автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Анализ динамики наноспутника с аэродинамической стабилизацией

На правах рукописи

Глухова Лия Валерьевна

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ НАНОСПУТНИКА С АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗИЗАЦИЕЙ

05.07.09 - Динамика, баллистика, управление движением летательных

аппаратов

Автореферат 28 ОКТ 2015

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Самара - 2015

005563948

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» (СГАУ)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Тимбай Иван Александрович Официальные оппоненты:

Клюшников Валерий Юрьевич, доктор технических наук, старший научный сотрудник, главный научный сотрудник федерального государственного унитарного предприятия «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения», г. Королёв Московской обл.;

Ролдугин Дмитрий Сергеевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва.

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт космических систем имени А.А.Максимова— филиал федерального государственного унитарного предприятия «Государственный космический научно-производственный центр имени М. В. Хруничева, г. Юбилейный Московской обл.

Защита состоится 11 декабря 2015 г. в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 212.215.04, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» и на сайте: http://www.ssau.ru/resources/dis protection/glukhova/.

Автореферат разослан 12 октября 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В последнее время создание наноспутников является массовым явлением: более двадцати стран мира создают свои наноспутники, запускают их для отработки перспективных технологий. На сегодняшний день часть наноспутников запускается для выполнения научно-образовательных проектов, другие с целью реализации технологических экспериментов. Поскольку наноспутники относятся к классу космических аппаратов небольших размеров и ограниченной массы (до 10 кг), то для обеспечения требуемой ориентации часто используются пассивные или комбинированные (пассивные в сочетании с активными) системы ориентации.

Существуют такие задачи, для которых необходимо, чтобы продольная ось наноспутника отслеживала вектор скорости центра масс с определённой амплитудой. Например, международный проект «<ЗВ50» по созданию группировки из 50 наноспутников, развертывание которой планируется в 2016 г., предназначен для мониторинга верхних слоев атмосферы. При проведении научного эксперимента необходимо, чтобы отклонение продольной оси наноспутника относительно вектора скорости центра масс не превышало 10°.

В связи с этим актуальными задачами являются: исследование динамики неуправляемого наноспутника с аэродинамической стабилизацией и формирование требований к проектным параметрам и начальным условиям углового движения наноспутника для обеспечения заданной ориентации.

Степень разработанности. Исследованию динамики движения неуправляемых спутников посвящено большое количество работ. Основополагающие вопросы, связанные с анализом движения спутников рассмотрены в работах: Д. Е. Охоцимского, В. А. Ярошевского, В. В. Белецкого, И. А. Нейштадта, В. В. Сазонова, С. А. Мирера, В. А. Сарычева, М. Ю. Овчинникова, В. С. Асланова и др.

В работах В. В. Белецкого методом фазовой плоскости исследованы случаи плоского углового движения спутника на низких круговых орбитах под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, имеющего синусоидальную зависимость от угла атаки, при этом изменением плотности атмосферы в процессе движения пренебрегается. В работах В. С. Асланова, И. А. Тимбая исследовано изменение характера движения спутника относительно центра масс на начальном участке траектории спуска в атмосфере под действием восстанавливающего аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки, при этом действием гравитационного момента пренебрегается. В работах В. А. Сарычева, С. А. Мирера исследуется динамика вращательного движения осесимметричного спутника на круговой орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов. В зависимости от расположения центра давления определены положения равновесия спутника, а также условия их существования. При этом вопрос, связанный с вероятностью

попадания в колебательное движение относительно того или иного положения равновесия по углу атаки при снижении с орбиты, не рассматривается.

В диссертационной работе рассматривается плоское возмущённое движение относительно центра масс неуправляемого динамически симметричного наноспутника под влиянием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который описывается нечётным рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками. Получены формулы, позволяющие определить высоты полёта, на которых происходит изменение характера углового движения наноспутника, а также формулы для вычисления вероятности попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки.

Следует отметить, что величина углового ускорения, обусловленного аэродинамическим моментом наноспутника, на порядок выше, чем у спутников с большими размерами и массой. Это расширяет диапазон высот, на которых аэродинамический момент, действующий на наноспутник, является преобладающим и его можно использовать для ориентации наноспутника по

набегающему потоку.

Вопросам аэродинамической ориентации спутников посвящено немного работ, ещё меньше работ посвящено вопросам статистического анализа углового движения неуправляемых спутников.

В работах В. А. Ярошевского получены законы распределения угла атаки спутника на условной границе атмосферы - высоте, где аэродинамические моменты начинают заметно влиять на изменение угла атаки. При этом предполагается, что отделение спутника происходит в направлении вектора скорости центра масс на внеатмосферном участке траектории. В работах Ю. М. Заболотнова проводится анализ законов распределения пространственного угла атаки лёгкой спускаемой капсулы на условной границе атмосферы и на участке движения в плотных слоях атмосферы. При этом учитывается неточность знания угла атаки в момент отделения капсулы от тросовой системы. В работах И. В. Белоконова, И.А.Тимбая исследовано неуправляемое движение относительно центра масс наноспутника стандарта СиЬеБа^и, закрученного вокруг продольной оси, отделённого от орбитальной ступени ракеты-носителя «Союз» на низкой околокруговой орбите, сформированы вероятностные модели начальных условий углового движения наноспутника.

