автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Асимптотика контрастных структур в вариационных задачах в среде аналитических вычислений на ЭВМ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОГРАММНЫХ СИСТЕМ

На правах рукописи

АСИМПТОТИКА КОНТРАСТНЫХ СТРУКТУР В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ В СРЕДЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ

Специальность 05.13.17. - теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Переславль-Залесский - 1996

Работа выполнена о Институте программных систем РАН

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук, профессор Дмитриеи М.Г.

доктор физико - математических наук, профессор Гердт В.П. доктор физико - математических наук, профессор Курина Г,А. Ведущая организация: Ярославский государственный университет

Защита состоится • 1996 г. в (Л часов на заседании Спе-

циализированного совета Д.200.36.011 в Институте программных систем

Адрес: 152140, г.Переславль - Залесский Ярославской обл., м. Ботик, 1111С РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан «.к*!»__1996г.

Ученый секретарь Специализированного совета,

кандидат физико - математических наук, доцент

Официальные оппоненты:

РАН.

В.Н.ЮМАГУЖИНА

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интенсивное развитие теории оптимального управления обусловлено многочисленными ее приложениями в теоретических и прикладных дисциплинах. Большое внимание при этом уделялось построению асимптотических методов решения задач с малыми параметрами.

Данная работа принадлежит к направлению исследований задач оптимального управления методами теории сингулярных возмущений.

Одним из асимптотических методов, успешно применяемых в теории оптимального управления, является метод пограничных функций А.Б.Васильевой, который позволяет не только обосновать известные инженерные приемы упрощения математических моделей, но и на основе разделения движений избежать "жесткости" и предложить приближенные схемы декомпозиции на задачи меньшей размерности. Обычно методы сингулярных возмущений применялись в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению соотношений, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности. Однако при этом явно не раскрывается вариационный смысл асимптотических приближений и условий построения асимптотики и не учитывается вариационная природа исходной постановки, в принципе позволяющая вводить новые конструкции в формализм построения асимптотики, что в свою очередь расширяет области применения асимптотических методов.

Ряд важных прикладных задач в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике приводят к уравнениям типа реакция-адвекация-диффузия. Во многих случаях (быстрая реакция, малая диффузия и т.д.) такие уравнения являются сингулярно возмущенными, и как следствие, их решения имеют зоны быстрого пространственно-временного изменения (пограничные и внутренние слои). Такие решения называются контрастными структурами. Значительную роль в развитии теории контрастных структур сыграли работы А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова и Н.Н.Нефедова.

Прямая схема применения метода пограничных функций к задачам оптимального управления, предложенная М.Г.Дмитриевыми развитая им совместно с С.В.Белокопытовым максимально приспособлена к решению вариационных задач и в последнее время это на-

правление плодотворно развивается Г.А.Куриной, В.Е.Капустяном и др.

Будущее асимптотических методов во многом связано с интеграцией известных, ставших уже классическими, методов с новыми подходами, основанными на использовании искусственного интеллекта. и символьных вычислений (методов компьютерной алгебры (КА)).

Многие авторы (Соболев В.А., Пендюхова Н.В., Климов М.В., Дмитриев М.Г., J.Barbot и др.) использовали символьные вычисления для реализации асимптотических методов расчета оптимальных решений.

При этом известна большая роль полиномиального образа исходной задачи с позиции последующего применения методов КА. В этом направлении появляются и специфические математические задачи. Одна из них - выбор множества, где операции могут быть выполнены, а вторая - доказательство реализуемости того или иного алгоритма и его конечности. Этому и была посвящена работа Orgozen М.К., Longman R.W., в которой были выдвинуты концепции программируемости и компактной программируемости и показано, что в среде обобщенных пуассоновских рядов два известных метода решения квазилинейной регулярно возмущенной задачи об оптимальном регуляторе программируемы и компактно программируемы.

К сожалению, систематических исследований по анализу применения КА в возмущенных задачах оптимального управления и особенно в сингулярно возмущенных задачах оптимального управления в литературе не проводилось.

