автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ математических моделей экономических систем с гистерезисными явлениями в условиях нестационарности

На правах рукописи

РУДЧЕНКО ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА

АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ ЯВЛЕНИЯМИ В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ

(Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и экономико-математических методов Воронежской государственной технологической академии.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Семенов Михаил Евгеньевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Берколайко Марк Зиновьевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Никитин Борис Егорович.

Ведущая организация: ГОУ ВПО Воронежский государственный университет.

Защита состоится «18» мая 2006 г. в 13.30 на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Воронежской государственной технологической академии по адресу: 3940)7 г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат разослан « 18 » апреля 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета' к.т.н., доц. И А. Хаустов

¿00 6к

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике и физике. Возможность исследования систем с гистерезисом основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейностей, разработанной М.А. Красносельским и его учениками. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости пересмотра подходов к решению целого ряда задач моделирования и анализа экономических процессов и систем.

Объектом исследования в работе является, прежде всего, устойчивость решений уравнений модели ценообразования: наличие нетривиального устойчивого решения в виде точки или предельного цикла, поведение решения в неустойчивой области, а также анализ условий, при которых возникают эти режимы. При моделировании производственной деятельности учет гистерезисного характера спроса требует заново решать практически важную задачу оптимального производства, хранения и сбыта продукции. Настоящая работа посвящена решению приведенных задач и является продолжением исследований, проводимых в области моделирования и анализа нелинейностей гистерезисной природы в экономических системах.

В работах М.Е. Семенова предложена обобщенная модель гистерезисного преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако, в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса (пороговые числа гистерезисного преобразователя, описывающего отношение потребителя к товару, становятся зависящими от времени), и как следствие, к необходимости анализа в новых условиях поведения временной траектории цены в модели ценообразования и нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.

Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления Воронежской государственной технологической академии - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Разработка и анализ математических моделей процесса ценообразования и оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса в условиях нестационарности потребительских отношений.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

- разработка математической модели функции спроса с гистерезисной нелинейностью в условиях нестационарности потребительских отношений;

- разработка математической модели ценообразования на монотоварных рынках с учетом нестационарности потребительских отношений;

- исследование полученной математической модели ценообразования на существование устойчивых нетривиальных решений;

- разработка модели оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений;

- разработка алгоритма решения соответствующей задачи;

- численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на конкретных экономических задачах.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Научная новизна работы. В результате проведенного исследования получены результаты, характеризующиеся научной новизной:

- получен новый вид гистерезисной функции спроса, отличающийся нестационарными значениями пороговых чисел гистерезиса;

- разработана модель ценообразования для монотоварных рынков с гистерезисной функцией спроса, отличающаяся новым анали-

тическим видом функции предложения, учитывающей меняющиеся потребительские отношения на рынке; - разработан алгоритм решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях нестационарности потребительских отношений.

Практическая ценность работы. Практическая ценность работы подтверждается использованием ее результатов при экономическом анализе типичного представителя монотоварных рынков — рынка сахара. Здесь изменение во времени потребительских отношений определяется изменяющимся соотношением производства отечественного сахара и производства сахара из импортируемого сахара-сырца. Решение задачи установления средней равновесной цены - весьма важная практическая проблема рынка сахара. Не меньший интерес представляет и решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции, которое обеспечивает не только достижение максимальной прибыли производителей при оптимальной ценовой и производственной стратегии, но и возможность избежать затоваривания рынка, резких скачков цен, что представляет практический интерес для потребителя. Результаты работы могут быть использованы и для других монотоварных рынков.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: ХП Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам, г.Сочи, октябрь 2004 ; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18», г.Казань, январь 2005; Воронежская весенняя математическая школа «Понпрягинские чтения-XDC» г.Воронеж, май 2005; «Экономическое прогнозирование: модели и методы», г.Воронеж, апрель 2005, март 2006; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», г.Воронеж, декабрь 2005, в отчетных конференциях ВГТА за 2004,2005 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Личное участие автора заключалось в разработке гистерезисной функции спроса в условиях нестационарности потребительских отношений, разработке и исследовании моделей.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 108 страницах, включает 14 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, изложено ее краткое содержание.

В первой главе приводится анализ известных экономических моделей, описывающих процесс ценообразования и задачу об оптимальном хранении и сбыте товара. Рассматриваются новые подходы к построению моделей функции спроса, учитывающих ее гистерезисный характер.

Как известно, равновесная цена в задаче ценообразования определяется решением уравнения Р(с) = S (с), где с - цена, Р(с)- функция спроса, S (с) - функция предложения. Одним из подходов к решению такого уравнения является его представление в виде нелинейного конечно-разностного уравнения первого порядка 5(с„_,) = Р(с<|), с дискретным временем п = 0,1,2,... и начальным условием с„_0 = с0.

Если функция спроса Р(с) представляет собой нелинейную функцию гистерезисной природы, то очевидно, что известные условия для анализа устойчивости использовать уже нельзя (хотя бы в силу недифференцируемости этой функции). Отсюда возникает задача исследования - нахождение условий устойчивого и неустойчивого поведения траектории цены в процессе ее установления.

Классическая постановка задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции имеет вид:

J = }[с(/)Р(/) - u(t) - max,

о

z = u-P, z(0) = 0, v = P - fc,v,v(0) = 0, где z(t) - количество товара на складе производителя, v(7) - количество товара у потребителя, u(t) - темп производства, Pit) - темп продаж, кх - коэффициент потребления, к2 - коэффициент загграгт на хранение.

Известное решение этой задачи предполагает представление функции спроса в виде детерминированной гладкой функции. Современная экономическая теория утверждает, что этого недостаточно.

Функция спроса зависит не только от цены в настоящий момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени, причем эта зависимость имеет ярко выраженный гистерезисный характер. Это обусловливает необходимость решения задачи огтгимизации в иной постановке - когда функция спроса имеет гистерезисную природу.