В диссертационной работе для случая пространственного движения относительно центра масс аэродинамически стабилизированных наноспутников стандарта СиЬе8а1 путём численного эксперимента получены функции распределения максимального угла атаки в зависимости от разброса компонентов начальной угловой скорости в предположении о том, что компоненты угловых скоростей наноспутника при отделении представляют собой независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями. При этом учитывается, что отделение наноспутника происходит на высоте, где аэродинамический момент

оказывает существенное влияние и им нельзя пренебречь. Для случая плоского углового движения получены аналитические выражения для плотности распределения и функции распределения максимального угла атаки. Показано, что при отделении наноспутника по направлению вектора скорости центра масс, когда начальное значение угла атаки мало, при незначительной закрутке относительно продольной оси, можно с достаточной точностью использовать аналитическую функцию распределения максимального угла атаки, полученную для случая плоского углового движения.

В диссертационной работе разработана методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника с аэродинамической стабилизацией, позволяющая сформировать требования к его проектным параметрам и начальным условиям углового движения для обеспечения заданной ориентации.

Объектом исследования является неуправляемый динамически симметричный наноспутник.

Предметом исследования является динамика неуправляемого наноспутника с аэродинамической стабилизацией.

Целью работы является разработка методики исследования динамики неуправляемого наноспутника с аэродинамической стабилизацией, позволяющей сформировать требования к его проектным параметрам и начальным условиям углового движения для обеспечения заданной ориентации.

Методы исследования. Для получения аналитических выражений использовались теория адиабатического инварианта, метод фазовой плоскости, а также методы и подходы, развитые в работах В. В. Белецкого, А. И. Нейштадта, В. А. Ярошевского, Г. Е. Кузмака.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В случае плоского возмущённого движения неуправляемого динамически симметричного наноспутника под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки, получены выражения для определения:

— высоты изменения характера движения наноспутника;

— вероятности попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки.

2. В случае плоского углового движения наноспутника с аэродинамической стабилизацией получены аналитические выражения для плотности распределения и функции распределения максимального угла атаки в предположении того, что величина поперечной угловой скорости распределена по закону Рэлея.

3. Разработана методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника с аэродинамической стабилизацией, позволяющая сформировать требования к его проектным параметрам и

начальным условиям углового движения для обеспечения заданной ориентации.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделях; применением известных численных методов, обладающих высокой точностью, при проведении экспериментов с математическими моделями; совпадением полученных результатов с известными результатами в частных случаях.

Практическая значимость работы состоит в том, что основные результаты, доведённые до аналитических выражений, могут быть использованы в инженерной практике для формирования требований к проектным параметрам и начальным условиям углового движения наноспутника, при анализе движения неуправляемых наноспутников и возможности ориентации продольной оси наноспутников вдоль вектора скорости с заданной вероятностью на заданной высоте полёта.

Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в НИР, выполняемых по грантам РФФИ № 11-08-00644 а и 13-08-97015-р_поволжье_а, а также при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках

научного проекта № 9.1421.2014/К.

Результаты исследований используются в учебном процессе, а также в процессе создания наноспутника SamSat-QB50, разрабатываемого в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)», в рамках европейской программы исследования верхних слоёв атмосферы Земли «QB-50».

Публикации и апробация работы.

Основные положения работы докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе на международной конференции Scientific and Technological Experiments on Automatic Space Vehicles and Small Satellites (г. Самара, 2011 г.), на 5-th European CubeSat Symposium (Brussels, Belgium, June 3-5, 2013), на XIV, XV, XVI и XVIII Всероссийских семинарах по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2009, 2011, 2013 и 2015 гг.), на XXXV Академических чтениях по космонавтике (г. Москва, 2011 г.), на 55-ой научной конференции МФТИ (г. Москва, 2012 г.), на XLV Научных чтениях памяти К. Э. Циолковского (г. Калуга, 2010 г.), на XVIII Туполевских чтениях (г. Казань, 2010 г.), на X Королёвских чтениях (г. Самара, 2009 г.).

Результаты исследований опубликованы в 13 печатных работах, в том числе в трёх журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника с аэродинамической стабилизацией, позволяющая сформировать требования к его проектным параметрам и

6

начальным условиям углового движения для обеспечения заданной ориентации.

2. Формулы для определения высоты изменения характера движения наноспутника и вероятности попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки, полученные для случая плоского возмущённого движения неуправляемого динамически симметричного наноспутника под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки.

3. Формулы для плотности распределения и функции распределения максимального угла атаки, полученные для случая плоского углового движения наноспутника с аэродинамической стабилизацией в предположении того, что величина поперечной угловой скорости распределена по закону Рэлея.

4. Функции распределения максимального угла атаки в зависимости от разброса компонентов начальной угловой скорости, полученные путём численного эксперимента для случая пространственного движения относительно центра масс наноспутника стандарта СиЬева! с аэродинамической стабилизацией.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников из 63 наименований и одного приложения. Общий объём диссертации составляет 114 страниц.

Содержание работы

Во введении приводится характеристика решаемой задачи, обосновывается актуальность темы, формулируется цель диссертации. Отмечены новизна и практическое значение работы, даны сведения о публикациях и апробациях работы.

