автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций

На правах рукописи

ТУКТАМЫШЕВ ВАДИМ САИТЗЯНОВИЧ

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЗАВИСИМОГО УПРАВЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ С ПОМОЩЬЮ СОБСТВЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

40Э5323

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

-6 ОКТ 2011

Пермь-2011

4855323

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор

Няшин Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Васин Рудольф Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Шардаков Игорь Николаевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Пермский

государственный национальный исследовательский университет» Пермь

Защита диссертации состоится 18 октября 2011 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд. 423 б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет».

Автореферат разослан « /£» их-сО^ТлЛ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Л.Н. Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание интеллектуальных систем, способных адаптироваться к изменениям внешних условий, инновационные разработки в области проектирования турбин, реактивных и ракетных двигателей, ядерных реакторов, конструкций, работающих в космосе (телескопы, платформы и т.д.), невозможны без знания методов вычисления и контролирования напряжённо-деформированного состояния (НДС) этих систем. Особенно важными для научно-технического прогресса являются задачи управления НДС.

В современной научной литературе одним из основных направлений в области решения задач управления НДС является исследование систем с наведёнными неупругими деформациями, которые необходимым образом корректируют НДС. При этом неупругими считаются температурные деформации (Т. Tauchert), пьезоэлектрические (Н. Irschik, Н. Tzou), деформации фазовых переходов в материалах с эффектом памяти формы (А. Baz), ростовые деформации и др. В рамках краевой задачи теории упругости такие деформации объединяются под общим термином собственные деформации (Н. Reissner, Т. Мига).

В работах венских и пермских ученых (Н. Irschik, F. Ziegler, Ю.И. Няшин, В.А. Лохов) предложены новые классы задач управления: 1) независимое управление напряжениями и 2) независимое управление полными деформациями. Первая задача подразумевает создание в теле заданного поля напряжений за счет собственной деформации, сохраняя деформацию системы, а вторая задача - создание заданных полных деформаций системы, не меняя напряжений. В частности, такие задачи актуальны в медицине, когда в роли собственных деформаций выступают ростовые деформации. Последнее особенно важно для молодых пациентов, где процессы роста проходят с большей интенсивностью. Целенаправленное управление ростовыми процессами у детей позволит исправлять патологии развития, такие как сколиоз, расщелина твердого нёба, сращивание переломов и т.д. В этих задачах особенно важно, чтобы ростовые деформации не вызывали напряжений.

Для изучения предложенных классов задач этими учёными был использован один из подходов к решению вопросов управления остаточными напряжениями при термоупругопластичности (A.A. Поздеев, Ю.И. Няшин, П.В. Трусов), основанный на применении метода ортогонального разложения гильбертовых пространств в задачах механики (Р. Rafalski, С.Г. Михлин, В.В. Стружанов). Исследования в данном направлении приводят к новому фундаментальному результату - доказательству теоремы о декомпозиции собственной деформации (F. Ziegler, Ю.И. Няшин, В.А. Лохов). Данная теорема утверждает, что любую собственную деформацию, существующую в теле, можно разложить на две составляющие: свободную от напряжений (т.е. не вызывающую напряжений в этом теле) и свободную от полных деформаций (не вызывающую полных деформаций в теле). Таким образом, теорема о декомпозиции является основным инструментом при решении задач независимого управления напряжениями и деформациями.

Однако для решения прикладных проблем, с использованием теоремы о декомпозиции необходима разработка численных алгоритмов решения задач независимого управления и их реализаций в виде комплексов проблемно-ориентированных программ. Необходимо также развитие методов

исследования ограничений, налагаемых природой собственной деформации или технологическими особенностями изготовления рассматриваемых конструкций. Поэтому выполнение описанных работ является актуальным и позволит эффективно применять теорему о декомпозиции для решения задач независимого управления НДС рассматриваемых систем.

Цель работы - разработка, обоснование и тестирование эффективных численных алгоритмов, позволяющих решать задачи независимого управления НДС в системах с собственными деформациями.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

• исследование общих свойств систем с собственными деформациями в сплошных телах и дискретизированных системах;

• разработка процедур поиска базисных элементов в подпространствах собственных деформаций;

• формулировка математических соотношений для учёта ограничений, налагаемых на распределение собственных деформаций в системе;

• разработка эффективных численных алгоритмов для решения задач независимого управления напряжениями и полными деформациями с помощью базисов различных подпространств собственных деформаций;

• тестирование разработанных вычислительных методов на ряде задач механики;

• реализация разработанных эффективных численных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению напряжениями и деформациями.

Научная новизна представленной работы заключается в следующем:

• даны постановки и разработаны численные алгоритмы для решения задач независимого управления напряжениями и полными деформациями с помощью собственных деформаций, в рамках которых применительно к дискретизированным системам предложены новые способы нахождения базисных элементов функциональных пространств собственных деформаций, а также сформулировано математическое соотношение, учитывающее ограничения, связанные с закономерностями распределения собственных деформаций;

• доказана теорема существования ненулевого решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций в дискретизированных системах;

• предложенные численные алгоритмы реализованы с помощью разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению НДС, применённый для решения задачи о вращающемся диске.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения построенных алгоритмов при решении инженерных и биомеханических задач, в которых необходимо

• проводить управление деформированным состоянием исследуемой системы без изменения её поля напряжений (обеспечение размеростабильности зеркал космических телескопов, исправление некоторых патологий развития у детей и т.д.);

• контролировать напряженное состояние без влияния на полные деформации системы (увеличение жёсткости стержневых конструкций путём наведения дополнительных собственных напряжений и т.д.).

Достоверность результатов подтверждается согласованностью результатов, полученных при тестировании разработанных алгоритмов и комплекса программ, с известными теоретическими и расчётными данными других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на III Студенческой научно-технической конференции «Компьютерная механика материалов и конструкций 2005» (Пермь, 2005); II Международной конференции «Современные проблемы механики и математики» (Львов, 2008); Международной научной конференции по механике «Пятые Поляховские чтения» (Санкт-Петербург, 2009); XVI и XVII Зимних школах-конференциях по механике сплошных сред (Пермь, 2009, 2011); IX Международном конгрессе по температурным напряжениям «Int. Congress on Thermal Stresses 2011» (Budapest, 2011).

Результаты диссертации в целом обсуждалась на научном семинаре в Институте механики МГУ (рук. д.ф-м.н., профессор P.A. Васин), а также на научных семинарах кафедр «Теоретическая механика» ПГТУ (рук. д.т.н., профессор Ю.И. Няшин), «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 12 печатных работах [1-12], из них три ([4, 8, 12]) в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615824.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 106 страниц, 27 рисунков. Библиографический список включает 74 источника.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность доценту кафедры «Теоретическая механика» Пермского национального исследовательского политехнического университета Валерию Александровичу Лохову за полезные обсуждения работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий литературный обзор, отражающий современное состояние вопросов исследования. Сделано заключение об актуальности темы диссертационной работы. Сформулированы цели и задачи работы, её новизна и практическая ценность. Представлена краткая аннотация содержания глав диссертации.

В первой главе рассматривается подход к исследованию свойств собственных деформаций, основанный на понятиях функционального анализа в гильбертовых пространствах. Суть этого подхода заключается в следующем.

Исследуемое тело занимает ограниченную область V трехмерного евклидова пространства Е3. Граница обозначена через Г {V -V и Г). Деформации считаются малыми и аддитивными. Тогда тензор малой деформации ё является суммой упругой ге и собственной в* деформаций

8 = Г + е\ xeV, где Г = С"'--ст, (1)

о - симметричный тензор напряжений, С - тензор упругих модулей.

В данной постановке предполагается, что собственную деформацию £* можно найти отдельно, используя соответствующие определяющие соотношения и решение отдельной краевой задачи.

