) процесса горения в пространстве, развитие разных типов режимов с обострением, возникновение структур - бегущие и стоячие волны, сложные структуры с различной степенью симметрии. Секретом успеха этих исследований явилось сочетание вычислительного эксперимента с применением и развитием качественных и аналитических методов теории обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений, теорий групп Ли и Ли-Бэклунда.

Особое место в этих исследованиях занимает изучение разных типов автомодельных и инвариантно-групповых решений уравнения (1) со степенными нелинейно-стями:

кг{и) = и°\ Q(u) = ив (2)

Такой выбор не случаен. Зависимости вида (2) от температуры встречаются в многих реальных процессах [11]. Например, в случае ст< = с = 2.5, ¡5 < 5.2 , уравнение (1) моделирует термоядерное горение с электронной теплопроводностью в плазме [7]; значения ст = 0, 2</?<3 соответствуют моделям автокаталлитических процессов с диффузией в химических реакторах; а » 6.5 соответствует радиационной теплопроводности высокотемпературной плазмы в звездах и т.д..

Установлено [31],[17], что на классе степенных функций симметрия уравнения (1) в определенном смысле максимальна, оно допускает богатый набор инвариантно-групповых решений. Нестационарные диссипативные структуры режимов с обострением, рассматриваемые в предлагаемой работе, связаны со степенными автомодельными решениями или с более общими инвариантными решениями, когда по радиусу автомодельность степенная, а по углу - бегущая волна. Исследования в области дис-сипативных структур дают основание считать, что именно инвариантные решения описывают "аттракторы" эволюции диссипативных структур и тем самым характеризуют важные внутренние свойства нелинейной диссипативной среды.

Этот богатый запас инвариантных решений уравнения (1) со степенными нели-нейностями необходим для успешного применения методов исследования того же уравнения в случае более общих зависимостей к(и), . С помощью методов операторного сравнения и стационарных состояний удается исследовать свойства решений (такие как локализация, неограниченность, асимптотическое поведение) целых классов более общих нелинейных уравнений.

Наконец, в случае степенных коэффициентов есть нужные соотношения между диссипацией и источником, при которых происходит их согласование. В результате этого возникают сложные структуры, более того, возникает спектр структур, которые горят согласованно, с одним моментом обострения. Чтобы установить в системе эту сложную организацию и вывести ее на один из возможных путей эволюции, надо знать что заложено в ней и спровоцировать этот путь заданием начальных данных из области притяжения аттракторов-структур. Поэтому нахождение аттракторов процессов в системах различной природы является очень актуальной проблемой теории самоорганизации.

1.2 Цели работы

Основная цель работы - исследование условий возникновения и эволюции сильно нестационарных тепловых структур в среде, описываемой уравнением нелинейной теплопроводности со степенными нелинейностями и некоторыми его модификациями. В частности, это выявление и исследование возможных способов сложной организации нелинейной диссипативной среды. И так как исследования проводятся в основном численным экспериментом, то важной задачей является также создание и апробирование эффективных вычислительных алгоритмов для рассматриваемых классов задач:

- нелинейных параболических задач с сингулярными по времени решениями - задач Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравнений, системы таких уравнений и полулинейных уравнений;

- автомодельных нелинейных задач - краевых задач для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), системы таких уравнений и квазилинейных эллиптических уравнений.

1.3 Научная новизна работы

Впервые реализованы численно инвариантные решения, которые описывают направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде со степенными коэффициентами теплопроводности и степенными источниками. Так конструктивным образом доказано их существование.

Найдены два новых типа решений автомодельной задачи (так называемых собственных функций горения нелинейной среды) - "с перетяжкой" и с полостью около центра симметрии, в цилиндрически- и сферически-симметричном случаях при параметрах среды /3 > а + 1. На основе детального численного исследования предложен сценарий поведения сложных собственных функций (четных и нечетных) при

Открыт новый мир структур при параметрах среды /? < с + 1. Это удалось благодаря:

- изменения идеологии - искать структуры, "живущие" и развивающиеся не на нулевом фоне, а на гомотермическом фоне (т.е. изменения математической модели тепловых структур постановкой новых условий на бесконечности);

- нахождения подходящего (комплекснозначного) разделения переменных в линеаризованной автомодельной задаче и тем самым нахождения линейных приближений к спиральным с.ф.;

- детального аналитического и численного исследования линейных приближений, которое показало, что их асимптотики автомодельные.

Все это дало возможность замкнуть автомодельную задачу в случае ¡3 < о+1 подходящими краевыми условиями, конструировать начальные приближения к различным решениям и решить ее численно. Таким образом впервые показано, что усложнение организации среды может происходить не только за счет локализованных во вне и сходящихся к центру структур , но и за счет расходящихся волн горения сложной структуры, в том числе раскручивающихся спиральных волн.

1.4 Достоверность результатов

Проведено детальное исследование поведения решений при изменении как физических, так и вычислительных параметров для каждого из рассмотренных классов задач. В частности, расчеты проводились на последовательностях вложенных сеток и таким образом исследовался их порядок точности; когда это было возможно, численные результаты сравнивались с известными аналитическими или качественными результатами.

Новые, неожиданные результаты подтверждены разными методами.

Разработанные методы и алгоритмы для параболических и для эллиптических задач имеют внутренний критерий точности:

- восстановление в параболической задаче времени обострения, заложенном в соответствующей автомодельной задаче, если начальные данные автомодельные;

- сохранение автомодельности вплоть до момента обострения при использовании точных автомодельных начальных данных.

Полученные новые типы решений автомодельной задачи в радиально-симметрич-ном случае инициировали исследования других авторов [12]—[14] другими методами

(методом динамической аналогии, бифуркационным анализом). Цитированные исследования подтвердили существование этих новых решений.

1.5 Практическая ценность работы

Математическая модель тепловых структур возникла в связи с решением актуальных технологических проблем физики плазмы, лазерного термоядерного синтеза, магнитной гидродинамики и др.. Как было отмечено выше, режимы с обострением встречаются также во многих других областях. Разработанная здесь и тщательно апробированная методика решения задач на обострение применима к моделям физики плазмы, моделям автокаталлитических реакций, в теории горения (модели воспламенения твердого и жидкого горючего). Она легко может быть перенесена и на другие классы задач. Отметим особо метод построения адаптивных сеток по пространственным переменным, согласованных с известными асимптотиками процессов в среде.

1.6 Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах в ЛИТ (ЛВТА), ОИЯИ, Дубна; в ИПМ им. "М.В. Келдыша", РАН, Москва; в ВЦ РАН, Москва; в ФМИ Софийского университета "Св. Кл. Охридского"; в Институте математики и информатики Болгарской АН; в Университете в Линфилд, Орегон, США; в Департаменте по Прикладной математике Университета в Коллорадо, Боулдер, США; на коллоквиуме Факультета математики Университета в Кайзерслау-терне, Германия; в "Макс Планк" институте по физике плазмы, Мюнхен, Германия; в Техническом Университете в Гетеборге, Щвеция, и на следующих международных конференциях:

Numerical Methods and Applications, 1988, 1994, 1998, София; 2002, Боровец, Болгария;

Qualitative Theory of Differential Equations, март 1989, Рига, Латвия;

International IMACS Conference on Mathematical Modelling and Applied Mathematics, июнь 1990, Москва;

International Colloquium on Differential Equations, август 1991, Пловдив, Болгария;

Elliptic Boundary Value Problems, March 1992, Росток, Германия;

International Colloquium on Numerical Analysis, август 1992, 1996, 1997, Пловдив, Болгария;

International Conference on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, июнь 1993, Дубна;

International Conference "Criteria of Self-organization in Physical, Chemical and Biological Systems, июнь 1995, Москва-Суздаль;

IMA Minisymposium "Mathematical Investigations of Models in Combustion", ноябрь 14-17, 1999, Минеаполис, США;

International Congress on Mathematical Modelling, октябрь 2002, Дубна.

Исследования проводились в соответствии с тематическими планами ЛИТ ОИЯИ, ИМИ Болгарской АН, ФМИ Софийского Университета и были поддержаны грантами Министерства образования, науки и технологий Болгарии, и Научного фонда Софийского университета.

1.7 Публикации

По материалам диссертации опубликовано 22 работы, из которых 5 работ в российских ведущих научных журналах.

1.8 Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации - 211 страниц, включая 65 рисунков, 22 таблицы и список литературы, содержащий 138 наименований.

1.9 Личный вклад автора

Автор диссертации, работая в коллективе соавторов из Института Прикладной Математики, РАН, Москва, из Института математики и информатики БАН, София, из Факультета математики и информатики Софийского университета, в большинстве случаев был инициатором данных исследований. Двое из соавторов - Даниела Василева и Милена Колева - были аспирантками автора диссертации (вторая руководимая совместно с проф. М. Касчиевым) и защитили успешно кандидатские диссертации. Все аналитические исследования, приведенные в диссертации, являются личным вкладом автора. Автор непосредственно участвовала в математической постановке задач, в разработке численных методов и алгоритмов, в их программной реализации, а также в численном решении поставленных задач, в обработке, анализе и интерпретации результатов численных экспериментов.

2 ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность проблем, исследованных в диссертационной работе, и сформулированы цели работы. Введены необходимые понятия, перечислены основные задачи и сделан обзор известных автору результатов, связанных с ними. Коротко изложены и прокомментированы полученные в диссертации результаты.

Основные используемые понятия введены на самой простой модели вида (1), когда предполагается радиальная симметрия. В этом случае задача Коши с финитными начальными данными формулируется так:

Если начальные данные удовлетворяют дополнительным условиям: щ(х) Е С(М+), то существует единственное локальное (по времени) обобщенное решение и = а;) задачи (3)-(4), которое является неотрицательной непрерывной функцией в К+ х (0, То), ^ ®(0,то] - конечное или бесконечное время существования решения (см. список литературы в обзоре [15]). При этом и(X, х) является классическим решением в окрестности любой точки (^),где и(Х,х) является строго положительным. В точках вырождения оно может не иметь необходимой гладкости, но тепловой поток должен быть непрерывным. Это означает, что

и"их = 0 всюду, где и = 0. Когда время То конечное и ит(_т- зир1бК« и((, х) = +оо, То называется временем обострения неограниченного (сингулярного по времени) решения.

Неограниченное решение называется локализованным (в строгом смысле), если множество = {х € К" : |м(Т0~, х) := ¿гт4_г- и{Ь,х) > 0} ограничено в К'7.

Неограниченное решение называется эффективно локализованным, если множество = {х € : = оо} ограничено.

Уравнение (3) допускает автомодельное решение (а.р.) [16]:

иа(1,х)=ф(то = (1 - «/г«,)-А в(а (5)

€ = хМ() = х(1-</ТоГА, тп = (¡3 — о — 1)/2. (6)

Оно соответствует начальным данным иа(0, г) = в(х). Функцию в(£) > 0, определяющую пространственно-временную структуру автомодельного решения, согласно принятой терминологии [18] называют собственной функцией (с.ф.) горения нелинейной среды, описываемой уравнением (3). Далее для краткости используется название собственная функция. Она удовлетворяет в М+ вырождающемуся ОДУ:

+ + ^в -0^0 (7)

и краевым условиям:

0'(О) = 0, 0(оо) = 0, в"в' = 0, если 0 = 0. (8)

Уравнение (7) имеет два решения, являющимися константами: 0(£) еО и <?(£) ^ вн = (То(/? —1))-1/,^_1'. Они играют существенную роль при анализе различных решений уравнения (7). Если задача (7), (8) имеет решение для некоторого Т0 = То,1, то она имеет решение и при любом другом То = Т0|2, при этом решения связаны преобразованием подобия [19]. Это дает возможность без ограничения общности положить

То = 1/(Р — 1), и тем самым, 0ц = 1. Тогда уравнение (7) принимает вид:

Ц0)в-£1-1Г(£н-1О'Г), + т£Р + е-&, = 0. (9)

Анализ решений задачи (9), (8), (см. [17], [16], Глава IV, и ссылки в них), дает следующие результаты:

/При любых 1 < Р < а + 1 существует финитное решение 6(£) > 0. /При ¡3 < а + 1, N > I и /3 = <г + 1, N > 1 задача не имеет немонотонных решений. Единственность решения доказана для случая Р < а + 1, N = 1. /При @ > <г + 1, N > 1 задача не имеет финитных решений. /Если сг + 1 < Р < /3, = (сг + 1)(Я + 2)/(ЛГ — 2)+ , то задача имеет по крайней мере одно решение в(£) > 0 в К+ , которое строго монотонно убывает по £ и имеет асимптотику

*(О = СвГ*/°,-*-1>[1+и;(0], 6.(0 - 0, £-»оо, (10)

Со = Са(сг,/?, ТУ) - постоянная. Позже [27] интервал по р был расширен.

/При N = 1, р > а + 1 задача имеет не менее чем

K = -[-a]-i, [.]- целая часть, а = {0 - !)/(/? - а - 1) > 1 (11)

решений, различающихся по числу экстремумов на полуоси f € [0, оо) [20]. Обозначим их через 0a,t(£)i i = 1,2,...К. На основе линейного анализа и некоторых численных результатов в работе [21] было высказано предположение, что число различных решений ваЛО ПРИ /?>(7 + 1 и N >1 равняется К +1. В случае N = 1 этот результат был уточнен недавно [14] бифуркационным анализом: число решений дается формулой К — [а], если а - нецелое, и К = а — 1, если а - целое. Для N = 2,3 бифуркационный анализ дает ту же оценку числа решений, но при /3 « a + 1, /? > <7 + 1 она нарушается (см. раздел 2.2 и [14]).

На основе этих результатов устанавливаются базисные режимы горения среды, описываемыми а.р. (5),(6). Для их характеризации вводятся также следующие понятия: полуширина ха = xs(t), которая для монотонных по х решений с единственным максимумом в точке х = 0 определяется уравнением u(t,x3) = u(t, 0)/2, и точка фронта х/ : u(t,x¡) = 0, ucux(t,Xf) = 0.

H S -режим с обострением, 1 < ¡3 < a + 1. Формируется тепловая волна, которая за время То охватывает все пространство. Процесс с обострением не локализован: mes fix, = mes u>£ = oo, xs —» oo, Xj —» oo, t —» T0-.

5-режим с обострением, р = <7+1. Диффузия тепла и интенсивность нагрева согласуются так, что приводят к локализацию процесса в области диаметром Ls, называемой "фундаментальной длиной" S-режима: ÇIl = Ul = {И < Ьа/2}. Внутри Çli среда нагревается до бесконечной температуры за время То; xs = const, xj = LJ 2.

LS -режим с обострением, (7 + 1 < /3 < (3j = a + 1 + jj. Интенсивность источника сильнее, чем диффузия. Среда нагревается до бесконечной температуры за время То только в одной точке: mes = 0, х„ —> 0, t —> Т0~. В соответствии с различными решениями 0e,»(€)> * = 1>2,..., среда горит в виде простых (г = 1) и сложных структур (г > 1) с одним и тем же моментом обострения.

Чтобы показать значимость автомодельных решений как аттракторов широких классов других решений того же уравнения, введем еще несколько понятий.

В случае произвольных финитных начальных данных ио(х) (4) вводится в рассмотрении автомодельное представление решения u(t,x) задачи (3), (4), определяемое в каждый момент времени в соответствии с видом а.р. (5), (6):

&(t,0 = (1 -i/T0)^n(i,Ç(l -i/T0)A) = (12)

Автомодельное решение ua(t,x) называется асимптотически устойчивым, если существует достаточно широкий класс решений u(t,x) задачи (3), (4) с начальными данными tio ф д(х), автомодельные представления ©(£,£) которых стремятся в некоторой норме к в(£) когда t —* Tq :

lie(t, i)-0(011- о, t-T0-. (is)

В определении автомодельного представления (12) участвует неизвестное время обострения То и оно непригодно для численного исследования асимптотической устойчивости а.р. В работе [19] был предложен и численно реализован (при N = 1)

другой подход, позволяющий исследовать "структурную" устойчивость неограниченных а.р. в специальной "автомодельной" норме, согласованной при каждом £ с геометрической формой структуры и не использующей в явном виде времени обострения % ■ Вводится новое автомодельное представление в соответствии со структурой а.р. иа(1,х):

Автомодельное решение х) называется структурно устойчивым, если сходимость (13) имеет места для ©(¿,£), заданной через (14).

Для автомодельных решений со сложной пространственно-временной структурой, отвечающих немонотонным собственным функциям горения нелинейной среды, вводится понятие метаустойчивости. Автомодельное решение иа{1, х) называется метаустойчивым, если для каждого е > 0 существует класс начальных данных щ(х) и в(х) и время Т, То — Т <1С То таких, что для автомодельных представлений соответствующих решений выполнялось

Глава 1 посвящена численным методам решения основных задач - нелинейных автомодельных задач (раздел 1.1) и нелинейных параболических задач с сингулярными по времени (blow-up) решениями (раздел 1.2). Детальное описание и исследование методов сделано для случая радиальной симметрии.

Общими трудностями как для автомодельных, так и для параболических задач, являются: нелинейность; зависимость от нескольких параметров (как правило -трех); недостаточная гладкость решений на поверхностях вырождения эллиптического оператора, где решения обращаются в ноль. В случае радиальной симметрии при N > 1 и в полярных координатах в двумерном случае к ним добавляется сингулярность в точке х = 0 (£ = 0).

Что касается автомодельных задач, то самая существенная трудность - это неединственность решения, что существенно отличает их от классических задач с единственным решением. Возникают следующие проблемы: /найти "хорошее" приближение к каждому решению;

/сконструировать итерационный метод, который: сходится всегда к искомому решению (соответствующему начальному приближению); сходится быстро; обеспечивает достаточную точность;

/автоматизировать процесс вычислений так, чтобы единообразно и быстро находить все различные решения при данных параметрах задачи (cr,/?, N);

/определить априори куда перенести условия из бесконечности, чтобы асимптотика (10) выполнялась (отметим, что чем больше номер с.ф., тем больше константа Са в асимптотике).

Для преодоления-указанных проблем здесь использованы:

- подход "линеаризации" [19] автомодельного уравнения относительно нетривиального пространственно-однородного решения вц и сшивание решений линеаризованного уравнения с известной асимптотикой, для нахождения приближений к различным решениям;

e(t,o = u(t,a>r(t))-m)h(t), 7(0 =

maxTu(i, х) max£#(£)

(14)

II©(*,£)-0(£)lhfl)<e. o<t<T.

(15)

- итерационные схемы, основанные на непрерывном аналоге метода Ньютона (НАМН) для решения нелинейных функциональных уравнений [35], который имеет большую, по сравнением с классическим методом Ньютона, область сходимости;

- метод конечных элементов (МКЭ) разного порядка точности на квазиравномерных сетках, для решения линейного уравнения НАМН на каждом шаге итерационного процесса;

- МКЭ, основанный на несимметричном методе Галеркина [22], для сингулярных в центре симметрии задач при N > 3.

В разделе 1.1.1 поставлена радиально-симметричная автомодельная задача:

Найти функцию в(£) > 0, удовлетворяющую уравнению (9) и краевым условиям (8), которые с учетом перечисленных ее свойств и асимптотику (10), уточнены следующим образом:

0'(О)=О, 9(1)= 0, для/? <£7+1, (16)

где I выбирается так, чтобы краевое условие не влияло на решение, т.е., I было больше носителя решения;

&'(0) = 0, в'(1) + (р/1)в(1) = 0, р= 1/т = 2/(/?-сг-1), для/? ><т + 1, (17)

где I выбирается так, чтобы с хорошей точностью выполнялась асимптотика (10).

Детальное изложение численного метода сделано на примере этой задачи. В ньютоновской итерационной схеме (раздел 1.1.2)

Ь'{вк)ук = -Ь(вк), (18)

вк+1 = вк+ткьк, 0<тк< 1, А; = 0,1,...,

= = vk = vk(a = v(Z,tk), (19)

во(0 - начальное приближение, уравнение (18) имеет вид

Г'1«' - Г-1^-1^)' + +(1 -/зеГ'н = - [-^п ({"-'ту+гп&к+вк~в0к

(20)

Итерационные поправки vk(£) удовлетворяют однородным граничным условиям

^(0) = 0, ук(1)= 0 для/? <а + 1, (21)

^(0) = 0, г4(0 + {р/1)ук{1) = 0 для/? ><7 + 1. (22)

В разделе 1.1.3 проведена дискретизация по МКЭ задач (20), (21) и (20), (22) в слабой форме:

Найти функцию vk(£) € Я1(0,1), удовлетворяющую интегральному тождеству

(Ь'(9к)ук,и) = -(Ь(вк),гп), V«, € Я^0,0, («,«;) = ['^'^МИШ (23)

J о

и граничным условиям (21) или (22), где #*(£) - заданная функция,

9к е D = {0(0 : ¿Г», 6 £2(0,0Ь

Я»(0,Z) = {iu : ^"-Ч/Чи, i^-D/V 6 L2(0, /), (1 - a)w(l) = 0}.

Значение а = 0 отвечает условию (21), а а = 1 - условию (22).

Аппроксимация интегрального тождества (23) проводится на основе МКЭ с использованием Лагранжевых (линейных и квадратичных) конечных элементов. Так для вектора V с компонентами значения итерационных поправок в узлах конечно-элементной сетки получена линейная система уравнений

A{0)V = -B(6)Q (24)

с несимметричными ленточными матрицами А и В. Для решения системы (24) использовано LU разложение матрицы А, которое не увеличивает ее профиля. Шаг тк в (19) определяется экстраполяционной формулой [23]:

тк = min ^l.rt-i^-^ .если 5к < 4-ъ тк = max ,если 5к > <5*_ь

где 6к = тах,©^ \B(6k)Qk\. Этот выбор тк при уменьшении 5к обеспечивает стремление тк к 1, и скорость сходимости (18), (19) становится квадратичной.