В первой главе даются краткий обзор и отмечаются особенности наноспутников, разнообразие их форм и широкий спектр решаемых ими задач. Приведён обзор работ, посвященных методам аналитического исследования неуправляемого движения спутника под действием гравитационного момента и аэродинамического момента, который в зависимости от формы наноспутника может быть описан одной, двумя или тремя гармониками. Приведён обзор работ, посвящённых проблемам ориентации и стабилизации неуправляемых спутников в зависимости от выполняемых ими задач, а также вопросам статистического анализа углового движения неуправляемых спутников.

Во второй главе рассматриваются две модели движения неуправляемого динамически симметричного наноспутника, для которых приводятся две системы нелинейных уравнений: плоского углового возмущённого движения наноспутника под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки; пространственного движения относительно центра масс наноспутника, когда аэродинамический момент является преобладающим и определяет характер углового движения.

Рассматриваются силы и моменты, действующие на наноспутник при движении на околокруговой орбите. Для наноспутников СиЬе8а1 -Ш, 2и и Зи определяются аэродинамические характеристики в зависимости от коэффициентов аккомодации а„, ах и температурного фактора которые характеризуют процесс взаимодействия молекул газа с поверхностью, значения которых зависят от физических свойств газа и поверхности наноспутника. Получены зависимости коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента та{ап,(р„) от пространственного угла атаки а„ и угла собственного

вращения <р„.

На рисунке 1 приведена зависимость коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента та(а„,<р„) для наноспутника СиЬеБа^и, относительный запас статической устойчивости которого равен хТ = 0,1. Кривые 1 и 2 построены для зависимости та(а„,<р„), полученной при значениях угла собственного вращения <р„=0° и <р„= 45° соответственно. Кривая 3 построена для зависимости та(а„), усреднённой по углу <рп. Зависимость коэффициента та(а„), усреднённую по углу собственного вращения <рп, с достаточной точностью можно аппроксимировать синусоидальной зависимостью а" 81п(а„) (пунктирная линия). На рисунке 1а приведены зависимости, полученные при значениях коэффициентов аккомодации ап = 0,87, аТ =0,97 и температурного фактора /„ = 1, на

рисунке 16 - при а„ = 0,97, ат = 0,87 и = 0,001. о

а)

-од

-0,4 -0,6 -0,8

1___жтрмскншю чж»ой з| £

• Т;

2/

30

60 90

120 150 а, град

Рисунок 1 - Зависимости коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента наноспутника СиЬе8а1-2и от пространственного

угла атаки и угла собственного вращения: а) при ап = 0,87, аг = 0,97 и = 1; б) при ап = 0,97, ах = 0,87 и = 0,001 (1 _ (рп = 0°, 2 - <р„ = 45°, 3- усреднённая по углу <р„) В третьей главе рассматривается плоское возмущённое угловое движение динамически симметричного наноспутника при движении на круговой орбите под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки. Движение описывается системой с медленно меняющимися параметрами вида:

а-а(Н)5тсс-(Ь(Н) + фт2а = 0, (1)

где а — угол атаки, а(Н), Ь(Н) — коэффициенты моментной характеристики, обусловленные действием аэродинамического момента; с = 3a?(I„-Ixy(2I„) — коэффициент обусловленный действием гравитационного момента, /„ = Iz =/„ ,

Ix— поперечный и продольный моменты инерции наноспутника;а> = -\j р/ R3 — угловая скорость движения центра масс наноспутника на круговой орбите; ц — гравитационный параметр Земли; R — расстояние от притягивающего центра до наноспутника, Н— высота полёта (медленно меняющийся параметр). Коэффициенты а{Н], Ь(Н) представлены в виде:

а(Н) = <%(Я)//„, Ь(Н) = a«Slq(H)Un, (2)

q(H) = V2p(H)/2, р(Н) = ро ехр(-А(Я - Я0)), где а" и а" — постоянные коэффициенты; S — характерная площадь; I — характерный размер наноспутника; V — скорость полёта,- ро, Н0 - плотность атмосферы и высота полёта в начальный момент времени ((0 = 0), Л -логарифмический градиент плотности по высоте.

Пренебрегая изменением расстояния от притягивающего центра до наноспутника, полагаем c=const. Считая, что угол снижения наноспутника, движущегося по почти круговой орбите, мал и меняется медленно, изменение высоты по времени можно определить по приближённой формуле:

Н = —2CxaqSV I mg,

где Я = g-} - ускорение свободного падения на поверхности Земли,

Сха - коэффициент силы лобового сопротивления, Л3 — радиус Земли, т — масса наноспутника.

На основе метода фазовой плоскости исследуются случаи невозмущённого движения наноспутника. Интеграл энергии системы в случае невозмущённого движения (Н = const, а(Н) = а = const, b(H) = Ь = const) имеет вид:

a2/2-acosa-(b + c)cos2 а = Е0. (3)

Тип движения системы (1) определяется соотношением величин а, Ь, с и Ео■ Имеют место три вида фазовых портретов (рисунки 2-4):

1. | Ь + с\< 0,51 а\. При таком соотношении

^--- наноспутник имеет два положения равновесия по

^^ углу атаки: устойчивое при а = 0 и неустойчивое при а = ж Этому случаю соответствует фазовый портрет

Рисунок 2-Фазовый портрет аналогичный фазовому портрету колебательных I & + с 0,51 а | систем маятникового типа и для случая а> 0

изображён на рисунке 2. При а < 0 фазовая картина сдвигается по оси а на величину л. Имеют место две области движения — вращательная и колебательная А3. Вращательному движению соответствует условие EQ>\a\-(b + c), колебательному соответствует условие EQ<\a\-(Ь + с). На границе перехода из области вращения в область колебания Е0 = | а \ -(b + с).

