автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ и синтез инверсных цифровых рекурсивных фильтров

РГВ ОН

Новосибирский государственный технический университет

На правах рукописи

Шейнин Александр Рафаилович

УДК 621.317.7

АНАЛИЗ.И СИНТЕЗ ИНВЕРСНЫХ ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических неук

НавсскЗиоск - 1993

государственном научно-исследова-

Научный руководитель:

Сфщиалыша ounoiioiiTi!:

Ведущая организация;

доктор технически* наук, старший научный сотрудник Симонов М.М.

доктор технических наук, профессор Анисимов A.C.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Новиков Н.Л.

Научно исследовательский институт измерительных приборов, г. Новосибирск

Защита состоится и_9 " июня 1993 г. в 15 часов

на заседании специализированного Совета Д 063.34.03 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, г.Новоси-бирск-92, ир-т К.Маркса, 20, КГТУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирском государственного технического университета.

Автореферат рзгослан "_" мая 1993 г.

Учений секретарь спвциали- _____

специализированного Совета

кандидат технических наук, доцент ~- " Б.Ю.Лэмэил

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Возрастающая сложность процессов упраЕле-ния привела к широкому распространению измерений физичг ";ких процессов как функций времени, выполнявши в динамичеспгс режимах работу измерительных систем (ИС). Возникающие при этом искажения в бнходном сигнале ИС обусловлены ее динамическими свойствами и, как следствие этого, встает задача восстановления входных сш'нплов ИС. В силу некорректности данной задачи для ее решения используются методы регуляризации. В то же время повышение эффективности систем автоматического управления и автоматизации научного эксперимента требуют создания алгоритмов и устройств, осуществляющих динамическую коррекцию и отвечающих достаточно противоречивым требованиям: с одной стороны они должны гарантировать высокую точность восстановления сигналов, а с другой - при простоте технической реализации и минимуме вычислительных ресурсов обеспечивать высокое быстродействие при обработке информации. В значительной степени этим требованиям могут удовлетворить- соответствующим образом синтезированные инверсные цифровые рекурсивные фильтры (ЦРФ), прототипом которым служит фильтр, построенный с помощью методов регуляризации. Тогда процедура восстановления входного сигнала ИС сводится к цифровой рекурсивной фнльтрациии и может быть легко реализована на микропроцессорной технике. Вышеизложенное свидетельствует об актуальности задачи разработки эффективных алгоритмов синтеза инверсных ЦРФ, а тем самым и об актуальности темы диссертации.

Цель работы. Разработка и исследование алгоритмов реализации инверсных фильтров в цифровой рекурсивной форме для восстановления еходных сигналов динамических систем.

Методы исследования. Анализ разработанных методов и алгоритмов проЕеден на базе теории решения некорректных задач, аппроксимации Функций, г-преобразования, спектрального анализи, теории цифровой обработки сигналов ч машинного моделирования. .

Научная новизна. Осноеной задачей при рекурсивной реализации инверсного фильтра является достижение требуемой точности совпадения комплексных частотных характеристик аналогового фильтра-прототипа (АФП) и синтезированного ЦР5. С этой целью предложен общий подход к синтезу ЦРФ по передаточной функции АФП, охватывающей как существующие, так и новые методы синтеза ЦРГ, в результате чего становится ясен источник различия в характеристиках цифровых и аналоговых фильтров. На основе предложенного подхода разраЗоган навый .

метод синтеза ЦРФ, при этом точность совпадения частотных характеристик «налогового и циф]хэвого фильтров увеличивается на порядок по сравнению с известными методами повышенной точности. В рамках предложенного подхода на основе представлений идеальных' и дискретных интеграторов в частотной области разработан матричный алгоритм дискретной аппроксимации операторов непрерывного интегрирования произвольного порядка. Для упрощения алгоритмического и программного обеспечения методов синтеза ЩФ разработаны матричные алгоритмы: синтеза ЦРФ по передаточной функции АФП, а также обратного перехода от ЦИ> к АФП, позьолядцио о единых позиций подойти как к синтез:/ ЦРФ, так и к непрерывной аппроксимации разностных уравнений. Для реализации алгоритма инверсной фильтрации в темпе с поступлением измерительной информации предложен комбинированный (рекурсивно-нерекурсивный) способ реализации инверсного фильтра.

На защиту еыносятся;

1. Общий подход к синтезу ЦРФ по передаточной функции АФП, который охватывает все существующие и позволяет получить новые методы синтеза ЦРФ с требуемыми свойствами,

2. Метод синтеза ЦРФ повышенной точности на основе интерполяции еходного сигнала и решении дифференциального уравнения.

3. Матричный алгоритм дискретной аппроксимации идеальных интеграторов произвольного порядка.

