автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Апостериорные оценки точности приближенных решений вариационных задач для эллиптических уравнений дивергентного типа

Введение

Глава 1. Обзор методов апостериорного контроля точности

1. Связь погрешности приближенного решения с нормой невязки соответствующего дифференциального уравнения

2. Явный метод невязок

3. Методы, основанные на решении локальных задач

4. Методы, основанные па усреднении градиента приближенного решения

5. Подход С.Г. Михлина

6. Метод двойственных мажорант

Глава 2. Построение надежных методов оценки качества приближенных решений эллиптических краевых задач четвертого порядка

1. Аналог оценки С.Г. Михлина

2. Два типа двойственных мажорант для бигармонической задачи

3. Обоснование эффективности предлагаемого подхода

4. Двойственная мажоранта для задачи о пластине Кирхгоффа-Лява и ее вычислительные свойства

Глава 3. Практическое применение апостериорных оценок функционального типа

1. Алгоритмы вычисления мажорант погрешности

2. Сравнение метода двойственных мажорант с классическими подходами метода конечных элементов

3. Эффективное совмещение возможностей пакета MATLAB и функциональных апостериорных оценок

4. Контроль точности и адаптивный алгоритм для бигармонической задачи

Глава 4. Апостериорная оценка точности приближенных решений задачи о пластине Рейсснера-Миндлина

1. Постановка задачи о пластине Рейсснера-Миндлина

2. Вывод оценки погрешности функционального типа

Разработка методов надежного контроля точности приближенных решений различных прикладных задач необходима для того, чтобы гарантировать достоверность результатов, получаемых в процессе математического моделирования. В настоящее время развитие мощностей вычислительной техники позволяет приближенно получать решения многих практически интересных задач. Для этого разработаны эффективные численные алгоритмы. В литературе описано большое количество подходов, аспекты применения которых к различным задачам математической физики и механики можно найти, например, в следующих монографиях: Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков [1], А.А. Самарский [2], Г.И. Мар-чук [3], С.Г. Михлин [4], Ф. Сьярле [5]. В данный момент можно утверждать, что качественная аппроксимация решений прикладных задач возможна только при использовании алгоритмов, которые объединяют эффективные численные методы с последовательной адаптацией сеток к особенностям точного решения рассматриваемой задачи. Поэтому в современной вычислительной практике широко используются так называемые адаптивные алгоритмы. В этом случае новая дискретизация строится па основе информации, полученной после решения краевой задачи на предыдущей, как правило, более грубой сетке. Такая процедура требует надежного контроля погрешности, который основывается на анализе получаемых приближенных решений. С одной стороны, необходимо иметь гарантированные верхние оценки ошибки, измеряемой в некоторой ориентированной па конкретную задачу норме. Малость получаемой величины может служить объективным критерием достижения необходимой точности. С другой стороны, желательно иметь также информацию о локальном распределении погрешности, которая необходима для дальнейшего уточнения решения. Как следствие, возникает необходимость в оценках, отличающихся от известных априорных оценок скорости сходимости, поскольку последние указывают лишь па ее асимптотический порядок и часто требуют повышенной гладкости точного решения исходной задачи. Это стимулирует исследования, направленные на построение для различных задач так называемых апостериорных оценок точности получаемых аппроксимаций.

В абстрактной форме такую оценку можно представить как неравенство следующего вида и - Wall < M(ua,D), где иа есть аппроксимация точного решения рассматриваемой задачи и, а за D обозначена совокупность всех исходных данных (геометрия области, краевые условия, коэффициенты, правая часть и прочее). В то же время априорная оценка может быть представлена неравенством вида и - иа\\ < М.(и, D).

Норма ||.||, в которой измеряется величина отклонения от точного решения, выбирается исходя из практических требований. Отметим существенное различие априорных и апостериорных оценок, а именно, последние не включают в себя явной информации о точном решении и вычисляются лишь по тем данным, которыми мы располагаем в процессе получения приближенного решения. Как следствие, величина, контролирующая точность полученной аппроксимации, всегда может быть вычислена непосредственно.