Цель работы заключается в развитии и обосновании прямой схемы применения метода пограничных функций в задачах оптимального управления с контрастными структурами, и в решении вопросов реализации полученных теоретических результатов в среде аналитических вычислений на ЭВМ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- построены, на основе развития прямой схемы, асимптотические разложения контрастных структур в простейшей вариационной векторной задаче;

- показано, что контрастные структуры типа ступеньки связаны с точками глобального максимума, а структуры типа всплеска -с точками локального максимума функции достаточных условий оптимальности Кротова В.Ф.;

- выделено специальное множество полиномов с экспоненциальными коэффициентами, в котором метод пограничных функций является программируемым в среде системы аналитических вычислений REDUCE при построении асимптотики решения начальной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными движениями;

- на языке системы аналитических вычислений REDUCE написаны программы получения задач высших приближений при построении асимптотики контрастных структур.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты работы могут быть использованы для обоснования реализуемости алгоритма метода пограничных функций в других сингулярно возмущенных задачах, при работе в среде систем аналитических вычислений при построении и обосновании асимптотики решения контрастных структур в векторном случае для общих сингулярно возмущенных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на школе " Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993), на семинарах исследовательского центра процессов управления ИПС РАН, на семинарах Васильевой А.Б., Бутузова В.Ф. в МГУ, на международных совещаниях "Сингулярные решения и возмущения в системах управления" (Переславль-Залесский, 1993, 1995), на международных совещаниях "Новые компьютерные технологии в системах управления" (Переславль-Залесский, 1994, 1995).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит/"^стр апиц, библиография ^^наименований использованной литературы.

Основное содержание работы

Во введении кратко изложена история рассматриваемого вопроса, обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель и научная новизна работы, раскрыто краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается простейшая вариационная задача с контрастными структурами.

В §1.1. приводится постановка задачи и ее обсуждение. Рассма-

тривается задача:

Jt(uc) = /0Т(й(г£,<) +Ь'(хе, {)и, + ±е2и'(ие)(И—► Ре-{ Хе(1) = ЩЦ),

хс(0,е) = х°, хс(Т,е) = хт,

где х£(1) £ и£(*) € Л", 6(ж£,0 € Л", а(ге,0 € Я, е - малый параметр, Т - данное положительное число, штрих означает транспонирование, (ге, «е) € О = X х £У, где - множество допустимых пар (х£,и£), где и£(<) - достаточно гладкая вектор-функция.

Для простоты можно сделать замену переменных и исходная задача сводится к следующей:

Г Л(и£) = /оТ(а(х£^) + 6(х£,0«£+|€2«'£«е)Л—»М, (1.1) ¿«(О = «£(0, (1.2)

( ««(0,е) = 0, х£(Г,е) = 0.

В §1.2. обоснованы понятия контрастных структур в векторном случае сингулярно возмущенных уравнений. Для этого вводится некоторая вспомогательная автономная система дифференциальных уравнений.

Если эта вспомогательная система имеет гомоклиническую траекторию и в исходной сингулярно возмущеной системе появляется решение с внутренним слоем, соответствующем этой гомоклиниче-ской траектории, то это решение называется решением типа "всплеска" в п-мерном пространстве.

Если вспомогательная система имеет сепаратрису, ведущую из седла в седло, и в исходной сингулярно возмущенной задаче появляется решение с внутренними слоями, соответствующими згой сепаратрисе, то это решение называется решением с внутренним переходным слоем в «-мерном пространстве.

Асимптотику решения вариационных задач в диссертации строим на основе прямой схемы применения метода пограничных функций. Алгоритм построения асимптотики заключается в непосред-стенной подстановке постулируемого асимптотического разложения в условия задачи и функционал и последующем последовательном решении, появляющихся при этом задач минимизации более простой структуры.

В §1.3. доказана теорема разложения минимизирующего функционала для прямой схемы. Используя принцип оптимальности

В.Ф.Кротова, получается решение вырожденной задачи - единственный глобальный максимум и строится формальное асимптотическое решение,

Теорема 1.1. Пусть /: Д^1)** хй —► Я, («/0,. ■ .и>„,е) .—► ¡(хио,..., №„,«), где w¡ Е Я*, г = 0, п и пусть

п

Дш0,. ..,«;„, е) = /о(и>о) + 2 «*/<(«'«. • • •. *»о) + 0(еп+1).

1=1

Тогда для достаточно малых е > О

п

(«ВО,...,«)») "»о ^

где

= Ыщ,й>1-и-о). % = а^тГД(ш), ¿ = 0,1-1.

Наряду с задачей Ре рассмотрим так называемую вырожденную задачу Р, получающуюся из (1.1), (1.2) при £ = О

{/(б) = ¡ц{а{х, ¿) + Ь'(х, г)й)(И —► Ы, ¿(0 = «(0,

¿(0) = 0, х(Т) = 0. Аь Пусть 3* = 'т{ 3 > —оо.