4. Матричный алгоритм синтеза ЦРФ по передаточной функции АФП, а также алгоритм обратного переходе от ЦРФ к АФП.

Ь.'Комбинированный (рекурсивно-нерекурсивный) способ цифровой реализации инверсного фильтра.

Практическая ценность обусловлена тем, что инверсные цифровые рекурсивные фильтры при меньшей сложности реализации по сравнению с нерекурсивными или частотными фильтрами значительно превосходят юс по быстродействию и позволяют получать регуляриговшшое решение с минимальными задержками в темпе с поступлением измерительной информации, что позволяет эффективно использовать их при решении широкого круга проктите -ких задач автоматизации экспериментальных установок и процессов управления, контроля и динамических, измерений.

• Реализация результатов работы. Предложенные метода и алгоритмы синтеза инверсных цифровых рекурсивных фильтров доведены до уровня, при котором возможно их практическое использование. Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение использовалось:

- при рвзреботке автоматизированной установки для регистрации вариаций магнитного ноля Земли;

- при создании автоматизированной установки для исследования прю-цессов, характеризующихся мощными тепловыми потокам;!;

- при восстановлении входных сигналов нестандартизованшх датчиков давления в аэродинамическом эксперименте.

Материалы диссертации получены при выполнении ряда госбюджетных и хоздоговорных работ, проводившихся в Сибирском государственном научно-исследовательском институте метрологии.

Использование результатов работы при решении перечисленных практических задач подтверждается 4 актами о внедрении.

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной н/т конференции молодых ученых и специалистов Госстандарта (г. Новосибирск, 1989), V Всесоюзном симпозиуме "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (г. Новосибирск, 1989), IV Всесоюзном совещании по теоретической метрологии (г. Ленинград, 1989), II Всесоюзной н/т конференции "Микропроцессорные системы автоматики" (г. Новосибирск, 1990), Международной школе-семинаре "Геп.:о-и массообмен в технологии и эксплуатации электронных систем" (г. Минск, 1990), Всесоюзной н/т конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (г. Новосибирск, 1991).

Публикации. Основные научные результаты диссертационной работы отражены в 13 печатных работах и в 3 научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы из 110 наименований (10 стр.) и приложения (10 стр.), изложенных на 143 стр., в том чи',\"? 28 страниц рисунков и таблиц. Основной текст диссертации изложен на 95 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, научная новизна, излагаются основные положения, которые еыносятся нэ зэгдату, сведения о практической ценности, внедрении результатов, апробации работы и публикациях.

В разделе I производится постановка задачи исследования, изложение основ восстановления входного сигнала ИС в клг.ссе ци^ров^т рекурсивных фильтров и обзор современного состояния проблемы.

Задача восстановления входных сигналов ИС сводится к решяпп?1 опнраторял'о уравнения первого рода

v? • x ~ у

- й -

с неточно заданным оператором и правой частью, где >л ит 6<л, у = Ут + ЗУ ; X = Ху + СХ; Ух - точный входной и выходной сигналы ИС; *т- оператор лреобразования хг(1;) в ут(1;).

/ В классе интегральных операторов уравнение (I) переходит в уравнение свертки:

у<1)= |«(г).х(<.-т:)<П: = • w(t-т)dт . (2)

о о

Задачи такого типа относятся к существенно некорректным, причем их

решение осложняется малым обгемсч априорной информации, когда помоги заданы их уровнем, а входной сигнал - эффективной полосой его частотного спектра.

Можно выделить следующие близкие по основным показателям регу-ляризируюцие алгоритмы, допускающие реализацию в виде импульсной характеристики (ЮС) инверсного фильтра :

- алгоритмы, реализующие метод регуляризации А.Н.Тихонова;

- алгоритмы, реализующие метод регуляризации М.М.Лаврентьева;

- алгоритмы метода обратного корректирующего фильтра.

Метод регуляризации А.Н.Тихонова основан на мшшмизащш сгла-эашаыдих функционалов. Решение уравнения (1),регуляризовЕНное по Тихонову, имеет ьвд:

Х- = (У»*^ + а-У1 Ы»*-у = V -у , (3)

(л а

где и* - оператор, сопряженный с V , а - параметр регуляризации, Уа - оператор алгоритма восстановления; 5 - стабилизатор.

В соответствии с методом регуляризации М.М.Лаврентьева в, качестве решения уравнения (I) принимается решение некоторого, в определенном смысле близкого уравнения, имеющее вид

ха = (« + а-Р"')-У = Уа'У (4)

Иследование характеристик алгоритмов инверсной фильтрации показало, что близкие к оптимальным показатели точности обеспечивает применение стабилизатора в виде фильтра типа фильтра Баттерворта:

Поскольку стабшмне^ор р(ш) эрмитов, его ИХ имеет левую ветвь, расположенную в интервале отрицательных значений времен, соответствен--* но и ЮС инверсного фильтра также имеет левую ветвь. Поэтому функционирование алгоритма в реальном времени обеспечивается введением задержи на величину аффективной длительности левой ветЕИ.