Как правило, мажоранта Л4(иа, D) представляет собой сумму локальных вкладов на каждом элементе разбиения области. В этом случае, можно также говорить о ней как об индикаторе локального распределения погрешности, который обеспечивает возможность адаптации сетки к особенностям задачи. Приблизительный адаптивный алгоритм описан ниже.

Шаг 0. Выбор желаемого значения погрешности г.

Шаг 1. Построение начального разбиения области.

Шаг 2. Вычисление приближенного решения задачи иа.

- Шаг 3. Оценка глобальной нормы погрешности приближенного решения \и — иаI при помощи выбранного метода. Если Л4(иа, D) < г. то процесс адаптации прерывается, поскольку решение необходимой точности получено.

Шаг 4. Индикация локального распределения погрешности и выделение зон, в которых локальные ошибки велики.

Шаг 5. Адаптация сетки и повторение процесса, начиная с шага 2.

Общепринятой характеристикой качества получаемых при помощи любого метода верхних оценок погрешности является так называемый индекс эффективности. Он выражается как отношение оценивающей величины к оцениваемой и определяется следующим образом М(иа,Р)

II« ^ «а| '

Оптимальное значение индекса эффективности равно единице. Тот факт, что он всегда остается больше единицы, говорит о надежности метода. Метод считается эффективным, если он позволяет получить оценку погрешности с индексом эффективности в диапазоне 1-1.5, по-крайней мере, для модельных задач.

Важным свойством мажоранты погрешности является ее эквивалентность ошибке. В терминах индекса эффективности это означает, что существуют такие постоянные с\ и С2, что

С\ < Ieff < С2, причем эти постоянные не зависят от характерного размера элементов сетки (хотя могут существенно зависеть от ее локальной структуры). В случае, если имеет место стремление индекса эффективности к единице при измельчении сетки, говорят, что индикатор асимптотически точен. Эквивалентность ошибке для многих индикаторов может быть показана при достаточно общих предположениях относительно структуры разбиения области и гладкости точного решения, тогда как установление асимптотической точности, как правило, требует существенных дополнительных ограничений.

В настоящее время в рамках метода конечных элементов существует несколько устоявшихся подходов к построению апостериорных оценок погрешности. Первые из них были предложены в конце 70-х годов в работах И. Бабушки и В. Рейнболта (см. [6, 7]). Дальнейшие исследования в этой области вызвали интерес многих авторов, что привело к появлению большого количества публикаций. Наиболее полное описание методов и ссылки на соответствующую литературу можно найти, например, в монографиях Р. Верфюрса [8], М. Айнсвордса и Дж.Т. Одэна [9], И. Бабушки и Т. Стро-булиса [10].

Первым из подходов является так называемый метод невязок:, предложенный в работах И. Бабушки и В. Рейнболта (см. [6, 7, 11]). В дальнейшем метод, который подробно описан в первой главе диссертации, развивался и обобщался многими авторами (см., например, И. Бабушка и А. Миллер [12], Р. Банк и А. Вейзер [13], Р. Дюран и Р. Родригес [14], К. Эрикссон и К. Ионсон [15], К. Ионсон и П. Хансбо [16], Р. Верфюрс [17, 18], Дж. Стюарт и Т. Хьюз [19], Р. Верфюрс и К. Карстенсен [20], К. Карстенсен [21] и цитируемую в работах литературу).

Первый из методов данной группы носит название явного метода невязок (explicit residual method). Он основывается на специальной конструкции оператора интерполирования, предложенной Ф. Клеманом в работе [22] (см., также, К. Бериарди и В. Жиро [23], К. Карстенсен и Р. Верфюрс [20]). Данный оператор отображает элементы энергетического пространства в выбранное конечномерное подпространство. Построение оператора интерполирования Клемана носит локальный характер и основано па разбиении области конечными элементами. В этом случае апостериорная оценка включает в себя множество локально определяемых постоянных. Она имеет следующий вид

- ua|| < TW(ua,cbc2,сцюо, D), где постоянные с?; зависят от конкретной дискретизации. Как следствие, возникает необходимость, либо находить точные значения этих констант в процессе адаптации сетки (что практически невозможно), либо иметь метод, обеспечивающий их оценку. Однако, попытки практического применения таких методов могут привести к существенному завышению истинной величины погрешности. Так, например, в работе К. Карстенсена и С. Фун-кеиа [24] переоценка значения нормы ошибки достигает 30 70 раз даже в относительно простом случае.