Рпсувок 3 - Фазовый портрет (Ь + с)>0,5|аЦЬ + с)>0

или а-л :

Рисунок 4 - Фазовый портрет (й + с)>0,5|а|,(6 + с)<0

2. (6 + с) > 0,51 а (6 + с) > 0. В этом случае а= 0 и а= л являются устойчивыми положениями равновесия. У наноспутника появляются дополнительные неустойчивые положения равновесия по углам атаки, а на фазовом портрете появляются дополнительные особые точки типа «седло», соответствующие значениям угла атаки а„ = ±arccos(-0,5a/(6 + с)) + 2пл (и = ±1, ± 2,...), и имеют место три области движения - вращательная Aq и две колебательные Л, и А2, разделённые сепаратрисами (рисунок 3). Вращательному движению соответствует условие: £0 >а2/(4(6+с)), колебательному относительно а = 0

Е0 < а2 /(4(6 + с)). На границе перехода Е0 = а2 /(4(6 + с)).

3. |6 + с|>0,5|а|, (6 + с)<0. В этом случае положения равновесия по углу атаки а. = ±arccos(-0,5a/(6 + с)) + 2пл (п = ±1, ± 2,...) являются устойчивыми, а положение равновесия по углу атаки а= 0 неустойчивым. Фазовый портрет для случая а> 0 изображён на рисунке 4 (при а < 0 картина сдвигается по оси а на величину л). Здесь значениям угла атаки а, = ±arccos(-0,5a/(6 + с)) + 2пл (л = ±1,±2,...) соответствуют особые точки типа «центр». На фазовом портрете располагаются четыре характерные области движения - вращательная Aq и три колебательные At, А2 и Аъ. Вращательному движению соответствует условие: Е0 >| а | -(Ь + с), на границе перехода между областью вращения и областью колебания относительно а = 0 Е0 =|<з|-(6 + с). Колебательному движению относительно а =0 соответствует условие: |а|-(6 + с)> Е0 >-\а]-(Ь + с). Границе перехода между колебательной областью относительно положения равновесия по углу атаки а = 0 и одной из двух колебательных областей относительно положений равновесия а. =±arccos(-0,5a/(6 + c)) соответствует условие:

Е0=-\а\-(Ь + с).

В возмущённом движении с изменением величин коэффициентов а и Ъ, обусловленным ростом плотности атмосферы в процессе снижения, происходит эволюция фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета. Это явление сопровождается качественным изменением характера движения: вращательное движение может переходить в колебательное, колебательное движение может переходить во вращательное, колебательное движение может «скачкообразно» переходить в колебательное же движение, но с другими амплитудными характеристиками. Отмечено, что если не учитывать влияние гравитационного момента и рассматривать движение только под действием аэродинамического

момента, то эволюция фазовых траекторий происходит в рамках одного из трёх фазовых портретов, при этом имеют место однократные проходы через сепаратрисы фазовой точки из внешних областей во внутренние. В работе показано, что при совместном действии гравитационного и аэродинамического моментов возможны случаи перехода через сепаратрису фазовой точки как из внешней области во внутреннюю, так и из внутренней области во внешнюю. Кроме того, во время движения возможно изменение вида фазового портрета. Получены формулы для определения высоты изменения вида фазового портрета:

- при переходе из фазового портрета, изображённого на рисунке 2, в фазовый портрет, изображённый на рисунке 3, и наоборот:

Яфщ^Фпг = Н0- 1п(с/(0,5а(Я0) - Ь(Н0)))/Л, (4)

- при переходе из фазового портрета, изображённого на рисунке 2, в фазовый портрет, изображённый на рисунке 4, и наоборот:

Яфпюфпз =Н0~ 1п(с/(-0,5а(Я0) - Ь(Н0)))1 Я. (5)

Для описания движения системы с медленно меняющимися параметрами используется условие постоянства интеграла действия:

вшах

/= \ccda,

атш

где сгш!п, атах - амплитудные значения угла атаки (при вращении аю^=-л, асих=7Г)> величина а. определяется из интеграла энергии (3), амплитудные значения угла атаки определяются из решения уравнения:

Ео =-асозатах-(6+с)со^ааих.

