автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Асимптоматика контрастных структур в вариационных задачах в среде аналитических вычислений на ЭВМ

о

, , . Г) '

российская академия наук

институт программных систем

На правах рукописи

Ни Минь Кань

асимптотика контрастных структур в вариационных задачах в среде аналитических вычислений на эвм

Специальность 05.13.17. - теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Переславль-Залесский - 1995

Работа выполнена в Институте программных систем РАН

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Дмитриев М.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Гердт В.П. доктор физико - математических наук, профессор Курина Г.А. Ведущая организация: Ярославский государственный университет

Защита состоится 1996 г. в 13 часов на заседании Спе-

циализированного совета Д.200.36.011 в Институте программных систем РАН.

Адрес: 152140, г.Переславль - Залесский Ярославской обл., м. Ботик, ИПС РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан

«Ш> 1996г.

Ученый секретарь Специализированного совета,

кандидат физико - математических наук, доцент

В.Н.ЮМАГУЖИНА

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интенсивное развитие теории оптимального управления обусловлено многочисленными ее приложениями в теоретических и прикладных дисциплинах. Большое внимание при этом уделялось построению асимптотических методов решения задач с малыми параметрами.

Данная работа принадлежит к направлению исследований задач оптимального управления методами теории сингулярных возмущений.

Одним из асимптотических методов, успешно применяемых в теории оптимального управления, является метод пограничных функций А.Б.Васильевой, который позволяет не только обосновать известные инженерные приемы упрощения математических моделей, но и на основе разделения движений избежать "жесткости" и предложить приближенные схемы декомпозиции на задачи меньшей размерности. Обычно методы сингулярных возмущений применялись в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению соотношений, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности. Однако при этом явно не раскрывается вариационный смысл асимптотических приближений и условий построения асимптотики и.не учитывается вариационная природа исходной постановки, в принципе позволяющая вводить новые конструкции в формализм построения асимптотики, что в свою очередь расширяет области применения асимптотических методов.

Ряд важных прикладных задач в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике приводят к уравнениям типа реакция-адвекация-диффузия. Во многих случаях (быстрая реакция, малая диффузия и т.д.) такие уравнения являются сингулярно возмущенными, и как следствие, их решения имеют зоны быстрого пространственно-временного изменения (пограничные и внутренние слои). Такие решения называются контрастными структурами. Значительную роль в развитии теории контрастных структур сыграли работы А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова и Н.Н.Нефедова.

Прямая схема применения метода пограничных функций к задачам оптимального управления, предложенная М.Г.Дмитриевыми развитая им совместно с С.В.Белокопытовым максимально приспособлена к решению вариационных задач и в последнее время это на-

правление плодотворно развивается Г.А.Куриной, В.Е.Капустяном и др.

Будущее асимптотических методов во многом связано с интеграцией известных, ставших уже классическими, методов с новыми подходами, основанными на использовании искусственного интеллекта и символьных вычислений (методов компьютерной алгебры (КА)).

Многие авторы (Соболев В.А., Пендюхова Н.В., Климов М.В., Дмитриев М.Г., J.Barbot и др.) использовали символьные вычисления для реализации асимптотических методов расчета оптимальных решений.

При этом известна большая роль полиномиального образа исходной задачи с позиции последующего применения методов КА. В этом направлении появляются и специфические математические задачи. Одна из них - выбор множества, где операции могут быть выполнены, а вторая - доказательство реализуемости того или иного алгоритма н его конечности. Этому и была посвящена работа Orgozen М.К., Longman R.W., в которой были выдвинуты концепции программируемое^ и компактной лрограммируемости и показано, что в среде обобщенных пуассоновских рядов два известных метода решения квазилинейной регулярно возмущенной задачи об оптимальном регуляторе программируемы и компактно программируемы.

К сожалению, систематических исследований по анализу применения КА в возмущенных задачах оптимального управления и особенно в сингулярно возмущенных задачах оптимального управления в литературе не проводилось.