Аг- Пусть функции а{х,1), Ь{х,1) достаточно гладкие по своим аргументам, причем

дЬ, 56,- . . -—

, г,з = 1, п.

где <) =

Сначала в задаче (1.1), (1-2) строим асимптотику с пограничными слоями

№ = = , е) + ПЦт0, с) •+ Яги(п, с),

где £>(*, () = й»о(0 + ей>1(<) + ... - регулярный ряд по е , с коэффициентами зависящими отt! П1с(го, е) = Погу(то) + еП]и|(го) + .. ■ - левый

пограничный ряд по е с коэффициентами, зависящими от г0 = <Д и Цю(т1,е) = Яоги(тх) + €^110(7-1) + ... - правый пограничный ряд по е с коэффициентами, зависящими от т\ =

Стандартным способом для регулярных членов имеем

¿¡(О = «¿(О.

Хг(0) + П;а:(0) = 0, г,-(Г) 4- 0) = 0, г = 0,1,....

Для пограничных функций П»ат, Щх получаем следующие уравнения и краевые условия

сШ^ж

dr0

= П,и,

П,а;(0) = -¿¿(О), lim П,ж(г0) = 0.

T0—-+0O

dRiX „ -7- = RiU,

drx

Rix{<S) = -¿AT), lim Rix(ji) = 0.

Tl—» — oo

В нулевом приближении для критерия Jc имеем:

уТ г+оо

Jo= (a(x0>t) + b'(x0,t)ü0)dt + b'(x о(0)+ J о Jo

+ПО£,0)П 0udr0 + I b'(x0(T) + Rax,T)R0iidrl.

J — oo

Лемма 1.1. Если выполнены условия Ai, Л2, тогда

Jo = J* = 0) + Г) — / supP(x0,t)dt.

Jo So

A3. Пусть функция P(x, t) имеет один глобальный максимум а(<), при 0 < t < Т, т.е.

P(a(t),t) = max P(x,t),

причем

P**{a{t),t) < 0.

Для задач ПоР и R0P получаем представления:

По Р:

' n1J = /0foo(P(Qo,0)-P(Qo + noa:,0)+ + |(П0и)'П0^т-0 —► inf

П0ж(0) = -а0, lim По£ = 0.

Тц—'СО

П0и

RoP:

' Д0/ = 1;°°(Р(аг, Г) - Р(ат + Й0х,Г)+ + |(i2ou)'i2o«)ciT'i —> inf,

HqU

ff = Äo«.

Доя(О) = — аг, lim До* = 0.

Т1-»-00

A4. Пусть начальные значения Пог(0) = — о(0), Rqx(Q) = —at(T) принадлежат области влияния задач ПоР, RqP соответственно.

Лемма 1.2. Пусть выполнены условия Ai — A4, тогда оптимальное решение Приято), Rqw(ti) задач ПоР, RoP существует, единственно и удовлетворяет оценкам

ПоЦго) ||< се"

II Row(ro) ||< се"

где а и с - некоторые положительные числа. Для высших приближений имеем

( Л(_п+1) = -

I " п41

I ¿п+КО = «п+1(0.

где Я*+1(0, Я„2+1(<) зависят от известных членов ^ 0 < 3 < п.

' П2(п+1)+1/ = -/0°°(1(П„+1г)' • Р(а0+ Пог,0)П»+1а:-Ь + 1(Пп+1и)'П„+1и + Я^+1(т0)Пп+1а;+

<Шп4-1Х ГГ

= Пп+1и,

П„+1Р:<

IU+i«

nn+ii(0) =-in+i(0), lim n„+ix(r0) = 0,

т0-»+оо

где Я^+1(го), Я^+1(го) зависят от известных членов П;гу(го),

0<j<n, 0</< n + 1.

Rn+iP-.

\ R2(n+1)+1J = - f0 (i(Rn+lx)'P(aT+ +Rax, T)Rn+1x + ±(Rn+1u)'Rn+1u+ +K+i(n)Rn+ix + Я^^тОЛп+щ)^ —- inf ,

R n+i"

dRn+ix _ T>

ÄB+ix(0) =-iB+i(r), lim Rn+1x(T1) = 0,

T i—*co

где #*+1(ri), Я^+1(г]) зависят от известных членов Rjw(ri), u>i(t), О <j<n, 0 </< п + L

А5. Решения задач Я,-, ЕГ,- г > 1 существуют, единственны

и удовлетворяют оценкам

(|П;*(т0) ||<се-от°, ||П.-«(п,)||<се-вГ0, г0 > О,

II RMn) ||< ceaTl, || Rtuin) ¡|< сеат>, та < О,

где а и с - некоторые положительные числа. Введем

1=0

+Д,.+1Ы(Ь31)) + 1(П0«(|) +

Тройка (хп, ип, называется формальным асимптотическим решением (ФАР) п-го порядка задачи Я£.