Дня построения функции спроса, отражающей все приведенные к ней требования, необходимо рассмотреть некоторые известные гистерезисные преобразователи.

Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и A.B. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношениями: вход—состояние и состояние - выход.

Обозначим через д[а, ß, *0] двухпозиционное реле с пороговыми числами а и ß. Пространством состояний неидеальнош реле является пара чисел {0,1}. Связь между входом u(t) е ,j и переменным выходом x(t) е (О, l} устанавливается оператором F\a,ß,xü\:

x(t) = ф,А*0]н(/), (1)

здесь Хо - начальное состояние преобразователя.

Начальное состояние хо преобразователя должно удовлетворять следующим условиям: если и(0) <от, то х0 =0; если и(0) ä ß, то д^, = 1; если а <, и(0) £ ß, то х0 = 0 или х0 = 1. Динамику входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле иллюстрирует оис. 1.

X , 1

ОС ß И

Рис. 1. Динамика входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле

Преобразователем Прейзаха-Гилтая называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле, соединенных параллельно.

Рассмотрим частный класс таких реле. Пусть на полуплоскости Ра р з [а, р :а < /?} определена положительная абсолютно не-

прерывная суммируемая функция Я = А(а,Р). Определим на полуплоскости Ра р меру ц равенством:

йц - М<х,р)<1айр. (2)

Измеримыми по мере /л будут все измеримые по Лебегу множества, в том числе и имеющие бесконечную меру. Мера ц абсолютно непрерывна относительно двумерной лебеговой меры, если выполнено условие:

где ст(у) = шах

1<т(у)с1у<00, о

Л(а,Р).

(3)

(4)

Обозначим через у/ класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом, равным единице. Введем в рассмотрение множество П^ скалярных функций а>(а, /3), заданных на полуплоскости Рар={а,р:а<р} и таких, что:

ГО, еслиа + р>у/(р-а), [1, если а + Р< у/(р - а), где у/{у) е ц/. Множество - пространство возможных состояний преобразователя Прейзаха-Гилтая. На рис 2 показан один из элементов множества О,,,.

Рис. 2. Элемент множества £1„

Пусть задан произвольный элемент а>0(а,/3) е Q^. Допустимыми для преобразования Прейзаха-Гилтая (Г, Ç), находящегося в начальном состоянии o)Q(a, /?) являются все непрерывные входы u(t),t > 0, удовлетворяющие равенству и(0) = i//0(0), где coü(a,fi) и щ(у) связаны соотношением (5).

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейзаха-Гилтая (Г, Ç) устанавливается оператором Г :

o>(a(y\fi(y),t) = Т\со0(г)]и(0 - R[a>a{a,fi,y),oc<j),fi{y)\t(t), (6) где у - параметр, у

Выход преобразователя (Г, Ç) определяется соотношением: m = J(û{a,fi,t)dM = fi) : R[co0(a, fi),a, fi]u(t) = 1). (7)

a&p

Модификации приведенных преобразователей оказались весьма удобным средством моделирования потребительского спроса на некоторые виды товаров (в частности, на товары «первой необходимости»).

В работе предлагается следующая модель: на первом этапе предполагается, что функция спроса P(t) зависит в момент времени / только от цены c(t) следующим образом. Отношение индивидуального потребителя к некоторому товару определим функцией R(c(t)), принимающей значения 0 или 1 по правилу:

1, если c(t) < a(t),

R(c(t)) = 0, если c(t) > p{t), (8)

1 или 0, если a(t) < c(t) < /?(/)• Т.е. функция R(c(t)) принимает значения равные единице, если товар покупается и нуль в противном случае. Функцию R(c(t)) удобно трактовать как выход некоторого преобразователя Л[а(0,ЖО> ^о! > аналогичного неидеальному реле с инверсией роли пороговых чисел a, fi, на вход которого поступает сигнал c(t)(t > 0). Взаимосвязь между входом и выходом иллюстрирует рис. 3.

Я

<хю рм С

Рис. 3. Взаимосвязь между входом и выходом преобразователя К

Здесь, в отличие от предлагаемых ранее моделей, учтено, что отношение потребителя к товару может меняться со временем. В модели этому соответствует зависимость от времени пороговых чисел а(/) и у9(г)-

Если обозначить через у1 темп покупок /-го потребителя (/=1,2...«), то для системы из и любых потребителей функция спроса будет иметь вид:

РШ)=• (9)

В континуальном случае функция спроса будет аналогична преобразователю Прейзаха-Гшггая (6К7)с инверсией нулей и единиц т.е.:

Р(с(0)= Ш'ЖО," (10)

а&р

где т{а{0,Ж0»0 = Чщ(<*, р№) = Ща(гЛР(УЛХо(гЖО, (11) и уеРа,0.

Как и в случае с конечным множеством потребителей, континуальный аналог учитывает возможность изменения индивидуальных отношений потребителя к товару. Этим возможным изменениям в модели соответствует зависимость меры ц от /.

Таким образом, в первой главе разработана математическая модель гистерезисной функции спроса в условиях нестационарности потребительских отношений. Для дискретного случая напучено выражение (9), для континуального случая - (10)-(11).

Во второй главе работы строится модель ценообразования на монотоварных рынках в условиях гистерезисной функции спроса. Принято считать, что в момент времени г отрасль может описываться гладкой функцией распределения мощностей по технологиям £(Л,0, где Я - норма затрат труда (количество занятых работников

на единицу выпускаемого продукта), рассматриваемая как характеристика технологических мощностей.

