автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Трехмерное математическое моделирование твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на основе вариационных методов

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств и основные вариационные принципы

1.1. Применение электродинамических концепций к теории акустических полей и волн в телах

1.1.1. Уравнения электромагнитных и акустических полей

1.1.2. Основополагающие соотношения

1.2. Вариационные методы анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе билинейных функционалов

1.3. Проекционные методы анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств

1.4. Вариационные методы анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе теории возмущений 32 1.4.1. Принцип сравнения в теории возмущений

1.5. Вариационные методы синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств

1.5.1. Основные понятия теории некорректных задач

1.5.2. Методы решения некорректно поставленных задач

1.5.3. Решение обратных задач методом подбора

1.5.4. Решение обратных задач методом регуляризации

1.5.5. Вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов

1.6. Выводы

Глава 2. Математическое моделирование собственных частот твердотельных акустических резонаторных устройств на базе вариационных методов

2.1. Математическое моделирование собственных частот трехмерных твердотельных акустических резонаторов вариационным методом на базе билинейных и квадратичных функционалов

2.2. Эффективный численный алгоритм расчета собственных частот трехмерных акустических резонаторов на базе вариационного метода

2.3. Теоретические оценки точности математического моделирования собственных частот трехмерных акустических резонаторов

2.4. Математическое моделирование собственных частот свободных колебаний твердотельных акустических резонаторов на базе проекционного метода

2.5. Математическое моделирование собственных частот твердотельных акустических резонаторов на базе метода возмущений

2.6. Выводы

Глава 3. Математическое моделирование характеристических параметров твердотельных акустических волноводных устройств

3.1. Математическое моделирование элементов матриц рассеяния, проводимостей и сопротивления твердотельных акустических волноводных устройств на базе вариационного метода

3.2. Эффективный численный алгоритм расчета элементов матрицы проводимостей на базе вариационного метода

3.3. Теоретические оценки погрешности получаемых приближенных решений

3.4. Моделирование внутренних задач дифракции в твердотельных акустических волноводах на базе проекционного метода

3.5. Математическое моделирование постоянной распространения волны в твердотельных акустических волноводах на базе метода возмущений

3.6. Выводы

Глава 4. Синтез и оптимизация твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств

4.1. Синтез твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов с применением регуляризаторов Лагранжа и Тихонова

4.2. Построение регуляризаторов для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

4.3. Оптимизация вычислений: о построении алгоритмов минимизации функционалов с использованием метода динамического программирования

4.4. Выводы

Глава 5. Результаты моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе вариационных методов

5.1. Результаты анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств

5.1.1. Результаты нахождения собственных частот и собственных функций колебаний акустических резонаторов вариационным методом

5.1.2. Математическое моделирование и сравнение результатов расчета собственных частот акустических резонаторов вариационным методом, проекционным методом и методом возмущений Рэлея-Шредингера

5.1.3. Результаты математического моделирования регулярного акустического полоскового волновода

5.1.4. Математическое моделирование твердотельных акустических волноводных устройств на связанных линиях

5.1.5. Результаты математического моделирования нерегулярных твердотельных акустических волноводных устройств

5.2. Результаты синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств

5.2.1. Результаты синтеза акустических резонаторов

5.2.2. Результаты синтеза и оптимизации четвертьволновых акустических волноводных согласователей

5.3. Выводы 130 Заключение 131 Библиографический список 133 Приложение 1. Построение регуляризаторов Лагранжа и Тихонова для линейных операторных уравнений. Алгоритм градиентной 5 -минимизации

Актуальность исследования. В настоящее время твердотельные акустические волноводные устройства и резонаторы используются во многих областях науки и техники, где требуется уменьшение габаритов и веса при одновременном повышении стабильности и надежности радиоэлектронной аппаратуры. Диапазон частот применения твердотельных устройств на упругих волнах очень широк: они используются как в ультразвуковой технике низких частот, так и в микроволновом СВЧ диапазоне. Большой вклад в научные исследования этих устройств внесли Ю.В. Гуляев, В.А. Красильников, A.B. Медведь, И.А. Викторов, В.И. Пустовойт, Н.И. Синицын, Ю.А. Зюрюкин, Б.Д. Зайцев, W.P. Mason, В.А. Auld, Е.Р. EerNisse, H.F. Tiersten и другие отечественные и зарубежные ученые. Так как аналитические методы не позволяют в полной мере произвести адекватное и систематическое изучение параметров реальных акустических устройств, актуальной задачей является трехмерное математическое моделирование и исследование этих устройств на базе универсальных математических методов.

