автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Анализ автономных и неавтономных колебательных движений в LCRG-генераторах с распределенными параметрами

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Автопараметрические колебания в RC - генераторе с мягкой нелинейной характеристикой активного элемента.

1.1. Общие свойства рассматриваемой математической модели.

1.1.1. Вывод краевой задачи.

1.1.2. Автономный случай.

1.1.3. Предварительные сведения.

1.1.4. Расчет параметров автоколебаний.

1.2. Автопараметрические колебания в случае основного резонанса (1:2).

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Алгоритм исследования устойчивости.

1.3. Автопараметрические колебания в случае неосновных младших резонансов (1:1, 1:3).

1.3.1. Резонанс 1:1.

1.3.2. Резонанс 1:3.

ГЛАВА 2. Анализ автоколебаний в LCRG-автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

2.1. Математическая модель LCRG-автогенератора с распределенными параметрами.

2.1.1. Предварительные сведения. Условия самовозбуждения автогенератора.

2.1.2. Исследование явления многоцикличности в LCRG-автогенераторе.

-32.2. Анализ переходных процессов в случае самовозбуждения LCRG-генератора на первых двух несущих частотах.

2.3. Автоколебательные движения в LCR-генераторе, который индуктивно взаимодействует с отрезком длинной линии.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Построение укороченной системы уравнений.

2.3.3. Исследование укороченной системы уравнений.

ГЛАВА 3. Анализ автоколебаний в распределенном аналоге генератора Ван-дер-Поля.

3.1. Вывод математической модели.

3.2. Автоколебательные режимы в распределенном аналоге генератора Ван-дер-Поля при малых потерях в линии.

3.3. Автоколебания в распределенном аналоге генератора Ван-дер-Поля при наличии сосредоточенных активных потерь.

ГЛАВА 4. Экспериментальная проверка теоретических результатов и выводов.

4.1. Общие замечания.

4.2. Эксперимент для RC-генератора в случае реализации автопараметрических колебаний при младших резонансах.

4.3. Эксперимент для LCRG-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

4.4. Проведение экспериментов для LCR-генератора, индуктивно взаимодействующего с отрезком длинной линии.

4.5. Эксперимент для распределенного аналога автогенератора Ван-дер-Поля.

Автогенератор - один из наиболее распространенных и важных функциональных узлов в радиотехнической аппаратуре. Генераторы используются в самых разнообразных аналоговых и цифровых устройствах для получения тактовых импульсов, эталонных колебаний заданной частоты и формы, в качестве источников шума, когерентного излучения светового и радиодиапазона, для построения всевозможных умножителей, делителей, преобразователей частоты, тока, напряжения и т.д.

Современные жесткие требования минимизации веса, размеров и стоимости оборудования при его высокой надежности заставляют разработчиков широко использовать интегральные конструкции, полученные на базе технологий микроэлектроники. При этом часто возникает ситуация, когда отдельные компоненты интегральных схем (в особенности пассивные) нельзя рассматривать как сосредоточенные, т.к. их взаимодействие становится существенным. Повышение степени интеграции и рабочей частоты электронного устройства в таких условиях требует для обеспечения стабильности его работы применения специальных технологических и схемотехнических мер, которые должны опираться на эффективную методику анализа и расчета распределенных структур. С другой стороны, схемотехника устройств диапазона СВЧ и КВЧ практически полностью основана на применении планарных и объемных распределенных структур (линий передачи, резонаторов, фильтров и т.д.). По мнению современных исследователей [72], подобные структуры являются перспективной базой для будущих технологий сверхбыстрой обработки информации.

Использование распределенных структур в автоколебательных системах позволяет в некоторых случаях значительно упростить конструкцию и улучшить характеристики генератора [29, 77]. Кроме того, благодаря применению сред с распределенными параметрами стало возможным создание таких принципиально новых колебательных систем, как, например, квантовые парамагнитные усилители и лазеры.

Отметим, что физические процессы, протекающие в автоколебательных системах с распределенными параметрами, существенно отличаются от процессов в подобных схемах на дискретных элементах. Это обусловлено наличием волновых явлений в распределенных структурах [67]. Таким образом, вышесказанное позволяет сделать вывод, что теоретическое исследование распределенных систем является весьма актуальным.