Цель работы заключается в развитии и обосновании прямой схемы применения метода пограничных функций в задачах оптимального управления с контрастными структурами, и в решении вопросов реализации полученных теоретических результатов в среде аналитических вычислений на ЭВМ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- построены, на основе развития прямой схемы, асимптотические разложения контрастных структур в простейшей вариационной векторной задаче;

- показано, что контрастные структуры типа ступеньки связаны с точками глобального максимума, а структуры типа всплеска -с точками локального максимума функции достаточных условий оптимальности Кротова В.Ф.;

- выделено специальное множество полиномов с экспоненциальными коэффициентами, в котором метод пограничных функций является программируемым; в среде системы аналитических вычислений REDUCE при построении асимптотики решения начальной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными движениями;

- на языке системы аналитических вычислений REDUCE написаны программы получения задач высших приближений при построении асимптотики контрастных структур.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты работы могут быть использованы для обоснования реализуемости алгоритма метода пограничных функций в других сингулярно возмущенных задачах, при работе в среде систем аналитических вычислений при построении и обосновании асимптотики решения контрастных структур в векторном случае для общих сингулярно возмущенных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на школе "Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993), на семинарах исследовательского центра процессов управления ИПС РАН, на семинарах Васильевой A.B., Вутузова В.Ф. в МГУ, на международных совещаниях "Сингулярные решения и возмущения в системах управления" (Переславль-Залесский, 1993, 1995), на международных совещаниях "Новые компьютерные технологии в системах управления" (Переславль-Залесский, 1994, 1995).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержиту^Сстраниц, библиография^наименований использованной литературы.

Основное содержание работы

Во введении кратко изложена история рассматриваемого вопроса, обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель и научная новизна работы, раскрыто краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается простейшая вариационная задача с контрастными структурами.

В §1.1. приводится постановка задачи и ее обсуждение. Рассма-

тривается задача:

-i

Jí(ut) = /0 (й(г£,<) + Ь'(хе^)ие + —► ¡п£,

, И е

^ ¿е(<)=ие(«),

х£(0,е) = г°, 1£(Г, е) = а:7,

где хе(<) € А", «<(*) € Я"\ ¿(ге,/) € Я", а(а:е,<) 6 Я, е - малый параметр, Т - данное положительное число, штрих означает транспонирование, (хе, и,) <= и = X х и, где Б - множество допустимых пар (г£, и£), где - достаточно гладкая вектор-функция.

Для простоты можно сделать замену переменных и исходная задача сводится к следующей:

Рс.<

Jc{ut) = + Ь{х(,г)ие + §е2<ие)Л —» (1.1)

¿е(<) = и((0, (1.2)

[а;£(0,е) = 0, ге(Т,с)= 0.

В §1.2. обоснованы понятия контрастных структур в векторном случае сингулярно возмущенных уравнений. Для этого вводится некоторая вспомогательная автономная система дифференциальных уравнений.

Если эта вспомогательная система имеет гомоклиническую траекторию и в исходной сингулярно возмущеной системе появляется решение с внутренним слоем, соответствующем этой гомоклиниче-ской траектории, то это решение называется решением типа "всплеска" в п-мерном пространстве.

Если вспомогательная система имеет сепаратрису, ведущую из седла в седло, и в исходной сингулярно возмущенной задаче появляется решение с внутренними слоями, соответствующими этой сепаратрисе, то это решение называется решением с внутренним переходным слоем в л-мерном пространстве.

Асимптотику решения вариационных задач в диссертации строим на основе прямой схемы применения метода пограничных функций. Алгоритм построения асимптотики заключается в непосред-стенной подстановке постулируемого асимптотического разложения в условия задачи и функционал и последующем последовательном решении, появляющихся при этом задач минимизации более простой структуры.

В §1.3. доказана георема разложения минимизирующего функционала для прямой схемы. Используя принцип оптимальности

В.Ф.Кротова, получается решение вырожденной задачи - единственный глобальный максимум и строится формальное асимптотическое решение.

Теорема 1.1. Пусть /: х Я —► Я, (ы>0, ...юп,е)>—>

/(ш0,... ,К7п,е), где и, € Я-к, г = 0,п и пусть

п

Г(т, ...,«;„,£)= /оЫ + ■ ■ • + 0(£Г,+1)-

«=1

Тогда для достаточно малых е > О

п >=1

где

Мт) = % = а^тГ Д(и;), * = 0,1-1.

ти

Наряду с задачей Р£ рассмотрим так называемую вырожденную задачу Р, получающуюся из (1.1), (1.2) при £ = О

Р-<

й) - /0Т(а(х,<) + Ь'(х,г)й)Л —>■ тГ,

¿(0 = «¡(о,

, ®(0) = 0, ®(Г) = 0.

А1. Пусть I* = тГ 3 > —оо.