Выбор начальных приближений обсуждается в Разделе 1.1.5. Для ß < а + 1 предложено

О , еГ' < с < ^

С(0= „ ^ " " '' , (25)

где > 1 - константы. Приближения (25) основаны на известном [5] точном решении для 5-режима при N = 1:

m

2(а + 1) , irf

(^У COs2 # J • 5 - ^ = 41)/2 = 7r^TT/a', (26)

0

на полученных в [21] приближенных оценках для £о при N = 2,3:

4*0/2 = «тг+1 + 1.84(ЛГ - 1)*/*/*,

и на установленном нами в численном эксперименте соотношении < Для 0 > а + 1 "линейные приближения" искались в виде:

М0 = {1 + °<2/(0, , (27)

где у(£) = (/3—1)/(/3 —ст—1), N/2-, (/? — а— 1)С2/4) - вырожденная гипергеометрическая функция. Она является решением линеаризованного относительно = 1 автомодельного уравнения (= 1 +£$/(£)> I £У{0 1):

V)'+т&-03- 1 )у = 0. (28)

и

Параметры сц, Ci определялись из условий #o,i(£) 6 С2 [0,1} (С2 - приближения) или 0о,<(£) € С![0, (С1 - приближения). В обоих случаях

<*< = -p/b yte)+й y'te)], q = ir+1 j/'(6)/[p z/й)+£ у'й)]- (29)

Для С1-приближений точка является корнем уравнения у(£) = 0 (всего К + 1 корней), а для С2-приближений - корнем уравнения

(р+1У(0 + &/'(0 = о.

На основе изложенной методики создан комплекс программ на языке FORTRAN. Он дает возможность вычислять решения автомодельной задачи для всех видов режимов с обострением. В случае ¿¿-режима вычисление "линейных приближений" и сшивание с асимптотикой реализовано программно, так что процесс полностью автоматизирован - задается только номер искомой с.ф.. Это сделало возможным тщательное исследование сходимости и точности численного метода (Раздел 1.1.6). Оно проводилось посредством сравнения с известным точным решением (26) S— режима при N = 1 и методом Рунге на последовательностях вложенных сеток для HS— и LS— режимов. Исследование показало: в той части области, где решение имеет необходимую гладкость, при использовании линейных элементов имеет место оптимальный порядок точности 0(h2) ,априиспользованииквадратичныхэле-ментов - сверхсходимость порядка 0(h4]l в узлах разбиения.

Многочисленные эксперименты, проведенные в широком диапазоне изменения значений параметров а и /? при N = 1,2,3, указывают на быструю сходимость итерационного процесса (18), (19). Замечены однако следующие особенности:

- при Р —* а + 1 + 0 гипотеза о малых колебаниях с.ф. около гомотермического решения, на которой подход линеаризации основан, не выполняется. При N = 2,3 были обнаружены с.ф., значения которых равны нулю в кольцевой области около центра симметрии. Это обусловило необходимость детального исследования случая /?-> <7 + 1 + 0.

- при N = 2,3 в сингулярной точке £ = 0 порядок точности ниже (а « 1.7 для линейных и а « 3.7 для квадратичных элементов).

Для преодоления потери точности в окрестности f = 0 была использована модификация метода Галеркина на сингулярный случай. Она предложена и теоретически исследована для линейных сингулярных при х = 0 задач в работе [22] и названа несимметричным методом Галеркина. Идея несимметричного метода - применить метод Галеркина к специальной, несимметричной форме оригинальной (самосопряженной) задачи. Применительно к автомодельной задаче он изложен в Разделе 1.1.7. Вычислительная схема построена на основе альтернативной формы записи уравнения (9):

Цв) = -(£W)' - i{N - 2)6° # + ff + Св(1 - 0"-'1) = 0 (30)

где 7 = 0 при N = 1, 7=1 при N = 2,3. При N = 1,2 она совпадает с (9).

Многочисленные эксперименты на последовательностях вложенных сеток, проведенные для S—, HS— и LS— режимов, N > 3, показывают оптимальный порядок точности этой вычислительной схемы вплоть до центра симметрии.

Раздел 1.2 посвящен численным методам решения параболических задач.

Основная трудность численного решения параболических задач - неограниченность решений, при этом неограниченность в изолированных точках, в конечной области или во всем пространстве. И еще связанные с ней: подвижная граница, на которой решение не во всех случаях достаточно гладкое; неустойчивость неограниченных решений.

Неограниченные решения режимов с обострением неустойчивы в том смысле, что малым возмущениям начальных данных соответствует малое (априорно неизвестное) изменение времени обострения, и следовательно - сколь угодно большие изменения в решении вблизи момента обострения. Именно для устранения проблем с неустойчивостью вблизи момента обострения введены понятия структурной устойчивости и метаустойчивости. Они отражают сущность режимов с обострением. Простые структуры устойчивы в этом смысле вплоть до момента обострения, сложные структуры вырождаются в простые вблизи момента обострения. При этом вырождение может происходить разным образом - сложная структура может выродиться в одну или несколько простых. Эта неустойчивость стохастическая.

Одна из задач этой работы - исследование структурной устойчивости и мета-устойчивости различных инвариантных решений - накладывает существенные требования на методы решения параболических задач - реализовать методы, вычислительная неустойчивость которых существенно "меньше" неустойчивости решения. Как показано дальше, разработанные методы дают возможность, во-первых, вычислять автомодельные решения вплоть до момента обострения, когда максимум решения нарастает на 3-15 порядков (в зависимости от параметров задачи) с сохранением автомодельности, и во-вторых, восстанавливать время обострения То, заложенное в автомодельной задаче (7о = 1/(/?—1)), с точностью до Ю-5 -г- Ю-7. Это дает возможность прогнозировать с большой точностью возникновение критических режимов в среде.

Для преодоления указанных проблем и для удовлетворения поставленных требований, здесь использованы:

- трансформация Кирхгофа для линеаризации эллиптической части дифференциального оператора;

- МКЭ для дискретизации по пространственным переменным с интерполированием нелинейных коэффициентов по базису конечномерного пространства и концентрацией матрицы массы;

- динамические адаптивные сетки в -режиме (сгущающиеся сетки) и в Ж-режиме (разреживающиеся сетки с сохранением числа узлов), согласованные с автомодельными (и приближенными автомодельными в полулинейном случае) законами;

- несимметричный метод Галеркина в радиально-симметричном случае при размерностей пространства

- явный метод типа Рунге-Кутта второго порядка точности с расширенной областью устойчивости и с автоматическим выбором шага, обеспечивающим выполнение слабого принципа максимума и, в случае глобальных решений, достижение заданной точности е в конце интервала интегрирования.

В разделе 1.2.1 поставлена радиально-симметричная параболическая задача:

иг(4,0) = 0, 0 < г < То, и(«, Я) = 0, 0 < г < Т0, (32)

и(0, г) = щ(г) >0, 0 < г < Я, (33)

Величина Я выбирается так, чтобы граничное условие в (32) не влияло на решение и(Ь, г). При ¡3 > а + 1 это возможно из-за локализации процесса, при /? < а + 1 величина К = Л(£) меняется автоматически в процессе счета.

Симметричный метод Галеркина изложен в разделе 1.2.2. Применение трансформации Кирхгофа

р(и) = / «ЛАо = ——, (34)

Jo <т+1

является существенным для последующего интерполирования нелинейных коэффициентов и оптимизации процесса вычислений.

Задача (31)-(34) в слабой форме формулируется так:

Найти функцию и({,г) 6 Д В = {и : и, диа+1/дг € Ь2}, которая удовлетворяет интегральному тождеству

= Л(г;и,и), УуеЯо^О.Д), 0<«<Г0, (35)

начальному условию (33) и граничным условиям (32). Здесь

¿г, д(и) = и13,

(и,ь)= [ гк-1и{г)ь(г)ат, = [ г"-1

ио Jo

др(и) 9и , .

дг дг

#¿(0, Я) = {V : е ь2(0, Я), и(Я) = 0}.

Для дискретизации (35), (33) использованы Лагранжевы (линейные и квадратичные) конечные элементы.

Пусть {<р«}£=1 _ стандартный узловой базис Лагранжа пространства Интерполируем и(Ь,г), щ(г) и нелинейные функции р(и), <?(и) по базису 5\:

п п,

о = мг) = '52ио{ъ)'Р1(г)> (36)

<=1 <=1

п п

р(") ~Р/ = ?(") = (37)

Использование аппроксимаций (36),(37) и концентрация матрицы массы дают следующую систему ОДУ (записанной в нормальной форме):

й = -М_1Кр(и) + ч(и), и(0) = ио. (38)

Здесь и = [щ(0,... ,ип(<)]г, р(и) = [р(и1),... ,р(и„)]г, а(и) = [д(иг),... ,<?(и„)]Г,

" лЯ ,я

М = (Иа.д{ти},та = У! ту, т„ = / г^фцр^йг, К = {кц},кц = /

•'о •'о

Отметим следующие два преимущества этого подхода: матрица жесткости К постоянная; матрица массы М диагональная, так что произведение М-1К имеет ту же разреженную структуру, как и матрица К.

Несимметричный метод Галеркина обобщен для нелинейной параболической задачи (31)—(33) в разделе 1.2.3. После трансформации Кирхгофа (34) уравнение (31) записывается в следующей несимметричной форме:

г"1щ = (г7рг)г + 7(ЛГ - 2)рг + г7д(и), 7 = О, N = 1; 7=1, N > 1.

на основе которой делается дискретизация. Применяя все следующие шаги как в симметричном методе, получаем систему ОДУ:

Матрица В несимметричная.

Модификация явного метода Рунге-Кутта второго порядка точности с расширенной областью устойчивости, использованная для решения систем ОДУ (38) и (39), приведена в разделе 1.2.4. Реализован автоматический выбор шага так, чтобы одновременно выполнялись условия устойчивости и достижения заданной точности е в конце интервала интегрирования. Для сингулярных по времени решений использован стоп-критерий г < Ю-16 и тогда То - время, достигнутое в счете.

Выбор явного метода решения системы ОДУ обусловлен следующими причинами:

- исследование чисто неявной нелинейной разностной схемы для решения задачи (31)-(33) при N = 1, проведенное в [16], §5, Глава VII, показало, что ее однозначная разрешимость на временном слое накладывает зависимость между шагами по пространству и по времени такова порядка, как и условия устойчивости явной схемы;

- вблизи момента обострения, когда значения решения на временном слое различаются на несколько порядков, связывать их в системе уравнений необоснованно;

- при одинаковых ограничениях на шаги по времени, явные методы намного экономичнее неявных; они допускают и распараллеливание;

- явные методы лучше приспособлены к локальному сгущению пространственной сетки, которое абсолютно необходимо в случае обостряющихся в изолированных точках решений.

Идеология динамических адаптивных сеток, согласованных с автомодельными (и приближенными автомодельными) законами, изложена в самом общем случае в разделе 1.2.5.

Если дифференциальное уравнение щ = Ьи допускает автомодельное решение ий(£, х) = ¥>(£)#(£)> ? = то связь между х и £ дает идею как адаптировать

пространственную сетку. Для задачи (31)-(33) эта связь дает:

На основе соотношений (40) выработана следующая стратегия адаптации. Пусть дг(*0 _ Шаг по пространству (длина конечного элемента) в момент времени < = .

В ЬБ— режиме, т > 0 шаг Дг'*' выбирается так, чтобы шаг был ограг

ничен сверху: = Дг'*'Г(£)т < АЛо- Когда условие нарушается, делается следующее:

й = М"1(-Кр(и) + 7^ - 2)Ви) + д(и), и (О) = и0,

(39)

? = гГ (¿Г, Д£ = ДгГ(г)т, Г(4) =

тахт г) тахг щ(г)'

т = {0 - а - 1)/2. (40)

- каждый элемент делится пополам и значения решения в новых точках находятся линейной или квадратичной интерполяцией по старым значениям;

- чтобы не увеличивать излишне число точек, сгущение сетки делается только в той части области, где решение меняется; точки сетки, где оно уже установилось с заданной точностью 5и (в расчетах обычно 6и= Ю-7), отбрасываются.

Отметим особо, что условие для проверяется на каждом временном шаге, но

сетка сгущается только тогда, когда оно нарушается. Тогда производится и проверка для отбрасывания точек сетки из-за установления решения.

В HS— режиме, m < 0 шаг

выбирается так, чтобы шаг был огра-

ничен снизу: /io/А < = Дг^'Г(<)т. Когда условие нарушается, делается следу-

ющее:

- точки сетки, начиная с второй, отбрасываются через одну;

- длина R(t) интервала интегрирования увеличивается вдвое добавлением новых элементов:

R{tk) = 2R{tk~1). Адаптация

сетки в этом случае производится с

сохранением числа элементов.

Эта идея - вложение структурных свойств (геометрии, разных видов симметрии, законов сохранения) непрерывных задач при разработке дискретных методов - лежит в основе нового важного направления в вычислительной математике - геометрическое интегрирование, которому посвящено много работ и монографий (см. например [25],[26]). Достоинство предложенного подхода по сравнению с применяемыми обычно методами подвижных сеток [26] в том, что для сетки здесь не решается дополнительная дифференциальная задача.

На основе изложенного метода создан комплекс программ на языке FORTRAN для решения задачи (31)-(33) на множестве всех допустимых физических параметров. Создана также компьютерная система для визуализации особенностей нелинейных процессов. Комплекс программ и система визуализации используются в процессе обучения по курсам "Нелинейные математические модели" и "Математические модели и вычислительный эксперимент" в ФМИ Софийского университета.

В разделе 1.2.6 приведены результаты численного исследования сходимости и точности метода решения задачи (31)—(33) как с автомодельными, так и с неавтомодельными начальными данными.

Пример 1. Это случай p = a+ l,N=l, когда известно точное решение (с.ф.) (26) автомодельной задачи. Оно использовано в качестве начальных данных для параболической задачи при разных вычислительных параметрах и анализировались его автомодельные представления. Как было сказано, для обостряющихся решений сходимость и оценка ошибки в автомодельной норме имеет смысл вплоть до момента обострения. Зависимость этой ошибки' от дискретизации по пространству и по времени показана в Таблице 1. Там содержатся также: вычисленное время обострения То, число шагов по времени, максимум решения за это время, и относительные ошибки e.ii,£). = I0(i,£) — 0(£)l/max„#(£) автомодельных представлений решения uaih(t, г) для t = То в трех точках по г. Как показывают эти и все проведенные эксперименты, восстановление (в процессе решения параболической задачи) времени обострения, заложенном в автомодельной задаче, как и сохранение автомодельности, зависят больше всего от дискретизации по пространству.

Табл. 1. 5- - режим: а = 2, р = 3, N = 1, Та = 0.5

н с То ¡ЯвТЕР и(Т0,0) е(Т0.1.8) е(Т0,2.7) е(Т0,2.8)

0.1 ю-2 0.507910 1262 0.13Е+8 0.11Е-2 О.ЗЗЕ - 2 0.18Е - 3

0.05 Ю-2 0.507077 5266 0.62Е+7 0.28Е - 3 0.44Е - 3 0.11Е- 7

0.05 Ю-4 0.499976 5870 0.54Е+7 0.28Е - 3 0.44Е - 3 0.11Е - 7

0.05 10'6 0.499958 9057 0.50Е+7 0.28Е - 3 0.44Е - 3 0.11Е-7

0.025 Ю-4 0.499998 21737 0.31Е+7 0.70Е - 4 0.11Е - 3 0.0

Пример 2. В Таблице 2 показаны некоторые результаты численного исследования эволюции второй с.ф. 02(£) при а = 2,@ = 3.25, N = 2,Т0 = 1 ¡{¡3 — 1) = 0.(4).

Они показывают, что и для немонотонных с.ф. при уменьшении шага /г время , до которого автомодельность сохраняется, увеличивается.

Табл. 2 Ьв- режим, в2(0 : а = 2, 0 = 3.25, N = 2, Г0 = 0.(4).

Н То ta «а/То

0.25 0.4421401 10 0.4414948 99.85405%

0.125 0.4438751 ю2 0.4438662 99.99799%

0.0625 0.4443102 103 0.4443100 99.99996%

0.03125 0.4444104 2 х 104 0.4444104 99.99999%

Глава 2 посвящена исследованию автомодельных решений и их структурной устойчивости в радиально-симметричном случае.

В разделе 2.1 проведено исследование "линейных приближений" к собственным функциям при Р —у (Г + 1 + 0. Получены асимптотики решений

линеаризованного уравнения (28) (М - размерность пространства):

ГДР ¿о{х) ~ функция Бесселя. Отсюда для расстояний между С1-точками сшивания & (27) (а в пределе »(Г+1 + 0 и между С2-точками сшивания) получено'

Исследовано также поведение точек пересечения с.ф. с пространственно-однородным решением в(£) е1 и поведение констант сц в (27),(29) при /?—><7 + 1 + 0. На основе результатов даны рекомендации по использованию "линейных приближений". В разделе 2.2 исследована и уточнена структура с.ф. -режима при переходе

1. Показано, что структура с.ф. при N > 1 и ~ сг+1, ¡3 > сг+1 существенно отличается от структуры с.ф. при N = 1. При N = 1 максимумы с.ф. увеличиваются с удалением от центра симметрии (20], а при N > 1 вычислительным экспериментом было обнаружено, что при 0 —► сг + 1 + 0 первый, центральный максимум с.ф. становится больше других (такие с.ф. были названы потом [12] с.ф. "с перетяжкой").

2. Различен и переход ЬБ-режима к 5-режиму. При N = 1 переход (5 —► сг+1+( "непрерывен" - с.ф. 0к{£) -режима стремится к с.ф. 5-режима, составленной и: к элементарных решений (26) (Рис. 1а). При N > 1 такого "непрерывного" переходе нет.

2.1. Для фиксированного а и некоторого 0] = /?*(<т, ./V) центральный (первый] минимум с.ф. с четными номерами ] = 1,2,..., становится равным нулю г.

для /3 < Л/') все с.ф. (£) аннулируются в некоторой области около началг координат (Рис. 16):

Рис. 1. Поведение с.ф. при 0 —* а + 1 + О • 18

при этом растут при 0 —+ ст+1+0. Все максимумы стремятся к максимуму

с.ф. 5-режима при тем же а и N = 1. Таким образом с.ф. "уходя на

бесконечность" при 0 —* <7 + 1 + 0, стремится к с.ф. 5-режима при N = 1 и того же с, состоящей из j элементарных решений (26) (Рис. 1е).

2.2. Для фиксированного а существует такое значение /?" = /3**(ст, Ы), что при а + 1 < 0 < 0" с.ф. #2^+1 (£)>.;' = 1,2,... распадается на две части: центральная, которая стремится к с.ф. 5-режима для соответствующего значения N и вторая, которая совпадает с с.ф. ^уНО' "уходящей на бесконечность" при 0 —> сг + 1 + 0. Для фиксированных а, N всегда 0" < /?* (Рис. 1в-1д).

Согласно описанному "сценарию" перехода 15— к й-режиму, при 0 —► <х +1 + 0 остается только первая с.ф. ЬБ-режима, которая стремится к единственной с.ф. 5-режима. Этот "сценарий" является результатом детального вычислительного эксперимента.

Так в процессе этого исследования найдены с.ф. новой структуры - с.ф. "с перетяжкой" и с.ф. с левым фронтом.

Существование с.ф. с левым фронтом было подтверждено асимптотическим анализом - получена асимптотика с.ф. в окрестности левого фронта £ —> £* + 0:

ею ~ ск - ГГ. « = 1М С = ((0 - а - 1К72)1'' •

3. Собственные функции с левым фронтом представляют собой тела вращения с "пустотой" в центре. Численные эксперименты показывают, что при 0 -* сг + 1 + 0 радиусы "пустот" увеличиваются и четные с.ф. = 1,2,... "выстраиваются" так,

что разности этих радиусов стремятся к одной и той же величине. Гипотеза автора о ней: р = р{а) = 2у/а + 1/сг = Ьз/я- (Рис. 1ж - 1и).

Полученные новые типы решений инициировали исследования других авторов [12]-[14] другими методами (методом динамической аналогии, бифуркационным анализом). Их исследования подтвердили существование этих новых решений, и в частности [14] описанного выше сценария.

В разделе 2.2.3 исследован аналитически предельный случай а—»0, 0=о+1. Показано, что при <т —+ 0+ автомодельное решение Б-режима стремится к автомодельному решению с конечной энергией соответствующего линейного уравнения Щ = ихх+и, же К+, 4 > 0.

В разделе 2.3 исследовано существование с.ф. и структурная устойчивость а.р. Ь5-режима при переходе параметра 0 через некоторые пороговые значения, получившие название "критические экспоненты" (см. [27] и ссылки там), когда свойства решений как автомодельной, так и параболической задачи, меняются существенно. До сих пор обнаружены следующие критические экспоненты:

0] — а + 1 + 2/ЛГ (экспонента Фуджита);

¡3, = (<т + 1)(ЛГ + 2)/(# - 2), N >3 (экспонента Соболева); Д,= (а + 1)(1 + 4/(ЛГ-4-2^т))> #>11; 0и = оо, #<11;

3(а + 1) + (а2(М - 10)2 + 2о(5а + !)(# - 10) + 9(<г + I)2)1/2

РР-1 + — ^ , Я >11.

В разделе 2.3.1 исследована структурная устойчивость неограниченных решений с конечной энергией для параметров 0 > 01 = а+1 + 2/Ы, когда автомодельное

решение (5) ua(t,r) £ Li(R^). В этом случае качественная теория нестационарного осреднения "амплитуда - полуширина" предсказывает автомодельное поведение амплитуды решения задачи (31)—(33) и возможное неавтомодельное поведение полуширины [16]. Там был поставлен вопрос: какое инвариантное или ПАР описывает асимптотическую (t —► Т0") стадию процесса? Численное исследование стало возможным благодаря адаптации сетки. Показано, что а.р. (5), соответствующее 0i(£), структурно устойчиво: во всех экспериментах с финитными начальными данными, обеспечивающими неограниченность решений, на асимптотической стадии они стремятся к автомодельному.