Вторая группа мажорант погрешности, построенных на основе метода невязок, связана с решением последовательности локальных задач с граничными условиями типа Дирихле или Неймана. Впервые такой подход был предложен в работе [7] и носит название неявного метода невязок (implicit residual method). Методы этой группы являются более трудоемкими, но лишены вышеупомянутого недостатка, так как не содержат мультипликативных постоянных. Известно, что при специальной балансировке условий типа Неймана (equilibrated residual method), объединение соответствующих точных решений локальных задач по всем элементам будет обеспечивать гарантированную верхнюю оценку глобальной нормы ошибки. Однако, поскольку решить локальную краевую задачу точно представляется возможным только в исключительных случаях, то на практике метод не обеспечивает необходимых гарантий.

Другой подход к построению индикаторов погрешности основан на так называемом эффекте суперсходимости (superconvergence) и различного рода процедурах усреднения градиента приближенного решения (часто можно встретить термин восстановление градиент,а). Понятию суперсходимости трудно дать универсальное определение. В литературе под этим эффектом может пониматься улучшение аппроксимационных свойств приближенного решения, имеющее место и в некоторых точках конечных элементов, и интегрально по всей области, и в результате применения процедуры усреднения (см., например, Л.А. Оганесян и Л.А. Руховец [25], М. Кри-жек и П. Нейттааимяки [26, 27], Л. Уалбин [28]. М. Уиллер и Дж. Уайтмен [29], М. Зламал [30, 31]).

Первой работой, в которой описан индикатор ошибки такого рода, является работа О. Зенкевича и Дж. Жу [32]. Кратко суть подхода можно описать следующим образом: пусть у нас есть оператор усреднения G, который по градиенту приближенного решения Vua позволяет построить такую аппроксимацию GVu0l что цуц-с?уца|

I Vu — Vua|| тогда величина \GVua — Vua|| будет служить индикатором погрешности || Vu — Vua||.

В силу своей исключительной простоты с теоретической точки зрения и незначительной вычислительной трудоемкости, в настоящее время метод получил широкое распространение. Различные процедуры усреднения градиента приближенного решения описаны, например, в книге М. Айисвордса и Дж.Т. Одэна [9], а также работах Р. Дюрана, Р. Родригеса и М.А. Мус-хиетти [33, 34], О. Зенкевича и Дж. Жу [35]. Однако, следует отметить, что строгое математическое обоснование данного подхода возможно получить лишь при существенных дополнительных предположениях о гладкости точного решения исходной задачи. Тем не менее, в литературе можно найти достаточно много примеров, когда метод позволяет получать качественную индикацию погрешности даже в тех случаях, когда его применение не имеет строгого математического обоснования. 9

Следует подчеркнуть особо, что оба подхода (и метод невязок, и метод усреднения градиента) основаны на том факте, что рассматриваемое приближенное решение совпадает с так называемой галеркинской аппроксимацией — точным решением соответствующей конечномерной задачи, полученным при помощи метода конечных элементов.

Оценки более общего порядка были описаны В. Прагером и Дж.Л. Син-жем в работе [36], Дж.Л. Синжем в работе [37] и С.Г. Михлиным в книге [4]. В основе первого подхода, названного методом, гиперокружиост,ещ лежат геометрические аналогии, тогда как С.Г. Михлин в своей работе уже привлекает к построению апостериорной оценки погрешности методы вариационного исчисления. Тем не менее, в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона оба метода приводят к одной и той же оценке энергетической нормы разности между точным и любым конформным приближенным решением исходной задачи. Эта оценка, приведенная в параграфе 1.5, содержит свободную переменную, подчиненную достаточно сильному ограничению, которое делает подход не столь эффективным с практической точки зрения. По этой причине, возникнув достаточно давно, он не получил такого распространения на практике.

