автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и управление ростом живых тканей

На правах рукописи

Долганова Ольга Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ РОСТОМ

ЖИВЫХ ТКАНЕЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

17 АПР 2214

Пермь - 2014

005547324

005547324

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пермском национальном исследовательском политехническом университете»

Научный руководитель:

Няшин Юрий Иванович,

доктор технических наук, профессор

доктор технических наук, профессор старший научный сотрудник лаборатории механики термопластов Института механики сплошных сред УрО РАН

Бауэр Светлана Михайловна, доктор физико-математических наук, профессор кафедры гидроупругости ФБГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»

Официальные оппоненты:

Скульский Олег Иванович,

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Национальный

Защита диссертации состоится 20 мая 2014 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд. 423 б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Пермского национального исследовательского политехнического университета (http://pstu.ru/)

Автореферат разослан « марта 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы: В настоящее время компьютерное моделирование нормальных и патологических процессов, происходящих в организме, находит все более широкое применение в медицинских исследованиях. Медицина представляет собой в значительной мере экспериментальную науку с богатейшим эмпирическим опытом воздействия на ход болезней различными средствами. Однако решение проблем, связанных, например, с прогнозированием протекания постлечебного периода или оценке эффективности ортопедических устройств путем экспериментального изучения зачастую неприемлемы. Для их исследования целесообразно использовать аппарат математического моделирования.

В детской ортопедии, связанной с исправлением врожденных патологий развития тканевых структур в растущем теле ребенка, первостепенными являются вопросы моделирования и управления ростом. Ортопедическое лечение основано на механическом воздействии ортопедических устройств на недоразвитые участки тела, подлежащие коррекции. Вследствие данного воздействия в ткани возникает адаптивный рост, чем достигается скорейшее исправление дефекта.

В России систематическое изучение и моделирование роста биологических тканей проводилось учеными еще с середины 80-х годов (Регирвр, 1985 г., Белоусов, 1987 г., Штейн, 2000 г.). Однако большинство моделей «перегружены» уравнениями настолько, что сложности, возникающие при идентификации параметров уравнений, не позволяют эффективно применять построенные модели к конкретным, имеющим биологическое содержание, задачам. В настоящее время решение конкретных медицинских проблем, связанных с моделированием ростовых процессов, затруднительно, главным образом - ввиду сложности практического определения параметров, описывающих состояние и поведение растущего тела. Впервые биомеханическая модель роста костной ткани человека была предложена в исследовании Масич1, проводимом ею совместно с врачами-ортопедами. В рамках данного исследования модель фрагментированного твердого нёба представлена как изотропно-растущая изгибаемая балка, подверженная действию механической силы. Для описания скорости ростовой деформации применена модель, учитывающая ростовую деформацию в зависимости от напряжений. Параметры, входящие в определяющие соотношения модели, определены экспериментально. В цитируемой работе управление ростом реализовано в упрощенном варианте. Других, более поздних работ, посвященных исследованию механических аспектов роста тканей человека, не найдено.

К настоящему времени для исправления врожденного несращения нёба у детей предложены новые, более эффективные модификации ортопедических устройств. Их конструкция позволяет создавать в костной ткани дополнительные

1 Масич А.Г. Математическое моделирование ортопедического лечения врожденной расщелины твердого нёба у детей: автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук. - Пермь, 2000. - 16 с.

растягивающие усилия и таким образом ускорять рост разобщенных нёбных

фрагментов в сторону сближения. Биомеханическое обоснование конструкции

современного ортопедического аппарата изложено в единственной работе по 2

медицине , в которой представлена упрощенная математическая модель системы ортопедический аппарат - костное нёбо пациента раннего возраста. Усилия, создаваемые моделируемым устройством, подбираются так, чтобы максимально сблизить разобщенные нёбные кости без повреждений ткани. Однако в модели не учитываются ростовые свойства материала, и сближение разобщенных нёбных фрагментов осуществляется исключительно за счет их растяжения. Между тем, в рассматриваемой области ортопедии остается множество проблем, связанных с отсутствием научно-обоснованных стандартов лечения, которые определяли бы для каждого пациента индивидуально величину и способ дозирования нагрузки, создаваемой ортопедическим аппаратом.