Теорема 1.2. Если выполнены условия А\ — Л5, то ФАР задачи Рс существует и единственно.

В §1.4 используя принцип оптимальности В.Ф.Кротова, строится решение вырожденной задачи на основе двух глобальных максимумов и ФАР с контрастной структурой типа ступеньки (перехода с корня на корень). Минимизируя функционал, находится точка перехода.

В1. Пусть существуют вектор-функции а(*) &Х, 7(<) Е X такие,

что

Я(а(0,<) = Я(7(0.0 = п1ахР(х,«),

причем

РтХ(а, 0 < 0, < 0. О < < < Т,

(для простоты максимумы »(<), ■уН) соседние).

Вг- Пусть в фазовом пространстве сепаратрисы, которые соединяют седла (а,0), (т>0Х образуют ячейку. Значение ¿, перехода будем искать в виде

I, + + ...+ еНк + ....

Значение функции х({,,с) в точке <» равняется к, которое можно представить в виде

к = к0 + ек1 + ... + епкп + ....

Асимптотику решения задачи построим в виде

,, аК'^е) + Пх(го,е) + ф^а^т, е), 0 <*<*,,

V - ^ £) + Дх(т1 > е) + д(2) г(Т) и <1<Т,

где г0 = Т1 = г =

Лемма 1.3. Если выполнены условия Лг, В?, то 7* =

Для задач Фо^Я, (З^Р имеем

Г*

"о •

С^Р: <

^ - - 1о°° РЫШо) - РЫ*о) +

(1),

¿тр - '«О м>

д'о^и

(№'х(0) =*о-о(<о), Нт ^^(г) = 0.

' ^ = - Сх(р(7(Ш0) - РМ*о)+«г^МсН

Лт ~~ Чо и>

дГх(0)=ко-1^о), 1Ш1 д^а)г(г) = 0.

Т—* + оо

Лемма 1.4. Если выполнены условия А1, Аг, Вь Вг, то для

любых <2(0;)а:(0) € = 1,2) оптимальное решение С}*0(:1)х(т),

О),

задач Qq1 1P (j — 1,2) существует, единственно и удовлетворяет оценкам

QlWx(T)\\<ce°\ II <2o11;u(t) ||< сеат, г < О

QfMr) ||< се-

QI{2)u(t) ||< се"

т > О,

где с и а - некоторые положительные числа, SJ - области влияния задач = 1,2).

Мы можем искать (ko,to), как вектор параметров, минимизирующий

Mo(io, h) = Q^J*{t0,Q^x(Q)) + gi2)/*(io,Q^2)x(0)),

где - оптимальное значение Q^J для конкретного Qo^£(0),

(j = 1,2), т.е.

(to. ¿о) = arg min M0(t, fc), (t,k)

или пара (io, fco) удовлетворяет уравнениям

B3. Пусть последняя система уравнений имеет решение (io, ко), причем Мо<г(<о,^о) > 0 и

1 д2мо з2м„ v at2 ai2

V stak ) >

> О

(t о,ко)

В4. Пусть начальные значения Поя(О) = —«(0), 'Яох(О) = —7(Г) принадлежат областям влияния задач ПоР, ДоР соответственно

Рп+1: <

(О + ^4-1 (06^1

= 2

inf

^n + l — "n + l>

Cö(') aW i

'-n+i — un +1!

где зависят от известных членов 0 < j <

r>d)

А2)

> зависят от известных членов Wj2\t), 0 < j <п.

Qi'L = - £оаСЖЪ*)'Р*Л<*(<о)+

i/nO)

1С1)

d Q

Qn+1*(0) = - 5$i(<o), lim QXhxiT) = 0,

(i)

где Я^+1(т), Я^+1(г) зависят от известных членов Q^w(t), "^(О. 0 <j<n, 0 < / < п + 1.

+H*+1(T)Q<£l1u)dT —> inf ,

Q&P:

^йх1 - n{2) t

1(2)

^l+i1

<ЗпЛ«(0) = *п+1 - 4+i(*o), rIjmTO Quh*(r) = 0,

где Я^+1(т), Я^+1(т) зависят от известных членов Q^w(r), 0 <j<n, 0 < / < п + 1.