В работе получены трансцендентные уравнения для определения высоты полёта Я. в моменты, соответствующие изменению характера движения наноспутника. Высоты полёта определяются из равенства выражения интеграла действия, вычисленного вдоль сепаратрис, значению интеграла действия, вычисленного по начальным условиям движения /0:

- при переходе из вращательного движения в колебательное относительно а=0 и наоборот (переход через сепаратрисы /3, изображённые на рисунке 2 и рисунке 4): _

/0 = 4Л/2(6(Н.) + с)[^и.-1 + н.агс1ёСл/1/(и,-1))], при (Ь(Я.) + с)>0, (6) /0 = 4^-2(Ь(Н.) + с)[>. +1 + ы.1п(( 1 + >.+1)/7й7)],при (Ь(Н.) + с)<0, (7)

где и, =\0,5а(Н.)ЩН.) + с)\\

- при переходе из колебательного движения относительно а=0 в колебательное относительно одного из двух положений а. (переход через сепаратрисы 1\ и /2, изображённые на рисунке 4):

/0 = 4^/-2(Ь(Я.) + с)Ц\-и. -ы. 1п((1 + л/1 _)/л/^")), (8)

- при переходе из колебательного движения относительно а=0 во вращательное (переход через сепаратрису 1и изображённую на рисунке 3):

I0 = 272(6(7/.) +с) (sin а, - or.cosa,), (9)

где а. =агссоз(-0,5а(Я*)/(6(Я.) + с));

- при переходе из колебательного движения относительно а=п во вращательное (переход через сепаратрису h, изображённую на рисунке 3):

/0 = 2Л/2(6(//.) + с) (sin а, + (я- - a.)cosa.); (10)

- при переходе из вращательного движения в колебательное относительно одного из двух положений а=0 или а=п во вращательное (рисунке 3):

/0 =472(6(//.) + c)(sina. +(0,5^-a.)cosa,). (11)

В случаях, когда при пересечении сепаратрис фазовая точка может попадать в различные колебательные области, возникает задача выбора области продолжения движения. Внутренние области движения и (рисунки 3, 4) отделяются от внешней области А3 (рисунок 4) или Aq (рисунок 3) сепаратрисами /, и 12. Вероятность Р,;, (/ = 1,2) захвата в одну из колебательных областей A¡ или Л2 вычисляется по формулам:

Pl/P2=Ql¡/Q,2, (12)

©/ = -^fzdt 0 = 1,2,3), £ = tf(á,a,z)-tf(0,a.,z),

(13)

где Н=сс2/2—асо5а—(Ь+с)со£а — гамильтониан; =г; г=ехр(-Л(Я-Я0)) -медленно меняющийся параметр, а = 0, а = а, - координаты седловой особой точки на фазовом портрете (Е = 0 в седловой особой точке и на сепаратрисах, £>0 в А3, Е<0 в Ах, А2). Интегралы (13) вычисляются вдоль сепаратрис /¡, 12 и /3, параметризованных временем ( невозмущённого движения по ним. Физический смысл величины 0/( - скорость приближения площади, ометаемой фазовой траекторией, к площади, ограниченной сепаратрисой. При >0

фазовая траектория «погружается» из внешней области во внутреннюю, при Ц <0 фазовая траектория «выталкивается» из внутренней области во внешнюю.

В работе получены аналитические выражения для определения величины :

- для фазового портрета, изображённого на рисунке 2:

0/3=Л у1ШН.) + С)1

+ 4л/2(Ь(Я.) + с)у.агс1ё(л/1/(и. -1)) где /г = -Яехр(-Л(Я-Н0)).

(6(Я„)+с)> 0, (14)

- для фазового портрета, изображённого на рисунке 3: /

1h(M ^

0 -[sina. -a. cosa.]+ 2^2(b(H*) + c)a,v, sin а.

{j2(b(H.)+c)'

(15)

в|,=Л I

(26(Я0 ) / ^2(¿(W.) + c)[sin а. + (Я- - а.) cos а. ] {- 2р {Ь(Н.) + с){п - a. )v. sin а.

где v. = 0,5а(Но)с/[1(Ь(Н,) + с? -0,25(а(Я.))2 (¿(Я.) + с)], - для фазового портрета, изображённого на рисунке 4:

V-2 (6(Я.) + С)1^

(16)

®/, = /:

,(6(Я.) + С)<0, (17)

®1,=0/2=Л

(18)

- 4Л/-2(6(Я.) + с)у. 1п(( 1 + ,/и. +1) / ^/йГ)

-4Ь(Я0) [/| ... 1п((1 + Л/Г^7)/Л/^")]+"

д/- 2(6(Я.) + с)

+ 4-У-2 (6(Я.) + Ф» 1п((1 + V1 ""•)/л/"0

где V. =0,5|а(Я0)|с/(6(Я.) + с)2.

На основе полученных формул проводится анализ изменения характера плоского углового движения наноспутника при снижении с орбиты под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который описывается нечётным рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками.

Для примера на рисунке 5 показано изменение характера движения наноспутника в процессе снижения с орбиты. Такое изменение характера движения возможно при взаимном влиянии гравитационного момента и аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки. График построен для наноспутника, значения коэффициентов аэродинамического момента которого равны а = 1,6 • Ю-7 с'2 и Ь = 5,8 • 10 с , а коэффициент гравитационного момента равен с = -1,0-Ю-6 с2. Начальные значения угла, угловой скорости и высоты полёта равны соответственно а0 = 20°, а0 = 0,04 град/с и Я0 = 300 км.