С позиции механики данная медицинская проблема может быть представлена и решена как задача управления напряженно-деформированным состоянием системы путем создания в ней заданных полных деформаций без изменения существующих полей напряжений, поскольку наведенные остаточные напряжения могут оказать негативное влияние на небные фрагменты после снятия ортодонтического аппарата и завершения лечения. Сохранение поля напряжений позволит исключить возникновение остаточных напряжений и, как показано далее, существенно упростить процедуру решения задачи о моделировании ростовой деформации. Подход к решению данного класса задач управления изложен в работе3. Таким образом, исследование, направленное на разработку новой математической модели, позволяющей вычислять параметры управления ростовым процессом с учетом индивидуальных особенностей растущего тела, является актуальным. В качестве индивидуальных особенностей выступают ростовые свойства материала и геометрия расчетной области.

Цель работы: разработка и реализация математической модели, которая позволяет прогнозировать рост и определять параметры, управляющие ростовыми деформациями в биологических системах. С использованием модели требуется определить параметры силовых воздействий (как функции времени), позволяющие получить требуемую форму тела за счет накопленных ростовых деформаций.

Цель исследования предполагает решение следующих задач:

1. Постановка и решение задачи математического моделирования ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле.

Егорова М.В. Ортодош ическое лечение детей раннего возраста с односторонней расщелиной верхней губы и нёба с использованием в аппарате устройства из металла с памятью формы: автореф. дис. ... канд. мед. наук - М., 2011. - 22 с.

Туктамышев B.C., Лохов В.А., Няпшн Ю.И. Исследование методики независимого управления полными деформациями посредством собственных деформаций в дискретизированных системах // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4, № 3 - С. 110-119.

2. Формулировка задачи управления ростовыми деформациями в изотропном линейно-упругом теле.

3. Разработка, обоснование и тестирование математического алгоритма для решения задачи независимого управления (без изменения напряжений в системе) деформированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации.

4. Проведение вычислительных экспериментов для определения оптимального режима воздействия ортопедического устройства на костную ткань с целью создания в ней адаптивного роста при лечении врожденного несращения твердого нёба у детей.

Методы исследований основаны на совместном применении методов математического моделирования и вычислительной механики деформируемого твердого тела. Для написания математических алгоритмов использованы программные среды С++ и МАТЬАВ, редактирование расчетной области выполнено в графическом модуле программного комплекса БоММ'огкз, численные эксперименты реализованы в конечно-элементном комплексе А^УБ.

Научная новизна:

1. Предложена новая математическая модель растущего биологического тела, построенная на основе механической модели роста, с учетом возможности управления деформированным состоянием исследуемой системы в процессе ее роста.

2. Определены количественные и качественные характеристики параметров управления ростовыми деформациями, позволяющие придавать телу заранее заданную форму, не меняя напряжений.

3. Предложена методика биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения пациентов раннего возраста (до трех лет) с врожденным несращением нёба. Методика позволяет на базе математического моделирования процесса находить рациональные режимы воздействия ортопедического устройства на костную ткань фрагментированного костного нёба.

На защиту выносятся:

1. Постановка задачи математического моделирования ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле и алгоритм её решения.

2. Результаты численных экспериментов по расчету ростовой деформации.

3. Постановка и результаты решения задачи управления ростовыми деформациями в изотропном линейно-упругом теле.

4. Математический алгоритм и результаты вычисления с его помощью оптимального управляющего воздействия на ростовую деформацию.

5. Проблемно-ориентированный программный комплекс, позволяющий в рамках разработанной методики биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения пациентов с врожденным несращением нёба,

планировать продолжительность воздействия ортопедического аппарата на разобщенные нёбные фрагменты с целью их сближения, формулировать параметры индивидуальной настройки ортопедического устройства (размеры, конфигурация, механические свойства), визуализировать результаты лечения до его начала.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения построенного алгоритма управления при решении биомеханических задач, в которых необходимо проводить управление деформированным состоянием исследуемой системы без изменения её поля напряжений. Методика биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения детей с врожденной расщелиной нёба может быть использована в клинической практике при планировании лечения таких пациентов. Это позволит визуализировать результаты лечения до его начала, сократить сроки лечения и улучшить качество оказания медицинских услуг.