Самым перспективным в этом отношении является вариационный подход, позволяющий строить вычислительные алгоритмы для целых классов задач. Как показано в трудах С.Г. Михлина, М.А. Лаврентьева, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, Р. Куранта, К. Ректориса и других ученых, вариационные методы относятся к наиболее мощным и универсальным методам решения краевых задач математической физики.

Вариационные методы анализа становятся еще более эффективными, если они позволяют непосредственно выражать конкретные параметры моделируемого объекта через стационарное значение функционалов (Г.И. Марчук, В.В. Никольский, Я.Н. Фельд, Э.Л. Куликов), так как при этом удается повысить точность вычисления параметров и теоретически оценить погрешность получаемых расчетных данных. Прежде всего это возможно в случаях использования вариационных методов, базирующихся на билинейных функционалах. Эти же методы оказываются весьма удобными и при использовании их вместе с классическими квадратичными формами функционалов в задачах синтеза и оптимизации.

Однако в настоящее время вышеперечисленные методы при математическом моделировании твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств практически не используются, несмотря на значительные успехи применения аналогичных методов в электродинамике (В.В. Никольский, Э.Л. Куликов). Это объясняется тем, что, как считалось, их применение обосновано лишь при достаточно жестких ограничениях, например требовании симметричности или самосопряженности оператора. Хотя и имелись свидетельства тому, что вариационные методы применимы и при менее жестких ограничениях (В.В. Никольский, Э.Л. Куликов), но рецептов того, как построить в общем случае стационарные выражения типа билинейных функционалов с естественными граничными условиями, в акустике до последнего времени практически не было. Вышесказанное можно отнести и к тесно примыкающим к билинейным функционалам методам теории возмущений и проекционным методам.

Таким образом, представляется актуальным и перспективным дальнейшее развитие вышеупомянутых вариационных методов и алгоритмов на их основе, позволяющих решать трехмерные и в общем-то тензорные задачи анализа, синтеза и оптимизации твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств с высокой степенью точности. Актуальность этих исследований подчеркивается и Перечнем критических технологий и Приоритетных направлений развития науки, технологий и техники Российской Федерации, подписанных Президентом РФ В.В. Путиным 30 марта 2002 г., куда включены компьютерное моделирование и проектирование акустических узлов устройств акустоэлектроники.

Целью диссертационной работы является развитие вариационных методов трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств; разработка алгоритмов и программ расчета твердотельных акустических устройств, позволяющих расширить круг решаемых трехмерных задач и уменьшить объем вычислительных операций по сравнению с традиционными методами расчета; апробация алгоритмов и программ на тестовых задачах и проведение расчетов параметров конкретных твердотельных акустических устройств с теоретической оценкой точности результатов.

Научная новизна:

1. Сформулирована общая постановка задачи трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств в виде тензорных уравнений теории упругости, записанных в операторной и векторной форме, позволяющая рассматривать трехмерные задачи как с изотропными, так и с анизотропными средами, без ограничений на вид распространяющихся волн в твердотельных акустических устройствах.

2. Развит вариационный метод на базе билинейных функционалов, позволяющий за счет выбора сопряженной задачи получать функционалы, стационарное значение которых может быть сделано равным практически любому искомому характеристическому параметру или искомой функции исследуемых акустических устройств. Благодаря этому погрешность, получаемая при вычислении стационарного значения функционала, оказывается на порядок меньше погрешности функций сравнения при приближении решения и теоретически легко оценивается.