Кроме соотношений (1) дифференциальная постановка краевой задачи содержит также уравнение равновесия (с учётом объёмных сил £)), геометрические соотношения Коши и граничные условия (на части границы Г„ заданы нулевые кинематические граничные условия, на части Гс задан вектор напряжений Р).

Однако дифференциальная постановка существенно сужает круг решаемых задач, так как требует существования соответствующих производных, и ограничивает возможность применения численных методов. Поэтому вводится обобщенная постановка задачи, где напряжения и деформации являются элементами функционального пространства Д •

Обобщенным решением задачи называется симметричный тензор а, который определяется обобщенным законом Гука

е = С--(ё(й)-ё'), (2)

где и е (Ж1 (У))3, и = 0, х е Го, и для которого имеет место соотношение:

\P-wdS- \Q-wdV = 0,4 н- = 0, ЗсбГ„. (3)

V Г„ V

Здесь Щ' - пространство Соболева функций, имеющих первую обобщенную производную и интегрируемых с квадратом вместе с производной. Деформации ё(и) и ё(и>) определяются геометрическими соотношениями Коши, где производные понимаются в обобщенном смысле. Значения перемещений й и № на границе вычисляются посредством оператора следа. В обобщенной постановке задачи считается, что Ре (Ь2(ГС))3, ()е(12(У))3, Ё* £ (¿2(V))6, компоненты С1]к1 (г, у, к,1 = 1,2,3) являются кусочно-непрерывными функциями координат.

Решение задачи в дифференциальной постановке является обобщенным, а также в случае достаточной гладкости напряжений - решение задачи в обобщенной постановке является решением задачи в дифференциальной постановке. Обобщенное решение существует и единственно.

Вводятся понятия собственной деформации, свободной от напряжений ё*, и собственной деформации, свободной от полных деформаций е'а. При этом для обобщённой постановки при отсутствии объёмных и поверхностных сил:

е1=с--(е1(й1)-е;)=о, хеУ, "1 = 0, хеГи.

02 =-<?•<, хеУ,

V _

П2 =0, £, =0, хе V.

2 "-2

Отметим, что эти задачи имеют неединственные решения и позволяют определить множества ё* и •

В рамках дальнейшего исследования свойств собственных деформаций рассматривается гильбертово пространство Н тензоров деформаций,

компоненты которых принадлежат функциональному пространству Ьг. Скалярное произведение в Н введено следующим образом

(А~В)н=\л,]Счк1Выс1У, (4)

V

а норма порождена скалярным произведением (4)

\\а\\н=/(А,А)н. (5)

Выражение (4) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения1.

Некоторый симметричный тензор /б Н принадлежит подпространству #„ (Я„сЯ), если существует вектор-функция (перемещение): ¿7е(7Г2'(Т))3> так что

7 = 0.5(Уи+йУ), ¿7 = 0, хеГи. (6)

Производные в соотношении (6) понимаются в обобщенном смысле, а значение функции й на границе Г„ определяется посредством оператора следа.

Физический смысл подпространства Ни заключается в том, что это пространство есть множество совместных деформаций, где соответствующие им перемещения м обращаются в нуль на неподвижных опорах.

Собственная деформация ё* принадлежит подпространству //„. И наоборот, если собственная деформация принадлежит подпространству Ни, то она является свободной от напряжений.

Подпространство Н„ собственных деформаций, свободных от полных деформаций, введено посредством условия, что полные деформации системы (1) равны нулю, тогда

хеУ, (7)

где напряжения а являются статически допустимыми при отсутствии внешних сил (уравновешенные напряжения)

_[а--ё(й)^К = 0, Vwe(^V2,(У))3, н>=0, хеГи. (8)

V

Множество собственных деформаций в (7) образует линейное подпространство На.

Введение функциональных подпространств позволяет сформулировать теорему о декомпозиции собственной деформации.

Теорема. Любая существующая в теле собственная деформация г'еН может быть единственным образом разложена на составляющую, свободную от напряжений, и составляющую, свободную от полных деформаций1,

г'=г1 + г-а, (9)

где ё* е Ни и г'ае На, причём ё', ±, т.е. (ё^,ё*) = 0. Доказаны существование и единственность такого разложения1.

Вторая глава посвящена алгоритмам нахождения базисных элементов подпространств собственных деформаций в дискретизированных системах.

Необходимость в базисных элементах возникает при выполнении декомпозиции собственной деформации и при решении задач управления.

Размерности подпространств //„ и На. Для определения количества базисных элементов вНииНа необходимо знать размерности соответствующих подпространств.

' Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain // ZAMM -Z. Angew. Math. Mech. - 2005. - Vol. 85, № 8. - P. 557-570.

Итак, рассматривается система из п конечных элементов (под термином «конечный элемент» будет пониматься стержень, работающий на растяжение-сжатие, треугольный симплекс-элемент, либо тетраэдр-элемент с линейной аппроксимацией перемещений), с некоторой схемой расположения опор, в декартовой системе координат. Система включает в себя пм узлов и пя реакций опор. Размерность пространства Я определяется количеством независимых компонент тензора собственной деформации, которые могут возникнуть в ансамбле конечных элементов: &\тН = п для стержневой системы; (ИтЯ = 3я для системы симплекс-элементов; (1ппЯ = 6я для системы тетраэдр-элементов. Размерность подпространства Ни определяется числом независимых вариантов приложения сил к узлам дискретизированной системы2, поэтому в плоской конечно-элементной системе сИтЯ„ =2пы -пя; в пространственной -(ЦтЯ„ =3пм -пк. Согласно теореме о декомпозиции, Я = Я„®Яа, значит, сПт//0=сПт//-с1[т//„=.у, 5 - степень статической неопределимости системы.

Базис подпространства Ни. Для получения базиса подпространства собственных деформаций, свободных от напряжений, необходимо поочерёдно прикладывать единичную силу к узлам системы конечных элементов . Деформации системы, вызванные такой силой, определяют базисный элемент Ни. Отсюда следует, что число линейно-независимых вариантов приложения единичной силы, с одной стороны, равно количеству базисных элементов в Я„, а с другой - равно количеству линейно-независимых полей перемещений. Последнее утверждение следует из линейной независимости строк и столбцов матрицы жёсткости конечно-элементой системы. Таким образом, для нахождения базисных элементов подпространства Ни вместо поочерёдного прикладывания единичной силы можно задавать единичное смещение незакреплённых узлов системы. При этом базисный элемент {л}, определяется с помощью матрицы [5] (глобальная форма матрицы градиентов):

{п\=[В\{и},=[В\, г = 1..сНтЯ„, (10)

где {и}, - вектор-столбец перемещений с единственным ненулевым элементом и,-= 1, соответствующим единичному смещению незакреплённого узла, [В\ -столбец матрицы [В]. Таким образом, базисный элемент {л},. - это столбец матрицы [В], соответствующий смещению и,= 1. Поочерёдное единичное смещение узлов системы вдоль координатных осей, с подстановкой в каждом случае соответствующих перемещений в соотношение (10), определяет все базисные элементы в подпространстве Я„.

Базис подпространства Я0. Согласно соотношению (7) собственные деформации, свободные от полных деформаций, должны соответствовать напряжениям, удовлетворяющим условию равновесия (8). Для дискретизированной системы это условие записывается в виде суммы:

{а• = £ ]с-гфуу/г = £ ¡({0уу>5еус/у< = 0, (11)

V г у е Vе

где Vе объём конечного элемента, {с}'" и {5в}е - вектор-столбцы напряжений и возможных деформаций элемента. В свою очередь,

{&}«=[Л]«{8и;}е, (12)

2 Nyashin Y., Kiryukhin V. Biological stresses in living tissues. The modeling and control problems // Russian Journal of Biomechanics. - 2002. - Vol. 6, № 3. - P. 13-31.