В настоящее время общую теорию нелинейных колебаний в устройствах с сосредоточенными параметрами можно считать достаточно хорошо развитой [2-5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 27, 62, 64, 67-69, 78, 84, 85, 92, 96-99]. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя, что объясняется следующими обстоятельствами.

Во-первых, интерес к нелинейным колебаниям в распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия, когда стали широко использоваться генераторы с существенно распределенными параметрами (лазеры, мазеры, генераторы Ганна и т.п.).

Во-вторых, развитие теории колебаний автогенераторов с распределенными параметрами сталкивается с определенными проблемами, которые вызваны большим разнообразием математических моделей, описывающих реальные устройства, а также математическими трудностями, связанными с решением уравнений с частными производными [60].

Существующие подходы и методы исследования распределенных систем, как правило, носят эвристический характер, что обусловлено трудностями анализа и желанием упростить решение задачи. Уже после постановки математической модели делаются определенные допущения. Например, в некоторых случаях в качестве порождающего решения используется конечный набор встречных волн с амплитудами и фазами, мало меняющимися в пределах временного и пространственного периодов [6, 81]. В других случаях решение представляется или в виде набора стоячих волн, параметры которых меняются во времени и пространстве, или в виде стоячих волн, пространственное распределение которых принимается таким, как в консервативной системе [28, 95]. И хотя такой путь исследования позволяет выявить важные свойства распределенных автогенераторов (возможность сложения мощностей активных элементов, условия устойчивости одночастотных и многочастотных колебаний), он не дает возможности глубже вникнуть в структуру автоколебательных движений изучаемых систем.

К настоящему времени наиболее полно изучена математическая модель автогенератора с RC-распределенными параметрами в цепи обратной связи [23, 34, 44, 46, 47, 52, 54, 66, 75]. Однако, ряд вопросов, связанных с неавтономными движениями в указанных генераторах, в настоящее время практически не изучен. К ним относится, например, возбуждение устойчивых автопараметрических колебаний при младших резонансах. Исчерпывающий анализ колебательных процессов для автогенераторов с LCRG-распределенными параметрами также пока не проведен, однако имеется ряд математических моделей и некоторые интересные результаты их исследования [1, 6, 11, 18, 20-22, 25-28, 30-33, 36-39, 40, 41, 44, 56, 59, 60, 70, 71, 79-83, 94, 95, 101]. Отметим, что здесь и в дальнейшем латинская аббревиатура в названии генератора (LCRG, RC, LCR) обозначает параметры цепи обратной связи, которые для данной системы являются существенно распределенными.

Одним из результатов, отражающих специфические особенности LCRG-автогенераторов и некоторых типов RC-генераторов, является следующий. При определенных условиях в распределенной системе существует набор устойчивых периодических колебаний, причем реализация любого из них определяется заданием начальных условий [1, 11, 21, 22, 25-28, 33, 34, 36-39, 41, 51, 59, 67, 79, 95]. Известно, что это явление присуще и некоторым автогенераторам с сосредоточенными элементами с числом степеней свободы п>2 [4, 10, 15, 16, 27, 51, 63, 64, 67, 79, 92, 97]. В дальнейшем описанный выше феномен будем называть многоцикличностью. Одними из первых работ, в которых так или иначе изучалась многоцикличность, являются классические работы А. А. Андронова [4], А. А. Витта [21, 22] , В. М. Бовшеверова [11], Г. С. Горелика [26], С. П. Стрелкова [85], К. Ф. Теодорчика [92] и др.

Обращение к изучению явления многоцикличности в данной работе обусловлено тем, что в настоящее время не исследован ряд важных вопросов, связанных с динамикой этого феномена при изменении основных параметров системы, а также переходных процессов, протекающих в ней при бифуркации автоколебаний. Во многом такая ситуация связана с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Вопрос о выборе модели, как правило, выходит за рамки теории колебаний, так как он касается адекватности отображения в теории реальной, объективно действующей системы [51]. Поскольку любая математическая модель является лишь некоторым приближенным описанием реальной системы, правильность выбора той или иной модели определяется результатами экспериментальной проверки теоретических выводов.