• Выбор соответствующего метода регуляризации определяется том или иным критерием в конкретной задаче. Если требуется высокая точ-

кость восотакр.Елакия входного сигнала но, то необходимо использовать гатод регуляризации А.Н.Тихонова. Если же осноенш критерием является кглшмалыше вадернки и быстродействие алгоритма восстановления, то предпочтительнее пршенять метод М.М.Лаврентьева.

Для реализации алгоритмов восстановления в классе ЦРФ используется сходство передаточных функций АФП и цр®, которое приводит к тему, что одним из наиболее целесообразных подходов к проектированию ЦРФ является подход, состоящий из следующих двух этапов:

1. Получение подходящей передаточной функции АФП, удовлетворяющей требованиям обработки сигнала.

2. Создание процедуры перехода, которая преобразует передаточную функцию АФП в системную функцию ЦРФ.

Такая методика предпочтительна при решении задачи восстеновлзния входных сигналов МО, т.к. требуется обеспечить вадашта А 41 и <2ЧХ '.шверсного фильтра,полученного с помощью методов регуляризации.

В данном разделе приведен сравнительный анализ мэтодов сгатэза передаточной функции АФП по дискретным значениям aro кстзшкеасй частотной характеристики, в танке показана возможность использования авторегрессионннх методов и метода Прони применительно к синтезу передаточной функции АФП по дискретным значениям его ИХ.

Второй этап процедуры синтеза ЦРФ использует математический аппарат z-праобразавания. В разделе приведен сравнительный анализ существующих методов дискретной аппроксимации передаточной функции АФП. Показана взаимосвязь методов синтеза ЦРФ -дискретного нитегрй-ровакия и повышенной точности.

В раздело 2 предлагается оба>:й1 подход к сшиезу ЦРФ, осповгкзпй на интерполяции входного сигнала и решении интеграла свертка шга дифференциального уравнения и получен ношА метод синтеза ЦРФ пова-яешюй точности.

I. Входной и выходной сигнала АФП связаны ютогрялоМ свертки:

г* П-1<И>*

y(t) = Jw(t-X)x(t)dT = 2 jw(nt-|)z1(|)d5 , (6)

|t=nt о 1=0 it

где ff(t) - ss,тульская характеристика АФП; х3 (I) - непрерывная аппроксимация дискретного входного сигнала на текущем п.торвало дискретизации Т степенным рядом:

га ,

X, (I) ~ £ : IT S É Í; (1+1)Т

-1 i=0

Ко-ффкциентн д» находятся исходя из представления дискретного входного сигнала интпрполяшзтшм полиномом Яегранка га-го порядка С йнтирполятк'й наг вд:

га . т ..... 1 л с 1 ,-п

Е ¿Тл - Е —п (я-1+л)Х ; ч =

1-0 1=0 1! (т-1)' ¿=0(^1) Т

Задавая в вырашшш (б) да идеальных интегрторов к - го порядка ИХ в виде: или для А2П 1-го и 2-го порядков 1« в виде:

г

и. (1:) = С -ехр(р {;) ; т (г) = £ Й. -ехр(р Л.) ;

|| с ±=1 X

получены метода дискретного интегрирования и повышенной точности: при п=0 метода Цшгкина-Гольденберга и инвариантной переходной характеристики; при ш=1 метода Медведа-Траксвла и Рагазашш-Бергена; при т>1 метода синтеза ЦРФ, соответствующие методам Адамса численного решения дифференциальных уравнений.

2. Входным воздействием для цифровых фильтров является последо-Бателипсть Х1= хи±), 1 = о,1,.1. отсчетов сигнала Х{1) в моменты Бреми. .г На интервале (п+1-к)т £ £ ^ (пи )Т дискретный входной сигнал аппроксимируем непрерывной функцией х(£) и, переходя к переменной ч = (6-пт)/т , получим дифференциальное уравнение для идеального интегратора к - го порядка

= Х(Ч) , (7)

где Х(д) представляется интерполяционным полиномом Лаграьша т - го порядка с интерполяцией назад:

" М)1 гп

» I ТГТЙ=37Т' + (8)

1=0 3 =

Частное решение дифференциального уравнения (7) имеет вид: -4 » А.д1

0 П <±+3+1 ) ¿=1

Находя частные решения для различных ч = 1,..,1-к и суммируя их в соответствии с представлением к - ой производной через конечные разности, будем иметь:

гда (р - Синоыи^льнне коэффициенты, а коэффициенты полинома 1'(Хи+1 ,...,хп+1_к) вычисляются алгоритмически.