где [Б]'' - матрица градиентов элемента. Коэффициенты этой матрицы зависят от вида конечного элемента, используемого при дискретизации. {8и'}е -возможные узловые перемещения элемента.

В рассматриваемых видах конечных элементов напряжения и деформации являются постоянными по объёму элемента величинами, поэтому

|({оГ)г{&}^Г = ({аПг{&ГГ = ({Йуу}'У[М"{а}", где [р]' = ([В]')ТГ. (13)

у

Для системы конечных элементов:

/ст. ад = {8м^[р]{а} = 0. (14)

V е

Здесь {5ш} - глобальный вектор возможных узловых перемещений, {о} -вектор-столбец напряжений системы конечных элементов.

Формирование матрицы [0] схоже с формированием матрицы жёсткости ансамбля конечных элементов. Согласно определённому правилу эта матрица заполняется коэффициентами матриц градиентов отдельных элементов.

Итак, условие (11) переписывается в виде:

{5^}г[И{а} = 0. (15)

Так как соотношение (14) справедливо для любого {5^}, то:

[р]{о} = 0. (16)

Линейно независимые векторы {ст};- (/=1..5), удовлетворяющие (16), образуют нуль-пространство, или ядро матрицы [¡3]. Процедура отыскания нуль-пространства стандартна в матричной алгебре3.

Физический смысл элементов {с}, (/'= 1..з-) заключается в том, что они определяют линейно независимые поля статически допустимых напряжений.

Следует отметить, что процедура поиска нуль-пространства реализована в большинстве современных инженерно-вычислительных программных пакетов.

Подстановка найденных элементов {о}7 (/'= 1..л) в формулу (7) дает базисные элементы {\|/}, (/'= 1..я), в подпространстве На.

В третьей главе описаны численные алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций. Для этого вводится соотношение, учитывающее ограничения, налагаемые на распределение собственных деформаций.

В реально существующем теле распределение собственных деформаций не может быть создано произвольно. В данной работе предлагается следующая форма записи указанного ограничения:

Г(5) = ^вД,,е(5)еЯ?, (17)

где ^ей - заданные линейно-независимые тензоры деформаций, ак (к= \..К) -параметры управления, независящие от координат, К - размерность полученного линейного подпространства Щ (//^ с Я). К примеру, для температурных деформаций а\=ЬТ, (а - тензор коэффициентов

температурного расширения, ДТ - изменение температуры, отсчитываемое от некоторого состояния, в котором о = 0, ё = 0, й = 0)

Рассмотрим алгоритм независимого управления напряжениями.

3 Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984. - 318 с.

Пусть в системе требуется создать некоторое поле статически допустимых напряжений б0. Согласно теореме о декомпозиции собственной деформации

Ё»=-С-,--СТо, (1В)

В качестве целевой функции примем следующую величину

чЧё'-ё»^, (19)

где ё* - собственные деформации, которые можно создать в теле.

Условие отсутствия полных деформаций при управлении напряжениями:

ё'(в)еЯв. (20)

Таким образом, постановка задачи независимого управления напряжениями содержит целевую функцию , минимизируемую по параметрам ак (к = \..К):

¥=|ё'(в)-ё°|Г->ш1-(г), (21)

II 11/7

а также ограничения (17) и (20).

Схематически задачу независимого управления (17,20,21) можно изобразить в виде рисунков (рис. 1а,б), где функционал У является расстоянием между ё" и Щ, которое согласно (21) должно минимизироваться. Для выполнения условия (20) необходимо, чтобы подпространства Щ и На имели общие элементы кроме нулевого (например, так, как на рис. 1а (Я^сЯ,) или на рис. 16 ((#^п#0)£{0})). В первом случае решение задачи независимого управления будет достигнуто в точности. При пересечении же указанных подпространств требуемое поле напряжений не будет достигнуто, однако выполнение условия (20) обеспечивает отсутствие полных деформаций в системе. В случае, изображённом на рис.1 в, решением является ё* =0.

Рис. 1. Схематическое представление задачи независимого управления напряжениями.

Далее мы докажем теорему о существовании ненулевого решения задачи (21) с ограничениями (17,20).

Представим ограничение (20) в форме уравнения

1>А=1>Л ' * = <ИтЯв> (22)

|Ы 7=1

т.е. тензор собственной деформации ё* разложен по базису ^ в подпространстве //„, Ь; (/'= 1.л) - независящие от координат коэффициенты разложения. Определим коэффициенты в (22). Для этого скалярно умножим соотношение (22) на базисные элементы (¡/, (/= 1 ...у):

ММ = [1>]{й}. (23)

Отсюда следует:

{¿МГуГ'^М.где и=1-у, к=\..К.

Скалярное умножение уравнения (22) на (/ = 1..ЛГ) с последующей подстановкой коэффициентов Ъ] (у = 1...?) приводит к системе уравнений

[А]{а} = {0}, (24)

КхК Кх 1 Кх 1

Если определитель матрицы [А] не равен нулю, то система уравнений (24) имеет только тривиальное решение. Физически условие ёе^А^О означает, что при выполнении ограничения (17) нет возможности проводить независимое управление напряжениями. Если матрица [А] оказывается нулевой, то условие (20) выполняется для любых ак (к=\..К), т.е. Щ=Н.

В результате теорему существования можно сформулировать следующим образом: независимое управление напряжениями возможно только тогда, когда ёе1[А]=0. При этом множество линейно-независимых решений системы (24) образует нуль-пространство матрицы [А]:

[а] = [{а}„{а}2,...,{«},]■

Кхч Кх 1 Кх1 кх 1

Параметры управления ак (к=1..К) собственной деформации можно представить в виде линейной комбинации:

{а} = ед, + *2{а}2 +... + хя{а]ч = [«]{*}. (25)

Соотношение (17) с учётом (25) переписывается следующим образом

(26)

т=1 к=1

а задача (21) представляется в виде:

У-мпад.где Х = {Хх,Х2,...,Хч}Т. (27)

Раскрывая норму в (19), получаем следующее

У = |(Г - ) ■ ~С • (Г - ё° )йУ = (£,£)„ - 2(е ,ё° )н + ,ё® )„. (28)

V

Учитывая уравнение (25), перепишем (28) в матричном виде, предварительно отбросив слагаемое, независящее от параметров Хт (т = 1..ц)

т={хпа]{х}-2{Х}Ци},

где /=1 ..К, [□МаГет«], {ш}=[<х]г{Х}.

Используя условия минимума функционала У

^ = 0, Ы1.4, (29)

приходим к системе уравнений, определяющей решение задачи

[□]{Х}-{со} = {0}, {*}=[ДНш}. (30)

Используя соотношение (25), получаем решение управления (17,20, 21) {а} = [а]{Х} = [«][□]"' {ш}. (31)

Кх1 Кус/ qx\ Кхц дхц qx 1

Если то возможности независимого управления

напряжениями нет. Это означает, что оптимальные для задачи (21) параметры ак (к=\..К), не будут обеспечивать отсутствия полных деформаций. В этом

случае задача минимизации (21) будет решаться только при ограничении (17), так как условие (20) заранее не выполняется. Тем не менее, стремление собственных деформаций (17) к во-первых, обеспечивает приближение напряжений к а0, во-вторых, способствует уменьшению величины ё*, что, согласно теореме о декомпозиции, означает уменьшение полных деформаций. Схематически эту задачу можно представить в виде рисунка (рис. 1в), а её решение может быть найдено с помощью следующих рассуждений.