В разделе 2.3.2 конструированы численно решения а.з. при соотношениях параметров за критическими экспонентами Р > Ра, N > 3; Р > Д, N > 11; Р > Рр, N > 11. Таким образом конструктивно установлено существование решений а.з. при Р > Ри N > 11, что является открытой проблемой [27]. Показано тоже, что соответствующие им автомодельные решения структурно устойчивые, что подтверждает гипотезу из [27].

В разделе 2.4 разработанные для радиально-симметричных задач (9), (16),(17) и (31)-(33) методы обобщены на случай системы нелинейных уравнений с источниками, которая описывает процессы теплопроводности и горения двухкомпонентной среды:

ии = x1-N (xN~lUi'uix)x + U?V> х е R\, N = 1,2,3,

(41)

«2» = xx~N {xN~\<?u2x)x + ufu%2, <Ti > 0, Pi > 1,7< > 0, i = 1,2.

Система допускает неограниченные автомодельные решения ua = (uia, Що)

Щ* = fli(t)0i(0 = (1 - WWi), е = х/{1 - г/То)",

(42)

Uto = g2{t)e2{0 = (1 - t/T0)m*e2(S), тп{ < 0, i = 1,2,

rn = сц/р, cti = 7i + 1 - Pi, г = 1,2, p = (/?! - l)(p2 - 1) - 7172, n = (mX(7i+l)/2 = {m2a2+l)/2, c^+l-ft) = cr2(7i+l~Pi), 0 < Nn < -mu i = 1,2.

Функции #i(0, удовлетворяют системе автомодельных уравнений

Ьх{ви02) = -e-N{tN~%%)' + п(вi - тпЛ - 0*0? = 0,

(43)

Ь2{в1, в2) s + п^ - тп2в2 — = О

и краевым условиям

Л(0 = К/п) (/,(0/0, i = г»1, ¿ = 1,2 (44)

В уравнениях (43) без ограничения общности положено То = 1. Поведение автомодельных решений при t —* То зависит от знака параметра п: п < 0 - IIS режим с обострением; п = 0 - S режим с обострением; п > 0 - LS режим с обострением.

Системы (41) и (43) называются системами с сильной обратной связью, если р < 0, и системами с слабой обратной связью, если р > 0.

В случае N = 1 автомодельное решение (42) и задача (43), (44) рассматривались в работах Курдюмова С.П., Куркиной Е.С., Малинецкого Г.Г. и Тельковской О.В.. При

численном построении с.ф. для конкретных параметров использованы разностные методы и метод стрельбы.

Для построения с.ф. и детального исследования структурной устойчивости автомодельных решений при N = 1,2,3 здесь использованы обобщения методов, изложенных в Главе 1. Сформулируем основные результаты:

- структурно устойчивыми являются только а.р. с двумя компонентами простой структуры систем с сильной обратной связью;

- все другие а.р. метаустойчивы.

Таким образом показана принципиальная возможность применения разработанных методов для исследования процессов самоорганизации в широких классах нели-' нейных диссипативных сред, описываемых системами типа реакция-диффузия.

В Главе 3 исследуется асимптотическое поведение сингулярных по времени решений трех классов полулинейных параболических уравнений с источниками

Условия существования неограниченных решений таких уравнений изучаются с 1966 г. и этой проблеме посвящено большое количество работ (см. обзор в книге [28]). Случай полулинейных уравнений, где из-за недостаточности диффузии не возникает сложных структур, оказался более трудный для исследования, чем квазилинейный случай. Причина этому - несуществование точных инвариантных решений (кроме тривиальных гомотермических) вообще или для некоторых размерностей N пространства. В этих случаях асимптотическое поведение неограниченных решений описывается приближенными автомодельными решениями (ПАР), которые являются точными а.р. других уравнений - уравнений типа Гамильтона-Якоби. Это означает, что на асимптотической стадии, при , параболическое уравнение

вырождается в уравнении первого порядка. Строгие результаты о вырождении на асимптотической стадии уравнения (45) получены в основном для N = 1 и при ограничениях на начальные возмущения. Поэтому численное исследование, особенно при N > 1, является актуальной задачей.

В разделе 3.1 исследуется уравнение с источником кото-

рое не имеет нетривиальных инвариантных решений с обострением [16,17]. Это единственное полулинейное уравнение, для которого до сих пор найдены аналоги трех режимов с обострением: HS— режим: 1 < ¡3 < 2; S— режим: Р = 2; LS— режим: Р > 2. В начале [16] качественными методами было показано, что асимптотическое поведение его неограниченных решений описывается автомодельными решениями

уравнения первого порядка типа Гамильтона-Якоби

Уже имеются строгие результаты [29] об асимптотической устойчивости ПАР (46).' При достаточно ограничительных предположениях [29] на начальное возмущение доказано, что при Р = 2, N = 1 область эффективной локализации Lsl = [—7Г, 7г] Для нет такого точного результата - доказано только, что решение

растет неограничено в сфере В Э {г < п}. Нами показана численно (раздел 3.1.3) структурная устойчивость ПАР (46) при практически произвольных начальных данных во всех трех режимах. В 5—режиме (/3 = 2) все численные эксперименты подтверждают сходимость автомодельных представлений к точному решению (47) для произвольных начальных данных при ЛГ = 1 и для достаточно больших при N = 2,3 (чтобы обеспечить неограниченность решения, см.[16]). Показано также, что при Р = 2, N > 1 неограниченное решение эффективно локализовано в сфере радиуса я- : = {г < я-}. Кроме того показано: если начальное возмущение нецентральное, достаточно далеко от центра симметрии и с достаточно большой энергией, то тепловая энергия не расплывается и горение локализовано эффективно в кольцевой области толщиной 2тг, что является новым результатом (Рис. 2 ).

Методом конечных элементов с концентрацией матрицы массы, интерполированием нелинейных коэффициентов и динамической адаптацией сетки решались численно как оригинальная задача (для переменной и), так и трансформированная, для 17(4, г) — 1п(1 + и((,г)) (раздел 3.1.2).

В разделе 3.2 исследовано асимптотическое поведение решений уравнения с источником С} (и) = V?. При 1 < /3 < \-\-2jN, щ ^ 0, задача Коши имеет только неограниченные решения, но их асимптотика существенно отличается от той, которую следует ожидать по аналогии с квазилинейным случаем. Автомодельная задача, которая получается по этой аналогии, не имеет решения при 1 < Р < Р, = {М + 2)/(ЛГ-2)+.

Рис. 2. р = 2, N = 3

Качественный анализ [16] показал, что пространственно-временная структура

и(г,х) при <—)-Та описывается ПАР

(48)

(49)

>/(Го-«)1ЧГо-«)Г

которое является точным а.р. уравнения + хьх{2(То — £)| 1п(То — 4)|}~1 = гА

Строгое доказательство этого результата дано в [30] для N = 1 и при ограничениях на начальные данные. Для N > 1 строгого доказательства нет. Численным экспериментом нами показана структурная устойчивость ПАР (48),(49) для N = 1,2,3 при практически произвольных начальных данных.

В разделе 3.3 исследовано асимптотическое поведение решений уравнения с источником (2{и) = еи (модель воспламенения твердого горючего). Задача Коши имеет

В разделе 3.3 исследовано асимптотическое поведение уравнения с источником С2{и) = е" (модель воспламенения твердого горючего). Задача Коши имеет только неограниченные решения, но уравнение (45) при N — 1,2 не имеет точных инвариантных неограниченных решений, кроме гомотермического чц = — 1п(7о — 4). Качественный анализ [16] показал, что асимптотическое поведение неограниченных решений описывается ПАР

^ = т=1п((14)-') (50)

которое является точным а.р. уравнения + хьх{2(Т0 — £)| 1п(То — ¿)|}_1 = е".

Строгое доказательство для N = 1 и при ограничениях на начальные данные дано в [30]; для N = 2 нет строго доказательства. Численным экспериментом нами показана структурная устойчивость ПАР (50) для Л7" = 1,2 при практически произвольных начальных данных.

Отметим, что ПАР (48), (50) существенно отличаются от а.р., рассматриваемых до сих пор. Это отличие, во-первых, в зависимости автомодельной переменной г; от произведения (То — 1п(Т0 — и, во-вторых, в структуре ПАР (50), которое является суммой гомотермического решения и функции в*(г/). Разработанные численные методы (отметим особо адаптацию сетки, согласованную с ПАР) работают достаточно хорошо и при наличии этих особенностей и дают возможность установить структурную устойчивость ПАР (48), (50) на достаточно больших компактах

М < Ч*

Глава 4 посвящена исследованию новых способов организации в двумерной нелинейной теплопроводной среде.

В разделе 4.1 построены численно инвариантные решения, которые описывают направленное распространение тепла и горения в нелинейной анизотропной среде со степенными коэффициентами теплопроводности

щ = {и"1их1)х, + {и"2ихг)хг + и", х = (хь х2) € М2, <Т1 > 0, £г2 > 0, 0> 1. (51)

В работе [31], (см. тоже [17]) методами группового анализа установлено, что уравнение (51) допускает неограниченное инвариантное решение

«.(«,*!, *а) = (1 - £ = (6,6) 6 К2, 6 = 1,(1 - г/7оГт,/09~1)

тт^ = (Р — су — 1)/2, г = 1,2. Функция 0(£) удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению (в нем положено То = 1 /(Р — 1)):

Характер распространения тепла определяется соотношением между величинами Р, (<71 + 1), (<72 + 1). По аналогию с радиально-симметричным случаем в каждом направлении & рассматриваем три типа соотношений: I < Р < + 1 - Я5 -режим с обострением; 1</? = сг< + 1 - 5-режим с обострением; сг( + 1 < в - ¿5-режим с обострением.

В разделе 4.1.1 поставлена краевая задача для уравнения (52), приведена итерационная схема на основе НАМН и конструированы начальные приближения. Для LS — S— (LS — HS—) режимов использовались начальные приближения

= ¿ = 1,2,...,*,,

которые являются произведением одномерных приближений (27) для LS— и (25) для S— (HS—) режимов.

Метод решения параболической задачи обсуждается в разделе 4.1.2. И здесь основной момент при реализации МКЭ - это трансформации Кирхгофа:

ра(и)= [ Aa(w)dw, Ха(ш)=ш"а, а = 1,2. Jo

Они, вместе с последующей интерполяцией нелинейных функций ра(и) и q(u) = v? позволяют перенести нелинейность задачи на векторы pa(Ü) и q (Ü) в системе ОДУ

^ = M~1{K1p1(Ü)+K2p2(Ü)} + q(Ü), Ü (0) = Оо (53)

относительно Ü (í) = {Ui (t),..., U„ (í)}r, что очень важно для эффективности метода в двумерном случае.

Метод реализован в виде комплекса программ, который представляет собой развитие Пакета прикладных программ TERMO для решения тепловых задач методом конечных элементов, созданного в ИМИ БАН и предназначенного для решения двумерных стационарных и нестационарных задач теплопроводности (электро- и магнитостатики, диффузии, фильтрации) для кусочно-неоднородных сред.

Рис. 3. HS - S- режим: сгi = 3, а2 = 2, /9 = 3.

Рис. 4. HS - LS- режим: о\ = 3, ег2 = 1, /3 = 3.

В разделе 4.1.3 приведены три типа решений, отвечающие одним и тем же начальным данным:

«(0,®1,а;2) = 1ю(и,х2) = | ' =

- НБ — 5—режим: в\ = 3,ст2 = 2,0 = а2 + 1 = 3 (Рис. 3). По направлению XI тепловой фронт за конечное время То достигает бесконечности (Б— режим), а в направлении Х2 тепло распространяется лишь до некоторой глубины , после чего происходит остановка фронта (5—режим). Носитель решения представляет выпуклую область.

- Я5 — £5— режим: 0\ = 3, сг2 = 1,/3 = 3 (Рис. 4). По направлению Ж1 тепловой фронт за конечное время То достигает бесконечности (5—режим), а в направлении х2 происходит сокращение эффективной глубины прогрева (¿5— режим). На финальной стадии решение представляет собой бесконечно прогретую линию, вне которой температура конечна.

Для сравнения там приведен также 5— режим: ¡71 = а2 = 0 — 1 = 2. В разделе 4.2 исследуются автомодельные решения двумерной модели тепловых структур в полярных координатах:

щ = -[ги"иг)т + и"и^Х + и0, < > 0, 0 < г < оо, 0 < <р < 27г. (54) г тг

Методом инвариантно-группового анализа С.Р. Свирщевским было установлено, (см. тоже [17]), что оно допускает инвариантные решения следующего вида:

иа(1,г,<р) = (1-^г^в(1;,ф), 0 = ^+^-111(1-^-), (55)

-10 -IО Р — 1 -¡О

Здесь Со - параметр семейства решений. Функция £>(£, ф) > 0 удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению (как и раньше, положено То = 1/(0 — 1)):

Из (55) при С0 ф 0 непосредственно следует

^Ф = ге»*> = сопз^ з = (0 — и — 1)/2Со = т/Со- (57)

Это означает, что траектории неоднородностей в среде (например, локальных максимумов) будут логарифмическими спиралями при 0 Ф а +1 или окружностями при 0 = С7+1. Направление движения для фиксированного Со, например Со > 0, зависит от соотношения и и 0 : при 0 > а + 1 - к центру (скручивающиеся спирали), при 0 < а + 1 - от центра (раскручивающиеся спирали).

Случай Со = 0 рассматривался в работах [32],[33]. Там впервые конструированы радиально-несимметричные с.ф. горения среды в Ьв— режиме. В Я5— режиме до сих пор были получены только радиально-симметричные с.ф.. Причина этому -решения автомодельной задачи всегда искались при условии

1ип в(^ф) = (Рн = 0.

оо

Изменение идеологии - искать решения а.з., которые на бесконечности стремятся не к тривиальному решению в = 0, а к гомотермическому в = вц = 1 :

дало возможность получить два новых класса с.ф. в Н8—режиме - радиаль-но несимметричные с.ф. сложной симметрии при Со = 0 и спиральные с.ф. при Со ф 0. Изменение идеологии было подсказано в процессе тщательного исследования (аналитического и численного) решений линеаризованного относительно 6ц' = 1 автомодельного уравнения и их эволюции во времени.

Раздел 4.2.1 посвящен радиально-несимметричным с.ф. в ¿5"— режиме при Со = 0. На основе метода линеаризации и сшивания с асимптотикой в работах [32],[33] предложен эффективный способ определения начальных приближений (Е1Ыш) для решения автомодельной задачи итерационным методом. Проведенные" там эксперименты показали: структура с.ф. не всегда следует структуре начальных приближений; итерационный процесс сходится не при всех начальных приближений. Там был поставлен вопрос о создании более эффективного итерационного метода и это обусловило наше исследование.

Рис.5. <т = 2, 0 = 3.25. слева: ЕШт, т = 2,...,7; справа: Е2Мт, т = 2,...,7

Используя обобщенные на случай полярных координат методы из Раздела 4.1 и способ получения линейных приближений из [33], нами были сконструированы

с.ф. для разных значений параметров а и ¡3 и разной степени симметрии. В некоторых случаях однако итерационный процесс сходился к радиально-симметричным с.ф. Впоследствии в диссертации М. Колевой были предложены и реализованы начальные приближения, число и поведение которых в области немонотонности тоже самое, как у предложенных в [33], но различающиеся от них процедурой сшивания с асимптотикой - сшивание проводилось по окружности, а не по лучам. С их помощью удалось получить радиально-несимметричные с.ф. в тех случаях, когда прежними приближениями это не удавалось. На Рис. 5 слева показаны изолинии с.ф. Е\Мт для т = 2,3,4,5,6,7, а справа - изолинии с.ф. £;Мт,га = 2,3,4,5,6,7 для значений параметров ст = 2, ¡3 = 3.25.

Отметим следующее:

- как и в работе [33], при наблюдалось раздвоение некоторых максимумов начальных приближений, при этом для данного значения т оно происходило для двух видов начальных приближений (на Рис. 5. это Е2М2 и Е2МЗ);

- при одном и том же наборе параметров нам удалось получить большее количество с.ф., чем в работе [33].

- исследование эволюции во времени радиально-несимметричных с.ф. ЬЗ— режима показало, что соответствующие им автомодельные решения метаустойчивые. Они сохраняют свою структуру (в смысле (15)) до времени Т, очень близкое к времени обострения То. После этого сложная тепловая структура вырождается в одну или несколько простых структур, соответствующих самой простой (в общем случае радиально-симметричной) с.ф. с теми же параметрами сг,¡3.

Разделы 4.2.2-4.2.7 посвящены конструированию радиально-несимметричных с.ф. в Ж— режиме.

Задача о численной реализации "спиральных" инвариантных решений была поставлена в 1984 г.. Как отмечалось в [34], на пути к её решению были существенные трудности. Во первых, считалось, что линеаризация автомодельного уравнения здесь не дает желаемого результата, потому что в полученном линейном уравнении нельзя сделать разделения переменных. Во вторых, не была известна асимптотика решений автомодельного уравнения (56) на бесконечности.

Для преодоления этих проблем сделано следующее.

1. Предложено (Раздел 4.2.3) подходящее (комплекснозначное) разделение переменных

Ф) = к^О, к— целое (для периодичности) (58)

в линеаризованном относительно гомотермического решения автомодельном уравнеНИИ

Для функции . получено уравнение:

2. Рассмотрены ограниченные в т. £ = 0 решения уравнения (60) при к > 0:

Л(г) - функция Бесселя первого рода порядка к,

Рфа+1: Л*«) = С* а=-/? 1 + + * Ь=1+к, г ,

р — с — 1 ^

е,

1^(а,6;г) - вырожденная гипергеометрическая функция.

3. На основании свойств функций ^(г) и 1^(0,£>; г) установлено:

- можно рассматривать только случай А: > 0, Со > 0;

- если р = сг +1 (и Сок ф 0) или Р > а + 1, то —» оо когда £ —» оо;

- если Р < а + 1, то |Я*(£)| 0, когда £ —> оо.

4. Обосновано, что без ограничения общности можно использовать только реальную часть

Ук(€,<р) = I Я* (г) I соз(а^ (Як (£) + к<р)) частных решений (58) линейного уравнения (59).

5. Исследована геометрическая структура решений Ук{£,Ф) в зависимости от параметров а, Р, Со и к. Самый существенный результат: линии уровня функций Ук(€, Ф) при Р < Iт+1 (/? > <т +1) и при больших £ близки к логарифмическим спиралям с параметром я(—й) , определенным в (57). Этот факт дал возможность вывести асимптотику с.ф. #(£, ф) из асимптотики решений у* (£></>) ■

6. Предложены "линейные приближения" к с.ф. Я5— режима:

0к[г,Ч>) =

1 + аук{г, <р), 0 < г < г0, 0 < <р < 2ж 1, г>г0, 0<уэ<2тг

(61)

(62)

а, Го - константы. В экспериментах Гд выбиралось так, чтобы-круг Ко(0) был телом спирали для 5 = 0.01.

7. Чтобы установить как близки "линейные приближения" к с.ф., была исследована их эволюция во времени и асимптотика при 4 —* Т^ (Раздел 4.2.4). Использовано автомодельное представление ©(¿, ф) решения и(Ь, г, (р), соответствующего начальным данным щ{г,<р), согласованное с автомодельным законом (55) при

9(4,г, р)/Г(*), е = гГ(0т, 0 = ¥>-О,1п(Г(О),

Г(4) = тахи(4,г,1^)/тахио(г,|р), й = [0,оо) х [0,2тг)

Численные эксперименты, проведенные для широкого набора физических и вычислительных параметров, показали, что при а -С 1 приближения (62) близки с.ф.: они сохраняют свою структуру до времени, близкое к То, при этом Т0 очень близко к времени обострения а.р., отвечающих тем же параметрам а, Р. Й это вполне естественно - линеаризация "уничтожает" 5 и ЬБ -режимы (линеаризованное уравнение имеет линейную диффузию и линейный источник, т.е. для его решений полуширина будет увеличиваться, как это имеет место в НБ-режиме).

8. Асимптотика (61) предсказывает следующую асимптотику с.ф. ф) = ф). к = 1,2,... :

~ 1+ cos А ^ + i In ^ , £-оо, 7 = ас (64)

и такую аппроксимацию:

MÎ, Ф) = 1 + ayk(Ç, ф), а = const. (65)

9. Из (64) выведено граничное условие третьего рода при f = I 1 :

Щ = ^- - + m- - m/0 - 1). (66)

При решении задачи о спиральных с.ф. возникла идея поиска в случае Со = О сложных немонотонных волн HS-режима, выходящих на гомотермический фон при f —» оо. Для единообразного рассмотрения автомодельная задача ставится в области Û = [О, I] х [0, ш], где и = ж ¡к для С0 = 0 и ш = 2п/к для С0 ^ 0, с условиями симметрии при Со = 0 :

с условиями периодичности при Со ф О

= „<«</, (68)

и с условием симметрии в нуле. Задача замыкается краевым условием (66) при Со ф О и краевым условием

двк 0,-1 , ... = m =*>/(/?-d

при Со = 0. В Разделе 4.2.5 изложен численный метод решения автомодельной задачи, в Разделе 4.2.6 - параболической задачи.

Раздел 4.2.7 содержит результаты численного исследования асимптотического поведения радиально несимметричных волн в HS— режиме. Одновременно продемонстрированы надежность и хорошая точность методов решения как эллиптической, так и параболической задачи.