В5. Пусть решения задач Д-, П,Р R{P и Q^P, Q^P существуют, единственны и удовлетворяют оценкам

II П,-х(ть) ||< се~ат°, || П««(ть) ||< се-°Го, т0 > 0, || Rix(n) ||< сеат\ || Riu(n) ||<сеат\ П < 0, || qPx(T) ||< , у QU)u(r) |,< ce-aMj

где а и с - некоторые положительные числа, i > 1, j = 1,2.

Теорема 1.3. Если выполнены условия А\, /Ь, В\ — Я5, тогда ФАР задачи существует и единственно.

В §1.5 используя принцип оптимальности В.Ф.Кротова, строится решение вырожденной задачи на основе локального максимума, и строится ФАР. Минимизируя функционал, находится точка всплеска.

,(2)

Ci- Пусть функция: P(x,t) имеет локальный максимум в точке х = а(<) (т.е. Px(a,t) 4 0, Pxx(a,t) < 0), причем существует функция х ~ 7(0 такая, чт^ P(y(t),t) = P(a(t),t) и Pt{f(t),t) Ф 0 (для определенности »¿(0 <| 7«(0> 1 = 1, п).

Сг. Пусть в фазовом пространстве сепаратриса, которая выходит из точки покоя тира седла образует "петлю", т.е. сепаратриса состоит из гомоклинических точек.

Точку скачка буАем искать в виде t, =ta + et i-f.. . + entn + ..., в которой ¿(<„, с) = 0. |

Стандартным способом строим асимптотику в виде

x(t,e) = x{t,c)+nx(T0,e) + Qx{T, е) + Rx{tu е),

u(t,e) = ¿(t,e),

где го = i, г = i^, n = *=£, Qx(r,e) = ZZ0e'QiX(r) -

ряд,описывающий "всплеск" решения в окрестности точки т — t-t. е

Лемма 1.5. Если выполнены условия Ai, Сi, Сг, то справедливо Jq = J*.

Задача QqP выглядит следующим образом

' QtJ =2f+co(P(a(t0),t0)- P(a(t0) +QoX>h)+

+ |(Qo«)'<3ow)<ir —► min, Coli

d9°x — qquj

Qox(0) = y(to)-a(to), lim Q0x(t) = 0.

r-^+oo

QQP-

Лемма 1.6. Если выполнены условия Ai, А2, С2, то для любых Qo^O) 6 S оптимальное решение Qqx(t), Qqu(t) существует, единственно и удовлетворяет оценкам

II Qox(r) II— се_аТ) || Q*0u(t) ||< се—, т > О,

где а и с - некоторые положительные числа, S - область влияния

задачи QoP, to = arg i™n - a(<o))-

0<to<T

Сз- Пусть уравнение jüQiJ*{l{t) — <*(0)1«='о ~ 0 имеет единственное решение io € (О, T), причем

С4. Пусть начальные значения П0г(0), Яоя(О) принадлежат областям влияния задач ПоР, ЯоР соответственно.

С?п+1 Р:<

+<2оХ,и)С}п + 1Х + + + + Нп + \{т)()п+1Х+

-\-Н1^{т)С}п+\и)с1т—► шш ,

¿т — ЦГп + 1",

д„+1*(о) = о, Нш д„+1х(т) = о,

Т—.±00

С5. Пусть решения задачи Р{, П,\Р, (¿¡Р и Я,-Р существуют, единственны и удовлетворяют оценкам

|| П,х(го) ||< се~ат°, || П,-и(го) ||< се~ат°, т0 > О,

|| Ягх(п) ||< сеаТ1, || Ъи(п) ||< сеаг>, п < О, II (2гх(т) ||< се""°'т', II <?,Чг) ||< ее-'И,

где а и с - некоторые положительные числа, г > 1.

Теорема 1.4. Если выполнены условия А]., Лг, С\ — С5, тогда ФАР задачи существует и единственно.

Во второй главе для рассматриваемых классов задач приведено обоснование предложенной схемы декомпозиции и получены утверждения о близости построенного асимптотического приближения к точному решению исходной задачи.

В §2.1 получен новый вариационный путь обоснования приближенной декомпозиции и доказательств утверждений о субоптимальности формального асимптотического решения, основанный на свойстве сильной выпуклости.

В работе на основе асимптотики хп для всех случаев строятся допустимые траектории X*, , и отвечающие им допустимые управления (7^, 17%, 11%.