3. Для задач акустики развит проекционный метод, позволяющий наиболее эффективным образом переходить от выбранной постановки задачи в виде системы уравнений в частных производных к системе линейных алгебраических уравнений.

4. На базе теории возмущений развит метод и предложены функционалы, позволяющие значительно упростить и ускорить расчеты параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств.

5. Предложен новый вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов, позволяющий синтезировать устройства с заданной степенью точности.

6. На базе развитых методов построены эффективные вычислительные алгоритмы расчета с повышенной точностью основных параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств (собственных частот, постоянных распространения, элементов матриц проводимостей, сопротивления и рассеяния).

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы позволяют с повышенной точностью проводить инженерные расчеты параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств при минимальных затратах машинного времени на ЭВМ. Разработанные алгоритмы являются основой программ машинного проектирования твердотельных акустических устройств, используемых в научно-исследовательских разработках Саратовского государственного технического университета и предприятий электронной промышленности.

На защиту выносятся:

1. Вариационный метод моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств, позволяющий строить билинейные функционалы, стационарное значение которых может быть сделано равным практически любому искомому характеристическому параметру или искомой функции моделируемого объекта. За счет этого повышается точность расчетов параметров и появляется возможность теоретической оценки точности моделирования.

2. Проекционный метод моделирования твердотельных акустических устройств, позволяющий сразу переходить от выбранной постановки задачи в виде системы уравнений в частных производных к системе линейных алгебраических уравнений.

3. Метод математического моделирования твердотельных акустических устройств на базе теории возмущений и функционалы, позволяющие получить решение быстрее и проще, чем вышеперечисленными вариационными методами.

4. Новый вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств (на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов), позволяющий синтезировать устройства с заданной степенью точности.

5. Построенные новые вычислительные алгоритмы, позволяющие эффективно и с заданной точностью определять значения собственных частот, элементов матриц проводимостей, сопротивления и рассеяния, постоянных распространения твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств.

Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских научно-технических конференциях: «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, СГТУ, 1998, 2000, 2002); «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 1999, 2003); «Современные методы в теории краевых задач», Понтрягинские чтения - X, XI, XII, XIII (Воронеж, ВГУ, 1999, 2000, 2001, 2002); «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, ВГУ, 2000); «Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, НГТУ, 2000); «Методы и средства измерений» (Нижний Новгород, 2000); «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, 2000); 4-м, 5-м,

6-м IEEE Saratov-Penza Chapter «Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике» (Саратов, 2000, 2001, 2002); «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, СамГТУ, 2001); «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, СГУ, 2002); «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Энгельс, 2002); «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, ТГУ, 2002); «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 2002); «Шаг в будущее» (Воронеж, 2002); «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, КГТУ, 2002); «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 научных работ. Основные результаты отражены в 19 публикациях.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 153 страницах и состоит из введения, 5 глав и заключения; список использованной литературы включает 161 наименование; в диссертации содержится 29 рисунков.

Основные выводы и результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Сформулирована общая постановка задачи трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств в виде операторных тензорных уравнений теории упругости, записанных в векторной форме. Данная форма уравнений позволяет рассматривать трехмерные задачи как с изотропными, так и с анизотропными средами, и не накладывает ограничений на вид распространяющихся волн в твердотельных акустических устройствах. Предложенная операторная постановка задачи является удобной основой для развития вариационных методов.

2. Для сформулированной задачи развит вариационный метод решения (на базе билинейных функционалов), позволяющий за счет выбора сопряженной задачи получать функционалы, стационарное значение которых может быть сделано равным практически любому искомому характеристическому параметру или искомой функции моделируемого объекта. Благодаря этому погрешность при вычислении стационарного значения через функционал оказывается на порядок меньше погрешности функций сравнения при приближении решения. При этом оказалось возможным получение теоретических оценок точности находимого приближенного решения. Достоинством построенных функционалов является также и то, что для них краевые условия задачи оказываются естественными.