Все проведенные численные эксперименты демонстрируют высокую точность восстановления времени обострения Т0 и метаустойчивость этих волн. Эволюция во времени пяти с.ф., отвечающих одним и тем же параметрам а — 2 и ß = 2.4, показана и анализирована. Первые две с.ф. отвечают параметру Со = 0, остальные три - Со = 1 ■ Точное время обострения равняется То = l/{ß — 1) = 0.(714285).

Здесь приведена эволюция двух с.ф.. На Рис. 6, (t = 0), показаны поверхность и линии уровня с.ф. с одним максимумом, одним минимумом и с одной осью симметрии, вычисленной из начального приближения (65), где к = 1, а = 1. При t > 0 показаны линии уровня решения параболической задачи на четырех временных слоях. Время обострения, найденное в счете, Т0 = 0.714475. Для 0 < t < 0.7108 = 99.49%Т0 движение максимума следует автомодельному закону

r(i) = г(0)(1 - ¿/Т0) А « г(0)Г(£)~"\

Рис. 6. Эволюция сложной волны Я5— режима: а = 2, /? = 2.4, Со = О, А: = 1.

Рис. 7. Эволюция двухрукавной спиральной волны: а = 2, /3 = 2.4, Со = 1, к = 2.

На асимптотической стадии фон решения замирает, сложная волна вырождается в радиально симметричную, развивающуюся на этом фоне. Автомодельные представления ©((, £,ф) реше нтЦя ^тФ е м я т с я к радиально-симметричной с.ф. с конечным носителем, отвечающей тем же параметрам а и Р. Отметим, что это происходит при Следовательно, сложная волна, соответствующая этой с.ф., является метаустойчивой.

Для двухрукавной спиральной волны (Рис. 7) Го = 0.71428579 еще ближе к точному То. Движение максимума и минимума следует автомодельному закону до времени t = 0.7065 = 98.91% То . Вырождаясь на асимптотической стадии, волна переходит через стадию волны сложной симметрии, перед тем как выродится в радиально-симметричную.

Отметим, что существование континуума решений а.з. в радиально-симметричном случае и Ж"— режима, которые выходят на гомотермическое решение 9ц при £ —► со , было отмечено в [16], но этому результату не было уделено достойное внимание. Оказывается, именно такие решения а.з. определяют найденные здесь спиральные волны.

Вопрос о существовании спиральных структур в ЬЗ -режиме (скручивающиеся спирали) пока остается открытым. Хотя "хребты" линейных приближений к с.ф. ЬЗ-режима при £ —> оо стремятся тоже к автомодельным (см. п.5. выше), но их амплитуда стремится к бесконечности. Остается неясным с какой асимптотикой надо сшивать линейные приближения. Автор считает, что в задаче нахождения спиральных структур в ХЗ-режиме надо отказаться от условия ограниченности с.ф. при На эту идею наводят другие решения линеаризованного уравнения (логарифмическое решение вырожденного гипергеометрического уравнения с особенностью в нуле), а также и некоторые физические соображения.

3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена, исследована и реализована общая методика решения нелинейных автомодельных задач, основанная на непрерывном аналоге метода Ньютона и методе конечных элементов. Она дает возможность автоматизировать процесс вычислений (включая случай неединственности решений) и единообразно решать краевые задачи для нелинейных ОДУ второго порядка, систем таких уравнений и нелинейных эллиптических уравнений второго порядка.

Предложена, исследована и реализована общая методика решения нелинейных параболических задач с сингулярными по времени решениями, основанная на методе конечных элементов с концентрацией матрицы массы и интерполированием нелинейных коэффициентов. Реализованы адаптивные динамические сетки по пространству, согласованные с автомодельным или приближенным автомодельным законом.

2. В радиально-симметричном случае исследовано поведение собственных функций горения нелинейной среды при стремлении ЬЗ-режима к З -режиму, когда организация среды существенно усложняется. Показано существенное различие плоского и

радиально-симметричного случаев. Найдены два новых типа собственных функций - "с перетяжкой" и с левым фронтом. На основе детального численного исследования предложен сценарий поведения сложных собственных функций (четных и нечетных) при стремлении к -режиму.

Исследовано асимптотическое поведение локализованных обостряющихся решений параболической задачи в ¿5"— режиме, когда автомодельное решение не принадлежит Численно показано, что и в этом случае монотонное по г автомодельное решение структурно устойчиво.

Конструированы численно решения автомодельной задачи при соотношениях параметров за критическими экспонентами. Показано, что соответствующие им монотонные по г автомодельные решения структурно устойчивые, подтверждая таким образом гипотезу Галактионова и Вазкеса.

3. Конструированы численно собственные функции горения двухкомпонентной нелинейной среды в радиально-симметричном случае и исследована структурная устойчивость соответствующих автомодельных решений. Показано, что в Ь8— режиме структурно устойчивыми являются только автомодельные решения простой структуры (с монотонными по компонентами) систем с сильной обратной связью.

4. Численно исследовано асимптотическое поведение обостряющихся решений полулинейных уравнений с различными нелинейными источниками в радиально-симме-тричном случае. Подтверждены результаты качественного анализа о том, что асимптотическая стадия эволюции обостряющихся решений описывается приближенными автомодельными решениями (точными автомодельными решениями уравнений первого порядка типа Гамильтона-Якоби). В случае источника (1 +и)1п2(1 + и)1 показано, что обостряющиеся решения эффективно локализованы в сфере радиуса тг или в кольцевой области толщиной

5. Численно реализованы инвариантные решения, которые описывают направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде со степенными коэффициентами теплопроводности. Так конструктивным образом подтверждено их существование.

6. Расширено понятие собственной функции горения нелинейкой среды введением в рассмотрение инвариантных решений, которые стремятся к нетривиальному го-мотермическому решению, а не к нулю на бесконечности. Это дало возможность получить радиально-несимметричные сложные волны в Н5 -режиме и численно реализовать инвариантные решения, которые описывают распространение спиральных волн в нелинейной изотропной среде. Таким образом показано, что усложнение организации среды может происходить не только в Ь8-режиме за счет локализованных во вне и сходящихся к центру структур , но и в Н5-режиме за счет метаустойчи-вых расходящихся волн горения сложной структуры, в том числе раскручивающихся спиральных волн.

Публикации по теме диссертации:

[Д01] М.И. Бакирова, С.Н. Боршукова, В.А. Дородницын, СР. Свирщев-

ский. О направленном распространении тепла в нелинейной анизотропной среде //Препринт ИПМ АН СССР, No 182, 1985, 12 стр.

[Д02] S.N. Dimova-Borshukowa. Numerical analysis of the directed heat

diffusion in a nonlinear anysotropic medium. Proc. ICCM, Tokyo, 1986, VIII, 78-82.

[ДОЗ] Бакирова М.И., Димова С.Н., Дородницын В.А., Курдюмов СП., Са-

марский А.А., Свирщевский СР., Инвариантные решения уравнений теплопроводности, описывающие направленное распространение горения и спиральные волны в нелинейной среде, ДАН СССР, 299 (2), 1988, 346-350.

[Д04] С.Н. Димова, М.С. Касчиев, СП. Курдюмов. Численный анализ одно-

мерных собственных функций горения нелинейной среды. I. Численный метод и эксперименты. Препринт ОИЯИ, Дубна, РН-88-473,1988,16 стр.

[Д05] С.Н. Димова, М.С. Касчиев, СП. Курдюмов. Численный анализ одно-

мерных собственных функций горения нелинейной среды. И. Некоторые предельные случаи. Препринт ОИЯИ, Дубна, РН-88-831, 1988, 15 стр.

[Д06] С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Численный анализ двумерных собствен-

ных функций горения нелинейной анизотропной среды. Сообщения ОИ-ЯИ, Дубна, РП-88-876, 1988, 9 стр.

[Д07] С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Численный анализ двумерных собствен-

ных функций горения нелинейной среды. Proc. Intern. Conf. Numerical Methods and Applications, Sofia, 1988, Publ. House BASci, Sofia, 1989, 121-125.

[Д08] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, S.P.Kurdiumov. Structure of the

onedimensional eigen functions of a nonlinear heat-conducting medium. Proc. Intern. Conf. Numerical Methods and Applications, Sofia, 1988, Publ. House BASci, Sofia, 1989, 126-130.

[Д09] С.Н. Димова, Касчиев М.С, Курдюмов СП., Численный ана-

лиз собственных функций горения нелинейной среды в радиально-симметричном случае, ЖВМ и МФ, 1989, 29 (6), 61-73.

[Д10] S.N. Dimova, V.A. Galaktionov, D.I. Ivanova. Numerical analysis of blow-

up and degeneracy of a semilinear heat equation. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Ell-89-785, 1989, 20 стр.

[Д11] Д-И. Иванова, С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Численный анализ одно-

мерных собственных функций горения нелинейной среды. III. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Pll-90-ll, 1990, 15 стр.

[Д12] S.N. Dimova, D.I. Ivanova. Finite element method with special mesh

refinement for analysis of single point blow-up solutions. Сообщения ОИ-ЯИ, Дубна, Е11-91-39, 1991, 14 стр.

[Д13] М.Г. Колева, С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Исследование собственных

функций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов. Сообщения ОИЯИ, Дубна, РП-91-552, 1991, 15 стр.

[Д14] С.Н. Димова, М.С. Касчиев, М.Г. Колева. Анализ собственных функ-

ций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов. Математическое моделирование, т.4, 3, 1992,74-83.

[Д15] S.N. Dimova, D.P. Vasileva. On the numerical realization ofblow-up spiral

wave solutions of a nonlinear heat-transfer equation. Доклады БАН, 46, N 5, 1993, 31-34.

[Д16] S.N. Dimova, D.P. Vasileva. Numerical realization of blow-up spiral wave

solutions of a nonlinear heat-transfer equation. Int. J. Num. Meth. Heat Fluid Flow, 4, N 6, 1994, 497-511.

[Д17] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva. Numerical

analysis of nonradially symmetric structures, arising in nonlinear reaction-diffusion processes. In: Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, World Scientific, 1994, 251-256.

[Д18] С.Н. Димова, Касчиев М.С, Колева М.Г., Василева Д.П., Численное

исследование радиально-несимметричных структур в нелинейной теплопроводной среде, Доклады РАН, Москва, 338 (4), 1994, 461-464.

[Д19] S.N. Dimova, D.P. Vasileva. Lumped-mass finite element method with

interpolation of the nonlinear coefficients for a quasilinear heat transfer equation. Numerical Heat Transfer, Part B, 28, 1995, 199-215.

[Д20] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva. Numerical analysis of the blow-up regimes of combustion of two-component nonlinear heat-conducting medium. ЖВМ и МФ, 35 (3), 1995, 303-319.

[Д21] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva. Numerical analysis of radially nonsymmetric blow-up solutions of a nonlinear parabolic problem. J. Сотр. Appl. Math., 97, 1998, 81-97.

[Д22] S.N. Dimova, T.P. Chernogorova. Asymptotically self-similar blow-up for

a quasilinear parabolic equation byond some critical exponentsZ/Доклады BAH, 53, N 12, 2000, 21-24

Список цитируемой литератууры

[1] Hacken G. Synergetics., Springer, 1977.

[2] Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем, М.: Наука, 1994.

[3] Гленсдорф П., Пригожий И. Термодинамическая теория структур, устойчивости, флуктуации, М.: Мир, 1973.

[4] Самарский А. А., Дородницын В. А., Курдюмов С. П., Попов Ю. П. ДАН СССР, т. 216, 6, 1974, стр.1254.

[5] Змитренко Н. В., Курдюмов С. П. Михайлов А. П., Самарский А. А. Препринт ИПМат., Москва, 74, 1976, стр.67.

[6] Nuckolls J., Wood L., Thiessen A., Zimmerman G., Nature, v.239, no.5368, 1972, p.I39

[7] Змитренко Н. В., Курдюмов С. П. Михайлов А. П., Самарский А. А. Письма в ЖЭТФ, т. 26, 9,1977, стр.620-624.

[8] Волосевич П.П., Дегтярев Л.М., Курдюмов СП., Физика плазмы, т.2, 6, 1976, стр.883-897.

[9] Тихонов А. Н. и др. ДАН СССР, т.173, 4, 1967, стр.808.

[10] Самарский А. А., Соболь И. М. ЖВМи МФ, т.З, 4, 1963, стр.18-28.

[11] Wilhelmsson H., Lazaro E. Reaction-difusion Problems in the Physics of Hot Plasmas. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 2001.

[12] Тельковская О. В. Препринт ИАЭ, Москва, 5021/1, 1990, 15 стр.

[13] Гуревич М. И., Тельковская О. В. Препринт ИАЭ, Москва, 5565/1,1992.

[14] Куркина Е. С, Курдюмов С. П., Доклады РАН, т.395, 6, 2004, стр.743748.

[15] Калашников А. С, Успехи Мат. наук, 42, 1987, 135-176.

[16] Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, М.: Наука, 1987.

[17] Галактионов В. А., Дородницын В. А., Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Совр. пробл. матем. Новейшие достижения. Т. 28. ВИНИТИ АН СССР, М., 1986, стр.95-206.

[18] Курдюмов С. П. Современные проблемы матем. физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1983, стр.217-243.

[19] Еленин Г. Г., Курдюмов С. П. Препринт ИПМатем, Москва 106, 1977.

[20] Адъютов М. М., Клоков Ю. А., Михайлов А. П. ДУ, т. 19, 7, 1983, стр.1107-1114.

[21] Курдюмов С. П., Куркина Е. С, Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. ДАН СССР, 1980, т.251, 3, стр.587-591.

[22] Eriksson К., Thomee V. Math. Сотр., v.42, 166, 1984, рр.345-367.

[23] Пузынин И. В., Пузынина Т. П. KFKI-74S4, Будапешт, 1974, стр.93100.

[24] Дородницын В. А. Групповые свойства разностных уравнений. М.: МАКС Пресс, 2000.

[25] Е. Hairer, С. Lubich, G. -Wanner. Geometric Numerical Integration. Structure-preserving Algorithms for ODE. Springer 2002.

[26] С J. Budd, W. Huang, R. D. Russell. SIAM J. SCi. Сотр., v.17, 2, 1996, pp.305-327.

[27] Galaktionov V. A., Vazquez J. L. Comm. Pure Appl. Math., v.L, 1997, pp.l-67.

[28] Bebernes J., Eberly D. Mathematical problems from combustion theory. Appl. Math. Sci. 83, Springer-Verlag, New York, 1989.

[29] Galaktionov V. A., Vazquez J. L. J. Differ. Eq., v.127, 1, 1996, pp.1-40.

[30] Herrero M. A., Velazquez J. L. L. Ann. Inst. Henry Poincare, 10, 1993, pp.131-189.

[31] Дородницын В. А. ЖВМи МФ, т.22, 6, 1982, стр. 1393-1400.

[32] Курдюмов С. П., Куркина Е. С, Потапов А. В., Самарский А. А. ДАН СССР, т.274, 5, 1984, стр. 1071-1075.

[33] Потапов А. Б. Препринт ИПМат., Москва, 8, 1986.

[34] Ахромеева Т. С, Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос, М.: Наука, 1992.

[35] Жидков Е. П., Пузынин И. В., ЖВМ и МФ, 2, 1969, стр.442-447.

Получено 10 сентября 2004 г.

»173 4 3

РНБ Русский фонд

2005-4 12512

Макет Н. А Киселевой

Подписано в печать 14.09.2004. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 3,8- Тираж 100 экз. Заказ № 54591.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pdsjinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение.

• 1 Численные методы

1.1 Численные методы решения автомодельных задач.

1.1.1 Постановка радиально-симметричной задачи

1.1.2 Непрерывный аналог метода Ньютона.

1.1.3 Дискретизация по МКЭ.

Симметричный метод Галеркина

1.1.4 Реализация итерационного процесса

1.1.5 Выбор начальных приближений.

1.1.6 Численное исследование сходимости и точности метода

1.1.7 МКЭ. Несимметричный метод Галеркина

1.2 Численные методы решения параболических задач.

1.2.1 Постановка радиально-симметричной задачи

1.2.2 МКЭ. Симметричный метод Галеркина.

1.2.3 МКЭ. Несимметричный метод Галеркина

1.2.4 Решение системы ОДУ.

1.2.5 Адаптация сетки.

1.2.6 Численное исследование сходимости и точности метода

2 Исследование автомодельных решений и их структурной устойчи вости в радиально-симметричном случае

2.1 Исследование "линейных приближений" при (3-кт+1+0.

2.2 Исследование собственных функций при f3 о- + 1 + 0.

2.2.1 Предельный случай N=1, /?-хт+1+0.

2.2.2 Предельные случаи N=2,3, >-<7+1+0.

2.2.3 Предельный случай сг—>0, /3=<т+

2.3 Исследованиеф. L5-режима за критическими экспонентами

2.3.1 Структурная устойчивость неограниченных автомодельных решений при [3 > [3f

2.3.2 Существованиеф. при Р > /З3.

2.4 Исследование структурной устойчивости а.р. двухкомпонентной среды.

2.4.1 Метод решения автомодельной задачи.

2.4.2 Метод решения параболической задачи.

2.4.3 Исследование структурной устойчивости автомодельных решений

Численное исследование неограниченных решений полулинейных уравнений

3.1 Уравнение с источником Q(u) = (l + ujln^l + u)

3.1.1 Качественные методы построения ПАР.

3.1.2 Метод численного решения.

3.1.3 Численное исследование асимптотического поведения неограниченных решений.

3.2 Уравнение с источником Q(u) = и13.

3.3 Уравнение с источником Q(u) = ехр(и) модель воспламенения твердого горючего)

Численное исследование направленного распространения тепла и спиральных волн в среде

4.1 Анизотропная среда. Направленное распространение тепла и горения.

4.1.1 Численное решение автомодельной задачи.

4.1.2 Численное решение параболической задачи.

4.1.3 Численное исследование эволюции возмущений в анизотропной среде.

4.2 Изотропная среда.

4.2.1 Радиально-несимметричныеф. в LS— режиме.

4.2.2 Радиально-несимметричныеф. в HS— режиме.

• 4.2.3 Линеаризация автомодельного уравнения

4.2.4 Эволюция "линейных приближений"

4.2.5 Численная реализация собственных функций.

4.2.6 Численный метод решения параболической задачи .'.

4.2.7 Численное исследование асимптотического поведения радиально несимметричных волн в HS— режиме.

Основные результаты.

Публикации по теме диссертации.

I. 1. Новые тенденции в современной науке наиболее ярко проявляются в синергетике - междисциплинарном направлении исследований, возникшем в начале 70-х годов и интенсивно развивающемся до сих пор [113], [61], [42], [38], [77], [43], [76]. Одна из главных задач синергетики - это выявление общих принципов, лежащих в основе процессов самоорганизации в системах самой разной природы: физических, технических, биологических, социальных. При всем различии таких систем, все они характеризуются несколькими общими признаками, среди которых определяющими являются открытость, диссипативность и нелинейность [42].

Открытость системы означает наличие в ней обмена веществом и энергией с окружающей средой. При этом процессы обмена происходят не только через границы системы, а в каждой ее точке, т.е., через объемные источники и стоки.

Диссипативность системы означает наличие в ней рассеивающего, размывающего неоднородности фактора (теплопроводность, диффузия, дисперсия, гидродинамика и т.д.).

Нелинейность системы выражается нелинейной зависимостью диссипиру-ющего фактора от состояния среды (коэффициенты теплопроводности, проводимости, вязкости зависят нелинейным образом от температуры, магнитного поля, плотности). В такой среде действие нелинейных объемных источников и стоков создает и может усиливать ее неоднородность. Взаимодействие этих двух нелинейных факторов (с одной стороны сглаживание неоднородностей благодаря диссипации , а с другой - их усиление объемными источниками и стоками) может при определенных условиях приводить к локализации процессов на определенных участках среды - т.е., к возникновению структур, к возникновению самоорганизации. Чтобы отразить влияние диссипации на формирование структур, Пригожин ввёл понятие диссипативной структуры [20]. При этом действие стоков приводит к возникновению стационарных диссипативных структур (стоячие волны, ячейки Бенара), а действие источников - к нестационарным, эволюирующим диссипативным структурам (тепловые структуры, в частности Т-слой [75], [68], бегущие и спиральные волны, вихри).

Благодаря нелинейности в одной и той же среде без изменения её параметров могут возникать разные структуры. Но не структуры произвольные, а свойственные только этой среде. Одна из важнейших задач синергетики - определение спектра структур, которые могут возникать и самоподдерживаться в открытых нелинейных системах.

Начало исследований процессов самоорганизации в открытых нелинейных системах связывают с работой А. Тьюринга [134], посвященной одной модели морфогенеза. Это система типа реакция-диффузия, с линейной диффузией и с нелинейными источниками, зависящими от параметра Л. Численным экспериментом исследовалось поведение системы при начальных данных, близких к пространственно однородному решению системы (так называемой "термодинамической ветви"). Оказалось, есть такое критическое значение параметра Л = Ло , что когда Л < Ао, решение стремится к пространственно однородному. При Л = Л0 у системы появляются два новых стационарных решения. При Л > Л0 возмущения нарастают, в среде возникает стационарная структура - неоднородное по пространству стационарное распределение. При этом возможен выход на одну из двух стационарных структур в зависимости от флуктуаций в начальных данных. Численные эксперименты показали, что с целого класса начальных данных происходит выход на одну и ту же стационарную структуру - т.е. происходит забывание деталей начальных данных, типичное для открытых диссипативных систем. Это явление получило название "неустойчивости Тьюринга".