Достоверность результатов подтверждается удовлетворительным соответствием результатов, полученных с использованием разработанной математической модели, известным клиническим данным о продолжительности ортопедического лечения и величине усилий, создаваемых ортопедическим аппаратом.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXI и XXII Всероссийских школах-конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2012, 2013 г.), на научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (Пермь, 2012 г.), на научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Междисциплинарные исследования» (Пермь, 2013 г.), на XXV международной инновационно-ориентированной конференции молодых ученых и студентов (Москва, 2013 г.). Полностью работа доложена и обсуждена на научных семинарах кафедр «Теоретическая механика» ПНИПУ (рук. д.т.н., профессор Ю.И. Няшин), «Математическое моделирование систем и процессов» ПНИПУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), Института механики сплошных сред УрОРАН (рук. академик РАН В.П. Матвеенко). Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31404 мол_а) и фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере по программе «У.М.Н.И.К.».

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 16 печатных работах, из них четыре в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК и одна в журнале, индексируемом в SCOPUS. Получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2013617410 «Оптимальное усилие» и № 2014611279 «Расчет ростовой деформации».

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 126 страниц, 55 рисунков. Библиографический список включает 167 источников.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Изложено обоснование актуальности темы диссертационной работы. Сформулированы цели и задачи работы, её новизна и практическая ценность. Приведен краткий литературный обзор, отражающий современное состояние вопросов исследования. Ввиду разнообразия задач механики растущих тел и очевидного отличия математических моделей роста живых тканей от моделей механики растущих тел, во введении представлена классификация ростовых процессов, которая позволяет выделить область исследований, затрагиваемую в настоящей работе. Представлена краткая аннотация содержания глав диссертации.

В первой главе проанализировано понятие биологического роста. На микроуровне механизм роста живых тканей связан с делением и увеличением числа клеток, увеличением размеров клеток и массы. Изучением механизмов роста на уровне клеток занимаются отдельные науки - биология, механобиология. На макроуровне в процессе роста наблюдается увеличение линейных размеров тела вследствие вышеуказанных процессов. Из анализа литературных данных автором предложена следующая классификация моделей роста живой ткани: модели, основанные на гипотезе о влиянии на рост ткани внутриклеточного давления, которое зависит от объема жидкости, поступающего в клетку (Lockhart, 1965 г.); модели многофазных сред, так называемые «mixture theory», в которых растущая среда представлена как многофазная дисперсная система, рост которой обусловлен транспортом жидкости из одной фазы в другую (Ambrosi, 2008 г., Штейн, 2011 г.); модели роста мягких тканей, основанные на гипотезе о влиянии остаточных напряжений на рост как стимулирующего фактора (ТаЪег, 1996 г., Rodriguez, 1994 г.); механические модели, связывающие, известную из наблюдений и экспериментов зависимость скорости роста от механических сил, прилагаемых к телу и «ростовых» свойств ткани (Hsu, 1968 г., Штейн, 1995 г.). Принципиальные проблемы, возникающие при построении моделей растущих сред, связаны с экспериментальным определением параметров, используемых для описания ростового процесса конкретного биологического материала. Для механической модели роста4 принятой в данной работе, параметры определяющего соотношения определены в исследовании1 и выражение для скорости ростовой деформации имеет вид:

^ =A + B--o,reK, (1)

4 Stein A. A. The deformation of a rod of growing biological material under longitudinal compression // Journal Applied Math and Mechanics. - 1995. - V. 59, № 1. - P. 139-146.

А - тензор врожденного (генетического) роста, В - тензор, отражающий влияние напряжений на деформацию роста, а - тензор макронапряжений, V- область, занимаемая телом.