Если для идеального интегратора к - го порядка использован полином Лаграшкас порядком интерполяции т = к-1 , то результатом будог стандартное г-преобразование, о если порядок интерполяционного полинома ш --- 1с , - метод Боксера-Талера.

Для получения методов повышенной точности попишем дифференциал! иоо уршшонно, описыавмдев Ш1 к - го лорялкд:

V W 1

-i.„li>f„l - к m-i.viil,

E a T •У (q) - Е b , Т • X (q) .i=0 i-0 Реашше этого уравнения для m=k=2 описанным визе способом дает

EUpairamw для коэффициентов системной функции ЦРФ:

Рх -а^-Ь + - (Н^ - i]— Ч^Ь) '

Ь1 l lr k Г 3 ~ 1 1 а1

— -i-i ha, : 1=0,..,!:, т = ^ (Э)

О 1-0L J о

aQ = 1 ; a1 = -2 ■ exp (Т[Т) • Cos (ГГ; a2 = ехр(2т|Т) ,

где полюсы АФП р | р Tj ± ¿ц.

Выражение (9) представляет собой метод синтеза ЦР1> повышенной точности, соответствующий метода дискретного интегрирования Боксера-Талера, и на порядок ирзЕосходящий его по точности совпадет1,я частотных характеристик АФП и синтезированного ЦРФ.

В разделе 3 разработаны матричные алгоритмы: дискретной аппроксимации идеальных интеграторов, синтеза ЦРФ по передаточной функции АФП, а также обратного перехода от ЦРФ к АФП.

I. Пусть комплексная частотная характеристика'АФП имеет вид:

Ш-1 . ТП

= Е Ь иы)к/ Е а (3-ш)к (10)

1е=0 К / к=0

Соответственно системная функция ЦРФ будет:

га т

H(z) = Е Pk'Z //Е V2' - <п>

к=0 И / к=0 К

, оо (-jkWT)1

где Z - exp(-jkUT) = Е —п- . к = 0,..,Ш (12)

1=0

Преобразовав знаменатель функции H(Z) с учетом (12) получил:

га т,тг •»> v t И (-i)k

Е a .e-Jlwr = Е !с , где d. = тк<Е--a . (13)

1=0 к=0 " IrO It!

Из условия равенства коэффициентов ак = d^. , -к =' 0,..,ш имеем:

-к s (_i)k

акТ = Г~,ai ' к = 0,..,га

1=0 к!

Обозначив: a = {a^} , р = tpk} , а*= {а^Т-^}, к = 1 ,m п G^

{ gki } = { ~кГ } ' i=1'"' 'ш ' k=1' •''

(14)

можем записать:

1П ш

Если в (10) vv(ju) = (л'игга , то коэффи!шанти а,, для методов ласкреяйого ш'тегриро)?шшя представляют собой:

ак - (-1 )к. Ф , к - 0,..,л, .

домнг.ким со числитель я .знаменатель на одну г ту величину:

<х, } , к - 1,-.

со , 2ст ,

Е dk(ju)k-m £ dk(jOJ)k'ra

1 к=ш ■ к-т

W(jtJ) = -—--= —--+ e(áu) ,

/.•,,,\га uo ,, _ а) .

£ <у;Ик-т Е ^(.jw^

к=п> к=ш

где e{¿w) - остаточный член от усечения ряда в числителе, а коэффициенты dj_, k = m, v,co определяются выражением (13). Тогда вектор коэффициентов р числителя дискретного интегратора m -го порядка определится как:

р = <г1.Г., (]5)

{« л t m

dm+<T I = Т"Ч £- -

m+1 > l lio (И+101 1

Выражение (15) позволяет получать коэффициенты числителя дискретного интегратора произвольного порядка, соответствующие методу Боксерё-Талера. В случае, когда вектор р определяется выражением:

fl-0-Va*. de)

где р = { Рк) ; а11» ( tim(.k-T~k } : 'v -i,.. ,ш-1 и G"^ - матрица обратная Gm_1 , размерности (ir.--! /•• г ■■ ■ ■, получим коэффициент!! числителя дискретного интегратора го - го порядка, соответствующие стандартному z-преобразовашго . Полиномы числителей дискретных интеграторов для методов Цыпкина-Гольденборга п 'Гршссела могут быть получены по соответствующему полшюму ч7.-.\т<тля дяасретно-го интегратора для стандартного г-првоОразогажя:

tZ~1) .-Г"1; R^(Z-1)=R^2(Z-').r,.T-2. m- 1,2,...

где Надстрочный индекс означает метод синтеза rpi.