Апостериорные оценки точности, не требующие сложных построений, но обладающие той же общностью, были получены С.И. Репиным в работах [38, 39] и ряде других работ, ссылки на которые можно найти в книге С.И. Репина и П. Нейттаанмяки [40] (см., также, [41, 42, 43, 44]). При их выводе использовались исключительно методы функционального анализа и вариационного исчисления, в частности, теория двойственности вариационного исчисления. Полученные таким образом неравенства верны для конформных аппроксимаций любого типа и включают в себя только глобальные постоянные (такие как, например, постоянная в неравенстве Фри-дрихса). Гарантированная верхняя оценка нормы ошибки вычисляется при помощи нового функционала, который, наряду с приближенным решением и исходными данными, включает дополнительную свободную переменную.

Последняя возникает в результате совместного рассмотрения исходной задачи и той вариационной задачи, которая является ее двойственным аналогом.

Полученные неравенства естественно назвать оценками функционального типа. Контроль погрешности при помощи метода возможен вне зависимости от того, является приближенное решение галеркинской аппроксимацией или нет. Такая его особенность делает возможным учет не только ошибок аппроксимации в чистом виде (т.е. тех ошибок, которые возникают из-за несоответствия между функциональным пространством исходной задачи и его конечномерным подпространством). Источником той погрешности, которую позволяет контролировать функциональный подход, может быть, в частности, любая итерационная схема вычисления приближенного решения или даже недостатки программного кода.

Данная диссертация посвящена развитию вычислительных методов, которые позволяют получать гарантированные верхние оценки энергетической нормы разности между точным и приближенным решением вариационных задач, соответствующих эллиптическим уравнениям дивергентного типа. Эффективность предлагаемых подходов исследуется на примере ряда известных краевых задач математической физики и механики. В работе построены новые апостериорные оценки точности конформных аппроксимаций решения бигармонической задачи, возникающей в теории изгиба тонких пластин Кирхгоффа-Лява. Разработан один из подходов к обоснованию эффективности предлагаемого метода. В диссертации также получена мажоранта ошибки, позволяющая контролировать точность произвольных конформных аппроксимаций решения более общей задачи об изгибе пластин Рейсснера-Миндлина. Приведенное теоретическое обоснование и численные эксперименты указывают на высокую эффективность метода двойственных мажорант и его преимущества перед другими методами апостериорного контроля точности, которые разработаны исключительно для приближенных решений специального вида.

Остановимся подробнее на содержании работы. Первая глава включает развернутое изложение подходов к построению апостериорных оценок и индикаторов погрешности, которые были предложены в последние десятилетия в работах разных авторов. Для простоты изложения методы рассматриваются па примере классической краевой задачи — задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В главе описываются — явный метод невязок, неявный метод невязок, методы усреднения градиента. Все эти подходы имеют общую особенность — они применимы только к аппроксимациям специального вида, полученным в рамках метода конечных элементов. Далее следует описание двух методов более общего вида, приводящих к одной апостериорной оценке, которую можно считать первой апостериорной оценкой функционального типа — метода гиперокружностей и метода С.Г. Михлина. Заключительный параграф главы использует результаты работы С.И. Репина, С. Саутера и А. Смолянского [45]. В нем показан один из наиболее простых способов получения двойственной мажоранты в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию метода двойственных мажорант в применении к классу эллиптических краевых задач четвертого порядка. На основе подхода получены две новые апостериорные оценки точности приближенных решений бигармонической задачи. Первая из этих оценок содержит одну скалярную дополнительную переменную, но требует при практической реализации построения аппроксимаций, обладающих вторыми обобщенными производными. Вторая оценка содержит две дополнительные переменные, но при этом, не требует использования для них сложных аппроксимаций. Третий параграф главы посвящен анализу вычислительных свойств первой из приведенных оценок. При этом дается теоретическое обоснование тому факту, что метод обеспечивает не только вычисление гарантированных верхних оценок нормы ошибки, но и позволяет воспроизвести ее локальное распределение в области. В последнем параграфе обсуждаются свойства мажоранты более общего вида, связанной с задачей об изгибе пластин Кирхгоффа Лява. Соответствующая оценка была получена С.И. Репиным и П. Нсйттаанмяки в работе [46].