Функция изменяется со временем ? в результате процес-

сов старения и строительства новых мощностей. Очевидно, что теоретически суммарная мощность отрасли М(г) определяется равенством:

^(0 = (12)

о

Реальная мощность, определяющая предложение на рынке, будет ограничена: снизу - некоторой минимальной нормой затрат Дцш =0, и сверху - максимально допустимой нормой затрат труд Да« = /а, при которой фиксированная ставка заработной платы 5 еще оправдывается рыночной ценой с„_,. Другими словами, функция предложения может быть представлена в следующем виде:

(13)

и

где - t - «медленное» время, т.е. время старения и модернизации технологических мощностей; п - дискретное время — время адаптации рынка к равновесию.

Для того, чтобы получить аналитическое выражение для функции предложения, сделаем рад предположений.

Поскольку норма затрат труда Я является характеристикой мощностей, то очевидно что она будет меняться со временем. При этом предполагается, что скорость ее изменения при старении мощностей будет пропорциональна текущему значению, т.е.:

(14)

где ¡л - коэффициент пропорциональности.

Следовательно, мощности, введенные в момент времени г, преобразуются к момешу времени г в соответствии со следующей схемой: £(г, Ц^М=£(/, Щ - хШ ехрС" • (' - г)) ■ (15)

Предположим, что инвестиции, поступающие в отрасль в момент времени мгновенно преобразуются в новые мощности с минимальной нормой затрат труда по закону:

1№=£(т,Л)(16)

Для дальнейшего анализа сделаем предположение, что замкнутая экономическая система находится в режиме экспоненциального роста:

M(t) = М(т)ехр(^(/ - г)), где у - темп роста.

Численные эксперименты показывают, что режим экспоненциального роста обеспечивается программой инвестиций:

I(t) = kM(t).

В этом случае функция # = £(Л,() имеет вид:

4(Л, 0= uM(í)/(l + a)Á

Л ya

(17)

где а - параметр, зависящий от , характеризующий скорость

старения, ввод новых мощностей и минимальную норму затрат труд а. Тогда функция предложения будет определяться соотношением:

/ (

1- SU

\ У

(18)

В дальнейшем предполагаем, что процесс адаптации цены к равновесию будет осуществляться в рамках дискретной модели вальрасовского типа:

с„д(си-х) = сп_,Р(с^), (19)

или, с учетом равенства (18)

Щ)

1-

SO

vVi,

Окончательно получаем соотношение: xn=A(t)x„_

ч Mit) sv

где A(t) = и xa= —.

ДО c„

Здесь предполагается, что Р(сп) есть выход преобразователя

(11), (12) в момент t = 1, на вход которого подается функция:

р(0 = 0-0 Таким образом модель ценообразования

хп+1 = Дхп,А,а), (20)

где f(x, А, а) = Ах(\ ~ха), по заданному начальному условию х0 и начальному состоянию преобразователя (11), (12) однозначно определяет бесконечную траекторию х0, */, ...,хю... Ввиду принятой гипоте-

зы о разделении времен, представляет содержательный интерес изучение асимптотического (при п~>оо) поведения цены.

Простейшими типами предельных траекторий системы являются неподвижные точки *, для которых х = f(x,A,a), и периодические траектории. Периодической траекторией периода Т называется набор несовпадающих точек xh х^ ■■■,хг таких, что х2 = f{xi,A,a), *з = f(x2,A,a),..„*,= f(xr,A,a).

Рассмотрим, как с увеличением параметра А изменяется асимптотическое поведение траекторий динамической системы (20). Если 0£А<1, то при любом начальном условии х0 траектория системы (20) стремится к 0. С содержательной точки зрения 0^А<1 означает, что производственных мощностей не хватает для удовлетворения спроса, при этом цена товара стремится к . При А=1 происходит бифуркация, в результате которой неподвижная точка х=0 становится неустойчивой, и рождается устойчивая при значениях А, близких к 1, неподвижная точка хр(А,а).

Неподвижная точка хр(А,а) теряет устойчивость в результате бифуркации Хопфа.

На рис. 4 изображено дерево бифуркаций, т.е. зависимость аттрактора от параметра А для а = 2.

Проведенные численные эксперименты позволили установить следующие факты. Во-первых, амплитуда колебаний периодических траекторий при А > А2(а) имеет тот же порядок, что и равновесная цена. Во-вторых, величина А2(а)-А,(а) в несколько раз

!

больше величины Аж(а)- А2(а). Величину Ал(а) можно вычислить с помощью принципа универсальности Фейгенбаума, согласно которому последовательность Л„(аг) сходится к Ат(а) асимптотически, как геометрическая прогрессия со знаменателем 1 /<?, где S «4,669 - универсальная постоянная Фейгенбаума.

Величины Ai(a),A2(a),...,До(а) являются характеристиками устойчивости рыночных механизмов. С увеличением параметра А динамика цен становится трудно прогнозируемой, и это обстоятельство препятствует деловой активности экономических агентов.

Увеличение темпа роста производства уменьшает диапазон устойчивости рыночных механизмов, что согласуется с представлениями экономической теории о перегретой экономике.

I Таким образом, во второй главе разработана математическая модель ценообразования на монотоварных рынках с учетом нестационарностн потребительских отношении, проведено исследование этой модели, построено множество устойчивых нетривиальных решений.

В третьей главе работы рассматривается задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в ситуации, когда структура потребительского сообщества изменяется со временем. Это соответствует зависимости меры /л преобразователя (11)-02) от времени.

Обозначим через Z(t) - количество товара на складе у производителя, V(t) - количество товара у потребителя, U(t) - темп производства, P(t) - темп продаж (количество продаж в единицу времени), ki - коэффициент потребления, - коэффициент затрат на хранение единицы товара, c(t) - цена единицы товара.