3. Для трехмерных задач твердотельной акустики развит проекционный метод, позволяющий в ряде случаев наиболее эффективным образом переходить от выбранной постановки задачи в уравнениях в частных производных к численной модели, представляющей собой систему линейных алгебраических уравнений. При этом отмечено, что получающаяся система линейных алгебраических уравнений полностью совпадает с соответствующей системой, получаемой при применении к билинейным функционалам метода Бубнова-Галёркина.

4. На базе теории возмущений развит метод и предложены функционалы, позволяющие в ряде случаев получить решение быстрее и проще, чем вышеперечисленными вариационными методами.

5. Предложен новый вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов. Приводится вид соответствующих функционалов. Также рассмотрены некоторые вопросы решения некорректных задач и предложены методы их решения.

6. На базе предложенных методов построены новые эффективные вычислительные алгоритмы и проведены с повышенной точностью расчеты основных параметров твердотельных акустических устройств: собственных частот, элементов матриц рассеяния, сопротивления и проводимостей, и постоянных распространения. Проведено сравнение результатов, полученных различными вариационными подходами и оценена теоретическая погрешность расчетных данных. Показано, что развитые в работе вариационные методы позволяют эффективно и с высокой точностью рассчитывать параметры конкретных твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1994. - 442 с.

2. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: МГУ, 1993. - 152 с.

3. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечноразностных математических моделей в гидродинамике // ДАН СССР, 1977. Т. 235. - № 6. - С. 1285-1288.

4. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-воМГУ, 1983.-264 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.-788 с.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608с.

7. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна: Пер. с англ. М.: Мир, 1979. - 278 с.

8. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.-488 с.

9. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент. М.: Знание, 1983.-64 с.

10. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979. № 5. - С. 38-49.

11. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997. - 320 с.

12. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. - 272 с.

13. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

14. Самарский A.A., Михайлов А.П. Компьютеры и жизнь (математическое моделирование). -М.: Педагогика, 1987. 128 с.

15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

16. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994.-526с.

17. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. -Минск: ДизайнПРО, 1997. 640 с.

18. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука, 1994.- 192 с.

19. Avula X.J.R. Mathematical Modeling // Encyclopedia of Physical Science. 1987.-V. 7.-P. 719-728.

20. Dym C.L., Ivey B.S. Principles of Mathematical Modelling. New York: Academic Press, 1980. - 256 p.

21. Jacoby S.L.S, Kowalik J.S. Mathematical Modelling with Computers. -Englewood Cliffs, New York: Prentice Hall, 1980. 292 p.

22. Петросян В.И., Гуляев Ю.В., Житенева Э.А., Елкин В.А., Синицын Н.И. Взаимодействие физических и биологических объектов с электромагнитным излучением КВЧ диапазона // Радиотехника и электроника, 1995. Т. 40. - В. 1. - С. 127-134.

23. Петросян В.И., Житенева Э.А., Гуляев Ю.В., Девятков Н.Д., Елкин В.А., Синицын Н.И. Физика взаимодействия ММ волн с объектами различной природы // Радиотехника, 1996. № 9. Журнал в журнале: Биомедицинская радиоэлектроника. - № 3. - С. 20-31.

24. Zaitsev B.D., Joshi S.G., Kuznetsova I.E. Investigation of quasi-shear horizontal acoustic waves in thin plates of lithium niobate // Smart Mater. Struct., 1997. -Dec. V. 6. - P. 739-744.

25. Joshi S.G., Zaitsev B.D., Kuznetsova I.E. Reflection of plate acoustic waves produced by a periodic array of mechanical load strips or grooves // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr., 2002. Dec. - V. 49. - № 12. - P. 17301734.

26. Stern Е. Microsound components, circuits and applications // IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 1969. -Nov. V. MTT-17. - P. 835-844.

27. Гуляев Ю.В., Медведев A.B., Хоанг Ван Фонг. Физические принципы работы устройств на поверхностных акустических волнах для систем связи и обработки информации // Радиотехника, 2002. № 1. - С. 90-108.

28. Родрич П. Твердотельные СВЧ-линии задержки // ТИИЭР, 1965. Т. 53. -№ 10.-С. 1613-1624.