В исследовании1 принято упрощающее допущение об изотропии материала и роста. В возрасте до трех лет костная ткань ребенка не имеет упорядоченной трабекулярной структуры и может быть рассмотрена как изотропный линейно-упругий растущий материал. Тогда тензоры в выражении (1) являются изотропными, и их компоненты не зависят от поворота или отражения координатных осей. Данное предположение позволило заменить тензоры в (1) на скалярные величины и определить их экспериментально, т.е.:

= AI + Bo,reV, (2)

где А и В - параметры материала.

Ростовая деформация sg, получаемая интегрированием тензора деформации скорости (2), характеризует изменение конфигурации тела, вызванное

процессами роста, и может быть рассмотрена как один из видов собственной деформации5. Согласно гипотезе Рейсснера (1931 г.) в геометрически линейном теле тензор полной деформации в любой точке тела может быть представлен в виде суммы тензора упругой деформации, находимого по закону Гука, и тензора собственной деформации. Под собственной деформацией понимается неупругая деформация любой природы (фазовая, температурная, ростовая, и т. д.). Данный термин широко используется в современной научной литературе. Использование такой концепции позволяет унифицировать подход к решению задачи управления независимо от природы собственной деформации. Тогда, в рамках малых деформаций, тензор полной деформации будет разложен на тензоры упругой г' и собственной деформаций ( 8 = е' + ss ).

Появление ростовой деформации в системе, вообще говоря, может изменить напряжения в системе. Напряжения, создаваемые собственной деформацией при отсутствии внешних сил, называют собственными напряжениями. Если тело свободно от опор, то собственные напряжения будут самоуравновешены, и тогда их называют остаточными напряжениями.

В большинстве исследований (Hsu, 1966 г., Lartyon, Magee, Baggott, 1979 г., Lubarda, Hoger, 2002 г., Tanaka, Adachi, 1994 г., Масич, 2000 г.), посвященных анализу законов роста костной ткани как функции напряжений и деформаций, отмечено, что поле деформации роста твердых тканей предполагает совместность, и поэтому свободно от напряжений. Недостатком формулы (2) является то, что она, позволяя описать изменение конфигурации тела, допускает возникновение собственных напряжений, что противоречит описанным экспериментальным

5 Мига Т. Micromechanics of Defects in Solids. Dordrecht, 1987. - 494 p.

8

результатам. Тогда для моделирования ростовых деформаций нужна модель, исключающая возникновение собственных напряжений в процессе роста. Для этого упрощение соотношения (1) сделано таким образом, чтобы тензор напряжений о был заменен тензором упругих деформаций е" , и определяющее соотношение для деформации скорости роста принято в виде (3):

где А, М = В / Е - константы, вычисленные в исследовании Масич1, Е - модуль упругости материала.

Формулировка (3), как будет показано далее, допускает возможность развития ростовых деформаций без изменения напряжений. Таким образом, рост характеризуется изменением объема и формы тела. Моделируемый растущий материал - ткань нёбной кости ребенка возрастом до трех лет. Для описания ростового поведения принята механическая модель (3). Параметры определяющего соотношения модели взяты из работы Масич1.

Во второй главе представлена дифференциальная постановка задачи ростового деформирования изотропного линейно-упругого биологического тела и предложен способ её решения методом конечных элементов в пакете АКБУБ. Показано, что приращение ростовой деформация за малое время Л, соответствующая формуле (3) может быть найдена как

Слагаемое Л1ск формально аналогично равномерному температурному нагреву, который не вызовет напряжений в теле при определенных граничных условиях. Что касается слагаемого М&еЛ, то в данном случае применима теорема6 о собственной деформации, вызванной механическими силами в линейно-упругом теле и потому, свободной от напряжений. Согласно указанной теореме тензор собственной деформации г* (г) является тензором собственной деформации, свободной от напряжений тогда и только тогда, когда существуют такие объемные силы Ь и поверхностные силы которые производят аналогичную деформацию е(г) = е*(г), геУ в линейно-упругом теле. Тогда слагаемое МееЛ также не изменит напряжения.

