автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Аналитическое и численное исследование управляемых механических систем

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКИ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ПРАСОЛОВ Александр Витальевич

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЧЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ «ЕХАШЧЕСНЙХ СИСТЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях. ,(в отрасли физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Б.А.Ераов (Санкт-Петербург), доктор технических наук, профессор Бирюков В.й. (г.Москва),

доктор технических наук, профессор Дэгтерев В.Г. (г.Москва).

Ведущая организация: Санкт-Петербургский механический институт

Защита состоится олеуму ** 1992г., в • " часов

на заседании специализированного совета Д.063.57.33_по

защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физкко-иа-тематических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке С-ПбУ им. М.Горького (С-Пб, Университетская наб., д.7/9).

Автореферат разослан " Я Ъ " ОЕ/О^'Ь^ 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

Л.П.Жабко

ОЩаЯ характеристика работу

Актуальность темы. Применение систем автоматического управления техническими объектами в качестве основных своих этапов содержит математическое моделирование динамических процессов, построение законов управления и анализ функционирования системы. Одной из важных характеристик функционирования системы управления является устойчивость расчетных ретамов. Свойства!! устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову посвящено огромное количество работ. Исследовались динамические процес- • сы, описываемые линейным; и нелинейными дифференциальными уравнениям» , разностными и функциональными, сч^хгстическими и интегральными. Важное место в этом ряду занимают дифференциальные уравнения с последействием, к которым приводят математические модели управляемых процессов с запаздыванием в контуре управления. Классические результаты А.М.Ляпунова, опубликованные ровно 100 лет назад, применялись для систем с последействием такими учеными нашего времени как Р.Беллцансм, Л.Д.йдвкисоы, Л.З.Зльзгольцем, H.H. Красовсхим, Б.с.Разумихиным, В.И.Зубовым, в.м.Репиным, с.Н.Сима-новым, В.Б.Колмановским, В.Р.Носовым, Д.Ьато, Р.Драйвером и др. В общетеоретическом плаке ш.я получены критерии, распространявшие прямой метод Ляпунова на системы с последействием. в настоящее время актуальной является проблема конструктивного построения функций Ляпунова для различных конкретных систем.

В диссертации развиваются идеи прямого метода Ляпунова для систем с последействием на случай неустойчивости, а также формулируются новые подходы для разностных нелинейных систем.

В реальных ситуациях не всегда удается получить адекватную

математическую модель динамического процесса в виде системы дифференциальных или разностных уравнений. Это мовет быть в случаях, когда процесс недостаточно изучен или когда в поле зрения исследователя находится слишком много факторов, чтобы получить обозрицую систему. Возникает задача численного моделирования, т.е. по результатам наблвдения за процессом строится его математическая модель. Для решения указанной задачи могут быть использованы методы идентификации или адаптации. Следует отметить также теории реализации Р.Калмана, которая создавалась для линейных управляемых систем.

В диссертации предложено развитие численных методов математического моделирования.

Цель работы. Развитие прямого метода Ляпунова для систем с последействием, а именно, попытка получить обратимые теоремы прямого метода, в качестве критерия использующие поведение функций вдоль решений системы. Разработать численный метод моделирования динамического управляемого процеооа, позволяющий изменять модель, настраивая её на изменение условий протекания процесса.

Методы исследования. Решения указанных задач опирается на фундаментальные труды А.Ц.Ляпунова, Н.Н.Красовского, В.И.Зубова, Р.Калмана. Использован современный математический аппарат анализа, дифференциальных уравнений и алгебры.

Научная новизна. Первые теоремы об устойчивости по Ляцунову для систем с запаздыванием принадлежат Д.Э.Эльсгольцу (1954г.). Н.Н.Красовский и Б.С.Разумихин в 1956 г. получили самые сильные теоремы: Н.Н.Красовский - обратимую теорему об асимптотической устойчивости, использусвуо функционал, и Б.С.Разумихин - достаточные условия асимптотической устойчивости, использующие функции

Достаточные условия устойчивости с использованием функций и функционалов в различных модификациях получены Д.Като (1963г.) и Р.Драйвером (1963г.). Теоремы о неустойчивости с использованием функционалов в виде достаточных условий приведены С.Н.Шимановым (1960г.), а также Д.Като. Квадратичные функционалы Ляпунова предложил в 1965г. Ю.М.Репин. Теоремы сравнения для определения свойства устойчивости систем с последействием использовали Н.Л.Алексеевская и П.С.Громова в 1977г.