29. Jakowkin I., Kohler Е. Bauelemente auf der Grundlage elastischer Oberflachenwellen // Nachrichtentechn. Electron, 1975. - V. 25. - № 5. -P. 186-189.

30. Ash E.A. Realization of microwave circuit functions using acoustic surface waves // Electronics Letters, 1967. Oct. - V. 3. - P. 462-464.

31. Waldron R.A. Microsound waveguides and wavegride components // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1971. Oct. - V. SU-18. - P. 219-230.

32. Maines J.D. Surface-acoustic-wave devices: Past successes and future prospects//Proc. Ultrasonics Symp. 1974 Milwaukee, 1974.-P. 136-146.

33. Олинер А.А., Бертони X.JI., Ли P.C.M. Применение методов расчета линий передачи СВЧ к описанию распространения акустических волн в изотропной среде // ТИИЭР, 1972. Т. 60. - № 12. - С. 44-55.

34. Felsen L.B. Rays, modes and equivalent networks И IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 1971. Jan. - V. MTT-19. - P. 107-109.

35. Oliner A.A. Microwave network methods for guided elastic waves // IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 1969. Nov. - V. MTT-17. - P. 812-826.

36. Auld B.A. Application of microwave concepts to the theory of acoustic fields and waves in solids // IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 1969. — Nov. -V. MTT-17.-P. 800-811.

37. Oliner A.A., Li R.C., Bertoni X.L. Microwave network approach to guided acoustic surface wave structures // 2nd Int. Rep. ECOM-0418-2. Polytechnic Inst. Brooklyn, New York. Rep. PIBEP-70-067, 1970. Sept. P. 122-136.

38. Олинер А.А., Ли P.C.M., Бертони Х.Л. Каталог эквивалентных схем для плоских границ раздела акустических сред // ТИИЭР, 1972. Т. 60. - № 12. - С. 56-62.

39. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. New York: Dover, 1991. - P. 195199.

40. Auld B.A. Acoustic fields and waves in solids. New York: John Wiley&Sons, 1973.-V.l.-P. 357-382.

41. Auld B.A. Acoustic fields and waves in solids. New York: John Wiley&Sons, 1973. - V.l. - P. 155-160.

42. Вильде B.B., Губенков A.H. Применение методов электродинамики в акустике // Тезисы докладов VII Всесоюзного совещания по квантовой акустике твердого тела. Харьков, 1972. - С. 48.

43. Губенков А.Н., Кириченко В.Ф., Куликов Э.Л., Павлов С.П. Вариационный принцип для задач анализа пьезоэлектрических устройств сакустоэлектрическим взаимодействием // Акустический журнал, 1978. -Т. 24.-№2. -С. 192-202.

44. Куликов Э.Л., Губенков А.Н., Казанкин JI.K. Вариационный метод расчета пьезоэлектрических устройств // Радиотехника и электроника, 1979. -Т. 24.-№9.-С. 1883-1892.

45. Ольсон Г.Х. Динамические аналогии. М.: ГИИЛ, 1947. - 205 с.

46. Нейман М.С. Обощение теории цепей на волновые системы // Советское радио, 1964.-С. 69-76.

47. Waldron R.A. Some problems in the theory of guided microsonic waves // IEEE Trans. Microwave Theory Tech, 1969. Nov. - V. MTT-17. - P.993-904.

48. Butterworth S. On a null method of testing vibration galvanometers // Proc. Phys. Soc. London, 1914. -V. 26. - P. 264-273.

49. Mason W.P. A dynamic measurement of the elastic, electric and piezoelectric constants of Rochell salt // Phys. Rev., 1939. -V. 55. P. 775-789.

50. Redwood M., Lamb J. On the measurement of attention in ultrasonic delay lines // Proc. IEEE, 1956. V. 103. - P. 773-780.

51. Reeder T.M., Winslaw D.K. Characteristics of microwave acoustic transducers for volume wave excitation // IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 1969. -Nov. V. MTT-17. - P. 927-941.