Учитывая выражение (17), перепишем (28) в матричном виде, предварительно отбросив слагаемое, независящее от параметров ак (к=\..К),

^ = МГШМ-2{Й}ГШ. (32)

Условия минимума функционала Ч* в этом случае имеют вид

^ = 0, 1 = \..К. (33)

оа,

Проводя рассуждения, аналогичные выводу соотношения (30), получаем:

К&м-Ш={0}. (34)

Решение системы уравнений (34) относительно параметров ак (к-\..К) дает решение задачи управления (21) при ограничении (20):

(35)

ЛГх1 КхК КХ1

Соотношение (35) может быть использовано также и для решения задач подобных тем, что представлены на рисунках 1а и 16. При этом для случая, когда ЩаНс (например, рис. 1а) условие (20) будет выполняться, и решение (31) будет совпадать с решением (35). Если Щ лишь пересекает /70 (например, рис. 16), то решения (31) и (35), вообще говоря, могут быть разными. Этот факт можно проиллюстрировать с помощью примера, изображённого на рис. 2.

г С точки зрения близости к

" требуемому полю напряжений, в такой

г-Д ситуации, решение (35) (§2 на рис. 2)

обладает преимуществом перед решением ^ 7*" (31) (ё* на рис.2). Если при управлении ^Ь^л^ч.**. 2 напряжениями необходимо сохранять

деформированное состояние системы, то /Нп решение (31) является предпочтительным.

Рис.2. Таким образом, решение задачи

независимого управления напряжениями с помощью собственных деформаций можно представить в виде алгоритма:

1. Дано: требуемые напряжения а0, элементы

2. Для рассматриваемой системы определяются базисные элементы у, 0=1..5) подпространства //с; собственные деформации, реализуемые в этой системе, записываются в форме (17).

3. Далее формируются матрицы [ГУ], [%] и [А].

4. Если условие (1е1[А]=0 выполняется, то

• производится поиск элементов нуль-пространства матрицы [А], определяются матрица [£2], векторы {%} и {со}; с помощью соотношения (31) находятся оптимальные параметры д* (к= 1 ..К).

• если условие с1е1[А]=0 не выполняется, то параметры (к=\..К) находятся с помощью соотношения (35).

Для решения задачи независимого управления деформациями разработан аналогичный алгоритм, вывод основных соотношений в котором осуществляется посредством базисных элементов подпространства Ни.

В этой же главе разработанные вычислительные алгоритмы тестируются с помощью ряда задач механики. Результаты проверки оказываются в хорошем соответствии с теоретическими и расчётными данными.

В четвёртой главе, в целях демонстрации работы алгоритма независимого управления напряжениями, решается следующая задача.

Однородный диск постоянной толщины с радиусом Я], выполненный из материала с эффектом памяти формы, имеет отверстие радиуса В процессе эксплуатации диск вращается с постоянной угловой скоростью со, при воздействии стационарного неоднородного температурного поля, вызванного

перепадом температур То- Т\ между внутренним и внешним контурами (рис. 3).

В целях повышения рабочих характеристик при помощи собственных деформаций требуется создать такие преднапряжения в диске, которые позволили 0) бы максимально снизить уровень эксплуатационных термоупругих напряжений и не оказывали бы влияния на первоначальные размеры диска.

Для решения данной задачи предварительно с помощью известных в литературе методов определяются: 1) эксплуатационные напряжения, возникающие в диске для плоско-напряжённого осесимметричного состояния4; 2) оптимальное поле собственных напряжений, необходимых для снижения эксплуатационных нагрузок (на основе работы5). На рис. 4 приведены графики распределения компонент тензора напряжений в диске при следующих данных6 Г0=100°С, Г] = 200 °С, =80 мм, Л, =240 мм, п = 10000 об/мин, 7= 4450 кг/м3 (плотность), Е = 75 ГПа (модуль упругости), V = 0.3 (коэффициент Пуассона), а = 11 х 10"6 (коэффициент температурного расширения).

а) б) в)

Рис. 4. Графики распределения компонент тензора напряжений (пунктирная линия -окружная компонента, сплошная - радиальная) в диске: а) эксплуатационные напряжения; б) оптимальное распределение собственных напряжений; в) суммарные напряжения.

4 Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей // Перевод с английского под ред. Ю.И. Няшина. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 912 с.

5 Farrahi G.H. Reconstruction of residual stresses in autofrettaged thick walled tubes from limited measurements // International Journal of Pressure Vessels and Piping. - 2009. - Vol. 89. - P. 777-784.

6 Nyashin Y., Shishlyaev V. Analytic creep durability of rotating uniform disks // International Journal of Rotating Machinery. - 1998. - Vol. 4, № 4. - P. 249-256.

Для создания необходимых собственных напряжений (рис. 46) предлагается создание составного диска, в каждой из частей которого за счёт поверхностного давления реализуется эффект памяти формы (рис. 5). Каждый элемент охлаждается под действием этого давления до температуры более низкой, чем конечная температура прямого мартенситного перехода Мр При этом в нем накапливаются собственные (фазовые) деформации.

Нагружение составных элементов

Охлаждение до температуры ниже M¡

0

Снятие нагрузки

Вставка элементов друг в друга

Нагрев до температуры выше А,

Б,Р

Рис. 5. Использование эффекта памяти формы в составном диске.

После снятия нагрузки упругие деформации исчезают, и элементы вставляются друг в друга без натяга. При нагревании составного диска до температуры более высокой, чем • конечная температура обратного мартенситного перехода А/, существующие собственные деформации исчезают, следовательно, составные части будут стремиться к восстановлению первоначальных размеров, что приведёт к появлению собственных напряжений.

На схеме, изображённой на рис. 5, <2 - это количество составных элементов, рп - давление на внутреннюю поверхность элемента с номером /, ра - давление на внешнюю поверхность того же элемента /=1..(Э-

В результате действия поверхностного давления в каждой из составных частей диска накапливается фазовая деформация, вычисляемая с помощью модели, описываемой Мовчаном7. Совокупность этих деформаций формирует элементы ^ (к= 1..20 (см. соотношение (17)), а соответствующие им давления являются искомыми параметрами управления. Построение базиса подпространства На и решение задачи независимого управления напряжениями производится для составного диска, дискретизированного симплекс-элементами. При этом исследуется различное число составных частей диска.

0.12 0.14 0.16 0.18 02 022 0 24 JOa 01 012 íu 016 0 13 0.2 0 22 024

г, м г, м

Рис. 6. Напряжённо-дефорхшрованное состояние в диске при управлении: а) распределение напряжений (пунктирная линия - требуемые окружные собственные напряжения, сплошная - радиальные (рис. 46), точками обозначены напряжения, получаемые при управлении); б) распределение полных деформаций (о - окружные деформации, А - радиальные).

7 Мовчан А.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1994. -№ 6. - С. 47-53.

В качестве результата решения задачи приводятся графики распределения напряжений и деформаций в диске (рис. 6), состоящем из десяти составных частей, собственные деформации в которых определяются соответствующими давлениями. Толщина сегментов в плоскости диска составляет 16 мм.

Рис. 6 показывает хорошее приближение напряжений, создаваемых при управлении, к требуемому полю напряжений, в то же время полные деформации в диске остаются достаточно малыми.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы:

1. Для систем, дискретизированных конечными элементами, разработаны новые алгоритмы нахождения базисных элементов в подпространствах собственных деформаций, свободных от напряжений и свободных от полных деформаций.

2. Предложено соотношение, позволяющее учесть закономерности распределения собственных деформаций в реально существующих телах. Данное соотношение является основным ограничением при независимом управлении напряжениями и полными деформациями. Даны постановки задач независимого управления напряжениями и деформациями посредством собственных деформаций.

3. Доказана теорема существования решения задач независимого управления при наличии ограничений.