Третья глава целиком посвящена численным экспериментам. Их основные цели — провести сравнение метода двойственных мажорант с другими методами и показать универсальность и высокую эффективность данного подхода. При этом рассматриваются эллиптические краевые задачи второго и четвертого порядка в областях полигональной формы. Основным выводом из приведенных в главе численных экспериментов является вывод о том, что метод двойственных мажорант позволяет вычислять оценки высокой точности для энергетической нормы погрешности разных типов конформных аппроксимаций решения исходной задачи. Естественно, для задач более высокого порядка это требует дополнительных затрат процессорного времени. Однако, те вычислительные затраты, которые влечет за собой метод, компенсируются за счет его универсальности и высокой степени надежности. Метод значительно превосходит по этим показателям те стандартные подходы, с которыми он сравнивается в данной главе.

В заключительной главе диссертации получена вычисляемая оценка погрешности приближенных решений задач, возникающих в теории пластин Рейсснера-Миндлина. Следует отметить, что эта теория является интересным с практической точки зрения обобщением классической теории тонких пластин Кирхгоффа-Лява. Она имеет более широкую область применения и обладает рядом преимуществ с вычислительной точки зрения. Однако, вопрос о построении для этой модели апостериорных оценок погрешности функционального типа до настоящего момента не изучался.

Выводы из проделанной работы представлены в заключении.

Заключение

В диссертации проведено исследование подхода, который позволяет получать надежные апостериорные оценки, контролирующие точность приближенных решений класса практически важных вариационных задач. Особенности предлагаемого подхода исследуются на примере известных задач математической физики и механики: задачи Дирихле для уравнения Пуассона, задачи диффузии, бигармонической задачи. В работе также рассмотрены задачи, возникающие в теории пластин Кирхгоффа -Лява и Рейсснера-Миидлина. Большое внимание уделено теоретическому и, в особенности, численному обоснованию эффективности функционального подхода к построению апостериорных оценок погрешности. Основным выводом из приведенных численных экспериментов является вывод о том, что метод двойственных мажорант позволяет получать эффективные оценки энергетической нормы погрешности для разных типов конформных аппроксимаций решения исходной задачи. Вычислительные затраты, которые влечет за собой метод, компенсируются за счет его универсальности, устойчивости и высокого качества результатов. Таким образом, можно рекомендовать его к применению при оценке точности приближенных решений различных краевых задач.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. Лаборатория Базовых Знаний, 2002.-630с.

2. Самарский А.А. Введение в численные методы.-М. Наука, 1982.-271с.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М. Наука, 1989.-608с.

4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М. Наука, 1970.-512с.

5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.-М. Мир, 1980.-512с.

6. Babuska I., Rheinboldt W.C. A-posteriori error estimates for the finite element method.// Int. J. Numer. Methods Eng., 1978.-T.12.-C.1597 1615.

7. Babuska I., Rheinboldt W.C. Error estimates for adaptive finite element computations.// SIAM J. Numer. Anal., 1978.-T.15, N4.-C.736-754.

8. Verfiirth R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques.-Chichester,Stuttgart. John Wiley & Sons, B.C. Teubner, 1996.-vi+127c„

9. Ainsworth M., Oden J.T. A posteriori error estimation in finite element analysis.-New York. John Wiley & Sons, 2000. xx+240c.

10. Babuska I., Strouboulis T. The finite element method and its reliability.-Ncw York. The Clarendon Press Oxford University Press, 2001.-xii+802c.

11. Babuska Т., Rheinboldt W.C. A posteriori error analysis of finite element solutions for one-dimensional problems.// SIAM J. Numer. Anal., 1981.-T.18, N3. C.565-589.

12. Babuska I., Miller A. A feedback finite element method with a posteriori error estimation. I. The finite element method and some basic properties of the a posteriori error estimator.// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1987.-T.61, Nl.-C.l-40.

13. Bank R.E., Weiser A. Some a posteriori error estimators for elliptic partial differential equations.// Math. Сотр., 1985.-T.44, N170.-C.283-301.

14. Johnson C., Hansbo P. Adaptive finite element methods in computational mechanics.// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1992.-T.101, N1-3.-C.143-181.