Теорема 2.1. Если существует точное решение (я*, и*) с пограничным слоем для исходной задачи и выполнены условия А\ — Л5, тогда для достаточно малых е > 0, справедливы следующие оценки

|| ^ - Х1п{1, 0 ||с< се"+\ || «; - ||^< се"+\

\3;-3п\<се2п+2, (2.1)

где с - некоторые положительные числа.

Теорема 2.2. Если существует точное решение (г*, и*) с внутренним переходом для исходной задачи и выполнены условия Ль Лг, В1 — В5, тогда для достаточно малых е, справедливы следующие оценки

|| г: - Х^,е) \\с< се"+\ || и* - С^.е) \\ь,< «"+1,

|/;-/п|<Сб2"+2, (2.2)

где с - некоторые положительные числа.

Теорема 2.3. Если существует точное решение (х*,и*) с "всплеском" для исходной задачи и выполнены условия А\, Аг, С\ ~ тогда для достаточно малых е > О, справедливы следующие оценки

|| х; - X3n(t,t) \\с< се»*1, || U* - U*{t,¿) ||L,< сб"+1,

\J: -Jn\< ce2"+2, (2.3)

где с - некоторые положительные числа.

В §2.2 Приводится доказательство существования локального минимума для рассматриваемых классов. Введем множества

XSl = {*(<) G C[0¡T]: || *(<) - хе ||с< ¿г, х(0) = х(Т) = 0} , где xe(t) = a(í)+noa;(To)-bñoíc('ri)+Qo(0> " некоторое постоянное. U5¡ = {«(í):u(t) £ ¿2[0, T¡, и = x, x(t) £Xh}. = [x{t) £ C[QtTy. \\x-xt ||c< 62, «(0) = r(T) = 0} ,

?m-f <*{t) + nax{To)+Qox(T)+Qo{t), i £ [0,*.], 7{t) + Qox(T)+Rüx{r)+Q0{t), t £ [U,T].

u6, = {«(t) e L2[o,T], ¿ = u, x(t) 6 xS2}.

*«, = {«(*)€ q0lT]: ||x(í)-ít(í)||e<63, x(0) = i(T) = 0} ,

r£(í) = a(t) + П0а;(го) + Q0x{t) + ñ0x(n) + Q0(t),

Usз = {«(<) € ¿2[0,T]: u = ¿, a:(0 £Xh}.

Аб . Пусть Pxx(x, t) < 0 при всех x(t) £ Xsl. Be- Пусть Pxx(x,t) < 0 при всех x(t) £ Хь2. Ce- Пусть Pxx{x,t) < 0 при всех x(t) £

Доказывается, что множества Ь'б1 = 1,2,3) выпуклы и замкнуты, функционал 3(и) сильно выпуклый на Х$ х = 1,2,3).

Теорема 2.4. Если выполнены условия А\ — тогда на множестве Х{1 х I]ьх существует единственный локальный минимум (г*, и*) для исходной задачи, причем справедливы оценки (2.1).

Теорема 2.5. Если выполнепы условия А\, А2, В\— Ве, тогда на множестве X^ х Хь2 существует единственное минимальное решение (г*, и*) с переходом с корня на корень для исходной задачи, причем имеются оценки (2.2).

Теорема 2.6. Если выполнены условия А\, А2, С1 — Сб, тогда на множестве Х^3 х существует единственное локальное минимальное решение (х*, и*) типа "всплеска" для исходной задачи и справедливы оценки (2.3).

В §2.3 доказывается, что "погранслойный" член и "внутрислой-ный" член дают положительное значение, так что решение типа "всплекса" неоптимальное. Дается способ построения оптимального решения в исходной задаче.

Лемма 2.1. Значения погранслойных членов Щ7*, Я1/* положительные.

Следствие 2.1. Значение внутрислойного члена (¿хЗ* положительное.

Теорема 2.7. Решение типа "всплеска" не является оптимальным.

Теорема 2.8. Траектория с четным количеством переходов не является оптимальной траекторией для исходной задачи при достаточно малых е > 0.

Теорема 2.9. При условиях А\, А2, В\ —В5 пара (ж*(<), и*(<)) является оптимальным решением в исходной задаче.

В §2.4. получено новое свойство асимптотических приближений - строгое уменьшение значения функционала в исходной задаче с каждым новым асимптотическим приближением, полученным по прямой схеме. Доказано, что каждое приближение - это элемент улучшения.

Пусть требуется минимизировать функционал

Гт 1

1е(и)= (а(х,0+ Ь'(х^)и + -е2г/и)Л—мпГ, Л) 2 «е

при ограничениях

¿ = и, х(0,е) = х°, гг£Дп, и € Дп,

где с -малый параметр, а(х, - достаточно гладкие функции.