4. Разработаны эффективные численные алгоритмы независимого управления напряжениями и полными деформациями. В зависимости от выполнения или невыполнения условий независимого управления эти алгоритмы определяют такое распределение собственных деформаций, которое позволяет достичь требуемое НДС, либо приблизиться к нему.

5. Разработанные численные алгоритмы реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению напряжениями и деформациями, в рамках которого решена задача об управлении напряжениями во вращающемся диске [13].

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Туктамышев B.C., Лохов В. А. Управление напряжениями и деформациями // Компьютерная механика материалов и конструкций -2005: III студен, науч.-техн. конф.: тез. докл. / Перм. гос. техн. ун-т, Пермь, 2005.-С. 23.

2. Туктамышев B.C., Лохов В.А. Метод независимого управления механическими напряжениями на основе теоремы о декомпозиции//Прикладная математика и механика: тез докл. науч.-техн. конф. студентов и молодых ученых / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. - С. 86-87.

3. Няшин Ю.И., Лохов В.А., Кучумов А.Г., Туктамышев B.C. Разработка методов математического моделирования и управления механическими и биомеханическими системами посредством собственных деформаций // Региональный конкурс РФФИ-Урал: результаты науч. исслед., получ. за 2007 г: сб. ст. - Пермь, 2008. - Ч. 1. - С. 98-101.

4. Туктамышев B.C., Лохов В.А. Метод независимого управления механическими напряжениями в деформируемых системах //

t/U

Механика композиционных материалов и конструкций. - 2008. - Т.14, № 2. - С. 269-281.

5. Лохов В.А., Няшии Ю.И., Кучумов А.Г., Туктамышев B.C. Управление напряжениями в биомеханике // Сучасш проблеми механики та математики: сб. трудов II Международной конференции «Современные проблемы механики и математики». Львов, 2008, - Том II. - С. 194-195.

6. Лохов В.А., Кучумов А.Г., Няшин Ю.И., Туктамышев B.C. Применение метода декомпозиции в задачах механики и биомеханики // Механика сплошных сред как основа современных технологий: XVI Зимняя школа по механике сплошных сред: тез. докл. - Уральское отделение РАН - Пермь, 2009. - С. 229.

7. Лохов В.А., Няшин Ю.И., Кучумов А.Г., Туктамышев B.C. Развитие метода декомпозиции в механике деформируемого твердого тела // V Поляховские чтения: международная научная конференция по механике: избр. тр. -СПб., 2009.-С. 172.

8. Лохов В.А., Няшин Ю.И., Туктамышев B.C. Развитие метода декомпозиции в механике деформируемого твердого тела // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Т.10, № 3. - С. 54-59.

9. Няшин Ю.И., Лохов В.А., Кучумов А.Г., Туктамышев B.C. Применение эффекта памяти формы в задачах биомеханики // Региональный конкурс РФФИ-Урал: результаты науч. исслед., получ. за 2007-2009 гг.: сб. ст. -Пермь; Екатеринбург, 2010. - 4.1. - С. 113-116.

10. Лохов В.А., Туктамышев B.C., Няшин Ю.И. Применение метода декомпозиции для решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред: тез. докл. - Уральское отделение РАН -Пермь,2011.-С. 200.

11. Lokhov V., Nyashin Y., Tuktamishev V., Ziegler F. Deformation-free stress control by thermal strain: application to rotating disk // Proc. IX International Congress on Thermal Stresses 2011, 5-9 June 2011, Budapest, Hungary. - CD-ROM, 2011,4 p.

12. Туктамышев B.C., Лохов B.A., Няшин Ю.И. Независимое управление напряжениями и деформациями в растущих живых тканях // Российский журнал биомеханики. -2011.- Т.15, № 2.-С. 69-76.

13. Туктамышев B.C. Программа по исследованию независимого управления напряжённо-деформированным состоянием в деформируемых твёрдых телах посредством собственных (неупругих) деформаций. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011615824 от

Подписано в печать 15.09.11. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №2118/2011.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Центра «Издательство ПГТУ» Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел.(342)219-80-33.

26.07.2011.

Введение.

Глава 1. Постановки задач с собственными деформациями.

Теорема о декомпозиции.

1.1 Дифференциальная постановка краевой задачи с собственными деформациями.

1.2 Обобщенная постановка краевой задачи с собственными деформациями.

1.3 Собственная деформация, свободная от напряжений и собственная деформация, свободная от полных деформаций.

1.4 Функциональные пространства собственных деформаций.

1.5 Теорема о декомпозиции собственной деформации.

Глава 2. Определение базисных элементов подпространств собственных деформаций в дискретизированных системах.

2.1 Базисные элементы в подпространстве собственных деформаций, свободных от полных деформаций.

2.2 Матрица градиентов конечно-элементной системы.

2.3 Базисные элементы в подпространстве собственных деформаций, свободных от напряжений.

2.4 Пример нахождения базисных элементов.

Глава 3. Алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями.

3.1 Распределение собственных деформаций.

3.2 Постановка задачи независимого управления напряжениями.

3.3 Теорема существования ненулевого решения задачи независимого управления напряжениями.

3.4 Алгоритм поиска решения задачи независимого управления напряжениями.

3.5 Независимое управление напряжениями с помощью базиса подпространства Ни.

3.6 Независимое управление полными деформациями.

3.7 Теорема существования ненулевого решения задачи независимого управления полными деформациями.

3.8 Алгоритм поиска решения задачи независимого управления полными деформациями.

3.9 Независимое управление полными деформациями с помощью базиса подпространства На.

3.10 Пример задачи независимого управления напряжениями.

3.11 Пример задачи независимого управления полными деформациями.

3.12 Тестовый пример.

Глава 4. Независимое управление напряжениями во вращающемся диске.

4.1 Постановка задачи.

Заключение.100

Список использованной литературы.101

Создание интеллектуальных систем, способных адаптироваться к изменениям внешних условий, инновационные разработки, в области проектирования турбин* реактивных н ракетных двигателей; ядериых реакторов* конструкций;, работающих в« космосе, невозможны* без. знания;методов^вычислениями контролирования напряжённог деформированного состояния этих систем. Особенно важными для научно-технического прогрессшявляютсягзадачиуправления»напряжённо-деформированным состоянием:

Исследования в области проектирования интеллектуальных структур * являются* актуальными, в. современной инженерной, научнош литературе, в:;, связи* с этим; происходит развитие теоретического фундамента для*; создания таких систем: Например; имеет местом огромный, интерес к- возможности! разработки телескопов и; антенн: большого диаметра при жестких, ограничениях на. точность, поверхности: Одними из самых .важных проблем в этой области; являются ¡ разработка и изготовление основного зеркала телескопа,, удерживающего геометрию» в установленных пределах. Аналогично; отражающая поверхность. микроволновых антенн должна поддерживаться в процессе; эксплуатации- В' достаточно- малых: пределах,, чтобы, удовлетворительно^ выполнять заданные функции*. Главными? факторами,, нарушающими' форму,, являются* постоянно; меняющиеся градиент температуры и силовая; нагрузка. Похожая^ проблема5, возникает при- эксплуатации: элементов платформы и других; как космических, .’так и-наземных устройств. ; : : : - .

Решением: таких комплексных проблем может служить, проектирование: интеллектуальных систем 11], которые могут адаптироваться к изменяющимся5внешним; воздействиям путём ; соответствующей корректировки своего напряжённого деформированного состояния: В качестве инструмента управления могут выступать температурные деформации, пьезоэлектрические деформации, деформации фазовых • переходов в материалах с эффектом памяти формы и др.