Отметим два существенных момента, связанных с явлением многоцикличности в автогенераторах. Для устройств, которые используются в качестве задающих генераторов, генераторов несущих частот, источников тактовых импульсов и т.п., многоцикличность является паразитным фактором. В этом случае требуется искать методы ее эффективного устранения. С другой стороны, режим много-цикличности можно использовать на практике [51, 95]. В дальнейшем для каждой изучаемой в данной работе автоколебательной системы определены условия возникновения и разрушения многоцик-личности, что является весьма существенным для проектирования реальных устройств.

В качестве объектов исследования в диссертации рассмотрен ряд схем LCRG(RC)-aBToreHepaTopoB (RC-генератор, подверженный внешнему гармоническому воздействию; LCRG-автогенератор с отрезком длинной линии в цепи обратной связи; LCR-распределенная система, которая слабо индуктивно взаимодействует с дополнительной «настроенной» линией, распределенный аналог генератора Ван-дер-Поля), и их математические модели. Выбор объектов исследования обусловлен широким практическим применением указанных типовых схем генераторов в самых различных устройствах и частотных диапазонах. Для всех рассмотренных автоколебательных систем предполагалось, что нелинейная характеристика их активного элемента в окрестности рабочей точки достаточно хорошо аппроксими

V/ Т\ V» руется полиномом третьей степени. В дальнейшем такая характеристика будет называться мягкой нелинейной.

Предмет исследования - автопараметрические колебания в RC-генераторах, стационарные режимы и переходные процессы при многоцикличности в LCRG - автогенераторах, автоколебания в LCR-системах, которые слабо индуктивно связаны с отрезками длинных линий, многоцикличность в распределенном генераторе Ван-дер-Поля.

Основная научно-техническая задача работы: анализ автономных и неавтономных колебательных движений в LCRG(RC)автогенераторах с распределенными параметрами путем исследования их математических моделей с применением модифицированных методов малого параметра (Андронова-Хопфа, Крылова - Боголюбова - Митропольского).

Научная новизна работы:

1. исследованы автопараметрические колебания в RC-генераторах с распределенными параметрами при различных резонансах, определены условия возбуждения устойчивых автопараметрических колебаний;

2. проанализированы переходные процессы в LCRG-автогенераторах при самовозбуждении на двух частотах, выявлены условия реализации в системе различных режимов автоколебаний;

3. построена математическая модель LCR-автогенератора при слабом индуктивном взаимодействии его цепи обратной связи с дополнительным отрезком длинной линии, исследованы автоколебания в данной системе;

4. исследован характер многоцикличности в распределенном аналоге автогенератора Ван-дер-Поля при различных параметрах системы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Результаты исследования параметров автономных и неавтономных колебаний в автогенераторе с однородной распределенной RC-структурой в цепи обратной связи при различных резонансах, условия устойчивости этих колебаний.

2. Результаты исследования стационарных автоколебательных режимов в математической модели LCRG - автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи при реализации явления многоцикличности. Результаты численного моделирования переходных процессов в указанном генераторе при его самовозбуждении на двух частотах, условия реализации различных автоколебательных режимов.

3. Математическая модель автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи при ее слабом индуктивном взаимодействии с дополнительной LCR-линией и результаты исследования автоколебательных режимов в этой модели.

4. Результаты математического моделирования автоколебательных режимов в распределенном аналоге генератора Ван-дер-Поля в двух частных случаях.

5. Результаты экспериментальной проверки теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах изучаемых автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.

Поставленные в диссертации задачи исследованы в четырех главах. В первой главе выведена краевая задача, которая является математической моделью RC-генератора при воздействии внешней гармонической силы на вход активного элемента. На основе модификации метода Андронова - Хопфа проведен расчет параметров автоколебаний. В случае основного резонанса (1:2) определены устойчивые автопараметрические колебания, рассчитаны их основные характеристики. В случае неосновных младших резонансов (1:1, 1:3) проанализированы оптимальные условия возбуждения устойчивых автопараметрических колебаний, определены их параметры. Отмечено, что в случае неосновных внешних параметрических резонансов оптимальные условия их возбуждения те же, что и для автопараметрических колебаний.