Из бырокения (14) следует, что максимальное различав мвкду элементами матрицы а пропорционально тга . Чтобы не использовать процедуру обращения этой Матрицы, приводящую с ростом m к существенным вычислйтельйым погрешностям, необходимо сразу фзрштрогать обратную матрицу s = с-1 . Запишем следующее уропнет!«

g • §; = v. . п'/;

^ ra k к

где = «oío- • -О] - вектор размерности m о одним п?иулевым влечентом, равным единице; s* = sk-T"l:

мого решения размерности ш . Тогда для любшо к = 1, уравнения (Г7) дает коэффициенты бЬ1 для формул чье.'; рекцирования назад т - го порядка:

ектор г.ст-

. .ir, pomeiu'ü.

аюго ,чир}е-

1 7 1 4

рк = Т~ ■£ S, . • Z , к = 1____гг. .(..18)

1=0

л -

Тагам образом, элементам! матрицы будут коэффициенты Б в

операторном выражении (18) для формул численного дифференцирования назад ш - го порядка, расположенные по столбцом, а алгоритм вычисления матрицы Бт может быть получен на ■ основе диффьренцлрования соответствующего полинома Лаграшка ш -го порядка.

Аппроксимируем дискретный входной сигнал на интервале пт $ С £ (п+1 )Т непрерывной функцией х(|) ил:-, переходя к переметой ч = (£-пТ)/т , функцией Х(ч). Представим еходной сигнал Х(ч) в виде интерполяционного полинома Лагранжа (8) и сделаем преобразование:

гп т 1

= П (4-1+1) = . 1 = о,..,ш (19)

1=0(1/1) 1=0

где коэффициенты 7 находятся по теореме Виетта. Тогда к - пп производная

í (q) определится как

, , m 1!

íf'tq) = T-k. £ —.7 .q1^ , q' = T~1 . 1 l=k (1-k)! 11 При q = I x(q) = x , и выражение для k - ой производной входного сигнала x(q) принимает вид:

(-1)1 m 1!

где s ---Е--7 , (20)

ki i!•(m-i)! l=k (1-k)! 11

Следовательно, элементы матрицы Sm вычисляптся по формулам (19,20).

■ Для различных методов синтеза 11РФ существуют системные функшш

дискретных интеграторов (II), а каждому дискретному интегратору с

учетом (12) можно поставить в соответствие выражение:

Е ^е-'^у Е a¡-е-*™ = Е с^ш*У £ dmtk(áU)-k ' k=0 1 / k=0 1 k=0 k / k=0 mtk

где коэффициенты с, и d имеют вид:

t К Ш4 К . •

„ m (-i)k „ m (-i)ra4k

c,r = Tk' E--ß ; d = Tmtlt. E---Ct . k--0,.. ,co .

k 1=0 k! 1 m'k ito (mfk).' 1 Для идеального интегратора m - го порядка выполняется условие: cJr

= dmik 1фи к = О,..,да. В предлагаемом подходе в соответствии с выражением (15) (метод Боксера-Талера) это условна выполняется при

it = о____га , а в соотевтстетш с выражением (16) (стандартное

¿-преобразование) !фя к = о,..,т-1. Для других методов синтеза ЦР5 услоыв Cj, = <1 выполняется при к = а, 1. Отклонения коэффициентов ск от dra для различных значений к

MX: И 1 - 0. Уд. i-100 1: = 1.2....

датлкттояяукт стличнп частотных характеристик дгтасгетяого и идеаль-

м = 1,

ного интегратороа, поэтому метод Бсксера-Талэря ¡мает намЗо.ишвв совпадение частотных характеристик одновременно для любых порядков интеграторов.

С помощью данного подхода, могут быть получены выражения дискретных интеграторов, порядок которых превышает порядок идеальных интеграторов. Для идеального интегратора 1-го порядка выражение дискретного интегратора М - го порядка име« вид:

1 1М 1 У М 1

. , „ р. м"

где р1=(-1 )1+1 • ф, - , 1 = 1 ,..,м; ро= и ; ,а__ = - £ ^

2. Алгоритм синтеза ЦРФ по передаточной функции АФП может быть

получен следующим образом. Пусть у?(р) АФП после. деления числителя и

знаменателя на рп имеет вид:

ш , . п .

П(р) = Е Ь..рЕ а..?1-" . . (31)

1=0 / 1=0 . В методах дискретного интегрирования идеальные интеграторы р ,

1,..,п заменяются дискретными для получения системной функции ЦРФ. Применение данных методов сопряжено со сложностью их алгоритмизации. В то же время для каждого метода выражение, аппроксимирующее идеальный интегратор к - го порядка, может быть представлено как

I? , к = 1,..,п (22)

"-к- Г—1к

Ч - г1 >

где ^ - .""■который пол1Шом но отрицательным степеням а . Подставляя (22) в выражение (21), получим системную функцию Ш >

Н(2) = Е ь!' (1-г-1Лв_ / Е а;, о-г-1)3^ 1 1=0 / 3=0 3

где Е*=|а1'Т"1| ; Б*=|ь,1'Т"1, ъ1=0 при 1 > ш| ; 1 - о,..,п .