В более общем случае для произвольных метрических пространств устойчивость динамических процессов исследовалась В.И.Зубовым в 1957г. Им были установлены необходимые и достаточные критерии как устойчивости так и неустойчивости.

В диссертации получены обратимые теоремы о неустойчивости для систем с последействием, использупвие как функционалы так и функции Ляпунова. Приведен ряд модифицированных прямых теорем об устойчивости. Использована идея Е.С.Разумихина для исследования на устойчивость разностных систем.

Получен конструктивный критерий управляемости при запаздывании в контуре управления.

Предложен новый конструктивный алгоритм численного математического моделирования динамического процесса по результатам непосредственного наблюдения в дискретные моменты времени. Исследованы вопросы существования, устойчивости и адекватности моделирования.

Практическая ценность. Результаты в диссертации применены К конкретным задачам: управление вращательным движением космического аппарата и системы твердых тел, причем управление предполагалось непрерывным, релейным и импульсным. Разработанный численный метод моделирования иллюстрируется в работе задачами управления самона-

водящейся торпедой, управления подъемной винтокрылой платформой и управления горением в камере ЖРД. Вое эти задачи являются нелинейными и высокого порядка. Указанное применение иллюстрирует эффективность предлагаемых в диссертации методов и алгоритмов.

Результаты диссертации могут иметь широкое применение для исследования устойчивости 1:ли неустойчивости программных движений управляемых динамических процессов, когда модель процесса описывается системой дифференциальных уравнений с последействием.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на 1У Всесоюзной конференции по устойчивости движения (Иркутск, 1983г.), на школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990, 1991гг.), на всесоюзном семинаре по дифференциальным уравнениям (Еоронеж, 1990г.), на 1У Международной конференции "Проблемы комплексной автоматизации - 90" (Киев, 1990г.), на научных семинарах Ленинград-I

ского технологического института (каф. теоретической кибернетики, 1985г.), ЛГУ (каф. теории управления, 1990г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 21 научной работе.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 191 стрсни-це машинописного текста и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 106 наименований. Первая глава состоит из семи параграфов, вторая - тоже из семи параграфов.

содержание диссертации

Во введении обосновываются постановки задач, рассматриваемых в диссертации, дается краткий обзор исследований по указанной тематике, изучаются результаты диссертации.

Глава I. Анализ математических моделей механических систем с последействием.

' В §1 приведены основные этапы внедрения прямого метода Ляпунова для исследования систем с запаздыванием

где ]( - /I -мерный вектор, Р - /Ъ -мерный функционал, обладавший свойствами: р непрерывен по и удовлетворяет

условию Липшица по в полуцилиндре

**0, /п (2)

ЗД-ь Хл О) - {Ш, ¿ф-К, I]}, ШОП -

- бир IIЛ(£)И п>0. Не умаляя общности предположим также, что

. При этих предположениях решение задачи Коти с произвольной непрерывное начальной функцией из (2) существует, единственно и либо продолкимо для Ь & , либо пересекает боковую стенку полуцилиндра (21.

Приведены теоремы Л.Э.Эльсгольца об устойчивости, Н.Н.Красовс-кого о равномерной асимптотической устойчивости и теоремы Б.С.Ра-зумихина.

в

Проанализирована возможность доказать обратимые теоремы, об устойчивости.

$2 посвящен теоремам о неустойчивости кулевого решения системы (I). Оказывается ыокно получить обратимые теоремы как с функционалами так и с функциям, основываясь в доказательстве необходимости на одну оригинальнуо идею В.И.Зубова [ "Методы Ляпунова и их применение. 1957г. ] .

Теорема 2.1.* Нулевое решение системы (I) неустойчиво в широком смысле тогда и только тогда, когда существует функционал У((')) > обладающий свойствами: 1°. Он ограничен в области (2).