Аг- Пусть функции а(я,£), Ь(х, <) достаточно гладкие по своим аргументам, причем

дъ> дЬ5 . .

т~ - я > 1>; = 1 ох2 ах{

Р(г,*)=-а(г,<)+ ?«(*,*),

где ^(г,*) = Ь(х,1).

Сначала в задаче (1.1), (1.2) строим асимптотику с пограничными слоями

ги = = й(<, с) + ПЦто, е) +- ЯЦтх, е),

где й>(1, е) = гЬоЦ) + е«>1 (<)-)-...- регулярный ряд по с , с коэффициентами зависящими от<, Пи'(то, е) — Поги(то) + еП1и;(то) + ... - левый

пограничный ряд по с с коэффициентами, зависящими от то = </е и Дш(т!, с) = Ло) + е^ю^тх) + . - - - правый пограничный ряд по е с коэффициентами, зависящими от т} =

Стандартным способом для регулярных членов имеем

¿¿(О =

¿¡(0) + П,я(0) = 0, г,-(Г) + Я,-а:(0) = 0, г = 0,1,....

Для пограничных функций Г^аг, Я,ж получаем следующие уравнения и краевые условия

сШ.ж

dr0

= Л,-«,

П,-®(0) =-ii(O), lim п4«(ть) = 0.

dRiX

—— = RiU,

dTi

RixtO) =-xAT), lim RiXÎTi) = 0.

Т\ —- — oo

В нулевом приближении для критерия Jt имеем: ¡■т у + оо

Jo= {a(xo,t)-+b'(xo,t)üo)dt+ / Ь'(*о(0)+ J о J о

/°

-HI0z,0)IWr0-f / b'(£0(T) + Rqx, T)R0vdTi.

J —oo

Лемма 1.1. Если выполнены условия -Aj, А 2, тогда

J* = J* = -^(0,0) + у(0,Г) - f sapP(x0,t)dt.

J 0

A3. Пусть функция P(x,t) имеет один глобальный максимум a(f), при 0 <t <Т, т.е.

P(a(t),t) = maxP(a,i),

X

причем

P„(tt(<),i) < 0.

Для задач П0Р и RqP получаем представления:

П0Р:

' П!/=:/0+00(Р(а0,0)-Р(ао + Пог,0)+ +!(n0u)'n0ii)dTo —♦ inf

П0ж(0) = -а0, lim Пог; = 0.

Го—»oo

n0u

RoP-.<

' RoJ = /0-оо(р(аг, Т) - Р(ат + Rqx,T)+ + ^(R0u)'R0u)dn —> inf,

Ro«

^f = До«.

Rox(0) = —ат, lim Rqx = 0.

T] —. — oo

А4. Пусть начальные значения Пок(0) = Roz(0) = —а(Т)

принадлежат области влияния задач ПоР, ДоР соответственно.

Лемма 1.2. Пусть выполнены условия А\ — Л4, тогда оптимальное решение Щи>(то), задач ПоР, ЯоР существует, единственно и удовлетворяет оценкам

II ПоЦго) ||< се~ат°, || й0м(го) ||< се

ат 1

где а и с - некоторые положительные числа. Для высших приближений имеем

Г Л(_«+D = - /0T(|(4>i(0)'^xx(a,<)^+i(0+ А.+Г- { + Я»+1(0«в+1(0)Л — jnf , I u»+i

l ¿»+l(0 = ö»+l(0.

где //r' + 1(t), Я„+1(0 зависят от известных членов Wj(t), 0 < j < п.

' П2(п+1)+1 J = - /0°°(1(Пп+1 х)' ■ Р(ао + П0х,0)П„+1а;+

+ i(nn+1u)'nn+1u+Я^+1(г0)Пп+1г+

+Я2+1(го)Пп+1«)с(го —» inf ,

n„+iu

dro ~ U"+1_U'

n„+ia;(0) = -х„+1(0), lim П„+1а;(го) = 0,

Го->+оо

П„+1 Р:

где Я^+1(то), Я^+1(го) зависят от известных членов П,и>(го), w/(t),

о < 3 <п, 0 < / < 1.

Лп+1 М

+Л0х,Г)Яп+1г + А(Дп+1и)/Дп+1и+

+ Я2+1(г1)Дп+1и)с/т1 —» М ,

Дп+1«

"¿тТ - +

7гп+1х(0) = -¿Я+1(Г), Нш Я„4.1*(т-1) = о,

гх—»оо

где Н1+1(тх), зависят от известных членов Я;-ги(т1), гй/(<),

О < < п, 0 < / < п + 1.