причем можно записать матричные выражения, связывающие коэффициенты ДРЗ> и ЛТП, т.е. матричный алгоритм синтеза 1!Р1> по Ч1(р I АФП:

а = и.а* ; р = и-Ь* , !,23)

где и квадратная матрица размерности (п-н )*(п+1), для. которой (к+1) - 0 столбец представляет собой коэффициенты полинома:

Прямое г-преобразование ставит в соответствие нули к полюса А'Ш л ЦТ®, расположенные соответственно в р- и г,-плоскостях, а то в сгею очередь одназначно определяют коейжшентн поредчточних фукки,;:;! фильтров. В то же время коэффициенты передаточных ф/игашЛ ¿'1П и ПРФ связаны между собой матричным преобразование'«, паэтсну имеет мйстр

есл1! существует и единственно Z-преобразование АФП, соответствующее какому-либо методу синтеза ЦРФ, и порядки аналогового и цифрового фильтров одинаковы, то существует и единственно обратное Z-преобразование ЦРФ, причем устойчивость фильтра сохраняется.

Поэтому на основе выражения (23) возможен обратный переход от системной функции ЦРФ к передаточной функции АФП, т.е. непрерывная аппроксимация разностных уравнений в виде:

а" = IT1 'ä ; Ь* = U"1 '(3

В разделе 4 приведен машинный анализ алгоритмов цифовой реализации инверсных фильтров (ИФ) в рекурсивной и комбинированной форме, а также метрологический анализ алгоритмов восстановления.

Численное моделгрование проведено для ИС с передаточной функцией 4-го порядка колебательного типа. В качества входных сигналов ИС принимались: половина волны синусоида, прямоугольный импульс, и ИХ фильтра Ваттерворта 16-го порядка с полосой пропускания близкой к полосе пропускания ИС. Выходной сигнал ИС зашумлялся высокочастотной помехой. Передаточная функция алгоритма восстановления определялась по w(р) ИС:

- для метода регуляризации А.Н.Тихонова:

va(p) = w(-p)/[w(p)-w(-p) + a.F~1 (р)] .

- для метода регуляризации И.И.Лаврентьева:

\(Р) = ч/^Ы + а.р-1 (p)j ,, а параметры регуляризации выбирались в соответствии с разработанной ранее методикой. V (р) представлялась в виде: va(p) = V^pJ+VgCp), где нули и полюса составляющей v (р) расположат; только в правой полуплоскости р-плоскссти, а составляющей V2(p) - только в леЕой. Импульсная характеристика алгоритма восстановления: v (t) = v((t) + 7 (t), где v (t) = 0 при t>0 и представляет собой левую ветвь ИХ инверсного фчльтра; v (t) s о при t<0 и представляет правую ветвь его ИХ.

Рекурсивная реализадал левой и правей ветвей ИХ инверсного фильтра при меньшой сложности реализации позволяет с большей точностью восстанавливать входные сигналы, т.к. в этом случае полностью отсутствует погрешность от усечения ГОС. При использовании метода регуляризации M.U.Лаврентьева эффективная длительность ИХ v, (t) становится на порядок короче длительности v0(t), в этом случае цз-'¡^сообразно использование комбинированного способа реализации • v, (i) - г( «ерскуртш-зД Форма; v„U) - в рекурсивной.). Структурная

схема такого фильтра показана на рис.1. Сложность реализации МФ увеличивается незначительно и становится возможным восстановление входных сигналов ЛС в реальном времени, а использование общих линий задержки упрощает его техническую реализацию.

Рис.1

Погрешности реализации алгоритмов восстановления оценивалась Еиде среднеквадратичоского отклонения частотных характеристик ДТП и ЦРЬ в полосе пропускания и в полосе задерживания, а также в виде среднеквадрвтического отклонения точного и восстаковлэшого входах сигналов ИС. В таОл.1 представлены результаты численного модели]«-вышя ГфИ иснользова!ши метода М.М.Лаврентьева с параметрами регуляризации: а=0,00Г; г=10; Пу.^3,8 рад/с и шагом дискретизации по времени Т-0,1 с, ргализованного е комбинированной форме. Для рекурсивной реализации праЕой ввтеи ИХ использовался метод повышенной точности (9). На рис. 2-4 приведены грефшси входного ХТШ, выходного у(-Ь) и восстановленного ХцШ сигналов. Уровень помехи в выходном сигнале составляет 20% от его максимального значения. При восртановлении прямоугольного импульса X (1;) основная погрзиность возникает за счет усечения спектра входного сигнале; для сигналов видн половины волны синусоида хг(1;) и ИХ фильтра Бат^ерворта X, (-Р