В главе 2 поставлена задача и изучены установившиеся автоколебательные режимы в LCRG-автогенераторе с идеальным усилителем и отрезком длинной линии в цепи обратной связи, когда активные распределенные потери малы и при этом таковы, что увеличение коэффициента усиления вызывает одновременное самовозбуждение нескольких собственных частот распределенной системы. На основе специального варианта метода Крылова - Боголюбова - Ми-тропольского проведен анализ изучаемой задачи, в результате которого установлен феномен многоцикличности, рассчитаны параметры автоколебаний. Определены условия, при которых устраняется мно-гоцикличность. В случае двух частот самовозбуждения исследованы переходные процессы при реализации явления многоцикличности в рассматриваемом генераторе. На основе численного анализа установлены закономерности реализации того или иного режима автоколебаний в зависимости от начальных условий. В последнем пункте второй главы применен специальный вариант метода Крылова - Боголюбова - Митропольского, позволивший исследовать автоколебания в LCR-системе, слабо индуктивно взаимодействующей с отрезком длинной линии. Проведен расчет основных характеристик реализуемых автоколебательных режимов.

В третьей главе изучены два частных случая математической модели распределенного аналога генератора Ван-дер-Поля (автогенератора с колебательным контуром в цепи обратной связи [5, 13]). Доказано наличие многоцикличности в случае малых активных потерь в распределенной LCR-линии, причем число реализуемых циклов равно двум. Показано, что увеличение сосредоточенных активных потерь в генераторе приводит к устранению многоцикличности и реализации единственного периодического колебания релаксационного типа.

Последняя, четвертая глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. Здесь описаны эксперименты по возбуждению устойчивых автопараметрических колебаний при младших резонансах, по обнаружению явления многоцикличности в LCRG-автогенераторах, по исследованию автоколебаний в LCR-системах с дополнительными линиями и распределенном аналоге генератора Ван-дер-Поля.

В заключение отметим, что материалы диссертации опубликованы в четырнадцати работах [24, 44, 45, 47-50, 66, 86-91]. Они обсуждались на научных семинарах кафедр радиофизики и математической кибернетики Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, кафедре электроники Воронежского государственного университета, а также докладывались:

1) На Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения», Москва, 1999 г.;

2) На Второй Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем», Ульяновск, 1999 г.;

3) На Международной молодежной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения», Москва, 2000 г.;

4) На VI Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2000 г;

5) На VII Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, ПГАТИ, 2001.

выводы, перечисленные в работе, соответствуют физике явлений и согласуются с экспериментальными данными. 7. Полученные в диссертации результаты предназначены для анализа процессов в существующих автоколебательных системах, содержащих элементы с распределенными параметрами, а также могут применяться при проектировании новых перспективных радиотехнических систем и устройств.

В заключение диссертационной работы приведем ее основные результаты и выводы:

1. Исследована математическая модель RC-генератора с однородным распределением параметров в цепи обратной связи и идеальным усилителем. Проанализированы оптимальные условия возбуждения автопараметрических колебаний в данной системе для случая основного (1:2) и неосновных младших резонансов (1:1, 1:3). В результате проведенного исследования выявлено следующее: a) доказано, что в случае основного резонанса автопараметрические колебания реализуются при оптимальных порядках s амплитуды и расстройки частоты; b) выявлено, что в случае неосновных младших резонансов оптимальные порядки амплитуды внешней силы и расстройки частоты соответственно равны л/е и s; с) показано, что возбуждение автопараметрических колебаний при всех резонансах возможно при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики.

2. Проведено исследование математической модели

LCRG-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, в результате которого: a) выявлена многоцикличность, возникающая в автогенераторе при самовозбуждении нескольких собственных частот и достаточно малых активных потерях в отрезке линии; b) выявлено усложнение многоцикличности (накапливание автоколебательных режимов) при расширении полосы пропускания усилительного каскада; c) показано устранение многоцикличности в случае, когда распределенные активные потери сравнимы с единицей.