15. Verfiirth R. A posteriori error estimators for the Stokes equations.// Numer. Math., 1989.-T.55, N3.-C.309 325.

16. Carstensen С., Verfiirth R. Edge residuals dominate a posteriori error estimates for low order finite element methods.// SIAM J. Numer. Anal., 1999.~T.36, N5.-C.1571-1587.

17. Carstensen C. Residual-based a posteriori error estimate for a nonconforming Reissner-Mindlin plate finite element.// SIAM J. Numcr. Anal., 2002.-T.39, N6.-C.2034-2044.

18. Clement Ph. Approximation by finite element functions using local regularization.// Rev. Franyaisc Automat. Informat. Recherche Operationnellc Ser. Rouge Anal. Numer., 1975.-T.9, NR.-2.-C.77-84.

19. Bernardi C., Girault V. A local regularization operator for triangular and quadrilateral finite elements.// SIAM J. Numer. Anal., 1998. T.35, N5.-C. 1893-1916.

20. Carstensen C., Funken S.A. Constants in Clement-interpolation error and residual based a posteriori error estimates in finite element methods.// East-West J. Numcr. Math., 2000.-T.8, N3.-C. 153-175.

21. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей./ Журн. выч. мат. и матем. физики, 1969.-T.9.-C. 1102-1120.

22. Krizek М., Neittaanmaki P. On a global superconvergence of the gradient of linear triangular elements.// J. Comput. Appl. Math., 1987.-T.18, N2.-C.221-233.

23. Krizek M., Neittaanmaki P. On superconvergence techniques.// Acta Appl. Math., 1987,—T.9, N3.— C. 175-198.

24. Wahlbin L.B. Superconvergence in Galerkin finite element methods. Berlin. Springer-Verlag, 1995.-xii 1166c.

25. Wheeler M.F., Whiteman J.R. Superconvergent, recovery of gradients on subdomains from piecewise linear finite-element approximations.// Nurner. Methods Partial Differential Equations, 1987.-T.3, N4. C.357-374.

26. Zlamal M. Some superconvergence results in the finite element method.// Mathemat ical aspects of finite element methods. Berlin. Springer, 1977.-C.353 362.

27. ZLamal M. Superconvergence and reduced integration in the finite element method.// Math. Сотр., 1978.-T.32, N143.-С.663-685.

28. Zienkiewicz О.С., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis.// Internat. J. Numer. Methods Engrg., 1987.-T.24, N2.-C.337-357.

29. Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R. On the asymptotic exactness of error estimators for linear triangular finite elements.// Numer. Math., 1991.-T.59, N2.-C.107-127.

30. Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R. Asymptotically exact error estimators for rectangular finite elements.// SIAM J. Numer. Anal., 1992.-T.29, N1.-C.78-88.

31. Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. The superconvergent patch recovery (SPR) and adaptive finite element refinement./'/ Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 1992.-T.101, N1-3.-C.207-224.

32. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of function space./'/ Quart. Appl. Math., 1947.-T.5.-C.241 269.

33. Synge J.L. The hypercircle method.// Studies in numerical analysis.-London. Academic Press, 1974. C.201-217.

34. Репин С.И. A posteriori error estimates for approximate solutions of variational problems with power growth functional./'/ Зап. научн. семинаров ПОМИ, 1997.-T.249.-C.244-255.

35. Репин С.И. Двусторонние оценки отклонения от точного решения для равномерно эллиптических уравнений.// Труды Санкт-Петербургского Математического общества, 2001.-Т.9.-С.148-179.

36. Repin S.I. A unified approach to a posteriori error estimation based on duality error majorants.//' Math. Comput. Simulation, 1999.-T.50, N1-4.-C.305-321.

37. Repin S.I. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals.// Math. Сотр., 2000. T.69, N230.-C.481-500.

38. Repin S.I., Xanthis L.S. A posteriori error estimation for elastoplastic problems based on duality theory.// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1996.-T.138, N1-4.-C.317-339.

39. Numer. Methods, 1987.-T.3.-C.243-249. 48[ Rodriguez R. A posteriori error analysis in the finite element method.// Finite clement methods (Jyvaskyla, 1993).-New York. Dekker, 1994.-C.389-397.