определяющими являются методическая погрешность непрерывного алгоритма восстановления и погрешность его дискретной аппроксимации. При Еыборе величины усечения левой ветви ИХ инверсного фильтра на уровне 0,01 от ее максимального значения погрешность восстановления входного сигнала для комбинированной формы реализации ИФ становится близкой к погрешности восстановления для рекурсивной формы реализации ИФ. Применение предложенного в работе метода синтеза ЦРФ позволило в' несколько раз уменьшить погрешность дискретной аппроксимации передаточной функции ИФ и тем самым повысить точность восстанавле-ния входного сигнала ИС.

Таблица I

Ветчина усечения левой ветви ИХ от тах знач. Количество точек левой ветви ИХ Погрешность восстановления хаШ

°Х1 • °*2 °хз

0,01 27 0,14 0,02 0,02

0,05 19 0,20 0,03 0,03

0,1 14 0,25 0,04 0,04

- 0,2 12 0,32 0,06 0,05

0,3 9 0,42 0,08 0,07

0,5 6 0,50 0,15 0,16

В главе приведен метрологический анализ алгоритмов инверсной фильтрации, учитывающий максимальное количество факторов, влияющих в конечном итоге на точность восстановления входного сигнала. В качестве осноеных выделены следующие типы погрешностей обработки: методические, обусловленные реализованным в алгоритме методом регуляризации, и тлеющие место при отсутствий помех; погрешности, определяемые помехой в выходном сигнале ИС; погрешности цифровой Форш '.Представления исходной информации и цифровой реализации непрерывного алгоритма восстановления; вычислительные погрешности.

. В разделе В приведены результаты практического внедрения алгоритмов для решения конкретных технических задач.

1,700 1,372

0,848 0,424 0

-0,424

Рис. 2

1,500 1,126 0,750 "0,375 О

-0,375 -0,750

Í4-\ -

x2(t) л l^y(t) ....... . — 1 1 'A A î^-T i . . 4+v I111

/ \ 's "1

Jl ¡I kh IV 1 \

iMJ1.1 '4 '1,1 Í pL-

4 в 8 10 12 i,а

РИС. 3

РИС. 4

использование алгоритмов для обработки результатов измерения процессов, характеризующихся мощными тепловыми потоками, позволило повысить точность восстановления импульсов температур с суммарной среднеквадратической погрешностью 0,5+1%, на порядок повысить производительность экспериментальной установки.

Применение алгоритмов в автоматизированной установке по измерению вариаций магнитного поля Земли позволило осуществить динамическую коррекцию результатов измерений в реальном масштаба времени и повысить вероятность обнаружения и правильной классификации сигналов от ионосферных геомагнитных возмущений.

Использование алгоритмов в аэродинамическом эксперименте для восстановления входных сигналов нестандартизованных датчиков давления позволило повысить точность измерения и оценить суммарную сред-неквадратическую погрешность в 1+2 % при уровне помех ЗЖ, а также увеличить достоверность получаемых результатов.

В приложении представлены акты о внедрении результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен общий подход к синтезу ЦРФ по передаточной функции АФП, охватывающий как существующие, так и ноЕые методы дискретного интегрирования и повышенной точности. Это дает целостную картину теории синтеза рекурсивных фильтров, в том числе становится ясен источник различия в характеристиках цифровых и аналоговых фильтров.

2. На основе предложенного подхода разработай новый метод синтеза ЦРФ, при этом точь,..ть совпадения частотных характеристик АФП и ЦРФ увеличивается на порядок по сравнению с известными методами повышенной точности.

3. В рамках предложенного подхода разработан матричный алгоритм дискретной аппроксимации идеальных интегрвторов, позволяющий упростить алгоритмическое й программное обеспечение известных методов г-преобразования идеальных интеграторов произвольного порядка.

4. Получен матричный алгоритм синтеза ЦР$ по вадэнной перадв-точной функции АФП, а также алгоритм обратного перехода от ЦРФ к АФП, позволяющий с единых позиций подойти как к синтезу ЦРФ, так и к непрерывной аппроксимации разностных уравнений, упрощающий алгоритмическое и программное обеспечение методов преобразования р-пдоскости в г-шюскость и обратно.

5. Проведал сравнительный анализ методов синтеза ЦРФ повышенной

- ш - ,

точности и дискретного интегрирования и даны рекомендации по их использованию.