2°. Для лоб ого £ >0 существует момент и кривая Х*(-) такие, что ¿* >О ; |1Х*(-Л!'" < & ,

га\хч-))>о

3 . Производная в силу системы (I)

представима в виде

где солзё > о, IV * О

Теорема 2.4. Для того, чтобы нулевое решение системы (I) было неустойчиво в широком смысле, необходимо и достаточно существование функции V (¿, X) со следуощими свойствами: 1°. X) определена в полуцилиндре

¿*0, Ш<//. СЗ>

* Нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

2°. Она ограничена в (3) и при лчбом фиксированном £ О будет иметь место предельное равенство

«XII-о

3°. Для лобого & > О существует пара {¿* X* } така,,> что ¿">0, Г(КХ')>0.

4°. Полная'производная У(Ь,Х) в силу системы (I) имеет вид

о/

УЦХ)- М*,х,('))т,хи))+мги,х,и),

сИ

где функцг.оналы Л и IV определены вдоль всяких кусочно-непрерывных кривых ^ (') из обласи (2) и Л ограничен снизу положительным числом 0( , IV & О , когда кривые ^ (•) удовлетворяет неравенству:

е г а, у и)) .

В §3 рассмотрена нелинейная разностная система

= .....хкчл), (4)

при К' о, /, 2, ..., /92 з-У. £ £ . Для исследования

свойств устойчивости применена идея Б.С.Разумихина, что позволило уменьшить число переменных, по которым проверяется знако-опре-деленность первой разности.

Теорема 3.1. Если существует функция 7Г* У(Х) определенно положительная и такая, что разность I/(Хк , ... , X) = = У(ХК„)~ У(Х*)тпмгся неположительной функцией при произволь-

ннх X. и всяких X: , удовлетворяющих неравенству У

У(Х.)* У(Хт). ¿С[к-ък]

то кулевое решение (4) будет устойчиво по Ляпунову.

Теорема 3.2. Если еуиествует функция V~ У(Х) , определенно

положительная и такая, что разность 1/(Х*.....X*-*.) -

= ПХ*.<)- У(Х*) удовлетворяет неравенству V* (llX.ll) для всяких XI таких, что

Г(Х1)*/(У(Хх» «*". к-пксбк,

то нулевое решение системы (4) будет асимптотически устойчиво. Здесь СО = Со С■Ь) - определенно положительная функция скалярного аргумента, У - непрерывная монотонно возраставшая функция, удовлетворявшая неравенству

Эти результаты проиллюстрированы примерами, показывающими достаточную еффективность такого подхода.

В §4 аппарат прямого метода Ляпунова для систем с последействием применяется в задаче стабилизадаи вращательного движения твердого тела вокруг своего центра касс:

| 0ф у ш* 9ш = М, { 5 = ¿*00 (6)

где @ - тензор инерции твердого тела, и) - [ со,, СОх, ¿л)31 - вектор угловой скорости, М - момент управляющих сил,

5 = / } - единичный вектор, постоянный в инерци-

альвом пространстве.

Как известно (В.И.Зубов, 1970г.), линейный момент М = - CLCú* + В X.* S доставляет системе (5) условно асимптотически устойчивое относительное положение равновесия СО - Ог S = . Здесь = { 1, , *t-z t tj] - единичный вектор, постоянный в теле. Ставится задача: будет ли указанное положение равновесия оставаться притягивавшим, если вместо Mié) управление будет M(i-i) т.е. в контуре управления происходит временная задержка А >0 ,

С помощь» функции Ляцунова

Y (со, s, ) = jtoT0w + a (ó- lf-pi¿9(z*s) xf

и модификации теоремы Разумихина (теорема 1.4) удалось положительно ответить на поставленный вопрос. Кроме того получена оценка на величину запаздывания Л и на область притяжения изнутри.

Задачи управления вращательным движением твердого тела, рассмотренные в диссертации подробно исследовались многими авторами (например Е.Я. Смирнов "Некоторые задачи математической теории управления", 1981г.). Однако метод функций Ляцунова для нелинейной системы с запаздыванием, каковой будет система (5), применен впервые.

Система (б) является математической модельв для задачи одноосной ориентации. По указанному цути решается и задача трехоской ориентации, однако выкладки оказывается слишком громоздки!«.