Динамика изменений введенных величин описывается следующей системой дифференциально-операторных уравнений:

Z = U-P,Z(0) = 0, V = P-kvV,V{ 0) = 0,

(21)

(22) (23)

а<р

а>(а, р, 0=Г[а>о(а,Р)Ш

(24)

В д альнейшем, доя упрощения выкладок будем предполагать, что себестоимость производства товара равна единице. Также будем считать, что темп производства ограничен некоторым максимальным значением Uo, т.е. U(t)e[0;U(J. Рассмотрим процесс производства, сбыта и хранения на конечном временном промежутке [0,Т]. Общий доходу, с учетом введенных обозначений, определяется равенством:

J(T) = ](c(t)P(t) - U(t) - . (25)

о

Задача о производстве, сбыте и хранении продукции сводится к задаче оптимального управления: найти такие функции U(t), c(t) (te[0,TJ), удовлетворяющие системе (21) - (24), при которых функционал (25) максимален. Очевидно, что если U(t)=0 (производство не включается), то J(T)-0 (тривиальное решение). Поэтому нужно найти такие ограничения на параметры задачи, при которых можно получить ее оптимальное решение, отличное от тривиального, и такие, что J(T)>0.

Для решения этой задачи применим принцип максимума JI.C. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона: H(Z,V,P,pl,p2,U,c) = pl(U-P) + p2(P-klV)-cP + U + k2Z =

= 1Г(д+ + + (26)

где pi (0, Pi(0 - вспомогательные функции. В силу линейности гамильтониана по U, его минимум по этой переменной в зависимости от знака pi(t)+l достигается либо при U=0, либо при U=Uo, т.е.:

Г о, р, со 1 > о»

с/ (ОН (2?)

Отметим, что выбор зависимости функции спроса от цены не позволяет найти минимум гамильтониана стандартными методами дифференциального исчисления. В общем случае преобразователь (23), (24), рассматриваемый как оператор из с(0 Т) в себя, не имеет

даже слабой производной Гато. Поэтому для нахождения минимума функции (26) по с необходимы другие методы. Для упрощения выкладок рассмотрим отдельное выражение Ч'(с) = ~Р(с + р1 - р2) ■

В работе показано, что min у/(с) достигается при:

C(t) =

\{Рг ~ Pi + ~Рг)2 +6a2 )>если Р\~Рг> О,

г (28)

vr I г,-^ если - д > 0.

3

После подстановки (27) и (28) в (26) получаем гамильтониан: H\t) = H\Z,V,p„p2) =

U\px +1) - (р, ~р2 + с)Р(с ) - Аг,р2К + AjZ = сога/. При этом функцииpi(t) иp/t) должны удовлетворять уравнениям: • ВН*

Pi = —г— = ~к2 + \a>{cc,p,t)d№, (29)

OZ a</J

" ВН*

p2=-— = klP2, (30)

и граничным условиям:

Р,(Г)=0,р2(Г)=0. (31)

Решение уравнения (30) с учетом условий (31) легко выписывается в явном виде:

p2(t) = 0, 0<t<T Начальное условие уравнения (29) должно удовлетворять неравенству р/0)<-1, т.е. производство должно включаться в начальный момент времени. Таким образом, для решения поставленной задачи нужно определить условия, обеспечивающие существование функций c(t), p,(t), удовлетворяющих уравнению (29) и краевому условию (31).

Эта задача сводится к нахождению неподвижных точек оператора:

\Г[ю0(сс J)}c(T)dM(T)\iT + ^. (32) \a<fi ) 3

2Т(

(Gc0(0 = -J

J I

Этот оператор действует из пространства qo,г] непрерывных монотонных функций в себя и оставляет инвариантным множество непрерывных функций:

л/2аТ

В работе показано, что при выполнении неравенства

< 1, оператор (32) является сжимающим и, в силу известного

принципа сжимающих отображений, имеет единственную неподвижную точку, которая может быть найдена, например, методом последовательных итераций.

Как было показано выше, эта неподвижная точка является оптимальным значением цены на конечном временном интервале, обеспечивающей максимизацию прибыли производителя.

Оптимальный темп производства определяется равенством (27).

В работе проведены численные эксперименты нахождения оптимальных темпа производства и цены, обеспечивающих максимизацию прибыли для некоторых модельных случаев.

Рис.6

На рисунках показано «качественное» поведение оптимальных темпа производства и цены.

Отметим, что полученные результаты находятся в качественном соответствии с результатами, полученными ранее при стационарных потребительских отношениях. И оптимальное поведение производителя качественно не меняется.

Таким образом, в третьей главе построена модель задачи об оптимальном производстве хранении и сбыте продукции, разработан алгоритм ее решения в условиях гистерезисной функции спроса в нестационарности потребительских отношений.

Основные результаты работы

1. Проведен анализ известный математических моделей ценообразования, показано, что учет инертности потребительского спроса и изменения потребительских отношений в зависимости от времени требует новых подходов к синтезу математических моделей и нового анализа решения соответствующих задач.

2. Получена модель функции потребительского спроса, которая трактуется как выход обобщенного гистерезисного преобразователя с пороговыми числами, зависящими от времени, что позволяет учесть изменяющееся со временем отношение потребителя к товару.

3.Разработана модель процесса ценообразования на монотоварном рынке в виде нелинейного конечно-разностного уравнения первого порядка, позволяющая получать при различных параметрах рынка траектории изменения цены в зависимости от времени.

4.Проведен анализ конечно-разностной модели процесса ценообразования на существование нетривиальных устойчивых решений, предельных циклов и бифуркаций, что обеспечивает исследование устойчивости рынков с различными параметрами.

5.Разработан алгоритм решения задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений.

6. Получено решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса, которое определяет выбор рационального поведения производителя на рынке.

7.Выполнены численные модельные эксперименты по анализу решения задачи ценообразования и задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции, которые подтвердили адекватность разработанных моделей и возможность их практического использования.