Первые фундаментальные постановки: задач- управления' в термоупругости при известном решении в напряжениях можно найти в монографиях [2, 3]. Наибольший интерес в них обращен к вопросу о нагреве, не создающем напряжений в теле. Мелан

Melan) и Паркус (.Parkus) пытались определить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять искомое температурное поле. Однако удалось им это сделать лишь для незакрепленных односвязных тел простой геометрии, поскольку авторы пытались найти решение прямой задачи в напряжениях аналитически1 и по нему установить свойства температурного поля. В более поздней работе [3] была сделана попытка установить свойства искомой температуры из свойств уравнений задачи термоупругости и было получено необходимое условие отсутствия температурных напряжений, но вновь в свободных телах. Рассматривалась классическая постановка, задачи несвязанной термоупругости: В других работах по термоупругости имеются лишь замечания по отсутствию напряжений в результате нагрева. В4 более поздних исследованиях теоретические изыскания в этой области продолжили Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler), получившие в своей работе [4] необходимое условие для температурного поля, не создающего напряжений в более общем случае. Итоги этих » исследований приведены в работах [5, 6].

Задачи достижения ненулевых напряжений в теле рассматривались в работах [7, 8]. Для решения таких проблем многие авторы вводят в решение интегральный функционал как целевую функцию (так называемый представительный индекс проблемы оптимального управления) и далее используются дифференциальные методы нелинейной оптимизации [2, 1,9, 10-13].

Вопросы управления деформациями вызвали больший интерес со стороны исследователей, поскольку данная тема вплотную примыкает к задачам проектирования. Действительно, поиск параметров модели по известным деформациям может вестись в направлении подбора свойств, материала, геометрии, топологии или в направлении определения оптимальных температурных воздействий [14, 15].

Управление напряжённо-деформированным состоянием посредством пьезоэлектрических деформаций в интеллектуальных структурах представляет собой-широкий круг исследований. Основными элементами в этих конструкциях являются пьезоэлектрические актюаторы и сенсоры, адаптирующие структуру к внешним воздействиям (например, изменениям температуры окружающей среды). Первые труды по изучению конструкций с пьезоэлементами посвящены управлению деформациями балок. В задачах, рассматриваемых авторами этих работ, минимизируются поперечные перемещения классических (эйлеровых) балок. Так, в работе Бэйли (.Bailey) производится оптимизация эффективных сил и моментов, возникающих при -пьезоэлектрических деформациях в консольно-закрепленной колеблющейся балке [16]. Позднее, в трудах Краули (Crawley) разрабатывается аналитическая модель для решения задач минимизации поперечных перемещений статически-нагруженных консолей. Предложенный автором метод позволяет предсказать оптимальное электрическое напряжение, подводимое к пьезоэлементам, а также необходимое место их расположения для балок, состоящих из различных материалов [17]. Дальнейшее развитие «пьезоуправления» приводит к изучению гашения вибраций композитных балок [18]. В работе [19] рассматриваются балочные конструкции, содержащие пьезокерамические слои на обеих поверхностях. Выводятся соотношения для вычисления эффективных усилий в этих слоях, необходимые при управлении деформациями таких конструкций. Представленная в работе модель, в дополнение к изгибающим моментам, позволяет учитывать ранее не рассматриваемые факторы, а именно, действие осевых и поперечных сил.

Многочисленные труды посвящены исследованию влияний пьезоэлектрических элементов на напряжённо-деформированное состояние пластин и оболочек. Фундаментальными в этой области являются работы Ли (Lee) [20,21], который впервые ввёл соотношения между электрическими и упругими величинами для пластин, подверженных различным видам нагружения (изгиб, кручение, растяжение-сжатие, сдвиг). Электромеханическая связь в адаптивных пьезоэлектрических оболочках рассмотрена в работе [22]. Хейлигером (Heyliger) и Сараваносом (Saravanos) развиты конечно-элементные модели для анализа НДС многослойных пластин и оболочек, содержащих пьезоэлектрические слои. Получены соотношения для определения электростатического потенциала в каждом из слоёв при статическом нагружении, а также при свободных колебаниях указанных систем [23,24]. Показана возможность воздействия на деформации и механические напряжения исследуемых структур.

Наибольшим потенциалом обладают исследования в области термопьезоэлектричества. Оболочки летательных и космических аппаратов, сооружения подвергающиеся перепадам температур испытывают существенные температурные нагрузки. В связи с этим, проектирование и внедрение «разумных структур» позволит избавится от нежелательных термических эффектов. .

Первые исследования влияния температурных полей на деформации пластин с пьезоэлектрическими слоями принадлежат Таучерту (Ta.uch.ert) [25]. При помощи численных расчётов, им было показано, что приложение электрического поля к слоям, содержащим пьезоэлектрический материал, позволяет существенно снизить уровень температурных деформаций пластин. В трудах Цзу (Тгои) показывается возможность управления температурными деформациями/напряжениями, а также механическими нагрузками в многослойных оболочках [26]. Управление производится посредством сил и моментов, которые возникают в пьезоэлектрической мембране. Этим же автором развита трёхмерная конечно-элементная модель для расчёта механических напряжений и деформаций в термически нагруженных многослойных пьезоэлектрических пластинах. Выведены соотношения для управления температурными воздействиями в данных системах [27]. Развитию исследований в области термопьезоэлектричества посвящена обзорная статья [28].

Более поздние публикации ориентированы на прикладные задачи. К примеру, в статьях [29,30] рассмотрены проблемы управления деформациями параболических антенн и конических секций ракет. Для поставленных задач найдены аналитические зависимости между необходимыми усилиями в пьезоэлектрических вставках и требуемым полем перемещений.

Основные результаты, достигнутые в истории создания и исследования моделей пьезоуправления, описаны в работе [31].

Большинство исследований в области эффекта памяти формы направлены на создание и совершенствование математических моделей описывающих процессы, происходящие при фазовых превращениях в материалах обладающих этим эффектом. Обзор существующих моделей приведён в работе [32]. Положительные результаты, достигнутые в этом направлении, определяют возрастающий интерес исследователей к изучению задач, связанных с практическим применением материалов с эффектом памяти формы в интеллектуальных структурах. Такими задачами являются увеличение жёсткости конструкций [33-36] и управление формой структур (композиционных оболочек, мембран и т.д.) [37-40]. Первый тип задач основан на управлении напряжениями в системе посредством деформаций фазовых переходов, создаваемых в элементах этой системы, обладающих эффектом памяти формы, второй - на управлении полными деформациями с помощью аналогичных воздействий.

Управление ростовыми деформациями актуально при лечении различных патологий у детей и взрослых. К примеру, в работе [41] оптимизирована процедура лечения расщелины твердого нёба у детей. Дано биомеханическое обоснование новой методики лечения, которая позволяет избежать операции по установке носовой корректировочной пластинки. Процессы роста и рассасывания костной ткани также ' можно понимать под ростовыми деформациями. Показано, что костная ткань обладает пьезоэлектрическими свойствами [42-44] и что есть возможность оказывать влияние на процессы перестройки костной ткани [45] и сращивания переломов.

С развитием исследований в указанных областях, было замечено, что все перечисленные виды деформаций имеют ряд общих особенностей, которые не зависят от природы их возникновения и в современной науке носят название- собственных деформаций (eigenstrain).

Термин «собственные деформации» впервые ввел Рейснер (Reissner) в 1931 году [46]. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1991 году Мура (Мига) [47] предложил более общее определение собственной деформации, принятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории это есть неупругие деформации любой природы. В этой же работе Мура предложил понятие собственной деформации, свободной от напряжений, т.е. собственной деформации, не вызывающей напряжений в системе. Позже в 2001 году Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler) [48] ввели понятие собственной деформации, свободной от полных деформаций, т.е. не создающей полной деформации в любой точке системы.