а,град

■ i * -1-1-/7\ -i I-~j t"4 AAyVW

-! t ~ / ¡ • -1-f-- ,

ф1 -Й— Ф11И /Ф11 1

--- =4Í-f

— ----- — -

wwт AA/W У wU—^

Н.км

300 290 282 274 270 261 250

Рисунок 5 - Изменение характера движения наноспутника в процессе снижения с орбиты 13

В начальный момент времени наноспутник совершает колебания относительно положения равновесия по углу атаки а= 0. Такое движение соответствует движению фазовой траектории в колебательной области А3, изображённой на рисунке 4. Движение наноспутника от высоты 282 км до 270 км соответствует движению фазовой траектории в рамках фазового портрета, изображённого на рисунке 2. На высоте 274 км наноспутник переходит из колебательного движения во вращательное. Высота перехода определяется из решения уравнения (б). С высоты 270 км движение наноспутника соответствует движению фазовой траектории в рамках фазового портрета, изображённого на рисунке 2. На высоте 261 км наноспутник переходит из вращательного движения в колебательное относительно положения равновесия по углу атаки а =180°. Высота изменения характера движения вычисляется по формуле (11). Вероятность попадания в колебания относительно положения равновесия по углу атаки а = 180° вычисляется по формуле (12) с учётом значения величин 0; (/ = 1,2), вычисленных по

формулам (15)-(16), и равна 68%.

Зная, как будет меняться характер движения наноспутника при снижении с орбиты, можно определить область начальных условий движения так, чтобы в начальный момент времени обеспечить аэродинамическую ориентацию продольной оси неуправляемого наноспутника.

В четвёртой главе рассматривается задача формирования требований к проектным параметрам и начальным условиям углового движения для обеспечения заданной ориентации с заданной точностью. Задача рассматривается в детерминированной и вероятностной постановках.

Детерминированная постановка задачи.

Для решения задачи в детерминированной постановке предлагается строить графики кривых, которые определяются уравнением (3) для наноспутника с заданными проектными параметрами. По графикам определять начальные значения угла атаки и угловой скорости, при которых продольная ось наноспутника будет совершать колебания относительно вектора скорости набегающего потока с требуемым значением максимального угла атаки. В случае, когда предъявить требования к начальным условиям углового движения не представляется возможным, предлагается менять внутреннюю компоновку наноспутника: варьировать относительный запас статической устойчивости и моменты инерции.

Вероятностная постановка задачи.

При отделении наноспутника от адаптера со случайной начальной угловой скоростью реализация величины максимального угла атаки также носит случайный характер. Максимальное значение угла атаки наноспутника определяется не только величиной аэродинамического момента, но и начальными значениями угла атаки а0 и угловой скорости а0. В случае плоского углового движения величину максимального угла атаки наноспутника при колебаниях можно найти из интеграла энергии (3) при а = 0, принимая, что

с = 0. Принято, что из величин, входящих в (3), наибольший разброс значений имеет величина угловой скорости á0. В работе получен закон распределения величины максимального угла атаки для распределения модуля величины áQ по закону Рэлея (компоненты поперечной составляющей угловой скорости независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными ау = oz = а ).

Разбросами других величин, входящих в (3), пренебрегается.

Аналитические выражения для плотности распределения и функции распределения максимального угла атаки amax е (а0, л) имеют вид:

/(« max) = (- asin amJa2)-ехр(- a(cosamax - cosa0)/<r2), (19)

F(amax) = 1 - exp(- a(cosamax - cos«0)/ct2). (20)

В случае пространственного движения неуправляемого динамически симметричного наноспутника CubeSat, когда аэродинамический момент является преобладающим, пренебрегая влиянием гравитационного момента и орбитальной угловой скоростью, усредняя аэродинамический момент по углу собственного вращения и аппроксимируя его синусоидальной зависимостью от угла атаки, изменение пространственного угла атаки наноспутника можно описать уравнением:

á+(G- Rcosan)(R - Gcosa„)/sin3 а„ - a(H)sina„ = 0, (21)

где R=IxaI/In=consí, G = Rcosa„+(-aycos<p„ + ú)zsin<pn)sina„=const -

отнесённые к поперечному моменту инерции проекции вектора кинетического момента на продольную ось наноспутника и на направление скорости центра масс, соответственно; <ах,<оу,(о2 - проекции вектора угловой скорости на оси

связанной системы координат.

Полагается, что изменение высоты круговой орбиты вследствие сопротивления атмосферы происходит очень медленно, и при рассмотрении углового движения наноспутника на одном или нескольких витках принимается Н = const. В этом случае для системы (21) имеет место интеграл энергии:

á2 /2 + (Я2 + G2 - 2tfGcosa„)/(2sin2 а„) + acosa„ = Е. (22) Значение Е определяется по начальным условиям, при этом <¿o = ау cos (р^ +со2 sin .

Максимальное значение угла атаки определяется из уравнения

(R2 +G2 - 2^Gcosamax)/(2sin2amax) + acosamax-£ = 0, (23)

которое следует из интеграла энергии (22) при á = 0.

Для определения функции распределения максимального угла атаки наноспутника проведено статистическое моделирование (10000 численных экспериментов) по соотношениям (22) и (23). Предполагается, что компоненты начальной угловой скорости наноспутника независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями. Предполагается, что начальное значение коэффициента а - это случайная

величина, распределённая равномерно в диапазоне от минимального значения, соответствующего минимальному значению коэффициента а" и ночной плотности атмосферы при минимальной солнечной активности, до максимального значения, соответствующего максимальному значению коэффициента а{* и дневной плотности атмосферы при максимальной солнечной активности.