40. Babuska I., Duran R., Rodriguez R. Analysis of the efficiency of an a posteriori error estimator for linear triangular finite elements.// SIAM J. Numer. Anal., 1992.-T.29, N4.-C.947 964.

41. Bornemann F.A., Erdmann В., Kornhuber R. A posteriori error estimates for elliptic problems in two and three space dimensions.// SIAM J. Numer. Anal., 1996.-T.33, N3.-C. 1188-1204.

42. Brink U., Stein E. A posteriori error estimation in large-strain elasticity using equilibrated local Neumann problems.// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1998.-T.161, N1-2.-C.77-101.

43. Di'cz P., Pares N., Huerta A. Recovering lower bounds of the error by postprocessing implicit residual a posteriori error estimates.// Internat. J. Numer. Methods Engrg., 2003.-T.56, N10.-C.1465-1488.

44. Babuska I., Strouboulis Т., Upadhyay C.S., Gangaraj S.K., Copps K. Validation of a posteriori error estimators by numerical approach.// Internat. J. Numer. Methods Engrg., 1994.-T.37, N7.-C.1073-1123.

45. Bank R.E., Welfert B.D. A posteriori error estimates for the Stokes problem.// SIAM J. Numer. Anal.,1991.-T.28, N3.-C.591-623.

46. Ainsworth M., Craig A. A posteriori error estimators in the finite element method.// Numer. Math.,1992.-T.60, N4.-C.429-463.

47. Krizek M., Neittaanmaki P. Superconvergence phenomenon in the finite element method arising from averaging gradients.// Numer. Math., 1984.-T.45, N1.-C.105-116.

48. Zhu J.Z., Zienkiewicz O.C. Adaptive techniques in the finite element method.// Commun. Appl. Numer. Methods, 1988.-T.4, N2.-C. 197-204.

49. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.-М. Наука, 1973.-407с.

50. Falk R.S. Approximation of the biharmonic equation by a mixed finite element method.// SIAM J. Numer. Anal., 1978.-T.15, N3.-C.556-567.

51. Glowinski R., Pironneau O. Numerical methods for the first biharmonic equation and the two-dimensional Stokes problem.// SIAM Rev., 1979.-T.21, N2.-C. 167-212.

52. Monk P. A mixed finite element method for the biharmonic, equation.// SIAM J. Numer. Anal., 1987.-T.24, N4. C.737 749.

53. Ekeland I., Temam R. Convex analysis and variational problems. Amsterdam. North-Holland Publishing Co., 1976.-ix+402c.

54. Frolov M., Neittaanmaki P., Repin S. On the reliability, effectivity and robustness of a posteriori error estimation methods.// Numerical Methods for Scientific Computing. Variational problems and applications.-Barcelona. CIMNE, 2003.-C.153-175.

55. Репин С.И., Фролов M.E. Об апостериорных оценках точности приближенных решений краевых задач для уравнений эллиптического типа.// Журн. выч. мат. и матем. физики, 2002.-Т.42, N12.-С.1774-1787.

56. Bernadou M., Boisscric J.-M. The finite element method in thin shell theory. Application to arch dam simulations.-Mass. Birkhauser Boston, 1982.-x+199c.

57. Bernadou M., Hassan K. Basis functions for general Hsieh-Clough-Tocher triangles, complete or reduced.// Internat. J. Numer. Methods Engrg., 1981.-T.17, N5.-C.784-789.

58. Ладыженская О.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа,-М. Наука, 1973.-576с.

59. Brezzi F., Fortin М. Numerical approximation of Mindlin-Reissner plates.// Math. Сотр., 1986.- T.47, N175.-C.151-158.

60. Bramble J.H., Sun T. A negative-norm least squares method for Reissner-Mindlin plates.// Math. Сотр., 1998.-T.67, N223.-C.901-916.

61. Carstensen C., Weinberg K. An adaptive non-conforming finite-element method for Reissner-Mindlin plates.// Internat. J. Numer. Methods Engrg., 2003.-T.56, N15.-C.2313-2330.

62. Liberman E. A posteriori error estimator for a mixed finite element method for Reissner-Mindlin plate.// Math. Сотр., 2001.-T.70, N236.-C. 1383-1396.