В следующем параграфе рассматривается релейное управляющее воздействие с запаздыванием в контуре управления. Для линейной управляемой системы

X = JX * Sil (6)

требуется построить стабилизируввее управление ¿С = </(6) , где у = £ , если & >-£ , и </ = -1 , если С < £ , при О . Обратная связь формируется с запаздыванием

Я > О , Доказана Теорема 5.1. Если векторы ё, л в, ..., Г-'ё линейно независимы, то всегда можно подобрать вектор о/ и положительные числа И0 и такими, что решения системы (6) с управ-

лением а= у (с/гХ(¿-Л)) при А4 и £< из некоторой окрестной области 11X11 войдут внутрь

етой области за конечное время Т и там останутся при ¿>Т

Описанный способ стабилизации используется в нелинейном случае трехосной ориентации КА с запаздыванием с релейном управлении. Математическая модель записывается в параметрах Родрига-Гамильтона

6со * О)" Ои> = М ,

J = 2 (-¿о (7)

Д, = ~ 2 Л 7<х>.

Управяяоиий момент М выбирается в виде

М. = Л/.у1-ки).и-А)- 2kpq.it-к)] ,

где /1^-, К, р - некоторые положительные числа, а векторная переменная £ - . С поыопьв функции Ляпунова

Г-и/вш \лв\) + 2ршт&2

удалось установить, что управлявши момент М является стабилизируют.

Аналогично решается задача с импульсным управлением.

В {6 поставлена задача управления системой твердых тел. К такой задаче могут быть сведены случаи управления тяжелой плат— формой с мопощью нескольких маховиков или гироскопов, а также учет влияния нежестких или других колеблющихся элементов системы. В качестве метода решения предлагается дуть, основанный на теореме Коши о рагюкении в ряда по степеням

В качество примера приводится система, состоящая из двух твердых тел, которые можно интегрировать как тяжелый телескоп на КА. Решается задача быстрого поворота телесхопа в заданном направлении. Выписаны условия разрешимости и показано, как с любой степенью точности строить управление.

Первую главу завершает 57, в котором приводится конструктивный критерий возможности построения стабилизирующего управления специального вида для линейной стационарной системы (6):

и = C,TX(t-A)'CtrX(t-2A)+"' - С^ХИ-пЯ I

где /L у О - запаздывание, Ci - векторные коэффициенты.

Теорема 7.1. Если векторы ßf Jfß, ••• * J* 'S - линейно независимы и собственные числа матрицы Л удовлетворяют условию ßeJL < '/А , то всегда можно годоврать векторные коэффициенты Q (I = У, fl) так, чтобы система (б) была экспоненциально асимптотически устойчива.

Предложенный критерий очень прост, однако он уступает точному критерию, полученному В.Л.Харитоновым (Д.У. 1982, *4, с.723-724).

В параграфе рассмотрен один из способов вычисления коэффициентов , который иллюстрируется примером третьего порядка.

и

Глава П. Численные метода моделирования управляемых систем.

В начале главы обсуждается проблема моделирования динамических процессов, анализируется понятие экстраполяции, вводится понятие локальной математической модели.

В {9 решается обратная задача для линейной стационарной системы дифференциальных уравнений, т.е. приводится способ восстановления матрицы Л для системы х* л х по наблюдениям за Ха) в дискретные моменты времени Устанавливается общий вид матрицы Л , учитывающий все неоднозначности решения. Рассмотрена задача восстановления матрицы

Л по наблюдениям в произвольные моменты времени tк Решение этой задачи в виде конечных формул не получено, однако удалось выписать матричное и детерминантное равенства относительно Л , которые могут быть полезны при итеративных способах решения задачи. Исследована устойчивость процедуры восстановления матрицы Л по наблюдениям, а именно, если Л вычисляется с ошибкой, т.е. Л = Л+£В то "истинный" прогноз Xк*1 и "ошибочный" прогноз Xудовлетворяют оценке

где ^ =

II ВЦ еяр(лпх{№ П,ИВф.

Это содержание

теоремы 9.4.

Следующий $10 посвящен задаче восстановления линейной стау ционарной управляемой системы по дискретным каблсдениям за решением: пусть в моменты времени -¿^ - х= О, 1, п,а + 1г известно решение системы

при постоянном ненулевом векторе 7/ размерности /П. . Тогда вводя в рассмотрение У = X . Хг получим

.....уа.,к,уг.....глП (9)

Для матрицы £> имеем векторное равенство

ви^и^'^уих^ - емХк), ао)

о

которое специальным образом может быть приведено к матричному и разрешено относительно & , В случае скалярного I/ вектор & получается сразу из (10).