А5. Решения задач Р,, П,Р, г > 1 существуют, единственны и удовлетворяют оценкам

|| П,-г(го) ||< се~ат", || П,и(г0) ||< се~аТа, т0 > О,

|| Я^Ы ||< сеот\ ||Л,-«(п)||<севГ1, п < О,

где а и с ■ некоторые положительные числа. Введем

¡=о

= £?=0 £'(«¿(0 + ^+1^)+

Тройка (хп, й„, «7П) называется формальным асимптотическим решением (ФАР) п-го порядка задачи Ре.

Теорема 1.2. Если выполнены условия А1 — Л5, то ФАР задачи Р£ существует и единственно.

В §1.4 используя принцип оптимальности В.Ф.Кротова, строится решение вырожденной задачи на основе двух глобальных максимумов и ФАР с контрастной структурой типа ступеньки (перехода с корня на корень). Минимизируя функционал, находится точка перехода.

В1. Пусть существуют вектор-функции а(<) 7(<) 6 X такие,

что

Р(о(<), 0 = Р(у(4), *) = ша хР(х, <),

причем

Рг1(а, <) < О, Р«(7,0 < 0, 0 < * < Т,

(для простоты максимумы 7(<) соседние).

В2. Пусть в фазовом пространстве сепаратрисы, которые соединяют седла (а,0), (у, 0), образуют ячейку. Значение перехода будем искать в виде

и = *о + + • • • + (-ки + • - - •

Значение функции я(<„,е) в точке <« равняется к, которое можно представить в виде

к ~к0 + ек1 + ... + епкп + .... Асимптотику решения задачи построим в виде

х(1

л _ / «(1)(*. 0 + пФо, е) + (¡Мх(т, с), 0 < < <

где г0 = * п = г =

Лемма 1.3. Если выполнены условия Ах, Л?, В1, Вг, то ]* =

Для задач <Эд2^Р имеем

^ = - !о°° *о) - Р(<*(М + Ф^*, «о)+

тГ ,

(#*«(()) =*о-в(«о), Нт ¿#}*(г)=0.

Т —► — СО

= - 1Г (РЫШо) - р(7(*0)+и)+

г+со

шГ ,

- П(2)и лт — Ч?о ")

т—

Лемма 1.4. Если выполнены условия Ах, Аг, Вх, В2, то для любых £ {) = 1,2) оптимальное решение

задач ф^Р (з = 1,2) существует, единственно и удовлетворяет оценкам

II Я1{1)х{т) ||< се-, II С?;(1)и(т) ||< се-, г < О,

|| Я1[2)х{т) Ц< се—, " || С?;И«(г) ||< се~ат, т > О,

где с и а - некоторые положительные числа, 5-1 - области влияния задач Я[рР3Ц= 1,2).

Мы можем искать (&о>*о)> как вектор параметров, минимизирующий

- 01

О'=1,2), Т.е.

где д^Ь* - оптимальное значение для конкретного <3д^а:(0),

(<о,*о) = а^гшпЛ/о(£, к), или пара (¿о> удовлетворяет уравнениям

{

Вз- Пусть последняя система уравнений имеет решение (¿о, Аго), причем М(»2(<о.&о) > 0 и

(д2ма д*мв \ д^ дк2

V дtдk > >

> О

Оо,*о)

В4. Пусть начальные значения По^(О) = —а(0), йох(О) = —у{Т) принадлежат областям влияния задач ЩР, -КоР соответственно

св(0 а(2) Л

¿(1) -й(1) ^«+1 — и-

п-Ц>

где зависят от известных членов м)^^), 0 < ^ <

гД1)

&(2)

п> Нп+Л*)* К+гЮ зависят от известных членов 0 < 3 <п

Я

(1)

¿я

(1) 3

=<?Й1«.

(О

где зависят от известных членов д^и>(г),

0 < 3 < п, 0 < / < п + 1.

+#п2+гМ<Э$1«)<*т —> юГ ,

(2)

^^ - 0<2) и ¿г — <«п+1и>

<Йх*(°) = *п+1 - ®Й1(<о), т1;шо дй^М = о,

где Я*+1(т), Я^+1(г) зависят от известных членов д^гу(г), (><¿<71, 0 < / < п + 1.