В результате, если внешние силы не меняются, то скорость ростовых деформаций постоянна. В таком случае интеграл по времени можно заменить произведением скорости ростовой деформации ^ на время Т, т.е. ростовая деформация может быть найдена по формуле (5):

=А\ + Мг',те.У,

(3)

%*<И = АМ + МгсП.

(4)

сг =А1Т + ТМге,геГ,

(5)

где Г - время лечения.

Няпшн Ю.И., Киргохш! В.Ю. Биологические напряжения в живых тканях. Вопросы моделирования и управления. -2002. - Т. 6, №3. - С. 13-32.

Таким образом, постановка краевой задачи имеет вид:

^ (8.5,8.8) (0,6.2)

(14.5,9.6)

г*=А\Т + МГге, г е К, Е=1(Уи + иУ), геУ,

V ■ а = О, г е К, £ = £* +Ег, г еР, а = С-£е, геУ,

(6)

(7)

(8) (9)

(12.3,3.3)

0(0,0) 1 мм \\

(3.6,-2.8)

п о = Г, ге5р,

(П) (12)

(13)

(14)

(10)

X, мм

Тху=0, ге5, и = 0, (х = у = 0).

Рисунок 1 Расчетная область

Для расчетной области, представленной на рисунке 1, уравнения (6-14 позволяют рассчитать накопление ростовой деформации, если известны усилия Ж на границе Бр. Как показано далее, на границе действует ортопедическая аппаратура и создает механические усилия в ткани, которые будут являться параметрами управления. Геометрические размеры области можно оценить по координатам точек. Ввиду своей малости размеры области представлены в мм. Свойства материала приняты согласно данным, приведенным в литературных источниках, и для костной ткани ребенка составляют: А = 9,64-Ю"9 с"1; М= 1,85-Ю'7 с"1, Е = 43,7 МПа, V = 0,35.

Поскольку в А^УБ нет встроенного инструмента моделирования роста, для вычисления накопленной ростовой деформации реализовывалась следующая последовательность действий: вначале решалась задача (6-14) в начальный момент времени (Т= 0), и вычислялись упругие деформации. Далее во внешнем алгоритме, реализованном на С++, вычислялись ростовые деформации по формуле (9). Затем формировалось начальное деформированное состояние согласно найденной ростовой деформации, и сетка расчетной области деформировалась в новое положение. Описанная процедура была опробована при решении тестовых задач, в которых получено изменение формы тела и показано отсутствие напряжений.

Третья глава посвящена исследованию проблемы ортопедического лечения врожденной расщелины нёба с помощью вычислительных экспериментов. Реабилитация пациентов с врожденным несращением нёба является важной проблемой восстановительной медицины. Данный порок влечет за собой множество функциональных нарушений и устраняется только хирургическим способом в раннем возрасте. Классические методики лечения позволяют восстановить

целостность структур челюстно-лицевой области, однако до 70%7 ранее оперированных нуждаются в сложных повторных операциях, что значительно затягивает их социальную и медицинскую реабилитацию. Ортопедическое лечение, проводимое пациентам раннего возраста в ходе курса реабилитации, нацелено на сближение разобщенных фрагментов нёба до хирургического вмешательства. Чем оно успешнее, тем ближе будут сведены разобщенные фрагменты нёба, и тем безопаснее будет операция по их сшиванию. Современная ортопедическая аппаратура делится на два типа: пассивная и активная. Пассивные ортопедические аппараты фиксируются в ротовой полости на клей и защищают разобщенное нёбо от воздействия языка, создавая тем самым, благоприятные условия для роста и развития нёбных отростков. Активные аппараты фиксируются внутрикостно на винты и создают дополнительные механические усилия, приводящие к сближению нёбных отростков.

Поскольку дети с врожденной патологией нёба находятся на диспансерном учете вплоть до совершеннолетия, данные о развитии их зубочелюстной системы, фиксируются на диагностических моделях - гипсовых слепках. Для расчетов, проводимых в диссертации, слепок нёба полугодовалого пациента был отсканирован, преобразован в Сас1-модель и отредактирован в графическом модуле программного комплекса 8оШ\Уог1«. Редактирование производилось с целью выделения небных костей из всего слегка.