В рамках единого подхода к изучению свойств различных видов неупругих деформаций, объединяемых под термином «собственные деформации», в работах венских и пермских ученых [48,49] предложены новые классы задач управления: 1) независимое управление напряжениями и 2) независимое управление полными деформациями. Первая задача подразумевает создание в теле заданного поля напряжений за счет собственной деформации, сохраняя деформацию системы, а вторая задача - создание заданных полных деформаций системы, не меняя напряжений. Задачи независимого управления напряжениями могут возникнуть в исследованиях, когда при жёстких ограничениях, наложенных на геометрию конструкции, необходимо увеличить её жёсткость посредством наведения в этих конструкциях дополнительных напряжений с помощью собственных деформаций. Задачи независимого управления полными деформациями, как уже отмечалось ранее, могут быть актуальными при разработке размеростабильных зеркал телескопов и антенн, в которых помимо управления конфигурацией при постоянно меняющихся внешних воздействиях требуется сохранять напряжённое состояние. Такие задачи могут быть актуальными также и в медицине, когда в роли собственных деформаций выступают ростовые деформации. Это особенно важно для молодых пациентов, где процессы роста проходят с большей интенсивностью. Целенаправленное управление ростовыми процессами у детей позволит исправлять патологии развития, такие как сколиоз, расщелина твердого нёба, сращивание переломов и т.д. В этих задачах особенно важно, чтобы ростовые деформации не вызывали напряжений.

Для изучения предложенных классов задач этими учёными был использован один из подходов к решению вопросов управления остаточными напряжениями при термоупругопластичности [50], основанный на применении метода ортогонального разложения гильбертовых пространств в задачах механики [51-54]. Исследования в данном направлении приводят к новому фундаментальному результату - доказательству теоремы о декомпозиции собственной деформации [49]. Данная теорема утверждает, что любую собственную деформацию, существующую в теле, можно разложить на две составляющие: свободную от напряжений (т.е. не вызывающую напряжений в этом теле) и свободную от полных деформаций (не вызывающую полных деформаций в теле). Таким образом, теорема о декомпозиции является основным инструментом при решении задач независимого управления напряжениями и деформациями.

Однако для решения прикладных проблем, с использованием теоремы о декомпозиции необходима разработка численных алгоритмов решения задач независимого управления и их реализаций в виде комплексов проблемноориентированных программ. Необходимо также развитие методов исследования ограничений, налагаемых природой собственной деформации или технологическими особенностями изготовления рассматриваемых конструкций. Поэтому выполнение описанных работ является актуальным и позволит эффективно применять теорему о декомпозиции для решения задач независимого управления напряжённодеформированного состояния рассматриваемых систем.

Исходя из сказанного, в данной работе ставятся следующие задачи:

• исследование общих свойств систем с собственными деформациями в сплошных телах и дискретизированных системах;

• разработка процедур поиска базисных элементов в подпространствах собственных деформаций;

• формулировка математических соотношений для учёта ограничений, налагаемых на распределение собственных деформаций в системе;

• разработка эффективных численных алгоритмов для решения задач независимого управления напряжениями и полными деформациями с помощью базисов различных подпространств собственных деформаций;

• тестирование разработанных вычислительных методов на ряде задач механики с применением современных компьютерных технологий;

• реализация разработанных эффективных численных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению напряжениями и деформациями.

В первой главе рассматривается подход к исследованию свойств собственных деформаций, основанный на понятиях функционального анализа в гильбертовых пространствах. Приводятся дифференциальная и обобщённая постановки краевых задач теории упругости с собственными деформациями, а также теорема о декомпозиции собственной деформации.

Вторая глава посвящена алгоритмам нахождения базисных элементов функциональных подпространств собственных деформаций в дискретизированных системах. Построение базиса подпространства собственных деформаций, свободных от напряжений, осуществляется с использованием теоремы доказанной в работе [Кирюхин]. Построение базиса в подпространстве собственных деформаций, свободных от полных деформаций, происходит с помощью непосредственного использования условия принадлежности собственной деформаций этому подпространству.

В третьей главе представлены численные алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций. Для этого вначале главы рассматривается соотношение, учитывающее ограничения, налагаемые на распределение собственных деформаций. Формулируется теорема существования для задачи независимого управления напряжениями и независимого управления деформациями.

В четвёртой главе, в целях демонстрации работы алгоритма независимого управления напряжениями, решается задача об управлении напряжениями во вращающемся диске, подверженном неравномерному нагреву. В качестве собственных деформаций выбираются деформации фазовых переходов в материалах с эффектом памяти формы. V

1. Srinivasan А. К, Mcfarland D.M. Smart Structures: Analysis and Design. Cambridge University Press, 2001.

2. Parkus H. Thermo elasticity. 2nd ed., Vienna, New York, Springer-Verlag, 1976.

3. Мелан Э., Парку с Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. — М.: ФМГИЗ, 1958.

4. IrschikH., Heuer R., Ziegler Z. Static shape control of redundant beams and trusses by thermal strains without stress // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. — 1997.

5. Irschik H. A review on static and dynamic shape control of structures bypiezoelectric actuation // Engineering Structures. — Vol. 24, 2002. — P. 5-11.

6. Ziegler F. Eigenstrain controlled deformation- and stress state // European Journal of Mechanics. A/Solids. — Vol. 23, 2004. — P. 1- 13.

7. NodaN. Optimal heating problem for transient thermal stress in a thick plate // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 11, 1988. —P. 141-150.

8. Meric R.A. Finite element analysis of optimal heating of a slab with temperaturedependent thermal conductivity // Int. Journal of Heat Mass Transfer. —Vol. 22,1979.—P. 1347-1353.

9. ZieglerF., IrschikH. Thermal stress analysis based on Maysel's formula // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. —1997. — P. 120-188.

10. Cialkowski M.J., Grysa K.W. On a Certain Inverse Problem of Temperature and Thermal Stress Fields // Acta Mechanica. — Vol. 36, 1980.—P. 169-185.

11. Meric R.A. Coupled Optimization in Steady-State Thermoelasticity // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 8, 1985. — P. 333-347.

12. Григолюк Е.И., Подстрпгач Я.С., Бурак Я.И. . Оптимизация нагрева оболочек и пластин. — Киев: Наукова Думка, 1979.

13. Шаблий О.Н., Зарецкий В.И. Оптимальное управление напряженно-деформированного состояния в дисках // Прикладная механика. — Том 17, № 8, 1981.—с. 755-759.

14. Austin F., Rossi M.J., Nostrand W., Knowles K., Jameson A. Static shape control for adaptive wings // AIAA Journal. — Vol. 32, No. 9, 1994. — P. 1895-1901.

15. Bailey T., Hubbard J. Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of cantilever beam // Journal Guidance Control Dyn. — Vol. 8, 1985. — P. 605-611.

16. Crawley E., de Luis J. Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures // AIAA Journal. — Vol. 25, No. 10, 1987. — P. 1373-1385.

17. Baz A., Poh S. Performance of active control system with piezoelectric actuators // Journal Sound Vib. — Vol. 126, No. 2, 1988. — P. 327-343.

18. Im S., Atluri S.N. Effects of a piezo-actuator on a finitely deformed beam subject to general loading I I AIAA Journal. — Vol. 27, No. 17, 1989. — P. 1801-1807.

19. Lee C-K. and Moon F. C. Laminated piezopolymer plates for torsion and bending sensors and actuators // Journal Acoust Soc Am. — Vol. 85,. 1989. — P. 2432-2439.

20. Lee C-K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensors/actuators. Part I: Governing equations and reciprocal relationships // Journal Acoust Soc Am.—Vol. 87, 1990. —P. 1144-1158.

21. Tzou H., Zhong J. Adaptive piezoelectric shell structures: theory and experiments // Mechanical Systems and Signal Processing. — Vol. 4, 1993. —P. 307-319.