Оказалось, что неустойчивость Тьюринга характерна для большого класса нелинейных моделей физики, химии, биологии. Принципиальная роль флуктуаций в нелинейных системах, которые усиливаются и могут приводить к возникновению структур, к возникновению макроскопического порядка, отмечалось в книге Нико-лиса и Пригожина [61]. Путь развития таких систем может быть неединственным и, зная точку Ао (точку бифуркации), можно воздействовать на их эволюцию, можно управлять ими.

Работа Тьюринга - это пример того, как численный эксперимент, поставленный на содержательной модели, привел к открытию, которое инициировало исследования по усложнению организации в открытых нелинейных диссипативных средах, приводя к созданию теории самоорганизации. Число работ и книг в этой области непрерывно увеличивается. Отметим Шпрингеровскую серию по синергетике, где, начиная с 1979 г., вышло около 100 книг под редакцией Г. Хакена.

2. Важный класс диссипативных структур образуют сильно нестационарные структуры [36]. Они возникают в результате сверхбыстрых процессов в нелинейных открытых системах с объемными источниками (так называемые системы с положительной нелинейной обратной связью). Характерные величины в таких процессах ( такие как температура, концентрация, энергия ) возрастают на несколько порядков за конечное время. Это время принято называть временем обострения, а сам процесс - режимом с обострением (blow-up).

Проблема режимов с обострением поставлена в 1940-х и 50-х годах в связи с теорией цепных реакций Семенова и с теорией горения (Зельдович, Баренблатт, Либрович). Их интенсивное изучение в 70-х годах началось благодаря предложенному на основе численных экспериментов [129] процессу сверхсжатия центральных частей капли из дейтерия и трития путем ее облучения профилированным во времени лазерным импульсом. Режимы с обострением рассматриваются в области физики плазмы [45], [35], [124], [136], [137], лазерного термоядерного синтеза [8], магнитной гидродинамики [75], астрофизики [90], теории гравитации [83], [97]. Методология решения "задач на обострение" позволяет с нетрадиционной точки зрения рассмотреть ряд классических задач [133]. Именно, она открывает новые подходы к задачам коллапса (быстрое сжатие вещества), химической кинетики, метеорологии (катастрофические явления в атмосфере Земли), экологии (рост и вымирание биологических популяций), эпидемиологии (вспышка инфекционных заболеваний), экономики (феномен бурного экономического развития) и т.д.

3. Механизмы самоорганизации можно проследить, изучая сравнительно простые на внешний вид математические модели. Вся синергетика работает с несколькими такими моделями (одна из них была описана выше) - это нелинейные уравнения или системы уравнений типа реакция-диффузия с нелинейными источниками и стоками [122], [120], [121], [114], [112].

Одна из самых богатых таких моделей - это нелинейное уравнение теплопроводности с источником. В самом общем виде оно выглядит так: N щ = + Q{u), t > 0, х £ Rn (0.1) г=1 и моделирует процессы распространения тепла и горения в среде с коэффициентами теплопроводности к{(и) > 0 и источником Q{u) > 0, которые являются нелинейными функциями температуры u(t,x) > 0.

Модели вида (0.1) в различном контексте изучались многими исследователями. Большее количество работ посвящено полулинейным уравнениям: к{(и) = 1, Q(u) = \еи (уравнение Франка-Каменецкого), Q(u) = и13, /3 > 1. После пионерской работы Н. Fujita (1966 г.), они и их обобщения изучались интенсивно многими авторами. Среди них: J. Bebernes, A. Bressan, Н. Brezis, D. Eberly, A. Friedman, В.А. Галактионов, И.М. Гельфанд, М.А. Herrero, R. Kohn, Л.А. Лепин, С.А. Посашков, А.А. Самарский, J.L. Vazquez, L.J.L. Velazquez. Монография [80] содержит обширную библиографию и отражает часть этих исследований.

Квазилинейное уравнение изучалось в работах D.G. Aronson, A. Friedman, Н.А. Levine, S. Kaplan, L.A. Pelitier и др. Большой вклад ученых русской школы. Необычный эффект локализации граничных режимов с обострением обнаружен численным экспериментом в работе А. А. Самарского и М. И. Соболя 1963 года [71]. Проблема локализации в квазилинейных уравнениях с источником поставлена С.П. Курдюмовым [45] в 1974 г. Работы И.М. Гельфанда, А.С. Калашникова, ученых школы А.А. Самарского и С. П. Курдюмова (их работы цитированы дальше) посвящены исследованию интереснейших проблем физического и математического характера, связанных с этой моделью или ее обобщениями. Среди них: локализация (строгая и эффективная) процесса горения в пространстве, развитие разных типов режимов с обострением, возникновение структур - бегущие и стоячие волны, сложные структуры с различной степенью симметрии. Для успеха этих исследований решающую роль сыграло сочетание вычислительного эксперимента [67] с применением и развитием качественных и аналитических методов теории обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений, теорий групп Ли и Ли-Бэклунда. Монография [69] отражает многие из результатов, полученных до 1986-ого года, обзор [109] содержит ссылки на более поздние работы.

Особое место в этих исследованиях занимает нахождение и изучение разных типов автомодельных и инвариантно-групповых решений уравнения (0.1) со степенными нелинейности ми: кг{и) = и°\ Q(u) = ul3 (0.2)

Покажем, что этот выбор не случаен.

Во первых, такие зависимости от температуры встречаются в многих реальных процессах [34], [5], [138]. Например, в случае о* = а = 2.5, /3 < 5.2, уравнение (0.1) моделирует термоядерное горение с электронной теплопроводностью в плазме; £7 = 0, 2 < /? < 3 соответствует моделям автокаталлитических процессов с диффузией в химических реакторах; <т«6.5 соответствует радиационной теплопроводности высокотемпературной плазмы в звездах и т.д.

Во вторых, показано [24],[25], что на классе степенных функций симметрия уравнения (0.1) в определенном смысле максимальна, оно допускает богатый набор инвариантно-групповых решений. По существу все известные до сих пор дис-сипативные структуры с математической точки зрения являются инвариантными или частично инвариантными решениями нелинейных уравнений, т.е., наиболее симметричными решениями. Например, стационарные диссипативные структуры являются частным случаем инвариантных решений - стационарными решениями; автоволновые структуры с хорошей точностью представимы бегущими волнами. Нестационарные диссипативные структуры режимов с обострением, рассматриваемые далее, связаны со степенными автомодельными решениями или с более общими инвариантными решениями, когда по радиусу автомодельность степенная, а по углу - бегущая волна. Исследования в области диссипативных структур дают основания считать, что именно инвариантные решения описывают "аттракторы" эволюции диссипативных структур и тем самым характеризуют важные внутренние свойства нелинейной диссипативной среды.

В третьих, этот богатый запас инвариантных решений уравнения (0.1) со степенными нелинейностями необходим для успешного применения методов исследования того же уравнения в случае более общих зависимостей к(и), Q(u). С помощью методов операторного сравнения [12] и стационарных состояний [16] удается исследовать свойства решений (таких как локализация, неограниченность, асимптотическое поведение) целых классов более общих нелинейных уравнений

17]. С помощью метода приближенных автомодельных решений (ПАР),

18], [108], [106], [17], развитым в работах А. А. Самарского и В. А. Галактио-нова, удается поставить в соответствии исходным уравнениям некоторые другие, базисные уравнения. Последние могут иметь инвариантные решения даже когда исходные уравнения не имеют. При этом базисные уравнения могут существенно отличаться от исходных, и тем не менее на асимптотической стадии решение исходной задачи стремится к инвариантным решениям базисных уравнений.

И наконец, только в случае степенных коэффициентов есть нужные соотношения между диссипацией и источником, при которых происходит их согласование. В результате этого возникают сложные структуры, более того, возникает спектр структур, которые горят согласованно, с одним моментом обострения, или как говорят, в одном темпомире [123].

В отличии от моделей, где разнообразие возникает за счет изменения параметров системы (параметр А в модели Тьюринга [134], параметры ci и Сг в уравнении Курамото-Судзуки) [122], в рассматриваемой здесь модели разнообразие, множество различных путей эволюции существует при одних и тех же параметрах. Чтобы установить в системе эту сложную организацию, чтобы вывести ее на один из возможных путей эволюции, надо знать что заложено в ней и спровоцировать этот путь, т.е. возбудить резонансно систему заданием начальных данных из области и притяжения аттракторов-структур.

4. Основная цель предлагаемой работы - это исследование условий возникновения и эволюции сильно нестационарных тепловых структур в среде, описываемой уравнением нелинейной теплопроводности со степенными нелинейностями и некоторыми его модификациями. В частности - выявление и исследование возможных способов сложной организации нелинейной диссипативной среды. И так как исследования проводятся в основном с помощью вычислительного эксперимента, то вторая цель - это создание и апробирование эффективных вычислительных алгоритмов для рассматриваемого класса задач.

Эта работа является продолжением и развитием многих исследований в этом направлении (см. [69], [15], [46] и цитированную там литературу) и тесно связана с ними. Чтобы изложить полученные результаты, введем основные используемые понятия на примере задачи Коши для уравнения (0.1), т.е., задачи с начальными данными: и(0,х) = щ(х) > 0, х е Rn, supu0(x) < оо.

Для уравнений с источником глобальное решение задачи Коши определено и ограничено в R^ при всех t. Неограниченное (обостряющееся) решение определено в RN на конечном интервале [0, Т0), причем lim^^- sup u(t, х) = +оо.

0 хеш"

Время Т0 существования решения называется временем обострения.

Неограниченное решение задачи Коши с финитными начальными данными щ(х) называется локализованным (в строгом смысле), если множество {х Е Rn : \u(Tq,x) := Wnt^T- u(t,x) > 0} ограничено в ~RN . Множество VLl называется областью локализации. Если VLl неограничено, то локализация отсутствует. Локализованное в строгом смысле решение неограничено возрастает при t —»• Т0~ в области uL = {х е Rn : КГ0-,аО = оо} (0.3) конечных размеров, в общем случае отличной от QL .

Неограниченное решение называется эффективно локализованным, если множество (0.3) ограничено. Если же и^ неограничено, то эффективная локализация отсутствует.

Если при отсутствии теплопроводности в среде (ki(u) = 0) выполнено условие то решение задачи Коши неограничено [69]. Нагрев среды происходит в режиме с обострением, при этом в каждой точке среды с различным моментом обострения в зависимости от ее начальной температуры.

Если при отсутствии источника тепла (Q(u) = 0) выполнено условие то в случае финитного начального возмущения имеет место конечная скорость распространения тепла в абсолютно холодной среде [69].

Для выполнения условий (0.4) и (0.5) в случае степенных зависимостей (0.2) достаточно потребовать Oi > 0, (3 > 1. Тогда А;г(0) = 0 и уравнение (0.1) вырождающееся. В общем случае оно имеет обобщенное решение, которое на поверхности вырождения {и = 0} может иметь разрыв производных по пространственным переменным. Случай а» = 0 будет рассмотрен отдельно.

5. Базисные режимы с обострением и связанные с ним понятия поясним на самой простой модели вида (0.1), когда предполагается радиальная симметрия. В этом случае задача Коши с финитными начальными данными формулируется так: ux(t, 0) = 0, и(0, х) = и0(х) >0, 0 < х < I, и0{х) = 0, х>1 (0.7) Если начальная температура щ(х) удовлетворяет дополнительным условиям щ(х) G C(R+), №'o)(0) = о,

0.4) ut = -^zl(xN-lu°ux)x +U13, х е t > 0, а > 0, (3 > 1, (0.6) то существует единственное локальное (по времени) обобщенное решение и = u(t,r) задачи (О.б)-(О.Т), которое является неотрицательной непрерывной функцией в х (О,Г), где Т 6 (0, оо] - конечное или бесконечное время существования решения (см. список литературы в обзоре [37]). При этом u(t,x) является классическим решением в окрестности любой точки (£, х), где u(t, х) является строго положительным. В точках вырождения оно может не иметь необходимой гладкости, но тепловой поток —xN~1u<rux должен быть непрерывным. Это означает, что иаих = 0 всюду, где и — 0.

Уравнение (0.6) допускает автомодельное решение (а.р.) [69]: ua(t, х) = mea{0 (0.8) m = Х/Ф) = x/(l- m — (0.9)

Оно соответствует начальным данным ua(0,x) = в{х). Функция ip{t) задает амплитуду решения, функция (p(t) - полуширину. Функцию в(£) > 0, определяющую пространственно-временную структуру автомодельного решения, согласно принятой терминологии [46] называют собственной функцией (с.ф.) горения нелинейной среды, описываемой уравнением (0.6). Далее для краткости используется название собственная функция. Она удовлетворяет в вырождающемуся обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ):

-^т (€"-'W + ^гщС. + р^ВД* -Ч-='0 «"0) и краевым условиям:

01(0) = 0, 0а(оо) = 0, ваав'а = 0, если ва = 0. (0.11)

Уравнение (0.10) имеет два решения, являющимися константами: 0а(£) = 0 (тривиальное решение) и

В соответствии с автомодельным законом (0.8), второму решению отвечает процесс однородного по пространству (гомотермического) горения среды в режиме с обострением. Эти два решения играют существенную роль при анализе различных решений уравнения (0.10).

Так как нас интересуют режимы с обострением, будем предполагать То > 0. Если задача (0.10), (0.11) имеет решение для некоторого Т0 = т0д , то она имеет решение и при любом другом значении Т0 = т0г2 [26]: гп \ 1Д/3-1) / /гр \т \

Это дает возможность без ограничения общности положить

Т0 = ^ ^, и тем самым, б?# = 1. (0-12)

Тогда уравнение (0.10) будет:

L(*«) = -^(е-'вЖУ + ^"2" Va + 0a - = 0. (0.13)

Анализ решений задачи (0.13), (0.11), проведенный в работах [26], [70], [44], [60], [27], [3], [2], [1], [48], [49] (см. также [69], Глава IV), дает следующие результаты: При любых 1 < /5 < а + 1 существует финитное решение ва(£) > 0. При р < а + 1, n > 1 и р = а + 1, iV > 1 задача не имеет немонотонных решений. Единственность решения доказана для случая р < а + 1, n = 1. При р > а + 1, n > 1 задача не имеет финитных решений. Если а + 1<Р < pa = (а + , (Ps - критическая экспонента

Соболева), то задача имеет по крайней мере одно решение 0а(О > 0 в R+, которое строго монотонно убывает по £ и имеет асимптотику ва(0 = CaC3/U,-"l)[l + "(0]. "(О - 0, £ - ОО, (0.14) са = са(сг, р, n) - постоянная. Позже [107] интервал по р был расширен. При n — 1, р > а + i задача имеет не менее к = -[-а}~ 1, а= >1 (0.15) решений, различающихся по числу экстремумов при f £ [0,оо) (см. [3], [2]). Обозначим их через 0a,i(O> ® = 1,2,. К. На основе линейного анализа [51] и некоторых численных результатов в работах [48],[49] было высказано предположение, что число различных решений 0О,»(£) при Р > а + 1 и N > 1 равно К + 1. В случае N = 1 этот результат был уточнен недавно [57] бифуркационным анализом: число решений дается формулой К = [а], если а - нецелое, и К — а — 1, если а - целое. Для ЛГ = 2, 3 бифуркационный анализ дает ту же оценку числа решений, но при )Зйа + 1, /3 > а + 1 она нарушается (см. Раздел 2.2.2. и [57]).

На основе этих результатов устанавливаются базисные режимы горения среды, описываемыми а.р. (0.8)-(0.9). Чтобы характеризовать их, введем еще следующие понятия: полуширина xs = xs{t), которая для монотонных по х решений с единственным максимумом в точке х — 0 определяется уравнением u(t, xs) — u(t, 0)/2, и точка фронта xf. u(t,Xf) = 0, uaux{t,xj) = 0.

5.1. HS-режим с обострением. Он реализуется при 1 < (3 < а + 1, когда с ростом температуры диффузия тепла происходит более интенсивно, чем нагрев среды. Полуширина и фронт стремятся к бесконечности; формируется тепловая волна, которая за время То охватывает все пространство. Процесс с обострением не локализован:

5.2. S-режим с обострением, /? = <7 + 1. Диффузия тепла и интенсивность нагрева согласуются так, что приводят к локализацию процесса в области диаметром LS) называемой "фундаментальной длиной" S -режима. Полуширина постоянна, внутри Г2l среда нагревается до бесконечной температуры за время Т0 : хя = const, Xf = Ls/2. В случае N = 1 с.ф. ва(£) найдена [36] в явном виде:

В дальнейшем на решение (0.16) будем ссылаться как на "элементарное решение" S -режима при N — 1. Отметим, что в этом случае решением уравнеmes = mes ui = оо, xs —* оо, Xj —» оо, t —> Тс S

0.16)

Ls = diam QL = Xs = Ls arccos((2~§)/тг). ния (0.13) является и всякая функция, составленная из к элементарных решений, к — 1,2,., т.е. уравнение (0.13) имеет счетное число различных решений.

5.3. LS -режим с обострением, а + 1 < 0 < (3f = a+ l + , Pf - критическая экспонента Фуджита [125]. Интенсивность источника сильнее, чем диффузия. Фронт автомодельного решения на бесконечности (0.14), полуширина сокращается и среда нагревается до бесконечной температуры за время То только в одной точке:

В соответствии с различными решениями 0a,i(£), i — 1,2,., среда горит в виде простых (г = 1) и сложных структур (г > 1) с одним и тем же моментом обострения. В начальный момент времени каждая структура "содержит" определенное количество "тепловой энергии"

Таким образом с.ф. 9a,i{0 определяют конечное число выделенных "энергетических уровней", существующих по автомодельному закону (0.8) в течении одного и того же интервала времени То .

6. Чтобы показать значимость автомодельных решений как аттракторов широких классов других решений того же уравнения, введем еще несколько понятий. В случае произвольных финитных начальных данных щ(х) (0.7) вводится в рассмотрении автомодельное представление решения u(t,x) задачи (0.6), (0.7), определяемое в каждый момент времени в соответствии с видом а.р. (0.8), (0.9):

Автомодельное решение ua(t,x) называется асимптотически устойчивым, если существует достаточно широкий класс решений u(t,x) задачи (0.6), (0.7) с начальными данными щ ф 0а(х), автомодельные представления 0(i, £) которых стремятся в некоторой норме к 0а(£) когда t —> Т0~ : mes u>l = 0, xs —► 0, t —> Тс о • e(t,0 = (1 - t/T0)*b и - t/To)^) = i>-\t)u{t,&{t)) (0.17)

0.18)

Отметим, что отсутствие устойчивости неограниченных (сингулярных по времени) решений по отношению к малым возмущениям начальной функции вызывает принципиальные трудности при теоретическом исследовании их пространственно-временной структуры. Поэтому и вопросы асимптотической устойчивости автомодельных решений даже при N — 1 долго оставались открытыми.

Асимптотическая устойчивость а.р. (0.8), (0.9) доказана [69], [11] в случае N = 1, Р = а + 1 при следующих ограничениях на финитные начальные данные: мо(—х) = и0(х), х G , щ(х) не возрастает при х > 0 . Доказано, что сходимость в (0.18) равномерная. Указанные ограничения на начальную функцию сняты для случая Р < a + l,N = 1 в [105], где тоже доказана равномерная сходимость, когда Uq Липшиц непрерывна. Для случая LS -режима (/? > сг + 1) вопрос об асимптотической устойчивости а.р. оставался открытым до 1995 года. Было показано однако [10], что предельное распределение, которое формирует автомодельное решение иа(Т0~, х) = ca\x\-2(0~a-l\ са = const > 0, (0.19) характерно для широкого класса неавтомодельных решений. Кроме того, качественная теория нестационарного осреднения [69] предсказывала, что при Р < Pf , когда ua(t, х) G Li(M+) для t <Т0, а.р. с единственным максимумом (монотонное при х € , отвечающее 0a,i(£)) асимптотически устойчиво. Для Р > Pf (когда ua(t, г) £ Li(M+)) та же теория предсказывала возможность неавтомодельного поведения обостряющихся решений с конечной энергией. Численные эксперименты, проделанные в работах [26], [49], подтверждают результат качественной теории в случае Р < Pf.

Численные эксперименты для случая /?>/?/ автору не были известны.

6.1. Хотя асимптотическая устойчивость а.р. (0.8), (0.9) при Р < а + 1 докаг зана при ограничениях на начальное возмущение щ(х), численные эксперименты в работах [36],[26], [48],[49] показывают, что она имеет место при практически произвольных финитных начальных данных.

При ст+1 < Р < Pf формируется локализованная структура на фундаментальной длине Lls , которая зависит не только от параметров среды (как в S -режиме, см. (0.16)), а и от энергии начального возмущения. Для iV — 1, /? < сг + 3 она найдена в [36]:

Здесь Wo = сшо.тах, где а = suppit0(x), м0)тах = тах1ио(з:)- Следовательно, в LS -режиме начальные данные "не забываются", как в S и HS -режиме. Строгая локализация процесса горения в LS-режиме при финитных начальных возмущениях простой структуры доказана на основе метода операторного сравнения [12], на основе теоремы сравнения по пересечениям [19] и методом стационарных состояний [16].

6.2. В определении автомодельного представления (0.17) участвует время обострения То- И если для теоретических исследований представление (0.17) вполне естественно, то для численного исследования асимптотической устойчивости оно непригодно. Проблема в том, что при неавтомодельных начальных данных и(0,х) ф 0а(х) время обострения Т0 вообще не известно. Даже в случае точных автомодельных данных = а + I, N = 1) из-за вычислительных погрешностей при решении параболической задачи (0.6), (0.7) приближённое время обострения То будет отличаться от точного То . Тогда решение u(t,x) и функции tp(t), tp(t) в автомодельном представлении (0.17) определены на различных интервалах времени и это представление не имеет смысла. По этой причине в [26] был предложен и численно реализован (при N = 1) другой подход, позволяющий исследовать структурную устойчивость неограниченных а.р. в специальной "автомодельной" норме, согласованной при каждом t с геометрической формой структуры и не использующей в явном виде времени обострения Т0. Он сводится к следующему. Вводится новое автомодельное представление в соответствии со структурой а.р. ua(t,x) :

Автомодельное решение ua(t,x) называется структурно устойчивым, если (0.18) выполняется для автомодельных представлений ©(£,£), заданных через (0.20).