Для примера на рисунке 6 приведены графики функции распределения

, 2

максимального угла атаки для наноспутника СиЬе8а1-2и (1Х =3,3-10 кг м , /х//„ =0,3) для высоты полёта 245 км, для относительных запасов статической устойчивости хт = 0,2, 0,1, в зависимости от величин среднеквадратичных отклонений составляющих начальной угловой скорости наноспутника: кривая 1 для Зсг^ =3(та =2,5 град/с и Зег^ =0£град/с; кривая 2 для

Зец =ЗегШг =1,5 град/с и Зо^ =03 град/с; кривая 3 для Зст^ =3ст^ =<Х5 град/с и

наноспутника СиЬеБа1-2и в случае пространственного движения Выполнена оценка погрешности использования аналитической функции распределения максимального угла атаки (20), которая получена для плоского углового движения, в случае пространственного движения. Оценивается влияние начального угла атаки а0 и начальной продольной угловой скорости й)х. На рисунке 7 для наноспутника СиЬе8а1-2и с относительным запасом статической устойчивости 0.1 и минимальным значением коэффициента а" для случая, когда компоненты начальной поперечной угловой скорости распределены по нормальному закону Зец =3сг01_ -2$ град/с, высота полёта

Н0= 245 км, начальный угол атаки а0=1° (рисунок 7а) и а0=15° (рисунок 76), приведены графики аналитической функции распределения (20) (кривая 1) и графики функции распределения максимального угла атаки атах, полученные в

результате численного эксперимента по соотношению (23) (кривая 2 для Зо-^ =0,5 град/с, кривая 3 для Зст^ =1^ град/с, кривая 4 для Зст^ =2,5 град/с).

__Паю)

1

а) 0 20 40 60 8U 1UU 1Л1 liu iou«ra.ípa>6) "о 20 40 60 80 100 120 140 160 аград

Рисунок 7 - Функция распределения максимального угла атаки: а) а0=1° и б) сг0 = 15°.

Показано, что при отделении наноспутника по направлению вектора скорости центра масс (начальное значение угла атаки мало) и при незначительной закрутке относительно продольной оси, можно с достаточной точностью использовать аналитическую функцию распределения максимального угла атаки, полученную для случая плоского углового движения.

Используя полученные функции распределения максимального угла атаки, можно проанализировать возможность ориентации продольной оси наноспутника вдоль вектора скорости с заданной вероятностью на заданной высоте полёта, сформировать требования к начальным величинам углового движения и к положению центра масс наноспутника.

На основе полученных формул разработана методика исследования динамики неуправляемого наноспутника с аэродинамической стабилизацией.

Исходными данными являются начальная высота полёта наноспутника, начальные условия его углового движения, обусловленные как параметрами углового движения носителя, с которого осуществляется запуск, так и величинами угловых скоростей, вызванных погрешностями отделения от адаптера.

Разработанная методика кратко может быть описана следующими этапами:

1. Определяются аэродинамические характеристики в зависимости от углов атаки и собственного вращения, а также от значений коэффициентов аккомодации и температурного фактора. Коэффициент восстанавливающего аэродинамического момента, вычисленный относительно центра масс, усредняется по углу собственного вращения и аппроксимируется рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками a" sin(a„)+<3° sin(2a„). Вычисляются коэффициенты аэродинамического момента а и Ь. Вычисляется коэффициент гравитационного момента с.

2. По значениям коэффициентов a, b и с, а также по начальным значениям угла атаки а0 и угловой скорости á0 определяется характер движения наноспутника в начальный момент времени.

17

3. Проводится анализ изменения характера плоского углового движения в процессе снижения: определяются высоты, на которых происходит изменение характера движения наноспутника, из решения уравнений (6)-(11); по значению величины 0, , полученной по формулам (14)-(18), определяется вероятность

попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки.

4. На основании анализа, проведённого в пункте 3, решается задача формирования требований к проектным параметрам и начальным условиям углового движения для обеспечения аэродинамической ориентации с заданной точностью.

4.1. Для решения задачи в детерминированной постановке строятся графики кривых, которые определяются уравнением (3) для наноспутника с различными проектными параметрами. По графикам определяются начальные значения угла атаки и угловой скорости, при которых продольная ось наноспутника будет совершать колебания относительно вектора скорости набегающего потока с требуемым значением максимального угла атаки.

4.2. Для решения задачи в вероятностной постановке строятся функции распределения максимального угла атаки, приведённые на рисунке 6. В случае плоского движения, а также в случае пространственного движения при малых значениях начального угла атаки и незначительной закрутке вокруг продольной оси наноспутника используется аналитическая функция распределения (20).

5. Проводится проверочный расчёт амплитуды колебаний по полной системе уравнений движения относительно центра масс.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Получены формулы для определения высоты изменения характера движения наноспутника и вероятности попадания в колебания относительно того или иного положения равновесия по углу атаки в случае плоского возмущённого углового движения под действием гравитационного момента и восстанавливающего аэродинамического момента, который имеет вид бигармонического ряда по углу атаки.

2. Определены аэродинамические характеристики наноспутников стандарта СиЬеБа! для различных значений коэффициентов аккомодации.

