автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Анализ рождения в нелинейных системах управления вынужденных периодических колебаний с большими средними значениями

Введение

§ I. Вынужденные колебания асимптотически линейных систем

§ 2. Асимптотика колебаний с большими средними значениями

§ 3. Замечания.

§ 4. Анализ устойчивости колебаний с большими средними значениями

§ 5. Доказательства теорем 4.1 -4.

§ 6. Вынужденные колебания многоконтурных систем

§ 7. Устойчивость, вынужденных колебаний с большими средними значениями в многоконтурных системах

§ 8. Доказательство теоремы 7.

Актуальность работы. При изучении процессов функционирования систем управления, разнообразных других механических, физических, биологических и т.д. систем важную роль играет характер зависимости этих процессов от параметров систем. Интерес к исследованию зависимости режимов функционирования систем от параметров определяется многими причинами. В частности, в ряде ситуаций точные значения параметров могут быть неизвестны; параметры могут медленно меняться при длительном функционировании системы; в ряде ситуаций исследователь выбирает (в оцределенных границах) параметры по своему усмотрению; уравнения, описывающие системы, при некоторых специальных значениях параметров могут оказаться весьма простыми (например, разрешимыми в явном виде) и переход к другим значениям параметров может быть использован для конструирования приближенных процедур и т.п.

Изучению различных задач с параметрами посвящена обширная литература. Здесь, по-видимому, можно указать два основных направления. Первое из них заключается в отыскании различных признаков того, что при соответствующих изменениях числовых, векторных, функциональных или других параметров общая картина функционирования системы не меняется или меняется мало - как говорят, система обладает грубостью (впрочем, здесь используются и другие термины). Одним из примеров подобных задач в теории управления является проблема абсолютной устойчивости состояния равновесия. Этой проблеме, начиная, с работ А.ИДурье, В.М.Попова, В.А .Якубовича, А.А.Воронова, Е.С.Пя^ тницкого, А.И.Баркина и др. посвящена обширная литература (см., например, [I] , [5] , [6] , [24] , [25] , [35] , [37] , [43] и имеющуюся там библиографию). Большое внимание было уделено исследованию грубости автономных динамических систем; ограничимся здесь ссылками на работы [2] , [з] , [32] и [Зб] . Теория грубых систем содержит выделение тех значений параметров, малое изменение которых не оказывает существенного влияния на общий характер функционирования системы.

Системы с малыми параметрами детально изучались и с других позиций. Для исследования широких классов таких систем эффективно применяется принцип усреднения, разработанный и детально изученный Н.Н.Боголюбовым, Н.М.Крыловым, Ю.А.Митропольским, А.М.Самойленко и другими авторами (см., например, [7] , [ю] и имеющуюся там библиографию). Особую роль играют системы, описываемые дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при старших производных (см., например, [4] , [9] , [30] , [42] ). В частности, М.В.Мееров [30] обнаружил, что к уравнениям с малыми параметрами при старших производных приводит анализ систем управления, содержащих большие коэффициенты усиления. Недавно ряд результатов М.В.Меерова перенесен на более общие случаи А.Н.Шошитайшвили [42] .

В отличие от грубых (в различных пониманиях) систем важную для разнообразных приложений роль играют такие значения параметров, при малом изменении которых происходит "качественная перестройка" системы. Такие значения параметров обычно называют либо критическими, либо бифуркационными, либо точками ветвления. Классическими примерами задач, в которых наблюдается "качественная перестройка" системы при малых изменениях параметров являются известная задача Эйлера о формах потери устойчивости упругих систем, задачи о возникновении волн, задача Хопфа о рождении автоколебательных режимов из состояния равновесия, при потере устойчивости этого состояния равновесия. Количество примеров легко можно увеличить. Во всех перечисленных задачах, как правило, считается известным одно из решений соответствующего уравнения при критическом значении параметра, а затем выясняется, как происходит процесс разветвления этого решения при малом изменении параметров. Для исследования процесса разветвления разработаны специальные методы; они восходят к A.M. Ляпунову [26] , Шмидту [49] , А. И.Некрасову [33] и другим авторам. В настоящее время этой проблематике посвящены многочисленные статьи и монографии (см., например, [в] , [18] , [21] , [23] , [29] , {44 - 48] и имеющуюся там библиографию). В работах [2] , [17] у [46] исследованы различные ситуации рождения автоколебательных режимов в системах управления, а в [18] , [32] , [40] и других найдены условия рождения вынужденных колебательных режимов.