В5. Пусть решения задач Д-, П,-Р ЩР и Я^Р существу-

ют, единственны и удовлетворяют оценкам

|| П,х(т0) ||< се~ата, || П,Ы(г0) ||< се-аТ0, г0 > О,

II Я.хЫ ||< сеап, || Д,Чп) ||< сеат\ г, < О,

II д^гСг) ||< се^М, || ||< се-а|П)

где а и с - некоторые положительные числа, г > 1, } = 1,2.

Теорема 1.3. Если выполнены условия Аг, В\ — Я5, тогда ФАР задачи существует и единственно.

В §1.5 используя принцип оптимальности В.Ф.Кротова, строится решение вырожденной задачи на основе локального максимума, и строится ФАР. Минимизируя функционал, находится точка всплеска.

и

Ci- Пусть функция P(x,t) имеет локальный максимум в точке х = a(t) (т.е. Px(oc,t) = 0, PTX(a,t) < 0), причем существует функция х - 7(0 такая, что P(y(t),t) = P{a(t),t) и Px(j(t),t) ф 0 (для определенности ct,(i) < fi(t), i = l,n).

C2. Пусть в фазовом пространстве сепаратриса, которая выходит из точки покоя типа седла образует "петлю", т.е. сепаратриса состоит из гомоклинических точек.

Точку скачкаf, будем искатьв виде*. = t0 + eii + . • .+i"t„ + -. в которой xiit,, е) = 0.

Стандартным способом строим асимптотику в виде

x(i, е) = x(t,c) + Пх(то, е) + Qx[t, е) + Rx(ti, е), u(t,e) = x(t,e),

где т0 = i, т = n = Qx(t, е) = EiV^M -

ряд,описывающий "всплеск" решения в окрестности точки tt, г = %-х.

€

Лемма 1.5. Если выполнены условия А\, Аъ, Ci, С2, то справедливо J Q = J*.

Задача QqP выглядит следующим образом

QiJ = 2/0+0°(Р(а(г0),<о) - P(a{ta)+Q0x,ta)+

+ UQou)'QQu)dr —у min,

Qou

^ = Qou,

Qoz(0)=f(to)-<*(io), lim Qqx{t) — 0.

T—++-00

QQP-{

Лемма 1.6. Если выполнены условия А\, А2, С\, Сз, то для любых Qor(0) € S оптимальное решение Q*qx(t), Qqu(t) существует, единственно и удовлетворяет оценкам

|| Q*qx{t) ||< се-ат, || Q*0u(t) ||< ce—, т > О,

где а и с - некоторые положительные числа, S - область влияния задачи QqP, t0 = arg min Q\J*(y(to) -a(t0)).

0 <i0<T

C3. Пусть уравнение QiJ*(y(t) - o(i))|i==io = 0 имеет единственное решение t0 6 (0, T), причем

~Qir(7(i)-a(i))|t=<o>0.

С4. Пусть начальные значения Поаг(О), Иог(О) принадлежат областям влияния задач По Р. До Р соответственно.

Qn+iP-

Q2(n + l)+lJ= -2/0°°(i(Q„+lS:)'Pr:(Q(io) + +Qox,to)Qn+ix + l(Qn+iu)'Qn+iu + Hk+\(r)Qn+iB+

+H%+l{t)Qn+lu)dr—> min,

Q »+1«

dT — Vn+l^i

Qn+ii(0) = 0, lim Qn+1x{r) = 0,

r—CO

C5. Пусть решения задачи P,-, П,-Р, QiP и Л,Р существуют, единственны и удовлетворяют оценкам

¡1 П,х(го) ||< «Гаг°, || П,-«(ть) ||< се~"\ г0 > 0,

II Jtix(n) ||< сеат', || /1,-и(п) ||< ceaTl, г2 < 0, \\QMr)\\<ce-a^, Пд.-иМЦ^се-»!^,

где а и с - некоторые положительные числа, i > 1.

Теорема 1.4. Если выполнены условия А\, А2, С\ — С5, тогда ФАР задачи существует и единственно.

Во второй главе для рассматриваемых классов задач приведено обоснование предложенной схемы декомпозиции и получены утверждения о близости построенного асимптотического приближения к точному решению исходной задачи.

В §2.1 получен новый вариационный путь обоснования приближенной декомпозиции и доказательств утверждений о субоптимальности формального асимптотического решения, основанный на свойстве сильной выпуклости.