Нам нужно условие

96; дЬ> . . — Введем новые переменные

г< 1

яггСО = / (а(М) + +

»(О = ~ *)>

где '-р{1, ж) получается из следующей задачи

<рх(г,х) = Ь( ж,<), ¥>(х(Г),Т)=0.

В новых переменных исходная задача имеет вид

1е(«) = у(Т) —>шГ,

ас = и.

2/ = -Р(х,<)+ ±с2и'и, *((),€) = г0, у(0, е) = 0.

В качестве допустимой траектории возьмем экспоненциально близкую к Хп(1, е)

г°(*, 0 = ад о - £ ¡=0

где е) - га-я частичная сумма асимптотики.

Приведем процедуру улучшения (Гурман В.И). Элемент улучшения ж^.е) получается из следующей задачи

с2хг = -Рг(11,<), ж^О.е) = ¿Х(Г) = 0.

Это есть уравнение Эйлера для исходной задачи. Пусть имеем следующие оценки

II. Ц х1(1,е)-Хт+п(1,е) ||< сеп+т при 0 < % < Т, II П,х(г0) ||< се~т\ ¿ = 0,п + тп,

|| ЗДг,) ||< сет', III. Матрица РХ1(1,е) является отрицательно определенной для всех < £ [0,Т]и х £ Л".

Вместо Хп+т вводим допустимую траекторию.

п+т гр

i1(t,e)=Xn+m(t,e)- J2 --)•

¿=0

Теорема 2.10. При выполнении условий I — III и достаточно малых б > 0 имеем

1({й1) < 1((й9),

¿1 -о Л0

где и — i , и — х .

В третьей главе установлена связь алгоритма, который получается из теории, с реализацией на компьютере.

В §3.1 доказано, что метод пограничных функций является программируемым.

Построено множество, которое замкнутое для всех нужных операций в процедуре построения асимптотики. Рассмотрим задачу Коши

Г ff = F(z,y,t), t0<t<T, { %=f{z,y,t), { x(to,e) = x°,

z и у - вектор - функции произвольных размерностей Мит. х означает z и у в совокупности, т.е. х = {z, у}. Мы можем строить асимптотику в виде (первый формализм А.В.Васильевой)

г(<,е) = х(*,б) + Пг(т,£),

где

оо 1=0

Пх(г,б) = £Vnäx(r), 1=0

1

П,х(т) = х{(т) - Tkxkj-k, т =

1=0

i-t о

г "Xkij-k, т=->

fc=o

Xk i представляют собой к-ый коэффициент, который получается из разложения ¿o(f) по степеням (í — ío), т.е.

x¡(t) = x0¡ + (í - t0)xu + ... + (*- t0fxki + ....

Пусть ReXi{t) < 0 при t0 < t < T, i = 1,2,..., Ai,где A¿(í) находятся из характеристического уравнения

det(F¿(t) - АЕм) = 0.

Каждый член асимптотики получается из следующей задачи

Г % = F(zo,y0>Í0), го(0) = г°, lf = 0, !й>(0) = У°.

Г % = (r)zk + Fyo (r)yt + А (г), к > 1, 1^-=Л-1(т), yt(0) = 0, zk(0) = 0,

dr

где

JV + 1

''=1.....íP=i а?>!

а! + ... + ар = А;

fc-i 1 ЛГ+1

а9 > 1 Qi + ... -I- ар — к — 1

Р=Х р■ 11=1,...л=1 > 1

{

dt

di к

Г 0 = F(¿o,ñ,t), l d-fr = f(zo,m,t), yo(<o) = y°,

Руа (t)yk + Fk(t),

Ук где

(ío) = / (/*-l(r)-/t-l(r))dr, Jo

N

a? > 1

ai + ... 4- ctp — n

N

\ (0)

Mr) - Уо(0)

\ *о(0)

i (1)

УЛГ) - yi(0)

1 *х(0)

(n)

Ук(т) Ук(0)

*t(0)

p = 2 íl=l,= ! Q?>!

Orí + ... -f ctp = n

приведем схему последовательного нахождения хк(т), ¿fc(<),

¿o (т)

*i(t)

{Уо(М Уо(0 -+ z0(t0)

(0)

I yi(ío)->i/i(0-»*i(0-*i(<o)

i (1)

§k-i{to) 2*-i(0 ¿fc-i(to) 1

(*-l) J

yk(to)-*yk(t)-*Zb(t)-*zk(to) "]

(*) i

Основное множество образуется таким образом

í P(v,z) = TZ=1cky'*z°>eK'I уеск, ) Ф =lz£fír, Ск(=С\ 7k(=Jk, ak£Rn, ),

{ рке сп, к = 1,2.....JV J

здесь N < оо, J - множество положительных целых чисел.