52. Special issue on modeling, optimization and design of surface and bulk acoustic wave devices // IEEE Trans. Ultrasonics, Ferroelectrics and Freq. Control, 2001. -Sept. V. 48. - № 5. - P. 1161-1479. (Contains references on more than 1000 papers).

53. Речицкий В.И. Радиокомпоненты на поверхностных акустических волнах. М.: Радио и связь, 1984. - 112 с.

54. Поверхностные акустические волны / Под.ред. А. Олинера: Пер. с англ. -М.: Мир, 1981.-390 с.

55. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах: применение ля обработки сигналов. М.: Наука, 1982. - 484 с.

56. Губенков A.A. О теоретической оценке погрешности при определении собственных значений акустических колебательных систем // Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения -XII: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 52-53.

57. Губенков А.Н., Губенков A.A. К вариационному методу определения собственных значений акустических устройств // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов конференции. -Воронеж: ВГУ, 1999. С. 69.

58. Губенков A.A. К вариационному методу расчета собственных частот акустических резонаторов и волноводов // Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения X: Тезисы докладов конференции. - Воронеж: ВГУ, 1999. - С. 75.

59. Губенков A.A. Математическое моделирование твердотельных акустических волноводных структур на базе вариационных методов // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: Материалы симпозиума. Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 76.

60. Губенков А.А. Вариационный метод измерений // Методы и средства измерений (Computer-Based Conference): Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2000. - Ч. 1. -С. 27.

61. Губенков А.А. К вариационным методам теории дифракции акустических волн // Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения XI: Тезисы докладов конференции. - Воронеж: ВГУ, 2000. -С. 44.

62. Губенков A.H., Губенков А.А. Вариационные методы расчета акустических компонент устройств акустоэлектроники // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Труды Международной научно-технической конференции. Саратов: СГТУ, 2000. - С. 343-347.

63. Губенков А.А. Метод возмущений для анализа акустических волноводов и резонаторов // Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике: Труды 5-го IEEE Saratov-Penza Chapter. Саратов, 2001. -С. 58-63.

64. Губенков А.А. Вариационный метод расчета собственных частот трехмерных акустических резонаторов // Функциональные электродинамические системы и устройства низких и СВЧ частот: Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: СГТУ, 2001. - С. 4853.

65. Губенков А.А. Приложения билинейных функционалов в динамической теории упругости // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы конференции. Саратов: СГУ, 2002. - С. 59-60.

66. Губенков А.А. Вариационные методы анализа и синтеза твердотельных акустических устройств // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: Труды Международной научной конференции. Энгельс, 2002. - С. 337-339.

67. Губенков A.A. Эффективный алгоритм решения спектральной задачи // Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения -XIII: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2002. — С. 41.

68. Губенков A.A. Вариационный метод синтеза упругих резонаторов и волноводов // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Материалы VIII Четаевской Международной конференции. -Казань: КГТУ, 2002. С. 314.

69. Губенков A.A. Математическое моделирование твердотельных акустических устройств на базе проекционных методов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 12-й межвузовской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2002. - Ч. 2. - С. 22-25.

70. Губенков A.A. Анализ и синтез устройств акустоэлектроники на базе вариационных методов // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Материалы Международной научно-технической конференции. Саратов: СГТУ, 2002. - С. 226-232.

71. Губенков A.A. Построение эффективной системы автоматизированного проектирования на базе вариационных методов // Шаг в будущее: Тезисы докладов конференции. -Воронеж, 2002. Ч. 1. - С. 168-169.

72. Губенков А.А. Вариационный метод расчета акустических волноводных систем // Функциональные устройства низких и сверхвысоких частот: Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: СГТУ, 2002. - С. 2935.

73. Губенков А.А. Единый вариационный подход к решению задач анализа, синтеза и оптимизации в математическом моделировании // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. -Воронеж: ВГУ, 2003. С. 85-86.

74. Губенков А.А. Единый вариационный подход к решению задач анализа, синтеза и оптимизации в математическом моделировании / Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2003. - 10 с.:ил. - Деп. в ВИНИТИ 19.02.2003 г., № 341-В2003.

75. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. -360 с.

76. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

77. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

78. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2 т. М.: ИИЛ, 1960.

79. Фельд Я.Н. О вариационных методах расчета параметров, являющихся линейными функционалами интегралов электродинамики // Радиотехника и электроника, 1962. Т. 7. - № 1. - С. 53-60.

80. Никольский B.B. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. - 460 с.

81. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. -М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит, 1950. -296 с.

82. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Справочное руководство. -М.: Наука, 1970. 191 с.

83. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: В 2 т. -М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит, 1951.

84. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 383 с.

85. Верисбинская Ю.С., Канарева Н.П., Михлин С.Г., Самохин Б.А. Решение одной трехмерной задачи теории упругости методом Ритца // Журнал вычисл. матем. и мат. физики, 1967. Т. 7. - № 5. - С. 1134-1143.

86. Келдыш М.В. О методе Галеркина для решения краевых задач // Известия АН СССР. Сер. «Математическая», 1942. -№ 6. С. 309-330.

87. Новоселов B.C. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. - 66 с.

88. Полак Л.С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М.: Физматгиз, 1960. - 599 с.

89. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 400 с.

90. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. - 199 с.

91. Гулд С.Х. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. -М.: Мир, 1970.-328 с.

92. EerNisse Е.Р., Clayton L.D., Watts М.Н. Variational method for modeling static and dynamic stresses in a resonator disc with mounts II Proc. 43rd Annu. Symp. Freq. Contr., 1989. P. 377-387.

93. Holland R., EerNisse E.P. Variational evaluation of admittance of multielectroded three-dimensional piezoelectric structures // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1968. Apr.-V. SU-15.-P. 119-132.

94. EerNisse E.P. Variational method for electroelastic vibration analysis // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1967. Oct. -V. SU-14. - P. 153-160.

95. Stone G.O. High order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding systems // IEEE Trans. Microwave Theory Techn., 1973. Aug. - V. MTT-21 -P. 538-542.

96. Sommerfeld A. Mechanics of deformable bodies // Lectures on Theoretical Physics. New York, 1964. V. 2. - P. 111.

97. Peach R.C. A variational method for the design of trapped energy resonators // Proc. IEEE Int. Freq. Cont. Symp., 1985. P. 392-399.

98. Lee P.C.Y. A variational principle for the equations of piezoelectromagnetism in elastic dielectric crystals // J. Appl. Phys., 1991. V.69. -№11.-P.7470-7473.

99. H.F. Tiersten. Hamilton's principle for linear piezoelectric media // Proc. IEEE, 1967.-V. 55.-№8.-P. 1523-1524.

100. Никольский В.В. Проекционный метод для незамкнутых электродинамических систем // Радиотехника и электроника, 1971. Т. 16. - № 8. - С. 1342.

101. H.F. Tiersten. Perturbation theory for linear electroelastic equations for small fields superposed on a bias // J. Acoust. Soc. Amer., 1978. Sep. - V. 64. -№3.-P. 832-837.

102. Маттей Д.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи: В 2 т. М.: Связь, 1971. - Т. 1. - 439 с.

103. Маттей Д.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи: В 2 т. М.: Связь, 1972. - Т. 2. - 495 с.

104. Ганстон М.А.Р. Справочник по волновым сопротивлениям фидерных линий СВЧ. М.: Связь, 1976. - 152 с.

105. Малорацкий Л.Г., Явич JI.P. Проектирование и расчет СВЧ элементов на полосковых линиях. М.: Советское радио, 1972. - 232 с.

106. Кац Б.М., Мещанов В.П., Фельдштейн A.JI. Оптимальный синтез устройств СВЧ с Т-волнами. М.: Радио и связь, 1984. - 288 с.

107. Фельдштейн A.JL, Явич JI.P., Смирнов В.П. Справочник по элементам волноводной техники. М.: Госэнергоиздат, 1963.-360 с.

108. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985.-590 с.

109. Свиридов Ю.Б. Вариационный метод в динамике твердых нерегулярных волноводов // Акустический журнал, 1979. Т. XXV. - № 2. - С. 280-287.

110. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-528 с.

111. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. -М.: Наука, 1972. 368 с.

112. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.-288 с.

113. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. / Под. ред. Дмитриева В.И. М.: Недра, 1982. -222 с.

114. Kato Т. On the upper and lower bounds of eigenvalues // J. Phys. Soc. Japan., 1949.-V. 4.-P. 343.

115. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Yariationsprobleme der mathematischen Physik // J. reine angew. Math., 1908. V. 135. - P. 42 .

116. Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern // Annalen der Physik., 1909. V. 39. - P. 14.

117. Ballato A. Modeling piezoelectric and piezomagnetic devices and structures via equivalent networks // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2001.-V. 48. -№ 5.-P. 1189-1240.

118. Куликов Э.Л. К вариационным методам расчета цепей СВЧ // Радиотехника и электроника, 1965. Т. 10. - № 3. - С. 559.

119. Никольский В.В., Феоктистов В.Г. Разложение поля в задачах дифракции по собственным функциям задачи с вынужденным импедансом // Радиотехника и электроника, 1971. Т. 16. -№ 9. - С. 1596.

120. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала И Матем. заметки, 1973.-Вып. 14.-№5.-С. 755-765.

121. Фаддеева В.Н. Сдвиг для систем с плохо обусловленными матрицами // ЖВМиМФ, 1965.-Т. 5.-К» 5.-С. 1124-1138.

122. Александров А.Г., Хлебалин H.A. Аналитический синтез регуляторов при неполной информации о параметрах объема управления // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1981. - С. 138-147.

123. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. -М.: Мир, 1974. 126 с.

124. Добронец Б.С. Асимптотически точный метод решения интервальных систем линейных алгебраических уравнений // Асимптотический и комбинаторный анализ. Красноярск: КГУ, 1982. - С. 16-19.

125. Калмыков С.А. К задаче нахождения собственных значений симметрической матрицы интервальным методом // Численный анализ. -Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978. С. 55-59.

126. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. - 224 с.

127. Лаврентьев М.М. Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1956. - 228 с.

128. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

129. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. - 67с.

130. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шитатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

131. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. - 71 с.

132. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб., 1963. -№2.-С. 61.

133. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

134. John F. Differential equation with approximate and improper data: Lectures. New York Univ., 1955. 376 p.

135. Douglas J. On the relation between stability and convergence in the numerical solution of linear parabolic and hyperbolic differential equations // J. Soc. Indust. Appl. Math., 1956. -№ 1. -P. 28-37.

136. Мергелян C.H. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа // УМН, 1956. Т. XI. - № 5. - С. 752.

137. Крейн С.Г. О классах корректности для некоторых задач // ДАН СССР, 1957.-№6.-С. 114.

138. Крейн С.Г., Прозоровская О.И. О приближенных методах решения некорректных задач // ЖВМ и МФ, 1963. Т. 3. - № 1. - С. 28-44.

139. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. / Отв. ред. Лаврентьев М.М. Новосибирск: Наука, 1990. - 279 с.

140. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974. - 208 с.

141. Fromme J.A., Leissa A.W. Free vibration of the rectangular parallelepiped // J. Acoust. Soc. Amer., 1970. -V. 48. -№ 1. P. 290-298.

142. Никольский B.B. Теория электромагнитного поля. M.: Высшая школа, 1964.-384 с.

143. Tiersten H.F. Elastic surface waves guides by thin films // J.App.Phys., 1969. -V. 40. P. 770-789.

144. Mindlin R.D. Waves and vibrations in isotropic, elastic plates // Structural Mechanics. New York: Pergamon Press, 1960. P. 199-232.148

145. Физические величины: Справочник / Бабичев А.П., Бабушкина Н.А., Братковский A.M. и др.; Под. ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. -М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

146. Adkins L.R., Hughes A.J. Acoustic surface wave directional couplers // G-MTT Int. Microwave Symp., New York, 1970. P. 375-379.

147. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. -М.: «Наука», 1972. 558 с.149