В работе на основе асимптотики £„ для всех случаев строятся допустимые траектории XХ^ и отвечающие им допустимые управления (7*,

Теорема 2.1. Если существует точное решение (х*, и*) с пограничным слоем для исходной задачи и выполнены условия А\ — тогда для достаточно малых с > 0, справедливы следующие оценки

II <~Xln{t,e) \\с< «"+1, || < - С£(*,е) ||ia<

IJ; - Jn\ < се2п+\ (2.1)

где с - некоторые положительные числа.

Теорема 2.2. Если существует точное решение (г*,и*) с внутренним переходом для исходной задачи и выполнены условия А\, /42) В\ — В&, тогда для достаточно малых е, справедливы следующие оценки

Н ||с< II - С/„2(М) |и,< «"+1,

|/;-/„|<с£ап+2, (2.2)

где с - некоторые положительные числа.

Теорема 2.3. Если существует точное решение (ж*, и*) с "всплеском" для исходной задачи и выполнены условия Аг, С\ — С5, тогда для достаточно малых е > О, справедливы следующие оценки

II х; - ||с< сеп+1, II и* - и»(<, е) ||^<

^-Л^сс2^2, (2.3)

где с - некоторые положительные числа.

В §2.2 Приводится доказательство существования локального минимума для рассматриваемых классов. Введем множества

Хв1 = {*(*) 6 С[0,ту. || с(<) - х< ||е< ¿ъ аг(О) = х(Т) = 0} , где ¿е(<) = а(<)+По£(то)+Доя(т1)+Фо(0> " некоторое постоянное.

= {«(<): и{1) € Ь2[03Т]» « = *> *(*) € Щ •

Х*2 = {«(0 € С[о,г}: II х-хе ||с< 62, 1(0) = г(Т) = 0} ,

*(4\-! а(<) + П01(7ь)+д0а:(г)+до(0. <б[0,М, Н 7(*)+<гог(г) + Дох(т) + <?о(<),. < 6 [и,Т].

= {и(1) € М0.Г1, * = «(*) € ЗД .

Х6г = {*(<) € С[0>г]: || х(г) - хе(<) ||с< ¿з, х(0) = х(Т) = 0} ,

хе{1) = «(*) + П0*(т0) + <Эо х(т) + Пох(п) + д„(*),

и(з = \и{г) € ь2[0, Г]: и = X, х(1) £ ЗД .

Ае. Пусть Р„(х,0 < 0 при всех х(1) £ В6. Пусть Ргг(а;,<) < 0 при всех а:(<) 6 Сб. Пусть Ргг(х, 0 < 0 при всех х(<) €

Доказывается, что множества U¿j } (У = 1,2,3) выпуклы и замкнуты, функционал ]{и) сильно выпуклый на Хб} х [¡¡] = 1,2,3).

Теорема 2.4. Если выполнены условия А\ ~ тогда на множестве х [/{, существует единственный локальный минимум (х*, и*) для исходной задачи, причем справедливы оценки (2.1).

Теорема 2.5. Если выполнены условия Аг, Вд — Вв, тогда на множестве Х^ х Х&2 существует единственное минимальное решение (х*, и*) с переходом с корня на корень для исходной задачи, причем имеются оценки (2.2).

Теорема 2.6. Если выполнены условия Лг, Сд — Сб, тогда на множестве Х(3 х Гг2 существует единственное локальное минимальное решение (х*е, и*) типа "всплеска" для исходной задачи и справедливы оценки (2.3).

В §2.3 доказывается, что "погранслойный" член и "внутрислой-ный" член дают положительное значение, так что решение типа "всплекса" неоптимальное. Дается способ построения оптимального решения в исходной задаче.

Лемма 2.1. Значения погранслойных членов Щ,/*, J* положительные.

Следствие 2.1. Значение внутрислойного члена <5x7* положительное.

Теорема 2.7. Решение типа "всплеска" не является оптимальным.

Теорема 2.8. Траектория с четным количеством переходов не является оптимальной траекторией для исходной задачи при достаточно малых с > 0.

Теорема 2.9. При условиях А\, А2, — В5 пара (ж*(<), «*(<)) является оптимальным решением в исходной задаче.

В §2.4. получено новое свойство асимптотических приближений - строгое уменьшение значения функционала в исходной задаче с каждым новым асимптотическим приближением, полученным по прямой схеме. Доказано, что каждое приближение - это элемент улучшения.