Дальнейшее изучение критических значений параметров остается актуальной и важной (как с теоретической, так и с прикладной точек зрения) задачей, так как указанные выше работы не охватывают всего возможного многообразия форм "перестройки" систем при малых изменениях параметров. В частности, недостаточно изучена возможность возникновения в системах управления при периодических внешних воздействиях (входах) вынужденных периодических колебаний либо с большими амплитудами, либо с большими средними, т.е. "рождения вынужденных колебательных режимов из бесконечно удалённой точки пространства состояний". Особо актуален здесь анализ устойчив вости таких вынужденных колебаний.

Цель работы. В нелинейных системах управления исследовать эффект возникновения вынужденных колебаний, рождающихся из бесконечно удаленной точки пространства состояний при изменении параметров системы. Изучить свойства указанных вынужденных колебаний.

Научная новизна. Предложен метод, позволяющий для одноконтурных и многоконтурных систем управления с асимптотически линейными нелинейностями обнаруживать по линеаризованным уравнениям те значения параметров, которые являются точками рождения вынужденных больших колебаний.

Найдена главная асимптотика для больших колебаний. Указаны асимптотические формулы, связывающие значения параметров с соответствующими периодическими режимами.

В достаточно общих условиях построены зависящие от параметров системы функции Ляпунова, позволяющие исследовать устойчивость изучаемых вынужденных периодических колебаний. Указаны эффективные признаки устойчивости и признаки неустойчивости колебаний.

Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. В ней исследован новый тип качественной перестройки закона функционирования системы управления при изменении параметров. Развитые методы позволяют в новых условиях обнаруживать возникновение вынужденных периодических колебаний при изменении параметров. Эта возможность важна в задачах анализа и синтеза нелинейных систем управления.

Методы исследования. Использованы общие методы теории управления, методы качественной теории дифференциальных уравнений и общего нелинейного анализа, методы А.М.Ляпунова исследования устойчивости и неустойчивости.

Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались на различных семинарах и на конференциях молодых ученых в Институте проблем управления Минприбора и АН СССР (1981 - 1984 гг.), на семинарах в Отделе прикладных проблем математики Математического института с ВЦ АН Таджикской ССР (1983 - 1984 гг.), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Таджикском государственном университете им. В.И.Ленина (1984 г.), на Республиканской научно-технической конференции, посвященной 60-летию Таджикской ССР (.Пушанбе, 1984 г.), на У Всесоюзном совещании "Управление многосвязными системами" (Тбилиси, 1984 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в [50 - 54] . Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Теорема 1.2 является развитием результатов, полученных автором совместно с А.М.Красносельским [50] .

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 129 страницах машинописного текста, состоит из введения, восьми параграфов, пяти рисунков и списка литературы, включающего 5.4 наименования.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. - М.: Изд-во АН СССР, 1965.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний М.: Физматгиз, 1959.

3. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы. ДАН СССР, 1937, т. 14, № 5, с. 247 - 250.

4. Аносов Д.В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Математический сборник, I960, т. 50, Я 3, с. 299 - 334.

5. Баркин А.И. Интегральные оценки качества абсолютно устойчивых систем. Автоматика и телемеханика, 1972, if 7, с. 22 - 30.