Форумы (9) и (10) восстанавливают систему (8) с точностьо до ветвей матричного логарифма (этот вопрос обсуждался в теореме 9.1).

Рассмотрим теперь произвольный динамический управляемый процесс, математическая модель которого неизвестна. Пусть наблюдению доступны все переменные X (£ ) в дискретные моменты времени с пегом Я- . Тогда систему (8) можно считать приближением математической модели, если Л и & построены по (9) и (10). Это лежит в основе следующего алгоритма локального моделирования процесса стабилизации:

1°. При фиксированных управлениях получаем (п *■ 2т -1) наблюдений Хк динамического процесса Х(£) »

2°. Вычисляем Л и $ по (9) и (10), вычисляем матрицу С. так, чтобы управление I/ - СХ было стабилизирующим для (8), вычисляем матрицу & из уравнения

3°. Управляем процессом с помощью управления IT- СХ пока верно неравенство

ХТе9Хе > Хетч GXiH

где - текущий момент наблвдения.

4°. Как только неравенство нарушилось строим следувиуо локальную модель, возвращаясь к цункту 1° алгоритма.

В параграфе приведены условия нормального функционирования алгоритма и доказана принципиальная теорема о возможности построения логарифма:

теорема 10.3. Рассмотрим динамический процесс, описываемый системой

X = FIX) (И)

где компоненты вектора F икевт Л- 2 непрерывных производных по всем X • Обозначим Ц0 = X(i),

Li=di^luo'"''Ln"= TTwt' x«a

Если Ja{L.tL„....Le4}liaie

все элементы матрицы [Х,,Хг, Х„}{Х0,Х<, .,.,ХЛ.,} -стремятся х цуло при Л О .

В параграфе II дается модификация алгоритма Б.Л.Хо в направлении локального моделирования динамических процессов с дискретным временем:

X• « FX * Ga Y = ИХ <12>

п и

Алгоритм Б.Л.Хо является частным случаем реализации Р.Кал-мана, т.е. получения тройки матриц (Р, С} Н) по выходам системы (12) при условии, что начальное состояние было ^левое, а управление - единственное и импульсное.

Для систем с одним входом предложен алгоритм стабидаэации произвольного динамического процесса с дискретным временем, основанный на соответствующей модификации формул алгоритма Б.Л.Хо. Обсуждается природа неоднозначности решения и способа её устранения. Указана возможность контроля адекватности математической модели реальному динамическому процессу.

Следующие §12 и §13 являются иллюстрирующими работоспособность численного моделирования управляемых динамических процессов. Первой рассмотрена двумерная задача о плоском движении самонаводящейся торпеды при неизвестных возмущениях.

Второй пример: управление винтокрылой подъемной платформой. Даже если рассматривать платформу как твердое тело, то ее движение описывается двенадцатью фазовыми переменными. В §13 показано как можно с помощью декомпозиции системы она может быть сведена к четырем различным контурам управления: два одномерных и два трехмерных. Для каждого из контуров может применяться алгоритм локального моделирования с отдельными датчиками и отдельными вычислениями. Такая схема управления позволяет гибко перестраивать блоки управления в зависимости от функционирования платформы, изменения погодных условий, различной загруженности (по весу и месту загрузки) и т.п. При этом полученный анализ позволяет иметь некоторую базовую математическую модель, соответствующую полету платформы без возмущений.

Завершает главу параграф, посвященный оригинальной матема-

тической,модели Л.Крокко,вписывающей динамику горения в камере жидкостного реактивного двигателя. Суть модели, содержащей, естественно, балансовые соотношения, заключается во введении специального уравнения для времени подготовки топлива к вступление в химическую реакцию (к горению). Это время подготовки tU) должно удовлетворять интегральному уравнению i

J F(p(s),T(s),Z(s))ds = Fo,

i-e(t)

где F - некоторая положительная функция своих аргументов,

, J~(s)t Z ) - физико-химические параметры в момент времени S в камере сгорания ЖРД, например, давление, температура и какие-либо ещё.