Пусть требуется минимизировать функционал

/т 1 1((и)= / (а(2,г) + г/(х,<)и+ -е2и'и)М—> тГ, Уо 2 у.

при ограничениях

х=и, х(0,()=х°, гей", иеяп,

где е -малый параметр, а(х^), Ь(х^) - достаточно гладкие функции. Нам нужно условие

ды дь5 . . _

Введем новые переменные

Jo

где , х) получается из следующей задачи

( ¥>х^,х) = \ ф(Т),Т) = 0.

В новых переменных исходная задача имеет вид

1({и) = у{Т) —♦ ¡пГ X — и,

х(0,е) = х°, у(0, с) = 0.

В качестве допустимой траектории возьмем экспоненциально близкую к Хп(1,е)

т (

1=0

где - п-я частичная сумма асимптотики.

Приведем процедуру улучшения (Гурман В.И). Элемент улучшения х1^, е) получается из следующей задачи

б2!1 = —Рг (я1, <), ж1(0,е) = = 0.

Это есть уравнение Эйлера для исходной задачи. Пусть имеем следующие оценки

II. 1| х1^,е)-Хт1гП{1,с) ||< сеп+т при 0 < < < Г, II П,а;(го) ||< се~Т\ г' = 0,п + т,

И RMn) ||< ceTl, III. Матрица Px^t, e) является отрицательно определенной для всех t е [0, Т]и х £ Rn.

Вместо Хп+т вводим допустимую траекторию.

п+т

x1(t,e) = Xn+m(t,e)~ £ -)•

¡=0

Теорема 2.10. При выполнении условий I — III и достаточно малых с > 0 имеем

/Дй1) < 7£(üe),

-1 -1 -о где и = г , и — х .

В третьей главе установлена связь алгоритма, который получается из теории, с реализацией на компьютере.

В §3.1 доказано, что метод пограничных функций является программируемым.

Построено множество, которое замкнутое для всех нужных операций в процедуре построения асимптотики.

Рассмотрим задачу Коши

еж = Г(г>У' 0. tQ<t<T,

£ = f{',y,t),

x(t0,e) = х°,

г и у - вектор - функции произвольных размерностей Мит. х означает г и у в совокупности, т.е. х = {г, у]. Мы можем строить асимптотику в виде (первый формализм А.Б.Васильевой)

х{г,е)= х{1,£) + Пх(т, е),

где

со

¿=0

со

Ех(т,е) =£У'П,-:С(т), ¿=о

ПгХ(т) = Х{(т) ~У2ткхк,}-к, т=--—,

, с

к = 0

Хк,1 представляют собой к-ый коэффициент, который получается из разложения ¿о(0 по степеням (< —^o), т-е.

¿|(0 = Х01 + 0 - *о)хц + ...+(<- + ....

Пусть ЯеА,-(<) < 0 при to < t <Т, ¿=1,2,..., М,где А,-(<) находятся из характеристического уравнения

Каждый член асимптотики получается из следующей задачи Лл,

Лт

где

^ = 0, 2/о (0) =

I ^ = 2/*(0) = 0, ^(0) = О,

N+1

= Е (^....хОо Е п?=1*»\

ад > 1 О! + ... + ар = к

Р=2р/1=1,...,гр=1 Л}>1

¿-1 1

Р=1 .....'»=1 а0 > 1

а! + ... + ар — к — 1

Г 0=Р(го,£М), I ^ = /(го,Эй,<), Уо(<о) = зЛ

/•ОО

(М = / (Л-1(г)-Л-1(г))ЙГ,

./О

Ук где

1 "

р-2 г1 = 1,...,гР=1 ао>1

«1 + .. • + ар = п

p=2 '' = 1.....'*=1 а,>1

ai + ... + qp — n

приведем схему последовательного нахождения Xk(r), ik(t),

(0)

Уо(г) 2/o(0)

-го(О) - г0 (г)

(1) 1 У1(г) - 2/i(0)

*i(0) - *i(r) J

í 1

I zk(0) - *fc(r) J

{¿MM ^ 2/o(0*o(<o) 1

(0) J

I CD J

Ук-\{to) y*-i(f) h-i{t) 2fc_i(to) 1

(к - 1) J

(*) J ""

Основное множество образуется таким образом

í P(y,*)=T%=íCkV1kza*efo\ у 6 Ск, $=lzeRn, Ск&С\ у kEJk, ak€Rn, [ &€С\ * = 1,2,...,JV

здесь N < oo, J - множество положительных целых чисел.