8.Результаты работы нашли практическое применение при экономическом анализе рынка сахара, проводимом ВНИИ сахарной свеклы и сахара РАСХН.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Рудченко Т.В. Устойчивые предельные циклы в одной модели макроэкономики / Рудченко Т.В. // Сб. трудов КГТУ «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18», Казань: КГТУ, 2005. - №7 - С.8-10.

2.Лапыгин Д.Р. Об оптимальном решении одного класса экономических задач / Лапыгин Д.Р., Рудченко Т.В., Кутепова Л.В., Сумин

B.И. // Сб. трудов XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам «Обозрение прикладной и промышленной математики». Москва: Ред. журнала «ОПиПМ», 2005. - №3 -

C.670-671.

3.Перова A.B. Модели макроэкономики и устойчивые циклы / Перова A.B., Рудченко Т.В., Семенов М.Е. // Сб. трудов Рос. гос. торгово-экономич. университета «Актуальные проблемы экономики предпринимательства»: Воронеж: изд-во «Научн. книга»,

2004. - №7 - С.102-106.

4. Перова A.B. Задача об оптимальной производственной стратегии / Перова A.B., Рудченко Т.В., Кутепова JLB. // Межвуз. сб. науч. тр. «Моделирование систем и информационные технологии». Воронеж: изд-во «Научная книга», 2005. - №2 - С.227-230.

5. Семенов МЕ. Об оптимальном решении одного класса задач с гисте-резисными нелинейностями / Семенов М.Е., Рудченко Т.В., Кутепова ЛВ. // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVI». Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 142.

6. Матвеев МГ. Задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении товаров в условиях гистерезисной функции спроса / Матвеев МГ., Семенов М.Е., Канищева О.Н., Рудченко Т.В. // Материалы Международной научно — практической конференции (29-30 апреля 2005 г.). Воронеж: ВГУ, 2005.-№2 - С.398-408.

7. Семенов М.Е. Модель ценообразования в условиях гистерезисных функций спроса / Семенов М.Е., Рудченко Т.В. // Сборник «Математические и инструментальные методы в экономике». - №2. Воронеж: ВГТА, 2005. - С.35-39.

8.Матвеев М.Г. Гистерезисная модель макроэкономики / Матвеев М.Г., Семенов М.Е., Рудченко Т.В., Кутепова Л.В. // Сб. трудов международной науч. конф. «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». Воронеж: ВГТА,

2005.-С.146.

9.Рудченко Т.В. О диссипативности одного класса систем с гисте-резисными нелинейностями, находящихся под внешним воздействием резонансной частоты / Гулин А.Н., Толоконников П.В., Рудченко Т.В. // Сб. материалов международной научно-практической конф. «Экономическое прогнозирование: модели и методы». Воронеж: ВГТА, 2006. - С.26-29.

10. Матвеев М.Г. Экономические и правовые аспекты электронной комерции / Матвеев М.Г., Шуршикова Г.В., Рудченко Т.В. // Сб. отчетной научн. конференции ВГТА (2005 г.) «Программа XLIV». Воронеж: ВГТА, 2006. - С.26.

ММ

Р - М9Т

Подписано в печать 11.04.2006 г. Формат 60x84 1/16 . Бумага офсетная..Гарнитура Тайме. П.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №31

Воронежский государственный университет (ВГУ ). Участок оперативной полиграфии ВГУ. Адрес учебного корпуса №8 ВГУ и участка оперативной полиграфии : 394068 . Воронеж, Московский проспект, 88

Введение

Глава 1. Математические модели экономических систем. Гистере-зисные преобразователи

1.1. Задача ценообразования

1.2. Задача оптимального производства, хранения и сбыта

1.3. Понятие гистерезисного преобразователя 21 1.3.1 Неидеальное реле 21 1.3,2.Преобразователь Прейзаха-Гилтая 27 1.3.3 .Свойства преобразователя Прейзаха-Гилтая 29 1.3.4. Функция размагничивания 30 1.3.5 Периодические входы

1.4 Применение гистерезисных преобразователей для моделирования функции спроса

1.5 Свойства гистерезисной функции спроса

Модель равновесного ценообразования в условиях гис

Глава 2. 42 терезисной функции спроса

2.1. Построение модели ценообразования

2.2. Исследование модели ценообразования 46 2.3 Рыночное регулирование простейшей технологической цепочки

Глава 3. Задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении товара в условиях нестационарной гистерезисной функ- 69 ции спроса

3.1. Задача о максимизации прибыли в условиях неограниченного количества товара у производителя

3.2. Задача о производстве, потреблении и сбыте товара 73 Заключение 82 Приложение 83 Список использованных источников

Актуальность темы В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике и физике. Возможность исследования систем с гистерезисом основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейно-стей, разработанной М.А. Красносельским и его учениками. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости пересмотра подходов к решению целого ряда задач моделирования и анализа экономических процессов и систем.

Объектом исследования в работе является, прежде всего, устойчивость решений уравнений модели ценообразования: наличие нетривиального устойчивого решения в виде точки или предельного цикла, поведение решения в неустойчивой области, а также анализ условий, при которых возникают эти режимы. При моделировании производственной деятельности учет гистере-зисного характера спроса требует заново решать практически важную задачу оптимального производства, хранения и сбыта продукции. Настоящая работа посвящена решению приведенных задач и является продолжением исследований, проводимых в области моделирования и анализа нелинейностей гистерезисной природы в экономических системах.

В работах М.Е. Семенова предложена обобщенная модель гистерезисно-го преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако, в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса (пороговые числа гистерезисного преобразователя, описывающего отношение потребителя к товару, становятся зависящими от времени), и как следствие, к необходимости анализа в новых условиях поведения временной траектории цены в модели ценообразования и нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.

Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления Воронежской государственной технологической академии - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы: разработка и исследование математических моделей процесса ценообразования и оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса в условиях нестационарности потребительских отношений.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

- разработка математической модели функции спроса с гистерезисной нелинейностью в условиях нестационарности потребительских отношений;

- разработка математической модели ценообразования на монотоварных рынках с учетом нестационарности потребительских отношений;

- исследование полученной математической модели ценообразования на существование устойчивых нетривиальных решений;

- разработка модели оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений;

- разработка алгоритма решения соответствующей задачи;

- численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на конкретных экономических задачах.

Методы исследования При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Научная новизна работы В результате проведенного исследования получены результаты, характеризующиеся научной новизной:

- получен новый вид гистерезисной функции спроса, отличающийся нестационарными значениями пороговых чисел гистерезиса;

- разработана модель ценообразования для монотоварных рынков с гистерезисной функцией спроса, отличающаяся новым аналитическим видом функции предложения, учитывающей меняющиеся потребительские отношения на рынке;

- разработан алгоритм решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях нестационарности потребительских отношений.

Практическая ценность работы Практическая ценность работы подтверждается использованием ее результатов при экономическом анализе типичного представителя монотоварных рынков — рынка сахара. Здесь изменение во времени потребительских отношений определяется изменяющимся соотношением производства отечественного сахара и производства сахара из импортируемого сахара-сырца. Решение задачи установления средней равновесной цены — весьма важная практическая проблема рынка сахара. Не меньший интерес представляет и решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции, которое обеспечивает не только достижение максимальной прибыли производителей при оптимальной ценовой и производственной стратегии, но и возможность избежать затоваривания рынка, резких скачков цен, что представляет практический интерес для потребителя. Результаты работы могут быть использованы и для других монотоварных рынков.

Апробация работы Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам, г.Сочи, октябрь 2004 ; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18», г.Казань, январь 2005; Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения-Х1Х» г.Воронеж, май 2005; «Экономическое прогнозирование: модели и методы», г.Воронеж, апрель 2005, март 2006; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», г.Воронеж, декабрь 2005, в отчетных конференциях ВГТА за 2004, 2005 гг.

Публикации По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Личное участие автора заключалось в разработке гистерезисной функции спроса в условиях нестационарности потребительских отношений, разработке и исследовании моделей.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 108 страницах, включает 14 рисунков.

Основные результаты работы

В работе «Анализ математических моделей экономических систем с гистерезисными явлениями в условиях нестационарности»:

• проведен анализ известных математических моделей ценообразования, показано, что учет инертности потребительского спроса и изменения потребительских отношений в зависимости от времени требует новых подходов к синтезу математических моделей и нового анализа решения соответствующих задач;

• получена модель функции потребительского спроса, которая трактуется как выход нестационарного гистерезисного преобразователя;

• разработана модель процесса ценообразования на монотоварном рынке в виде нелинейного конечно-разностного уравнения первого порядка, позволяющая получать при различных параметрах рынка траектории изменения цены в зависимости от времени;

• проведено исследование конечно-разностной модели процесса ценообразования на существование нетривиальных устойчивых решений, предельных циклов и бифуркаций, что обеспечивает исследование устойчивости рынков с различными параметрами;

• разработан алгоритм решения задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Айзерман M.А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем / Айзер-ман М.А., Гантмахер Ф.Р. // M., изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

2. Андронов A.A. Теория колебаний / Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Г. // 2-е изд., Физматгиз, 1959.

3. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем. / Гиль М.И.// М., Наука, 1984. 150 с.

4. Горский A.A. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса / Горский A.A., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. // Изв. РАН. Теория системы управления. 1998. №1.

5. Гэлбрейт Дж.К. Экономические теории и цели сообщества: Пер. с англ. / Под ред. А.Г. Милейковского. М.: Прогресс, 1976. 406с.

6. Голубев Г.К., Еникеева Ф.Н. Асимптотически эффективное сглаживание в задаче Виксела при квадратичных потерях // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. № 1.С. 28-51.

7. Данилов В.И., Сотсков А.И. Рациональный выбор и выпуклые предпочтения // Изв. АН СССР. Сер. техн. Кибернетика. 1985. №2. С. 14-23.

8. Жак C.B. Экономика для инженеров. / Жак C.B. // Учебное пособие.- М.: Вузовская книга, 2004. С.52 - 57.

9. Забрейко П.П. Осцилятор на упруго-пластическом элементе. / Забрейко П.П., Красносельский М.А., Лифшиц Е.А. // ДАН СССР, 1970, т. 190, С. 217-220.

10. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочением. / Ишлинский А.Ю.// Украинский мат. журнал, 1954, т. 6, № 3, С. 430 441.

11. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа. / Колмогоров А.Н., Фомин C.B.// М., Наука, 1981, 543 с.

12. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. / Красносельский М.А. // М., Физматгиз, 1962. 394 с.

13. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы. / Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. // М., Наука, 1985. 255 с.

14. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом. / Красносельский М.А., Покровский A.B. // М., Наука, 1983. 271 с.

15. Красносельский A.M., Кросс Р., Покровский A.B. Нестационарные модели Прейсаха и их свойства // Доклады Академии наук. 2001. Т. 381. № 2. С. 180-184.

16. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О континуумах циклов в системах с гистерезисом // Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 3. С. 314-319.

17. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. Т. 5. № 1-2. С. 143-151.

18. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О существовании континуумов циклов в автономных гамильтоновых системах управления // Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. С. 65-74.

19. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. / Ляпунов A.M. // М., Гостехиздат, 1950. 270 с.

20. Маленво Э. Лекции по макроэкономическому анализу: Пер. с франц. / Под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1985. 392с.

21. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1986. С.7-196.

22. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121-266.

23. Матвеев М.Г. Экономические и правовые аспекты электронной комерции / Матвеев М.Г., Шуршикова Г.В., Рудченко Т.В. // Сб. отчетной научн. конференции ВГТА (2005 г.) «Программа XLIV». Воронеж: ВГТА, 2006. -С.26.

24. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. / Немыцкий В.В., Степанов В.В.// Гостехиздат, 1949.

25. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. / Плисс В.А.// М., Наука, 1964. 367 с.

26. Оленов H.H., Поспелов И.Г. Модель инвестиционной политики фирм в экономической системе рыночного типа. // 12. С. 164-174.

27. Попов В.М. Об одной задаче теории абсолютной устойчивости регулируемых систем. / Попов В.М. // Автоматика и телемеханика, т. 25, № 9, 1964.

28. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейно-стями. / Покровский A.B.// ДАН СССР, 1984, т. 274, № 5, С. 1037 1040.

29. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями. / Покровский A.B. // В кн.: Математическая теория систем. М., Наука, С. 96 112.

30. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями. / Покровский A.B., Семенов М.Е. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 2, с. 31 37.

31. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара. / Параев Ю.И. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2000, №2, С.103-117.

32. Перова A.B. Задача об оптимальной производственной стратегии / Перова A.B., Рудченко Т.В., Кутепова JI.B. // Межвуз. сб. науч. тр. «Моделирование систем и информационные технологии». Воронеж: изд-во «Научная книга», 2005. №2 - С.227-230.

33. Рудченко Т.В. Устойчивые предельные циклы в одной модели макроэкономики / Рудченко Т.В. // Сб. трудов КГТУ «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18». Казань: КГТУ, 2005. - №7 - С.8-10.

34. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. A.B. Аникина, А.И. Шапиро, P.M. Энтова. М.: Прогресс, 1964. 844с.

35. Семенов М.Е. Вынужденные устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский М.Е Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. -№ 2. -С. 81-87.

36. Семенов М.Е. Математическая модель функции продаж / М.Г. Матвеев, И. П. Половинкин, М.Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М.-2002.-т. 9.-вып. 1 .-с. 419-420

37. Семенов М.Е. Об одной модели потребительского спроса / И.П. Половинкин, М.Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб. науч. тр. ИПСЭР: М. - 2000. - с. 82-87

38. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хоте-линга / М. 3. Мешков, И. П. Половинкин, М.Е. Семенов// Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2002. - т. 9 . - вып. 1.-е. 226227

39. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезиснными нелинейностями / М.Е. Семенов // Воронеж. Издательство В ГУ.—2002. -104 С.

40. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейного положительного оператора. / Стеценко В.Я. // Математический сборник, 1965, т. 67, № 2, С. 210 219.

41. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. / Филиппов А.Ф. // М., Наука, 1985, 224 с.

42. Фоменко И.В. Глобальные условия существования автоколебательных режимов в автономных системах управления. / Фоменко И.В. // ДАН СССР, 1989, т. 308, № 4, с. 806 809.

43. Шананин A.A. О стохастическом поведении цены в одной детерминированной модели ценообразования // Докл. АН СССР. 1986. Т.288, №1. С.63-65.

44. Шананин A.A. Об устойчивости Рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т.З, №2. С.42-62.

45. Шумпетер И. Теория экономического развития. / Шумпетер И. // Теория экономического развития: Пер. с нем. / Под ред. А.Г. Малейковского. М.: Прогресс, 1982. 456с.

46. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

47. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

48. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964.

49. Amari Sh., Burnashev M.V., Han T.S. On some estimation problems with information constraints // Theory of Probability and Its Applications. 2001. V. 46. № 2. P. 233-246.

50. Asarin E.A., Bansal S., Espiau B., Dang T., Maler O. On Hybrid Control of Under-actuated Mechanical Systems // In M. Di Benedetto and A. Sangiovanni-Vincentelli (Eds.) Hybrid Systems: Computation and Control. LNCS 2034. Springer. 200l.P. 77-88.

51. Brokate M., and Sprekels J. Hysteresis and phase transitions. Springer, Berlin, 1996.

52. Beyer B., Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Asymptotical Analysis and Comparison of Two Coded Modulation Schemes Using PSK Signaling Part II // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 7. P. 2793-2806.

53. Burnashev M.V., Kutoyants Yu.A. On minimal alpha-mean error parameter transmission over Poisson channel // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. №6. P. 2505-2515.

54. Chow P.-L., Khasminskii. R. On optimal input design for parameter estimation problems in PDE // Proceedings of 38-th Allerton Conference on Communication, Control and Computing. 2001. P. 412-421.

55. Charpin P., Tietavainen A., Zinoviev V.A. Binary cyclic codes with codewords of weight three and binary sequences with the trinomial property // EEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 1. P. 421-425.

56. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Global Attractors and Its Perturbations for a Dis-sipative Hyperbolic Equation. Russian Journal of Mathematical Physics. 2001. V. 8. №3. P. 311-330.

57. Chepyzhov V.V., Ilyin A.A. A note on the fractal dimension of attractors of dissipative dynamical systems // Nonlinear Analysis. 2001. V. 44. P. 811

58. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Averaging of trajectory attractors of evolution equations with rapidly oscillating coefficients // Functional Differential Equations. 2001. V. 8. № 1-2. P. 123-140.

59. Campillo F., Kleptsyna M., Piatnitski A. Homogenization of random parabolic operator with large potential // Stochastic Processes and their Applications. 2001. V. 93. № l.P. 57-85.

60. Diamond P., Vladimirov I. Higher order terms of asymptotic expansion for information loss in quantized random processes Curcuits // Systems and Signal Processing. 2001. V. 20. № 6. P. 677-693.

61. Diamond P., Vladimirov I., Kurdjukov A., Semyonov A. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete-time-invariant control systems // International Journal of Control. 2001. V. 74. № 1. P. 28-42.

62. Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Tighter Bounds on the Error Probability of Fixed Convolutional Codes // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. №4. P. 1625-1629.