Рисунок 3. Моделирование активного ортопедического аппарата. Схема 2 В численном эксперименте, проведенном для расчетных областей, показанных на рисунках 2 и 3, вычислялось накопление ростовой деформации в нёбе в течение 10 месяцев при действии пассивного ортопедического аппарата и одного месяца -при действии активного. Заданные нагрузки и их направления обозначены буквами А, В, С. Уменьшение диастаза между разобщенными нёбными фрагментами в результате накопления ростовой деформации составило соответственно 8,8 мм и 11

7 Берсеаев C.B. Оптимизация выбора методов зубочелюстного протезирования взрослых пациентов в отдаленные сроки после хирургического лечения при врожденной расщелине верхней губы, альвеолярного отростка и нёба: автореф. ... канд. мед. наук. - М., 2010 - 24 с.

О 005

Рисунок 2. Моделирование пассивного ортопедического аппарата. Схема 1

мм. Полученные деформации находятся в удовлетворительном соответствии с опубликованными экспериментальными данными, что позволяет произвести верификацию модели. Несмотря на то, что время, затрачиваемое при лечении активным аппаратом, существенно ниже, чем при лечении пассивным, активная ортопедическая аппаратура пока не находит широкого применения в России. На это есть причины, среди которых: возможность разбалансировки устройства при нагружентаи, усилия, создаваемые ортопедическим аппаратом, находятся в большом диапазоне от 0,3 до 20 Н и в каждом клиническом случае дозируются «на глаз», опасность формирования плоского нёба при слишком быстром сближении. Предполагается, что введение критерия оптимальности позволит решить эти проблемы.

Четвертая глава посвящена разработке алгоритма управления деформированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации. Параметры управления: усилия Ж, г е 5р, создаваемые на границе Бр

ортопедическим аппаратом, и время их приложения Т. Для постановки и решения задачи управления применяется теория независимого управления собственными деформациями8 в гильбертовом пространстве тензоров деформаций, в котором целевая функция записывается в следующем виде:

Ч'СР,Г) = |ег (Ж,Г) - £(0) ||2 ->М(Г,Г), (15)

где е(0) - заданная ростовая деформация, вычисляемая путем приложения соответствующих граничных условий (на границе расчетной области задаются

перемещения) и формирующая необходимый свод нёба, гя- накопленная ростовая деформация, вычисляемая по формуле (5). Условие совпадения полей деформаций е<0) и е1* означает равенство перемещений на части границы, которые и обеспечивают срастание нёба и правильный нёбный свод.

Оптимизация функции (15) осуществляется при следующих ограничениях:

1(7,1 < 0,55 МПа, г е¥~, (16)

е^<10%,геУ, (17)

(18)

т.е. главные напряжения не превосходят величины, при которых могут возникнуть повреждения ткани, конфигурация расчетной области меняется не более, чем на 10% и положительность ростовой деформации.

Для решения задачи применим метод конечных элементов с плоскими треугольными элементами и линейной аппроксимацией перемещений. Тогда ростовая деформация (5), записанная в общем виде, вычисляется следующим

8 Туктамышев B.C. Алгоритмы решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций", автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Пермь, 2011. - 16 с.

образом. К каждому узлу границы Sp последовательно прикладывается единичная сила (в направлении оси х, а 'затем у) и решается задача теории упругости в конечно-элементном пакете, что дает поля деформаций е"0, к = 1, 2, ... , К, где К - удвоенное число узлов границы Зр (см. рисунок 4).

О (0,0)

Рисунок 4. Схема приложения единичных сил криволинейная координата вдоль границы

Отметим, что деформации еш линейно-независимы ввиду положительной определенности матрицы жесткости системы. Предположение о малости деформаций позволяет применять принцип суперпозиции решений. В таком случае выражение для ростовой деформации имеет вид:

£« = АТ1 + ^кВТгт, (19)

ы

где Рк, к = 1, 2,... ,К- искомые ортопедические силы, создаваемые на границе Отметим, что теперь усилия Е, г еБр представлены вектор-столбцом.