Если уь =0, a* £ J", к = 1, iV < оо, то получаем подмножество

Г С Ф.

Если jk =0, ctk £ Jn, fik = 0, то получаем подмножество Д С Ф.

Лемма 3.1. Множество Ф является замкнутым относительно следующих операций:

1. сложение двух элементов из Ф;

2. умножение двух элементов из Ф;

3. возведение в целую положительную степень элемента Ф;

4. подстановка элемента из Ф вместо аргумента в P(y,z) 6 Ф;

5. частное дифференцирование Р(у, z) € Ф по г и(или) по у;

6. подстановка элемента типа t -f иср вместо аргумента z в P(y,z)e Ф.

Лемма 3.2. Множество Ф является замкнутым при предельном процессе.

Замечание 3.1. Для множества Д утверждения лемм 3.1 и 3.2 имеют место.

Теорема 3.1. Если все компоненты F, f из Ф и выполнены условия основной теоремы А.Б.Васильевой об асимптотике начальной задачи, то метод пограничных функций является программируемым.

Если функции F, f имеют линейную структуру с постоянными коэффициентами, то мы можем гарантировать компактную про-граммируемость.

Запишем F, / в виде

F = Az+By+gi(t),

f = Cz+ Dy+g2(t),

где А, В, С, D - постоянные матрицы.

Теорема 3.2. Пусть матрица А имеет М отрицательных собственных значений = 1 ,М) и функции </i(<), <7г(0 из Г) то метод пограничных функций - компактно программируемый.

В §3.2 используя алгоритм метода пограничных функций, с помощью системы REDUCE мы составили программы для получения задач определения членов асимптотики с контрастными структурами в задаче оптимального управления и приводим примеры, иллюстрирующие применения этх программ.

Основные результаты диссертации

1. Построены асимптотики с контрастными структурами в простейшей вариационной задаче. Показано, что в исходной задаче решение типа "ступеньки" связано с двумя глобальными максимумами и одинаковыми значениями функции Р(х, <), которая введена по принципу Кротова, а решение типа " всплеска" связано с локальным максимумом функции P(x,t).

2. Доказано, что каждое асимптотическое приближение - есть элемент улучшения функционала, при этом имеет место

J{Un+m) < J(un).

3. Образовано основное множество Ф для метода пограничных функций, и показано, что этот метод программируемый в исходной задаче, и, для некоторых классов задач - компактно программируемый.

4. С помощью системы аналитических вычислений REDUCE составлены программы для получения задач определения членов асимптотики решения типа "ступеньки" и "всплеска".

Публикации содержащие основные результаты диссертации:

1. Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань, Метод улучшения и задачи оптимального управления с малым параметром. // Сб.трудов " Теоретические и прикладные основы программных систем". Переславль-Залесский. 1994. С.301 - 307.

2. Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань, Контрастные структуры в простейшей векторной вариационной задаче и их асимптотика. // Сб.трудов "Теоретические и прикладные основы программных систем". Переславль-Залесский. 1994. С.363 - 386.

3. Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань, Асимптотика решения простейшей вариационной задачи, близкой к вырожденной и контрастные структуры. // Тез.докл. "Понтрягинские чтения -IV". 1993. Воронеж. С.67.

4. Dmitriev M.G., Ni Mmg Kang; Asymptotics of cheap controls, contrast extremals and computer algebra methods. "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". Proceedings of international workshop, Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995, p.32 -33.

5. Dmitriev M.G., Ni Ming Kang, Asymptotics of singularly perturbed optimal control problems and computer algebra methods applications. "New Computer Technologies in Control Systems". Proceeding of international workshop. Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995, p.11 - 12.

6. Ni Ming Kang; A critical case of the general nonlinear boundary value problem // Journal of East China Normal University (Natural Science). 1991.N3, p.13 - 18 (кит.).

7. Ni Ming Kang and Lin Wu Zhong> A conditionally stable BVP of the singular perturbation equation system with some small parameters // Journal of East China Normal University (Natural Science). 1992. N1, p.14 - 23 (кит.).

8. Ni Ming kang, The existence of solusions of a class of index 0 singular purturbed equation // Journal of East China Normal University (Natura Science). 1992. N2, p.7 - 13 (кит.).