0.20)

Понятие структурной устойчивости, т.е. сохранение во времени характерной для данной структуры формы, скорости роста, локализованное™ в пространстве, тесно связано с понятием инвариантности решения при преобразованиях, затрагивающих время [15]. Это обуславливает целесообразности его использования при исследовании асимптотического поведения неограниченных решений, растущих в режиме с обострением.

Для автомодельных решений со сложной пространственно-временной структурой полезной является еще одно понятие устойчивости.

Автомодельное решение ua(t,x) называется метаустойчивым, если для каждого е > 0 существует класс начальных данных и(0,х) ~ ва(х) и время Т, Т0—Т<^Т0 таких, что для автомодельных представлений (0.20) соответствующих решений выполнялось

II е(*,0 - 0а(О ||< е, для 0 < t < Т. (0.21)

Это означает, что метаустойчивое автомодельное решение сохраняет при эволюции свою сложную пространственно-временную структуру до времени Т, очень близкое к времени обострения Го. После этого оно может выродиться в одну или несколько простых структур.

6.3. Вернемся к автомодельному решению LS-режима. Оно имеет фронт на бесконечности, а при финитных начальных возмущениях процесс строго локализован. Почему его рассматривают, если оно качественно искажено - благодаря локализации от него отрезается конечная или даже бесконечная (при р > pj) энергия? Во первых, автомодельная обработка по формуле (0.20) решения задачи (0.6), (0.7) показывает, что а.р. правильно передает его поведение при t —> Т0~ в центральной области. Кроме того при автомодельной обработке обнаруживается "протягивание автомодельного хвоста" за пределом области локализации и при t —> Т0 описывается всё большая и большая часть а.р. Во вторых, на его основе удается построить сложные структуры LS-режима и раскрыть механизм объединения простых структур в сложные, т.е. открыть своеобразный "принцип суперпозиции" в нелинейных задачах [56].

После введения основных понятий сформулируем рассматриваемые в работе проблемы.

II. 1. Предлагаемая работа посвящена решению следующих проблем.

1.1. Исследование предельного случая /? —> а + 1 + 0, т.е. стремление LS-режима к S-режиму в радиального симметричном случае. Это важно по двум причинам. Во первых, (3 ~ а + 1,(3 > сг+1 означает возможность усложнения организации среды при небольших нелинейностях, которые чаще встречаются в реальных средах. Во вторых, это исследование интересно для разрешения парадокса в случае N > 1: в S -режиме (/5 = сг + 1) имеется 1 с.ф. с простой структурой (с одним максимумом), а в LS-режиме при (3 а -1-1 + 0 - стремящееся к бесконечности число с.ф. согласно формуле (0.15).

1.2. Исследование асимптотического поведения неограниченных а.р. LS-режима при (3 > pf , когда иа £ L^R1*).

1.3. Конструирование решений а.з. при соотношениях параметров за критическими экспонентами:

3 > ft, N > 3;

Р>0и = (сг + 1)(1 + 4/(W - 4 - 2ч/ЛГЛ)), N > И;

3(<7 + 1) + (a2(N - 10)2 + 2а{Ьа - 1)(N - 10) + 9(а + I)2)1/2 р > рр N - 10 ' и исследование их структурной устойчивости.

1.4. Исследование структурной устойчивости неограниченных а.р. степенного типа системы нелинейных параболических уравнений с источниками, которая описывает процессы теплопроводности и горения двухкомпонентной среды: и = 17ГТ(^1«Г«1х)х X е N = 1,2,3, я = -^пО^Ч2^*)* + ffi > о,А- > 1, (°-22) X

7i > 0,г= 1,2. i. = дЛьШО = (1 - £ = ®/(1 - 4Г,

2а = 92(Ш0 = (1 - ^гГ202(О, гщ < 0, г = 1,2,

Q * гпг = 04 = 7г + 1 - pi, г = 1, 2, р = (/?! - 1)(/?2 - 1) - 7l72, р тп\а\ + 1 т2сг2 + 1 га = -о- = -о-» <71 (72 + 1-02) = 0*2(71 + 1 - Pi)

А) = + r*ffx - тпфх - е^ву = о,

L2{6ue2) = -^Ые"-1^)' + п£в'2 - гп2в2 - = О Ит^"1^ = 0, Ит Bi = 0, i = 1,2.

1—0 |-»оо

0.23)

0.24)

0.25)

В случае N = 1 автомодельное решение (0.23) и задача (0.24), (0.25) рассматривались в работах [58], [50], [54], [55].

1.5. Численное исследование неограниченных решений полулинейных уравнений теплопроводности (а — 0) t = -JTT^^^x + Q(u), х € R+, t > 0, N=1,2,3 Г

Q(u) = (l + u)ln^(l + u), p > 1, Q{u) = vP

0.26)

0.27) (0.28)

Q{u) = eu (0.29)

1.6. Численная реализация степенных a.p. [25], описывающих направленное распространение тепла и горения в двумерной анизотропной среде с различными коэффициентами теплопроводности в разных направлениях: щ = (uffluXl)Xl + {u°2uX2)X2 + г/, х= (х1,х2) е R2,

0.30) о 1 > 0, <т2 > 0, Р> 1 ua(t,xux2) = (1 - i-)-7»iT0e(£), £ = е R2,

10 = 1-i-)^, тг = г = 1,2,

Jo ^

0.31) ад - £ (-1 (* g)++''* - ■* <a32>

89

-f =0, г =1,2; oo. (0.33) €.=o

1.7. Численная реализация а.р., описывающих спиральное распространение неоднородностей в двумерной изотропной среде [15]: щ = ^(ruaur)r + + и0, а > 0, (3 > 1; (0.34) e(t, г, <р) = (1 - ±)-*±т0в(£ф), (0.35)

Jo t = ф = <р + -£т1п(1-±), m = (0.36)

L((?a) = af >" ёдф^^ + —2—(аз7)

-соъ; + 0а - % = о, То 1 дф а а ' и (з-\

Здесь с0 0 - параметр семейства решений. Из (0.36) непосредственно следует езф = resip = const, s = ^ ~'7 ~ 1 (0.38)

2с0

Это означает, что траектории неоднородностей в среде (например, локальных максимумов) будут логарифмическими спиралями при /3 а + 1 или окружностями при Р = а + 1. Направление движения для фиксированного Со , например с0 > 0, зависит от соотношения а и /3 : при (3 > а + 1 - к центру (скручивающиеся спирали), при Р < а + 1 - от центра (раскручивающиеся спирали).

В процессе решения этой задачи возникла идея поиска радиально несимметричных волн в HS -режиме при со = 0.

2. Решение поставленных проблем связано с численным решением как задач Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравнений (0.6), (0.34), (0.30), системы таких уравнений (0.22) и полулинейных уравнений (0.26)-(0.29), так и краевых задач для квазилинейных ОДУ (0.10), системы таких уравнений (0.24) и квазилинейных эллиптических уравнений (0.32), (0.37).

Сформулируем трудности численного решения этих задач.

2.1. Общие трудности как в случае параболических, так и автомодельных задач, это: нелинейность; зависимость от нескольких параметров (как правило -трех); недостаточная гладкость решений на поверхности вырождения эллиптического оператора, где решения равняются нулю. В случае радиальной симметрии при N > 1 и в полярных координатах в двумерном случае к ним добавляется особенность при х = 0 (£ = 0).

2.2. Что касается автомодельных задач, то самая существенная трудность - это неединственность решения, и это отличает их существенно от классических задач с единственным решением. Возникают следующие проблемы:

- найти "хорошее" приближение к каждому решению;

- сконструировать итерационный метод, который: сходится всегда к искомому решению (соответствующему начальному приближению); сходится быстро; обеспечивает достаточную точность;

- автоматизировать процесс вычислений так, чтобы единообразно и быстро находить все различные решения при данных параметрах задачи (a,j3,N);

- определить априори куда перенести условия из бесконечности (например (0.11)), чтобы асимптотика (0.14) выполнялась (отметим, что чем больше номер с.ф., тем больше константа Са в этой асимптотике).

2.3. Основная трудность в параболических задачах - это неограниченность решений, при этом неограниченность в изолированной точке, в конечной области или во всем пространстве. И еще связанные с ней: 1) это подвижная граница (области), на которой решение не во всех случаях достаточно гладкое; 2) неустойчивость неограниченных решений.

2.4. Для преодоления проблемы начальных приближений был использован развитый и использованный в работах [26], [70], [27], [48], [53], [64], подход "линеаризации" автомодельного уравнения относительно гомотермического решения . Отметим, что этот подход "родился" в численном эксперименте [26]. "Простреливая" значение с.ф. LS -режима при £ = 0, исходя из асимптотики (0.14), было обнаружено, что есть конечный набор констант Са в асимптотике, которые дают решения с нулевым потоком при £ = 0. Оказалось, что все они в области своей немонотонности колеблются около гомотермического решения, при этом для рассматриваемых параметров а, /3, N = I эти колебания были достаточно малыми. Это породило идею линеаризации автомодельного уравнения относительно вн для анализа поведения с.ф. в области её немонотонности, а потом и идею сшивания [26] решений линеаризованного уравнения с асимптотикой (0.14) вблизи второго пространственно-однородного решения. Этот подход был использован потом при А^ > 1 [48],[49], в существенно двумерном случае [64] при исследовании с.ф. со сложной симметрией, в случае двухкомпонентной среды [58], [50], [54], [55]. Этот подход использован и здесь при решении всех автомодельных задач.

Было обнаружено [Д4], что при (3 —► сг+1+0 гипотеза о малых колебаниях, на которой он основан, не выполняется. Было проведено аналитическое и численное исследование [Д5], [Д11] "линейных приближений" в радиально симметричном случае при N = 1,2,3, на основании которого установлено, что даже в случае, когда они становятся отрицательными, все равно правильно передают число пересечений с вн и, тем самым, характер немонотонности с.ф. Были даны рекомендации об их использовании в таких случаях [Д9], [Д11].

3. Для решения автомодельной задачи (0.13), (0.11) при N = 1 в работе [26] был использован метод стрельбы. Он использован и в работе [57] при N> 1. В большинстве работ, где есть численные результаты решения автомодельных задач (0.13), (0.11) и (0.37) для случая Со = 0, нет описания численных методов. Сказано только, что использованы неявные разностные схемы и итерационный процесс типа метода Ньютона. В работе [64], где решалась двумерная а.з. (0.37) при Со = 0 было обнаружено, что итерационный метод типа Ньютона не сходится во всех случаях и была поставлена задача разработать более подходящие итерационные методы.

В наших работах ([Д4]-[Д9],[Д11],[Д13],[Д14],[Д17],[Д18]) использован непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН). Предложен Гавуриным [9], он был развит в работах [30], [31], [66] и применялся при решении многих нелинейных задач физики. Линейные уравнения НАМН (или системы уравнений в случае двухкомпонентной среды) решаются методом конечных элементов (МКЭ) на основе дифференциальных задач в слабой форме. Эта комбинация НАМН с МКЭ также эффективно использована для решения задач нелинейной теории поля [39],[40] и в пакетах программ [78] для решения нелинейных краевых задач и задач на собственные значения. Линейная система уравнений МКЭ с несимметричной матрицей (оператор в уравнении НАМН несамосопряжён) решается LU разложением матрицы системы. Численное исследование точности реализованного метода указывает на сверхсходимость метода (порядок точности 0(h4)) при использовании квадратичных элементов в радиально-симметричном случае и оптимальный порядок точности (0(h2)) при использовании линейных элементов в том же случае и билинейных элементов в двумерном случае. Для достижения этой точности в окрестности начала координат в радиально-симметричном случае при размерности пространства N > 3 реализован несимметричный метод Галеркина [103].

Вычисление решений линеаризованного автомодельного уравнения и их сшивание с известной асимптотикой реализовано программно, так что процесс полностью автоматизирован. Созданное программное обеспечение дает возможность вычислять с.ф. для всех видов режимов с обострением, при этом в случае LS-режима задается только номер желаемой с.ф. Отметим, что "линейные приближения" к спиральным с.ф. (решений уравнения (0.37) при cq ф 0) выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию и функции Бесселя комплексного аргумента, для вычисления которых использованы рекуррентные техники и рациональные аппроксимации, как и известные асимптотические разложения [Д16].

4. Для решения параболических задач использован МКЭ с концентрацией матрицы массы и интерполированием нелинейных коэффициентов по базису пространства КЭ [Д1]-[ДЗ], [Д10], [Д12], [Д15]-[Д22]. Полученная система ОДУ решается явным методом типа Рунге-Кутта [62] второго порядка точности и расширенной областью устойчивости. Автоматический выбор шага обеспечивает выполнение слабого принципа максимума и, в случае глобальных решений, достижения заданной точности б в конце интервала интегрирования. Особое достоинство разработанных методов - это использование динамических адаптивных сеток в LS -режиме сгущающихся сеток) и в HS -режиме (разреживающихся сеток с сохранением числа узлов), согласованных с автомодельными и приближенными автомодельными законами. Это обеспечивает достоверность результатов исследования структурной устойчивости и метаустойчивости автомодельных решений. Согласованность выражается в том, что пространственные шаги сетки меняются так, чтобы соответствующие шаги по автомодельным переменным были ограниченными некой подходящей величиной: снизу - для HS -режима и сверху - для LS -режима. Достоинство этого подхода в том, что для сетки не решается дополнительная дифференциальная задача. Отметим, что эта идея - использовать инвариантные свойства решений дифференциальных уравнений при разработке дискретных методов - лежит в основе нового важного направления в вычислительной математике - геометрическое интегрирование, которому посвящены много работ и монографий (см. [98], [23], [115], [118], [83]-[87] и ссылки в них). Вложение структурных свойств (геометрии, разных видов симметрий, законов сохранения) непрерывных задач отмечалось как одна из основных тем на Конференции "Основы вычислительной математики" в Минеаполисе, 2002 г.

В работе [36] отмечалось, что сохранение автомодельности сложных с.ф. в . радиально-симметричном случае (например, вторых) имеет место до 90%То . В работе [64], где исследуются двумерные с.ф. со сложной симметрией, отмечено, что время существования сложной структуры составляет 99%То, и за это время максимум с.ф. успевает вырасти в 10-100 раз. Наши численные эксперименты [Д19] дают сохранение автомодельности второй с.ф. LS -режима при N = 2 до 99.99999% То и восстановление времени обострения, заложенном в автомодельной задаче, с точностью 3.10-5(То = 0.(4), Т0 = 0.44441), при этом максимум с.ф. достигает 2.104 . Сохранение автомодельности и восстановление времени обострения зависит как от точности вычисления с.ф., так и от способа решения параболической задачи [Д19].

Все численные эксперименты (с точными автомодельными начальными данными при N=l,/3 = a + l]c автомодельными начальными данными, полученными в процессе решения автомодельных задач), показывают хорошее восстановление времени обострения и сохранение автомодельности, и тем самым, качества методов решения как автомодельных, так и параболических задач.

Численный метод решения автомодельных задач изложен детально в Главе 1, раздел 1.1, на примере радиально-симметричной задачи. Модификация метода на случай системы ОДУ приведена в Главе 2, раздел 2.4.1; модификации на двумерный случай в декартовых и полярных координатах приведены соответственно в разделах 4.1.1 и 4.2.5 Главы 4.

Численный метод решения параболических задач изложен детально в Главе 1, раздел 1.2, на примере радиально-симметричной квазилинейной задачи. Модификации метода на полулинейные задачи описаны в Главе 3, раздел 3.1.2, а на двумерный случай в декартовых и полярных координатах приведены соответственно в разделах 4.1.2 и 4.2.6 Главы 4.

III. С использованием разработанных и тщательно апробированных методов, были получены следующие результаты.

1. Исследована и уточнена структура с.ф. LS-режима при переходе к S -режиму в радиально-симметричном случае (Глава 2, раздел 2.2). Показано, что структура с.ф. при iV > 1 и (3 ~ а + I, (3 > о + 1 существенно отличается от структуры с.ф. при N = 1. При N > 1 вычислительным экспериментом были обнаружены с.ф., названные потом [74] с.ф. с перетяжкой. Различен и переход LS -режима к S-режиму. При N = 1 переход (3 о + 1 + 0 "непрерывен" - с.ф.

LS-режима стремится к с.ф. S -режима, составленной из к элементарных решений. При N > 1 такого "непрерывного" перехода нет.

1.1. Для фиксированного а и некоторого (3* = (3*(о, N) центральный (первый) минимум с.ф. с четными номерами j = 1,2,., становится равным нулю и для (3 < (3j(cr,N) все с.ф. аннулируются в некоторой области около начала координат: 0, 0 < £ < $ = 0, N), 3 = 1,2,.

2^Yi^ij^YiCj) — 0, при этом £* растут при (3 —» а + 1 + 0. Все максимумы #2^(0 стремятся к максимуму с.ф. S -режима при тем же а и N = 1. Таким образом с.ф. (0 > "уходя на бесконечность" при /3 —> а + 1 + 0, стремится к с.ф. S -режима при N = 1 и того же а, состоящей из j элементарных решений.

1.2. Для фиксированного а существует такое значение /3** = /?**(сг, N), что при а + 1 < /3 < (3" с.ф. #2^+1 (0 = 1)2,. распадается на две части: центральная, которая стремится к с.ф. S -режима для соответствующего значения N (), и вторая, которая совпадает с с.ф. (£), "уходящей на бесконечность" при (3 —> а + 1 + 0. Для фиксированных а, N всегда /3** < f3*.

Согласно описанному "сценарию" перехода LS к S -режиму, при (3 —> ст+1 + О остается только первая с.ф. LS -режима, которая стремится к единственной с.ф. S -режима. Этот "сценарий" является результатом детального вычислительного эксперимента [Д5],[Д11].

Так в процессе этого исследования найдены с.ф. новой структуры - так называемые с.ф. с перетяжкой и с.ф. с левым фронтом. Существование с.ф. с левым фронтом было подтверждено асимптотическим анализом - найдена аналитически асимптотика с.ф. в окрестности левого фронта (Глава 2, раздел 2.2.2).

Собственные функции с левым фронтом представляют собой тела вращения с "пустотой" в центре. Численные эксперименты показывают, что при (3 —> а + 1 + О радиусы этих "пустот" увеличиваются и с.ф. "выстраиваются" так, что разности, между этими радиусами стремятся к одной и той же величине. Гипотеза автора о ней: р = р(а) = 2^/оТ\/а = Ls/n [Д11].

Полученные впервые новые типы решений - решения с перетяжкой и решения с левым фронтом в случаях N=2,3, инициировали исследования других авторов [74], [21], [47], [57] другими методами (методом динамической аналогии, бифуркационным анализом). Их исследования подтвердили существование этих новых решений, и в частности [57] описанного выше сценария.

2. Исследовано асимптотическое поведение неограниченных решений задачи (0.6), (0.7) при 13 > о + 1 + jf, когда автомодельное решение (0.8), (0.9) ua{t, г) # Li(Rn) (Глава 2, раздел 2.3.1). В этом случае качественная теория нестационарного осреднения "амплитуда - полуширина" предсказывает автомодельное поведение амплитуды решения задачи (0.6), (0.7) и возможное неавтомодельное поведение полуширины [69]. Там был поставлен вопрос: какое инвариантное или приближенное автомодельное решение (ГТАР) описывает асимптотическую (t —► Tq) стадию процесса?

В работе [Д19] численным экспериментом установлено, что а.р. (0.8), (0.9), соответствующее в\ (£), структурно устойчиво: во всех экспериментах с финитными начальными данными (0.7), обеспечивающими неограниченность решения, оно выходит на автомодельное на асимптотической стадии.

3. Впервые конструированы численно [Д22] решения а.з. при соотношениях параметров за критическими экспонентами: (3 > Ps, N > 3; (3 > (Зи N > 11; Р > 0Р, N > 11 (Глава 2, раздел 2.3.2). Показано, что соответствующие им автомодельные решения структурно устойчивые, что подтверждает таким образом гипотезу из [107]. Для этой цели реализован несимметричный метод Галеркина с адаптацией конечно-элементной сетки.

4. Разработанные для радиально-симметричных задач (0.6), (0.7) и (0.10), (0.11) методы обобщены на случай двухкомпонентной нелинейной среды (Глава 2, раздел 2.4). Показана сверхсходимость метода (порядок 0(/i4)) решения автомодельной системы (0.24)-(0.25) при использовании квадратичных элементов и сходимость оптимального порядка (0{Ь?)) при использовании линейных элементов. Исследована структурная устойчивость автомодельных решений при параметрах среды <J{, Pi, 7i, г = 1,2, соответствующие LS— режиму. Показано, что структурно устойчивыми являются только автомодельные решения, соответствующие с.ф. типа (1,1) (с двумя компонентами простой структуры) систем с сильной обратной связью. Все другие а.р. метаустойчивы - автомодельность сохраняется до времени не меньше, чем 99.3%Т0 .

Таким образом показана принципиальная возможность применения разработанных методов для исследования процессов самоорганизации в широких классах нелинейных диссипативных сред, описываемых системами типа реакция-диффузия При этом до сих пор рассматривались обычно системы с линейной диффузией и нелинейными источниками и стоками, а разработанные нами методы применимы и в случае нелинейной диффузии.