6. Баркин А.И. -устойчивость и абсолютная устойчивость нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1983, Я 10,с. 64 69.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

9. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных. ЖВМ и Ш, 1963, т. 3, Л 4, с. 611 - 642.

10. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.

11. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1980.

12. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

13. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем (метод пространствасостояний). М.: Наука, 1970.

14. Калман Р., Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

16. Красносельский A.M. Частотные критерии в задаче о вынужденных периодических колебаниях систем автоматического регулирования.- Автоматика и телемеханика, 1980, Л 9, с. 23 29.

17. Красносельский М.А. О рождении автоколебаний из состояния равновесия. Автоматика и телемеханика, 1973, Л I, с. 182 - 184.

18. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

19. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

20. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

21. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., З^утицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

22. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Физматгиз, 1959.

23. Леонтович Е.А., Шильников Л.П. Современное состояние теории бифуркаций динамических систем. Качественные методы теории нелинейных колебаний. Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1970, т. 2.

24. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического уп-. равления. М.: Мир, 1967.

25. Лурье А.И.- Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования.Современные проблемы механики. М. - Л.: Гостехиздат, .1951•

26. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостезсиздат, 1950.

27. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. - Л.: Гостехиздат, 1952.

29. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

30. Мееров М.В. 0 системах авторегулирования, устойчивых при сколь угодно большом коэффициенте усиления. Автоматика и телемеханика, 1947, Л 4, с. 225 - 242.

31. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. М.: Наука, 1965.

32. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

33. Некрасов А.И. Точная теория волн устоявшегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Гостехиздат, 1951.

34. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.

35. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1961, т. 22, JE 8, с. 961 - 979.

36. Попов ЕЛ. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973.

37. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1968, Г 6, с. 5 36.

38. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. Метод интеграль-. ных уравнений. М.: Наука, 1969.

39. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

40. Сабиров Т. К вопросу об устойчивости малых периодических решений. Д/Ш СССР, 1966, т. 167, В 4, с. 755 - 757.

41. Функциональный анализ (под ред. М.Г.Крейна). М.: Наука, 1976.

42. Шошитайшвили А.Н. 0 неустойчивости состояния равновесия в сингулярно возмущенных системах. Автоматика и телемеханика, 1984, Л 6, с. 172 - 174.

43. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления (под ред. Р.А.Нелепина). - М.: Наука, 1975, с. 74 - 175.

44. Chow S.N., Hale J. Methods of bifurcation theory. Springer -. Verlag, 1982.

45. Ize A.F. Functional differential equations and bifurcation. -Lect. Notes Math., N 799, Springer Verlag, 1980.

46. Rabinowitz P.H. Theorie du degre topologique et applicationsa des problemes aux limites non lineaires. Univ. Paris,1975,IV

47. Sburlan S. Gradul topologic. Bucuresti.i Editura Acad. Rep. Soc. Romania, 1983.

48. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integ-ralgleichungen. Math. Ann., 1908, N 65*

49. Красносельский A.M., Шагулов М.Г. Бифуркационные значения параметров в задаче о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования. Доклады АН Таджикской ССР, 1983, т. 26, л п, с.б7э-б*г.

50. Шагулов М.Г. Асимптотика больших колебании нелинейных систем регулирования. Доклады АН Таджикской ССР, 1984, т. 27, 16 6, с. 307 - 310.

51. Юмагулов М.Г. Вынужденные колебания с большими средними значениями в многоконтурных системах. Деп. в ВИНИТИ II апреля 1984 г., № 2228-84 Деп.

52. Шагулов М.Г. Колебания с большими средними значениями в многосвязных системах. Тезисы докладов У Всесоюзного совещания "Управление многосвязными системами", Тбилиси, 1984, с. 55 -- 56.

53. Шагулов М.Г. Устойчивые колебания с большими средними в нелинейных системах управления. Деп. в ВИНИТИ 13 ноября 1984 г., is 7281-84 Деп.