С учетом (19) целевая функция (15) записывается в виде квадратичной формы

ЗДП = Т2М2 [е] 1Т2В2 {в}т+ у, (20)

1 хК КхК Кх 1

где

ы=

"(Е(",Е">)Я (Е(,,,£(2))Я

ИЛ (е<2>,£<2))н

(г<«>,г<»)я (Е(К),Е(2))я

(е(1\г<*>)я

ИЛ

И,Л

(21)

у = А2Т2(1,1)н-2Ат(1,гт)н, (22)

{е}={ет}шт-{б(2)}1м, (23)

{е{2)1={А1,е^)н. (24)

Дифференцируя целевую функцию Ч*(¥,Т) по соответствующим аргументам и приравнивая производные к нулю, получаем аналитическое решение для вычисления времени и сил:

• - КхК

(маИ-^ПсП*

1 хК " "

(2)1 КхК Кх1

(25)

(26)

Кх 1 КхК

Построенный алгоритм вычисления оптимальных усилий не требует итерационных методов и включает в себя следующую последовательность действий:

• вычисление массива деформаций е(0) ;

• вычисление массивов деформаций г'л\ к = 1,2,...,К;

• вычисление матрицы [е] по формуле (21) и обратную матрицу [г]"1;

• вычисление столбцов \о'у>} и {вт } по формуле (24);

• вычисление скалярных произведений (А1,А1)„ и (л\.г."")н ;

• вычисление времени приложения нагрузки Т по формуле (25);

• вычисление оптимальных усилий {.р} по формуле (26);

• увеличение Т в случае невыполнения условий (16)—(18) и повторная проверка условия.

Данный алгоритм реализован в пакете прикладных программ МАТЬАВ 7.0. Формирование тензоров деформаций для расчетов происходило путем импорта массивов деформаций элементов из конечно-элементного пакета АШУБ в формате текстового файла. Распределение вычисленных усилий представлено на рисунках 5, 6. Для того чтобы накопление ростовой деформации равнялось заданной, необходимо прикладывать вычисленные усилия в течение времени Т = 3,16 мес.

¡11 | .

.............1 !_1.......;......................:.....(

1 1 _________________________________:.....1

V. : ЛИ 0.Г 1

..... Г |

Рисунок 5. Силы в направлении оси*, Н Рисунок 6. Сипы в направлении оси>>, Н

В пятой главе сформулированы основные положения методики биомеханического сопровождения дохирургического лечения врожденной расщелины нёба, включающей в себя следующие этапы, выполняемые до начала лечения. Сканирование слепка нёба, построение Са<1-модели и выбор двух наихудших (с точки зрения ширины диастаза) сечений (рисунок 7), в которых будут вычисляться оптимальные усилия. Задание в рассматриваемых сечениях нёбной дуги, которую планируется получить в результате лечения, вычисление усилий и времени их приложения. Формулировка рекомендаций к конструкции ортопедического аппарата для создания им требуемых усилий. При заданной

толщине пластины и длине области клея, вертикальные пружины аппарата должны укорачиваться таким образом, чтобы создавать силы и А- Кроме того, пластины должны сближаться на величину СУ, (рисунок 8). Для расчетной области (рисунок 7) были заданы вычисленные усилия и перемещения £/,. Проведенный

вычислительный эксперимент показал, что найденные усилия создают желаемую форму и удовлетворяют ограничениям (16) - (18). Фрагменты сближаются на 10 мм за три месяца без повреждений (рисунок 9).

Вид сверху м

А 1 ''•?']

Д" Т .

1 А'-«: ; 1

V- 2

V

ц

р.

ц; р, к.

Ортоледическ! аппарш

Рисунок 7. Расчетные сечения

Рисунок 8. Реализация вычисленных усилий ортопедическим аппаратом

Рисунок 9. Перемещения расчетной области в направлении оси х, м

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена постановка задачи моделирования ростового деформирования изотропного линейно-упругого тела.