5. Исследовано асимптотическое поведение решений полулинейных уравнений (0.26)-(0.29) при t —► Tq (Глава 3). Условия возникновения и эволюции неограниченных решений таких уравнений изучаются с 1966 г. [104] и этой проблеме посвящено большое количество работ [79] [81] [82] [96] [101] [111] [110] (см. тоже обзор в книге [80] и обзорную статью [125]). Независимо от того точные результаты о вырождении на асимптотической стадий уравнения (0.26) в уравнениях типа Гамильтона - Якоби получены в основном при N — 1. Случай полулинейных уравнений, где из-за недостаточности диффузии не возникает сложных структур, оказался более трудным для исследования, чем квазилинейный случай. Причина этому - несуществование точных инвариантных решений (кроме тривиальных гомотермических) вообще или для некоторых размерностей N пространства. В этих случаях асимптотическое поведение неограниченных решений описывается приближенными автомодельными решениями (ПАР), которые являются точными а.р. других уравнений - уравнений первого порядка типа Гамильтона-Якоби.

В Главе 3, раздел 3.1 исследован случай Q(u) = (1 и) 1п^(1 + и), 0 > 1. Показана численно [Д10] структурная устойчивость ПАР при практически произвольных начальных данных во всех трех режимах: HS{ 1 < 0 < 2), S(0 = 2), LS(0 > 2). Показано также, что при 0 = 2, N > 1 неограниченное решение эффективно локализовано в сфере радиуса 7Г : ui = {|х| < 7г}. Кроме того, если начальное возмущение нецентральное, достаточно далеко от центра симметрии и с достаточно большой энергией, то тепловая энергия не расплывается и горение локализовано эффективно в кольцевой области толщиной 27т, что является новым результатом.

В Главе 3, раздел 3.2 исследован случай Q(u) = vP. При 1 < 0 < uq ф

0 задача Коши имеет только неограниченные решения, но их асимптотика существенно отличается от той, которую следует ожидать по аналогии с квазилинейным случаем. Автомодельная задача, которая получается по этой аналогии, не имеет решения при 1 < /? < • Строгое доказательство вырождения параболического уравнения на асимптотической стадии дано в [117] для iV = 1; для N > 1 строгого доказательства нет. Численным экспериментом нами показана [Д12] структурная устойчивость ПАР для N — 1,2,3 при практически произвольных начальных данных.

Случай Q(u) = еи исследован в Главе 3, раздел 3.3. Задача Коши имеет только неограниченные решения, но при N = 1,2 уравнение (0.26), (0.29) не имеет точных инвариантных неограниченных решений кроме гомотермического. Строгое доказательство вырождения для N = 1 дано в [117]. Численным экспериментом нами показана [Д12] структурная устойчивость ПАР для N — 1,2 при практически произвольных начальных данных.

6. Реализованы численно инвариантные решения, которые описывают направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде со степенными коэффициентами теплопроводности, найденные в работах [24], [25] методами группового анализа (Глава 4, раздел 4.1). В работах [Д1], [Д2], [ДЗ] решалась задача Коши для уравнения (0.30) при разных параметрах <7i, о2 и (3. Исследованы случаи S — HS, HS — LS и S — LS режимов горения с обострением, когда в разных направлениях процесс протекает по разному. В [Д1] с.ф. горения анизотропной среды были найдены автомодельной обработкой решений задачи Коши для уравнения (0.30). Позже [Д6] они были найдены как решения автомодельной задачи (0.32), (0.33). Как частный случай получены и с.ф. сложной симметрии для изотропного случая в декартовых координатах - это с.ф., обозначаемые [64] Ei/j. Для получения "линейных приближений" к с.ф. Ei/j была использована конструкция, предложенная в [64]. Впоследствии [Д13,Д14] численные методы были модифицированы на случай полярных координат для исследования другого класса с.ф. сложной симметрии типа EjMm [64] в LS— режиме и их структурной устойчивости (Глава 4, раздел 4.2.1).

Графическое представление эволюции инвариантных решений, описывающих направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде, сделанное автором диссертации, включено в Справочнике [95]. Туда включены также графические представления с.ф. EjMm для различных значений J, 771, сг, (3 .

7. Один из самых интересных результатов этой работы - это численная реализация "спиральных" инвариантных решений (Глава 4, разделы 4.2.2—4.2.7), Она была поставлена в 1984 г., когда методом группового анализа С.Р. Свирщевским была установлена возможность их существования (см. тоже [15]). Как отмечалось в [4], на пути к её решению были существенные трудности. Во первых считалось, что линеаризация автомодельного уравнения здесь не дает желаемого результата, потому что в полученном линейном уравнении нельзя сделать разделения переменных. Во вторых, не была ясна асимптотика решений автомодельной задачи на бесконечности.

Первый успешный шаг состоял в применении подходящего (комплексного) разделения переменных в линеаризованном около гомотермического решения автомодельном уравнении (Глава 4, раздел 4.2.3). Решения линеаризованного уравнения выражались через вырожденную гипергеометрическую функцию iF1(a, b\ z) с комплексным параметром а при (3 ф а + 1 и через функции Бесселя комплексного аргумента при (3 = а + 1. Тщательное аналитическое и численное исследование этих решений показало [Д15], [Д16], что их асимптотики на бесконечности - автомодельные: линии уровня (хребты) решения линеаризованного уравнения не являются логарифмическими спиралями, но при больших £ они приближаются к таким. При этом их амплитуда в случае HS -режима стремится к нулю при £ —> оо, а для LS -режима - к бесконечности. Это дало идею рассмотреть решения а.з., которые на бесконечности стремятся не к тривиальному решению в ~ 0, а к гомотермическому в = 6ц - т.е. расширить понятие с.ф., и следовательно, структуры, которые возникают в абсолютно холодной среде. Это изменение идеологии вполне разумно и более адекватно реальным системам. Итак условия, при которых рассматривалось уравнение (0.37), следующие:

0(f) ограничена при f —> оо

0.39)

0(0) ограничено, (0а)с(0) = 0.

0.40)

Исследование асимптотик линейных приближений дало возможность уточнить условие (0.39) в случае HS -режима и замкнуть а.з. краевым условием третьего рода: два ва-вн 7 к ( 1 Л , т

Численное решение задачи (0.37), (0.41), (0.40) даёт "спиральные" с.ф. HS— режима; некоторые из них и их эволюция во времени исследованы в [Д17],[Д18],[Д21].

Установлено, что линейные приближения где У(£,ф) - решения линеаризованного уравнения, при а « 1 очень близки к с.ф. [Д15], [Д16].

При исследовании их эволюции в параболической задаче (Глава 4, раздел 4.2.4) оказалось, что они сохраняют свою структуру до 99.79%Т0, при этом Т0 (время обострения, полученное в счете) очень близко к времени обострения с.ф., отвечающих тем же параметрам а, (3. И это вполне естественно - линеаризация "уничтожает" S и LS -режимы (линеаризованное уравнение имеет линейную диффузию и линейный источник, т.е. для его решений полуширина будет увеличиваться, как это имеет место в HS-режиме). Отметим, что существование континуума решений а.з. в радиально-симметричном случае и HS -режима, которые выходят на гомотермическое решение Он при £ —* оо, было отмечено в [69], но этому результату не было уделено достойное внимание. Оказывается, именно такие решения а.з. определяют найденные спиральные структуры.

Вопрос о существовании спиральных структур в LS -режиме (скручивающиеся спирали) пока остается открытым. Хотя "хребты" линейных приближений к с.ф. LS -режима при £ —> оо стремятся тоже к автомодельным [Д16], но их амплитуда стремится к бесконечности. Остается неясным с какой асимптотикой надо сшивать линейные приближения. Автор считает, что в задаче нахождения спиральных структур в LS -режиме надо отказаться от условия (0.40) - т.е. от ограниченности с.ф. при £ = 0. На эту идею наводят другие решения линеаризованного уравнения (логарифмическое решение вырожденного гипергеометрического уравнения с особенностью в нуле), а также и некоторые физические соображения.

8. При решении задачи о спиральных с.ф. возникла идея поиска в случае с0 = О сложных немонотонных волн HS -режима, выходящих на гомотермический фон при £ —> оо (Глава 4, разделы 4.2.5-4.2.7).

Случай со = О был рассмотрен в работах [53], [64], и там были найдены с.ф. сложной симметрии в LS-режиме (с.ф. типа EjMm). Оказалось, что не всем линейным приближениям соответствуют с.ф. В некоторых случаях, как было отмечено выше, причина этому была расходимость итерационного процесса при решении автомодельной задачи. Однако в случае EjM 1, когда расположение максимумов линейных приближений несимметрично относительно £ = 0 и между ними имеется минимум, или когда имеются только максимум и минимум, собственных функций вообще не было получено.

Линейные приближения с такой структурой (подобные EjM 1) имеются и в ЯS1-режиме и они были реализованы в автомодельной задаче [Д17],[Д18],[Д21]. Причина этому - максимум и минимум на гомотермическом фоне могут лишь отталкиваться, но не притягиваться (как это должно быть в случае LS-режима). Поэтому такие линейные приближения, если и были найдены давно [64], не могли быть реализованы.

Так изменение идеологии - искать структуры, "живущие" и развивающиеся на гомотермическом фоне, привело к открытию целого нового мира структур -сложных расходящихся волн, в том числе раскручивающихся одноруквных и многорукавных спиральных волн. Результаты последних двух пунктов включены в книгу [138].

Основные результаты работы следующие:

1. Предложена, исследована и реализована общая методика решения автомодельных задач, основанная на непрерывном аналоге метода Ньютона и методе конечных элементов (МКЭ). Она дает возможность автоматизировать процесс вычислений (включая случай неединственности решений) и единообразно решать краевые задачи для нелинейных ОДУ второго порядка, систем таких уравнений и нелинейных эллиптических уравнений второго порядка.

Предложена, исследована и реализована общая методика решения параболических задач с сингулярными по времени решениями, основанная на МКЭ с концентрацией матрицы массы и интерполированием нелинейных коэффициентов по базису пространства МКЭ. Реализованы адаптивные динамические сетки по пространству в соответствии с автомодельным или приближенным автомодельным законом - сгущающиеся сетки в случае LS -режима (обострение в изолированных точках) и разреживающиеся сетки с сохранением числа элементов в случае HS -режима (обострение во всем пространстве).

Разработанные методы имеют внутренние критерии точности:

- восстановление в параболической задаче времени обострения, заложенном в автомодельной задаче, если начальные данные автомодельные;

- сохранение автомодельности при использовании точных автомодельных начальных данных.

Хорошая точность восстановления времени обострения ( Ю-3 -г- Ю-6) даже в двумерных задачах, как и сохранение автомодельности вплоть до Т0 при использовании точного автомодельного решения для N = 1, /3 = а+1, свидетельствуют о точности и надежности разработанных методов. Это дает возможность исследовать структурную устойчивость и метаустойчивость автомодельных и приближенных автомодельных решений.

2. В радиально-симметричном случае исследовано поведение собственных функций при стремлении LS -режима к S-режиму (/3 —* а + 1 + 0) , когда организация среды существенно усложняется. Показано существенное различие плоского и радиально-симметричного случаев. Найдены впервые с.ф. с перетяжкой и с.ф. с левым фронтом, т.е., с полостью около центра симметрии, в случаях N = 2, 3 . На основе детального численного исследования предложен сценарий поведения сложных собственных функций (четных и нечетных) при стремлении к S -режиму.

Исследован аналитически и численно переход квазилинейного случая к линейному (задача о линейной размножающей среде). Показано, что при а —> 0+ автомодельное решение для S-режима стремится к автомодельному решению с постоянной энергией для соответствующего линейного уравнения.

Исследовано аналитически и численно поведение линейных приближений к с.ф. при /3 —> а + 1 + 0.

Исследовано асимптотическое поведение неограниченных решений параболической задачи в LS-режиме, когда автомодельное решение ua(t,r) £ L\(WN). Численно показано, что и в этом случае автомодельное решение структурно устойчиво: с широкого класса начальных данных, обеспечивающих неограниченность решения, оно выходит на автомодельное на асимптотической стадии.

Впервые конструированы численно решения а.з. при соотношениях параметров за критическими экспонентами: /3 > N > 3; (3 > f3u N > 11; /3 > (Зр, N > 11. Показано, что соответствующие им автомодельные решения структурно устойчивые, подтверждая таким образом гипотезу из [107].

3. Разработанные для радиально-симметричного случая методы обобщены на случай двухкомпонентной среды. Конструированы численно собственные функции горения среды и исследована структурная устойчивость соответствующих автомодельных решений. Показано, что в LS— режиме структурно устойчивыми являются только автомодельные решения простой структуры (с монотонными по г компонентами) систем с сильной обратной связью, все остальные автомодельные решения метаустойчивы.

4. Исследовано численно асимптотическое поведение неограниченных решений полулинейных уравнений с источниками Q(u) = (1 + u)/n/3(l + и), /3 > 1; Q(u) — и13, (3 > 1; Q(u) = eu + g(t). Подтверждены результаты качественной теории (строгие результаты имеются только при N = 1), что в этих случаях асимптотические стадии эволюции неограниченных решений описываются ПАР - автомодельными решениями уравнений типа Гамильтона-Якоби. Особо отметим случай Q(u) = (1 + u)ln2{\ + и), в котором показано, что обостряющиеся решения эффективно локализованы в сфере радиуса 7г или в кольцевой области толщиной 2тт . Надежность и достоверность этих результатов обеспечивается использованием адаптивных сеток, согласованных со структурой ПАР.

5. Впервые реализованы численно инвариантные решения, которые описывают направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде со степенными коэффициентами теплопроводности. Таким образом подтверждено их существование.

6. Расширено понятие с.ф. нелинейной среды, путем введения в рассмотрении автомодельных и инвариантных решений, которые не стремятся к нулю на бесконечности (т.е. не стремятся к тривиальному пространственно однородному решению), а стремятся к гомотермическому решению. Это дало возможность: во первых, впервые получить радиально-несимметричные сложные волны в HS -режиме и во вторых, впервые реализовать численно инвариантные решения, которые описывают распространение спиральных волн в нелинейной изотропной среде. На основе детального аналитического и численного исследования "линейных приближений" к спиральным с.ф. было установлено, что асимптотики этих приближений автомодельные. Это дало возможность замкнуть автомодельную задачу для HS-режима и решить ее численно - т.е., находить спиральные с.ф. HS-режима.

Таким образом впервые показано, что усложнение организации среды может происходить не только в LS -режиме за счет локализованных во вне и сходящихся к центру структур, но и в HS -режиме за счет расходящихся волн горения сложной структуры, в том числе раскручивающихся спиральных волн.

Благодарности

Выражаю свою глубокую признательность моему учителю чл. корр. С.П. Кур-дюмову, чл. корр. Ю.П. Попову и акад. А.А. Самарскому за то, что я научила от них, за постоянную поддержку и за стимул представить эту работу.

Спасибо моим первым соавторам проф. М.И. Бакировой (светлой ей памяти) и проф. В.А. Дородницыну за то, что в далеком 1984 году ввели меня в интереснейший мир диссипативных структур. Спасибо всем моим соавторам за плодотворное сотрудничество и хорошие человеческие отношения - проф. В.А. Галактионову, проф. М.С. Касчиеву, проф. С.Р. Свирщевскому, доц. Т.П. Черногоровой, Д.И. Ивановой и специально моим бывшим аспиранткам д-р Д.П. Василевой и д-р М.Г. Колевой за их серьёзный вклад в представленной работе.

Очень ценным для меня было обсуждение ряда вопросов с проф. Г.Г. Елени-ным, проф. Г.Г. Малинецким, доц. Е.С. Куркиной, д.ф.-м.н. С.А. Посашковым.

Благодарю руководства JIBTA и ЛИТ ОИЯИ за прекрасные условия работы в течении более 4-х лет, когда были получены многие из основных результатов. Благодарю проф. Е.П. Жидкова, проф. И.В. Пузынина, проф. С.И. Сердюковой за их сопричастие и поддержку, за ценные обсуждения и замечания по частям этой работы. Благодарю всех коллег за их дружеские отношения.

Спасибо моим болгарским коллегам из Факультета математики и информатики Софийского университета, из Института математики и информатики и из Института параллельной обработки информации Б АН за созданную ими теплую и коллегиальную атмосферу, в которой приятно работать. Спасибо коллегам из Кафедры вычислительных методов ФМИ, которые взяли на себя мои обязанности за время моего отсутствия.

Публикации по теме диссертации:

Д01] М.И. Бакирова, С.Н. Боршукова, В.А. Дородницын, С.Р. Свирщевский. О направленном распространении тепла в нелинейной анизотропной среде //Препринт ИПМ АН СССР, No 182, 1985, 12 стр.

Д02] S.N. Dimova-Borshukowa. Numerical analysis of the directed heat diffusion in a nonlinear anysotropic medium. Proc. ICCM, Tokyo, 1986, VIII, 78-82.

ДОЗ] Бакирова М.И., Димова C.H., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А., Свирщевский С.Р., Инвариантные решения уравнений теплопроводности, описывающие направленное распространение горения и спиральные волны в нелинейной среде, ДАН СССР, 299 (2), 1988, 346-350.

Д04] С.Н. Димова, М.С. Касчиев, С.П. Курдюмов. Численный анализ одномерных собственных функций горения нелинейной среды. I. Численный метод и эксперименты. Препринт ОИЯИ, Дубна, Р11-88-473, 1988,16 стр.

Д05] С.Н. Димова, М.С. Касчиев, С.П. Курдюмов. Численный анализ одномерных собственных функций горения нелинейной среды. II. Некоторые предельные случаи. Препринт ОИЯИ, Дубна, Р11-88-831, 1988, 15 стр.

Д06] С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Численный анализ двумерных собственных функций горения нелинейной анизотропной среды. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Р11-88-876, 1988, 9 стр.

Д07] С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Численный анализ двумерных собственных функций горения нелинейной среды. Proc. Intern. Conf. Numerical Methods and Applications, Sofia, 1988, Publ. House BASci, Sofia, 1989, 121-125.

Д08] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, S.P.Kurdiumov. Structure of the onedimensional eigen functions of a nonlinear heat-conducting medium. Proc. Intern. Conf. Numerical Methods and Applications, Sofia, 1988, Publ. House BASci, Sofia, 1989, 126-130.

Д09] С.Н. Димова, Касчиев М.С., Курдюмов С.П., Численный анализ собственных функций горения нелинейной среды в радиально-симметричном случае, ЖВМ и МФ, 1989, 29 (6), 61-73.

ДЮ] S.N. Dimova, V.A. Galaktionov, D.I. Ivanova. Numerical analysis of blow-up and degeneracy of a semilinear heat equation. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Ell-89-785, 1989, 20 стр.

Д11] Д.И. Иванова, С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Численный анализ одномерных собственных функций горения нелинейной среды. III. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Р11-90-11, 1990, 15 стр.

Д12] S.N. Dimova, D.I. Ivanova. Finite element method with special mesh refinement for analysis of single point blow-up solutions. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Ell-91-39, 1991, 14 стр.

Д13] М.Г. Колева, С.Н. Димова, М.С. Касчиев. Исследование собственных функций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов. Сообщения ОИЯИ, Дубна, Р11-91-552, 1991, 15 стр.

Д14] С.Н. Димова, М.С. Касчиев, М.Г. Колева. Анализ собственных функций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов. Математическое моделирование, т.4, 3, 1992,74-83.

Д15] S.N. Dimova, D.P. Vasileva. On the numerical realization of blow-up spiral wave solutions of a nonlinear heat-transfer equation. Доклады БАН, 46, N 5, 1993, 3134.

Д16] S.N. Dimova, D.P. Vasileva. Numerical realization of blow-up spiral wave solutions of a nonlinear heat-transfer equation. Int. J. Num. Meth. Heat Fluid Flow, 4, N 6, 1994, 497-511.

Д17] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva. Numerical analysis of nonradially symmetric structures, arising in nonlinear reaction-diffusion processes.

In: Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, World Scientific, 1994, 251-256.

Д18] С.Н. Димова, Касчиев M.C., Колева М.Г., Василева Д.П., Численное исследование радиально-несимметричных структур в нелинейной теплопроводной среде, Доклады РАН, Москва, 338 (4), 1994, 461-464.

Д19] S.N. Dimova, D.P. Vasileva. Lumped-mass finite element method with interpolation of the nonlinear coefficients for a quasilinear heat transfer equation. Numerical Heat Transfer, Part B, 28, 1995, 199-215.

Д20] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva. Numerical analysis of the blow-up regimes of combustion of two-component nonlinear heat-conducting medium. ЖВМ и МФ, 35 (3), 1995, 303-319.

Д21] S.N. Dimova, M.S. Kastchiev, M.G. Koleva, D.P. Vasileva. Numerical analysis of radially nonsymmetric blow-up solutions of a nonlinear parabolic problem. J. Сотр. Appl. Math., 97, 1998, 81-97.

Д22] S.N. Dimova, T.P. Chernogorova. Asymptotically self-similar blow-up for a quasilinear parabolic equation byond some critical exponents//Доклады БАН, 53, N 12, 2000, 21-24

Заключение.

Изменение идеологии - искать структуры, "живущие" и развивающиеся на го-мотермическом фоне, привело к открытию целого нового мира структур - сложных расходящихся волн, в том числе раскручивающихся однорукавных и много рукавных спиральных волн.

Вопрос о существовании спиральных структур в LS -режиме (скручивающиеся спирали) пока остается открытым. Хотя "хребты" линейных приближений к с.ф. LS -режима при £ —* оо стремятся тоже к автомодельным, но их амплитуда стремится к бесконечности. Остается неясным с какой асимптотикой надо сшивать линейные приближения. Автор считает, что в задаче нахождения спиральных структур в LS -режиме надо отказаться от условия ограниченности с.ф. при £ = 0. На эту идею наводят другие решения линеаризованного уравнения (логарифмическое решение вырожденного гипергеометрического уравнения с особенностью в нуле), а также и некоторые физические соображения.