Если fk = 0, ак 6 J", fe = 1, iV < оо, то получаем подмножество

Г С Ф.

Если -у* = 0, at 6 Jn, Р/с = 0, то получаем подмножество Д С Ф.

Лемма 3.1. Множество Ф является замкнутым относительно следующих операций:

1. сложение двух элементов из Ф;

2. умножение двух элементов из Ф;

3. возведение в целую положительную степень элемента Ф;

4. подстановка элемента из Ф вместо аргумента в Р(у, z) 6 Ф;

5. частное дифференцирование Р(у, z) € Ф по г и(или) по у;

6. подстановка элемента типа t -f шер вместо аргумента z в Р(у,*)€Ф.

Лемма 3.2. Множество Ф является замкнутым при предельном процессе.

Замечание 3.1. Для множества Д утверждения лемм 3.1 и 3.2 имеют место.

Теорема 3.1. Если все компоненты F, f из Ф и выполнены условия основной теоремы А.Б.Васильевой об асимптотике начальной задачи, то метод пограничных функций является программируемым.

Если функции F, f имеют линейную структуру с постоянными коэффициентами, то мы можем гарантировать компактную про-граммируемость.

Запишем F, f в виде

F = Az + By + gi{t),

f = Cz + Dy + g2(t),

где А, В, C, D - постоянные матрицы.

Теорема 3.2. Пусть матрица А имеет М отрицательных собственных значений = 1, М) и функции gi(t), 5г(0 из Г, то метод пограничных функций - компактно программируемый.

В §3.2 используя алгоритм метода пограничных функций, с помощью системы REDUCE мы составили программы для получения задач определения членов асимптотики с контрастными структурами в задаче оптимального управления и приводим примеры, иллюстрирующие применения этх программ.

Основные результаты диссертации

1. Построены асимптотики с контрастными структурами в простейшей вариационной задаче. Показано, что в исходной задаче решение типа "ступеньки" связано с двумя глобальными максимумами и одинаковыми значениями функции P(x,t), которая введена по принципу Кротова, а решение типа "всплеска" связано с локальным максимумом функции P(x,t).

2. Доказано, что каждое асимптотическое приближение - есть элемент улучшения функционала, при этом имеет место

Лип+т) < J(un)-

3. Образовано основное множество Ф для метода пограничных функций, и показано, что этот метод программируемый в исходной задаче, и, для некоторых классов задач - компактно программируемый.

4. С помощью системы аналитических вычислений REDUCE составлены программы для получения задач определения членов асимптотики решения типа "ступеньки" и "всплеска".

Публикации содержащие основные результаты диссертации:

1. Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань. Метод улучшения и задачи оптимального управления с малым параметром. // Сб.трудов " Теоретические и прикладные основы программных систем". Переславль-Залесский. 1994. С.301 - 307.

2. Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань. Контрастные структуры в простейшей векторной вариационной задаче и их асимптотика. // Сб.трудов "Теоретические и прикладные основы программных систем". Переславль-Залесский. 1994. С.363 - 386.

3. Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань. Асимптотика решения простейшей вариационной задачи, близкой к вырожденной и контрастные структуры. // Тез.докл. "Понтрягинские чтения-IV". 1993. Воронеж. С.67.

4. Dmitriev M.G., Ni Ming Kang. Asymptotics of cheap controls, contrast extremals and computer algebra methods. "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". Proceedings of international workshop, Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995, p.32 -33.

5. Dmitriev M.G., Ni Ming Kang. Asymptotics of singularly perturbed optimal control problems and computer algebra methods applications. "New Computer Technologies in Control Systems". Proceeding of international workshop. Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995, p.ll - 12.

6. Ni Ming Kang. A critical case of the general nonlinear boundary value problem // Journal of East China Normal University (Natural Science). 1991.N3, p.13 - 18 (кит.).

7. Ni Ming Kang and Lin Wu Zhong. A conditionally stable BVP of the singular perturbation equation system with some small parameters // Journal of East China Normal University (Natural Science). 1992. N1, p.14 - 23 (кит.).

8. Ni Ming kang. The existence of solusions of a class of index 0 singular purturbed equation // Journal of East China Normal University (Natura Science). 1992. N2, p.7 - 13 (кит.).