В работе была поставлена задача разработать конструктивный ' способ построения тахой функции F , чтобы математическая модель была адекратна протекающим процессам. Б результате исследования простейшей ситуации: однокомпонентное топливо, не учитывается система подачи, переменные не зависят от места в камере сгорания ч т.п., получен план численного эксперимента для вычисления функции F и доказаны утверждения о существовании и единственности решений соответствующих интегральных уравнений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ,ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩУ

1. Доказаны новые теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости систем с последействием, использующие функции Ляпунова.

2. Доказаш новые теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости нелинейных разностных систем.

3. Решена обратная задача для линейной стационарной системы дифференциальных уравнений.

4. Предложен новый способ построения математической модели управляемого динамического процесса в непрерывном и дискретном случаях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛВДУЩИХ РАБОТАХ:

1. Прасолов A.B. К ориентации заданного направления с помощью неосесимметричных маховиков.- Ыатем. сб. Сев.-Осетинского гос. ун-та, г.Орджоникидзе, 1976г.,вып.З, с.69-74.

2. Прасолов A.B. Об управлении твердым телом с помощью перераспределения масс.-Деп. ШИШ, »1260-77. Ред. :Вестн.ЛГУ,1977, №13.

3. Прасолов A.B. О трехосной стабилизации НА с помощью импульсной системы.-Космические исследования. 1979, Ж, с. 932-934.

4. Прасолов A.B. Об ориентации твердого тела с запаздыванием.-Сб.: Мат.методы систем управления, Л., 1981г., с.48-53.

5. Прасолов A.B. Обращение теоремы Шиманова о неустойчивости.-Вестн. ЛГУ, 1981, »I, с. II6-II7.

6. Прасолов A.B. Задача импульсной стабилизации с запаздыванием.-Космические исследования, 1981, №6, с. 937-941.

7. Прасолов A.B. О применении функций Ляпунова для исследования неустойчивости систем с последействием.- Вести. ЛГУ, 1981, №9, с. II6-II8.

8. Прасолов A.B. Достаточные условия управляемости при управлении специального вида с запаздыванием.- Диф.уравнения, 1982г., #4, с. 716-718.

9. Прасолов A.B. О применении функций Ляпунова спец. вида для систем с последействием.- Ыежвуз. сб.Л ГУ "Математическая теория управления техническими объектами", 1983, с.5-12.

Ю.Прасолов A.B. О математической модели ЖРД.- Сб."Управление динамическими системами". Вып.4, 1984г., с.259-267.

11.Прасолов A.B. Об устойчивости динамики КРД.-Вестник ЛГУ, 1983, »13, с.68-74.

12.Прасолов A.B. Признаки неустойчивости для систем с последей-

/

ствием.-Вестник ЛГУ, 1984, »I, с.37-42.

13.Набко А.П., Зубов Н.В., Прасолов A.B. Методы исследования систем с последействием.- Деп. ШНИТО, 1984, »2103-84 от 06.04.84, 239 стр.

14.Прасолов A.B. Обратная задача для линейной стационарной системы диф.уравнений.- Диф.уравнения, 1986, т.22, №3, с.430-434.

15.Прасолов A.B. Применение метода дифференциальной линеаризации для управления судном,- Сб. НТО им. акад. А.Н.Крылова, 1986г., вып.438, с. 21-23.

16.Прасолов A.B. О функциях Ляпунова для систем с последействием.-.Вестн. ЛГУ, 1988, »3, с. 108-109.

17.Прасолов A.B. О глобальном и локальном моделировании.- Сб."Управление, надежность, навигация", г.Саранск, 1990, с. 28-32.

18.Прасолов A.B. О построении локальных математических моделей управляемого процесса.- Сб."Академик В.В.Новокилов - ученый, педагог, гражданин". Под.ред.В.И.Зубова (Вопросы механики и процессов управления: вып.13). Изд-во Ленингр.ун-та, 1990, с.236-241.

19.Прасолов A.B. О локальной математической модели управляемого динамического процесса.-Труда 1У междунар.конф."ПКА-90",Киев,

1990, секция I, с. 79-84.

20. Прасолов A.B. Математические модели управления.-Л., Изд-во ЛГУ, 1991, 92 стр. -

21. Прасолов A.B. О применении теорем типа Разумкхина дляразност-ных систем.-Вестн.ЛГУ, 1991, вып.4, №22, стр.75-7б.