1. Адъютов М. М. Автомодельные обостряющиеся тепловые структуры в среде с распределенными параметрами // ДУ, т.22, 11, 1986, стр. 1934-1944.

2. Адъютов М. М., Клоков Ю. А., Михайлов А. П. Автомодельные тепловые структуры с сокращающейся полушириной // ДУ, т. 19, 7, 1983, стр. 1107-1114.

3. Адъютов М. М., Клоков Ю. А., Михайлов А. П. Исследование автомодельных структур в нелинейной среде, Препринт ИПМат., Москва, 108, 1982, 28 стр.

4. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос, М.: Наука, 1992.

5. Баренблатт Г. И. Подобие, автомоделъностъ, промежуточная асимптотика. JL: Гидрометеоиздат, 1978, 208 стр.

6. Боршукова С. Н., А. И. Йотова, Р. Д. Лазаров. ППП TERMO для решения тепловых задач МКЭ // В сб. Численные методы для решения задан математической физики, Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985, стр.31-41.

7. Василева Д. П. Числен анализ на силно нестационарни процеси в нелинейна теплопроводна среда. Диссертация на соискание уч. степ. канд. мат. наук., София, 1997.

8. Волосевич П.П., Дегтярев JT.M., Курдюмов С.П., Процесс сверхвысокого сжатия вещества и инициирования термоядерной реакции мощным омпульсом лазерного излучения // Физика плазмы, т.2, 6, 1976, стр.883-897.

9. Гавурин М. К. Нелинейные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Известия вузов, Математика, 5, 1958, стр. 18-31.

10. Галактионов В. А. Асимптотика неограниченных решений нелинейного уравнения ut = (и°их)х + вблизи сингулярной точки // ДАН СССР, т.288, б, 1986, стр. 1293-1297.

11. Галактионов В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейного параболического уравнения ut = (и°их)х + иа+1 // Диффер. у-я, т.21, 1, 1985, стр. 1126-1134.

12. Галактионов В. А. Два метода сравнения решений параболических уравнений. // ДАН СССР, т. 251, 4, 1980, стр.832-835.

13. Галактионов В. А., Самарский А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. I, II. // Математический сборник, т.118, 3,4, 1982.

14. Галактионов В. А., Самарский А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. Ill, IV . // Математический сборник, т.120, 121, 1,2, 1983.

15. Галактионов В. В., Курдюмов С. П., Самарский А. А. О методе стационарных состояний для нелинейных параболических задач // ДАН СССР, т.278, 6, 1984, стр. 1296-1300.

16. Галактионов В. В., Курдюмов С. П., Самарский А. А. О приближенных автомодельных решениях одного класса квазилинейных уравнений теплопроводности с источником // Математический сборник, т.124, 2, 1984, стр.163-188.

17. Галактионов В. А., Посашков С. А. Моделирование процессов обострения в задачах теплопроводности с нелинейным источником // Матем. моделирование, т.1, 12, 1989, стр.89-108.

18. Галактионов В. А., Посашков С. А. Новые вартианты использования сильного принципа максимума для параболических уравнений и некоторыте их приложения // Препринт ИПМат., Москва, 167, 1985, 28 стр.

19. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структур, устойчивости, флуктуаций, М.: Мир, 1973.

20. Гуревич М. И., Тельковская О. В. Существование автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности с нулем в окрестности начала координат // Препринт ИАЭ, Москва, 5565/1, 1992.

21. Гусев В. В., Касчиев М. С., Пузынин И. В. Автоматическая генерация сетки в пакете программ MULTIMODE. // Препринт ОИЯИ Р11-87-421, Дубна, 1987.

22. Дородницын В. А. Групповые свойства разностных уравнений. М.: МАКС Пресс, 2000.

23. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником // ЖВМ и МФ, т.22, 6, 1982, стр. 1393-1400.

24. Дородницын В. А., Князева И. В., Свирщевский С. Р. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Препринт ИПМат., Москва, 79, 1982 // Диффер. у-я, т.19, 7, 1983, стр.1215-1223.

25. Еленин Г. Г., Курдюмов С. П. Условия усложнения организации нелинейной диссипативной среди // Препринт ИПМатем, Москва 106, 1977.

26. Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Нестационарные дисипатив-ные структуры в нелинейной топлопроводной среде // ЖВМ и МФ, 1983, т.23, 2, стр.38-90.

27. Жанлав Т., Пузынин И. В. О комбинации метода установления и метода Ньютона для решения нелинейных дифференциальных задач // ЖВМ и МФ, т.34, 2, 1994, стр. 175-184.

28. Жанлав Т., Пузынин И. В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона // ЖВМ и МФ, т.32, 6, 1992, стр.846-856.

29. Жидков Е. П., Пузынин И. В. Об одном методе введения параметра при решении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // ЖВМ и МФ, т.7, 5, 1967, стр. 1086-1095.

30. Жидков Е. П., Макаренко Г. И., Пузынин И. В. Непрерывный аналог метода Ньютона для нелинейных задач физики // ЭЧАЯ, т. 4, 1, 1973, стр.127.

31. Жидков Е. П., Пузынин И. В., Применение непрерывного аналога метода Ньютона для приближенного решения одной нелинейной граничной задачи // ДАН СССР, т. 180, 1, 1968, стр. 16-21.

32. Жидков Е. П., Пузынин И. В., Решение одной нелинейной дискретной краевой задачи с помощью непрерывного метода Ньютона // ЖВМ и МФ, 2, 1969, стр.442-447.

33. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб. поев. акад. А.Ф. Иоффе, М.: Изд-во АНСССР, 1950, стр.61-71.

34. Змитренко Н. В., Курдюмов С. П. Михайлов А. П., Самарский А. А. Локализация термоядерного горения в плазме с электронной теплопроводностью // Письма в ЖЭТФ, т. 26, 9, 1977, стр.620-624.

35. Змитренко Н. В., Курдюмов С. П. Михайлов А. П., Самарский А. А. Возникновение структур в нелинейных средах и нестационарная термодинамика режимов обострения // Препринт ИПМат., Москва, 74, 1976, стр.67.

36. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вы-раждающихся параболических уравнений второго порядка j j Успехи мат. наук,, 42, 1987, стр.135-176.

37. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего, М.: Наука, 1997.

38. Касчиев М. С., Касчиева В. А., Махалдиани Н. В., Пузынин И. В. Численное решение уравнений Янга-Миллса в рамках нелинейной задачи двух центров // В сб."Вариационно-разностные методы в математической физике", ОВМ АН СССР, М., 1984, стр. 130-143.

39. Касчиева В. А., Касчиев М. С., Меньшиков JT. И., Пузынин И. В. Молекула из двух квантовых вихрей в двумерном Бозе-газе. Результаты // Препринт ОИЯИ, Р5-87-232, Дубна, 1987.

40. Колева М. Г. Числен анализ на собствените функции на горене на нелинейна топлопроводна среда. Диссертация на соискание уч. степ. канд. мат. наук., София, 2000.

41. Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем, М.: Наука, 1994.

42. Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, темпомиры, Санкт-Петербург: Алетейя, 2002.

43. Курдюмов С. П. Локализация диффузионных процессов и возникновение структур при развитии в диссипативной среде режимов с обострением / / Дис. на соискание уч.степ. Докт. физ.-мат. наук. М.: ИПМат., 1979.

44. Курдюмов С. П. Нелинейные процессы в плотной плазме. // Докл. II Межд.Конф. по теории плазмы. Киев: Наукова думка, 1976, стр.278-287; // Препринт ИПМат., Москва, 18, 1975.

45. Курдюмов С. П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. В кн.: Современные проблемы машем. физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1983, стр.217-243.

46. Курдюмов С. П., Гуревич М. И., Тельковская О. В. Автомодельные решения нелинейного одномерного уравнения теплопроводности с распределенной плотностью и степенной зависимости от температуры / / Препринт И А Э, Москва, 5654/1, 1993.

47. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г. Дисипативные структуры в средах с распределенными параметрами // Препринт ИПМат., Москва, 16,1979.

48. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Диссипа-тивные структуры в нелинейной неоднородной горящей среде // ДАН СССР,1980, т.251, 3, стр.587-591.

49. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейных двухкомпонентных средах с объемными источниками // ДАН СССР, т.258, 5, 1981, стр. 1084-1088.

50. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А. Б. Исследование многомерной архитектуры СФ нелинейной среды // Препринт ИПМатем., Москва, 75, 1982.

51. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А. Б., Самарский А. А. Архитектура многомерных тепловых структур // ДАН СССР, т.274, 5, 1984, стр. 1071-1075.

52. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А. Б., Самарский А. А. Сложные многомерные структуры горения нелинейной среды // ЖВМ и МФ, т.26, 8, 1986, стр. 1189-1205.

53. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Тельковская О. В. Исследование собственных функций автомодельной задачи для двухкомпонентной среды // Препринт ИПМат., Москва, 189, 1986.

54. Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Тельковская О. В. Режимы с обострением в двухкомпонентных средах // Математическое моделирование, т.1, 1, 1989, стр.35-50.

55. Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Повещенко Ю. А., Попов Ю. П., Самарский А. А. Взаимодействие тепловых структур // Препринт ИПМат., Москва, 77, 1978.

56. Куркина Е. С., Курдюмов С. П. Спектр диссипативных структур, развивающихся в режиме с обострением // Доклады РАН, т. 395, 6, 2004.

57. Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г. Нестационарные диссипативные структуры в двухкомпонентных средах // Препринт ИПМат., Москва, 19, 1981.

58. Лепин Л. А. Автомодельные решения одного полулинейного уравнения теплопроводности // Мат. моделирование, т.2, 1, 1990, стр.63-74.

59. Лепин Л. А. Счетный спектр собственных функций нелинейного уравнения теплопроводности с распределенными параметрами // Диффер. уравнения, т.24, 7, 1988, стр.1225-1234.

60. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах, М.: Мир, 1979.

61. Новиков В. А., Новиков Е. А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования ОДУ // ДАН СССР, т.272, 5, 1984, стр. 1058-1062.

62. Плохотников Н.Э. Локализация тепла и фундаментальная длина в двумерных задачах нелинейной теплопроводности // Труды МФТИ, Сер. "Аэрофизика и прикладная математика "1977, стр.204-208.

63. Потапов А. Б. Построение двумерных собственных функций нелинейной среды // Препринт ИПМат., Москва, 8, 1986.

64. Пузынин И. В., Пузынина Т. П. Алгоритмы и программы для решения некоторых задач физики // KFKI-74S4, Будапешт, 1974, стр.93-100.

65. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 5, 1979, стр.38.

66. Самарский А. А., Дородницын В. А., Курдюмов С. П., Попов Ю. П. Образование Т-слоев в процессе торможения плазмы магнитным полем // ДАН СССР, т. 216, 6, 1974, стр.1254.

67. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, М.: Наука, 1987.

68. Самарский А. А., Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // ДАН СССР, т.237, 6, 1977, стр. 1330-1333.

69. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн // ЖВМ и МФ, т.З, 4, 1963, стр. 18-28.

70. Справочник по специальным функциям. Ред. Абрамович И., Стиган Н., М.: Наука, 1979.

71. Стренг Г., Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

72. Тельковская О. В. О некоторых новых типах автомодельных решений уравнения теплопроводности в LS-режиме // Препринт ИАЭ, Москва, 5021/1, 1990, 15 стр.

73. Тихонов А. Н. и др. Нелинейный эффект образования самоподдерживающегося высокотемпературного электропроводного слоя газа в нестационарных процессах магнитной гидродинамики // ДАН СССР, т.173, 4, 1967, стр.808.

74. Хакен Г. Тайны природы. Синергетика: наука о взаимодействии, М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.

75. Чернавский Д. С. Синергетика и информация, М.: Наука, 2001.

76. Bank R. Е., Chan Т. F. PLTMGC: A multi-grid continuation program for parameterized nonlinear elliptic systems // Research report YALEU/DCS/RR-261, 1983, Yale University, USA.

77. Bebernes J., Bressan A., D. Eberly. A description of blow-up for the solid fuel model // Indiana Univ. Math. J., 36, 1987, pp.295-305.

78. Bebernes J., Eberly D. Mathematical problems from combustion theory. // Appl. Math. Sci. 83, Springer-Verlag, New York, 1989.

79. Berger M., R. Kohn. A rescaling algorithm for the numerical calculation of blowing up solutions // Comm. Pure Appl. Math., 41, 1988, pp.841-863.

80. Berryman J. G., C. Y. Holand. Stability of the separable solution for fast diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal., v.74, 1980, pp.379-388.

81. Bizon P., Tabor Z. On blowup for Yang-Mills fields // Phys. Rev. D, 64, 2001, p.121701.

82. Budd C. J., Carretero-Gonzales R., R. D. Russell. Precise computations of chemotactic collapse using moving mesh methods // J. Сотр. Phys., 2003 (submitted).

83. Budd C. J., Galaktionov V. A., J. F. Williams. Self-similar blow-up in higher-order semilinear parabolic equations // SIAM J. Appl. Math., 2003 (submitted).

84. Budd C. J., Huang W., R. D. Russell. Moving mesh methods for problems with blow-up // SIAM J. SCi. Сотр., v.17, 2, 1996, pp.305-327.

85. Budd С. J., Piggott M. D. Geometric integration and its applications, 2002. www.math.bath.ac.ik/-cjb/

86. Budd C. J., Piggott M. D. The geometric integration of scale invariant ordinary and PDE // J. Сотр. Appl. Math., 128, 2001, pp.399-422.

87. Cermak L., M. Zlamal. Transformations of dependent variables of the finite element solution of non-linear N-evolution equations // Int. J. Num. Meth. Engng., v. 15, 1980, pp.31-40.

88. Chavanis P.-H., Rosier C., Sire CI. Thermodynamics of self-gravitating systems // Preprint, 2000.

89. Chen С. M. Superconvergence of finite element approximations to nonlinear elliptic problems // Proc. of the China-France Sympozium on FEM, ed. F.Kang, J.Lions, Science Press, Beijing, 1983, pp.622-640.

90. Chen С. M. Superconvergence of finite element solution and its derivatives // Numer. Math. J. Chinese Univ., v.2, 2, 1980, pp.12-20.

91. Chen C.-M., S. Larsson, N.-Y. Zhang. Error estimates of optimal order for finite element methods with interpolated coefficients for the non-linear heat equation // IMA J. Numer. Anal., v.9, 1989, pp.507-524.

92. Christie I., D. F. Griffiths, A. R. Mitchel, J. M. Sanz-Serna. Product approximation method for non-linear problems in the finite element method // IMA J. Num. Anal., 1, 1981, pp.153-266.

93. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol.1: Symmetries, Exact Solutions and Conservation Lows, Ed. by Ibragimov, CRC Press Inc., 1993.

94. Dold J. M. Analysis of the early stage of thermal runaway // Quart. J. Mech. Appl. Math., 38, 1985, pp.361-387.

95. Donets E. E., Streltsova О. I., Boyadjiev T. L. Self-similarity and singularity formation in a coupled system of Yang-Mills-dilaton evolution equations / / Phys. Rev. D, 2003 (in press)

96. Dorodnitzyn V. A., R. Kozlov. The whole set of symmetry preserving discrete versions of a heat transfer equation with a source // J. Phys.A: Math.Gen., 30, 1997, pp.8139-8155.

97. Douglas Jr., Dupont T. Some Superconvergence Results for Galerkin Methods for the Approximate Solution of Two-point Boundary Value Problems //In Topics in Numerical Analysis, Academic Press, 1973, pp.89-92.

98. Douglas Jr. J, Dupont Т., Wheeler M. F. An L°° Estimate and Superconvergence Result for a Galerkin Method for Elliptic equations based on a tensor products of piecewise polynimials // RAIRO Model Math. Anal. Numer8, 1974, pp.61-66.

99. Eberly D., W. Troy. On the existence of logarithmic-type solutions to Kassoy problem in dimension 3 // Preprint, 1987.

100. Eriksson K., Nie Y. Y. Convergence analysis for a nonsymmetric Galerkin method for a class of singular boundary value problems in one space dimension // Math. Сотр., vol.42, 1984, pp.345-367; // Math. Сотр., v.49, 1987, pp.167-186.

101. Eriksson K., Thomee V. Galerkin methods for singular boundary value problems in one space dimension // Math. Сотр., v.42, 166, 1984, pp.345-367.

102. Fujita H. On the blowup of solutions of the Cauchy problem for ut = &u + u1+a // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. A, Math,., v.16, 1966, pp.105-113.

103. Galaktionov V. A. Asymptotic selfsimilar global blow-up for a quasilinear heat equation // Diff. and Int. Eq., v. 10, 3, 1997, pp.487-497.

104. Galaktionov V. A., Vazquez J. L. Blow-up for quasilinear heat equations described by means of nonlinear Hamilton-Jacobi equations // J. Differ. Eq., v. 127, 1, 1996, pp. 1-40.

105. Galaktionov V. A., Vazquez J. L. Continuation of blow-up solutions of nonlinear heat equation in several space dimentions // Comm. Pure Appl. Math., v.L, 1997, pp. 1-67.

106. Galaktionov V. A., Vazquez J. L. Regional blow-up in a semilinear heat equation with convergence to a Hamilton-Jacobi equation // SIAM J. Math. Anal. 24, 1993, pp.1254-1276.

107. Galaktionov V. A., Vazquez J. L. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations. //J. Discrete and continuous dynamical systems, 2002, BV. 8, № 2, pp. 399-433

108. Giga Y., Kohn R. V. Asymptotically self-similar blow-up of semilinear heat equations // Comm. Pure. Appl. Math., 38, 1985, pp.297-319.

109. Giga Y., Kohn R. V. Characterizing blowup using similarity variables // Indiana Univ. Math. J., 36, 1987, pp. 1-40.

110. Greenberg J. M. Spiral waves for Л и systems // SIAM J. Appl. Math., 39, 1980, pp.301-309.

111. Hacken G. Synergetics. An introduction. Nonlinear Phase-Transition and Self-organization in Physics, Chemistry and Biology, Springer, 1977.

112. Hagan P. S. Spiral waves in reaction-diffusion equations // SIAM J. Appl. Math., 42, 1982, pp.762-876.

113. Hairer E., C. Lubich, G. Wanner. Geometric Numerical Integration. Structure-preserving Algorithms for ODE. Springer 2002.

114. Hatri M. El. Superconvergence error estimates for the lumped mass approximation of parabolic equations // Докл. БАН, т.36, 5, 1983, стр.575-578.

115. Herrero M. A., Velazquez J. L. L. Blowup behaviour of one-dimensional semilinear parabolic problems // Ann. Inst. Henry Poincare, 10, 1993, pp.131-189.

116. Iserles A., H. Z. Munthe-Kaas. S. P. Norsett, A. Zanna. Lie-group methods // Acta Numerica, 2000, pp.215-365.

117. Jespersen D., Ritz-Galerkin methods for singular boundary value problems // SI AM J. Numer. Anal., v.15, 1978, pp. 13-36.

118. Koga S. Rotating spiral waves in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys., 67, 1982, pp. 167-178.

119. Kuramoto Y., Koga S. Turbulized rotating chemical waves // Prog. Theor. Phys., 66, 1981, pp.1081-1083.

120. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of the dissipative structures in reaction-diffusion systems // Prog. Theor. Phys., 54, 1981, pp.687-699.

121. Kurdyumov S. P. Evolution and self-organization laws in complex systems, Int. J. Modern Phys. Cl(1990), 229-327

122. Kurdyumov S. P., Samarskii A.A. and Zmitrenko N. V. Heat localization effects in problems of ICF (inertial confinement fusion), Int. J. Modern Phys. B9 (1995), 1797-1811

123. Levin H. A. The role of critical exponents in blowup theorems // SI AM Rev. 32, 1990, pp.262-288.

124. Luke Y. L. On generating Bessel functions by use of the backward recurrence formula // Aerospace Res. Lab., Report ARL 72-0030, 1972.

125. Luke Y. L. The special functions and their approximations, Vol. 1,2, Academic Press, New-York, 1969.

126. Nochetto R. H., C. Verdi. Approximation of degenerate parabolic problems using numerical integration // SIAM J. Numer. Anal., v.25, 1988, pp.784-814.

127. Nuckolls J., Wood L., Thiessen A., Zimmerman G., Laser Compression of Matter to Super-High Densities: Thermonuclear (CTR) Applications. Nature, v.239, no.5368, 1972, p. 139

128. Rose M. Numerical methods for flows through popous media / j Math. Сотр., v.40, 1983, pp.435-467.

129. Schreiber R., S.C. Eisenstat. Finite element methods for spherically symmetric elliptic equations. SIAM J. Numer. Anal, 18, 1981, pp. 546-558.

130. Thomee V. Galerkin FEM for parabolic problems, Lecture Notes in Matem. 1054, 1984.

131. Trubnikov B. A., Zhdanov S. K. Unstable quasi-gaseous media // Phys.Reports, 155, 1987, pp. 137-230.

132. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. B, 237, 1952, pp.37-72.

133. Yi-Yong-Nie, V. Tomee. A lumped mass FEM with quadrature for a nonlinear parabolic problem // IMA J. Numer. Anal., 5, 1985, pp.371-396.

134. Wilhelmsson H. Diffusion, creation and decay processes in plasma dynamics: evolution towards equilibria and the role of bifurcated states // Nucl. Phys. A, 518, 1990, pp.89-98.

135. Wilhelmsson H., Etlicher В., Cairns R. A., Le Roux M.-N. Evolution of temperature profiles in fusion reactor plasma // Physica Scripta, 45, 1992, pp.184187.

136. Wilhelmsson H., Lazaro E. Reaction-diffusion Problems in the Physics of Hot Plasmas. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 2001.