3. Исследованы переходные процессы в LCRG-автогенераторе в случае его самовозбуждения на первых двух несущих частотах.

В результате проведенного анализа выявлено следующее: a) в генераторе реализуются автоколебания на основной частоте самовозбуждения, если начальные условия для них по величине не меньше начальных условий, задаваемых для второго автоколебания; b) в генераторе реализуются автоколебания на частоте ю2, если начальные условия для них по величине существенно больше начальных условий, имеющих место для основного автоколебания; c) в генераторе реализуются двухчастотные автоколебания, если начальные условия для обоих режимов одного порядка, однако величина их для второго колебания больше, чем для первого.

-984. Проанализированы автоколебания в сложной LCR-системе, состоящей из LCR-автогенератора с распределенными параметрами в цепи обратной связи, которая слабо индуктивно взаимодействует с отрезком дополнительной LCR-линии. В результате получены следующие результаты: a) построена новая математическая модель исследуемого устройства, в качестве которой выступает система двух уравнений гиперболического типа с нелинейными граничными условиями; b) доказано, что в случае дополнительной линии с замкнутыми концами в базовом генераторе устраняется многоцик-личность и реализуется единственное периодическое автоколебание, близкое к гармоническому;

5. Изучены автоколебания в распределенном аналоге автогенератора Ван-дер-Поля и получены следующие результаты: a) при малом затухании в LCR-линии в автогенераторе реализуется многоцикличность в качестве двух режимов автоколебаний: простого, близкого к гармоническому, и сложного, релаксационного, включающего несколько собственных частот самовозбуждения системы; b) увеличение сосредоточенных активных потерь в цепи обратной связи генератора разрушает многоцикличность и приводит к реализации только одного релаксационного автоколебания.

6. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на трех макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов в окрестности рабочей точки достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате было подтверждено, что все основные положения и

1. Азьян Ю.М., Мигулин В.В. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1, № 4. С. 418-427.

2. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. -М.: Наука, 1966.-351 с.

3. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. -М: Радио и связь, 1982.-280 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 122-134.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981.-568 с.

6. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. -М: ВИНИТИ, 1964.-295 с.

7. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Госиздат, ТТЛ, 1958.628 с.

8. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.-496 с.

9. Бирнбаум Дж. Оптические квантовые генераторы. М: Советское радио, 1967.-359 с.

10. Блакьер О. Анализ нелинейных цепей. М.: Мир, 1969.-400 с.

11. Бовшеверов В.М. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // ЖТФ. 1936. Т. 6, № 9. С. 1480-1488.

12. Богачев В.М., Лысенко В.Г., Смольский С.М. Транзисторные генераторы и автодины. М.: МЭИ, 1993.-343 с.-10113. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.-503 с.

13. Брагинский В.Б., Митрофанов В.П., Панов В.И. Системы с малой диссипацией. М.: Наука, 1981.-144 с.

14. Бруевич А.Н. Асинхронные колебания в автогенераторе с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5, № 10. С. 451-468.

15. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Наука, 1969.-892 с.

16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.-384 с.

17. Вайнтштейн JI.A., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983.-288 с.

18. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний.- М.: Связьиздат, 1935.-289 с.

19. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн.- М.: Наука, 1979.-383 с.

20. Витт А.А. Распределенные автоколебательные системы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 144-159.

21. Витт А.А. К теории скрипичной структуры // ЖТФ. 1936. Т. 6. Вып. 9. С. 1459-1479.

22. Воробьев A.M., Камбулов В.Ф., Прудниченко А.С. Релаксационные колебания в RC-автогенераторах с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 12. С. 62-64.

23. Горелик Г.С. К теории запаздывающей обратной связи // ЖТФ. 1939. Т. 9. № 5. С. 450-466.

24. Горелик Г.С. Колебания и волны. -М.: Физматгиз, 1959.-572 с.

25. Дворников А.А., Огурцов В.И., Уткин Г.М. Стабильные генераторы с фильтрами на поверхностных акустических волнах. М.: Радио и связь, 1983.-136 с.

26. Екимов В.Д., Павлов К.М. Радиоприемные устройства. М.: Связь, 1975. - 480 с.