22. Heyliger P., Ramirez G., Saravanos D. Coupled discrete layer finite-element models for laminated piezoelectric plates // Commun Numer Methods Eng. — Vol. 10, 1994. —P. 971-981.

23. Heyliger P., Pei K,, Saravanos D. Layerwise mechanics and finite element model for laminated piezoelectric shells // AIAA Journal. — Vol. 34, No. 11, 1996. — P. 2353-2360.

24. Tauchert T. Piezothermoeiastic behavior of a laminated plate // Journal Thermal Stresses. —Vol. 15, No. 1, 1992. — P. 25-37.

25. Tzou H., Howard R. A piezothermoeiastic thin shell theory applied to active structures // Journal Vib Acoust. — Vol. 116, No. 3, 1994, — P. 295-302.

26. Tzou H., Ye R. Piezothermoelasticity and precision control of piezoelectric systems:Theory and finite element analysis // Journal Vib Acoust. — Vol. 116, No. 4, 1994. — P. 489-495.

27. Tauchert Т., Ashida R, Noda N., Adali S., Verijenko V. Developments in thermopiezoelasticity with relevance to smart composite structures // Composite Structures. —Vol. 48, 2000. —P. 31-45.

28. Yue H., Deng Z., Tzou H. Optimal actuator locations and precision micro-controlactions on free paraboloidal membrane shells // Commun Nonlinear Sci Numer Simul. — Vol. 304, No. 3-5, 2007. — P 625-639. '

29. Chai W., Han Y., Higushi K., Tzou H. Micro-actuation characteristics of rocket conical shell sections // Journal Sound Vib. — Vol. 293, 2006. — P. 286-298.

30. Irschik H. A review on static and dynamic shape control of structures by piezoelectric actuation // Engineering Structures. — Vol. 24,2002. — P. 5-11.

31. Лохов B.A., Няшин Ю.И., Кучумов А.Г. Сплавы с памятью формы: применение в медицине. Обзор моделей, описывающих их поведение // Российский журнал биомеханики. — Том 11, № 1, 2007. — с. 9-27.

32. Ostachowicz W., Krawczuk М., Zak A. Dynamics and buckling of a multilayer composite plate with embedded SMA wires // Composite Structures. — Vol. 48, No. 1-3,2000. —P. 163-167.

33. Raghavan J., Bartkiewicz Т., Boyko S. Damping, tensile, and impact properties of superelastic shape memory alloy (SMA) fiber-reinforced polymer composites // Composites Part B: Engineering. — Vol. 41, No. 3,2010. — P. 214-222.

34. Lee H.J., Lee J.J., Huh J.S. A simulation study on the thermal buckling behavior of laminated composite shells with embedded shape memory alloy (SMA) wires // Composite Structures. —Vol. 47, No. 1-4, 1999. —P. 463-469.

35. Zheng Y.J., Cui L.S., Schrooten J. Basic design guidelines for SMA/epoxy smartcomposites // Materials Science and Engineering: A. — Vol. 390, No. 1-2, 2005. — P. 139-143. •

36. Yang K., Gu C.L. Modelling, simulation and experiments of novel planar bending embedded SMA actuators // Mechatronics. — Vol. 18, No. 7, 2008, — P. 323-329.

37. Shameli E., Alasty A., Salaarieh H. Stability analysis and nonlinear control of a miniature shape memory alloy actuator for precise applications // Mechatronics. — Vol. 15, No. 4, 2005. — P. 471-486.

38. Romano R., Tannuri E.A. Modeling, control and experimental validation of a novel actuator based on shape memory alloys // Mechatronics. — Vol. 19, No. 7, 2009. — P. 1169-1177.

39. Choi S., Lee J.J., Seo D.C., Choi S.W. The active buckling control of laminated composite beams with embedded shape memory alloy wires // Composite Structures. —Vol. 47, No. 1-4, 1999. —P. 679-686.

40. Fukada E., Yasuda I. On the piezoelectric effect of bone // Journal of the Physical Society of Japan.—Vol. 12, No. 10, 1957. —P. 1158-1162.

41. Fukada E., Yasuda I. Piezoelectric effects in collagen // Japanese Journal of Applied Physics.—Vol. 3,No. 2, 1964,—P. 117-121.

42. Shamos М. H., Lavine L. S. Piezoelectricity as a fundamental property of biological tissues //Nature. —1967. —P. 267-269.

43. GjelsvikA. Bone remodeling and piezoelectricity -111 Journal of Biomechanics. — Vol. 6, 1973 —P. 69-77.

44. Reissner H. Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen'// ZAMM. — Vol. 11, 1931. —P.l-8.

45. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1987.

46. IrschikH., Ziegler F. Eigenstrain without stress and static shape control of structures // AIAA Journal. — Vol. 39, No. 10,2001. — P. 1985-1990.

47. Nyashin Y, Lokhov V, Ziegler F. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — Vol. 85, No. 8. 2005. — P. 557-570.

48. Поздеев A.A., Нягиин. Ю.И, Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. — М.: Наука, 1982.

49. Zaremba S. Sur le principle de’minimum // Bull, intern. l’Acad. d. Sciences de Cracovie. Cl. des sciences math, et natur. —No. 7, 1909. —P. 197-204.

50. Михлш С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1979.

51. Rafalski P. Orthogonal projection method. II. Thermoelastic problem // Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences. Série des sciences techniques. — Vol. 17, No 2, 1969. —P. 69-74.

52. Соколов А.Г, Стружанов B.B. Об одной задаче оптимизации напряженного состояния в упругом теле // Прикладная математика и механика. — Т. 65, №2. —С. 317-322.

53. Nyashin, Y.I., Kiryukhin, VY Biological stresses in living tissues. The modeling and control problems // Russian Journal of Biomechanics. •—■ Vol. 6, No. 3, 2002.P. 13-31.

54. Треногин B.A. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

55. Колмогоров А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

56. Дюво Г., Лионе Х-Л. Неравенства в механике и физике. —М.: Наука, 1980.

57. Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. Stress-free displacement control of structures // Acta Mechanica. — Vol. 175, 2005. — P. 45-56.

58. Yosida K. Functional Analysis. Springer Verlag, New York, 1965.

59. Lokhov V, Nyashin Y., Kiryukhin V, Ziegler F. Theorem of stress-free eigenstrain and Duhamel’s analogy // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. -Vol. 36, No. 3,2006. —P. 35-46.

60. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике // Под ред. Б.Е. Победри. — М.: Мир, 1971.

61. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.

62. Калин Б.А. Физическое материаловедение. — М: МИФИ, 2007.

63. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике // Под ред. А.В.Шубникова. — М.: Иностранная литература, 1952.

64. Демидов С.П. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1979.

65. Farrahi G.H. Reconstruction of residual stresses in autofrettaged thick walled tubes from limited measurements // International Journal of Pressure Vessels and Piping. — Vol. 89,2009. — P. 777-784.

66. Работное Ю. H. Механика деформируемого твердого тела — М.: Наука, 1988.

67. Ziegler F. Mechanics of Solids and Fluids, 2nd ed., New York, Springer, 1995 (Русский перевод: Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. — МоскваИжевск: РХД, 2002).

68. Cube la D. The research of technological parameters influence on the process of nitinol fabrication and plastic deformation // Metalurgija. — Vol. 45, No. 1, 2006.—P. 61-66.

69. Nyashin Y., Shishlyaev V. Analytic creep durability of rotating uniform disks // International Journal of Rotating Machinery. — Vol. 4, No. 4, 1998 P. 249-256.

70. Лесин B.B., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. — М: МАИ, 1995.

71. МовчанА.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. — № 6, 1994. —С. 47-53.