6. Предложен комбинированный способ реализации инверсных фильтров для восстановления входных сигналов MC в реальном времени.

7. На основе метрологического анализа алгоритмов инверсной фильтрации получены Количгстввшше оценки точности решения в зависимости от различных составляющих погрешностей.

8. Разработано программное обеспечение, реализующее матричные алгоритмы синтеза ЦРФ,а также алгоритмы инверсной рекурсивной фильтрации в функционально-модульном виде.

9. Модельные исследования и результаты практического внедрения показали высокую точность и хорошие фильтрующие свойства разработанных алгоритмов, а также высокое быстродействие, что дает возможность их широкого использования при решении измерительных задач и в системах автоматического управления.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах:

1. Шейшш А.Р. Синтез цифрошх рекурсивных фильтров с минимальным искажением частотных характеристик аналогового фильтра -прототипа //Тез.докл. VIII Всесоюзной конф. молодых ученых и специалистов Госстандарта, Новосибирск, 198Э, с. 394-295.

2. Гаврнлов А.Б., Шейкин А.Р. Синтез инверсных цифровых рекурсивных фильтров повышенной точности //Тез.докл. v Всесоюзного симпозиума "Метода теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии", Новосибирск, 1989, с. II8-II9.

3. Шейкин А.Р. Синтез цифровых рекурсивных фильтров второго порядка повышенной точности //Тез.докл. V Всесоюзного симпозиума "Методы теории идентификации в задачах измертгельнойтехнкки п мет рологии", Новосибирск, 1989, с. I20-I2I. '

4. Гаврилов A.B., Шейкин А.Р. Применение метода Адамса для синтеза цифровых рекурсивных фильтроЕ //Тез,докл. vlll Всесоюзной :сонф. молодых ученых и специалистов Госстандарта, Новосибирск, 1989, с. 297-298.

5. Шейкин А.Р., Панина Г.И. Сравнительный анализ точностных показателей методов синтеза цифровых рекурсивных фильтров /Л'ез. докл. VIII Всесоюзной конф. молодых ученых и специалистов Госстандарта, Новосибирск, 1989, с. 293-299.

6. Симонов М.М., Шейкин А.Р. и др. Метрологическая аттестация алгоритмов обработки результатов измерений нестационарных, теплоавд потоков //Тез', докл. IV Всесоюзн. совещание по теоретической метро-

л0пш, Л., 1989, с. 146-148.

7. Симонов М.М., Шейнин А.Р. и др. Алгоритмы высокой точности для обработки измерительной информации в присутствии случайных- по-иех //Тепло-и массообмен в технологии и вксплуатации электронных систем. Материалы Международной школы-семинара,Минск,из-ео ИТМО им.А.В.Лыкова АН БССР, 1990, с. 82-86.

8. Шейнин А.Р. Матричный алгоритм синтеза цифровых рекурсивных фильтров // Тез. докл. II Всесоюз. конф. "Микропроцессорные системы автоматики", Новосибирск, 1990, с. Б9-60.

9. Шейнин А.Р. Матричные алгоритмы непрерывной аппроксимации разностных уравнений //Тез. докл. II Всесоюз. конф. "Микропроцессорные системы автоматики", Новосибирск, 1990, с. 61-62.

10. Шейнин А.Р. Синтез цифровых рекурсивных фильтров с минимальным искажением частотных характеристик аналогового фильтра-прототипа //Метрология, 1990, N0 5, с. 57-64.

11. Шейнин А.Р., Марков И.В. Дискретная аппроксимация непрерывных формирующих фильтров //Тез. докл. Всесоюзн. конференц. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов", Новосибирск, 1991, с. 94-97 .

12. Шейнин А.Р. Матричный алгоритм синтеза цифровых рекурсивных фильтров //Радиотехника, 1992, N0 2, с. 57-60 .

13. Шейнин А.Р., Марков И.В. Метод синтеза цифровых рекурсивных фильтров повышенной точности //Радиотехника, 1993, Но 5, с. 25-28.

14. Разработка и метрологическая аттестация алгоритмов высокой точности для обработки измерительной информации в присутствии случайных помех : Заключительной отчет / СНИИЫ; Руководитель темы Н.м'. Симонов. - N0 ГР 01860030491.- Новосибирск, 1987, - 184 с.

15. Исследование динамических характеристик датчиков температуры : Заключительный отчет / СНИИМ; Руководитель темы М.М.Симонов. -

Но ГР 018900326617.- Новосибирск, 1989, - 49 С.

16. Исследование путей создания портативной автоматизированной магнитометрической аппаратуры : Заключительный отчет / СНИИМ; Руководитель теш Ю.А.Зайцев. - N0 ГР 019100421598 .- Новосибирск, 1992, - 119 с.