27. Камбулов В.Ф. Метод Фурье для одной нелинейной задачи гиперболического типа // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: Пяргале, 1976. Вып. 15. С. 19-23.

28. Камбулов В.Ф. Гармонические колебания в автогенераторе с LCRG-распределенными параметрами в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, № 11. С. 2321-2326.

29. Камбулов В.Ф. Параметрический резонанс в линии с LC-распределенными параметрами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 123-129.

30. Камбулов В.Ф. Теоретический и экспериментальный анализ явления буферности в длинной линии с туннельным диодом // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 11. С. 1575-1576.

31. Камбулов В.Ф. Бифуркация автоколебаний в одном RC-генераторе с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 10. С. 60-67.

32. Камбулов В. Ф. Число бифурцирующих автоколебаний в генераторах с LCRG-распределенными параметрами в цепи обратной связи // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1999. Т. 42, № 5. С. 41-48.

33. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О явлении буферности в одной резонансной гиперболической краевой задаче из радиофизики // Мат. сборник. 1995. Т. 186, № 7. С. 77-96.

34. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. Об одном модельном гиперболическом уравнении, возникающем в радиофизике // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 1. С. 93-102.

35. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О явлении буферности в длинной линии с туннельным диодом // ДАН. 1997. Т. 355, № 6. С. 744-746.

36. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Резонансность как источник релаксационных колебаний в нелинейном телеграфном уравнении // International Conference on Some Topics of Mathematics. Uzbekistan. Samarkand. October 13-17. 1996. C. 3435.

37. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Бифуркация пространственно неоднородных циклов у нелинейного волнового уравнения с малой диффузией // Труды ММО. 1997. Т. 59. С. 124-147.

38. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Теоретический и экспериментальный феномен буферности в длинной линии с туннельным диодом // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 5. С. 638-645.

39. Камбулов В. Ф., Колесов А. Ю., Розов Н. X. Существование и устойчивость быстро осциллирующих циклов у нелинейного телеграфного уравнения // Вычислительная математика и математическая физика. 1998. Т. 38, № 8. С. 1287-1300.

40. Камбулов В. Ф., Колесов А. Ю., Розов Н. X. О явлении высоко-модовой буферности в одной резонансной гиперболическойкраевой задаче из радиофизики // ДАН. 1999. Т. 366, № 5. С. 613-615.

41. Камбулов В. Ф., Нечаев Ю. Б., Тарасов С. А. Анализ автопараметрических колебаний в одной распределенной RC-системе в случае резонанса 1:3 // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. Т. 2, № 2. С. 40-42.

42. Камбулов В.Ф., Прудниченко А.С. Параметрические колебания в RC-автогенераторе с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 9. С. 29-36.

43. Камбулов В. Ф., Тарасов С. А. Автопараметрические колебания в RC-распределенном генераторе в случае резонанса 1:1 // Вестник Воронежского института МВД России. 1999. № 2. С. 81-83.

44. Камбулов В. Ф., Тарасов С. А., Федотов Н. Б., Чикин А. Н. Об одной модели автоколебательной системы с распределенными параметрами // Математическое моделирование. 2000. - № 12. - С. 27-34.

45. Камбулов В. Ф., Тарасов С. А., Чикин А. Н. О специфике возбуждения параметрических колебаний в RC-распределенном генераторе в случае неосновных резонансов // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2000. - Т. 43. - № 6. - С. 28-32.

46. Колесов Ю.С. Математическая теория RC-генераторов с распределенными параметрами в цепи обратной связи // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: Институт физики и математики АН Лит. ССР, 1971. Вып. 2.-68 с.

47. Колесов Ю.С. Бифуркация инвариантных торов параболических систем с малой диффузией // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 3. С. 121-136.

48. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979.-162 с.

49. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 10. С. 17781788.

50. Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979.-146 с.

51. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математический физики. -М.: Высшая школа, 1970.-710 с.

52. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. М.: АН СССР, 1949.-368 с.

53. Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. Вузов СССР. Радиофизика. 1982. Т. 25,№ 12. С. 1410-1428.

54. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.-320 с.61.