63. Fiedler B., Vishik M.I. Quantitative homogenization of analytic semigroups and reaction-diffusion equations with diophantine spatial frequencies // Adv. Diff. Eq. 2001. V. 6. № 11. P. 1377-1408.

64. Goldbeter, A., 1976. Patterns of spatiotemporal organization in an allosteric enzyme model. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 70, 3255-3259.

65. Guckenheimer< J. and Holmes< P., 1986, Nonlinear oscillations, dynamic system, and bifurcations of vector fields (Springer-Varlag, Berlin).

66. Golubev G., Khasminskii R. Statistical approach to Cauchy problem for Laplace equation // IMS Lecture Notes. Festschrift in honour of W.vanZvet. 2001. V. 36. P. 419-433.

67. Golubev G., Lepski O., Levit B. On adaptive estimation for the sup-norm losses // Math Methods of Stat. 2001. № 1.

68. Hicks, J.R., 1950, A contribution to the theory of the trade cycle (Oxford university press, Oxford).

69. Hotelhng, H., 1921, A mathematical theory of migration, MA thesis presents at the university of Washington; republished in 1978 in environment and Planning 10:1223-1239.

70. Hess, B., Markus, M., 1987. Older and chaos in biochemistry. Trends Biochem. Sci. 12, 46-48.

71. Helleseth T., Zinoviev V.A. Codes with the Same Coset Weight Distributions as the Z4-linear Goethals Codes // IEEE Trans. On Inform. Theory. 2001. V. 47. №4. P. 1589-1595.

72. Helleseth T., Zinoviev V.A. On coset weight distributions of the Z4-linear Goethals Codes // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 5. P. 17581772.

73. Klein C.T. Sources of structure formation and sweitches in metabolic pathways. / Klein C.T., Mayer B. // BioSystems 51 (1999) 41-52.

74. Klein, C.T., Mayer, B., 1997. A model for pattern formation in gap junstion coupled cells. J. theor. Biol. 186. 107-115.

75. Koshland, D.E.Jr., Nemethy, G., Filmer, D., 1966. Comparison of experimental bending data and theoretical model in proteins containing subunits. Biochemistry 5, 365-385.

76. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962, V. 12, p. 112-126.

77. Kozyakin V.S., Kloeden P. The perturbation of attractors of skew-product flows with a shadowing driving system // Discrete and Continuous Dynamical Sys-tems.2001. V. 7. № 4. P. 883-893.

78. Khasminskii R. Limit distributions of some integral functional for null-recurrent diffusion // Stochastic processes and their applications. 2001. V. 92. P. 1-9.

79. Khasminskii R., Milstein Gr. On estimation of the linearized drift for nonlinear stochastic differential equations // Stochastics and Dynamics. 2001. V. 1. № 1. P. 23-43.

80. Khasminskii R., Krylov N. On averaging principle for diffusion processes with null-recurrent fast component // Stochastic Processes and their applications. 200l.V. 93. P. 229-240.

81. Khanin K., Khmelev D., Rybko A., Vladimirov A. Steady solutions of fluid dynamics for FIFO networks // Moscow Mathematical Journal. 2001. V. 1. № 3. P. 407-419.

82. Klepcyna M.L., Le Breton A. Optimal linear filtering of general multidimensional Gaussian processes Application to Laplace transforms of quadratic fiinctionals // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2001. V. 14. №3. P. 215-226.

83. Klepcyna M.L., Le Breton A. Some explicit statistical results about elementary fractional type models // Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications. 2001. V. 47. № 7. P. 4783-4794.

84. Phillips, A.W., 1954, Stabilisation polisy ai a closed economy, Economic Journal 64:290-323.

85. Puu, T., 1982, Outline of a trade cycle model in continuous space and time, Geographical analysis 14:1-9.

86. Puu, T., 1985, A simplified model of spatiotemporal population dynamics, Environment and planning 17:1269-1269.

87. Puu, T. and Weidlich, W., 1986, The stability of hexagonal tessellations, Karlsruhe papers in economic policy research 3:133-158.

88. Pokrovskii A.V., Szybka S.J., Mclnerney J.G. Topological Degree in Locating Homoclinic Structures for Discrete Dynamical Systems // Institute for Nonlinear Sciences. 2001. Report 01-001.

89. Rasskazov O., Huyet G., Mclnerney J., Pokrovskii A.V. Rigorous Analysis of Complicated Behaviour in a Truncated Lang-Kobayashi Model // Institute for Nonlinear Sciences. 2001. Report 11-001.

90. Thomas Ericson, Victor Zinoviev. Codes on Euclidean Spheres // North-Holland Mathematical Library Elsevier. Amsterdam London - New York -Oxford - Paris - Shannon - Tokyo. 2001.

91. Urabe M. Numerical investigation of subharmonic solution to Duffings equation. Rubl. Research Inst Math. Sci., Ser. A (Kyoto Univ), 1969, vol. 5, №1, p. 79-112.

92. Visintin A., Hyperdolic equations and hysteresis. C.R. Acad. Sc. Paris 332 (2001) Serie 1,315-320.

93. Visintin A. Forward-backward parabolic equations and hysteresis. Calculus of variations (in press)

94. Visintin A. Vector Preisach model and Maxwell's equations. Physica B, 306 (2001)21-25.

95. Visintin A. Quasilinear P.D.E.s with memory operators. Progress in nonlinear differential equations and their application, Vol 55,415-423.

96. Visintin A. Identification of hysteresis loop. / Visintin V.// Appl. math, and comp. phys., 1987, V. 2, p. 73 79.

97. Vladimirov A. A. Does continuity of convex-valued maps survive under intersection? // Optimization and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, A. Rubinov and B. Glover (Eds.). 2001. P. 415-428.

98. Wintzell O., Zigangirov D.K., Zigangirov K.Sh. On the Capacity of a Pulse Position Hopped CDMA System // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 6. P. 2639-2943.