3. Получены формулы для плотности распределения и функции распределения максимального угла атаки для случая плоского углового движения наноспутника с аэродинамической стабилизацией в предположении того, что величина поперечной угловой скорости распределена по закону Рэлея.

4. Получены функции распределения максимального угла атаки в зависимости от разброса компонентов начальной угловой скорости для случая пространственного движения относительно центра масс аэродинамически стабилизированных наноспутников стандарта СиЬеБа^

5. Разработана методика исследования динамики неуправляемого динамически симметричного наноспутника с аэродинамической стабилизацией, позволяющая сформировать требования к его проектным параметрам и

18

начальным условиям углового движения для обеспечения заданной ориентации.

Основное содержание работы опубликовано в изданиях, определённых Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки

Российской Федерации:

1. Глухова, JI. В. Исследование плоского движения относительно центра масс космического аппарата под действием гравитационного и аэродинамического моментов при снижении с круговых орбит [Текст] / J1. В. Глухова, И. А. Тимбай // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). - Самара: СГАУ, 2010. -№4 (24). - С. 30-37.

2. Глухова, J1. В. Анализ влияния проектно-баллистических параметров наноспутника на угловое движение при снижении с низких круговых орбит [Текст] / JI. В. Глухова, И. А. Тимбай // Известия СНЦ РАН. - Самара: СНЦ РАН, 2012.-Т.14,- №6. -С. 129-135.

3. Глухова, Л.В. Определение максимального значения пространственного угла атаки наноспутника при движении на низких круговых орбитах [Текст] / Л.В. Глухова, И. А. Тимбай // Вестник Самарского государственного аэрокосмического- университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). - Самара: СГАУ, 2013. -№4 (42).-С. 112-123.

В других изданиях:

4. Глухова, Л. В. Исследование влияния проектно-баллистических параметров наноспутника на угловое движение при снижении с низких круговых орбит [Текст] / Л. В. Глухова, И. А. Тимбай // Труды XIV Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». - Самара: СНЦ РАН, 2012. - С. 498-506.

5. Глухова, Л. В. Исследование переходных режимов движения космического аппарата под действием гравитационного и аэродинамического моментов [Текст] / Л. В. Глухова, И. А. Тимбай // Сборник трудов XIV Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: СГАУ, 2011. - Часть I.-С. 56-61.

6. Глухова, Л. В. Анализ влияния проектно-баллистических параметров малого спутника на угловое движение при снижении с круговых орбит [Текст] / Л. В. Глухова, И. А. Тимбай // Сборник трудов XV Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: СГАУ, 2012. - Часть I. - С. 81-85.

7. Глухова, Л. В. Выбор проектно-баллистических параметров наноспутника, обеспечивающих заданное угловое движение при снижении с низких круговых орбит [Текст] / Л. В. Глухова // Труды 55-й научной конференции МФТИ. Том 1. - М.: МФТИ, 2012. - С. 94-95.

8. Belokonov, I. Selection of Design Parameters of Aerodynamically Stabilized Nanosatellite for Thermosphere Research within the QB50 Project / I. Belokonov,

1А

L. Glukhova, D. Ivanov, A. Kramlikh, M. Ovchinnikov, I. Timbay, E. Ustiugov // 5th European CubeSat Symposium. - Brussels, Belgium. June 3-5, 2013. - p. 50.

9. Glukhova, L. V. Motion of small satellite relative to its center of mass under the influence of gravitational and aerodynamic moments during descent from circular orbits / L. V. Glukhova, I. A. Timbay // Scientific and Technological Experiments on Automatic Space Vehicles and Small Satellites. - Samara, Russia. June 27-30, 2011. -p. 96.

10. Глухова, Jl. В. Исследование плоского движения космического аппарата под влиянием гравитационного и аэродинамического моментов при снижении с круговых орбит [Текст] / Л. В. Глухова, И. А. Тимбай // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXV академических чтений по космонавтике. - Москва, январь 2011 г. - С. 138.

11. Глухова, Л. В. Исследование плоского движения относительно центра масс космического аппарата под действием гравитационного и аэродинамического моментов при снижении с круговых орбит [Текст] / Л. В. Глухова, И. А. Тимбай // Материалы XLV Научных чтений памяти К. Э. Циолковского. - Калуга: Эйдос, 14-16 сентября 2010. - С. 157-158.

12. Глухова, Л. В. Переходные режимы углового движения космического аппарата под действием гравитационного и аэродинамического моментов [Текст] / Л. В. Глухова // Материалы международной молодёжной научной конференции XVIII Туполевские чтения. - Казань: КГТУ, 26-28 мая 2010. -Т.1.-С. 73.

13. Глухова, Л. В. Исследование углового движения космического аппарата при полёте на низких орбитах [Текст] / Л. В. Глухова // Материалы всероссийской молодёжной научной конференции с международным участием X Королёвские чтения. - Самара: СГАУ, 6-8 октября 2009. - С. 26.

Подписано в печать 09.10.2015. Формат 60 х 84/16. Тираж 100 экз. Бумага ксероксная. Объем - 1,25 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 35

Отпечатано в типографии издательства «Инсома-пресс» 443080, г. Самара, ул. Санфировой, 110А, оф. 22А, тел. 222-92-40, E-mail: insoma@bk.ru