2. Разработан алгоритм расчета накопления ростовой деформации. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по моделированию ростового деформирования изотропного линейно-упругого тела.

3. Разработан алгоритм независимого управления деформациями. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента, с применением которого решена задача о моделировании ортопедического лечения врожденной расщелины костного неба.

4. Представлены результаты комплексного исследования проблемы ортопедического лечения детей с врожденной расщелиной нёба с помощью численных экспериментов. Вычислительный анализ существующих методик ортопедического лечения детей с несращением нёба показал, что применяемые на практике методики лечения далеко не всегда являются рациональными. Для повышения их эффективности наиболее приемлемым является аппарат математического моделирования.

5. Предложена методика биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения пациентов с несращением нёба, предполагающая индивидуальное планирование ортопедического лечения и визуализацию результатов лечения до его начала. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, позволяющий в рамках предложенной методики биомеханического сопровождения назначать оптимальные режимы воздействия ортопедического устройства на костную ткань.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Лохов В.А., Долганова О.Ю., Няшин Ю.И. Биомеханическое моделирование эффекта сближения фрагментов твердого нёба при ортопедическом лечении // Российский журнал биомеханики.-2012.-Т. 16, № 1 (55).-С. 38-45. (из перечня ВАК)

2. Lokhov V., Dolganova О. Biomechanical Simulation of the Growth Processes in the Human Hard Palate // Series on Biomechanics. Vol.27, No 3-4 (2012), p.23-29.

3. Долганова О.Ю., Лохов B.A., Няшин Ю.И. Оптимальное управление ростовыми деформациями при ортопедическом лечении двусторонней расщелины твердого нёба // Математическое моделирование в естественных науках - 2012: XXI Всерос. школа-конф.: Тез. докл. / Перм. нац. исслед. политехнич. ун-т. — Пермь, 2012. — С. 58.

4. Лохов В.А., Долганова О.Ю. Алгоритм поиска оптимальных усилий для лечения двусторонней расщелины твердого нёба // Российский журнал биомеханики. - 2012. -Т. 16, Na 3 (57). - С. 42-56. (из перечня ВАК)

5. Лохов В.А., Долганова О.Ю. Биомеханическое обоснование выбора конструкции ортопедического аппарата для лечения врожденной расщелины твердого нёба // Российский журнал биомеханики. - 2012. -Т. 16, № 4 (56). - С. 73-82. (из перечня ВАК)

6. Долганова О.Ю. Биомеханическое сопровождение предхирургического лечения расщелины твердого нёба // Междисциплинарные исследования - 2013: Науч.-практ. конф.: Тез. докл. / Перм. гос. нац. исслед. ун-т. - Пермь, 2013. - С. 21.

7. Долганова О.Ю. Математическое моделирование и управление ростовыми процессами в живых тканях // Материалы Юбилейной XXV Международной инновационно-ориентированной конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС — 2013) — М., 2013. — С. 101.

8. Lokhov V., Dolganova О. Biomechanical View on the Treatment of the Congential cleft of the Hard Palate // Series on Biomechanics. Vol.28, No 3-4 (2013), p. 12-17.

9. Долганова О.Ю., Лохов B.A. Математические модели ростового деформирования // Вестник ПНИПУ. Механика. -2014. -№1. - С. 140-155. (из базы цитирования Scopus)

10. Долганова О.Ю. Математическое моделирование роста биологического тела // Вестник Череповецкого государственного университета, 2014. -№ 1 (54). - С. 5-9. (из перечня ВАК)

Свидетельства о регистрации программы для ЭВМ:

1. Долганова О.Ю., Лохов В.А. Оптимальное усилие // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013617410 от 13.08.2013.

2. Долганова О.Ю., Долганов A.B. Расчет ростовой деформации // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014611279 от 29.01.2014.

Подписано в печать 19.03.2014. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 704/2014.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства Пермского национального исследовательского политехнического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел.(342)219-80-33.